高考文科数学一轮复习：集合及其运算

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集合的概念与运算——2021年高考文科数学一轮复习热点题型(附解析)

2021年高考文科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破专题1.1 集合的概念与运算目录一、题型全归纳 (1)题型一集合的含义与表示 (1)题型二集合的基本关系 (2)题型三集合的基本运算 (3)题型四利用集合的运算求参数 (4)题型五集合中的新定义问题 (5)二、高效训练突破 (6)一、题型全归纳题型一集合的含义与表示【题型要点】与集合中的元素有关问题的求解策略(1)确定集合的元素是什么，即集合是数集、点集还是其他类型的集合．(2)看这些元素满足什么限制条件．(3)根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数，要注意检验集合是否满足元素的互异性．【例1】已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{(x，y)|x∈A且y∈A且x－y∈A}，则B中所含元素的个数为() A．3B．6C．8D．10【例2】)已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．题型二集合的基本关系【题型要点】(1)判断集合间的关系，要注意先对集合进行化简，再进行判断，并且在描述关系时，要尽量精确．(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系(要注意区间端点的取舍)，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、V enn图等来直观解决这类问题．【例1】已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为()A．1 B．2C．3 D．4【例2】已知集合A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|－m<x<m}，若B⊆A，则m的取值范围为______．题型三集合的基本运算【题型要点】集合基本运算的求解策略【例1】(2020·郑州市第一次质量预测)设全集U＝R，集合A＝{x|－3<x<1}，B＝{x|x＋1≥0}，则∁U(A∪B)＝()A．{x|x≤－3或x≥1} B．{x|x<－1或x≥3}C．{x|x≤3} D．{x|x≤－3}【例2】(2020黄冈调研)已知函数f(x)＝11－x2的定义域为M，g(x)＝ln(1－x)的定义域为N，则M∪(∁R N)＝()A ．{x |x >－1}B ．{x |x ≥1}C ．∅D ．{x |－1＜x ＜1}题型四利用集合的运算求参数【题型要点】根据集合的运算结果求参数的值或取值范围的方法(1)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系．若集合中的元素能一一列举，则用观察法得到不同集合中元素之间的关系；若集合是与不等式有关的集合，则一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到．(2)将集合之间的关系转化为解方程(组)或不等式(组)问题求解．(3)根据求解结果来确定参数的值或取值范围．【例1】已知集合A ＝{x |x 2≥4}，B ＝{m }．若A ∪B ＝A ，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．[2，＋∞)C ．[－2，2]D ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)【例2】集合A ＝{0，2，a }，B ＝{1，a 2}，若A ∪B ＝{0，1，2，4，16}，则a 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．4【例3】（河南省洛阳市2019-2020学年高三上学期期中数学试题）已知集合{}3log (2)2A x x =-≤，{}20B x x m =->，若A B ⊆，则实数m 的取值范围是（）A ．]4∞（-， B ．4∞（-，） C ．22∞（-，）D ．22]∞（-，题型五集合中的新定义问题【题型要点】(1)紧扣“新”定义：分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题的关键所在．(2)把握“新”性质：集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质．(3)遵守“新”法则：准确把握新定义的运算法则，将其转化为集合的交集、并集与补集的运算即可．【例1】定义集合的商集运算为A B ＝{x |x ＝m n ，m ∈A ，n ∈B }．已知集合A ＝{2，4，6}，B ＝{x |x ＝k 2－1，k ∈A }，则集合B A∪B 中的元素个数为( ) A ．6B ．7C ．8D ．9【例2】设A ，B 是非空集合，定义A ⊗B ＝{x |x ∈A ∪B 且x ∉A ∩B }．已知集合A ＝{x |0<x <2}，B ＝{y |y ≥0}，则A ⊗B ＝________．【例3】如果集合A 满足若x ∈A ，则－x ∈A ，那么就称集合A 为“对称集合”．已知集合A ＝{2x ，0，x 2＋x }，且A 是对称集合，集合B 是自然数集，则A ∩B ＝________．二、高效训练突破1.(2020·武汉调研)设A ，B 是两个非空集合，定义集合A －B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }．若A ＝{x ∈N |0≤x ≤5}，B ＝{x |x 2－7x ＋10＜0}，则A －B ＝( )A ．{0,1}B ．{1,2}C ．{0,1,2}D ．{0,1,2,5} 2.(2020·巴蜀中学月考)已知集合A ＝{x |x ∈Z ，且32－x ∈Z }，则集合A 中的元素个数为( ) A ．2B ．3C ．4D ．53．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为()A．1 B．2C．3 D．44.设集合A＝{－1，1，2，3，5}，B＝{2，3，4}，C＝{x∈R|1≤x<3}，则(A∩C)∪B＝()A．{2}B．{2，3}C．{－1，2，3} D．{1，2，3，4}5．(2020·宁夏石嘴山三中一模)已知集合A＝{－1，0，1，2}，B＝{x|x2－1≥0}，则下图中阴影部分所表示的集合为()A．{－1} B．{0}C．{－1，0} D．{－1，0，1}6.已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈N*}，则集合A的真子集的个数为()A．7 B．8C．15 D．167.已知全集U＝R，函数y＝ln(1－x)的定义域为M，集合N＝{x|x2－x<0}，则下列结论正确的是()A．M∩N＝N B．M∩(∁U N)＝∅C．M∪N＝U D．M⊆(∁U N)9.已知全集U＝R，集合A＝{x|x<－1或x>1}，则∁U A＝()A．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1]∪[1，＋∞)C．(－1，1) D．[－1，1]10．(2020·辽宁辽阳期末)设集合A＝{x∈Z|x>4}，B＝{x|x2<100}，则A∩B的元素个数为()A．3 B．4C．5 D．611.如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合A⊗B为阴影部分表示的集合．若x，y∈R，A＝{x|2x －x2≥0}，B＝{y|y＝3x，x>0}，则A⊗B＝()A．{x|0<x<2} B．{x|1<x≤2}C．{x|x≤1或x≥2} D．{x|0≤x≤1或x>2}12．(2020·济南外国语学校月考)集合M＝{x|2x2－x－1<0}，N＝{x|2x＋a>0}，U＝R.若M∩(∁U N)＝∅，则a 的取值范围是()A．(1，＋∞) B．[1，＋∞)C．(－∞，1) D．(－∞，1]二、填空题1.(2020·江苏南京联合调研改编)已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，3，4}，B＝{3，5}，则A∩B ＝______，∁U A＝______．2．已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝________．3．已知集合A＝{1，2，3，4}，集合B＝{x|x≤a，a∈R}，A∪B＝(－∞，5]，则a的值是________．4．已知集合A＝{x|4≤2x≤16}，B＝[a，b]，若A⊆B，则实数a－b的取值范围是________．5.已知集合A＝{x∈N|x2－2x－3≤0}，B＝{1,3}，定义集合A，B之间的运算“*”：A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，则A*B中的所有元素数字之和为________．6.已知k为合数，且1＜k＜100，当k的各数位上的数字之和为质数时，称此质数为k的“衍生质数”．(1)若k的“衍生质数”为2，则k＝________；(2)设集合A＝{P(k)|P(k)为k的“衍生质数”}，B＝{k|P(k)为k的“衍生质数”}，则集合A∪B中元素的个数是________．三、解答题1.(2019·衡水中学测试)已知集合A＝{x∈R|x2－ax＋b＝0}，B＝{x∈R|x2＋cx＋15＝0}，A∩B＝{3}，A∪B＝{3,5}．(1)求实数a，b，c的值；(2)设集合P＝{x∈R|ax2＋bx＋c≤7}，求集合P∩Z.2.已知集合A＝{x|－1＜x≤3}，B＝{x|m≤x＜1＋3m}．(1)当m＝1时，求A∪B；(2)当B⊆∁R A时，求实数m的取值范围．3.(2019·江苏盐城一中模拟)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－5＝0}．(1)若A∩B＝{2}，求实数a的值；(2)若A∪B＝A，求实数a的取值范围．2021年高考文科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破专题1.1 集合的概念与运算目录一、题型全归纳 (1)题型一集合的含义与表示 (1)题型二集合的基本关系 (2)题型三集合的基本运算 (3)题型四利用集合的运算求参数 (4)题型五集合中的新定义问题 (5)二、高效训练突破 (6)一、题型全归纳题型一集合的含义与表示【题型要点】与集合中的元素有关问题的求解策略(1)确定集合的元素是什么，即集合是数集、点集还是其他类型的集合．(2)看这些元素满足什么限制条件．(3)根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数，要注意检验集合是否满足元素的互异性．【例1】已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{(x，y)|x∈A且y∈A且x－y∈A}，则B中所含元素的个数为() A．3B．6C．8D．10【答案】D【解析】(1)由x∈A，y∈A，x－y∈A，得x－y＝1或x－y＝2或x－y＝3或x－y＝4，所以集合B＝{(2，1)，(3，1)，(4，1)，(5，1)，(3，2)，(4，2)，(5，2)，(4，3)，(5，3)，(5，4)}，所以集合B中有10个元素．【例2】)已知集合A ＝{m ＋2，2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________．【答案】－32【解析】因为3∈A ，所以m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3.当m ＋2＝3，即m ＝1时，2m 2＋m ＝3，此时集合A 中有重复元素3，所以m ＝1不符合题意，舍去；当2m 2＋m ＝3时，解得m ＝－32或m ＝1(舍去)，当m ＝－32时，m ＋2＝12≠3，符合题意．所以m ＝－32. 题型二集合的基本关系【题型要点】(1)判断集合间的关系，要注意先对集合进行化简，再进行判断，并且在描述关系时，要尽量精确．(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系(要注意区间端点的取舍)，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、V enn 图等来直观解决这类问题．【例1】已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0<x <5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】由题意可得，A ＝{1，2}，B ＝{1，2，3，4}，又因为A ⊆C ⊆B ，所以C ＝{1，2}或{1，2，3}或{1，2，4}或{1，2，3，4}．【例2】已知集合A ＝{x |－1＜x ＜3}，B ＝{x |－m <x <m }，若B ⊆A ，则m 的取值范围为______．【答案】(－∞，1]【解析】当m ≤0时，B ＝∅，显然B ⊆A .当m >0时，因为A ＝{x |－1<x <3}．当B ⊆A 时，在数轴上标出两集合，如图，所以⎩⎪⎨⎪⎧－m ≥－1，m ≤3，－m <m .所以0<m ≤1.综上所述，m 的取值范围为(－∞，1]．题型三集合的基本运算【题型要点】集合基本运算的求解策略【例1】(2020·郑州市第一次质量预测)设全集U ＝R ，集合A ＝{x |－3<x <1}，B ＝{x |x ＋1≥0}，则∁U (A ∪B )＝( )A ．{x |x ≤－3或x ≥1}B ．{x |x <－1或x ≥3}C ．{x |x ≤3}D ．{x |x ≤－3}【答案】D【解析】因为B ＝{x |x ≥－1}，A ＝{x |－3<x <1}，所以A ∪B ＝{x |x >－3}，所以∁U (A ∪B )＝{x |x ≤－3}．故选D.【例2】(2020黄冈调研)已知函数f (x )＝11－x 2的定义域为M ，g (x )＝ln(1－x )的定义域为N ，则M ∪(∁R N )＝( )A ．{x |x >－1}B ．{x |x ≥1}C ．∅D ．{x |－1＜x ＜1} 【答案】A11 / 19 【解析】由1－x >0得N ＝{x |x <1}，∁R N ＝{x |x ≥1}，而由1－x 2>0得M ＝{x |－1<x <1}，所以M ∪(∁R N )＝{x |x >－1}．题型四利用集合的运算求参数【题型要点】根据集合的运算结果求参数的值或取值范围的方法(1)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系．若集合中的元素能一一列举，则用观察法得到不同集合中元素之间的关系；若集合是与不等式有关的集合，则一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到．(2)将集合之间的关系转化为解方程(组)或不等式(组)问题求解．(3)根据求解结果来确定参数的值或取值范围．【例1】已知集合A ＝{x |x 2≥4}，B ＝{m }．若A ∪B ＝A ，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．[2，＋∞)C ．[－2，2]D ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) 【答案】D.【解析】：因为A ∪B ＝A ，所以B ⊆A ，即m ∈A ，得m 2≥4，解得m ≥2或m ≤－2.【例2】集合A ＝{0，2，a }，B ＝{1，a 2}，若A ∪B ＝{0，1，2，4，16}，则a 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．4 【答案】D【解析】根据并集的概念，可知{a ，a 2}＝{4，16}，故a ＝4.【例3】（河南省洛阳市2019-2020学年高三上学期期中数学试题）已知集合{}3log (2)2A x x =-≤，{}20B x x m =->，若A B ⊆，则实数m 的取值范围是（）A ．]4∞（-， B ．4∞（-，） C ．22∞（-，） D ．22]∞（-，。

2013届高三人教B版文科数学一轮复习课时作业(1)集合及其运算

课时作业(一) 第1讲集合及其运算时间：45分钟分值：100分基础热身1．2011·课标全国卷已知集合M ＝{0,1,2,3,4}，N ＝{1,3，5}，P ＝M ∩N ，则P 的子集共有( )A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个2．设全集U ＝R ，A ＝{x ∈N ︱1≤x ≤10}，B ＝{x ∈R ︱x 2＋x －6＝0}，则下图K1－1中阴影表示的集合为( )图K1－1A ．{2}B ．{3}C ．{－3,2}D ．{－2,3}3．2011·扬州模拟设全集U ＝{x ∈N *|x ＜6}，集合A ＝{1,3}，B ＝{3,5}，则∁U (A ∪B )＝( )A ．{1,4}B ．{1,5}C ．{2,4}D ．{2,5}4．设非空集合M 、N 满足：M ＝{x |f (x )＝0}，N ＝{x |g (x )＝0}，P ＝{x |f (x )g (x )＝0}，则集合P 恒满足的关系为( )A ．P ＝M ∪NB ．P ⊆(M ∪N )C ．P ≠∅D ．P ＝∅能力提升5．2011·雅礼中学月考已知集合M ＝{0,1,2}，N ＝{x |x ＝－a ，a ∈M }，则集合M ∩N ＝( )A ．{0，－1}B ．{0}C ．{－1，－2}D ．{0，－2}6．设A 、B 是两个集合，定义M *N ＝{x |x ∈M 且x ∉N }．若M ＝{y |y ＝log 2(－x 2－2x ＋3)}，N ＝{y |y ＝x ，x ∈0,9}，则M *N ＝( )A ．(－∞，0B ．(－∞，0)C ．0,2D ．(－∞，0)∪(2,37．2011·锦州质检已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7}，A ＝{1,3,5,7}，B ＝{3,5}，则下列式子一定成立的是( )A ．∁UB ⊆∁U A B ．(∁U A )∪(∁U B )＝UC ．A ∩∁U B ＝∅D ．B ∩∁U A ＝∅8．2012·山东师大附中二模设集合A ＝{1,2}，则满足A ∪B ＝{1,2,3}的集合B 的个数为( )A ．1B ．3C ．4D ．8 9．若集合P ＝{}0，1，2，Q ＝(x ，y )⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋1>0，x －y －2<0，x ，y ∈P ，则Q 中元素的个数是( )A ．4B ．6C ．3D ．510．2011·天津卷已知集合A ＝{x ∈R ||x －1|<2}，Z 为整数集，则集合A ∩Z 中所有元素的和等于________．11．已知集合A ＝{－1,2}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，若A ∪B ＝A ，则m 的值为________．12．2011·洛阳模拟已知x ∈R ，y >0，集合A ＝{x 2＋x ＋1，－x ，－x －1}，集合B ＝－y ，－y 2，y ＋1，若A ＝B ，则x 2＋y 2的值为________．13．2011·湘潭三模已知集合M ＝{0,1,2,3,4}，A ⊆M ，集合A 中所有的元素的乘积称为集合A 的“累积值”，且规定：当集合A 只有一个元素时，其累积值即为该元素的数值，空集的累积值为0.设集合A 的累积值为n .(1)若n ＝2时，这样的集合A 共有________个；(2)若n 为偶数，则这样的集合A 共有________个．14．(10分)2011·洛阳模拟已知x ∈R ，y >0，集合A ＝{x 2＋x ＋1，－x ，－x －1}，集合B ＝－y ，－y 2，y ＋1，若A ＝B ，求x 2＋y 2的值．15．(13分)已知集合A ＝x ⎪⎪⎪ y ＝6x ＋1－1，集合B ＝{x |y ＝lg(－x 2＋2x ＋m )}． (1)当m ＝3时，求A ∩(∁R B )；(2)若A ∩B ＝{x |－1<x <4}，求实数m 的值．难点突破16．(12分)集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}．(1)若B ⊆A ，求实数m 的取值范围；(2)当x ∈Z 时，求A 的非空真子集的个数；(3)当x ∈R 时，若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围．作业手册课时作业(一)【基础热身】1．B 解析因为M ＝{0,1,2,3,4}，N ＝{1,3,5}，所以P ＝M ∩N ＝{1,3}，所以集合P 的子集共有∅，{1}，{3}，{1,3}4个．2．A 解析由图可知阴影表示的集合为A ∩B.因为B ＝{－3,2}，A ＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，所以A ∩B ＝{2}．3．C 解析由题知U ＝{1,2,3,4,5}，A ∪B ＝{1,3,5}，故∁U (A ∪B)＝{2,4}，故选C .4．B 解析集合M 中的元素为方程f(x)＝0的根，集合N 中的元素为方程g(x)＝0的根．但有可能M 中的元素会使得g(x)＝0没有意义，同理N 中的元素也有可能会使得f(x)＝0没有意义．如：f(x)＝x －2，g(x)＝1－x ，f(x)·g(x)＝x －2·1－x ＝0解集为空集．这里容易错选A 或C .【能力提升】5．B 解析 ∵N ＝{0，－1，－2}，∴M ∩N ＝{0}．故选B .6．B 解析 y ＝log 2(－x 2－2x ＋3)＝log 2－(x ＋1)2＋4∈(－∞，2，N 中，∵x ∈0,9，∴y ＝x ∈0,3．结合定义得：M*N ＝(－∞，0)．7．D 解析进行逐一验证．∁U B ＝{1,2,4,6,7}，∁U A ＝{2,4,6}，显然∁U A ⊆∁U B ，显然A 、B 错误；A ∩∁U B ＝{1,7}，故C 错误，所以只有D 正确．8．C 解析依题意，集合B 可以是{3}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}，故选C .9．D 解析 Q ＝{(x ，y)|－1<x －y<2，x ，y ∈P}，由P ＝{0,1,2}得x －y 的取值只可能是0和1.∴Q ＝{(0,0)，(1,1)，(2,2)，(1,0)，(2,1)}，含有5个元素．10．3 解析 A ＝{x ∈R ||x －1|<2}＝{x |－1<x <3}．∴A ∩Z ＝{0,1,2}，即0＋1＋2＝3.11．0或1或－12解析 ∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A . 当B ＝∅时，m ＝0，符合题意；当B ≠∅时，m ≠0，此时x ＝－1m.∵B ⊆A ， ∴－1m ＝－1或－1m＝2， ∴m ＝1或m ＝－12. 综上可知，m 的取值为0或1或－12. 12．5 解析由x ∈R ，y >0，则x 2＋x ＋1>0，－y <0，－y 2<0，y ＋1>0，且－x －1<－x ，－y <－y 2.因为A ＝B ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋1＝y ＋1，－x －1＝－y ，－x ＝－y 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝2. 所以A ＝{3，－1，－2}，B ＝{－2，－1,3}，符合条件，故x 2＋y 2＝12＋22＝5. 13．(1)2 (2)29 解析利用列举法可求A ＝{2}或{1,2}．但求解(2)时，应先算出n 为奇数时集合A 共有3个，M ＝{0,1,2,3,4}子集的个数有32个，所以n 为偶数，集合A 共有29个．(说明：不从反面入手，计算太麻烦) 14．解答由x ∈R ，y >0，则x 2＋x ＋1>0，－y <0，－y 2<0，y ＋1>0，且－x －1<－x ，－y <－y 2.因为A ＝B ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋x ＋1＝y ＋1，－x －1＝－y ，－x ＝－y 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝2.所以A ＝{3，－1，－2}，B ＝{－2，－1,3}，符合条件，故x 2＋y 2＝12＋22＝5.15．解答 (1)由6x ＋1－1≥0，解得－1<x ≤5，即A ＝{x |－1<x ≤5}，当m ＝3时，由－x 2＋2x ＋3>0，解得－1<x <3，即B ＝{x |－1<x <3}，∴∁R B ＝{x |x ≥3或x ≤－1}，∴A ∩(∁R B )＝{x |3≤x ≤5}．(2)由B ＝{x |y ＝lg(－x 2＋2x ＋m )}，得－x 2＋2x ＋m >0，而由(1)知A ＝{x |－1<x ≤5}，且A ∩B ＝{x |－1<x <4}，∴B ＝{x |t <x <4，t ≤－1}，∴4，t 是方程－x 2＋2x ＋m ＝0的根．∴m ＝8.【难点突破】16．解答 (1)当m ＋1>2m －1，即m <2时，B ＝∅，满足B ⊆A .当m ＋1≤2m －1，即m ≥2时，要使B ⊆A 成立，需⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≥－2，2m －1≤5，可得2≤m ≤3，综上，m 的取值范围是m ≤3.(2)当x ∈Z 时，A ＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，所以A 的非空真子集个数为28－2＝254.(3)因为x ∈R ，且A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，又A ∩B ＝∅，则①若B ＝∅，即m ＋1>2m －1，得m <2时满足条件．②若B ≠∅，则要满足的条件是⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≤2m －1，m ＋1>5或⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≤2m －1，2m －1<－2，解得m >4.综上，m 的取值范围是m <2或m >4.。

2022届高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套学案1 集合的概念和运算

第一章集合与常用规律用语学案1 集合的概念与运算导学目标：1.能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.3.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简洁集合的并集与交集.4.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.5.能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算．自主梳理1．集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．2．元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示． 3．集合的表示法：列举法、描述法、图示法、区间法． 4．集合间的基本关系对任意的x ∈A ，都有x ∈B ，则A ⊆B (或B ⊇A )．若A ⊆B ，且在B 中至少有一个元素x ∈B ，但x ∉A ，则A B (或B A )．若A ⊆B 且B ⊆A ，则A ＝B . 5．集合的运算及性质设集合A ，B ，则A ∩B ＝{x |x ∈A 且x ∈B }，A ∪B ＝{x |x ∈A 或x ∈B }．设全集为U ，则∁U A ＝{x |x ∈U 且x ∉A }． A ∩∅＝∅，A ∩B ⊆A ，A ∩B ⊆B ， A ∩B ＝A ⇔A ⊆B .A ∪∅＝A ，A ∪B ⊇A ，A ∪B ⊇B ， A ∪B ＝B ⇔A ⊆B .A ∩∁U A ＝∅；A ∪∁U A ＝U . 自我检测 1．(2021·长沙模拟)下列集合表示同一集合的是( ) A ．M ＝{(3,2)}，N ＝{(2,3)}B ．M ＝{(x ，y )|x ＋y ＝1}，N ＝{y |x ＋y ＝1}C ．M ＝{4,5}，N ＝{5,4}D ．M ＝{1,2}，N ＝{(1,2)} 答案 C 2．(2009·辽宁)已知集合M ＝{x |－3<x ≤5}，N ＝{x |－5<x <5}，则M ∩N 等于( ) A ．{x |－5<x <5} B ．{x |－3<x <5} C ．{x |－5<x ≤5} D ．{x |－3<x ≤5} 答案 B解析画数轴，找出两个区间的公共部分即得M ∩N ＝{x |－3<x <5}．3．(2022·湖北)设集合A ＝{(x ，y )|x 24＋y 216＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝3x }，则A ∩B 的子集的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1 答案 A解析易知椭圆x 24＋y 216＝1与函数y ＝3x 的图象有两个交点，所以A ∩B 包含两个元素，故A ∩B 的子集个数是4个．4．(2022·潍坊五校联考)集合M ＝{y |y ＝x 2－1，x ∈R }，集合N ＝{x |y ＝9－x 2，x ∈R }，则M ∩N 等于( )A ．{t |0≤t ≤3}B ．{t |－1≤t ≤3}C ．{(－2，1)，(2，1)}D ．∅ 答案 B解析 ∵y ＝x 2－1≥－1，∴M ＝[－1，＋∞)．又∵y ＝9－x 2，∴9－x 2≥0.∴N ＝[－3,3]．∴M ∩N ＝[－1,3]． 5．(2021·福州模拟)已知集合A ＝{1,3，a }，B ＝{1，a 2－a ＋1}，且B ⊆A ，则a ＝________. 答案－1或2解析由a 2－a ＋1＝3，∴a ＝－1或a ＝2，经检验符合．由a 2－a ＋1＝a ，得a ＝1，但集合中有相同元素，舍去，故a ＝－1或2.探究点一集合的基本概念例1 (2021·沈阳模拟)若a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝{0，ba，b }，求b －a 的值．解题导引解决该类问题的基本方法为：利用集合中元素的特点，列出方程组求解，但解出后应留意检验，看所得结果是否符合元素的互异性．解由{1，a ＋b ，a }＝{0，ba，b }可知a ≠0，则只能a ＋b ＝0，则有以下对应关系：⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，ba ＝a ，b ＝1①或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，b ＝a ，b a ＝1.②由①得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1，符合题意；②无解．∴b －a ＝2.变式迁移1 设集合A ＝{1，a ，b }，B ＝{a ，a 2，ab }，且A ＝B ，求实数a ，b . 解由元素的互异性知， a ≠1，b ≠1，a ≠0，又由A ＝B ，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝1，ab ＝b ，或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b ，ab ＝1，解得a ＝－1，b ＝0. 探究点二集合间的关系例2 设集合M ＝{x |x ＝5－4a ＋a 2，a ∈R }，N ＝{y |y ＝4b 2＋4b ＋2，b ∈R }，则下列关系中正确的是( ) A ．M ＝N B ．M N C ．M N D ．M ∈N解题导引一般地，对于较为简单的两个或两个以上的集合，要推断它们之间的关系，应先确定集合中元素的形式是数还是点或其他，属性如何．然后将所给集合化简整理，弄清每个集合中的元素个数或范围，再推断它们之间的关系．答案 A。

高中文科数学高考必备基础知识

高中文科数学高考必备基础知识§1集合与简易逻辑一、理解集合中的有关概念（1）集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性。

（2）集合与元素的关系用符号∈，∉表示。

（3）常用数集的符号表示：自然数集；正整数集；整数集；有理数集；实数集。

（4）集合的表示法：列举法，描述法，韦恩图。

（5）空集是指不含任何元素的集合}0{、φ和}{φ的区别；0与三者间的关系；空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集；注意：条件为B A ⊆，在讨论的时候不要遗忘了φ=A 的情况，二、集合间的关系及其运算（1）符号“∉∈,”是表示元素与集合之间关系的，如立体几何中的体现点与直线（面）的关系；符号“⊄⊂,”或“⊆，”或“”等是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现面与直线(面)的关系。

（2）A B I = ；A B U = ；U C A = .（3）交、并、补的运算性质：对于任意集合A 、B ，();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==I U U I 切记：A B A B A ⊆⇔⋂=⇔A B A B B ⊆⇔⋃=. （4）集合中元素的个数的计算：若集合A 中有n 个元素，则集合A 的所有不同的子集个数为2n，所有真子集的个数是(2n－1)，所有非空真子集的个数是(2n－2)。

三、逻辑联接词与真值表1．逻辑联接词：或、且、非（命题的否定） 2．真值表（见课本）四、四个命题与充要条件1．四个命题（1）写原命题的逆命题、否命题和逆否命题时，首先要分清条件p （题设）和结论q ；其次要正确写出非p 和非q ；再次，有时命题带有大前提，在写逆命题、否命题和逆否命题时，大前提不能变化；（2）注意否命题与命题的否定的区别，不能将两者混淆； 2．充要条件（1）在判断p 是q 的什么条件时，由定义，一般要考察命题q p ⇒（充分性）和命题p q ⇒（必要性）的正确性，后者是前者的逆命题；而判断一个命题的正确与否，可以用其等价命题（逆否命题）来解决，尤其命题是否定性的结论时，即原命题与逆否命题，否命题与逆命题具有相同的真值.（2）证明充要条件时，首先要弄清楚充分性和必要性是指什么命题成立，再分别去证明，从而下结论，这样证起来层次分明，条理清楚.五、反证法1．步骤：①假设结论反面成立；②从这个假设出发，推理论证，得出矛盾（与定理、定义等矛盾、与假设矛盾、推出自相矛盾）；③由矛盾判断假设不成立，从而肯定结论正确。

高考数学一轮复习知识点归纳

高考数学一轮复习知识点归纳虽然高考数学试卷文科理科有所不同，但是在同一个考点上可能也是侧重有一些区别的，下面是高考数学一轮复习知识点归纳，请考生学习掌握。

第一：高考数学中有函数、数列、三角函数、平面向量、不等式、立体几何等九大章节。

主要是考函数和导数，这是我们整个高中阶段里最核心的板块，在这个板块里，重点考察两个方面：第一个函数的性质，包括函数的单调性、奇偶性;第二是函数的解答题，重点考察的是二次函数和高次函数，分函数和它的一些分布问题，但是这个分布重点还包含两个分析就是二次方程的分布的问题，这是第一个板块。

第二：平面向量和三角函数。

重点考察三个方面：一个是划减与求值，第一，重点掌握公式，重点掌握五组基本公式。

第二，是三角函数的图像和性质，这里重点掌握正弦函数和余弦函数的性质，第三，正弦定理和余弦定理来解三角形。

难度比较小。

第三：数列。

数列这个板块，重点考两个方面：一个通项;一个是求和。

第四：空间向量和立体几何。

在里面重点考察两个方面：一个是证明;一个是计算。

第五：概率和统计。

这一板块主要是属于数学应用问题的范畴，当然应该掌握下面几个方面，第一等可能的概率，第二事件，第三是独立事件，还有独立重复事件发生的概率。

第六：解析几何。

这是我们比较头疼的问题，是整个试卷里难度比较大，计算量最高的题，当然这一类题，我总结下面五类常考的题型，包括第一类所讲的直线和曲线的位置关系，这是考试最多的内容。

考生应该掌握它的通法，第二类我们所讲的动点问题，第三类是弦长问题，第四类是对称问题，这也是高考已经考过的一点，第五类重点问题，这类题时往往觉得有思路，但是没有答案，当然这里我相等的是，这道题尽管计算量很大，但是造成计算量大的原因，往往有这个原因，我们所选方法不是很恰当，因此，在这一章里我们要掌握比较好的算法，来提高我们做题的准确度，这是我们所讲的第六大板块。

第七：押轴题。

考生在备考复习时，应该重点不等式计算的方法，虽然说难度比较大，我建议考生，采取分部得分整个试卷不要留空白。

2021届高考数学(文科全国通用)一轮总复习阶段滚动月考卷(一)集合与常用逻辑用语、函数与导数

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阶段滚动月考卷(一)集合与常用规律用语、函数与导数(时间:120分钟分值:150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设集合P={x|x2-x-2≥0},Q={y|y=12x2−1,x∈P},则P∩Q= ( )A.{m|-1≤m<2}B.{m|-1<m<2}C.{m|m≥2}D.{-1}2.(2022·德州模拟)已知集合A={x|4≤2x≤16},B=[a,b],若A⊆B,则实数a-b的取值范围是( )A.(-∞,-2]B.[-2,+∞)C.(-∞,2]D.[2,+∞)3.(2022·潍坊模拟)已知幂函数f(x)的图象过点(4,12),则f(8)的值为( )A.√24B.64 C.2√2 D.1644.“a≤-2”是“函数f(x)=|x-a|在[-1,+∞)上单调递增”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.(2022·烟台模拟)已知函数f(x)=lnx,则函数g(x)=f(x)-f ′(x)的零点所在的区间是( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)6.设函数f(x)的定义域为R,x0(x0≠0)是f(x)的微小值点,以下结论肯定正确的是( )A.∀x∈R,f(x)≥f(x0)B.-x0是f(-x)的极大值点C.-x0是-f(x)的微小值点D.-x0是-f(-x)的极大值点7.(2022·青岛模拟)设a=20.3,b=0.32,c=log x(x2+0.3)(x>1),则a,b,c的大小关系是( )A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.b<c<a8.过函数f(x)=3x-x3图象上一点A(2,-2)的切线方程为( )A.y=-2B.y=2C.9x+y-16=0D.9x+y-16=0或y=-29.(2021·北京高考)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程.如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率状况.下列叙述中正确的是( )A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米B.以相同速度行驶相同的路程,三辆汽车中,甲车消耗汽油量最多C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,消耗10升汽油D.某城市机动车最高限速80千米/小时,相同条件下,在该城市用丙车比用乙车更省油10.(2022·大连模拟)已知f(x)是定义域为R的偶函数,当x≤0时,f(x)=(x+1)3e x+1,那么函数f(x)的极值点的个数是( )A.5B.4C.3D.2二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.请把正确答案填在题中横线上)11.(2022·北京模拟)曲线y=x3+mx+c在点P(1,n)处的切线方程为y=2x+1,其中m,n,c∈R,则m+n+c= .12.(2022·烟台模拟)已知f(x)是定义在R上的函数,且满足f(x+2)=-1f(x),当2≤x≤3时,f(x)=x,则f(−112)= .13.f(x)=log2a[(a2-3a)x]在(-∞,0)上是减函数,则实数a的取值范围是.14.(2022·绍兴模拟)已知函数f(x)满足f(x+1)=-1f(x),且f(x)是偶函数,当x∈[-1,0]时,f(x)=x2,若在区间[-1,3]内,函数g(x)=f(x)-log a(x+2)有4个零点,则实数a的取值范围是.15.(2022·莱芜模拟)已知定义域为R的函数f(x),对于x∈R,满足f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x,设有且仅有一个实数x0,使得f(x0)=x0,则实数x0的值为.三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 16.(12分)(2022·泰安模拟)已知集合A={x|x2-2x-3≤0,x∈R}, B={x|x2-2mx+m2-4≤0,x∈R,m∈R}.(1)若A∩B=[0,3],求实数m的值.(2)若ARB,求实数m的取值范围.17.(12分)设a>0,且a≠1,已知函数f(x)=log a1−bxx−1是奇函数.(1)求实数b的值.(2)求函数f(x)的单调区间.(3)当x∈(1,a-2)时,函数f(x)的值域为(1,+∞),求实数a的值.18.(12分)某地拟建一座长为640米的大桥AB,假设桥墩等距离分布,经设计部门测算,两端桥墩A,B造价总共为100万元,当相邻两个桥墩的距离为x米时(其中64<x<100),中间每个桥墩的平均造价为803√x万元,桥面每1米长的平均造价为(2+x√x640)万元.(1)试将桥的总造价表示为x的函数f(x).(2)为使桥的总造价最低,试问这座大桥中间(两端桥墩A,B除外)应建多少个桥墩?19.(12分)(2022·济宁模拟)已知函数f(x)=ex2-1e x-ax(a∈R).(1)当a=32时,求函数f(x)的单调区间.(2)若函数f(x)在[-1,1]上为单调函数,求实数a的取值范围.20.(13分)已知函数f(x)=(a+1a)lnx+1x-x(a>0).(1)求f(x)的极值.(2)若曲线y=f(x)上总存在不同两点P(x1,f(x1)),Q(x2,f(x2)),使得曲线y=f(x)在P,Q两点处的切线相互平行,证明x1+x2>2.ax2+x,a∈R.21.(14分)(2022·威海模拟)已知函数f(x)=lnx-12(1)若关于x的不等式f(x)≤ax-1恒成立,求整数a的最小值.(2)若a=-2,正实数x1,x2满足f(x1)+f(x2)+x1x2=0,证明:x1+x2≥√5−1.2答案解析1.C P={x|x≥2或x≤-1},又x∈P时,y=12x2-1∈[−12,+∞),故Q={y|y≥−12},故P∩Q={m|m≥2}.2.【解题提示】先化简A,留意运用指数函数的单调性解不等式,再依据集合的包含关系,求出a,b的范围,运用不等式的性质,求出a-b的取值范围.A 集合A={x|4≤2x≤16}={x|22≤2x≤24}={x|2≤x≤4}=[2,4],由于A B,B=[a,b],所以a≤2,b≥4,所以a-b≤2-4=-2,即a-b的取值范围是(-∞,-2].3.A 由于函数f(x)为幂函数,所以设f(x)=xα,由于其图象过点(4,12),所以12=4α,解得α=-12,所以f(x)=x−12,所以f(8)=8−12−12=√24.4.A 函数f(x)=|x-a|={x−a,x≥a,a−x,x<a,则f(x)的单调增区间是[a,+∞).而函数f(x)=|x-a|在[-1,+∞)上单调递增⇔a≤-1,所以“a≤-2”是“函数f(x)=|x-a|在[-1,+∞)上单调递增”的充分不必要条件.5.B 由题意可知g(x)=lnx-1x,由于g(1)=-1<0,g(2)=ln2-12=ln2-ln√e>0.所以函数g(x)的零点所在区间是(1,2).6.D 由于x0是f(x)的微小值点,y=-f(-x)与y=f(x)的图象关于原点对称,所以-x0是y=-f(-x)的极大值点.7.B 由于x>1,所以c=log x(x2+0.3)>log x x2=2,又由于1<a<2,0<b<1,所以b<a<c.8.D 设切点为P(x0,y0),f′(x)=3-3x2,所以切线斜率k=3-3x02,切线方程为y-(3x0-x03)=(3-3x02)(x-x0),又由于点A(2,-2)在切线上,所以-2-(3x0-x03)=(3-3x02)(2-x0),解之得x0=2或x0=-1,所以k=-9或k=0,所以切线方程为9x+y-16=0或y=-2.【加固训练】若曲线y=e-ax+1在点(0,2)处的切线与直线x+2y-1=0垂直,则a= ( )A.-2B.2C.-23D.23A 依题意知y′=-ae-ax,所以曲线在点(0,2)处的切线斜率k=-a,又其切线与直线x+2y-1=0垂直,所以(-a)×(−12)=-1,即a=-2.9.D 选项A,问的是纵坐标最大值.选项B,消耗1升油甲走最远,则反过来路程相同甲最省油.选项C,此时甲走过了80千米,消耗8升汽油.选项D,80千米/小时以下丙“燃油效率”更高,更省油.10.C 当x ≤0时,f ′(x)=3(x+1)2e x+1+(x+1)3e x+1=(x+1)2e x+1(x+4),解f ′(x)=0,得x=-4或x=-1.由于x ∈(-∞,-4)时,f ′(x)<0;x ∈(-4,-1)时,f ′(x)>0;x ∈(-1,0)时,f ′(x)>0,则f(x)在区间x ∈(-∞,-4)上单调递减,在区间x ∈(-4,0)上单调递增.又由于f(x)是定义域为R 的偶函数,由其对称性可得,f(x)在区间x ∈(0,4)上单调递减,在区间x ∈(4,+∞)上单调递增,所以函数f(x)在x=±4或x=0处取得极值. 11.【解析】y ′=3x 2+m,由题意知{1+m +c =n,3+m =2,n =2×1+1.所以{m =−1,n =3,c =3.所以m+n+c=5. 答案:512.【解析】由f(x+2)=-1f(x)可得,f(x+4)=-1f(x+2)=f(x),所以函数f(x)是以4为周期的周期函数, f (−112)=f (−112+8)=f (52)=52.答案:5213.【解析】由x ∈(-∞,0)可得a 2-3a<0,得0<a<3, 所以y=(a 2-3a)x 在(-∞,0)上是减函数, 又f(x)=log 2a [(a 2-3a)x]在(-∞,0)上是减函数, 所以2a>1,故12<a<3.答案:(12,3)14.【解析】由于f(x+1)=-1f(x),则有f(x+2)=f(x),即f(x)是周期为2的周期函数,又f(x)是偶函数,当x ∈[-1,0]时,f(x)=x 2,则有当x ∈[0,1]时,f(x)=x 2,故当x ∈[-1,1]时,f(x)=x 2,那么当x ∈[1,3]时,f(x)=(x-2)2,而函数g(x)=f(x)-log a (x+2)有4个零点,故函数y=f(x)的图象与y=log a (x+2)有4个交点,数形结合可得1≥log a (3+2), 解得a ≥5. 答案:[5,+∞)15.【解析】由于对任意x ∈R,有f(f(x)-x 2+x)=f(x)-x 2+x. 又由于有且只有一个实数x 0,使得f(x 0)=x 0 所以对任意x ∈R,有f(x)-x 2+x=x 0, 在上式中令x=x 0,有f(x 0)-x 20+x 0=x 0,又由于f(x 0)=x 0,所以x 0-x 20=0,故x 0=0或x 0=1,若x 0=0,则f(x)-x 2+x=0,即f(x)=x 2-x,但方程x 2-x=x 有两个不相同实根,与题设条件冲突.故x 0≠0,若x 0=1,则有f(x)-x 2+x=1,即f(x)=x 2-x+1,此时f(x)=x 有且仅有一个实数1, 综上,x 0=1. 答案:116.【解析】由已知得:A={x|-1≤x ≤3}, B={x|m-2≤x ≤m+2}.(1)由于A ∩B=[0,3],所以{m −2=0,m +2≥3,所以{m =2,m ≥1,所以m=2.(2)R B={x|x<m-2或x>m+2}. 由于AR B,所以m-2>3或m+2<-1,所以m>5或m<-3,所以m 的取值范围为(-∞,-3)∪(5,+∞).17.【解题提示】(1)由函数f(x)是奇函数可得f(-x)=-f(x),代入函数f(x)的解析式可解得实数b 的值.(2)首先求出函数f(x)的定义域,再求出其导函数f ′(x),最终分别令f ′(x)>0和f ′(x)<0即可求出函数f(x)的单调增区间和单调减区间.(3)由a-2>1得a>3,结合(2)可得,f(x)在(1,a-2)上单调递减,于是可得f(a-2)=1,解之即可得到实数a 的值.【解析】(1)由于f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x). 从而f(-x)+f(x)=0, 即log a1+bx −x−1+log a1−bx x−1=0,于是,(b 2-1)x 2=0,由x 的任意性知b 2-1=0, 解得b=-1或b=1(舍),所以b=-1. (2)由(1)得f(x)=log a x +1x−1,(x<-1或x>1),f ′(x)=−2(x 2−1)lna.当0<a<1时,f ′(x)>0,即f(x)的增区间为(-∞,-1),(1,+∞); 当a>1时,f ′(x)<0,即f(x)的减区间为(-∞,-1),(1,+∞).(3)由a-2>1得a>3,所以f(x)在(1,a-2)上单调递减,从而f(a-2)=1,即log a a −1a−3=1,又a>3,得a=2+√3.18.【解析】(1)由桥的总长为640米,相邻两个桥墩的距离为x 米,知中间共有(640x−1)个桥墩,于是桥的总造价f(x)=640(2+x √x 640)+803√x (640x−1)+100,即f(x)=x 32+640×803x −12-803x 12+1380=x32+51 2003x−12-803x12+1380(64<x<100).(表达式写成f(x)=x √x +51 2003√x−803√x +1 380同样给分)(2)由(1)可求f ′(x)=32x 12-640×403x −32-403x −12,整理得f ′(x)=16x −32(9x2-80x-640×80),由f ′(x)=0,解得x 1=80,x 2=-6409(舍去),又当x ∈(64,80)时,f ′(x)<0;当x ∈(80,100)时,f ′(x)>0,所以当x=80时桥的总造价最低,此时桥墩数为64080-1=7.19.【解析】(1)当a=32时,f(x)=e x 2-1e x -32x, f ′(x)=12ex [(e x )2-3e x +2] =12ex (e x -1)(e x -2), 令f ′(x)=0,得e x =1或e x =2, 即x=0或x=ln2,令f ′(x)>0,则x<0或x>ln2, 令f ′(x)<0,则0<x<ln2,所以f(x)在(-∞,0],[ln2,+∞)上单调递增,在(0,ln2)上单调递减. (2)f ′(x)=e x2+1e x -a,令e x =t,由于x ∈[-1,1], 所以t ∈[1e ,e].令h(t)=t 2+1t (t ∈[1e,e]), h ′(t)=12-1t 2=t 2−22t 2, 所以当t ∈[1e,√2)时h ′(t)<0,函数h(t)为单调减函数; 当t ∈(√2,e]时h ′(t)>0,函数h(t)为单调增函数, 所以√2≤h(t)≤e+12e .由于函数f(x)在[-1,1]上为单调函数, 所以若函数f(x)在[-1,1]上单调递增, 则a ≤t 2+1t对t ∈[1e,e]恒成立,所以a ≤√2;若函数f(x)在[-1,1]上单调递减,则a ≥t 2+1t对t ∈[1e,e]恒成立,所以a ≥e+12e,综上可得a ≤√2或a ≥e+12e.20.【解析】(1)f ′(x)=(a +1a )1x -1x2-1=-x 2−(a+1a)x+1x 2=-(x−a)(x−1a)x 2(x>0).当a>1时,0<1a<a,f(x)的单调递减区间是(0,1a),(a,+∞),单调递增区间是(1a,a). f(x)微小值=f (1a ) =(a +1a)ln 1a+a-1a=-(a +1a)lna+a-1a,f(x)极大值=f(a)=(a +1a)lna-a+1a. 当a=1时,f ′(x)=-(x−1)2x 2≤0,f(x)无极值. 当0<a<1时,0<a<1a,f(x)的单调递减区间是(0,a),(1a,+∞),单调递增区间是(a ,1a).f(x)极大值=f (1a)=-(a +1a)lna+a-1a,f(x)微小值=f(a)=(a +1a)lna-a+1a.(2)依题意知,f ′(x 1)=(a +1a )1x 1-1x 12-1=f ′(x 2) =(a +1a )1x 2-1x 22-1, 故a+1a =1x 1+1x 2=x 1+x 2x 1x 2. 由x 1+x 2>2√x 1x 2得x 1x 2<(x 1+x 2)24,故x 1+x 2x 1x 2>4x 1+x 2,故存在x 1,x 2使a+1a =x 1+x 2x 1x 2>4x 1+x 2,即x 1+x 2>4a+1a. 当a>0时,a+1a≥2,当且仅当a=1时取等号.所以x 1+x 2>4(a+1a )min=2.即x 1+x 2>2.21.【解析】(1)令g(x)=f(x)-(ax-1)=lnx-12ax 2+(1-a)x+1,所以g ′(x)=1x-ax+(1-a)=−ax 2+(1−a)x+1x,当a ≤0时,由于x>0,所以g ′(x)>0,所以g(x)在(0,+∞)上是递增函数,又由于g(1)=ln1-12a ×12+(1-a)+1=-32a+2>0,所以关于x 的不等式f(x)≤ax-1不能恒成立.当a>0时, g ′(x)=−ax 2+(1−a)x+1x=-a (x−1a)(x+1)x,令g ′(x)=0,得x=1a.所以当x ∈(0,1a )时,g ′(x)>0;当x ∈(1a,+∞)时,g ′(x)<0,因此函数g(x)在x ∈(0,1a)是增函数,在x ∈(1a,+∞)是减函数.故函数g(x)的最大值为g (1a)=ln 1a -12a ×(1a)2+(1-a)×1a+1=12a-lna.令h(a)=12a-lna,由于h(1)=12>0,h(2)=14-ln2<0,又由于h(a)在a ∈(0,+∞)是减函数,所以当a ≥2时,h(a)<0,所以整数a 的最小值为2.【一题多解】本题还可以接受以下方法由f(x)≤ax-1恒成立,得lnx-12ax 2+x ≤ax-1在(0,+∞)上恒成立,问题等价于a ≥ln x+x+112x 2+x 在(0,+∞)上恒成立.令g(x)=ln x+x+112x 2+x ,只要a ≥g(x)max , 由于g ′(x)=(x+1)(−12x−lnx)(12x 2+x)2. 令g ′(x)=0, 得-12x-lnx=0.设h(x)=-12x-lnx,由于h ′(x)=-12-1x<0,所以h(x)在(0,+∞)上单调递减, 不妨设-12x-lnx=0的根为x 0.当x ∈(0,x 0)时,g ′(x)>0; 当x ∈(x 0,+∞)时,g ′(x)<0,所以g(x)在x ∈(0,x 0)上是增函数;在x ∈(x 0,+∞)上是减函数.所以g(x)max =g(x 0)=ln x 0+x 0+112x 02+x 0=1+12x 0x 0(1+12x 0)=1x 0,由于h (12)=ln2-14>0,h(1)=-12<0,所以12<x 0<1,此时1<1x 0<2,即g(x)max ∈(1,2).所以a ≥2,即整数a 的最小值为2. (2)当a=-2时,f(x)=lnx+x 2+x,x>0, 由f(x 1)+f(x 2)+x 1x 2=0,即lnx 1+x 12+x 1+lnx 2+x 22+x 2+x 1x 2=0,从而(x 1+x 2)2+(x 1+x 2) =x 1·x 2-ln(x 1·x 2)令t=x 1·x 2,则由φ(t)=t-lnt 得,φ′(t)=t −1t,可知,φ(t)在区间(0,1)上单调递减,在区间(1,+∞)上单调递增. 所以φ(t)≥φ(1)=1, 所以(x 1+x 2)2+(x 1+x 2)≥1,因此x1+x2≥√5−1成立.2关闭Word文档返回原板块。

高三文科数学复习计划

高三数学（文科）教学计划一. 背景分析近年来的高考数学试题逐步做到科学化、规范化，坚持了稳中求改、稳中创新的原则。

考试题不但坚持了考查全面，比例适当，布局合理的特点，也突出体现了变知识立意为能力立意这一举措。

更加注重考查考生进入高校学习所需的基本素养，这些问题应引起我们在教学中的关注和重视。

数学试卷充分发挥数学作为基础学科的作用，既重视考查中学数学基础知识的掌握程度，又注意考查进入高校继续学习的潜能。

二、.课程目标（一）知识目标1. 系统性：贯通各模块相关知识。

通过纵向延伸和连接，构建完整、系统的知识结构。

2. 综合性：建立不同知识，不同方法、不同学科之间联系。

通过横向拓展、问题解决等，综合所学知识。

3. 灵活性：通过对重点知识的讲解和变式训练，加深理解，掌握本质和内在联系，能灵活应用知识解决问题。

4. 严谨性：通过讲解、讨论、辨析，克服学习难点、易错点和容易混淆的知识点，形成严谨、准确的知识体系。

（二）能力目标核心为数学思维能力：会对问题和资料进行观察、比较、分析、综合、抽象与概括，会用类比、归纳和演绎进行推理，能合乎逻辑地、准确地表达。

1. 运算求解能力：会根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理；能根据问题的条件，寻找与设计合理、简捷的运算途径；能根据要求对数据进行估计和近似计算。

是思维能力和运算技能的结合。

2. 空间想象能力：能根据条件做出正确的图形，根据图形想象出直观形象；能正确地分析出图形中基本元素及其相互关系；能对图形进行分解、组合与变换；会运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质。

3. 抽象概括能力：对具体、生动的实例能在抽象、概括的过程中，发现对象的本质；从给定的大量信息材料中，能概括出一些结论，并能将其用于解决问题或做出判断。

4. 推理论证能力：能根据已知事实或命题，论证教学命题的真实性。

包括归纳、演绎、猜想、证明。

5. 数据处理能力：会收集、整理、分析数据，能从数据中抽取对研究、解决问题有用的信息，并做出判断6. 数学应用意识：能综合应用所学知识、思想、方法解决问题，能理解问题所陈述的材料，并对提供的信息资料归纳、整理和分类，将实际问题抽象为教学问题；能用相关教学方法解决问题并会验证，能用数学语言正确地表达和说明。

2023年高考数学(文科)一轮复习——集合

第1节集合考试要求 1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题；2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中了解全集与空集的含义；3.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；4.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；5.能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算.1.元素与集合(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉.(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法.2.集合间的基本关系(1)子集：若对任意x∈A，都有x∈B，则A⊆B或B⊇A.(2)真子集：若A⊆B，且集合B中至少有一个元素不属于集合A，则A B或B A.(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.(4)空集的性质：是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示A∪B A∩B若全集为U，则集合A的补集为∁U A图形表示集合表示{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈A，且x∈B}{x|x∈U，且x∉A} 4.集合的运算性质(1)A∩A＝A，A∩＝，A∩B＝B∩A.(2)A∪A＝A，A∪＝A，A∪B＝B∪A.(3)A∩(∁U A)＝，A∪(∁U A)＝U，∁U(∁U A)＝A.1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个.2.注意空集：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集.3.A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁U A⊇∁U B.4.∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)，∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B).1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)任何一个集合都至少有两个子集.()(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}.()(3)若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0，1.()(4)对于任意两个集合A，B，(A∩B)⊆(A∪B)恒成立.()答案(1)×(2)×(3)×(4)√解析(1)错误.空集只有一个子集.(2)错误.{x|y＝x2＋1}＝R，{y|y＝x2＋1}＝[1，＋∞)，{(x，y)|y＝x2＋1}是抛物线y＝x 2＋1上的点集.(3)错误.当x ＝1时，不满足集合中元素的互异性. 2.若集合P ＝{x ∈N |x ≤ 2 023}，a ＝22，则( ) A.a ∈P B.{a }∈P C.{a }⊆P D.a ∉P答案 D解析因为a ＝22不是自然数，而集合P 是不大于 2 023的自然数构成的集合，所以a ∉P ，只有D 正确.3.(2021·新高考Ⅰ卷)设集合A ＝{x |－2<x <4}，B ＝{2，3，4，5}，则A ∩B ＝( ) A.{2} B.{2，3} C.{3，4} D.{2，3，4} 答案 B解析因为A ＝{x |－2<x <4}，B ＝{2，3，4，5}，所以A ∩B ＝{2，3}.4.(易错题)(2021·宜昌调研)集合A ＝{－1，2}，B ＝{x |ax －2＝0}，若B ⊆A ，则由实数a 的取值组成的集合为( ) A.{－2}B.{1}C.{－2，1}D.{－2，1，0} 答案 D解析对于集合B ，当a ＝0时，B ＝，满足B ⊆A ；当a ≠0时，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫2a ，又B ⊆A ，所以2a ＝－1或2a ＝2，解得a ＝－2或a ＝1.5.(2021·西安五校联考)设全集U ＝R ，A ＝{x |y ＝2x －x 2}，B ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }，则(∁U A )∩B ＝( ) A.{x |x <0}B.{x |0<x ≤1}C.{x |1<x ≤2}D.{x |x >2}答案 D解析易知A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y>0}.∴∁U A＝{x|x<0或x>2}，故(∁U A)∩B＝{x|x>2}.6.(2021·全国乙卷)设集合S＝{s|s＝2n＋1，n∈Z}，T＝{t|t＝4n＋1，n∈Z}，则S∩T ＝()A. B.S C.T D.Z答案 C解析法一在集合T中，令n＝k(k∈Z)，则t＝4n＋1＝2(2k)＋1(k∈Z)，而集合S中，s＝2n＋1(n∈Z)，所以必有T⊆S，所以S∩T＝T.法二S＝{…，－3，－1，1，3，5，…}，T＝{…，－3，1，5，…}，观察可知，T⊆S，所以S∩T＝T.,考点一集合的基本概念1.已知集合U＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x∈Z，y∈Z}，则集合U中元素的个数为()A.3B.4C.5D.6答案 C解析当x＝－1时，y＝0；当x＝0时，y＝－1，0，1；当x＝1时，y＝0.所以U＝{(－1，0)，(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(1，0)}，共有5个元素.2.若集合A＝{a－3，2a－1，a2－4}，且－3∈A，则实数a＝________.答案0或1解析①当a－3＝－3，即a＝0时，此时A＝{－3，－1，－4}，②当2a－1＝－3，即a＝－1时，此时A＝{－4，－3，－3}舍，③当a2－4＝－3，即a＝±1时，由②可知a＝－1舍，则a＝1时，A＝{－2，1，－3}，综上，a＝0或1.3.(2022·武汉调研)用列举法表示集合A＝{x|x∈Z且86－x∈N}＝________.答案{－2，2，4，5}解析由题意x可取－2，2，4，5，故答案为{－2，2，4，5}.4.设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k－1∉A，且k＋1∉A，那么称k是A的一个“孤立元”.给定S＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个.答案 6解析依题意可知，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”时，这三个元素一定是连续的三个整数.∴所求的集合为{1，2，3}，{2，3，4}，{3，4，5}，{4，5，6}，{5，6，7}，{6，7，8}，共6个.感悟提升 1.研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义.2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.考点二集合间的基本关系例1 (1)已知集合A＝{－1，1}，B＝{x|ax＋1＝0}.若B⊆A，则实数a的所有可能取值的集合为()A.{－1}B.{1}C.{－1，1}D.{－1，0，1}(2)已知集合A ＝{x |－3≤x ≤4}，B ＝{x |2m －1≤x ≤m ＋1}，且B ⊆A ，则实数m 的取值范围是________. 答案 (1)D (2)[－1，＋∞) 解析 (1)当B ＝时，a ＝0，此时，B ⊆A .当B ≠时，则a ≠0，∴B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝－1a .又B ⊆A ，∴－1a ∈A ，∴a ＝±1.综上可知，实数a 所有取值的集合为{－1，0，1}. (2)∵B ⊆A ，①当B ＝时，2m －1>m ＋1，解得m >2，②当B ≠时，⎩⎪⎨⎪⎧2m －1≤m ＋1，2m －1≥－3，m ＋1≤4，解得－1≤m ≤2，综上，实数m 的取值范围[－1，＋∞). 感悟提升 1.若B ⊆A ，应分B ＝和B ≠两种情况讨论.2.已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系.合理利用数轴、Venn 图帮助分析及对参数进行讨论.确定参数所满足的条件时，一定要把端点值代入进行验证，否则易增解或漏解.训练1 (1)(2022·大连模拟)设集合A ＝{1，a ，b }，B ＝{a ，a 2，ab }，若A ＝B ，则a 2 022＋b 2 023的值为( ) A.0 B.1 C.－2D.0或－1(2)已知集合A ＝{x |log 2(x －1)<1}，B ＝{x ||x －a |<2}，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围为( ) A.(1，3)B.[1，3]C.[1，＋∞)D.(－∞，3] 答案 (1)B (2)B解析 (1)集合A ＝{1，a ，b }，B ＝{a ，a 2，ab }，若A ＝B ，则a 2＝1或ab ＝1.由集合互异性知a ≠1，当a ＝－1时， A ＝{1，a ，b }＝{1，－1，b }， B ＝{a ，a 2，ab }＝{－1，1，－b }，有b ＝－b ，得b ＝0.∴a 2 022＋b 2 023＝(－1)2 022＋02 023＝1. 当ab ＝1时，集合A ＝{1，a ，b }， B ＝{a ，a 2，ab }＝{a ，a 2，1}，有b ＝a 2. 又b ＝1a ，∴a 2＝1a ，得a ＝1，不满足题意. 综上，a 2 022＋b 2 023＝1，故选B. (2)由log 2(x －1)<1，得0<x －1<2，所以A ＝(1，3).由|x －a |<2得a －2<x <a ＋2，所以B ＝(a －2，a ＋2).因为A ⊆B ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －2≤1，a ＋2≥3，解得1≤a ≤3.所以实数a 的取值范围为[1，3]. 考点三集合的运算角度1集合的基本运算例2 (1)(2021·全国乙卷)已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，2}，N＝{3，4}，则∁U(M∪N)＝()A.{5}B.{1，2}C.{3，4}D.{1，2，3，4}(2)(2021·西安测试)设全集U＝R，M＝{x|y＝ln(1－x)}，N＝{x|2x(x－2)<1}，那么图中阴影部分表示的集合为()A.{x|x≥1}B.{x|1≤x<2}C.{x|0<x≤1}D.{x|x≤1}答案(1)A(2)B解析(1)法一因为集合M＝{1，2}，N＝{3，4}，所以M∪N＝{1，2，3，4}. 又全集U＝{1，2，3，4，5}，所以∁U(M∪N)＝{5}.故选A.法二因为∁U(M∪N)＝(∁U M)∩(∁U N)，∁U M＝{3，4，5}，∁U N＝{1，2，5}，所以∁U(M∪N)＝{3，4，5}∩{1，2，5}＝{5}.故选A.(2)题图中阴影表示的集合为(∁U M)∩N.易知M＝{x|x<1}，N＝{x|0<x<2}，∴(∁U M)∩N＝{x|1≤x<2}.角度2利用集合的运算求参数例3 (1)(2021·日照检测)已知集合A＝{x∈Z|x2－4x－5<0}，B＝{x|4x>2m}，若A∩B 中有三个元素，则实数m的取值范围是()A.[3，6)B.[1，2)C.[2，4)D.(2，4](2)已知集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，若A∪B＝B，则实数a的取值范围是()A.a <－2B.a ≤－2C.a >－4D.a ≤－4答案 (1)C (2)D解析 (1)因为x 2－4x －5<0，解得－1<x <5，则集合A ＝{x ∈Z |x 2－4x －5<0}＝{0，1，2，3，4}，易知集合B ＝{x ⎪⎪⎪x >m2}.又因为A ∩B 中有三个元素，所以1≤m2<2，解之得2≤m <4. 故实数m 的取值范围是[2，4). (2)集合A ＝{x |－2≤x ≤2}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－a 2，由A ∪B ＝B 可得A ⊆B ，作出数轴如图.可知－a2≥2，即a ≤－4.感悟提升 1.进行集合运算时，首先看集合能否化简，能化简的先化简，再研究其关系并进行运算. 2.数形结合思想的应用：(1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn 图求解；(2)连续型数集的运算，常借助数轴求解，运用数轴时要特别注意端点是实心还是空心.训练2 (1)(2021·全国甲卷改编)设集合M ＝{x |0<x <4}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |13≤x <a ，且M ∩N ＝N ，则a 的取值范围为( ) A.a ≤13 B.a >4 C.a ≤4D.a >13(2)集合M ＝{x |2x 2－x －1<0}，N ＝{x |2x ＋a >0}，U ＝R .若M ∩(∁U N )＝，则a 的取值范围是( )A.(1，＋∞)B.[1，＋∞)C.(－∞，1)D.(－∞，1] 答案 (1)C (2)B解析 (1)由M ∩N ＝N ，∴M ⊇N . 当N ＝时，即a ≤13成立；当N ≠时，借助数轴易知13<a ≤4.综上，a ≤4.(2)易得M ＝{x |2x 2－x －1<0} ＝{x ⎪⎪⎪－12<x <1}.∵N ＝{x |2x ＋a >0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x >－a 2，∴∁U N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≤－a 2. 由M ∩(∁U N )＝，则－a 2≤－12，得a ≥1.Venn 图的应用用平面上封闭图形的内部代表集合，这种图称为Venn 图.集合中图形语言具有直观形象的特点，将集合问题图形化.利用Venn 图的直观性，可以深刻理解集合的有关概念，快速进行集合的运算.例 1 设全集U ＝{x |0<x <10，x ∈N *}，若A ∩B ＝{3}，A ∩(∁U B )＝{1，5，7}，(∁U A )∩(∁U B )＝{9}，则A ＝________，B ＝________. 答案 {1，3，5，7} {2，3，4，6，8}解析由题知U ＝{1，2，3，…，9}，根据题意，画出Venn 图如图所示，由Venn 图易得A ＝{1，3，5，7}，B ＝{2，3，4，6，8}.例2 (2020·新高考海南卷)某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是( )A.62%B.56%C.46%D.42%答案 C解析如图，用Venn 图表示该中学喜欢足球和游泳的学生所占的比例之间的关系，设既喜欢足球又喜欢游泳的学生占该中学学生总数的比例为x ，则(60%－x )＋(82%－x )＋x ＝96%，解得x ＝46%.故选C.例3 向100名学生调查对A ，B 两件事的看法，得到如下结果：赞成A 的人数是全体的35，其余不赞成；赞成B 的人数比赞成A 的人数多3人，其余不赞成.另外，对A ，B 都不赞成的人数比对A ，B 都赞成的学生人数的13多1人，则对A ，B 都赞成的学生人数为________，对A ，B 都不赞成的学生人数为________. 答案 36 13解析由题意知赞成A 的人数为100×35＝60，赞成B 的人数为60＋3＝63.如图，记100名学生组成的集合为U ，赞成A 的学生的全体记为集合A ，赞成B 的学生的全体记为集合B ，并设对A ，B 都赞成的学生数为x ，则对A ，B 都不赞成的人数为x 3＋1，由题意，知(60－x )＋(63－x )＋x ＋x 3＋1＝100，解得x ＝36.所以对A ，B 都赞成的学生人数为36人，对A ，B 都不赞成的学生人数为13人.1.(2021·新高考Ⅱ卷)设集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，3，6}，B＝{2，3，4}，则A∩(∁U B)＝()A.{3}B.{1，6}C.{5，6}D.{1，3}答案 B解析由题设可得∁U B＝{1，5，6}，故A∩(∁U B)＝{1，6}.2.(2021·郑州模拟)设集合A＝{x|3x－1<m}，若1∈A且2∉A，则实数m的取值范围是()A.(2，5)B.[2，5)C.(2，5]D.[2，5]答案 C解析∵A＝{x|3x－1<m}，1∈A且2∉A，∴3×1－1<m且3×2－1≥m，解得2<m≤5.3.(2021·浙江卷)设集合A＝{x|x≥1}，B＝{x|－1<x<2}，则A∩B＝()A.{x|x>－1}B.{x|x≥1}C.{x|－1<x<1}D.{x|1≤x<2}答案 D解析因为集合A＝{x|x≥1}，B＝{x|－1<x<2}，所以A∩B＝{x|1≤x<2}.故选D.4.(2022·河南名校联考)已知集合A＝{a，a2，0}，B＝{1，2}，若A∩B＝{1}，则实数a的值为()A.－1B.0C.1D.±1答案 A解析由题意a＝1或a2＝1，当a ＝1，此时A ＝{1，1，0}与元素互异性矛盾，∴a ＝－1，故选A.5.已知集合A ＝{x ∈Z |y ＝log 5(x ＋1)}，B ＝{x ∈Z |x 2－x －2<0}，则( )A.A ∩B ＝AB.A ∪B ＝BC.B AD.A B答案 C解析由x ＋1>0，得x >－1，∴A ＝{x ∈Z |x >－1}＝{0，1，2，3，…}.由x 2－x －2<0，得－1<x <2，∴B ＝{0，1}，∴A ∩B ＝B ，A ∪B ＝A ，B A .6.设集合A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝1}，B ＝{(x ，y )|x －y ＝3}，则满足M ⊆(A ∩B )的集合M 的个数是( )A.0B.1C.2D.3 答案 C解析由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x －y ＝3得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1，∴A ∩B ＝{(2，－1)}.由M ⊆(A ∩B )，知M ＝或M ＝{(2，－1)}. 7.(2022·太原模拟)已知集合M ＝{x |(x －2)2≤1}，N ＝{y |y ＝x 2－1}，则(∁R M )∩N ＝( )A.[－1，＋∞)B.[－1，1]∪[3，＋∞)C.[－1，1)∪(3，＋∞)D.[－1，1]∪(3，＋∞)答案 C解析由已知可得M＝{x|－1≤x－2≤1}＝{x|1≤x≤3}，N＝{y|y≥－1}，∴∁R M＝{x|x<1或x>3}，∴(∁R M)∩N＝{x|－1≤x<1或x>3}.8.设集合A＝{x|(x＋2)(x－3)≤0}，B＝{a}，若A∪B＝A，则a的最大值为()A.－2B.2C.3D.4答案 C解析因为A＝{x|(x＋2)(x－3)≤0}，所以A＝{x|－2≤x≤3}.又因为B＝{a}，且A∪B＝A，所以B⊆A，所以a的最大值为3.9.(2021·合肥模拟)已知集合A＝{－2，－1，0，1，2}，集合B＝{x||x－1|≤2}，则A∩B＝________.答案{－1，0，1，2}解析B＝{x|－2≤x－1≤2}＝{x|－1≤x≤3}，又A＝{－2，－1，0，1，2}，∴A∩B＝{－1，0，1，2}.10.(2021·湖南雅礼中学检测)设集合A＝{x|y＝x－3}，B＝{x|1<x≤9}，则(∁R A)∩B ＝________.答案(1，3)解析因为A＝{x|y＝x－3}，所以A＝{x|x≥3}，所以∁R A＝{x|x<3}.又B＝{x|1<x≤9}，所以(∁R A)∩B＝(1，3).11.已知集合A＝{x|y＝lg(x－x2)}，B＝{x|x2－cx<0，c>0}，若A⊆B，则实数c的取值范围是________.答案[1，＋∞)解析由题意知，A＝{x|y＝lg(x－x2)}＝{x|x－x2>0}＝(0，1)，B＝{x|x2－cx<0，c>0}＝(0，c).由A⊆B，画出数轴，如图所示，得c≥1.12.已知集合A ＝{a ，b ，2}，B ＝{2，b 2，2a }，若A ＝B ，则a ＋b ＝________.答案 34或1 解析由A ＝B ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2a ，b ＝b 2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b 2，b ＝2a .解⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2a ，b ＝b 2，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1，解⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b 2，b ＝2a ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，b ＝12，又由集合中元素的互异性，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，b ＝12，所以a ＋b ＝1或a ＋b ＝34.13.若全集U ＝{－2，－1，0，1，2}，A ＝{－2，2}，B ＝{x |x 2－1＝0}，则图中阴影部分所表示的集合为( )A.{－1，0，1}B.{－1，0}C.{－1，1}D.{0}答案 D解析 B ＝{x |x 2－1＝0}＝{－1，1}，阴影部分所表示的集合为∁U (A ∪B ).又A ∪B ＝{－2，－1，1，2}，全集U ＝{－2，－1，0，1，2}，所以∁U (A ∪B )＝{0}.14.(2020·浙江卷)设集合S ，T ，S ⊆N *，T ⊆N *，S ，T 中至少有2个元素，且S ，T满足：①对于任意的x，y∈S，若x≠y，则xy∈T；②对于任意的x，y∈T，若x＜y，则yx∈S.下列命题正确的是()A.若S有4个元素，则S∪T有7个元素B.若S有4个元素，则S∪T有6个元素C.若S有3个元素，则S∪T有5个元素D.若S有3个元素，则S∪T有4个元素答案 A解析由题意，①令S＝{1，2，4}，则T＝{2，4，8}，此时，S∪T＝{1，2，4，8}，有4个元素；②令S＝{2，4，8}，则T＝{8，16，32}，此时，S∪T＝{2，4，8，16，32}，有5个元素；③令S＝{2，4，8，16}，则T＝{8，16，32，64，128}，此时，S∪T＝{2，4，8，16，32，64，128}，有7个元素.综合①②，S有3个元素时，S∪T可能有4个元素，也可能有5个元素，可排除C，D；由③可知A正确.15.已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)<0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＝________，n＝________.答案－1 1解析A＝{x∈R||x＋2|<3}＝{x∈R|－5<x<1}，由A∩B＝(－1，n)，可知m<1，则B＝{x|m<x<2}，画出数轴，可得m＝－1，n＝1.16.当两个集合有公共元素，且互不为对方的子集时，我们称这两个集合“相交”.对于集合M ＝{x |ax 2－1＝0，a >0}，N ＝{－12，12，1}，若M 与N “相交”，则a＝________.答案 1解析 M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1a ，1a ，由1a ＝12，得a ＝4，由1a＝1，得a ＝1. 当a ＝4时，M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，12，此时M ⊆N ，不合题意；当a ＝1时，M ＝{－1，1}，满足题意.。

高三数学一轮复习集合的概念与运算

高三数学一轮复习集合的概念与运算一、复习要求理解集合的概念及交集、并集、全集、补集的概念，掌握集合的运算性质，能利用数轴或文氏图进行集合的运算，进一步掌握集合问题的常规处理方法．二、复习重点：交集、并集、补集的求法，集合语言、集合思想的运用．三、学习指导：（一）主要知识： 1、集合的概念：（1）集合中元素特征，确定性，互异性，无序性；（2）集合的分类：① 按元素个数分：有限集，无限集；② 按元素特征分；数集，点集。

如数集{y|y=x 2}，表示非负实数集，点集{(x ，y)|y=x 2}表示开口向上，以y 轴为对称轴的抛物线；（3）集合的表示法：①列举法：用来表示有限集或具有显著规律的无限集，如N +={0，1，2，3，…}；②描述法。

2、两类关系：（1）元素与集合的关系，用∈或∉表示；（2）集合与集合的关系，用⊆，≠⊂，=表示，当A ⊆B 时，称A 是B 的子集；当A ≠⊂B 时，称A 是B 的真子集。

3、集合运算（1）有关概念 ①交集：}{B x A x x B A ∈∈=且IA BA BA B②并集：}{B x A x x B A ∈∈=或IABABA B③全集：如果集合S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，通常用U 表示。

④补集：}{A x U x x A C U ∉∈=且AU C U A（2）常用运算性质及一些重要结论 B A B B A B A A B A ⊆⇔=⊆⇔=Y I（二）主要方法：1．求交集、并集、补集，要充分发挥数轴或文氏图的作用；2．含参数的问题，要有讨论的意识，分类讨论时要防止在空集上出问题； 3．集合的化简是实施运算的前提，等价转化常是顺利解题的关键．（三）高考回顾：考题1：（07全国Ⅰ）设,a b R ∈，集合{1,,}{0,,}ba b a b a+=，则b a -=（） A ．1 B ．1- C ．2 D ．2-C.考题2：设集合{}22,A x x x R =-≤∈，{}21,2≤≤--==x x y y B ，则()R C A B I ＝ A ．R B ．{},0x x R x ∈≠ C ．{}0 D ．∅ （）考题3：（2020辽宁文）设集合{}12A =，，则满足{}123A B =U ，，的集合B 的个数是（）Ａ．1Ｂ．3Ｃ．4Ｄ．8考题4：（2020全国卷I 理）已知集合M ＝｛x |x ＜3｝，N ＝｛x |log 2x ＞1｝，则M ∩N ＝Ａ． ∅ Ｂ．｛x |0＜x ＜3｝Ｃ．｛x |1＜x ＜3｝Ｄ．｛x |2＜x ＜3｝考题5：（07江西）若集合M ＝{0，l ，2}，N ＝{(x ，y)|x －2y ＋1≥0且x －2y －1≤0，x ，y ∈M}，则N 中元素的个数为（） A ．9 B ．6 C ．4 D ．2C.考题6：（07湖北）设P 和Q 是两个集合，定义集合Q P -={}Q x P x x ∉∈且,|，如果{}1log 2<=x x P ，{}12<-=x x Q 那么Q P -等于（）A ．{x|0<x<1} B.{x|0<x ≤1} C.{x|1≤x<2} D.{x|2≤x<3}B.考题7：（07北京）已知集合{}1≤-=a x x A ，{}0452≥+-=x x x B ，若φ=B A I ，则实数a 的取值范围是 .()3,2（四）典型例题：例1、已知集合M={y|y=x 2+1，x ∈R}，N={y|y=x+1，x ∈R}，求M ∩N 。

2020版高考文科数学第一轮复习练习：第一章集合、常用逻辑用语课后跟踪训练3 Word版含解析

课后跟踪训练(三)基础巩固练一、选择题1．(2019·陕西师大附中模拟)若命题p ：对任意的x ∈R ，都有x 3－x 2＋1<0，则綈p 为( )A ．不存在x ∈R ，使得x 3－x 2＋1<0B ．存在x ∈R ，使得x 3－x 2＋1<0C ．对任意的x ∈R ，都有x 3－x 2＋1≥0D ．存在x ∈R ，使得x 3－x 2＋1≥0[解析]　命题p ：对任意的x ∈R ，都有x 3－x 2＋1<0的否定綈p ：存在x ∈R ，使得x 3－x 2＋1≥0.故选D.[答案]　D2．(2019·河南教学质量监测)已知命题p ：∀x ∈(1，＋∞)，x 2＋16>8x ，则命题p 的否定为( )A ．綈p ：∀x ∈(1，＋∞)，x 2＋16≤8xB ．綈p ：∀x ∈(1，＋∞)，x 2＋16<8xC ．綈p ：∃x 0∈(1，＋∞)，x ＋16≤8x 020D ．綈p ：∃x 0∈(1，＋∞)，x ＋16<8x 020[解析]　全称命题的否定为特称命题，故命题p 的否定綈p ：∃x 0∈(1，＋∞)，x ＋16≤8x 0.故选C.20[答案]　C3．(2019·安徽百校论坛联考)已知命题p ：∀x ∈(1，＋∞)，log 3(x ＋2)－>0，则下列叙述正确的是( )22xA ．綈p ：∀x ∈(1，＋∞)，log 3(x ＋2)－≤022xB ．綈p ：∃x ∈(1，＋∞)，log 3(x ＋2)－<022xC ．綈p ：∃x ∈(－∞，1]，log 3(x ＋2)－≤022xD ．綈p 是假命题[解析]　綈p ：∃x ∈(1，＋∞)，log 3(x ＋2)－≤0，因为函数f (x )＝22x log 3(x ＋2)－在(1，＋∞)上是增函数，所以f (x )>f (1)＝0(x >1)，故p 22x是真命题，綈p 是假命题．故选D.[答案]　D4．(2019·江西南昌模拟)设命题p ：∃x 0∈(0，＋∞)，x 0＋>3，1x 0命题q ：∀x ∈(2，＋∞)，x 2>2x ，则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧(綈q )B ．(綈p )∧qC ．p ∧qD ．(綈p )∨q[解析]　命题p ：∃x 0∈(0，＋∞)，x 0＋>3，当x 0＝3时，3＋>3，1x 013命题为真．命题q ：∀x ∈(2，＋∞)，x 2>2x ，当x ＝4时，两式相等，命题为假，则p ∧(綈q )为真，故选A.[答案]　A5．若命题“∀x ∈R ，kx 2－kx －1<0”是真命题，则实数k 的取值范围是( )A ．(－4,0)B ．(－4,0]C ．(－∞，－4]∪(0，＋∞)D ．(－∞，－4)∪[0，＋∞)[解析]　命题：“∀x ∈R ，kx 2－kx －1<0”是真命题．当k ＝0时，则有－1<0；当k ≠0时，则有k <0，且Δ＝(－k )2－4×k ×(－1)＝k 2＋4k <0，解得－4<k <0.综上所述，实数k 的取值范围是(－4,0]．故选B.[答案]　B二、填空题6．(2019·安徽合肥一模)命题：∃x 0∈R ，x －ax 0＋1<0的否定为20____________________．[解析]　写命题的否定时，除结论要否定外，存在量词与全称量词要互换，因此命题：∃x 0∈R ，x －ax 0＋1<0的否定为∀x ∈R ，x 2－ax 20＋1≥0.[答案]　∀x ∈R ，x 2－ax ＋1≥07．已知命题p ：∃x 0∈R ，ax ＋x 0＋≤0.若命题p 是假命题，则2012实数a 的取值范围是________．[解析]　因为命题p 是假命题，所以綈p 为真命题，即∀x ∈R ，ax 2＋x ＋>0恒成立．当a ＝0时，x >－，不满足题意；当a ≠0时，要1212使不等式恒成立，则有Error!即Error!解得Error!所以a >，即实数a 12的取值范围是.(12，＋∞)[答案]　(12，＋∞)8．已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a 和函数g (x )＝2x ＋，对任意x 1x ＋1∈[－1，＋∞)，总存在x 2∈R 使g (x 1)＝f (x 2)成立，则实数a 的取值范围是________．[解析]　因为f (x )＝x 2＋2x ＋a ＝(x ＋1)2＋a －1，所以f (x )∈[a －1，＋∞)．因为g (x )＝2x ＋在[－1，＋∞)上单调递增，x ＋1所以g (x )∈[－2，＋∞)．由题意得a －1≤－2，所以a ≤－1，故实数a 的取值范围是(－∞，－1]．[答案]　(－∞，－1]三、解答题9．(2019·甘肃平凉月考)设p ：关于x 的不等式a x >1的解集是{x |x <0}；q ：函数y ＝的定义域为R .若p ∨q 是真命题，p ∧ax 2－x ＋a q 是假命题，求实数a 的取值范围．[解]　∵关于x 的不等式a x >1的解集是{x |x <0}，∴0<a <1.∵函数y ＝的定义域为R ，ax 2－x ＋a ∴Error!解得a ≥.由题意，若p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题，12则命题p ，q 一真一假．当p 真q 假时，Error!解得0<a <；当q 真p 12假时，Error!解得a ≥1.综上，实数a 的取值范围是∪[1，＋∞)．(0，12)10．已知m ∈R ，命题p ：对任意x ∈[0,1]，不等式2x －2≥m 2－3m 恒成立；命题q ：存在x ∈[－1,1]，使得m ≤ax 成立．(1)若p 为真命题，求m 的取值范围；(2)当a ＝1，若p ∧q 为假，p ∨q 为真，求m 的取值范围．[解]　(1)∵对任意x ∈[0,1]，不等式2x －2≥m 2－3m 恒成立，∴(2x －2)min ≥m 2－3m ，即m 2－3m ≤－2，解得1≤m ≤2.因此，若p 为真命题时，m 的取值范围是[1,2]．(2)∵a ＝1，且存在x ∈[－1,1]，使得m ≤ax 成立，∴m ≤1.因此，命题q 为真时，m ≤1.∵p ∧q 为假，p ∨q 为真，∴p ，q 中一个是真命题，一个是假命题．当p 真q 假时，由Error!得1<m ≤2；当p 假q 真时，由Error!得m <1.综上所述，m 的取值范围为(－∞，1)∪(1,2]．能力提升练11．(2018·山西太原联考)给出下列三个命题：p 1：函数y ＝a x ＋x (a >0，且a ≠1)在R 上为增函数；p 2：∃a ，b ∈R ，a 2－ab ＋b 2<0；p 3：cos α＝cos β成立的一个充分不必要条件是α＝2k π＋β(k ∈Z )．则下列命题中的真命题为( )A ．p 1∨p 2B ．p 2∧p 3C ．p 1∨(綈p 3)D ．(綈p 2)∧p 3[解析]　对于p 1，令f (x )＝a x ＋x (a >0，且a ≠1)，当a ＝时，f (0)＝120＋0＝1，f (－1)＝－1－1＝1，所以p 1为假命题；对于p 2，因为a 2－(12)(12)ab ＋b 2＝2＋b 2≥0，所以p 2为假命题；对于p 3，因为cos α＝(a －12b )34cos β⇔α＝2k π±β(k ∈Z )，所以p 3是真命题．所以(綈p 2)∧p 3为真命题，故选D.[答案]　D12．(2019·广东汕头期末)已知命题p ：“∀x ∈[0,1]，a ≥e x ”；命题q ：“∃x 0∈R ，x ＋4x 0＋a ＝0”．若命题p ∧q 是真命题，则实数a 20的取值范围是( )A ．(4，＋∞)B ．[1,4]C ．[e,4]D ．(－∞，－1)[解析]　∵∀x ∈[0,1]，a ≥e x ，∴a ≥(e x )max ，可得a ≥e.∵∃x 0∈R ，x ＋4x 0＋a ＝0，∴Δ＝16－4a ≥0，解得a ≤4.∵命题p ∧q 是真命题，∴p 20与q 都是真命题，∴实数a 的取值范围是[e,4]．故选C.[答案]　C13．(2019·甘肃高台一中第三次检测)设p ：∃x ∈，使函数(1，52)g (x )＝log 2(tx 2＋2x －2)有意义．若綈p 为假命题，则实数t 的取值范围为________．[解析]　因为命题綈p 为假命题，所以命题p 为真命题．∃x ∈，使函数g (x )＝log 2(tx 2＋2x －2)有意义等价于∃x ∈，使tx 2＋(1，52)(1，52)2x －2>0成立，即∃x ∈，使t >－成立．令h (x )＝－，x ∈，(1，52)2x 22x 2x 22x (1，52)则∃x ∈，使t >－成立等价于t >h (x )min .因为h (x )＝－＝2(1，52)2x 22x 2x 22x 2－，x ∈，所以当＝，即x ＝2时，h (x )min ＝－，所(1x －12)12(1，52)1x 1212以t >－.12[答案]　(－12，＋∞)14．已知命题p ：∃x ∈R ，e x －mx ＝0，q ：∀x ∈R ，x 2－2mx ＋1≥0，若p ∨(綈q )为假命题，求实数m 的取值范围．[解]　若p ∨(綈q )为假命题，则p 假q 真．由e x －mx ＝0得m ＝，设f (x )＝，e x x e x x则f ′(x )＝＝.e x ·x －e x x 2(x －1)e x x 2当x >1时，f ′(x )>0，此时函数单调递增；当0<x <1时，f ′(x )<0，此时函数单调递减；当x <0时，f ′(x )<0，此时函数单调递减．由f (x )的图象及单调性知当x ＝1时，f (x )＝取得极小值f (1)＝e ，e x x所以函数f (x )＝的值域为(－∞，0)∪[e ，＋∞)，所以若p 是假命题，e x x则0≤m <e ；命题q 为真命题时，有Δ＝4m 2－4≤0，则－1≤m ≤1.所以当p ∨(綈q )为假命题时，m 的取值范围是[0,1]．拓展延伸练15．(2019·东北三省四市联考)下列四个命题中，真命题的个数是( )①“x＝1”是“x2－3x＋2＝0”的充分不必要条件；②命题“∀x∈R，sin x≤1”的否定是“∃x0∈R，sin x0>1”；③“若am2<bm2，则a<b”的逆命题为真命题；④命题p：∀x∈[1，＋∞)，lg x≥0，命题q：∃x0∈R，x＋x0＋1<0，则p∨q为真命题20A．0 B．1 C．2 D．3[解析]　当x＝1时，x2－3x＋2＝0，当x2－3x＋2＝0时，x＝1或x＝2，所以“x＝1”是“x2－3x＋2＝0”的充分不必要条件，故①正确；命题“∀x∈R，sin x≤1”的否定是“∃x0∈R，sin x0>1”，故②正确；“若am2<bm2，则a<b”的逆命题为“若a<b，则am2<bm2”，当m＝0时，该逆命题为假命题，故③错；当x≥1时，lg x≥0，命题p 是真命题，故p∨q是真命题，故④正确．故真命题的个数是3.故选D.[答案]　D16．(2019·皖南名校联考)设命题p：函数f(x)＝x3－ax－1在区间[－1,1]上单调递减；命题q：函数y＝ln(x2＋ax＋1)的值域是R，如果命题p或q是真命题，p且q为假命题，则实数a的取值范围是( ) A．(－∞，3] B．(－∞，－2]∪[2,3)C．(2,3] D．[3，＋∞)[解析]　若p为真命题，则f′(x)＝3x2－a≤0在区间[－1,1]上恒成立，即a≥3x2在区间[－1,1]上恒成立，所以a≥3；若q为真命题，则方程x2＋ax＋1＝0的判别式Δ＝a2－4≥0，即a≥2或a≤－2.由题意知，p与q一真一假．当p真q假时，Error!则a∈∅；当p假q真时，Error!则a≤－2或2≤a<3.综上所述，a∈(－∞，－2]∪[2,3)．故选B.[答案]　B。

高考数学一轮复习 11集合的概念和运算课件文

(4)若A含有n个元素，则A的子集有 2n 有 2n－1 个．
个，A的非空子集
(5)集合相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.
3．集合的基本运算及其性质 (1)并集：A∪B＝{x| x∈A，或x∈B }． (2)交集：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}． (3)补集：∁UA＝{x| x∈U，且x∉A }，U为全集，∁UA表示A 相对于全集U的补集． (4)集合的运算性质 ①A∪B＝A⇔B⊆A，A∩B＝A⇔ A⊆B ； ②A∩A＝A，A∩∅＝ ∅ ； ③A∪A＝A，A∪∅＝A； ④A∩∁UA＝∅，A∪∁UA＝ U ，∁U(∁UA)＝A.
解析 ∁UM＝{1,4,5,6}，∁UN＝{2,3,5,6}，
(∁UM)∩(∁UN)＝{5,6}．
答案 D
已知两集合的关系求参数时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图帮助分析，而且经常要对集合进行讨论．
难点突破 1——高考中集合问题的求解策略集合是数学中最基本的概念，高考对集合的考查内容主要有：集合的含义、集合间的基本关系和集合的基本运算，并且以集合的运算为主，与不等式的解集、函数的定义域、方程的解集、平面上的点集等内容相互交汇，涉及的知识面较广，难度不大．高考对集合的考查有两种形式：一种是直接考查集合间的包含关系或交、并、补的基本运算；另一种是以集合为工具考查集合语言和集合思想在方程、不等式、解析几何等中的运用．
第1讲集合的概念和运算
1．集合与元素
基础梳理
(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号 ∈ 或 ∉ 表
示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法、区间法．

北师版高考总复习一轮文科数学精品课件第1章集合与常用逻辑用语第1节集合的概念与运算

)
B.[8,+∞)
C.(16,+∞) D.[16,+∞)
(2)(2022山东济南二模)已知集合A={1,2},B={2,4},C={z|z=xy,x∈A,y∈B},
则C中元素的个数为(
A.1
B.2
C.3
D.4
)
答案:(1)C (2)C
解析:(1)因为集合A中至少有3个元素,所以log2k>4,所以k>24=16,故选C.
A.{2,4}
B.{2,4,6}
C.{2,4,6,8}
D.{2,4,6,8,10}
(3)(2022北京,1)已知全集U={x|-3<x<3},集合A={x|-2<x≤1},则∁UA=(
A.(-2,1]
B.(-3,-2)∪[1,3)
C.[-2,1)
D.(-3,-2]∪(1,3)
)
)
答案:(1)A (2)A
则m的取值范围为(
)
A.(-6,+∞)
B.[-6,+∞)
C.(-∞,-6)
D.(-∞,-6]
答案:(1)C (2)A
解析:(1)由题意知A={y|-2≤y≤2},要满足B⫋A,即B⫋[-2,2],结合选项可知B=[-
1,1].故选C.
(2)因为 A={x|3≤x≤4},B= >

2

,A⊆B,所以- <3,解得
C.-2
)
D.-4
(3)(2022江苏南京第一中学三模)非空集合A={x∈N|0<x<3},B={y∈N|y2my+1<0,m∈R},A∩B=A∪B,则实数m的取值范围为(
A.

《南方凤凰台》2020江苏高考总复习一轮配套精练--答案

高考总复习一轮配套精练数学文科答案详析第一章集合与常用逻辑用语第1课集合的概念与运算A 应知应会1. {2，4，5} 【解析】因为全集U ＝{1，2，3，4，5}，A ＝{1，3}，所以∁U A ＝{2，4，5}．2. {0，1} 【解析】因为A ＝{x||x|<2}＝{x|－2<x<2}，B ＝{－2，0，1，2}，所以A ∩B ＝{0，1}．3. {－1，0，1} 【解析】因为A ＝{0，1}，B ＝{－1，0}，所以A ∪B ＝{－1，0，1}．4. 5 【解析】A ∪B ＝{－1，0，1，2，7}，所以集合A ∪B 中元素的个数为5.5. 0 【解析】因为A ＝{1，3}，B ＝{a 2＋2，3}，且A ∪B ＝{1，2，3}，所以a 2＋2＝2，即a ＝0.6. 1 【解析】因为B ⊆A ，所以a ∈A ，所以a ＝a ，解得a ＝1或a ＝0(舍去)．7. 【解答】因为A ＝{x|x 2－1≤0}＝{x|－1≤x ≤1}，B ＝{x|0<x ≤3}，所以A ∩B ＝{x|0<x ≤1}，A ∪B ＝{x|－1≤x ≤3}．又∁U A ＝{x |1<x ≤4}，∁U B ＝{x |－1≤x ≤0或3<x ≤4}，所以(∁U B )∩A ＝{x |－1≤x ≤0}． 8. 【解答】①当a<0时，A ＝∅，显然A ∩B ＝∅成立．②当a ≥0时，A ＝{x|2－a ≤x ≤2＋a}，B ＝{x|x ≤1或x ≥4}，由A ∩B ＝∅，得⎩⎪⎨⎪⎧2－a>1，2＋a<4，a ≥0，解得0≤a<1.综上所述，a 的取值范围为(－∞，1)．B 巩固提升1. {2，6} 【解析】因为全集I ＝{1，2，3，4，5，6}，集合A ＝{1，3，5}，所以∁I A ＝{2，4，6}，又因为B ＝{2，3，6}，所以(∁I A)∩B ＝{2，6}．2. {－1，0，1} 【解析】由并集的定义可得A ∪B ＝{－1，0，1，2，3，4}，结合交集的定义可知(A ∪B)∩C ＝{－1，0，1}．3. [－2，1) 【解析】由4－x 2≥0，得－2≤x ≤2，所以A ＝{x|－2≤x ≤2}；由1－x>0，得x<1，所以B ＝{x|x<1}，故A ∩B ＝{x|－2≤x<1}．4. {x|x ＜0} 【解析】因为集合B ＝{x|x ＜0}，所以A ∩B ＝{x|x ＜0}．5. －2 【解析】因为A ＝B ，所以a 2＝4，解得a ＝±2.又因为a<0，所以a ＝－2.6. (－∞，－1]∪[5，＋∞) 【解析】因为∁U B ＝(－∞，0)∪[5，＋∞)，又A ⊆(∁U B)，所以a ＋1≤0或a ≥5，解得a ≤－1或a ≥5.7. 【解答】(1) 由题可知⎩⎨⎧x ＝4，y ＝3，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝16，y ＝3，故x ＋y ＝19.(2) 假设存在实数x ，使得B ⊆A ，则2－x ＝3或2－x ＝x.若2－x ＝3，则x ＝－1，不合题意；若2－x ＝x ，则x ＋x －2＝0，解得x ＝1，不合题意．故不存在实数x ，使得B ⊆A.8. 【解答】(1) 当a ＝0时，A ＝{x|0≤x ≤3}，B ＝{x|－3≤x ≤2}，所以∁R B ＝{x |x ＜－3或x ＞2}，所以A ∪B ＝{x |－3≤x ≤3}，A ∩(∁R B )＝{x |2＜x ≤3}． (2) 因为A ∩B ＝A ，所以A ⊆B ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－3，a ＋3≤2，解得－3≤a ≤－1，所以实数a 的取值范围为[－3，－1]．第2课四种命题和充要条件A 应知应会 1. 逆否命题2. ②③ 【解析】①原命题的否命题为“若a ≤b ，则a 2≤b 2”，假命题．②原命题的逆命题为“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”，真命题．③原命题的逆否命题为“若x ≥2或x ≤－2，则x 2≥4”，真命题．3. 充分不必要【解析】因为q ：x ≤1或x ≥4，所以p 是q 的充分不必要条件．4. 0 【解析】由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧x<1，x ≥a 或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x<a 成立的充要条件为{x|0≤x<1}，所以a 的值是0.5. 3或4 【解析】由x 2－4x ＋n ＝0，得(x －2)2＝4－n ，即x ＝2±4－n.因为n ∈N *，方程有整数解，所以n ＝3或4，故当n ＝3或4时方程有整数解．6. ⎣⎡⎦⎤－12，43 【解析】解不等式|x －m|<1，得 m －1<x<m ＋1.由题可得⎝⎛⎭⎫13，12⊆ (m －1，m ＋1)，故⎩⎨⎧m －1≤13，m ＋1≥12且等号不同时成立，解得－12≤m ≤43.7. 【解答】由x 2－5x ＋6≥0，得x ≥3或x ≤2.因为命题q 为假，所以x ≤0或x ≥4.则{x|x ≥3或x ≤2}∩{x|x ≤0或x ≥4}＝{x|x ≤0或x ≥4}．所以满足条件的实数x 的取值范围是(－∞，0]∪[4，＋∞)．8. 【解答】由x 2＋x －6<0，得－3<x<2，即A ＝(－3，2)．又由x －a>0，得x>a ，即B ＝(a ，＋∞)．因为“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，所以(－3，2)⊆(a ，＋∞)，所以a ≤－3.故实数a 的取值范围是(－∞，－3]．B 巩固提升1. 必要不充分【解析】由2a >2b ，解得a>b ，由“lg a>lg b”解得a>b>0，所以“2a >2b ”是“lg a>lg b”的必要不充分条件．2. 充分不必要【解析】若存在负数λ，使得m ＝λn ，则m ·n ＝λn ·n ＝λn 2<0成立，所以为充分条件；当m ·n <0时，m 与n 不一定共线，所以“存在负数λ，使得m ＝λn ”不一定成立，所以不是必要条件．综上可知，“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n <0”的充分不必要条件．3. (1，4) 【解析】当1≤x ≤2时，|f(x)－a|<2恒成立，即f(x)－2<a<f(x)＋2，当1≤x ≤2时，f(x)＋2的最小值是4，f(x)－2的最大值是1，所以1<a<4，故实数a 的取值范围是(1，4)．4. 1，－1(答案不唯一) 【解析】使“若a>b ，则1a <1b ”为假命题，举一反例即可，只需取a ＝1，b ＝－1即可满足，所以满足条件的一组a ，b 的值为1，－1(答案不唯一)．5. ①②④ 【解析】①因为Δ＝4－4(－k)＝4＋4k>0，所以①是真命题；②其逆否命题为真，故②是真命题；③“a ＝±1”是“直线x －ay ＝0与直线x ＋ay ＝0互相垂直”的充要条件，故③是假命题；④否命题为“若xy ≠0，则x ，y 都不为零”是真命题．6. ⎣⎡⎭⎫0，12 【解析】因为p ：12≤x<1，q ：a<x<a ＋1，所以由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a<12，a ＋1≥1⇒0≤a<12.7. 【解答】因为集合A ＝{x|x 2－6x ＋8<0}＝{x|2<x<4}，B ＝{x|(x －a)(x －3a)<0}．(1) 当a ＝0时，B ＝∅，不合题意．当a>0时，B ＝{x|a<x<3a}，要满足题意，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，3a ≥4，解得43≤a ≤2.当a<0时，B ＝{x|3a<x<a}，要满足题意，则⎩⎪⎨⎪⎧3a ≤2，a ≥4，无解．综上，实数a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤43，2. (2) 要满足A ∩B ＝∅，当a>0时，B ＝{x|a<x<3a}，则a ≥4或3a ≤2，即0<a ≤23或a ≥4.当a<0时，B ＝{x|3a<x<a}，则a ≤2或3a ≥4，即a<0. 当a ＝0时，B ＝∅，A ∩B ＝∅.综上，实数a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，23∪[4，＋∞)． 8. 【解答】因为命题p 是真命题，所以0<m<6，m ∈N ，①所以A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪mx －1x <0＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0<x <1m .由题意知B ＝{x |x 2－3x －4≤0}＝{x |－1≤x ≤4}，C ＝{x |log 12x >1}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0<x <12. 因为命题q ，r 都是真命题，所以A B ，C A ，所以⎩⎨⎧1m≤4，1m >12.② 由①②得m ＝1.第3课简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词A 应知应会1. 假2. ∀x ∈R ，x 2－x ＋1≠03. ②③ 【解析】由不等式的性质可知，命题p 是真命题，命题q 为假命题，故①p ∧q 为假命题；②p ∨q 为真命题；③非q 为真命题，则p ∧(非q)为真命题；④非p 为假命题，则(非p)∨q 为假命题．4. [－3，0] 【解析】因为命题p “∃x ∈R ，2ax 2＋ax －38>0”为假命题，所以对任意的x ∈R ，都有2ax 2＋ax －38≤0.当a ＝0时，显然成立；当a ≠0时，a <0，且Δ＝a 2＋3a ≤0，所以－3≤a <0.综上，实数a 的取值范围是[－3，0]．5. ⎝⎛⎦⎤12，23 【解析】命题p ：关于x 的函数y ＝x 2－3ax ＋4在[1，＋∞)上是增函数，即3a 2≤1，解得a ≤23.命题q ：关于x 的函数y ＝(2a －1)x 在R 上为减函数，即 0＜2a －1＜1，解得12＜a ＜1.若“p ∧q ”为真命题，则有a ≤23且12＜a ＜1，所以12＜a ≤23，即实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤12，23. 6. [2，＋∞) 【解析】依题意知p ，q 均为假命题．当p 是假命题时，mx 2＋1>0恒成立，则有m ≥0；当q 是假命题时，则有Δ＝m 2－4≥0，解得m ≤－2或m ≥2.因此由p ，q 均为假命题得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m ≤－2或m ≥2，即m ≥2.7. 【解答】由a 2x 2＋ax －2＝0，得(ax ＋2)·(ax －1)＝0，所以x ＝－2a 或x ＝1a .若只有一个实数x 满足不等式x 2＋2ax ＋2a ≤0，即Δ＝(2a)2－8a ＝0，因为a>0，所以a ＝2.因为“p ∨q ”是假命题，所以p ，q 均为假命题，所以⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎪－2a >1，⎪⎪⎪⎪1a >1，a ≠2，a>0，解得0<a<1.所以实数a 的取值范围是(0，1)．8. 【解答】p ：－1≤x ≤5.(1) 因为p 是q 的充分条件，所以[－1，5]是[1－m ，1＋m]的子集，所以⎩⎪⎨⎪⎧m>0，1－m ≤－1，1＋m ≥5，解得m ≥4.所以实数m 的取值范围为[4，＋∞)．(2) 当m ＝5时，q ：－4≤x ≤6.由题意知p 与q 一真一假．当p 真q 假时，由⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤5，x<－4或x>6，得x ∈∅.当p 假q 真时，由⎩⎪⎨⎪⎧x<－1或x>5，－4≤x ≤6，得－4≤x<－1或5<x ≤6.所以实数x 的取值范围为[－4，－1)∪(5，6]．B 巩固提升1. ④ 【解析】由指数函数图象恒过点(0，1)，函数y ＝a x ＋1＋1的图象是由y ＝a x 先向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到，所以函数y ＝a x ＋1＋1的图象恒过点(－1，2)，故命题p 为真命题；命题q ：直线m 与平面β的位置关系也可能是m ⊂β，故q 是假命题，所以p ∧(非q)为真命题．故④正确．2. 1 【解析】因为“∃x ∈R ，x 2＋2x ＋m ≤0”是假命题，所以“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋m >0”是真命题，所以Δ＝4－4m <0，解得m >1，故a 的值是1.3. ⎣⎡⎦⎤23，1 【解析】令f(x)＝x 2－4ax ＋3a 2，根据题意可得⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝1－4a ＋3a 2≤0，f （2）＝4－8a ＋3a 2≤0，解得23≤a ≤1，所以实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤23，1. 4. ①③ 【解析】①命题p 为真命题，命题q 为真命题，所以“p ∧(非q)”为假命题，故①正确；②当a ＝b ＝0时，有l 1⊥l 2，故②不正确；③正确．所以正确的结论为①③.5. ①② 【解析】对于①，由存在x ∈[0，2]，使x 2－a ≥0成立，可得a ≤4，因此为充分不必要条件，故①正确；②显然正确；对于③，若“p ∧q ”为假命题，则p ，q 中至少有一个假命题，所以③错误．6. (－∞，1] 【解析】由题意知，f(x 1)min ⎝⎛⎭⎫x 1∈⎣⎡⎦⎤12，1≥g(x 2)min (x 2∈[2，3])，因为f(x)＝x ＋4x ，x ∈⎣⎡⎦⎤12，1，所以f′(x)＝1－4x 2<0，所以f(x)在⎣⎡⎦⎤12，1上单调递减，所以f(x)min ＝f(1)＝5，又因为g(x)在[2，3]上的最小值为g(2)＝4＋a ，所以5≥4＋a ，即a ≤1.7. 【解答】(1) 若p 为真命题，则ax 2＋2x ＋a>0的解集为R ，则a >0且4－4a 2<0，解得a >1. 若q 为真命题，则a4≥1，即a ≥4.因为“p ∧(非q )”为真命题，所以p 为真命题且q 为假命题，所以实数a 的取值范围是(1，4)．(2) 解不等式(x －m )(x －m ＋2)<0，得m －2<x <m ，即A ＝(m －2，m )．由(1)知，B ＝(1，＋∞)．因为A ∩B ＝A ，则A ⊆B ，所以m －2≥1，即m ≥3. 故实数m 的取值范围为[3，＋∞)．8. 【解答】(1) 由题意得f′(x)＝3x 2＋2ax ＋1≥0对x ∈(－∞，＋∞)恒成立，所以Δ＝4a 2－12≤0，解得－3≤a ≤ 3.所以实数a 的取值范围为[－3，3]．(2) 若q 真：因为g′(x)＝e x －1≥0对任意的x ∈[0，＋∞)恒成立，所以g(x)在[0，＋∞)上单调递增，则g(0)＝a ＋1>0⇒a>－1. 由“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题知p ，q 一真一假．若p 真q 假，则⎩⎨⎧－3≤a ≤3，a ≤－1，解得a ∈[－3，－1]；若p 假q 真，则⎩⎨⎧a<－3或a>3，a>－1，解得a ∈(3，＋∞)．综上所述，a 的取值范围为[－3，－1]∪(3，＋∞)．第二章函数与基本初等函数Ⅰ 第4课函数的概念及其表示法A 应知应会1. 0或－2 【解析】令x 2＋2x ＋3＝3，解得x ＝0或－2. 2.5x ＋1x 2 【解析】令t ＝1x (t ≠0)，所以x ＝1t ，所以f(t)＝1t 2＋5t ，所以f(x)＝5x ＋1x 2. 3. 13 【解析】由题意知g ⎝⎛⎭⎫13＝ln 13＜0，所以 g ⎝⎛⎭⎫g ⎝⎛⎭⎫13＝eln 13＝13. 4. ③ 【解析】①中，g(x)＝x 2＝|x|≠x ；②中，g(x)＝(x －1)0＝1(x ≠1)；③中，f(x)＝1(x>0)，g(x)＝1(x>0)；④中，f(x)＝x 2－9x ＋3＝x －3(x ≠－3)．故③中表示同一函数．5. 2 【解析】因为f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥1，1x ，0<x<1，2x，x ≤0，所以f(－2)＝2－2＝14，f ⎝⎛⎭⎫14＝4，f(4)＝4＝2，所以f(f(f(－2)))＝2.6. 1 【解析】令3x －1＝－710，得x ＝10，所以f ⎝⎛⎭⎫－710＝lg 10＝1. 7. 【解答】(1) 设f(x)＝ax 2＋bx(a ≠0)，则a(x ＋1)2＋b(x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1，即ax 2＋(2a ＋b)x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得a ＝12，b ＝12.因此f(x)＝12x 2＋12x.(2) 由已知得⎩⎨⎧f （x ）＋2f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2x ＋1，f ⎝⎛⎭⎫1x ＋2f （x ）＝2x ＋1，消去f ⎝⎛⎭⎫1x ，得f(x)＝4＋x －2x 23x ＝43x －23x ＋13. (3) 设t ＝2x ＋1(t>1)，则x ＝2t －1，所以f(t)＝lg 2t －1(t>1)，故f(x)＝lg 2x －1(x>1)．8. 【解答】由题意知此框架的面积是由一个矩形和一个半圆组成的图形的面积，而矩形的长为2x ，宽为a ，半圆的直径为2x ，半径为x ，则有2x ＋2a ＋πx ＝l ，即a ＝l 2－π2x －x ，所以y ＝πx 22＋(l 2－π2x －x)·2x ＝－⎝⎛⎭⎫2＋π2x 2＋lx. 根据实际意义知l 2－π2x －x>0，因为x>0，解得0<x<l2＋π，即函数y ＝－⎝⎛⎭⎫2＋π2x 2＋lx 的定义域是{x|0<x<l2＋π}．B 巩固提升1. 2x －1 【解析】由g(x ＋2)＝f(x)，得g(x ＋2)＝2x ＋3.令t ＝x ＋2，则x ＝t －2，代入可得g(t)＝2t －1，从而g(x)＝2x －1.2. 6 【解析】当0<a<1时，a ＋1>1，所以f(a)＝a ，f(a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a.由f(a)＝f(a ＋1)，得a ＝2a ，所以a ＝14.此时f ⎝⎛⎭⎫1a ＝f(4)＝2×(4－1)＝6.当a ≥1时，a ＋1>1，所以f(a)＝2(a －1)，f(a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a.由f(a)＝f(a ＋1)，得2(a －1)＝2a ，无解．综上，f ⎝⎛⎭⎫1a ＝6.3. 9 【解析】因为f ⎝⎛⎭⎫19＝log 319＝－2，所以f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫19＝f(－2)＝⎝⎛⎭⎫13－2＝9. 4. f(x)＝1516x －916x ＋18(x ≠0) 【解析】用1x代替x ，得3f ⎝⎛⎭⎫1x ＋5f(x)＝3x ＋1，所以⎩⎨⎧3f （x ）＋5⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ＋1，①3f ⎝⎛⎭⎫1x ＋5f （x ）＝3x ＋1，②由①②得f(x)＝1516x －916x ＋18(x ≠0)．5. [－3，2] 【解析】由表格数据作出二次函数的草图，结合数据与图象即可发现不等式f(x)≤0的解集为[－3，2]．6. (－2，1) 【解析】作出函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x>0，0，x ＝0，2x －1，x<0的图象如图所示，所以f(x)是定义域为R 的奇函数也是增函数，所以不等式f (x 2－2)＋f (x )＜0，即f (x 2－2)＜f (－x )，x 2－2＜－x ，解得－2＜x ＜1，所以原不等式的解集为(－2，1)．(第6题)7. 【解答】(1) 因为0＜c ＜1，所以c 2＜c. 由f(c 2)＝98，得c 3＋1＝98，所以c ＝12.(2) 由(1)得f(x)＝⎩⎨⎧12x ＋1，0<x<12，2－4x＋1，12≤x<1.当0＜x ＜12时，12x ＋1>28＋1，解得24＜x ＜12；当12≤x ＜1时，2－4x ＋1>28＋1，解得12≤x ＜58. 所以不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪24<x<58.8. 【解答】(1) 由题意及函数图象，得⎩⎨⎧402200＋40m ＋n ＝8.4，602200＋60m ＋n ＝18.6，解得m ＝1100，n ＝0，所以y ＝x 2200＋x100(x ≥0)．(2) 令x 2200＋x100≤25.2，得－72≤x ≤70.因为x ≥0，所以0≤x ≤70.故行驶的最大速度是70 km /h .第5课函数的定义域与值域A 应知应会1. {x|x>3} 【解析】要使函数有意义，则有x －3>0，所以x>3，故函数的定义域为{x|x>3}．2. [2，＋∞) 【解析】要使函数f(x)有意义，则log 2x －1≥0，解得x ≥2，即函数f(x)的定义域为[2，＋∞)．3. {1，4} 【解析】当x ＝－1时，f(x)＝1；当x ＝2时，f(x)＝4，所以f(x)的值域是{1，4}．4. [0，2] 【解析】－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4≤4，所以0≤－x 2＋4x ≤2，所以0≤2－－x 2＋4x ≤2，所以0≤y ≤2.5. [4，＋∞) 【解析】当m ＝0时，不符合题意，所以⎩⎪⎨⎪⎧m>0，Δ＝m 2－4m ≥0，解得m ≥4.6. [－3，＋∞) 【解析】当x>1时，f(x)∈(0，1)；当x ≤1时，f(x)∈[－3，＋∞)，所以f(x)∈[－3，＋∞)．7. 【解答】(1) 因为集合A 表示函数f(x)＝1x ＋2＋lg (3－x)的定义域，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2>0，3－x>0，即A ＝(－2，3)，所以∁U A ＝(－∞，－2]∪[3，＋∞).(2) 因为A ∪B ＝B ，所以A ⊆B ，所以a ≥3. 故实数a 的取值范围是[3，＋∞)． 8. 【解答】令f(x)＝mx 2＋x ＋1.(1) 由题意知f(x)≥0在R 上恒成立．①当m ＝0时，f (x )＝x ＋1≥0在R 上不恒成立；②当m ≠0时，要满足题意，必有⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝1－4m ≤0，所以m ≥14.综上所述，实数m 的取值范围是⎣⎡⎭⎫14，＋∞. (2) 由题意知，f (x )＝mx 2＋x ＋1能取到一切大于或等于0的实数．①当m ＝0时，f (x )＝x ＋1可以取到一切大于或等于0的实数；②当m ≠0时，要满足题意，必有⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝1－4m ≥0，所以0<m ≤14.综上所述，实数m 的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，14. B 巩固提升1. [－4，0)∪(0，1) 【解析】函数的定义域必须满足条件 ⎩⎪⎨⎪⎧x ≠0，x 2－3x ＋2≥0，－x 2－3x ＋4≥0，x 2－3x ＋2＋－x 2－3x ＋4>0，解得x ∈[－4，0)∪(0，1)． 2. (0，1] 【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧2x ≥0，2x －1≥0，解得x ≥12，即函数的定义域为⎣⎡⎭⎫12，＋∞，函数y ＝2x －2x －1＝12x ＋2x －1，令t(x)＝2x ＋2x －1，则t(x)在⎣⎡⎭⎫12，＋∞上单调递增，当x ＝12时，t(x)min ＝1，即t(x)≥1，所以y ＝1t∈(0，1]，即函数的值域为(0，1]．3. [－5，－1] 【解析】因为1≤f(x)≤3，所以1≤f(x ＋3)≤3，所以－6≤－2f(x ＋3)≤－2，所以－5≤F(x)≤－1.4. [0，1] 【解析】由题意知kx 2－6kx ＋(k ＋8)≥0在R 上恒成立．当k ＝0时，显然成立；当k >0时，Δ＝(－6k )2－4k (k ＋8)≤0，得0<k ≤1.综上，实数k 的取值范围为[0，1]．5. [－1，2] 【解析】因为y ＝f(x 2－1)的定义域为[－3，3]，所以x ∈[－3，3]，x 2－1∈[－1，2]，所以y ＝f(x)的定义域为[－1，2]．6. 15 【解析】因为A ⊆[8，16]，所以8≤f(x)≤16对任意的x ∈[1，3]恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≤16x －x 2，a ≥8x －x 2对任意的x ∈[1，3]恒成立，当x ∈[1，3]时，16x －x 2∈[15，39]，8x －x 2∈[7，15]，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≤15，a ≥15，故a ＝15，即a 的值为15.7. 【解答】(1) 当x ∈⎣⎡⎦⎤12，2时，f(x)＝a －1x ，所以函数f(x)在⎣⎡⎦⎤12，2上是增函数．所以f(x)的值域为⎣⎡⎦⎤a －2，a －12，结合题设有⎩⎨⎧a －2＝12，a －12＝2，所以a ＝52.(2) 当x ∈[m ，n](m<n<0)时，f(x)＝a ＋1x ，所以函数f(x)在[m ，n]上是减函数，所以f(x)的值域为⎣⎡⎦⎤a ＋1n，a ＋1m ，假设存在实数a ，使得函数f(x)的定义域与值域均为[m ，n]，则⎩⎨⎧a ＋1n＝m ，a ＋1m ＝n.两式相减，得1m －1n ＝n －m ，即n －m mn＝n －m ，因为m<n<0，所以mn ＝1，所以a ＝0.综上所述，存在实数a ＝0满足题设，此时mn ＝1. 8. 【解答】(1) f(x)＝x ＋1x ＋3，x ∈[0，a](a>0)． (2) 由(1)知函数f(x)的定义域为⎣⎡⎦⎤0，14. 令x ＋1＝t ，则x ＝(t －1)2，t ∈⎣⎡⎦⎤1，32，则f(x)＝F(t)＝tt 2－2t ＋4＝1t ＋4t－2. 因为当t ＝4t 时，t ＝±2∉⎣⎡⎦⎤1，32. 又当t ∈⎣⎡⎦⎤1，32时，y ＝t ＋4t 单调递减，故F(t)单调递增，所以F(t)∈⎣⎡⎦⎤13，613.所以函数f(x)的值域为⎣⎡⎦⎤13，613.第6课函数的单调性A 应知应会1. ⎝⎛⎦⎤－∞，34 【解析】令u ＝2x 2－3x ＋1＝2⎝⎛⎭⎫x －342－18. 因为u ＝2⎝⎛⎭⎫x －342－18在⎝⎛⎦⎤－∞，34上单调递减，函数y ＝⎝⎛⎭⎫13u在R 上单调递减，所以y ＝⎝⎛⎭⎫132x 2－3x ＋1在⎝⎛⎦⎤－∞，34上单调递增． 2. (3，＋∞) 【解析】依题意得不等式f(x)＜f(2x －3)等价于x ＜2x －3，解得x ＞3，即x 的取值范围是(3，＋∞)．3. 5 【解析】依题意可得函数图象的对称轴方程为x ＝a －12×2＝1，所以a ＝5.4. ⎣⎡⎦⎤0，32 【解析】y ＝－(x －3)|x|＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋3x ，x>0，x 2－3x ，x ≤0.作出该函数的图象如图所示，观察图象可知函数的单调增区间为⎣⎡⎦⎤0，32.(第4题)5. ⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 【解析】设x 1>x 2>－2，则f(x 1)>f(x 2)，又f(x 1)－f(x 2)＝ax 1＋1x 1＋2－ax 2＋1x 2＋2＝2ax 1＋x 2－2ax 2－x 1（x 1＋2）（x 2＋2）＝（x 1－x 2）（2a －1）（x 1＋2）（x 2＋2）>0.由x 1－x 2>0，x 1＋2>0，x 2＋2>0，知2a －1>0，所以a>12.6. 3 【解析】因为y ＝⎝⎛⎭⎫13x和y ＝－log 2(x ＋2)都是[－1，1]上的减函数，所以f(x)＝⎝⎛⎭⎫13x－log 2(x ＋2)是在区间[－1，1]上的减函数，所以最大值为f(－1)＝3.7. 【解答】设x 1，x 2是任意两个正数，且0＜x 1＜x 2，则f(x 1)－f(x 2)＝⎝⎛⎭⎫x 1＋a x 1－⎝⎛⎭⎫x 2＋a x 2＝x 1－x 2x 1x 2(x 1x 2－a)．当0＜x 1＜x 2≤a 时，0＜x 1x 2＜a ，又x 1－x 2＜0，所以f(x 1)－f(x 2)＞0，即f(x 1)＞f(x 2)，所以函数f(x)在(0，a]上是减函数；当a ≤x 1＜x 2时，x 1x 2＞a ，又x 1－x 2＜0，所以f(x 1)－f(x 2)＜0，即f(x 1)＜f(x 2)，所以函数f(x)在[a ，＋∞)上是增函数．综上可知，函数f(x)＝x ＋ax (a ＞0)在(0，a]上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数．8. 【解答】(1) 任取x 1<x 2<－2，则f(x 1)－f(x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2（x 1－x 2）（x 1＋2）（x 2＋2）.因为(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0，所以f(x 1)<f(x 2)，所以f(x)在(－∞，－2)上单调递增． (2) 任取1<x 1<x 2，则f(x 1)－f(x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a （x 2－x 1）（x 1－a ）（x 2－a ）.因为a>0，x 2－x 1>0，所以要使f(x 1)－f(x 2)>0，只需(x 1－a)(x 2－a)>0在(1，＋∞)上恒成立，所以a ≤1. 综上所述，a 的取值范围是(0，1]． B 巩固提升 1. [3，＋∞) 【解析】设t ＝x 2－2x －3，由t ≥0，即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3，所以函数f(x)的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t ＝x 2－2x －3的图象的对称轴为x ＝1，所以函数t ＝x 2－2x －3在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)的单调增区间为[3，＋∞)．2. (－∞，0)∪(1，＋∞) 【解析】因为f(x)为R 上的减函数，且f ⎝⎛⎭⎫1x ＞f (1)，所以1x ＜1.当x ＜0时，显然成立；当x ＞0时，得x ＞1，所以实数x 的取值范围是(－∞，0)∪(1，＋∞)．3. －6 【解析】由函数f(x)的图象可知，函数f(x)在(－∞，－a 2]上单调递减，在[－a 2，＋∞)上单调递增，又函数f(x)的单调增区间是[3，＋∞)，所以－a2＝3，解得a ＝－6.4. [0，1) 【解析】由题意知g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x>1，0，x ＝1，－x 2，x<1，其图象如图所示，由图象知单调减区间是[0，1)．(第4题)5. [－2，0) 【解析】因为当x ≥1时，f(x)＝－x 2＋2ax －2a 是减函数，所以a ≤1.当x ＜1时，函数f(x)＝ax ＋1是减函数，所以a ＜0，分界点处的值应满足－12＋2a ×1－2a ≤1×a ＋1，解得a ≥－2，所以－2≤a ＜0.6. (－∞，0) 【解析】作出函数f(x)的图象如图所示，若f(x ＋1)<f(2x)，则必有⎩⎪⎨⎪⎧2x<0，2x<x ＋1，解得x<0，所以满足f(x ＋1)<f(2x)的x 的取值范围是(－∞，0)．(第6题)7. 【解答】(1) 由2f(1)＝f(－1)，得22－2a ＝2＋a ，解得a ＝23. (2) 任取x 1，x 2∈[0，＋∞)，且x 1＜x 2， f(x 1)－f(x 2)＝x 21＋1－ax 1－x 22＋1＋ax 2＝x 21＋1－x 22＋1－a(x 1－x 2)＝x 21－x 22x 21＋1＋x 22＋1－a(x 1－x 2)＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2x 21＋1＋x 22＋1－a . 因为0≤x 1＜x 21＋1，0＜x 2＜x 22＋1，所以0＜x 1＋x 2x 21＋1＋x 22＋1＜1.又因为a ≥1，所以f(x 1)－f(x 2)＞0，所以f(x)在[0，＋∞)上单调递减．8. 【解答】(1) 当a ＝1时，f(x)＝2x －1x，任取0<x 1<x 2≤1，则f(x 1)－f(x 2)＝2(x 1－x 2)－⎝⎛⎭⎫1x 1－1x 2＝(x 1－x 2)·⎝⎛⎭⎫2＋1x 1x 2.因为0<x 1<x 2≤1，所以x 1－x 2<0，x 1x 2＞0.所以f(x 1)<f(x 2)，所以f(x)在(0，1]上单调递增，无最小值，当x ＝1时取得最大值1，所以f(x)的值域为(－∞，1]．(2) 若a ≥0，y ＝f(x)在(0，1]上单调递增，无最小值，当x ＝1时取得最大值2－a.若a ＜0，f(x)＝2x ＋－ax，当－a2≥1，即a ∈(－∞，－2]时，y ＝f(x)在(0，1]上单调递减，无最大值，当x ＝1时取得最小值2－a ；当－a2＜1，即a ∈(－2，0)时，y ＝f(x)在⎝⎛⎭⎫0，－a 2上单调递减，在⎣⎡⎦⎤－a 2，1上单调递增，无最大值，当x ＝－a2时取得最小值2－2a.第7课函数的奇偶性A 应知应会1. 2 【解析】因为偶函数的定义域应当关于原点对称，故t －4＝－t ，解得t ＝2. 2. 12 【解析】因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，即12－x －1＋a ＝－12x －1－a ，化简得2a ＝1，解得a ＝12.3. 奇函数【解析】显然f(x)的定义域为(－1，1)，关于原点对称．又因为f(－x)＝ln (1－x)－ln (1＋x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．4. 27 【解析】由f(－7)＝－17，得g(－7)＝－22，根据g(x)为奇函数，得g(7)＝22，又f(7)＝g(7)＋5，所以f(7)＝22＋5＝27.5. －2 【解析】因为函数f(x)是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0.又因为当x <0时，f (x )＝log 2(2－x )，所以f (2)＝－f (－2)＝－log 2(2＋2)＝－2，故f (0)＋f (2)＝－2.6. (－∞，2] 【解析】由f(x)在R 上是奇函数且在(－∞，0]上单调递增，知f (x )在R 上单调递增．又f (－1)＝－2，则f (1)＝2，所以f (2x －3)≤2＝f (1)，所以2x －3≤1，即x ≤2.7. 【解答】因为f(x)是定义在R 上的奇函数，可得f (0)＝－f (0)，所以f (0)＝0.当x >0时，－x <0，由已知得f (－x )＝x lg(2＋x )，所以－f (x )＝x lg(2＋x )，即f (x )＝－x lg(2＋x )(x >0)．所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x lg （2－x ），x <0，－x lg （2＋x ），x ≥0.即f (x )＝－x lg(2＋|x |)(x ∈R )．8. 【解答】(1) 当a ＝0时，f(x)＝x 2，对任意x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，有f(－x)＝(－x)2＝x 2＝f(x)，所以f(x)为偶函数．当a ≠0时，f(x)＝x 2＋ax，f(－1)＝1－a ，f(1)＝1＋a ，所以f(－1)≠－f(1)，f(－1)≠f(1)，所以函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．综上所述，当a ＝0时，f(x)为偶函数；当a ≠0时，f(x)为非奇非偶函数．(2) 设2≤x 1<x 2，则f(x 1)－f(x 2)＝x 21＋a x 1－x 22－a x 2＝x 1－x 2x 1x 2[x 1x 2(x 1＋x 2)－a]，要使函数f(x)在x ∈[2，＋∞)上为增函数，则f(x 1)－f(x 2)<0恒成立．因为x 1－x 2<0，x 1x 2>4，所以a<x 1x 2(x 1＋x 2)恒成立．又因为x 1＋x 2>4，所以x 1x 2(x 1＋x 2)>16，所以实数a 的取值范围是(－∞，16]．B 巩固提升1. 1 【解析】由题知y ＝ln (x ＋a ＋x 2)是奇函数，所以ln (x ＋a ＋x 2)＋ln (－x ＋a ＋x 2)＝ln (a ＋x 2－x 2)＝ln a ＝0，解得a ＝1.2. －3 【解析】因为f(x)为定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即f (0)＝20＋m ＝0，解得m ＝－1，则f (－2)＝－f (2)＝－(22－1)＝－3.3. [1，3] 【解析】因为f(x)为奇函数，所以f(－1)＝1，不等式－1≤f(x －2)≤1，即f(1)≤f(x －2)≤f(－1)，因为f(x)在R 上单调递减，所以－1≤x －2≤1，解得1≤x ≤3，故x 的取值范围为[1，3]．4. [－1，3] 【解析】易知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且f(2)＝2，所以f(x －1)≤2＝f(2)，即|x －1|≤2，所以－1≤x ≤3.5. (－5，0)∪(5，＋∞) 【解析】由于f(x)为R 上的奇函数，所以当x ＝0时，f (0)＝0；当x <0时，－x >0，所以f (－x )＝x 2＋4x ＝－f (x )，即f (x )＝－x 2－4x ，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x >0，0，x ＝0，－x 2－4x ，x <0.由f (x )>x ，可得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x >x ，x >0或⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－4x >x ，x <0，解得x >5或－5<x <0，所以原不等式的解集为(－5，0)∪(5，＋∞)．6. ④ 【解析】依题意知性质(1)反映函数f(x)在定义域上为奇函数，性质(2)反映函数f(x)在定义域上为减函数．①f(x)＝1x 为定义域上的奇函数，但不是定义域上的减函数，其单调减区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，排除①；②f(x)＝x 2为定义域上的偶函数，排除②；③f(x)＝2x －12x＋1＝1－22x ＋1的定义域为R ，由于y ＝2x ＋1在R 上为增函数，故函数f (x )为R 上的增函数，排除③；④根据f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2，x ≥0，x 2，x <0的图象，显然此函数为奇函数，且在定义域上为减函数，故④为“理想函数”．7. 【解答】(1) 显然f(x)的定义域是R ，关于原点对称．在f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )中，令y ＝－x ，得f (0)＝f (x )＋f (－x )．令x ＝y ＝0，得f (0)＝f (0)＋f (0)，所以f (0)＝0，所以f (x )＋f (－x )＝0，即f (－x )＝－f (x )，所以f (x )是奇函数．(2) 由f (－3)＝a ，f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，及f (x )是奇函数，得f (12)＝2f (6)＝4f (3)＝－4f (－3)＝－4a .8. 【解答】(1) 由题意得－3x ＋13x ＋1＋1＝3x，化简得3·(3x )2＋2·3x －1＝0，解得3x ＝－1(舍去)或3x ＝13，从而x ＝－1.(2) 因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＋f(x)＝0，所以－3－x ＋a 3－x ＋1＋b ＋－3x ＋a 3x ＋1＋b＝0，化简并变形得(3a －b)(3x ＋3－x )＋2ab －6＝0.要使上式对任意的x 恒成立，则3a －b ＝0且2ab －6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－3，因为f(x)的定义域是R ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－3不合题意，所以a ＝1，b ＝3，所以f (x )＝－3x ＋13x ＋1＋3＝13⎝⎛⎭⎫－1＋23x ＋1，对任意x 1，x 2∈R ，x 1<x 2，有f (x 1)－f (x 2)＝13⎝⎛⎭⎫23x 1＋1－23x 2＋1＝23·3x 2－3x 1（3x 1＋1）（3x 2＋1）. 因为x 1<x 2，所以3x 2－3x 1>0，所以f (x 1)>f (x 2)，因此f (x )在R 上单调递减．因为f (t 2－2t )<f (2t 2－k )，所以t 2－2t >2t 2－k ，即t 2＋2t －k <0在R 上有解，所以Δ＝4＋4k >0，解得k >－1. 所以k 的取值范围为(－1，＋∞)．第8课函数的图象和周期性A 应知应会 1. 2.5 【解析】由f(x ＋2)＝－f(x)，得f(x ＋4)＝f((x ＋2)＋2)＝－f(x ＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，所以函数f(x)的周期为4，所以f(105.5)＝f(4×27－2.5)＝f(－2.5)＝f(2.5)＝2.5.2. y ＝(x －1)2＋3 【解析】把函数y ＝f(x)的图象向左平移1个单位长度，即把其中x 换成x ＋1，于是得y ＝[(x ＋1)－2]2＋2＝(x －1)2＋2的图象，再向上平移1个单位长度，即得到y ＝(x －1)2＋2＋1＝(x －1)2＋3的图象．3. 116 【解析】f(2)＝f(3)＝f(4)＝⎝⎛⎭⎫124＝116.4. (－∞，0]∪(1，2] 【解析】y ＝f(x ＋1)的图象向右平移1个单位长度得到y ＝f(x)的图象，由已知可得f(x)的图象的对称轴方程为x ＝1，过定点(2，0)，且函数在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，则f(x)的大致图象如图所示．不等式(x －1)f(x)≤0可化为⎩⎪⎨⎪⎧x>1，f （x ）≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x<1，f （x ）≥0.由图可知符合条件的解集为(－∞，0]∪(1，2]．(第4题)5. 1 【解析】f(x ＋2)＝f(x)⇒T ＝2，由f ⎝⎛⎭⎫－52－f ⎝⎛⎭⎫92＝0，得f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫12，4－12＋a ＝14－log 212⇒a ＝34，因此f(4a)＝f(3)＝f(－1)＝4－1＋34＝1.6. 【解答】(1) y ＝2x －1x －1＝2（x －1）＋1x －1＝2＋1x －1. 先作出函数y ＝1x 的图象，再把函数y ＝1x 的图象向右平移1个单位长度后得到函数y ＝1x －1的图象，最后把函数y ＝1x －1的图象向上平移2个单位长度后得到函数y ＝2＋1x －1的图象，如图(1)所示．(2) y ＝(x ＋1)|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ＋2，x<2，x 2－x －2，x ≥2.函数的图象如图(2)所示．(3) 首先作出函数y ＝2x 的图象，在y 轴右边的保持不变，去掉y 轴左边的图象，再把y轴右边的图象对称地翻折到y 轴左边，即得函数y ＝2|x|的图象，最后把函数y ＝2|x|的图象向左平移1个单位长度后得到函数y ＝2|x ＋1|的图象，如图(3)所示．图(2)图(3)(第6题)7. 【解答】(1) 由函数f(x)的图象关于直线x ＝1对称，知f(x ＋1)＝f(1－x)，即有f(－x)＝f(x ＋2)．又函数f(x)是定义在R 上的奇函数，则f (－x )＝－f (x )，故f (x ＋2)＝－f (x )，从而f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，即函数f (x )是以4为周期的周期函数．(2) 由函数f (x )是定义在R 上的奇函数，得f (0)＝0.当x ∈[－1，0)时，－x ∈(0，1]，f (x )＝－f (－x )＝－－x . 故当x ∈[－1，0]时，f (x )＝－－x . 当x ∈[－5，－4]时，x ＋4∈[－1，0]，f (x )＝f (x ＋4)＝－－x －4.从而当x ∈[－5，－4]时，函数f (x )＝－－x －4. B 巩固提升1. 4 【解析】由f(x)·f(x ＋2)＝13，得f(x ＋2)＝13f （x ），所以f(x ＋4)＝f((x ＋2)＋2)＝13f （x ＋2）＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数．2. 1 【解析】由题意可知f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫2－12＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－4×⎝⎛⎭⎫－122＋2＝1. 3. (－1，1] 【解析】如图，作出函数y ＝log 2(x ＋1)的图象，当x ＝1时，两图象相交，由图象知不等式的解集为{x|－1＜x ≤1}．(第3题)4. g(x)＝3x －2 【解析】设g(x)上的任意一点A(x ，y)，则该点关于直线x ＝1的对称点为B(2－x ，y)，而该点在f(x)的图象上．所以y ＝⎝⎛⎭⎫132－x＝3x －2，即g(x)＝3x －2.5. [0，2) 【解析】方法一：由于平移不改变值域，故只需要研究原函数的值域．画出函数f(x)＝|2x －2|的图象如图所示，由图易得值域为[0，2)．方法二：因为x ∈(－1，2)，所以2x ∈⎝⎛⎭⎫12，4，2x －2∈⎝⎛⎭⎫－32，2，所以|2x －2|∈[0，2)．因为y ＝f(x －1)是由f(x)向右平移1个单位长度得到的，所以值域不变，所以y ＝f(x －1)的值域为[0，2)．(第5题)6. 1 516 【解析】因为函数y ＝f(x)是最小正周期为4的偶函数，且在x ∈[－2，0]时，f(x)＝2x ＋1，所以函数的值域为[－3，1]，对任意x i ，x j (i ，j ＝1，2，3，…，n)，都有|f(x i )－f(x j )|≤f(x)max －f(x)min ＝4，要使n ＋x n 取得最小值，尽可能多让x i (i ＝1，2，3，…，n)取得最值，且f(0)＝1，f(2)＝－3，因为0≤x 1＜x 2＜…＜x n ，|f(x 1)－f(x 2)|＋|f(x 2)－f(x 3)|＋…＋|f(x n－1)－f(x n )|＝2 020，所以n 的最小值为2 0204＋1＝506，相应的x n 最小值为1 010，则n ＋x n 的最小值为1 516.7. 【解答】(1) 因为f(x ＋2)＝－f(x)，所以f(x ＋4)＝－f(x ＋2)＝f(x)．所以f(x)的最小正周期为4.(2) f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－1. 又因为f(x)是周期为4的周期函数，所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2 012)＋f(2 013)＋f(2 014)＋f(2 015)＝0，所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 018)＝f(2 016)＋f(2 017)＋f(2 018)＝f(0)＋f(1)＋f(2)＝1.8. 【解答】 (1) 因为f(4)＝0，所以4|m －4|＝0，即m ＝4.(2) 因为f(x)＝x|4－x|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x ≥4，－x 2＋4x ，x<4.即f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧（x －2）2－4，x ≥4，－（x －2）2＋4，x<4，所以函数f(x)的图象如图所示．由图象知函数f(x)有两个零点．(3) 从图象上观察可知，f(x)的单调减区间为[2，4]．(4) 从图象上观察可知，不等式f(x)>0的解集为{x|0<x<4或x>4}．(5) 由图象可知若y ＝f(x)与y ＝m 的图象有三个不同的交点，则0<m<4，所以集合M ＝{m|0<m<4}．(第8题)第9课二次函数、幂函数A 应知应会1. 13 【解析】设幂函数为f(x)＝x α，由图象经过点⎝⎛⎭⎫－2，－18，得－18＝(－2)α，所以α＝－3，所以f(x)＝x－3，令x －3＝27，得x ＝13.2. [－6，12] 【解析】y ＝2(x －2)2－6，当x ＝2时，y 取得最小值，为－6；当x ＝－1时，y 取得最大值，为12.3. 2 【解析】由题意知m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1.当m ＝2时，m 2－2m －3＝－3，f(x)＝x －3，符合题意；当m ＝－1时，m 2－2m －3＝0，f(x)＝x 0，不合题意．综上，m ＝2.4. {x|－4≤x ≤4} 【解析】由f ⎝⎛⎭⎫12＝22⇒α＝12，故f(|x|)≤2⇒|x|12≤2⇒|x|≤4，故其解集为{x|－4≤x ≤4}．5. [7，＋∞) 【解析】易知函数f(x)的图象开口向上，对称轴方程为x ＝a －12，因为函数f(x)在区间⎝⎛⎭⎫12，1上为增函数，所以a －12≤12，解得a ≤2，所以f(2)＝4－(a －1)×2＋5≥7，即f(2)≥7.6. 7 【解析】因为f(0)＝4，所以a ＋2b ＝4，即a ＝4－2b ，所以f(1)＝ab ＋a ＋2b ＋1＝ab ＋5＝(4－2b)b ＋5＝－2b 2＋4b ＋5＝－2(b －1)2＋7，所以当b ＝1时，f(1)的最大值为7.7. 【解答】作出函数y ＝x 2－2x ＋3的图象如图所示．由图象可知，要使函数在[0，m]上取得最小值2，则1∈[0，m]，从而m ≥1，当x ＝0时，y ＝3；当x ＝2时，y ＝3，所以要使函数的最大值为3，则m ≤2，故实数m 的取值范围为[1，2]．(第7题)8. 【解答】(1) 由题意知f(－1)＝a －b ＋1＝0，且－b2a ＝－1，所以a ＝1，b ＝2，所以f(x)＝x 2＋2x ＋1，其单调减区间为(－∞，－1]，单调增区间为[－1，＋∞)．(2) f(x)＞x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，即x 2＋x ＋1＞k 在[－3，－1]上恒成立．设g(x)＝x 2＋x ＋1，x ∈[－3，－1]，有k ＜g(x)min . 因为g(x)在[－3，－1]上单调递减，所以g(x)min ＝g(－1)＝1.所以k ＜1，即k 的取值范围为(－∞，1)． B 巩固提升1. ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪a<－1或23<a<32 【解析】因为函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以m 2－2m －3<0，解得－1<m<3.因为m ∈N *，所以m ＝1，2.又函数f (x )的图象关于y 轴对称，所以m 2－2m －3是偶数，而22－2×2－3＝－3为奇数，12－2×1－3＝－4为偶数，所以m ＝1.因为f (x )＝x －13在(－∞，0)，(0，＋∞)上均为减函数，所以(a ＋1)－13<(3－2a )－13等价于a ＋1>3－2a >0或0>a ＋1>3－2a 或a ＋1<0<3－2a ，解得a <－1或23<a <32.故a 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪a <－1或23<a <32. 2. (－4，0] 【解析】当m ＝0时，显然成立；当m ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，Δ＝（－m ）2＋4m ＜0，解得－4＜m ＜0.综上可知，实数m 的取值范围是(－4，0]．3. 9 【解析】由于f(x 1)＝f(x 2)，所以二次函数f(x)的对称轴为x ＝x 1＋x 22＝－b2a ，所以f(x 1＋x 2)＝f ⎝⎛⎭⎫－ba ＝9. 4. f(x)＝－3x 2＋12x 【解析】方法一：设f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)，由f(x)＞0的解集是(0，4)，可知f(0)＝f(4)＝0，且二次函数的图象开口向下，对称轴方程为x ＝2，再由f(x)在区间[－1，5]上的最大值是12，可知f(2)＝12，即⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＝0，f （4）＝0，f （2）＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝12，c ＝0.所以f(x)＝－3x 2＋12x.方法二：由f(x)＞0的解集是(0，4)，可设f(x)＝ax(x －4)(a<0)，f(x)在区间[－1，5]上的最大值为f(2)＝12，即－4a ＝12，所以a ＝－3，所以f(x)＝－3x 2＋12x.5. [1，1＋2] 【解析】f(x)＝x|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x>2，－x 2＋2x ，x ≤2，作出f(x)的图象如图所示，当x>2时，令f(x)＝1，得x ＝1＋ 2.因为x ∈[0，a]时，值域为[0，1]，所以1≤a ≤1＋ 2.(第5题)6. (－1，3) 【解析】根据题意，f(x)是定义在R 上的奇函数，则有f (0)＝0，当x <0时，f (x )＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2为减函数，则当x >0时，f (x )也为减函数，综上可得f (x )在R 上为减函数．若f (x 2－3)>f (2x )，则有x 2－3<2x ，解得－1<x <3，即不等式f (x 2－3)>f (2x )的解集为(－1，3)．7. 【解答】若a ＝0，则f(x)＝－2x 在[0，1]上单调递减，所以f(x)min ＝f(1)＝－2. 若a ≠0，f(x)＝a ⎝⎛⎭⎫x －1a 2－1a. 当a ＞0时，函数f(x)的图象的开口方向向上，且对称轴为x ＝1a .当1a ≤1，即a ≥1时，函数f(x)的图象的对称轴在[0，1]内，所以f(x)在⎣⎡⎦⎤0，1a 上单调递减，在⎣⎡⎦⎤1a ，1上单调递增，所以f(x)min ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝－1a. 当1a ＞1，即0＜a ＜1时，函数f(x)的图象的对称轴在[0，1]的右侧，所以f(x)在[0，1]上单调递减，所以f(x)min ＝f(1)＝a －2.当a ＜0时，函数f(x)的图象的开口方向向下，且对称轴x ＝1a ＜0，在y 轴的左侧，所以f(x)在[0，1]上单调递减，所以f(x)min ＝f(1)＝a －2.综上所述，f(x)min ＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2，a ＜1，－1a，a ≥1.8. 【解答】(1) 由题意得x 1＋x 2＝－1a ，x 1x 2＝1a ，所以(1＋x 1)·(1＋x 2)＝1＋(x 1＋x 2)＋x 1x 2＝1－1a ＋1a＝1.(2) 令f(x)＝ax 2＋x ＋1(a ＞0)，由Δ＝1－4a ≥0，得0<2a ≤12，所以函数f(x)图象的对称轴方程为x ＝－12a≤－2<－1.又f(－1)＝a>0，所以f(x)的图象与x 轴的交点都在点(－1，0)的左侧，故x 1<－1且x 2<－1.(3) 由(1)知x 1＝11＋x 2－1＝－x 21＋x 2，所以x 1x 2＝－11＋x 2∈⎣⎡⎦⎤110，10，所以－1x 2∈⎣⎡⎦⎤111，1011，所以a ＝1x 1x 2＝－1＋x 2x 2·1x 2＝－1＋x 2x 22＝－⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－1x 2－122＋14，故当－1x 2＝12时，a 取得最大值14. 第10课指数与指数函数A 应知应会1. (－∞，1) 【解析】原不等式等价于23－2x <24－3x ，所以3－2x<4－3x ，解得x<1. 2. c>a>b 【解析】因为函数y ＝0.6x 是减函数，且0<0.6<1.5，所以1＝0.60>0.60.6>0.61.5，即b<a<1.因为函数y ＝1.5x 在(0，＋∞)上是增函数，0.6>0，所以1.50.6>1.50＝1，即c>1.综上，c>a>b.3. ⎣⎡⎭⎫12，＋∞ 【解析】因为g(x)＝2x －x 2＝－(x －1)2＋1≤1，所以函数y ＝⎝⎛⎭⎫122x －x 2的值域为⎣⎡⎭⎫12，＋∞. 4. (－2，0) 【解析】方法一：因为函数y ＝a x (a>0，a ≠1)的图象恒过点(0，1)，将该图象向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得到y ＝a x ＋2－1(a>0，a ≠1)的图象，所以y ＝a x ＋2－1(a>0，a ≠1)的图象恒过点(－2，0)．方法二：令x ＋2＝0，得x ＝－2，f(－2)＝a 0－1＝0，所以y ＝a x ＋2－1(a>0，a ≠1)的图象恒过点(－2，0)．5. 15 【解析】由102x ＝25⇒(10x )2＝25⇒10x ＝5⇒10－x ＝15. 6. (－1，2) 【解析】原不等式变形为m 2－m ＜⎝⎛⎭⎫12x，因为函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x在(－∞，－1]上是减函数，所以⎝⎛⎭⎫12x ≥⎝⎛⎭⎫12－1＝2，当x ∈(－∞，－1]时，m 2－m ＜⎝⎛⎭⎫12x恒成立等价于m 2－m ＜2，解得－1＜m ＜2.7. 【解答】(1) 原式＝(0.1)4×⎝⎛⎭⎫－14＋33×23－⎝⎛⎭⎫132×⎝⎛⎭⎫－32－1＝(0.1)－1＋32－27－1＝－9.(2) 原式＝（a 3b 2a 13b 23）12ab 2a －13b 13＝a 32＋16－1＋13·b1＋13－2－13＝ab －1. 8. 【解答】(1) 因为f(x)＝b·a x 的图象过点A(1，6)，B(3，24)，所以⎩⎪⎨⎪⎧b·a ＝6，①b·a 3＝24，②②÷①得a 2＝4.又a>0且a ≠1，所以a ＝2，b ＝3，所以f(x)＝3·2x .(2) 由(1) 知⎝⎛⎭⎫1a x ＋⎝⎛⎭⎫1b x －m ≥0在(－∞，1]上恒成立可转化为m ≤⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫13x在(－∞，1]上恒成立．令g(x)＝⎝⎛⎭⎫12x＋⎝⎛⎭⎫13x，则g(x)在(－∞，1]上单调递减，所以m ≤g(x)min ＝g(1)＝12＋13＝56，故实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，56. B 巩固提升1. 100 【解析】原式＝⎝⎛⎭⎫25912＋10.12＋⎝⎛⎭⎫6427－23－3＋3748＝53＋100＋916－3＋3748＝100.2. a ≤b 【解析】由题意得f(a)≥2a .因为f(a)≤2b ，则2a ≤f(a)≤2b ，所以2a ≤2b .又y ＝2x是R 上的增函数，所以a ≤b .3. ⎝⎛⎭⎫－1，－12 【解析】y ＝a ⎝⎛⎭⎫2x －12－2x ，令2x －12＝0，则y ＋2x ＝0，得x ＝－1，y ＝－12，所以这个定点的坐标为⎝⎛⎭⎫－1，－12. 4. (log 23，＋∞) 【解析】由题意知，当2a >a 2－a 2＋3，即a>log 23时，存在x 1，x 2∈R ，使得f (x 1)＝f (x 2)．(第5题)5. 2 【解析】设2 017a ＝2 018b ＝t ，如图所示，由函数图象可得若t>1，则有a>b>0；若t ＝1，则有a ＝b ＝0；若0<t<1，则有a<b<0.故①②⑤可能成立，而③④不可能成立．6. e 【解析】由于f(x)＝max {e |x|，e |x －2|}＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≥1，e 2－x ，x<1.当x ≥1时，f(x)≥e ，且当x ＝1时，取得最小值e ；当x<1时，f(x)>e ，故f(x)的最小值为f(1)＝e .7. 【解答】(1) 因为f(x)是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即－1＋b2＋a ＝0，解得b ＝1，所以f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋a.又由f (1)＝－f (－1)，知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a ，解得a ＝2.经检验，当a ＝2，b ＝1时，f (x )为奇函数． (2) 由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1，易知f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数．又因为f (x )是奇函数，所以不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－1)<0等价于f (t 2－2t )<－f (2t 2－1)＝f (－2t 2＋1)，从而t 2－2t >－2t 2＋1，即3t 2－2t －1>0，解得t >1或t <－13.故不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，－13∪(1，＋∞)． 8. 【解答】(1) 函数f(x)＝3x ＋λ·3－x的定义域为R .因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＋f (x )＝0对任意的x ∈R 恒成立，即3－x ＋λ·3x ＋3x ＋λ·3－x ＝(λ＋1)(3x ＋3－x )＝0对任意的x ∈R 恒成立，所以λ＝－1.由f (x )＝3x －3－x >1，得(3x )2－3x －1>0，解得3x >1＋52或3x <1－52(舍去)，所以不等式f (x )>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x >log 31＋52. (2) 由f (x )≤6，得3x ＋λ·3－x ≤6，即3x ＋λ3x ≤6.令t ＝3x ∈[1，9]，则问题等价于t ＋λt ≤6对t ∈[1，9]恒成立，即λ≤－t 2＋6t 对t ∈[1，9]恒成立．令g (t )＝－t 2＋6t ，t ∈[1，9]，因为g (t )在[1，3]上单调递增，在[3，9]上单调递减，所以当t ＝9时，g (t )有最小值g (9)＝－27，所以λ≤－27，即实数λ的取值范围为(－∞，－27]．第11课对数的运算A 应知应会1. 12 【解析】log 22＝log 2212＝12log 22＝12. 2. 2 【解析】2log 510＋log 50.25＝log 5100＋log 50.25＝log 525＝2. 3. lg 3 【解析】令3＝10x ，则x ＝lg 3.4. a －2 【解析】log 38－2log 36＝log 323－2(log 32＋log 33)＝3log 32－2(log 32＋1)＝log 32－2＝a －2.5. 2 【解析】原方程等价于⎩⎪⎨⎪⎧x>0，x ＋3>0，x （x ＋3）＝10，解得x ＝2.6. b －a ＋1a 【解析】log 215＝lg 15lg 2＝lg ⎝⎛⎭⎫32×10lg 2＝lg 3－lg 2＋1lg 2＝b －a ＋1a.7. 【解答】(1) 原式＝log 535＋log 550－log 514＋2log 12212。

文科数学第一轮复习1.1集合(世纪金榜)

集合C是满足方程y=x2的实数x,y的集合，也可以看作是
函数y=x2图象上的点组成的集合，因此这三个集合互不
相等．
(2)正确．空集的子集个数为1个，即；含有1个元素的集合 {a1}的子集个数为2个，即 ,{a1}；含有2个元素的集合 {a1,a2}的子集个数为4个，即 ,{a1},{a2},{a1,a2}„„归纳可得含有n个元素的集合的子集个数为2n个，故其真子集个数是2n-1，非空真子集的个数是2n-2．
(2)若集合A={1,a,b},B={a,a2,ab},且A∪B=A∩B,则实数a的取值集合是 .
【思路点拨】(1)求出A,B中的元素,由A⊆C⊆B,知集合C的个数
由B中有A中没有的元素个数决定. (2)A∪B=A∩B⇔A=B，得出关于a,b的方程组，解出a,b，再根据集合元素的性质加以检验得出结论．
元素的乘积，根据集合元素的性质，得A*B={0，2，4}，故集
合A*B中所有元素之和为6.
考向 2
集合间的基本关系
【典例2】(1)(2014·三明模拟)已知集合A={x|x2-3x+2=0,
x∈R},B={x|0<x<5,x∈N},则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个
数为
(A)1
(
(B)2
)
(C)3 (D)4
(3)错误．A∩B= 时，只要集合A,B没有公共元素即可，不一
定是A=B= ．
(4)正确．当A⊆B时，显然A∩B=A；
当A∩B=A时，对任意x∈A，得x∈A∩B，
得x∈B，即x∈A⇒x∈B，故A⊆B． (5)正确．当B⊆A时，显然A∪B=A；当A∪B=A时，对任意x∈B，则x∈A∪B，得x∈A，即x∈B⇒x∈A，即B⊆A．

2020年高考文科数学一轮总复习：集合及其运算

2020年高考文科数学一轮总复习：集合及其运算第1讲集合及其运算1．集合与元素(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集的记法＋数集，不包含0.2．集合间的基本关系A B (或BA )A ∪B ＝{x |x ∈A 或A ∩B ＝{x |x ∈A 且x ∈常用知识拓展1．子集的传递性：A ⊆B ，B ⊆C ⇒A ⊆C .2．并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A.3．交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.4．补集的性质：A∪(∁U A)＝U；A∩(∁U A)＝∅；∁U(∁U A)＝A.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}，则A，B，C表示同一个集合．()(2)若a在集合A中，则可用符号表示为a⊆A.()(3)若A B，则A⊆B且A≠B.()(4)N*N Z.()(5)若A∩B＝A∩C，则B＝C.()答案：(1)×(2)×(3)√(4)√(5)×(教材习题改编)已知集合A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是矩形}，C＝{x|x是正方形}，D＝{x|x是菱形}，则()A．A⊆B B．C⊆BC．D⊆C D．A⊆D答案：B(2018·高考天津卷)设全集为R，集合A＝{x|0<x<2}，B＝{x|x≥1}，则A∩(∁R B)＝()A．{x|0<x≤1}B．{x|0<x<1}C．{x|1≤x<2} D．{x|0<x<2}解析：选B.因为B＝{x|x≥1}，所以∁R B＝{x|x<1}，因为A＝{x|0<x<2}，所以A∩(∁R B)＝{x|0<x<1}，故选B.(教材习题改编)若全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则∁U(A∩B)＝________．解析：A∩B＝{2，3}，所以∁U(A∩B)＝{1，4，5}．答案：{1，4，5}设集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝________．解析：因为A∩B＝{1}，所以1∈B，所以1是方程x2－4x＋m＝0的根，所以1－4＋m ＝0，m＝3，方程为x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3，所以B＝{1，3}．答案：{1，3}集合的概念(师生共研)(1)(2018·高考全国卷Ⅱ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为( )A ．9B ．8C ．5D ．4(2)已知集合A ＝{m ＋2，2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________．【解析】 (1)根据集合A 的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图形，如图，易知在圆x 2＋y 2＝3中有9个整点，即为集合A 的元素个数，故选A.(2)因为3∈A ，所以m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3. 当m ＋2＝3，即m ＝1时，2m 2＋m ＝3，此时集合A 中有重复元素3，所以m ＝1不符合题意，舍去；当2m 2＋m ＝3时，解得m ＝－32或m ＝1(舍去)，当m ＝－32时，m ＋2＝12≠3，符合题意．所以m ＝－32.【答案】 (1)A (2)－32与集合中元素有关问题的求解策略1．已知集合A ＝{x |x ∈Z ，且32－x∈Z }，则集合A 中的元素个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：选C.因为32－x∈Z ，所以2－x 的取值有－3，－1，1，3，又因为x ∈Z ，所以x 的值分别为5，3，1，－1，故集合A 中的元素个数为4. 2．设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，则b －a ＝( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2解析：选C.因为{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，a ≠0，所以a ＋b ＝0，则ba ＝－1，所以a＝－1，b ＝1.所以b －a ＝2.3．设集合A ＝{0，1，2，3}，B ＝{x |－x ∈A ，1－x ∉A }，则集合B 中元素的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选A.若x ∈B ，则－x ∈A ，故x 只可能是0，－1，－2，－3，当0∈B 时，1－0＝1∈A ；当－1∈B 时，1－(－1)＝2∈A ；当－2∈B 时，1－(－2)＝3∈A ；当－3∈B 时，1－(－3)＝4∉A ，所以B ＝{－3}，故集合B 中元素的个数为1.集合间的基本关系(师生共研)(1)设A ，B 是全集I ＝{1，2，3，4}的子集，A ＝{1，3}，则满足A ⊆B 的B 的个数是( )A ．5B ．4C ．3D ．2(2)已知集合A ＝{x |－1＜x ＜3}，B ＝{x |－m <x <m }，若B ⊆A ，则m 的取值范围为________．【解析】 (1)由题意知B 可以为{1，3}，{1，2，3}，{1，3，4}，{1，2，3，4}，故满足A ⊆B 的B 的个数是4.(2)当m ≤0时，B ＝∅，显然B ⊆A . 当m >0时，因为A ＝{x |－1<x <3}．当B ⊆A 时，在数轴上标出两集合，如图，所以⎩⎪⎨⎪⎧－m ≥－1，m ≤3，－m <m .所以0<m ≤1.综上所述，m 的取值范围为(－∞，1]．【答案】 (1)B (2)(－∞，1][提醒] 题目中若有条件B ⊆A ，则应分B ＝∅和B ≠∅两种情况进行讨论．1．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈N *}，则集合A 的真子集的个数为( ) A ．7 B ．8 C ．15D ．16解析：选A.法一：A ＝{x |－1≤x ≤3，x ∈N *}＝{1，2，3}，其真子集有：∅，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}共7个．法二：因为集合A 中有3个元素，所以其真子集的个数为23－1＝7(个)． 2．设集合A ＝{y |y ＝ x 2－1}，B ＝{x |y ＝x 2－1}，则下列结论中正确的是( )A ．A ＝B B ．A ⊆BC ．B ⊆AD ．A ∩B ＝{x |x ≥1}解析：选D.由题意，可知y ＝x 2－1的值域为[0，＋∞)，所以集合A ＝[0，＋∞)，y ＝x 2－1的定义域需要满足x 2－1≥0，解得x ≥1或x ≤－1，所以集合B ＝(－∞，－1]∪[1，＋∞)，故A ∩B ＝{x |x ≥1}．故选D.3．(2019·郑州第一次质量测试)设集合A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x <a }，若A ∩B ＝A ，则a 的取值范围是( )A ．{a |a ≤2}B ．{a |a ≤1}C ．{a |a ≥1}D ．{a |a ≥2}解析：选D.由A ∩B ＝A ，可得A ⊆B ，又A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x <a }，所以a ≥2.故选D.集合的基本运算(多维探究)角度一集合间的交、并、补运算(1)(2018·高考天津卷)设集合A ＝{1，2，3，4}，B ＝{－1，0，2，3}，C ＝{x ∈R |－1≤x <2}，则(A ∪B )∩C ＝( )A ．{－1，1}B ．{0，1}C ．{－1，0，1}D ．{2，3，4}(2)(2019·益阳、湘潭调研)设全集U ＝R ，集合A ＝{x |log 2x ≤2}，B ＝{x |(x －2)(x ＋1)≥0}，则A ∩∁U B ＝( )A ．(0，2)B ．[2，4]C ．(－∞，－1)D ．(－∞，4]【解析】 (1)由题意得A ∪B ＝{－1，0，1，2，3，4}，又C ＝{x ∈R |－1≤x <2}，所以(A ∪B )∩C ＝{－1，0，1}．故选C.(2)集合A ＝{x |log 2x ≤2}＝{x |0<x ≤4}，B ＝{x |(x －2)(x ＋1)≥0}＝{x |x ≤－1或x ≥2}，则∁U B ＝{x |－1<x <2}，所以A ∩∁U B ＝{x |0<x <2}＝(0，2)．故选A.【答案】 (1)C (2)A角度二已知集合的运算结果求参数的值(范围)(2019·合肥第二次教学质量检测)已知集合A ＝[1，＋∞)，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R |12a ≤x ≤2a －1，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞) B.⎣⎡⎦⎤12，1 C.⎣⎡⎭⎫23，＋∞ D ．(1，＋∞)【解析】因为A ∩B ≠∅，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a －1≥12a －1≥12a ，解得a ≥1，故选A.【答案】 A(1)集合基本运算的求解策略①当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn 图运算；②当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解．对于端点处的取舍，可以单独检验； ③根据集合运算结果求参数，先把符号语言译成文字语言，然后适时应用数形结合求解． (2)集合的交、并、补运算口诀交集元素仔细找，属于A 且属于B ；并集元素勿遗漏，切记重复仅取一；全集U 是大范围，去掉U 中A 元素，剩余元素成补集．1．(2019·惠州一调)已知集合U ＝{－1，0，1}，A ＝{x |x ＝m 2，m ∈U }，则∁U A ＝( ) A ．{0，1} B ．{－1，0，1} C ．∅D ．{－1}解析：选D.因为A ＝{x |x ＝m 2，m ∈U }＝{0，1}，所以∁U A ＝{－1}，故选D.2．(2019·洛阳第一次统一考试)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－3x －4>0}，B ＝{x |－2≤x ≤2}，则如图所示阴影部分所表示的集合为( )A ．{x |－2≤x <4}B ．{x |x ≤2或x ≥4}C ．{x |－2≤x ≤－1}D ．{x |－1≤x ≤2}解析：选D.依题意得A ＝{x |x <－1或x >4}，因此∁R A ＝{x |－1≤x ≤4}，题中的阴影部分所表示的集合为(∁R A )∩B ＝{x |－1≤x ≤2}，选D.数学抽象——集合的新定义问题以集合为背景的新定义问题常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，这类试题只是以集合为依托，考查考生对新概念的理解，充分体现了核心素养中的数学抽象．定义集合的商集运算为A B ＝{x |x ＝mn，m ∈A ，n ∈B }．已知集合A ＝{2，4，6}，B＝{x |x ＝k 2－1，k ∈A }，则集合BA∪B 中的元素个数为( )A ．6B ．7C ．8D ．9【解析】由题意知，B ＝{0，1，2}，B A ＝{0，12，14，16，1，13}，则B A ∪B ＝{0，12，14，16，1，13，2}，共有7个元素，故选B. 【答案】 B解决集合创新型问题的方法(1)要分析新定义的特点和本质，认清新定义对集合元素的要求，结合题目要求进行转化，并将其运用到具体的解题过程中．(2)要充分应用集合的有关性质及一些特殊方法(如特值法、排除法、数形结合法等)，将新定义问题转化到已学的知识中进行求解．1．如果集合A 满足若x ∈A ，则－x ∈A ，那么就称集合A 为“对称集合”．已知集合A ＝{2x ，0，x 2＋x }，且A 是对称集合，集合B 是自然数集，则A ∩B ＝________．解析：由题意可知－2x ＝x 2＋x ，所以x ＝0或x ＝－3.而当x ＝0时不符合元素的互异性，所以舍去．当x ＝－3时，A ＝{－6，0，6}，所以A ∩B ＝{0，6}．答案：{0，6}2．设A ，B 是非空集合，定义A ⊗B ＝{x |x ∈A ∪B 且x ∉A ∩B }．已知集合A ＝{x |0<x <2}，B ＝{y |y ≥0}，则A ⊗B ＝________．解析：由已知A ＝{x |0<x <2}，B ＝{y |y ≥0}，又由新定义A ⊗B ＝{x |x ∈A ∪B 且x ∉A ∩B }，结合数轴得A ⊗B ＝{0}∪[2，＋∞)．答案：{0}∪[2，＋∞), [基础题组练]1．(2019·河北衡水中学模拟)已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{y |y ＝2x －1，x ∈A }，则A ∩B ＝( )A ．{1，3}B ．{1，2}C ．{2，3}D ．{1，2，3}解析：选A.法一：因为y ＝2x －1，x ∈{1，2，3}，所以B ＝{1，3，5}，又A ＝{1，2，3}，所以A ∩B ＝{1，3}．故选A.法二：若2∈B ，则2＝2x －1，x ＝32，32∉A ，故排除B ，C ，D ，选A.2．已知集合A ＝{x ∈R |x －1x ＝0}，则满足A ∪B ＝{－1，0，1}的集合B 的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．9解析：选C.解方程x －1x ＝0，得x ＝1或x ＝－1，所以A ＝{1，－1}，又A ∪B ＝{－1，0，1}，所以B ＝{0}或{0，1}或{0，－1}或{0，1，－1}，集合B 共有4个．3．已知集合A ＝{x |(x ＋4)(x ＋5)≤0}，B ＝{x |y ＝ln(x ＋2)}，则A ∩(∁R B )＝( ) A ．(－∞，－4) B ．[－5，＋∞) C ．[－5，－4]D ．(－5，－4)解析：选C.由题意得A ＝{x |－5≤x ≤－4}，B ＝{x |x ＋2>0}＝{x |x >－2}，所以∁R B ＝{x |x ≤－2}，A ∩(∁R B )＝{x |－5≤x ≤－4}．故选C.4．已知集合A ＝{x |x ≤2}，B ＝{y |(y ＋7)(3－y )>0}，C ＝{y |y ＝x －3}，则(A ∩B )∪C ＝( )A ．(－7，2]B ．[0，2]C ．(－7，2]∪[3，＋∞)D ．(－7，＋∞)解析：选D.因为A ＝{x |x ≤2}，B ＝{y |(y ＋7)(3－y )>0}＝{y |－7<y <3}，所以A ∩B ＝(－7，2]．又C ＝{y |y ＝x －3}＝{y |y ≥0}，所以(A ∩B )∪C ＝(－7，＋∞)，故选D.5．已知全集U ＝R ，A ＝{x |x ≤0}，B ＝{x |x ≥1}，则集合∁U (A ∪B )＝________．解析：由于A ∪B ＝{x |x ≤0或x ≥1}，结合数轴，∁U (A ∪B )＝{x |0<x <1}．答案：{x |0<x <1}6．设集合I ＝{x |－3<x <3，x ∈Z }，A ＝{1，2}，B ＝{－2，－1，2}，则A ∩(∁I B )＝________．解析：因为集合I ＝{x |－3<x <3，x ∈Z }＝{－2，－1，0，1，2}，A ＝{1，2}，B ＝{－2，－1，2}，所以∁I B ＝{0，1}，则A ∩(∁I B )＝{1}．答案：{1}7．已知集合A ＝{1，2，3，4}，集合B ＝{x |x ≤a ，a ∈R }，A ∪B ＝(－∞，5]，则a 的值是________．解析：因为集合A ＝{1，2，3，4}，集合B ＝{x |x ≤a ，a ∈R }，A ∪B ＝(－∞，5]，所以a ＝5.答案：58．已知集合A ＝{x |－1＜x ≤3}，B ＝{x |m ≤x ＜1＋3m }． (1)当m ＝1时，求A ∪B ；(2)当B ⊆∁R A ，求实数m 的取值范围．解：(1)因为m ＝1时，B ＝{x |1≤x ＜4}，所以A ∪B ＝{x |－1<x <4}． (2)∁R A ＝{x |x ≤－1或x >3}．当B ＝∅时，即m ≥1＋3m 时得m ≤－12，满足B ⊆∁R A ，当B ≠∅时，要使B ⊆∁R A 成立，则⎩⎪⎨⎪⎧m <1＋3m ，1＋3m ≤－1或⎩⎪⎨⎪⎧m <1＋3m ，m >3，解得m >3. 综上可知，实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪(3，＋∞)． [综合题组练]1．(2019·安徽淮北模拟)已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |x ＋2a ≥0}，N ＝{x |log 2(x －1)<1}，若集合M ∩(∁U N )＝{x |x ＝1或x ≥3}，那么a 的取值为( )A ．a ＝12B ．a ≤12C ．a ＝－12D ．a ≥12解析：选C.因为log 2(x －1)<1，所以x －1>0且x －1<2，即1<x <3，则N ＝{x |1<x <3}，因为U ＝R ，所以∁U N ＝{x |x ≤1或x ≥3}，又因为M ＝{x |x ＋2a ≥0}＝{x |x ≥－2a }，M ∩(∁U N )＝{x |x ＝1或x ≥3}，所以－2a ＝1，得a ＝－12.故选C.2．(创新型)如图所示的Venn 图中，A ，B 是非空集合，定义集合A ⊗B 为阴影部分表示的集合．若x ，y ∈R ，A ＝{x |2x －x 2≥0}，B ＝{y |y ＝3x ，x >0}，则A ⊗B ＝( )A ．{x |0<x <2}B ．{x |1<x ≤2}C ．{x |x ≤1或x ≥2}D ．{x |0≤x ≤1或x >2}解析：选D.因为A ＝{x |2x －x 2≥0}＝[0，2]，B ＝{y |y ＝3x ，x >0}＝(1，＋∞)，所以A ∪B ＝[0，＋∞)，A ∩B ＝(1，2]，由题图知A ⊗B ＝[0，1]∪(2，＋∞)，故选D.3．设集合A ＝{x |x 2－bx ＋6＝0}，则满足A ⊆{1，2，3，6}的集合A 可能为________．解析：由A ⊆{1，2，3，6}知，A 是集合{1，2，3，6}的子集．当A 是空集时，x 2－bx ＋6＝0无解，此时b ∈(－26，26)，显然符合题意；当A 中仅有一个元素，即b ＝±26时，可得x 2－bx ＋6＝0的根是x ＝±6，不符合题意，舍去；当A 中有两个元素时，集合{1，2，3，6}的子集A ＝{2，3}，A ＝{1，6}都符合题意，此时b ＝5或b ＝7.综上可得，集合A 可能为{2，3}或{1，6}或∅.答案：{2，3}或{1，6}或∅4．已知集合A ＝{x |4≤2x ≤16}，B ＝[a ，b ]，若A ⊆B ，则实数a －b 的取值范围是________．解析：集合A ＝{x |4≤2x ≤16}＝{x |22≤2x ≤24}＝{x |2≤x ≤4}＝[2，4]，因为A ⊆B ，所以a ≤2，b ≥4，所以a －b ≤2－4＝－2，即实数a －b 的取值范围是(－∞，－2]．答案：(－∞，－2]2020年高考文科数学一轮总复习第11 页共11 页。