6.4 基变换与坐标变换复习课程
高等代数课本提纲
教学大纲
陕西师范大学本科数学与应用数学专业理论课教学大纲
高等代数
学时：144 学分：8
课程属性：专业必修
开课单位：数学与信息科学学院
先修课程：无
一、课程性质
高等代数是本科数学专业的主要基础课程，作为其中核心部分的线性代数，又是理工科大学各专业的重要数学工具。高等代数不仅是研究有关数学、物理、化学等理论的重要工具，而且由于它主要是处理线性关系的问题，这就使得很多牵涉到线性关系的实际问题需要用高等代数作为理论工具。实质上，高等代数目前已在力学、工程、通讯等方面有着广泛的应用。
二、教学目的
通过这门课的学习，使学生不仅能掌握一些处理问题的基本方法，而且能使他们对高等代数的基础理论有一个深刻的了解，从而为进一步
学习专业课打下良好的基础。培养学生独立思维能力和解决实际问题能力。
三、教学内容
本课程分以一元多项式为主体的多项式理论和线性代数两部分。线性代数部分涉及行列式、矩阵、线性方程组、二次型、线性空间、线性变换、λ一矩阵和欧几里得空间。
四、学时分配
8 -矩阵
五、教学方式
讲授；辅导；多媒体；批改作业。
六、考核方式
闭卷
七、教材及教学参考书
1. 张禾瑞，郝炳新.高等代数(第四版)，北京：高等教育出版社,2004。
2. 张贤科，许哺华.高等代数学，北京：清华大学出版社,1998,3。
3. 王正文，高等代数分析与研究，济南：山东大学出版社,1994,6。
4. 陈文灯，黄先开.线性代数复习指导，北京：世界图书出版公司，1998，6。
5. 李志慧，李永明.高等代数分析与选讲,西安: 陕西师范大学出版社，2006,8。
考研数学强化知识点总结
考研数学强化知识点总结
一、解析几何
1、向量
向量概念：向量是有大小和方向的量，用线段表示，方向和长度都具体的向量，一个向量可以由终点坐标和起点坐标唯一确定
向量的运算：向量的加法和数乘
2、空间解析几何
平面方程：点法式方程和一般式方程
直线的方程：点方向式方程和一般式方程
两面角的正弦余弦公式
直线与平面的位置关系
3、空间直角坐标系
点到平面的距离
直线与平面的位置关系
直线与直线的位置关系
两点之间的距离
二面角及一般空间角
4、空间曲线与曲面
空间曲线参数方程及其性质
空间曲线的方程及其性质
空间曲面的方程及其性质
5、空间向量
向量的数量积和向量的夹角
数量积的性质和应用
向量的矢积及其性质
矢积的几何意义和应用
二、线性代数
1、行列式
行列式的定义和性质
行列式的性质及其应用
2、矩阵
矩阵的定义及其运算
矩阵的基本变换及其应用
矩阵的秩及其性质
矩阵的逆及其性质
3、向量空间
向量空间的定义及其性质
线性相关性和线性无关性
基变换和坐标变换
子空间及其判别
4、线性方程组
线性方程组的解的判定
线性方程组的解的结构
线性方程组的解的存在唯一性
矩阵方程AX=B的解的判定
5、特征值和特征向量
特征值和特征向量的定义及其性质特征值与特征向量的关系
对角化及其条件
二次型及其标准形
三、概率统计
1、随机事件及其概率
随机事件及其运算规则
概率的性质及其常用公式
事件的相互独立性和不独立性
2、随机变量及其概率分布
随机变量的取值范围
离散型与连续型随机变量
常见的离散型随机变量及其概率分布
常见的连续型随机变量及其概率密度函数3、多维随机变量及其分布
多维离散型随机变量及其联合分布
1基变换与坐标变换
x1
x1
1 , 2 ,
, n
x2 xn
1 , 2 ,
, n
x2 xn
1 , 2 , , n 1 , 2 , , n A x1
1 , 2 ,
,
n
A
x2 xn
,
由基向量的线性无关性，得坐标变换公式
x1 , x2 , , xn T A x1 , x2 , , xn T , x1 , x2 , , xn T A1 x1 , x2 , , xn T .
为V的 一 组 基 ．
定 理8（ 维 数 公 式 ） 若W1、W2是V的 两 个 子 空 间 ， 那么
dim W1 dim W2 dim W1 W2 dim W1 W2 .
定义9 W1、W2是V的两个子空间，如果W1 W2
B
1 0 1
1 2 2
1 1 2
123 ,
所以
( 1 , 2 , 3 , 4 ) (1 , 2 , 3 , 4 ) A1 B,
故坐标变换公式为
x1'
x1
x2'
x3 x4
' '
B1 A
x2 x3 x4
.
用初等变换计算 B1 A.
2 0 2 1 1 1 1 1
B
A
1 0
求 坐 标 变 换 公 式.
矩阵分析引论--第一章 线性空间与线性变换-线性空间的概念、 基变换与坐标变换
第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
② 可以证明：
0a 0, k0 0, (1)a a . ka 0 的充要条件是 k 0 或 a 0.
③ 可以定义元素的减法为
a b a (b ).
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第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
（2）在P与V的元素之间还定义了一种运算(称为
数乘, k与a的数乘记为ka),
且 a V ,k P, 有 ka V ；
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第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
（3）加法与数乘满足以下八条规则：
(ⅰ) a b b a； (ⅱ) (a b ) a (b )；
定义1-2：线性相关,线性无关,线性组合,线性表示
设 a1,a2 ,,an是线性空间V(P)的一组向量，
如果存在P中一组不全为0的数 k1, k2 ,, kn，使得
k1a1 k2a2 knan 0 成立，则称向量 a1,a2,,an 线性相关.
若等式 k1a1 k2a2 knan 0 当且仅当
例5 S X Pn X是齐次线性方程组AX 0的解;
例6 R : 全体正实数；数域为R. 定义加法及数乘
运算为: a b ab ; (a , b R ) k a a k . (k R,a R )
同济大学数学系《工程数学—线性代数》(第5版)【教材精讲+考研真题解析】讲义与视频课程-线性空间与线
第6章线性空间与线性变换
6.1本章要点详解
本章要点
■线性空间的定义与性质
■维数、基与坐标
■基变换与坐标变换
■线性变换
■线性变换的矩阵表示式
重难点导学
一、线性空间的定义与性质
1．两种运算
（1）加法运算
设V是一个非空集合，R为实数域．如果在V中定义了一个加法，即对于任意两个元素α，β∈V，总有唯一的一个元素γ∈V与之对应，称为α与β的和，记作γ＝α＋β．（2）数乘运算
在V中又定义了一个数与元素的乘法（简称数乘），即对于任一数λ∈R与任一元素α∈V，总有唯一的一个元素δ∈V与之对应，称为λ与α的数量乘积，记作δ＝λα．
2．线性空间定义
设V是一个非空集合，R为实数域．如果在V中取任意两个元素α，β∈V，加法运算和
乘法运算满足以下八条运算规律（设α、β、γ∈V，λ、μ∈R）：
（1）α＋β＝β＋α；
（2）（α＋β）＋γ＝α＋（β＋γ）；
（3）在V中存在零元素0，对任何α∈V，都有α＋0＝α；
（4）对任何α∈V，都有α的负元素β∈V，使α＋β＝0；
（5）1α＝α；
（6）λ（μα）＝（λμ）α；
（7）（λ＋μ）α＝λα＋μα；
（8）λ（α＋β）＝λα＋λβ，
则V称为线性空间，又称向量空间．
3．线性空间的性质
（1）零向量是唯一的；
（2）任一向量的负向量是唯一的，α的负向量记作－α；
（3）0α＝0，（－1）α＝－α，λ0＝0；
（4）如果λα＝0，则λ＝0或α＝0．
4．子空间
（1）定义
设V是一个线性空间，L是V的一个非空子集，如果L对于V中所定义的加法和数乘两种运算也构成一个线性空间，则L称为V的子空间．
基变换与坐标变换
基变换与坐标变换
基变换与坐标变换是数学中的一个概念，它们都是研究变换形式的基础工作。它们是将一个空间中的向量投影到另一个空间的过程。基变换是指一种变换，它使空间的向量的基本特征保持不变。坐标变换是指把数据由一种坐标系转换为另一种坐标系的过程，如从极坐标转换到直角坐标。
基变换可以分为几何和代数两种形式，每种形式都有不同的用途。几何变换是指对点或向量空间中的向量应用一定的变换，来改变其形状或尺寸。几何变换可以表示为一组线性方程，其作用是把输入空间中的点映射到输出空间中的点。常见的几何变换包括旋转和缩放。代数变换是指把一个空间中的点映射到另一个空间中的点，通过使用多项式来完成。代数变换可以用来改变一个点的位置，形状，尺寸等属性，例如抛物线变换和二次变换等。
坐标变换是把一种坐标系的数据转换到另一种坐标系的过程。坐标变换的基本原理是把一个物体的坐标从一个坐标系（原坐标系）转换到另一个坐标系（目标坐标系）。常见的坐标变换有从极坐标到直
角坐标的变换，从直角坐标到极坐标的变换，从笛卡尔坐标到其他坐标系的变换以及曲面坐标变换等等。
在工程中，基变换和坐标变换都经常被用来实现特定的工程目标。基变换可以被用来改变数据的形状，比如在图像处理中，可以使用基变换来缩放和旋转图像。坐标变换可以被用来将一个坐标系的数据转换到另一个坐标系，比如在机器人攻击中，可以使用坐标变换来实现
从直角坐标到极坐标的变换。
总而言之，基变换和坐标变换在数学和工程中是非常重要的概念。基变换可以用来改变空间中向量的特征，而坐标变换则可以用来将一种坐标系的数据转换到另一种坐标系。它们在许多领域中都有重要用途，例如图像处理，机器人控制，计算机视觉，空间分析等方面，广泛应用于实际工程中。
基变换公式和坐标变换公式
基变换公式和坐标变换公式
一、基变换公式
基变换公式是描述向量在不同基底下表示的关系的数学工具。假设有两组基底
b1,…,bb和b1,…,bb，其中bb和bb是向量。对于给定向量b，其在b1,…,bb和在
b1,…,bb基底下的坐标分别为b和b。基变换公式表达了坐标b和b之间的关系，即
b=bb。
具体来说，对于给定的基变换矩阵b，我们可以通过矩阵乘法来完成基变换。
假设向量b在b1,…,bb基底下的坐标为向量b，我们可以通过矩阵乘法b=bb来获得
向量b在b1,…,bb基底下的坐标b。基变换公式的实质是将向量在一个基底下表示
的坐标转化为在另一个基底下的表示。
二、坐标变换公式
坐标变换公式描述的是在同一基底下的向量坐标之间的变换关系。假设有两个
向量b1和b2，在同一组基底b1,…,bb下的坐标分别为b1和b2。坐标变换公式通
过一个矩阵的乘法运算来表示不同坐标之间的转换。具体而言，对于给定的坐标变换矩阵b，我们可以通过b2=bb1来实现坐标之间的变换。
在实际应用中，坐标变换公式常常用于描述向量在空间中的位置关系。通过坐
标变换公式，我们可以方便地计算不同坐标间的关系，进而实现对向量位置的准确描述和计算。
结论
基变换公式和坐标变换公式作为数学工具在向量表示和计算中具有重要作用。
基变换公式描述了向量在不同基底下的表示关系，通过矩阵乘法完成基之间的转换；而坐标变换公式则描述了向量在同一基底下坐标之间的变换关系，通过矩阵乘法完成不同坐标的转换。这两个公式为向量表示和计算提供了有力的数学工具，为实际问题的求解提供了便利。
基变换与坐标变换公式
文档内容模板如下：
基变换与坐标变换公式
一、基变换概述
基变换在数学和物理学中具有重要意义，它是描述向量空间中向量变换的一种
数学工具。基本思想是通过一组新的基底来表示原有的向量，从而实现向量空间中的变换。
二、基变换的原理
假设有一组基底向量{a1, a2, …, an}和{b1, b2, …, bn}，它们之间通过一个矩阵
M相互转换。则向量v可以表示为：
v = a1x1 + a2x2 + … + anxn = b1y1 + b2y2 + … + bnyn
其中xi和yi是向量v在{a1, a2, …, an}和{b1, b2, …, bn}基下的坐标。
三、坐标变换的概念
坐标变换是指在不同基底下对同一个向量进行表示的变换过程。假设有向量v
在标准基底下的坐标为y，在基底{a1, a2, …, an}下的坐标为x。则坐标变换关系为：
x = My
其中矩阵M由基底{a1, a2, …, an}确定。
四、基变换与坐标变换关系
在基变换和坐标变换的过程中，两者之间有着密切的联系。通过基变换矩阵M，可以实现向量之间在不同基底下的表示转换。同时，坐标变换也可以通过基变换来实现。假设有向量v，在基{a1, a2, …, an}和基{b1, b2, …, bn}下的坐标分别为x和y，则坐标变换公式为：
y = Mx
五、总结
基变换和坐标变换是线性代数中重要的概念，它们为描述向量空间中的变换提
供了有效的数学工具。通过对基变换和坐标变换的学习，可以更好地理解向量在不同基底下的表示和转换过程。
以上是关于基变换与坐标变换公式的简要介绍，希望对你有所帮助。
维数基与坐标 基变换与坐标变换
§3.维数、基、坐标
复习
1. ⎧⎪
⎨⎪⎩
线性组合、线性表出基本概念向量组等价线性无关（相关） 110
1112210,0,r r
k k r r r r k k k k k ααααααα===⎧−−−−−→⎪
++
+=⎨−−−−−−−→⎪⎩只有存在不全为的，线性无关线性相关
2. 性质：
1）α线性相关⇔0α=；
2）1r αα⇔，，线性相关其中一个向量是其余向量线性组合； 3）s r >且r ααα,,,21 可以用s βββ,,,21 线性表出，则
r ααα,,,21 线性相关；r ααα,,,21 可以用s βββ,,,21 线性表出且
r ααα,,,21 线性无关，则s r ≤；
4）两个等价线性无关向量组含有相同个数向量； 5）r ααα,,,21 线性无关，βααα,,,,21r 线性相关
⇒1,
,r βαα可以被线性表出；
6）1n ,
,αα无关则其部分组1,,r αα也无关（整体无关则部分
相关，部分相关则整体相关）；
新课
一 线性空间的基与维数
定义1 在线性空间V 中，若存在n 个元素n ααα,,,21 ，满足： 1）n ααα,,,21 线性无关，
2）V 中任意元素α总可由n ααα,,,21 线性表出，
那么n ααα,,,21 就称为线性空间V 的一组基，n 称为线性空间
V 的维数.
Note :
1）维数为n 的线性空间称为n 维线性空间，记作n V ；
2）当一个线性空间V 中存在任意多个线性无关的向量时，就称V 是无限维的；例：=V { 所有实系数多项式 } 3）若n ααα,,,21 为n V 的一组基，则n V 可表示为： },,,{212211R x x x x x x V n n n n ∈+++== αααα 4）基不唯一，维数一定.
线性误差
第六章线性空间
［教学目标］
1理解集合与映射的概念和运算，掌握单射、满射和可逆映射的条件与判别。
2深刻理解线性空间的定义，掌握线性空间的性质。
3理解线性组合、向量组的等价、线性相关、线性无关、基、维数和坐标的定义，掌握线性相（无）关和基的性质，会求向量关于给定基的坐标。
4理解过渡矩阵的概念和性质，掌握向量在不同基下的坐标公式。5理解子空间、生成子空间和线性方程组的解空间的概念，掌握子空
间和生成子空间的性质。
6理解和子空间的和概念，掌握维数定理。
7了解直和的概念和充要条件。
8理解同构和同构映射的概念，掌握同构的充要条件。
［教学重难点］
线性空间的定义，线性相（无）关和基的性质，过渡矩阵和向量关于给定基的坐标的求法，线性方程组的解空间，子空间的交、和与直和的概念。
［教学方法］讲授
［教学时间］22学时。
［教学内容］
集合与映射，线性空间的定义和简单性质，维数、基与坐标，基变换
与坐标变换，线性子空间，子空间的交与和，子空间的直和，线性空间的同构
［考核目标］
会判断一个集合是否为线性空间。会求向量关于给定基的坐标和两组基的过渡距阵。会判断和证明向量组线性相（无）关或是基。
教学过程：
§1 集合·映射
一集合的相关概念
1、集合：若干个固定事物的全体，简称集。一般用大写拉丁
字母
A,
,表示。把不包含任何元素的集合叫空集，记为
B
C
∅。
2、元素：集合中的每一个事物，简称元。一般用小写拉丁字
母
a,
,表示。
b
c
二者关系：元素属于或不属于某个集合。记为a∈A,a∉A.
3、子集、真子集及其表示方法。（集合与集合之间是包含或不
矩阵理论课程教学大纲-深圳大学研究生院
深圳大学研究生《矩阵理论》课程教学大纲
授课教师刘则毅
所在单位数学与计算科学学院
授课名称数值分析课程类别学位学时60 学分 3
授课对象全校公共课授课方式讲课考核方式考试
适合专业理工科各专业
教学目的、
教学要求
通过本课程的学习，使学生在已掌握本科阶段线性代数知识的基础上，进一步深化和提
高矩阵理论的相关知识。并着重培养学生将所学的理论知识应用于本专业的实际问题
和解决实际问题的能力。本课程要求学生从理论上掌握矩阵的相关理论，会证明简单
的一些命题和结论，从而培养逻辑思维能力。要求掌握一些有关矩阵计算的方法，如各
种标准型、矩阵函数等，为今后在相关专业中实际应用打好基础。
课程主要内容(1) 线性空间与线性变换 10学时
理解线性空间的概念，掌握基变换与坐标变换的公式；
掌握子空间与维数定理，了解线性空间同构的含义；
理解线性变换的概念，掌握线性变换的矩阵表示。（不变子空间不作要求）(2) 内积空间 8学时
理解内积空间的概念，掌握正交基及子空间的正交关系；
了解内积空间的同构的含义，掌握判断正交变换的判定方法；
理解酋空间的概念，会判定一个空间是否为酋空间的方法，掌握酋空间与实
内积空间的异同；
掌握正规矩阵的概念及判定定理和性质，理解厄米特二次型的含义。
(3) 矩阵的相似标准形与若干分解形式18学时
掌握矩阵相似对角化的判别方法；会求矩阵的约当标准形；
掌握哈密顿—开莱定理，会求矩阵的最小多项式；
会求史密斯标准形；
掌握正规矩阵及其酉对角化。
掌握多项式矩阵的互质性与既约性的判别方法，会求有理分式矩阵的标准形
及其仿分式分解；
高等代数-6.4基变换与坐标变换
1 (1,0, ,0), 2 (0,1, ,0), , n (0, ,0,1)
1 (1,1, ,1),2 (0,1, ,1), ,n (0, ,0,1)
并求向量 (a1,a2 , ,an )在基1,2 , ,n下的坐标.
解：∵
1 1 2
2
2
n
§6.4 基变换与坐标变换
ann xn
x1
,
n
)
x2
xn
⑥
x1 a11 a12
或
x2
a21
a22
xn an1 an2
a1n 1 x1
a2n
x2
⑦
ann xn
称⑥或⑦为向量ξ在基变换⑤下的坐标变换公式．
§6.4 基变换与坐标变换
例1 在Pn中，求由基1, 2 , , n 到基1,2 , ,n 的过渡矩阵及由基1,2 , ,n 到基 1, 2 , , n 的
3 (0,0,1,0), 4 (0,0,0,1)
则有
1 1 1 1
(1,2
,3
,4
)
(1,
2
,
3
,
4
)
2 1 0
1 1 1
2 1 1
1
0 1
或
1 1 1 11
(1,2,3,4 )
(1,2
研究生矩阵理论知识重点
《矩阵理论》知识重点
一．概况
1．开课学院（系）和学科：理学院数学系
2．课程代码：
3．课程名称：矩阵理论
4．学时/学分：51学时/3学分
5．预修课程：线性代数（行列式，矩阵与线性方程组，线性空间F n，欧氏空间R n，特征值与矩阵的对角化，实对称矩阵与二次型）, 高等数学（一元微积分，空间解析几何，无穷级数，常微分方程）
6．适合专业：全校的机、电、材、管理、生命和物理、力学诸大学科类，以及人文学科等需要的专业（另请参看选课指南）。
7．教材/教学参考书：
《矩阵理论》，苏育才、姜翠波、张跃辉编，科学出版社，2006
《矩阵分析》, R.A. Horn and C.R. Johnson, Cambridge Press (中译本)，杨奇译，机械工业出版社，2005。
《矩理阵论与应用》，陈公宁编，高等教育出版社，1990。
《特殊矩阵》，陈景良，陈向晖，清华大学出版社，2001。
《代数特征值问题》，JH.威尔金森著，石钟慈邓健新译，科学出版社，2001。
二、课程的性质和任务
矩阵理论作为一种基本的数学工具，在数学学科与其他科学技术领域诸如数值分析、优化理论、微分方程、概率统计、系统工程等学科都有广泛应用。电子计算机及计算技术的发展也为矩阵理论的应用开辟了更广阔的前景。因此，学习和掌握矩阵的基本理论和方法，对于将来从事工程技术工作的工科研究生来说是必不可少的。通过该门课程的学习，期望学生能深刻地理解矩阵理论的基本知识和数学思想，掌握有关的计算方法及技巧，提高学生的数学素质，提高科研能力，掌握矩阵理论在多元微积分、线性控制系统、微分方程、逼近理论、投入产出分析等领域的许多应用。
线性代数课件62基坐标及其变换
e1 (1, 0,0)T , e2 (0,1, 0)T , e3 (0,0,1)T ，空间中任意一
个向量可以表示成：
x
(x, y, z)T xe1 ye2 ze3 e1, e2 , e3 y z
在例 4 的线性空间中也存在一个向量组：
注意： 1. 在线性空间中基不唯一；
2. 在同一个基下，向量和它的坐标一一对应。
例 在 3 维实向量空间 R3 中选择两个基
（1）e1 (1, 0,0)T , e2 (0,1, 0)T , e3 (0,0,1)T
（2）
e' 1
(1,0,0)T
,
e' 2
(1, 1, 0)T
,
e' 3
(1,1,1)T
1 1 1 1
1
x
x2
x 3
0
0 0
1 0 0
2 1 0
3
3 1
过渡矩阵
1 1 1 1
P
0 0
1 0
2 1
3 3
0 0 0 1
* 求由基（2）到基（1）的过渡矩阵G
1 1 1 1
G
P 1
0 0
1 0
2 3 1 3
0 0 0 1
* 求向量 f (x) a3x3 a2x2 a1x a0 在
基变换和坐标变换
证明：
x1
V,
x11 x11 L
x11 (1, 2, L
,
n
)
x
2
M
,
xn
又
x1/1/
x
2/
/ 2
L
xn/
/ n
(1/
,
/ 2
,
L
,
/ n
)
x1/
x
/ 2
M
((1,
2
,
L
,
n
)A)
x1/
x
/ 2
M
x
/ n
x
/ n
(1, 2, L
,
n
)(A
xxM12// )
a11 a12 L
(1/
,
/ 2
,
L
,
/ n
)
(1,
2
,L
,
n
)A
，其中
A
a21 L
a22 L
L L
an1
an2
L
现证明 A 是可逆矩阵.
a1n
a2n
.
L
ann
因
1/
,
/ 2
,
L
,
/ n
是基
→
i
线性 表示
{1/
,
高等代数§6.4 基变换与坐标变换
1
0 0 0 1
故，由基 1 , 2 , , n 到基 1 , 2 , , n 的过渡矩阵为
a1n a2n a nn
1
x1 x2 xn
或
x1 x2 xn
a11 a 21 a n1
a12 a 22 an2
x1 x2 xn
解：∵
1 0 0 1 1 0 ∴( 1 , 2 , , n ) ( 1 , 2 , , n ) 1 1 1
1 0 0 1 1 0 而， ( 1 , 2 , , n ) ( 1 , 2 , , n ) 1 1 1
( 1 , 2 , , n ) ( 1 , 2 , , n ) B
则有，( 1 , 2 , , n ) (( 1 , 2 , , n ) A ) B
( 1 , 2 , , n ) A B
三、坐标变换
1、定义：V为数域P上n维线性空间 1 , 2 , , n ;
( 1 , 2 , , n )( A B ) ；
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阵形式：
a11 a12 a1n
(1,2,,n)(1,2,,n)aa 2n11 aa n222
a2n a nn
矩阵
a11 a12 a1n
A
a21 an1
a22 an2
a2n ann
称为由基 1 , 2 , … , n 到1 , 2 , …, n 的过渡矩 阵. 由于1 , 2 , …, n 是线性无关的，所以过渡
就是第二组基向量 j 在第一组 1 , 2 , … , n下的
坐标.
3）过渡矩阵都是可逆矩阵；反过来，任一可逆
矩阵都可看成是两组基之间的过渡矩阵．
4）若由基 1 ,2 , L ,n 到 基 1 ,2 , L ,过n 渡矩阵为A, 则由基 1 ,2 , L ,n 到 基 1 ,2 , L ,n 过渡矩阵为A-1.
2) 1,2,L,n ；1,2,L,n为V中的两组向量，
矩阵 A,BPnn，则
( ( 1 , 2 , L , n ) A ) B ( 1 , 2 , L , n ) ( A B ) ；
( 1 ,2 , L ,n ) A ( 1 ,2 , L ,n ) B
(1 ,2 , L ,n ) ( A B ) ；
第六章 线性空间
§1 集合·映射
§5 线性子空间
§2 线性空间的定义 与简单性质
§6 子空间的交与和
§3 维数·基与坐标
§7 子空间的直和
§4 基变换与坐标变换 §8 线性空间的同构
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第四节 基变换与坐标变换
主要内容
向量的形式意义及运算 基变换 坐标变换公式 举例
我们知道，在n维线性空间V中，任意n个线性 无关的向量都可取作线性空间V的一组基．V中任 一向量在某一组基下的坐标是唯一确定的，但是在 不同基下的坐标一般是不同的．因此在处理一些问 题是时，如何选择适当的基使我们所讨论的向量的 坐标比较简单是一个实际的问题．为此我们首先要 知道同一向量在不同基下的坐标之间有什么关系， 即随着基的改变，向量的坐标是如何变化的.
( 1 ,2 , L ,n ) A ( 1 ,2 , L ,n ) A ( 1 1 ,2 2 , L ,n n ) A ；
若1,2,L,n线性无关，则
( 1 , 2 , L , n ) A ( 1 , 2 , L , n ) B A B .
二、基变换
引理 V为数域 P上的 n 维线性空间，
a 1 b 1
(1,2,L ,n ) a M 2 (1 ,2,L ,n ) b M 2 (1 ,2 ,L ,n ) a 2 M b 2
a n
b n
a n b n
若1,2,L,n线性无关，则
a1
b1 a1 b1
(1,2,L,n) a a M n 2 (1,2,L,n) b b M n 2 a a M n 2 b b M n 2
1,2,L,n为V 中的一组线性无关向量，而
1 a111a212Lan1n Ln2 LaaL11n2L11LaaL222nL 22LL L LLL aannL 2nnn
则 1,2,L,n线性无关 aij 0.
1. 定义
定义2 设 1 , 2 , … , n 与1 , 2 , …, n 是
矩阵 A 的列向量组线性无关，因此，过渡矩阵 A
是可逆的.
注意 :
1) 基变换公式的矩阵形式是“形式的”. 因为 在这里把向量作为矩阵的元素，一般来说没有意义. 不过在这个特殊的情况下，这种约定的用法是不会 出毛病的.
2) 过渡矩阵 A 的第 j 列 (a1j , a2j , … , anj ),
n维线性空间 V 中两组基，它们的关系是
1 a111 a212 an1n ,
2
a121
a222
an2n
,
(1)
n a1n1 a2n2 annn .
称 (1) 为基变换公式.
2. 基变换公式的矩阵形式
为了写起来方便，我们引入一种形式的写法.
把基写成一个 1 n 矩阵，于是 (1) 可写成如下矩
V中的一组向量， V ，若
x 1 1 x 2 2 L x n n
则记作
x1
(1 ,2 ,L
,n )
x2 xMn
5）V为数域 P 上 n 维线性空间，1,2,L,n； 1,2,L,n为V中的两组向量，若
1 a111a212Lan1n Ln2 LaaL11n2L11LaaL222nL 22LL L LLL aannL 2nnn
2） ( ( 1 , 1 2 ,L 1 ,, 2 n ) (2 ,L 1 , , 2 ,L n , n n ) );
3） k ( 1 , 2 , L , n ) ( k 1 , k 2 , L , k n ) , k P ;
4）V为数域 P上的 n 维线性空间，1,2,L,n为
向量组， A = ( aij ) , B= ( bij ) 是两个 n n 矩阵，则
1) ((1 , 2 , … , n )A)B=(1 , 2 , … , n )(AB)
一、向量的形式意义及运算
1.定义
定义1 V为数域 P上的 n 维线性空间，
1,2,L,n 为V 中的一组向量，记作(1,2,L,n)，
称之为向量矩阵,给出定义：
1）若有两组向量 ( 1 ,2 , L ,n ) ( 1 ,2 , L ,n )
1 1 ,2 2 , L ,n n ;
则记作 a11 a12 La1n
(1,2,L,n)(1,2,L,n)a L 21 a L 22 L La L 2n
an1 an2Lann
2.运算规律
1) 1 , 2 , L , n V , a 1 , a 2 , L , a n , b 1 , b 2 , L , b n P
a 1
b 1
5）若由基 1 ,2 , L ,n 到 基 1 ,2 , L ,过n 渡矩阵为A, 由基 1 ,2 , L ,n 到 基 1 ,2 , L ,过n 渡矩阵为B，则 由基 1 ,2 , L ,n 到 基 1 ,2 , L ,过n 渡矩阵为AB.
3. 运算规律
设 1 , 2 , … , n 和 1 , 2 , … , n 是 V 中两个