2018-2019学年四川省成都石室中学高一上学期期中考试数学试题(解析版)

2018-2019学年四川省成都石室中学高一上学期期中考试数学试题一、单选题1．设全集为，集合，，则() A．B．C．D．【答案】C【解析】利用补集的定义求出集合的补集，利用一元二次不等式的解法化简集合，由交集的定义可得结果.【详解】，或，又，，故选C.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且不属于集合的元素的集合.2．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是()A．B．C．D．【答案】A【解析】根据偶函数的定义,结合对数函数、指数函数、二次函数以及幂函数的单调性便可判断每个选项的正误，从而找出正确选项.【详解】对于，是偶函数，且在上单调递减，故正确.对于，是偶函数，且在区间上是单调递增，故错误.对于,是奇函数，不满足题意，故错误.对于，的图象不关于轴对称,不是偶函数，故错误，故选A.【点睛】本题主要考查偶函数的定义，对数函数、指数函数的图象、二次函以及幂函数的单调性，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.3．下列各组函数中表示同一函数的是（）A．与B．与C．与D．与（）【答案】D【解析】根据函数的定义，判断每组函数的定义域与对应法则是否都相同即可.【详解】对于，由于的定义域为，的定义域是，两个函数的定义域不同，不是同一个函数，故排除.对于，的定义域为, 的定义域为，定义域相同，但对应关系不相同，所以不是同一函数，故排除.对于，的定义域为，的定义域为，定义域不相同，不是同一函数，故排除.对于，定义域相同，对应法则相同，表示同一函数，故选D.【点睛】本题通过判断几组函数是否为同一函数主要考查函数的定义域以及对应法则，属于中档题.判断函数是否为同一函数，能综合考查学生对函数定义的理解，是单元测试卷经常出现的题型，要解答这类问题，关键是看两个函数的定义域、对应法则是否都相同，二者有一个不同，两个函数就不是同一函数.4．函数的零点所在区间为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由零点存在性定理，，所以零点所在区间为。

故选B。

5．函数的定义域为()A．B．C．D．【答案】D【解析】根据二次根号下代数式不小于零、对数的真数大于零、分母不等于零列不等式组求解即可.【详解】要使有意义，则，解得或，即函数的定义域为，故选D.【点睛】本题主要考查具体函数的定义域、不等式的解法，属于中档题.定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数的定义域为，则函数的定义域由不等式求出.6．如果函数的反函数是增函数，那么函数的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】利用排除法，由为减函数排除；由排除，从而可得结果.【详解】函数的反函数是增函数，为增函数，，为减函数，可排除；又排除，故选C.【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置，从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.7．已知，，，则()A．B．C．D．【答案】C【解析】由对数函数的性质可得，再根据指数函数的单调性即可得到结论.【详解】,由对数函数的性质可得,,且函数是增函数，，故选C.【点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.8．已知幂函数的图象关于原点对称，且在上是减函数，若，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据幂函数的图象与性质，求出的值，根据的定义域与单调性，再把不等式化为等价的不等式组，求出它的解集即可.【详解】幂函数的图象关于原点对称，且在上是减函数，所以，解得，因为，所以或，当时，，图象关于轴对称，不满足题意；当时，，图象关于原点对称，满足题意，不等式化为，，因为函数在上递减，所以，解这个不等式，得，即实数的取值范围是，故选B .【点睛】本题考查了幂函数的图象与性质的应用问题,也考查了不等式的解法与应用问题,意在考查对基础知识掌握的熟练程度，是基础题目.9．已知函数(a≠1)在区间上是增函数，则实数的取值范围为( )A．B．C．D．【答案】A【解析】由时，恒成立，可得，只需函数是减函数即可得结果.【详解】因为时，恒成立，所以，所以 ,为负数，因为函数是增函数，所以要使在上是增函数，则需函数是减函数，可得，所以，实数的取值范围为，故选A.【点睛】本题主要考查对数函数的性质、复合函数的单调性，属于中档题.复合函数的单调性的判断可以综合考查两个函数的单调性，因此也是命题的热点，判断复合函数单调性要注意把握两点：一是要同时考虑两个函数的的定义域；二是同时考虑两个函数的单调性，正确理解“同增异减”的含义（增增增，减减增，增减减，减增减）.10．已知，与的图象关于原点对称，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由与的图象关于原点对称，可得，在中，令即可的结果.【详解】与的图象关于原点对称，，，在中，令，得，，故选D.【点睛】本题主要考查函数的对称性以及函数的解析式，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于基础题.11．已知函数的图象关于对称，且对，当时，成立，若对任意的恒成立，则的范围（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据对称性以及函数图象的平移变换判断函数是偶函数，根据时，成立判断函数的单调性，从而转化原不等式为对任意的恒成立，分离参数后利用基本不等式求解即可.【详解】函数的图象关于对称，向左平移1个单位，得到的图象关于轴对称，即是偶函数，，成立，在上递减，在上递增，对任意的恒成立，等价于对任意的恒成立，即恒成立，，，故选A.【点睛】本题主要考查函数的对称性、奇偶性与单调性以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；②数形结合(图象在上方即可)；③讨论最值或恒成立.12．设函数若关于的方程恰有四个不同的实数解，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由可得或或，画出函数,数形结合可得方程与分别有2个与1个根，只需与的图象有1个交点即可.【详解】由可得或或，作出函数的图象如图，由图可知与的图象有2个交点；与的图象有1个交点，所以方程与分别有2个与1个根，要使方程恰有四个不同的实数解，只需由1个不同于以上3个根的解，即与的图象有1个交点，有图可知，当且或时符合题意，所以使方程恰有四个不同的实数解，实数的取值范围为，故选D .【点睛】本题考査方程的解、函数的零点、图象的交点，考査数形结合的解题思想方法，是中档题. 函数零点的几种等价形式：函数的零点函数在轴的交点方程的根函数与的交点.二、填空题13．已知角，则角的终边在第______象限.【答案】三【解析】由角 ，可得角与的终边相同，从而可得结果.【详解】角 ，角与的终边相同，的终边在第三象限，的终边在第三象限，故答案为三. 【点睛】本题主要考查相同终边的角，意在考查对基础知识的掌握情况，属于基础题.14．函数的值域是_____________.【答案】【解析】由，知，当时，，解得，检验当时不成立，由此能求出函数的值域.【详解】，，整理，得，当时，，解得，当时，不成立，，故答案为 .【点睛】本题考查了函数值域的求法，高中函数值域求法有：1观察法；2.配方法；3.反函数法；4.判别式法；5.换元法；6.数形结合法；7.不等式法；8.分离常数法；9.单调性法；10.利用导数求函数的值域； 11.最值法；12.构造法； 13.比例法,要根据题意选择 . 15．已知，且，则_____________.【答案】4【解析】设，则，可得，从而可得结果.【详解】设，则，，，因为，，故答案为4.【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，意在考查对基础知识的掌握与灵活应用，属于中档题. 16．给出下列说法：①集合与集合是相等集合；②不存在实数,使为奇函数；③若，且f(1)=2,则；④对于函数在同一直角坐标系中，若，则函数的图象关于直线对称；⑤对于函数在同一直角坐标系中，函数与的图象关于直线对称；其中正确说法是____________.【答案】①②③【解析】利用集合与集合都是奇数集判断①；由的图象是轴对称图形判断②；推导出，求出可判断③；令，有,则可判断④；根据函数与的图象可以由与的图象向右移了一个单位而得到判断⑤.【详解】在①中，集合与集合都是奇数集，是相等集合，故①正确.在②中，由二次函数的图象与性质可知的图象是轴对称图形，所以不存在实数,使为奇函数，故②正确.在③中，若，且，令可得，，故③正确.在④中，对于函数在同一直角坐标系中，若，令，有,则函数的图象关于直线对称，故④错误.在⑤中，对于函数，在同一直角坐标系中，与的图象关于直线对称，函数与的图象可以由与的图象分别向右移了一个单位而得到，从而可得函数与的图象关于直线对称，故⑤错误，故答案为①②③.【点睛】本题主要通过对多个命题真假的判断，主要综合考查集合相等、函数的奇偶性、函数图象的对称性，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.三、解答题17．已知集合（1）求集合、；（2）若，求的取值范围.【答案】（1），；（2）【解析】（1）利用对数函数的性质化简集合，由指数函数的性质化简集合；（2）由得，利用包含关系列不等式组求解即可.【详解】（1）解得：∴∵∴∴（2）由得，当，即时，，符合题意；当时，，若，则解得，综上所述，a的取值范围是 .【点睛】集合的基本运算的关注点：（1）看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提；（2）有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决；（3）注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和图．18．（1）计算；（2）若关于的二次方程在区间内有两个根，求的取值范围．【答案】（1）10；（2）【解析】（1）直接利用根式与分数指数幂的运算法则以及对数的运算法则求解即可，化简过程注意避免出现符号错误；（2）利用二次函数的图象与性质，结合零点存在定理列不等式组求解即可.【详解】（1）原式===10 ；(2)令f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1则它与x轴交点均落在区间(0，1)内，如图(2)所示，列不等式组⇒，故m的取值范围是.【点睛】本题主要考查指数幂与对数的运算，以及一元二次方程根与系数的关系，属于难题.对于一元二次方程根与系数的关系的题型常见解法有两个：一是对于未知量为不做限制的题型可以直接运用判别式解答（本题属于这种类型）；二是未知量在区间上的题型，一般采取列不等式组（主要考虑判别式、对称轴、的符号）的方法解答. 19．在扶贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3600元后，逐步偿还转让费(不计息)．在甲提供的资料中有：①这种消费品的进价为每件14元；②该店月销量Q(百件)与销售价格P(元)的关系如下图所示；③每月需各种开支2000元．(1)当商品的销售价格为每件多少元时，月利润余额最大?并求最大余额；（利润余额=销售利润－各种开支－最低生活费）(2)企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫?【答案】(1) 19.5元，450元；（2）20年.【解析】试题分析：（1）根据利润等于销售额乘以单价减去成本得：L＝，再分段根据二次函数对称轴与定义区间位置关系求最大值，最后取两个最大值中最大值（2）由脱贫的含义：无债务，列不等式：12n×450－50 000－58 000≥0，解得n≥20.试题解析：设该店月利润余额为L元，则由题设得L＝Q（P－14）×100－3 600－2 000，（）由销量图易得Q＝代入式得L＝（1）当14≤P≤20时，L max＝450元，此时P＝19.5元；当20＜P≤26时，L max＝元，此时P＝元.故当P＝19.5元时，月利润余额最大，为450元.（2）设可在n年后脱贫，依题意有12n×450－50 000－58 000≥0，解得n≥20.即最早可望在20年后脱贫.【考点】分段函数最值20．设函数且.（1）若，求不等式的解集；（其中单调性只需判断）（2）若，且在上恒成立，求的最大值.【答案】（1）；（2）-2【解析】（1）由，可得，可得递增，结合的奇偶性，原不等式等价于，从而可得结果；（2）由可得，令，在恒成立，等价于在上恒成立,即在上恒成立,结合二次函数的性质可得结果.【详解】（1），又，所以所以单调递增，单调递减，故在R上单调递增，又∵且∴是R上的奇函数，由得∴∴.（2），解得（舍）或，则∴令∵，∴在恒成立，即在上恒成立,即在上恒成立,而∴∴m的最大值为.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性，以及不等式恒成立问题，属于中档题. 对于求不等式恒成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数, 这样就把问题转化为一端是函数, 另一端是参数的不等式，便于问题的解决. 但要注意分离参数法不是万能的, 如果分离参数后,得出的函数解析式较为复杂, 性质很难研究, 就不要使用分离参数法.21．已知函数定义在上且满足下列两个条件：①对任意都有；②当时，有．（1）证明函数在上是奇函数；（2）判断并证明的单调性.（3）若，试求函数的零点．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【解析】（1）令,求得，再令，则，从而可得结果；（2）设，结合奇偶性可得，从而可得结论；（3），等价于则，由函数在上单调递增，可得，从而可得结果.【详解】（1）令,则，则；又令，则，即，所以函数在上是奇函数.（2）设，则，因为则由条件知而，，所以函数在上单调递增.（3）由则从而，等价于则，因为函数在上单调递增，所以即，则，由，得，故的零点为.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性以及函数的单调性，属于中档题.利用定义法判断函数的单调性的一般步骤是：（1）在已知区间上任取；（2）作差；（3）判断的符号（往往先分解因式，再判断各因式的符号）， 可得在已知区间上是增函数， 可得在已知区间上是减函数. 22．已知函数，是偶函数．（1）求的值；（2）若函数的图象在直线上方，求的取值范围；（3）若函数，，是否存在实数使得的最小值为0？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）由，化简可得，对任意恒成立，从而可得；（2）函数的图象在直线上方，等价于对任意的成立，即，利用复合函数的单调性求出的最小值即可得结果；（3），令，则，，分类讨论，利用二次函数的单调性，分别求出最小值，令其为零，解方程即可的结果.【详解】（1）∵，所以，即，∴，对任意恒成立，所以，.所以，.（2）函数的图象在直线上方，等价于对任意的成立，即.令，在上单调减，而，所以，由此.（3），令，则，.①当即时，在递增，从而，舍去；②当即时，在上递减，在递增，从而，则；③即时，在递减，从而，则舍去.综上： .【点睛】本题主要考查利用奇偶性求函数解析式、考查指数函数、对数函数以及二次函数的性质，考查了转化思想以及分类讨论思想的应用，属于难题.已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个，一是利用：（1）奇函数由恒成立求解，（2）偶函数由恒成立求解；二是利用特殊值：奇函数一般由求解，偶函数一般由求解，用特殊法求解参数后，一定要注意验证奇偶性.。