球的体积与表面积教案设计(参考)

球的体积和表面积
一、教材分析
本节内容是数学2第一章空间几何体第3节空间几何体的表面积与体积的第2课时球的体积和表面积，是在学习了柱体、锥体、台体等基本几何体的基础上，通过空间度量形式了解另一种基本几何体的结构特征．从知识上讲，球是一种高度对称的基本空间几何体，同时它也是进一步研究空间组合体结构特征的基础；从方法上讲，它为我们提供了另外一种求空间几何体体积和表面积的思想方法；从教材编排上，更重视学生的直观感知和操作确认，为螺旋式上升的学习奠定了基础．
课时分配
本节内容用1课时的时间完成，主要讲解球的体积公式和表面积公式及公式的应用．
二、教学目标 知识与技能
（1）通过对球的体积和面积公式的推导，了解推导过程中所用的基本数学思想方法：“分割——求和——化为准确和”，有利于同学们进一步学习微积分和近代数学知识．
（2）能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题． （3）培养学生的空间思维能力和空间想象能力． 过程与方法
通过球的体积和面积公式的推导，从而得到一种推导球体积公式3
3
4
=R V π和面积公式24=R S π的方法，即“分割求近似值，再由近似和转化为球的体积和面积”的方法，体现了极限思想．
情感与价值观
通过学习，使我们对球的体积和面积公式的推导方法有了一定的了解，提高了空间思维能力和空间想象能力，增强了我们探索问题和解决问题的信心．
三、教学重点、难点
重点：引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法．
难点：推导体积和面积公式中空间想象能力的形成,以及与球有关的组合体的表面积和体积的计算．
四、学法和教学用具
学法：学生思考老师提出的问题，通过阅读教材，发挥空间想象能力，了解并初步掌握“分割、求近似值、再由近似值的和转化为球的体积和面积”的解题方法和步骤．
教学用具：投影仪，旨在通过动态图形使得学生对球这一立体图形有一个直观的认识．
五、教学设计
创设情景
⑴教师提出问题：乌鸦喝水的问题我们都知道，
只有一颗一颗的小圆石头往水瓶里投乌鸦才能喝到
水，那么我们是不是可以用数学方法精确的计算出乌
鸦具体需要投入几颗小圆石头呢？这里就涉及到了
小石子的体积了，假设小石子都是均匀的球体，我们
知道球既没有底面，也无法像在柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，那么怎样来求球的表面积与体积呢？引导学生进行思考．
⑵教师设疑：球的大小是与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？激发学生推导球的体积和面积公式．
探究新知
1．球的体积：
如果用一组等距离的平面去切割球，当距离很小之时得到很多“小圆片”，“小圆片”的体积的体积之和正好是球的体积，由于“小圆片”近似于圆柱形状，所以它的体积也近似于圆柱形状，所以它的体积有也近似于相应的圆柱和体积，因此求球的体积可以按【设计意图】通过大家所熟知的寓言小故事引出教学内容，提高学生学习兴趣．
“分割——求和——化为准确和”的方法来进行．
步骤：
第一步：分割
首先，把半球的垂直于底面的半径OA 作n 等分，过这些等分点，用一组平行于底面的平面把半球切割
成n 个“小圆片”，“小圆片”厚度近似为n
R
，底
面是“小圆片”的底面，如下图
所以，第i 层“小圆片”下底面的半径和体积：
【设计意图】利用分割原理，通过对小圆片体积的计算，推导出球的体积公式，使学生知道知识的来龙去脉，提升学生的学习兴趣与信心，以及对新知识的探索发现能力．
【注意】由于学生的学习水平不一致，所以在实际教学中，需根据学生的具体学习能力而确定是否适合公式推到过程的学习
n
i n
i n R n R r V i i ,2,1=],)1
-(-1[=≈232
ππ
第二步：求和
n V V V V +++=21 半球
第三步：化为准确的和
当∞→n 时，即时，
得到定理：半径是Ｒ的球的体积
练习：的内径() ．
2径R 式,
【设计意图】透过教师的讲解，让学生初步感受“分割”、“近似替代”、“取极限”等思想，渗透微积分思想． 【思考】：球的表面积推导过
程是以什么量作为等量变换的？
.,2,1=,)]1-([-=22n i i n
R R r i
]}
)1-(-1[++]2-1[+]1-1[+1{2
2
2
223n n n n n R π]
)1-(++2+1-[=22223n n n n R π 6)12()1()1(212
22--=
-+++n n n n ]6
)1-2()1-(1-[=2
3
n n n n n n R π]
6)
1-2)(1-(1-1[=23
n n n R π0→1
n
)]1-2)(1-1(61-1[=3n
n R V π半球3
3
2=R V π半球3
4
=R V π
“分割、求近似和，再由近似和转化为准确和”方法推导。

简单讲述中国魏晋时代的刘徽与“割圆术”．（不再具体证明）
半径为R的球的表面积为2
4
=R
S
练习：长方体的一个顶点上三条棱长分别为3、
4、5，
则这个球的（答案50元）
运用新知
典例分析:课本
27
P例4
巩固深化、反馈矫正
（1）方形的内切球和外接球的体积的比
（2）球心同侧有相距9cm的两个平行截面，它们的面积分别为49πcm2和400πcm2，求球的表面积．（答案：2500πcm2）
分析：可画出球的轴截面，利用球的截面性质求球的半径．
六、课堂小结：
1．了解球的体积、表面积推导的基本思路；
2．了解球的体积公式和表面积公式(不要求记忆公式)；
3．计算组合体的体积表面积时，通常将其转化为计算柱、锥、台、球等常见的几何体的体积表面积．【设计意图】本题较易，主要考查有关球的组合体的表面积和体积的计算．解决此类问题的关键是明确组合体的结构特征．学生来独立完成，有利于培养学生问题解决的能力．在题目讲解过程中，可利用几何画板等多媒体工具将立体几何图形直观表示出来，给学生以直观感受，为加强学生的立体几何思维和空间想象能力提供基础．
【设计意图】让学生独立完成知识小结，可以逐步提高学生自我获取知识的能力．最后教师完善，使知识更系统化．
作业： 29P B （1）、37P B （2）
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