导数的应用-函数极值与最值

使函数取得极值的点x0称为 极值点.
函数的极大值、极小值 只是一点附近的 最大值与最小值, 是局部性的.在一个区间内, 函数可能存在许多个极值, 有的极小值可能大 于某个极大值. y

y f ( x)




O
x2
b 观察 极值点的切线有什么特征？平行于x轴 切线平行于x轴是否必为极值点？
在x 0处 分别属于上述三种情况.Hale Waihona Puke Baidu
(2) 已经知道驻点未必是极值点，第二充分条件实际 上指出了，二阶导不为零的驻点一定是极值点.
. 例 求f ( x) x 3 3 x 2 24x 20的极值
解 f ( x ) 3 x 2 6 x 24 3( x 4)( x 2)
所以x=1是不可导点. x=2是否可导？
同理，x=2也是不可导点 3 x 在( 3,4)内, 驻点: x , 不可导点： 1,2 2 3 1 f ( 2) 0, f ( 3) 20, f (1) 0, f ( ) , f (4) 6, 2 4 最大值 最小值
(2) 对实际问题常常可事先断定最大(小)值必在 区间内部取得, 如果连续函数在区间内又仅有 一个极值嫌疑点, 那末这点处的函数值就是最 大(小)值.
1.最值的求法 已经知道，[a, b]上的连续函数必定存在最值. 最值可能在以下点处取到：
y y y
O a
b
x
O a
b
x
O
a
b
x
驻点
端点
不可导点
求连续函数 f (x)在闭区间[a, b]上的最大(小) 值的方法: (1) 将闭区间[a, b]内所有驻点和导数不存在的
点(即为极值嫌疑点)处的函数值和 区间端点的 函数值 f (a), f (b)比较, 其中最大(小)者就是 f (x) 在闭区间[a, b]上的最大(小)值.
f 当x 2时， ( x ) 0. 所以,
f ( x ) 1 ( x 2)
1
2 3
f ( 2) 1为f ( x )的极大值 .
O
2
x
极值判别法的两个充分条件 第一充分条件对函数在点处是否可导没有要求，只要 求在点的邻域内可导. 第二充分条件则要求在该点处二阶可导.
二、最大值最小值问题
1400 43560 (元) 最大收入为 L( x ) (1400 80) 68 40 课下阅读材料：教材例4-例7.
是非题
极值点是不是驻点？满足什么条件的极值点是驻点？ 驻点是不是极值点？满足什么条件的驻点是极值点？
最值点是不是极值点？满足什么条件的最值点是极值点？
例
求函数 f ( x ) | x 3 x 2 | 在[3,4]上的
2
2
最大值与最小值.
x 3 x 2 x [3,1] [2,4] 解 f ( x) x2 3 x 2 x (1,2) 2 x 3 x ( 3,1) ( 2,4) f ( x ) x (1,2) 2 x 3
第五节
函数的极值与 最大值最小值
函数的极值及其求法
最大值最小值问题
一、函数的极值及其求法
1. 函数极值的定义
定义 若在x0的某邻域内恒 有 ,
f ( x ) f ( x0 ) (或f ( x ) f ( x0 )), 极大值 (或极小值), 则称f ( x0 )为函数 ( x)的一个 f
函数的极大值与极小值统称为 极值.
3 在( 3,4)内, 驻点: x , 2 在分段点x=1，x=2是否可导？
x 3x 2 f ( x) 2 x 3 x 2
2
x [3,1] [2,4] x (1,2)
( x 2 3 x 2) 0 f ( x ) f (1) lim 在x=1处 lim 1 x 1 x 1 x 1 x 1 ( x 2 3 x 2) 0 f ( x ) f (1) lim lim 1 x 1 x 1 x 1 x 1
2. 应用举例 例 求内接于球的圆柱体的最大体积,设球的半径为R.
解 设圆柱体的高为2h, 底半径为r, 体积为V,
(1) 目标函数 V r 2 2h
z
由r 2 h2 R2 , 得
V 2 ( R 2 h2 ) h, (2) 求最大值点
Vh 2 ( R 2 3h2 )
定理3(第二充分条件) 极值的二阶充分条件 对于驻点,有时还可以利用函数在该点 处的二阶导数的正负号来判断极值点. ( x0 )为 如果 f ( x0 ) 0, f ( x0 ) 0 ( 0), 则f 极大值 (极小值). f ( x ) f ( x0 ) f ( x ) lim 证 f ( x0 ) lim 0, x x0 x x0 x x x x0 0 因此, 当 | x x0 | 充分小时,由极限的保号性 f ( x ) 0. 可见, f ( x ) 与x x0 异号. x x0 当x x0 , f ( x ) 0;当x x0 , f ( x ) 0.
但x 0不是极值点.
O
x
(2) 极值点也可能是导数不存在的点. 拐点可能在两类点中取到： 二阶导数零点；0 是极小值点. 如, y x , x
3 2
y
y 3 x2
二阶导数不存在的点. y 3 x 2 在x 0 不可导. 但
即：极值点可能在两类点中取到：
O

x
一阶导数零点；一阶导数不存在的点. 怎样从驻点中与导数不存在的点判断一点 是不是极值点
令 f ( x ) 0， 得驻点 x1 4, x2 2.
因为, f ( x ) 6 x 6,
f (4) 18 0, 故极大值 f (4) 60,
f ( 2) 18 0,
故极小值 f ( 2) 48.
. 例 求f ( x ) 1 ( x 2) 的极值 1 2 解 f ( x ) ( x 2) 3 ( x 2) 第一充分条件 3 当x 2时, f ( x )不存在但函数f ( x )在该点连续. . 2 y f 当x 2时， ( x ) 0; 3
7 .导数不存在的点: x 1. (2) 驻点: x 1, x 11
(3) 列表.求相应区间的导数符号,判别增减性,
2 3
确定极值点和极值.
求 f ( x ) ( x 1)3 ( x 1) 的极值及单调区间 .
2 3
7 驻点: x 1, x 11 , 导数不存在的点: x 1.
x 720 租出去的房子有 50 40
套
每月总收入为
x 720 L( x ) ( x 80) 50 40
x L( x ) 70 20 L( x ) 0 x 1400 （唯一驻点）
故每月每套租金为1400元时收入最高.
x 720 L( x ) ( x 80) 50 40
3. 极值的充分条件 定理2(第一充分条件) 设f ( x)在x0点连续且在 , o
x0的某去心邻域 U ( x0 , )内可导. (1) 若当x ( x0 , x0 )时, f ( x ) 0 ( 0); 当x ( x0 , x0 )时, f ( x ) 0 ( 0), 则
(4) 求极值.
例 求 f ( x ) ( x 1)3 ( x 1) 的极值及单调区间 . 1 2 2 2 3 解 (1) f ( x ) 3( x 1) ( x 1) ( x 1)3 ( x 1) 3 3 ( x 1)2 (11x 7) 1 3( x 1) 3
f ( x )
7 11
( x 1)2 (11x 7) 3( x 1)
1 3
x
f ( x )
( ,1) 1
(1,
7 ) 11
(
7 ,1) 11
1
(1, )

0
非 极 值

0
极 大 值

不存在 极 小 值

f ( x)
7 极小值 f (1) 0 极 大 值 f ( ) 2.2 11 7 单调增加区间: ( ,1], 1, , [1, ). 11 7 单调减少区间: ( ,1). 11
第一充分条件 . 所以, f ( x)在点x0处取极大值
注 (1) f ( x0 ) 0时, 定理3(第二充分条件)不能应用. 事实上,当f ( x0 ) 0, f ( x0 ) 0时, 可能有极大值, 也可能有极小值,也可能没有极值. 如, f1 ( x ) x 4 , f 2 ( x ) x 4 , f 3 ( x ) x 3
a
x1
x 3 x4
x5
x6
x
2. 极值的必要条件 定理1(必要条件) 如果函数f ( x )在点x0处取得 极值, 且在x0处可导,则必有f ( x0 ) 0.
注 (1) 可导函数的极值点 必是驻点, 但函数的 驻点却不一定是极值点.
y
y x3
如, y x 3 , y x 0 0,
f ( x0 )为极大值 (极小值);
(2) 若f ( x)在x0附近不变号 f ( x0 ) 不是极值. ,则
y

x0

x
y

O

x0

x
O
y

O

x0

y


x0
不是极值点
x
x
O
一般求极值的步骤
(1) 求导数; (2) 求驻点与不可导点; (3) 求相应点两侧的导数符号,判别增减性;
极值点是不是最值点？满足什么条件的极值点是最值点？
分清四类点：驻点—极值点—拐点—最值点.
作业
作业册 本节 全部
课下练习
教材 本节 1-9
注
具有实际问题背景的最值问题一般思路： (1) 从实际问题中抽象出数学模型，写 出其目标函数，从而转化为数学问题.
(2) 从数学的角度分析最值可能的点， 并结合实际背景，判断是否是最值点.
例 某房地产公司有50套公寓要出租,当租金定为每月720 元时,公寓会全部租出去.当租金每月增加40元时,就有 一套公寓租不出去,而租出去的房子每月需花费80元 的整修维护费.试问房租定为多少可获得最大收入? 明显，x应该大于720. 解 设房租为每月x 元，
0 h R
O
y
x
h R
2h
r
Vh 2 ( R 2 3h2 )
R 令 Vh 0, 得 h (舍去负值) 唯一驻点 3 圆柱体的最大体积一定存在, 故唯一驻点 R 就是最大值点, 最大体积为 h 3
R2 R 4 3 2 V 2 ( R ) R 3 3 3 3