第四章 结构弹塑性分析

李遇春编
如图 4.5，X 方向上配筋所产生的抵抗（分布）弯矩为 M ux （这个弯矩可根据钢筋混凝土 结构理论确定） ，在长度 L sin θ 上的总抵抗弯矩为 M ux L sin θ ，这个弯矩在屈服线上的分量为：
M u1 = ( M x L sin θ ) ⋅ sin θ = M x L sin 2 θ
（ⅳ）边界条件：
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在应力边界 sσ 上：
σ ij l j = Pi
在位移边界 su 上： ui = ui （2）增量理论边值问题 （i）平衡方程：
dσ ij , j + dX i = 0
(4.7)
(4.8)
(4.9)
（ⅱ）几何方程：
1 d ε ij = (dui , j + du j ,i ) 2
(4.26)
(4.27)
当截面全部成为塑性区时，变形可无限制地流动 → 塑性铰，结构变为机构（破坏） 。此时 设极限荷载为 q0 ，跨中极限弯矩（全部塑性 ξ = 0 ）为：
M max
所以：
1 2 bh 2 = q0 l = σs 2 4
(4.28)
bσ q0 = s 2
⎛h⎞ ⎜ ⎟ ⎝l⎠
2
(4.29)
(4.20)
假定材料为理想弹塑性材料，于是发生塑性变形后，弹性区应力为：
σ = Eε x = − Ey
塑性区应力为：
d 2v dx 2
(4.21)
σ = ±σ s
应力首先在上下边达到屈服值，塑性区逐渐向内扩展。设
(4.22)
y = ±ξ ( x ) 为弹塑性分界面，则：
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⎧ ⎪−σ s ⎪ ⎪ yσ σ =⎨ s ⎪ ξ ⎪ ⎪σ s ⎩
（ⅲ）本构关系 弹性区： Hooke 定理
(4.10)
d ε ij =
1 +ν ν dσ ij − dσ kk ⋅ δ ij E E 1 dσ ij = dsij + dσ kk 3
(4.11) (4.12)
塑性区：
1 d ε ij = deij + d ε kk 3 1 +ν deij = dsij + sij d λ E 1 − 2ν d ε kk = dσ kk E
(4.18)
在小变形下， τ 比 σ 小得多，所以 σ 2 + 3τ 2 ) ≈ σ ，于是屈服条件可近似写为：
σ =σs
根据平截面假设 ε x = ky ， k 为曲率，小变形下 k = −
d 2v εx = −y 2 dx
(4.19)
d 2v ， v 为 y 方向上的位移（挠度） 。所以： dx 2
−
h ≤ y ≤ −ξ 2
塑性（压） 弹性 塑性（压）
−ξ ≤ y ≤ ξ
(4.23)
ξ ≤ y≤
h 2
任一截面 x 处的弯矩为：
M(x) = ∫
+h 2
−h 2
σ bydy = 2b ∫ σ ydy = 2b ⎡ ∫ σ ydy + ∫ σ ydy ⎤
h2 h2 0
ξ
⎢ ⎣
ξ
0
⎥ ⎦
(4.24)
⎧ bh 2 h (全部弹性) σs ξ = ± ⎪ ⎛1 2 1 2⎞ ⎪ 6 2 = 2σ s b ⎜ h − ξ ⎟ = ⎨ 2 6 ⎠ ⎪ bh ⎝8 (全部塑性) σs ξ = 0 ⎪ ⎩ 4
（ⅳ）边界条件： 在应力边界 sσ 上：
dσ ij l j = dPi
(4.13) (4.14) (4.15)
Baidu Nhomakorabea
(4.16)
在位移边界 su 上： dui = dui
(4.17)
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2、 梁的弹塑性弯曲
图 4.2 如图 4.2 的简支梁，梁的变形满足平截面假设。根据材料力学（弹性力学） ，梁内的应力 状态为： σ x = σ (≠ 0) ， σ y ≈ 0 (与其它量比，可忽略不计） ， τ xy = τ
又：
1 M(x) = q(l 2 − x 2 ) 2
所以有：
(4.25)
1 2 1 ⎞ ⎛1 q (l − x 2 ) = 2σ s b ⎜ h 2 − ξ 2 ⎟ 2 6 ⎠ ⎝8
由此得到弹塑性分界线方程为：
3 3 ql 2 3 q 2 y 2 = ξ 2 ( x) = ( h 2 − )+ x 4 2 σ sb 2 σ sb
δ
EF
=
=
2δ L
= 2
δ
AE
δ
2 L 2
δ
L
δ 2δ 内力虚功: W内 = WDB + WAC + 4WAD = 2WDB + 4WAD = 2( 2ML) ⋅ ( 2 ) + 4(ML) ⋅ ( ) = 16MLδ L L qδ 2 由 W内 = W外 得: L = 16MLδ 3 最后得: 48M q = 2 (塑性极限荷载) L
( ≠ 0) ，其余应力为零。
Mises(畸变能)屈服条件为：
σi =
1 (σ x − σ y ) 2 + (σ y − σ z ) 2 + (σ z − σ x ) 2 + 6(τ 2 xy + τ 2 yz + τ 2 zx ) 2 1 = σ 2 + σ 2 + 6τ 2 ) = σ 2 + 3τ 2 ) = σ s 2
或:
qL2 M =q= (塑性设计弯矩) 48
弹性极限荷载为: q =
16.67 M (弹性极限荷载) (或: M = 0.06qL2 ) 2 L
q塑性 = 2.87 q弹性 Ex 4.2 研究四周固支的矩形板极限荷载问题。
(4.30)
同理，Y 方向上的配筋抵抗弯矩在屈服线上的分量为：
M u 2 = ( M y L cos θ ) ⋅ cos θ = M y L cos 2 θ
(4.31)
屈服线上总的抵抗弯矩为：
M u = M u1 + M u 2 = M x L sin 2 θ + M y L cos 2 θ
(4.32)
1 2
(4.2)
1 sij = σ ij − σ kk δ ij 3 1 eij = ε ij − ε kk δ ij 3 E σ kk = ε kk 1 − 2u
sij = 2 σi eij 3 εi
(4.3) (4.4) (4.5) (4.6)
(4.3)~ (4.6)式中： sij 为应力偏张量， eij 为应变偏张量， σ kk 为应力球张量， ε kk 为应变球张量。
（ii）虚功原理 外力虚功=内力虚功 (4.33) 由虚功原理可以确定板的极限荷载，或极限抵抗力。 例：四边固支的正方形板，受均布荷载作用，试按塑性、弹性方法计算极限荷。 根据试验结果，四边固支板的屈服线如图 4.6 所示(2 条正屈服线，4 条负屈服线)，屈服 铰线将板分为 4 个刚性板。
图 4.6
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第四章 结构弹塑性分析
1、弹塑性力学边值问题的提法 （1）全量理论边值问题
图 4.1 （ⅰ）平衡方程：
σ ij，j + X i = 0
式中：弹塑性体体力分量为 X i (i = 1, 2, 3） 。 （ⅱ）几何方程：
(4.1)
ε ij = (ui，j + u j，i )
（ⅲ）物理方程（本构关系） ：
2）
沿屈服线只有屈服弯矩 M u 作用， 屈服线相当一条塑性铰线， 可产生塑性转动。
3） 与屈服线相连的板可看成刚性板。 4） 破坏机构由试验确定。 图 4.4 为正方形与矩形板的屈服线分布（破坏机构） 。
图 4.4 （2）屈服线计算理论 （i）屈服线上的抵抗弯矩 M u
图 4.5
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图 4.7
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（1）外力虚功： 图中单个刚性板（阴影部分）的外力虚功为（见图 4.7） ：
W外1/4 = F ×
δ
3
= (q
L2 δ qδ 2 L )× = 4 3 12
所以:
W外 =
（2）内力虚功：
qδ 2 qδ 2 L ×4 = L 12 3
设 M x = M y = M (跨中抵抗弯矩) , M x o = M y o = M (支座抵抗弯矩) .则: 见图 4.7, 支座屈服线 AD 上的抵抗弯矩为: M n o = ML 斜屈服线 AC 上的抵抗弯矩为: M n = M x L斜 sin 2 θ + M y L斜 cos 2 θ = ML斜 = 2 ML 支座屈服线 AD 的转角: α = 斜屈服线 DB 的转角: β =
Ex4.1 集中荷载（如图示）作用下，求：1) 弹塑性状态时的弹塑性分界线; 2)求极限 P0 = ?
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图 4.3
3、混凝土板的屈服线理论（塑性计算） 混凝土板在极端荷载作用下（如核爆炸、罕遇强烈地震等）可采用塑性法设计，设计 的原则：允许结构破坏，但保证结构不坍塌。 （1） 屈服线假定： 1） 板在行将破坏时，在最大弯矩处形成屈服线。