四种命题的真假关系

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a＜ b
a 同时 b
a＜ b
b
说明： 1．上面的间接法就是以前的反证法； 2．针对若 p 则 q 的命题，利用反证法证明时，由┐q 推出┐p 很明显，也
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很能说明反证法的原理就是逆否命题和原命题同真的原理； 3．但是对于一些诸如“证明 2 是无理数”这些命题，没有明显的若 p 则 q 的形式，也可以利用反证法证明，同时原理也是逆否命题的原理，只不 过我们看不到明显的条件和结论，此时我们将反证法的一般步骤可以推广 如下： 应用反证法证明的一般步骤： （1）假设命题的结论不成立即提出命题的否定； （2）进行一系列的推理； （3）在推理过程中出现下列情况中的一种： ①与已知条件矛盾； ②与定义，公理矛盾； ③与已知定理，公式矛盾； ④与假设自相矛盾。 （4）由于上述矛盾的出现，可以断言，原来的假定是错误的； （5）肯定原来命题的结论是正确的。
评注：正确的是： （3） （1） (1)真命题的个数为：0，2，4 个； (2)逆命题和否命题之间互为逆否命题，所以真假相同； (3)利用四种命题之间的关系； (4)不一定，因为它们之间真假没有必然联系； (5)错误，同第（2）命题的原理。 3．命题“两条对角线不相等的四边形不是平行四边形。”是命题“平行四 边形的两条对角线相等。”的（ B ） A.逆命题 B.逆否命题 C.否命题 D.非四种命题关系
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评注： （1）逆命题：若 x2-9x+18=0，则 x=3；假 （2）否命题：若 x≠3，则 x2-9x+18≠0；假 （3）逆否命题：若 x2-9x+18≠0，则 x≠3；真 6．写出下列命题的逆命题，否命题和逆否命题，并判断真假。 (1)若 m≤0 或 n≤0,则 m+n≤0； (2)已知 a，b 是实数，若 a+b 是无理数，则 a，b 都是无理数； (3)若 x +y =0,则 x，y 全为零。 答案： (1)逆命题：若 m+n≤0，则 m≤0 或 n≤0；真 否命题：若 m＞0 且 n＞0,则 m+n＞0；真 逆否命题：若 m+n＞0,则 m＞0 且 n＞0；假 (2)逆命题：已知 a，b 是实数，若 a，b 都是无理数，则 a+b 是无理数； 假 （ a 1 3; b 1 3 ）
否命题：当 x∈R 时，若 f(x)不过原点，则 f(x)不是奇函数； 真 逆否命题：当 x∈R 时，若 f(x)不是奇函数，则 f(x)不过原点。假 问题 1：由上面 3 个题目，你能总结出什么结论么？
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一．四种命题之间的真假关系 (1)两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性； (2)两个命题互为否命题或互为逆命题，它们的真假性没有关系。 课堂练习 1．若命题 p 的否命题为 r，命题 r 的逆命题为 s，则命题 p 的逆命题 t 与 s 的关系是（ B ） A.互为逆命题 B.互为否命题 C.互为逆否命题 D.同一个命题
评注：真命题为：① ② ①逆命题为：三个内角为 60 的三角形为等边三角形； ②原命题为真，所以逆否命题为真； ③否命题为：若两个三角形不是全等三角形，则它们的面积不相等； ④否命题为：若 ab=0，则 a=0。 5．命题“若 x=3，则 x -9x+18=0”的逆命题，否命题和逆否命题中，假命 题的个数为（ C ） A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个
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否命题：已知 a，b 是实数，若 a+b 不是无理数，则 a，b 不都是无理数； 假 (此时两个数都不是无理数)
逆否命题：已知 a，b 是实数，若 a，b 不都是无理数，则 a+b 不是无理数； 假 (3)逆命题：若 x，y 全为零，则 x +y =0；真 否命题：若 x +y ≠0,则 x，y 不全为零；真 逆否命题：若 x，y 不全为零，则 x +y ≠0；真
逆否命题：若 y≤x，则 x≥y。 真 (2)原命题：若 a=0，则 ab=0； 逆命题：若 ab=0，则 a=0； 否命题：若 a≠0，则 ab≠0； 真 假 假
逆否命题：若 ab≠0，则 a≠0。 真 (3)原命题：当 x∈R 时，若 f(x)过原点，则 f(x)是奇函数； 逆命题：当 x∈R 时，若 f(x)是奇函数，则 f(x)过原点； 假 真
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评注： “全为零”的否定应该是“不全为零” ，而不是“全不为零”“都是” ； 的否定为“不都是” ，而不是“都不是”“均为”的否定是“不均为” ； 。注 意掌握一些关键词的否定。 （如图所示，x,y 全为零的否定即是它的补集， 不全为零。 ）
x0 x=0 x=0 x0 y0 y0 y=0 y=0
评注：利用四种命题之间的关系解答。 2．下列说法： (1)四种命题中真命题的个数一定是偶数； (2)若一个命题的逆命题是真命题,则它的否命题不一定是真命题； (3)逆命题与否命题之间是互为逆否关系； (4)若一个命题的逆否命题是假命题,则它的逆命题与否命题都是假命题； (5)一个命题的否命题为真,它的逆命题一定为假。 其中正确的个数有( B ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
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x +y >0， 这与已知条件矛盾，所以 x=y=0。 小结： (1)应用间接法证明的原理： 证明原命题的逆否命题是真命题。 (2)应用间接法证明的一般步骤： 求证：若 p 则 q。 ①假设原命题的结论不成立即┐q，作为逆否命题的条件； ②从逆否命题的条件┐q 出发进行一系列的推理，得到某个结论 m，此时 说明若┐q 则 m 一定是正确的，因为我们是经过推理的； ③若 m 与已知条件矛盾即 m=┐p，恰好就是原命题条件的否定，也就是 说我们得到的正确命题恰好是原命题的逆否命题，所以原命题正确。 (3) 适宜用反证法证明的数学命题： ①结论本身是以否定形式出现的命题； ②有关结论是以“至多„.”或“至少„”的形式出现的命题； ③关于唯一性，存在性的命题； ④结论的反面比原结论更具体更容易研究的命题。 例 1：求证：若 a>b>0，则 a ＞ b 。 证明：假设 a 不大于 b ，那么 a ＜ b ，或者 a = b 因为 a>b>0，所以 a ＜ b （1） a ＜ b 所以 a 所以 a＜b； （2） a = b 所以 a=b。 这些都与已知条件 a>b>0 矛盾，所以 a ＞ b 。 评述：矛盾的出现是在推理过程中与已知条件矛盾了。
二．关键词的否定 关键词 大（小）于 是 全为 都是 有 任何 所有的 至少一个 至多一个 均为 p或q p且q 否定 不大（小）于 不是 不全为 不都是 无 某些 有一个 一个也没有 至少两个 不均为 ┐p 且┐q ┐p 或┐q
引例 2：证明：若 x +y =0，则 x=y=0。 分析：将“若 x +y =0，则 x=y=0”视为原命题，要证明原命题为真命题， 则可以证明它的逆否命题“若 x 和 y 至少有一个不等于 0，则 x +y ≠0”是 真命题，因此我们可以由“若 x 和 y 至少有一个不等于 0”出发，经过正 确的推理得到一个结论 m，此时逆否命题是我们经过严格推理得到的，因 此一定是正确的， m 与 x +y =0 矛盾的结论， 若 恰好我们得到的是逆否命题， 又因为逆否命题一定是正确的，所以原命题也正确。 证明：假设 x,y 至少有一个不等于 0，不妨设 x≠0，则 x >0，所以
任课教师 教学目标：
白杰
授课班级
高二(9)、(10)班
授课日期
10.8
教学课题：四种命题的真假关系
1，正确理解四种命题之间的真假关系； 2，会应用它们之间的真假关系处理问题； 3，培养学生逻辑推理能力。 教学方法：讲授法、讲练结合、探究法、自学法 教学重点：正确理解四种命题之间的真假关系 教学难点：会应用它们之间的真假关系处理问题 教学用具：PPT 教学内容 师 生 活 动 复习回顾 1．四种命题的形式是什么？ 2．四种命题的基本关系是什么？ 引例 1：写出下列命题的逆命题，否命题和逆否命题，并判断它们的真假： (1)若 x<y，则 y>x； (2)若 a=0，则 ab=0； (3)当 x∈R 时，若 f(x)过原点，则 f(x)是奇函数。 解：(1)原命题：若 x<y，则 y>x； 逆命题：若 y>x，则 x<y； 否命题：若 x≥y，则 y≤x； 真 真 真 备注
课堂小结：
ห้องสมุดไป่ตู้
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评注：写成若 p 则 q 的形式。 4．下列命题： ①“等边三角形的三内角均为 60 ”的逆命题; ②“若 k>0,则方程 x +2x-k=0 有实根”的逆否命题; ③“全等三角形的面积相等”的否命题; ④“若 ab≠0,则 a≠0”的否命题.
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其中真命题的个数是( C ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个