2020届甘肃省天水一中高三上学期第五次(期末)考试(理)数含解析

2020届甘肃省天水一中高三上学期第五次（期末）考试（理）数一、单选题：（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1．若(1i)2i z +=，则z =（ ） A ．1i --B ．1+i -C ．1i -D ．1+i2．设集合1|22xA x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，1|02x B x x +⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，则A B =I （ ） A ．()1,2- B ．[)1,2- C ．(]1,2- D ．[]1,2-3．下列函数中，其定义域和值域分别与函数lg 10x y =的定义域和值域相同的是（ ） A ．x y = B ．x y lg = C ．x y 2= D ．xy 1=4．已知向量()4,7a =-v，()3,4b =-r ，则2a b -r r 在b r 方向上的投影为（ ） A ．2B ．-2C ．25-D ．255．在区间[1,1]-上随机取一个数k ，则直线(2)y k x =-与圆221x y +=有两个不同公共点的概率为（ ） A ．29B ．36C ．13D ．336．函数ln ||()x f x x x=+的图象大致为（ ） A ．B ．C ．D ．7．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）8. (1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ）A ．122B ．112C ．102D ．929．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a =2，c，则C =（ ） A ．π12B ．π6C ．π4D ．π310．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为（ ）A ．B CD 11．设抛物线2:12C y x =的焦点为F ，准线为l ，点M 在C 上，点N 在l 上，且()0FN FM λλ=>u u u v u u u u v，若4MF =，则λ的值（ ） A ．32B ．2C ．5 2D ．312．设A B C D ，，，是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC △为等边三角形且其面积为，则三棱锥D ABC -体积的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.)13．已知l ，m 是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l ⊥m ；②m ∥α；③l ⊥α． 以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．（用序号作答）14．设α为锐角，若π3cos()65α+=，则sin 212απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为_______.15．设函数2()(0)f x ax b a =+≠，若200()2()f x dx f x =⎰，00x >，则0x 等于______．16．已知函数()()2ln ,mf x x xg x e x=+-=，其中e 为自然对数的底数，若函数()f x 与的图像恰有一个公共点，则实数的取值范围是______．三、解答题:(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17．已知数列{}n a 满足11a =，121n n a S +=+，其中n S 为{}n a 的前n 项和，*n N ∈. （Ⅰ）求n a ；（Ⅱ）若数列{}n b 满足31log n n b a =+,求122320172018111b b b b b b +++L 的值.18．如图，在三棱锥ABC P -中，PA ⊥底面ABC ，AC BC ⊥，H 为PC 的中点， M 为AH 的中点，2PA AC ==，1BC =.（Ⅰ）求PM 与平面AHB 成角的正弦值；（Ⅱ）在线段PB 上是否存在点N ，使得//MN 平面ABC .若存在，请说明点N 的位置，若不存在，请说明理由.19．经过多年的努力，天水市秦安县白凤桃在国内乃至国际上逐渐打开了销路，成为部分农民脱贫致富的好产品.为了更好地销售，现从某村的白凤桃树上随机摘下了100个白凤桃进行测重，其质量分布在区间[200,500]内（单位：克），统计质量的数据作出其频率分布直方图如图所示：（Ⅰ）按分层抽样的方法从质量落在[350,400)，[400,450)的白凤桃中随机抽取5个，再从这5个白凤桃中随机抽2个，记这2个白凤桃质量落在[350,400)间的个数为随机变量X ，求X 的分布列；（Ⅱ）以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该村的白凤桃树上大约还有100000个白凤桃待出售，某电商提出两种收购方案：A ．所有白凤桃均以20元/千克收购；B ．低于350克的白凤桃以5元/个收购，高于或等于350克的以9元/个收购.请你通过计算为该村选择收益最好的方案.（参考数据：2250.052750.163250.243750.34250.24750.05354.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=）20．已知椭圆2222:1x y C a b +=的右焦点为(1,0)，且经过点(0,1)A .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设O 为原点，直线:(1)l y kx t t =+≠±与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，若|OM |·|ON |=2，求证：直线l 经过定点.21．设函数()e 2x af x ax =-+，0a >．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行，求a ；（Ⅱ）当1x <时，函数()f x 的图象恒在x 轴上方，求a 的最大值．请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.22．在平面直角坐标xOy 系中，曲线C 的参数标方程为11x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（其中t 为参数，且0t >），在以O 为极点、x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系（两种坐标系的单位长度相同）中，直线l 的极坐标方程为sin 3πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ）求直线l 与曲线C 的公共点P 的极坐标.23．已知()11f x x ax =+--.（Ⅰ）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；（Ⅱ）若()0,1x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围.参考答案一、选择题（12*5=60分）1．D 2．A 3．D 4．B 5．D 6．A 7．D 8．D 9．B 10．C 11．D 12．B11.详解：过M 向准线l 作垂线，垂足为M ′，根据已知条件，结合抛物线的定义得''MM FF =MN NF=1λλ-，又4MF =，∴|MM′|=4，又|FF′|=6，∴''MM FF =46=1λλ-，3λ∴=.12．详解：如图所示，点M 为三角形ABC 的中心，E 为AC 中点，当DM ⊥平面ABC 时，三棱锥D ABC -体积最大此时，OD OB R 4===2ABC S AB ==V Q AB 6=,Q 点M 为三角形ABC 的中心2BM 3BE ∴==Rt OMB ∴V 中，有OM 2=DM OD OM 426∴=+=+=()max 163D ABC V -∴=⨯=二、填空题（4*5=20分）13．答案1：若②③，则①；答案2：若①③，则② （写出一个即为满分） 141516．0m ≥或21e m e+=-详解：因为()110f x x=+>'，所以函数在()0,+∞上为增函数且1110f e e ⎛⎫=--< ⎪⎝⎭，所以当0m ≥时，与()m g x x =有一个公共点，当0m <时，令()()22,f x g x x xlnx x m e=∴+-=有一解即可，设22(=h x x xlnx x e +-），令2(=2x +1=0h x lnx e -'+）得1x e =，因为当10x e <<时，()0h x '<，当1xe<时，()0h x '>，所以当1x e =时，(h x ）有唯一极小值21e e +-，即()h x 有最小值21e e+-，故当21e m e +=-时有一公共点，故填0m ≥或21e m e+=-.三、简答题17．（Ⅰ）因为121n n a S +=+，121n n a S -=+，2n ≥， 两式相减得112,3,2n n n n n a a a a a n ++-==≥ 注意到11a =，2112133a S a =+==，于是11,3n n n a a +∀≥=，所以13n n a -=.（6分）（Ⅱ）因为n b n =，于是()1111111n n b b n n n n +==-++ 所以1223201720181111111120171223201720182018b b b b b b +++=-+-++-=L L .（12分） 18．（Ⅰ）解：在平面中，过点作 因为 平面，所以 平面， 由 底面，得，，两两垂直，所以以为原点，，，所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，ABC A ，BC AD //⊥BC PAC ⊥AD PAC PA ⊥ABC PA AC AD A AD AC AP则，，，，，.设平面的法向量为，因为 ，，由 得 令，得. 设与平面成角为因为所以sin cos ,PM PM PM θ⋅=<>==⋅u u u u r u u u u r u u u ur n n n即sin 15θ=.（6分） （Ⅱ）解：因为 ，设，所以 ，又因为 13(0,,)22PM =-u u u u r ，所以 13(,2,2)22MN PN PM λλλ=-=--u u u u r u u u r u u u u r .因为 平面，平面的法向量，所以 ，解得 .即点N 是靠近点B 的四等分点（12分）19．（Ⅰ）由题得白凤桃质量在[)350,400和[)400,450的比例为3:2， ∴应分别在质量为[)350,400和[)400,450的白凤桃中各抽取3个和2个. 随机变量X 的分部列为：（6分）(0,0,0)A (0,0,2)P (1,2,0)B (0,2,0)C (0,1,1)H 11(0,,)22M AHB (,,)x y z =n (0,1,1)AH =u u u r(1,2,0)AB =u u u r 0,0,AH AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r n n 0,20,y z x y +=⎧⎨+=⎩1=z (2,1,1)=-n PM AHB θ)23,21,0(-=(1,2,2)PB =-u u u r PN PB λ=u u u r u u u r (,2,2)PN λλλ=-u u u r //MN ABC ABC (0,0,2)AP =u u u r340MN AP λ⋅=-=u u u u r u u u r 43=λ（Ⅱ）方案B 好，理由如下：由频率分布直方图可知，白凤桃质量在[)200,250的频率为500.0010.05⨯=同理，白凤桃质量在[)250,300，[)300,350，[)350,400，[)400,450，[)450,500的频率依次为0.16，0.24，0.3，0.2，0.05 若按方案B 收购：∵白凤桃质量低于350克的个数为()0.050.160.2410000045000++⨯=个 白凤桃质量不低于350克的个数为55000个 ∴收益为450005550009720000⨯+⨯=元 若按方案A 收购：根据题意各段白凤桃个数依次为5000，16000，24000，30000，20000，5000，于是总收益为(2255000275160003252400037530000⨯+⨯+⨯+⨯42520000475200004755000)201000709000+⨯+⨯+⨯⨯÷=（元）∴方案B 的收益比方案A 的收益高，应该选择方案B .（12分） 20．（Ⅰ）因为椭圆的右焦点为(1,0)，所以1c =； 因为椭圆过点(0,1)A ,所以1b =，所以2222a b c=+=，故椭圆的方程为2212x y +=.（4分）（Ⅱ）设1122(,),(,)P x y Q x y联立2212(1)x y y kx t t ⎧+=⎪⎨⎪=+≠⎩得222(12)4220k x ktx t +++-=，21212224220,,1212kt t x x x x k k -∆>+=-=++，121222()212t y y k x x t k +=++=+，222212121222()12t k y y k x x kt x x t k -=+++=+. 直线111:1y AP y x x --=，令0y =得111x x y -=-，即111x OM y -=-； 同理可得221x ON y -=-.因为2OM ON =,所以1212121212211()1x x x x y y y y y y --==---++；221121t t t -=-+，解之得0t =，所以直线方程为y kx =，所以直线l 恒过定点(0,0).（12分） 21.（Ⅰ）∵()2x af x e ax =-+，∴()x f x e a '=-，∴(1)f e a '=-由题设知(1)0f '=，即e -a =0，解得a =e ． 经验证a =e 满足题意．（4分）（Ⅱ）令()0f x '=，即e x =a ，则x =ln a ， ①当ln a ＜1时，即0＜a ＜e对于任意x ∈（-∞，ln a ）有()0f x '<，故f （x ）在（-∞，ln a ）单调递减； 对于任意x ∈（ln a ，1）有()0f x '>，故f （x ）在（ln a ，1）单调递增， 因此当x =ln a 时，f （x ）有最小值为a 3a alna a lna 022⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭＞成立． 所以0＜a ＜e②当ln a ≥1时，即a ≥e 对于任意x ∈（-∞，1）有()0f x '<， 故f （x ）在（-∞，1）单调递减，所以f （x ）＞f （1）． 因为f （x ）的图象恒在x 轴上方，所以f （1）≥0，即a ≤2e ， 综上，a 的取值范围为(0,2e],所以a 的最大值为2e ．（12分）22. （Ⅰ）消去参数t ，得曲线C 的直角坐标方程()2242x y x -=≥. 将cos x ρθ=，y sin ρθ=代入224x y -=，得()222cos 4sin ρθθ-=.所以曲线C 的极坐标方程为2cos2444ππρθθ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭.（5分） （Ⅱ）将l 与C 的极坐标方程联立，消去ρ得242cos23sin πθθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.展开得()22223cos cos sin 2cos sin θθθθθθ-+=-.因为cos 0θ≠，所以23tan 10θθ-+=.于是方程的解为tan θ=，即6πθ=.代入sin 3πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ρ=P的极坐标为6π⎛⎫ ⎪⎝⎭.（5分） 23．（Ⅰ）当1a =时，()11f x x x =+--，即()2,1,2,11,2, 1.x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩故不等式()1f x >的解集为1|2x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭．（5分） （Ⅱ）当()0,1x ∈时11x ax x +-->成立等价于当()0,1x ∈时11ax -<成立． 若0a ≤，则当()0,1x ∈时11ax -≥；若0a >，11ax -<的解集为20x a <<，所以21a≥，故02a <≤． 综上，a 的取值范围为(]0,2．（5分）。