二次函数中的数形结合。
例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用
例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用【摘要】二次函数教学中，数形结合思想的应用是非常重要的。
通过将数学与几何相结合，可以帮助学生更深入地理解二次函数的概念和特性。
通过实例分析和图形展示，学生能够直观地看到二次函数的图像与方程之间的关系，从而加深对这一知识点的理解。
通过实践操作，学生可以更好地掌握数学知识，提升他们的实际运用能力。
数形结合思想不仅可以提升学生的学习兴趣和效果，还可以帮助他们从多角度理解数学知识，提高数学素养。
在二次函数教学中，充分利用数形结合思想是非常有益的，可以有效提升学生的学习水平和综合素质。
【关键词】二次函数、数形结合、教学、图形、特性、实例分析、数学、几何、理解、实践操作、学习兴趣、学习效果、多角度、数学素养。
1. 引言1.1 二次函数教学的重要性二次函数作为高中数学中的重要内容之一，在学生数学学习中具有重要的地位。
学会了二次函数的相关知识，可以帮助学生理解和掌握高中数学中的很多概念和方法，为以后的学习打下坚实的基础。
二次函数的教学内容丰富多样，不仅可以帮助学生提高数学的解题能力，还可以培养学生的数学思维和创新能力。
二次函数具有许多独特的特性和规律，通过学习二次函数，可以让学生在数学上有更深入的认识和了解。
二次函数也广泛应用于生活和科学领域，学会了二次函数相关知识可以帮助学生更好地理解和解决实际问题。
二次函数教学的重要性不言而喻。
只有深入理解和掌握二次函数的相关知识，才能在数学学习中取得更好的成绩，为将来的发展打下坚实的基础。
二次函数的教学不仅具有重要的理论意义，更具有重要的实践意义。
通过深入的学习和实践，可以帮助学生更好地理解和应用二次函数相关知识，提高数学素养和解决实际问题的能力。
1.2 数形结合思想的意义数形结合思想在二次函数教学中扮演着至关重要的角色。
通过将数学与几何相结合，可以帮助学生更直观地理解抽象的数学概念，提高他们的学习兴趣与学习效果。
在二次函数这一抽象概念中，数形结合思想可以将函数的数学性质与图形的几何特征相联系，使学生更全面地理解二次函数的本质。
数形结合在二次函数中的应用
课题：数形结合在二次函数中的应用公主岭四中 曹立华教学目标：1． 知识目标：理解二次函数解析式与二次函数图像间的关系。
通过解析式本身蕴含的信息以及函数图像的直观表示，解决有关的问题。
2． 能力目标：通过本节课的学习，进一步掌握数形结合的数学思想以及数形互检的方法。
3． 情感目标：通过小组讨论活动，培养学生的团队协作精神。
教学过程：数形结合思想就是将几何与代数有机地结合，用数的观念来解决形的问题；或者用形的方法解决数的问题，是中考数学中的一个重要的思想方法。
今天我们着重研究数形结合在二次函数中的应用。
一、数促形，让感性的形多一分理性思考：从图中获取信息：学生可能从以下几方面考虑：（1）a 、b 、c 的符号（2）24b ac -的符号（3）顶点位置例1 已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，下列结论 ①0<++c b a ②0>+-c b a ③0>abc ④3c a >-中正确的个数是( )(A) 4 (B) 3 (C) 2 (D) 1分析：仔细观察抛物线的位置走向，关键点的位置坐标，以及解析式中各系数与图形性质的对应关系，再做出判断。
归纳：我们解题时会发现图形的特征常常体现着数的关系，运用“数”的规律，数值的计算，我们就可以寻找出处理“形”的方法，来达到“数促形”的目的。
图形问题可以转化为数量问题。
同样有时数量问题也可以转化为图形问题。
二、形帮数，让理性的数多一些感性。
x… -3 -2 -1 0 1 2 … y … 12 5 0 -3 -4 -3 …（1）该抛物线对称轴的直线方程是 。
（2）若抛物线与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，求S △ABC分析：此题若先求解析式，后求对称轴，计算较繁，通过“形”利用对称性简单明了。
练习1：抛物线开口向上，顶点在坐标原点，将该抛物线向下平移15个单位后，与x 轴相交的两交点间的距离是15，则平移后的抛物线解析式为 。
例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用
例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用数形结合思想在二次函数教学中的应用是非常重要的。
二次函数是高中数学中的重要内容，它在解决实际问题时，往往需要将数学知识与几何图形相结合，才能更好地进行分析和解决。
在讲解二次函数的基本概念时，可以借助几何图形进行解释。
通过绘制抛物线的图像，让学生直观地感受到二次函数的特点和性质。
可以引导学生观察图像的特点，如顶点、对称轴、开口方向等。
通过观察图像，学生可以更深入地理解二次函数的定义和性质。
数形结合思想在解决二次函数的最值问题时也能起到很大的帮助。
当需要求一个二次函数在一定区间内的最大值或最小值时，可以通过分析几何图像的形状来确定最值的位置。
如果是一个开口向上的抛物线，最小值即为顶点的纵坐标；如果是一个开口向下的抛物线，则最大值为顶点的纵坐标。
通过这种数形结合的思想，学生不仅可以快速找到最值的位置，还能够对最值的意义有更深入的理解。
数形结合思想在解决二次函数方程的根的个数和位置问题时也很有用。
通过绘制抛物线的图像，可以让学生观察到抛物线与x轴交点的个数和位置与方程的根的个数和位置是一致的。
如果抛物线与x轴只有一个交点，那么方程也只有一个实根；如果抛物线与x轴有两个交点，那么方程有两个实根；如果抛物线与x轴没有交点，那么方程没有实根。
通过这种数形结合的思想，学生可以更好地理解二次函数方程根的个数与位置的关系。
数形结合思想在解决二次函数的图像变换问题时也能起到很大的帮助。
在讲解平移变换时，可以通过移动抛物线的顶点，让学生理解平移变换对函数图像的影响；在讲解伸缩变换时，可以通过改变抛物线的开口程度，让学生理解伸缩变换对函数图像的影响。
通过这种数形结合的思想，学生可以更直观地理解各种函数变换的效果和特点。
二次函数中的数形结合
“素质杯”教学大赛教学设计学校山泉镇第二中学姓名唐荣鑫课题二次函数中的数形结合教学目标知识与技能会用数形结合思想解决二次行数问题，学生在探索中学会二次函数中的数量关系与图形关系的相互转化，体会数与行的密切关系。
感悟数形结合在解题中的作用，培养学生探索、求知的浓厚兴趣。
过程与方法情感态度与价值观教学重点体会数形的关系，渗透数学思想及解题的方法和技巧教学难点应用数形结合思想解决问题，提高学生的解题能力教学过程及实施策略师生互动一、问题导入思考：如图，已知二次函数y=x2+4x+3,请回答下列问题: （1）说出此抛物线的对称轴和顶点坐标；（2）求抛物线与x轴的交点A、B的坐标,与y轴的交点C的坐标；（3）函数的最值和增减性；（4）x取何值时①y＜0 ；②y＞0二、新课传授例1：如图：已知：直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y=- x2+bx+c 经过点B、C，点A 是抛物线与x轴的另一交点。
（1）求抛物线的解析式。
（2）求A点的坐标。
（3）若抛物线顶点为D，求四边形ABDC的面积。
引入课题以问题带动知识点的回顾，引入数形结合通过画图像，应用数形结合思想解救问题：学生思考回答通过学生共同探究、研讨，合作、交流，增强学生学好数学的自信心。
D A例2：如图，已知抛物线y= a x2 +4ax+t (a>0)交x轴于A、B两点，交y轴于点c，抛物线的对称轴交x轴于点E,点B的坐标为（-1，0）（1）求点A的坐标；（2）过点C作x轴的平行线交抛物线的对称轴于点P，你能判断四边形ABCP是什么四边形吗？并证明你的结论。
（3）当∠BCO=30 度时，求抛物线的解析式。
三、习题拓展已知二次函数图像顶点坐标为C（2，1），且经过A（1，0），图像与Y轴交于点D（1）求这个二次函数解析式（2）求与X轴的另一个交点B的坐标（3）_______________________________(学生自行设计，并给予解答)四、小结1、感悟数形结合在二次函数中的作用2、通过这节课请同学谈一谈你们有哪些收获？学生在合作探索中学会二次函数中的数量关系与图形关系的相互转化，体会数与行的密切关系学生独立与合作相结合完成开放题目鼓励学生大胆说出自己体会板书设计二次函数中的数形结合教后反思。
数形结合思想在二次函数中的应用
数形结合思想在二次函数中的应用数与形是数学中的两个最古老，中学数学研究的对象可分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。
二次函数是初中数学教学的重要内容，集中体现了数形结合思想，本文结合二次函数的数学，探寻渗透数形结合思想的有效策略。
标签：数学结合；二次函数；应用著名数学家华罗庚先生在谈到数形结合的好处时曾作诗赞美：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。
数无形时少直觉，形少数时难入微。
数形结合百般好，隔离分家万事休。
切莫忘，几何代数流一体，永远联系莫分离。
”数形结合思想是指导学生数学学习的重要数学思想之一，掌握数形结合的方法，可以极大地提高学生的数学学习效果，训练学生的数学思维，让学生终身受益。
二次函数作为初中数学教学的重要内容，集中体现了数形结合思想，是训练数形结合方法的良好载体。
“数（代数）”与“形（几何）”是数学的两个基本研究对象，这两个内容既互相独立又互相联系，体现在数学解题过程中包括“以数解读形”和“以形分析数”两个方面。
数形结合思想就是把数和形有机组合，使数学问题得到转化，“形”让“数”更具体明了，“数”使“形”更形象灵活。
因此，数形结合思想在数学解题中有广泛的应用。
数形结合思想在二次函数中的应用比较广泛，借助数形结合思想可以方便快捷地解决二次函数问题，怎样利用数形结合思想解决二次函数问题呢？要在解题中有效实现“数形结合”，最好能够明确“数”与“形”常见的结合点，从“以数助形”角度来看，主要有以下两个结合点：第一，以数轴、坐标系为桥梁把函数图象几何化；第二，利用面积、距离、角度等几何量来解决二次函数问题。
一、二次函数中的形转数二次函数图象的顶点在原点0，经过点A（1，1）；点F（0，1）在y轴上，直线y=1与y轴交于点H。
（1）求二次函数的解析式；（2）点P是（1）中图象上的点，过点P作x轴的垂线与直线=y-1交于点M，求证：FM平分∠OFP。
解析：二次函数的解析式可以顺利解决，对于（2）点P是（l）中图象上的点，过点P作X轴的垂线与直线=y-1交于点M，求证：FM平分∠OFP；我们要挖掘图象蕴含的信息，PM平行于y轴，可得∠OFM=∠PMF，接下来探究乙PMF是否等于∠PFM，因为P在二次函数的图象上，可以设出P点的坐标，那么由P向y 轴作垂线段PB，构造直角三角形，利用勾股定理表达出PF的长度，依据P的坐标可以表示PM的长度，那么可以证明PF=PM，于是可以得到∠PM=F乙PFM，所以∠OFM=∠PFM，结论得到证明。
例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用
例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用二次函数教学中的“数形结合”思想的应用二次函数作为高中数学中的重要内容之一，其教学一直备受学生和教师的关注。
在二次函数教学中，要求学生不仅要能够掌握相关的概念和定理，还要能够应用所学的知识解决实际问题。
“数形结合”思想在二次函数教学中的应用显得尤为重要。
本文将针对二次函数教学中的“数形结合”思想进行分析和探讨，以期能够更好地引导学生理解和掌握二次函数的相关知识。
一、探究二次函数图像的特点在二次函数教学中，学生首先需要了解二次函数的图像特点。
一般来说，二次函数的图像是一个抛物线，其开口方向由二次项系数的正负性决定，开口向上的抛物线代表二次项系数大于0，开口向下的抛物线代表二次项系数小于0。
二次函数的顶点坐标、对称轴方程、零点坐标等也是学生需要掌握的内容。
通过学习这些内容，学生可以初步认识二次函数图像的特点，从而为后续的学习打下基础。
在教学中，可以通过让学生观察二次函数图像的变化，来引导他们探究二次函数图像的特点。
可以让学生改变二次函数的系数，观察对图像的影响，从而深入理解二次函数的图像特点。
老师还可以通过实例演示的方式，引导学生进一步理解二次函数图像的特点，激发学生的学习兴趣，提高他们对二次函数图像特点的理解能力。
二、数形结合的实际应用在学生掌握了二次函数的图像特点后，就可以引入“数形结合”思想，让学生将数学知识与实际问题相结合，进行实际应用。
可以通过实际问题来引导学生分析和解决问题，从而培养学生的数学建模能力和解决问题的能力。
通过实际问题的应用，还可以让学生更加直观地理解二次函数的意义和应用价值，提高他们对数学知识的兴趣和学习积极性。
在教学中，老师可以鼓励学生提出问题、进行实验和观察，从而引导他们进行自主探究。
通过这样的方式，学生可以更加深入地理解二次函数的相关知识，同时也可以培养其独立思考和问题解决的能力。
在探究性学习的过程中，老师要给予适当的指导和帮助，促进学生的学习成果，从而提高他们的学习效果。
例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用
例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用二次函数是高中数学中的一个重要内容，也是在高中阶段学习的数学中难度较大的一部分内容。
因此在教学中，除了传授相关的理论知识之外，也需要通过数形结合的方式来帮助学生更好地理解和掌握相关概念和技巧。
二次函数的图像可以通过利用传统的函数图像绘制方法进行绘制，也可以通过“配方法”求出二次函数的标准式，并根据标准式的含义来直接绘制出函数图像。
例如，二次函数y=x^2+2x+3，可以通过“配方法”将其转化为y=(x+1)^2+2，然后再根据该标准式的含义来绘制出函数图像。
在这个过程中，数形结合的思想则体现在以下方面：1. 通过绘制轴对称点将二次函数的图像分为两部分，易于描述和分析函数的性质。
2. 利用二次函数标准式的含义，将函数图像与函数的解析式联系起来，使学生更加直观地理解二次函数的特性和变化规律。
例如，二次函数y=-2x^2+4x-1，可以通过将其转化为y=-2(x-1)^2+3来描述函数的图像特征和性质。
其中，通过将二次函数标准式与函数解析式联系起来，帮助学生更好地理解函数的极值、零点及函数图像的开口方向等性质。
二次函数可以应用于解决一些与图形相关的实际问题，例如求解某个物体的最大投掷距离、最高高度等问题。
在这个过程中，数形结合的思想则更加明显地体现出来。
例如，若要求通过投掷一个物体，使得这个物体在空中飞行的距离最大，可以通过建立一个关于时间的二次函数来描述这个问题，并通过数形结合的方法来解决这个问题。
假设这个物体的投掷速度为v，投掷时的角度为α，则该物体在t时间内走过的距离可以表示为：S=v*t*cos(α)而该物体在无空气阻力的情况下，其垂直方向的位移可以表示为：h=v*t*sin(α)-0.5*g*t^2其中，g为重力加速度。
根据上述公式可以得出该物体在空中飞行的总时间为：于是该物体飞行的距离可以表示为：D=v*cos(α)*T=2*v^2*sin(α)*cos(α)/g然后，将上述公式转化为关于α的函数，则有：由此可以得出该二次函数在α=45°时取得最大值。
二次函数数形结合
（3）点(6, )为 与 的交点坐标，求 的值．
（4）在移动过程中，若 与 有两个交点，设 的对称轴分别交线段DE和 于M、N两点，若
MN< ，直接写出 的取值范围．
例3.抛物线 ： 与 轴交于A，B两点（A在B的左侧），与 轴交于点C(0, −3)
（1）求抛物线的解析式；
（2）将抛物线 向上平移7个单位长度，再向左平移 （ >0）个单位长度，得到新抛物线，若新抛物线的顶点P在△ABC内，求 的取值范围；
（3）将 轴下方的抛物线图象关于 轴对称，得到新的函数图象C，若直线 与图象C始终有3个交点，求满足条件的 的取值范围．
【知识点二】二次函数与格点
（2） 为偶数，且 经过点A(1, 0)和B(2, 0)，通过计算说明点F(0, 2)和H(0, 1)是否在该抛物线上；
（3）若 经过这九个格点中的三个，直接写出所有满足这样条件的抛物线条数．
练4.如图，2×2网格（每个小正方形的边长为1）中，有A，O，B，C，D，E，F，H，G九个格点．抛物线 的解析式为 ．
格点问题
二次函数与格点问题解决方法:
①寻找二次函数特征②数形结合确定二次函数位置③代数进行计算
例4.如图，2×2网格（每个小正方形的边长为1）中有A，B，C，D，E，F，G、H，O九个格点．抛物线 的解析式为 （ 为整数）．
（1） 为奇数,且 经过点H(0, 1)和C(2, 1)，求 的值，并直接写出哪个格点是该抛物线的顶点；
（m为常数）交 轴于点M，N两点；
（1）当 = 2时，求出抛物线的顶点坐标及线段MN的长；
（2）对于抛物线 （ 为常数）．
数形结合思想在二次函数问题中的应用探析
2020年36期208数形结合思想在二次函数问题中的应用探析李佳彬（福建省南安国光中学，福建 南安 362321）二次函数是我国中考必考的常见知识点，而且二次函数的考察方式也是十分灵活的，二次函数既可以以现实生活中实际的问题作为载体进行考察，又能出现在一些综合题中。
在对学生进行二次函数考察的过程中，能够很好地检验出学生对于二次函数知识掌握的情况，并巩固学生所学。
初中数学教师在教学的过程中需要结合数形结合的思想，让学生可以更加深入地理解二次函数的深刻含义。
一、数形结合思想的概述数形结合的思想主要包括两个方面，主要为“以数论性”和“以形论数”。
在年代比较久远的《中国数学杂志》中，就曾经提到过“形”与“数”之间比较密切的关系。
有关数形结合这一概念正式出现的地方是在我国著名数学家华罗庚的《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》一书中。
华罗庚在书中这样说道：“数无形而少直观，形无数而难入微”，通过数和形的相互转化能够简化一些比较复杂的难以理解的数学问题，体现了数学中精简的思想。
数形结合这种思想将直观的图像和数学语言相结合，将形象的思维和抽象的思维相结合，可以通过直观的图形发挥出抽象概念的支柱作用。
通过这种相互转化、相互补充，使得数形结合成为了解决数学问题的重要思想[1]。
二、数形结合思想在二次函数教学中的应用探析（一）从数到形，“以形论数”学过二次函数的我们都知道，y=ax2+bx+c的形式称之为二次函数，其中a、b、c是常数，a≠０，其中x是自变量，y是因变量，a、b、c是常 量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。
首先，数学教师要先让学生理解这个一元二次函数的内涵，让学生理解常数a不仅仅是二次函数中二次项的系数，也决定了二次函数图像的开口方向和开口的大小，常数a和b决定了二次函数对称轴的位置，常数c决定了二次函数y=ax2+bx+c与y轴交点的位置，在学生确定了常数a、b、c之后，就能确定二次函数的图像以及表达式。
例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用
例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用二次函数是初中高中数学中的重要内容，其教学既涉及到运算规律的讲解，也涉及到数学思维的培养。
在二次函数教学中，运用“数形结合”思想是非常有效的教学方法之一。
下面从二次函数教学中“数形结合”思想的应用方面进行探讨。
首先，二次函数图像与根的关系是教学中重要的内容。
二次函数的解析式为y=ax²+bx+c（a≠0），可以通过推导，得到二次函数的判别式△=b²-4ac，若△>0，则函数有两个不同的实根，若△=0，则函数有两个相同的实根，若△<0，则函数无实根。
在教学中，可以通过绘制二次函数的图像，让学生看得更直观。
通过图像观察，可以判断二次函数是否有根，若有，还可以计算出根的大致范围。
同时，也可以通过根的公式计算出根的精确值，并用数轴来表示。
这样，通过“数形结合”的方式，可以深化学生对二次函数图像和根的理解，加深记忆，提高学生的学习效果。
其次，二次函数图像的性质也是二次函数教学中的重点内容。
通过图像，可以发现，二次函数是一个开口朝上或朝下的抛物线。
当a>0时，抛物线开口朝上，二次函数的最小值为顶点坐标，当a<0时，抛物线开口朝下，二次函数的最大值为顶点坐标。
同时，二次函数的对称轴为y=-b/2a。
在教学中，可以通过绘制多组图像，让学生观察抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴等图像性质，并找出它们之间的联系。
通过这种“数形结合”的方式，可以帮助学生更加深入地理解二次函数图像的性质，从而提高学生的学习兴趣和学习积极性。
最后，二次函数的应用也是教学中不可忽视的内容。
二次函数常常在物理、工程等领域中得到应用。
例如，通过绘制二次函数图像，可以解决物理问题中的抛物线运动。
在教学中，可以通过引导学生分析实际问题，并建立相应的数学模型，进一步加深学生对二次函数的应用理解。
同时，通过数学软件的辅助，还可以帮助学生更加直观地观察二次函数图像，提高学生学习的趣味性和实用性。
二次函数的数形结合归纳
二次函数的数形结合一、一般式：y=ax 2+bx+c （a ≠0）顶点坐标)44,2(2a b ac a b --，对称轴是ab x 2-= 当ab x 2-=时，函数有最大(小)值为a b ac 442- 抛物线的开口方向和大小 a 的符号，︱a ︱越大开口越小 抛物线的形状相同︱a ︱相同对称轴在y 轴左侧 a ，b 同号对称轴在y 轴右侧 a ，b 异号正半轴 c ＞0与y 轴的交点（0，c ）位置 原点 c=0负半轴 c ＜0与x 轴的交点的横坐标 ax 2+bx+c=0 的解抛物线与x 轴有两个交点 a ≠0；△=b 2-4ac ＞0抛物线与x 轴有一个交点 顶点在x 轴上 抛物线与x 轴没有交点 a ≠0；△=b 2-4ac ＜0抛物线的顶点在y 轴上 b=0抛物线的顶点在原点3个交点 △＞0，c △＞0，c=0抛物线与坐标轴有 2个交点△=0，c ≠0 △＜01个交点b=c=0函数值恒为正（无论x 取何值，y 始终为正） a ＞0，△＜0 函数值恒为负（无论x 取何值，y 始终为负） a ＞0，△＜0 X 轴的对称抛物线是 y=-ax 2-bx-c 抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）关于 Y 轴的对称抛物线是 y=ax 2-bx+c原点的对称抛物线是 y=-ax 2+bx-c抛物线在x 轴上截得的线段长度—————︱x 1-x 2︱=aac b 42- a ≠0；△=b 2-4ac=0二、顶点式：y=a(x+m)2+k(a ≠0)的顶点是（－m ，k ），对称轴是x =－m. 当x =－m 时，函数有最大(小)值为 k考虑平移时一般要用顶点式，平移规律是抛物线y=a(x+m)2+k 关于x 轴y 轴或原点的对称抛物线——————关键是找到对称抛物线的顶点坐标和a 即可如y=2(x+2)2-3关于x 轴的对称抛物线——关于x 轴的对称抛物线——关于原点的对称抛物线——顶点在一定在什么特殊的函数上-------如何处理三、交点式（两根式）：))((21x x x x a y --=，其中21,x x 是c bx ax ++2=0的两个实数根，图象与x 轴的两个交点坐标为（ ， ）和 （ ， ），对称轴是直线x= 图像上纵坐标相等的点关于对称轴对称如（2,5），（-4,5）在图像上 对称轴是直线x=1242-=- 抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于（x 1,0），（x 2,0）ax 2+bx+c ＞0——————抛物线))((21x x x x a y --=关于x 轴的对称抛物线——))((21x x x x a y ---=抛物线))((21x x x x a y --=关于y 轴的对称抛物线——))((21x x x x a y ++= 抛物线))((21x x x x a y --=关于原点的对称抛物线—— a ＞0———— a ＜0————。
“数形结合”在二次函数中的应用
“数形结合”在二次函数中的应用数形结合是数学中一种重要的解题方法，它通过利用图形的性质和数学的方法相结合，帮助我们更好地理解和解决问题。
在二次函数中，数形结合可以帮助我们分析二次函数的性质、研究函数的图像、解决实际问题等。
二次函数是一种以 x 的二次方为最高次幂的函数，一般可以表示为f(x) = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 为常数且a ≠ 0。
二次函数的图像通常是一个开口向上或向下的抛物线。
首先，我们来看二次函数的图像。
对于二次函数 f(x) = ax^2 + bx+ c，我们可以利用数形结合的方法来画出它的图像。
首先，我们可以找出它的顶点。
二次函数的顶点坐标为 (h, k)，其中 h = -b/2a，k =f(h)。
通过求解这个方程，我们就可以得到顶点坐标。
然后，我们找出函数的对称轴。
二次函数的对称轴是 x = h。
接下来，我们可以求解函数的y-截距。
即当 x = 0 时，f(x) = c，这个值就是函数的 y-截距。
有了顶点坐标、对称轴和 y-截距，我们就可以画出二次函数的图像，进一步分析函数的性质。
其次，数形结合在研究二次函数的性质和解决实际问题中也非常有用。
对于二次函数来说，我们可以通过分析函数的系数a、b和c，来研究函数的性质。
首先，系数a决定了抛物线的开口方向。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
其次，系数a的绝对值决定了抛物线的狭长程度。
绝对值越小，抛物线越狭窄；绝对值越大，抛物线越扁平。
最后，系数c决定了抛物线与y轴交点的位置，即y-截距。
通过分析这些性质，我们可以更好地理解二次函数的图像和性质。
另外，在解决实际问题中，数形结合方法也起到了非常重要的作用。
例如，当我们需要求解一个二次函数的最大值或最小值时，通过绘制函数的图像，并利用数学方法求解这个问题，可以更快地得到答案。
同样地，当我们需要求解一个实际问题中的最优解时，通过综合运用数学的分析方法和图形的特点，可以更好地解决问题。
例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用
例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用1. 引言1.1 引言二次函数是数学教学中一个重要的内容，学生在学习过程中常常会面临着一些挑战。
如何让学生更好地理解和掌握二次函数，是每个教师都面临的问题。
在教学中，数形结合的思想被广泛应用，通过将数学概念与几何形态相结合，帮助学生更好地理解抽象的数学概念。
本文将介绍在二次函数教学中如何运用数形结合的思想，提高学生的理解能力和激发学生的兴趣。
通过具体的案例分析和教学实践，展示数形结合在二次函数教学中的重要性和实际应用。
通过本文的阐述，希望能够帮助教师更好地引导学生学习二次函数，同时也激发学生对数学的兴趣，提高他们的学习效果和学习动力。
2. 正文2.1 二次函数教学中的挑战在二次函数教学中，教师常常面临着一些挑战。
学生可能会对二次函数的概念和性质感到困惑，特别是对于开口方向、顶点坐标、零点、轴对称等概念可能存在误解。
二次函数的图像比较抽象，学生很难直观地理解二次函数的变化规律，导致他们缺乏对二次函数的直观感受和认识。
二次函数的解题方法比较复杂，涉及到方程的解法、图像的绘制等多个方面，容易让学生感到困惑和压力。
针对这些挑战，教师可以通过数形结合的教学方法来帮助学生更好地理解和掌握二次函数的相关知识。
通过将数学公式和图形结合起来，可以使学生更直观地理解二次函数的性质和规律。
可以通过绘制二次函数的图像来帮助学生理解二次函数的开口方向、顶点位置等特点，从而加深他们对二次函数的认识。
通过数学计算和几何推理相结合的方式，可以让学生从不同角度去理解和掌握二次函数的相关知识，提高他们的数学思维能力和解题能力。
数形结合在二次函数教学中具有重要的意义，可以帮助学生克服困难，提高学习效果，激发学生对数学的兴趣和热情。
通过巧妙地将数学概念与几何图形相结合，教师可以让学生在实践中更好地理解和掌握二次函数的相关知识，培养他们的数学思维能力和创造力。
【2000字】2.2 数形结合的重要性数形结合在二次函数教学中扮演着至关重要的角色。
二次函数中的数形结合。
（1）若抛物线与 x轴交于（-1，0)则a - b + c = 0．
（2）若x=-1时 y > 0，则a - b + c >0； （3）若x=-1时 y < 0，则a - b + c < 0．
6
6. b2－4ac 的作用
确定图象与x轴是否相交．
（1）抛物线与y轴交于正半轴 c > 0 ；
（2）抛物线与y轴交于负半轴 c < 0 ； （3）抛物线过原点 c = 0 4. a + b + c 的作用 当x=1时,y=a+b+c
（1）抛物线与 x轴交于（1，0）则a + b + c = 0；
（2）若x=1时y > 0，则a + b + c >0 （3）若x=1时y < 0，则a + b + c < 0
19
…
提高题
1.(山西)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示.有 下列结论:
① b2－4ac ＜0
②ab＞o
③ a-b+c=0
④4a+b=0
⑤当y=2时,x只能等于0.
其中正确的是( B )
A. ① ④ B. ③④
C. ②⑤ D. ③⑤
20
2. 二次函数的图象如图所示，下列几个结论 ①对称轴为直线x=2; ②当y≤0时,x＜0或x＞4； ③函数解析式为y=－x(x－4)； ④当x≤0时，y随x的增大而增大.
a > 0开口向上；a < 0开口向下；
(2) 决定开口的大小：
例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用
例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用二次函数是高中数学中的重点内容之一，也是考试中经常出现的考点，掌握二次函数的知识对于学生而言非常重要。
在二次函数的教学过程中，采用“数形结合”的教学方法可以提高学生的学习兴趣和掌握程度。
下面将从以下两个方面介绍二次函数教学中“数形结合”思想的应用。
在二次函数的例题教学中，通过“数形结合”的教学方法可以加强学生对知识点的理解和记忆。
例如，当讲解二次函数的基本形式y=ax²+bx+c时，通过画出y=x²、y=2x²、y=0.5x²等曲线示意图，让学生能够直观地感受到参数a的正负、大小对图像的影响，帮助学生更好地理解二次函数的概念和性质。
在讲解二次函数图像和性质时，可以使用多组例题来巩固学生的掌握程度。
例如，可以让学生用手绘图法，画出y=x²-1和y=-x²+3的图像，并分析它们的性质。
通过手绘图的方式，不仅可以帮助学生更好地理解二次函数图像的基本特征，还可以加深对二次函数对称轴、顶点、开口方向等基本特征的理解。
在二次函数的应用题教学中，通过“数形结合”的教学方法可以帮助学生更好地理解和应用二次函数知识。
例如，在讲解极值问题时，可以引导学生通过手绘图形的方式，搭建一个简单的桥梁模型，让学生可以清晰地看到桥梁两端的高低和中间点的最低位置，从而引导学生理解和应用极值概念和解决问题的方法。
在讲解最值问题时，可以引导学生通过手动计算和手绘图像的方式，来理解问题所在，并进行分析综合。
例如，可以让学生计算二次函数y=x²-6x+8在区间[1,5]内的最大值和最小值，并通过手绘图的方式，将函数图像和区间范围清晰呈现出来，以便更好地理解和应用最值问题求解方法。
例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用
例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用二次函数是高中数学中的重要内容之一，它的教学涉及到数学概念、数学方法和数学技巧的培养。
在教学过程中，如何引导学生掌握二次函数的数学知识，培养数学思维，实现数学与现实生活的结合是教学的关键。
数形结合是数学教学中的一种重要教学思想，它通过将抽象的数学概念与具体的图形形象相结合，帮助学生更加直观地理解和掌握数学知识。
本文将以二次函数教学为例，谈谈数形结合在二次函数教学中的应用，并探讨如何有效地开展数形结合教学，使学生更好地掌握二次函数的知识。
一、数形结合的意义与作用二、数形结合在二次函数教学中的应用1. 通过图形展示二次函数的基本性质二次函数是平面解析几何中的一个重要内容，它的图象——抛物线是解析几何中的一个重要曲线。
在二次函数的教学中，可以通过绘制二次函数的图象来展示二次函数的基本性质，如顶点、对称轴、开口方向等，使学生直观地感受二次函数的特点，从而对二次函数有一个清晰的认识。
二次函数的图象是一个抛物线，它的形状随着参数a、b、c的变化而发生变化。
在二次函数的教学中，可以通过改变参数a、b、c的值，绘制不同的二次函数图象，并让学生观察图象的变化规律，探讨参数对二次函数图象的影响，帮助学生深入理解二次函数的变化规律。
3. 通过实际问题引导学生建立二次函数模型二次函数是描述抛射、运动、变化规律等问题的数学模型，它在实际生活中有着广泛的应用。
在二次函数的教学中，可以通过实际问题引导学生建立二次函数模型，并通过绘制二次函数图象来解决实际问题，使学生理论联系实际，培养学生的数学建模能力。
三、如何有效地开展数形结合教学1. 合理选择教学内容在开展数形结合教学时，需要根据学生的实际情况和教学要求，合理选择教学内容。
可以根据二次函数的特点，选择一些具有代表性的例题和实际问题，通过图形展示和解释，帮助学生理解和掌握二次函数的相关知识。
2. 创设丰富多彩的教学情境在开展数形结合教学时，可以通过举一反三、对比分析等教学方法，创设丰富多彩的教学情境，激发学生的学习兴趣，提高学生的学习积极性。
二次函数教学中的误区——数形结合不可偏
二次函数教学中的误区——数形结合不可偏
二次函数是初中函数中最难得部分，二次函数图像是研究二次函数的主要工具。
二次函数图像的教学中应用了从易到难从特殊到一般的教学思想。
在教学中教师都非常重视借助函数图像去研究函数的性质，这就是数形结合思想。
但在二次函数图像产生的过程中，借助数的程度不足，这影响到学生对抛物线这一曲线的认识。
因为型如y=ax 2与y=ax 2+c 的二次函数相对比较简单，学生除了对抛物线这种曲线图像比较陌生外，不会感到特别困难，但对型如y=a(x-h)2的二次函数学生会感到抽象。
如在画二次函数y=-1(x+1)2与y=-1(x-1)2图像时，部分教师认为前面已经对二次函数的图像有了一定的认识，便很快给出了图像，重点放在对图像性质的讲解上。
此时有相当数量的学生对这类函数的图像产生的过程还比较模糊。
这就需要从数的角度观察分析归纳。
例如：
前面的学习中学生已习惯围绕x=0对称取值，当y=-21(x+1)2与y=-2
1(x-1)2也围绕x=0对称取值时，画出的图像就会不匀称，这与已有的对二次函数的认识产生矛盾冲突，这样可以刺激学生去思考去解决。
则y=-21(x+1)2
围绕x=-1对称取值，y=-21(x-1)2围绕x=1对称取值.
由数据的交错不齐，也能进一步引导学生感受二次函数图像的平移变换，分析完数据我们可以画出函数图象，由图像进一步观察，归纳性质。
诸如：对称轴、顶点坐标、增减性，平移变换。
数形结合思想在二次函数中的应用
数形结合思想在二次函数中的应用
当我们谈论二次函数时，可以把它看做一个有参数形状的函数，它可以帮助我们研究特定
物理现象中某种参数形状下的变化规律。
参数形状可以用弧型、抛物线或曲线等表示。
例如，当我们想要描述一个物体在自由落体中的位置变化时，就可以使用二次函数来描述这
种变化。
例如，我们可以使用一个二次函数来表示该物体的运动路径，比如s = 1/2at^2 + v_0t + s_0，其中a为加速度，V_0为初始速度，s_0为初始位置。
同样的，当我们讨论气体的物理性质时，也可以利用参数形状来从中获取函数公式。
比如，通过压力-体积图，我们可以建立一个二次函数来表示该图形，比如p=aV + bV^2，其中a,b为常数，V为体积。
这个公式能够描述不同体积下压力的变化规律，从而使我们更好
地理解气体的性质。
此外，参数形状的应用还可以用在函数外，例如在横坐标和纵坐标变化规律上，我们也可
以把它们表示成一幅参数形状图。
这个图形能够提供我们函数变化规律的大致轮廓，也可
以帮助我们推断函数的最高点、最低点以及函数上两个不同点的坐标等信息。
总之，二次函数可以说是物理现象中参数形状的最佳表现者，它能够有效地总结我们所要
研究的变化规律，从而为科学研究带来福音。
因此，借助参数形状的思想，我们能够更好
地利用函数来研究物理现象，为学术发展搭建良好的基础。
例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用
例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用1. 引言1.1 引言概述二次函数在数学教学中扮演着重要的角色，而数形结合思想则是二次函数教学中的一种重要方法。
数形结合思想是指将数学概念与几何图形相结合，通过观察和分析图形，深入理解数学概念。
在二次函数教学中，运用数形结合思想可以帮助学生更直观地理解函数的性质和特点，提高他们的学习兴趣和学习效果。
本文将围绕数形结合思想在二次函数教学中的应用展开讨论。
我们将探讨数形结合的重要性，说明其对学生学习的益处。
接着，我们将分析如何在二次函数教学中应用数形结合思想，介绍具体的教学方法和技巧。
然后，我们将讨论数形结合在二次函数图像的解析中的应用，以及在实际问题中的具体运用。
我们将总结数形结合思想在二次函数教学中的启示，展望其在其他数学教学中的潜在应用价值。
通过本文的讨论，希望能够为教师和学生提供有益的启示，促进数学教学的创新与发展。
2. 正文2.1 数形结合的重要性数形结合是数学教学中一种重要的思维方式，它通过将数学概念与几何形状相结合，帮助学生更深入地理解抽象的数学概念。
在二次函数教学中，数形结合的重要性体现在以下几个方面：数形结合能够帮助学生从直观的角度理解二次函数的性质。
通过观察二次函数图像的形状、拐点位置等特征，学生可以更加直观地感受到二次函数的凹凸性、极值点等数学概念，从而加深对二次函数性质的理解。
数形结合可以提高学生的解题能力和应用能力。
在解决与二次函数相关的实际问题时，通过将数学模型与几何图形相结合，学生可以更快地找到问题的解决方法，并更好地理解问题的本质，从而提高解题效率。
数形结合还能够激发学生对数学的兴趣和热情。
通过观察二次函数图像的变化规律、探讨数形结合在实际问题中的应用等，可以帮助学生发现数学的美感和实用性，从而增强对数学学习的动力和积极性。
数形结合在二次函数教学中的重要性不言而喻，它能够帮助学生更好地理解数学概念，提高解题能力，培养数学兴趣，促进学生全面发展。
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4. a + b + c 的作用
当x=1时,y=a+b+c
（1）抛物线与 x轴交于（1，0）则a + b + c = 0； （2）若x=1时y > 0，则a + b + c >0
（3）若x=1时y < 0，则a + b + c < 0
5. a - b + c 的作用
当x=-1时,y=a-b+c
（1）若抛物线与 x轴交于（-1，0)则a - b + c = 0． （2）若x=-1时 y > 0，则a - b + c >0；增减性最值来自当x=h时,最小值为k.
当x=h时,最大值为k.
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴
２.位置与开口方向
３.增减性与最值 根据图形填表： 抛物线
y=ax2+bx+c(a>0)
b 4ac b 2 2a , 4a b 直线 x 2a
y=ax2+bx+c(a<0)
b 4ac b 2 2a , 4a b 直线 x 2a
顶点坐标
对称轴 位置 开口方向
由a,b和c的符号确定
由a,b和c的符号确定
向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
3. 二次函数增减性
例3 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，
若点A（1，y1）、B（2，y2）是它图象上的 两点，则y1与y2的大小关系是（ C ） A. y1＜ y2 B. y1＝ y2 ． C．y1 ＞y2 D．不能确定
（09深圳）
练习3 下列四个函数图象中，当x＞0时，y随x的增 大而增大的是（ C ） （2010 浙江衢州）
5 . 由图象信息求抛物线的解析式 例5如图，抛物线 y=x2+bx+c 与x轴交于A（-1，0）， B（3，0） 两点．
求该抛物线的表达式；
解法一 ∵抛物线 y=x2+bx+c过点A（-1，0）和点B（3，0） ∴
1 b c 0 9 3b c 0
b 2 解得 c 3
∴所求抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3
解法二 依题意得抛物线的对称轴为：直线x=1 ∴设所求抛物线的解析式为y=(x-1)2+k ∵该抛物线 过点B（3，0） ∴ 4+k=0 ∴ k=-4 ∴ y=(x-1)2-4 即y=x2﹣2x﹣3 解法三 抛物线 y=x2+bx+c 与x轴交于A（-1，0）， ∴所求抛物线的解析式为y=(x+1)(x-3)=x2﹣2x﹣3 B（3，0） 两点．
b的作用与抛物线的顶点及a有关
（1）若b与a同号, 则顶点在y轴的左边； （2）若b与a异号， 则顶点在y轴的右边； （3）若b = 0 , 则顶点在y轴上， 左同右异
3.c的作用 c是抛物线与y轴交点的纵坐标．
（1）抛物线与y轴交于正半轴 c > 0 ； （2）抛物线与y轴交于负半轴 c < 0 ； （3）抛物线过原点 c = 0
2.（江西省中考题） 2 y x 2x m 已知二次函数 的部分图象如图所示 则关于的一元二次方程
，
；
x 2x m 0 1, x 2 3 的解为 x1 ．
2
3．（2010 河北）如图，已知抛物线的对 称轴x=2，点A， B均在抛物线上，且AB与 x轴平行，其中点A的坐标为（0，3），则 点B的坐标为 （ D） A．（2，3） B．（3，2） C．（3，3） D．（4，3）
化，从而起到优化解题途径的目的。
二次函数图象的几何特征与数量特征
紧密结合，体现了数形结合的思想与方法. 二次函数的图象、性质蕴含信息丰富，能
培养收集、整理和加工信息的能力，因此
成为近年来中考的热点.
信息从图象中来
____二次函数中的数形结合
一．二次函数的图象特征与系数符号的关系 1. a的作用 (1) 决定开口方向： a > 0开口向上；a < 0开口向下； (2) 决定开口的大小： ∣a∣越大，抛物线的开口越小． 2. b的作用：
增减性 最值
b 4ac b 2 当x 时, 最小值为 2a 4a
b 4ac b 2 当x 时, 最大值为 2a 4a
（h ，k） 直线x=h
由h和k的符号确定
y=a(x-h)2+k(a<0)
（h，k） 直线x=h
由h和k的符号确定
顶点坐标
对称轴 位置 开口方向
向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
（3）若x=-1时 y < 0，则a - b + c < 0．
6. b2－4ac 的作用
确定图象与x轴是否相交． (1)抛物线与x轴有两个交点 △＞0
(2)抛物线与x轴有一个交点 (3)抛物线与x轴没有交点
△=0 △＜0
二. 二次函数图象与性质的应用 1. 由抛物线的位置确定a，b，c的符号；
由a，b，c符号确定抛物线的位置.
例1 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，则下 列关系判断正确的是（ D ） A．ab < 0 B．bc < 0 C． a + b + c > 0 D． a - b + c < 0
x
b 0 2a
练习1．已知 ：a＜0 ,b＞0,c ＞0 那么抛 物线y=ax2+bx+c的顶点在（ A ） A. 第一象限 B. 第二象限
独立 作业
知识的升华
补充提高题
A类《分层》P38---P39 的选择题及填空题;
B类《分层》P38---P39 的选择题及填空题
祝你成功！
数学缔造完美
谢谢指导!
课后练习： 1.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图 所示，则下列结论正确的是( D ) （2010福建福州） A．a＞0 B．c＜0 C．b2－4ac＜0 D．a＋b＋c＞0
平移：形状和开口方向不变，即a不变. 规律：“左加右减”；“上加下减”．
练习4把抛物线y=x2+bx+c的图象向右平
移3个单位，再向下平移2个单位，所得 图象的解析式为y=x2－4x＋5， 则b、c的取值为（ A ）
（2010年贵州毕节改编题）
A．b=2，c=4 C．b= –10，c=28
B．b=1，c=2 D.b=–10，c=24
练习5（四川成都） 如图所示的抛物线是二次函数 y ax2 3x a 2 1 的图象， 那么抛物线的解析式
2 y x 3x 为 ．
小结：
回 头 一 看 ， 我 想 说 …
1.二次函数的图象特征与系数符号的关系 2.二次函数图象与性质的应用 3.巧妙地进行“数”与“形”的相互转化 4.重视图形信息的收集、整理和加工
4.
抛物线的平移
例4把抛物线y= – x2向左平移1个单位，然后向上 平移3个单位，则平移后抛物线的表达式 （B） （2010宁夏回族自治区) A. y= – (x –1)2 +3 B. y= – (x +1)2 +3 C. y= – (x –1)2 – 3 D. y= – (x +1)2 – 3
我用心所以我快乐 学习虽然辛苦
但其乐无穷……
“数”与“形”是数学中的两个最古老，也是 最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转 化。 数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系 与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以 形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思
维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体
C. 第三象限
D. 第四象限
2 .判断同一直角坐标系的函数图象 例2抛物线 y=ax2+bx+c 图象如图所示，则 一次函数 y=-bx-4ac+b2与反比例函数 在同一坐标系内的图象大致为（ D ） （2010甘肃兰州）
练习2.
在同一平面直角坐标系中，一次函数 y=ax+b和二次函数y=ax2+bx+c的图象可 能为( A )
4. 二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图所示，
c 则点 M b, a 在（
D
）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴
２.位置与开口方向
３.增减性与最值 根据图形填表： 抛物线
y=a(x-h)2+k(a>0)
5.培养思维能力,形成良好的数学思维习惯
提高题 1.(山西)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示. 有下列结论: ① b2－4ac ＜0 ②ab＞o ③ a-b+c=0 ④4a+b=0 ⑤当y=2时,x只能等于0. 其中正确的是( B ) A. ① ④ B. ③④ C. ②⑤ D. ③⑤
2. 二次函数的图象如图所示，下列几个结论 ①对称轴为直线x=2; ②当y≤0时,x＜0或x＞4； ③函数解析式为y=－x(x－4)； ④当x≤0时，y随x的增大而增大. ①③④ 其中正确的结论有________