随机事件及其概率习题
第一章 随机事件及其概率课后习题参考答案
第一章 随机事件及其概率1. 1) {}01001,,,.nn n n Ω=L2) {}{}10,11,12,13,,10.n n Z n Ω==∈≥L3) 以"'',''"+-分别表示正品和次品,并以""-+--表示检查的四个产品依次为次品,正品,次品,次品。
写下检查四个产品所有可能的结果S ,根据条件可得样本空间Ω。
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,.,,,,S ++--++-++++-+++++---+--++-+-+-++⎧⎫=⎨⎬-+---+-+-++--+++-------+--+---++⎩⎭++--++-++++-+++++--+-+-+-++⎧⎫Ω=⎨⎬-+---+-+-++--+++--⎩⎭4) {}22(,)1.x y x y Ω=+<2. 1) ()A B C ABC --=, 2) ()AB C ABC -=, 3) A B C A B C ++=U U , 4) ABC ,5) ()A B C ABC Ω-++=, 6) ()AB BC AC AB BC AC Ω-++=++, 7) ()ABC A B C Ω-=U U , 8) AB AC BC ++.3. 解:由两个事件和的概率公式()()()()P A B P A P B P AB +=+-,知道()()()() 1.3(),P AB P A P B P A B P A B =+-+=-+ 又因为()(),P AB P A ≤ 所以 (1)当()()0.7P A B P B +==时,()P AB 取到最大值0.6。
(2)当()1P A B +=时,()P AB 取到最小值0.3。
4. 解:依题意所求为()P A B C ++,所以()()()()()()()()1111000(0()()0)44485.8P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC P ABC P BC ++=++---+=++---+≤≤==Q 5. 解:依题意,()()()()()()()()()()()()()()0.70.50.25.()()()0.70.60.5P B A B P BA P B A B P A B P A B P BA BA BA A P A P B P AB P A P BA P A P B P AB ++==++=+=+---===+-+-Q6. 解:由条件概率公式得到111()1()()(),(),3412()2P AB P AB P A P B A P B P A B ==⨯=== 所以1111()()()().46123P A B P A P B P AB +=+-=+-= 7. 解:1) 2028281222101028()45C C P P A A C P ===,2) 202__________282121212210101()()(|)45C C P P A A P A P A A C P ====,3) 1122________82821212121222210101016()()()145C C P P P A A A A P A A P A A C P P =+==--=U ,4) 1120____________8228121212122101()()()5C C C C P A A A A P A A P A A C +=+==U . 8. 解:(1) 以A 表示第一次从甲袋中取得白球这一事件,B 表示后从乙袋中取 得白球这一事件,则所求为()P B ,由题意及全概率公式得1()()()()().11n N m NP B P A P B A P A P B A n m N M n m N M +=+=⨯+⨯++++++ (2) 以123,,A A A 分别表示从第一个盒子中取得的两个球为两个红球、一红球一白球和两个白球,B 表示“然后”从第二个盒子取得一个白球这一事件,则容易推知211255441232229995103(),(),(),181818C C C C P A P A P A C C C ====== 123567(|),(|),(|).111111P B A P B A P B A === 由全概率公式得31551063753()()(|).18111811181199i i i P B P A P B A ===⨯+⨯+⨯=∑ 9. 解:以A 表示随机挑选的人为色盲,B 表示随机挑选的人为男子。
概率练习题含答案
第一章 随机事件及其概率 练习: 1. 判断正误(1)必然事件在一次试验中一定发生,小概率事件在一次试验中一定不发生。
(B ) (2)事件的对立与互不相容是等价的。
(B ) (3)若()0,P A = 则A =∅。
(B )(4)()0.4,()0.5,()0.2P A P B P AB ===若则。
(B )(5)A,B,C 三个事件至少发生两个可表示为AB BC AC ⋃⋃(A ) (6)考察有两个孩子的家庭孩子的性别,{()Ω=两个男孩(,两个女孩),(一个男孩,}一个女孩),则P {}1=3两个女孩。
(B ) (7)若P(A)P(B)≤,则⊂A B 。
(B )(8)n 个事件若满足,,()()()i j i j i j P A A P A P A ∀=,则n 个事件相互独立。
(B )(9)只有当A B ⊂时,有P(B-A)=P(B)-P(A)。
(A )2. 选择题(1)设A, B 两事件满足P(AB)=0,则CA. A 与B 互斥B. AB 是不可能事件C. AB 未必是不可能事件D. P(A)=0 或 P(B)=0 (2)设A, B 为两事件,则P(A-B)等于(C )A. P(A)-P(B)B. P(A)-P(B)+P(AB)C. P(A)-P(AB)D. P(A)+P(B)-P(AB)(3)以A 表示事件“甲种产品畅销,乙种产品滞销”,则其对立事件A 为(D) A. “甲种产品滞销,乙种产品畅销”B. “甲乙两种产品均畅销”C. “甲种产品滞销”D. “甲种产品滞销或乙种产品畅销”(4)若A, B 为两随机事件,且B A ⊂,则下列式子正确的是(A ) A. P(A ∪B)=P(A) B. P(AB)=P(A)C. P(B|A)=P(B)D. P(B-A)=P(B)-P(A) (5)设(),(),()P A B a P A b P B c ⋃===,则()P AB 等于(B )A.()a c c + B . 1a c +-C. a b c +-D. (1)b c -(6)假设事件A 和B 满足P(B|A)=1, 则(B)A. A 是必然事件 B . (|)0P B A = C. A B ⊃ D. A B ⊂ (7)设0<P(A)<1,0<P(B)<1, (|)(|)1P A B P A B += 则(D )A. 事件A, B 互不相容B. 事件A 和B 互相对立C. 事件A, B 互不独立 D . 事件A, B 互相独立8.,,.,,.D ,,.,,.,,1419.(),(),(),(),()37514131433.,.,.,.,37351535105A B A AB A B B AB A B C AB A B D AB A B P B A P B A P AB P A P B A B C φφφφ≠=≠====对于任意两个事件必有(C )若则一定独立;若则一定独立;若则有可能独立;若则一定不独立;已知则的值分别为:(D)三解答题1.(),(),(),(),(),(),().P A p P B q P AB r P A B P AB P A B P AB ===设求下列事件的概率:解:由德摩根律有____()()1()1;P A B P AB P AB r ⋃==-=-()()()();P AB P B AB P B P AB q r =-=-=-()()()()(1)()1;P A B P A P B P AB p q q r r p ⋃=+-=-+--=+-________()()1[()()()]1().P AB P A B P A P B P AB p q r =⋃=-+-=-+-2.甲乙两人独立地对同一目标射击一次,命中率分别是0.6和0.5,现已知目标被命中,求它是甲射击命中的概率。
概率论复习题
第1章 随机事件及其概率一、填空题1、已知,5.0)(=A P ,6.0)(=B P ,2.0)(=B A P 则=)(AB P _______________.2、已知,25.0)()()(===C P B P A P ,15.0)()(==BC P AB P ,0)(=AC P 则A 、B 、C 至少有一个发生的概率为_______________.3、把9本书随意放在书架上,指定的3本放在一起的概率为_____________.4、包括甲、乙在内的n 个人排队,他们之间恰有r 个人的概率为____________.5、设A 、B 、C 为三个事件,则“至少有一个事件不发生”可表示为______________.6、设A 、B 、C 为三个事件,则“至多只有一个事件发生”可表示为______________.7、设31)(=A P ,41)(=B P ,61)(=AB P ,则=)(B A P ______________. 8、假设3.0)(=A P , 2.0)(=B P ,∅=AB ,则)(B A P ⋃=_________________. 9、设31)(=A P ,41)(=B P ,21)(=⋃B A P ,则=⋃)(B A P ______________. 10、假设5.0)(=A P , 4.0)(=B P ,3.0)(=B A P ,则)(B A P ⋃=_________________. 11、两封信随机的投入到四个邮筒中,则前两个邮筒内没有信的概率为________________.12、两封信随机的投入到四个邮筒中,则前两个邮筒内都有信的概率为________________. 13、袋中有5个白球,3个黑球,从中一次任取两球,则取到的两球中有黑球的概率为______________.14、袋中有5个白球,3个黑球,从中一次任取两球,则取到的两球都是黑球的概率为______________.15、袋中有4黑6白大小相同的10个小球,现在从中不放回地任取两球,两个全是黑球的概率________________.16、甲、乙两人独立的射击同一目标,他们击中目标的概率分别为0.9和0.8,则在一次射击中目标被击中的概率为______________.17、某城市发行A,B 两种报纸,在这两种报纸的订户中,订阅A 报的有45%,订阅B 报的有30%,同时订阅两种报纸的有15%,则只订一种报纸的概率为___________________. 18、从一批产品中抽取3件,以i A 表示第i 次抽到废品,则事件“第一次和第二次至少抽到一件废品”可表示为_______________.19、设n 个人围成圆圈,甲、乙是其中两人。
概率论习题
第_章随机事件及其概率第一节随机事件第1题设A,B,C为三个随机事件,试用A,B,C的运算关系表示下列事件;⑴D= “A,B,C至少有一个发生”;(2) E= 发生,而B,C都不发生”;⑶F= “A,B,C中恰有一个发生”;(4) G= “A,B,C中恰有两个发生”;(5) H= “A,B,C中至少有两个不发生”;第2题设A={xl<x<5} ,B={x3<x<7},C={xx<]},都是/?={x|-oo<x<+oo冲的集合,试求下列各集合。
(AUB)riC第3题化简(ABUC)(AC)第4题证明:(AHB)-B=A-AB=AB=A-B第5题设A,B,C为3个随机事件,与A互斥的事件是(D)o(A) ABUAC(B) A(BUC)(C) ABC(D)AUMJC第6题对于任意2事件A和B,与AUB=B,不等价的是(D)。
(A)A U B,(B)P U A,(C)AP=0,(Q)BA=0第二节随机事件的概率第7题设随机事件A、B、C互不相容,且P(A)=0・2,P(B)=0・3,P(C)=0・4, 则円(AU®-C]等于()。
第8题对于随机事件A和B,有P(A-B) 等于(C).(A)P(A)-P(B); (B).P(A)-P(B)+P(AB) (C).P(A)-P(AB)(D).P(A)+P(B)+P(AB)第9题设A、B、C是三个随机事件, 且P(A)=0・3, P(B)=0.4, P(C)=0.6,P(AC)=P(BC)=P(AB)=0.25,P(ABC)=0.2,试求下列各事件的概率:(1)“三个事件中至少有一个发生”记为D1;(2)“三个事件中至少有两个发生”记为D2;第10题设A,B,C为三个事件,已知P(A)=0.3,P(B)=0. & P(C)=0.6, P(AB)=0・2, P(AC)=0, P(BC)=0.6,试求:(1) P(AU^) ;(2) P(AB) ;(C) P(AU5UQ第行题设A和B为随机事件,A和B 至少有一个发生的概率为1/4, A生且B不发生的概率为1/12,求P(B).第12题已知P(A)=P(B)=P(C)=1,P(AC)=P(BC)=^,P(AB)=O,求事件A,BC全不发生的概率。
随机事件及其概率习题
第一章 随机事件及其概率习题一一、填空题1.设样本空间}20|{≤≤=Ωx x ,事件}2341|{ },121|{<≤=≤<=x x B x x A ,则B A Y 13{|0}{|2}42x x x x =≤<≤≤U , B A 113{|}{|1}422x x x x =≤≤<<U . 2. 连续射击一目标,i A 表示第i 次射中,直到射中为止的试验样本空间Ω,则Ω={}112121 n n A A A A A A A -L L L ;;;;. 3.一部四卷的文集,按任意次序放在书架上,各卷自左向右,或自右向左顺序恰好为1、2、3、4概率为 121 . 4.一批(N 个)产品中有M 个次品、从这批产品中任取n 个,其中恰有个m 个次品的概率是 n N m n M n m M C C C /-- .5.某地铁车站, 每5分钟有一趟列车到站,乘客到达车站的时刻是任意的,则乘客侯车时间不超过3分钟的概率为 .6.在区间(0, 1)中随机地取两个数,则事件“两数之和小于56 ”的概率为 . 7.已知P (A )=, P(B )=,(1) 当A ,B 互不相容时, P (A ∪B )= ; P(AB )= 0 .(2) 当B A 时, P(A+B )= ; P (AB )= ;8. 若γ=β=α=)(,)(,)(AB P B P A P ,=+)(B A P 1γ-;=)(B A P βγ-; )(B A P +=1αγ-+.9. 事件C B A ,,两两独立, 满足21)()()(<===C P B P A P ABC ,φ,且P (A+B+C )=169, )(A P 则= . 10.已知随机事件A 的概率5.0)(=A P ,随机事件的概率6.0)(=B P ,及条件概率8.0)|(=A B P ,则和事件B A +的概率=+)(B A P .12.假设一批产品中一、二、三等品各占60%、30%、10%,从中随机取一件结果不是三等品,则取到一等品的概率为 23 . 13. 已知===)(则B A P b A B P a A P ,)|(,)( ab a - . 14. 一批产品共10个正品,2个次品,任取两次,每次取一件(取后不放回),则第2次抽取为次品的概率 61 . 15. 甲、乙、丙三人入学考试合格的概率分别是52 ,21 ,32,三人中恰好有两人合格的概率为 2/5 . 16. 一次试验中事件A 发生的概率为p , 现进行n 次独立试验, 则A 至少发生一次的概率为11n p --();A 至多发生一次的概率为 11(1)n n p np p --+-() .17. 甲、乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为和,现已知目标被击中,则它是甲中的概率为 .二、选择题1.以A 表示事件“甲种产品畅销,乙种产品滞销”则其对立事件A 为(D ).(A )“甲种产品畅销,乙种产品滞销”; (B )“甲、乙两种产品均畅销”;(C )“甲种产品滞销”; (D )“甲种产品滞销或乙种产品畅销”.2. 对于任意二事件不等价的是与和B B A B A =Y ,(D ).() ; () ; () ; () .A A B B B A C AB D AB ⊂⊂=Φ=Φ3. 如果事件A ,B 有B A ,则下述结论正确的是(C ).(A ) A 与B 同时发生; (B )A 发生,B 必发生;(C ) A 不发生B 必不发生; (D )B 不发生A 必不发生.4. A 表示“五个产品全是合格品”,B 表示“五个产品恰有一个废品”,C 表示“五个产品不全是合格品”,则下述结论正确的是(B ).() ; () ; () ; .A AB B AC C B CD A B C ====-() 5. 若二事件A 和B 同时出现的概率P(AB )=0则(C ).(A )A 和B 不相容; (B )AB 是不可能事件;(C )AB 未必是不可能事件; (D )P(A )=0或P(B )=0.6. 对于任意二事件A 和有=-)(B A P (C ).(A) )()(B P A P -; (B ))()()(AB P B P A P +-;(C ))()(AB P A P -; (D ))()()()(B A P B P B P A P -++.8. 设A , B 是任意两个概率不为0的不相容的事件,则下列事件肯定正确的(D ). (A) B A 与不相容; (B)B A 与相容; (C) P(AB )=P(A )P(B ); (D) P(A −B )=P(A ).9. 当事件A 、B 同时发生时,事件C 必发生则(B ).(A)()()()1;(B)()()()1;(C)()(); (D)()().P C P A P B P C P A P B P C P AB P C P A B ≤+-≥+-==+ 10. 设B A ,为两随机事件,且A B ⊂ ,则下列式子正确的是 (A ).(A ))()(A P B A P =+; (B) )()(A P AB P =;(C) )()|(B P A B P =; (D) )()()(A P B P A B P -=-.11. 设则下列等式成立的是是三随机事件,且、、,0)(>C P C B A ( B).() (|)(|)1; () (|)(|)(|)(|);() (|)(|)1; () (|)(|)(|).A P A C P A CB P A BC P A C P B C P AB C C P A C P A CD P A B C P A C P B C +==+-+==U U 12. 设B A ,是任意两事件, 且0)(,>⊂B P B A , 则下列选项必然成立的是(B ). ()()(|); ()()(|);()()(|); ()()(|).A P A P AB B P A P A BC P A P A BD P A P A B <≤>≥ 13.设B A ,是任意二事件,且()0P B >,(|)1P A B =,则必有( C ).(A) ()()P A B P A +>; (B) ()()P A B P B +>;(C) ()()P A B P A +=; (D) ()()P A B P B +=.14. 袋中有5个球,其中2个白球和3个黑球,又有5个人依次从袋中任取一球,取后不放回,则第二人取到白球的概率为(D ).1212() ; () ; () ; () .4455A B C D15. 设则,1)|()|(,1)(0,1)(0=+<<<<B A P B A P B P A P (D ).(A) 事件B A 和互不相容; (B) 事件B A 和互相对立;(C) 事件B A 和互不独立; (D) 事件B A 和相互独立.16. 某人向同一目标重复射击,每次射击命中目标的概率为)10(<<p p ,则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为(C ).222222(A)3(1); (B)6(1);(C)3(1); (D)6(1).p p p p p p p p ----三、解答题1.写出下列随机实验样本空间:(1) 同时掷出三颗骰子,记录三只骰子总数之和; (2) 10只产品中有3次产品,每次从中取一只(取出后不放回),直到将3只次品都取出,记录抽取的次数;(3) 对某工厂出厂的产品进行检查,合格的盖上“正品”,不合格的盖上“次品”,如连续查出二个次品就停止检查,或检查4个产品就停止检查,记录检查的结果。
概率论第一章随机事件及其概率答案
概率论与数理统计练习题系 专业 班 姓名 学号第一章 随机事件及其概率(一)一.选择题1.对掷一粒骰子的试验,在概率论中将“出现奇数点”称为 [ C ](A )不可能事件 (B )必然事件 (C )随机事件 (D )样本事件2.下面各组事件中,互为对立事件的有 [ B ](A )1A ={抽到的三个产品全是合格品} 2A ={抽到的三个产品全是废品}(B )1B ={抽到的三个产品全是合格品} 2B ={抽到的三个产品中至少有一个废品}(C )1C ={抽到的三个产品中合格品不少于2个} 2C ={抽到的三个产品中废品不多于2个}(D )1D ={抽到的三个产品中有2个合格品} 2D ={抽到的三个产品中有2个废品}3.下列事件与事件A B -不等价的是 [ C ](A )A AB - (B )()A B B ⋃- (C )A B (D )A B4.甲、乙两人进行射击,A 、B 分别表示甲、乙射中目标,则A B ⋃表示 [ C ](A )二人都没射中 (B )二人都射中(C )二人没有都射着 (D )至少一个射中5.以A 表示事件“甲种产品畅销,乙种产品滞销”,则其对应事件A 为. [ D ](A )“甲种产品滞销,乙种产品畅销”; (B )“甲、乙两种产品均畅销”;(C )“甲种产品滞销”; (D )“甲种产品滞销或乙种产品畅销6.设{|},{|02},{|13}x x A x x B x x Ω=-∞<<+∞=≤<=≤<,则AB 表示 [ A ](A ){|01}x x ≤< (B ){|01}x x <<(C ){|12}x x ≤< (D ){|0}{|1}x x x x -∞<<⋃≤<+∞7.在事件A ,B ,C 中,A 和B 至少有一个发生而C 不发生的事件可表示为 [ A ](A )C A Y C B ; (B )C AB ;(C )C AB Y C B A Y BC A ; (D )A Y B Y C .8、设随机事件,A B 满足()0P AB =,则 [ D ](A ),A B 互为对立事件 (B) ,A B 互不相容(C) AB 一定为不可能事件 (D) AB 不一定为不可能事件二、填空题1.若事件A ,B 满足AB φ=,则称A 与B 互斥或互不相容 。
概率统计习题集(含答案)
第一章 随机事件及其概率一、选择题:1.设A 、B 、C 是三个事件,与事件A 互斥的事件是: ( )A .AB AC + B .()A B C + C .ABCD .A B C ++2.设B A ⊂ 则 ( )A .()P AB =1-P (A ) B .()()()P B A P B A -=-C . P(B|A) = P(B)D .(|)()P AB P A =3.设A 、B 是两个事件,P (A )> 0,P (B )> 0,当下面的条件( )成立时,A 与B 一定独立A .()()()P AB P A P B = B .P (A|B )=0C .P (A|B )= P (B )D .P (A|B )= ()P A4.设P (A )= a ,P (B )= b, P (A+B )= c, 则 ()P AB 为: ( )A .a-bB .c-bC .a(1-b)D .b-a5.设事件A 与B 的概率大于零,且A 与B 为对立事件,则不成立的是 ( )A .A 与B 互不相容 B .A 与B 相互独立C .A 与B 互不独立D .A 与B 互不相容6.设A 与B 为两个事件,P (A )≠P (B )> 0,且A B ⊃,则一定成立的关系式是( )A .P (A|B )=1 B .P(B|A)=1C .(|A)1p B =D .(A|)1p B =7.设A 、B 为任意两个事件,则下列关系式成立的是 ( )A .()AB B A -= B .()A B B A -⊃C .()A B B A -⊂D .()A B B A -=8.设事件A 与B 互不相容,则有 ( )A .P (AB )=p (A )P (B ) B .P (AB )=0C .A 与B 互不相容D .A+B 是必然事件9.设事件A 与B 独立,则有 ( )A .P (AB )=p (A )P (B ) B .P (A+B )=P (A )+P (B )C .P (AB )=0D .P (A+B )=110.对任意两事件A 与B ,一定成立的等式是 ( )A .P (AB )=p (A )P (B ) B .P (A+B )=P (A )+P (B )C .P (A|B )=P (A )D .P (AB )=P (A )P (B|A )11.若A 、B 是两个任意事件,且P (AB )=0,则 ( )A .A 与B 互斥 B .AB 是不可能事件C .P (A )=0或P (B )=0D .AB 未必是不可能事件12.若事件A 、B 满足A B ⊂,则 ( )A .A 与B 同时发生 B .A 发生时则B 必发生C .B 发生时则A 必发生D .A 不发生则B 总不发生13.设A 、B 为任意两个事件,则P (A-B )等于 ( )A . ()()PB P AB - B .()()()P A P B P AB -+C .()()P A P AB -D .()()()P A P B P AB --14.设A 、B 、C 为三事件,则AB BC AC 表示 ( )A .A 、B 、C 至少发生一个 B .A 、B 、C 至少发生两个C .A 、B 、C 至多发生两个D .A 、B 、C 至多发生一个15.设0 < P (A) < 1. 0 < P (B) < 1. P(|B)+P(A B A )=1. 则下列各式正确的是( )A .A 与B 互不相容 B .A 与B 相互独立C .A 与B 相互对立D .A 与B 互不独立16.设随机实际A 、B 、C 两两互斥,且P (A )=0.2,P (B )=0.3,P (C )=0.4,则PA B C -= ()( ). A .0.5 B .0.1 C .0.44 D .0.317掷两枚均匀硬币,出现一正一反的概率为 ( )A .1/2B .1/3C .1/4D .3/418.一种零件的加工由两道工序组成,第一道工序的废品率为 1p ,第二道工序的废品率为2p ,则该零件加工的成品率为 ( )A .121p p --B .121p p -C .12121p p p p --+D .122p p --19.每次试验的成功率为)10(<<p p ,则在3次重复试验中至少失败一次概率为( )。
第1章随机事件及其概率习题解答
第1章随机事件及其概率习题解答一.选择题1.下列关系正确的是( C ).A ..B ..C .0∈∅{0}∅∈{0}∅⊂.D .{0}∅=.2.随机试验E 为:统计某路段一个月中的重大交通事故的次数,A ={无重大交通事故};B ={至少有一次重大交通事故};C ={重大交通事故的次数大于1};{重大交通事故的次数小于2},则互不相容的事件是( D ).D =A .B 与C . B .A 与. C .D B 与. D .C 与.D D 3.设{}{}2222(,)1,(,)4P x y x y Q x y x y =+==+=,则( C ).A ..B ..C .与P Q ⊂P Q <P Q ⊂P Q ⊃都不对.D ..4P Q =4.打靶3发,事件{击中发},i =0,1,2,3.那么事件i A =i 12A A A A 3=U U 表示( B ). A .全部击中.B .至少有一发击中.C .必然击中.D .击中不少于3发.5.设,,A B C 为随机试验中的三个事件,则A B C U U 等于( B ) .A .ABC U U . B .A B C I I . C ..D ..A B C I I A B C U U 6.设A 与B 互斥(互不相容),则下列结论肯定正确的是( D ) .A .A 与B 不相容. B .A 与B 必相容.C ..D .()()()P AB P A P B =()(P A B P A )−=.7.设随机事件A 、B 互斥,(), (),P A p P B q ==则()P A B =U ( D ).A ..B .1.C ..D .1q q −p p −.8.设随机事件A 、B 互斥,(), ()P A p P B q ==,则()P A B =I ( A ).A ..B .1.C ..D .1p p −q q −.9.设有10个人抓阄抽取两张戏票,则第三个人抓到戏票的概率等于( D ).A .0 .B .14.C .18.D .15.10.设,则下列公式正确的是( C ).()0, ()0P A P B >>A .[]()() 1(P A B PA PB −=−). B .( )()()P A B P A P B =⋅.C .(|)(|P AB A P B A )=.D .()(|P A B P B A =).11.随机事件A 、B 适合B A ⊂,则以下各式错误的是( B ).A ..B .()(P A B P A =U )(|)()P B A P B =.C .( )()P A B P A =.D .()()P B P A ≤.12.设A .B 为任意两个事件并适合A B ⊂,,则下结论必然成立的是( B ). ()0P B >A .. B .()(|)P A P A B <()(|)P A P A B ≤.C ..D ..()(|)P A P A B >()(|)P A P A B ≥13.已知()0.8, ()0.6, ()0.96P A P B P A B ===U ,则(|)P B A =( B ).A ..B .0.55.C .0.441115. D .. 0.4814.设,A B 相互独立,,()0.75P A =()0.8P B =,则()P A B =U ( B ).A .0.45.B .0.4.C .0.6.D .0.55.15.某类灯泡使用时数在500小时以上的概率为0.5,从中任取3个灯泡使用,则在使用500小时之后无一损坏的概率为( A ).A .18.B .28.C .38.D .48. 16.一批产品,优质品占20%,进行重复抽样检查,共取5件产品进行检查,则恰有三件是优质品的概率等于( D ).A . .B ..C . 30.230.20.8×230.210×.D . .32100.20.8××17.若,A B 相互独立,,()0.3P B =()0.6P A =,则(P B A )等于( B ).A .0.6B .0.3C .0.5D .0.1818.设,A B 相互独立且()0.7,()0.4P A B P A ==U ,则()P B =( A ).A .0.5.B .0.3.C .0.75.D .0.42.19.一批产品的废品率为0.01,从中随机抽取10件,则10件中废品数是2件的概率为( C ).A .B .210(0.01)C 22822810(0.01)(0.99)C C . D .8210(0.01)(0.99)C 8810(0.01)(0.99)C 20.每次试验的成功率为(01)p p <<,则在三次独立重复试验中,至少失败一次的概率为( B ).A .3(1)p −.B .31p −.C .3(1)p −.D .23(1)(1)(1)p p p −+−+−. 二.填空题21. 设A ={掷一颗骰子出现偶数点},B ={掷一颗骰子出现2点},则A 与B 有关系B A ⊂.22.如果A B A =U ,且AB A =,则事件A 与B 满足的关系是__ A=B ________.23.对目标进行射击,设表示恰好射中i 次的事件,(=0,1,2,3,4).那么表示事件“射中次数___i A i 23A A A A =U U 4不小于二次(或≥2)______”24.设样本空间,则{1,2,10},{2,3,4,},{3,4,5,},{5,6,7}U A B C ====L ()A B C =U {1,2,5,6,7,8,9,10}.25.已知,()0.72P AB =()0.18P AB =,则()P A =____0.90_______.26.设,A B 是两个互不相容的随机事件,且知11(),()42P A P B ==则()P A B =U ()()()()(()()1/2P A P B P AB P A P B P A P AB +−=+−+=. 27.一批产品1000件,其中有10件次品,每次任取一件,取出后不放回去,连取二次,则取得的都是正品的概率等于99098910879100099911100×=.28.已知:.则__()0.4, ()0.3, ()0.3P A P B P A B ==−=()P A B =U _0.6_______.29.已知和,则()P A (P AB )()P A B =U 1()()P A P AB −+. 30.已知:11()()() ()() ()0416P A P B P C P AB P BC P AC ======. 则(P A B C ⋅⋅=)___3/8_______.31.已知()0.5 ()0.4 ()0.7P A P B P A B ===U .则()P A B −=____0.3______.32.已知()0.1,()0.3,()0.2P A P B P A B ===,则(|)P A B =__4/70_______.33.已知11(),()24P A P B A ==,则()P AB =_____3/8_____. 34.已知1334(),(|),(|)35P A P B A P B A ===(|)P A B ,则=__2/7___. 35.已知12(),(),(|)25P A P B P B A 23===,则()P A B =U ___17/30_________. 36.设是随机试验123,,A A A E 的三个相互独立的事件,已知1()P A α=,2()P A β=,3()P A γ=,则至少有一个发生的概率是123,,A A A αβγαββγγααβγ++−−−+. 37.事件,A B 相互独立,且(),(01),()(01)P A p p P B q q =<<=<<,则{}P A B =U 1pq −.38.设,A B 相互独立,且知11(),()23P A P B ==,则()P A B =U ___2/3________. 39.从含有6个红球,4个白球和5个蓝球的盒中随机地摸取一个球,则取到的不是红球的事件的概率等于_______3/5______________.40.某车间有5台机器,每天每台需要维修的概率为0.2,则同一天恰好有一台需要维修的概率为145(0.2)(0.8)0.4096C =.41.一只袋中有4只白球和2只黑球,另一只袋中有3只白球和5只黑球,如果从每只袋中独立地各摸一只球,则事件“两只球都是白球”的概率等于___1/4______.42.设袋中有两个白球和三个黑球,从袋中依次取出一个球,有放回地连续取两次,则取得二个白球的事件的概率是220.1655⋅=.43.某产品的次品率为0.002,现对其进行重复抽样检查,共取200件样品,则查得其中有4件次品的概率的计算式是p 44196200(0.002)(0.998)C ××.44.设在一次试验中事件A 发生的概率为p ,则在5次重复独立试验中.A 至少发生一次的概率是51(1)p −−.三.应用计算题 45.已知()0.3P A =,()0.4P AB =,()0.5P B =,求(1); (2); (3); (4)(P AB )))(P B A −(P A B U (P AB ).解:(1)由 ()0.3P A =,()()()0.4P AB P A P AB =−=得,()0.P AB =3(2)()()()0.50.30.2P B A P B P AB −=−=−=(3)()()()()0.9P A B P A P B P AB =+−=U (4)(()1()0.P P A B P A B ==−U U 1= 46. 已知3.0)(=A P ,4.0)(=B P ,5.0(=B A P ,求(B A B P U .解:由()()()0.5P AB P A P AB =−=得,()0.P AB 2=[()]()()P B A B P B A B P A B =I U U U ()()()()P A B P A P B P AB =+−I 0.20.250.8== 47. 已知41)(=A P ,31)(=AB P ,21)(=B A P ,求. )(B A P U 解:由()1()()3P AB P B A P A ==,得11()()31P AB P A 2==;又由()1()()2P AB P A B P B ==, 得1()2()6P B P AB ==,由此得 ()()()()P A B P A P B P AB =+−U 111146123=+−= 48. 某门课只有通过口试及笔试两种考试才能结业.某学员通过口试的概率为80%,通过笔试的概率为65%,至少通过两者之一的概率为85%.问这名学生能完成这门课程结业的概率是多少?解:设A ={通过口试},B ={通过笔试},则这名学生能完成这门课程结业的概率为 ()()()()0.80.650.850.6P AB P A P B P A B =+−U =+−=49.一批产品总数为100件,其中有2件为不合格品,现从中随机抽取5件,问其中有不合格品的概率是多少?解:设A ={所抽取的5件没有不合格品},则其中有不合格品的概率为598510089397()1()11990990C P B P A C =−=−=−= 50. 在区间(0,1)中随机地取两个数,求这两个数只差的绝对值小于21的概率. 解:设A ={取到的两个数只差的绝对值小于21},又设取到的两个数分别为和x y ,则,{(,)|01,01}x y x y Ω=<<<<{(,)|||1/2}A x y x y =−<,则有11/43()0.7514A S P A S Ω−==== 51. 设某种动物由出生算起活20年以上的概率为0.8,活25年以上的概率为0.4.如果现在有一只20岁的这种动物,问它能活到25岁以上的概率是多少?解:设A ={某种动物由出生算起活20年以上},B ={某种动物由出生算起活25年以上},则一只20岁的这种动物,它能活到25岁以上的概率为()()0.4(|)0.5()()0.8P AB P B P B A P A P A ==== 52. 设有100件产品,其中有次品10件,现依次从中取3件产品,求第3次才取到合格品的概率.解:设{第i 次取到合格品},则第3次才取到合格品的概率为i A =123121312()()(|)(|)P A A A P A P A A P A A A =10990910099981078=××= 53. 有两个口袋,甲袋中盛有2个白球,1个黑球;乙袋中盛有1个白球,2个黑球.由甲袋中任取一球放入乙袋,再从乙袋任取一球,问从乙袋取得白球的概率是多少?解:设A={从甲袋中取白球放入乙袋},B={从乙袋取得白球},则()()(|)()(|P B P A P B A P A P B A =+22115343412=×+×= 54. 设男女两性人口之比为51:49.又设男人色盲率为2%,女人色盲率为0.25%.现随机抽到一个人为色盲,问该人是男人的概率是多少?解:设A={男},B={色盲},则()(|)()P AB P A B P B =()(|)()(|)()(|)P A P B A P A P B A P A P B A =+ 0.510.020.89280.510.020.490.0025×=≈×+× 55. 做一系列独立的试验,每次试验中成功的概率为p ,求在成功次之前已经失败次的概率.n m 解:设A={前1n m +−试验中有失败},B={n m m +次试验成功},则在成功n 次之前已经失败m 次的概率为111()()()(1)(1)m n m m n m n m n P AB P A P B C p p p C p p −+−+−==−⋅=−m56. 加工某一零件共需经过四道工序,设各道工序的次品率分别是2%, 3%,5%,3%,假定各道工序是互不影响的,求加工出来的零件的次品率.解:设{第i 道工序合格},则加工出来的零件的次品率为i A =12341234()()P P A A A A =U U U I I I 12341(P A A A A )=−I I I12341()()()()P A P A P A P A =−10.980.970.950.970.124=−×××≈。
随机事件与概率练习题及答案
第7章 随机事件与概率一、填空题⒈ 设A B C ,,是三个事件,那么A 发生,但C B ,至少有一个不发生的事件表示为 .⒉ 若事件A B ,满足A B U AB +==∅,,且P A ().=03,则P B ()= . ⒊ 已知85)(=+B A P ,83)(=AB P ,83)(=B P ,则=)(A P . ⒋ 设A 与B 互不相容的两个事件,0)(>B P ,则有P A B ()= .5. 若事件A B ,满足A B ⊃,则P A B ()-= .二、单项选择题⒈ 设A ,B 为两事件,则下列等式成立的是( ).A .B A B A +=+ B . B A AB ⋅=C . B A B B A +=+D . B A B B A +=+2. 对任意二事件A B ,,等式( )成立。
A .P AB P A P B ()()()= B .P A B P A P B ()()()+=+C .P A B P A P B ()()(())=≠0D .P AB P A P B A P A ()()()(())=≠03. 袋中放有3个红球,2个白球,第一次取出一球,不放回,第二次再取一球.则两次都是红球的概率是( )A . 259B . 103C . 256D . 203 4. 若事件A B ,满足1)()(>+B P A P ,则A 与B 一定( ).A . 不相互独立B . 相互独立C . 互不相容D . 不互不相容5. 甲、乙两人各自考上大学的概率分别为70%,80%,则甲、乙两人同时考上大学的概率为( ).A . 56%B . 50%C . 75%D . 94%三、解答题⒈ 已知4.0)(=A P ,8.0)(=B P ,5.0)(=B A P ,求P B A ().⒉ 设事件A ,B 相互独立,已知6.0)(=A P ,8.0)(=B P ,求A 与B 只有一个发生的概率.⒊ 设箱中有3个白球2个黑球,从中依次不放回地取出3球,求第3次才取到的黑球概率.⒋ 设事件A ,B 的概率分别为21)(=A P ,32)(=B P ,试证A 与B 是相容的. 5.已知事件A ,B ,C 相互独立,试证)(B A +与C 相互独立.6. 已知事件A 与B 相互独立,证明A 与B 相互独立.答案及解答:一、填空题⒈)(C B A + ⒉0.7 ⒊375.0 ⒋ 0 5.)()(B P A P -二、单项选择题⒈ C ⒉ D 3.B 4. D 5. A三、解答题⒈ 解 因为B A AB B +=,)()()(B A P AB P B P +=,即)()()(B A P B P AB P -=所以,P B A ())()(A P AB P =434.05.08.0)()()(=-=-=A P B A P B P ⒉ 解 因为A 与B 只有一个发生的事件为:B A B A +,且事件A 与B 相互独立,则事件A 与B ,A 与B 也相互独立. 故)(B A P +=)()(B P A P +=)()()()(B P P P A P +=0.6⨯(1-0.8)+ (1-0.6)⨯0.8 = 0.44⒊ 解 设事件A ={从有3个白球2个黑球的箱中取出一球是白球},B ={从有2个白球2个黑球的箱中取出一球是白球},C ={从有1个白球2个黑球的箱中取出一球是黑球},D ={从有3个白球2个黑球的箱中依次不放回地取出3球,第3次才取到的黑球};则53)(=A P ,42)(=B P ,32)(=C P 且事件A ,B ,C 相互独立,所以 )()()()()(C P B P A P ABC P D P ==324253⨯⨯== 0.2 ⒋ 证 由概率性质和加法公式知 )(3221)()()()(1AB P AB P B P A P B A P -+=-+=+> 6113221)(=-+>AB P ,即0)(≠AB P 所以,由互不相容定义知,事件A 与B 是相容的.5.证 因为事件A ,B ,C 相互独立, 即)()()(C P A P AC P =,)()()(C P B P BC P =, 且 )()()(])[(ABC P BC P AC P C B A P -+=+=)()()()()()()(C P B P A P C P B P C P A P -+=)()]()()()([C P B P A P B P A P -+=)()(C P B A P +所以)(B A +与C 相互独立.6.证 因为事件A 与B 相互独立,即)()()(B P A P AB P =,且 )(1)(B A P B A P +-=)()()(1AB P B P A P +--=)())(1()(1B P A P A P ---=))(1))((1(B P A P --= )()(B P A P = 所以,A 与B 相互独立.4.05.02.0)()()(===A P AB P A B P。
第一章_随机事件及其概率习题
第一章随机事件及其概率习题一一、填空题1.设样本空间,事件,则, 、2、连续射击一目标,表示第次射中,直到射中为止得试验样本空间,则=、3.一部四卷得文集,按任意次序放在书架上,各卷自左向右,或自右向左顺序恰好为1、2、3、4概率为、4.一批(个)产品中有个次品、从这批产品中任取个,其中恰有个个次品得概率就是、5.某地铁车站, 每5分钟有一趟列车到站,乘客到达车站得时刻就是任意得,则乘客侯车时间不超过3分钟得概率为0、6 、6.在区间(0, 1)中随机地取两个数,则事件“两数之与小于”得概率为0、68 、7.已知P(A)=0、4, P(B)=0、3,(1)当A,B互不相容时, P(A∪B)= 0、7; P(AB)= 0 、(2)当B A时, P(A+B)= 0、4 ; P(AB)= 0、3 ;8、若,;;=、9、事件两两独立, 满足,且P(A+B+C )=,=0、25??、10.已知随机事件得概率,随机事件得概率,及条件概率,则与事件得概率0、7 、12.假设一批产品中一、二、三等品各占60%、30%、10%,从中随机取一件结果不就是三等品,则取到一等品得概率为、13、已知、14、一批产品共10个正品,2个次品,任取两次,每次取一件(取后不放回),则第2次抽取为次品得概率、15、甲、乙、丙三人入学考试合格得概率分别就是,三人中恰好有两人合格得概率为2/5 、16、一次试验中事件发生得概率为p, 现进行次独立试验, 则至少发生一次得概率为;至多发生一次得概率为、17、 甲、乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为0、6与0、5,现已知目标被击中,则它就是甲中得概率为 0、75 、二、选择题1.以表示事件“甲种产品畅销,乙种产品滞销”则其对立事件为(D)、(A)“甲种产品畅销,乙种产品滞销”; (B)“甲、乙两种产品均畅销”;(C)“甲种产品滞销”; (D)“甲种产品滞销或乙种产品畅销”、2、 对于任意二事件(D)、() ; () ; () ; () .A A B B B A C AB D AB ⊂⊂=Φ=Φ3、 如果事件A,B 有B ⊂A,则下述结论正确得就是(C)、(A ) A 与B 同时发生; (B)A 发生,B 必发生;(C) A 不发生B 必不发生; (D)B 不发生A 必不发生、4、 A 表示“五个产品全就是合格品”,B 表示“五个产品恰有一个废品”,C 表示“五个产品不全就是合格品”,则下述结论正确得就是(B)、() ; () ; () ; .A AB B AC C B CD A B C ====-() 5、 若二事件与同时出现得概率P()=0则(C)、(A)与不相容; (B)就是不可能事件;(C)未必就是不可能事件; (D)P()=0或P()=0、6、 对于任意二事件与有 (C )、(A) ; (B);(C); (D)、8、 设A , B 就是任意两个概率不为0得不相容得事件,则下列事件肯定正确得(D)、(A) 不相容; (B)相容; (C) P(AB )=P(A )P(B ); (D) P(A −B )=P(A )、9、 当事件A 、B 同时发生时,事件C 必发生则(B)、(A)()()()1;(B)()()()1;(C)()(); (D)()().P C P A P B P C P A P B P C P AB P C P A B ≤+-≥+-==+ 10、 设为两随机事件,且 ,则下列式子正确得就是 (A )、(A); (B) ;(C) ; (D) 、11、 设( B )、() (|)(|)1; () (|)(|)(|)(|);() (|)(|)1; () (|)(|)(|).A P A C P A CB P A BC P A C P B C P AB C C P A C P A CD P A B C P A C P B C +==+-+==U U 12、 设就是任意两事件, 且, 则下列选项必然成立得就是(B)、()()(|); ()()(|);()()(|); ()()(|).A P A P AB B P A P A BC P A P A BD P A P A B <≤>≥ 13.设就是任意二事件,且,,则必有( C )、(A) ; (B) ;(C) ; (D) .14、 袋中有5个球,其中2个白球与3个黑球,又有5个人依次从袋中任取一球,取后不放回,则第二人取到白球得概率为(D )、1212() ; () ; () ; () .4455A B C D15、 设(D)、(A) 事件互不相容; (B) 事件互相对立;(C) 事件互不独立; (D) 事件相互独立、16、 某人向同一目标重复射击,每次射击命中目标得概率为,则此人第4次射击恰好第2次命中目标得概率为(C)、三、解答题1、写出下列随机实验样本空间:(1) 同时掷出三颗骰子,记录三只骰子总数之与;(2) 10只产品中有3次产品,每次从中取一只(取出后不放回),直到将3只次品都取出,记录抽取得次数;(3) 对某工厂出厂得产品进行检查,合格得盖上“正品”,不合格得盖上“次品”,如连续查出二个次品就停止检查,或检查4个产品就停止检查,记录检查得结果。
概率及其数理统计练习题
第一章 随机事件及其概率 练习题一、填空题1.在n 阶行列式det()ij n n a ⨯的展开式中任取一项,若此项不含元素11a 的概率为20082009,则此行列式的阶数n = 。
2.设, A B 是任意两个随机事件,则{()()()()}P A B A B A B A B ++++= 。
3.假设一批产品中一、二、三等品各占60%,30%,10%,从中随意取出一件,结果不是三等品,则取到的是一等品的概率为 。
4.事件, A B 相互独立,7()()1, ()9P A P B a P A B ==-+=,则a = 。
5.有一根长l 的木棒,任意折成三段,恰好能构成一个三角形的概率为 。
二、选择题6.若二事件, A B 同时出现的概率()0P AB =,则( )。
(A )A 和B 不相容 (B )AB 是不可能事件(C )AB 未必是不可能事件 (D )()0P A =或()0P B =7.袋中装有5个球,其中白球2个,黄球3个,甲、乙两人依次从袋中各取一球,记A =“甲取到白球”,B =“乙取到白球”。
若取出后又放回,此时记1()p P A =,2()p P B =;若取出后不放回,此时记3()p P A =,4()p P B =,那么下面正确的是( )。
(A )1234p p p p ≠≠≠ (B )1234p p p p ===(C )1234p p p p =≠≠ (D )1234p p p p ==≠8.已知()0P B >,12A A =Φ,则下列各式不正确的是( )。
(A )1212()()()P A A B P A B P A B +=+ (B )12()0P A A B =(C )12()1P A A B = (D )12()1P A A B +=9.对于任意二事件A 和B ,下列论断正确的是( )。
(A )若AB ≠Φ,则, A B 一定独立 (B )若AB ≠Φ,则, A B 可能独立(C )若AB =Φ,则, A B 一定独立 (D )若AB =Φ,则, A B 一定不独立10.某人向一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为 (01)p p <<,则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为( )。
习题一随机事件及其概率
习题一 随机事件及其概率一、填空题1.设随机试验E 对应的样本空间S ,与其任何事件不相容的事件为φ,而与其任何事件相互独立的事件为φS ;设有P (A|B )=1, 则A 、B 两事件的关系为 A=B ;设E 为等可能型试验,且S 包含 10 个样本点,则按古典概率的定义其任一基本事件发生的概率为 0.1 。
2.若A 表示某甲得100分的事件,B 表示某乙得100分的事件,则(1)A 表示 甲未得100分的事件;(2)A B ⋃表示 甲乙至少有一人得100分的事件;(3)AB 表示 甲乙都得100的事件;(4)AB 表示 甲得100分,但乙未得100分的事件;(5)AB 表示 甲乙都没得100分的事件;(6)AB 表示 甲乙不都得100分的事件;3.若事件,,A B C相互独立,则()P A B C ⋃⋃= ()()()()()()()()()()P A P B P C P A P B P A P C P B P C P A PB PC ++---+。
4.若事件,A B 相互独立,且()0.5,()0.25,P A P B ==则 ()P A B ⋃=0.625。
5.设111()()(),()()(),(),4816P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =======则 ()P A B C ⋃⋃=167;()P ABC =169;(,,)P A B C =至多发生一个43;(,,P A B C =恰好发生一个)163 ;(|)P A A B C ⋃⋃=74。
6.袋中有 50 个乒乓球,其中 20 个是黄球,30 个白球,今有两人依次随机地从袋中各取1球,取后不放回,则第二个人取得黄球的概率是 0.4 。
7.将 C ,C ,E ,E ,I,N,S 七个字母随机地排成一行,则恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为11260。
8.10 件产品有 4 件次品,现逐个进行检查,则不连续出现 2 个次品的概率为 。
概率论与数理统计教材第1章习题
47
1.20 把10本书任意地放在书架上, 求其中指定的 3本放在一起的概率。
解 基本事件的总数:
N P10 设A =“指定的3本放在一起”,
则A所包含的基本事件的数:
M P3 P8
∴ P( A) M P3 P8 8!3! 1 0.067 N P10 10! 15
48
1.21. 1~100个共100个数中任取一个数,求这个数能被2或3 或5整除的概率。
(1) (2) (3) (4)
A表示B
表示
表A示B
表示
AB
AA
; ; ; ;
解答
返回
1.3设A, B, C 表示三个事件, 试将下列事件用A, B, C 表示.
(1)A, B, C 都发生. (2)A, B, C 都不发生. (3)A, B, C 不都发生. (4)A, B, C 中至少有一个发生. (5)A, B, C 中至少有二个发生. (6)A, B, C 中恰好有一个发生. (7)A, B, C 中最多有一个发生. (8)A 发生而 B, C 都不发生. (9)A 不发生但 B, C 中至少有一个发生.
解: 设A= “被2整除”
B=“பைடு நூலகம்3整除”
C=“被5整除”
PA 50 PB 33 PC 20
100
100
100
PAB 16 PAC 10 PBC 6
100
100
100
PABC 3
100
所以所求事件的概率为
PA BC
PA PB PC PAB PBC PAC PABC
0.74
解答
返回
1.19 某工厂生产的100个产品中,有5个次品, 从这批产品中任取一半来检查,设A表示发现次品 不多于1个,求A的概率。
随机事件及概率复习题与答案
随机事件及概率复习题一、选择题1.某厂的产品合格率为90%,某人购买了该厂的10件产品,则下列说法正确的是( ) (A)合格品不少于9件 (B)合格品不多于9件 (C)合格品正好是9件(D)合格品可能是9件2.将一枚骰子连续抛掷两次,则向上点数之差的绝对值不大于3的概率是( ) (A)23(B)56(C)2936(D)343.从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球,那么互斥而不对立的两个事件是( ) (A)恰有1个白球与恰有2个白球 (B)至少有1个白球与都是白球 (C)至少有1个白球与至少有1个红球 (D)至少有1个白球与都是红球4.从1,2,3,…,9这9个数中任取两数,其中: ①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数; ②至少有一个是奇数和两个都是奇数; ③至少有一个是奇数和两个都是偶数; ④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数. 上述事件中,是对立事件的是( ) (A)①(B)②④ (C)③(D)①③6.四边形ABCD 为长方形,AB =2,BC =1,O 为AB 的中点,在长方形ABCD 内随机取一点,取到的点到O 的距离大于1的概率为( ) (A)4π (B)1-4π (C)8π (D)1-8π7.如图,四边形ABCD 为矩形,BC=1,以A 为圆心,1为半径作四分之一圆弧DE ,在∠DAB 内任作射线AP ,射线AP 与线段BC 有公共点的概率为( )(A)13(B)14(C)25(D)238.现有分别写有数字1,2,3,4,5的5张白色卡片、5张黄色卡片、5张红色卡片.每次试验抽一张卡片,并定义随机变量x ,y 如下:若是白色,则x =0;若是黄色,则x =1;若是红色,则x =2.若卡片数字是n(n =1,2,3,4,5),则y =n ,则P(x +y =3)的概率是( ) (A)115(B)15 (C)215(D)4159.(能力挑战题)在区间[0,π]上随机取一个数x,则事件“sin x≤1”发生的概率为( )(A)14(B)13(C)12(D)2310.正四面体各面分别标有数字1,2,3,4,正六面体各面分别标有数字1,2,3,4,5,6,同时掷这两个正多面体,并将它们朝下面上的数字相加.则两个正多面体朝下面上的数字之和是3的倍数的概率为( )(A)12(B)13(C)14(D)15二、填空题11.(2013·南充模拟)从集合{(x,y)|x2+y2≤4,x∈R,y∈R}内任选一个元素(x,y),则(x,y)满足x+y≥2的概率为________.12.用三种不同的颜色给图中的3个矩形随机涂色,每个矩形只涂一种颜色,则(1)3个矩形颜色都相同的概率为_______.(2)3个矩形颜色都不同的概率为_______.13.(2013·武汉模拟) 两个袋中各装有编号为1,2,3,4,5的5个小球,分别从每个袋中摸出一个小球,所得两球编号数之和小于5的概率为________.15.图(2)中实线围成的部分是长方体(图(1))的平面展开图,其中四边形ABCD是边长为1的正方形.若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点,它落在长方体的平面展开图内的概率是14,则此长方体的体积是________.三、解答题16.现有编号分别为1,2,3的三道不同的政治基本题,另有编号分别为4,5的两道不同的历史基本题和一道历史附加题.甲同学从这五道基本题中一次随机抽取两道题,每题做对、做错及每题被抽到的概率是相等的.(1)用符号(x,y)表示事件“抽到的两题的编号分别为x,y,且x<y”,则该事件共有多少个基本事件?请列举出来.(2)求甲同学所抽取的两道基本题的编号之和小于8但不小于4的概率.(3)甲同学在做完两道基本题之后又做了历史附加题,做对基本题每题加5分,做对历史附加题加15分,求甲同学得分不低于20分的概率.17.(12分)从含有两件正品和一件次品的3件产品中每次任取一件.(1)每次取出后不放回,连续取两次.(2)每次取出后放回,连续取两次.试分别求取出的两件产品中恰有一件次品的概率.18.(12分)某学校的篮球队、羽毛球队、乒乓球队各有10名队员,某些队员不止参加了一支球队,具体情况如图所示,现从中随机抽取一名队员,求:(1)该队员只属于一支球队的概率.(2)该队员最多属于两支球队的概率.19.某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理.(1)若花店一天购进17枝玫瑰花,求当天的利润y(单位:元)关于当天需求量n(单位:枝,n∈N)的函数解析式.(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表:①假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花,求这100天的日利润(单位:元)的平均数;②若花店一天购进17枝玫瑰花,以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率,求当天的利润不少于75元的概率.20.(13分)袋子中有质地、大小完全相同的4个球,编号分别为1,2,3,4.甲、乙两人玩一种游戏:甲先摸出一个球,记下编号,放回后乙再摸一个球,记下编号,若两个编号的和为奇数算甲胜,否则算乙胜.记基本事件为(x,y),其中x,y 分别为甲、乙摸到的球的编号.(1)列举出所有的基本事件,并求甲胜且编号的和为5的事件发生的概率.(2)比较甲胜的概率与乙胜的概率,并说明这种游戏规则是否公平.(3)如果请你猜这两球的号码之和,猜中有奖.猜什么数获奖的可能性最大?说明理由.21.某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据,如下表所示.已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.(1)确定x,y的值,并估计顾客一次购物的结算时间的平均值.(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.(将频率视为概率)答案解析1.【解析】选D.由于产品合格率为90%,因此10件产品中可能有9件合格品,是随机的,故选D.2.【解析】选B.抛掷骰子两次,有36种等可能的结果,如表:所求概率P =36=6. 3.【解析】选A.由互斥、对立事件的概念可知,B ,C 中两事件不互斥,D 中两事件互斥且对立.4.【解析】选C.③中“至少有一个是奇数”即“两个奇数或一奇一偶”,而从1~9中任取两数共有三个事件:“两个奇数”“一奇一偶”“两个偶数”,故“至少有一个是奇数”与“两个偶数”是对立事件.6.【解析】选B.长方形面积为2,以O 为圆心,1为半径作圆,在矩形内部的部分(半圆)面积为2π,因此取到的点到O 的距离小于1的概率为2π÷2=4π,取到的点到O 的距离大于1的概率为1-4π.7.【解析】选A.因为在∠DAB 内任作射线AP ,则等可能基本事件为“在∠DAB 内作射线AP ”,当射线AP 与线段BC 有公共点时,射线AP 落在∠CAB 内,所以射线AP 与线段BC 有公共点的概率为CAB 301DAB 903∠︒==∠︒.8.【解析】选B.满足x +y =3的数对(x ,y)有三种(0,3),(1,2),(2,1).而(0,3)表示取到一张写有数字3的白色卡片,此时概率P 1=115.同理,数对(1,2)对应的概率为P 2=115,数对(2,1)对应的概率为P 3=115.∴P(x +y =3)=P 1+P 2+P 3=115+115+115=315=15.9.【解析】选C.由题意知,此概率符合几何概型,所有基本事件包含的区域长度为π,设A 表示取出的x 满足sin x ≤1这样的事件,对条件变形为sin(x+3π)≤12,A 包含的区域长度为2π.∴P(A)=2ππ=12. 10.【解析】选B.根据题意,用树状图列举出所有情况,可得共有24种情况,其中,和为3的倍数的情况有8种,所以P(和为3的倍数)=824=13.故选B.11. 【解析】如图所示,点(x,y)满足条件x+y ≥2的概率为P=AOB1S S S 4S S -=圆阴圆圆2211222242.24π-π-==ππ答案:24π-π 12.【解析】设3个矩形从左到右依次为矩形1、矩形2、矩形3,用三种不同颜色给图中3个矩形随机涂色,可能的结果共有27个.(1)记“3个矩形都涂同一颜色”为事件A ,事件A 的基本事件有3个,故P(A)=327=19. (2)记“3个矩形颜色都不同”为事件B ,事件B 的基本事件有6个,故P(B)=627=29.答案:(1) 19 (2) 2913.【解析】总的取球结果有n =5×5=25个,满足两球编号之和小于5的试验结果有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1)共6个,故所求概率为P =625. 15.【解析】设长方体的高为h ,则图(2)中虚线围成的矩形长为2+2h ,宽为1+2h ,面积为(2+2h)(1+2h),展开图的面积为2+4h ;由几何概型的概率公式知24h 1(22h)(12h)4+=++,得h =3,所以长方体的体积是V=1×3=3.答案:316.【解析】(1)共有10个等可能的基本事件,列举如下:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5).(2)记事件“甲同学所抽取的两题的编号之和小于8但不小于4”为事件A ,则事件A 共含有7个基本事件,列举如下:(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),∴P(A)=710. (3)记事件“做对历史附加题且同时至少做对一道基本题”为事件B , 则P(B)=12×[1-(12)2]=38.所以甲同学得分不低于20分的概率为38. 17.【解析】(1) 用a 1,a 2和b 1表示两件正品和一件次品,则不放回地抽取两次,其一切可能的结果为:(a 1,a 2),(a 1,b 1),(a 2,a 1),(a 2,b 1),(b 1,a 1),(b 1,a 2). 其中小括号内左边的字母表示第一次取出的产品,右边的字母表示第二次取出的产品,用A 表示“取出的两件产品中,恰好有一件次品”这一事件,则A 所含的结果为(a 1,b 1),(a 2,b 1),(b 1,a 1),(b 1,a 2),即基本事件的总数n =6,事件A 包含的事件总数m =4.故P(A)=46=23. (2)若为有放回地抽取,其基本事件包含的结果共有(a 1,a 1),(a 1,a 2),(a 1,b 1),(a 2,a 1),(a 2,a 2),(a 2,b 1),(b 1,a 1),(b 1,a 2),(b 1,b 1),用B 表示“恰有一件产品为次品”这一事件,则B 包含的结果为(a 1,b 1),(a 2,b 1),(b 1,a 1),(b 1,a 2),即基本事件的总数n =9,事件B 包含的事件总数m =4.故P(B)=49. 18.【解析】从图中可以看出,3个球队共有20名队员. (1)记“随机抽取一名队员,该队员只属于一支球队”为事件A.所以()3543P A 205++==.故随机抽取一名队员,只属于一支球队的概率为35.(2)记“随机抽取一名队员,该队员最多属于两支球队”为事件B.则P(B)=1-P (B)=1-220=910. 故抽取一名队员,该队员最多属于两支球队的概率为910. 19.【解析】(1)当日需求量n ≥17时,利润y =85. 当日需求量n<17时,利润y =10n-85. 所以y 关于n 的函数解析式为 y =10n 85n 1785n 17<⎧⎨≥⎩-,,, (n ∈N).(2)①这100天中有10天的日利润为55元,20天的日利润为65元,16天的日利润为75元,54天的日利润为85元,所以这100天的日利润的平均数为1100(55×10+65×20+75×16+85×54)=76.4. ②利润不低于75元当且仅当日需求量不少于16枝.故当天的利润不少于75元的概率为P =0.16+0.16+0.15+0.13+0.1=0.7.20.【解析】(1)共有16个等可能事件,列举如下:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4). 设“甲胜且两数字之和为5”为事件A ,则事件A 包含(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)共4个基本事件. ∴P(A)=416=14. (2)这种游戏规则公平.设甲胜为事件B ,乙胜为事件C ,则甲胜包含(1,2),(1,4),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,1),(4,3)共8个基本事件,∴甲胜的概率P(B)=816=12. 从而乙胜的概率P(C)=1-P(B)=12, ∴P(B)=P(C),故这种游戏规则公平.(3)记“所摸出的两球号码之和为i ”为事件A i (i=2,3,4,5,6,7,8).由(1)中可知事件A 2的基本结果为1种,事件A 3的基本结果为2种,事件A 4的基本结果为3种,事件A 5的基本结果为4种,事件A 6的基本结果为3种,事件A 7的基本结果为2种,事件A 8的基本结果为1种,所以摸出的两球号码之和为5的概率最大.所以,猜5获奖的可能性最大.21.【解析】(1)由已知得25+y +10=55,x +30=45,所以x =15,y =20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本,顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计,其估计值为1151.530225 2.520310100⨯⨯⨯⨯⨯++++=1.9(分钟).(2)记A 为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”,A 1,A 2,A 3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”.将频率视为概率得P(A 1)=15100=320,P(A 2)=30100=310,P(A 3)=25100=14. 因为A =A 1∪A 2∪A 3,且A 1,A 2,A 3是互斥事件,所以P(A)=P(A 1∪A 2∪A 3)=P(A 1)+P(A 2)+P(A 3)=320+310+14=710. 故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为710.。
概率论
第一章 随机事件及其概率习题全解习题1–11. 将一枚硬币连掷两次,设事件,,A B C 分别为“第一次出现正面”,“两次出现同一面”,“至少有一次出现正面”.试写出样本空间Ω及事件,,A B C 的样本点.解 根据样本空间、随机事件的定义,有:=Ω{( 正,正) (正,反 ) (反,正 ) (反,反 ) };{()()}A =正,正,正,反; {()()}B =正,正,反,反;{()(),()}C =正,正,正,反反,正2. 袋内有编号1,2,3,4的四个球,从中任取一球后不放回,再任取一球.设事件,A B 分别为“第一次取到的编号为1”,“两次取到的编号之和为6或8”.(1) 试写出事件,A B 的样本点;(2) 将取球方式改为第一次取球后放回,再第二次取球,试写出事件,A B 的样本点.解 由随机事件的定义,有(1) )}4,1(),3,1(),2,1{(=A ;)}2,4(),4,2{(=B(2) )}4,1(),3,1(),2,1(),1,1{(=A ;)}4,4(),2,4(),3,3(),4,2{(=B3. 某城市共发行日报,晚报和体育报三种报纸.设事件,,A B C 分别为“订阅日报”,“订阅晚报”,“订阅体育报”,试用,,A B C 表示下列事件:(1) 只订日报; (2) 只订日报和晚报; (3) 只订一种报纸;(4) 恰好订两种报纸; (5) 至少订一种报纸; (6) 不订任何报纸;(7) 至多订一种报纸; (8) 三种报纸全订; (9) 三种报纸不全订 解 根据事件间的关系和运算定义,有 (1)ABC ;(2)ABC ;(3)ABC ABC ABC ;(4)ABC ABC ABC ;(5)A B C 或ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ; (6)ABC ;(7)ABC ABC ABC ABC ;(8)ABC ;(9)A B C 或ABC4. 某射手向靶子射击三次,设事件i A 为“第i 次射击中靶”(1,2,3)i =,试说明下列事件的意义:(1) 321A A A ; (2) 123A A A ; (3) 123A A A ; (4) 123A A A ; (5) 123A A A --; (6) 123A A A -解 根据事件间的关系和运算定义,有(1)三次都中靶;(2)至少有一次未中靶;(3)至少有一次中靶;(4)三次都未中靶;(5)仅第一次中靶;(6)第一次中靶且后两次未都中靶5. 设,A B 为两个事件,试化简下列事件: (1) AB AB AB AB ; (2) ()()()()A B A B A B A B .解 根据事件关系与运算的分配律和结合律,得 (1) B A B A B A AB )()(B A B A B A AB =))(])[(B A A B A A = Ω==B B ; (2) ()()()()A B A B A B A B )])()][()([(B A B A B A B A =)]()][([B B A B B A ===A A ∅习题1–21. 设1.0)(=A P ,,3.0)(=B A P 且A 与B 互不相容,求)(B P .解 根据概率的加法公式,有:)()()()(AB P B P A P B A P -+=又B A ,互不相容,所以0)(=AB P ,得2.01.03.0)()()(=-=-=A P B A P B P2. 设5.0)(=A P ,4.0)(=B P ,3.0)(=-B A P ,求()P A B 和)(B A P . 解 根据概率的减法公式,有:)()()(AB P A P B A P -=-,所以2.03.05.0)()()(=-=--=B A P A P AB P ,从而)()()()(AB P B P A P B A P -+= 7.02.04.05.0=-+=8.02.01)(1)()(=-=-==AB P AB P B A P3. 设1()3P A =,1()4P B =,1()2P A B = ,求)(B A P .解 根据概率的加法公式,有:)()()()(AB P B P A P B A P -+= ,所以121214131)()()()(=-+=-+=B A P B P A P AB P 从而 12111211)(1)()(=-=-==AB P AB P B A P 4. 已知1()()()4P A P B P C ===,0)(=AB P ,1()()16P AC P BC ==,求事件,,A B C 都不发生的概率. 解 因为0)(=AB P ,所以0)(=ABC P ,从而所求概率为)(1)()(C B A P C B A P C B A P -==)()()()()()()([1ABC P BC P AC P AB P C P B P A P +---++-=83)02161341(1=+⨯-⨯-= 5. 设1()3P A =,1()2P B =,试就以下三种情况分别求)(A B P (1) AB =∅;(2) B A ⊂;(3) 1()8P AB =. 解 根据概率的减法公式,有:)()()(AB P B P A B P -=,所以(1) 当AB =∅时,0)(=AB P ,21)()(==B P A B P ; (2) 当B A ⊂时,31)()(==A P AB P ,613121)()()(=-=-=A P B P A B P ; (3) 当1()8P AB =时,838121)()()(=-=-=AB P B P A B P 6. 设()0.6P A =,()0.7P B =.试分别求()P A B 和)(AB P 可能取到的最大值与最小值.解 因为)()()()(AB P B P A P B A P -+= ,所以当)(AB P 值最小时,)(B A P 取值最大;又1)(≤B A P ,故1)(m ax =B A P ,即Ω=B A 时,)(B A P 取到最大值为1,此时,3.017.06.0)()()()(min =-+=-+=B A P B P A P AB P ;7.0)()(,6.0)()(=≥=≥B P B A P A P B A P ,故7.0)(min =B A P ,即B A ⊂时,)(B A P 取到最小值为0.7;此时6.07.07.06.0)()()()(max =-+=-+=B A P B P A P AB P7. 设事件A B ⊂,证明()()P A P B ≤.证明 因为0)()()(≥-=-AB P B P A B P ,又A B ⊂,所以)()(A P AB P =,从而0)()(≥-A P B P ,即()()P A P B ≤8. 对任意一组事件n A A A ,,,21 ,证明(1) 1)()()(2121-+≥A P A P A A P ;(2) )1()()()()(2121--+++≥n A P A P A P A A A P n n .证明 (1) 因为1)()()()(212121≤-+=A A P A P A P A A P ,所以1)()()()()()(21212121-+≥-+=A P A P A A P A P A P A A P ;(2) 由(1)知,1)()()(2121-+≥A P A P A A P ,根据数学归纳法,假设)2()()()()(121121--+++≥--n A P A P A P A A A P n n ,则])[()()()(12112121n n n n n A A A A P A P A A A P A A A P ---+=+--+++≥-)2()()()(121n A P A P A P n 1)(-n A P)1()()()(21--+++=n A P A P A P n ,结论成立.习题1–31. 有一批桶装酒共14桶,其中甲级6桶,乙级8桶,不小心把标签搞混了.现随意取3桶酒,试问恰好有1桶甲级酒,2桶乙级酒的概率是多少?解 令=A {恰好取到1桶甲级酒,2桶乙级酒},任取3桶酒总共有314C 种取法,恰好取到1桶甲级酒,2桶乙级酒有2816C C 种取法,则所求概率为136)(3142816==C C C A P 2. 有不同的数学书6本,物理书4本,化学书3本.从中任取两本,试求两本书属不同学科的概率.解 令=A {取到的两本书属不同学科},任取2本书总共有213C 种取法,两本书属不同学科有131413161416C C C C C C ++种取法,则所求概率为139)(213131413161416=++=C C C C C C C A P 3. 设10把钥匙中有3把能打开门,从中任取两把,求能打开门的概率.解 令=A {能打开门},任取2把钥匙总共有210C 种取法,能打开门的取法有231317C C C +种,则所求概率为 158)(210231317=+=C C C C A P 4. 袋内有编号为1到5的五个球,从中有放回地每次取一球,连取三次,问三个球的编号组成奇数的概率为多少?解 令=A {三个球的编号组成奇数},有放回地取球三次总共有35种取法,三个球的编号组成奇数有352⨯种取法,则所求概率为53535)(32=⨯=A P 5. 从5双不同的鞋子中任取4只,问这4只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少?解 令=A {4只中至少有两只能成一双},从5双鞋子中任取4只总共有410C 种取法,4只中至少有两只能成一双有1212241525C C C C C +种取法,则所求概率为2113)(4101212241525=+=C C C C C C A P 或者考虑对立事件A 中包含的样本点为1212121245C C C C C 个,从而21131)(41012121212415=-=C C C C C C A P 6. 一批产品共100件,其中98件正品,2件次品,从中任取3件.分别按三种取法:一次取3件;有放回连取3件;无放回连取3件,求下列事件的概率:(1) 取出的3件产品中恰有一件次品的概率;(2) 取出的3件产品中至少有一件次品的概率.解 =A {取出的3件产品中恰有1件是次品},=B {取出的3件产品中至少有1件是次品},则分别讨论下列情况:(一) 一次拿3件:从100件中任取3件总共有3100C 种取法,A 中包含12298C C 个样本点,B 中包含1982229812C C C C +个样本点,从而(1) 8058.0)(310012298==C C C A P ; (2) 4059.0)(31001982229812=+=C C C C C B P 或者 4059.01)(3100398=-=C C B P ; (二)有放回连取3件:从100件中任取3件总共有3100种取法,A 中包含32982⨯⨯个样本点,B 中包含3982329822⨯⨯+⨯⨯个样本点,从而 (1) 6057.03100982)(32=⨯⨯=A P ;(2) 8058.010039823298)(322=⨯⨯+⨯⨯=B P 或者8058.0100981)(33=-=B P ; (三) 无放回连取3件:从100件中任取3件总共有3100P 种取法,A 中包含122983P P 个样本点,B 中包含198221229833P P P P +个样本点,从而 (1) 8058.03)(310012298==P P P A P ;(2) 0594.033)(31001982212298=+=P P P P P B P 或者 4059.01)(3100398=-=P P B P 7. 从0,1,2,3四个数字中任取三个,求能排成一个末位数不是2的三位数的概率.解 令=A {排成的三位数末位不是2},从0,1,2,3四个数字中任取三个数总共有34P 种取法,排成的三位数末位不是2的取法有1212232P P P +种,则所求概率为1272)(34121223=+=P P P P A P 8. 从0,1,,9 中任取三个不同的数字,试求下列事件的概率:(1) 三个数字中含有0或5;(2) 三个数字中不含0和5.解 从0,1,,9 中任取三个不同的数字有310C 种取法,令=A {取出的3个数字含有0},=B {取出的3个数字含有5},A 、B 中均含有29C 个样本点,则所求概率为 (1) 1582)()()()(3101829=-=-+=C C C AB P B P A P B A P 或 1581)(1)(31038=-=-=C C B A P B A P ; (2) 157)(31038==C C B A P 9. 某宾馆有三部电梯,现有五人在一楼要乘电梯上楼,假定每个人都等可能地进入任何一部电梯,求每部电梯中至少有一人的概率.解 令=i A {第i 部电梯内无人})3,2,1(=i ,=B {每部电梯中至少有一人},则根据题意,得5532)(=i A P )3,2,1(=i ,5531)(=j i A A P );3,2,1,(j i j i ≠=,0)(321=A A A P ,则由加法公式得)()(321A A A P B P =)()()()()()(323121321A A P A A P A A P A P A P A P ---++=)(321A A A P +813103133235555=+⨯-⨯= 从而所求概率为815081311)(=-=B P 10. 某公共汽车从始发站开出时有8名乘客,沿途将停靠10个车站,假设这8名乘客每人都等可能地在各站下车.试求下列事件的概率(1) 8人在不同站下车;(2) 8人在同一站下车;(3) 8人都在终点站下车;(4) 8人中恰有三人在终点站下车.解 =1A {8人在不同站下车},=2A {8人在同一站下车},=3A {8人都在终点站下车},=4A {8人中恰有三人在终点站下车},8名乘客下车方式总共有810种,1A 中包含!8810C 个样本点,2A 中包含110C 个样本点,3A 中只包含1个样本点,4A 中包含5389⋅C 个样本点,从而所求概率分别为 (1) 8810110!8)(⋅=C A P ; (2) 78110210110)(==C A P ; (3) 83101)(=A P ; (4) 85382109)(⋅=C A P 11. 一个小组有5名成员,其中每人在一星期7天中等可能地任选一天参加义务劳动.试求下列事件的概率(1) 指定的5天各有一人参加劳动;(2) 有5天各有一人参加劳动.解 =A {指定的5天各有一人参加劳动},=B {有5天各有一人参加劳动},5名成员任选一天劳动的选法总共有57种,A 中包含!5个样本点,B 中包含!557C 个样本点,从而所求概率分别为 (1) 57!5)(=A P ; (2) 5577!5)(⋅=C B P 12. 公共汽车站每隔5分钟有一辆公共汽车通过,乘客在任一时刻等可能地到达车站的,求乘客候车不超过3分钟的概率.解 此问题为一维几何概型问题,令=A {乘客候车不超过3分钟},乘客等待公共汽车时间区间为]5,0(=G ,则乘客候车时间处于区间]3,[+t t ,其中]2,0(∈t ,从而所求概率为53053)(=--+=t t A P 13. 在区间(0,1)内任取两个实数,试求两数之和小于65的概率.解 此问题为二维几何概型问题,令=A }56),{(<+y x y x ,将这两个数看做x 和y ,则),(y x 的所有可能取值为}10,10),{(<<<<=y x y x D ,如图1.4所示的正方形,其面积1=D Sx图1.4 而}56),{(<+=y x y x G 与D 的交集如图1.4的阴影部分,其面积为 68.08.02112=⨯-=G S 从而所求概率为68.0)(==DG S S A P 14. 某码头只能容纳一船停靠,现预知某日将有两船到来,且在24小时内任一时刻到来的可能性相等.如果两船停靠的时间分别为4小时和6小时,试求有一船要在江心等待的概率. 解 此问题为二维几何概型问题,令=A {有一船在江心等待},不妨将停靠时间为4小时的船只到达时间看做x ,停靠时间为6小时的船只到达时间看做y ,则),(y x 的所有可能取值为}240,240),{(<<<<=y x y x D ,如图1.5所示的正方形x )6-x 4图1.5 其面积224=D S ,若停靠时间为4小时的船先到,而另一只船在江心等待,则有4≤-x y ;若停靠时间为6小时的船先到,则有6≤-y x ,从而有一船在江心等待时,有}46),{(≤-≤-=x y y x G ,其与D 的交集如图1.5的阴影部分,面积为2142021182124222=⨯-⨯-=G S ,从而所求概率为 372.024214)(2≈==D G S S A P 15. (蒲丰投针问题)设平面上一系列平行线的间距为a ,向平面投一长为l 的针(a l <),求针与平行线相交的概率.解 此问题为二维几何概型问题,=A {针与平行线相交},M 表示落下的针的中点,x 表示中点M 到最近一平行线的距离,ϕ表示针与此线的交角,图形为图1.6)(a ;则),(ϕx 的所有可能取值为}0,20),{(πϕϕ<<<<=a x x D ,图形为图1.6)(b 所示的矩形,其面积2aS D π=;针与平行线相交时,有}0,sin 2),{(πϕϕϕ<<≤=l x x G 其与D 的交集如图1.6)(b 的阴影部分,面积为l d l S G ==⎰ϕϕπ02sin ,从而所求概率为 a l a l S S A P D G ππ22)(===φ图1.6(a ) 图1.6(b )习题1–41. 已知1()4P A =,1(|)3P B A =,1(|)2P A B =,求)(B A P . 解 根据概率的乘法公式,有:1213141)()()(=⨯==A B P A P AB P ,6121121)()()(===B A P AB P B P ,从而 311216141)()()()(=-+=-+=AB P B P A P B A P 2. 设10件产品中有4件次品,从中任取两件.已知所取两件产品中有一件次品,求另一件也是次品的概率.解 =A {两件产品中至少有一件次品},=B {两件都是次品},易知A B ⊂,则所求概率为51)()()(24141624=+==C C C C A P AB P A B P 3. 为了防止意外,矿井内同时装有两种报警系统.系统Ⅰ和系统Ⅱ单独使用时,有效的概率分别为0.92和0.93.在系统Ⅰ失灵的条件下,系统Ⅱ仍有效的概率为0.85,求(1) 系统Ⅰ和系统Ⅱ都有效的概率;(2) 系统Ⅱ失灵而系统Ⅰ有效的概率;(3) 在系统Ⅱ失灵的条件下,系统Ⅰ仍有效的概率.解 =A {系统Ⅰ有效},=B {系统Ⅱ有效},根据题意知,92.0)(=A P ,93.0)(=B P ,)(1)()()()(85.0)(A P AB P B P A P A B P A B P --===,从而所求概率分别为: (1) 85.0)()(-=B P AB P 862.008.085.093.0)](1[=⨯-=-A P ; (2) 058.0862.092.0)()()(=-=-=AB P A P B A P ; (3) 8286.093.01862.092.0)(1)()()()()(=--=--==B P AB P A P B P B A P B A P 4. 某人忘记了电话号码的最后一个数字而随意拨号,求能在三次拨号内接通电话的概率.如果已知最后一个数字是奇数,则此概率是多少?解 令=i A {表示第i 次接通电话})3,2,1(=i ,=B {不超过三次接通电话},则)()(321211A A A A A A P B P =)()()(321211A A A P A A P A P ++=)()()()()()(2131211211A A A P A A P A P A A P A P A P ++=103819810991109101=⨯⨯+⨯+=; 若已知最后一位数字是奇数时,所求概率为:)()(321211A A A A A A P B P =)()()(321211A A A P A A P A P ++=)()()()()()(2131211211A A A P A A P A P A A P A P A P ++=53314354415451=⨯⨯+⨯+= 5. 有两箱相同型号的零件,第一箱装50件,其中10件一等品;第二箱装30件,其中18件一等品.现从两箱中任选一箱,再从该箱中无放回地每次取一件,连取两次.试求:(1) 第一次取到一等品的概率;(2) 在第一次取到一等品的条件下,第二次也取到一等品的概率.解 令=i A {取到第i 箱产品},=i B {第i 次取到一等品})2,1(=i ,则=21A A Ø,Ω=21A A ,从而所求概率分别为(1) )()()()(121112111B A B A P B A B A P B P +==)()()()(212111A B P A P A B P A P +=52301821501021=⨯+⨯=; (2) )()()(12112B P B B P B B P =,而 )(21B B P )()()(212211212211B B A B B A P B B A B B A P +==)()()()(22121211A B B P A P A B B P A P +=14212762121230218250210=⨯+⨯=P P P P ,从而 4856.0521421276)()()(12112===B P B B P B B P 6. 在一批产品中,甲,乙,丙三厂的产品分别占40%,50%,10%.已知三厂产品的次品率分别为0.2,0.1,0.3,试求这批产品的次品率.解 =1A {产品为甲厂产品},=2A {产品为乙厂产品},=3A {产品为丙厂产品},=B {任取一件产品为次品},则=321A A A Ø,Ω=321A A A ,从而所求概率为:)()(321B A B A B A P B P =)()()(321B A P B A P B A P ++=)()()()()()(332211A B P A P A B P A P A B P A P ++=16.03.01.01.05.02.04.0=⨯+⨯+⨯=7. 甲袋中有2个白球和4个黑球,乙袋中有5个白球和3个黑球.先从甲袋中任取两球放入乙袋,再从乙袋中任取一球.试求(1) 从乙袋中取到的是白球的概率;(2) 已知从乙袋中取到的是黑球,求从甲袋中取出的是一个黑球一个白球的概率.解 令=i A {从甲袋中取到i 个白球})2,1,0(=i ,=B {从乙袋中取到的是白球},则=210A A A Ø,Ω=210A A A ,从而所求概率分别为(1) )()(210B A B A B A P B P =)()()(210B A P B A P B A P ++=)()()()()()(221100A B P A P A B P A P A B P A P ++=301711017262211016261214110152624=⋅+⋅+⋅=C C C C C C C C C C C C C ; (2) 653230171)(1)()()()()(110142612141111=-⋅=-==C C C C C B P A B P A P B P B A P B A P 8. 设10张奖券中有4张可以中奖,每人依次任取一张,求(1) 第一人中奖的概率;(2) 第二人中奖的概率;(3) 前三人中恰有一人中奖的概率.解 令=i A {第i 个人中奖})3,2,1(=i ,则所求概率分别为(1) =)(1A P 5211014=C C ; (2) =)(2A P 5211014=C C 或者 =)(2A P )()(2121A A P A A P +)()()()(121121A A P A P A A P A P += =52191411016191311014=⨯+⨯C C C C C C C C ; (3) ))(321321321A A A A A A A A A P ++)()()(321321321A A A P A A A P A A A P ++= )()()()()()(213121213121A A A P A A P A P A A A P A A P A P +=)()()(213121A A A P A A P A P +21181419151101618151914110161815191611014=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=C C C C C C C C C C C C C C C C C C9. 有朋友自远方来,乘火车,轮船,汽车,飞机的概率分别为0.3,0.2,0.1,0.4;乘各种交通工具迟到的概率相应为0.25,0.3,0.1,0.现已知朋友迟到了,问乘哪种交通工具的可能性最大.解 根据题意知,朋友肯定不是乘飞机来的,故令=1A {朋友乘火车},=2A {朋友乘轮船},=3A {朋友乘汽车},=B {朋友迟到},则=321A A A Ø,Ω=321A A A ,)()(321B A B A B A P B P =)()()(321B A P B A P B A P ++=)()()()()()(332211A B P A P A B P A P A B P A P ++=145.01.01.03.02.025.03.0=⨯+⨯+⨯=14575145.025.03.0)()()()()()(1111=⨯===B P A B P A P B P B A P B A P ; 14560145.03.02.0)()()()()()(2222=⨯===B P A B P A P B P B A P B A P ; 14510145.01.01.0)()()()()()(3333=⨯===B P A B P A P B P B A P B A P , 从而可知,朋友乘火车来的可能性最大.10. 玻璃杯成箱出售,每箱20只,其中有0、1、2个次品的概率分别为0.8、0.1、0.1.顾客在购买时任选一箱,开箱任取4个察看,如果未发现次品就买下该箱,否则退回.试求(1) 顾客买下该箱的概率;(2) 顾客买下的该箱中确实没有次品的概率.解 令=i A {该箱内有i 件次品})2,1,0(=i ,=B {顾客买下该箱玻璃杯},则=210A A A Ø,Ω=210A A A ,从而所求概率分别为(1) )()(210B A B A B A P B P =)()()(210B A P B A P B A P ++=)()()()()()(221100A B P A P A B P A P A B P A P ++=943.04754481.01.018.0420418420419==⨯+⨯+⨯=C C C C ; (2) 85.047544818.0)()()()()()(0000=⨯===B P A B P A P B P B A P B A P 11. 来自三个地区的考生报名表分别为10份,15份,25份;其中女生报名表分别为3份,7份,5份.任取一个地区的报名表,从中无放回地先后抽取两份,试求(1) 先抽到的一份是女生表的概率;(2) 已知后抽到的一份是男生表,求先抽到的一份是女生表的概率.解 令=i A {报名表来自第i 个地区})3,2,1(=i ,=j B {第j 次抽到的是女生报名表})2,1(=j ,则=210A A A Ø,Ω=210A A A ,从而所求概率分别为(1) )()(1312111B A B A B A P B P =)()()(321B A P B A P B A P ++=)()()()()()(313212111A B P A P A B P A P A B P A P ++=9029255311573110331=⨯+⨯+⨯=; (2) )()()(22121B P B B P B B P =,而2132132122122112112B B A B B A B B A B B A B B A B B A B +++++=,)()()()()()(2132122122112112B B A P B B A P B B A P B B A P B B A P B P ++++=)(213B B A P +)]()()[()]()()[(22122121211211A B B P A B B P A P A B B P A B B P A P +++=)]()()[(3213213A B B P A B B P A P ++22522012015215281817210271713313131P P P P P P P P P P P P +⨯++⨯++⨯= 9061=;)()()()()(2212121121A B B P A P A B B P A P B B P +=)()(3213A B B P A P +2251201521518172101713313131P P P P P P P P P ⨯+⨯+⨯= 92=;从而得 6120906192)()()(22121===B P B B P B B P 习题1–51. 设事件A 与B 相互独立,且两个事件中仅有A 发生的概率和仅有B 发生 的概率均为14,求)(A P 和)(B P . 解 根据题意知,41)()(==B A P B A P ,又A 与B 相互独立,得 )()()()()()(B P A P A P AB P A P B A P -=-=)()()()()()(B P A P B P AB P B P B A P -=-=从而知)(A P )(B P =所以得41)()(2=-A P A P 解得 )(A P 21)(==B P 2. 设()0.4,()0.7P A P A B == ,试就以下两种情况求)(B P :(1) 事件A 与B 互斥;(2) 事件A 与B 独立.解 由)()()()(AB P B P A P B A P -+= ,得)()()()(AB P A P B A P B P +-= ,故(1) 当事件A 与B 互斥时,0)(=AB P ,从而3.04.07.0)(=-=B P ;(2) 当事件A 与B 独立时,)()()(B P A P AB P =,得214.014.07.0)(1)()()(=--=--=A P A P B A P B P3. 证明:如果0)(>A P ,0)(>B P ,则(1) 当A 与B 独立时,A 与B 不互斥;(2) 当A 与B 互斥时,A 与B 不独立.证明 因为0)(>A P ,0)(>B P ,所以有(1) 当A 与B 独立时,有0)()()(>=B P A P AB P ,即A 与B 不互斥;(2)假设A 与B 独立,由(1)知0)()()(>=B P A P AB P ,这与A 与B 互斥矛盾,即当A 与B 互斥时,A 与B 不独立.4. 设事件,,A B C 相互独立,证明:B A 与C 相互独立.证明 因为,,A B C 相互独立,所以有)(])[(BC AC P C B A P =)()()(A B C P BC P AC P -+=)()()()()()()(C P B P A P C P B P C P A P -+=)()]()()()([C P B P A P B P A P -+=)()(C P B A P =即B A 与C 相互独立.5. 自动报警器由雷达和计算机两部分组成,任一部分发生故障都将导致报警器失灵.设两部分的工作状态相互独立,且发生故障的概率分别为0.1和0.3,求报警器不失灵的概率.解 =A {雷达发生故障},=B {计算机发生故障},根据题意知,1.0)(=A P , 3.0)(=B P ,且A 与B 相互独立,从而所求概率为)]()()()([1)(1)()(B P A P B P A P B A P B A P B A P +--=-==63.0)3.01.03.01.0(1=⨯-+-=6. 三个人各自独立地破译一个密码,且破译成功的概率分别为111,,543,求密码被破译成功的概率. 解 令=i A {第i 个人破译密码成功})3,2,1(=i ,=A {密码被破译成功},则,,21A A 3A 相互独立,321A A A A =,从而所求概率为533243541)()()(1)()(321321=⨯⨯-=-==A P A P A P A A A P A P7. 三台独立工作的机床由一个人照管.设三台机床不需要照管的概率分别为0.9,0.8,0.85,求有机床因无人照管而停工的概率.解 令=i A {第i 机床需要照管})3,2,1(=i ,=B {有机床因无人照管而停工},则,,21A A 3A 相互独立,313221A A A A A A B =,从而所求概率为)()(313221A A A A A A P B P =)()(3)()()(321321313221A A A P A A A P A A P A A P A A P +-++=15.02.01.0215.01.015.02.02.01.0⨯⨯⨯-⨯+⨯+⨯=059.0=8. 加工某种零件可采用两种工艺,第一种工艺有三道工序,各道工序的废品率分别为0.1,0.2,0.3;第二种工艺有两道工序,各道工序的废品率都是0.3.采用第一种工艺,合格品中的一级品率为0.9;采用第二种工艺,合格品中的一级品率为0.8,试问哪一种工艺加工得到一级品的概率大?解 令=A {零件为合格品},=B {零件为一级品},则A B ⊂(1) 采用第一种工艺的情况:令=i A {第i 道工序为废品})3,2,1(=i ,则,,21A A 3A 相互独立,321A A A A =,从而504.07.08.09.0)()()()(321=⨯⨯==A P A P A P A P又根据题意得,9.0)(=A B P ,所以4536.09.0504.0)()()()(=⨯===A B P A P AB P B P(2) 采用第二种工艺的情况:令=i A {第i 道工序为废品})2,1(=i ,则1A 、2A 相互独立,21A A A =,从而49.07.07.0)()()(21=⨯==A P A P A P又8.0)(=A B P ,所以392.08.049.0)()()()(=⨯===A B P A P AB P B P故采用第一种工艺加工得到的一级品概率大.9. 设构成系统的每个元件的可靠性为p ,10<<p ,各元件的工作状态相互独立,分别求图1.7所示两个系统的可靠性.解 令=i A {第i 个元件正常工作})2,,2,1(n i =,=A {图1.7(a )所示的系统可靠},=B {图1.7(b )所示的系统可靠},则n A A A 221,,, 相互独立,且n n n n A A A A A A A 22121 +++=,)())((22211n n n n A A A A A A B ++=,从而图1.7(a )所示的系统可靠性为)()(22121n n n n A A A A A A P A P +++=)()()(22122121n n n n n A A A P A A A P A A A P -+=++)2(2n n n n n p p p p p -=-+=;图1.7(b )所示的系统可靠性为)()()()(22211n n n n A A P A A P A A P B P ++=)]()()()()][()()()([22221111++++-+-+=n n n n A P A P A P A P A P A P A P A P )]()()()([22n n n n A P A P A P A P -+n n n p p p p )1()2(2-=-=10. 甲、乙两袋内均有两个白球和两个黑球,从甲、乙两袋中各取一球,设事件A 为“甲袋中取到白球”,事件B 为“乙袋中取到黑球”,事件C 为“两袋中取到同色球},试证事件,,A B C 两两独立但不相互独立.证明 根据题意,可令=A {从甲袋中取到黑球}=B {从乙袋中取到白球},则C B A B A +=,易知21)()(1412===C C B P A P 21)()()()(1412141214121412=⋅+⋅=+=+=C C C C C C C C B A P B A P B A B A P C P)()(41)(14121412B P A P C C C C AB P ==⋅=)()(41)()(14121412C P A P C C C C B A P AC P ==⋅==)()(41)()(14121412C P B P C C C C B A P BC P ==⋅==从而,,A B C 两两独立,但0)(=ABC P ,而81)()()(=C P B P A P ,从而 )()()()(C P B P A P ABC P ≠所以,,A B C 不相互独立.11. 办公室中有甲、乙、丙三人,办公室里只有一部电话.据统计来电话时 打给甲,乙,丙的概率分别为221555,,,且甲,乙,丙外出办事的概率分别为111244,,.设三人是否外出相互独立,试求: (1) 来电话时无人接的概率;(2) 来电话时被呼叫人在办公室的概率; (3) 连续三个电话打给同一个人的概率; (4) 连续三个电话打给不同的人的概率.解 令=1A {电话打给甲},=2A {电话打给乙},=3A {电话打给丙},=1B {甲外出},=2B {乙外出},=3B {丙外出},根据题意知,52)(1=A P ,52)(2=A P ,51)(3=A P ,21)(1=B P ,41)(2=B P ,41)(3=B P ,=321A A A Ø,Ω=321A A A ,321,,B B B 相互独立,所求概率分别为(1) 321414121)(321=⨯⨯=B B B P ; (2) )(()()(332211332211B A P B A P B A P B A B A B A P ++=++)()()()()()(333222111A B P A P A B P A P A B P A P ++= 2013435143522152=⨯+⨯+⨯=;(3) 12517)51()52()52()()()(333332313=++=++A P A P A P ;(4) )(213123132312231321A A A A A A A A A A A A A A A A A A P +++++125246)515252(=⨯⨯⨯= 习题1–61. 某车间有10台功率各为7.5千瓦的机床,如果每台机床平均每小时开动12分钟,且各台机床的工作状态相互独立.求10台机床用电总功率超过48千瓦的概率.解 令=A {机床开动},=k B {有k 台机床同时开动},k 为同时开动的机床数,则51)(=A P ,根据题意,所求概率为 )()6()485.7(10987B B B B P k P k P +++=>=>000864.011571)54()51(1010710===-=∑kk k k C 2. 进行重复独立试验,设每次试验中事件A 发生的概率为0.3,当A 发生超过2次时,指示灯将发出信号.求(1) 进行5次试验,指示灯发出信号的概率; (2) 进行7次试验,指示灯发出信号的概率.解 令=k B {事件A 发生k 次},3.0)(==A P p ,则所求概率为(1) 163.0)3.0(7.0)3.0()7.0()3.0()(5554452335443=⋅+⋅⋅+⋅⋅=++C C C B B B P ;(2) )(1210B B B P ++-353.0)7.0()3.0()7.0(3.0)7.0(15227617707=⋅⋅+⋅⋅+⋅-=C C C3. 一批产品的验收方案为:先做第一次检验,任取10件产品,如果其中无次品则接受该批产品,如果次品数大于2则拒收;否则做第二次检验,再任取5件产品,当且仅当其中无次品时接受该批产品.设产品的次品率为10%,求(1) 该批产品经第一次检验即被接受的概率; (2) 该批产品需做第二次检验的概率;(3) 该批产品经第二次检验方被接受的概率; (4) 该批产品被接受的概率.解 令=i A {第一次检验有i 件次品})10,,2,1,0( =i ,=j B {第二次检验有j 件次品})5,,2,1,0( =i ,=A {产品为次品},则1.0)(==A P p ,从而所求概率分别为(1) 349.0)9.0()(100==A P ;(2) 581.0)9.0()1.0()9.0(1.0)(82210911021=⋅⋅+⋅⋅=+C C A A P ;(3) 343.0)9.0(581.0)()(])[(5021021=⋅=+=+B P A A P B A A P ; (4) +)(0A P ])[(021B A A P +=0.6924. 某厂生产的仪器以概率0.7可以直接出厂,以概率0.3需进一步调试,经调试后的仪器以概率0.80可以出厂,以概率0.20定为不合格品不能出厂.设该厂生产了(2)n n ≥台仪器,且各台仪器是否合格相互独立,求(1) n 台仪器全部能出厂的概率;(2) n 台仪器中恰有2台不能出厂的概率; (3) n 台仪器中至少有2台不能出厂的概率.解 令=A {生产的仪器可以直接出厂},=B {进行调试后可以出厂},=C {一件产品能出厂},显然B A A C +=,根据题意知,8.0)|(,7.0)(==A B P A P ,从而24.08.03.0)|()()(=⨯==A B P A P B A P所以94.024.07.0)()()(=+=+=B A P A P C P ;令=i B {n 件中恰有i 件仪器能出厂}),,1,0(n i =,则所求概率分别为(1) n n B P )94.0()(=;(2) 2222222)94.0()06.0()06.0()94.0()(----==n n n n n n C C B P ;(3) 1112)94.0(06.0)94.0(1)()(1)(---=⋅⋅--=--=∑n n n n n n k k C B P B P B P5. 设n 把钥匙中只有一把能打开门,从中有放回地每次任取一把钥匙试开,求第r 次才打开门的概率.解 令=A {某次试开能打开门},则nA P 1)(=,从而所求概率为11)11(11)1(---=⋅-=r r nn n n n p 6. 进行独立重复试验,设每次试验成功的概率为p ,试求下列事件的概率: (1) 在n 次试验中有(1)r r n ≤≤次成功; (2) 直到第n 次试验才取得(1)r r n ≤≤次成功. 解 根据题意,所求概率分别为(1) r n rr n p p C p --=)1(;(2) r n r r n r n r r n p p C p p p C p --------=⋅-=)1()1(11111 总习题一1. 袋内有10个球,其编号从1到10.从袋中任取一球,观察其编号. (1) 写出试验的样本空间;(2) 设事件A 为“取到球的编号为奇数”,事件B 为“取到球的编号为偶数”,事件C 为“取到球的编号小于5”,用样本点表示下列事件:A B ,AB ,C ,AC ,B C(3) 事件A 与B 是否互斥,是否互逆? (4) 事件AC 与AC 是否互斥,是否互逆? 解 (1) 根据样本空间的定义,得}10,,2,1{ =Ω;(2) 根据题意,知}9,7,5,3,1{=A ,}10,8,6,4,2{=B ,}4,3,2,1{=C ,从而A B Ω=为必然发生的事件;=AB Ø为不可能发生的事件;}10,9,8,7,6,5{=C ; AC }10,8,6{=;B C }9,7,5{=;(3) 因为A B Ω=,=AB Ø,所以A 与B 互斥,而且互逆;(4) 因为}3,1{=AC ,AC }10,8,6{=,所以事件AC 与AC 互斥,但不互逆. 2. 设,A B 为两个事件,已知()0.5,()0.6,(|)0.4P A P B P B A ===,求: (1) ()P AB ;(2) )(AB P ;(3) ()P A B .解 (1) 因为4.0)()(==A P AB P ,所以()P AB 2.0)5.01(4.0)(4.0=-⨯=⨯=A P ; (2) 因为)()()(AB P B P B A P -=,所以4.02.06.0)()()(=-=-=B A P B P AB P ;(3) 7.04.06.05.0)()()()(=-+=-+=AB P B P A P B A P 3. 设三个事件,,A B C 两两独立,满足:ABC =∅,1()()()2P A P B P C ==<,9()16P A B C =试求)(A P .解 因为)()()()()()()(BC P AC P AB P C P B P A P C B A P ---++= )(ABC P +又ABC =∅,1()()()2P A P B P C ==<,9()16P A B C = ,且,,A B C 两两独立,即)()()()(2A P B P A P AB P ==,)()()()(2A P C P A P AC P ==,)()()()(2A P C P B P BC P ==从而得,169)(3)(32=-A P A P ,解得 43)(,41)(==A P A P (舍去),即41)(=A P4. 袋内有m 个白球,n 个黑球,从袋中不放回地每次任取一球,连取3次,试求取到球的颜色依次为“白,黑,白”的概率.解 令=i A {第i 次取到的是白球})3,2,1(=i ,则所求概率为)()()()(213121321A A A P A A P A P A A A P =211-+-⋅-+⋅+=n m m n m n n m m)2)(1)((-+-++=n m n m n m5. 设1500个产品中有400个次品.任取200个产品,试求: (1) 恰好取到90个次品的概率; (2) 至少取到2个次品的概率.解 令=i A {取到i 件次品})200,,2,1,0( =i ,则所求概率分别为(1) 200150090400110110090)(C C C A P =; (2) 2001500140019911002001100101)()(1C C C C A P A P +-=-- 6. 设9位乘客随机进入共有三节车厢的列车,试求: (1) 第一节车厢有3位乘客的概率; (2) 每节车厢都有3位乘客的概率; (3) 三节车厢分别有4, 3, 2位乘客的概率.解 令=A {第一节车厢有3位乘客的概率},=B {每节车厢都有3位乘客的概率},=C {三节车厢分别有4, 3, 2位乘客的概率},9位乘客随机进入共有3节车厢的列车,总共有93种方式,因此根据题意知,所求概率分别为(1) 963932)(C A P =;(2) 93336393)(C C C B P =;(3) 92235493!3)(C C C C P = 7. 将3个球随机放入4个杯中,求一个杯中球的最大个数分别为1,2,3的概率.解 令=i A {杯子中球的最大个数为i })3,2,1(=i ,则根据题意得,所求概率分别为834)(333341==P C A P ; 1694)(31323142==C C C A P ; 1614)(3143==C A P8. 在电话号码簿中任取一个电话号码,求后面四位数全不相同的概率. 解 令=A {电话号码后面四位数全不相同},则所求概率为504.010)(444410==P C A P 9. 向圆域{}22(,)|2Ωx y x y x =+≤内随机投一点,设投点落到Ω中任何一点的可能性相同,试求投点到原点的连线与x 轴的夹角小于4π的概率. 解 {}22(,)|2Ωx y x y x =+≤所表示的区域如图1.8xx图1.8其面积为π=ΩS ,令=A {投点到原点的连线与x 轴的夹角小于4π},则A 所表示的区域为图1.8中阴影部分,根据对称性得122cos 2040+===⎰⎰⎰⎰πθσθπrdr d d S AA从而ππππ2212)(+=+==ΩS S A P A10. 在区间[0,1]中随机取两个数,求下列事件的概率: (1) 两数之差的绝对值小于12; (2) 两数之和小于45; (3) 两数之积小于19;解 令两数分别为y x ,,则),(y x 的所有可能取值为}10,10),{(≤≤≤≤=Ωy x y x ,且1=ΩS , 令=A {两数之差的绝对值小于12},=B {两数之和小于45},=C {两数之积小于19},则 (1) }21),{(<-=y x y x A ,A 的区域如图1.9)(a 所示,从而4321211)(=⨯-=A Px21-=x图1.9(a )(2)}54),{(<+=y x y x B ,B 的区域如图1.9)(b 所示x图1.9(b )从而258215454)(=⨯⨯=B P (3) }91),{(<=xy y x C ,B 的区域如图1.9)(c 所示x图1.9(c )从而)3ln 21(91ln 9191)911(1)(191191+=+=--=⎰x dx x C P 11. 已知()0.3,()0.4,()0.5P A P B P AB ===,求条件概率(|)P B A B . 解 8.05.0)4.01()3.01()()()()(=--+-=-+=B A P B P A P B A P , 又AB B A B =)( ,而5.0)()()()(=-=-=AB P A P B A P B A P ,得2.05.0)3.01(5.0)()(=--=-=A P AB P从而25.08.02.0)()()()]([)(====B A P AB P B A P B A B P B A B P12. 袋内有5个白球,3个黑球.每次从袋中任取一球观察颜色后放回,并添入两个同色球,连续取球三次.试求前两次取到白球,第三次取到黑球的概率.解 令=i A {第i 次取到白球})3,2,1(=i ,则根据题意得,所求概率为)()()()(213121321A A A P A A P A P A A A P =57378101264=⨯⨯= 13. 排球比赛规定:发球方赢球时得分,输球时对方获得发球权.甲,乙两队进行比赛,已知甲队发球时,甲队赢球和输球的概率分别为0.4和0.6;乙队发球时,甲队赢球和输球的概率均为0.5.求甲队发球时各队得分的概率.解 令A ={甲队发球时甲队得分},则A ={甲队发球时乙队得分},令=i A {甲第i 次发球时甲得分},i B ={乙第i 次发球时甲得分}(1,2,3,)i = ,则()0.4,()0.5i i P A P B ==,且111211223A A AB A AB A B A = ,从而根据题意得,所求概率为111211223()()()()P A P A P A B A P A B A B A =+++ 0.40.60.50.40.60.50.60.=+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+20.4(10.30.3)=⨯+++ 140.410.37=⨯=-, 43()1()177P A P A =-=-=14. 对飞机进行了三次射击,设命中率依次为0.4,0.5,0.7;飞机中弹一次而被击落的概率为0.2,中弹两次而被击落的概率为0.6,中弹三次则必被击落.求飞机未被击落的概率.解 令=i A {第i 次命中飞机},j B ={飞机中弹j 次}(,1,2,3)i j =,B ={飞机被击落},则1A 、2A 、3A 相互独立,且123()0.4,()0.5,()0.7P A P A P A ===,从而1123123123()()P B P A A A A A A A A A =++ 123123123()()()P A A A P A A A P A A A =++0.40.50.30.60.50.30.60.36,=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=2123123123()()P B P A A A A A A A A A =++ 123123123()()()P A A A P A A A P A A A =++0.40.50.30.40.50.70.60.41,=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=3123()()P B P A A A =0.40.50.0.14,=⨯⨯= 从而112233()()()()()()()P B P B P B B P B P B B P B P B B =++0.360.20.410.600.458,=⨯+⨯+⨯=所以飞机未被击落的概率为()1()10.4580.542P B P B =-=-=15. 设有编号为1,2,3的三个口袋.1号袋内有两个1号球,一个2号球,一个3号球;2号袋内有两个1号球,一个3号球;3号袋内有三个1号球,两个2号球.先从1号袋中任取一球,放入与球上号码相同编号的口袋,再从该袋中任取一球,求第二次取到几号球的概率最大.解 令=i A {第一次取到i 号球},j B ={第2次取到j 号球}(,1,2,3)i j =,则根据题意,易知12321(),()()44P A P A P A ===,从而 63)(,42)(,42)(312111===A B P A B P A B P 31112212131()()()4444462i i i P B P A P B A ===⨯+⨯+⨯=∑; 212223112(),(),()446P B A P B A P B A ===, 322121111213()()()44444648i i i P B P A P B A ===⨯+⨯+⨯=∑; 313233111(),(),()446P B A P B A P B A ===, 333121111111()()()44444648i i i P B P A P B A ===⨯+⨯+⨯=∑; 所以有123()()()P B P B P B >>即第二次取到1号球的概率最大.16. 设事件12,,,n A A A 相互独立,且(),1,2,,i i P A p i n == ,求下列事件的概率:(1) 12,,,n A A A 均不发生;(2) 12,,,n A A A 中至多发生1-n 个;(3) 12,,,n A A A 中恰好发生一个.解 根据题意知,所求概率分别为 (1) 1212()()()()n n P A A A P A P A P A =121(1)(1)(1)(1)nn i i p p p p ==---=-∏ ; (2) 1212()1()n n P A A A P A A A =-12111nn i i p p p p ==-=-∏ ; (3) 123123123()n n n P A A A A A A A A A A A A ++123123()()()()()()()()n n P A P A P A P A P A P A P A P A =+ 123()()()()n P A P A P A P A +121212(1)(1)(1)(1)(1)(1)nn n p p p p p p p p p =--+--++-- 11,(1)nn i ji j j i p p ==≠=-∑∏ 17. 某人有两盒火柴,每盒有n 根.每次使用时随机地从其中一盒中取一根,试求:当发现一盒火柴已用完时,另一盒中还有r 根火柴的概率.解 不妨设甲盒取空而乙盒还有r 根火柴,根据题意知共取盒21n r -+次,且在前2n r -次中取甲盒n 次,取乙盒n r -次,第21n r -+次取到甲盒,又因为每次取到甲、乙盒的概率均为12,从而甲盒空而乙盒还有r 根火柴的概率为 12111()()222n n n r n r p C --=⋅ 同理,乙盒取空而甲盒还有r 根火柴的概率为22111()()222n n n r n r p C --=⋅ 从而所求概率为212221112()()2222n nn n r n r n r n r C p p p C ----=+=⋅=。
随机事件与概率练习题
随机事件与概率一、选择题1. 下列说法正确的是( ).A.一颗质地均匀的骰子已连续抛掷了2000次.其中,抛掷出5点的次数最多,则第2001次一定抛掷出5点.B.某种彩票中奖的概率是1%,因此买100张该种彩票一定会中奖C.天气预报说:明天下雨的概率是50%,所以明天将有一半时间在下雨D.抛掷一枚图钉,钉尖触地和钉尖朝上的概率不相等2. (2015•徐州)一只不透明的袋子中装有4个黑球、2个白球,每个球除颜色外都相同,从中任意摸出3个球,下列事件为必然事件的是()A.至少有1个球是黑球B.至少有1个球是白球C.至少有2个球是黑球D.至少有2个球是白球3.下列说法正确的是( )A.可能性很小的事件在一次试验中一定不会发生B.可能性很小的事件在一次试验中一定发生C.可能性很小的事件在一次试验中有可能发生D.不可能事件在一次试验中也可能发生4.(2016•开平区二模)一个不透明的口袋里装有除颜色外都相同的10个白球和若干个红球,在不允许将球倒出来数的前提下,小亮为了估计其中的红球数,采用如下方法:先将口袋中的球摇匀,再从口袋里随机摸出一球,记下颜色,然后把它放回口袋中,不断重复上述过程,小亮共摸了1000次,其中有200次摸到白球,因此小亮估计口袋中的红球大约为()A.60个B.50个C.40个D.30个5.下列说法正确的是( )A.抛掷一枚硬币5次,5次都出现正面,所以投掷一枚硬币出现正面的概率为1B.“从我们班上查找一名未完成作业的学生的概率为0”表示我们班上所有的学生都完成了作业C.一个口袋里装有99个白球和一个红球,从中任取一个球,得到红球的概率为1%,所以从袋中取至少100次后必定可以取到红球(每次取后放回,并搅匀)D.抛一枚硬币,出现正面向上的概率为50%,所以投掷硬币两次,那么一次出现正面,一次出现反面.6. 下图的转盘被划分成六个相同大小的扇形,并分别标上1,2,3,4,5,6这六个数字,指针停在每个扇形的可能性相等.四位同学各自发表了下述见解:甲:如果指针前三次都停在了3号扇形,下次就一定不会停在3号扇形;乙:只要指针连续转六次,一定会有一次停在6号扇形;丙:指针停在奇数号扇形的概率与停在偶数号扇形的概率相等;丁:运气好的时候,只要在转动前默默想好让指针停在6号扇形,指针停在6号扇形的可能性就会加大.其中,你认为正确的见解有( )A.1个B.2个C.3个D.4个二. 填空题7. 夏雪同学每次数学测试成绩都是优秀,则在这次中考中他的数学成绩____________(填“可能”,“不可能”,“必然”)是优秀.8. 判断下列事件的类型:(必然事件,随机事件,不可能事件)(1)掷骰子试验,出现的点数不大于6._____________(2)抽签试验中,抽到的序号大于0._____________(3)抽签试验中,抽到的序号是0.____________(4)掷骰子试验,出现的点数是7._____________(5)任意抛掷一枚硬币,“正面向上”._____________(6)在上午八点拨打查号台114,“线路能接通”.__________(7)度量五边形外角和,结果是720度.________________9. (2015•潍坊模拟)在一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球,它们除颜色外其他完全相同,通过多次摸球试验后发现,摸到红球的频率稳定在25%附近,则口袋中白球可能有个.10.从某玉米种子中抽取6批,在同一条件下进行发芽试验,有关数据如下:根据以上数据可以估计,该玉米种子发芽的概率约为(精确到0.1).11. 掷一枚均匀的骰子,2点向上的概率是_______,7点向上的概率是_______.12. 下面4个说法中,正确的个数为_______.(1)“从袋中取出一只红球的概率是99%”,这句话的意思是肯定会取出一只红球,因为概率已经很大.(2)袋中有红、黄、白三种颜色的小球,这些小球除颜色外没有其他差别,因为小张对取出一只红没有把握,所以小张说:“从袋中取出一只红球的概率是50%”.(3)小李说“这次考试我得90分以上的概率是200%”.(4)“从盒中取出一只红球的概率是0”,这句话是说取出一只红球的可能性很小.三.综合题13. 下表是一个机器人做9999次“抛硬币”游戏时记录下的出现正面的频数和频率(1)由这张频数和频率表可知,机器人抛掷完5次时,得到一次正面,正面出现的频率是20%,那么,也就是说机器人抛掷完5次后,得到______次反面,反面出现的频率是______.(2)由这张频数和频率表可知,机器人抛掷完9999次时,得到_____次正面,正面出现的频率是_____;那么,也就是说机器人抛掷完9999次时,得到_____次反面,反面出现的频率是______(3)请你估计一下,抛这枚硬币,正面出现的概率是_______.14.(2015春•雅安期末)如图是小明和小颖共同设计的自由转动的十等分转盘,上面写有10个有理数.(1)求转得正数的概率.(2)求转得偶数的概率.(3)求转得绝对值小于6的数的概率.15.(2016春•苏州期末)王老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀,让若干学生进行摸球实验,每次摸出一个球(有放回),下表是活动进行中的一组统计数据.摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000摸到黑球的次数m 23 31 60 130 203 251摸到黑球的频率0.23 0.21 0.30 0.26 0.253(1)补全上表中的有关数据,根据上表数据估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是;(精确到0.01)(2)估算袋中白球的个数.【答案与解析】一、选择题1.【答案】D.2.【答案】A.【解析】一只不透明的袋子中装有4个黑球、2个白球,每个球除颜色外都相同,从中任意摸出3个球,至少有1个球是黑球是必然事件;至少有1个球是白球、至少有2个球是黑球和至少有2个球是白球都是随机事件.故选A.3.【答案】C.4.【答案】C.【解析】解:∵小亮共摸了1000次,其中200次摸到白球,则有800次摸到红球,∴白球与红球的数量之比为1:4,∵白球有10个,∴红球有4×10=40(个).故选C.5.【答案】B.6.【答案】A.【解析】只有丙是正确的,指针停在奇数号扇形的概率与停在偶数号扇形的概率都是50%.二、填空题7. 【答案】可能.【解析】夏雪同学每次数学测试成绩都是优秀,则在这次中考中他的数学成绩不能确定,是随机事件.8.【答案】必然事件;必然事件;不可能事件;不可能事件;随机事件;随机事件;不可能事件. 9.【答案】12.【解析】设白球个数为:x 个,∵摸到红色球的频率稳定在25%左右,∴口袋中得到红色球的概率为25%,∴=,解得:x=12,故白球的个数为12个.故答案为:12.10.【答案】0.8;【解析】随着试验次数的增加,频率逐渐稳定在概率附近. 11.【答案】;0. 12.【答案】0.【解析】(1)中即使概率是99%,很大了,但是仍然有不是红球的可能,所以错误; (2) 因为有三个球,机会相等,所以概率应该是; (3) 概率的取值范围是.(4) 应该是取出一只红球的可能性不存在. 三、 解答题13.【解析】① 4;80%;② 5006;50.1%;4993;49.9%; ③ . 14. 【解析】161312解:(1)P(转得正数)==;(2)P(转得偶数)==;(3)P(转得绝对值小于6的数)==.15.【解析】解:(1)251÷1000=0.251;∵大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到0.25附近,∴估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是0.25;(2)设袋中白球为x个,=0.25,x=3.答:估计袋中有3个白球.。
概率论与数理统计 第一章随机事件及其概率 练习题
第一章 随机事件及其概率(概率论与数理统计)练习题1.写出下列随机试验的样本空间及表示下列事件的样本点集合:(1) 10件产品中有1件是不合格品,从中任取2件得1件不合格品;(2) 一个口袋中有2个白球,3个黑球,4个红球,从中任取一球:①得白球;②得红球.2.化简事件算式:)()()()(B A B A B A AB ⋅ .3.就下列情况分别说明事件A ,B ,C 之间的关系:(1) A C B A =++;(2) A ABC =.4.试判断事件“A ,B 至少发生一个”与“A ,B 最多发生一个”是否是对立事件.5.下列各式说明A 与B 之间具有何种包含关系?(1) AB =A , (2)A B A = .6.掷一枚骰子的试验,观察其出现的点数,事件A =“偶数点”,B =“奇数点”,C =“点数小于5”,D =“小于5的偶数点”,讨论上述各事件间的关系.7.将下列事件用A ,B ,C 的运算表示出来:(1) A 发生;(2) 只有A 发生;(3) 三个事件中恰好有一个发生;8.设某工人连续生产了4个零件,用i A 表示他生产的第i 个零件是正品(i =1,2,3,4).试用事件的运算表示下列各事件:(1) 没有一个是次品;(2) 至少有一个是次品;(3) 只有一个是次品;(4) 至少有三个不是次品;(5) 恰好有三个是次品;(6) 至多有一个是次品.9.事件i A 表示某个生产单位第i 车间完成生产任务(i =1,2,3),B 表示至少有两个车间完成生产任务,C 表示最多只有两个车间完成生产任务.说明事件C B B -与的含义,并且用i A (i =1,2,3)表示出来.10.设A ,B 为事件,问下列各事件表示什么意思? (1)B A ; (2)B A ; (3)B A ⋅.11.如图,事件A ,B ,C 都相容,即φ≠ABC ,把事件A +B ,A +B +C ,AC +B ,C -AB 用一些互不相容事件的和表示出来.12.两个事件互不相容与两个事件对立的区别何在,举例说明.13.将1套4册的文集按任意顺序放到书架上去,问各册自右向左或自左向右恰成1,2,3,4的顺序的概率是多少?14. 袋内装有5个白球,3个黑球,从中一次任取两个,求取到的两个球颜色不同的概率.15.10把钥匙中有3把能打开一个门锁,今任取两把,求能打开门锁的概率.16.抛掷一枚硬币,连续3次,求既有正面又有反面出现的概率.17.有一元币、五角币、一角币、五分币、二分币、一分币各一枚,试求由它们所组成的所有可能的不同币值中,其币值不足一元的概率.18.一楼房共14层,假设电梯在一楼起动时有10名乘客,且乘客在各层下电梯是等可能的.试求下列事件的概率:1A ={10人在同一层下}; 2A ={10人在不同楼层下};3A ={10人都在第14层下}; 4A ={10人中恰有4人在第8层下}.19.将S N I E E C C , , , , , ,等7个字母随意排成一行,求恰好排成SCIENCE 的概率.20.一副扑克牌有52张,不放回抽样,每次一张,连续抽取4张,计算下列事件的概率:(1) 四张花色各异; (2) 四张中只有两种花色.21.袋中有红、白、黑色球各一个,每次任取一球,有放回地抽取三次,求下列事件的概率:A =“全红”,B =“全白”,C =“全黑”,D =“无红”,E =“无白”,F =“无黑”,G =“颜色全相同”,H =“颜色全不相同”,I =“颜色不全相同”.22.一间宿舍内住有6位同学,求他们中有4人的生日在同一个月份的概率.23.一个教室中有100名学生,求其中至少有一人的生日是在元旦的概率(设一年以365天计算).24.从4双不同的鞋子中任取4只,求下列事件的概率:(1) 4只恰成2双;(2) 4只中恰有一双;(3) 4只中没有成双的.25.掷三颗骰子,得3个点数能排成公差为1的等差数列的概率为多少?26.将4个男生与4个女生任意地分成两组,每组4人,求每组各有2个男生的概率.27.设O 为线段AB 的中点,在AB 上任取一点C ,求AC 、CB 、AO 三条线段能构成一个三角形的概率.28.在A B C ∆中任取一点P ,证明:ABP ∆与ABC ∆的面积之比大于nn 1-的概率为21n. 29.设c AB P b B P a A P ===)( ,)( ,)(,用a ,b ,c 表示下列事件的概率: (1) )(B A P , (2) )(B A P , (3) )(B A P , (4) )(B A P ⋅.30.设)( ,6.0)( ,3.0)( ,4.0)(B A P B A P B P A P 求=== .31.设7.0)( ,4.0)(=+=B A P A P ,(1) 若A 与B 互斥,求()B P ;(2) 若A 与B 独立,求()B P .32.已知61)()(,0)(,41)()()(======BC P AC P AB P C P B P A P ,求A ,B ,C 全不发生的概率.33.事件A 与B 互不相容,计算)(B A P +.34.设事件A B ⊃,求证:)()(A P B P ≥.35.设事件B A ,的概率都大于0,比较概率)(A P ,)()(),(B P A P B A P ++, )(AB P 的大小(用不等号把它们连结起来).36.已知a B A P a b ab b B P a A P 7.0)( ),3.0 ,0( ,)( ,)(=->≠==,求: )(A B P +, )(A B P -, )(A B P +.37.设21,A A 为两个随机事件,证明: (1))()()(1)(212121A A P A P A P A A P ⋅+--=; (2))()(121A P A P --)()()()(212121A P A P A A P A A P +≤≤≤ .38.一间宿舍中有4位同学的眼镜都放在书架上,去上课时,每人任取一副眼镜,求每个人都没有拿到自己眼镜的概率.39.在1000名技术员中调查性别、婚姻状况及学历,得如下数据:(1) 813个男性;(2) 875个已婚;(3) 752个大专毕业生;(4) 632个男大专毕业生;(5) 572个已婚男性;(6) 654个已婚大专毕业生;(7) 420个已婚男大专毕业生.试说明这些数据中有错误.40.在某城市中发行3种报纸A ,B ,C .经调查,在居民中按户订阅A 报的占%45,订阅B 报的占%35,订阅C 报的占%30,同时订阅A 报和B 报的占%10,同时订阅A 报和C 报的占%8,同时订阅B 报和C 报的占%5,同时订阅这3种报纸的占%3,试求下列事件的概率:(1) 只订B 报的;(2) 只订A 报和B 报两种的;(3) 只订1种报纸的;(4) 恰好订2种报纸的;(5) 至少订阅2种报纸的;(6) 至少订1种报纸的;(7) 不订报纸的;(8) 至多订阅1种报纸的.41.某单位有%92的职工订阅报纸,%93的人订阅杂志,在不订阅报纸的人中仍有%85的职工订阅杂志,从单位中任找一名职工,求下列事件的概率:(1) 该职工至少订阅一种报纸或杂志;(2) 该职工不订阅杂志,但订阅报纸.42.某地区气象资料表明,邻近的甲、乙两城市中的甲市全年雨天比例为%12,乙市全年雨天的比例为%9,甲乙两市至少有一市为雨天的比例为16.8%.试求下列事件的概率:(1) 甲、乙两市同为雨天;(2) 在甲市雨天的条件下乙市亦为雨天;(3) 在乙市无雨的条件下甲市亦无雨.43.分析学生们的数学与外语两科考试成绩,抽查一名学生,事件A 表示数学成绩优秀,B 表示外语成绩优秀,若28.0)(,4.0)()(===AB P B P A P ,求:)|(B A P , )|(A B P , )(B A P +.44.设A 与B 独立, )(A P =0.4, )(B A P +=0.7,求概率)(B P .45.设甲、乙两人各投篮1次,其中甲投中的概率为0.8,乙投中的概率为0.7,并假定二者相互独立,求:(1) 2人都投中的概率;(2) 甲中乙不中的概率;(3) 甲投不中乙投中的概率;(4) 至少有一个投中的概率.46.甲、乙、丙三人进行投篮练习,每人一次,如果他们的命中率分别为0.8,0.7,0.6,计算下列事件的概率:(1) 只有一人投中;(2) 最多有一人投中;(3) 最少有一人投中.47.甲乙两人轮流投篮,甲先开始,假定他们的命中率分别为0.4及0.5,问谁先投中的概率较大,为什么?48.加工一产品需要4道工序,其中第1、第2、第3、第4道工序出废品的概率分别为0.1,0.2,0.2,0.3,各道工序相互独立,若某一道工序出废品即认为该产品为废品,求产品的废品率.49.加工某种零件,需经过三道工序,假定第一、二、三道工序的废品率分别为0.3,0.2,0.2,并且任何一道工序是否出废品与其他各道工序无关,求零件的合格率.50.求下列系统(如图所示)的可靠度.假设元件i 的可靠度为i p ,各元件正常工作或失效相互独立.51.某单位电话总机的占线率为0.4,其中某车间分机的占线率为0.3,假定二者独立,现在从外部打电话给该车间,求一次能打通的概率;第二次才能打通的概率以及第m 次才能打通的概率(m 为任何正整数).52.设事件n A A A ,,,21 相互独立,且i i p A P =)( ),,2,1(n i =,11=∑=ni i p ,试求:(1) 这些事件至少有一件不发生的概率;(2) 这些事件均不发生的概率;(3) 这些事件恰好发生一件的概率.53.设有两门高射炮,每一门击中飞机的概率都是0.6.求同时发射一枚炮弹而击中飞机的概率是多少? 又若有一架敌机入侵领空,欲以%99以上的概率击中它,问至少需要多少门高射炮?54.甲、乙、丙三人在同一时间分别破译某一密码,设甲译出的概率为0.8,乙译出的概率为0.7,丙译出的概率为0.6,求该密码能被译出的概率.55.上题中如改为n 个人组成的小组,在同一时间内分别破译某密码.并假定每人能译出的概率均为0.7,若要以%9999.99的把握能够译出,问至少需要几个人?56.对于三事件A 、B 、C ,若)|()|()|((C B P C A P C B A P = 成立,则称A 与B 关于条件C 独立.若已知A 与B 关于条件C 、C 均独立,且==)|(,5.0)(C A P C P 0.9,=)|(C B P 0.9,2.0)|(=C A P ,1.0)|(=C B P .试求)(,)(,)(B A P B P A P ,并证明A 与B 不独立.57.一个人的血型为O ,A ,B ,AB 型的概率分别为0.46,0.40,0.11,0.03,现在任意挑选5人,求下列事件的概率:(1) 2个人的血型为O 型,其他3人的血型分别为其他3种血型;(2) 3个人的血型为O 型,2个人为A 型;(3) 没有一个人的血型为AB 型.58.设1)(0<<B P ,证明:A 与B 独立的充要条件是=)|(B A P )|(B A P .59.设A ,B ,C 相互独立.证明:A 与C B 独立,A 与B -C 也独立.60.某厂有甲、乙、丙三条流水线生产同一种产品,每条流水线的产量分别占该厂生产产品总量的%25,%35,%40,各条流水线的废品率分别是%5,%4,%2,求在总产品中任取一个产品是废品的概率.61.假定某工厂甲、乙、丙3个车间生产同一种螺钉,产量依次占全厂的%45,%35,%20.如果各车间的次品率依次为%4,%2,%5.现在从待出厂产品中检查出1个次品,试判断它是由甲车间生产的概率.62.某种同样规格的产品共10箱,其中甲厂生产的共7箱,乙厂生产的共3箱,甲厂产品的次品率为101,乙厂产品的次品率为152,现从这10箱产品中任取1件产品,问:(1) 取出的这件产品是次品的概率;(2) 若取出的是次品,分别求出次品是甲、乙两厂生产的概率.63.设玻璃杯整箱出售,每箱20只,各箱含0,1,2只次品的概率分别为0.8,0.1,0.1,一顾客欲购买一箱玻璃杯,由营业员任取一箱,经顾客开箱随机察看4只,若无次品,则买此箱玻璃杯,否则不买.求:(1) 顾客买下此箱玻璃杯的概率α;(2) 在顾客买下的此箱玻璃杯中,确实没有次品的概率β.64.一道选择题有4个答案,其中仅1个正确.假设一个学生知道正确答案及不知道而乱猜的概率都是1/2(乱猜就是任选一个答案).如果已知学生答对了,问他确实知道正确答案的概率是多少?65.某工厂的车床、钻床、磨床、刨床的台数之比为9:3:2:1,它们在一定的时间内需要修理的概率之比为1:2:3:1.当有一台机床需要修理时,问这台机床是车床的概率是多少?66.A 地为甲种疾病多发区,该地区共有南、北、中三个行政小区,其人口比为9:7:4,据统计资料,甲种疾病在该地三个行政小区内的发病率依次为4‟,2‟,5‟,求A 地的甲种疾病的发病率.67.盒子里有12个乒乓球,其中有9个是新的,第一次比赛时从其中任取3个来用,比赛后仍放回盒子,第二次比赛时再从盒子中任取3个,求第二次取出的球都是新球的概率;若已知第二次取出的球都是新球,求第一次取出的球都是新球的概率.68.已知100件产品中有10件绝对可靠的正品,每次使用这些正品时肯定不会发生故障,而在每次使用非正品时发生故障的可能性均为0.1.现从这100件产品中随机抽取一件,若使用了n 次均未发生故障,问n 为多大时,才能有%70的把握认为所抽取的产品为正品.69.在4次独立重复试验中事件A 至少出现1次的概率为0.59,试问在1次试验中A 出现的概率是多少?70.按某种要求检查规则,随机抽取4个梨,如果4个梨全是熟的,则所有梨都将在餐厅做饭后食用.一批梨仅有%80是熟的,问能做餐用的概率是多少?答案1.(1) 记9件合格品分别为:正1,正2,…,正9,不合格品为次,则 {=Ω(正1,正2),(正1,正3),…,(正1,正9),(正1,次), (正2,正3),…,(正2,正9),(正2,次),…………………………,(正8,正9),(正8,次),(正9,次)},{=A (正1,次),(正2,次),(正3,次),……,(正9,次)}(2) 记2个白球分别为21,ωω,3个黑球分别为321,,b b b ,4个红球分别为4321,,,r r r r .则 {=Ω,,21ωω321,,b b b ,4321,,,r r r r },① {=A 21,ωω}; ② {=B 4321,,,r r r r }2.Ω3.A +B +C =A 表明B +C A ⊂.但B ,C 可以互斥、相容或包含; ABC =A 表明A BC ⊂.但B ,C 的交必须是非不可能事件4.不是对立事件5.(1) 因为“AB =A ”与“AB A A AB ⊂⊂且”是等价的, 由A ⊂A B 可以推出A ⊂A 且A ⊂B ,因此有A ⊂B(2) 因为“A B A = ”与“B A A A B A ⊂⊂且”是等价的, 由A B A = 可以推出A ⊂A 且B ⊂A ,因此有B ⊂A 6.A 与B 为对立事件,B 与D 互不相容,A ⊃D ,C ⊃D .7.(1) A ; (2) C B A ; (3) C B A C B A C B A .8.(1) 4321A A A A ; (2) 4321A A A A ;(3) 4321432143214321A A A A A A A A A A A A A A A A ;(4) 43214321432143214321A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A ;(5) 4321432143214321A A A A A A A A A A A A A A A A ;(6) 43214321432143214321A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A 9.323121A A A A A A B ++=表示至少有两个车间没完成任务; B -C =321A A A 表示三个车间均完成生产任务10.(1) AB B A = 表示A 、B 不都发生;(2) AB B B A B A -=-Ω=)(表示B 发生而AB 不发生;(3) B A 表示A 、B 都不发生11.AB B A B A A B A B A A B A ++=-+=+=+)(;C B A B A A C B A ++=++;A C +B =C B A B +; BC A C B A C B A AB C ++⋅=-12.对立一定互不相容(φ=A A );互不相容不一定对立(Ω=+=B A AB 未必,φ)例如,E :掷骰子.事件{=A 出现点数为1,2},事件{=B 出现点数为3,4},{=C 出现点数为3,4,5,6},则A 与B 互不相容,A 与C 对立.13.121 14.2815 15.158 16.43 17.0.492118.1111043.9)(-⨯=A P ; 721024.1)(-⨯=A P ;1231025.7)(-⨯=A P ; 341055.4)(-⨯=A P19.七个字母的全排列总共有7!=5040种不同排法,将七个字母编号S N I E E C C1 2 3 4 5 6 7在全部的5040种可能排列中,恰好排成SCIENCE 的有如下四种情形(7154623),(7153624),(7254613),(7253614), 于是≈=50404p 0.000794 20.(1) 105.0452113113113113==C C C C C p ;(2) 30.04523131132421321324=+=C C C P C C C p 21.27131)()()(3====C P B P A P , 27832)()()(33====F P E P D P , 91271271271)(=++=G P , 9227123)(=⋅⋅=H P , 98)(1)(=-=G P I P 22.0.007323.24.03653641100100=- 24.从4双即8只鞋中任取4只,故基本事件数为48C ,(1) “4只恰成2双”相当于“从4双里选2双”,故有利事件数为C 24,其概率为4824C C =353. (2)为使4只中恰有1双,可设想为先从4双中取出1双,再从余下的3双中取出2双,然后从这2双中各取1只.因此,有利事件数为222314⋅⋅⋅C C ,其概率为352422482314=⋅⋅⋅C C C . (3)“4只中没有成双的”相当于“从4双中各取1只”.因此,有利事件数为162222=⋅⋅⋅,其概率为3581648=C 25.每颗骰子有6个点,因此基本事件总共有216666=⋅⋅个,只要掷出的三个点由1,2,3或2,3,4或3,4,5或4,5,6组成,不论它们出现的次序怎么样,都是有利事件.因此欲求之概率为91216!34=⨯. 26.3518 27.不妨设AB =1, AC =x ,则CB =1-x , AO =21, AC ,CB , AO 能构成一个三角形必须且只需同时满足 x x x x >-+->+121,121, 即4341<<x . 将AB 等分成四小段,第二及第三小段组成有利事件,因此欲求之概率为2142= 28.(如图)截取CD nD C 1=',当且仅当点P 落入△B A C ''之内时,△ABP 与△A B C 的面积之比大于nn 1-,故所求概率为 22222211nCD CD n CD D C ABC C B A p =='=∆''∆=的面积的面积.29.(1) 1-c ; (2) b -c ; (3) 1-a +c ; (4) 1-a -b +c30.0.331.0.3;0.532.127 33.134.略35.)()()()()(B P A P B A P A P AB P +≤+≤≤36.b +0.7a ; b -0.3a ; 1-0.3a37.(1) )(1)()(212121A A P A A P A A P -===1-[)()()(2121A A P A P A P ⋅-+]=1-)()()(2121A A P A P A P ⋅+-(2) 由(1)和0)(21≥⋅A A P 得第一个不等式,而)()(2121A A P A A P ≤ )()(21A P A P +≤38.0.37539.设从1000名技术员中任意地抽取一人.以A 记事件:“抽取男性”,B 记事件:“抽取已婚者”,C 记事件:“抽取大专毕业生”.按所给数据应有,752.0)(,875.0)(,813.0)(===C P B P A P420.0)(,632.0)(,654.0)(,572.0)(====ABC P AC P BC P AB P 于是)(C B A P ++)()()(C P B P A P ++=)()()()(ABC P AC P BC P AB P +---=0.813+0.875+0.752-0.572-0.654-0.632+0.420=1.002>1.得出矛盾,因此所给数据有错误40.(1) 0.23; (2) 0.07; (3) 0.73; (4) 0.14; (5) 0.17; (6) 0.90;(7) 0.10; (8) 0.8341.(1) 0.988; (2)0.05842.(1)0.042; (2) 0.35; (3)0.914343.0.7; 0.7; 0.5244.5.045.(1) 0.56; (2) 0.24; (3) 0.14; (4) 0.9446.(1) 0.188; (2) 0.212; (3) 0.97647.甲先投中的概率大48.0.649.0.448.50.(1) 这个系统由三个相同的子系统并联而成,每个子系统又由三个元件串联而成.因此每个子系统的可靠度为321p p p ,整个系统的可靠度为3321)1(1p p p --.(2) 这个系统由三个子系统串联而成,第一、第三个子系统只由一个元件组成,第二个子系统由三个相同的元件并联而成.因此,三个子系统的可靠度分别为1321,)1(1,p p p --,整个系统的可靠度为])1(1[3221p p --.(3) 这个系统由两个子系统并联而成,第一个子系统由两个二级子系统串联而成,而第一个二级子系统又由两个元件并联而成.因此,第一个子系统的可靠度为])1(1[212p p --,整个系统的可靠度为1-[))1(1(1212p p ---])1(3p -]=1-)1(3p -[)2(1121p p p --]=)2()2(13213121p p p p p p p p --+-=33121)1)(2(p p p p p +--51.0.42; 0.58×0.42; 0.581-m ×0.4252.(1) )(1}{2121n n A A A P A A A P -==-=)()()(121n A P A P A P 1-n p p p 21(2) )()()(}{2121n n A P A P A P A A A P =⋅=∏=-ni i p 1)1( (3) }{121321321n n n n A A A A A A A A A A A A P -⋅⋃⋅=+---+---)1()1()1()1()1)(1(321321n n p p p p p p p pn n p p p p )1()1)(1(121----+=∑∏=≠=-n i nj i i j i p p 11])1([.53.用k A 表示“第k 门高射炮发射一枚炮弹击中飞机”, ,2,1=k ,B 表示“击中飞机”.则 ,2,1,6.0)(==k A P k , (1) 84.04.01)()(1)(1)(2212121=-=-=⋅-=A P A P A A P A A P , (2) 99.04.01)(1)(1)(1121>-=-=-=∏==n nk k n k k n A P A P A A A P , 即6,026.54.0lg 01.0lg ,01.099.014.0=≈>=-<n n n 取, 故至少需要6门高射炮,同时发射一枚炮弹,可保证%99的概率击中飞机54.0.97655.1256.55.0)2.09.0(21)|()()|()()(=+=+=C A P C P C A P C P A P ,50.0)1.09.0(21)|()()|()()(=+=+=C B P C P C B P C P B P , )|()()|()()(C AB P C P C AB P C P B A P +=)|()|()()|()|()(C B P C A P C P C B P C A P C P +=,由A ,B 条件独立得415.0)1.02.09.0(21)(2=⨯+=B A P , 由于)()(5.055.0415.0)(B P A P B A P =⨯≠= ,所以A ,B 不独立57.(1) 从5个人任选2人为O 型,共有25C 种可能,在其余的3人中任选一人为A 型,共有3种可能,在余下的2人中任选1人为B 型,共有2种可能,另1人为A B 型,因此所要求的概率为0168.013.011.040.046.023225≈⋅⋅⋅⋅⋅⋅=C p ;(2) 1557.040.046.02335≈⋅⋅=C p ;(3) 8587.0)03.01(5≈-=p58.必要性 因为A 与B 独立,则)|()()|(B A P A P B A P ==. 充分性 因为)()()()(B P B A P B P AB P =, [][])()()()(1)(B P AB P A P B P AB P -=-,)()()(B P A P AB P =,所以A 与B 独立.59.)()())((C B A P AB P C B A P += =)()()()()(C P B P A P B P A P + =)]()()[(C B P B P A P +=)()(C B P A P即A 与C B 独立,同理可证A 与B -C 也独立.)()())((ABC P AB P C B A P -=-=)()()()(BC P A P B P A P -=)()(BC B P A P -)()(C B P A P -=.60.0.034561.0.51462.(1) 0.11; (2) 0.6364; 0.363663.记A :顾客买下所察看的一箱玻璃杯,i B :箱中有i 件次品(2,1,0=i ),由题设知,8.0)(0=B P ,=)(1B P 1.0)(2=B P ,所以1)|(0=B A P ,54)|(4204191==C C B A P ,1912)|(4204182==C C B A P , (1)由全概率公式知∑==++===2094.0)191254(8.0)/()()(i i i B A P B P A P α, (2)由贝叶斯公式知85.094.08.0)()/()()/(000====A P B A P B P A B P β 64.以A 记事件:“学生知道正确答案”,则A 表示事件:“学生在乱猜”以B 记事件:“学生答对了”.易见B A ⊂.因此有1)|(,21)()(===A B P A P AB P , 此外,按题意有41)|(=A B P ,由全概率公式得 85412121)|()()|()()(=⋅+=+=A B P A P A B P A P B P , 故所求的条件概率为54)()()|(==B P AB P B A P 65.以1A 表示“任取一台机床是车床”;2A 表示“任取一台机床是钻床”;3A 表示“任取一台机床是磨床”;4A 表示“任取一台机床是刨床”;B 表示“任取一台机床,它需要修理”.由题设知15912399)(1=+++=A P ,153)(2=A P ,152)(3=A P ,151)(4=A P , k k A B P 711321)|(1=+++=,k A B P 72)|(2=,k A B P 73)|(3=, k A B P 71)|(4=,其中k 为比例常数.由Bayes 公式得 ∑==41111)|()()|()()|(i i i A B P A P A B P A P B A P =2297115173152721537115971159=⨯+⨯+⨯+⨯⨯k k k k k 66.3.5‟67.设{=i A 第一次取出的3个球中有i 个新球})3,2,1,0(=i ,{=B 第二次取出的球全是新球},则∑==30)|()()(i i i A B P A P B P =146.0)(3023*******=∑=--i i i i C C C C , )()|()()|(333B P A B P A P B A P ==24.0146.0)(2312360339=C C C C68.设{=A 取出正品},{=B 使用n 次均无故障},已知10010)(=A P ,按题目要求应有70.0)|(≥B A P ,而)|()()|()()|()()|(A B P A P A B P A P A B P A P B A P +==n )9.0(9.011.011.0⨯+⨯⨯, 所以应是11)9.0(043.0,7.0)9.0(1.01.0++≥≥+n n ,由此得29≥n . 69.设在1次试验中A 出现的概率为p ,则在4次独立试验中A 不出现的概率为4)1(p -,从而A 至少出现一次的概率为A P (至少出现一次)=1-4)1(p -=0.59即4)1(p -=0.41,所以p =0.270.设A =“随机抽取一个梨是熟的”.则取出4个梨相当于做了4次贝努里试验,且)(A P =548.0=,设B =“4个梨都是熟的”,则 4096.0625256)8.0()(444===C B P , 即此批梨能作餐用的概率为4096.0。
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第一章随机事件及其概率习题一 、填空题当A , B 互不相容时,P (A U B)=亠卩(AB )= 0_^ 当 B A 时,P(A+B = _;_RAB = 若 P(A) ,P(B) ,P(AB) , P(A B) 1P(A B)= 119 9.事件 A,B,C 两两独立,满足 ABC , P (A) P (B) P (C)-,且 P ( A+B+C )=—216则 P(A)=??10.已知随机事件 A 的概率P(A) 0.5,随机事件 B 的概率P(B) 0.6,及条件概率P(B | A) 0.8,则和事件 A B 的概率P(A B)1.设样本空间 {x|0x 2}, 事件A {x|l1x 1}, B {x|-4{x|0 x ^} U{x|-4 2x 2},- 1 AB{x|-4x 1} U{x|1 x 2.连续射击一目标,A i 表示第i 次射中,直到射中为止的试验样本空间,则=A ; A I A 2; L ; A 1 A 2 L A n 1A n ; L.3.—部四卷的文集,按任意次序放在书架上,各卷自左向右,或自右向左顺序恰好为 1、2、3、4概率为 — 124. 一批(N 个)产品中有M 个次品、从这批产品中任取n 个,其中恰有个m 个次品的概 率是 c m c nm /c N5.某地铁车站,每5分钟有一趟列车到站, 乘客到达车站的时刻是任意的, 则乘客侯 车时间不超过3分钟的概率为 6•在区间(0, 1 )中随机地取两个数,则事件“两数之和小于 6”的概率为57. 已知 RA)= P(B)=(1) ;P(AB)12.假设一批产品中一、二、三等品各占60% 30% 10%从中随机取一件结果不是三等品,则取到一等品的概率为13. 已知 P(A) a,P (B|A) b,则卩(AB )14. 一批产品共10个正品,2个次品,任取两次,每次取一件(取后不放回),则第2次抽取为次品的概率162 1 215.甲、乙、丙三人入学考试合格的概率分别是 -,1,-,三人中恰好有两人合格的概3 2 5率为2/5 .16. 一次试验中事件 A 发生的概率为 p ,现进行n 次独立试验,则A 至少发生一次的概率为 1 (1 p)n; A 至多发生一次的概率为17.甲、乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为和,现已知目标被击中,则它是甲中的概率为二、选择题3.如果事件A, B 有B A,则下述结论正确的是(C ).产品不全是合格品”,则下述结论正确的是(B ).5. 若二事件A 和B 同时出现的概率 P( AB )=0则(C ).(C ) AB 未必是不可能事件;(D ) P( A )=0或P( B )=0.a ab .(1 P)n np(1 p)n 11.以A 表示事件“甲种产品畅销,乙种产品滞销” 则其对立事件 A 为(D ).(A ) “甲种产品畅销,乙种产品滞销” (B ) “甲、乙两种产品均畅销” (C ) “甲种产品滞销”(D ) “甲种产品滞销或乙种产品畅销”2.对于任意二事件 A 和 B,与A BB 不等价的是(D ).(A) A B;(B) B A;(C) AB(D) AB(A ) A 与B 同时发生; (B) A 发生,B 必发生; (C) A 不发生B 必不发生; (D B 不发生A 必不发生.4. A 表示“五个产品全是合格品”,B 表示“五个产品恰有一个废品”,C 表示“五个(A) A B;(B) A C;(C) B C;(D) A B C.(A ) A 和B 不相容;(B ) AB 是不可能事件;6.对于任意二事件A和B有P(A B) (C ).(D) P(A) P (B) P(B) P(AB).8.设A , B 是任意两个概率不为 0的不相容的事件,则下列事件肯定正确的(D ).(A) A 与 B 不相容;(B) A 与 B 相容;(C) P( AB = P( A )P( B); (D) P( A-护P( A ). 9.当事件A B 同时发生时,事件C 必发生则(B ).(C) 事件A 和 B 互不独立;13 .设A, B 是任意二事件,且P(B) 0, P(A|B) 1 ,则必有(C ).(A) P(A B) P(A); (B) P(A B) P(B); (C) P(A B) P(A);(D)P(AB) P(B).14. 袋中有 5个球,其中2个白球和 3个黑球,又有5个人依次从袋中任取一球,取后不放回,则第二人取到白球的概率为(D .(C ) P (A) P( AB); (A) P(C) P(A) P(B) 1;(C) P(C) P(AB);(B) P(C) P(A) P(B) 1; (D) P(C) P(A B).10.设A,B 为两随机事件,且 A ,则下列式子正确的是 (A ).(A ) P(A B) P(A);(B) P(AB) P(A); (C) P(B|A) P(B);(D)P(B A) P(B) P(A).11.设A 、B 、C 是二随机事件,且 P(C) 0,则下列等式成立的是 (B).(A) P(A|C) P(A|C) (C) P(A|C) P(A|C)1; 1;(B) P(AUB|C) P(A|C) P(B|C) P (AB|C); (D) P(AUB|C) P(A|C) P(B|C).12.设A, B 是任意两事件B,P(B) 0,则下列选项必然成立的是(B ).(A) P (A) P(A|B); (C) P(A) P(A|B);(B) P(A) P(A|B); (D) P(A) P(A| B). 1(A)1;(B) |;4(C) 1;(D) I515.设 0 P(A) 1, 0 P(B) 1, P(A|B) P(A|B) 1,则(D ).(A) 事件A 和 B 互不相容;(B)事件A 和B 互相对立;事件A 和B 相互独立.p (0 p 1),则此人第4 (D)16.某人向同一目标重复射击,每次射击命中目标的概率为次射击恰好第2次命中目标的概率为(C).三、解答题1.写出下列随机实验样本空间:(1)同时掷出三颗骰子,记录三只骰子总数之和;(2) 10只产品中有3次产品,每次从中取一只(取出后不放回) ,直到将3只次品都取 出,记录抽取的次数;⑶对某工厂出厂的产品进行检查,合格的盖上“正品” ,不合格的盖上“次品”,如连续查出二个次品就停止检查,或检查4个产品就停止检查,记录检查的结果。
(4)将一尺之棰折成三段,观察各段的长度解 1( 1){3,4,5,,18};{3,4,5, ,10};查出合格品记为“ 1”,查出次品记为“ 0”,100, 0100, 0101, 1010, 0110, 1100, 0111, 1011, 1101, 1110, 1111};{(X, y,z)|x 0, y 0, z 0, x y z 1}其中x, y, z 分别表示三段之长.2.设A,B,C 为三事件,用A,B,C 运算关系表示下列事件:(4) A B C ; ( 5) ABC 或 ABC ;3.下面各式说明什么包含关系? (A) 3p(1 p)2; (C) 3p 2(1 p)2;(B) 6p(1 p)2; (D) 6p 2(1 p)2.{00, A 发生,B 和C 不发生;(2) A 与B 都发生,而C 不发生;A,B,C 均发生; A, B,C 至少一个不发生; A,B,C 都不发生;(6) A, B,C 最多一个发生; A,B,C 中不多于二个发生;(8) A, B,C 中至少二个发生.解(1)ABC 或 A- (AB+AC 或 A-(B +C ) ; (2) ABC 或 AB- ABC 或 AB- C ; (3) ABC ;(6) ABC ABC ABC ABC ; (7)ABC ; (8) AB AC BC .(1) ABA ; (2) A B解(1)A B ;(2) A4.设 {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, {2,3,4}, B {3,4,5}, C {5,6,7}具体写出下列各事件:(1) AB , (2) A B ,(3)AB ,(4) ABC ,(5) A(B C).解 (1){5} ; (2) {1,3,4,5,6,7,8,9,10} ;(3) {2,3,4,5}(4) {1,5,6,7,8,9,10} (5) {1,2,5,6,7,8,9,10}.5.从数字1,2,3,…,10中任意取3个数字, (1)求最小的数字为 5的概率;记“最小的数字为5”为事件A•••10个数字中任选3个为一组:选法有 C 1o 种,且每种选法等可能.又事件A 相当于:有一个数字为 5,其余2个数字大于5。
这种组合的种数有1 C ;P(A) 2(2)求最大的数字为 5的概率。
记“最大的数字为 5”为事件B ,同上10个数字中任选3个,选法有Cw 种,且每种选 法等可能,又事件 B 相当于:有一个数字为 5,其余2数字小于5,选法有1 C 2种&已知10只晶体管中有2只次品,在其中取二次,每次随机取一只,作不放回抽样,求下列事件的概率。
P(B)1 C 42 G 3。
丄 20要4只都不配对,可在5双中任取P(A) P(A) 1 P(A)8 211 ◎21 13217.试证 P (AB AB )P ( B ) 2P (AB ).(1)两只都是正品两只都是次品 ;(3)—只是正品,一只是次品; (4)至少—只是正品。
10. 某学生宿舍有8名学生,问(1) 8人生日都在星期天的概率是多少?(日都不在星期天的概率是多少? (3) 8人生日不都在星期天的概率是多少?1解(1) P 1严有2个电话号码相同,另 2个电话号码不同的概率 取的至少有3个电话号码相同的概率 q .C 11O C 42A 92解基本事件总数有』!种5! 5 5!(1)每个班各分一名优秀生有 3!种,对每一分法,12名非优秀生平均分配到三个班中3 12!分法总数为种,所以共有 住L 种分法.所以 P =4^ 生4 4 4 4 4 4 15 ! 91 5! 5 5(3)C ;Pc 8c 2P3C1028 45;16 459.把10本书任意放在书架上, 解所求概率 P(2) P 2⑷P 4 1 求其中指定的6! 5! 110!42C ; CIP 21 45 1丄兰45 455本书放在一起的概率。
2)8人生(2) P 2 岸⑶P 3 111 .从0 - 9中任取 4个数构成电话号码(可重复取) 求:0.432;10弟込旦0.037.1012. 15名新生平均分配到三个班中,这 个班各分一名优秀生的概率 P (2) 3名优秀生在同一个班的概率 q .随机地将 15名新生有3名优秀生.求(1)每(1) P即该学生这门课结业的可能性为70%.(2)3 名优秀生分配到同一个班,分法有3种,对每一分法,12名非优秀生分配到三个班3 12中分法总数为12!,共有3 12种,所以q二翠5 12! 5! 5 2 ! 5 5 15 915! 5 5!13.在单位园内随机地取一点Q试求以Q为中点的弦长超过1的概率.解:在单位园内任取一点Q, 并记Q点的坐标为(X,y),由题意得样本空间2X, y 1,记事件A为“以Q为中心的弦长超过1”,贝y事件A X, y 1 X2y2,即A X, y由几何概率计算公式得P(A)14.设A B是两事件且P ( A)= , P ( B)=.问(1)在什么条件下P (AB取到最大值,最大值是多少? ( 2)在什么条件下P ( AB取到最小值,最小值是多少?解:由P (A) = , P ( B)= 即知AB^O,(否则AB = 0依互斥事件加法定理,P(A U B=P (A)+P (B=+= >1 与P ( A U B) < 1 矛盾).从而由加法定理得P (AB=P (A)+P (B) - P ( A U B) (*)(1)从OW RAB w P(A)知,当ABmA,g卩A n B时RAB取到最大值,最大值为R AB=P(A)=,(2)从(*)式知,当A U B= 时,RAB取最小值,最小值为F(AB=+ —1=.15.设A, B是两事件,证明: P(AB AB) P(A) P(B) 2P(AB)证 P (AB AB) P (AB) PfAB) P(ABAB) P(A B) P(B A)P(A) P (AB) P(B) P (AB) P(A) P(B) 2P( AB).16.某门课只有通过口试及笔试两种考试,方可结业.某学生通过口试概率为80%通过笔试的概率为65%至少通过两者之一的概率为75%问该学生这门课结业的可能性有多大?解A= “他通过口试”,B=“他通过笔试”,则P(A)= P(B)=, P(A+B)=P (A B)=F(A»+P(B) - P(A+B)=+-=即该学生这门课结业的可能性为70%.17.某地有甲、乙、丙三种报纸,该地成年人中有20淤甲报,16%读乙报,14%卖丙报,其中8%兼读甲和乙报,5%兼读甲和丙报,4%兼读乙和丙报,又有2%兼读所有报纸,问成年人至少读一种报纸的概率解设A,B, C分别表示读甲,乙,丙报纸P(A B C)P(A) P(B) P (C) P (AB) P (AC) P (BC) P (ABC)0.2 0.16 0.14 0.08 0.05 0.04 0.02 0.351 118.已知P (A) P (B) P (C) -,P (AB) 0,P (AC) P ( BC) 一,求事件A,B,C 全不发416生的概率.解P(ABC) P( __ ) 1 P(A B C)3 11 [P (A) P (B) P(C) P (AB) P (AC) P (BC) P (ABC)] 1 - -4819.某厂的产品中有4%勺废品,在100件合格品在有75件一等品,试求在该产品任取一件的是一等品的概率.解令A “任取一件是合格品”,B “任取一件是一等品”P(AB) P(A) P(B|A) (1 0.04) 0.75 0.72 .20.在100个次品中有10个次品,每次从任取一个(不放回),求直到第4次才取到正品的概率.解A i= “第i次取到正品” i =1 , 2, 3, 4.p(A A A3A4) P(A)P(A2 | A )P(A3 | A A2) P(A4 | A1A2A3)——900.00069100 99 98 9721.某人忘记了电话号码的最后一个数字,因而随机的拨号,求他拨号不超过三次而接通所需的电话的概率是多少?记H表拨号不超过三次而能接通,A表第i次拨号能接通.注意:第一次拨号不通,第二拨号就不再拨这个号码人入2民 三种情况互斥p (A )P (A 2|A 1)P (A )P (A 2 [A JP (人3|入1入2)求取得正品的概率.P(B i ) = 0.5 , P (B 2)= O.3 , P (B 3)= O.2 , P(A|B i ) 0.9 , P(A|B 2)0.8, P(A|B 3)0.73所以 P (A ) P B P A B ii 125.某一工厂有A,B,C 三个车间生产同一型号螺钉,每个车间的产量分别占该厂螺钉总产量的25 %、35 %、40 %,每个车间成品中的次品分别为各车间产量的1 9 1 9 8 1310 10 9 10 9 8 10 .22.若 P(A)0,P (B) 0 ,且 P(A| B) P(A),证明 P(B| A)P (B). 证因为 P(A|B)P(A),则 P(AB)P (A ) P(AB) P (B)P(A) P(B)所以 P(B|A) P(AB)P(A)P(B)P(B).P(A)P(A)23.证明事件 A 与B 互不相容,且 0<p(B )<1,则 p (A |B )P (A )1 P ( Bo证 P (A |B )篇艦.。