一元二次方程的意义及解法

一元二次方程的解法探究

目标链接：

1、 掌握用直接开平方法、因式分解法、配方法、求根法等方法解一元二次方程。

2、 通过对一元二次方程的解法，体会数学中有简单到复杂，再由复杂到简单的转化思想。 知识要点：

知识点1：直接开方法

形式：形如（x+h ）2=k 2（k 是常数）的方程

知识点2：配方法

配方法是一元二次方程的重要方法，熟练地掌握完全平方式是配方法解题的基础。对于二次项系数为1的方程，在方程两边同时加上一次项系数一半的平方即可配方。若二次项系数不为1，一般应先将二次项系数变为1，然后配方比较简便。

知识点3：一元二次方程的球根公式

形如ax 2+bx+c=0（a ≠0），当b 2

-4ac ≥0时，x=a ac b b 242-±- b 2-4ac ＜0时，原方程无解

知识点4：用公式法解一元二次方程的一般步骤

（1） 化为一般式（2）确定a 、b 、c 的值；（3）求出b 2-4ac 的值（4）代入公式求解。

知识点5：一元二次方程的根的判别式。 代数式b 2-4ac 叫做一元二次方程ax 2+bx+c=0的根的判别式，通常用“△”表示。

知识点6：因式分解法

这种方法的依据是，若a-b=0，则a=0或b=0其形式就是把已知方程通过因式分解把它们化成A-B=0的形式。例如（x-2）（x+1）=0可用此法解之，其步骤：

（1）将方程右边化为零（2）将左边分解因式（3）令每个因式为零（4）解每一个一元一次方程，它的解就是原方程的解。

典型例题：

例1 用直接开平方法解下列方程

（1）x 2-9=0 (2)4(x-2)2-36=0 (3)2

1(x+3)2=4

例2 用配方法解下列方程

（1）x 2-4x-3=0 (2)x 2+3x-1=0

例3 用公式法解下列方程

（1）2x 2+7x=4 (2) 21x 2+ 2

1x=81 (3)x 2+3=22x

例4 不解方程，判别下列方程根的情况。

（1）x 2+9=6x (2)x 2+3x=-1 (3)3x 2+3=26x

例5 已知关于x 的方程kx 2-4kx+k-5=0有两个相等实数根，求k 的值并解这个方程。

例6 用分解因式法解下列方程

（1）49（x-3）2=16(x+6)2 (2)(2-3x)(x+4)=(3x-2)(1-5x)

例7解下列方程

（1）x 2-3x+2=0 (2)x 2+2x-3=0 (3)2x 2+3=7x

例8 用配方法说明：无论x 为何实数，代数式2x 2-6x+7的值恒大于0.。

例9 已知关于x 的方程41

x 2-（m-2）x+m 2=0

(1) 若有两个不相等的实数根，求m 的值

(2) 若有两个相等的实数根，求m 的值

(3) 若有实数，求m 的最大整数值

例10、已知方程x 2-2ax+a 2+a-1=0有两个实数根，化简122+-a a +2+a

例11、不解方程2x 2+4x-3=0,求其两根之和，与两根之积。

例12 已知：关于x 的方程x 2-6x+m 2-3m-5=0的一个根是-1，求方程的另一根及m 的值

模拟试题

一、选择填空

1、 用配方法解关于x 的方程，x 2+px+g=0，此方程可变形为（ ）

A 、（x+2p ）2=442g p -

B 、（x+2

p ）2=442

p g - C 、（x-2p ）2=442g p - C 、（x-2

p ）2=442

p g - 2、在方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）中，若a+b+c=0，则此方程必有根为（ ）

A 、1

B 、-1

C 、1或-1

D 、0

3、方程2x （x-3）=5（x-3）的根为（ ）

A 、x 1=25

B 、x=3

C 、x 1=25或x=3

D 、x=52 4、设αβ是方程 x 2+x-2=0的两根，那么（α-1）（β-1）的值等于（ ）

A 、-4

B 、-2

C 、0

D 、2

5、若一元二次方程（1-2k ）x 2+8x=6无实根，则k 的最小整数值是（ ）

A 、0

B 、1

C 、2

D 、3

二、填空

6、将y=x 2-2x+3配方为y=（x+h ）2+k 的形式，则y=_______

7、已知代数式y 2+4y-2的值为3，则代数式2y 2+8y-5的值为________

三．解方程

8 、5（x+6）（x-1）+4x （x-1）=3x （x+6）

9、（1-3x ）2-4（2x+3）-4（2x+3）=0

四、解答题（每题4分，共8分）

10、方程x 2+ax+b=0的一个根为0，另一个根大于0，而且是方程（x+4）2=3x+52的解，求a 和b 的值。

11、已知关于x的方程x2-2（m+1）x+m2=0

求⑴当m取什么值时，原方程没有数根？

（2）对m选取一个合适的非零整数，使原方程有两个实数根，并求这两个实数根的平方和。

五、列方程解应用题（每题7分，共28分）

12、某企业2000年初投资100万元生产产销对路的产品，2000年底将获得的利润与年初的投资的和作为2001年初的投资，到2001年底，两年共获利润56万元，已知2001年的年获利率比2000年的年获利率多10个百分点，求2000年和2001年的年获利率各是多少？

13、某商场售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？

14、如图所示，已知：甲乙两人分别从正方形广场ABCD的顶点B、C两点同时出发，甲由C向D 运动，乙由B向C运动，甲的速度为1千米/分，乙的速度为2千米/分，若正方形广场的周长为40

2千米？

千米，问几分钟后，两人相距10