线性空间-知识点及其注释
第1讲线性规划及单纯形法
问题
1.可行域顶点的个数是否有限？ 2.最优解是否一定在可行域顶点上达到？ 3.如何找到顶点？ 4.如何从一个顶点转移到另一个顶点?
28
线性规划问题解的特点
• 若线性规划问题存在唯一的最优解，那么它必定 在顶点上（基本可行解）。
• 若线性规划问题存在多个最优解，那么必有几个 相邻的顶点是最优解，其它最优解可以表示成这 几个顶点的凸组合。
300 台时 400 千克 250 千克
问题：工厂应分别生产多少单位Ⅰ、Ⅱ产品才能使工厂获利最多？ 线性规划模型：
目标函数：Max z = 50 x1 + 100 x2 约束条件：s.t. x1 + x2 ≤ 300
2 x1 + x2 ≤ 400 x2 ≤ 250
x1 , x2 ≥ 0
4
线性规划的组成要素： 目标函数 Max F 或 Min F 约束条件 s.t. (subject to) 满足于 决策变量 用符号来表示可控制的因素 建模步骤 1.理解要解决的问题，了解解题的目标和条件； 2.定义决策变量（ x1 ，x2 ，… ，xn ），每一组值表示一 个方案； 3.用决策变量的线性函数形式写出目标函数，确定最大化或最 小化目标； 4.用一组决策变量的等式或不等式表示解决问题过程中必须遵 循的约束条件。
基变量：与基向量pi相应的变量xi叫基变量，基变量有m个。
泛函分析讲义
第三章 赋范空间
3.1. 范数的概念
“线性空间”强调元素之间的运算关系，“度量空间”则强调元素之间的距离关系，两者的共性在于：只研究元素之间的关系，不研究元素本身的属性。
为了求解算子方程，需要深入地了解函数空间的结构与性质，为此，我们不仅希望了解函数之间的运算关系和距离关系，还希望了解函数本身的属性。那么，究竟需要了解函数的什么属性呢？ 3.1.1. 向量的长度
为了回答上述问题，我们需要从最简单的函数空间——欧氏空间——中寻找灵感。回想一下，三维欧氏空间中的元素被称为“向量”，向量最重要的两大属性是：长度和方向，向量的许多重要性质都是由其长度和方向所决定的。这一章的任务就是将欧氏空间中向量的长度推广为（以函数空间为原型的）一般线性空间中元素的广义长度，下一章的任务就是将欧氏空间中向量的方向推广为（以函数空间为原型的）一般线性空间中元素的广义方向。可以想象：其元素具有广义长度和广义方向的线性空间必将像欧氏空间那样，呈现出丰富多彩的性质，并且这些性质必将有助于求解算子方程。
图3.1.1. 三维欧氏空间中向量的大小和方向
矩阵论知识告诉我们：可以为欧氏空间中的向量赋予各种各样的长度，并且可以根据问题需要来选择最合适的向量长度。实际上，可以在数域F 上的n 维欧式空间n F 上定义向量12(,,
,)n x x x x 的如下三种长度（称为“范数”）：
● 2-范数（也称为欧氏范数）
：2x =
● 1-范数：11
n
k k x x ==∑；
● ∞-范数：1max k k n
x
x ∞
≤≤=。
图3.1.2. 三种向量范数对应的“单位圆” 图3.1.3. “单位圆”集合的艺术形式
新教材数学人教B版选择性必修第一册课件：1.1.2 空间向量基本定理
[解] ―AM→＝―A→B ＋―BM→＝―A→B ＋12 B―C→′ ＝―A→B ＋12 (B―B→′＋―B→C )＝―A→B ＋12 B―B→′＋12 (―A→C －―A→B ) ＝b＋12 a＋12 (c－b)＝b＋12 a＋12 c－12 b＝12 a＋12 b＋12 c. ―A→N ＝A―A→′＋A―′―B→′＋B―′→N＝A―A→′＋A―′―B→′＋12 B―′―C→′ ＝a＋b＋12 (A―′―C→′－A―′―B→′)＝a＋b＋12 (c－b)＝a＋12 b＋12 c.
空间向量共面问题 [例2] (链接教科书第13页例1)如图所示，在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，求证：―B1→C ，―O→D ，―OC→1 是共面向量． [证明] 设C―1→B1＝a，C―1→D1＝b，―C1→C ＝c，
∵四边形B1BCC1为平行四边形，∴―B1→C ＝c－a.
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若A，B，C三点共线，则―A→B 与―A→C 共线．
()
(2)向量―A→B 与向量―C→D 是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上．
()
(3)若向量a ，b ，c共面，则表示这三个向量的有向线段所在的直线共面．
答案：(1)√ (2)× (3)×
∴e1，e2，e3不共面，∴x＋y＝2， 此方程组无解， 2x－y＝－1
计算机二级公共基础知识高频考点归纳总结
第一章数据结构与算法
算法
1、算法：是指解题方案的准确而完整的描述。算法不等于程序，也不等计算机方法，程序的编制不可能优于算法的设计。
2、算法的基本特征：是一组严谨地泄义运算顺序的规则，每一个规则都是有效的，是明确的，此顺序将在有限的次数下终止。特征包括：（1）可行性；（2）确定性（3）有穷性（4）拥有足够的情报。
3、算法的基本要素：一是对数据对象的运算和操作；二是算法的控制结构。
4、指令系统：一个计算机系统能执行的所有指令的集合。
5、基本运算包括：算术运算、逻借运算、关系运算、数据传输。
6、算法的控制结构：顺序结构、选择结构、循环结构。
7、算法基本设计方法：列举法、归纳法、递推、递归、减斗递推技术、回溯法。
8、算法复杂度：算法时间复杂度和算法空间复杂度。
9、算法时间复杂度是指执行算法所需要的计算工作量。
20、算法空间复杂度是指执行这个算法所需要的内存空间。
数据结构的基本基本概念
1、数据结构研究的三个方面：（1）数据集合中各数据元素之间所固有的逻借关系，即数据的逻辑结构：（2）在对数据进行处理时，各数据元素在计算机中的存储关系，即数拯的存储结构：（3）对各种数据结构进行的运算。数据结构是指相互有关联的数据元素的集合。
2、数据的逻辑结构包含：（1）表示数据元素的信息；（2）表示各数据元素之间的前后件关系。数据的
存储结构有顺序、链接、索引等。
3、线性结构条件：（1）有且只有一个根结点；（2）每一个结点最多有一个前件，也最多有一个后件。非线性结构：不满足线性结构条件的数据结构。
线性表及其顺序存储结构
数据结构考研知识点总结
设 str1 和 str2 分别指向两个单词所在单链表的头结点， 链表结点结构为 （data，next） ， 请设计一个时间上尽可能高效的算法，找出由 str1 和 str2 所指向两个链表共同后缀的起始 位置（如图中字符 i 所在结点的位置 p）。要求：
（1）给出算法的基本设计思想。 （2）根据设计思想，采用 C 或 C++或 JAVA 语言描述算法，关键之处给出注释。 （3）说明你所设计算法的时间复杂度。 分析：两个单链表有公共结点，则从公共结点开始，它们的 next 都指向同一个结点。 由于每个单链表结点只有一个 next 域，因此，从第一个公共结点开始，之后它们所有的结 点都是重合的，不可能再出现分叉。因此，我们判断两个链表是不是有重合的部分，只要分 别遍历两个链表到最后一个结点。如果两个尾结点是一样的，说明它们有公共结点；否则两 个链表没有公共的结点。 因为两个链表长度不一定一样， 在顺序遍历两个链表到尾结点时， 并不能保证在两个链 表上同时到达尾结点。 假设一个链表比另一个长 k 个结点， 我们先在长的链表上遍历 k 个结 点，之后再同步遍历，此时能够保证同时到达最后一个结点。在遍历中，第一个相同的结点 就是第一个公共结点。 （1）算法思想：根据两个单链表的长度，求出它们的长度之差；在长的单链表上先遍 历长度之差个结点； 同步遍历两个单链表， 直接找到相同的结点， 若有相同结点返回该节点， 若没有则一直到链表结束。 （2）算法实现： LinkList search（LinkList str1， LinkList str2， int len1， int2） { if（len1>len2） {long=str1->next; short=str2->next; k=len1-len2;} else { long=str2->next; short=str1->next; k=len2-len1;} while(k) {long=long->next; k--;} while(long) { if(long==short) return long; else { long=long->next; short=short->next;} } return NULL; } （3）由于每个表仅遍历一遍，因此算法时间复杂度为 O(len1+len2)，空间复杂度为 O(1)。 四、练习题 （一）选择题 1．下述哪一条是顺序存储结构的优点？（ A ） A．存储密度大 B．插入运算方便 C．删除运算方便 D．可方便地用于各种逻辑结构的存储表示
第5节 线性子空间的基与维数
( ai 1 xi )1 ( ai 2 xi ) 2 ( air xi ) r 0
i 1 i 1 i 1
r
Biblioteka Baidu
r
r
ai 1 xi ai 2 xi air xi 0
i 1 i 1 i 1
r
r
r
a11 x1 a21 x2 ar 1 xr 0 a12 x1 a22 x2 ar 2 xr 0 a x a x a x 0 2r 2 rr r 1r 1
则 s r.
推论5.5 设W数域K上n维向量空间V的子空间, 则 W 的所有基都包含相同个数的向量。
证明 假设下面是W 的两个任意基
A : 1 , 2 ,, r , B : 1 , 2 ,, s
于是 由于A可由B线性表示并且A线性无关，
r s. 于是 由于B可由A线性表示并且B线性无关， s r.
x1 b1 几个例子表明：线性空 x x b 2 2 1 x1 x2 x3 b3 间的基不是唯一的，基 中的向量是有序的。 x x x x b 2 3 n n 1
解得坐标为
x1 b1 , x2 b2 b1 , x3 b3 b2 ,, xn bn bn1
a11 x1 a12 x2 a1 s x s 0 a21 x1 a22 x2 a2 s x s 0 a x a x a x 0 r2 2 rs s r1 1
第七章-线性变换练习题参考答案
第七章 线性变换练习题参考答案
一、填空题
1．设123,,εεε是线性空间V 的一组基，V 的一个线性变换σ在这组基下的矩阵是33112233(),,ij A a x x x V αεεε⨯==++∈则σ在基321,,εεε下的矩阵B ＝
1,T AT -而可逆矩阵T ＝001010100⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
满足1,B T AT -=σα在基123,,εεε下的坐标为
123x A x x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ .
2．设A 为数域P 上秩为r 的n 阶矩阵，定义n 维列向量空间n P 的线性变换:(),n A P σσξξξ=∈,则1(0)σ-＝{}|0,n A P ξξξ=∈，()1dim (0)σ-＝n r -，()dim ()n P σ＝r .
3．复矩阵()ij n n A a ⨯=的全体特征值的和等于1n
ii i a =∑ ，而全体特征值的积等于
||A .
4．设σ是n 维线性空间V 的线性变换，且σ在任一基下的矩阵都相同，则σ为__数乘__变换 .
5．数域P 上n 维线性空间V 的全体线性变换所成的线性空间()L V 为2n 维线性空间，它与n n P ⨯同构.
6．设n 阶矩阵A 的全体特征值为12,,
,n λλλ，()f x 为任一多项式，则()f A 的全体特征值为12(),(),
,()n f f f λλλ . 7．设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2231A ，则向量⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛11是A 的属于特征值 4 的特征向量． 8．若⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛--=100001011A 与1010101k B k ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭相似，则k = -1/2 ． 9．设三阶方阵A 的特征多项式为322)(23+--=λλλλf ，则=||A 3 ．
高级计量经济学
第3章 最小二乘法和最小二乘估计
Chapter 3 Least Squares
线性模型中的参数估计有多种方法，其中最小二乘法是最为著名的。即使已经发现其他方法比较优越，但是最小二乘法仍然是线性模型估计的基础方法，最小二乘估计的性质已经得到了广泛应用。
§3.1 最小二乘回归(least squares regression)
随机线性关系i i i y ε+'=βx 中的未知系数是我们考虑的重点，也是我们进行估计的主要目标。这时我们有必要区分母体变量(例如β和i ε)和它们的样本估计，对应地表示为b 和i e 。母体回归方程可以表示为：
βx x i i i y E '=]|[
它的估计表示为：
b x i i y '=ˆ (3.1) 与第i 个数据点相关的扰动项可以表示为：
βx i i i y '-=ε (3.2) 如果获得了回归系数的估计，则可以利用回归方程的残差来估计随机扰动项，即
b x i i i y e '-= (3.3) 根据这些定义和表示，可以得到：
i i i i i e y +'=+'=b x βx ε (3.4)
母体量β是每个i y 的概率分布中的未知系数，我们希望利用样本数据),(i i y x 来估计这些参数。虽然这是一个统计推断问题，但是我们仍然可以直观地认为应该选取向量b ，使得拟合直线b x i '尽量地靠近数据点。
如果描述这种靠近性，需要一定的拟合准则，其中最为广泛使用的是最小二乘法。
§3.1.1 最小二乘系数向量
可以通过极小化下述残差平方和来获得最小二乘系数向量。
计算机二级考试选择题必背知识点(公共基础+计算机基础)
计算机二级考试选择题必背知识点
公共基础
第一章数据结构与算法
§1.1 算法
1.算法的定义：是指解题方案的准确而完整的描述。（算法不等于程序，程序的设计不可能优于算法的设计）
2.算法的基本特征：可行性、确定性、有穷性、足够的情报。
3.算法的基本要素：
4.算法的时间和空间复杂度：算法的时间复杂度和算法的空间复杂度相互独立。
§1.2 数据结构的基本概念
1.数据：需要处理的数据元素的集合，一般来说，这些数据元素，具有某个共同的特征。
(1)数据元素是数据的基本单位，即数据集合中的个体。
(2)有时一个数据元素可有若干数据项组成。数据项是数据的最小单位。
2.结构：是集合中各个数据元素之间存在的某种关系（或联系）。
3.数据结构：是指相互有关联的数据元素的集合。
4.数据结构的分类：
(1)逻辑结构：线性结构（线性表、栈、队列）；非线性结构（树、图）。
(2)存储结构：顺序存储；链式存储。
(3)运算：插入、删除、查找、排序。
5.逻辑结构：反应数据元素间的逻辑关系（即前后件关系）的数据结构。
(1)线性结构（线性表）：（举例：春→夏→秋→冬）
a.有且只有一个根节点，它无前件；
b.每一个节点最多有一个前件，也最多有一个后件。
(2)非线性结构：
a.不满足以上两个条件的数据结构就称为非线性结构；
b.非线性结构主要是指树形结构和网状结构。
6.存储结构：又称为数据的物理结构，是数据的逻辑结构在计算机存储空间中的存放方式
(1)顺序存储结构：主要用于线性的数据结构，它把逻辑上相邻的数据元素存储在物理上相邻的存储单元里。
(2)链式存储结构：每一个结点至少包含一个指针域，用指针的指向来体现数据元素之间在逻辑上的联系。
西北大学计算机专硕研究生入学考试历年真题图文稿
西北大学计算机专硕研究生入学考试历年真题
集团文件发布号：（9816-UATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-
西北大学2015年招收攻读硕士学位研究生试题(回忆版) 科目名称：数据结构科目代码：851
适用专业：计算机技术、软件工程共2页
答案请答在答题纸上，答在本试题上的答案一律无效。
一、简答 [每小题6分，共30分]
1、简述四类基本的数据逻辑关系，并用图表示。
2、简述数组、广义表属于线性表原因。
3、算法的定义及特性。
4、什么是平衡二叉排序树平衡因子的取值范围是什么
5、简述稳定排序含义，给出两种稳定排序方法以及两种不稳定排序方法名称并证明。
二、分析与方法选择 [每小题10分，共30分]
1、折半查找法对待查找的列表哪两个要求？
答：必须采用顺序存储结构；必须按关键字大小有序排列。
2、分析快速排序的性能（最好情况、最坏情况）。
3、关于二叉树结点度数的计算。（牢记二叉树的5条性质，会计算二叉树及K叉树相关的计算。）
三、构造结果 [每小题8分，共40分]
1、已知一棵二叉树的前序序列及后序序列，给出其对应的二叉树。
备注：西大历年试卷都是给出前序序列、中序序列或者中序序列、后序序列，写出对应的二叉树，这种题型很好做，且结果给出的二叉树唯一。但是2015年试题给出的是已知前序序列、后序序列，求对应的二叉树，这题我们平时几乎都没做过，但是其实也不难，往往给出前序序列、后序序列，构造的二叉树不是唯一的，但是这次考题设置的巧妙，最后给出的结果二叉树应该是唯一的。这道题具体我也不记得了，反正有点难，我也花了很长时间最后才做出来的。
第4节 线性子空间
注释2 线性空间V的两个子空间的并是子空间吗？
两个子空间的并不一定是子空间， 例如
W （1）W是V的子空间。显然， V .
情形1 假设 1 , 2 , , r 线性相关。
此时是对任意的向量 V , 向量组 1 , 2 , , r ,
都线性相关，从而 V W , 于是 W V .
情形1 假设 1 , 2 , , r 线性无关。
于是 0 W , 即 W . 显然 1 , 2 , , r ,0 线性相关， 如果 , W , 则两个向量组
V1 V2 是V的子空间，但是 V1 V2 且 V2 V1 .
由子集合定义知， 存在 V1 , V2 ; V2 , V1 .
显然 , V1 V2 . 由子空间定义知， V1 V2 .
由集合并运算的定义知， V1 或 V2 . 不妨假设 V1 , 则 = ( + )- V1 , 矛盾。
L(1 , 2 , 3 ) 就是过立体空间原点的直线。
则 如果 1 , 2 , 3 不全为0，三者不共线且共面，
ap-fdvmk全国计算机等级考试二级公共基础知识点总结
、
.～
①我们‖打〈败〉了敌人。
②我们‖〔把敌人〕打<败〉了。
1、算法是指解决方案的准确而完整的描述
2、算法的四个基本特性: 可行性确定性有穷性拥有足够的情报
3、算法有两个基本的要素组成：一、数据对象的运算和操作二、算法的控制
结构
4、计算机中的基本操作算术运算逻辑运算关系运算数据运算
5、算法的控制结构给出了算法的基本框架,不仅决定了算法中各操作的执行顺序,
而且也直接反应了算法的设计是否符合结构化的原则.一个算法都可以用顺序、选择、循环3钟基本控制结构组成
6、算法的复杂度主要包括时间复杂度和空间复杂度
7、算法的时间复杂度是执行算法所需要的计算工作量. 他不仅应该与使用的计算
机、程序设计语言及程序编制者无关，而且应该与算法实现过程中的许多细节无关.
8、算法的空间复杂度是指执行这个算法所需要的内存空间。
9、如果一个数据结构中没有一个数据元素，则称该数据结构为空的数据结构。
10、根据数据结构中个数据元素之间前后件关系的复杂程度,一般将数据结构分为
线性结构和非线性结构
11、如果一个非空的数据结构满足1、有且只有一个根结点；2、每一个结点最多
有一个前件，也最多有一个后件，则称该数据结构为线性结构。线性结构又称线性表。
12、在一个线性结构中插入或删除任何一个结点后还是线性结构。
13、在计算机中存放线性表，一种最简单的方法是顺序存储。、
14、线性表的顺序存储结构具有两个基本的特点:一、线性表中所有元素所占的存储
空间是连续的。二、线性表中各数据在存储空间中是按逻辑顺序依次存放的.
15、线性表的插入运算和删除运算P。8-9
拓扑学第三章几种特殊类型的拓扑空间
第三章 几种特殊类型的拓扑空间
说明：本章是将教材中“可数性公理”和“分离性公理”两张内容合并在一起，并且将连通性内容放在后面讲，它们之间是独立的。
在前面讨论中已经看到，在度量空间中某些熟知的性质 在一般拓扑空间中看我能不存在，这说明：拓扑学借助度量空间中邻域概念作为公理时，它只概括了度量空间上的最基本性质，而不能概括全部性质，因此，人们提出了另外一些公理来弥补原有公理体系的不足。
本章介绍两个可数性公理和四个较常见的分离公理123,,T T T 和4T 公理。
§ 3-1 第一与第二可数公理
基、局部基对于确定X 上的拓扑，以及验证映射的连续性等都有重要意义。而基、局部基中成员越少，讨论就越方便。所以，我们试图通过对基或局部基成员加以限制，形成一类较简单的空间。
定义1 若拓扑空间的基或局部基是可数集族，则分别称可数基和局部可数基。
解释：此处可数是指基或局部基中成员数目是可数的，不是指成员本身是可数集。
定义2 拓扑空间X 在它的每一点处都有可数局部基，则称X 为满足第一可数性公理的空间，简称为1C 空间。
定义3 如果拓扑空间X 有可数基，则称X 为满足第二可数性公理的空间，简称为2C 空间。 例1 （1C 空间的例子）
结论：每个度量空间都是1C 空间（τ为度量诱导的拓扑）。
解释：因为，设(,)x X d ∈，记 1
{(,)
}x B x n N n =∈B （注：1(,
)B x n
为半径
1n
的球形邻域）
则x B 为x 的邻域族。
设U 是x 的任一邻域（即，以x 为内点的集合），则存在0ε>，使得(,)B x U ε⊂。因此，x B 为x 处的局部基，且是可数的集族。即X 是1C 空间。
矩阵理论讲义第三章 线性空间与线性变换
(8) 1a = a
则称V 为数域 F 上的线性空间，称V 的元素为向量， 称满足(1)-(4)的和为加法，满足(5)-(8)的积为数乘。
3
GEM
一个非空集合V
一个数域F 两种运算（向量加法和向量与数的乘法）封闭
8条规则满足
GEM
例1. 实数域上全体 n 维向量的集合
Rn = { ( x1 , x2 ,, xn )T | x1 , x2 ,, xn R }
为 R3 的一组基， 求a = (1,0,-1)T 在基
a1 , a 2 , a 3 下的坐标。
28
GEM
分析：所谓求一个向量在一组基下的坐标， 归根结底是线性表示问题，而线性表示问题 往往转化为线性方程组解的存在性问题。
GEM
a = x1a1 + x2a 2 + x3a 3
=1 x1 1 x1 =0 2 x1 + x2 0 = 2 x1 + x2 1 3 x + 2 x + x 3 x + 2 x + x = 1 2 3 2 3 1 1
14
GEM
(5) 1 a = a 1 = a;
(6) l a = l a = a
l
= a l = l a;
线性空间-知识点及其注释
第五章 线性空间-知识点及其注释
知识点：n 维数组向量，向量空间，线性空间，线性组合，线性表示，向量组等价，线性相关，线性无关，极大无关组，秩，生成子空间，子空间，基，维数，坐标，基变换，坐标变换，同构，交子空间，和子空间，直和，线性方程组的解空间，基础解系，特解，通解。
#n 维数组向量#简称为n 维向量，是指由数域F 中n 个数n a a a ,,,21 组成的n 元有序数组，常记为12(,,,)T n a a a 或),,,(21n a a a ，又称为n 元（数组）向量。由数域F 上所有n 维数组向量所构成的线性空间称为n 维（元）（数组）向量空间，记为n F 。
#线性组合#表达式1122s s k k k ααα+++称为向量组s ααα,,,21 的系数分别为12,,,()s k k k F ∈的线性组合，s k k k ,,,21 称为线性组合系数。 #线性表示#向量α可由向量组s ααα,,,21 线性表示(出)是指存在数域F 中的数s k k k ,,,21 ,使1122s s k k k αααα=+++。
向量组s ααα,,,21 可由向量组12,,,t βββ线性表示是指每个i α（1,2,...,i s =）都可由向量组12,,,t βββ线性表示。显然，向量组的线性表示具有传递性。
在n F 中，向量α可由向量组s ααα,,,21 线性表示⇔线性方程组
1122
s s x x x αααα+++=有解⇔ 1212(,,
,,)(,,
,)s s rank rank ααααααα=。
计算机二级C++基础知识(整理版)
计算机二级C++基础知识
算法
算法：是解题方案的准确而完整的描述。通俗地说，算法就是计算机解题的过程。算法不等于程序，也不等于计算方法，程序的编制不可能优于算法的设计。
(1)确定性，算法中每一步骤都必须有明确定义，不允许有模棱两可的解释，不允许有多义性；
(2)有穷性，算法必须能在有限的时间内做完，即能在执行有限个步骤后终止；
(3)可行性，算法原则上能够精确地执行；
(4)拥有足够的情报。
算法效率的度量—算法复杂度：算法时间复杂度和算法空间复杂度。★★★
算法时间复杂度：指执行算法所需要的计算工作量。即算法执行过程中所需要的基本运算次数。（时间_次数）
算法空间复杂度：指执行这个算法所需要的内存空间。（空间_内存）
数据结构的基本概念
数据结构：指相互有关联的数据元素的集合。
数据结构研究的三个方面：
(1)数据集合中各数据元素之间所固有的逻辑关系，即数据的逻辑结构；(原始结构)
(2)在对数据进行处理时，各数据元素在计算机中的存储关系，即数据的存储结构; (进行时结构)
(3)对各种数据结构进行的运算。
线性结构的条件，(一个非空数据结构)：
(1)有且只有一个根结点；(2)每一个结点最多有一个前件，也最多有一个后件。
非线性结构：不满足线性结构条件的数据结构。
线性表及其顺序存储结构（空间存储连续、元素衔接）
线性表的顺序存储结构具有以下两个基本特点：
(1)线性表中所有元素所占的存储空间是连续的；
(2)线性表中各数据元素在存储空间中是按逻辑顺序依次存放的。
顺序表的运算：查找、插入、删除。
线性链表
数据结构中的每一个结点对应于一个存储单元，这种存储单元称为存储结点，简称结点。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第五章 线性空间-知识点及其注释
知识点：n 维数组向量，向量空间，线性空间，线性组合，线性表示，向量组等价，线性相关，线性无关，极大无关组，秩，生成子空间，子空间，基，维数，坐标，基变换，坐标变换，同构，交子空间，和子空间，直和，线性方程组的解空间，基础解系，特解，通解。
#n 维数组向量#简称为n 维向量，是指由数域F 中n 个数n a a a ,,,21 组成的n 元有序数组，常记为12(,,,)T n a a a 或),,,(21n a a a ，又称为n 元（数组）向量。由数域F 上所有n 维数组向量所构成的线性空间称为n 维（元）（数组）向量空间，记为n F 。 #线性组合#表达式1122s s k k k ααα++
+称为向量组s ααα,,,21 的系数分别
为12,,,()s k k k F ∈的线性组合，s k k k ,,,21 称为线性组合系数。 #线性表示#向量α可由向量组s ααα,,,21 线性表示(出)是指存在数域F 中的数s k k k ,,,21 ,使1122s s k k k αααα=++
+。
向量组s ααα,,,21 可由向量组12,,,t βββ线性表示是指每个i α（1,2,...,i s =）都可由向量组12,,,t βββ线性表示。显然，向量组的线性表示具有传递性。
在n F 中，向量α可由向量组s ααα,,,21 线性表示⇔线性方程组
1122s s x x x αααα++
+=有解⇔ 1212(,,
,,)(,,
,)s s rank rank ααααααα=。
#向量组等价#向量组s ααα,,,21 与向量组12,,,t βββ等价是指向量组
s ααα,,,21 与向量组12,,
,t βββ可以相互线性表示。显然，向量组等价是
等价关系，即具有自反性、对称性和传递性。
若矩阵Ａ经过有限次行初等变换成为Ｂ，则Ａ与Ｂ的行向量组等价。 #线性相关#向量组s ααα,,,21 线性相关是指存在数域F 中不全为零的数
s k k k ,,,21 ,使02211=+++s s k k k ααα ；否则称为线性无关。
对一个向量，线性相关即为零向量，线性无关即为非零向量；
12,,
,(2)s s ααα≥线性相关当且仅当其中一个可以有其余s －1个线性表示。
若向量组s ααα,,,21 线性无关，而12,,,,s αααα线性相关，则α可由向量组
s ααα,,,21 唯一地线性表示。
若向量组s ααα,,,21 线性相关，则12,,,,s αααα线性相关；若向量组
12,,
,,s αααα线性无关，则s ααα,,,21 线性无关。
在n F 中，向量组s ααα,,,21 线性相关⇔齐次线性方程组
11220s s x x x ααα++
+=有非零解⇔12(,,
,)s rank s ααα<；向量组s
ααα,,,21 线性无关⇔齐次线性方程组11220s s x x x ααα++
+=只有零解
⇔12(,,
,)s rank s ααα=；当s n >时，s ααα,,,21 一定线性相关。
设12(,,...,)T n i i i in a a a F α=∈，121(,,...,)i i i in in a a a a β+=，，1,2,...,i s =；那么，
s ααα,,,21 线性无关⇒12,,,s βββ线性无关；12,,
,s βββ线性相关
⇒s ααα,,,21 线性相关。
若矩阵Ａ经过有限次行初等变换成为Ｂ，则Ａ的列向量组s ααα,,,21 与Ｂ的列向量组12,,,s βββ具有完全相同的线性关系，即
1122112200s s s s k k k k k k αααβββ++
+=⇔++
+=，其中12,,
,()s k k k F ∈；从而
s ααα,,,21 线性相（无）关⇔12,,,s βββ线性相（无）关；12,,,r i i i ααα是
s ααα,,,21 的极大无关组⇔1
2
,,
,r i i i βββ是12,,
,s βββ的极大无关组。
若向量组s ααα,,,21 可由向量组12,,,t βββ线性表示,且s>t ，则
s ααα,,,21 线性相关；若向量组s ααα,,,21 可由向量组12,,,t βββ线性表示,
且s ααα,,,21 线性无关，则s t ≤；向量组s ααα,,,21 与向量组12,,,t βββ等价,且都线性无关，则s=t 。
#极大线性无关向量组#简称极大无关组，是指向量组(A)的一个部分向量组12,,...,r ααα,其本身线性无关,但从(A)中任意添加一个向量(如果还有的话)
1r α+,则121,,...,,r r αααα+都线性相关。一个向量组与其任一极大无关组等价；
一个向量组的任意两个极大无关组等价，从而所含向量的个数相等。 #秩#向量组(A)的秩是指其任一极大无关组所含向量的个数;记为rank(A)。矩阵的行（向量组的）秩，等于其列（向量组的）秩，也等于其秩（最高阶非零子式的阶）。
#线性空间#又称向量空间,是指数域F 上一非空集合V ,连同其中定义的两个满足以下八条法则的运算(分别称为加法和数乘, 记为+和⋅，统称为线性运算)，记为()V F ，其中的元素称为向量：αββα+=+；
()()αβγαβγ++=++； V 中存在零元素θ，即对V 中任一元素α，有
αθα+=；V 中每个元素α都有负元α-,即()ααθ+-=；1αα⋅=；
()()k l k l αα⋅⋅=⋅⋅；()k l k l ααα+⋅=⋅+⋅；()k k k αβαβ⋅+=⋅+⋅，其中,,,,V k l F αβγ∀∈∈。
#子空间#是指线性空间V 的一非空子集W ，其对V 的加法和数乘封闭，即满足对,,W k F αβ∀∈∀∈，有,k W αβα+∈；其本身也是线性空间。 #生成子空间#由向量组s ααα,,,21 生成的子空间是指由向量组
s ααα,,,21 的所有线性组合所构成的子空间； s ααα,,,21 称为其生成元。
生成的子空间必是子空间；反之，子空间必是其任一极大无关组（基）