7-4欧拉图与汉密尔顿图
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第15章 欧拉图与哈密顿图
e5
v3
v2 e1 v1
e2
e3
e4
v4
e5
v3 e3 e4 v4
v2 v1 v5
e2 e3
e1 e5
v3 e4 v4 v6
v1
e6 v5 e7 e8 v6 e2 e3
e8 v5
e8 v6 v5 e2 v6
e7
G
v2 e1 v1 v5 v6 v3 e4 v4 v5 v2
G1
e2 v3 e4 v2 e1 v1 v5 e1
定理15.7
定理15.7 设G是n阶无向简单图，若对于G中任意不相邻的顶 点vi,vj，均有 d(vi)+d(vj)≥n-1 (15.1) 则G中存在哈密顿通路。 证明 首先证明G是连通图。 否则G至少有两个连通分支， 设G1,G2是阶数为n1,n2的两个连通分支， 设v1∈V(G1)，v2∈V(G2)，因为G是简单图，所以 dG(v1)+dG(v2)＝dG1(v1)+dG2(v2)≤n1-1+n2-1≤n-2 这与(15.1)矛盾，所以G必为连通图。
例15.3的说明
哈密顿通路是经过图中所有顶点的一条初级通路。 哈密顿回路是经过图中所有顶点的初级回路。 对于二部图还能得出下面结论： 一般情况下，设二部图G＝<V1,V2,E>，|V1|≤|V2|，且 |V1|≥2，|V2|≥2，由定理15.6及其推论可以得出下面结 论： (1) 若G是哈密顿图，则|V1|＝|V2|。 (2) 若G是半哈密顿图，则|V2|＝|V1|+1。 (3) 若|V2|≥|V1|+2，则G不是哈密顿图，也不是半哈密 顿图。
§15.2 哈密顿图
设图为G2，则G2＝<V1,V2,E>，其中 V1＝{a,g,h,i,c}，V2＝{b,e,f,j,k,d}， 易知，p(G2-V1)＝|V2|＝6>|V1|＝5， 由定理15.6可知，G2不是哈密顿图， 但G2是半哈密顿图。 baegjckhfid为G2中一条哈密顿通路。 设图为G3。G3＝<V1,V2,E>，其中 V1＝{a,c,g,h,e}，V2＝{b,d,i,j,f}， G3中存在哈密顿回路。 如 abcdgihjefa， 所以G3是哈密顿图。
图论讲义第4章-欧拉图与hamilton图
[1] E. Lucas，Récréations Mathématiques IV, Paris, 1921.
Fleury 算法的步骤如下：
输入：欧拉图 G 输出：G 的欧拉闭迹。
step1. 任取 v0 ∈V (G) ，令 w0 := v0 ， i := 0 。 step2. 设迹 wi = v0e1v1 eivi 已取定。从 E \ {e1, e2 , , ei }中选取一条边 ei+1 ，使得 （1） ei+1 和 vi 相关联； （2） ei+1 不选 Gi = G \ {e1, e2 , , ei }的割边，除非没有别的选择。
个顶点都是偶度顶点。从而 G +e 有 Euler 闭迹。故 G 有 Euler 迹。证毕。
一个图 G 如果有一条欧拉迹或欧拉闭迹，则我们可以沿着欧拉迹或欧拉闭迹连续而不 重复地把 G 的边画完。因此存在欧拉迹或欧拉闭迹的图通常称为可一笔画的图，或者说它 可一笔画成。如果图 G 可分解为两条迹或闭迹的并，则 G 的边可用两笔不重复地画完。同 样地，如果图 G 可分解为 k 条迹或闭迹的并，则 G 可 k 笔画成。
获得 2k 个同类 u−v 迹。这种分类构成一个等价关系，因此形成了对有重复点的 u−v 迹集合
的划分。划分出的每一个等价类有偶数个条 u−v 路。这说明有重复点的 u−v 迹总共有偶数条。
有以上两方面知， G′ = G − e 中共有奇数条顶点不重复的 u−v 迹（即 u−v 路），因此，
G 中共有奇数个含有边 e 的圈。
step3. 当 step2 不能再执行时，停止。
定理 4.1.3 若 G 是 Euler 图，则 Fleury 算法终止时得到的是 G 的 Euler 闭迹。
Fleury 算法的步骤如下：
输入：欧拉图 G 输出：G 的欧拉闭迹。
step1. 任取 v0 ∈V (G) ，令 w0 := v0 ， i := 0 。 step2. 设迹 wi = v0e1v1 eivi 已取定。从 E \ {e1, e2 , , ei }中选取一条边 ei+1 ，使得 （1） ei+1 和 vi 相关联； （2） ei+1 不选 Gi = G \ {e1, e2 , , ei }的割边，除非没有别的选择。
个顶点都是偶度顶点。从而 G +e 有 Euler 闭迹。故 G 有 Euler 迹。证毕。
一个图 G 如果有一条欧拉迹或欧拉闭迹，则我们可以沿着欧拉迹或欧拉闭迹连续而不 重复地把 G 的边画完。因此存在欧拉迹或欧拉闭迹的图通常称为可一笔画的图，或者说它 可一笔画成。如果图 G 可分解为两条迹或闭迹的并，则 G 的边可用两笔不重复地画完。同 样地，如果图 G 可分解为 k 条迹或闭迹的并，则 G 可 k 笔画成。
获得 2k 个同类 u−v 迹。这种分类构成一个等价关系，因此形成了对有重复点的 u−v 迹集合
的划分。划分出的每一个等价类有偶数个条 u−v 路。这说明有重复点的 u−v 迹总共有偶数条。
有以上两方面知， G′ = G − e 中共有奇数条顶点不重复的 u−v 迹（即 u−v 路），因此，
G 中共有奇数个含有边 e 的圈。
step3. 当 step2 不能再执行时，停止。
定理 4.1.3 若 G 是 Euler 图，则 Fleury 算法终止时得到的是 G 的 Euler 闭迹。
概率论-第二十一讲--欧拉图与哈密尔顿图(略)
16
二、哈密尔顿图
例5. 证明下图中没有汉密尔顿路径。 图中，3个顶点标记为A，5个顶点 A 标记为B，相差2个，不可能存在 一条汉密尔顿路径。 B B 如果在标记过程中，遇到相邻结 点出现相同标记时，如果有一个 结点的度数为2，可在此对应边上 A A 增加一个结点，并标上相异标 A 记。 B B B B B
11
二、哈密尔顿图
定理3：若无向图G=<V,E>是哈密尔顿图， V1是V的任意非空 真子集，则 ω(G- V1)≤| V1 |。 证明：设C是G的一条哈密尔顿回路，对于V的每个非空真子集 V1有：ω(C-V1) ≤|V1|
ω(C- V1)是C删去V1中所有顶点及关联的边后所得图
的连通分支数。 又因为C - V1是G - V1的生成子图，故有
13
二、哈密尔顿图
定义3：若无向图G＝<V,E>的顶点集合V可以划分成两个子集X 和Y，使G中的每一条边e的一个端点在X中，另一个端点 在Y中，则称G为二部图或偶图。二部图可记为 G＝<X,E,Y>，X和Y称为互补结点子集。 二部图不会有自回路。
14
二、哈密尔顿图
定理4：设二部图G=<X, E, Y>，设|X|=m，|Y|=n。若m≠n，则G 必不是汉密尔顿图。 证明：方法1. 用汉密尔顿图的性质证明。 因为|X|≠|Y|，不妨设|X|<|Y|。 显然有ω(G-X)=|Y|>|X|， 这与汉密尔顿图的必要条件ω(G-X)≤|X|矛盾。 因此G必不是汉密尔顿图。
定理2：一个有向连通图具有欧拉路径，当且仅当它 的每个顶点的引入次数等于引出次数，可能 有两个顶点除外，其中一个的引入次数比它 的引出次数大1，另一个的引入次数比它的 引出次数小1。 推论： 一个有向连通图具有欧拉回路，当且仅当它 的每个顶点的引入次数等于引出次数。
二、哈密尔顿图
例5. 证明下图中没有汉密尔顿路径。 图中，3个顶点标记为A，5个顶点 A 标记为B，相差2个，不可能存在 一条汉密尔顿路径。 B B 如果在标记过程中，遇到相邻结 点出现相同标记时，如果有一个 结点的度数为2，可在此对应边上 A A 增加一个结点，并标上相异标 A 记。 B B B B B
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二、哈密尔顿图
定理3：若无向图G=<V,E>是哈密尔顿图， V1是V的任意非空 真子集，则 ω(G- V1)≤| V1 |。 证明：设C是G的一条哈密尔顿回路，对于V的每个非空真子集 V1有：ω(C-V1) ≤|V1|
ω(C- V1)是C删去V1中所有顶点及关联的边后所得图
的连通分支数。 又因为C - V1是G - V1的生成子图，故有
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二、哈密尔顿图
定义3：若无向图G＝<V,E>的顶点集合V可以划分成两个子集X 和Y，使G中的每一条边e的一个端点在X中，另一个端点 在Y中，则称G为二部图或偶图。二部图可记为 G＝<X,E,Y>，X和Y称为互补结点子集。 二部图不会有自回路。
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二、哈密尔顿图
定理4：设二部图G=<X, E, Y>，设|X|=m，|Y|=n。若m≠n，则G 必不是汉密尔顿图。 证明：方法1. 用汉密尔顿图的性质证明。 因为|X|≠|Y|，不妨设|X|<|Y|。 显然有ω(G-X)=|Y|>|X|， 这与汉密尔顿图的必要条件ω(G-X)≤|X|矛盾。 因此G必不是汉密尔顿图。
定理2：一个有向连通图具有欧拉路径，当且仅当它 的每个顶点的引入次数等于引出次数，可能 有两个顶点除外，其中一个的引入次数比它 的引出次数大1，另一个的引入次数比它的 引出次数小1。 推论： 一个有向连通图具有欧拉回路，当且仅当它 的每个顶点的引入次数等于引出次数。
Euler图
一个邮递员送信, 每次要走遍他负责投递范围内的街 道, 然后再回到邮局. 问他应该按怎样的路线走, 使所 走的路程最短?---这就是1962年由中国学者管梅谷先 生提出的问题，该问题被称为“中国邮递员问题”。 如果用点表示交叉路口, 用点之间的连线表示对应的 街道, 每条线上对应一个实数, 它是相应街道的长度. 原问题变成一个图形问题.此时，该问题被描述为 中国邮递员问题: 在赋以非负权的连通图G上, 求一条 最小权环游.(称为最优环游或最佳邮路)。这是一个即 与Euler图有关又与最短路有关的问题。 环游：经过一个图G的每条边至少一次的闭回路。
8-5. 欧拉图与汉密尔顿图
这里主要讨论图的遍历问题,一个是遍历过程中要求经过 的所有边都不同;一个是遍历过程中要求经过的所有结点 都不同. 欧拉在1736年发表了第一篇关于图论的论文, 就是就 七桥问题. A A B C D
e1 e e5 2 B e6 e3 e 4 C e7
D
一.欧拉图: 1.欧拉迹:在无孤立结点的图G中,如果存在一条路,它经 过图中每条边一次且仅一次, 称此路为欧拉迹. 2.欧拉回路:在无孤立结点的图G中,若存在一条回路,它 经过图中每条边一次且仅一次,称此回路为欧拉回路. 称此图为欧拉图,或E图.(Euler) a 在G1中:有欧拉路: v1 b c d v acbefgdcfh v3 2 在G2中:有欧拉回路: e f g v v5 4 v1v2 v3 v4 v5 v 2 v4 v6 v5 v3 v1 G1 h G2 v6
令S={vi | uvi+1E(G)}, T={vi | vivE(G)}. ∵ vnST, ∴ |ST|n-1. 若ST, 即vjST, 则jn. ∵ vjvn E, ∴j1. v1v2…vjvnvn-1…vj+1v1是G的H-圈. 与假设矛盾. ∴ ST=. nd(u)+d(v) =|S|+|T|=|ST|n-1. 矛盾
一、图的概念、路和回路、欧拉图和汉密尔顿图
1、什么是图（Graphs)? d
a
c
由一些点和一些连接 两点间的连线组成。
b 定义 一个图是一个三元组<V(G), E(G), Ψ(G)>，其中
V(G):非空结点的集合； E(G):边的集合； Ψ(G):从边集合E到结点无序偶(有序偶)上的函数。
Graphs/图论
a
例: 图1：
e1
e3 e2
b
e4
图9 a b
c
a的出度为2，入度
e 为1，a的度数为3
d
Graphs/图论
定理3 在任何有向图中，所有结点的出度之和 等于所有结点的入度之和。
证明： 因为每一条有向边，必对应一个入度和一个出度；若 一个结点具有一个入度或出度，则必关联一条有向边。 所以，有向图中各结点入度之和等于边数，各结点出 度之和也等于边数。因此，任何有向图中，出度之和 等于入度之和。 证毕
定理 2 在任何图中，度数为奇数的结点必定是偶数个。
证明： 设：V1 ：图G中度数为奇数的结点集。
V2：图G中度数为偶数的结点集。
由定理1可知
deg(v) deg(v) deg(v) 2 | E |
vv1
vv 2
vV
因为 deg(v) 和2|E|均为偶数，所以 deg(v) 为偶数。
点的组合数为：cn2 = (1/2)*n*(n-1)
故Kn的边数为： |E| ＝(1/2)*n*(n-1)。 （证毕） 定义 如果在Kn中，对每一条边任意确定一个方向，就称 该图为n个结点的有向完全图。
|E|＝(1/2)*n*(n-1)
Graphs/图论
对任给的一个图G，总可以将他补成具有相同结点的完 全图。
连通性是结点集合上的一种等价关系。
欧拉七桥问题
欧拉图、哈密顿图与图论
我们看看一笔画问题牵扯着计算里的算法和可计算性欧拉问题放在七桥问题上则是能否可以不重复地走完七个桥，如何走的问题当然这只是一个例子，他代表的是一种思维方式，一门新的学课思想。那就是图论。这是就有人要问那么能一笔画的问题呢，在图论中一笔画的问题交给了图论里的另一个重要研究问题即是哈密顿图，哈密顿图则是给出我们最优过程或者最优解的一种抽象的研究方法。欧拉问题促进了图论的诞生而哈密顿图则是对图论的发展和补充。
解决问题
因此，欧位得出以下结论：
1.全是偶顶点的网络可以一笔画。
2.能一笔画的网络的奇顶点数必为0或2。
3.如果一个网络有两个奇顶点，它就可以一笔画，但最后不能回到原来的出发点，这时，必须从一个奇顶点出发，然后回到另一个奇顶点。用欧拉的发现去分析七桥问题，这张图上的A、B、C、D全是奇顶点，因此，不能一笔画，所以，游人一次走遍七桥是不可能的。
图论与计算机的关系
图论是一门古老的数学分支，它起源于游戏难题的研究，如1736年欧拉所解决的哥尼斯堡七桥问题，以及迷宫问题、博弈问题、棋盘上马的行走路线问题等。 同时，图论又是近年来发展迅速且应用广泛的一门新兴学科，已渗透到诸如语言学、物理学、化学、电讯工程、计算机科学以及数学的其它分支中，特别在计算机科学中，如形式语言、数据结构、分布式系统、操作系统等方面均扮演重要的角色。
小结
其实人类一直在探求万事万物之间的最根本联系，包括一切自然科学的来源哲学，哲学就是研究本源的问题，其实就是研究我们与本源的关系以及本源中各个元素之间的关系。图论就是一个研究事物抽象后所生成的类之间关系的一个相当高效的工具。
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图论
图：图是一种抽象的数据结构图论：它以图为研究对象。图论中的图是由若干给定的点及连接两点的线所构成的图形，这种图形通常用来描述某些事物之间的某种特定关系，用点代表事物，用连接两点的线表示相应两个事物间具有这种关系。图论在数据结构、数据库、网络技术、程序设计等课程中都有广泛应用，成为计算机科学与应用技术中必不可少的一部分。而图论的研究起源于“哥尼斯堡城七桥问题”，欧拉成为图论的奠基人。
第七章 图论
i1
本讲稿第十三页，共九十一页
§7.1 图的基本概念
例：若图Ｇ有n个顶点，（n+1）条边，则Ｇ中至少 有一个结点的度数≥３。
证明：设Ｇ中有n个结点分别为v1,v2,…,vn，则由握手
定理：
n
degvi)(2e2(n1)
i1
而结点的平均度数=
2(n1)212
n
n
∴结点中至少有一个顶点的度数≥３
本讲稿第十四页，共九十一页
▪ 若Ｇ’ Ｇ，且Ｇ’ ≠Ｇ（即Ｖ’Ｖ或Ｅ’ Ｅ），则称Ｇ’是Ｇ的真子图；
▪ 若Ｖ’＝Ｖ,Ｅ’Ｅ,则称Ｇ’是Ｇ的生成子图(支 撑子图)。
本讲稿第二十三页，共九十一页
§7.1 图的基本概念
２．子图和图的同构：
例：Ｇ图如下：Ｇ的真子图：
生成子图：
说明： （1）Ｇ也是Ｇ的生成子图； （2）Ｇ’＝〈Ｖ，〉也是Ｇ的生成子图。
（3）路径长度：若两个结点之间有一条路经Ｐ，则路 径|Ｐ|＝Ｐ中边的条数。 例：给出有向图Ｇ，求起始于１，终止于３的路径
本讲稿第三十二页，共九十一页
§7.2 路与回路
下面介绍一些专有名词：
(1)穿程全部结点的路径：经过图中所有结点的路径。 (2)简单路径：在有向图中经过边一次且仅一次的路径。
(3)基本路径：在）从一个结点到某一结点的路径，（若有的话）不 一定是唯一的； （2）路径的表示方法：
(a)边的序列表示法： 设Ｇ＝＜Ｖ，Ｅ＞为一有向图， ，则路径可以表示
成：(<v1,v2>,<v2,v3>,….<vk-1,vk>)vi V
本讲稿第三十一页，共九十一页
§7.2 路与回路
(b)结点序列表示法： (v1,v2vk)
本讲稿第十三页，共九十一页
§7.1 图的基本概念
例：若图Ｇ有n个顶点，（n+1）条边，则Ｇ中至少 有一个结点的度数≥３。
证明：设Ｇ中有n个结点分别为v1,v2,…,vn，则由握手
定理：
n
degvi)(2e2(n1)
i1
而结点的平均度数=
2(n1)212
n
n
∴结点中至少有一个顶点的度数≥３
本讲稿第十四页，共九十一页
▪ 若Ｇ’ Ｇ，且Ｇ’ ≠Ｇ（即Ｖ’Ｖ或Ｅ’ Ｅ），则称Ｇ’是Ｇ的真子图；
▪ 若Ｖ’＝Ｖ,Ｅ’Ｅ,则称Ｇ’是Ｇ的生成子图(支 撑子图)。
本讲稿第二十三页，共九十一页
§7.1 图的基本概念
２．子图和图的同构：
例：Ｇ图如下：Ｇ的真子图：
生成子图：
说明： （1）Ｇ也是Ｇ的生成子图； （2）Ｇ’＝〈Ｖ，〉也是Ｇ的生成子图。
（3）路径长度：若两个结点之间有一条路经Ｐ，则路 径|Ｐ|＝Ｐ中边的条数。 例：给出有向图Ｇ，求起始于１，终止于３的路径
本讲稿第三十二页，共九十一页
§7.2 路与回路
下面介绍一些专有名词：
(1)穿程全部结点的路径：经过图中所有结点的路径。 (2)简单路径：在有向图中经过边一次且仅一次的路径。
(3)基本路径：在）从一个结点到某一结点的路径，（若有的话）不 一定是唯一的； （2）路径的表示方法：
(a)边的序列表示法： 设Ｇ＝＜Ｖ，Ｅ＞为一有向图， ，则路径可以表示
成：(<v1,v2>,<v2,v3>,….<vk-1,vk>)vi V
本讲稿第三十一页，共九十一页
§7.2 路与回路
(b)结点序列表示法： (v1,v2vk)
欧拉七桥问题
数目的通过点，分两种情况考虑：
第一种：起点和终点不是同一点，把集中在起点的所有弧画完为止， 有进有出，最后一笔必须画出去，所以起点必须是奇顶点；另一方面把 集中在终点的所有弧线画完为止，最后一笔必须画进来，因此，终点也 必须是奇顶点；其它经过的点，有几条弧画进来，必有同样多的弧画出 去，必是偶顶点。
哈密顿图
定义 设G=(P,L)是有向图，（ v1,…, vn）是G中一条路，如 果G中没每点在此路中出现一次，则称此路为哈密顿路。 如果G中每点除v1外，恰在此路中出现一次，且v1 ＝ vn， 则此路称为哈密顿回路。
定义 设G=(P,L)是有向图，如果G中有一条哈密顿回路， 则称G为哈密顿图。
G1
图论
• 图：图是一种抽象的数据结构
• 图论：它以图为研究对象。图论中的图是由若干给定的 点及连接关系，用点代表事物，用连 接两点的线表示相应两个事物间具有这种关系。
• 图论在数据结构、数据库、网络技术、程序设计等课程 中都有广泛应用，成为计算机科学与应用技术中必不可 少的一部分。而图论的研究起源于“哥尼斯堡城七桥问 题”，欧拉成为图论的奠基人。
第二种：起点和终点为同一点，又画出去，又画进来，必为偶顶点， 其它顶点有进有出也都是偶顶点。
解决问题
• 因此，欧位得出以下结论： 1.全是偶顶点的网络可以一笔画。 2.能一笔画的网络的奇顶点数必为0或2。 3.如果一个网络有两个奇顶点，它就可以一笔画，但最后不能回到
原来的出发点，这时，必须从一个奇顶点出发，然后回到另一个奇顶点。
③ 设v是G中的一个点， dG(v)=2若G有哈密顿回路，则以v为端点的 两边必须都出现在哈密顿回路中。
④ 哈密顿回路要求遍历诸点，如果图中某些必须在哈密顿回路中出 现的边已经构成回路，而图中尚有不在该回路中出现的点，这该 图一定没有哈密顿回路。
欧拉图和哈密而顿图
15.1 欧拉图 欧拉(1707-1783)：瑞士著名的数学家。13岁进入 欧拉 ：瑞士著名的数学家。 岁进入 巴塞尔大学， 岁取得哲学硕士学位 岁取得哲学硕士学位。 巴塞尔大学，16岁取得哲学硕士学位。1736年， 年 他证明了欧拉定理， 他证明了欧拉定理，并解决了哥尼斯堡桥的问 从而成为图论的创始人。 题，从而成为图论的创始人。 定义15.1 通过图（无向图或有向图）中每一条边 通过图（无向图或有向图） 定义 一次且仅一次行遍图中所有顶点的通路称为欧 拉通路。通过图（无向图或有向图） 拉通路。通过图（无向图或有向图）中每一条 边一次且仅一次行遍图中所有顶点的回路称为 欧拉回路。具有欧拉回路的图称为欧拉图， 欧拉回路。具有欧拉回路的图称为欧拉图，具 有欧拉通路而无欧拉回路的图称为半欧拉图。 有欧拉通路而无欧拉回路的图称为半欧拉图。
16
15.欧拉图与哈密顿图 欧拉图与哈密顿图
15.2 哈密顿图
到目前为止， 到目前为止，还没有找到哈密尔顿通路存在的充 分必要条件。下面介绍一个必要定理。 分必要条件。下面介绍一个必要定理。 定理15.6：设无向图 Ｇ＝＜Ｖ ， Ｅ＞ 是哈密尔顿 Ｇ＝＜Ｖ， 定理 ： 设无向图Ｇ＝＜Ｖ Ｅ＞是哈密尔顿 图，则对V的每个非空真子集 均成立： 则对 的每个非空真子集S均成立： 的每个非空真子集 均成立 w(G-S) ≤|S| 其中， 中的顶点数， 表示G删去 其中， |S| 是S中的顶点数， w(G-S)表示 删去 中的顶点数 表示 删去S 顶点集后得到的图的连通分图的个数。 顶点集后得到的图的连通分图的个数。
9
15.欧拉图与哈密顿图 欧拉图与哈密顿图
例：用定理解决哥尼斯堡桥的问题
15.1 欧拉图
个结点为奇次数， 有４个结点为奇次数， ∴不存在欧拉回路，也不存在欧拉路径。 不存在欧拉回路，也不存在欧拉路径。 故要从一点出发经过桥一次且仅一次的路径， 故要从一点出发经过桥一次且仅一次的路径 ， 再回到出发点是不可能的。 再回到出发点是不可能的。
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15.欧拉图与哈密顿图 欧拉图与哈密顿图
15.2 哈密顿图
到目前为止， 到目前为止，还没有找到哈密尔顿通路存在的充 分必要条件。下面介绍一个必要定理。 分必要条件。下面介绍一个必要定理。 定理15.6：设无向图 Ｇ＝＜Ｖ ， Ｅ＞ 是哈密尔顿 Ｇ＝＜Ｖ， 定理 ： 设无向图Ｇ＝＜Ｖ Ｅ＞是哈密尔顿 图，则对V的每个非空真子集 均成立： 则对 的每个非空真子集S均成立： 的每个非空真子集 均成立 w(G-S) ≤|S| 其中， 中的顶点数， 表示G删去 其中， |S| 是S中的顶点数， w(G-S)表示 删去 中的顶点数 表示 删去S 顶点集后得到的图的连通分图的个数。 顶点集后得到的图的连通分图的个数。
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15.欧拉图与哈密顿图 欧拉图与哈密顿图
例：用定理解决哥尼斯堡桥的问题
15.1 欧拉图
个结点为奇次数， 有４个结点为奇次数， ∴不存在欧拉回路，也不存在欧拉路径。 不存在欧拉回路，也不存在欧拉路径。 故要从一点出发经过桥一次且仅一次的路径， 故要从一点出发经过桥一次且仅一次的路径 ， 再回到出发点是不可能的。 再回到出发点是不可能的。
图论
第7章 图论图论是建立和处理离散型数学模型的重要数学工具，它已发展成具有广泛应用的一个数学分支。
图论的发展已有200多年的历史，它最早起源于一些数学游戏的难题研究。
1736年瑞士数学家欧拉（L.Eluer ）发表了关于解决哥尼斯堡七桥问题的一篇文章，标志着图论的正式诞生。
从19世纪中叶到20世纪中叶，图论问题大量出现，如汉密尔顿图问题、四色猜想等。
这些问题的出现进一步促进了图论的发展。
1847年，克希霍夫（Kirchhoff ）用图论分析电网络，这是图论最早应用于工程科学的一个例子。
随着计算机科学的迅猛发展，在现实生活中的许多问题，如交通网络问题，运输的优化问题，社会学中某类关系的研究，都可以用图论进行研究和处理。
图论在计算机领域中，诸如算法、语言、数据库、网络理论、数据结构、操作系统、人工智能等方面都有重大贡献。
本章主要介绍图论的基本概念、基本性质和一些典型应用。
7.1 图的基本概念7.1.1 图的基本概念1.图的定义图在现实生活中随处可见，如交通运输图、旅游图、流程图等。
此处我们只考虑由点和线所组成的图。
这种图能够描述现实世界的很多事情。
例如，用点表示球队，两队之间的连线代表二者之间进行比赛，这样，各支球队的比赛情况就可以用一个图清楚地表示出来。
到底什么是图呢？可用一句话概括：图是用点和线来刻划离散事物集合中的每对事物间以某种方式相联系的数学模型。
因为上述描述太过于抽象，难于理解，因此下面给出图作为代数结构的一个定义。
定义7.1.1 一个图（Graph ）是一个三元组〈)(G V ，)(G E ，G ϕ〉，其中)(G V 是一个非空的节点集合，)(G E 是有限的边集合，G ϕ是从边集合E 到点集合V 中的有序偶或无序偶的映射。
例7.1.1 图G =〈)(G V ，)(G E ，G ϕ〉，其中)(G V =},,,{d c b a ，)(G E =},,,,,{654321e e e e e e ，),()(1b a e G =ϕ，),()(2c a e G =ϕ，),()(3d b e G =ϕ，),()(4c b e G =ϕ，),()(5c d e G =ϕ，),()(6d a e G =ϕ。
欧拉图和汉密尔顿图
生物信息学
在生物信息学中，欧拉图 和汉密尔顿图可以用于表 示和分析基因组、蛋白质 组等生物分子网络。
社会学
在社会学中，欧拉图和汉 密尔顿图可以用于表示和 分析社会关系、社交网络 等方面的问题。
05
总结与展望
对欧拉图和汉密尔顿图的总结
01
欧拉图和汉密尔顿图是 图论中的重要概念，分 别由数学家欧拉和汉密 尔顿提出。
人工智能
汉密尔顿图在人工智能领域也有应用，例如在知识表示和推理中，可以利用汉密尔顿路径 来表示和推理复杂的逻辑关系。
机器学习
汉密尔顿图还可以应用于机器学习中，特别是在图神经网络（GNN）中，可以利用汉密尔顿 路径进行节点间的信息传递和传播。
欧拉图与汉密尔顿图在其他领域的应用
01
02
03
交通运输
欧拉图和汉密尔顿图在交 通运输领域有广泛应用， 例如在路线规划、物流配 送和交通控制等方面。
汉密尔顿图是指一个图中存在一条遍历其所有顶点的路径，且每条边只遍 历一次。
当一个汉密尔顿图的起点和终点是同一点时，该路径就成为欧拉路径，此 时汉密尔顿图也就是欧拉图。
欧拉图与汉密尔顿图的判定问题
欧拉图的判定问题
给定一个图，判断是否存在一条遍历 其所有边且每条边只遍历一次的路径。
汉密尔顿图的判定问题
02
欧拉图是指存在一条或 多条路径能够遍历图的 所有边且每条边只遍历 一次的图。
03
汉密尔顿图是指存在一 条路径能够遍历图的所 有顶点且每条边只遍历 一次的图。
04
欧拉图和汉密尔顿图在 计算机科学、运筹学、 电子工程等领域有广泛 的应用。
对欧拉图和汉密尔顿图未来的研究方向
寻找更高效的算法来判断一个图是否为欧拉图或汉密尔 顿图，以及寻找更多的应用场景。
最短通路问题
每一步找当前的最优解，不会调整已经得到的结果
但是一般情况下local最优并不一定是global最优
❖ 巧的是Dijkstra算法就是global最优
只需证明第i步将ui 标记为已知时，一定是s到ui的global最优解
能否存在s到v 更近的路径？
v 算法第i步找出的最短路径 dv 已知点的集合S
1,c
2
2,c
b
e
7 12
34
1
U3
8
a
8,c 2
s c0 4
4
7
67,,ec f3
3
4
6
h 43,,eb
d
g
4,c
5
S
1,c
b
7 1
2 2
2,c
e
34 1
8
a
8,c 2
s c0 4
4
7
6,e f3
3
4
6
h 3,e
d
U4 4,c
5
g
9,h
S
1,c
b
7 1
2 2
2,c
e
34 1
8
a
86,cd 2
s c0 4
— O(|V|3 lg |V|) if dense
❖ Floyd-Warshall 算法
可以处理负边，只要没有负的回路 O(|V|3) ，无需fancy的数据结构 动态规划算法：存储并利用子问题的解
所有点队的最短路问题
❖ 输入：给定带权有向图 G(V, E, W) 。
W将边映射到一个实数 假设没有负回路（negative weight cycles )
This is just one of his many contributions
欧拉图与汉密尔顿
欧拉图是满足每条边恰好出现一次的路径，而汉密尔顿图是满足每条边恰好出现一 次的回路。
欧拉路径是满足起点和终点相同，且每条边恰好出现一次的路径，而汉密尔顿回路 是满足起点和终点相同，且每条边恰好出现一次的回路。
欧拉图与汉密尔顿图的区别
欧拉图不一定是回路，而汉密尔顿图 一定是回路。
欧拉图可以有多条路径，而汉密尔顿 图只有一条路1
一个连通图存在欧拉回路当且仅当其 所有顶点的度均为偶数。
欧拉图的性质2
欧拉图的性质3
一个无向图存在欧拉回路当且仅当其 所有顶点的度都是偶数，或者只有一 个顶点的度是奇数，其余所有顶点的 度都是偶数。
如果一个连通图存在欧拉回路，那么 这个欧拉回路的长度一定是其边数的 两倍。
欧拉图与汉密尔顿
• 欧拉图 • 汉密尔顿图 • 欧拉图与汉密尔顿图的关系 • 欧拉图与汉密尔顿图的应用
目录
01
欧拉图
欧拉图的定义
欧拉图的定义：一个图如果存在一条路径，该路径经过图中的每条边恰好一次， 则称这条路径为欧拉路径，如果这个路径的起点和终点是同一点，则称为欧拉回 路。
欧拉回路是路径的子集，它从图的一个顶点出发，经过每条边一次且仅一次，最 后回到起始顶点。
欧拉图与汉密尔顿图在其他领域的应用
经济学
欧拉图与汉密尔顿图在经 济学中用于研究市场均衡、 供需关系等问题。
社会学
欧拉图与汉密尔顿图在社 会学中用于研究社会网络、 人际关系等问题。
生物学
欧拉图与汉密尔顿图在生 物学中用于研究生物分子 结构、基因调控网络等问 题。
感谢观看
THANKS
欧拉图只要求路径上的边不重复，而 汉密尔顿图要求路径上的边和节点都 不重复。
04
欧拉图与汉密尔顿图的应用
欧拉路径是满足起点和终点相同，且每条边恰好出现一次的路径，而汉密尔顿回路 是满足起点和终点相同，且每条边恰好出现一次的回路。
欧拉图与汉密尔顿图的区别
欧拉图不一定是回路，而汉密尔顿图 一定是回路。
欧拉图可以有多条路径，而汉密尔顿 图只有一条路1
一个连通图存在欧拉回路当且仅当其 所有顶点的度均为偶数。
欧拉图的性质2
欧拉图的性质3
一个无向图存在欧拉回路当且仅当其 所有顶点的度都是偶数，或者只有一 个顶点的度是奇数，其余所有顶点的 度都是偶数。
如果一个连通图存在欧拉回路，那么 这个欧拉回路的长度一定是其边数的 两倍。
欧拉图与汉密尔顿
• 欧拉图 • 汉密尔顿图 • 欧拉图与汉密尔顿图的关系 • 欧拉图与汉密尔顿图的应用
目录
01
欧拉图
欧拉图的定义
欧拉图的定义：一个图如果存在一条路径，该路径经过图中的每条边恰好一次， 则称这条路径为欧拉路径，如果这个路径的起点和终点是同一点，则称为欧拉回 路。
欧拉回路是路径的子集，它从图的一个顶点出发，经过每条边一次且仅一次，最 后回到起始顶点。
欧拉图与汉密尔顿图在其他领域的应用
经济学
欧拉图与汉密尔顿图在经 济学中用于研究市场均衡、 供需关系等问题。
社会学
欧拉图与汉密尔顿图在社 会学中用于研究社会网络、 人际关系等问题。
生物学
欧拉图与汉密尔顿图在生 物学中用于研究生物分子 结构、基因调控网络等问 题。
感谢观看
THANKS
欧拉图只要求路径上的边不重复，而 汉密尔顿图要求路径上的边和节点都 不重复。
04
欧拉图与汉密尔顿图的应用
离散数学图论公开课一等奖优质课大赛微课获奖课件
b
c
g
d
a
h
b
c
g
d h
b
c
g
d
a
h
f （a）
f e
e
（b）
f
（c） 19
第19页
7.1 图基本概念
• （13）生成子图: 假如G子图包含G全部结点，则称 该子图为G生成子图。
• 以下图，（b）、（c）都是（a）生成子图。
（a）
（c）
20
第20页
7.1 图基本概念
（14）．定义: 设图G =<V，E>及图G =<V ，E >， 假如存在一一相应映射g: vi→v i且e=（vi，vj）是G 一条边，当且仅当e =（g（vi ），g（vj））是 G 一条边，则称G与G 同构，记作G≌G 。 两个图同构充要条件是: 两个图结点和边分别存在着 一一相应关系，且保持关联关系。
7.1 图基本概念
（1）定义: 一个图G是一个三元组<V(G),E(G), ΦG>, 其 中V(G)为顶点集合, E(G)是边集合，ΦG是从边集E到 结点偶对集合上函数。
讨论定义:
(a) V(G) ={V1，V2，…，Vn}为有限非空集合,
Vi称为结点,简称V是点集。
(b) E(G)={e1，…，em}为有限边集合,ei称为边，每 个ei是连结V中某两个顶点,称E为边集。
（8）入度，出度: 在有向图中，射入一个结点边数称 为该结点入度。由一个结点射出边数称为该结点出 度。 结点出度与入度和是该结点度数。
定理: 在任何有向图中，所有结点入度和等于所有结 点出度之和。
14
第14页
7.1 图基本概念
证: ∵每一条有向边必相应一个入度和出度，若一个结点含 有一个入度或出度，则必关联一条有向边，因此，有向图 中各结点入度和等于边数，各结点出度和也是等于边数， 因此，任何有向图中，入度之和等于出度和。
《离散数学》第七章_图论-第3-4节
图的可达性矩阵计算方法 （3） 无向图的可达性矩阵称为连通矩阵，也是对称的。 Warshall算法
例7-3.3 求右图中图G中的可达性矩 阵。 分析：先计算图的邻接矩阵A布尔乘法的的2、 v1
3、4、5次幂，然后做布尔加即可。
解：
v4
v2
v3 v5
P=A∨ A(2) ∨ A(3) ∨A(4)∨A(5)
图的可达性矩阵计算方法（2）
由邻接矩阵A求可达性矩阵P的另一方法： 将邻接矩阵A看作是布尔矩阵，矩阵的乘法运算和加 法运算中，元素之间的加法与乘法采用布尔运算 布尔乘：只有1∧1=1 布尔加：只有0∨0=0 计算过程： 1．由A，计算A2，A3，…，An。 2．计算P=A ∨ A2 ∨ … ∨ An P便是所要求的可达性矩阵。
v4
v3
v2
G中从结点v2到结点v3长度 为2通路数目为0，G中长 度为2的路（含回路）总数 为8，其中6条为回路。 G中从结点v2到结点v3长度 为3的通路数目为2， G中 长度为3的路（含回路）总
图的邻接矩阵的 应用 (2)计算结点vi与vj之间的距离。
中不为0的最小的L即为d<vi,vj>。
（一）有向图的可达性矩阵
可达性矩阵表明了图中任意两个结点间是否至少存在一条 路以及在任何结点上是否存在回路。
定义7-3.2 设简单有向图G=（V，E），其中V={v1， v2，…，vn }，n阶方阵P=（pij）nn ，称为图G的可达 性矩阵，其中第i行j列的元素
p ij =
1 1 1 1 P v3 1 1 v4 0 0 v5 0 0 v1 v2 1 1 1 1 1 1
0 1 A(G)= 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0
7-1图的基本概念
简单图
多重图
孤立结点 零图 平凡图
结点的度数
完全图
7-1 图的基本概念
e1 a
若φG(e)=(a,b),或φG(e) =<a,b>, 则称边e与两个结点a,b关联。 例如，e1关联于结点a，b，e2 v2 关联于结点v1，v2。 e2 邻接点--由一条有向（或无向） 边关联的结点称为邻接点。如 v1 图，a，b互为邻接点，v1与v2邻 接。 孤立结点--在一个图中不与任何结点相邻接的结点。 b
零图—仅由孤立结点组成的图称为零图。
平凡图—仅由一个孤立结点构成的图称为平凡图。 几个基本概念 环或自回路---关联于同一结点的一条边。
a
e1 b
a
e6 e2 c b d
邻接边--关联于同一结点的多条边。 例如，e1,e2,e6互为邻接边。
平行边--连接于同一对结点间的多 条边称为平行边。如果是有向边要 求方向一致。
定理7-1.1 （握手定理） 每个图中，所有结点度数 的总和等于边数的两倍，即
∑deg (v) = 2|E|
v∈V
证明： 因为每条边必关联两个结点，而一条边给于 关联的每个结点的度数为1。因此在一个图中，结 点度数的度数的总和等于边数的两倍。
返回几个定理
定理7-1.2 在任何图中，度数为奇数的结点必定为偶数个。 证明： 设V1和V2分别是G中奇数和偶数度数的结点集，则由定 理7-1.1，有
∑deg(v) +∑deg(v) = ∑deg(v) = 2|E|
v∈V1 v∈V2 v∈V
由于∑deg(v) 是偶数之和，必为偶数，而2|E| 是偶数，
v∈V2
故得∑deg(v)是偶数，即| V1 | 是偶数。
v∈V1
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证明（略）。
定理4. 5 设G是具有n个结点的简单图，如果G中每一对结点度数之和大 于等于n，则在G中存在一条汉密尔顿回路。 证明（略）。
（3）充要条件
定义4. 4 设给定图G=<V，E>有n个结点，若将图G中度数之和至少是n的 非邻接结点连接起来得图G’，对图G’重复上述步骤，直到不再有这样的结 点对存在为止，所得到的图，称为原图G的闭包，记作C(G)。 定理4. 6 当且仅当一个简单图的闭包是汉密尔顿图时，这个简单图是汉密尔顿图。 证明:略。
证明: 设C是G的一条汉密尔顿回路，则对于V的任何一个非空子集S在C中 删去S中任一结点a1，则C－a1是连通的非回路，若再删去S中另一结点a2， 则W(C- a1- a2)≤ 2，由归纳法可得： W(C-S)≤ |S| 同时C-S是G-S的一个生成子图（包含G的每个结点的子图），因而 W(G-S)≤ W（C-S） 所以 W(G-S)≤ |S|。 证毕。
证明：
推论 无向图G具有一条欧拉回路，当且仅当G是连通的，并 且所有结点度数全为偶数。
定理4. 1 证明
必要性 设G具有欧拉路，即有点边序列v0e1v1e2…eiviei+1…ekvk，其中
结点可能重复出现，但边不重复，因为欧拉路经过图G的所有结点， 故图G必是连通的。 对任意一个不是端点的结点vi，在欧拉路中每当vi出现一次，必 关联两边，故vi虽可重复出现，但deg(vi)必是偶数。对于端点，若 v0=vk，则d(v0)为偶数，即G中无奇数度结点；若端点v0与vk不同， 则d(v0)为奇数，d(vk)为奇数，G中就有两个奇数结点。 充分性 若图G连通,有零个或两个奇数结点,我们构造一条欧拉路如下：
二、汉密尔顿图
1、正十二面体问题 2、汉密尔顿图的定义 3、汉密尔顿图的判别条件
1、正十二面体问题
1859年威廉· 汉密尔顿爵 士在给他的朋友的一封信中， 首先谈到正十二面体的一个 数学游戏：能不能在图4.6中 找到一条回路，使它含有这 个图的所有结点？称为周游 世界问题。
2、汉密尔顿图的定义
为对于有向图的任意一个结点来说，如果入度与出度相等，则
该点的总度数为偶数，若入度与出度之差为1时，其总度数为奇 数，因此定理4. 2的证明与定理4. 1的证明类似。
5、有向图单向欧拉回路的应用
例1 计算机鼓轮的设计。设有旋转鼓轮其表面被等分成24个部 分，如图4.4所示。其中每一部分分别用绝缘体或导体组成， 绝缘体部分给出信号0，导体部分给出信号1，在图4.4中， 阴影部分表示表示导体，空白部分表示绝缘体，根据鼓轮的 位置，触点将得到信息1101，如果鼓轮沿顺时针方向旋转一 个部分，触点将有信息1010。 问鼓论上16个部分怎样安排导体和
4、 有向图的单向欧拉路、单向欧拉回路
定义4. 2 给定有向图G，通过图中每边一次且仅一次的一条 单向路（回路），称作单向欧拉路（回路）。 定理4. 2 有向图G具有一条单向欧拉回路，当且仅当G是连通 的，且每个结点入度等于出度。一个有向图G具有单向欧拉路 ，当且仅当它是连通的，而且除两个结点外，每个结点的入度 等于出度，但这两个结点中，一个结点的入度比出度大1，另一 个结点的入度比出度小1。 注：这个定理的证明，可以看作是无向图的欧拉路的推广，因
一、欧拉图
二、汉密尔顿图
一、欧拉图
1、哥尼斯堡七桥问题 2、无向欧拉图的定义
3、无向欧拉图的充要条件
4、有向图的单向欧拉路
5、有向图的单向欧拉回路的应用
1、哥尼斯堡七桥问题
1736年瑞士数学家欧拉发表了图论的第一篇论文， 阐述了解决哥尼斯堡七桥问题的思想。 哥尼斯堡七桥问题是：能不能设计一次“遍游”使 得从 某地出发对每座桥走一次且只走一次后回到原地。 欧拉在论文中提出了一条简单的准则，确定了哥尼斯堡
利用本定理可以证明某些图是非 汉密尔顿图，如右图取S={v1,v4}，
则G-S中有三个连通分支。
图4.3.2 非Hamilton图
图4.3.3 非Hamilton图
图4.3.4 Peterson图
3、汉密尔顿图的判别条件
（2）充分条件
定理4. 4 设G是具有n个结点的简单图，如果G中每一对结点度数之和大 于等于n-1，则在G中存在一条汉密尔顿路。
绝缘体。才能使鼓轮每旋转一个部
分，四个触点能得到一组不同的四 位二进制数信息。
设有一个八个结点的有向图，其结点 分别记为三位二进制数{000，001， 010，011，100，101，110，111}，设 αi∈{0,1}，从结点α1 α2 α3 可引出两条 有向边，其终点分别为α2 α3 0 以及α2 α3 1。该两条边分别记为α1 α2 α3 0和α1 α2 α3 1。 在任何一条路中，其邻接边必是α1 α2 α3 α4 和 α2 α3 α4 α5的形式 。 图中有一条单向欧拉回路： e0e1e2e4e9e3e6e13e10e5e11e7e15e14e12e8
定义4. 3 给定图G，若存在一条路经过图 中的每个结点恰好一次，这条路称作汉密尔 顿路。若存在一条回路，经过图中的每个结 点恰好一次，这条回路称作汉密尔顿回路。 具有汉密尔顿回路的图称作汉密尔顿图。
3、汉密尔顿图的判别条件
（1）必要条件
定理4. 3 若图G=<V，E>具有汉密尔顿回路，则对于结点集V的每个非 空子集S均有W(G-S)≤|S|，其中W(G-S)是G-S中连通分支数。
Байду номын сангаас
图中有一条单向欧拉回路。 （e0e1e2e4e9e3e6e13e10e5e11e7e15e14e12e8 ） 。 根据邻接边的标号记法这十六个 二进制数可写成对应的二进制数序列： 0000100110101111。 把这个序列排成环状，即 与所求得鼓轮相对应。 欧拉图 可以推广到鼓轮具有n触点， 只要构造2n-1个结点的有向图。
（1）若有两奇数度结点，则从其中的一个结点开始构造一条迹， 即从v0出发经关联边e1“进入” v1，若deg（v1）为偶数，则必可由 v1再经关联边e2进入v2，如此进行下去，每边仅取一次。由于G是 连通的，故必可到达另一奇数度结点停下，得到一条迹L1： v0e1v1e2…viei+1…vk。若G中没有奇数度结点则从任一结点v0出发， 用上述方法必可回到结点v0，得到上述一条闭迹，仍记为L1。 （2）若L1通过了G的所有边，则L1就是欧拉路。 （3）若G中去掉L1后得到子图G’，则G’中每个结点度数为偶数。 因为原来的图是连通的，故L1与G’至少有一个公共结点vi，在G’ 中由vi出发重复（1）的方法，得到闭迹L2。 （4）当L1与L2组合在一起，如果恰是G，则即得欧拉路，否则重 复（3）可得到闭迹L3，以此类推直到得到一条经过图G中所有边 的欧拉路。
七桥问题是无解的。
2、无向图的欧拉路、欧拉回路、欧拉图
定义4. 1 给定无孤立结点图G，若存在一条路，经过图中每 边一次且仅一次，该条路称为欧拉路; 若存在一条回路，经 过图中每边一次且仅一次，该回路称为欧拉回路。具有欧拉 回路的图称为欧拉图。
3、无向图的欧拉路、欧拉回路的充要条件
定理4. 1 无向图G具有一条欧拉路，当且仅当G是连通的， 且有零个或两个奇数度结点。