一元二次方程的意义及解法

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一元二次方程的概念及解法

一元二次方程

一、一元二次方程的概念：

（1）只含一个未知数x；（2）最高次数是2次的；（3）•整式方程．

一般地，任何一个关于x的一元二次方程，•经过整理，•都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．

一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．

例1．将方程3x（x-1）=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．

注意:二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号.

例2．将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=•1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项．

练习: 判断下列方程是否为一元二次方程？

(1)3x+2=5y-3 (2) x2=4 (3) 3x2-5

=0 (4) x2-4=(x+2) 2 (5) ax2+bx+c=0

例3．求证：关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．

练习:一、选择题

1．在下列方程中，一元二次方程的个数是（）．

①3x2+7=0 ②ax2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x2-1 ④3x2-5

A．1个B．2个C．3个D．4个

2．px2-3x+p2-q=0是关于x的一元二次方程，则（）．

A．p=1 B．p>0 C．p≠0 D．p为任意实数

二、填空题

1．方程3x2-3=2x+1的二次项系数为_____，一次项系数为_______，常数项为______．2．关于x的方程（a-1）x2+3x=0是一元二次方程，则a的取值范围是________．

第8课一元二次方程的意义及解法

3．(2011· 江西)已知x＝1是方Βιβλιοθήκη Baidux2＋bx－2＝0的一个根，则方程的另一个根是( C ) A．1 C．－2 B．2 D．－1
解析：当x＝1时，1＋b－2＝0，b＝1.
∴x2＋x－2＝0，x1＝1，x2＝－2，另一个根是－2.
4．(2011· 大理)三角形的两边长分别是3和6，第三边的长是方程 x2－6x＋8＝0的一个根，则这个三角形的周长是( A．9 C．13 B．11 D．11或13 C )
5
2×5 －4－ 26. 5
5
(4)(3x＋5)2－5(3x＋5)＋4＝0 解：(3x＋5)2－5(3x＋5)＋4＝0， (3x＋5－1)(3x＋5－4)＝0， (3x＋4)(3x＋1)＝0， 3x＋4＝0或3x＋1＝0， 4 1 ∴x1＝－，x2＝－ . 3 3
(5)(1997－x)2＋(x－1996)2＝1
解、换元等方法转化为一元一次方程或一元二次方程． (4)解无理方程的思想是通过方程左右两边平方、换元等方法
去根号转化为整式方程，要注意验根，舍去增根．
5．二元二次方程组的概念及解法：
(1)二元二次方程组：由一个二元一次方程和一个二元二次方
程所组成的方程组或由两个二元二次方程组成的方程组叫做二元二次方程组．
ab2 －4a＝0，可得出a、b之间的关系，然后将化简 2 2 a－2 ＋b －4 后，用含b的代数式表示a，即可求出这个分式的值．

人教版初中数学一元二次方程知识点总结(含答案)

一元二次方程

一、本章知识结构框图

二、具体内容

（一）、一元二次方程的概念

1．理解并掌握一元二次方程的意义

未知数个数为1，未知数的最高次数为2，整式方程，可化为一般形式； 2．正确识别一元二次方程中的各项及各项的系数

（1）明确只有当二次项系数0≠a 时，整式方程02

=++c bx ax 才是一元二次方程。（2）各项的确定(包括各项的系数及各项的未知数). （3）熟练整理方程的过程

3．一元二次方程的解的定义与检验一元二次方程的解 4．列出实际问题的一元二次方程（二）、一元二次方程的解法

1．明确一元二次方程是以降次为目的，以配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法为手段，从而把一元二次方程转化为一元一次方程求解；

2．根据方程系数的特点，熟练地选用配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程； 3．体会不同解法的相互的联系； 4．值得注意的几个问题：

(1)开平方法：对于形如n x =2

或)0()(2

≠=+a n b ax 的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未

知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用开平方法求解. 形如n x =2

的方程的解法：

当0>n 时，n x ±=; 当0=n 时，021==x x ; 当0<n 时，方程无实数根。

（2）配方法：通过配方的方法把一元二次方程转化为n m x =+2

)(的方程，再运用开平方法求解。配方法的一般步骤：

①移项：把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边； ②“系数化1”：根据等式的性质把二次项的系数化为1； ③配方：将方程两边分别加上一次项系数一半的平方，把方程变形为n m x =+2

一元二次方程及解法经典习题及解析

┃知识归纳┃

1．一元二次方程的概念

只含有个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是的方程，叫做一元二次方程．

[注意] 一元二次方程判定的条件是：(1)必须是整式方程；(2)二次项系数不为零；(3)未知数的最高次数是2，且只含有一个未知数．

2．一元二次方程的解法

一元二次方程有四种解法：法、法、法和法．

[注意] 公式法其实质是配方法，只不过省去了配方的过程，但用公式时应注意：(1)将一元二次方程化为一般形式，即先确定a、b、c的值；(2)牢记使用公式的前提是b2－4ac≥0.

3．一元二次方程根的判别式Δ＝b2－4ac

(1)Δ>0⇔ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有的实数根；

(2)Δ＝0⇔ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有的实数根；

(3)Δ<0⇔ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 实数根．

4．一元二次方程根与系数的关系

一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为x

1、x

，则两根与方程系数之间有如

下关系：x

1＋x

＝，x

·x

＝.

[注意] 它成立的条件：①二次项系数不能为0；②方程根的判别式大于或等于0.

四大解法

一、开平方法

方程的左边是完全平方式,右边是非负数;即形如x2=a(a≥0) 二、配方法

“配方法”的基本步骤：一化、二移、三配、四化、五解

1.化1:把二次项系数化为1;

2.移项:把常数项移到方程的右边;

3.配方:方程两边同加一次项系数一半的平方;

4.变形:化成

5.开平方，求解

三、公式法

1.必需是一般形式的一元二次方程:

ax2+bx+c=0(a≠0).

2.b2-4ac≥0.

一元二次方程的解法及应用

一元二次方程是高中数学中的重要内容，它在现实生活中的应用领

域十分广泛。本文将介绍一元二次方程的基本概念、解法和应用，以

帮助读者更好地理解和应用这一数学知识。

1. 一元二次方程的基本概念

一元二次方程是指含有一个未知数的二次项的方程，其一般形式为ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为已知常数，且a≠0。方程中的x代表未

知数，而a、b、c则分别表示二次项系数、一次项系数和常数项。

2. 一元二次方程的解法

解一元二次方程的常用方法有因式分解法、配方法和求根公式法。

下面将逐一介绍这些方法。

2.1 因式分解法

当一元二次方程可以因式分解时，可以利用因式分解法求解。例如，对于方程x^2+5x+6=0，可以将其分解为(x+2)(x+3)=0，然后令括号中

的两个因式分别等于0，解得x=-2和x=-3，即方程的解为x=-2和x=-3。

2.2 配方法

对于一些无法直接因式分解的一元二次方程，可以使用配方法进行

求解。配方法的关键是通过添加或减少适当的常数，使方程转化为一

个可以因式分解的形式。以方程x^2+4x-5=0为例，我们可以通过加上

9和减去9来完成配方，即(x^2+4x+9)-9-5=0，化简后得到(x+2)^2=14，

然后对方程两边开方，得到x+2=±√14，再解得x=-2±√14。因此，方程的解为x=-2+√14和x=-2-√14。

2.3 求根公式法

如果一元二次方程无法通过因式分解或配方法求解，可以利用求根

公式进行计算。求根公式即一元二次方程的根的公式表示。根据求根

公式，一元二次方程ax^2+bx+c=0的根可由公式x=(-b±√(b^2-4ac))/2a

一元二次方程的解法和定义

一、一元二次方程的解法和定义

1、一元二次方程的定义

等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元）。并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。

2、解一元二次方程

（1）直接开平方法

我们知道如果$x^2$=25，则$x$=≠$\sqrt{25}$，即$x$=±5，像这种利用平方根的定

义通过直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。一般地，对于方程

$x^2$=$p$，

①当$p$>0时，方程有两个不等的实数根$x_1$=$\sqrt{p}$ ，$x_2$=$-\sqrt{p}$。

②当$p$=0时，方程有两个相等的实数根$x_1$=$x_2$=0。

③当$p$<0时，因为对任意实数$x$ ，都有$x^2\geqslant$0，所以方程无实数根。

（2）配方法

通过配成完全平方的形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。用配方法解方程是

以配方为手段，以直接开平方法为基础的一种解一元二次方程的方法。

用配方法解一元二次方程的一般步骤：

①化二次项系数为1。

②移项：使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项。

③配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，原方程变为$(x+n)^2$=$p$的形式。

④直接开平方：如果右边是非负数，就可用直接开平方法求出方程的解。

（3）公式法

①公式法的定义

解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式$ax^2$+$bx$+$c$=0（$a$≠0）。当

$b^2-$$4ac\geqslant$0时，方程$ax^2$+$bx$+$c$=0（$a$≠0）的实数根可写为

一元二次方程知识点总结

一元二次方程

1. 一元二次方程的定义及一般形式：

（1）等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数式2（二次）的方程，叫做一元二次方程。

（2）一元二次方程的一般形式：。其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。

注意：三个要点，①只含有一个未知数；②所含未知数的最高次数是2；③是整式方程。

2. 一元二次方程的解法

（1）直接开平方法：

形如的方程可以用直接开平方法解，两边直接开平方得或者，。

注意：若b<0，方程无解

（2）因式分解法：

一般步骤如下：

①将方程右边得各项移到方程左边，使方程右边为0；

②将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式；

③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；

④解这两个一元一次方程，他们的解就是原方程的解。

（3）配方法:

用配方法解一元二次方程的一般步骤

①二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；

②移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；

③配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为的

形式；

④用直接开平方法解变形后的方程。

注意：当时，方程无解

（4）公式法：

一元二次方程根的判别式：

方程有两个不相等的实根:（）的图像与轴有两个交点

方程有两个相等的实根的图像与轴有一个交点

方程无实根的图像与轴没有交点

3. 韦达定理（根与系数关系）

我们将一元二次方程化成一般式ax2+bx+c＝0之后，设它的两个根是和，则和与方程的系数a，b，c之间有如下关系：

+＝；＝

4.一元二次方程的应用

列一元二次方程解应用题，其步骤和二元一次方程组解应用题类似

一元二次方程概念与解法

教学目标

1•了解一元二次方程及其相关概念，会用配方法、公式法、分解因式法解简单的一元二次方程

2•能够利用一元二次方程解决简单的实际问题。

教学重点

一元二次方程的三种解法：配方法、公式法、分解因式法。

教学难点

列一元二次方程解决实际问题。

知识点梳理：

一元二次方程知识框图：

1•一元二次方程：只含有一个未知数，并且含未知数的项的最高次数是2的整式方程，这样

的方程叫做一元二次方程。

2. —元二次方程的一般形式：a2x+bx+c=0(a丰0)

3•—元二次方程的解法

直接开平方法：

适用于(mx+n) 2=h (h > 0)的一元二次方程。

配方法：

适用于化为一般形式的一元二次方程。

关键：方程两边都加上一次项系数一半的平方。

公式法：

-b b2 4ac

(b2-4ac> 0)

关键：b2-4ac>0时，方程才有解。

因式分解法：

适用于方程右边是0,左边是易于分解成两个一次因式乘积的一元二次方程。

4 .一元二次方程ax2+bx+c=0 (a丰0)的根的判别式是_____________________ ，当 _______ 时，它有两个不相等的实数根；当_____________ 时，它有两个相等的实数根；当 ____________ 时，？它没有实数根.

5.根的判别式及应用(△ =b2-4ac)

(1) 判定一元二次方程根的情况.

△ >0 有两个不相等的实数根 △ =0 有两个相等的实数根 △ <0 没有实数根； △ > 0

有实数根•

6.根与系数的关系(韦达定理)的应用

c 韦达定理：如果一元二次方程 ax 2+bx+c=0(a 工的两根为X 1、X 2，则X 1+X 2=-

一元二次方程的概念与解法

一、概念

在数学中，一元二次方程是指含有一个未知数的二次方程。一元二

次方程的一般形式为：

ax^2 + bx + c = 0

其中a、b、c为已知数，x为未知数。

二、解法

1. 因式分解法：

若一元二次方程可以被因式分解，可以使用因式分解法求解。首先，我们要将方程化简为(ax - m)(nx - n) = 0的形式，其中m、n为常数。然后，我们令(ax - m) = 0和(nx - n) = 0，解得x = m/a和x = n/b。这样即

可得到方程的两个根。

2. 完全平方公式：

对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，若其能够表示为某个二次多项式的平方形式，即存在常数m使得ax^2 + bx + c = (x + m)^2，那么我

们可以使用完全平方公式求解。根据完全平方公式，方程的两个根为x = (-b + √(b^2 - 4ac))/(2a)和x = (-b - √(b^2 - 4ac))/(2a)。

3. 公式法：

若一元二次方程无法被因式分解，也无法使用完全平方公式求解，

我们可以使用求根公式求解。根据求根公式，方程的两个根为x = (-b + √(b^2 - 4ac))/(2a)和x = (-b - √(b^2 - 4ac))/(2a)。这种解法适用于所有的

一元二次方程。

4. 配方法：

如果一元二次方程无法因式分解，无法使用完全平方公式，也无法

使用求根公式求解，我们可以尝试使用配方法求解。配方法是通过构

造一个临时的二次方程，使其能够被因式分解，从而求得原方程的解。配方法的具体步骤略复杂，需要根据具体方程进行推导。

一元二次方程定义及其解法

班级姓名课题一元二次方程定义及其解法（配方法）

一、目标导航

1. 掌握一元二次方程的定义及a,b,c 的含义；

2. 掌握配方法解一元二次方程的方法.

二、教学重难点

重点：1.掌握一元二次方程的定义及a,b,c 的含义；

2.掌握配方法解一元二次方程的方法.

难点：配方法解一元二次方程.

三、走进教材

知识点一：一元二次方程的定义

1.一元二次方程的定义：方程两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的方程叫做一元二次方程。

2. 一元二次方程的一般形式：()200ax bx c a ++=≠，其中2

ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数，bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数，c 叫做常数项。举例：2

230x x +-=

3. 一元二次方程的解：能使一元二次方程的左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，一元二次方程的解也可以叫做一元二次方程的根。

自主练习：下列方程中，是一元二次方程的有。（填序号） ①25x =； ②30x y +-=； ③253302x x +

-=； ④2(5)2x x x x +=-； ⑤23580x x

-+=； ⑥204y y -=。知识点二：配方法解一元二次方程

1. 解一元二次方程的思路：降次，即把二次降为一次，把一元二次方程转化为一元一次方程，化未知为已知，化繁为简，这是转化思想的体现。

2. 配方法：利用配方法将一个一元二次方程的左边配成完全平方形式，而右边是一个非负数，即把一个方程转化成()2x n p +=（p ≥0）的形式，这样解方程的方法叫做配方法。

九年级数学一元二次方程及其解法人教新课标

一元二次方程及其解法

一、目标认知学习目标：

1．理解一元二次方程的概念和一元二次方程根的意义，会把一元二次方程化为一般形式；

2．掌握直接开平方法、配方法、求根公式法、因式分解法解方程，会应用判定方法解决有关问题；

3．理解解法中的降次思想，直接开方法中的分类讨论与换元思想，配方法中的转化思想，理解求根公

式的推导过程，以及因式分解降次的实质.

学习重点：

掌握一元二次方程的解法.

学习难点：

体会解法中蕴含的数学思想.

二、知识要点梳理知识点一、一元二次方程的有关概念1．一元二次方程的概念：

通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．

2．一元二次方程的一般形式：

一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；

c是常数项．

要点诠释：

(1)只有当时，方程才是一元二次方程；

(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.

3.一元二次方程的解：

使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.

知识点二、一元二次方程的解法1．直接开方法解一元二次方程：

(1)直接开方法解一元二次方程：

利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.

(2)直接开平方法的理论依据：

平方根的定义.

(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：

①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解.

一元二次方程概念及解法

一元二次方程

一、一元二次方程的概念：

1、定义：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．补充关于初中常见代数式：

2、一元二次方程的一般式：

例1．已知（m －1）x |m|+1+3x －2＝0是关于x 的一元二次方程，求m 的值.

举一反三：

【变式】若方程2

(2)310m m x mx --=是关于x 的一元二次方程，求m 的值．

3、一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.

的两根求，

，的两根分别为为常数方程已知关于0)2(1-2)0,,,(0)(22=+++≠=++b m x a a m b a b m x a x

b a b b ax x x --=++求有一个非零根的一元二次方程关于,,02

二、一元二次方程的解法

1、基本思想：一元二次方程−−−

→降次

一元一次方程 2、常见解法：

直接开平方法：模型)0(2≥=p p x

因式分解理论基础：

（1）提公因式法

解方程： (1)3x+15＝-2x 2-10x ； (2)x 2-3x ＝(2-x)(x-3)．

（2）运用公式

完全平方公式：222()2a b a ab b ±=±+ 平方差公式：22()()a b a b a b +-=-

三数和平方公式：2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++

224(3)25(2)0x x ---= 22)25(96x x x -=+- 01442

=++x x

（3）十字相乘：化成标准形式之后“看两端，凑中间”

一元二次方程的概念及解法

一元二次方程的概念及解法一、二

【知识要点】

1．一元二次方程的概念

只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。即一元二次方程必须满足以下三个条件：①它是整式方程；②它只含一个未知数；③方程中未知数的最高次数是2。 2．一元二次方程的一般形式

02=++c bx ax （0≠a ）是一元二次方程的一般形式，即任何一个一元二次方程都可

以化成这样的形式。

2ax 称为一元二次方程的二次项，a 称为二次项系数；bx 称为一元二次方程的一次项，b

称为一次项系数；c 称为常数项。

在任何一个一元二次方程中，二次项是必不可少的项。 3．用直接开平方法解一元二次方程

形如()()02

≥=-b b a x 的方程，可用直接开平方法，求得方程的根为：

()0≥±=b b a x 。

4．一般的一元二次方程，可用配方法求解。其步骤是：

①化二次项系数为1，并把常数项移项到方程的另一侧，即把方程化为q px x -=+2

的形式；

②方程两边都加上22⎪⎭⎫ ⎝⎛p ，把方程化为44222

q p p x -=⎪⎭⎫ ⎝

⎛

+；

③当042

≥-q p 时，利用开平方法求解。

5．一元二次方程()002

≠=++a c bx ax 的求根公式是：

()

04242

2≥--±-=ac b a

ac b b x

【典型例题】

例1 判断下列方程是不是一元二次方程：（1）12=-y x （2）

=+x （3）01=-xy （4）322=+x x （5）()112=+-k x a （a 、k 是常数）（6）()()()

一元二次方程的基本概念与常见求解方法

知识点睛

一元二次方程的定义

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2，最高次数的项系数不为 0 的整式方程叫做一元二次方程．

一元二次方程的一般形式

2(0)0ax bx c a ++=≠，a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项．

（1）要判断一个方程是否是一元二次方程，必须符合以下四个标准：

一元二次方程是整式方程，即方程的两边都是关于未知数的整式．

一元二次方程是一元方程，即方程中只含有一个未知数．

一元二次方程是二次方程，也就是方程中未知数的最高次数是2．

一元二次方程最高次数的项系数不为0．

（2）任何一个关于x 的一元二次方程经过整理都可以化为一般式2

(0)0ax bx c a ++=≠．要特别注意对于关于 x 的方程2

(0)0ax bx c a ++=≠．当0a ≠时，方程是一元二次方程；当00a b =≠且时，方程是一元一次方程．（3）关于x 的一元二次方程2

(0)0ax bx c a ++=≠的项与各项的系数．ax 2 为二次项，其系数为a ；bx 为一次项，其系数为b ；c 为常数项．

一元二次方程的解法

（1）直接开平方法：适用于解形如 (ax +b )2 = ()00a c ≠，的一元二次方程．（2）配方法：解形如2 )00(ax bx c a ++=≠的一元二次方程，

运用配方法解一元二次方程的一般步骤是：

① 二次项系数化为1．

② 常数项右移．

③ 配方 (两边同时加上一次项系数一半的平方)．

④ 化成 (x +m )2 = n 的形式．

一元二次方程的解法及其应用

一元二次方程的解法及其应用一元二次方程是数学中常见的一类方程，形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知常数，x为未知数。解一元二次方程是数学学习中

的基础内容，它在各个领域有着广泛的应用。本文将介绍一元二次方

程的解法以及其在实际生活中的应用。

一、一元二次方程的解法

1. 一元二次方程的基本形式

一元二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知

常数，x为未知数。方程中的a不等于0，否则方程将退化成一元一次

方程或常数方程。

2. 因式分解法

当一元二次方程可因式分解时，可以通过因式分解求解其解。例如，对于方程x^2 - 5x + 6 = 0，可以通过因式分解得到(x - 2)(x - 3) = 0，从

而得到x = 2或x = 3，即方程的解为x = 2和x = 3。

3. 公式法

当一元二次方程无法通过因式分解时，可以使用求根公式求解。一

元二次方程的求根公式为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)。根据这个公式，可以解出方程的实数解或复数解。

若Δ = b^2 - 4ac > 0，方程有两个不相等的实数解；

若Δ = b^2 - 4ac = 0，方程有两个相等的实数解；

若Δ = b^2 - 4ac < 0，方程有两个共轭复数解。

二、一元二次方程的应用

1. 物理学中的应用

一元二次方程的应用在物理学中非常广泛。例如，在抛体运动中，

通过建立运动方程可以得到一个一元二次方程，解方程可以求得抛体

的运动轨迹、抛体达到最高点的时间、抛体的最大高度等信息。类似地，在波动、力学等领域也常常需要使用一元二次方程进行问题的求解。

一元二次方程的概念及解法

要点一、一元二次方程的概念

1．一元二次方程

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程． 2．一元二次方程的一般形式

()ax bx c a 2++=0≠0，a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项．

3.要点归纳

（1）要判断一个方程是一元二次方程，必须符合以下三个标准：

①一元二次方程是整式方程，即方程的两边都是关于未知数的整式． ②一元二次方程是一元方程，即方程中只含有一个未知数． ③一元二次方程是二次方程，也就是方程中未知数的最高次数是2．

（2）任何一个关于x 的一元二次方程经过整理都可以化为一般式ax bx c 2++=0 (a ≠0)．

要特别注意对于关于x 的方程ax bx c 2++=0．当a ≠0时，方程是一元二次方程；当a =0且b ≠0时，方程是一元一次方程．

（3）关于x 的一元二次方程式()ax bx c a 2++=0≠0的项与各项的系数．

ax 2为二次项，其系数为a ；bx 为一次项，其系数为b ；c 为常数项．

【例1】下面关于x 的方程中：①ax bx c 2++=0；②()()x x 223−9−+1=1；③x x

++5=0；④x x 23−2+5−6=0；⑤||x x 2−3−3=0；⑥x kx 2++3=0（k 为常数）是一元二次方程_________．【解析】（1）②⑥．

【变式1】判断下列各式哪些是一元二次方程． ①；②；③

；④

； ⑤ ；⑥ ；⑦ ．

【答案】②③⑥.

【解析】①不是方程；④

不是整式方程；⑤ 含有2个未知数，不是一元方程；⑦ 化简后没有二次项，不是2次方程. ②③⑥符合一元二次方程的定义．

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