函数定义域、值域求法总结
求函数的定义域与值域的常用方法
求函数的定义域与值域的常用方法在数学中，函数的定义域和值域是非常重要的概念。
定义域是指函数可以接受的输入值的集合，而值域则是函数能够取得的输出值的集合。
正确确定函数的定义域和值域是解决函数相关问题的关键，下面我们将详细介绍求函数定义域和值域的常用方法。
一、函数的定义域的常用方法：1. 显式定义法：对于一些常见的函数，我们可以直接根据其表达式来确定其定义域。
例如，对于一元多项式函数f(x)=ax^n+bx^m+...+c，其定义域可以是实数集或者区间。
2.隐式定义法：对于一些函数可能没有明确的表达式，或者函数的定义域和表达式没有直接的关系，我们可以根据函数的特性和性质来确定其定义域。
例如，对于分式函数f(x)=1/(x-1)，我们可以得知分母不能为0，所以其定义域是实数集减去1的那部分实数。
3.已知条件法：有时候我们可以根据函数在一些点的取值情况来确定其定义域。
例如，对于一个连续函数f(x)，如果我们知道在一些区间上f(x)恒大于0，那么可以确定该区间为函数的定义域。
4.集合运算法：当函数的定义域可以表示为多个区间或集合的并、交、差等运算时，我们可以利用这些运算来求解函数的定义域。
例如，对于函数f(x)=√(x+1)-√(x-1)，我们可以先求出√(x+1)和√(x-1)的定义域，然后求出它们的交集。
二、函数的值域的常用方法：1.考察函数表达式法：对于一些常见的函数，我们可以观察其表达式，根据其中的字母、常数等特性来确定其值域的范围。
例如，对于平方函数f(x)=x^2，我们可以观察到平方函数的输出恒为非负数，所以其值域是[0,+∞)。
2.定义域与函数性质法：当我们已经确定了函数的定义域后，可以根据函数的性质来确定其值域。
例如，对于连续函数f(x)在一些区间上单调增加或者单调减少，我们可以确定函数在该区间上取值范围。
3.极限与极大极小值法：利用函数的极限性质、导数等衍生性质来确定函数的值域。
例如，对于函数f(x)=x^3-3x+2，我们可以求出其导数为f'(x)=3x^2-3，然后根据导数的符号确定函数的单调性和极值点，从而确定其值域。
常见函数解析式定义域值域的求法总结
常见函数解析式定义域值域的求法总结函数的定义域和值域是函数解析式中的两个重要概念。
定义域指的是函数的自变量可能取值的范围，值域则是函数的因变量可能取值的范围。
在解析式中，定义域和值域可以通过不同的方法进行求解。
下面是常见的函数解析式定义域和值域求解方法总结。
一、定义域的求法：1.开方函数的定义域：对于形如y = √(ax + b)的开方函数，考虑开方中的被除数，即ax + b的取值范围，对ax + b >= 0进行求解，得到定义域。
2.分式函数的定义域：对于形如y=f(x)/g(x)的分式函数，需要满足分母不等于0的条件，因此需要解g(x)≠0，将g(x)=0进行求解，得到定义域。
3.对数函数的定义域：对于形如y = logₐ(x)的对数函数，需要满足x > 0的条件，因此定义域为x > 0。
4.指数函数的定义域：对于形如y=aˣ的指数函数，没有特殊定义域的限制，因此定义域为全体实数。
5.三角函数的定义域：对于常见的正弦函数、余弦函数、正切函数等三角函数，它们的定义域为全体实数。
6.反三角函数的定义域：对于反正弦、反余弦、反正切等反三角函数，它们的定义域要满足对应的正弦、余弦、正切函数取值范围的要求。
7.复合函数的定义域：当函数为两个函数的复合函数时，需要满足两个函数的定义域的交集作为复合函数的定义域。
二、值域的求法：1.函数的图像法：通过绘制函数的图像，观察函数在定义域内的取值范围，得到值域的估计。
2.函数的导数法：对函数求导，并观察导数的符号及极限情况，来推断函数的值域。
例如，当导数恒大于0时，函数为增函数，值域为整个实数轴。
3.函数的区间法：对于已知闭区间上连续的函数，可以通过求出函数的最大值和最小值，及极限情况，来确定值域的范围。
4.反函数的值域：如果函数存在反函数，那么反函数的值域即为原函数的定义域。
5.一次函数的值域：对于一次函数y = kx + b，k为斜率，通过观察斜率的正负和直线与坐标轴的交点可以得到值域的范围。
函数定义域值域求法总结
函数定义域值域求法总结函数的定义域（Domain）和值域（Range）是函数的基本性质之一，它们是通过对函数的规则、图像以及问题的具体要求进行分析和计算得出的。
在数学中，定义域和值域的求法可能会因函数类型的不同而有所不同。
本文将总结一些常见的函数定义域和值域求法方法，并提供一些示例。
一、函数定义域的求法方法1. 使用函数规则：根据函数的定义和规则，确定函数所能接受的变量范围。
例如，对于一个有理函数（Rational Function） f(x) = 1/(x-2)，由于分母不能为零，所以定义域为除去 x=2 的所有实数。
2. 图像法：绘制函数的图像，观察函数在整个定义域上是否有意义。
一般来说，如果函数在一些点处没有定义或出现断点，则这个点不属于定义域。
例如，对于一个分段函数（Piecewise Function）f(x) = ，x，其图像是一条 V 型曲线，因此定义域为所有实数。
3.非负实数法：有些函数定义域存在特定的限制，负数、零或者正数。
例如，对于一个以平方根为主的函数f(x)=√(x-3)，它的定义域要求x-3≥0，即x≥34. 根式定义域法：对于一些函数，如开方函数、对数函数，可以通过求解不等式来确定函数的定义域。
例如，对于对数函数 f(x) = log(x)，由于 log 函数的定义域要求 x > 0，所以它的定义域为所有正实数。
5.分式的定义域法：对于一个分式函数，要求分母不为零。
因此，可以根据分式的分母求解不等式来确定函数的定义域。
例如，对于一个分式函数f(x)=2/(x+1)，由于分母要求不等于零，所以定义域为除去x=-1的所有实数。
二、函数值域的求法方法1. 观察法：通过观察函数的定义和规则，或者通过观察函数的图像，推测函数的值域。
例如，对于一个二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，如果 a > 0，那么函数的值域是 (−∞, f(v)]，其中 f(v) 是顶点的纵坐标。
高一函数定义域和值域讲解
函数定义域、值域求法总结（一）求函数定义域1、函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示；2、常见题型是由解析式求定义域，此时要认清自变量，其次要考查自变量所在位置，位置决定了自变量的范围，最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题；3、如前所述，实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外，还受实际意义限制，如时间变量一般取非负数，等等；4、对复合函数y＝f［g（x）］的定义域的求解，应先由y＝f（u）求出u的范围，即g（x）的范围，再从中解出x的范围I1；再由g（x）求出y＝g（x）的定义域I2，I1和I2的交集即为复合函数的定义域；5、分段函数的定义域是各个区间的并集；6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论，若参数在不同的范围内定义域不一样，则在叙述结论时分别说明；7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论，但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集，作为该函数的定义域；（二）求函数的值域1、函数的值域即为函数值的集合，一般由定义域和对应法则确定，常用集合或区间来表示；2、在函数f：A→B中，集合B未必就是该函数的值域，若记该函数的值域为C，则C 是B的子集；若C＝B，那么该函数作为映射我们称为“满射”；3、分段函数的值域是各个区间上值域的并集；4、对含参数的函数的值域，求解时须对参数进行分类讨论；叙述结论时要就参数的不同范围分别进行叙述；5、若对自变量进行分类讨论求值域，应对分类后所求的值域求并集；6、求函数值域的方法十分丰富，应注意总结一、定义域是函数()y f x =中的自变量x 的范围。
求函数的定义域需要从这几个方面入手：（1）分母不为零（2）偶次根式的被开方数非负。
（3）对数中的真数部分大于0。
（4）指数、对数的底数大于0，且不等于1（5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。
(6)0x 中x 0≠二、值域是函数()y f x =中y 的取值范围。
函数定义域值域求法总结精彩
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求函数的定义域需要从这几个方面入手： （1）分母不为零（2）偶次根式的被开方数非负。
（3）对数中的真数部分大于0。
（4）指数、对数的底数大于0，且不等于1 （5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。
( 6 )0x 中x 0≠二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。
这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。
常用的求值域的方法：（1）直接法 （2）图象法（数形结合） （3）函数单调性法（4）配方法 （5）换元法 （包括三角换元） （6）反函数法（逆求法） （7）分离常数法 （8）判别式法 （9）复合函数法 （10）不等式法 （11）平方法等等三、典例解析 1、定义域问题例1 求下列函数的定义域：① 21)(-=x x f ；② 23)(+=x x f ；③ xx x f -++=211)( 解：①∵x-2=0，即x=2时，分式21-x 无意义，而2≠x 时，分式21-x 有意义，∴这个函数的定义域是{}2|≠x x .②∵3x+2<0，即x<-32时，根式23+x 无意义，而023≥+x ，即32-≥x 时，根式23+x 才有意义，∴这个函数的定义域是{x |32-≥x }.③∵当0201≠-≥+x x 且，即1-≥x 且2≠x 时，根式1+x 和分式x-21同时有意义，∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x }另解：要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠-≥+0201x x ⇒ ⎩⎨⎧≠-≥21x x例2 求下列函数的定义域：①14)(2--=x x f ②2143)(2-+--=x x x x f ③=)(x f x11111++④xx x x f -+=0)1()( ⑤373132+++-=x x y解：①要使函数有意义，必须：142≥-x 即： 33≤≤-x ∴函数14)(2--=x x f 的定义域为： [3,3-]②要使函数有意义，必须：⎩⎨⎧≠-≠-≤≥⇒⎩⎨⎧≠-+≥--13140210432x x x x x x x 且或 4133≥-≤<--<⇒x x x 或或∴定义域为：{ x|4133≥-≤<--<x x x 或或}③要使函数有意义，必须： 011110110≠++≠+≠⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧x x x ⇒ 2110-≠-≠≠⎪⎩⎪⎨⎧x x x∴函数的定义域为：}21,1,0|{--≠∈x R x x 且④要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠-≠+001x x x ⎩⎨⎧<-≠⇒01x x∴定义域为：{}011|<<--<x x x 或⑤要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠+≥+-073032x x ⎪⎩⎪⎨⎧-≠∈⇒37x R x 即 x<37- 或 x>37- ∴定义域为：}37|{-≠x x例3 若函数aax ax y 12+-=的定义域是R ，求实数a 的取值范围 解：∵定义域是R,∴恒成立，012≥+-aax ax 第一页∴⎪⎩⎪⎨⎧≤<⇒≤⋅-=∆>2001402a a a a a 等价于 例4 若函数)(x f y =的定义域为[-1，1]，求函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域解：要使函数有意义，必须：43434543434514111411≤≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-≤+≤-x x x x x ∴函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域为：⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-4343|x x 例5 已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(2x －1)的定义域。
函数值域定义域解析式方法总结
函数定义域、值域求法总结一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x 的范围。
求函数的定义域需要从这几个方面入手：（1）分母不为零 （2）偶次根式的被开方数非负。
（3）对数中的真数部分大于0。
（4）指数、对数的底数大于0，且不等于1（5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。
( 6 )0x 中x 0≠二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。
常用的求值域的方法： （1）直接法 （2）图象法（数形结合） （3）函数单调性法（4）配方法 （5）换元法 （包括三角换元） （6）反函数法（逆求法）（7）分离常数法 （8）判别式法 （9）复合函数法（10）不等式法 （11）平方法等等这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。
三、典例解析1、定义域问题例1 求下列函数的定义域：① 21)(-=x x f ；② 23)(+=x x f ；③ xx x f -++=211)(例3 若函数aax ax y 12+-=的定义域是R ，求实数a 的取值范围例4 若函数)(x f y =的定义域为[-1，1]，求函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域例5 已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(2x －1)的定义域。
例6已知已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(x 2)的定义域。
2、求值域问题例4 求函数x x y -+=12 的值域例7 求13+--=x x y 的值域例8 求函数[])1,0(239∈+-=x y x x 的值域例9 例9求函数x x y 2231+-⎪⎭⎫ ⎝⎛= 的值域例10 求函数 )0(2≤=x y x 的值域例11 求函数21+-=x x y 的值域 例12 求函数133+=x xy 的值域 练习：y =1212+-x x ；（y ∈(-1，1)） 例13 函数1122+-=x x y 的值域 例14 求函数34252+-=x x y 的值域 例15 函数11++=x x y 的值域 三、求函数的解析式1、已知函数2(1)4f x x x -=-，求函数()f x ，(21)f x +的解析式。
函数定义域值域求法(全十一种)
x
0
0
x
L 2
故函数的解析式为 y (2 )x 2 Lx ，定义域（0， L ）。
2
2
五、参数型
对于含参数的函数，求定义域时，必须对分母分类讨论。
例 9 已知 f (x) 的定义域为［0，1］，求函数 F(x) f (x a) f (x a) 的定义域。
故函数的值域是：[4，8]
3. 判别式法
y 1 x x2
例4. 求函数 1 x2 的值域。
解：原函数化为关于x 的一元二次方程
(y 1)x 2 (y 1)x 0
（1）当y 1时，x R
(1)2 4(y 1)(y 1) 0
1
解得：2
y
注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实
数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。
4. 反函数法
直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定
原函数的值域。
3x 4
例6. 求函数5x 6 值域。
x 4 6y
解：由原函数式可得： 5y 3
则其反函数为：y
解得：1 2 y 1 2 但此时的函数的定义域由x(2 x) 0 ，得0 x 2 由 0 ，仅保证关于x 的方程：2x 2 2(y 1)x y2 0 在实数集R 有实 根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，
由 0 求出的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为
例 7 将长为 a 的铁丝折成矩形，求矩形面积 y 关于一边长 x 的函数的解析式，并求函
1函数定义域值域求法总结
1函数定义域值域求法总结函数的定义域和值域是数学中常用的概念，在解析函数的性质和特点时非常重要。
下面将总结函数定义域和值域的求法。
首先，我们来看函数的定义域。
定义域是函数中自变量的取值范围，即能使函数有意义的输入值的集合。
对于不同类型的函数，求解定义域的方法也有所不同。
1.有理函数的定义域：有理函数是指多项式函数与多项式函数的商，即f(x)=p(x)/q(x)，其中p(x)和q(x)是多项式函数。
求有理函数的定义域，需要考虑到分母q(x)不能为0，因此需要排除使得q(x)=0的x值。
将q(x)=0的方程求解，即可得到定义域。
2.根式函数的定义域：根式函数包括平方根函数、立方根函数等。
根式函数的定义域需要满足根式内部的表达式有意义，即根式内部不能为负数或使得分母等于0。
因此，将根式内部的表达式求解，使其不小于0，并且将整个根式函数形式中分母为0的情况排除，即可得到定义域。
3.指数函数和对数函数的定义域：指数函数的定义域为实数集，即所有实数都可以作为指数函数的输入。
对数函数的定义域需要满足对数底数大于0且不等于1，因此需要排除底数小于等于0或等于1的情况。
4.三角函数和反三角函数的定义域：三角函数的定义域为实数集，即所有实数都可以作为三角函数的输入。
反三角函数的定义域需要使得其在该区间内有定义，即反三角函数的取值范围在[-1,1]之间。
接下来，我们来看函数的值域。
值域是函数的输出值的范围，即函数在定义域内的取值集合。
求函数的值域有不同的方法。
1.分析法：通过对函数的性质进行分析，可以大致确定函数的值域。
例如，对于多项式函数，根据函数的最高次项的系数和项数的奇偶性，可以确定其值域的范围。
2.增减法：通过求解函数的导数，找出函数的极值点和增减区间，可以确定函数的值域的范围。
函数在增减区间内递增或递减，可以推断函数的值域的变化。
3.图像法：通过绘制函数的图像，观察函数在定义域内的变化情况，可以确定函数的值域的范围。
函数定义域与值域求法总结
函数定义域与值域求法总结一：函数定义域的求法 1.求函数定义域的一般原则是：（1）要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③0x y =要求0≠x .（2）当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．（3）定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．2.抽象函数的定义域（1）已知)(x f 的定义域为A ，求())(x f ϕ的定义域，其实质是已知)(x ϕ的取值范围为A ，求出x 的取值范围.（2）已知())(x f ϕ的定义域为B ，求)(x f 的定义域，其实质是已知())(x f ϕ中x 的取值范围为B ，求出)(x ϕ的范围，此范围就是)(x f 的定义域.例1.求出下列函数的定义域（1）32+=x y ； （2）21)(+=x x f ； （3）xx f -=21)(；（4）x x y -+-=11； （5）11)(2-+=x x x f ； （6）02)13(13-+-=x xx y .例2.抽象函数求定义域（1）设)(x f y =的定义域是[0,2]，求)3(+x f 的定义域； （2）设)3(+x f 的定义域是[0,2]，求)(x f 的定义域； （3）设)3(+x f 的定义域是[0,2]，求)2(-x f 的定义域.巩固练习：1.求下列函数的定义域： (1)=)(x f 21+x ； (2)=)(x f 23+x ； (3)=)(x f xx -++311.2.若函数)(x f 的定义域为[]2,1-，则函数)23(x f -的定义域为________．二：函数值域的求法考查角度1 配方法求值域（此种方法适用于求二次函数或可化为二次函数的函数的值域） 【例1】当1≤x ≤2时，求函数y ＝﹣x 2﹣x +1值域．【练1.1】已知二次函数245y x x =-+，分别求下列条件下函数的值域：（1）[1x ∈-，0]；（2）(1,3)x ∈；（3）(4x ∈，5]．【练1.2】已知函数2()41f x x x =-+，求函数[()]y f f x =的值域．【练1.3】求函数222()21f x a x a x =-+在[1-，2]的值域．【考查角度2 分离常数法求值域】【例2】（1）求函数2331x y x -=-+的值域．（2）已知函数1()2x f x x +=+，求()f x 的值域．【练2.1】（1）求下列函数的值域：)1(132≥++=x x x y .（2）求函数321xy x -=-的值域．【练2.2】（1）求下列函数的值域：2132x y x -=+． （2）求函数225941x x y x ++=-的值域．【练2.3】（1）求函数22223x xy x x -=-+的值域．（2）求函数2221()3x f x x -=+的值域．考查角度3 换元法求值域【例3】求2y x =【练3.1】求下列函数的值域．（1）22y x =-（2）5y x =+（3）y x =+．【练3.2】求下列函数的值域．（1）22221(2)x x y x x -+=>（2）2854y x x =-+【练3.3】求函数()f x 的值域．考查角度4 判别式法求值域【例4】利用判别式求函数231xy x x =-+的值域．【练4.1】已知3x >，求函数22173x y x -=-的值域．【练4.2】求函数的值域：22221x x y x x -+=++．考查角度5 列分段函数求值域【例4】求函数的值域：|1||4|y x x =-++．【练5.1】求函数的值域：|1||21|y x x =+--【练5.2】已知函数224,(03)()6,(20)x x x f x x x x ⎧-=⎨+-⎩()()0230<≤-<≤x x ，求()f x 的值域．【练5.3】求函数24||3(33)y x x x =---<<的值域．【趁热打铁】1. 按要求求下列函数的值域：（1）1y =（观察法）； （2）y =（配方法）；（3）2y x =-+； （4）211x y x -+=-（分离常数法）．（5）28(45)y x x =÷-+（判别式法）．2. 求值域：（1）22566x x y x x -+=+-； （2）2224723x x y x x +-=++；（3）()f x x = （4）()f x =3. 求下列函数的值域：（1）2()231f x x x =--； （2）222()x xf x x x+=-；（3）()f x x =+ （4）()2f x x =（5）221()1x f x x -=+； （6）()5f x x =-+．4. 求下列函数的值域：（1）y x =（2）y x =+（3）4241y x x =++ （4）6y =．5. 求下列函数的值域．（1）31y x =+，[1x ∈，2]； （2）245y x x =--，[1x ∈-，1]；（3）11x y x +=-； （4）2211x y x -=+；（5）2y x =+．6. 求函数|3||5|y x x =+--的值域．7.求下列函数值域(1){}3,2,1,12∈+=x x y ； (2)1-=x y ； (3)y ＝x 2－4x ＋6，x ∈[1,5)；(4)y ＝5x －14x ＋2； (5)y ＝x ＋x ； （6）12++=x x y .三：函数解析式的求法1.待定系数法：如果已知函数类型，可设出函数解析式，再代入条件解方程（组），求出参数，即可确定函数解析式.2.配凑法：已知))((x g f 的解析式，要求)(x f 的解析式时，可从))((x g f 的解析式中配凑出)(x g ，即用)(x g 来表示，再将解析式两边的)(x g 用x 代替即可.3.换元法：已知))((x g f 的解析式，要求)(x f 的解析式时，也可令t =)(x g ，再求出)(t f 的解析式，然后用x 代替)(t f 解析式中所有的t 即可.4.方程组法：常见的含有)(x f 与)(x f -，)(x f 与)1(xf 时，将原式中的x 用x -（或x 1）代替，从而得到另一个同时含有)(x f 与)(x f -，)(x f 与)1(xf 的关系式，将这两个关系式联立，列方程组解出)(x f .例4.(1)已知，求； 3311()f x x x x+=+()f x（2）已知是一次函数，且满足，求；（3）已知满足，求)(x f .巩固练习：1.已知)(x f 是一次函数，且34))((+=x x f f ，求)(x f ．2.已知()x x x f21+=+，求)(x f ．3.设函数f (x )满足f (x )＋2f (x1)＝x (x ≠0)，求f (x ).课后练习1.函数f (x )＝x-21的定义域为M ，g (x )＝2+x 的定义域为N ，则M ∩N ＝( ) A ．[－2，＋∞) B ．[－2,2) C ．(－2,2)D ．(－∞，2) 2.设f (x )＝x －1x ＋1，则f (x )＋)1(xf ＝( ) A ．1－x 1＋x B ．1x C ．1 D ．0()f x 3(1)2(1)217f x f x x +--=+()f x ()f x 12()()3f x f x x +=3.若函数y ＝21-x 的定义域是A ，函数y ＝62+x 的值域是B ，则A ∩B ＝________. 4.若定义运算a ⊙b ＝⎩⎨⎧<≥.,,,b a a b a b 则函数f (x )＝x ⊙(2－x )的值域为________． 5.求函数的值域（1）113+-=x x y ； （2）112-++=x x y .6.求下列函数的定义域，并用区间表示：(1)y ＝(x ＋1)2x ＋1－x -1；(2)y ＝35--x x .7.求下列函数的解析式（1）已知二次函数564)12(2+-=+x x x f ，求)(x f ；（2）若函数)0(1)1(22≠+=-x x x x x f ，求)(x f ；(3)设函数f (x )满足x x f x f 3)(2)(=-+，求)(x f ．8.已知函数f (x )＝2211xx -+， (1)求f (x )的定义域； (2)若f (a )＝2，求a 的值； (3)求证：)1(x f ＝)(x f -．。
函数定义域值域求法 全十一种
高中函数定义域和值域的求法总结一、常规型即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。
例1 求函数8|3x |15x 2x y 2-+--=的定义域。
解：要使函数有意义，则必须满足 由①解得 3x -≤或5x ≥。
③ 由②解得 5x ≠或11x -≠ ④③和④求交集得3x -≤且11x -≠或x>5。
故所求函数的定义域为}5x |x {}11x 3x |x {>-≠-≤Y 且。
例2 求函数2x161x sin y -+=的定义域。
解：要使函数有意义，则必须满足由①解得Z k k 2x k 2∈π+π≤≤π， ③ 由②解得4x 4<<- ④ 由③和④求公共部分，得 故函数的定义域为]0(]4(ππ--，，Y评注：③和④怎样求公共部分？你会吗？ 二、抽象函数型抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。
（1）已知)x (f 的定义域，求)]x (g [f 的定义域。
（2）其解法是：已知)x (f 的定义域是［a ，b ］求)]x (g [f 的定义域是解b )x (g a ≤≤，即为所求的定义域。
例3 已知)x (f 的定义域为［－2，2］，求)1x (f 2-的定义域。
解：令21x 22≤-≤-，得3x 12≤≤-，即3x 02≤≤，因此3|x |0≤≤，从而3x 3≤≤-，故函数的定义域是}3x 3|x {≤≤-。
（2）已知)]x (g [f 的定义域，求f(x)的定义域。
其解法是：已知)]x (g [f 的定义域是［a ，b ］，求f(x)定义域的方法是：由b x a ≤≤，求g(x)的值域，即所求f(x)的定义域。
例4 已知)1x 2(f +的定义域为［1，2］，求f(x)的定义域。
解：因为51x 234x 222x 1≤+≤≤≤≤≤，，。
函数定义域值域求法(全十一种)
实用标准高中函数定义域和值域的求法总结一、常规型即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。
例 1求函数 y x 22x15| x 3 |8的定义域。
解：要使函数有意义，则必须满足x 22x150①| x 3 |8 0②由①解得x3或 x 5 。
③由②解得x5或 x11④③和④求交集得x3且 x11或x>5。
故所求函数的定义域为{ x | x 3且x11}{ x | x5} 。
例 2求函数 y sin x1的定义域。
16x 2解：要使函数有意义，则必须满足sin x0①16x 20②由①解得2k x2k，k Z③由②解得 4 x4④由③和④求公共部分，得4x或 0x故函数的定义域为(4， ](0， ]评注：③和④怎样求公共部分？你会吗？二、抽象函数型抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。
（ 1）已知f (x )的定义域，求f [ g(x )]的定义域。
（ 2）其解法是：已知 f (x) 的定义域是［a，b］求 f [g(x)] 的定义域是解a g(x) b ，即为所求的定义域。
例 3已知 f (x) 的定义域为［－2， 2］，求f ( x 21) 的定义域。
解：令 2 x21 2 ，得 1 x2 3 ，即0 x 23，因此0| x | 3 ，从而3 x 3 ，故函数的定义域是{ x | 3 x3} 。
（ 2）已知f [g( x)]的定义域，求f(x) 的定义域。
其解法是：已知 f [g(x )] 的定义域是［a，b］，求f(x)定义域的方法是：由a x b，求g(x) 的值域，即所求f(x) 的定义域。
例 4已知 f (2x1) 的定义域为［1，2］，求f(x)的定义域。
解：因为 1 x2，22x4，32x 1 5 。
即函数 f(x) 的定义域是{ x | 3x5} 。
函数定义域值域求法(全十一种)
函数定义域值域求法(全十一种)高中函数定义域和值域的求法总结一、常规型常规型是指已知函数的解析式，求函数的定义域和值域。
解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。
例如，对于函数 $y=\frac{x^2-2x-15}{|x+3|-8}$，要使函数有意义，则必须满足 $x^2-2x-15\geq 0$ 且 $|x+3|\neq 8$。
解得$x\leq -3$ 或 $x\geq 5$，且 $x\neq -11$ 或 $x\neq 5$。
将两个条件求交集得 $x\leq -3$ 且 $x\neq -11$ 或 $x>5$，即函数的定义域为 $\{x|x\leq -3\text{ 且 }x\neq -11\}\cup\{x|x>5\}$。
二、抽象函数型抽象函数型是指没有给出解析式的函数，需要根据已知条件求解。
一般有两种情况：1）已知 $f(x)$ 的定义域，求 $f[g(x)]$ 的定义域。
解法是：已知 $f(x)$ 的定义域为 $[a,b]$，则 $f[g(x)]$ 的定义域为解$a\leq g(x)\leq b$。
例如，已知 $f(x)$ 的定义域为 $[-2,2]$，求 $f(x^2-1)$ 的定义域。
令 $-2\leq x^2-1\leq 2$，得 $-1\leq x^2\leq 3$，即 $-|x|\leq x\leq |x|$。
因此，$-3\leq x\leq 3$，即函数的定义域为$\{x|-3\leq x\leq 3\}$。
2）已知 $f[g(x)]$ 的定义域，求 $f(x)$ 的定义域。
解法是：已知 $f[g(x)]$ 的定义域为 $[a,b]$，则 $f(x)$ 的定义域为$g(x)$ 的值域。
例如，已知 $f(2x+1)$ 的定义域为 $[1,2]$，求 $f(x)$ 的定义域。
因为 $1\leq x\leq 2$，所以 $2\leq 2x\leq 4$，$3\leq2x+1\leq 5$。
求定义域及值域方法汇总
①()f x 是整式时，定义域是全体实数．②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数． ③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1．⑤tan y x =中，()2x k k Z ππ≠+∈． ⑥零（负）指数幂的底数不能为零．⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出． ⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论．⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．①观察法：通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．③判别式法：若函数()=可以化成一个系数含有y的关于x的y f x二次方程2++=，则在()0()()()0a y xb y xc ya y≠时，由于,x y为实数，故必须有2()4()()0∆=-⋅≥，从而确定函数的值域或最值．b y a yc y④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值．⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值．⑧函数的单调性法．。
1、函数定义域、值域求法总结
函数定义域、值域求法总结1、函数的定义域是指自变量“x”的取值集合。
2、在同一对应法则作用下，括号内整体的取值范围相同。
题型(一):已知f(x)的定义域,求f［g(x)］的定义域一般地，若已知f(x)的定义域为［a,b］，求函数f［g(x)］的定义域时，由于分别在两个函数中的x 和g(x)受同一个对应法则的作用，从而范围相同。
因此f［g(x)］的定义域即为满足条件a≤g(x)≤b 的x 的取值范围。
(题型二):已知f g(x )的定义域,求f(x)的定义域一般地，若已知f［g(x)］的定义域为［a,b］，求函数f(x) 的定义域时，由于x 和g(x) 受同一个对应法则的作用, 所以f(x) 的定义域即为当 a ≤x≤b 时，g(x) 的取值范围。
(题型三):已知f g(x )的定义域,求f h(x)的定义域定义域是X 的取值范围，g(x) 和h(x) 受同一个对应法则的影响，所以它们的范围相同。
f g(x )→f(x)→f h(x)练习3:已知f (log3x)的定义域［3,9］,求f (2x-1)的定义域一、定义域是函数y=f（x）中的自变量x 的范围。
求函数的定义域需要从这几个方面入手：（1）分母不为零（2）偶次根式的被开方数非负。
（3）对数中的真数部分大于0。
（4）指数、对数的底数大于0，且不等于1 （5）y=tanx 中x≠kπ+π/2；y=cotx 中x≠kπ等等。
( 6 )x0中x0二、值域是函数y=f（x）中y 的取值范围。
常用的求值域的方法：（1）直接法（4）配方法（7）分离常数法（10）不等式法2）图象法（数形结合）5）换元法（包括三角换元）8）判别式法11）平方法等等3）函数单调性法6）反函数法（逆求法）9）复合函数法这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。
三、典例解析1、定义域问题例 1 求下列函数的定义域：① f（x）= 1；② f（x）= 3x+2；③ f（x）= x+1+ 1x-2 2- x 解：①∵x-2=0，即x=2 时，分式1无意义，x-2而x 2时，分式1有意义，∴这个函数的定义域是x | x 2.2②∵3x+2<0，即x<- 2时，根式3x + 2 无意义，32而3x+20，即x -2时，根式3x+2才有意义，32∴这个函数的定义域是{ x | x - 2}.③∵当x+10且2-x 0，即x-1且x 2时，根式x+1和分式12 - x∴这个函数的定义域是{ x | x -1且x 2}同时有意义，另解：要使函数有意义，必须：x+10 x -1 2 - x 0 x 2例 2 求下列函数的定义域：① f（x）= 4- x2-1 ② f ( x) x2-3x -4 x+1-2⑤y = x -2 +3+3 3x +7x -3或-3 x -1或x 4∴定义域为：{ x| x -3或-3 x -1或x 4}x 0∴定义域为：x | x-1或-1 x 0即 x<- 7 或 x>- 733∴定义域为：{x | x- 7}ax 2 -ax + 1 的定义域是R ，求实数a 的取值范围王奎新新疆屯敞a解：∵定义域是R,∴ ax 2 -ax +10恒成立，aa 0∴等价于 = a 2 -4a1 00a 2a例4 若函数y = f (x )的定义域为［-1，1］，求函数y = f (x + 1)f (x - 1)的定义域王新奎新屯疆敞③f ( x ) =1+ 11+1+1x④ f ( x )(x +1)0x -x⑤要使函数有意义，必须：x -2+303x + 7 0x R 7 x -3 解：①要使函数有意义，必须：4 - x 2 1即： - 3 x 3∴函数 f (x ) =4 - x 2 -1 的定义域为：[- 3, 3]②要使函数有意义，必须：x 2 -3x - 4 0x +1-2x 4或x -1x -3且x1 + 10 x 1 + 1 01+1+1x∴函数的定义域为：{x | xR 且x 0,-1,-1}③要使函数有意义，必须： ④要使函数有意义，必须：x + 1x - xx 0x - 1 1 x -2 x -1 x 0例3 若函数y =解：要使函数有意义，必须：-1x +11-1x +141-1x - 1 4∴函数y = f (x + 1) f (x -1)的定义域为：x |-3 x 3例5 已知 f(x)的定义域为［－1，1］，求 f(2x －1)的定义域。
函数定义域值域求法总结
函数定义域、值域求法总结一、定义域是函数()y f x =中的自变量x 的范围; 求函数的定义域需要从这几个方面入手： 1分母不为零2偶次根式的被开方数非负; 3对数中的真数部分大于0;4指数、对数的底数大于0,且不等于15y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等; 6 0x 中x 0≠二、值域是函数()y f x =中y 的取值范围;常用的求值域的方法： 1直接法 2图象法数形结合 3函数单调性法4配方法 5换元法 包括三角换元 6反函数法逆求法 7分离常数法 8判别式法 9复合函数法 10不等式法 11平方法等等这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终;三、典例解析 1、定义域问题例1 求下列函数的定义域：① 21)(-=x x f ；② 23)(+=x x f ；③ xx x f -++=211)( 解：①∵x-2=0,即x=2时,分式21-x 无意义,而2≠x 时,分式21-x 有意义,∴这个函数的定义域是{}2|≠x x .②∵3x+2<0,即x<-32时,根式23+x 无意义,而023≥+x ,即32-≥x 时,根式23+x 才有意义,∴这个函数的定义域是{x |32-≥x }.③∵当0201≠-≥+x x 且,即1-≥x 且2≠x 时,根式1+x 和分式x-21同时有意义,∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x }另解：要使函数有意义,必须： ⎩⎨⎧≠-≥+0201x x ⎩⎨⎧≠-≥21x x例2 求下列函数的定义域：①14)(2--=x x f ②2143)(2-+--=x x x x f③=)(x f x11111++④xx x x f -+=0)1()(⑤373132+++-=x x y解：①要使函数有意义,必须：142≥-x 即： 33≤≤-x ∴函数14)(2--=x x f 的定义域为： 3,3-②要使函数有意义,必须：⎩⎨⎧≠-≠-≤≥⇒⎩⎨⎧≠-+≥--13140210432x x x x x x x 且或 ∴定义域为：{ x|4133≥-≤<--<x x x 或或}③要使函数有意义,必须： 011110110≠++≠+≠⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧xx x 2110-≠-≠≠⎪⎩⎪⎨⎧x x x∴函数的定义域为：}21,1,0|{--≠∈x R x x 且④要使函数有意义,必须： ⎩⎨⎧≠-≠+001x x x ⎩⎨⎧<-≠⇒01x x∴定义域为：{}011|<<--<x x x 或⑤要使函数有意义,必须： ⎩⎨⎧≠+≥+-073032x x ⎪⎩⎪⎨⎧-≠∈⇒37x Rx即 x<37- 或 x>37- ∴定义域为：}37|{-≠x x例3 若函数aax ax y 12+-=的定义域是R,求实数a 的取值范围 解：∵定义域是R,∴恒成立，012≥+-aax ax∴⎪⎩⎪⎨⎧≤<⇒≤⋅-=∆>2001402a a a a a 等价于例4 若函数)(x f y =的定义域为1,1,求函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域解：要使函数有意义,必须：∴函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域为：⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-4343|x x 例5 已知fx 的定义域为－1,1,求f2x －1的定义域;分析：法则f 要求自变量在－1,1内取值,则法则作用在2x －1上必也要求2x －1在 －1,1内取值,即－1≤2x －1≤1,解出x 的取值范围就是复合函数的定义域；或者从位置上思考f2x －1中2x －1与fx 中的x 位置相同,范围也应一样,∴－1≤2x －1≤1,解出x 的取值范围就是复合函数的定义域;注意：fx 中的x 与f2x －1中的x 不是同一个x,即它们意义不同; 解：∵fx 的定义域为－1,1, ∴－1≤2x －1≤1,解之0≤x ≤1, ∴f2x －1的定义域为0,1;例6已知已知fx 的定义域为－1,1,求fx 2的定义域;答案：－1≤x 2≤1⇒ x 2≤1⇒－1≤x ≤1练习：设)(x f 的定义域是3,2,求函数)2(-x f 的定义域解：要使函数有意义,必须：223≤-≤-x 得： 221+≤≤-x ∵ x ≥0 ∴ 220+≤≤x 2460+≤≤x ∴ 函数)2(-x f 的定域义为：{}2460|+≤≤x x例7已知f2x －1的定义域为0,1,求fx 的定义域因为2x －1是R 上的单调递增函数,因此由2x －1, x ∈0,1求得的值域－1,1是fx 的定义域;已知f3x －1的定义域为－1,2,求f2x+1的定义域;[2,25-提示：定义域是自变量x 的取值范围 练习：已知fx 2的定义域为－1,1,求fx 的定义域若()y f x =的定义域是[]0,2,则函数()()121f x f x ++-的定义域是Ａ．[]1,1- Ｂ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21Ｃ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,21Ｄ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦已知函数()11xf x x+=-的定义域为Ａ,函数()y f f x =⎡⎤⎣⎦的定义域为Ｂ,则Ａ．A B B = Ｂ．B A ∈ Ｃ．A B B = Ｄ． A B =2、求值域问题利用常见函数的值域来求直接法一次函数y=ax+ba ≠0的定义域为R,值域为R ；反比例函数)0(≠=k xk y 的定义域为{x|x ≠0},值域为{y|y ≠0}； 二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的定义域为R, 当a>0时,值域为{ab ac y y 4)4(|2-≥}；当a<0时,值域为{ab ac y y 4)4(|2-≤}. 例1 求下列函数的值域① y=3x+2-1≤x ≤1 ②）（3x 1x32)(≤≤-=x f③ xx y 1+=记住图像 解：①∵-1≤x ≤1,∴-3≤3x ≤3,∴-1≤3x+2≤5,即-1≤y ≤5,∴值域是-1,5 ②略③ 当x>0,∴xx y 1+==2)1(2+-xx 2≥,当x<0时,)1(xx y -+--==－2)1(2----xx -≤∴值域是 ]2,(--∞2,+∞.此法也称为配方法 函数xx y 1+=的图像为： 二次函数在区间上的值域最值：例2 求下列函数的最大值、最小值与值域：①142+-=x x y ； ②；]4,3[,142∈+-=x x x y ③]1,0[,142∈+-=x x x y ； ④]5,0[,142∈+-=x x x y ；解：∵3)2(1422--=+-=x x x y ,∴顶点为2,-3,顶点横坐标为2. ①∵抛物线的开口向上,函数的定义域R,∴x=2时,ymin=-3 ,无最大值；函数的值域是{y|y ≥-3 }.②∵顶点横坐标2∉3,4,当x=3时,y= -2；x=4时,y=1；∴在3,4上,min y =-2,m ax y =1；值域为-2,1.③∵顶点横坐标2∉ 0,1,当x=0时,y=1；x=1时,y=-2, ∴在0,1上,min y =-2,m ax y =1；值域为-2,1.④∵顶点横坐标2∈ 0,5,当x=0时,y=1；x=2时,y=-3, x=5时,y=6,∴在0,1上,min y =-3,m ax y =6；值域为-3,6.注：对于二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f ,⑴若定义域为R 时,①当a>0时,则当a b x 2-=时,其最小值ab ac y 4)4(2min -=；②当a<0时,则当a b x 2-=时,其最大值ab ac y 4)4(2max -=. ⑵若定义域为x ∈ a,b,则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间a,b. ①若0x ∈a,b,则)(0x f 是函数的最小值a>0时或最大值a<0时, 再比较)(),(b f a f 的大小决定函数的最大小值.②若0x ∉a,b,则a,b 是在)(x f 的单调区间内,只需比较)(),(b f a f 的大小即可决定函数的最大小值.注：①若给定区间不是闭区间,则可能得不到最大小值；②当顶点横坐标是字母时,则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.练习：1、求函数y =3+√2－3x 的值域解：由算术平方根的性质,知√2－3x ≥0,故3+√2－3x ≥3;∴函数的值域为 [)+∞,3 .2、求函数[]5,0,522∈+-=x x x y 的值域解： 对称轴 []5,01∈=x例3 求函数y=4x －√1-3xx ≤1/3的值域;解：法一：单调性法设fx=4x,gx= －√1-3x ,x ≤1/3,易知它们在定义域内为增函数,从而y=fx+gx= 4x －√1-3x在定义域为x ≤1/3上也为增函数,而且y ≤f1/3+g1/3=4/3,因此,所求的函数值域为｛y|y ≤4/3｝;小结：利用单调性求函数的值域,是在函数给定的区间上,或求出函数隐含的区间,结合函数的增减性,求出其函数在区间端点的函数值,进而可确定函数的值域;练习：求函数y=3+√4-x 的值域;答案：｛y|y ≥3｝ 法二：换元法下题讲例4 求函数x x y -+=12 的值域解：换元法设t x =-1,则)0(122≥++-=t t t y点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数,通过求出二次函数的最值,从而确定出原函数的值域;这种解题的方法体现换元、化归的思想方法;它的应用十分广泛;练习：求函数y=√x-1 –x 的值域;答案：｛y|y ≤－3/4｝ 例5 选求函数x x y -+-=53 的值域 解：平方法函数定义域为：[]5,3∈x 例6 选不要求求函数21x x y -+=的值域解：三角换元法 11≤≤-x ∴设[]πθθ,0cos ∈=x 小结：1若题目中含有1≤a ,则可设2若题目中含有122=+b a 则可设θθsin ,cos ==b a ,其中πθ20<≤3若题目中含有21x -,则可设θcos =x ,其中πθ≤≤0 4若题目中含有21x +,则可设θtan =x ,其中22πθπ<<-5若题目中含有)0,0,0(>>>=+r y x r y x ,则可设θθ22sin ,cos r y r x ==其中⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πθ 例7 求13+--=x x y 的值域解法一：图象法可化为 ⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤---<=3,431,221,4x x x x y 如图,观察得值域{}44≤≤-y y可得;解法三：选不等式法414114)1(134)1()3(13-=+--+≥+--+=+--=+--≤+--x x x x x x x x x x 同样可得值域练习：1y x x =++的值域呢 )[∞+,1三种方法均可例8 求函数[])1,0(239∈+-=x y x x 的值域解：换元法设t x =3 ,则 31≤≤t 原函数可化为[][]8,28,3;2,13,121,2max min2值域为时时对称轴∴====∴∉=+-=y t y t t t t y例9求函数xx y 2231+-⎪⎭⎫ ⎝⎛= 的值域解：换元法令1)1(222+--=+-=x x x t ,则)1(31≤⎪⎭⎫⎝⎛=t y t由指数函数的单调性知,原函数的值域为⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,31 例10 求函数 )0(2≤=x y x 的值域 解：图象法如图,值域为(]1,0 例11 求函数21+-=x x y 的值域 -1 0 3解法一：逆求法{}1121,≠-+=y y yyx x 原函数值域为观察得解出 解法二：分离常数法由1231232≠+-=+-+=x x x y ,可得值域{}1≠y y 小结：已知分式函数)0(≠++=c dcx bax y ,如果在其自然定义域代数式自身对变量的要求内,值域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠c a y y ；如果是条件定义域对自变量有附加条件,采用部分分式法将原函数化为)(bc ad dcx c adb c a y ≠+-+=,用复合函数法来求值域;例12 求函数133+=x xy 的值域解法一：逆求法10013<<∴>-=y yyx ()1,0原函数的值域为∴小结：如果自变量或含有自变量的整体有确定的范围,可采用逆求法; 解法二：换元法设t x =+13 ,则()111131113113>-=+-=+-+=t t y x xx 练习：y =1212+-x x ；y ∈-1,1.例13 函数1122+-=x x y 的值域解法一：逆求法110112<≤-∴≥-+=y yyx解法二：换元法设t x =+12 ,则解法三：判别式法原函数可化为 010)1(2=++⋅+-y x x y 1） 1=y 时 不成立2） 1≠y 时,110)1)(1(400≤≤-⇒≥+--⇒≥∆y y y0 11 0 1综合1、2值域}11|{<≤-y y 解法四：三角换元法∴∈Rx 设⎪⎭⎫⎝⎛-∈=2,2tan ππθθx ,则∴原函数的值域为}11|{<≤-y y 例14 求函数34252+-=x x y 的值域 解法一：判别式法化为0)53(422=-+-y yx yx10=y 时,不成立 20≠y 时,0≥∆得综合1、2值域}50|{≤<y y解法二：复合函数法令t x x =+-3422,则ty 5=50≤<∴y 所以,值域}50|{≤<y y例15 函数11++=xx y 的值域解法一：判别式法原式可化为 01)1(2=+-+x y x 解法二：不等式法1当0>x 时,321≥∴≥+y xx 2） 0<x 时综合12知,原函数值域为(][)∞+-∞-,31,例16 选 求函数)1(1222->+++=x x x x y 的值域 解法一：判别式法原式可化为 02)2(2=-+-+y x y x解法二：不等式法原函数可化为当且仅当0=x 时取等号,故值域为[)∞+,2例17 选 求函数)22(1222≤≤-+++=x x x x y 的值域解：换元法令t x =+1 ,小结：已知分式函数)0(2222≠+++++=d a fex dx c bx ax y ,如果在其自然定义域内可采用判别式法求值域；如果是条件定义域,用判别式法求出的值域要注意取舍,或者可以化为 选)(二次式一次式或一次式二次式==y y 的形式,采用部分分式法,进而用基本不等式法求出函数的最大最小值；如果不满足用基本不等式的条件,转化为利用函数)0(≠+=x xa x y 的单调性去解; 练习：1 、)0(9122≠++=x x x y ； 解：∵x ≠0,11)1(91222+-=++=x x x x y ,∴y ≥11. 另外,此题利用基本不等式解更简捷：11929122=+≥++=x x y 或利用对勾函数图像法2 、34252+-=x x y 0<y ≤5.3 、求函数的值域 ①x x y -+=2； ②242x x y --= 解：①令x u -=2≥0,则22u x -=, 原式可化为49)21(222+--=+-=u u u y ,②解：令 t=4x 2x ≥0 得 0≤x ≤4在此区间内 4x 2x m ax =4 ,4x 2x m in =0 ∴函数242x x y --=的值域是{ y| 0≤y ≤2}4、求函数y=|x+1|+|x-2|的值域.解法1：将函数化为分段函数形式：⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤--<+-=)2(12)21(3)1(12x x x x x y ,画出它的图象下图,由图象可知,函数的值域是{y|y ≥3}.解法2：∵函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x 到两定点-1,2的距离之和,∴易见y 的最小值是3,∴函数的值域是3,+∞. 如图5、求函数x x y -+=142的值域解：设 x t -=1 则 t ≥0 x=12t代入得 t t t f y 4)1(2)(2+-⋅==4)1(224222+--=++-=t t t∵t ≥0 ∴y ≤46、选求函数66522-++-=x x x x y 的值域 方法一：去分母得 y12x +y+5x6y6=0 ①当 y1时 ∵xR ∴△=y+52+4y1×6y+1≥0由此得 5y+12≥0检验 51-=y 有一个根时需验证时 2)56(2551=-⋅+--=x 代入①求根 ∵2 定义域 { x| x2且 x3} ∴51-≠y再检验 y=1 代入①求得 x=2 ∴y1综上所述,函数66522-++-=x x x x y 的值域为 { y| y1且 y 51-} 方法二：把已知函数化为函数36133)3)(2()3)(2(--=+-=+---=x x x x x x x y x2 由此可得 y1,∵ x=2时51-=y 即 51-≠y ∴函数66522-++-=x x x x y 的值域为 { y| y1且 y 51-}。
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函数定义域、值域求法总结1、函数的定义域是指自变量“x ”的取值集合。
2、在同一对应法则作用下，括号整体的取值围相同。
一般地，若已知 f(x)的定义域为[a,b]，求函数f[g(x)]的定义域时，由于分别在两个函数中的x 和g(x)受同一个对应法则的作用，从而围相同。
因此f[g(x)]的定义域即为满足条件a ≤g(x)≤b 的x 的取值围。
一般地，若已知 f[g(x)]的定义域为[a,b]，求函数 f(x)的定义域时，由于x和g(x) 受同一个对应法则的作用, 所以f(x)的定义域即为当a ≤x ≤b 时，g(x)的取值围。
定义域是X 的取值围，g(x)和h(x)受同一个对应法则的影响，所以它们的围相同。
():f (x),f[g(x)]题型一已知的定义域求的定义域()():f g x ,f (x)⎡⎤⎣⎦题型二已知的定义域求的定义域()[]():f g x ,f h(x)⎡⎤⎣⎦题型三已知的定义域求的定义域()[]()[])x (h f x f x g f →→()的定义域求的定义域已知练习)2(],9,3[log :313-x f x f一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x 的围。
求函数的定义域需要从这几个方面入手： （1）分母不为零（2）偶次根式的被开方数非负。
（3）对数中的真数部分大于0。
（4）指数、对数的底数大于0，且不等于1（5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。
( 6 )0x 中x 0≠二、值域是函数y=f(x)中y 的取值围。
常用的求值域的方法： （1）直接法 （2）图象法（数形结合） （3）函数单调性法（4）配方法 （5）换元法 （包括三角换元） （6）反函数法（逆求法） （7）分离常数法 （8）判别式法 （9）复合函数法 （10）不等式法 （11）平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。
三、典例解析 1、定义域问题例1 求下列函数的定义域：① 21)(-=x x f ；② 23)(+=x x f ；③ xx x f -++=211)( 解：①∵x-2=0，即x=2时，分式21-x 无意义，而2≠x 时，分式21-x 有意义，∴这个函数的定义域是{}2|≠x x .②∵3x+2<0，即x<-32时，根式23+x 无意义，而023≥+x ，即32-≥x 时，根式23+x 才有意义，∴这个函数的定义域是{x |32-≥x }.③∵当0201≠-≥+x x 且，即1-≥x 且2≠x 时，根式1+x 和分式x-21同时有意义， ∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x } 另解：要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠-≥+0201x x ⇒ ⎩⎨⎧≠-≥21x x例2 求下列函数的定义域：①14)(2--=x x f ②2143)(2-+--=x x x x f③=)(x f x11111++④xx x x f -+=0)1()(⑤373132+++-=x x y解：①要使函数有意义，必须：142≥-x 即： 33≤≤-x∴函数14)(2--=x x f 的定义域为： [3,3-]②要使函数有意义，必须：⎩⎨⎧≠-≠-≤≥⇒⎩⎨⎧≠-+≥--13140210432x x x x x x x 且或 4133≥-≤<--<⇒x x x 或或∴定义域为：{ x|4133≥-≤<--<x x x 或或}③要使函数有意义，必须： 011110110≠++≠+≠⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧xx x ⇒ 2110-≠-≠≠⎪⎩⎪⎨⎧x x x∴函数的定义域为：}21,1,0|{--≠∈x R x x 且④要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠-≠+001x x x ⎩⎨⎧<-≠⇒01x x∴定义域为：{}011|<<--<x x x 或⑤要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠+≥+-073032x x ⎪⎩⎪⎨⎧-≠∈⇒37x R x 即 x<37-或 x>37- ∴定义域为：}37|{-≠x x 例3 若函数aax ax y 12+-=的定义域是R ，数a 的取值围 解：∵定义域是R,∴恒成立，012≥+-aax ax ∴⎪⎩⎪⎨⎧≤<⇒≤⋅-=∆>2001402a a a a a 等价于 例4 若函数)(x f y =的定义域为[-1，1]，求函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域解：要使函数有意义，必须：43434543434514111411≤≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-≤+≤-x x x x x ∴函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域为：⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-4343|x x 例5 已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(2x －1)的定义域。
分析：法则f 要求自变量在[－1，1]取值，则法则作用在2x －1上必也要求2x －1在 [－1，1]取值，即－1≤2x －1≤1,解出x 的取值围就是复合函数的定义域；或者从位置上思考f(2x －1)中2x －1与f(x)中的x 位置相同，围也应一样，∴－1≤2x －1≤1,解出x 的取值围就是复合函数的定义域。
（注意：f(x)中的x 与f(2x －1)中的x 不是同一个x ，即它们意义不同。
） 解：∵f(x)的定义域为[－1，1]， ∴－1≤2x －1≤1，解之0≤x ≤1， ∴f(2x －1)的定义域为[0，1]。
例6已知已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(x 2)的定义域。
答案：－1≤x 2≤1⇒ x 2≤1⇒－1≤x ≤1练习：设)(x f 的定义域是[-3，2]，求函数)2(-x f 的定义域解：要使函数有意义，必须：223≤-≤-x 得： 221+≤≤-x∵ x ≥0 ∴ 220+≤≤x 2460+≤≤x∴ 函数)2(-x f 的定域义为：{}2460|+≤≤x x例7已知f(2x －1)的定义域为[0，1]，求f(x)的定义域因为2x －1是R 上的单调递增函数，因此由2x －1， x ∈[0,1]求得的值域[－1，1]是f(x)的定义域。
已知f(3x －1)的定义域为[－1，2），求f(2x+1)的定义域。
[2,25-）（提示：定义域是自变量x 的取值围） 练习：已知f(x 2)的定义域为[－1，1]，求f(x)的定义域若()y f x =的定义域是[]0,2，则函数()()121f x f x ++-的定义域是（ ）Ａ．[]1,1-Ｂ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21Ｃ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,21Ｄ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦已知函数()11xf x x+=-的定义域为Ａ，函数()y f f x =⎡⎤⎣⎦的定义域为Ｂ，则（ ）Ａ．AB B = Ｂ．B A ∈ Ｃ．A B B = Ｄ． A B =2、求值域问题利用常见函数的值域来求（直接法）一次函数y=ax+b(a ≠0)的定义域为R ，值域为R ； 反比例函数)0(≠=k xky 的定义域为{x|x ≠0}，值域为{y|y ≠0}；二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的定义域为R ，当a>0时，值域为{a b ac y y 4)4(|2-≥}；当a<0时，值域为{ab ac y y 4)4(|2-≤}. 例1 求下列函数的值域① y=3x+2(-1≤x ≤1) ②）（3x 1x32)(≤≤-=x f ③ xx y 1+=（记住图像） 解：①∵-1≤x ≤1，∴-3≤3x ≤3，∴-1≤3x+2≤5，即-1≤y ≤5，∴值域是[-1，5] ②略③ 当x>0，∴x x y 1+==2)1(2+-xx 2≥， 当x<0时，)1(x x y -+--==－2)1(2----xx -≤ ∴值域是 ]2,(--∞[2，+∞).（此法也称为配方法） 函数xx y 1+=的图像为： 二次函数在区间上的值域(最值)：例2 求下列函数的最大值、最小值与值域：①142+-=x x y ； ②；]4,3[,142∈+-=x x x y ③]1,0[,142∈+-=x x x y ； ④]5,0[,142∈+-=x x x y ；解：∵3)2(1422--=+-=x x x y ，∴顶点为(2,-3)，顶点横坐标为2. ①∵抛物线的开口向上，函数的定义域R ，∴x=2时，ymin=-3 ,无最大值；函数的值域是{y|y ≥-3 }. ②∵顶点横坐标2∉[3,4]，当x=3时，y= -2；x=4时，y=1；∴在[3,4]上，min y =-2，m ax y =1；值域为[-2，1]. ③∵顶点横坐标2∉ [0,1]，当x=0时，y=1；x=1时，y=-2,∴在[0,1]上，min y =-2，m ax y =1；值域为[-2，1].④∵顶点横坐标2∈ [0,5]，当x=0时，y=1；x=2时，y=-3, x=5时，y=6,∴在[0,1]上，min y =-3，m ax y =6；值域为[-3，6]. 注：对于二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f ,⑴若定义域为R 时，①当a>0时，则当a b x 2-=时，其最小值a b ac y 4)4(2min -=； ②当a<0时，则当a b x 2-=时，其最大值ab ac y 4)4(2max -=. ⑵若定义域为x ∈ [a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b]. ①若0x ∈[a,b],则)(0x f 是函数的最小值（a>0）时或最大值（a<0）时， 再比较)(),(b f a f 的大小决定函数的最大（小）值.②若0x ∉[a,b],则[a,b]是在)(x f 的单调区间，只需比较)(),(b f a f 的大小即可决定函数的最大（小）值.注：①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；②当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.练习：1、求函数y =3+√(2－3x)的值域解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0，故3+√(2－3x)≥3。
∴函数的值域为 [)+∞,3 .2、求函数[]5,0,522∈+-=x x x y 的值域解： 对称轴 []5,01∈=x[]20,420,54,1max min 值域为时时∴====∴y x y x例3 求函数y=4x －√1-3x(x ≤1/3)的值域。
解：法一：（单调性法）设f(x)=4x,g(x)= －√1-3x ,(x ≤1/3),易知它们在定义域为增函数，从而y=f(x)+g(x)=4x －√1-3x在定义域为x ≤1/3上也为增函数，而且y ≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此， 所求的函数值域为｛y|y ≤4/3｝。