6.4 基变换与坐标变换复习课程
合集下载
线性代数-基变换与坐标变换
一、基变换公式与过渡矩阵
问题：在 n 维线性空间 V中，任意 n 个线性 无关的向量都可以作为 V 的一组基．对于不同的 基，同一个向量的坐标是不同的．
那么，同一个向量在不同的基下的坐标有什 么关系呢？换句话说，随着基的改变，向量的坐 标如何改变呢？
设1,2 , ,n及1, 2 , , n是线性空间Vn的
1 , 2
,
,n
P
x2'.
xn
xn'
x1 x1'
即
x2
P
x2'
.
xn xn'
由 于 矩 阵P可 逆, 所 以
x1'
x1
x2'
P
1
x2 .
xn'
xn
例1 在 P[ x]3中取两个基
1 x3 2 x2 x, 3 x3 2 x2 x 1, 及 1 2 x3 x2 1, 3 2 x3 x2 x 2,
过渡矩阵 P是可逆的．
二、坐标变换公式
定理1 设Vn中的元素 ,在基1 , 2 , , n下的坐标
为
( x1 , x2 , , xn )T ,
在基1 , 2 ,
,
下的坐
n
标为
( x1', x2 ', , xn ')T ,
若两个基满足关系式
1, 2, , n 1,2, ,n P
则有坐标变换公式
x1 x1'
x1'
x1
x2
P
x2'
,
或
x2'
P
1
x2 .
xn xn'
xn'
问题：在 n 维线性空间 V中，任意 n 个线性 无关的向量都可以作为 V 的一组基．对于不同的 基，同一个向量的坐标是不同的．
那么，同一个向量在不同的基下的坐标有什 么关系呢？换句话说，随着基的改变，向量的坐 标如何改变呢？
设1,2 , ,n及1, 2 , , n是线性空间Vn的
1 , 2
,
,n
P
x2'.
xn
xn'
x1 x1'
即
x2
P
x2'
.
xn xn'
由 于 矩 阵P可 逆, 所 以
x1'
x1
x2'
P
1
x2 .
xn'
xn
例1 在 P[ x]3中取两个基
1 x3 2 x2 x, 3 x3 2 x2 x 1, 及 1 2 x3 x2 1, 3 2 x3 x2 x 2,
过渡矩阵 P是可逆的．
二、坐标变换公式
定理1 设Vn中的元素 ,在基1 , 2 , , n下的坐标
为
( x1 , x2 , , xn )T ,
在基1 , 2 ,
,
下的坐
n
标为
( x1', x2 ', , xn ')T ,
若两个基满足关系式
1, 2, , n 1,2, ,n P
则有坐标变换公式
x1 x1'
x1'
x1
x2
P
x2'
,
或
x2'
P
1
x2 .
xn xn'
xn'
§4 基变换与坐标变换
解：设 1 (1,0,0,0), 2 (0,1,0,0), 3 (0,0,1,0), 4 (0,0,0,1)
则有
1 1 1 1
(1,2
,3
,4
)
(1,
2
,
3
,
4
)
2 1 0
1 1 1
2 1 1
1
0 1
或
1 1 1 11
(1,2,3,4 )
(1,2
,3
,4
)
2 1 0
1 1 1
2 1 1
③
又由基 1, 2 ,L , n到1,2 ,L ,n 也有一个过渡矩阵,
设为B，即 (1,2 ,L ,n ) (1, 2 ,L , n )B
④
比较③ 、④两个等式，有
(1, 2 ,L , n ) (1, 2 ,L , n )BA
(1,2 ,L ,n ) (1,2 ,L ,n ) AB
Q 1,2 ,L ,n; 1, 2 ,L , n 都是线性无关的,
a22 L an2
L L L
a2n x2
L ann
xMn
⑥
x1 a11 a12 L a1n 1 x1
或
x2 xMn
a21 L an1
a22 L an2
L L L
a2n L ann
x2
xMn
⑦
称⑥或⑦为向量ξ在基变换⑤下的坐标变换公式．
例1 在Pn中，求由基 1,2,L ,n 到基1,2,L ,n 的过渡矩阵及由基1,2,L ,n 到基 1,2,L ,n 的
的基变换公式．
2、有关性质
1）过渡矩阵都是可逆矩阵；反过来，任一可逆
矩阵都可看成是两组基之间的过渡矩阵．
基变换与坐标变换
本节内容已结束 !! 本节内容已结束 本节内容已结束 ! 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 本节内容已结束 !! 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 本节内容已结束 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 本节内容已结束 ! 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 请单击返回按钮 . 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 请单击返回按钮 . 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 请单击返回按钮 . 若想结束本堂课 , 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 请单击返回按钮 . 若想结束本堂课 , 请单击返回按钮 . 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 请单击返回按钮 . 若想结束本堂课 , 请单击返回按钮 . 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 请单击返回按钮 . 请单击返回按钮 . 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 请单击返回按钮 . 本节内容已结束 ! 请单击返回按钮 . 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 请单击返回按钮 . 本节内容已结束 ! 请单击返回按钮 . 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 请单击返回按钮 . 本节内容已结束 ! 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 请单击返回按钮 . 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 若想结束本堂课 ,, 请单击返回按钮 . 若想结束本堂课 , 若想结束本堂课 请单击返回按钮 . 若想结束本堂课 , 若想结束本堂课 请单击返回按钮 .. , 若想结束本堂课 , 请单击返回按钮 . 请单击返回按钮 请单击返回按钮 .. . 请单击返回按钮 请单击返回按钮 请单击返回按钮 请单击返回按钮 . .
5 14 11 7 3 72 2 1 2 3 1 1 139 14 20 7
基变换公式和坐标变换公式
基变换公式和坐标变换公式一、基变换公式基变换公式是描述向量在不同基底下表示的关系的数学工具。
假设有两组基底b1,…,bb和b1,…,bb，其中bb和bb是向量。
对于给定向量b，其在b1,…,bb和在b1,…,bb基底下的坐标分别为b和b。
基变换公式表达了坐标b和b之间的关系，即b=bb。
具体来说，对于给定的基变换矩阵b，我们可以通过矩阵乘法来完成基变换。
假设向量b在b1,…,bb基底下的坐标为向量b，我们可以通过矩阵乘法b=bb来获得向量b在b1,…,bb基底下的坐标b。
基变换公式的实质是将向量在一个基底下表示的坐标转化为在另一个基底下的表示。
二、坐标变换公式坐标变换公式描述的是在同一基底下的向量坐标之间的变换关系。
假设有两个向量b1和b2，在同一组基底b1,…,bb下的坐标分别为b1和b2。
坐标变换公式通过一个矩阵的乘法运算来表示不同坐标之间的转换。
具体而言，对于给定的坐标变换矩阵b，我们可以通过b2=bb1来实现坐标之间的变换。
在实际应用中，坐标变换公式常常用于描述向量在空间中的位置关系。
通过坐标变换公式，我们可以方便地计算不同坐标间的关系，进而实现对向量位置的准确描述和计算。
结论基变换公式和坐标变换公式作为数学工具在向量表示和计算中具有重要作用。
基变换公式描述了向量在不同基底下的表示关系，通过矩阵乘法完成基之间的转换；而坐标变换公式则描述了向量在同一基底下坐标之间的变换关系，通过矩阵乘法完成不同坐标的转换。
这两个公式为向量表示和计算提供了有力的数学工具，为实际问题的求解提供了便利。
§4基变换与坐标变换.
§4基变换与坐标变换
一线性空间的基变换，基的过渡矩阵
设V/K是n维线性空间，设 和 是两组基，且
将其写成矩阵形式
，
定义4.11我们称矩阵
为从 到 的过渡矩阵。
命题4.6设在n维线性空间V/K中给定一组基 。T是K上一个n阶方阵。命
则有 是V/K的一组基，当且仅当T可逆。
证明：
若 是线性空间V/K的一组基，则 线性无关。
考察同构映射
构造方程
，其中 ，
，
，
。
于是 线性无关。
构成了过渡矩阵的列向量，所以过渡矩阵可逆；
反过来，若过渡矩阵可逆，则构造方程
，其中 ，
两边用 作用，得到
。
，
证毕。
二向量的坐标变换公式； 中的两组基的过渡矩阵
1、向量的坐标变换公式
设V/K有两组基为 和 ，
又设 在 下的坐标为 ，即
，
在 下的坐标为 ，即
。
现在设两组基之间的过渡矩阵为T，即
记
， ，
于是
。
于是，由坐标的唯一性，可以知道 ，这就是坐标变换公式。
2、 中两组基的过渡矩阵的求法
我们设 中两组基分别为
和
而
按定义，T的第i个列向量分别是 在基 下的坐标。
将 和 看作列向量分别排成矩阵
；
，
则有
，
将A和B拼成 分块矩阵 ，利用初等行变换将左边矩阵A化为单位矩阵E，则右边出来的就是过渡矩阵T，示意如下：
一线性空间的基变换，基的过渡矩阵
设V/K是n维线性空间，设 和 是两组基，且
将其写成矩阵形式
，
定义4.11我们称矩阵
为从 到 的过渡矩阵。
命题4.6设在n维线性空间V/K中给定一组基 。T是K上一个n阶方阵。命
则有 是V/K的一组基，当且仅当T可逆。
证明：
若 是线性空间V/K的一组基，则 线性无关。
考察同构映射
构造方程
，其中 ，
，
，
。
于是 线性无关。
构成了过渡矩阵的列向量，所以过渡矩阵可逆；
反过来，若过渡矩阵可逆，则构造方程
，其中 ，
两边用 作用，得到
。
，
证毕。
二向量的坐标变换公式； 中的两组基的过渡矩阵
1、向量的坐标变换公式
设V/K有两组基为 和 ，
又设 在 下的坐标为 ，即
，
在 下的坐标为 ，即
。
现在设两组基之间的过渡矩阵为T，即
记
， ，
于是
。
于是，由坐标的唯一性，可以知道 ，这就是坐标变换公式。
2、 中两组基的过渡矩阵的求法
我们设 中两组基分别为
和
而
按定义，T的第i个列向量分别是 在基 下的坐标。
将 和 看作列向量分别排成矩阵
；
，
则有
，
将A和B拼成 分块矩阵 ，利用初等行变换将左边矩阵A化为单位矩阵E，则右边出来的就是过渡矩阵T，示意如下：
6.4 基变换与坐标变换
第六章 线性空间学习单元4： 基变换与坐标变换_________________________________________________________● 导学 学习目标：了解线性空间的两个基之间的关系，掌握两个基之间的过渡矩阵的概念及过渡矩阵的计算；掌握一个向量在两个基下的坐标的变换关系。
学习建议：建议大家多看书，正确理解概念，自己动手，用具体例子对比定义理解概念，多看例题，多做习题。
重点难点：重点：会计算两个基之间的过渡矩阵。
难点：一个向量在两个基下的坐标的变换关系。
_________________________________________________________● 学习内容一、基变换及过渡矩阵命题 设V 为P 上n 维线性空间，1,,n εεL 与''1,,n εεL 为V 的两个基，则1,,n εεL 与''1,,n εεL 等价，即它们可以互相线性表示。
定义 设V 为P 上n 维线性空间，1,,n εεL 与''1,,n εεL 为V 的两个基，令'11112121'21212222'1122(1)n nn n nn n nn n a a a a a a a a a εεεεεεεεεεεε⎧=+++⎪=+++⎪⎨⎪⎪=+++⎩L L L LL ，称矩阵111212122212n n n n nn a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L L L L L 为由基12,,,n εεεL 到基''1,,n εεL 的过渡矩阵。
记号 将11n n x x αεε=++L 写成11(,,)n n x x αεε⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦L M ， 于是（1）可写成''1(,,)n εε=L 1(,,)n A εεL 。
性质 设11,,;,,n n ααββL L 为V 中两个向量组，A,B 为两个n 阶方阵，则 （1）11((,,))(,,)()n n A B AB αααα=L L ；（2）111(,,)(,,)(,,)()n n n A B A B αααααα+=+L L L ； （3）11(,,)(,,)n n A A ααββ+L L 11(,,)n n A αβαβ=++L 。
基变换与坐标变换
于是齐次线性方程组ax0有非零解?c1???取一个非零解y???有?c??n??c1?c1?1?c2?2???cn?n???1?2??n?????c??n???ay???1?2??n??ay??0
辽 东 学 院 教 案 纸
课程：高等代数 第 6.4.1 页
§4
基变换与坐标变换
通过教学，使学生理解基变换定理及可逆矩阵的同何
，y n )由等式(7)联系着． 标( y1，y 2，
例1
取 V2 的两个彼此正交的单位向量 1， 2 ，作成 V2 的一个
分别是由1 和2 旋转角 所得的向量(图 61)，则 ε1 ，ε 2 也 基．令 1, 2
是 V2 的一个基，且有
1
ε1 cos ε2 sin ε1 ， ε1 sin ε2 cos ε 2
一章讲的矩阵乘法形式．
， n ) 是 V 的 两 个 向 量 组 ， ， n ) 与 ( 1， 2， 设 ( 1， 2，
A=(aij)nn，B=(bij)∈Mn(F)，则上述矩阵形式写法满足以下运算规则：
n )A)B=( 1， 2， n )(AB)， (( 1， 2， n )A+( 1， 2， n )B=( 1， 2， n )(A+B)， ( 1， 2， n )A+( 1， 2， ， n n )A. ， n )A= ( 1 1 , 2 2， ( 1， 2，
， n 是 V 的一个基， 1， ， n V，且 命题 6.4.2 设 1， 2， n )A． ， n )=( 1， 2， ( 1， 2， ， n 是 V 的一个基． 若 A 可逆，则 1， 2， ， n 线性无关即可．假设 证 只要证 1， 2， k1 1 k 2 2 k n n 则 k1 k1 1， 2， ， n 1，a 2， ， n A ． k k n n
辽 东 学 院 教 案 纸
课程：高等代数 第 6.4.1 页
§4
基变换与坐标变换
通过教学，使学生理解基变换定理及可逆矩阵的同何
，y n )由等式(7)联系着． 标( y1，y 2，
例1
取 V2 的两个彼此正交的单位向量 1， 2 ，作成 V2 的一个
分别是由1 和2 旋转角 所得的向量(图 61)，则 ε1 ，ε 2 也 基．令 1, 2
是 V2 的一个基，且有
1
ε1 cos ε2 sin ε1 ， ε1 sin ε2 cos ε 2
一章讲的矩阵乘法形式．
， n ) 是 V 的 两 个 向 量 组 ， ， n ) 与 ( 1， 2， 设 ( 1， 2，
A=(aij)nn，B=(bij)∈Mn(F)，则上述矩阵形式写法满足以下运算规则：
n )A)B=( 1， 2， n )(AB)， (( 1， 2， n )A+( 1， 2， n )B=( 1， 2， n )(A+B)， ( 1， 2， n )A+( 1， 2， ， n n )A. ， n )A= ( 1 1 , 2 2， ( 1， 2，
， n 是 V 的一个基， 1， ， n V，且 命题 6.4.2 设 1， 2， n )A． ， n )=( 1， 2， ( 1， 2， ， n 是 V 的一个基． 若 A 可逆，则 1， 2， ， n 线性无关即可．假设 证 只要证 1， 2， k1 1 k 2 2 k n n 则 k1 k1 1， 2， ， n 1，a 2， ， n A ． k k n n
高等代数-6.4基变换与坐标变换
3）若由基1,2 , ,n到基1, 2 , , 过n 渡矩阵为A, 由基 1, 2 , , n到基 1, 2 , ,过n 渡矩阵为B，则 由基 1,2 , ,n到基 1, 2 , ,过n 渡矩阵为AB.
事实上,若 (1, 2 , , n ) (1,2 , ,n ) A
( 1, 2 , , n ) (1, 2 , , n )B 则有，( 1, 2 , , n ) ((1,2 , ,n ) A)B
下的坐标分别为 ( x1, x2 , , xn ) 与 ( x1 , x2 , , xn ) ，
§6.4 基变换与坐标变换
即，
(1, 2 ,
x1
,
n
)
x2
与
(1, 2 ,
xn
x1 a11 a12
则
x2
a21
a22
xn an1 an2
a1n x1 a2n x2
练习：已知 P 22 的两组基：
E11
1 0
0 0
, E12
0 0
1 0
, E21
0 1
0 0
, E22
0 0
0 1
;
F11
1 0
0 0
, F12
1 0
1 0
, F21
11 10
, F22
11 11
求由基 E11, E12,E21, E22到F11, F12,F21, F22 的过渡矩阵，
过渡矩阵．其中
1 (1,0, ,0), 2 (0,1, ,0), , n (0, ,0,1)
1 (1,1, ,1),2 (0,1, ,1), ,n (0, ,0,1)
并求向量 (a1,a2 , ,an )在基1,2 , ,n下的坐标.
基变换公式坐标变换公式坐标旋转公式平面解析几何
n＋1 个向量线性相关 （例如：几何空间中至多 3 个向量线性无关，而
任意 4 个向量线性相关）.
→ 问题: 一般线性空间中至多有几个向量线性无关？
二. 维数、基、坐标
定义5 V中有n个线性无关的向量，且无多余n个的向量线性 无关，则称V是n维的记成dimV=n；若V中有任意多个向量线性 无关，则称 V是无限维的，记成dimV=∞.
(a1 a2 ,b1 b2 a1a2 ) (a3 ,b3 ) ((a1 a2 ) a3 , (b1 b2 a1a2 ) b3 (a1 a2 )a3 )
(a1 a2 a3 , b1 b2 b3 a1a2 a1a3 a2a3 ) ；
同理可得 (a1,b1) ((a2 ,b2 ) (a3,b3 )) 上式右端结果，故 2)成立. 3) 取 (0,0) V, 则 (0,0) (a,b) (0 a,0 b 0 0) (a,b) ,即 (0,0) 是 V 的零向量.
* 不经声明，v均表示数域 P 上的线性空间.
n
定义 2 k11 k22 knn kii (i V, ki P, i 1, 2, , n) i 1
称为向量1, 2 , , n 的一个线性组合，或说 是 1, 2 , , n 的线性表示.
记成 {1,2 , ,n} ；
是 P117 向量线性相关概念在一般线性空间中的推广.
a21 2 a22 2
an1 n an2 n 借 助 形式 符号
/ n
a1n1
a2n 2
ann n
a11 a12
(1/
,
/ 2
,
,
/ n
)
(1,
2
,
, n )A (1, 2 ,
,
n
)
任意 4 个向量线性相关）.
→ 问题: 一般线性空间中至多有几个向量线性无关？
二. 维数、基、坐标
定义5 V中有n个线性无关的向量，且无多余n个的向量线性 无关，则称V是n维的记成dimV=n；若V中有任意多个向量线性 无关，则称 V是无限维的，记成dimV=∞.
(a1 a2 ,b1 b2 a1a2 ) (a3 ,b3 ) ((a1 a2 ) a3 , (b1 b2 a1a2 ) b3 (a1 a2 )a3 )
(a1 a2 a3 , b1 b2 b3 a1a2 a1a3 a2a3 ) ；
同理可得 (a1,b1) ((a2 ,b2 ) (a3,b3 )) 上式右端结果，故 2)成立. 3) 取 (0,0) V, 则 (0,0) (a,b) (0 a,0 b 0 0) (a,b) ,即 (0,0) 是 V 的零向量.
* 不经声明，v均表示数域 P 上的线性空间.
n
定义 2 k11 k22 knn kii (i V, ki P, i 1, 2, , n) i 1
称为向量1, 2 , , n 的一个线性组合，或说 是 1, 2 , , n 的线性表示.
记成 {1,2 , ,n} ；
是 P117 向量线性相关概念在一般线性空间中的推广.
a21 2 a22 2
an1 n an2 n 借 助 形式 符号
/ n
a1n1
a2n 2
ann n
a11 a12
(1/
,
/ 2
,
,
/ n
)
(1,
2
,
, n )A (1, 2 ,
,
n
)
基变换、坐标变换共22页文档
END
•
30、风俗可以造就法律，也可以废除 法律。 ——塞·约翰逊
基变换、坐标变换
16、业余生活要有意义，不要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃
•
26、我们像鹰一样，生来就是自由的 ，但是 为了生 存，我 们不得 不为自 己编织 一个笼 子，然 后把自 己关在果不讲道理，即使延续时 间再长 ，也还 是没有 制约力 的。— —爱·科 克
•
28、好法律是由坏风俗创造出来的。 ——马 克罗维 乌斯
•
29、在一切能够接受法律支配的人类 的状态 中，哪 里没有 法律， 那里就 没有自 由。— —洛克
线性代数-基变换与坐标变换
2 1
2
1 2
1
1 2
o
1
1 x 2
三、小结
１．基变换公式
1 p111 p212 pn1n
2 p121
p22
2 pn2n
n p1n1 p2n2 pnnn
1, 2 , , n 1,2 , ,n P
２．坐标变换公式
x1 x1'
x2
P
x2'
,
或
0
,
0
2
1
及
1
1 1
,
2
1 1
2
为线性空间V R2的两个基.
又设
1
21 2,
则在基 1 , 2下的坐标为
x1 1 2 x2 1
由坐标变换公式可知,在基 1, 2下的坐标为
y1 y2
1 1
1 1 1 2 1 2
1 2 1 1
y
即
1 2
1
2.
1 p11
2
p12
n p1n
p21 p22 p2n
pn1 1
1
pn2
2
PT
2 .
pnn n
n
1, 2 , , n 1,2 , ,n P
基变换公式 在基变换公式
1, 2 , , n 1,2 , ,n P
中, 矩阵P 称为由基 1,2, ,n 到基 1, 2, , n的过 渡矩阵．
x1 x1'
x1'
x1
x2
P
x2'
,
或
x2'
P
1
x2 .
xn xn'
高等代数§6.4 基变换与坐标变换
则
x1 x2 xn
a11 a 21 a n1
( 1 , 2 , , n ) 与 a12 a1 n x 1 a 22 a 2 n x 2 ⑥ a n 2 a nn x n x1 x2 xn
①
即，
a11 a12 a 21 a 22 ( 1 , 2 , , n ) ( 1 , 2 , , n ) a n1 a n 2
a1n a2n a nn
②
则称矩阵
a11 a 21 A a n1
( a 1 , a 2 , , a n ) 在基 1 , 2 , , n 下的坐标就是
( a 1 , a 2 , , a n )
设 在基 1 , 2 , , n下的坐标为 ( x 1 , x 2 , , x n ) ，则
x1 x2 xn 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 a1 a1 0 a 2 a 2 a1 0 a n a n a n1 1
若 1 , 2 , , n 线性无关，则
a1 a2 ( 1 , 2 , , n ) a n b1 b2 ( 1 , 2 , , n ) b n a 1 b1 a 2 b2 a b n n
§6.4 基变换与坐标变换
一、向量的形式书写法
§4基变换与坐标变换共27页
1
0
、
倚
南
窗
以
寄
傲
，
审
容
膝
之
易
安
。
谢谢
11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利
文 家 。汉 族 ，东 晋 浔阳 柴桑 人 （今 江西 九江 ） 。曾 做过 几 年小 官， 后辞 官 回家 ，从 此 隐居 ，田 园生 活 是陶 渊明 诗 的主 要题 材， 相 关作 品有 《饮 酒 》 、 《 归 园 田 居 》 、 《 桃花 源 记 》 、 《 五 柳先 生 传 》 、 《 归 去来 兮 辞 》 等 。
§4基變換與坐標變換
6
、
露
凝
无
游
氛
，
天
高
风
景
澈
。
7、翩翩新 来燕，双双入我庐 ，先巢故尚在，相 将还旧居。
8
、
吁
嗟
身
后名，于我 Nhomakorabea若
浮
烟
。
9、 陶渊 明（ 约 365年 —427年 ），字 元亮， （又 一说名 潜，字 渊明 ）号五 柳先生 ，私 谥“靖 节”， 东晋 末期南 朝宋初 期诗 人、文 学家、 辞赋 家、散
6.4 基变换与坐标变换
ε 2 = 0ε 1 + 1ε 2 + 0ε 3 ε 3 = 0ε 1 + 0ε 2 + 1ε 3 , ε = 1ε + 0ε + 0ε 1 2 3 1
0 0 1 A = 1 0 0 0 1 0
方法2 直接利用矩阵来计算. 方法2：直接利用矩阵来计算.
注意 :
1) 基变换公式的矩阵形式是“形式的”. 因为 基变换公式的矩阵形式是“形式的” 在这里把向量作为矩阵的元素，一般来说没有意义 在这里把向量作为矩阵的元素，一般来说没有意义. 不过在这个特殊的情况下， 不过在这个特殊的情况下，这种约定的用法是不会 出毛病的. 出毛病的 2) 过渡矩阵 A 的第 j 列 (a1j , a2j , … , anj ), 就是第二组基向量 εj′ 在第一组ε 1 , ε 2 , … , ε n下的 坐标. 坐标
(2)
证明： 证明： 因
线性无关, 由于 ε 1 , ε 2 , L , ε n 线性无关 故即有关系式 (2).
′ x1 x1 ′ x2 x2 ′ ′ ′ (ε1 , ε 2 , L, ε n ) = ξ = (ε1 , ε 2 , L, ε n ) M M x x′ n n ′ x1 x′ 2 = (ε 1 , ε 2 , L , ε n ) A M x′ n
(α1 ,α 2 ,L ,α n ) A = (α1 ,α 2 ,L ,α n ) B ⇔ A = B .
二、基变换
V为数域 P上的 n 维线性空间， 为数域 上的 维线性空间， α1 ,α 2 ,L,α n 为V 中的一组线性无关向量，而 中的一组线性无关向量， 引理
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
则记作 a11 a12 La1n
(1,2,L,n)(1,2,L,n)a L 21 a L 22 L La L 2n
an1 an2Lann
2.运算规律
1) 1 , 2 , L , n V , a 1 , a 2 , L , a n , b 1 , b 2 , L , b n P
a 1
b 1
向量组， A = ( aij ) , B= ( bij ) 是两个 n n 矩阵，则
1) ((1 , 2 , … , n )A)B=(1 , 2 , … , n )(AB)
第六章 线性空间
§1 集合·映射
§5 线性子空间
§2 线性空间的定义 与简单性质
§6 子空间的交与和
§3 维数·基与坐标
§7 子空间的直和
§4 基变换与坐标变换 §8 线性空间的同构
第四节 基变换与坐标变换
主要内容
向量的形式意义及运算 基变换 坐标变换公式 举例
我们知道，在n维线性空间V中，任意n个线性 无关的向量都可取作线性空间V的一组基．V中任 一向量在某一组基下的坐标是唯一确定的，但是在 不同基下的坐标一般是不同的．因此在处理一些问 题是时，如何选择适当的基使我们所讨论的向量的 坐标比较简单是一个实际的问题．为此我们首先要 知道同一向量在不同基下的坐标之间有什么关系， 即随着基的改变，向量的坐标是如何变化的.
( 1 ,2 , L ,n ) A ( 1 ,2 , L ,n ) A ( 1 1 ,2 2 , L ,n n ) A ；
若1,2,L,n线性无关，则
( 1 , 2 , L , n ) A ( 1 , 2 , L , n ) B A B .
二、基变换
引理 V为数域 P上的 n 维线性空间，
V中的一组向量， V ，若
x 1 1 x 2 2 L x n n
则记作
x1
(1 ,2 ,L
,n )
x2 xMn
5）V为数域 P 上 n 维线性空间，1,2,L,n； 1,2,L,n为V中的两组向量，若
1 a111a212Lan1n Ln2 LaaL11n2L11LaaL222nL 22LL L LLL aannL 2nnn
n维线性空间 V 中两组基，它们的关系是
1 a111 a212 an1n ,
2
a121
a222
an2n
,
(1)
n a1n1 a2n2 annn .
称 (1) 为基变换公式.
2. 基变换公式的矩阵形式
为了写起来方便，我们引入一种形式的写法.
把基写成一个 1 n 矩阵，于是 (1) 可写成如下矩
阵形式：
a11 a12 a1n
(1,2,,n)(1,2,,n)aa 2n11 aa n222
a2n a nn
矩阵
a11 a12 a1n
A
a21 an1
a2 1 , 2 , … , n 到1 , 2 , …, n 的过渡矩 阵. 由于1 , 2 , …, n 是线性无关的，所以过渡
就是第二组基向量 j 在第一组 1 , 2 , … , n下的
坐标.
3）过渡矩阵都是可逆矩阵；反过来，任一可逆
矩阵都可看成是两组基之间的过渡矩阵．
4）若由基 1 ,2 , L ,n 到 基 1 ,2 , L ,过n 渡矩阵为A, 则由基 1 ,2 , L ,n 到 基 1 ,2 , L ,n 过渡矩阵为A-1.
2） ( ( 1 , 1 2 ,L 1 ,, 2 n ) (2 ,L 1 , , 2 ,L n , n n ) );
3） k ( 1 , 2 , L , n ) ( k 1 , k 2 , L , k n ) , k P ;
4）V为数域 P上的 n 维线性空间，1,2,L,n为
矩阵 A 的列向量组线性无关，因此，过渡矩阵 A
是可逆的.
注意 :
1) 基变换公式的矩阵形式是“形式的”. 因为 在这里把向量作为矩阵的元素，一般来说没有意义. 不过在这个特殊的情况下，这种约定的用法是不会 出毛病的.
2) 过渡矩阵 A 的第 j 列 (a1j , a2j , … , anj ),
5）若由基 1 ,2 , L ,n 到 基 1 ,2 , L ,过n 渡矩阵为A, 由基 1 ,2 , L ,n 到 基 1 ,2 , L ,过n 渡矩阵为B，则 由基 1 ,2 , L ,n 到 基 1 ,2 , L ,过n 渡矩阵为AB.
3. 运算规律
设 1 , 2 , … , n 和 1 , 2 , … , n 是 V 中两个
1,2,L,n为V 中的一组线性无关向量，而
1 a111a212Lan1n Ln2 LaaL11n2L11LaaL222nL 22LL L LLL aannL 2nnn
则 1,2,L,n线性无关 aij 0.
1. 定义
定义2 设 1 , 2 , … , n 与1 , 2 , …, n 是
2) 1,2,L,n ；1,2,L,n为V中的两组向量，
矩阵 A,BPnn，则
( ( 1 , 2 , L , n ) A ) B ( 1 , 2 , L , n ) ( A B ) ；
( 1 ,2 , L ,n ) A ( 1 ,2 , L ,n ) B
(1 ,2 , L ,n ) ( A B ) ；
一、向量的形式意义及运算
1.定义
定义1 V为数域 P上的 n 维线性空间，
1,2,L,n 为V 中的一组向量，记作(1,2,L,n)，
称之为向量矩阵,给出定义：
1）若有两组向量 ( 1 ,2 , L ,n ) ( 1 ,2 , L ,n )
1 1 ,2 2 , L ,n n ;
a 1 b 1
(1,2,L ,n ) a M 2 (1 ,2,L ,n ) b M 2 (1 ,2 ,L ,n ) a 2 M b 2
a n
b n
a n b n
若1,2,L,n线性无关，则
a1
b1 a1 b1
(1,2,L,n) a a M n 2 (1,2,L,n) b b M n 2 a a M n 2 b b M n 2
(1,2,L,n)(1,2,L,n)a L 21 a L 22 L La L 2n
an1 an2Lann
2.运算规律
1) 1 , 2 , L , n V , a 1 , a 2 , L , a n , b 1 , b 2 , L , b n P
a 1
b 1
向量组， A = ( aij ) , B= ( bij ) 是两个 n n 矩阵，则
1) ((1 , 2 , … , n )A)B=(1 , 2 , … , n )(AB)
第六章 线性空间
§1 集合·映射
§5 线性子空间
§2 线性空间的定义 与简单性质
§6 子空间的交与和
§3 维数·基与坐标
§7 子空间的直和
§4 基变换与坐标变换 §8 线性空间的同构
第四节 基变换与坐标变换
主要内容
向量的形式意义及运算 基变换 坐标变换公式 举例
我们知道，在n维线性空间V中，任意n个线性 无关的向量都可取作线性空间V的一组基．V中任 一向量在某一组基下的坐标是唯一确定的，但是在 不同基下的坐标一般是不同的．因此在处理一些问 题是时，如何选择适当的基使我们所讨论的向量的 坐标比较简单是一个实际的问题．为此我们首先要 知道同一向量在不同基下的坐标之间有什么关系， 即随着基的改变，向量的坐标是如何变化的.
( 1 ,2 , L ,n ) A ( 1 ,2 , L ,n ) A ( 1 1 ,2 2 , L ,n n ) A ；
若1,2,L,n线性无关，则
( 1 , 2 , L , n ) A ( 1 , 2 , L , n ) B A B .
二、基变换
引理 V为数域 P上的 n 维线性空间，
V中的一组向量， V ，若
x 1 1 x 2 2 L x n n
则记作
x1
(1 ,2 ,L
,n )
x2 xMn
5）V为数域 P 上 n 维线性空间，1,2,L,n； 1,2,L,n为V中的两组向量，若
1 a111a212Lan1n Ln2 LaaL11n2L11LaaL222nL 22LL L LLL aannL 2nnn
n维线性空间 V 中两组基，它们的关系是
1 a111 a212 an1n ,
2
a121
a222
an2n
,
(1)
n a1n1 a2n2 annn .
称 (1) 为基变换公式.
2. 基变换公式的矩阵形式
为了写起来方便，我们引入一种形式的写法.
把基写成一个 1 n 矩阵，于是 (1) 可写成如下矩
阵形式：
a11 a12 a1n
(1,2,,n)(1,2,,n)aa 2n11 aa n222
a2n a nn
矩阵
a11 a12 a1n
A
a21 an1
a2 1 , 2 , … , n 到1 , 2 , …, n 的过渡矩 阵. 由于1 , 2 , …, n 是线性无关的，所以过渡
就是第二组基向量 j 在第一组 1 , 2 , … , n下的
坐标.
3）过渡矩阵都是可逆矩阵；反过来，任一可逆
矩阵都可看成是两组基之间的过渡矩阵．
4）若由基 1 ,2 , L ,n 到 基 1 ,2 , L ,过n 渡矩阵为A, 则由基 1 ,2 , L ,n 到 基 1 ,2 , L ,n 过渡矩阵为A-1.
2） ( ( 1 , 1 2 ,L 1 ,, 2 n ) (2 ,L 1 , , 2 ,L n , n n ) );
3） k ( 1 , 2 , L , n ) ( k 1 , k 2 , L , k n ) , k P ;
4）V为数域 P上的 n 维线性空间，1,2,L,n为
矩阵 A 的列向量组线性无关，因此，过渡矩阵 A
是可逆的.
注意 :
1) 基变换公式的矩阵形式是“形式的”. 因为 在这里把向量作为矩阵的元素，一般来说没有意义. 不过在这个特殊的情况下，这种约定的用法是不会 出毛病的.
2) 过渡矩阵 A 的第 j 列 (a1j , a2j , … , anj ),
5）若由基 1 ,2 , L ,n 到 基 1 ,2 , L ,过n 渡矩阵为A, 由基 1 ,2 , L ,n 到 基 1 ,2 , L ,过n 渡矩阵为B，则 由基 1 ,2 , L ,n 到 基 1 ,2 , L ,过n 渡矩阵为AB.
3. 运算规律
设 1 , 2 , … , n 和 1 , 2 , … , n 是 V 中两个
1,2,L,n为V 中的一组线性无关向量，而
1 a111a212Lan1n Ln2 LaaL11n2L11LaaL222nL 22LL L LLL aannL 2nnn
则 1,2,L,n线性无关 aij 0.
1. 定义
定义2 设 1 , 2 , … , n 与1 , 2 , …, n 是
2) 1,2,L,n ；1,2,L,n为V中的两组向量，
矩阵 A,BPnn，则
( ( 1 , 2 , L , n ) A ) B ( 1 , 2 , L , n ) ( A B ) ；
( 1 ,2 , L ,n ) A ( 1 ,2 , L ,n ) B
(1 ,2 , L ,n ) ( A B ) ；
一、向量的形式意义及运算
1.定义
定义1 V为数域 P上的 n 维线性空间，
1,2,L,n 为V 中的一组向量，记作(1,2,L,n)，
称之为向量矩阵,给出定义：
1）若有两组向量 ( 1 ,2 , L ,n ) ( 1 ,2 , L ,n )
1 1 ,2 2 , L ,n n ;
a 1 b 1
(1,2,L ,n ) a M 2 (1 ,2,L ,n ) b M 2 (1 ,2 ,L ,n ) a 2 M b 2
a n
b n
a n b n
若1,2,L,n线性无关，则
a1
b1 a1 b1
(1,2,L,n) a a M n 2 (1,2,L,n) b b M n 2 a a M n 2 b b M n 2