一元二次方程的意义及解法
一元二次方程的几何意义
一元二次方程的几何意义一元二次方程是一种常见的数学表达式，具有重要的几何意义。
通过了解一元二次方程的几何意义，我们可以更好地理解方程的解和图像之间的关系。
本文将探讨一元二次方程的几何意义，并分析其在几何学中的应用。
1. 一元二次方程的定义和特点一元二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为实数且a ≠ 0。
这个方程的解是x的值，使得方程等式成立。
一元二次方程有以下几个重要特点：- 它是二次方程，最高次项是x的二次幂。
- 它只有一个未知数x。
- 它的系数a、b、c可以是实数，但a不能为0。
2. 一元二次方程的几何意义一元二次方程的几何意义体现在其解和图像之间的关系上。
一元二次方程在平面直角坐标系上对应着一条曲线，称为抛物线。
抛物线是一种拱形曲线，具有以下几个特点：- 抛物线关于y轴对称。
当a为正数时，抛物线开口朝上；当a为负数时，抛物线开口朝下。
- 抛物线的顶点为(xv, yv)，其中xv = -b/(2a)，yv = f(xv)，f(x)表示方程的右侧。
- 抛物线与x轴的交点为方程的根。
当方程有实根时，抛物线与x轴有两个交点；当方程有重根时，抛物线与x轴有一个交点；当方程没有实根时，抛物线与x轴没有交点。
3. 一元二次方程在几何学中的应用一元二次方程在几何学中有广泛的应用。
以下是一些例子：- 平抛运动：在物理学中，对于一个自由下落的物体，其运动轨迹是一个抛物线。
通过建立一元二次方程，可以描述物体的运动状态，如抛体的高度、速度和时间的关系。
- 几何图形：一元二次方程可以用于描述几何图形的形状。
例如，通过变换一元二次方程的系数和常数项，可以得到不同类型的抛物线，如上开口、下开口、左右平移、纵轴伸缩等操作。
- 最优化问题：一元二次方程可以用于解决最优化问题。
例如，对于给定一元二次函数，通过求解方程的最值点，可以找到函数的最大值或最小值，从而解决实际问题中的优化需求。
综上所述，一元二次方程具有重要的几何意义。
一元二次方程的解法定理
一元二次方程的解法定理一、引言在数学中，解一元二次方程是一个基础与重要的问题。
为了找到方程的解，我们需要运用一些定理和方法。
本文将介绍一元二次方程的解法定理以及具体的解法方法。
二、一元二次方程的定义一元二次方程是指形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c是已知系数，且a≠0。
三、一元二次方程的解法定理一元二次方程的解法定理是指：对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，它的解可根据判别式Δ=b²-4ac的值来分类。
1. 当Δ>0时，方程有两个不相等的实根；2. 当Δ=0时，方程有两个相等的实根；3. 当Δ<0时，方程没有实根，但有两个共轭复数根。
四、一元二次方程的解法方法根据一元二次方程的解法定理，我们可以采取不同的解法方法来求解方程。
1. 当Δ>0时，方程有两个不相等的实根。
此时，我们可以使用求根公式x=(-b±√Δ)/(2a)来求解。
其中，±代表两个不同的解。
2. 当Δ=0时，方程有两个相等的实根。
此时，我们同样可以使用求根公式x=(-b±√Δ)/(2a)来求解，并且由于Δ=0，所以解是重复的。
3. 当Δ<0时，方程没有实根，但有两个共轭复数根。
此时，我们可以使用公式x=-b/(2a)±(√-Δ/(2a))来求解，其中√-Δ表示二次方程中的虚根。
五、实例分析为了更好地理解一元二次方程的解法定理及解法方法，我们来看一个具体的实例：考虑方程2x^2 + 5x + 2 = 0，我们可以求解该方程的解。
首先，根据判别式Δ=b²-4ac，我们可以计算Δ=5²-4*2*2=1。
由于Δ>0，所以方程有两个不相等的实根。
接下来，根据求根公式x=(-b±√Δ)/(2a)，我们可以计算出两个实根：x=(-5+√1)/(2*2)=-3/2和x=(-5-√1)/(2*2)=-1。
一元二次方程及其解法(一)特殊的一元二次方程的解法—知识讲解
一元二次方程及其解法（一）特殊的一元二次方程的解法—知识讲解（基础）【学习目标】1．理解一元二次方程的概念和一元二次方程根的意义，会把一元二次方程化为一般形式；2．掌握直接开平方法和因式分解法解方程，会应用此判定方法解决有关问题；3．理解解法中的降次思想，直接开平方法和因式分解法中的分类讨论与换元思想.【要点梳理】要点一、一元二次方程的有关概念1．一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．要点诠释：识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.2．一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．要点诠释：(1)只有当时，方程才是一元二次方程；(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.4.一元二次方程根的重要结论（1）若a+b+c=0,则一元二次方程必有一根x=1；反之也成立，即若x=1是一元二次方程的一个根，则a+b+c=0.（2）若a-b+c=0,则一元二次方程必有一根x=-1；反之也成立，即若x=-1是一元二次方程的一个根，则a-b+c=0.（3）若一元二次方程有一个根x=0，则c=0；反之也成立，若c=0，则一元二次方程必有一根为0.要点二、特殊的一元二次方程的解法1．直接开方法解一元二次方程：(1)直接开方法解一元二次方程：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.(2)直接开平方法的理论依据：平方根的定义.(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解.若，则；表示为，有两个不等实数根；若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根；若，则方程无实数根．②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是.要点诠释：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.2.因式分解法解一元二次方程（1）用因式分解法解一元二次方程的步骤①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次式的积；③令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.（2）常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.要点诠释：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.【典型例题】类型一、关于一元二次方程的判定1．判定下列方程是不是一元二次方程:(1)； (2)．【答案】（1）是；（2）不是.【解析】(1)整理原方程，得，所以． 其中，二次项的系数，所以原方程是一元二次方程． (2)整理原方程，得，所以 ． 其中，二次项的系数为，所以原方程不是一元二次方程．【总结升华】识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.举一反三：【变式】判断下列各式哪些是一元二次方程．①21x x ++；②2960x x -=；③ 2102y =；④215402x x -+=； ⑤ 2230x xy y +-=；⑥ 232y =；⑦ 2(1)(1)x x x +-=．【答案】②③⑥.【解析】①21x x ++不是方程；④215402x x -+=不是整式方程；⑤ 2230x xy y +-=含有2个未知数，不是一元方程；⑦ 2(1)(1)x x x +-=化简后没有二次项，不是2次方程. ②③⑥符合一元二次方程的定义．类型二、一元二次方程的一般形式、各项系数的确定2.把下列方程中的各项系数化为整数，二次项系数化为正数，并求出各项的系数：(1)-3x 2-4x+2=0； (2)．【答案与解析】(1)两边都乘-1，就得到方程3x 2+4x-2=0．各项的系数分别是： a=3，b=4，c=-2．(2)两边同乘-12，得到整数系数方程6x 2-20x+9=0．各项的系数分别是：．【总结升华】一般地，常根据等式的性质把二次项的系数是负数的一元二次方程调整为二次项系数是正数的一元二次方程；把分数系数的一元二次方程调整为整数系数的一元二次方程．值得注意的是，确定各项的系数时，不应忘记系数的符号，如(1)题中c=-2不能写为c=2，(2)题中不能写为．举一反三：【变式】将下列方程化为一元二次方程一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项：（1）2352x x =-； （2）(1)(1)2a x x x +-=-．【答案】（1）235+2=0x x -，二次项系数是3、一次项系数是-5、常数项是2.（2）(1)(1)2a x x x +-=-化为220,ax x a +--=二次项系数是a 、一次项系数是1、常数项是-a-2.类型三、一元二次方程的解（根）3. 如果关于x 的一元二次方程x 2+px+q ＝0的两根分别为x 1＝2，x 2＝1，那么p ，q 的值分别是( )A ．-3，2B ．3，-2C ．2，-3D ．2，3【答案】A ；【解析】∵ x ＝2是方程x 2+px+q ＝0的根，∴ 22+2p+q ＝0，即2p+q ＝-4 ①同理，12+p+q ＝0，即p+q ＝-1 ②联立①，②得24,1,p q p q +=-⎧⎨+=-⎩ 解之得：3,2.p q =-⎧⎨=⎩ 【总结升华】由方程根的定义得到关于系数的方程(组)，从而求出系数的方法称为待定系数法，是常用的数学解题方法．即分别用2，1代替方程中未知数x 的值，得到两个关于p 、q 的方程，解方程组可求p 、q 的值．类型四、用直接开平方法解一元二次方程4.解方程（1）3x 2-24=0； (2)5(4-3n)2=320．【答案与解析】（1）把方程变形为3x 2=24，x 2=8．开平方，得原方程的根为x=或x=-．(2)原方程可化为(4-3n)2=64，所以有4-3n=8或4-3n=-8．所以，原方程的根为n=-或n=4．【总结升华】应当注意，形如=k(k≥0)的方程是最简单的一元二次方程，“开平方”是解这种方程最直接的方法．“开平方”也是解一般的一元二次方程的基本思路之一．举一反三：【变式1】用直接开平方法求下列各方程的根：(1)x2=361；(2)2y2-72=0；(3)5a2-1=0；(4)-8m2+36=0．【答案】(1)∵ x2=361，∴ x=19或x=-19．(2)∵2y2-72=0，2y2=72，y2=36，∴ y=6或y=-6．(3)∵5a2-1=0，5a2=1，a2=，∴a=或a=-．(4)∵-8m2+36=0，-8m2=-36，m2=，∴m=或m=-．【变式2】解下列方程：(1)(x+5)2=225；(2)(3y-2)2=27； (3)3(b+4)2=96.【答案】(1)∵ (x+5)2=225，∴ x+5=15或x+5=-15．所以，原方程的根为x=10或x=-20．(2)∵ (3y-2)2=27，∴ 3y-2=或3y-2=-．所以，原方程的根为y=或y=．(3)原方程可化为(b+4)2=32，所以有b+4=或b+4=-．所以，原方程的根为b=-4+或b=-4-．类型五、因式分解法解一元二次方程5．用因式分解法解下列方程：(1)3(x+2)2＝2(x+2)； (2)(2x+3)2-25＝0．【答案与解析】(1)移项．得3(x+2)2-2(x+2)＝0，(x+2)(3x+6-2)＝0．∴ x+2＝0或3x+4＝0，∴ x 1＝-2，243x =-． (2)(2x+3-5)(2x+3+5)＝0，∴ 2x-2＝0或2x+8＝0，∴ x 1＝1，x 2＝-4．【总结升华】(1)中方程求解时，不能两边同时除以(x+2)，否则要漏解．用因式分解法解一元二次方程必须将方程右边化为零，左边用多项式因式分解的方法进行因式分解．因式分解的方法有提公因式法、公式法、二次三项式法及分组分解法．(2)可用平方差公式分解．6．解下列一元二次方程：(1)(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0； (2)(31)(1)(41)(1)x x x x --=+-．【答案与解析】(1)(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0，(2x+1+2)2＝0． 即2(23)0x +=，∴ 1232x x ==-． (2) 移项，得(3x-1)(x-1)-(4x+1)(x-1)＝0，即(x-1)(x+2)＝0，所以11x =，22x =-．【总结升华】解一元二次方程时，一定要先从整体上分析，选择适当的解法．如 (1)可以用完全平方公式．用含未知数的整式去除方程两边时，很可能导致方程丢根，（2）容易丢掉x ＝1这个根．举一反三：【变式】()()()21 85860;x x +-++= （2）3(21)42x x x +=+ 【答案】（1）（x+8-2）(x+8-3)=0(x+6)(x+5)=0X 1=-6,x 2=-5.(2)3x(2x+1)-2(2x+1)=0(2x+1)(3x-2)=0 1212,23x x =-=.。
第8课 一元二次方程的意义及解法
(2)解二元二次方程组的思想是“消元”，即把多元通过加减、
代入、换元等方法转化为一元方程来解，或“降次”利用因 式分解转化为二元一次方程组或一元一次方程来解．
[难点正本 疑点清源]
1．正确理解并掌握一元二次方程的概念 识别一元二次方程必须抓住三个条件： (1)整式方程；(2)含有一个未知数；(3)未知数的最高次数是2. 满足上述三个条件的方程才是一元二次方程，不满足其中任何一 个条件的方程都不是一元二次方程，即三个条件缺一不可． 在确定方程各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式， 指明各项系数时不要漏掉前面的符号．一元二次方程的一般形式 不是唯一的，但习惯上把二次项系数化为正整数．
(2)x2＋3x－4＝0(用配方法)；
解：x2＋3x－4＝0，x2＋3x＝4， 2＋3x＋ 9 ＝4＋ 9 ，(x＋ 3 )2＝ 25， x 4 4 4 2 3 5 3 5 x＋ ＝± ，x＝－ ± ， 2 2 2 2 ∴x1＝1，x2＝－4.
(3)x2－2x－8＝0(用因式分解法)；
解：x2－2x－8＝0，(x－4)(x＋2)＝0，
探究提高 解一元二次方程要根据方程的特点选择合适的方法解题， 但一般顺序为：直接开平方法→因式分解法→公式法．一般 没有特别要求的不用配方法． 知能迁移1 解方程：
(1)(2x－1)2＝9(用直接开平方法)； 解：(2x－1)2＝9,2x－1＝±3， 1± 3 ∴x＝ ，x1＝2，x2＝－1. 2
3．公式： 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式：
－b± b2－4ac (b2－4ac≥0)． x＝ 2a
4．简单的高次方程、二次根式方程的概念、解法：
(1)高次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数大
于2的整式方程． (2)无理方程：根号内含有未知数的方程．
一元二次方程的解法与性质
一元二次方程的解法与性质一元二次方程是数学中常见的方程形式，其解法和性质是初等代数中的重要知识点。
本文将介绍一元二次方程的解法和性质，并探讨其在实际问题中的应用。
一、一元二次方程的解法一元二次方程的一般形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知的实数系数，且a ≠ 0。
下面将介绍一元二次方程的解法。
1. 求解一元二次方程的根根据求根公式可得一元二次方程的根为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a。
其中，±表示两个根，分别对应正负号。
2. 判别式的作用一元二次方程的判别式为Δ=b^2-4ac，根据判别式可以判断方程有几个实根，以及根的性质。
- 当Δ>0时，方程有两个不相等的实根；- 当Δ=0时，方程有两个相等的实根；- 当Δ<0时，方程没有实根，但有两个共轭复根。
3. 几种特殊情况的解法- 当a=0时，方程变为一元一次方程，解法与一元一次方程相同；- 当b=0，且c≠0时，方程的解为x=±√(-c/a)，即只有一个实根；- 当c=0时，方程的解为x=0和x=-b/a，即有两个实根。
二、一元二次方程的性质1. 图像特征一元二次方程对应的函数图像是一个抛物线，其开口方向由二次项的系数a的正负确定。
当a>0时，抛物线开口朝上；当a<0时，抛物线开口朝下。
2. 对称性质一元二次方程的图像关于直线x = -b / (2a) 对称。
也就是说，对于方程y = ax^2 + bx + c，该抛物线上任意一点P(x1, y1)，若存在点Q(x2, y2)，则点Q关于直线x = -b / (2a)对称。
3. 零点性质一元二次方程的零点为方程的解，也就是使方程等于零的x值。
根据二次函数的图像特点，如果抛物线与x轴相交于两点，则方程有两个不相等的实根；如果抛物线与x轴相切于一个点，则方程有两个相等的实根；如果抛物线与x轴没有交点，则方程没有实根。
第四讲 一元二次方程的解法
第4讲 一元二次方程的解法一、一元二次方程的定义一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元 二次方程．一元二次方程的一般形式：20(0)ax bx c a ++=≠，a 为二次项系数，b 为一次项系数， c 为常数项．二、一元二次方程的解法：⑴直接开平方法：适用于解形如2()(0)x a b b +=≥的一元二次方程． ⑵配方法：解形如20(0)ax bx c a ++=≠的一元二次方程，一般步骤是：①二次项系数化1．②常数项右移．③配方(两边同时加上一次项系数一半的平方)．④化成2()x m n +=的形式．⑤若0n ≥，选用直接开平方法得出方程的解．⑶公式法：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的求根公式是x =． 运用公式法解一元二次方程的一般步骤是：①把方程化为一般形式②确定a 、b 、c 的值．③计算24b ac -的值．④若240b ac -≥，则代入公式求方程的根．⑤若240b ac -<，则方程无解．⑷因式分解法：适用于方程一边是零，另一边是一个易于分解的多项式．常用解法直接开方法，配方法，公式法，因式分解法．在具体解题时，应当根据题目的特点选择适当的解法．⑴ 因式分解法 适用于右边为0(或可化为0)，而左边易分解为两个一次因式积的方程，缺常数项或含有字母系数的方程用因式分解法较为简便，它是一种最常用的方法． ⑵ 公式法 适用于任何形式的一元二次方程，但必须先将方程化为一般形式，并计算24b ac -的值． ⑶ 直接开平方法 用于缺少一次项以及形如2ax b =或()()20x a b b +=≥或()2ax b +=()2cx d +的方程，能利用平方根的意义得到方程的解． ⑷ 配方法 配方法是解一元二次方程的基本方法，而公式是由配方法演绎得到的．把一元二次方程的一般形式20ax bx c ++=(a 、b 、c 为常数，0a ≠)转化为它的简单形式2Ax B =，这种转化方法就是配方，具体方法为：2ax bx c ++22222244424b b b b ac b a x x c a x a a a a a ⎛⎫⎛⎫-⎛⎫=+++-=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 所以方程20ax bx c ++=(a 、b 、c 为常数，0a ≠)就转化为224024b ac b a x a a -⎛⎫++= ⎪⎝⎭的形式，即222424b b ac x a a -⎛⎫+= ⎪⎝⎭，之后再用直接开平方法就可得到方程的解． 典例分析：知识点1：一元二次方程的定义 例1:（1）下列方程是一元二次方程的是（ ）A．x2+2y=1 B．x3﹣2x=3 C．x2+=5 D．x2=0（2）方程2x2﹣6x﹣5=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（）A．6、2、5 B．2、﹣6、5 C．2、﹣6、﹣5 D．﹣2、6、5（3）下面关于x的方程中：①（a2+1）x2+x+2=0；②3（x﹣9）2﹣（x+1）2=1；③x+3=；④x2﹣a=0（a为任意实数）；⑤x2﹣3x+8=（x+1）（x﹣1），一元二次方程的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4（4）已知关于x的一元二次方程（a﹣2）x2﹣（a2﹣4）x+8=0不含一次项，则a=．（5）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+m2﹣5m+4=0，常数项为0，则m值等于（）A．1 B．4 C．1或4 D．0（6）关于x的方程（4﹣a）x﹣ax﹣5=0是一元二次方程，则它的一次项系数是（）A．﹣1 B．1 C．4 D．4或﹣1（7）把方程（1﹣3x）（x+3）=2x2+1化为一元二次方程的一般形式，并写出二次项，一次项及常数项．（8）已知关于x的方程（2k+1）x2+k﹣4kx+（k﹣1）=0．（1）k为何值时，此方程是一元一次方程？求这个一元一次方程的根；（2）k为何值时，此方程是一元二次方程？写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项．知识点2:利用一元二次方程的根求值例2：（1）m是方程x2+x﹣1=0的根，则式子2m2+2m+2015的值为（）A．2013 B．2016 C．2017 D．2018（2）已知m是方程x2﹣2009x+1=0的一个根，则代数式m2﹣2008m++11的值等于（）A．2016 B．2017 C．2018 D．2019（3）若x0是方程ax2+2x+c=0（a≠0）的一个根，设M=1﹣ac，N=（ax0+1）2，则M与N的大小关系正确的为（）A．M＞N B．M=N C．M＜N D．不确定知识点3：一元二次方程的解法之直接开平方法例3：（1）若一元二次方程ax2=b（ab＞0）的两个根分别是m+1与2m﹣4，则=．（2）解方程：1. 16x2﹣81=0；2. x2﹣144=0．3.（x﹣1）2=9．4.（2x﹣3）2=9；5. 25x2+=5x6. x2﹣8x+16=（5﹣2x）2知识点4：一元二次方程的解法之配方法例4：（1）一元二次方程x2﹣6x﹣5=0配方可变形为（）A．（x﹣3）2=14 B．（x﹣3）2=4 C．（x+3）2=14 D．（x+3）2=4（2）已知方程x2﹣6x+q=0可以配方成（x﹣p）2=7的形式，那么x2﹣6x+q=2可以配方成下列的（）A．（x﹣p）2=5 B．（x﹣p）2=9 C．（x﹣p+2）2=9 D．（x﹣p+2）2=5（3）若方程4x2﹣（m﹣2）x+1=0的左边是一个完全平方式，则m的值是（）A．﹣6或﹣2 B．﹣2 C．6或﹣2 D．2或6（4）用配方法解下列方程，配方正确的是（）A．2y2﹣4y﹣4=0可化为（y﹣1）2=4 B．x2﹣2x﹣9=0可化为（x﹣1）2=8C．x2+8x﹣9=0可化为（x+4）2=16 D．x2﹣4x=0可化为（x﹣2）2=4（5）填上适当的数,使下列等式成立.(1)x2＋12x＋＝(x＋6)2;(2)x2-4x＋＝(x-)2;(3)x2＋8x＋＝(x＋)2.在上面等式的左边,常数项和一次项系数有什么关系?（6）用配方法解下列方程.(1)x2-4x＝5; (2)x2-100x-101＝0;(3)x2＋8x＋9＝0; (4)y2＋2y-4＝0.（7）用配方法解下列方程.(1)3x2-4x-2＝0;(2)2x2＋3x-2＝0;(3)4(x-3)2＝225;(4)2x2＋1＝3x;(5)3y2-y-2＝0; (6)3x2-4x＋1＝0;(7)2x2＝3-7x. (x-2)2-4(x-2)-5＝0（8）用配方法求解下列问题.(1)求—2x2-2x＋2的最大值;(2)求3x2＋4x＋5的最小值.知识点5：一元二次方程的解法之公式法例5：（1）用公式法解下列方程.(1)3x 2-x-2＝0; (2)2x 2＋1＝3x ; (3)4x 2-3x-1＝x-2; (4)3x (x-3)＝2(x-1)(x ＋1).(5) 25720x x -+= (6) 22310x x +-=（7）2362x x =- （8）2952n n =-知识点6：一元二次方程的解法之因式分解法例6：因式分解法解方程：（1）21904x -= （2）281030x x +-=（3）26x -= （4）2670x x --=（5）()()23430x x x -+-= （6）222320x mx m mn n -+--= (m 、n 为常数)知识点7：一元二次方程的解法的选用例7：选择适当的方法解一元二次方程（1）﹣3x 2+4x +1=0； （2）x （x +4）=﹣3（x +4）．（3）7x 2﹣23x +6=0． （4）（x ﹣1）（x +3）=12（5）（x+2）2=2（x2+3）（6）3x2+5（2x+1）=0．（7）5x2﹣4x﹣12=0 （8）2x2+x﹣6=0．知识点8：利用方程的解法解决综合问题例8:(1)用配方法说明：无论实数x取何值，代数式﹣2x2+8x﹣15的值为负，并求出当x取何值时代数式的值最大，最大是多少？（2）已知a、b、c是△ABC的三边的长，且满足2a2+b2+c2﹣2ac﹣8a﹣2b+17=0，试判断此三角形的形状．（3）若0是关于x的方程（m﹣2）x2+3x+m2+2m﹣8=0的解，求实数m的值，并讨论此方程解的情况．（4）已知x2+y2﹣6x+10y+34=0，求3x﹣2y的值夯实基础：1.方程（m﹣2）x2+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则（）A．m≠±2 B．m=2 C．m=﹣2 D．m≠22.用公式法解一元二次方程3x2﹣2x+3=0时，首先要确定a、b、c的值，下列叙述正确的是（）A．a=3，b=2，c=3 B．a=﹣3，b=2，c=3C．a=3，b=2，c=﹣3 D．a=3，b=﹣2，c=33.若关于x的一元二次方程x2﹣x﹣m=0的一个根是x=1，则m的值是（）A．1 B．0 C．﹣1 D．24.某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八，九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（）A．50+50（1+x2）=196 B．50+50（1+x）+50（1+x）2=196C．50（1+x2）=196 D．50+50（1+x）+50（1+2x）=1965.已知M=a﹣1，N=a2﹣a（a为任意实数），则M，N的大小关系为（）A．M＞N B．M=N C．M＜N D．不能确定6.把一元二次方程x（x+5）=5（x﹣2）化为一般形式；它的二次项系数为，一次项系数为，常数项为7.解方程（1）x2﹣10x+25=7．（2）2x2+3x﹣7=0（3）﹣x2+3x+4=2．（4）3x（x﹣1）=2﹣2x（5）x2+8x﹣9=0 （6）（x﹣3）2=（2x+1）28.已知关于x的方程22-=-是一元二次方程，求a的取值范围()(2)x a ax9.解方程:2560--=x x10.已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2=ab+bc+ac，试判断△ABC的形状．11.已知a2+b2+c2+ab﹣3b+2c+4=0，求a+b+c的值。
初三数学-一元二次方程知识点
初三数学一元二次方程1. 一元二次方程的定义及一般形式：（1） 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数式2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
（2） 一元二次方程的一般形式： 20(0)ax bx c a ++=≠。
其中a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。
注意：三个要点，①只含有一个未知数；②所含未知数的最高次数是2；③是整式方程。
2. 一元二次方程的解法（1）直接开平方法：形如2()(0)x a b b +=≥的方程可以用直接开平方法解，两边直接开平方得x a +=或者x a +=∴x a =-±注意：若b<0，方程无解（2）因式分解法：一般步骤如下： ①将方程右边得各项移到方程左边，使方程右边为0；②将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，他们的解就是原方程的解。
（3） 配方法:用配方法解一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的一般步骤①二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；②移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；③配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把方程化为2()(0)x m n n +=≥的形式；④用直接开平方法解变形后的方程。
注意：当0n <时，方程无解（4） 公式法：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠ 根的判别式：24b ac ∆=-0∆>⇔方程有两个不相等的实根:2b x a-±=240b ac -≥）⇔()f x 的图像与x 轴有两个交点0∆=⇔方程有两个相等的实根⇔()f x 的图像与x 轴有一个交点0∆<⇔方程无实根⇔()f x 的图像与x 轴没有交点3. 韦达定理（根与系数关系）我们将一元二次方程化成一般式ax 2+bx+c ＝0之后，设它的两个根是1x 和2x ，则1x 和2x 与方程的系数a ，b ，c 之间有如下关系： 1x +2x ＝b a -； 1x •2x ＝c a4.一元二次方程的应用列一元二次方程解应用题，其步骤和二元一次方程组解应用题类似①“审”，弄清楚已知量，未知量以及他们之间的等量关系； ②“设”指设元，即设未知数，可分为直接设元和间接设元；③“列”指列方程，找出题目中的等量关系，再根据这个关系列出含有未知数的等式，即方程。
一元二次方程概念及解法
一元二次方程一、一元二次方程的概念：1、定义：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程． 补充关于初中常见代数式：2、一元二次方程的一般式：例1．已知（m －1）x |m|+1+3x －2＝0是关于x 的一元二次方程，求m 的值.举一反三：【变式】若方程2(2)310m m x mx --=是关于x 的一元二次方程，求m 的值．3、一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.的两根求，，的两根分别为为常数方程已知关于0)2(1-2)0,,,(0)(22=+++≠=++b m x a a m b a b m x a xb a b b ax x x --=++求有一个非零根的一元二次方程关于,,02二、一元二次方程的解法1、基本思想：一元二次方程−−−→降次一元一次方程 2、常见解法：直接开平方法：模型)0(2≥=p p x因式分解理论基础：（1）提公因式法解方程： (1)3x+15＝-2x 2-10x ； (2)x 2-3x ＝(2-x)(x-3)．（2）运用公式完全平方公式：222()2a b a ab b ±=±+ 平方差公式：22()()a b a b a b +-=-三数和平方公式：2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++224(3)25(2)0x x ---= 22)25(96x x x -=+- 01442=++x x（3）十字相乘：化成标准形式之后“看两端，凑中间”模型一： （1）=0 （2）21016x x -+=0； （3）2310x x --=0模型二：(1) 21252x x --=0 (2) 22568x xy y +-=0配方法：0362=+-x x 01242=+-x x公式法：步骤：0322=+-x x 0962=+-x x 0242=+-x x关于四种方法比较3、思想补充：换元思想0913424=+-x x 2(21)4(21)40x x ++++=的值。
一元二次方程的概念与解法
一元二次方程的概念与解法一元二次方程是数学中的一种基本形式，它可以用于解决许多实际问题。
本文将介绍一元二次方程的概念和解法，并在实例中展示其实际应用。
一、概念一元二次方程是指只有一个变量的二次方程，通常具有以下形式：ax^2 + bx + c = 0其中，a、b、c是已知的实数常数且a ≠ 0，x是未知变量。
二、解法解一元二次方程的一种常见方法是利用求根公式，即它根据方程的系数a、b、c，可以计算出方程的解。
求根公式如下：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)这个公式中的±表示两个解，分别是两个子式的加减情况。
三、实例展示下面通过一个实际问题来说明一元二次方程的应用和解法。
假设有一个矩形的面积为36平方米，且矩形的长度比宽度多4米。
我们可以列出方程来表示这个问题。
设矩形的宽度为x米，则矩形的长度为(x+4)米，根据矩形的面积公式，我们可以得到方程如下：x(x+4) = 36接下来，将方程进行化简：x^2 + 4x - 36 = 0根据一元二次方程的解法，我们可以使用求根公式来计算方程的解。
根据公式，我们可以得到：x = (-4 ± √(4^2 - 4*1*(-36))) / (2*1)即：x = (-4 ± √(16 + 144)) / 2最终计算得到两个解，分别是：x = 4，x = -9由于宽度不能为负数，所以我们可以确定矩形的宽度为4米。
根据问题中给出的条件，矩形的长度比宽度多4米，因此矩形的长度为8米。
综上所述，通过解一元二次方程，我们得到了矩形的宽度为4米，长度为8米，解决了这个实际问题。
总结：本文介绍了一元二次方程的概念和解法。
一元二次方程是指只有一个变量的二次方程，解法可以利用求根公式来计算方程的解。
通过一个矩形面积的实际问题，我们展示了一元二次方程的应用和解题思路。
只需根据方程的系数应用求根公式，即可得到方程的解，并根据实际问题中的条件进行判断和筛选。
一元二次方程的概念和解法(必备)
4.2 一元二次方程的概念及解法课 题一元二次方程的解法教学目标1. 理解一元二次方程及其有关概念2. 会解一元二次方程,并能熟练运用四种方法去解重点、难点1. 一元二次方程的判定，求根公式2. 一元二次方程的解法与应用考点及考试要求1. 一元二次方程的定义,一般形式，配方式2. 熟练一元二次方程的解法:直接开平法，配方法，因式分解，公式法教学内容考点一、一元二次方程的概念问题：有一面积为54 m 2的长方形，将它的一边剪短5 m ，另一边剪短2 m ，恰好变成一个正方形，那么这个正方形的边长是多少？如果假设剪后的正方形边长为x ，那么原来长方形长是______，宽是_____，根据题意，得：_______． 整理，得：________．(1)定义：①只含有一个未知数．．．．．．．．，并且②未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的③整式方程．．．．就是一元二次方程。
(2)一般表达式：)0(02≠=++a c bx ax(3)四个特点：(1)只含有一个未知数；(2)且未知数次数最高次数是2；(3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为)0(02≠=++a c bx ax 的形式，则这个方程就为一元二次方程． （4）将方程化为一般形式：02=++c bx ax 时，应满足（a≠0）(4)难点：如何理解 “未知数的最高次数是2”：①该项系数不为“0”；②未知数指数为“2”；③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。
典型例题：下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ()()12132+=+x xB 02112=-+x xC 02=++c bx axD 1222+=+x x x 变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。
考点二、方程的解⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。
一元二次方程的含义
一元二次方程的含义
一元二次方程是指形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为常数且a不等于0。
这种方程在数学中起着重要的作用，其含义
涉及到几个方面。
首先，一元二次方程可以用来描述抛物线的形状。
方程中的a
决定了抛物线的开口方向，正值表示抛物线开口向上，负值表示抛
物线开口向下；b决定了抛物线在x轴方向的平移；c决定了抛物线
在y轴方向的平移。
因此，通过一元二次方程，我们可以对抛物线
的形状和位置有一个直观的了解。
其次，一元二次方程的解可以帮助我们解决实际问题。
例如，
通过一元二次方程可以求解抛物线与x轴的交点，从而可以解决抛
物线的最值问题或者求解物体的抛射运动轨迹等实际问题。
另外，一元二次方程也是代数学中重要的研究对象，通过一元
二次方程的求解方法，我们可以学习到求根公式、配方法、因式分
解等代数学的重要内容，这对我们的数学学习具有重要的意义。
总的来说，一元二次方程在数学中有着重要的地位，它不仅可
以描述抛物线的形状，还可以帮助我们解决实际问题，同时也是代数学学习中的重要内容。
希望这些内容可以帮助你全面了解一元二次方程的含义。
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一元二次方程的解法(直接开平方法、配方法、公式法和分解法)一元二次方程定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程。
一般形式：ax²+bx+c=0（a，b，c为常数，x为未知数，且a≠0）。
顶点式：y=a(x-h)²+k(a≠0,a、h、k为常数)交点式：y=a(x-x₁)(x-x₂) (a≠0)[有交点A（x₁，0）和B（x₂，0）的抛物线，即b²-4ac≥0] .直接开平方法：直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。
用直接开平方法解形如(x-m)²=n(n≥0)的方程，其解为x=m±配方法 :1.将此一元二次方程化为ax²+bx+c=0的形式(此一元二次方程满足有实根) 2.将二次项系数化为1 3.将常数项移到等号右侧 4.等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方 5.将等号左边的代数式写成完全平方形式 6.左右同时开平方 7.整理即可得到原方程的根公式法：1.化方程为一般式：ax²+bx+c=0 （a≠0）2.确定判别式，计算Δ（=b²-4ac）；3.若Δ>0，该方程在实数域内有两个不相等的实数根：x=若Δ=0，该方程在实数域内有两个相等的实数根:x₁=x₂=若Δ<0，该方程在实数域内无实数根因式分解法：因式分解法又分“提公因式法”；而“公式法”（又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种），另外还有“十字相乘法”，因式分解法是通过将方程左边因式分解所得，因式分解的内容在八年级上学期学完。
用因式分解法解一元二次方程的步骤1.将方程右边化为0；2.将方程左边分解为两个一次式的积；3.令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；4.解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.用待定系数法求二次函数的解析式(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：y=ax²+bx+c(a≠0)。
一元二次方程的解法及其应用
一元二次方程的解法及其应用一元二次方程是数学中常见的一类方程，形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知常数，x为未知数。
解一元二次方程是数学学习中的基础内容，它在各个领域有着广泛的应用。
本文将介绍一元二次方程的解法以及其在实际生活中的应用。
一、一元二次方程的解法1. 一元二次方程的基本形式一元二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知常数，x为未知数。
方程中的a不等于0，否则方程将退化成一元一次方程或常数方程。
2. 因式分解法当一元二次方程可因式分解时，可以通过因式分解求解其解。
例如，对于方程x^2 - 5x + 6 = 0，可以通过因式分解得到(x - 2)(x - 3) = 0，从而得到x = 2或x = 3，即方程的解为x = 2和x = 3。
3. 公式法当一元二次方程无法通过因式分解时，可以使用求根公式求解。
一元二次方程的求根公式为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)。
根据这个公式，可以解出方程的实数解或复数解。
若Δ = b^2 - 4ac > 0，方程有两个不相等的实数解；若Δ = b^2 - 4ac = 0，方程有两个相等的实数解；若Δ = b^2 - 4ac < 0，方程有两个共轭复数解。
二、一元二次方程的应用1. 物理学中的应用一元二次方程的应用在物理学中非常广泛。
例如，在抛体运动中，通过建立运动方程可以得到一个一元二次方程，解方程可以求得抛体的运动轨迹、抛体达到最高点的时间、抛体的最大高度等信息。
类似地，在波动、力学等领域也常常需要使用一元二次方程进行问题的求解。
2. 经济学中的应用经济学中一些与量相关的问题也可以通过一元二次方程进行建模和求解。
例如，成本函数、收益函数、利润函数等都可以用一元二次方程来表示。
通过解方程可以求得最大值、最小值、收益最大化等有关经济问题的解析解。
一元二次方程的基本概念与常见求解方法
一元二次方程的基本概念与常见求解方法知识点睛一元二次方程的定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2，最高次数的项系数不为 0 的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程的一般形式2(0)0ax bx c a ++=≠，a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项．（1）要判断一个方程是否是一元二次方程，必须符合以下四个标准：一元二次方程是整式方程，即方程的两边都是关于未知数的整式．一元二次方程是一元方程，即方程中只含有一个未知数．一元二次方程是二次方程，也就是方程中未知数的最高次数是2．一元二次方程最高次数的项系数不为0．（2）任何一个关于x 的一元二次方程经过整理都可以化为一般式2(0)0ax bx c a ++=≠． 要特别注意对于关于 x 的方程2(0)0ax bx c a ++=≠．当0a ≠时，方程是一元二次方程；当00a b =≠且时，方程是一元一次方程． （3）关于x 的一元二次方程2(0)0ax bx c a ++=≠的项与各项的系数．ax 2 为二次项，其系数为a ；bx 为一次项，其系数为b ；c 为常数项．一元二次方程的解法（1）直接开平方法：适用于解形如 (ax +b )2 = ()00a c ≠， 的一元二次方程． （2）配方法：解形如2 )00(ax bx c a ++=≠的一元二次方程，运用配方法解一元二次方程的一般步骤是：① 二次项系数化为1．② 常数项右移．③ 配方 (两边同时加上一次项系数一半的平方)．④ 化成 (x +m )2 = n 的形式．⑤ 若0n ≥，直接开平方得出方程的解。
（3）公式法：设一元二次方程为2 )00(ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：2124b ac x x ∆=-，， 是方程的两根，则：1. ∆ > 0 ⇔ 方程 2)00(ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根 x = 2. ∆ = 0 ⇔ 方程 2 )00(ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根 122b x x a==-； 3. ∆ < 0 ⇔ 方程2 )00(ax bx c a ++=≠ 没有实数根．运用公式法解一元二次方程的一般步骤是：① 把方程化为一般形式．② 确定 a 、b 、c 的值．③ 计算24b ac -的值．④ 若 240b ac -≥，则代入公式求方程的根．⑤ 若240b ac -<，则方程无实数根．（4）因式分解法：适用于方程一边是零，另一边是一个易于分解的多项式．因式分解法的一般步骤：① 将方程化为一元二次方程的一般形式；② 把方程的左边分解为两个一次因式的积；③ 令每一个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④ 解出这两个一元一次方程得到原方程的解． 一元二次方程解法的灵活运用直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法．在具体解题时，应当根据题目的特点选择适当的解法．（1）直接开平方法：用于缺少一次项以及形如 ax 2 = b 或 (x +a )2 = b (0)b ≥ 或 (ax +b )2 =(cx +d )2 的方程，能利用平方根的意义得到方程的解．（2）配方法：配方法是解一元二次方程的基本方法，而公式是由配方法演绎得到的．把一元二次方程的一般形式 ax 2 +bx +c = 0(a 、b 、c 为常数，0a ≠) 转化为它的简单形式 Ax 2 = B ，这种转化方法就是配方，之后再用直接开平方法就可得到方程的解．（3）公式法：适用于任何形式的一元二次方程，但必须先将方程化为一般形式，并计算 24b ac -的值．（4）因式分解法：适用于右边为 0(或可化为 0)，而左边易分解为两个一次因式积的方程，缺常数项或含有字母系数的方程用因式分解法较为简便，它是一种最常用的方法．【例 1】（1） 若 x 2a +b -3x a-b +1 = 0 是关于 x 的一元二次方程，求 a 、b 的值．（2） 若 n (n ≠0) 是关于 x 的方程 x 2 +mx +2n = 0 的根，则 m +n 的值为 ( )A. 1B. 2C. -1D. -2（3） 已知 43x =，则2421x x x ++的值是 .（4） 当 111552n n x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭时，(.n x = （ n 为自然数）【例 2】（1） 用直接开平方法解方程：2269(5) 2x x x -+=-． （2） 用配方法解方程：22310x x ++=．（3） 用分解因式法解方程：2()2136x x -=-． （4） 用公式法解方程：161432)2(2x x x x ⎛⎫++-=+ ⎪⎝⎭例 3】（1） 解关于 x 的方程： 21 213()()0m x m x m -+-+-=． （2） 解关于 x 的方程22656223200x xy y x y --++-=． 【例 4】（1）如果方程 22()2020x px q x qx p p q -+=-+=≠和 有公共根，则该公共根为 ．（2）若方程2222100ax ax x ax a +-=--=和有公共根，求a 的值例 5】（1） 解方程：22132(10)|2|x x ---+=．（2） 解方程：221|4|x x +-=．练习2 高次方程和无理方程知识点睛1.特殊高次方程的解法:一般的高次方程没有统一的求解方法. 对于一些特殊的高次方程, 可通过降次, 转化为一元二次方程或一元一次方程求解，转化的方法有因式分解法（因式定理）、换元法、变换主元法等.2. 特殊分式方程的解法:求解分式方程总的原则是通过去分母或换元, 使其转化为整式方程, 然后再求解. 在这个过程中离不开分式的恒等变形, 如通分、约分及降低分子的次数等等, 这就有可能使方程产生增根（或遗根）.3. 特殊无理方程的解法:解无理方程的基本思路是把根式转化为有理方程求解. 转化过程中常用的方法有: 乘方、配方、因式分解、等价变换、换元、增元、对偶、利用比例性质等. 如果变形过程是非等价变形（如方程两边平方）, 可能产生增根, 因此应注意验根.精讲精练【例 6】（1） 解方程：43225122560x x x x --++=．（2）解关于 x 的方程 ()()322212 0x t x tx t t +--+-=．（3）解方程 321010x x ++++=【例 7】（1）解方程：(8x + 7)2 (4x + 3)(x + 1)= 29 ；（2）解方程： x x x x x x +-=------2221120102910451069． （3）解方程：222234112283912x x x x x x x x ++-+=+-+．【例 8】（1）解方程：()()222323322x x x x x =+-++--． （2）解方程：22252x x x ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭． （3）方程()()3232232?47615180x x x x x x x x -+---++-+=全部实根是 ．【例 9】（12=．（2）解方程 266 0x x --+=．【例 10】（1）已知 2x =，求．（2）无理方程 221518x x -=-的解是 。
小学数学认识一元二次方程
小学数学认识一元二次方程一元二次方程是小学数学中较为复杂的一个概念，需要对数学概念有一定的了解才能理解和解决。
一元二次方程包含一个未知数和其次方的方程，通常写作ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知系数，a不等于0。
本文将介绍一元二次方程的基本概念、解法以及应用。
一、基本概念在学习一元二次方程之前，我们需要了解一些基本概念。
1.1 平方数：一个数的平方，例如1、4、9、16等。
1.2 二次方程：方程中含有未知数的平方项的方程，例如x^2 + 2x + 1 = 0就是一个二次方程。
1.3 一元二次方程：方程中只有一个未知数的平方项的方程，例如3x^2 - 2x + 1 = 0就是一个一元二次方程。
二、解法解一元二次方程通常有以下两种方法：因式分解法和求根公式法。
2.1 因式分解法：对于一些特殊的一元二次方程，可以通过因式分解的方法得到方程的解。
例如，对于方程x^2 - 4x + 3 = 0，我们可以将其分解为(x - 3)(x - 1) = 0，从而得到x的解为x = 3或x = 1。
2.2 求根公式法：对于一般的一元二次方程，我们可以使用求根公式来求解。
求根公式为x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)。
例如，对于方程2x^2 + 5x + 2 = 0，我们可以代入a = 2，b = 5，c = 2，然后计算得到x的解为x = -1/2或x = -2。
三、应用一元二次方程在现实生活中有着广泛的应用。
3.1 抛物线运动：抛出的物体在空中的运动轨迹可以用一元二次方程来表示。
例如，投掷一颗子弹的运动轨迹可以表示成y = -5x^2 + 10x + 3的形式，其中y为高度，x为时间。
3.2 建模和预测：一元二次方程可以用来对一些现实问题进行建模和预测。
例如，根据某商品的销售数据，可以建立销售量和价格之间的一元二次方程，从而预测不同价格下的销售量。
3.3 几何问题：一元二次方程也可以用来解决几何问题。
一元二次方程的概念及解法
一元二次方程的概念及解法要点一、一元二次方程的概念1．一元二次方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程． 2．一元二次方程的一般形式()ax bx c a 2++=0≠0，a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项．3.要点归纳（1）要判断一个方程是一元二次方程，必须符合以下三个标准：①一元二次方程是整式方程，即方程的两边都是关于未知数的整式． ②一元二次方程是一元方程，即方程中只含有一个未知数． ③一元二次方程是二次方程，也就是方程中未知数的最高次数是2．（2）任何一个关于x 的一元二次方程经过整理都可以化为一般式ax bx c 2++=0 (a ≠0)．要特别注意对于关于x 的方程ax bx c 2++=0．当a ≠0时，方程是一元二次方程；当a =0且b ≠0时，方程是一元一次方程．（3）关于x 的一元二次方程式()ax bx c a 2++=0≠0的项与各项的系数．ax 2为二次项，其系数为a ；bx 为一次项，其系数为b ；c 为常数项．【例1】下面关于x 的方程中：①ax bx c 2++=0；②()()x x 223−9−+1=1；③x x21++5=0；④x x 23−2+5−6=0；⑤||x x 2−3−3=0；⑥x kx 2++3=0（k 为常数）是一元二次方程_________． 【解析】（1）②⑥．【变式1】判断下列各式哪些是一元二次方程． ①；②；③；④； ⑤ ；⑥ ；⑦ ．【答案】②③⑥.【解析】①不是方程；④不是整式方程；⑤ 含有2个未知数，不是一元方程；⑦ 化简后没有二次项，不是2次方程. ②③⑥符合一元二次方程的定义．【例2】关于x 的方程2x 2−(a +1)x =x (x −1)−1的一次项系数是-1，则a .【答案】原方程化简为x 2-ax+1=0,则-a=-1,a=1.21x x ++2960x x −=2102y =215402x x −+=2230x xy y +−=232y =2(1)(1)x x x +−=21x x ++215402x x −+=2230x xy y +−=2(1)(1)x x x +−=【变式2-1】若一元二次方程()()m x m x m 222−2+3+15+−4=0的常数项为零，则m 的值为_________．由题意可知，m 2−4=0，m −2≠0，故m =−2【变式2-2】若a b a b x x 2+−−3+1=0是关于x 的一元二次方程，求a 、b 的值．分以下几种情况考虑： ①a b 2+=2，a b −=2，此时a 4=3，b 2=−3；②a b 2+=2，a b −=1，此时a =1，b =0； ③a b 2+=1，a b −=2，此时a =1，b =−1；【例3】（1）已知关于x 的一元二次方程()m x x m 22−1+2+−1=0有一个根是x =0，则m 的值为_______．（1）由于为一元二次方程，∴m −1≠0，而x =0代回方程得到：m 2−1=0．综上可知m =−1．（2）x=1是x 2−ax +7=0的根，则a= .【答案】当x=1时，1-a+7=0,解得a=8.（3）已知关于x 的一元二次方程 有一个根是0，求m 的值. 由题意得【变式3-1】如果关于x 的一元二次方程x 2+px+q ＝0的两根分别为x 1＝2，x 2＝1，那么p ，q 的值分别是( ) A ．-3，2 B ．3，-2 C ．2，-3 D ．2，3 【答案】A ；【解析】∵ x ＝2是方程x 2+px+q ＝0的根，∴ 22+2p+q ＝0，即2p+q ＝-4 ①同理，12+p+q ＝0，即p+q ＝-1 ②联立①，②得 解之得：【变式3-2】已知a 是一元二次方程x x 2−2−1=0的根，求下列各式的值：①a a 1−；②a a221+；③a a a 22−3−3++52． （2）①由a a 2−2−1=0知，a ≠0，故a a 1−2−=0，即a a1−=2；②a a a a 22211⎛⎫+=−+2=6 ⎪⎝⎭；③由于a a 2=2+1，代入所求得，原式a a a 2+1−3=2+1−3++5=52． 22(1)210m x x m −++−=24,1,p q p q +=−⎧⎨+=−⎩3,2.p q =−⎧⎨=⎩【例4】关于x 的方程2()0a x m b ++=的解是12x =−，21x =，（a ，m ，b 均为常数，0a ≠），则方程2(2)0a x m b +++=的解是__________．（3）14x =−，21x =−．【变式4-1】关于x 的方程a （x+m ）2+n=0（a ，m ，n 均为常数，m≠0）的解是x 1=﹣2，x 2=3，则方程a （x+m ﹣5）2+n=0的解是（ ）A ．x 1=﹣2，x 2=3B ．x 1=﹣7，x 2=﹣2C ．x 1=3，x 2=﹣2D ．x 1=3，x 2=8 【答案】D ；【思路点拨】把后面一个方程中的x ﹣5看作整体，相当于前面一个方程中的x 求解.【解析】∵关于x 的方程a （x+m ）2+n=0的解是x 1=﹣2，x 2=3，（m ，n ，p 均为常数，m≠0）， ∴方程a （x+m ﹣5）2+n=0变形为a[（x ﹣5）+m]2+n=0，即此方程中x ﹣5=﹣2或x ﹣5=3， 解得x=3或x=8．故选D ．要点二、一元二次方程的解法1． 直接开平方法：适用于解形如()(),≥ax b c a c 2+=≠00的一元二次方程． 2． 配方法：解形如()ax bx c a 2++=0≠0的一元二次方程，运用配方法解一元二次方程的一般步骤是： ① 将二次项系数化为1． ② 将常数项右移．③配方（两边同时加上一次项系数一半的平方）． ④化成()x m n 2+=的形式．⑤若≥n 0，直接开平方得出方程的解．【例5】解方程：（1）()x x x 22−6+9=5−2 （2）()()x x 224−2−3−1=0【解析】（1）()()x x 22−3=5−2，()x x −3=±5−2，x 1=2，x 28=3．（2）()()x x 224−2=3−1，()()x x 2−2=±3−1，x 1=−3，x 2=1【变式5】解方程： (1) 3x+2）2=4（x ﹣1）2；(2)（x-2）2=25.【答案】解：(1) 3x+2=±2（x ﹣1），∴3x+2=2x ﹣2或3x+2=﹣2x+2， ∴x 1=﹣4；x 2=0．(2) (x-2)=±5 ∴x-2=5或x-2=-5 ∴x 1=7,x 2=-3.【例6】用配方法解方程：（1）x x 2−4−1=0（2）x x 22−8−3=0（3）x x 24−6−4=0【解析】（1）x x 2−4−1=0，()x 2−2=5，x =2±，x 1=2x 2=2；（2）x x 22−8−3=0，()x 22−2=11，x =2，x 1=2x 2=2； （3）x x 24−6−4=0，x 2325⎛⎫−= ⎪416⎝⎭，x 1=2，x 11=−2．【变式6】用配方法解方程：（1）2x 2﹣4x ﹣3=0； （2）3x 2﹣12x ﹣3=0. 【思路点拨】方程(1) (2)的的次项系数不是1，必须先化成1，才能配方，这是关键的一步．配方时，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，目的是把方程化为的形式，然后用直接开平方法求解． 【答案与解析】解：（1）∵2x 2﹣4x ﹣3=0，∴，∴，∴x ﹣1=±，∴．（2）3x 2﹣12x ﹣3=0，3x 2﹣12x=3， x 2﹣4x=1， x 2﹣4x+4=1+4，2()(0)mx n P P +=≥（x ﹣2）2=5， x ﹣2=， x 1=2+，x 2=2﹣；（3）2x 2+3=5x （4） 【答案】（3）. （4）①当时，此方程有实数解，；②当时，此方程无实数解.3.公式法：将()ax bx c a 2++=0≠0进行配方可以得到：b b ac x a a 222−4⎛⎫+= ⎪24⎝⎭． 当≥b ac 2−40时，两个根为,x 12=b ac 2−4=0时，两根相等为bx x a12−==2；当b ac 2−4<0时，没有实数根．可以用△表示b ac 2−4，△称为根的判别式．20x px q ++=2235x x +=2253x x −=−25322x x −=−2225535()()2424x x −+=−+251()416x −=5144x −=±123,12x x ==20x px q ++=222()()22p px px q ++=−+224()24p p qx −+=240p q −≥12x x ==240p q −＜运用公式法解一元二次方程的一般步骤是： ①把方程化为一般形式； ②确定a 、b 、c 的值； ③计算b ac 2−4的值；④若≥b ac 2−40，则代入公式求方程的根； ⑤若b ac 2−4<0，则方程无实数根． 【例7】解方程：（1）()x x 2−5=2+1（2）()x x x x 1⎛⎫6+1+4−3=22+ ⎪2⎝⎭【解析】（1）()x x x x 22−5=2+1⇒−2−7=0，()2=2−4⨯1⨯−7=32△，∴原方程的解为：x 1=1+，x 2=1−（2）()x x x x x x 21⎛⎫6+1+4−3=22+⇒6+−4=0 ⎪2⎝⎭，()△2=1−4⨯6⨯−4=97故,x 12，∴原方程的解为：x 1=，x 2=． 【教师备课提示】这道题主要是想让孩子们练习用公式法去解一元二次方程，牢记解一元二次方程的公式．4.因式分解法：适用于方程一边是零，另一边是一个易于分解的多项式．因式分解法的一般步骤：② 将方程化为一元二次方程的一般形式；③ 把方程的左边分解为两个一次因式的积，方程右边是零； ③令每一个因式分别为零，得到两个一元一次方程； ④解出这两个一元一次方程的解可得到原方程的解．【例8】解方程：（1）22320x x −−= （2）2(21)36x x −=−（3）26x −=−【解析】（1）22320x x −−=，(21)(2)0x x +−=，112x =−，22x =；（2）2(21)36x x −=−，2(21)3(12)x x −=−，2(21)(1)0x x −+=，112x =，21x =−．（3）1x =，2x =． 【教师备课提示】这道题主要是想让孩子们练习用因式分解的方法去解一元二次方程． 【变式8】解方程：（1）﹣3x 2+22x ﹣12=12．（2）3x 2﹣x ﹣4=0【思路点拨】先把方程变形，然后利用因式分解法解方程，注意对于二次项系数的分解． 【答案与解析】解：（1）原式变形得：3x 2﹣22x+24=0，（3x ﹣4）（x ﹣6）=0， 3x ﹣4=0或x ﹣6=0， ∴ x 1=，x 2=6． （2）3x 2﹣x ﹣4=0，分解因式得：（3x ﹣4）（x+1）=0， ∴（3x ﹣4）=0或（x+1）=0 ∴ x 1=，x 2=﹣1；【例9】选择合适的方法求解下列方程：（1）x x 2547−25−572=0（2）x 23=1【解析】（1）方程系数较大，公式法过于麻烦，考虑用因式分解，由于572−547=25，故可以简单分解为：()()x x 547−572+1=0，解为x 1=−1，x 2572=547．（2）公式法解决：()△2=−4⨯3⨯−1=18>0，所以由公式法知x =解为x 1，x 2【课后作业】1．（北京市第十三中学2010-2011九年级数学期中）如果关于x 的方程()a x x 2−1+5−6=0是一元二次方程，则（ ） A ．a >1 B ．a =1 C ．a <1 D ．a ≠12．如果关于x 的方程()m m x x 2−7−3−+3=0是关于x 的一元二次方程，则m 的值为______．3．关于x 的一元二次方程x ax a 2++=0的一个根是x =3，则a =________．4．若实数a ，b ，c 满足a b c 4−2+=0，则关于x 的一元二次方程()ax bx c a 2++=0≠0一定有一个根_________．5．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x x 2−12+35=0的根，则该三角形的周长为（ ） A ．14 B ．12 C ．12或14 D ．以上都不对【解析】1．D ；2．−3；3．9−4；4．x =−2；5．B6．已知a 是方程x x 2+−1=0的根，求a a a 32−−3+1的值．【解析】由题意a a 2+−1=0，∴a a 2=−+1，∴原式()()a a a a a a 22=−+1−−3+1=−2++1=−1．7．解方程：（1）()x 22−4−6=03（2）x x 22−8−198=0 （3）()()x x −5−7=1【解析】（1）1x 1=，x 2=7；（2）x 1=2，x 2=2；（3）()()x x x x 2−5−7=1⇒−12+34=0，△2=12−4⨯1⨯34=8，故,x 1212±==628．解关于x 的方程：（1）x mx m n 222−2+−=0（2）x a ax a 22+3=4−2+1（3）()()a b c x ax a b c 2−++2++−=0【解析】（1）原式可以因式分解为：()()x m n x m n −−−+=0，解为x m n 1=+，x m n 2=−．（2）x a 1=3−1，x a 2=+1．（3）二次项系数中含有字母，所以要加以讨论， ①若a b c −+=0，则原方程成为()ax a b c 2++−=0若a =0，则c b −=0，原方程为x 0+0=0，x 可为一切实数． 若a ≠0，则a b c ax a a−−+−2===−122． ②若a b c −+≠0，则原方程成为[]()()()x a b c x a b c +1−+++−=0，得x 1=−1，c a bx a b c2−−=−+．9．解方程：()()x x x x 2222+−22+=3．【解析】设x x m 22+=，则原方程化为m m 2−2−3=0，即()()m m −3+1=0，代回可得：()()x x x x 222+−32++1=0，即x x 22+−3=0或x x 22++1=0．x x 22+−3=0，可化为()()x x 2+3−1=0，解得x 1=1，x 23=−2；x x 22++1=0，用公式法解决，△2=1−4⨯2⨯1=−7<0，故此方程无实数根．综上方程解为：x 1=1，x 23=−2．。
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一元二次方程的解法探究
目标链接：
1、 掌握用直接开平方法、因式分解法、配方法、求根法等方法解一元二次方程。
2、 通过对一元二次方程的解法，体会数学中有简单到复杂，再由复杂到简单的转化思想。
知识要点：
知识点1：直接开方法
形式：形如（x+h ）2=k 2（k 是常数）的方程
知识点2：配方法
配方法是一元二次方程的重要方法，熟练地掌握完全平方式是配方法解题的基础。
对于二次项系数为1的方程，在方程两边同时加上一次项系数一半的平方即可配方。
若二次项系数不为1，一般应先将二次项系数变为1，然后配方比较简便。
知识点3：一元二次方程的球根公式
形如ax 2+bx+c=0（a ≠0），当b 2
-4ac ≥0时，x=a ac b b 242-±- b 2-4ac ＜0时，原方程无解
知识点4：用公式法解一元二次方程的一般步骤
（1） 化为一般式（2）确定a 、b 、c 的值；（3）求出b 2-4ac 的值（4）代入公式求解。
知识点5：一元二次方程的根的判别式。
代数式b 2-4ac 叫做一元二次方程ax 2+bx+c=0的根的判别式，通常用“△”表示。
知识点6：因式分解法
这种方法的依据是，若a-b=0，则a=0或b=0其形式就是把已知方程通过因式分解把它们化成A-B=0的形式。
例如（x-2）（x+1）=0可用此法解之，其步骤：
（1）将方程右边化为零（2）将左边分解因式（3）令每个因式为零（4）解每一个一元一次方程，它的解就是原方程的解。
典型例题：
例1 用直接开平方法解下列方程
（1）x 2-9=0 (2)4(x-2)2-36=0 (3)2
1(x+3)2=4
例2 用配方法解下列方程
（1）x 2-4x-3=0 (2)x 2+3x-1=0
例3 用公式法解下列方程
（1）2x 2+7x=4 (2) 21x 2+ 2
1x=81 (3)x 2+3=22x
例4 不解方程，判别下列方程根的情况。
（1）x 2+9=6x (2)x 2+3x=-1 (3)3x 2+3=26x
例5 已知关于x 的方程kx 2-4kx+k-5=0有两个相等实数根，求k 的值并解这个方程。
例6 用分解因式法解下列方程
（1）49（x-3）2=16(x+6)2 (2)(2-3x)(x+4)=(3x-2)(1-5x)
例7解下列方程
（1）x 2-3x+2=0 (2)x 2+2x-3=0 (3)2x 2+3=7x
例8 用配方法说明：无论x 为何实数，代数式2x 2-6x+7的值恒大于0.。
例9 已知关于x 的方程41
x 2-（m-2）x+m 2=0
(1) 若有两个不相等的实数根，求m 的值
(2) 若有两个相等的实数根，求m 的值
(3) 若有实数，求m 的最大整数值
例10、已知方程x 2-2ax+a 2+a-1=0有两个实数根，化简122+-a a +2+a
例11、不解方程2x 2+4x-3=0,求其两根之和，与两根之积。
例12 已知：关于x 的方程x 2-6x+m 2-3m-5=0的一个根是-1，求方程的另一根及m 的值
模拟试题
一、选择填空
1、 用配方法解关于x 的方程，x 2+px+g=0，此方程可变形为（ ）
A 、（x+2p ）2=442g p -
B 、（x+2
p ）2=442
p g - C 、（x-2p ）2=442g p - C 、（x-2
p ）2=442
p g - 2、在方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）中，若a+b+c=0，则此方程必有根为（ ）
A 、1
B 、-1
C 、1或-1
D 、0
3、方程2x （x-3）=5（x-3）的根为（ ）
A 、x 1=25
B 、x=3
C 、x 1=25或x=3
D 、x=52 4、设αβ是方程 x 2+x-2=0的两根，那么（α-1）（β-1）的值等于（ ）
A 、-4
B 、-2
C 、0
D 、2
5、若一元二次方程（1-2k ）x 2+8x=6无实根，则k 的最小整数值是（ ）
A 、0
B 、1
C 、2
D 、3
二、填空
6、将y=x 2-2x+3配方为y=（x+h ）2+k 的形式，则y=_______
7、已知代数式y 2+4y-2的值为3，则代数式2y 2+8y-5的值为________
三．解方程
8 、5（x+6）（x-1）+4x （x-1）=3x （x+6）
9、（1-3x ）2-4（2x+3）-4（2x+3）=0
四、解答题（每题4分，共8分）
10、方程x 2+ax+b=0的一个根为0，另一个根大于0，而且是方程（x+4）2=3x+52的解，求a 和b 的值。
11、已知关于x的方程x2-2（m+1）x+m2=0
求⑴当m取什么值时，原方程没有数根？
（2）对m选取一个合适的非零整数，使原方程有两个实数根，并求这两个实数根的平方和。
五、列方程解应用题（每题7分，共28分）
12、某企业2000年初投资100万元生产产销对路的产品，2000年底将获得的利润与年初的投资的和作为2001年初的投资，到2001年底，两年共获利润56万元，已知2001年的年获利率比2000年的年获利率多10个百分点，求2000年和2001年的年获利率各是多少？
13、某商场售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
14、如图所示，已知：甲乙两人分别从正方形广场ABCD的顶点B、C两点同时出发，甲由C向D 运动，乙由B向C运动，甲的速度为1千米/分，乙的速度为2千米/分，若正方形广场的周长为40
2千米？
千米，问几分钟后，两人相距10
15、已知关于x的方程（k-1）x2+（2k-3）x+k+1=0有两个不相等的实数根x1，x2。
⑴求k的取值范围
16、已知y=x2-2x-3（1）x是什么数时，y的值为0；（2）x是什么数时，y的值为-4。
17.已知a、b、c是△ABC的三条边长，且方程（a2+b2）x2-2cx+1=0有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状。
18.已知关于x的一元二次方程x2-2mx-3m2+8m-4=0
（1）求证原方程有两个实数根.
（2）若方程的两个实数根一个小于5，另一个大于2，求m的取值范围。
19、方程x2+ax+b=0的一个根为0，另一个根大于0，而且是方程（x+4）2=3x+52的解，求a和b的值。
20、已知关于x的方程x2-2（m+1）x+m2=0
求⑴当m取什么值时，原方程没有数根？
对m选取一个合适的非零整数，使原方程有两个实数根，并求这两个实数根的平方和。