中科大创新班考试数学模拟试题参考答案

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2019年中科大创新班初试数学试题

2019年中国科学技术大学创新班考试数学试题及解析

2019中国科学技术大学创新班考试数学试题

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注意事项

L答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.将答案写在答题卡上，写在本卷上无效・

3.考试结束后，将本卷和答题卡一并交回.

4辛卷共四大题，满分侦0分.解答题写出必要的计算和证明过程・

一.填空题(每题5分，共40分)

1. _______________________________________ 平面区域|X+2J|+|3X +4J|<5的面积是_________________________________________________ ,

2.方程sin2x + cos3x = 0,xe ［。,2引的所有根之和.

3.设点如,0),

4.设x = 3 + cosf y = 4 + cosf +攵)。是参数，则¥ +,的最大值为

5•在平面直角坐标系叨中，6(1,0),把向量勇绕o顺时针旋转定角。得苑q关于y

轴的对称点紀为4+1, f = 0,1,…,2018,则%9的坐标为..

,, 1 X Z 2019 •

6.若、匕％=?(^1(”詞则澎= •

7.设Z是复数M是纯虚数，则k + z + 3|的最小值是.

8.己知知*2內>4 wN,且{x,x/Jl

X l +工2 +石+*4

二、（20分）设四面体ABCD.可由沿各边中点连线折起国成，

1^1 = 12,1^1 = 10,网| = 8,求四面体ABCD的体积.

三、（20分）设〃是正整数.证明：x = 0是方羿的唯一解. t-o k.

2023年中国科学技术大学创新班初试数学真题及详细解析

2023年中国科学技术大学创新班初试数学试题

1. 复数满足202310z z --=，求证：1z ≤当且仅当1()2

z ℜ≤-．

2.设(15)i i α≤≤为

中的五个非零向量．求证：存在非零向量3

β∈

，使得存在

123415j j j j ≤<<<≤，满足β与k j α的夹角均不超过

(1,2,3,4)2

k π

=．

3.甲、乙两盒中各放2只兔子，一雌一雄．称一次操作是从甲、乙盒中各随机抽一支兔子交换，记n 次操作后甲、乙盒中仍各有一雌一雄的概率为n p ．求n p 及lim n n p →∞

．

4.(1)0x >，证明3

sin 6

x x x x -<<．

(2)10a <<1sin 1

n n a a a n +=-+．证明：对任意正整数n ，都有12

133n a na a <-．

5.将正整数去除完全平方数后由小到大排成一排，记作12,,

.a a ．比如

1232,3,5,

.a a a ===求证：对任意正整数n

，都有12

n a n -<

．

2023年中国科学技术大学创新班初试数学试题答案

1.复数满足202310z z --=，求证：1z ≤当且仅当1()2

z ℜ≤- 证明：

由题意知：20231z z =+，两边取模得：2023

z =+．于是

4046

1(1)(1)2()1z

z z z z z =+=++=+ℜ+

即2

2022

2()1(1)(1)z z z z ℜ+=+-．

于是

2022

1()2

2()10(1)(1)0

创新班考试试卷初中数学

一、选择题（每题4分，共40分）

1. 下列各数中，有理数是（）

A. √-1

B. π

C. 0.1010010001…（循环小数）

D. √2

2. 下列函数中，与函数y = x² 的图像关于y轴对称的是（）

A. y = x² - 1

B. y = -x²

C. y = -x² + 1

D. y = x² + 1

3. 已知等腰三角形底边长为6，腰长为8，则该三角形的周长为（）

A. 20

B. 22

C. 24

D. 26

4. 在平面直角坐标系中，点A（-3，2）关于原点的对称点为（）

A. （-3，-2）

B. （3，2）

C. （3，-2）

D. （-3，-2）

5. 若a、b、c是等差数列的前三项，且a+b+c=0，则公差d的值为（）

A. 0

B. 1

C. -1

D. 2

6. 下列命题中，正确的是（）

A. 对任意实数x，x² ≥ 0

B. 对任意实数x，x³ > 0

C. 对任意实数x，x² + x + 1 > 0

D. 对任意实数x，x² - x + 1 < 0

7. 已知二次函数y = ax² + bx + c（a≠0）的图像开口向上，且顶点坐标为（-2，3），则a的取值范围为（）

A. a > 0

B. a < 0

C. a ≥ 0

D. a ≤ 0

8. 在梯形ABCD中，AD平行于BC，AB=CD，若∠BAC=∠DCA，则梯形ABCD是（）

A. 等腰梯形

B. 等腰梯形且AB=CD

C. 等腰梯形且AD=BC

D. 等腰梯形且AD=AB

9. 下列函数中，奇函数是（）

A. y = x²

B. y = |x|

2019年中科大创新班笔试数学真题及答案

的一个不动点.排列 x1, x2,, xn 的不动点个数记作随机变量 X n. 求 X 6 的数学期望.
四、（20 分）设正整数 n 2, 并且对于所有与 n 互数的整数 a, 都有 an a mod n. 证明：（1） n 无平方因子；（2）若 n 的素因子个数不超过 2，则 n 是素数.
① n 为奇， ex fn x x 0 , n 1为偶，令 gx ex fn1x
g0 0, gx ex fn1x ex fn x 0(x 0时)
所以 x 0, gx 0, g0 0 gx 0 , x 0, gx 0, g0 0 gx 0 .
3.
A1,0B0,1 , C 点 x,

1 x

，则
S ABCmin
=
.
-2
32 3 -1 3 .答案： 2
如图点 C (x, 1 ) x
SABC

SAOC

SBOC

SAOB

1 2
x
1 2x

1 2
-2
1 x 1 1 1 33 1 1 3 2 3 -1 2 4 x 4 x 2 32 2 2
解析：易知：四面体 ABCD是一个对棱相等的四面体置入到长方体即可.假设其边长为a, b, c. a2 b2 16,b2 c2 25, c2 a2 36.

中科大少年班创新试点班选拔考试

中科大少年班创新试点班选拔考试是为了从全国范围内选拔具有创新潜力和优秀综合素质的青少年进入中国科学技术大学学习而举行的考试。以下是关于该考试的一些信息：

1.招生对象：原则上为高二年级及以下的学生，年龄在16周岁以

下。

2.报名时间：一般为每年的3月份左右，具体时间以招生简章为

准。

3.报名方式：学生需要在规定时间内登录中国科学技术大学官网

进行网上报名。

4.考试科目：数学、物理、化学、英语、语文等。

5.考试形式：一般分为笔试和面试两部分，具体形式以招生简章

为准。

6.录取方式：根据学生的考试成绩和面试表现，结合学生的综合

素质评价，择优录取。

需要注意的是，该考试对考生的综合素质和创新能力要求较高，需要学生在平时的学习中注重积累，提高自己的综合素质。同时，学生还需要具备一定的英语水平和科学素养，才能够顺利通过考试。

喻甫祥——别解中科大创新班招生压轴题

2021-11-27 姚博文——第四届刘徽杯数学竞赛第5题解答

2021-11-21 【成绩发布】第四届刘徽杯获奖名单

2021-11-21 陈嘉昊——第四届刘徽杯数学竞赛第6题解答

2021-11-18 褚小光——第四届刘徽杯数学竞赛第4题解答

2021-11-17 顾冬华——第四届刘徽杯数学竞赛第1题解答

2021-11-17 杨晓鸣——第四届刘徽杯数学竞赛第2题解答

2021-11-16 史皓嘉——第四届刘徽杯数学竞赛解答

2021-11-16 第一至四届刘徽杯数学竞赛命题人名单

2021-11-15 邓乐言——第四届刘徽杯数学竞赛解答

2021-11-14 第四届刘徽杯数学竞赛试题（第二天）

2021-11-13 第四届刘徽杯数学竞赛试题（第一天）

2021-11-12 【重磅】公益赛事：第四届“刘徽杯”数学竞赛举办在即2021-09-13 第一届“刘徽杯”数学竞赛试题

2021-09-13 第二届“刘徽杯”数学竞赛试题

2021-09-13 第三届“刘徽杯”数学竞赛试题

2021-09-13 第四届“刘徽杯”数学竞赛赞助征集启事

2021-09-13 第一、二、三届“刘徽杯”数学竞赛专集

喻甫祥专集

2022-04-17 许康华老师数论征解题的解答

2022-01-30 又一道平面几何题目的计算证明

2022-01-25 一道平面几何题的计算证明

2021-01-17 也谈一道解析几何题的证明

2021-10-05 北京十日——夏令营散记

2021-10-04 三题一解

2021-06-16 用线束的想法解一道几何题

2019年中科大创新班考试数学模拟试题参考答案

2019年中科大创新班考试数学模拟试题

参考答案

一、填空题

1、答案：7．

解析：点集B 如图中阴影部分所示，其面积为

133227.MRS MNPQ S S -=⨯-⨯⨯=正方形

2、答案：480．

解析：对0,7两元素的像而言，因为0)()(=j f i f ,所以，0,7这两个元素的像至少有一个为0，共计有1518*2=-种情形。

对1,6两元素的像而言，此时，3*26*16)()(===j f i f ，对1,6两元素的像有四种可能。同理对2,5有2种，对3,4有4种，共计15*4*2*4=480种

3、答案：5

52．解析：不妨设椭圆E 的方程为22

221(0)+=>>x y a b a b

，P 经过E 的两个焦点，222=+x cy c

222=+a b c ，P 与E 恰有三个交点，所以2=c b ，则E 得离心率等于5

=c e a 4、答案：324+.解析：如图所示：324tan 2tan tan sin sin sin 3

22sin 2122+==+⇔=⇔=⇔∆∆B C A C B A R B R S S AC OG AGC AOC ∥

5、答案：.9

6如图：记MN 与AK 交于点G 并设面ACK 与面CMN 所成的锐角大小为θ。作⊥CO 面ABD 于点O 。延长AO 交于BD 于点X ，易知O 是ABD ∆的中心，则

XD BX OX AO ==,2，

又ND AN MB AM 2,2==，因此，M 、O 、N 三点共线。O 是MN 的中点。由MN AO ⊥，CO AO ⊥知

2021年中国科学技术大学少年创新班考试数学试题

四、（20
分）已知
g0 x
1,
g1x
Βιβλιοθήκη Baidu
x,
gn x
gn1x2 2n1 gn2 x
, n
2 。
学
科心求证： gnx是n次整系数多项式，并求出gnx 0的所有实根。学五、（20 分）已知 a 为实数， a为不大于a的最大整数，a a a
求证：“ a为无理数 ”当且仅当“对 m N , n N , 使0 na 1 ”。
5.
学一小球可在 0，1，2，, n这n 1个位置移动，小球可等可能地向前或向后移动一个单位，
若在 0 处则只能向前移，问，首次移动至 n 的平均步数为_______。
心二、（15分）ABC 内角为 A, B,C ，求证； 3 cos A cos B 3 cos C 2 。 2
科三、（15 分）若 f x y f xcos y f y f x对x, y R 成立，求所有函数 f x 。 2
1.
科 a R, x4 4a 50x2 a2 0 有四解且成等差数列，则 a _______。
2.
学如图，求 ACB1D1与BDA1C1 公共部分体积_______。
学心
科
心3. 若直线 x y 1与y 4 相切，则a b 最小值为_______。
ab
x
科 4. 若 x2 y2 x2 z2 3xz z2 y2 yz 16 ，则 2xy xz 3yz _______。

2023年中国科技大学强基计划数学试题及参考答案

2023年中国科学技术大学强基计划数学试题及参考答案

6月11日

考试时长90分

本次考试一共8道试题，4道填空题，4道解答题，满分100分.

一、填空题（20分）

1.二元函数()()()2

sin 32cos ,y x y x y x f ++++=的值域为

.2.设复数z 满足1=z ，且11-+=z z ω，则2

241ωω

+的最小值为.

3.使得()

2023

21x +展开式中n

x 的系数最大，则正整数n 的值为

4.已知四条抛物线a x y +=2

，a x y -=2

，a y x +=2

，a y x --=2

相邻两条都相切，则它们围成的封闭图形面积为.

二、解答题（每题20分，共80分）

1.已知实系数函数()d cx bx x x f +++=2

，当11≤≤-x 时，()1+≤x x f 恒成立，证

明：()0=x f 的三个根全部为实数.

2.已知正整数数列{}n a ，{}n b 满足111==b a ，且{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列.数列{}n c 满足：n n n b a c +=，若存在正整数k 满足37=k c ，3072=+k c ，求数列{}n c 的通项公式.

3.一个箱子里有m 个黑球和n 个白球（n m <）

，从箱子中不放回的每次抽一个球，直到取完.记()n m P ,为在整个取球过程中，黑球个数始终小于白球个数的概率，求：（1）()42，P 的概率值；（2）()n m P ,的表达式.

4.已知*

∈N n ，求证：242212

22++≤+∑=n n

创新教育实验班(高中)招生试卷数学6(含答案)

创新教育实验班(高中)招生试卷

数学部分

一、选择题(本题有4小题，每小题6分，共24分) 1

则2 00 4应该排在 ( )

A ．第2 5 1行，第3列

B ．第2 5 0行，第1列

C ．第5 0 0行，第2列

D ．第5 0 1行，第5列

2．如图，以O 为圆心的两个同心圆中，小圆的弦AB 的延长线交大圆于点C ，若AB=4，

BC=1，则下列整数与圆环面积最接近的是 ( ) A ．1 0 B ．1 3 C ．1 6 D ．1 9

3．二次函数．y=ax 2

+bx+c 的图像如右图所示，则化简二次根式22)()(c b c a -++的

结果是 ( )

A ．a+b

B ．-a-b

C ．a-b+2c

D ．-a+b-2c 4．如图，延长直角△ABC 的斜边AB 到点D ，使BD=AB ，连结CD ，若 ctg∠BCD=3，则tg∠A 的值是 ( )

A ．1

B ．2/3

C ．9

D ．3/2

二、填空题(本题有4小题，每小题7分，共28分)

5．设A 、B 、C 是平面上的3点，线段AB=3厘米，BC=4厘米，则线段AC 的长度范围是．

6．若5条直线两两相交，则交点的个数有． 7．4位数5xy9是某个自然数的平方，则2x+y= ．

8．在边长为4 6厘米的正方形铁皮上按如图所示剪取一块圆形和一块扇形铁皮，恰好做成一个圆锥模型，则该圆锥模型的底面半径是．三、解答题(本题有3小题，共48分) 9．(本题1 5分)

如图，有5张同样大小的小正方形纸片，用它们拼成轴对称图形，要

求相邻两张正方形纸片有一条边相连接，你有几种拼法?请画出示意图．(画出草图即可，每拼对一个得3分，满分不超过1 5分)

2024年中国科学技术大学创新班营(一)数学考试真题和答案

2024年中国科学技术大学创新班营（一）考试真题

2024年3月30日

本次考试共五道解答题，每题20分，共计100分；考试时间是8:30-10:10，共100分钟。

一、X 是从{}9,,2,1 中随机抽取3个不同的数排列出的最大的三位数，Y 是从{}8,,2,1 中随机抽取3个不同的数排列出的最大的三位数。求Y X >的概率.

二、32,3211+=+=

+n n a a x a ，求所有的1−≥x ，使得{}n a 中有无穷多项为正整数.

三、求所有的a ，使122+≥++x ax x 对R x ∈∀恒成立.

四、)(x f 是2024次多项式，)2()((2+=x f x f f ，求)(x f .

五、i n z z z z z z n n +−=++===2,12121 ，求min 1)Re(z 的值.

2024年中国科学技术大学创新班营（一）考试真题解答

一、解：若X 中含9，则Y X >。有31)9(3928==C C X P 中有，则3

2311)9(=−=中无X P ；在X 中无9的情况下：56

11)(38383838==⋅==C C C C Y X P 此时，11255)5611(2

1)()(=−×=

<=>Y X P Y X P 所以，168111112553231)()(=×+=<=>Y X P Y X P

二、解：由题可知，0>n a

若n n a a >+1，则32321+>

++n n a a ，即12++>n n a a ；若n n a a <+1，则32321+<++n n a a ，即12++<n n a a ；