第5节乘法公式和全概率公式PPT课件
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概率论与数理统计-第1章-第5讲-全概率公式与贝叶斯公式
概率论与数理统计
第1章 随机事件与概率
第5讲 全概率公式与贝叶斯公式
主讲教师 |
第5讲 全概率公式与贝叶斯公式
全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率, 它 们实质上是加法公式，乘法公式以及条件概率的综合运用.
全概率公式
加法公式
P(A+B)=P(A)+P(B)
A、B互斥
乘法公式 P(AB)= P(A)P(B|A)
7
01 全概率公式
例 设某人有三个不同的电子邮件账户，有70%的邮件进入账户1，另有 20%的邮件进入账户2，其余10%的邮件进入账户3. 根据以往经验，三 个账户垃圾邮件的比例分别为1%，2%, 5%，问某天随机收到的一封邮 件为垃圾邮件的概率.
A1, A2 , A3 分别表示邮件来自账户1、2、3
P(A)>0
2
第5讲 全概率公式与贝叶斯公式
例 设甲、乙、丙三个厂生产同一种产品，其产量分别占总数的 25%,35%,40%，次品率分别为5%,4%,2%，从这批产品中任取一件， 求它是次品的概率.
A1, A2 , A3 分别表示产品由甲、乙、丙厂生产
完备事件组
B表示产品为次品 A1B A2B A3B, A1B, A2B, A3B两两互斥. P(B) P( A1B) P( A2B) P( A3B)
P( Ai | B)
第1章 随机事件与概率
第5讲 全概率公式与贝叶斯公式
主讲教师 |
第5讲 全概率公式与贝叶斯公式
全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率, 它 们实质上是加法公式，乘法公式以及条件概率的综合运用.
全概率公式
加法公式
P(A+B)=P(A)+P(B)
A、B互斥
乘法公式 P(AB)= P(A)P(B|A)
7
01 全概率公式
例 设某人有三个不同的电子邮件账户，有70%的邮件进入账户1，另有 20%的邮件进入账户2，其余10%的邮件进入账户3. 根据以往经验，三 个账户垃圾邮件的比例分别为1%，2%, 5%，问某天随机收到的一封邮 件为垃圾邮件的概率.
A1, A2 , A3 分别表示邮件来自账户1、2、3
P(A)>0
2
第5讲 全概率公式与贝叶斯公式
例 设甲、乙、丙三个厂生产同一种产品，其产量分别占总数的 25%,35%,40%，次品率分别为5%,4%,2%，从这批产品中任取一件， 求它是次品的概率.
A1, A2 , A3 分别表示产品由甲、乙、丙厂生产
完备事件组
B表示产品为次品 A1B A2B A3B, A1B, A2B, A3B两两互斥. P(B) P( A1B) P( A2B) P( A3B)
P( Ai | B)
乘法公式与全概率公式课件-2022-2023学年高二下学期数学人教B版(2019)选择性必修第二册
且P(B)＝___________________________．
知识点三 贝叶斯公式(选学内容)
1．与全概率公式解决的问题相反，贝叶斯公式是建立在条件概率的
基础上寻找事件发生的原因．
2．一般地，当1＞P(A)＞0且P(B)＞0时，有P(A|B)＝
+ ҧ ҧ
(2)甲没中奖而且乙中奖的概率；
(3)乙中奖的概率．
题型2 全概率公式的应用
例2 已知甲袋中有6只红球，4只白球；乙袋中有8只红球，6只白
球．求下列事件的概率：
(1)随机取一只袋，再从该袋中随机取一球，该球是红球；
(2)合并两只袋，从中随机取一球，该球是红球．
解析：(1)记B＝{该球是红球}，A1 ＝{取自甲袋}，A2 ＝{取自乙袋}，已知
4．1.2
乘法公式与全概率公式
新知初探·自主学习
课堂探究·素养提升
[课标解读] 1.结合古典概型，会利用乘法公式计算概率.2.结合古典
概型，会利用全概率公式计算概率．了解贝叶斯公式．
新知初探·自主学习
【教材要点】
知识点一 两个事件A、B同时发生的概率乘法公式
若P(B)>0，则P(AB)＝P(B)P(A|B)，或P(AB)＝P(A)P(B|A)
知识点二 全概率公式
ҧ
(1)一般地，如果样本空间为Ω，而A，B为事件，则BA与B是互斥的，且
知识点三 贝叶斯公式(选学内容)
1．与全概率公式解决的问题相反，贝叶斯公式是建立在条件概率的
基础上寻找事件发生的原因．
2．一般地，当1＞P(A)＞0且P(B)＞0时，有P(A|B)＝
+ ҧ ҧ
(2)甲没中奖而且乙中奖的概率；
(3)乙中奖的概率．
题型2 全概率公式的应用
例2 已知甲袋中有6只红球，4只白球；乙袋中有8只红球，6只白
球．求下列事件的概率：
(1)随机取一只袋，再从该袋中随机取一球，该球是红球；
(2)合并两只袋，从中随机取一球，该球是红球．
解析：(1)记B＝{该球是红球}，A1 ＝{取自甲袋}，A2 ＝{取自乙袋}，已知
4．1.2
乘法公式与全概率公式
新知初探·自主学习
课堂探究·素养提升
[课标解读] 1.结合古典概型，会利用乘法公式计算概率.2.结合古典
概型，会利用全概率公式计算概率．了解贝叶斯公式．
新知初探·自主学习
【教材要点】
知识点一 两个事件A、B同时发生的概率乘法公式
若P(B)>0，则P(AB)＝P(B)P(A|B)，或P(AB)＝P(A)P(B|A)
知识点二 全概率公式
ҧ
(1)一般地，如果样本空间为Ω，而A，B为事件，则BA与B是互斥的，且
新教材数学人教B版选择性必修第二册 4.1.2 乘法公式与全概率公式 课件(45张)
类型一 利用乘法公式求概率 【典例】有一批种子的发芽率为0.9,出芽后的幼苗成活率为0.8,在这批种子 中,随机抽取1粒,则这粒种子能长成幼苗的概率为________. 【思维·引】认真分析题意,利用乘法公式求解. 【解析】记“种子发芽”为事件A,“种子长成幼苗”为事件AB(发芽,又成活), 出芽后的幼苗成活率为P(B|A)=0.8,又P(A)=0.9.故 P(AB)=P(B|A)·P(A)=0.72. 答案:0.72
若样本空间Ω中的事件A1,A2,…,An满足:
①任意两个事件均_互__斥__,即AiAj=∅,i≠j,i,j=1,2,…,n;
②A1+A2+…+An=_Ω__;
③P(Ai)>0 (i=1,2,…,n).
则对Ω中的任意事件B,都有B=BA1+BA2+…+BAn,
n
n
且P(B)=____P_(B_A__i )_=____P_(A__i )_P_(B__| A_i_)_.
【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)P(AB)=P(A)P(A|B). ( )
(2)全概率公式中样本空间Ω中的事件Ai需满足的条件为
n
Ai
.
ຫໍສະໝຸດ Baidu
()
i1
(3)贝叶斯公式是在观察到事件B已发生的条件下,寻找导致B发生的每个原因的
若样本空间Ω中的事件A1,A2,…,An满足:
①任意两个事件均_互__斥__,即AiAj=∅,i≠j,i,j=1,2,…,n;
②A1+A2+…+An=_Ω__;
③P(Ai)>0 (i=1,2,…,n).
则对Ω中的任意事件B,都有B=BA1+BA2+…+BAn,
n
n
且P(B)=____P_(B_A__i )_=____P_(A__i )_P_(B__| A_i_)_.
【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)P(AB)=P(A)P(A|B). ( )
(2)全概率公式中样本空间Ω中的事件Ai需满足的条件为
n
Ai
.
ຫໍສະໝຸດ Baidu
()
i1
(3)贝叶斯公式是在观察到事件B已发生的条件下,寻找导致B发生的每个原因的
乘法公式与全概率公式 高二数学 课件(人教B版2019选择性必修第二册)
50% 95% 30% 90% 20% 70% 88.5%.
思考：已知某厂生产的食盐，优质品率为90%.优质品中，包装达 标的占95%；非优质品中，包装达标的占80%.如果从该厂生产的 食盐中，随机取一袋，发现包装是达标的，那么这袋食盐是优质 品的概率为多少（精确到0.1%）？
可以用 A 表示优质品，B 表示包装达标，则A 表示不是优质
53 8
88
而且
P(B | A) 3 , P(B | A) 1 .
5
3
P(B) P( A)P(B | A) P( A)P(B | A) 5 3 3 1 1 . 8583 2
二、全概率公式
例3：某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社
区进行民意调查.参加活动的甲、乙两班的人数之比为5：3，其
中甲班中女生占 3 ，乙班中女生占 1 .求该社区居民遇到一位进
5
3
行民意调查的同学恰好是女生的概率.
也可以这样理解：假设参加活动的甲班人数为 5n ，则乙班人数 为 3n ，而且甲班中有女生 3n人，乙班中有女生 n 人.
从而可知参加活动的总共有 5n 3n 8n 人， 而女生有 3n n 4n 人，因此所求概率为 4n 1 .
i 1
i 1
上述公式也称为全概率公式. n 3 时的情形可借助下图理解.
A3
B
BA3 BA1
思考：已知某厂生产的食盐，优质品率为90%.优质品中，包装达 标的占95%；非优质品中，包装达标的占80%.如果从该厂生产的 食盐中，随机取一袋，发现包装是达标的，那么这袋食盐是优质 品的概率为多少（精确到0.1%）？
可以用 A 表示优质品，B 表示包装达标，则A 表示不是优质
53 8
88
而且
P(B | A) 3 , P(B | A) 1 .
5
3
P(B) P( A)P(B | A) P( A)P(B | A) 5 3 3 1 1 . 8583 2
二、全概率公式
例3：某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社
区进行民意调查.参加活动的甲、乙两班的人数之比为5：3，其
中甲班中女生占 3 ，乙班中女生占 1 .求该社区居民遇到一位进
5
3
行民意调查的同学恰好是女生的概率.
也可以这样理解：假设参加活动的甲班人数为 5n ，则乙班人数 为 3n ，而且甲班中有女生 3n人，乙班中有女生 n 人.
从而可知参加活动的总共有 5n 3n 8n 人， 而女生有 3n n 4n 人，因此所求概率为 4n 1 .
i 1
i 1
上述公式也称为全概率公式. n 3 时的情形可借助下图理解.
A3
B
BA3 BA1
《概率的计算公式》课件
直接计数法是根据具体的数据或实际情况，直接计算某一事件发生的概率。
定义
适用于样本空间较小、事件较简单的情况。例如，投掷一枚骰子出现偶数点的概率。
应用场景
$P(A) = frac{有利于A的基本事件数}{全部可能的基本事件数}$
计算公式
几何概型是指试验的结果是某一几何图形中的点，每个点发生的机会是相等的。
贝叶斯公式定义
在事件B已经发生的情况下，事件A发生的概率，记作P(A|B)=P(B|A)×P(A)/P(B)。
应用场景
贝叶斯公式常用于更新一个事件的概率，当已经知道另一个相关事件的概率时。例如，在机器学习和统计推断中，贝叶斯公式用于估计未知参数的后验概率分布。
概率的连续性公式
联合概率密度函数是多个连续型随机变量的函数，表示这些随机变量同时取值的概率。
概率的乘法公式
如果事件A可以由几个互斥事件B1, B2, ..., Bn共同导致，那么P(A)=P(B1)×P(A|B1)+P(B2)×P(A|B2)+...+P(Bn)×P(A|Bn)。
全概率公式常用于计算一个复杂事件的概率，当这个复杂事件可以分解为若干个互斥事件的并集时。
应用wk.baidu.com景
全概率公式定义
《概率的计算公式》ppt课件
目录
CONTENTS
概率的基本概念概率的计算方法概率的加法公式概率的乘法公式概率的连续性公式概率在实际生活中的应用
4.1.2乘法公式与全概率公式课件-高二下学期数学人教B版选择性
则 P(A)是容易求出的:总共有 10 种可能，拨不对电号码的情况有 9 种，因此 P(A)= 9 . 10
P( B A )也是容易算出来的：如果第一次拨不对，那么第二次会从第一次尝试的数以外
的数中随机选取一个进行尝试，总共有 9 种可能，拨不对电话号码的情况有 8 种，因
此 P( B A )= 8 .从而根据乘法公式知，两次都拨不对电话号码的概率：
定理 2 若样本空间 Ω 中的事件 A1，A2，···，An 满足：
（1）任意两个事件均互斥，即 AiAj=∅，i,j=1,2,···,n，i≠j；
（2）A1+A2+···+An=Ω；
（3）1>P(Ai)>0，i=1,2,···,n.
则对 Ω 中的任意概率非零的事件 B，有
P( Aj
Biblioteka Baidu
|
B)
P(Aj )P(B P(B)
人教B版高中数学选择性必修一
PART 01
温故知新·师生互助
WENGUZHIXIN SHISHENGHUZHU
学校的“我为祖国献计献策”演讲比赛共有 20 名同学参加，学校决定让参赛选手 通过抽签决定出场顺序。不过，张明对抽签的公平性提出了质疑，他的理由是，如果 第一个人抽的出场顺序是 1 号，那么其他人就抽不到 1 号了，所以每个人抽到 1 号的 概率不一样。
第五节全概率公式与Bayes贝叶斯公式-PPT精品
这公式也适用于对样本空间的无穷划分
例3：某种诊断癌症的实验有如下效果：患有癌症者 做此实验反映为阳性的概率为0.95，不患有癌症者做 此实验反映为阴的概率也为0.95，并假定就诊者中有 0.005的人患有癌症。已知某人做此实验反应为阳性， 问他是一个癌症患者的概率是多少？
解：令H= {做实验的人为癌症患者 },
18 42 7 5 6 1 038 5 8 4 20 22 20 2202 20 2202 20 2202 20 2
=0.146
我们还可以从另一个角度去理解 全概率公式.
某一事件B的发生有各种可能的原因 (i=1,2,…,n)，如果B是由原因Ai所引起，则 B发生的概率是
P(BAi)=P(Ai)P(B |Ai)
P(A3)P(B |A3)
=0.36×0.2+0.41 ×0.6+0.14 ×1 =0.458
即飞机被击落的概率为0.458.
实际中还有下面一类问题，是
“已知结果求原因”
某人从任一箱中任意
摸出一球，发现是红球,求
该球是取自1号箱的概率.
或者问:
1红4白
该球取自哪号箱的可能 1
2
3
性最大?
这一类问题在实际中更为常见，它所求
试验结果为阳性,此人确患癌症的概率为 P(C｜A)=0.1066
即使你检出阳性，尚可不必过早下结论 你有癌症，这种可能性只有10.66% (平均来 说，1000个人中大约只有107人确患癌症)， 此时医生常要通过再试验来确认.
例3：某种诊断癌症的实验有如下效果：患有癌症者 做此实验反映为阳性的概率为0.95，不患有癌症者做 此实验反映为阴的概率也为0.95，并假定就诊者中有 0.005的人患有癌症。已知某人做此实验反应为阳性， 问他是一个癌症患者的概率是多少？
解：令H= {做实验的人为癌症患者 },
18 42 7 5 6 1 038 5 8 4 20 22 20 2202 20 2202 20 2202 20 2
=0.146
我们还可以从另一个角度去理解 全概率公式.
某一事件B的发生有各种可能的原因 (i=1,2,…,n)，如果B是由原因Ai所引起，则 B发生的概率是
P(BAi)=P(Ai)P(B |Ai)
P(A3)P(B |A3)
=0.36×0.2+0.41 ×0.6+0.14 ×1 =0.458
即飞机被击落的概率为0.458.
实际中还有下面一类问题，是
“已知结果求原因”
某人从任一箱中任意
摸出一球，发现是红球,求
该球是取自1号箱的概率.
或者问:
1红4白
该球取自哪号箱的可能 1
2
3
性最大?
这一类问题在实际中更为常见，它所求
试验结果为阳性,此人确患癌症的概率为 P(C｜A)=0.1066
即使你检出阳性，尚可不必过早下结论 你有癌症，这种可能性只有10.66% (平均来 说，1000个人中大约只有107人确患癌症)， 此时医生常要通过再试验来确认.
第五节__条件概率.ppt5
的 i 1 个人都没有抽到此标的事件一起出现 ,即
P A1 P A2 | A1 P Ai | A1 Ai 1 29 28 1 1 , i 1,2,,30 . 30 29 30 i 1 30 1 所以 , 各人抽得此票的概率都是 ,即机会均等 . 30 P Ai P A1 A2 Ai 1 Ai
例题2 设P(A)=0.5, P(B)=0.4,P(A|B) 0.6 求P(AB), P(A | A B)的值
例7抓阄问题 1995 年全国足球甲 A 联赛的最后
一轮 ,四川全兴队与解放军八一队的比赛在成都市 进行 , 这场比赛是关系到四川全兴队是否降级的命
运之战 , 肯定会异常精彩 , 可西南交大某班 30 位同学 仅购得一张票, 大家都想去看, 只好采取抓阄的办 法抽签决定 , 每个人都争先恐后地抽取 .试问 , 每人抽
条件概率P(B|A)与P(B)区别 每一个随机试验都是在一定的条件下进行的, 设B是随机试验的一个事件,则P(B)是在该试验条 件下事件B发生的可能性的大小. 而条件概率P(B|A)在原条件下又添加”A发 生”这个条件时B事件发生的可能性的大小,即 P(B|A)也是概率. P(B|A)与P(B)的区别在于两者发生的条件不同, 它们是两个不同的概念,在数值上一般也不同.
第五节 条件概率
教学内容 1 条件概率 2 乘法公式 3 全概率公式与贝叶斯公式 教学重点 条件概率公式的计算公式,乘法公式,全概 率公式与贝叶斯公式的应用
P A1 P A2 | A1 P Ai | A1 Ai 1 29 28 1 1 , i 1,2,,30 . 30 29 30 i 1 30 1 所以 , 各人抽得此票的概率都是 ,即机会均等 . 30 P Ai P A1 A2 Ai 1 Ai
例题2 设P(A)=0.5, P(B)=0.4,P(A|B) 0.6 求P(AB), P(A | A B)的值
例7抓阄问题 1995 年全国足球甲 A 联赛的最后
一轮 ,四川全兴队与解放军八一队的比赛在成都市 进行 , 这场比赛是关系到四川全兴队是否降级的命
运之战 , 肯定会异常精彩 , 可西南交大某班 30 位同学 仅购得一张票, 大家都想去看, 只好采取抓阄的办 法抽签决定 , 每个人都争先恐后地抽取 .试问 , 每人抽
条件概率P(B|A)与P(B)区别 每一个随机试验都是在一定的条件下进行的, 设B是随机试验的一个事件,则P(B)是在该试验条 件下事件B发生的可能性的大小. 而条件概率P(B|A)在原条件下又添加”A发 生”这个条件时B事件发生的可能性的大小,即 P(B|A)也是概率. P(B|A)与P(B)的区别在于两者发生的条件不同, 它们是两个不同的概念,在数值上一般也不同.
第五节 条件概率
教学内容 1 条件概率 2 乘法公式 3 全概率公式与贝叶斯公式 教学重点 条件概率公式的计算公式,乘法公式,全概 率公式与贝叶斯公式的应用
《全概率公式》示范公开课教学PPT课件【高中数学人教A版】
解：设事件，表示“取到的是含有4个次品的包”，事件表示“取到的是含有1个次品的包”，事件A表示“采购员拒绝购买”，则构成样本空间的一个划分，
则，.
由古典概型的概率计算公式
从而由全概率公式，可知
因此，采购员随机挑选一包拒绝购买的概率为.
能提炼出解题步骤吗？
1
2
3Baidu Nhomakorabea
4
新课导入
新知探究
知识应用
课堂小结
布置作业
课堂小结
布置作业
直接从1号箱中任意摸出一球，求取得红球的概率；
直接从2号箱中任意摸出一球，求取得红球的概率；
有两个标号分别为1，2的箱子. 其中1号箱装有1个红球和4个蓝球，2号箱装有2个红球和3个蓝球，这些球除颜色外完全相同.某人先从两箱中任取一箱，再从该箱子中任意摸出一球，求取得红球的概率.
设事件Bi表示“球取自i号箱”（i=1，2），其中B1，B2互斥
事件A
新课导入
新知探究
知识应用
课堂小结
布置作业
直接从1号箱中任意摸出一球，求取得红球的概率；
直接从2号箱中任意摸出一球，求取得红球的概率；
有两个标号分别为1，2的箱子. 其中1号箱装有1个红球和4个蓝球，2号箱装有2个红球和3个蓝球，这些球除颜色外完全相同.某人先从两箱中任取一箱，再从该箱子中任意摸出一球，求取得红球的概率.
则，.
由古典概型的概率计算公式
从而由全概率公式，可知
因此，采购员随机挑选一包拒绝购买的概率为.
能提炼出解题步骤吗？
1
2
3Baidu Nhomakorabea
4
新课导入
新知探究
知识应用
课堂小结
布置作业
课堂小结
布置作业
直接从1号箱中任意摸出一球，求取得红球的概率；
直接从2号箱中任意摸出一球，求取得红球的概率；
有两个标号分别为1，2的箱子. 其中1号箱装有1个红球和4个蓝球，2号箱装有2个红球和3个蓝球，这些球除颜色外完全相同.某人先从两箱中任取一箱，再从该箱子中任意摸出一球，求取得红球的概率.
设事件Bi表示“球取自i号箱”（i=1，2），其中B1，B2互斥
事件A
新课导入
新知探究
知识应用
课堂小结
布置作业
直接从1号箱中任意摸出一球，求取得红球的概率；
直接从2号箱中任意摸出一球，求取得红球的概率；
有两个标号分别为1，2的箱子. 其中1号箱装有1个红球和4个蓝球，2号箱装有2个红球和3个蓝球，这些球除颜色外完全相同.某人先从两箱中任取一箱，再从该箱子中任意摸出一球，求取得红球的概率.
高二数学人教B版选择性必修第二册乘法公式和全概率公式教学PPT课件
[解] 法一：所求事件的概率 P＝26× ×15＝115. 法二：用 Ai 表示第 i 次取到不合格球，i＝1,2. 则 P(A1)＝13，P(A2|A1)＝15， ∴P(A1A2)＝P(A1)P(A2|A1)＝13×15＝115.
第2课时 全概率公式、贝叶斯公式
学习目标
核心素养
1．理解并掌握全概率公式．(重点) 1．通过学习全概率公式及贝叶斯
1．(变结论)在本例条件不变的情况下，求第一次取得黑球，第 二次取得白球的概率．
[解] 用 A 表示第一次取得黑球，则 P(A)＝130， 用 B 表示第二次取得白球，则 P(B|A)＝79. 故 P(AB)＝P(A)P(B|A)＝130×79＝370.
P(A)P(B|A) P(A)P(B|A)
第一课时和第二课时
第1课时 乘法公式
学习目标
核心素养
1．通过乘法公式及其推广的学习， 1．掌握乘法公式及其推广．(重点)
体会数学抽象的素养． 2．会用乘法公式及全概率公式求
2．借助乘法公式及其推广解题， 相应事件的概率．(难点)
提升数学运算素养.
小明在登陆电子邮箱时，发现忘了密码的最后一位，只记得是数 字 0～9 中的任意一个．
＞0，P(A2A1)＞0，P(A1A2A3)＞0.
()
[答案] (1)√ (2)× (3)√
2．已知 P(B|A)＝13，P(A)＝25，则 P(AB)等于( )
第2课时 全概率公式、贝叶斯公式
学习目标
核心素养
1．理解并掌握全概率公式．(重点) 1．通过学习全概率公式及贝叶斯
1．(变结论)在本例条件不变的情况下，求第一次取得黑球，第 二次取得白球的概率．
[解] 用 A 表示第一次取得黑球，则 P(A)＝130， 用 B 表示第二次取得白球，则 P(B|A)＝79. 故 P(AB)＝P(A)P(B|A)＝130×79＝370.
P(A)P(B|A) P(A)P(B|A)
第一课时和第二课时
第1课时 乘法公式
学习目标
核心素养
1．通过乘法公式及其推广的学习， 1．掌握乘法公式及其推广．(重点)
体会数学抽象的素养． 2．会用乘法公式及全概率公式求
2．借助乘法公式及其推广解题， 相应事件的概率．(难点)
提升数学运算素养.
小明在登陆电子邮箱时，发现忘了密码的最后一位，只记得是数 字 0～9 中的任意一个．
＞0，P(A2A1)＞0，P(A1A2A3)＞0.
()
[答案] (1)√ (2)× (3)√
2．已知 P(B|A)＝13，P(A)＝25，则 P(AB)等于( )
全概率公式与贝叶斯公式PPT课件
在贝叶斯公式中，P(Ai)和P(Ai |B)分别称为原因 的先验概率和后验概率.
P(Ai) (i=1,2,…,n) 是在没有进一步信息（不知道事 件B是否发生）的情况下，人们对诸事件发生可能 性大小的认识.
当有了新的信息（知道B发生），人们对诸事件发 生可能性大小P(Ai | B)有了新的估计.
贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化
P( A B) 0.1, P( A B ) 0.5 27
第一次村民上山打狼，发现狼没有来，即小孩说了
谎（A）。村民根据这个信息，对小孩的可信程度改变 为（用贝叶斯公式）
P(B)P(A B) P(B A)
P(B)P(A B) P(B)P(A B)
0.8 0.1
0.444
0.8 0.1 0.2 0.5
这表明村民上了一次当后，对这个小孩的可信程度
由原来的0.8调整为0.444，也就是
P(B) 0.444, P(B ) 0.556
28
在此基础上，我们再用一次贝叶斯公式计算P(B A)
亦即这个小孩第二次说谎后，村民对他的可信程度改 变为：
这表明村民们经过两次上当，对这个小孩的可信 程度已经从0.8下降到0.138，如此低的可信程度，村 民听到第三次呼叫怎么再会上山打狼呢？
12
于是
P(A)=P(B1)P(A |B1)+ P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3) =0.36×0.2+0.41 ×0.6+0.14 ×1 =0.458
全概率公式(教学课件)(人教A版2019选择性必修第三册)
分析：设A “发送的信号为0”,
B “接收到的信号为0”.
为便于求解,我们可将题目
中所包含的各种信息
用图7.1 4直观表示.
解：设A “发送的信号为0”, B “接收到的信号为0”.则A “发送的 信号为1”, B “接收到的信号为1”.由题意得
P( A) P( A) 0.5, P(B | A) 0.9, P(B | A) 0.1, P(B | A) 0.05, P(B | A) 0.95. (1) P(B) P( A)P(B | A) P( A)P(B | A) 0.5 0.9 0.5 0.05 0.475,
ab 是多大? 如何计算这个概率呢? 因为抽签具有公平性,所以第2次摸到红球的概率也应该是 a . 但是
ab 这个结果并不显然, 因为第2次摸球的结果受第1次摸球结果的影响. 下面我们给出严格的推导.
用Ri表示事件“第i次摸到红球”, Bi表示事件“第i次摸到蓝球”, i 1, 2. 如图7.1 2所示,
分析：第2天去哪家餐厅用餐的概率受第1天在哪家餐厅用餐的影响，可根据第1天可能去
的餐厅，将样本空间表示为“第1天去A餐厅”和“第1天去B餐厅”两个互斥事件的并，利
用全概率公式求解．
解：设A1 “第1天去A餐厅用餐”, B1 “第1天去B餐厅用餐”, A2 “第 2天去A餐厅用餐”, 则 A1 B1, 且A1与B1互斥, 根据题意得
B “接收到的信号为0”.
为便于求解,我们可将题目
中所包含的各种信息
用图7.1 4直观表示.
解：设A “发送的信号为0”, B “接收到的信号为0”.则A “发送的 信号为1”, B “接收到的信号为1”.由题意得
P( A) P( A) 0.5, P(B | A) 0.9, P(B | A) 0.1, P(B | A) 0.05, P(B | A) 0.95. (1) P(B) P( A)P(B | A) P( A)P(B | A) 0.5 0.9 0.5 0.05 0.475,
ab 是多大? 如何计算这个概率呢? 因为抽签具有公平性,所以第2次摸到红球的概率也应该是 a . 但是
ab 这个结果并不显然, 因为第2次摸球的结果受第1次摸球结果的影响. 下面我们给出严格的推导.
用Ri表示事件“第i次摸到红球”, Bi表示事件“第i次摸到蓝球”, i 1, 2. 如图7.1 2所示,
分析：第2天去哪家餐厅用餐的概率受第1天在哪家餐厅用餐的影响，可根据第1天可能去
的餐厅，将样本空间表示为“第1天去A餐厅”和“第1天去B餐厅”两个互斥事件的并，利
用全概率公式求解．
解：设A1 “第1天去A餐厅用餐”, B1 “第1天去B餐厅用餐”, A2 “第 2天去A餐厅用餐”, 则 A1 B1, 且A1与B1互斥, 根据题意得
03 教学课件_乘法公式与全概率公式(3)
3
由全概率公式得P(A)＝ P(Bi)P(A|Bi)＝0.2×0.95＋0.3×0.9＋0.5×0.8＝0.86. i＝1
(2)现取到一件产品为正品，问它是由甲、乙、丙三个厂中哪个厂生产的 可能性大？
解 由贝叶斯公式得 P(B1|A)＝P(B1P)P(A(A) |B1)＝0.20×.806.95＝8169， P(B2|A)＝P(B2P)P(A(A) |B2)＝0.03.×806.9＝2876， P(B3|A)＝P(B3P)P(A(A) |B3)＝0.05.×806.8＝4806＝4230. 由以上3个数作比较，可知这件产品由丙厂生产的可能性最大.
(2)若将所有产品开箱混放，求任取一个为废品的概率.
解 P(A)＝30×13000×＋12000×120＝59， P(B)＝30×12000×＋12200×120＝49， P(C|A)＝530，P(C|B)＝210， 由全概率公式，得 P(C)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)＝59×530＋49×210＝118.
P(A|B1)＝23，P(A|B2)＝59，P(A|B3)＝49，
∴P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)·P(A|B3)＝154×23＋2185×59＋238×49＝172.
三、贝叶斯公式的应用
例4 设某批产品中，甲、乙、丙三厂生产的产品分别占45%,35%,20%，
由全概率公式得P(A)＝ P(Bi)P(A|Bi)＝0.2×0.95＋0.3×0.9＋0.5×0.8＝0.86. i＝1
(2)现取到一件产品为正品，问它是由甲、乙、丙三个厂中哪个厂生产的 可能性大？
解 由贝叶斯公式得 P(B1|A)＝P(B1P)P(A(A) |B1)＝0.20×.806.95＝8169， P(B2|A)＝P(B2P)P(A(A) |B2)＝0.03.×806.9＝2876， P(B3|A)＝P(B3P)P(A(A) |B3)＝0.05.×806.8＝4806＝4230. 由以上3个数作比较，可知这件产品由丙厂生产的可能性最大.
(2)若将所有产品开箱混放，求任取一个为废品的概率.
解 P(A)＝30×13000×＋12000×120＝59， P(B)＝30×12000×＋12200×120＝49， P(C|A)＝530，P(C|B)＝210， 由全概率公式，得 P(C)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)＝59×530＋49×210＝118.
P(A|B1)＝23，P(A|B2)＝59，P(A|B3)＝49，
∴P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)·P(A|B3)＝154×23＋2185×59＋238×49＝172.
三、贝叶斯公式的应用
例4 设某批产品中，甲、乙、丙三厂生产的产品分别占45%,35%,20%，
《概率的乘法公式》课件
解析
题目
一个盒子中有n个红球和n个白球，每次从盒中随机取出一个球并放回。求取到m次红球后停止的概率。
解析
首先，计算取到m次红球的组合方式，即从n个红球中取m个的组合方式。然后，计算每次取到红球的概率为n/n+m。因此，取到m次红球后停止的概率为组合方式乘以每次取到红球的概率的m次方，即C(n,m) * (n/n+m)^m = ?（需要进一步推导）。
03
02
01
P(AB) = P(A|B) × P(B)，其中P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。
利用条件概率的定义
如果事件A和事件B是独立的，那么P(A|B) = P(A)，因此P(AB) = P(A|B) × P(B) = P(A) × P(B)。
利用独立事件的性质
全概率公式可以用于计算复杂事件的概率，通过将复杂事件分解为若干个简单事件的乘积，再将这些简单事件的概率相乘，得到复杂事件的概率。
利用贝叶斯定理对风险进行评估和预测，实现风险控制。
04
乘法公式的扩展与推广
乘法公式的扩展形式一
当两个事件A和B同时发生时，事件A和B同时发生的概率等于事件A发生的概率乘以事件B发生的概率。即，$P(A cap B) = P(A) times P(B)$。
乘法公式的扩展形式二
当两个事件A和B相互独立时，事件A和B同时发生的概率等于事件A发生的概率乘以事件B发生的概率。即，$P(A cap B) = P(A) times P(B)$。
题目
一个盒子中有n个红球和n个白球，每次从盒中随机取出一个球并放回。求取到m次红球后停止的概率。
解析
首先，计算取到m次红球的组合方式，即从n个红球中取m个的组合方式。然后，计算每次取到红球的概率为n/n+m。因此，取到m次红球后停止的概率为组合方式乘以每次取到红球的概率的m次方，即C(n,m) * (n/n+m)^m = ?（需要进一步推导）。
03
02
01
P(AB) = P(A|B) × P(B)，其中P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。
利用条件概率的定义
如果事件A和事件B是独立的，那么P(A|B) = P(A)，因此P(AB) = P(A|B) × P(B) = P(A) × P(B)。
利用独立事件的性质
全概率公式可以用于计算复杂事件的概率，通过将复杂事件分解为若干个简单事件的乘积，再将这些简单事件的概率相乘，得到复杂事件的概率。
利用贝叶斯定理对风险进行评估和预测，实现风险控制。
04
乘法公式的扩展与推广
乘法公式的扩展形式一
当两个事件A和B同时发生时，事件A和B同时发生的概率等于事件A发生的概率乘以事件B发生的概率。即，$P(A cap B) = P(A) times P(B)$。
乘法公式的扩展形式二
当两个事件A和B相互独立时，事件A和B同时发生的概率等于事件A发生的概率乘以事件B发生的概率。即，$P(A cap B) = P(A) times P(B)$。
乘法公式与全概率公式
( 1 ) B1, B2 ,, Bn 两 两 不 相 容(即每次至多发生其中一个)
(2) B1 B2 Bn (即每次至少发生其中一个)
B A B BA .
P(B) P(BA) P( A) P(B | A) 0.96 0.75 0.72，
即一等品率为72%.
例4 设某光学仪器厂制造的透镜 , 第一次落下时
打破的概率为 1 ,若第一次落下未打破 ,第二次落下 2
打破的概率是 7 ,若前两次未打破 , 第三次落下打
破的概率是
1
1 2
1
7 10
1
9 10
3 200
.
三、全概率公式
全概率公式主要用于计算比较复杂事件的 概率, 它实质上是可加性和乘法公式的综合运 用.
综合运用
可加性
P(A∪B)=P(A)+P(B)
A、B互斥
乘法公式 P(AB)= P(A) P(B | A) P(A)>0
定 义 若 事 件 组 B1, B2,, Bn 满 足 以 下 两 个 条 件 ：
打破的概率为 1 ,若第一次落下未打破 ,第二次落下
2
打破的概率是 7 ,若前两次未打破 , 第三次落下打
破的概率是
9
10 ,试求透镜落下三次未打破的概率 .
10
解 B1 第一次落下未打破 , B2 第二次落下未打破 ,
(2) B1 B2 Bn (即每次至少发生其中一个)
B A B BA .
P(B) P(BA) P( A) P(B | A) 0.96 0.75 0.72，
即一等品率为72%.
例4 设某光学仪器厂制造的透镜 , 第一次落下时
打破的概率为 1 ,若第一次落下未打破 ,第二次落下 2
打破的概率是 7 ,若前两次未打破 , 第三次落下打
破的概率是
1
1 2
1
7 10
1
9 10
3 200
.
三、全概率公式
全概率公式主要用于计算比较复杂事件的 概率, 它实质上是可加性和乘法公式的综合运 用.
综合运用
可加性
P(A∪B)=P(A)+P(B)
A、B互斥
乘法公式 P(AB)= P(A) P(B | A) P(A)>0
定 义 若 事 件 组 B1, B2,, Bn 满 足 以 下 两 个 条 件 ：
打破的概率为 1 ,若第一次落下未打破 ,第二次落下
2
打破的概率是 7 ,若前两次未打破 , 第三次落下打
破的概率是
9
10 ,试求透镜落下三次未打破的概率 .
10
解 B1 第一次落下未打破 , B2 第二次落下未打破 ,
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例2某工厂有一批零件共100个，其中有10个次品, 从这批零件中随机抽两次，每次抽取一件，取 后不放回，求两次都取正品的概率。
解：设 Ai为第 i次抽到正品( i 1, 2 )，则两次都取
正品的事件为 A1 A2，
P( A1 A2 ) P( A1 )P( A2
A1 )
90 100
89 99
10
A1 )
2 10
8 2 10 9
17 45
(4) P( A1 A2 A3 ) P( A1 )P( A2 A1 )P( A3 A1 A2 )
8 72 10 9 8
7 45
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例5 甲、乙两人进行击剑的防守训练，规定一方 进攻时，另一方只能防守不能还击，当一个回 合后，若防守一方未被击中，则改由它方进攻( 若防守一方被击中，则训练中止)。现决定甲先 向乙进攻，且击中乙的概率为0.2；若一个回合 后，乙未被击中，则乙向甲进攻，击中甲的概 率为0.3；若此回合中甲未被击中，则又由甲向 乙进攻，乙被击中的概率为0.4。求在上述几个 回合中下列事件的概率：
例1 设 A, B为任意两个事件，且 A B, P(B) 0, 则下列选项必成立的是( B )
( A) P( A) P( A B) (B) P( A) P( A B) (C ) P( A) P( A B) (D) P( A) P( A B)
1996年数3选择题第5题
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P( ABC ) P(C AB)P( AB)
P(C AB)P(B A)P( A)
(2)设 A1 , A2 , , An为 n个事件，n 2, 且
P( A1 A2 An1 ) 0, 则有
P( A1 A2 An ) P( An A1 A2
An1 )
P( An1 A1 A2 An2 ) P( A2 A1 )P( A1 )
解：设 Ai “第 i次打开” (i 1, 2, 3)
2 (1) P( A1 ) 10
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(2) P( A1 A2 ) P( A1 )P( A2 A1 )
8 10
Fra Baidu bibliotek
2 9
8 45
(3) P( A1 A1 A2 ) P( A1 ) P( A1 A2 )
P( A1 ) P( A1 )P( A2
即 若 P(B) 0，则P( AB) P( A B)P(B)
P( AB) P(B A)P( A) P( A) 0 (1) P( A B)P(B) P(B) 0 (2)
用(1)式和(2)式来计算两个 事件同时发生的概率。
(1)式和(2)式 都称为乘法 公式
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推广： (1)设 A, B,C为事件，且 P( AB) 0, 则有
乙厂占30 %，甲厂产品的合格率是95 %，乙厂
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三、全概率公式和贝叶斯公式
综合应用
用来计算比 较复杂事件
的概率
加法公式
P( A B) P( A) P(B)
A, B互斥
乘法公式
P( AB) P( A)P(B A) P( A) 0
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(一) 全概率公式
例如 市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70 %，
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(1) 甲被击中的概率；(2) 乙被击中的概率； 解：设 A “第一回合中甲击中乙”
B “第二回合中乙击中甲” C “第三回合中甲击中乙” 据题意，P( A) 0.2 P(B A) 0.3 P(C AB) 0.4 (1) 甲被击中只能发生在第一回合甲没击中乙， 而在第二回合中甲被乙击中，故“甲被击中” AB, 因此，
P( AB) P( A)P(B A) 0.8 0.3 0.24
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(2) 乙被击中有两种情况： ①第一回合乙被甲击中； ②第一回合甲没击中乙，于是进入第二回合， 此回合中乙没击中甲，而进入第三回合，在第 三回合中乙被甲击中； 因此“乙被击中” A ABC, 故
P( A ABC ) P( A) P( ABC ) P( A) P( A)P(B A)P(C AB) 0.2 0.8 0.7 0.4 0.42
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例1 已知P( A) 0.4, P(B A) 0.5, P( A B) 0.25, 则P(B)
解：由乘法公式可知，
P( AB) P(B A)P( A) 0.4 0.5 0.2
P(B)
P( AB) P(A B)
0.2 0.25
0.8
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100
0.809
目 录 前一页 后一页 退 出
例3 甲、乙两厂共同生产1000个零件，其中300件 是乙厂生产的，而在这300个零件中，有189个是 合格品，现从1000个零件中任取一个，问这个零
件是乙厂生产的合格品的概率是多少？
300个乙厂 生产的零件
189个是 合格品
甲、乙共生 生产1000个
产，问它是合格品的概率
是多少？”
求的是 P(B A)
P(B
A)
189 300
0.63
A发生 在P( AB)中作为结果; 在P(B A)中作为条件;
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例4 现有十把钥匙，其中两把能开锁，随机取一 把试开，若不能打开，放到一边，再随机取一 把，问：
(1) 一次就打开的概率； (2) 第二次才打开的概率； (3) 两次内打开的概率； (4) 第三次才打开的概率。
二、 乘法公式
条件概率 P(B A) P( AB) P( A) 0
P( A)
P(B A)P( A) P( AB)
即 若 P( A) 0，则P( AB) P(B A)P( A)
将 A, B的位置对调，有 若P(B) 0，则 P(BA) P( A B)P(B)
P( AB) P(BA)
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解：设 A为乙厂生产的零件， B为合格品，
P( AB) P(B A)P( A)
189
300 0.189
300 1000
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问这个零件是乙厂生产的合格品的概率是
多少？
300个乙厂
所求的是P( AB) 生产的零件
若改为“发现它是乙厂生
189个是 合格品
甲、乙共生 生产1000个