人教版数学必修四三角函数复习讲义
人教版A版高中数学必修4：第一章 三角函数 复习课件
典例 8
已知 cos(π2 －α)＝－ 2cos(3π 2 －β)， 3sin(3π 2 －α)＝－ 2sin(π2 ＋ β)，且π2 <α<π，0<β<π，求 α，β 的值。
[思路分析] 要求α，β的值，首先求α，β的某种三角函数值， 利用条件，建立以α，β的三角函数为未知数的方程，从而求 解。
将(0,1)代入 y＝Asin(2x＋π6 )，得 A＝2。故 f1(x)＝2sin(2x＋π6 )。
（2）依题意，f2(x)＝2sin[2(x－π4 )＋π6 ]＝－2cos(2x＋π6 )。 当 2x＋π6 ＝2kπ＋π， 即 x＝kπ＋51π2 (k∈Z)时，ymax＝2。 ∴此时 x 的值集合为{x|x＝kπ＋51π2 ，k∈Z}。
第三章 三角函数 复习课件
1 知识网络 2 专题突破
知识网络
任意角正 象角 限、 角负 、角 终、 边零 相角 同的角
三 角任意角和弧度制弧度制1弧圆 1度 °＝心的1角π8角0角r：a度d长，与度1弧r等a度d于＝的半换1径π8算0长°：的弧所对的
②
由以上两式①②，得 a＝2，b＝－2，舍 a＝－6（与 0≤a≤2 矛盾）
当 a＞2 时，－a2∈(－∞，－1)，
∴ymax＝－(－1＋a2)2＋1＋b＋a42＝0
③
ymin＝－(1＋a2)2＋1＋b＋a42＝－4
④
由以上两式③④，得 a＝2，不适合 a＞2，∴应舍去。
综上知，只有一组解ab＝＝－2，2.
（2）统一函数名称，统一角，统一运算结构是三角函数、求值、变形的常用 方法。
专题三 ⇨正弦函数与余弦函数的对称性问题
正弦函数 y＝sinx，余弦函数 y＝cosx，在教材中已研究了它们的定义域、
人教版数学必修四三角函数复习终稿
第一章任意角的三角函数一、任意角1.角的概念：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。
按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。
射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。
2.象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。
如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不届丁任何象限。
例.若口是第四象限角，贝U H -0(是 ( )A .第一象限 B.第二象限 C.第三象限期 D.第四象限3.终边相同的角的表示：所有与角«终边相同的角，连同角a在内，可构成一个集合S ={ !广二"k 360 ,k Z}注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.即任一与角口终边相同的角，都可以表示成角"与整数个周角的和.总结一：见下表例.在直角坐标系中，若角口与6终边互为反向延长线，口与°之间的关系是(A a=EB 仪=2k 览+E(k W Z)C a=^+PD 口=(2k+1 沪+E(k^Z )4.例.如图，分别写出适合下列条件的角的集合:(1)终边落在射线OB上；(2)终边落在直线OA上；(3)终边落在阴影区域内(含边界)......... ..... .、a * ....................... ............................ …….. .5.已知a是第几象限角，确定一(n WN )所在象限的方法：先把各象限均分n等份，再从x轴的正半n轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则a原来是第几象限对应的标号即为竺终边所落n在的区域.a例.若a是第二象限的角，贝U 2是第象限的角。
二、弧度制1 .角度制规定：将一个圆周分成360份，每一份叫做1度，故一周等丁360度，平角等丁180度，直角等丁90度等等.2.弧度制的定义长度等丁半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad，或1弧度，或1(单位可以省略不写).3.角度和弧度的转化：1 = 匚ad(1rad=度4.半径为r的圆的圆心角«所对弧的长为l ,则角«的弧度数的绝对值是|叫=」.r5.扇形中的几个重要公式：1 1 2（1）1 = ,R; ⑵ S lR;（3）S R2.22其中R是半径,l是弧长,口（0 <a <2兀）为圆心角，S是扇形的面积.例.圆内一条弦的长等丁半径，这条弦所对的圆心角是（A.等丁1弧度B .大丁1弧度C .小丁1弧度三、任意角的三角函数的定义：1.设任意角a的顶点在原点O,始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点y ,（x,y），贝U sin 口= y , cosa = x , tan 口= ' （x # 0）x2.设a是一个任意角，它的终边上一点p （x,y）（异于原点），r=、，x2+ y2贝U 正弓玄sina = y余弓玄cosa =- 正切tana =- r rx 例. 角a的终边上有一点P(a, a),a€ R，且a乒Q 贝U sin oc的值是（）A2B. -XC. 士力D. 1 222例. 券当第二象限角，其终边上一点P (x,而), 且cosa=.2 …x,贝U sin〔I的值为（.10一6.2.10A.4B. 4C.4D.--4 3各象限的符号:n y y My+ + 一 + —+sin：cos tan：a a a例.设角a是第二象限角，且|cos2|= —cos 2，则角2是（）A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角d -sin 2 x 1-cos2 xy = ................ ........... . ........ ............. ..例.函效cosx sinx的值域是（）A.{0, 2}B. {-2, 0}C. {- 2, 0, 2}D. {-2, 2}4.三角函数线过P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过点A(1,0)作单位圆的切线，它与角口的终边或其反 向延长线交与点T . 由四个图看出：当角口的终边不在坐标轴上时，有向线段 OM =x,MP = y,于是有 sin 口 =¥ = y = y = MP , r 1 tana=2=k=AT = AT.x OM OA我们就分别称有向线段MP,OM,AT 为正弦线、余弦线、正切线四. 同角三角函数的基本关系式:注意：1.角a的任意性。
必修四 三角函数复习(图像和性质)讲义
三角函数的图象及性质复习考纲要求三角函数的图象和性质是高考的热点，在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象和性质结合起来本节主要帮助考生掌握图象和性质并会灵活运用重难点归纳1考查三角函数的图象和性质的基础题目，此类题目要求考生在熟练掌握三角函数图象的基础上要对三角函数的性质灵活运用2三角函数与其他知识相结合的综合题目，此类题目要求考生具有较强的分析能力和逻辑思维能力在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强3三角函数与实际问题的综合应用此类题目要求考生具有较强的知识迁移能力和数学建模能力，要注意数形结合思想在解题中的应用♦ ()k x ASin y Sinx y ++==ϕω变化为怎样由 ？振幅变化：Sinx y = ASinx y = 左右伸缩变化：x ASin y ω= 左右平移变化 )(ϕω+=x ASin y 上下平移变化 k x ASin y ++=)(ϕω 周期问题◆ ()()()(), 0 , 0A , T , 0 , 0A , 2T , 0 , 0A , 2T , 0 , 0A , >>+==>>+==>>+==>>+=ωϕωωπωϕωωπωϕωωπωϕωx ACos y x ASin y x ACos y x ASin y❖()()ωπωϕωωπωϕω=>>+==>>+=T , 0 , 0A , tan T , 0 , 0A , tan x A y x A y 典型题例示范讲解（一）对三角函数性质的考查：题型一：最值问题 例1.（全国理15）已知函数()4cos sin()16f x x x π=+-。
（Ⅰ）求()f x 的最小正周期：（Ⅱ）求()f x 在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值。
练习：1（2011汕头模拟）设a R ∈，()()2cos sin cos cos 2f x x a x x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭满足()03f f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求函数()f x 在11[,]424ππ上的最大值和最小值.2（2011佛一模）．函数cos ()sin ()y x x ππ22=+-+44的最小正周期为A ．4πB ．2π C ．πD ．2π3.（本小题满分12分）（2011广一模）已知函数()2sin cos cos2f x x x x =+(x ∈R ). (1) 当x 取什么值时,函数()f x 取得最大值,并求其最大值; (2) 若θ为锐角，且83f πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求tan θ的值.题型二：对称性问题 例1．（本小题满分12分）（2010广一模）已知函数()sin cos cos sin f x x x ϕϕ=+（其中x ∈R ，0ϕπ<<）． （1）求函数()f x 的最小正周期； （2）若函数24y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像关于直线6x π=对称，求ϕ的值．2．（2011佛一模）定义运算a bc d,ad bc =-则函数()f x =2sin 12cos x x -图像的一条对称轴方程是( )A ．2x π=B ．4x π=C ．x π=D ．0x =练习1.（2010深圳）已知函数f(x)=3sin(x-)(>0)6πωω和g(x)=2cos(2x+)+1ϕ的图象的对称轴完全相同。
(完整word版)人教高中数学必修四第一章三角函数知识点归纳
三角函数一、任意角、弧度制及任意角的三角函数1．任意角(1)角的看法的实行①按旋转方向不相同分为正角、负角、零角．正角 : 按逆时针方向旋转形成的角任意角负角: 按顺时针方向旋转形成的角零角 : 不作任何旋转形成的角②按终边地址不相同分为象限角和轴线角．角的极点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，那么称为第几象限角．第一象限角的会集为k360k 36090 , k第二象限角的会集为k36090k 360180 , k第三象限角的会集为k360180k360270 , k第四象限角的会集为k360270k 360360 , k终边在 x 轴上的角的会集为k180 , k终边在 y 轴上的角的会集为k180 90 , k终边在坐标轴上的角的会集为k 90 ,k(2)终边与角α相同的角可写成α＋ k·360 °(k∈Z )．终边与角相同的角的会集为k 360, k(3)弧度制① 1 弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角．②弧度与角度的换算：360°＝ 2π弧度； 180°＝π弧度．③半径为 r 的圆的圆心角所对弧的长为 l ，那么角的弧度数的绝对值是l r④ 假设扇形的圆心角为为弧度制，半径为 r ，弧长为l，周长为C，面积为S，那么l r ，C2r l ，S1lr1r 2．222．任意角的三角函数定义设α是一个任意角，角α的终边上任意一点P(x， y)，它与原点的距离为r r x2y2，那么角α的正弦、余弦、正切分别是： sin α＝yr， cos α＝xr， tan α＝yx．〔三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦〕3．特别角的三角函数值1角度030456090120135150180270360函数角 a 的弧度0π /6π/4π /3π /22π /33π /45π/6π3π /22πsina01/2√ 2/2√ 3/21√ 3/2√ 2/21/20-10 cosa1√ 3/2√ 2/21/20-1/2-√ 2/2-√ 3/2-101tana0√ 3/31√ 3-√ 3-1-√ 3/300二、同角三角函数的根本关系与引诱公式A.基础梳理1．同角三角函数的根本关系(1)平方关系： sin2α＋ cos2α＝ 1；〔在利用同角三角函数的平方关系时，假设开方，要特别注意判断符号〕sin α(2)商数关系：＝tanα.〔3〕倒数关系：tan cot 1cos α2．引诱公式公式一： sin( α＋ 2kπ)＝sin α， cos(α＋ 2kπ)＝cos_α，tan(2k ) tan其中 k∈Z .公式二： sin( π＋α)＝－ sin_α， cos( π＋α)＝－ cos_α， tan(π＋α)＝ tan α.公式三： sin( π－α)＝ sin α， cos( π－α)＝－ cos_α，tan tan．公式四： sin( －α)＝－ sin_α， cos(－α)＝ cos_α，tan tan .ππ公式五： sin －α＝ cos_α， cos－α＝ sin α.22ππ公式六： sin 2＋α＝ cos_α， cos2＋α＝－ sin_α.π口诀：奇变偶不变，符号看象限．其中的奇、偶是指π引诱公式可概括为 k· ±α的各三角函数值的化简公式．的奇数22倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．假设是奇数倍，那么函数名称要变( 正弦变余弦，余弦变正弦) ；假设是偶数倍，那么函数名称不变，符号看象限是指：把πα看作锐角时，依照 k· ±α在哪个象限判断原三角函数值的符号，最后作为结．．．．2．．．果符号．B. 方法与要点一个口诀1、引诱公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．2、四种方法在求值与化简时，常用方法有：sin α(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝化成正、余弦．cos α(2)和积变换法：利用 (sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转变．〔 sin cos、sin cos、sin cos三个式子知一可求二〕2(3)巧用 “1〞的变换： 1＝ sin 2θ＋ cos 2θ= sinπ ＝tan24〔 〕齐次式化切法： tank ，那么 asinbcosa tanb ak b4m sinn cosm tannmkn三、三角函数的图像与性质学习目标：1 会求三角函数的定义域、值域2 会求三角函数的周期 ：定义法，公式法，图像法〔如y sin x 与 y cosx 的周期是〕。
高中数学必修4-1.2.1任意角的三角函数复习讲义
高中数学必修4-1.2.1任意角的三角函数复习讲义复习回顾:在初中我们是如何定义锐角三角函数的？新课引入:1.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？探究:如果改变点Ｐ在终边上的位置，这三个比值会改变吗？能否通过|op|取特殊值将表达式简化呢？sin α==αcos =αtan ca cb ba:OM a MP b OP r ====其中cos OM aOP r α==sin MP bOP r α==tan MP bOM aα==OP MP =αsin OP OM =αcos OM MP =αtan OMP ∆P O P M '''=''=P O OM M O P M '''=，则若1==r OP2.任意角的三角函数定义(,),:P x y α任意角的终边与单位圆交于点特地时别因为，正弦，余弦，正切都是以角为自变量，以点的坐标与该点到原点的距离或坐标与坐标的比值为函数值的函数，所以,我们将他们称为三角函数.任意角的三角函数定义域因为任意角 α 的三角函数值仅与α有关，而与点P 在角的终边上的位置无关.所以,使比值有意义的角的集合就是三角函数的定义域. 三角函数的值在各象限的符号：),(,),0:P x y r r α=>设是一个任意角是其终边上任意一点记那么(1),sin ,sin ;y y rrααα=叫做的正弦记作即(2),cos ,cos ;x x r r ααα=叫做的余弦记作即()(3),tan ,tan 0;y yx x xααα=≠叫做的正切记作即(1)sin ;y α=(2)cos ;x α=()(3)tan 0;y x xα=≠三角函数的几何表示：1.规定了方向（即规定了起点和终点）的线段称为有向线段；2.规定了正方向的直线称为有向直线；3.有向线段与有向直线平行时，它们的方向相同或相反，分别把它的长度添上正号或负号，这样所得的数叫做有向线段的数量；思考：能否用有向线段来表示角α的三个三角函数值？三角函数线：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y),由于r=1,则sinx=y,cosx=x,tanx=y/x.过P 作X 轴的垂线,交X 轴于M(x,0)数形结合:用有向线段表示三角函数值例1:求下列函数的定义域：1(1)lg(sin )2y x =+(2)y =2722,66x k x k k Z ππππ⎧⎫-+<<+∈⎨⎬⎩⎭,44x k x k k Z ππππ⎧⎫-+≤≤+∈⎨⎬⎭例2: 确定下列三角函数值的符号： （1）︒250cos （2）)672tan(︒-（3）⎪⎭⎫ ⎝⎛-4s i n π解：（1）因为 2500 是第三象限角，所以,cos2500 <0；（2）因为 ，-6720是第一象限角，所以tan(-6720)<0 （3）因为4π-是第四象限角，所以 04sin <⎪⎭⎫ ⎝⎛-π例3、已知角θ的终边过点p(-12,5)，求θ的三个三角函数值.练习：(1)已知角α的终边过点P(2a ，-3a ), 求α的正弦、余弦、正切.(2)已知角600°的终边上有一点P(-4，a )，求a 的值.课后巩固：一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若0sin <α，且0tan >α，则α是（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角()(4lg 2sin y x =+{}40x x x ππ-<≤-≤≤或222,33x k x k k Z ππππ⎧⎫-+<≤+∈⎨⎬⎩⎭2.已知a 是第二象限角A 3.若α是第四象限角，A 4．若角α的终边经过点(1,2)P -，则tan α的值为（ ） A. 2- B. 2 C. 12- D. 125．已知角的终边上一点（），且，则的值是( )A.B.C.D.6．【2018河北石家庄二中八月模拟】点)P a 是角660︒终边上一点，则a = ( )A. 3-B. 3C. 1-D. 1 7．已知tan=2,,则3sin2-cos sin +1= ( )A.3B.-3C.4D.-48.三角形ABC 是锐角三角形，若角θ终边上一点P 的坐标为(sin A －cos B ，cos A －sin C)( ) A ．1 B ．－1 C ．3 D ．49，则点(cos ,sin )Q αα位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10.，且α是第三象限的角，则αtan 的值为（ ）A 11．设角θ的终边经过点(3,4)P -，那么sin 2cos θθ+=（ ）A 12. ）A ．－2B ．2 CD第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13. 已知角a 的终边经过点)4,3(-P ，则a sin = ；14. 如果角θ的终边经过点，则=θsin . 15. ，且a 是第二象限角，则=a cos ； 16. 已知_______cos 3sin 7,2tan 22=+=ααα求三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．如果点P(sin θ·cos θ，2cos θ)位于第三象限，试判断角θ所在的象限；18．已知：P(-2，y)是角θ终边上一点，且sin θ求cos θ的值.19．已知角α的终边经过点P(x ，－2)，且cos αsin α和tan α.20．α是第二象限角，P(x为其终边上一点，且cos α，求sin α的值．(2)sin 2α＋sin αcos α22．已知任意角α的终边经过点(3,)P m -,(1)求m 的值．(2)求sin α与tan α的值．参考答案：1．【答案】C【解析】根据各个象限的三角函数符号:一全二正三切四余，可知α是第三象限角. 2.【答案】D【解析】∵a 是第二象限角，∴D ． 3.【答案】选D【解析】根4．【答案】A【解析】由正切函数的定义即得212tan -=-==x y α. 5．【答案】B【解析】由三角函数定义知，，当时，；当时，，故选B6．【答案】A【解析】因为tan660=，所以3a =⇒=-，应选答案A 。
必修四第一章(三角函数总结)学生讲义
金牌数学高一（必修四）专题系列之 三角函数总结类型一 三角函数的概念、诱导公式1．角α终边上任一点P (x ，y )，则P 到原点O 的距离为r ＝x 2＋y 2，故sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x. 2．诱导公式：“奇变偶不变、符号看象限”．3．同角三角函数基本关系式：sin 2α＋cos 2α＝1，tan α＝sin αcos α.类型二 三角函数性质1．函数y ＝A sin (ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z)时为奇函数，当φ＝k π＋π2(k ∈Z)时为偶函数．2．函数y ＝A sin (ωx ＋φ)，令ωx ＋φ＝k π＋π2，可求得对称轴方程．令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z)，可求得对称中心的横坐标．3．将ωx ＋φ看作整体，可求得y ＝A sin (ωx ＋φ)的单调区间，注意ω的符号．类型三 函数sin()y A x ωϕ=+的图象及变换函数y ＝A sin (ωx ＋φ)的图象(1)“五点法”作图：设z ＝ωx ＋φ，令z ＝0，π2，π，3π2，2π，求出x 的值与相应y 的值，描点、连线可得．(2)图象变换：【戴氏总结】1. x y sin =与x y cos =的周期是π。
2. )sin(ϕω+=x y 或)cos(ϕω+=x y （0≠ω）的周期为ωπ2=T 。
3. )sin(ϕω+=x y 的对称轴方程是2ππ+=k x （Z k ∈），对称中心为（0,πk ）； )cos(ϕω+=x y 的对称轴方程是πk x =（Z k ∈），对称中心为（0,21ππ+k ）； )tan(ϕω+=x y 的对称中心为（0,2πk ）。
题型一：解析式例1.已知函数sin()y A x B ωϕ=++的一部分图象如右图所示，如果0,0,||2A πωϕ>><，则函数解析式______________.拓展变式练习1.（三明市普通高中高三上学期联考）右图是函数)sin(ϕω+=x A y 在一个周期内的图象，此函数的解析式为______________.2.已知函数)sin(φϖ+=x A y 在同一周期内，当3π=x 时有最大值2，当x=0时有最小值-2，那么函数的解析式为______________.3.把函数)32sin(π+=x y 先向右平移2π个单位，然后向下平移2个单位后所得的函数解析式为_______________.题型二：最值问题例2.求函数f （x ）＝xx x x cos sin 1cos sin ++的最大、最小值。
人教数学必修四第一章《三角函数》课件(复习课)
第一章三角函数复习课一.伍意角的三角窗叙1、角的概念的推广的终边正角II »■X负角y的终边零角2、角度与弧度的互化特殊角的角度数与弧度数的对应表弧长公式与扇形面积公式1、弧长公式:2、扇形面积公式:已知扇形的半径为R,所对圆心角为该扇形的周长为定值c,求该扇形面积的最大值。
已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2, 则这个圆心角所对的弧长是(B、A. 2B. 2sinlC. 2sin 1D. sin 2三角函数复习终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同。
二、象限角与区间角的区别三、角的终边落在“射线上”、“直线上”及“互相垂直的两条直线上”的一般表示式3、任意角的三角函数定义定义：三角函数值的符号：“一全正，二正弦，三两切，四余弦4、同角三角函数的基本关系式商关系：平方关系:5、诱导公式:（即把看作是锐角）例:二.鬲角和鸟差的三角為叙1、两角和与差的三角函数J］公式变形2、倍角公式注：正弦与余弦的倍角公式的逆用实质上就是降幕的过程。
特别三角函数复习二倍角的三角函数三.三角為叙的图彖和徃质1、正弦、余弦函数的图象与性质2、函数的图象(A>0, >0 )例：f^y=sin2x的图像三角函数复习…三角函数的图象和性质3、正切函数的图象与性质四、麦要龜媲例1:已知是第三象限角，且，求解：应用：三角函数值的符号；同角三角函数的关系;例2：已知,计算⑴(2)应用：关于的齐次式解:⑴⑵_ tanatan 2a + 1例3：已知解:应用：找出已知角与未知角之间的关系例4：解：己知应用：化简求值2(A)1・-sin （X2/_2>(C)1・-sin f2x(B) 2—U 2丿(D) 2sin丿2x——k 2例题5:若歹二/（兀）的图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），然后把图象向左平移尹单位，再把图象上所有点的纵坐标缩短到原来的扣（横坐标不变），这样得到的图象与= S inx 的图象相同，则/（刃等于■若点P（2,41）是曲线歹二/sin（c°x + 0）（兀\/l>0,fi>>0,|^|<—上的一个最高点，卩与其< 2丿相邻的一个最低点0之间的曲线交兀轴于点7?（6,0）,求这个函数的解析式。
(完整word版)必修四第一章三角函数 知识点及练习 讲义
高一数学下必修四第一章三角函数⎧⎪⎨⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z 第二象限角的集合为{}36090360180,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z3、与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z4、已知α是第几象限角，确定()*n nα∈N 所在象限的方法：先把各象限均分n 等份，再从x 轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则α原来是第几象限对应的标号即为nα终边所落在的区域．5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是l rα=．P xyAOM T 7、弧度制与角度制的换算公式：2360π=，1180π=，180157.3π⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭． 8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+，21122S lr r α==．9、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ，它与原点的距离是()220r r x y =+>，则sin y r α=，cos x r α=，()tan 0yx xα=≠． 10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．11、三角函数线：sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT ．12、同角三角函数的基本关系：()221sin cos 1αα+=()2222sin1cos ,cos 1sin αααα=-=-；()sin 2tan cos ααα= sin sin tan cos ,cos tan αααααα⎛⎫== ⎪⎝⎭．13、三角函数的诱导公式：()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．口诀：函数名称不变，符号看象限．()5sin cos 2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭．()6sin cos 2παα⎛⎫+=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭． 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．14、函数sin y x =的图象上所有点向左（右）平移ϕ个单位长度，得到函数()sin y x ϕ=+的图象；再将函数()sin y x ϕ=+的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象． 函数sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数sin y x ω=的图象；再将函数sin y x ω=的图象上所有点向左（右）平移ϕω个单位长度，得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象．函数()()sin 0,0y x ωϕω=A +A >>的性质：①振幅：A ；②周期：2πωT =；③频率：12f ωπ==T ；④相位：x ωϕ+；⑤初相：ϕ． 函数()sin y x ωϕ=A ++B ，当1x x =时，取得最小值为min y ；当2x x =时，取得最大值为max y ，则()m a x m i n 12y y A =-，()max min 12y y B =+，()21122x x x x T=-<．15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：sin y x = cos y x = tan y x =图象定义域R R ,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域[]1,1- []1,1- R最值当22x k ππ=+()k ∈Z 时，max 1y =；当22x k ππ=-()k ∈Z 时，min 1y =-． 当()2x k k π=∈Z 时， max 1y =；当2x k ππ=+ ()k ∈Z 时，min 1y =-． 既无最大值也无最小值 周期 性 2π 2π π 奇偶性奇函数 偶函数 奇函数 函数 性质单调性在2,222k kππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k∈Z上是增函数；在32,222k kππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k∈Z上是减函数．在[]()2,2k k kπππ-∈Z上是增函数；在[]2,2k kπππ+()k∈Z上是减函数．在,22k kππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭()k∈Z上是增函数．对称中心()(),0k kπ∈Z(),02k kππ⎛⎫+∈Z⎪⎝⎭(),02kkπ⎛⎫∈Z⎪⎝⎭对称轴()2x k kππ=+∈Z()x k kπ=∈Z无对称轴第一章《三角函数》综合练习一、选择题1.已知角α的终边经过点0p （-3，-4），则)2cos(απ+的值为（ ）A.54-B.53C.54D.53-2.半径为πcm ，圆心角为120︒所对的弧长为（）A .3πcmB .23πcmC .23πcm D .223πcm 3.函数12sin[()]34y x π=+的周期、振幅、初相分别是（）A .3π，2-，4πB .3π，2，12π C .6π，2，12π D .6π，2，4π 4.sin y x =的图象上各点纵坐标不变，横坐标变为原来的12，然后把图象沿x 轴向右平移3π个单位，则表达式为（ ） A .1sin()26y x π=- B .2sin(2)3y x π=- C .sin(2)3y x π=- D .1sin()23y x π=-5．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω＞0)的最小正周期为π，则该函数图像( )A ．关于直线x ＝π4对称B ．关于点(π3，0)对称C ．关于点(π4，0)对称D ．关于直线x ＝π3对称6.如图，曲线对应的函数是 （ ） A ．y=|sin x | B ．y=sin|x |C ．y=－sin|x |D ．y=－|sin x |7．函数y=cos 2x –3cosx+2的最小值是（）A ．2B ．0C ．41 D ．68．函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2x －π6(x ∈[0，π])的单调递增区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，11π12D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，11π12 9.已知函数sin()y A x B ωϕ=++的一部分图象 如右图所示，如果0,0,||2A πωϕ>><，则（ ）A.4=AB.1ω=C.6πϕ= D.4=B10.已知1cos()63πα+=-，则sin()3πα-的值为（）A .13B .13-C .233D .233-11.已知α、β是第二象限的角，且βαcos cos >，则 （ ）A.βα<;B.βαsin sin >；C.βαtan tan >；D.以上都不对12.设()f x 是定义域为R ，最小正周期为32π的函数，若cos ,(0)(),2sin ,(0)x x f x x x ππ⎧-≤<⎪=⎨⎪≤<⎩ 则15()4f π-等于( )A. 1B.22C. 0D.22-二、填空题13．函数x x f cos 21)(-=的定义域是______________14．若sin α＋cos αsin α－cos α ＝2，则sin αcos α的值是_____________.15、函数])32,6[)(6cos(πππ∈+=x x y 的值域是 ． 16．函数f (x )=sin x +2|sin x |,x ∈[0,2π]的图象与直线y =k 有且仅有两个不同的交点,则k 的取值范围是__________. 三、解答题17.已知α是第二象限角，sin()tan()()sin()cos(2)tan()f πααπαπαπαα---=+--．（1）化简()f α； （2）若31sin()23πα-=-，求()f α的值．18.已知tan 3α=，求下列各式的值： （1）4sin cos 3sin 5cos αααα-+ ；（2）212sin cos cos ααα+．19．（1）画出函数y ＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛6π － 2x 在一个周期的函数图像；（2）求出函数的对称中心和对称轴方程．20．已知y ＝a －b cos3x (b >0)的最大值为32，最小值为－12.(1)判断其奇偶性．(2)求函数y ＝－4a sin(3bx )的周期、最大值，并求取得最大值时的x ；21．已知函数45)62sin(21++=πx y (1)求函数的单调递增区间； (2)写出y=sinx 图象如何变换到15sin(2)264y x π=++的图象第一章《三角函数》综合练习答案一、选择题1-5 CDCBB 6-10 CBBCA 11-12 BB 二、填空题13、5[2,2],33k k k Z ππππ++∈14、31015、31[,]22-16、13k << 17. 解析：（1）sin (tan )1()sin cos (tan )cos f ααααααα-==---；（2）若31sin()23πα-=-，则有1cos 3α=-，所以()f α=3。
(完整word版)必修四第一章三角函数知识点及练习讲义
高一数学下必修四第一章三角函数⎧⎪⎨⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角2、角α的顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z 第二象限角的集合为{}36090360180,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z3、与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z4、已知α是第几象限角,确定()*n nα∈N 所在象限的方法：先把各象限均分n 等份,再从x 轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四,则α原来是第几象限对应的标号即为nα终边所落在的区域．5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是lrα=． 7、弧度制与角度制的换算公式：2360π=，1180π=，180157.3π⎛⎫=≈⎪⎝⎭． 8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ,面积为S ,则l r α=,2C r l =+，21122S lr r α==． 9、设α是一个任意大小的角,α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ,它与原点的距离是()0r r ,则sin y r α=,cos x r α=，()tan 0yx xα=≠．10、三角函数在各象限的符号:第一象限全为正，第二象限正弦为正,第三象限正切为正，第四象限余弦为正．11、三角函数线:sin α=MP ，cos α=OM ,tan α=AT ． 12、同角三角函数的基本关系:()221sin cos 1αα+=()2222sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=-；()sin 2tan cos ααα= sin sin tan cos ,cos tan αααααα⎛⎫== ⎪⎝⎭．13、三角函数的诱导公式:()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-,()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-,()tan tan παα-=-．口诀：函数名称不变,符号看象限．()5sin cos 2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭,cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭． ()6sin cos 2παα⎛⎫+=⎪⎝⎭,cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭． 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．14、函数sin y x =的图象上所有点向左（右）平移ϕ个单位长度，得到函数()sin y x ϕ=+的图象；再将函数()sin y x ϕ=+的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍(横坐标不变)，得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象． 函数sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的1ω倍（纵坐标不变),得到函数sin y xω=的图象；再将函数sin y x ω=的图象上所有点向左（右)平移ϕω个单位长度，得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短）到原来的A 倍(横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象． 函数()()sin 0,0y x ωϕω=A +A >>的性质：①振幅：A ；②周期:2πωT =;③频率:12f ωπ==T ；④相位：x ωϕ+；⑤初相：ϕ． 函数()sin y x ωϕ=A ++B ，当1x x =时，取得最小值为min y ;当2x x =时,取得最大值为max y ，则()max min 12y y A =-，()max min 12y y B =+，()21122x x x x T=-<．15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质:sin y x =cos y x =tan y x =图象定义域 RR,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值当22x k ππ=+()k ∈Z 时，max 1y =;当22x k ππ=-()k ∈Z 时，min 1y =-． 当()2x k k π=∈Z 时，max 1y =；当2x k ππ=+()k ∈Z 时，min 1y =-．既无最大值也无最小值函数性质第一章《三角函数》综合练习一、选择题1。
人教版数学必修四三角函数复习终稿
(2) S
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1 lR ; 2
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(3) S 1 R2 . 2
其中 R 是半径 ,l 是弧长 , (0
2 ) 为圆心角 , S 是扇形的面积 .
例 . 圆内一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角是（ A．等于 1 弧度 B ．大于 1 弧度 C ．小于 1 弧度
） D ．无法判断
三、 任意角的三角函数的定义 :
学习必备
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第一章 任意角的三角函数
一、任意角
1.角的概念 ：
平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角
叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射
线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。
2.象限角的概念 ： 在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与
S{ |
k 360 , k Z}
注意 ：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等 .
即任一与角 终边相同的角 , 都可以表示成角 与整数个周角的和 .
总结一：见下表
终边位置
集合表示
终边为 x 的非负半轴
k 3600 , k Z
终边为 x 的负半轴 终边为 x 轴
终边为 y 轴非负半轴
k 1800 , k Z k 3600 900 , k Z
B. a > b> c
C. a >c> b
D. b> c> a
四 .同角三角函数的基本关系式：
1. 平方关系： sin
2
cos
2
1
2 商数关系： tan
sin
cos
人教版高中数学必修四《三角函数专题复习》
三角函数
三角函数基本 概念
三角函数图象 性质
三角函数公式 定理
计算、化简、解三角形 证明恒等式
Ⅰ Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
Ⅰ、三角函数基本概念
1、任意角的概念
y
的终边
正角
x 零角
(,)
的终边
o
负角
角度与弧度的互化
180
180 1弧度 ( ) 57.30 5718, π π 1 180
①和角、差角公式 ②二倍角公式 ③半角公式（了解） ④正弦、余弦定理 ⑤万能公式（了解） ⑥辅助角公式 ⑦升幂、降幂公式 ⑧三角形面积公式 返回
常考试题与方法技巧
• 函数y=Asin(ω x、伸缩。
• 函数y=sinx,y=cosx的图形和性质。
Ⅰ、三角函数基本概念
任意角 的概念 角度制与 弧度制
任意角的 三角函数
弧长与扇形 同角三角函数 面积公式 的基本关系
sin cos 1 sin tan cos 及这两个公式的 等价变形
2 2
返回
Ⅱ、三角函数图象性质
返回
Ⅲ、三角函数公式定理
和差倍半正余弦， 万能辅助升降面。
• 变角。 • 解三角形（包括求面积）。
课内课外
• 1、认真记忆导学案中的基础知识，公式、定理等内容。 • 2、认真完成导学案中的练习。在周五下午自习后上交检 查。
练习
人教A版高中数学 必修4 第一章 三角函数专题复习讲义
人教A 版高中数学 必修4 第一章 三角函数专题复习讲义例1．已知函数y=sin 2x+sin （2π－x ）+3sin 2（23π－x ）（1） 若tanx=21，求y 的值。
（2） 若x ∈[0，2π]，求y 的值域。
解：1，化简求值 （1） 弦化切与诱导公式 Y=sin 2x+2sinx ·cosx+3cos 2x=x x x x x x 2222cos sin cos 3cos sin 2sin ++⋅+ =1tan 3tan 2tan 22+++x x x=517 2，化标准型，[常用公式]，求值域。
y=1+sin2x+（1+cos2x ） =2sin （2x+4π）+2 (2)∵0≤x ≤2π, ∴4π≤2x+4π≤45π作图 y=sinx (x=2x+4π)由图象知,sin 45π≤sin(2x+4π)≤sin 2π, 即 －22≤sin(2x+4π)≤1⇒1≤y ≤2+2 ∴y 的值域为[1, 2+2].例2．设函数f （x ）=a ·b ，其中a=（2sinx ，1），b=（sinx ，3sin2x+m ）。
（1） 求f （x ）在x ∈[0，2π]的单调递减区间。
（2） 当x ∈[0，3π]时，)(x f ＜3恒成立，求实数m 的取值范围。
解：3.求单调区间（1） f （x ）=2sin （2x-6π）+ m +1 2π+2k π≤2x-6π≤23π+2k π⇒3π+k π≤x ≤65π+k π∵x ∈[0，3π]∴3π≤x ≤2π，∴f （x ）的单调递减区间是[3π，2π]。
4.最值在恒成立中的运用∵x ∈[0，π]，∴-π≤2x-π≤π∴sin （-6π）≤sin （2x-6π）≤sin 2π⇒-21≤sin （2x-6π）≤1∴f （x ）max =m ，f （x ）max =3+m由题意知，-3＜f （x ）＜3恒成立，即{3)(3)(-><x f x f 恒成立⇔{3min )(3max )(><x f x f 。
人教版数学必修四三角函数复习讲义
第一讲 任意角及三角函数诱导公式1. 知识要点角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。
按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。
射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。
象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点及原点重合，角的始边及x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。
如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。
终边相同的角的表示：α终边及θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)⇔2()k k αθπ=+∈Z 。
注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.α终边在x 轴上的角可表示为：,k k Z απ=∈； α终边在y 轴上的角可表示为：,2k k Z παπ=+∈；α终边在坐标轴上的角可表示为：,2k k Z πα=∈. 角度及弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.α及2α的终边关系：任意角的三角函数的定义:设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异于原点），它及原点的距离是0r =>，那么sin ,cos yx r rαα==，()tan ,0y x x α=≠，cot x y α=(0)y ≠，sec rxα=()0x ≠，()csc 0r y y α=≠。
三角函数值只及角的大小有关，而及终边上点P 的位置无关。
三角函数线的特征：正弦线“站在x 轴上(起点在x 轴上)”、余弦线“躺在x 轴上(起点是原点)”、正切线“站在点(1,0)A 处(起点是A )”同角三角函数的基本关系式：1. 平方关系：222222sin cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+=2. 倒数关系：αα1αα1αα1,3. 商数关系：sin cos tan ,cot cos sin αααααα==注意：1.角α的任意性。
人教版必修四 三角函数复习讲义
三角函数复习讲义（人教版必修四）题型一 求值问题1．(12年山东7)若[,],sin 242ππθθ∈=，则sin θ=（ ）P120A ．35 B ．45 C ．4 D ．342．(11年课标5)已知角θ的顶点与原点重合，始边与X 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos2θ=（ ）P1203.（08北京）若角α的终边经过点(12)P -，，则αcos = tan 2α=A ．45-B ．35-C ．35D ．453．(11年福建3)若tan 3α=，则2sin 2cos αα=（ ）P120A ．2B ．3C ．4D ．64．(11年全国14)已知(,),sin 2παπα∈=，则tan 2α= P120 5．(08年陕西1)sin 330= P121例4 已知π1tan 42α⎛⎫+= ⎪⎝⎭．（1）求tan α的值；（2）求2sin 2cos 1cos 2ααα-+的值．1.（09北京文）若4sin ,tan 05θθ=->，则cos θ= . 2.α是第三象限角，21)sin(=-πα，则αcos = )25cos(απ+= 4.（07重庆）下列各式中，值为23的是 ( ) （A ）2sin15cos15︒︒ （B ）︒-︒15sin 15cos 22（C ）115sin 22-︒（D ）︒+︒15cos 15sin 22 题型二 最值或值域问题例5若函数21cos 2π()sin sin π42sin 2x f x x a x x +⎛⎫=+++ ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭3，试确定常数a 的值．1.（09福建）函数()sin cos f x x x =最小值是 ．2.（09江西）若函数()(1)cos f x x x =+，02x π≤<，则()f x 的最大值为3.（08海南）函数()cos 22sin f x x x =+的最小值为 最大值为 ． 4．（06年福建）已知函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值是2-，则ω的最小值等于5.（08辽宁）设02x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，则函数22sin 1sin 2x y x +=的最小值为 ．7.若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，则MN 的最大值为（ ） A ．1BCD ．28.函数2()sin cos f x x x x =+在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是( )A.1C.32题型一 三角不等式问题 5.若02,sin απαα≤≤>，则α的取值范围是：( ) （Ａ）,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭ （Ｂ）,3ππ⎛⎫⎪⎝⎭ （Ｃ）4,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ （Ｄ）3,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭题型一 三角函数图像问题1．（07宁夏、海南卷）函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪在区间ππ2⎡⎤⎢⎥⎦，的简图是 （xy yＡ．Ｂ．2（浙江卷7）在同一平面直角坐标系中，函数])20[)(232cos(ππ，∈+=x x y 的图象和直线21=y 的交点个数是 （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）43.已知函数y=2sin(ωx+φ)(ω>0)在区间[0，2π]的图像如下：那么ω=A. 1B. 2C. 1/2D. 1/34．（2006年四川卷）下列函数中，图象的一部分如右图所示的是 （ ）（A ）sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ （B ）sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭（C ）cos 43y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ （D ）cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭6．(2010·全国Ⅱ)为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象，只需把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象 ( )A ．向左平移π4个长度单位B ．向右平移π4个长度单位C ．向左平移π2个长度单位 D ．向右平移π2个长度单位7．已知函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π12cos ⎝⎛⎭⎫x －π12，则下列判断正确的是 ( ) A ．此函数的最小正周期为2π，其图象的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫π12，0 B ．此函数的最小正周期为π，其图象的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫π12，0 C ．此函数的最小正周期为2π，其图象的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫π6，0D ．此函数的最小正周期为π，其图象的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫π6，0题型一 单调性问题例1 写出函数24sin cos cos y x x x x =+-在[]0π，上的单调递增区间．三.单调性1.（04天津）函数]),0[()26sin(2ππ∈-=x x y 为增函数的区间是 （ ）A. ]3,0[πB. ]127,12[ππC. ]65,3[ππ D. ],65[ππ 2.函数sin y x =的一个单调增区间是 （ ） A ．ππ⎛⎫- ⎪44⎝⎭， B ．3ππ⎛⎫ ⎪44⎝⎭，C ．3π⎛⎫π ⎪2⎝⎭，D ．32π⎛⎫π⎪2⎝⎭，3.函数()sin ([,0])f x x x x π=∈-的单调递增区间是 （ ） A ．5[,]6ππ--B ．5[,]66ππ--C ．[,0]3π-D ．[,0]6π- 4．（07天津卷） 设函数()sin ()3f x x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ，则()f x （ ）A ．在区间2736ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是增函数B ．在区间2π⎡⎤-π-⎢⎥⎣⎦，上是减函数 C ．在区间43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是增函数D ．在区间536ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数5.函数22cos y x =的一个单调增区间是 ( )A ．(,)44ππ-B ．(0,)2πC ．3(,)44ππD ．(,)2ππ6．若函数f (x)同时具有以下两个性质：①f (x)是偶函数，②对任意实数x ，都有f (x +4π)=f (x -4π)，则f (x)的解析式可以是 （ ）A ．f (x)=cosxB ．f (x)=cos(2x 2π+) C ．f (x)=sin(4x 2π+) D ．f (x) =cos6x题型二 图象变换问题例2 已知函数22sin 2sin cos 3cos 1y x x x x =++-，x ∈R ．该函数的图象可由sin y x =，x ∈R 的图象经过怎样的变换而得到？6．将函数x x y cos 3sin -=的图像向右平移了n 个单位，所得图像关于y 轴对称，则n 的最小正值是A ．6π7 B ．3π C ．6π D ．2π 1.（08福建）函数y =cos x (x ∈R)的图象向左平移2π个单位后，得到函数y=g(x )的图象，则g(x )的解析式为2.（08天津）把函数sin y x =（x R ∈）的图象上所有点向左平行移动3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是3.(09山东)将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是4.（1）（07山东）要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos y x π⎛⎫=- ⎪3⎝⎭的图象向 平移 个单位5.（2009天津卷文）已知函数)0,)(4sin()(>∈+=w R x wx x f π的最小正周期为π，将)(x f y =的图像向左平移||ϕ个单位长度，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的一个值是（ ）A 2πB 83πC 4π D8π 6.将函数 y = 3 cos x －sin x 的图象向左平移 m （m > 0）个单位，所得到的图象关于 y 轴对称，则 m 的最小正值是 （ ）A. π6B. π3 C. 2π3D. 5π67.函数f (x )=cos x (x )(x ∈R)的图象按向量(m,0) 平移后，得到函数y =-f ′(x )的图象，则m 的值可以为 ( )A.2πB.πC.－πD.－ 2π8．将函数y=f （x ）sinx 的图象向右平移4π个单位，再作关于x 轴的对称曲线，得到函数y=1－2sin 2x 的图象，则 f （x）是A ．cosxB ．2cosxC ．SinxD ．2sinx 9．若函数()θ+=x y sin 2的图象按向量)2,6(π平移后，它的一条对称轴是4π=x ，则θ的一个可能的值是 A ．125π B ．3π C ．6π D ．12π题型三 最小正周期问题例3 函数42sin cos y x x =+的最小正周期为（ ）．（Ａ）π4 （Ｂ）π2（Ｃ）π （Ｄ）2π 1．（07江苏卷）下列函数中，周期为2π的是 （ ）A ．sin 2x y =B ．sin 2y x =C ．cos 4xy = D ．cos 4y x =2.（08江苏）()cos 6f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期为5π，其中0ω>，则ω= 3.（04全国）函数|2sin |x y =的最小正周期是（ ）.4.（1）（04北京）函数x x x f cos sin )(=的最小正周期是 .（2）（04江苏）函数)(1cos 22R x x y ∈+=的最小正周期为（ ）. 5.（1）函数()sin 2cos 2f x x x =-的最小正周期是(2)（09江西文）函数()(1)cos f x x x =+的最小正周期为 (3). （08广东）函数()(sin cos )sin f x x x x =-的最小正周期是 ． (4)（04年北京卷.理9）函数x x x x f cos sin 322cos )(-=的最小正周期是 . 6.(09年广东文)函数1)4(cos 22--=πx y 是 ( )A ．最小正周期为π的奇函数 B. 最小正周期为π的偶函数 C. 最小正周期为2π的奇函数 D. 最小正周期为2π的偶函数7.（浙江卷2）函数2(sin cos )1y x x =++的最小正周期是 .8．函数21()cos (0)3f x x =->的周期与函数()tan 2xg x =的周期相等，则等于（ ）(A)2 (B)1 (C)12 ( D)141.（08安徽）函数sin(2)3y x π=+图像的对称轴方程可能是 （ ）A ．6x π=-B ．12x π=-C ．6x π=D ．12x π=2．下列函数中，图象关于直线3π=x 对称的是 （ ）A )32sin(π-=x y B )62sin(π-=x y C )62sin(π+=x y D )62sin(π+=x y 3．（07福建）函数πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象（ ）Ａ．关于点π03⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称 Ｂ．关于直线π4x =对称 Ｃ．关于点π04⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称 Ｄ．关于直线π3x =对称 4.（09全国）如果函数3cos(2)y x φ=+的图像关于点4(,0)3π中心对称，那么φ的最小值为 （ ） (A)6π (B) 4π (C) 3π (D) 2π5．已知函数y=2sinwx 的图象与直线y+2=0的相邻两个公共点之间的距离为32π，则w 的值为（ ）A ．3B ．23 C ．32D ．31八..综合1. （04年天津）定义在R 上的函数)(x f 既是偶函数又是周期函数，若)(x f 的最小正周期是π，且当]2,0[π∈x 时，x x f sin )(=，则)35(πf 的值为 2．(04年广东)函数f(x)22sin sin 44f x x x ππ=+--（）（）（）是（ ）A ．周期为π的偶函数B ．周期为π的奇函数C ． 周期为2π的偶函数D ．.周期为2π的奇函数3．（ 09四川）已知函数))(2sin()(R x x x f ∈-=π，下面结论错误．．的是( )A. 函数)(x f 的最小正周期为2πB. 函数)(x f 在区间［0，2π］上是增函数 C.函数)(x f 的图象关于直线x ＝0对称 D. 函数)(x f 是奇函数 4．(07安徽卷) 函数)32sin(3)(π-=x x f 的图象为C , 如下结论中正确的是①图象C 关于直线π1211=x 对称; ②图象C 关于点)0,32(π对称;③函数125,12()(ππ-在区间x f )内是增函数;④由x y 2sin 3=的图象向右平移3π个单位长度可以得到图象C.5.（08广东卷）已知函数2()(1cos 2)sin ,f x x x x R =+∈，则()f x 是（ ）A 、最小正周期为π的奇函数B 、最小正周期为2π的奇函数 C 、最小正周期为π的偶函数 D 、最小正周期为2π的偶函数6.在同一平面直角坐标系中，函数])20[)(232cos(ππ，∈+=x x y 的图象和直线21=y 的交点个数是C（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）4 7．已知函数()2sin()f x x ωϕ=+对任意x 都有()()66f x f x ππ+=-，则()6f π等于（ ）A 、2或0B 、2-或2C 、0D 、2-或0 九.解答题1.（06福建文）已知函数22()sin cos 2cos ,.f x x x x x x R =+∈（I ）求函数()f x 的最小正周期和单调增区间；（II ）函数()f x 的图象可以由函数sin 2()y x x R =∈的图象经过怎样的变换得到？2.已知函数2π()sin sin 2f x x x x ωωω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（0ω>）的最小正周期为π． （Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间2π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的取值范围．3.已知函数()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ=-+-+（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程 （Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]122ππ-上的值域 4.（2009陕西卷） 已知函数()sin(),f x A x x R ωϕ=+∈（其中0,0,02A πωϕ>><<）的周期为π，且图象上一个最低点为2(,2)3M π-. (Ⅰ)求()f x 的解析式； （Ⅱ）当[0,]12x π∈，求()f x 的最值.。
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人教版数学必修四三角函数复习讲义本页仅作为文档页封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March第一讲 任意角与三角函数诱导公式1. 知识要点 角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。
按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。
射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。
象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。
如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。
终边相同的角的表示：α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)⇔2()k k αθπ=+∈Z 。
注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.α终边在x 轴上的角可表示为：,k k Z απ=∈； α终边在y 轴上的角可表示为：,2k k Z παπ=+∈；α终边在坐标轴上的角可表示为：,2k k Z πα=∈. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.α与2α的终边关系：任意角的三角函数的定义:设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是0r =>，那么sin ,cos y x rrαα==，()tan ,0y x x α=≠，cot x y α=(0)y ≠，sec rxα=()0x ≠，()csc 0r y y α=≠。
三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。
三角函数线的特征：正弦线MP“站在x 轴上(起点在x 轴上)”、余弦线OM“躺在x 轴上(起点是原点)”、正切线AT“站在点(1,0)A 处(起点是A )”同角三角函数的基本关系式：1. 平方关系：222222sin cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+=2. 倒数关系：sin αcsc α=1,cos αsec α=1,tan αcot α=1,3. 商数关系：sin cos tan ,cot cos sin αααααα==注意：1.角α的任意性。
2.同角才可使用。
3.熟悉公式的变形形式。
三角函数诱导公式：“ （2k πα+）”记忆口诀: “奇变偶不变，符号看象限”典型例题例1．求下列三角函数值： （1）cos210º； (2)sin45π例2．求下列各式的值： （1）sin(－34π)； (2)cos(－60º)－sin(－210º)例3．化简 )180sin()180cos()1080cos()1440sin(︒--⋅-︒-︒-⋅+︒αααα例4．已知cos(π+α)=－21，23π<α<2π，则sin(2π－α)的值是（ ）．(A)23(B) 21 (C)－23 (D)±23 例5、求证： )2cos()5cos()2sin()4sin()cot()2tan()23cos()2sin(απαπαπαπαπαπαπαπ+-+--=+-+---+k k k例6 的值。
求)4(cos )4(cos 22α+π+α-π例7 )(sin ,17cos )(cos x f x x f 求若=课后练习1.在直角坐标系中，若角α与β终边互为反向延长线，α与β之间的关系是（ ）A ．αβ=B ．()2k k Z απβ=+∈C ．απβ=+D ．()()21k k Z απβ=++∈2.圆内一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角是（ ） A ．等于1弧度 B ．大于1弧度 C ．小于1弧度 D ．无法判断3. 角α的终边上有一点P (a ，a )，a ∈R ，且a ≠0，则sin α的值是( )A ．22 B ．-22 C ．±22D ．14. α是第二象限角，其终边上一点P （x ，5），且cos α＝42x ，则sin α的值为（ ） A ．410 B ．46 C ．42D ．－4105.设角α是第二象限角，且|cos 2α|＝－cos 2α，则角2α是（ ）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角6. 已知45cos sin -=-αα，则ααcos sin •等于（ ）A ．47B ．－169C ．－329D ．3297. 函数x x x x y sin cos 1cos sin 122-+-=的值域是（ ）A ．｛0，2｝B ．｛－2，0｝C ．｛－2，0，2｝D ．｛－2，2｝8. 化简4cos 4sin 21-的结果是（ ）A 、4cos 4sin +B 、4cos 4sin -C 、4sin 4cos -D 、4cos 4sin -- 9. 若2cos sin =+αα，则ααcot tan +等于（ ） A 、1 B 、2 C 、-1 D 、-210. 若A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，则下列等式成立的是（ ） A 、A C B sin )sin(=+ B 、A C B cos )cos(=+ C 、A C B tan )tan(=+ D 、A C B cot )cot(=+11. 若101)sin(=+απ，则)270cos()540csc()90sin()sec(︒︒︒------+-αααα的值是（ ） A 、31- B 、271±C 、31D 、33-12. 若θsin 、θcos 是关于x 的方程0242=++m mx x 的两个实根，则m 值为（ ）A 、⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∈0,34m B 、51-=m C 、51±=m D 、51+=m 13. .定义在R 上的函数f （x ）既是偶函数又是周期函数.若f （x ）的最小正周期是π，且当x ∈［0，2π］时，f （x ）=sin x ，则f （3π5）的值为( ) A.－21B.21C.－23D.2314. 函数lg(2cos y x =的单调递增区间为 ( ) ． A ．(2,22)()k k k Z ππππ++∈B ．11(2,2)()6k k k Z ππππ++∈ C ．(2,2)()6k k k Z πππ-∈ D ．(2,2)()6k k k Z πππ+∈15. 下列说法只不正确的是 ( )A ．正弦函数、余弦函数的定义域是R ，值域是[-1，1]；B ．余弦函数当且仅当x =2kπ( k ∈Z) 时，取得最大值1；C ．余弦函数在[2kπ+2π,2kπ+32π]( k ∈Z)上都是减函数；D ．余弦函数在[2kπ-π,2kπ]( k ∈Z)上都是减函数16. 若a =sin 460,b =cos 460,c =tan360，则a 、b 、c 的大小关系是( ) A ． c > a > b B. a > b > c C. a >c > b D. b > c > a18. 若α是第四象限角，则απ-是 （ ）A ． 第一象限 B.第二象限 C. 第三象限期 D.第四象限19.若0cos 3sin =+αα，则ααααsin 3cos 2sin 2cos -+的值为 .20.sin49πtan 37π= _________ 21.若α是第二象限的角，则2α是第 象限的角。
22.若θ角的终边与85π角的终边相同，则在[]0,2π上终边与4θ的角终边相同的角为 ；23.终边在x 轴上的角的集合为 ，终边在y 轴上的角的集合为 ，终边在坐标轴上的角的集合为 。
24. 已知x xx f +-=11)(，若⎪⎭⎫ ⎝⎛∈ππα，2，求)cos ()(cos αα-+f f 的值。
25. 已知21)sin(=+απ，求απααπcos )cot()2sin(⋅---的值.26. 已知：21cos sin =+αα，求θθ33cos sin +和θθ44cos sin +的值。
27. 若cos α＝23，α是第四象限角，求sin(2)sin(3)cos(3)cos()cos()cos(4)απαπαππαπααπ-+--------的值第二讲 三角函数的图像与性质1．函数B x A y ++=)sin(ϕω），（其中00>>ωA 最大值是B A +，最小值是A B -，周期是ωπ2=T ，频率是πω2=f ，相位是ϕω+x ，初相是ϕ；其图象的对称轴是直线)(2Z k k x ∈+=+ππϕω，凡是该图象与直线B y =的交点都是该图象的对称中心。
2．由y ＝sin x 的图象变换出y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。
3．由y ＝A sin(ωx ＋ϕ)的图象求其函数式： 4．五点法作y =A sin （ωx +ϕ）的简图： 典例解析例1．（2000全国，5）函数y ＝－xc os x 的部分图象是（ ）函数sin y x =cos y x =tan y x =图象定义域 RR{|,}2x x k k Z ππ≠+∈值域 [1,1]-[1,1]-R 奇偶性 奇函数偶函数奇函数最小正周期 22T ππω；＝22T ππω；＝T ππω；＝对称轴,2x k k Z ππ=+∈ ,x k k Z π=∈无对称中心(,0),k k Z π∈ (,0),2k k Zππ+∈(,0),2k k Z π∈ 单调递 增区间 [2,2],22k k k Z ππππ-++∈[2,2],k k k Z πππ-+∈ (,),22k k k Z ππππ-++∈ 单调递 减区间 3[2,2],22k k k Z ππππ++∈[2,2],k k k Z πππ+∈无例2．试述如何由y =31sin （2x +3π）的图象得到y =sin x 的图象。
例3．（2003上海春，15）把曲线yc os x +2y －1=0先沿x 轴向右平移2π个单位，再沿y 轴向下平移1个单位，得到的曲线方程是（ ）A ．（1－y ）sin x +2y －3=0B ．（y －1）sin x +2y －3=0C ．（y +1）sin x +2y +1=0D．－(y +1)sin x +2y +1=0例4．（2003上海春，18）已知函数f （x ）=A sin （ωx +ϕ）（A >0，ω>0，x ∈R ）在一个周期内的图象如图所示，求直线y =3与函数f （x ）图象的所有交点的坐标。