上海(沪教版)八年级下数学辅导讲义-第6讲-列方程(组)解应用题教师版

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沪教版八年级下-第二十一章--《代数方程》全章复习与巩固知识讲解--讲义

《代数方程》全章复习与巩固--知识讲解（提高）【学习目标】1．知道一元整式方程与高次方程的有关概念，知道一元整式方程的一般形式. 理解含字母系数的一元一次方程、一元二次方程的概念，掌握它们的基本解法。

2．理解和掌握二项方程的意义以及二项方程的解法,理解双二次方程的意义，了解高次方程求解的基本方法是降次，会用换元法把双二次方程转化为一元二次方程；学会判断双二次方程的根的个数。

3．会用“换元法”解特殊的分式方程（组）。

4．理解无理方程的概念，会识别无理方程，知道有理方程及代数方程的概念，领会无理方程“有理化”的化归思想. 会解简单的无理方程（方程中只含一个或两个关于未知数的二次根式）。

5．知道二元二次方程的概念和二元二次方程组的概念。

6．掌握由“代入法”解由一个二元一次方程和二元二次方程组成的方程组；掌握用“因式分解法”解由两个二元二次方程组成的方程组。

7．能熟练地列出方程组解应用题.并能根据具体问题的实际意义，检查结果是否合理.通过将实际生活中的问题抽象为方程模型，让学生形成良好思维习惯，学会从数学角度提出问题、理解问题.运用所学知识解决问题，发展应用意识，体会数学的情感与价值。

【知识网络】【要点梳理】要点一、整式方程1. 一元整式方程：如果方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式,这个方程叫做一元整式方程;2.一元n次方程：一元整式方程中含未知数的项的最高次数是n(n是正整数),这个方程叫做一元n次方程.3.一元高次方程：一元整式方程中含有未知数的项的最高次数是n，若次数n是大于2的正整数，这样的方程统称为一元高次方程。

要点诠释：一元高次方程应具备：整式方程;只含一个未知数;含未知数的项最高次数大于2次.4.二项方程概念：如果一元n次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方程就叫做二项方程.要点诠释：ax=0（a≠0）是非常特殊的n次方程，它的根是0.②这里所涉及的二项方程的次数不超过6次. 注：①n5.解的情况：当n为奇数时，方程有且只有一个实数根，x=；当n为偶数时，如果ab<0，那么方程有两个实数根，且这两个根互为相反数；如果ab>0，那么方程没有实数根.6.双二次方程概念：只含有偶数次项的一元四次方程.要点诠释：当常数项不是0时，规定它的次数为0.7.解双二次方程的常用方法：因式分解法与换元法（目的是降次，使它转化为一元一次方程或一元二次方程）通过换元，把双二次方程转化为一元方程体现了“降次”的策略。

沪教版(上海)数学八年级第二学期-21.7 (1)列方程(组)解应用题教案

21.7 （1）列方程（组）解应用题教学目标：通过复习百分率的应用引出一元高次方程的应用题，体验列方程解应用题的一般方法与步骤；经历对“问题三”容器的选择的讨论，理解方程的根在实际问题中检验的重要性；经历“实际问题-建立方程-方程求解-解释应用”的过程，体会方程思想，感知数学模型思想；依托垃圾分类为背景，体会方程的应用价值，增强数学应用意识，透过数据强化垃圾分类的重要性.教学重点：体验列整式方程解决简单实际问题的过程.教学难点：会列方程（组）解决简单的实际问题.万吨/日，如果2019年的下降率为m ，2020年的下降率比2019年又降低3%，且干垃圾末端处置为1.81万吨/日，根据题意，可列出方程为（）（A ）81.1-114.22=）（m （B ）81.1)03.01(-114.2=+-m m ）（（C ）81.1)03.01(114.2=---m m ）（（D ）81.1)31(-114.2=--m m ）（● 问题二：人类产生的垃圾的寿命究竟有多长？3.一个烟蒂的重量为5克，原来需要用十年时间将烟蒂降解到0.001克以内（称烟蒂完全降解）。

由于降解技术水平的提高，降解一个烟蒂的时间缩短为五年，如图所示，前两年的平均降解率为a ，后三年的平均降解率为b. （1）若a=55%，那么降解两年后的烟蒂重量为克；（保留1位小数）（2）若要让烟蒂完全降解，那么第三、四、五年的降解率b 至少为 .要求：（1）学生独立思考；（2）师生共同交流.● 问题三：垃圾去哪儿了？阅读材料●中国台湾——垃圾收费从2000年7月1日起，台北市实行垃圾处理费随袋征收政策，要求一般垃圾必须放入计费的垃圾袋，厨余垃圾和可回收垃圾免收处理费。

这种垃圾处理费随袋征收的政策促使市民养成了减少产生垃圾和注意回收资源的习惯，因为一般垃圾越多，用的收费垃圾袋就越多，花的钱也就越多.●瑞士——需要进口垃圾的国家瑞士被人们赞誉为“没有垃圾污染的国家”。

沪教版八年级下册211整式方程知识讲解讲义.docx

整式方程知识讲解【学习目标】1、知道一元整式方程与高次方程的有关概念，知道一元整式方程的一般形式.2、经历从具体问题中的数量相等关系引进含字母系数的方程的过程,理解含字母系数的一元一次方程、一元二次方程的概念，掌握它们的基本解法.3、通过解含字母系数的一元一次方程、一元二次方程，体会分类讨论的方法，了解由特殊到一般、一般到特殊的辨证思想.4、理解和掌握二项方程的意义以及二项方程的解法；5、学会把一个代数式看作一个整体，掌握可以通过换元转化为二项方程的方程的解法，经历知识的产生过程，感受自主探究的快乐.【要点梳理】要点一、一元整式方程1.一元整式方程：如果方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式，这个方程叫做一元整式方程；2.—元n次方程：一元整式方程中含未知数的项的最高次数是料（〃是正整数），这个方程叫做一元〃次方程.3.一元高次方程概念：一元整式方程中含有未知数的项的最高次数是斤，若次数兀是大于2的正整数，这样的方程统称为一元高次方程。

要点诠释:一元高次方程应具备：整式方程;只含一个未知数;含未知数的项最高次数大于2次.要点二、二项方程1.概念：如果一元n次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方程就叫做二项方程.要点诠释：注：①血"=o （aHO）是非常特殊的n次方程，它的根是0.②这里所涉及的二项方程的次数不超过6次.2.一般形式：ax n +b = 0（a H 0,Z? H 0,斤是正整数）3.二项方程的基本方法:是（开方）4.解的情况:当n为奇数时，方程有且只有一个实数根当n为偶数时，如果ab<0,那么方程有两个实数根，且这两个根互为相反数；如杲ab>0,那么方程没有实数根.要点三、双二次方程1.概念：只含有偶数次项的一元四次方稈.要点诠释：当常数项不是0时，规定它的次数为0.2.一般形式：ax4 + hx2 + c = 0（。

丰 0）3.解题的一般步骤：换元一一解一元二次方程一一回代4. 解双二次方程的常用方法：因式分解法与换元法(目的是降次，使它转化为一元一次方程或一元二次方程)通过换元，把双二次方程转化为一元方程体现了 “降次”的策略。

沪教版数学八年级下册21.5《列方程(组)解应用题》教学设计

沪教版数学八年级下册21.5《列方程（组）解应用题》教学设计一. 教材分析沪教版数学八年级下册21.5《列方程（组）解应用题》这一节主要让学生掌握列方程（组）解应用题的方法和技巧。

在教材中，通过引入实际问题，引导学生运用数学知识解决实际问题，培养学生的数学应用能力。

教材内容由浅入深，循序渐进，让学生在解决实际问题的过程中，掌握列方程（组）解应用题的方法。

二. 学情分析学生在学习这一节之前，已经学习了方程、不等式等基础知识，具备一定的数学解题能力。

但部分学生对如何将实际问题转化为数学问题，以及如何选择合适的方程（组）解决实际问题还存在着一定的困难。

因此，在教学过程中，需要关注学生的个体差异，针对不同学生的学习情况，进行有针对性的指导。

三. 教学目标1.让学生掌握列方程（组）解应用题的基本方法。

2.培养学生将实际问题转化为数学问题的能力。

3.提高学生的数学应用能力，培养学生的解决问题能力。

四. 教学重难点1.如何将实际问题转化为数学问题。

2.如何选择合适的方程（组）解决实际问题。

五. 教学方法采用问题驱动的教学方法，通过引入实际问题，引导学生运用数学知识解决实际问题。

在教学过程中，注重学生的参与，鼓励学生积极思考，培养学生的解决问题能力。

同时，运用案例分析法、讨论法等教学方法，激发学生的学习兴趣，提高教学效果。

六. 教学准备1.准备相关的实际问题，用于引导学生进行列方程（组）解应用题的练习。

2.准备多媒体教学设备，用于展示实际问题和教学案例。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生思考如何运用数学知识解决实际问题。

例题：某商店举行打折活动，原价为100元的商品打8折，问打折后顾客实际支付的价格是多少？2.呈现（10分钟）教师展示几个类似的实际问题，让学生尝试自己解决。

在学生解答过程中，教师进行引导和指导，帮助学生掌握列方程（组）解应用题的方法。

问题1：一件衣服原价为80元，现在打9折出售，求打折后的价格。

2上海沪教版八年级数学下册代数方程专题复习

代数方程专题复习学员姓名辅导科目数学教师年级八升九授课日期课次数2课题代数方程专题复习教学目标一、能成功解答整式方程二、通过讲课能找出分式方程的分类用对应方法解题；三、能找出对应无理方程的解法并作答。

重、难点较复杂的解方程题目。

教学内容知识点及例题精讲重点提示与记录一、知识要点 1、整式方程的解法跟的判别式、韦达定理2、可化为一元二次方程的分式方程的解法注意：3、无理方程的解法注意：4、方程组的解法整式方程组分式方程组无理方程组5、方程（组）的应用解题思想二、专题讲解【一元一次方程和一元二次方程的解法】例题用适当的方法解下列方程：（1）（2x+1）2=25 （2）01422=--x x （3）3x 2+8x-1=0 (4) x 2-9x=0【含字母系数的整式方程的解法】例题解下列关于x 的方程（1）(3a-2)x=2（3-x ）（2）bx 2-1=1-x 2（b ≠-1）【特殊的高次方程的解法】（1）二项方程)0,0(0≠≠=+b a b ax n 的解法二项方程的根的情况：对于二项方程)0,0(0≠≠=+b a b ax n ，当n 为奇数时，方程只有且只有一个实数根。

当n 为偶数时，如果0<ab ，那么方程有两个实数根，且这两个实数根互为相反数；如果0>ab ，那么方程没有实数根。

例题判断下列方程是不是二项方程，如果是二项方程，求出它的根。

（1）x 3-64=0 （2）x 4+x=0 （3）x 5= -9 （4）x 3+x=1（2）双二次方程的解法例题判断下列方程是不是双二次方程，如果是，求出它的根： (1)x 4-9x 2+14=0 (2）x 4+10x+25=0 （3）2x 4-7x 3-4=0 (4）x 4+9x 2+20=0（3）因式分解法解高次方程例题解下列方程：（1）2x 3+7x 2-4x=0 （2）x 3-2x 2+x-2=0【可化为一元二次方程的分式方程的解法】 1．适宜用“去分母”的方法的分式方程例题解下列方程601745123542+--=--+-x x x x x2.适宜用“换元法”的分式方程例题解下列方程：（1）061512=+⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x x ；（2）112)1(31)2(82222=+-+-+x x x x x x .【无理方程的解法】1．只有一个含未知数根式的无理方程例题解下列方程：(1)632-=-x x （2）x x =--3232.有两个含未知数根式的无理方程例题解下列方程：（1）01222=+--x x （2）12=-+x x3.适宜用换元法解的无理方程例题解方程 46342222+-=+-x x x x【二元二次方程的解法】常见分类⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅::二型二一型二“二·一”型方程组的解法（1）代入消元法（即代入法）形如⎩⎨⎧=++=+0022ey dxy cx by ax 的方程组（2）逆用根与系数的关系形如⎩⎨⎧==+b xy ay x 的方程组“二·二”型方程组的解法形如⎪⎩⎪⎨⎧=++=++0022f ex dx c bx ax例题分析：例1．解方程组例2．例3．例4． k为何值时，方程组。

沪教版八年级数学寒假班讲义分式方程(解析版)

可化为一元二次方程的分式方程知识结构模块一：分式方程及其解法知识精讲1、分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2、解分式方程的方法通过去分母把分式方程转化为整式方程，再求解．3、增根的概念分式方程在化整式方程求解过程中，整式方程的解如果使得分式方程中的分母为0，那么这个解就是方程的增根．4、解分式方程的一般步骤（1）方程两边都乘以最简公分母，去分母，化成整式方程；（2）解这个整式方程，求出整式方程的根；（3）检验．有两种方法：①将求得的整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0，则这个根为增根，方程无解；如果最简公分母不等于0，则这个根为原方程的根，从而解出原方程的解；②直接代入原方程中，看其是否成立．如果成立，则这个根为原方程的根，从而解出原方程的解；如果不成立，则这个根为增根，方程无解．5、分式方程组的概念由两个或两个以上的分式方程构成的方程组叫做分式方程组．6、解分式方程组的方法找出分式方程组中相同的分式进行换元，将分式方程组转化为整式方程组，解方程组，然后进行检验．【例1】在3253x +=；11(1)(1)432x x ++-=；21x-=；2371x x x ++=-；1(37)x x -中，分式方程有（）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】根据分式方程的定义，分母中含有未知数的方程是分式方程，（1）（2）两个方程分母中不含未知数，（5）不是方程，（3）（4）满足定义，故选B ．【总结】考查分式方程的定义，注意前提是方程，且方程分母中必含有字母．【例2】分式方程2227381x x x x x +=+--的最简公分母是____________．【答案】3x x -．【解析】分式方程中三个分母位置上分别为2x x +，2x x -，21x -，分解因式的结果分别为()1x x +，()1x x -，()()11x x +-，由此可得方程的最简公分母为()()311x x x x x +-=-．【总结】考查分式方程的最简公分母，将每个分母因式分解，取相同因式的最高次数乘积即为分式方程的最简公分母．【例3】直接写出下列分式方程的根：（1）11211x x x -=---：_________________；（2）11111x x x -=---：_________________；（3）2121x x -=-：_________________；（4）2111x x -=-：_________________．【答案】（1）2x =；（2）无解；（3）无解；（4）0x = ．【解析】（1）根据等式性质，两边同时加上分式部分，即得2x =，检验得2x =是原分式方程的根；（2）根据等式性质，两边同时加上分式部分，即得1x =，检验得1x =为方程的增根，即方程无解；（3）约分得12x +=，解得1x =，检验得1x =为方程的增根，即方程无解；例题解析（4）约分得11x +=，解得0x =，检验得0x =是原分式方程的根．【总结】考查根据等式的性质求解简单的分式方程，注意求解结果是否是增根．【例4】用换元法解方程221165380x x x x ⎛⎫⎛⎫+++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设1y x x =+，则方程变为( )A ．265380y y +-=B ．265400y y +-=C ．265260y y +-=D ．265500y y +-=【答案】D【解析】1y x x =+，则有22221122x x y x x ⎛⎫+=+-=- ⎪⎝⎭，原方程即为()2625380y y -+-=，展开整理即为265500y y +-=，故选D ．【总结】考查分式方程中换元法的应用，注意含有未知数部分的恒等变形转化．【例5】解方程：（1）3363142x x -=-+；（2）43252x xx x =++；（3）23312222x x x x x ++=--+-．【答案】（1）123x =，29x =-；（2）10x =，267x =-；（3）无解．【解析】（1）方程两边同乘()()43123x x -+，得()()()()42312831x x x x +--+=-，整理得2325180x x +-=，解得123x =，29x =-，经检验，123x =，29x =-都是原方程的根；（2）方程两边同乘()()3252x x ++，得()()52432x x x x +=+，整理得2760x x +=，解得：10x =，267x =-，经检验，10x =，267x =-都是原方程的根；（3）方程两边同乘()()212x x +-，得()()()63221x x x ++-=+，整理得220x x --=，解得：11x =-，22x =，经检验，11x =-，22x =都是原方程的增根，即原方程无解．【总结】考查分式方程的解法，注意检验所求是否为增根．【例6】解方程：（1）2213211x x x x -=+--；（2）24221422x x x x =++--+；（3）23211214124x x x x++=+--．【答案】（1）13x =-；（2）6x =；（3）54x =．【解析】（1）方程两边同乘21x -，得()221213x x x x +=-+-，整理得23210x x --=，解得：113x =-，21x =，经检验，21x =是原方程的增根，即原方程的根为13x =-；（2）方程两边同乘24x -，得()()2442222x x x x =--++-，整理得24120x x --=，解得：16x =，22x =-，经检验，22x =-是原方程的增根，即原方程的根为6x =；（3）两边同乘()2241x -，得()()()2621421241x x x x -+-+=-，整理得 281450x x -+=，解得：112x =，254x =，经检验，112x =是原方程的增根，即原方程的根为54x =．【总结】考查分式方程的解法，注意检验所求是否为增根．【例7】已知关于x 的方程22312x m x x x +-=-+-有增根，求m 的值．【答案】12m =或3m =．【解析】分式方程两边同乘22x x +-，得()223x m +=-，分式方程有增根，由220x x +-=，解得：11x =，22x =-，即为原分式方程的增根，代入相应整式方程得39m -=或30m -=，解得12m =或3m =．【总结】考查分式方程的增根，代入相应的整式方程可使得方程成立且使得分式分母为0的未知数的值．【例8】已知关于x 的方程7155x m xx x--=---无解，求m 的值．【答案】3m =．【解析】分式方程两边同乘5x -，得()75x x m x -=---，整理解得：2x m =+，因为原分式方程无解，则相应解应为分式方程的增根，即得25x m =+=，解得3m =．【总结】考查分式方程的无解，即由相应整式方程求得的解是分式方程的增根．【例9】已知关于x 的方程301a xx +-=+的根是负数，求a 的取值范围．【答案】3a <且1a ≠．【解析】分式方程两边同乘1x +，得()310a x x +-+=，整理解得：32a x -=，方程的根是负数，则有302a x -=<，得3a <，同时分式方程的根不能为相应增根，即312a x -=≠-，得1a ≠，由此即得3a <且1a ≠．【总结】考查分式方程的解满足条件的求解，注意方程的解不能为相应的增根．【例10】解方程：（1）2220383x x x x+-=+；（2）2191502x x x x ⎛⎫⎛⎫+-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【答案】（1）15x =-，22x =，31x =-，42x =-；（2）11x =，22x =，312x =．【解析】（1）令23x x a +=，原方程即为208a a-=，两边同乘a 整理得28200a a --=，解得：110a =，22a =-；由2310x x +=，解得：15x =-，22x =；由232x x +=-，解得：11x =-，22x =-；经检验，15x =-，22x =，31x =-，42x =-都是原方程的根；（2）令1x a x +=，原方程即为29502a a -+=，解得12a =，252a =；由12x x+=，整理得2210x x -+=，解得：121x x ==；由152x x +=，整理得22520x x -+=，解得12x =，212x =；经检验，11x =，22x =，312x =都是原方程的根．【总结】考查用换元法求解具有特殊形式的分式方程，注意对方法的总结．【例11】解方程：（1）225(16(1)1711x x x x +++=++）；（2）2216104()933x x x x+=-．【答案】（1）1x =，2x ；（2）13x =+，23x =，32x =-，46x =．【解析】（1）令211x a x +=+，原方程即为6517a a+=，两边同乘a 整理得251760a a -+=，解得：125a =，23a =；由21215x x +=+，整理得25230x x -+=，方程无解；由2131x x +=+，整理得2320x x --=，解得：1x =，2x =；经检验，1x 2x = （2）令43x a x -=，则有2222164889333x x a x x ⎛⎫+=-+=+ ⎪⎝⎭，原方程即为281033a a +=，整理得231080a a -+=，解得：12a =，243a =；由423x x-=，整理得26120x x --=，解得：13x =，23x =；由4433x x -=，整理得24120x x --=，解得：12x =-，26x =；经检验，13x =+，23x =-32x =-，46x =都是原方程的根．【总结】考查用换元法求解有特殊形式的分式方程．【例12】解方程组：（1）413538x y x y x y x y ⎧+=⎪+-⎪⎨⎪-=⎪+-⎩；（2）132013251x y x y ⎧+=⎪-⎪⎨⎪-=-⎪-⎩．【答案】（1）01x y =⎧⎨=⎩；（2）565x y =⎧⎪⎨=⎪⎩．【解析】（1）令1a x y =+，1b x y =-，原方程组即为43538a b a b +=⎧⎨-=⎩，解得：11a b =⎧⎨=-⎩，由此可得11x y =+，11x y =--，由此得11x y x y +=⎧⎨-=-⎩，解得：01x y =⎧⎨=⎩，经检验，01x y =⎧⎨=⎩是原分式方程的根；（2）令11a y =-，原方程组即为320235x a x a +=⎧⎨-=-⎩，解得：55x a =⎧⎨=⎩，由此可得：151y =-，解得：65y =， ∴565x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，经检验，565x y =⎧⎪⎨=⎪⎩是原分式方程的根．【总结】考查利用换元法求分式方程组的解，注意解完之后要检验．【例13】解方程组：（1）253489156x x x x +=+++++；（2）11212736x x x x x x ++-=-++++．【答案】（1）16x =，2334x =-；（2） 92x =-．【解析】（1）对分式方程移项通分得()()()()()()()()21538495681569x x x x x x x x +-++-+=++++，展开即得2266231201554x x x x x x -+-+=++++，由此即得60x -+=或22231201554x x x x ++=++，解得：16x =，2334x =-，经检验，16x =，2334x =-都是原分式方程的根；（2）对分式方程变形得1111112736x x x x --=--++++，由此得11112736x x x x +=+++++，两边分别通分即得222929914918x x x x x x ++=++++，两边分母不同，则必有290x +=，解得92x =-，经检验，92x =-是原分式方程的根．【总结】考查特殊形式分式方程的解法，注意相应分母的关系，分组两边分别通分计算．【例14】解方程：226205x x +-=+．【答案】11x =，21x =-．【解析】令25x a +=，则有25x a =-，原方程即为6520a a+--=，两边同乘a 整理，得2760a a -+=，解得：11a =，26a =；由251x +=，方程无解；由256x +=，解得：11x =，21x =-；经检验，11x =，21x =-都是原方程的根．【总结】考查用换元法解分式方程，注意取值范围和增根．【例15】a 为何值时，关于x 的方程211a a x +=+无解? 【答案】12a =-或0a =．【解析】分式方程两边同乘1x +，得：()211a a x +=+，展开移项得1ax a =+，当0a =时，方程无解；当0a ≠时，1a x a +=，方程无解，即得11a x a+==-，解得12a =-；综上，12a =-或0a =．【总结】考查分式方程的无解，即由相应整式方程求得的解是分式方程的增根，注意考虑未知项系数为0的情况．【例16】已知关于x 的方程222022x x x k x x x x-+++=--只有一个解，求k 的值及这个解．【答案】72k =-时，1212x x ==或4k =-时，1x =或8k =-时，1x =-．【解析】方程两边同乘22x x -，得()22220x x x k +-++=，展开整理得：22240x x k -++=，分式方程可能产生增根，即当相应整式方程有两解时，分式方程仅有一解，由此需进行分类讨论：①当整式方程有两相等实数根时，()()224240k ∆=--⨯+=，解得：72k =-，此时方程为212202x x -+=，解得：1212x x ==，此时分式方程只有一个解，符合题意； ②当整式方程有一根为分式方程增根0x =时，此时有40k +=，解得：4k =-，此时方程为2220x x -=，解得：10x =，21x =，此时分式方程只有一个解1x =，符合题意；③当整式方程有一根为分式方程增根2x =时，此时有2222240k ⨯-⨯++=，解得：8k =-，此时方程为22240x x --=，解得：12x =，21x =-，此时分式方程只有一个解1x =-，符合题意；综上，72k =-或4k =-或8k =-．【总结】考查分式方程只有一个解的情况，方程为二次方程时，注意包含方程有一个根为分式方程的增根的情形．【例17】解关于x 的方程：22112()3()1x x x x+-+= 【答案】12x =，212x =．【解析】令1x a x +=，则有22221122x x a x x ⎛⎫+=+-=- ⎪⎝⎭，原方程即为()22231a a --=，展开整理得22350a a --=，解得：11a =-，252a =；由11x x+=-，整理得210x x ++=，方程无解；由152x x +=，整理得22520x x -+=，解得：12x =，212x =；经检验，12x =，212x =都是原方程的根．【总结】考查用换元法求解有特殊形式的分式方程，注意解完之后进行检验．【例18】解关于x 的方程()()450b x a xa b b x a x+-=-+≠+-．【答案】12a b x -=，245a bx -=．【解析】令a x kb x -=+，原方程即为45k k=-，两边同乘k 整理，得2540k k -+=，解得：11k =，24k =；由1a x b x -=+，又0a b +≠，可解得：2a bx -=；由4a x b x -=+，又0a b +≠，可解得：45a bx -=；经检验，12a b x -=，245a bx -=都是原方程的根．【总结】考查用换元法求解有特殊形式的分式方程．【例19】已知方程22222(1)21()x ax a a x a +-++=+有实数根，求实数a 的取值范围．【答案】1122a -≤≤且0a ≠．【解析】展开得()()22222222121x a x a ax a a x a +--+++=+，根据等式性质移项得()()222220x ax a ax x a +-+=+，即为()20x a x a x a ⎡⎤+-=⎢⎥+⎣⎦，由此得()0x a x a x a +-=+，移项得()2a x a x +=，展开整理得()223210ax a x a +-+=，当0a =时，方程有实数根0x =是分式方程的增根，应舍去；当0a ≠时，方程为一元二次方程，此时根据韦达定理可得2122112a x x a a a-+=-=-，可知1x 、2x 不可能同时为a -，分式方程有实数根，则相应的整式方程应满足()2232214410a a a a ∆=--⋅=-+≥，得1122a -≤≤；综上，实数a 的取值范围为：1122a -≤≤且0a ≠．【总结】考查分式方程有实数根的情形，对分式方程整理变形满足相应的条件即可．1、列方程（组）解应用题时，如何找“相等关系” （1）利用题目中的关键语句寻找相等关系；（2）利用公式、定理寻找相等关系；（3）从生活、生产实际经验中寻找相等关系．【例20】要在规定日期内完成一项工程，如甲队单独做，刚好按期完成；如乙队单独做，则要超过规定时间3天才能完成；甲、乙两队合作2天，剩下的工程由乙队单独做，则刚好按期完成.那么求规定日期为x 天的方程是（）． A ．2213x x x -+=+B ．233x x =+ C ．2213x x x ++=+D ．213xx x +=+ 【答案】D【解析】设工作总量为“1”，则甲工作量+乙工作量=1，根据工作总量=工作效率×工作天数，乙工作天数为x 天，由此可知选D ．【总结】考查工程问题中的单位“1”，注意分清对应的工作效率和工作时间．【例21】某车间加工300个零件，在加工80个以后，改进了操作方法，每天能多加工15 个，一共用6天完成了任务.如果设改进操作后每天加工x 个零件，那么下列根据题意列出的方程中，错误的是（）A ．8030080615x x -+=-B ．30080615x -=-C ．80(6)8030015x x -+=-D ．8015300806x x-=--【答案】B例题解析知识精讲模块二分式方程应用题【解析】略【总结】考查根据题意列方程的应用，根据工作量和工作效率、工作时间之间的相互关系进行列方程的应用．【例22】甲、乙两个工程队合做一项工程，6天可以完成．如果单独工作，甲队比乙队少用5天完成．两队单独工作各需多少天完成?【答案】甲单独需10天完成，乙单独需15天完成．【解析】设甲单独需用x 天完成，则乙单独需用()5x +天完成，依题意可得11615x x ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭，整理得27300x x --=，解得：13x =-，210x =，经检验，13x =-，210x =都是原方程的根，但13x =-不合题意应舍去，即得10x =，即甲单独需10天完成，乙单独需10515+=天完成．【总结】考查工程问题中的列方程解应用题，把工作总量当作单位“1”解题．【例23】登山比赛时，小明上山时的速度为a 米/分，下山的速度是b 米/分，已知上山和下山的路径是一样的，求小明在全程中的平均速度?【答案】2aba b+．【解析】设小明上山的路程为sm ，则整个过程中小明总行程为2sm ，根据平均速度=总行程÷总时间，即得平均速度22s abv s s a ba b==++．【总结】考查平均速度的求取，平均速度==总行程÷总时间，与行程远近无关，注意平均速度的求法．【例24】甲、乙两人分别从相距9千米的A 、B 两地同时出发，相向而行，1小时后相遇．相遇后，各自继续以原有的速度前进，已知甲到B 地比乙到A 地早27分钟，求两人的速度各是多少?【答案】甲速度为5/km h ，乙速度为4/km h ．【解析】设甲速度为/xkm h ，则乙速度为()9/x km h -，927min 20h =，依题意可得999920x x-=-，整理得2311800x x+-=，解得：136x=-，25x=，经检验，136x=-，25x=都是原方程的根，但136x=-不合题意应舍去，即得5x=，即甲速度为5/km h，乙速度为954/km h-=．【总结】考查行程问题中的列方程解应用题，根据相遇问题的基本关系一个条件作设一个条件列式进行求解．【例25】甲、乙两辆车同时从A地出发开往距A地240千米的B地，结果甲车比乙车早到了60分钟；第二次，乙车提速30千米/时，结果比甲车早到了20分钟，求第一次甲、乙两车的速度各是多少?【答案】甲速度为80/km h，乙速度为60/km h．【解析】设甲车xh到达B地，60min1h=，120min3h=，依题意可得24024030113xx-=+-，整理得232330x x+-=，解得1113x=-，23x=，经检验，111 3x=-，23x=都是原方程的根，但111 3x=-不合题意应舍去，即得3x=，可得甲速度为24080/3km h=，乙速度为24060/31km h=+．【总结】考查行程问题中的列方程解应用题，根据行程问题的基本等量关系一个条件作设一个条件列式进行求解，注意本题中用时间作设速度列式解题更方便．【例26】某服装厂接到一宗生产13万套衣服的业务，在生产了4万套后，接到了买方急需货物的通知，为满足买方的要求，该厂改进了操作方法，每月能多生产1万套，一共5个月完成了这宗业务．求改进操作方案后每月能生产多少万套衣服?【答案】3万套．【解析】设改进操作方案后每月能生产x万套衣服，则改进之前每月生产()1x-万套，依题意可得413451x x-+=-，整理得251890x x-+=，解得：135x=，23x=，经检验，13 5x=，23x=都是原方程的根，但13 5x=不合题意应舍去，即得：3x=，即改进操作方案后每月能生产3万套衣服．【总结】考查工作总量问题，一个条件作设一个条件列式进行求解．【习题1】已知方程：（1）2412x x -=-；（2）221x x =-；（3）11x x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭；（4）232x x -=，其中是分式方程的有_____________．【答案】（1）、（2）、（3）．【解析】根据分式方程的定义，分母中含有未知数的方程是分式方程，（1）、（2）、（3）满足条件，（4）方程中不含有分式，故答案为（1）、（2）、（3）．【总结】考查分式方程的定义，注意前提是方程，且方程分母中必含有字母．【习题2】当x 取何值时，分式方程1112x x x +=--的最简公分母的值等于0? 【答案】1x =或2x =．【解析】分式方程的最简公分母为()()12x x --，最简公分母值为0，即()()120x x --=，解得：1x =或2x =．【总结】考查分式方程的最简公分母，将每个分母因式分解，取相同因式的最高次数乘积即为分式方程的最简公分母．【习题3】分式方程22228(2)331112x x x x x x +-+=-+，如果设2221x xy x +=-，那么原方程可以化为关于y 的整式方程为．【答案】281130y y -+=．【解析】2221x x y x +=-，则有22112x x x y -=+，原方程即为3811y y +=，整理化作关于y 的整式方程即为281130y y -+=．【总结】考查利用换元法对复杂形式的分式方程进行转化，注意最终要化成整式方程的形式．随堂检测【习题4】解方程：（1）26531111x x x x =++--+；（2）22161242x x x x +-=--+；（3）243455121760x x x x x x --+=---+．【答案】（1）9x =；（2）5x =-；（3）12x =，29x =．【解析】（1）方程两边同乘21x -，得()()2615131x x x x =--++-，整理得2890x x --=，解得：11x =-，29x =，经检验，11x =-是原方程的增根，即原方程的根为9x =；（2）方程两边同乘24x -，得()22162x x +-=-，整理得23100x x +-=，解得：12x =，25x =-，经检验，12x =是原方程的增根，即原方程的根为5x =-；（3）两边同乘21760x x -+，得()()()4123545x x x x ----=-，整理得211180x x -+=，解得“”12x =，29x =，经检验，12x =，29x =都是原方程的根．【总结】考查分式方程的解法，注意检验所求是否为增根．【习题5】解方程：221313x x x x ++=+．【答案】11x =，21x = 【解析】令1x a x =+，原方程即为2133a a +=，整理即为231060a a -+=，解得：1a =2a =由1x x =+，解得：1x =- 由1x x =+，解得：1x =经检验11x =，21x =都是原分式方程的根．【总结】考查利用换元法解分式方程．【习题6】解方程组311332412463324x y x y x y y x ⎧+=⎪+-⎪⎨⎪-=⎪+-⎩【答案】1011711x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．【解析】令132a x y =+，14b x y =-，原方程组即为13312463a b a b ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得：1413a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，由此可得113241143x y x y ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪-⎩，去分母得32443x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得：1011711x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，经检验，1011711x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩是原分式方程的根．【总结】考查用换元法解有特殊形式的分式方程组，注意验根．【习题7】若分式方程22111x m x x x x x++-=++产生增根，求m 的值．【答案】2m =-或1m =．【解析】方程两边同乘2x x +，得()()22211x m x -+=+，展开整理得2220x x m ---=，分式方程产生增根，即当相应整式方程有两解时，分式方程仅有一解，由此需进行分类讨论：①整式方程有一根为分式方程增根0x =时，此时有20m --=，解得：2m =-； ②整式方程有一根为分式方程增根1x =-时，此时有()()212120m --⨯---=，解得：1m =；综上，2m =-或1m =．【总结】考查分式方程有增根的情况，即对应的整式方程有一个根为分式方程的增根．【习题8】甲、乙两地间铁路长400千米，现将火车的行驶速度每小时比原来提高了45千米，因此，火车由甲地到乙地的行驶时间缩短了2小时．求火车原来的速度．【答案】75/km h ．【解析】设火车原来的速度为/xkm h ，依题意可得400400245x x -=+，整理得24590000x x +-=，解得：1120x =-，275x =，经检验，1120x =-，275x =都是原方程的根，但1120x =-不合题意应舍去，即得75x =，即可得火车原来速度为75/km h ．【总结】考查行程问题中的列方程解应用题，根据行程问题的基本等量关系一个条件作设一个条件列式进行求解．【习题9】某市为了美化环境，计划在一定的时间内完成绿化面积200万亩的任务，后来市政府调整了原定计划，不但绿化面积要在原计划的基础上增加20%，而且要提前1年完成任务．经测算，要完成新的计划，平均每年的绿化面积必须比原计划多20万亩，求原计划平均每年的绿化面积．【答案】原计划平均每年绿化面积40万亩．【解析】设原计划平均每年的绿化面积为x 万亩，则新计划每年()20x +万亩，依题意可得()200120%200120x x ⨯+-=+，整理得26040000x x +-=，解得：1100x =-，240x =，经检验，1100x =-，240x =都是原方程的根，但1100x =-不合题意应舍去，即得40x =，即原计划平均每年的绿化面积为40万亩．【总结】考查工作量的问题，根据相应的等量关系式列方程求解．【习题10】解方程：221114(4)12()12433x x x -=-++．【答案】11x =21x =，33x =+43x =【解析】方程两边同乘12展开得22364881616x x x x-+=--+，根据等式的性质移项变形得2668120x x x x ⎛⎫⎛⎫---+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因式分解得：66260x x x x ⎛⎫⎛⎫----= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，由此可得620x x --=或660x x --=；由620x x--=，整理得2260x x --=，解得：11x =+21x =由660x x--=，整理得2660x x --=，解得：13x =+23x =经检验，11x =+，21x =-33x =，43x =- 【总结】考查用整体思想先对分式方程变形，然后求解分式方程的根，注意对方法的总结．【习题11】解方程：596841922119968x x x x x x x x ----+=+----．【答案】12314x =．【解析】对分式方程变形得1155514219968x x x x -++=++-----，根据等式的性质可变形得115519986x x x x -=-----，两边分别通分即得221010281711448x x x x =-+-+，由此可得22281711448x x x x -+=-+，解得：12314x =，经检验，12314x =是原分式方程的根．【总结】考查特殊形式分式方程的解法，注意相应分母的关系，分组两边分别通分计算．【习题12】已知关于x 的方程21221232a a x x x x ++=---+有增根，求a ．【答案】32a =-或2a =-．【解析】方程两边同乘232x x -+，得()2122x a x a -+-=+，展开整理得()134a x a +=+，当10a +≠，即1a ≠-时，得341a x a +=+，分式方程可能产生增根，由此进行分类讨论： ①整式方程根为分式方程增根1x =时，此时有3411a a +=+，解得32a =-； ②整式方程有一根为分式方程增根2x =时，此时有3421a a +=+，解得2a =-；综上，32a =-或2a =-．【总结】考查分式方程有增根的情况，即对应的整式方程根为分式方程的增根．【习题13】已知：关于x 的方程227()72120a ax x a x x+--++=只有一个实数根，求a ．【答案】94a =或4a =．【解析】整理原方程得27120a a x x x x ⎛⎫⎛⎫+-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因式分解得340a a x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，由此可得30a x x +-=或40ax x+-=，分别整理得：230x x a -+=和240x x a -+=，两方程根的判别式分别为194a ∆=-，2164a ∆=-．因为方程仅有一实数根，所以940a -=或1640a -=，解得：94a =或4a =．【总结】考查分式方程的根与对应整式方程的根相结合的问题，根据实际题目进行问题的分析转化，解决问题．【作业1】下列哪个分式方程（）的根是2x =.A ．2321x x -=+ B ．3221x x-=+ C ．3101x -=+ D ．222x x x =-- 课后作业【答案】C【解析】根据分式方程解的定义，代入C 选项使得方程左右两边相等且有意义，故选C ．【总结】考查分式方程的解，代入使得分式方程左右两边相等即可．【作业2】用换元法解方程组56111211x y xy ⎧-=⎪+⎪⎨⎪=-⎪+⎩时，如果设___________=u ，___________=v ，那么原方程组可以化为二元一次方程组____________________．【答案】1x ，11y +，56112u v u v -=⎧⎨=-⎩．【解析】略【总结】考查用换元法对有特殊形式的分式方程组换元．【作业3】已知方程22113()()40x x x x +++-=，若设1x y x+=，则原方程化为（）．A ．23540y y +-=B ．23100y y +-=；C ．23520y y -+=D ．23520y y ++=【答案】B【解析】由1x y x +=，则有22221122x x y x x ⎛⎫+=+-=- ⎪⎝⎭，原方程即为()23240y y -+-=，展开整理即为23100y y +-=，故选B ．【总结】考查用换元法对有特殊形式的分式方程进行转化求解．【作业4】如果24410x x -+=，那么2x的值是．【答案】1．【解析】分解因式得2210x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，由此得210x -=，得：21x =．【总结】考查利用因式分解整体思想解分式方程．【作业5】解方程：（1）21421242x x x x++=+--；（2）2154111x x x x --=+--．【答案】（1）1x =；（2）2x =-．【解析】（1）方程两边同乘24x -，得()()224224x x x x -+-+=-，整理得：2320x x -+=，解得：11x =，22x =，经检验，22x =是原方程的增根，即原方程的根为1x =；（2）方程两边同乘21x -，得()()21514x x -++=，整理得2320x x ++=，解得：11x =-，22x =-，经检验，11x =-是原方程的增根，即原方程的根为2x =-．【总结】考查分式方程的解法，注意检验所求是否为增根．【作业6】解方程：（1）223121x x x x +-=+；（2）2322x x x x --=-．【答案】（1）1x =，2x =2）11x =-，21x =．【解析】（1）令21x a x =+，原方程即为132a a-=，两边同乘a 整理得23210a a --=，解得：113a =-，21a =；由2113x x =-+，整理得2310x x ++=，方程无解；由211x x =+，整理得210x x --=，解得：1x =，2x =经检验，1x =，2x =（2）令2xax-=，原方程即为32aa-=，两边同乘a整理得2230a a--=，解得：13a=，21a=-；由23xx-=，解得1x=-；由21xx-=-，解得1x=；经检验，11x=-，21x=都是原方程的根．【总结】考查用换元法求解有特殊形式的分式方程．【作业7】解下列方程组：（1）22125134x yx y⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩；（2）53327235572x yy x⎧+=⎪+-⎪⎨⎪+=⎪-+⎩．【答案】（1）612xy=⎧⎨=⎩；（2）613377xy⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．【解析】（1）令1ax=，1by=，原方程组即为1222354a ba b⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得：16112ab⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，由此可得1161112xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得：612xy=⎧⎨=⎩，经检验，612xy=⎧⎨=⎩是原分式方程的根；（2）令12ax=+，17by=-，原方程组即为3532355a bb a⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩，解得：1320712ab⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，由此可得11322017712xy⎧=⎪+⎪⎨⎪=-⎪-⎩，即得202131277xy⎧+=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，解得：613377xy⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，经检验，613377xy⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩是原分式方程的根．【总结】考查利用换元法解分式方程组，注意解完后要检验．【作业8】当m 为何值时，关于x 的方程22111x m x x x x --=+--无实根？【答案】74m <或2m =．【解析】方程两边同乘2x x -，得()()221x x m x x x ---=-+，展开整理得220x x m -+-=，因为分式方程无实根，即整式方程无实数根或方程两根都为分式方程的增根，由此进行分类讨论：①整式方程没有实数根时，()()21420m ∆=---<，解得：74m <； ②整式方程两根分别为10x =和21x =时，此时有20m -=，解得：2m =；综上，74m <或2m =．【总结】考查分式方程没有实根的情况，方程为二次方程时，注意包含方程两根都为分式方程的增根的情形．【作业9】甲、乙两艘旅游客轮同时从台湾某港出发来厦门．甲沿直线航行180海里到达厦门，乙沿原来航线绕道香港后来厦门共航行720海里，结果比甲晚20小时到达厦门，已知乙速比甲速每小时快6海里，求甲客轮的速度．（其中两客轮的速度都大于16海里 /小时）【答案】甲客轮速度为18海里/h ，乙客轮速度为24海里/h ．【解析】设甲客轮速度为x 海里/h ，则乙客轮速度为()6x +海里/h ，依题意可得720180206x x-=+，整理得221540x x -+=，解得：13x =，218x =，经检验，13x =，218x =都是原方程的根，但13x =不合题意应舍去，即得18x =，即甲客轮速度为18海里/h ，乙速度为18624+=海里/h ．【总结】考查行程问题中的列方程解应用题，根据相遇问题的基本关系一个条件作设一个条件列式进行求解．【作业10】如图所示，A B 、两港中间有C D 、两岛，AB AC AD 、、的距离分别为72海里，18海里，27海里，有甲、乙两艘军舰分别从A B 、两港同时出发，水流由A 流到B ，流速为2海里/时，第一次任务是到达C 岛，甲比乙早到2小时；第二次任务是到达D 岛，甲又比乙早到1小时．求甲、乙在静水中的速度．【答案】甲在静水中的速度为16海里/h ，乙在静水中的速度为20海里/h ．【解析】设甲在静水中的速度为x 海里/h ，乙在静水中的速度为y 海里/h ，依题意可得721818222722727122y x y x -⎧-=⎪-+⎪⎨-⎪-=⎪-+⎩，令12a y =-，12b x =+，原方程组即为5418245271a b a b -=⎧⎨-=⎩，解得：118118a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，由此可得1121811218y x ⎧=⎪-⎪⎨⎪=⎪+⎩，由此得218218y x -=⎧⎨+=⎩，解得1620x y =⎧⎨=⎩，经检验，1620x y =⎧⎨=⎩是原分式方程的根，且符合题意，即甲在静水中速度为16海里/h ，乙在静水中速度为20海里/h ．【作业11】解方程：11111726x x x x +=+----．【答案】4x =．【解析】对分式方程两边分别通分即得22282887812x x x x x x --=-+-+，两边分母不同，则必有280x -=，解得：4x =，经检验，4x =是原分式方程的根．【总结】考查特殊形式分式方程的解法，注意相应分母的关系，分组两边分别通分计算，解完后注意要检验．【作业12】若关于x 的方程22111x m x x x x --=+--无实数根，求m 的取值．【答案】74m <或2m =．【解析】去分母，得：22(1)()x x m x x x ---=-+，化简，得：220x x m --+=，因为原方程无实数根，所以0<或者是所求得的解为原方程的增根，当0<时，即14(2)470m m --+=-<，解得：74m <．当0x =时，2m =；当1x =时，2m =．综上，当原方程无实数解时，74m <或2m =．【总结】本题主要考查了对分式方程无解的理解，注意分情况讨论．。

《21.7列方程(组)解应用题》作业设计方案-初中数学沪教版上海八年级第二学期

《列方程（组）解应用题》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本课作业的目标是让学生能够：1. 掌握列方程（组）的基本方法和步骤。

2. 学会从实际问题中抽象出数学关系，并建立相应的方程（组）。

3. 培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。

二、作业内容本课作业内容主要包括以下几个方面：1. 基础练习：提供简单的应用题，要求学生根据题意列出方程（组），并尝试求解。

2. 实例分析：选取几个典型的应用题，详细讲解如何从实际问题中找出等量关系，列出方程（组），并求解。

3. 拓展应用：设计一些稍微复杂的应用题，要求学生运用所学知识，独立完成列方程（组）和解答过程。

三、作业要求1. 学生需认真审题，准确理解题意，从实际问题中找出等量关系。

2. 学生需按照列方程（组）的基本步骤，将实际问题转化为数学表达式。

3. 解题过程中，要求学生注意单位换算和数值计算，确保答案的准确性。

4. 作业需独立完成，不得抄袭他人答案或参考未经许可的资料。

5. 作业需按时提交，按照教师的要求进行格式排版和书写。

四、作业评价1. 教师将根据学生列方程（组）的准确性、解题思路的清晰度以及答案的正确性进行评价。

2. 对于基础练习部分，教师将重点关注学生是否能够正确理解题意，并准确列出方程（组）。

3. 在实例分析和拓展应用部分，教师将评价学生是否能够灵活运用所学知识，解决稍复杂的问题。

4. 教师将根据学生的作业情况，给予相应的反馈和指导，帮助学生改进学习方法，提高解题能力。

五、作业反馈1. 教师将对每位学生的作业进行详细批改，指出错误和不足，并提供正确的解题方法和思路。

2. 对于共性问题，教师将在课堂上进行讲解和示范，帮助学生掌握解题技巧。

3. 教师将鼓励学生相互交流和学习，取长补短，共同进步。

4. 作业反馈将作为学生学习进度和效果的重要依据，为后续教学提供参考。

通过以上就是本课初中数学课程《列方程（组）解应用题》的作业设计方案。

通过这样的作业设计，旨在让学生在掌握列方程（组）基本方法和步骤的同时，能够从实际问题中抽象出数学关系，并运用所学知识解决实际问题，提高学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。

第6讲列方程解应用题(练习)解析版

第6讲列方程解应用题（练习）夯实基础一、单选题1．（2020·上海市第二工业大学附属龚路中学八年级期中）受疫情影响某厂今年第一季度的产值只有200万元，为帮助企业渡过难关，政府出台了很多帮扶政策，在当地政府的暖心相助下，该厂第三季度的总产值提高到500万元．若平均每季度的增产率是x ，则可以列方程（）A ．()20012500+=xB ．()50012200-=xC ．D ．【答案】C【分析】若平均每季度的增产率是x ，经过两次增长后应该为()22001x +，建立方程即可．【详解】解：若平均每季度的增产率是x ，则可以列方程故本题选择C【点睛】本题是一元二次方程的应用问题当中的变化率问题，解题时找到等量关系是关键．2．（2020·上海市静安区实验中学）甲、乙两列车分别从相距300千米的A 、B 两站同时出发相向而行．相遇后，甲车再经过2小时到达B 站，乙车再经过4小时30分到达A 站，求甲、乙两车的速度．若设甲、乙两车的速度分别为x 千米/时和y 千米/时，根据题意列方程组是（） A ． B ．C ．D ．【答案】A【分析】设甲、乙两车的速度分别为x千米/时和y千米/时，根据相遇后从行驶的路程之和等于总距离和相遇时时间相同列出二元一次方程组即可．【详解】设甲、乙两车的速度分别为x千米/时和y千米/时，依题意得故选A．【点睛】此题主要考查二元一次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系列方程．3．（2019·上海浦东新区·八年级期末）某特快列车在最近一次的铁路大提速后，时速提高了30千米/小时，则该列车行驶350千米所用的时间比原来少用1小时，若该列车提速前的速度是x千米/小时，下列所列方程正确的是()A．B．C．D．【答案】B【分析】根据题意可得等量关系为原来走350千米所用的时间提速后走350千米所用的时间，根据等量关系列式即可判断．【详解】解：原来走350千米所用的时间为，现在走350千米所用的时间为：，所以可列方程为：.故选：B．【点睛】本题考查分式方程的实际应用，根据题意找到提速前和提速后所用时间的等量关系是解决本题的关键．4．（2020·上海市静安区实验中学）为执行“两免一补”政策，某地区2010年投入教育经费2500万元，预计2011年、2012年两年共投入5775万元．设这两年投入教育经费的年平均增长百分率为x，则下面列出的方程正确的是（）A ．225005775x =B ．()200250015775x +=C ．()2250015775x += D ．【答案】D【分析】根据题意，该地区投入教育经费的年平均增长百分率为x ，由2010年的2500万元，得出2011年的经费投入和2012年的经费投入，两年共投入5775万元，列出方程式即可．【详解】该地区教育经费的年平均增长率为x ，则可以列方程为，故选：D ．【点睛】本题考查了方程的实际应用问题，结合年增长率找出等量关系列方程，注意年增长率和年数的关系．5．（2019·上海市田林第三中学）某工厂一月份的产值是100万元，之后每月产值的平均增长率是x,已知第一季度的总产值是331万元，为了求出x,下列方程正确的是（） A ．100(x+1)²=331 B ．100(x+1)3=331C ．100+100(x+1)²=331D ．100+100(x+1)+100(x+1)²=331【答案】D【分析】等量关系为：第一季度的产值y=一月份的产值+二月份的产值+三月份的产值，把相关数值代入即可．【详解】∵一月份的产值为100万元，平均每月增长率为x ， ∴二月份的产值为100×(1+x)，∴三月份的产值为100×(1+x)×(1+x)= 100(x+1)²，第一季度为：100+100(x+1)+100(x+1)²=331.故选D.【点睛】此题考查由实际问题抽象出一元二次方程，将通过集中理解题意找出等量关系. 6．（2019·上海市闵行区七宝第二中学）一列火车到某站已经晚点8分钟，如果将速度每小时加快10千米，那么继续行驶30千米便可以在下一站正点到达，设火车原来行驶的速度是x千米/小时，求火车原来行驶的速度是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】设火车原来行驶的速度是x千米/小时，根据时间的等量关系列方程即可.【详解】解：设火车原来行驶的速度是x千米/小时，由题意得：，故选B.【点睛】本题主要考查用分式方程解决行程问题，得到时间的等量关系是解决本题的关键.二、填空题7．（2019·上海市鲁迅初级中学八年级月考）某商场八月份的营业额是100万元，预计十月份的营业额可达到144万元，若九、十月份营业额的月增长率相同为x，那么由题意可列得方程为_______________________【答案】【分析】根据增长后的量=增长前的量×（1+增长率）n，如果平均每月的增长率为x，根据题意即可列出方程．【详解】解：设平均每月的增长率为x，则九月份的营业额为100（1+x），十月份的营业额为100（1+x）2，由此列出方程：100（1+x）2=144．故答案为【点睛】本题主要考查从实际问题中抽象出一元二次方程，掌握复利公式：“a（1+x）n=b”，理解公式是解决本题的关键．8．（2018·上海普陀区·八年级期末）如图，在长为32米、宽为20米的长方形绿地内，修筑两条同样宽且分别平行于长方形相邻两边的道路，把绿地分成4块，这4块绿地的总面积为540平方米．如果设道路宽为x米，由题意所列出关于x的方程是_____．【答案】（32﹣x）（20﹣x）=540．【分析】本题可设道路宽为x米，利用平移把不规则的图形变为规则图形，如此一来，所有草坪面积之和就变为了（32-x）（20-x）米2，进而即可列出方程，求出答案．【详解】利用平移,原图可转化为右图,设道路宽为x米,根据题意得：(32−x) (20−x) =540，【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，可将草坪面积看作一整块的矩形的面积，根据矩形面积=长×宽求解．9．（2018·上海松江区·八年级期末）节能减排，让天更蓝、水更清.已知某企业2015年单位GDP的能耗约为2.5万吨标煤，2017年的能耗降为1.6万吨标煤.如果这两年该企业单位GDP的能耗每年较上一年下降的百分比相同，那么这个相同的百分比是____________．【答案】20%【分析】2017年单位GDP的能耗=2015年单位GDP的能耗×（1-年下降的百分比）2，把相关数值代入即可．【详解】解：设每年比上一年下降的百分比为x，依题意得即所列的方程为2.5（1-x）2=1.6．解，得1120% 5x==，25 4x=（不合题意，舍去）故答案为：20%【点睛】本题考查了从实际问题中抽出一元二次方程，找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．10．（2020·上海市静安区实验中学）甲、乙两施工队共同完成某居民小区绿化改造工程，乙队先单独做2天后，再由甲、乙两队合作，一共用10天就完成了全部工程．已知乙队单独完成此项工程所需天数与甲队单独完成此项工程所需天数之比是4:5，求甲、乙两个施工队单独完成此项工程各需多少天．若设甲队单独完成此项工程需5x天，则根据题意可列方程为_________________．【答案】【分析】求的是工效，工作时间明显，一定是根据工作总量来列等量关系．等量关系为：甲8天的工作总量＋乙10天的工作总量＝1．【详解】设甲施工队单独完成此项工程需5x天，则乙施工队单独完成此项工程需4x天．根据题意得：故答案为：．【点睛】应用题中一般有三个量，求一个量，明显的有一个量，一定是根据另一量来列等量关系的．本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．三、解答题11．（2019·上海市西延安中学）某农场挖一条长480米的渠道，开工后，每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，则原计划每天挖多少米?【答案】40米【分析】设原计划每天挖x米，则开工后每天挖（x+20）米．根据实际比原计划提前4天完成任务，列方程求解．【详解】解：设原计划每天挖x米，则开工后每天挖（x+20）米．，2x+20x-2400=0，（x+60）（x-40）=0，x1=-60，x2=40．经检验，它们都是原方程的根，但x=-60不合题意，应舍去，取x=40．答：原计划每天挖40米．故答案为：40米．【点睛】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．列分式方程解决实际问题的检验分两个方面：①要保证方程有解，②要保证实际问题有意义．12．（2018·上海金山区·八年级期中）为改善生态环境，某村计划在荒坡上种1000棵树．由于青年志愿者的支援，每天比原计划多种10棵，结果提前5天完成任务．原计划每天种多少棵树？【答案】原计划每天种树40棵．【分析】设原计划每天种树x棵，实际每天植树（x+10）棵，根据实际完成的天数比计划少5天为等量关系建立方程，求出其解即可．【详解】解：设原计划每天种x棵，根据题意得21020000+-=．x x140x =，250x =-经检验，140x =，250x =-都是原方程的根，但50x =-不合题意，舍去答：原计划每天种树40棵．【点睛】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键，注意分式方程要进行检验．13．（2019·上海闵行区·八年级期末）今年上海市政府计划年内改造1．8万个分类垃圾箱房，把原有的分类垃圾箱房改造成可以投放“干垃圾、湿垃圾、可回收垃圾、有害垃圾”四类垃圾的新型环保垃圾箱房．环卫局原定每月改造相同数量的分类垃圾箱房，为确保在年底前顺利完成改造任务，环卫局决定每月多改造250个分类垃圾箱房，提前一个月完成任务．求环卫局每个月实际改造分类垃圾箱房的数量．【答案】环卫局每个月实际改造类垃圾箱房2250个．【分析】设原计划每个月改造垃圾房x 万个，然后根据题意列出分式方程，解方程即可得出答案．【详解】设原计划每个月改造垃圾房x 万个，则实际每月改造()0.025x +万个．．化简得：2200590x x +-=．解得：115x =，2940x =-．经检验：115x =，2940x =-是原方程的解．其中115x =符合题意，2940x =-不符合题意舍去．10.0250.2255+=万个，即2250个．答：环卫局每个月实际改造类垃圾箱房2250个．【点睛】本题主要考查分式方程的应用，能够根据题意列出分式方程是解题的关键．14．（2019·上海黄浦区·）学生从学校出发去距离10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，20分钟后，其余同学乘车出发，结果同时到达，已知汽车速度是骑自行车的2倍，求骑自行车的速度．【答案】自行车速度为 15 千米/时【分析】根据题意，找出等量关系即汽车和自行车同时达到，设自信车速度为x千米/时，可列方程：，解方程再检验即可得出答案.【详解】解：设自行车速度为x千米/时，则汽车速度为2x千米/时，20分钟13=小时由题意可得：解得：15x=.经检验15x=是原方程的解且符合题意．答：自行车速度为15千米/时．【点睛】本题考查分式方程的实际应用，根据题意找出等量关系，列出方程是解题关键，注意解分式方程必须要验算，以防出现增根的情况.15．（2020·上海市第二工业大学附属龚路中学八年级期中）将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．(1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?(2)两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗? 若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由．【答案】（1）4，16（2）不能剪成两段使得面积和为12cm2【详解】（1）.设其中一个正方形的边长为xcm，则另一个正方形的边长为(20-4x)÷4=-5x依题意列方程得：x2+（5-x）2=17，解方程得：x1=1，x2=4，两端的铁丝长为4，16.-．（2）.设其中一个正方形的边长为xcm，则另一个正方形的边长为(20-4x)÷4=5x依题意列方程得：x2+（5-x）2=12，x无解，故不能.能力提升一、单选题1．（2020·上海市静安区实验中学）张老师和李老师同时从学校出发，步行15千米去县城购买书籍，张老师比李老师每小时多走1千米，结果比李老师早到半小时，两位老师每小时各走多少千米？设李老师每小时走x千米，依题意，得到的方程是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】设小李每小时走x千米，则小张每小时走（x+1）千米，根据题意可得等量关系：小李所用时间-小张所用时间=半小时，根据等量关系列出方程即可．【详解】解：设小李每小时走x千米，依题意得：故选B ．【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系列出方程．2．（2019·上海市浦东新区进才中学南校）某种产品原来每件价格为875元，经过两次降价，且每次降价的百分率相同，现在每件售价为560元，设每次降价的百分率为x ，依题意可列出关于x 的方程（）A ．B ．()28751-560x =C ．()25601%875x -=D ．【答案】B 【分析】根据降价后的价格＝降价前的价格(1-降价的百分率)，则第一次降价后的价格是，第二次降价后的价格是875，据此可列得方程.【详解】根据降价后的价格＝降价前的价格(1-降价的百分率)，则第一次降价后的价格是，第二次降价后的价格是875，据此可列得方程：.故选B【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键在于分析降价后的价格，要注意降价的基础，难度一般．3．（2019·上海松江区·八年级期末）过元旦了，全班同学每人互发一条祝福短信，共发了380条，设全班有x 名同学，列方程为（）A ．()113802x x -=B ．x （x ﹣1）=380C ．2x （x ﹣1）=380D ．x （x +1）=380 【答案】B【分析】设该班级共有同学x 名，每个人要发（x-1）条短信，根据题意可得等量关系：人数×每个人所发的短信数量=总短信数量．【详解】设全班有x 名同学，由题意得：x （x-1）=380，故选：B ．【点睛】此题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．4．（2019·上海金山区·八年级期中）甲队修路120 m 与乙队修路100 m 所用天数相同，已知甲队比乙队每天多修10 m ，设甲队每天修路xm.依题意，下面所列方程正确的是A ．B ．C ．D ．【答案】A【详解】甲队每天修路xm ，则乙队每天修（x －10）m ，因为甲、乙两队所用的天数相同，所以，.故选A.5．（2019·上海嘉定区·八年级期中）等腰ABC ∆的一边长为4，另外两边的长是关于x 的方程2100x x m -+=的两个实数根，则等腰三角形底边的值是（）A ．4B ．25C ．4或6D ．24或25 【答案】C【分析】分为两种情况：①腰长为4，②底边为4，分别求出即可．【详解】设底边为a ，分为两种情况：①当腰长是4时，则a+4=10，解得：a=6，即此时底边为6，②底边为4，腰长为10÷2=5，即底边长为4或6，故选C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，等腰三角形的性质等知识点，能求出符合的所有情况是解此题的关键．二、填空题6．（2020·上海市静安区实验中学）小王1000元投资理财，他买的股票一年后增值80％，但第二、三年股市低迷出现亏损，第三年后还有资金882元，则这两年的平均亏损率为___________．【答案】30%．【分析】首先求得第一年的钱数，然后利用第二、三年的亏损率相同列出一元二次方程即可．【详解】第二年增值后的钱数为1000（1+80%），设第二、三年的平均亏损率为x，根据题意得，解得x=30%，故答案为：30%．【点睛】本题考查了列一元二次方程求解增长率的问题，注意找到正确的等量关系列出方程式求解．7．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大3，且十位上的数字的平方比个位上的数字小1，设个位上的数字为x，十位上的数字为y，可列方程组________________________．【答案】【分析】等量关系为：个位上的数字比十位上的数字大3，且十位上的数字的平方比个位上的数字小1，根据个位上的数字为x，十位上的数字为y列方程组即可．【详解】∵个位上的数字为x，十位上的数字为y，∴，故答案为.【点睛】本考查列方程组，根据题意找出等量关系是解题的关键．8．（2020·上海市市西初级中学）一种型号的数码相机，原来每台售价5000元，经过两次降价后，现在每台售价为3200元，假设两次降价的百分率均为x，那么可列方程___________.【答案】5000（1-x）2=3200【分析】设两次降价的百分率均为x，根据原来每台售价为5000元，经过两次降价后，现在每台售价为3200元，可列出方程．【详解】解：设两次降价的百分率均为x，5000（1-x）2=3200．故答案为：5000（1-x）2=3200．【点睛】本题考查理解题意的能力，是个增长率问题，根据两次降价前的结果，和现在的价格，可列出方程．9．（2020·上海市风华初级中学八年级月考）某工厂七月份的产值是200万元，计划九月份的产值要达到288元，那么平均每月的增长率是_____.【答案】20%【分析】根据题意，设每月的增长率为x，则九月份的产值为200（1+x）2，根据题意九月份产值为288元，列方程求解即可.【详解】解：设平均每月增长率为x，根据题意得，200（1+x）2=288解得，x1=0.2=20%，x2= -2.2（不符合题意，舍去）即平均每月增长率为20%.故答案为：20%【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用问题，即增长率问题，掌握涨前量和涨后量及增长率之间的关系是解答此题的关键.10．（2020·上海市静安区实验中学）某市为了增强学生体质，开展了乒乓球比赛活动．部分同学进入了半决赛，赛制为单循环式(即每两个选手之间都赛一场)，半决赛共进行了6场，则共有__________人进入半决赛．【答案】4【解析】假设共有 x人进入半决赛．∴12x（x-1）=6，解得：x 1=4，x 2=-3（舍去），答：共有 4人进入半决赛．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意得出方程是解决问题的关键．三、解答题11．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）如图，有两条互相垂直的公路12,l l ，A 厂离公路1l 的距离为2千米，离公路2l 的距离为5千米；B 厂离公路1l 的距离为11千米，离公路2l 的距离为4千米；现在要在公路2l 上建造一仓库P ，使A 厂到P 仓库的距离与B 厂到P 仓库的距离相等，求仓库P 的位置．【答案】仓库P 在公路2l 上，且在公路1l 的右侧，离公路1l 的距离为6千米处.【分析】以直线12,l l 建立直角坐标系，根据题述可得A 厂，B 厂所在点的坐标，再设仓库P 所在点的坐标为(x ,0)，根据“A 厂到P 仓库的距离与B 厂到P 仓库的距离相等”列出方程，求解，根据方程的解可得出仓库P 的位置．【详解】解：12,l l 为两条互相垂直的公路，以12,l l 建立平面直角坐标系，如下图，根据题意可知(2,5),(11,4)A B ,设P(x ,0)，则2222(2)5(11)4x x -+=-+整理得：18108x =，解得6x =．故仓库P 在公路2l 上，且在公路1l 的右侧，离公路1l 的距离为6千米处．【点睛】本题考查两点之间的距离公式．能建立合适的直角坐标系，并根据“A 厂到P 仓库的距离与B 厂到P 仓库的距离相等”列出方程是解决此题的关键．12．（2020·上海市静安区实验中学）前年甲厂全年的产值比乙厂多12万元，在其后的两年内，两个厂的产值都有所增加：甲厂每年的产值比上一年递增10万元，而乙厂每年的产值比上一年增加相同的百分数．去年甲厂全年的产值仍比乙厂多6万元，而今年甲厂全年产值反而比乙厂少3.2万元．前年甲乙两车全年的产值分别是多少？乙厂每年的产值递增的百分数是多少？【答案】前年甲厂全年的产值为92万元，乙厂全年的产值为80万元，乙厂每年的产值递增的百分数是20%．【分析】根据题意，设前年乙厂全年的产值为x万元，乙厂每年比上一年递增的百分数为y，则甲厂前年的产值为（x+12）万元，利用甲厂和乙厂的产值关系列出二元二次方程组，解得即可．【详解】设前年乙厂全年的产值为x万元，乙厂每年比上一年递增的百分数为y，根据题意得解得80+12=92（万元），答：前年甲厂全年的产值为92万元，乙厂全年的产值为80万元，乙厂每年的产值递增的百分数是20%，故答案为：92，80，20%．【点睛】本题考查了方程组的列式求解问题，二元二次方程组的求解，根据等量关系列出方程组是解题的关键．13．（2020·上海市静安区实验中学）A、B两个码头相距6千米,一只船从A出发划船逆流而上用了1小时30分钟到达B．回来时，开始的23路程划船前进，余下的13路程让船顺水漂移到达A地，结果来去所用时间相同．求船在静水中的划行速度和水流速度．【答案】船在静水中的划行速度为6千米/小时，水流速度2千米/小时．【分析】设船在静水中的划行速度为x千米/小时，水流速度y千米/小时，根据题意列出方程组即可求解．【详解】设船在静水中的划行速度为x 千米/小时，水流速度y 千米/小时，根据题意得解得或，经检验，是方程组的解且符合实际，是方程组的解但不符合实际，所以，故船在静水中的划行速度为6千米/小时，水流速度2千米/小时．【点睛】此题主要考查列方程组解应用题，解题的关键是根据题意找到等量关系列出方程求解．14．（2019·上海黄浦区·八年级期中）在行驶完某段全程600千米的高速公路时，李师傅对张师傅说：“你的车速太快了，平均每小时比我多跑20千米，比我少用1.5小时就跑完了全程．”（1）若这段高速公路全程限速120千米/小时，两人全程均匀速行驶．那么张师傅超速了吗？请说明理由；（2）张师傅所行驶的车内油箱余油量y （升）与行驶时间t （时）的函数关系如图所示，则行驶完这段高速公路，他至少需要多少升油？【答案】（1）没超速；理由见解析；（2）他至少需要33升油．【分析】（1）设李师傅的速度为x 千米/小时，则张师傅的速度为()20x +千米/小时，根据题意可以列出相应的分式方程，从而可以解答本题；（2）根据函数图象可以求得张师傅每小时的耗油量，从而可以求得行驶完这段高速公路，他至少需要多少升油．【详解】（1）没超速．设李师傅的速度为x 千米/小时，则张师傅的速度为()20x +千米/小时，，∴22080000x x +-=，∴1100x =-，280x =．经检验1100x =-，280x =都为原方程的实数根，但1100x =-不合题意，舍去， ∴张师傅速度为100千米/小时<120千米/小时，没有超速．（2）∵114482÷=， ∴（升）．答：他至少需要33升油．【点睛】本题考查分式方程的应用、从函数图像读取信息，解答此类问题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，列出相应的分式方程解答问题．15．（2019·上海市敬业初级中学）甲、乙两家体育用品商店出售同样的乒乓球和乒乓拍，乒乓球拍每幅定价20元，乒乓球每盒定价5元，现两家商店搞促销活动．甲店：每买一副球拍送一盒乒乓球；乙店：按定价的8折优惠．某班级需购球拍4副，乒乓球若干盒（不少于4盒）．（1）设购买乒乓球盒数为x （盒），在甲店购买的付款数为1y （元）；在乙店购买的付款数为2y （元），分别写出1y 和2y 与x 的函数关系式，并写出定义域．（2）就乒乓球的盒数讨论去哪家购买合算？【答案】（1），；（2）当x=4时，两家商店一样合算，当4x >时，去乙商店更合算．【分析】（1）根据两家商店的促销方案即可解答；（2）分别当12y y <，12y y =，12y y >时，计算x 的取值范围，即可解答．【详解】解：（1）在甲商店买4副球拍和（x-4）盒乒乓球，∴12045(4)560y x x =⨯+-=+，4x ≥；乙店：按定价的8折优惠，∴2(2045)0.8464y x x =⨯+⨯=+，4x ≥；∴，；（2）当12y y <时，即，解得：4x <，不符合题意；当12y y =时，即560464x x +=+，解得：4x =，当12y y >时，即，解得：4x >，∴当x=4时，两家商店一样合算，当4x >时，去乙商店更合算．【点睛】本题考察了一次函数中的选择方案问题，解题的关键根据题意列出函数关系式．16．（2019·上海市闵行区上虹中学八年级期中）某农场要建一个饲养场（矩形ABCD ）两面靠现有墙（AD 位置的墙最大可用长度为27米，AB 位置的墙最大可用长度为15米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长45米．设饲养场（矩形ABCD ）的一边AB 长为x 米．（1）饲养场另一边BC=____米（用含x 的代数式表示）．（2）若饲养场的面积为180平方米，求x 的值．【答案】（1）48-3x ；（2）10.【分析】（1）用（总长+3个1米的门的宽度）-3x 即为所求；（2）由（1）表示饲养场面积计算即可，【详解】（1）由题意得：（48-3x ）米．故答案是：（48-3x ）；（2）由题意得：x （48-3x ）=180解得x 1=6，x 2=10，，10x ＝【点睛】此题考查一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．17．（2019·上海民办浦东交中初级中学八年级月考）如图所示，在△ABC 中，∠C=90°，AC=6cm ，BC=8cm ，点P 从点A 出发沿边AC 向点C 以1cm/s 的速度移动，点Q 从C 点出发沿CB 边向点B 以2cm/s 的速度移动．（1）如果P 、Q 同时出发，几秒钟后，可使△PCQ 的面积为8cm 2？（2）点P 、Q 在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ 的面积等于△ABC 的面积的一半？【答案】（1）2s 或4s 后可使△PCQ 的面积为8cm 2；（2）不存在使得△PCQ 的面积等于△ABC 的面积的一半的时刻，理由见解析；【分析】（1）设点P 、Q 同时出发，x 秒钟后，AP=xcm ，PC=（6-x ）cm ，CQ=2xcm ，此时△PCQ 的面积为：12×2x （6-x ），令该式=8，由此等量关系列出方程求出符合题意的值；（2）△ABC 的面积的一半等于12×12×AC ×BC=12cm 2，令12×2x （6-x ）=12，判断该方程是否有解，若有解则存在，否则不存在．【详解】（1）设xs 后，可使△PCQ 的面积为8cm 2．由题意得，AP=xcm ，PC=（6-x ）cm ，CQ=2xcm ，则12•(6−x)•2x ＝8．整理，得x 2-6x+8=0，解得x 1=2，x 2=4．所以P 、Q 同时出发，2s 或4s 后可使△PCQ 的面积为8cm 2．（2）由题意得：。

上海教育版数学八下21.5《列方程(组)解应用题》课件4

§21.7 列方程(组) 解应用题
八年级（下）
初中数学课件
复习回忆：
列方程或方程组解应用题的步骤： 1、审题 2、设未知数 3、列方程（方程组） 4、解方程（组） 5、检验 6、答
初中数学课件
例1、一辆汽车，新车购买价20万，第一年使用后折旧20℅，以后该车的年折旧率有所变化。但它在第二、三年的年折旧率相同。已知在第三年年末，这辆车折旧后的价值11.56万元，求这辆车第二、三年的折旧率。等量关系
x5
1
2
经检验：x 5是原方程根且符合题意。
当x 5时，1.2x 6
答：大部队的行进速度为5千米/时，则先遣队的行进速度为6千米/时。
初中数学课件
初中数学课件
例5、有两块正方形的瓷砖，其中小的一块的面积比大的瓷砖面积小40平方分米。已知大瓷砖的边长比小瓷砖的边长长4分米。求
这两块瓷砖的面积分别是多少边？长差是4分米
设小瓷砖的面积为x平方分米，则大瓷砖的面积为（x+40）平方分米。
x+40 x 4
初中数学课件
解：设小瓷砖的面积为x平方分米，则大瓷砖的面积为（x+40）平方分米。
x+40 x 4
解得：x 9
经检验：x 9是原方程符合题意。
当x 9时，x+40=49
解这个方程组，得
｛｛ X=12
X=-24.25
（不合题意，舍去）
y=0.2 y=-2.7
初中数学课件
｛所以 x=12 y=20%
答:四月份生产B型起重机12台,从五月份起A 型起重机的月增长率为20%。
初中数学课件
例题2：
某商场计划销售一批运动衣,能获得利润12000元.经过市场调查后, 进行促销活动,由于降低售价,每套运动衣少获利润10元,但可多销售 400套,结果总利润比计划多4000元. 求实际销售运动衣多少套?每套运动衣实际利润是多少元?

沪教版(上海)数学八年级第二学期-21.7 列方程(组)解应用题(1) 课件

21.7列方程（组）解应用题（1）
复习回顾
列方程（组）解应用题的一般步骤：
1、审题（找等量关系） 2、设元 3、列方程（组） 4、解方程（组） 5、检验并作答
循环问题几何问题百分率问题
循环问题
循环问题
1.某市一次篮球比赛采取主客场制，规定每两支都要在本校和对方学校各进行一场比赛，一共举行了20场比赛，问一共有几支中学生足球队.
循环问题
2.在迎新年联欢活动时，八（3）班的每个同学向本班的其它同学各握一次手.该班级同学共握手55次,问一共有多少位同学参加活动.
几何问题
几何问题
3.为了配合教学的需要，某教具厂的木模车间要制作6个一样大小的正方体模型，准备用一块长9厘米、宽6厘米、高3厘米的长方体木材来下料.经教具生产设计师的精心设计，若不计损耗，则该木材恰好用完，没有剩余.求每个正方体模型的棱长是多少厘米.
则可列出方程
.
百分率问题
6.商场某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了迎接六一，商场决定采取适当降价.经市场调查发现，如果每件童装降价4元，那么平均每天就可多售出8件.要想在销售上平均每天盈利1200元，那么每件童装应降价多少元.
百分率问题
7.某企业准备在三年内将年产值从1000万是多少.
，则可列出方程为
.
旧知回顾
3.近年来全国房价不断上涨，某市2016年房价平均每平方米为6900元，2018年房价平均每平方米为7500元，设这两年该市房价的平均增长率均为x ，
根据题意列出方程
.
旧知回顾
4.2018年10月22日，上证指数为2184点，到2018年10月25日降为2133点，若平均每日指数下降率为x，

沪教版八年级数学-列方程(组)解应用题-学生讲义

明理由。

例5、某采摘农场计划种植A B、两种草莓共6亩，根据表格信息，解答下列问题：（1）若该农场每年草莓全部被采摘的总收入为460000元，那么A B、两种草莓各种多少亩? （2）若要求种植A种草莓的亩数不少于种植B种草莓的一半，那么种植A种草莓多少亩时，可使该农场每年草莓全部被采摘的总收入最多?备选例题例1、（2010，西城，二模）《喜羊羊与灰太狼》是一部中、小学生都喜欢看的动画片，某企业获得了羊公仔和狼公仔的生产专利．该企业每天生产两种公仔共450只，两种公仔的成本和售价如下表所示．如果设每天生产羊公仔x只，每天共获利y元．（1）求出y与x之间的函数关系及自变量x的取值范围；（2）如果该企业每天投入的成本不超过10000元，那么要每天获利最多，应生产羊公仔和4、某电视机厂1999年向国家上缴利税400万元，2001年增加到484万元，则该厂两年上缴利税的平均增长率是。

5、某市对一段全长1500米的道路进行改造．原计划每天修米，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时，每天修路比原计划的2倍还多35米，那么修这条路实际用了天．二、选择题1、某商店经销一种商品，由于进货价降低了5%，售出价不变，使得利润率由m%，提高到(m+6)%（售出价=进货价（1+利润率）），则m的值为（）A.10B.12C.14D.172、某个体商贩一次买卖中同时卖出两件上衣，每件都是以135元出售，若按成本计算，其中一件盈利25%，另一件亏本25%，则在这项买卖中他（）A.不赔不赚B.赚9元C.赔18元D.赚18元3、有含盐75%的盐水500克，要使盐水含盐80%，还需加盐多少克，设还需加盐x克，则所列方程为（）A.500×75%=(500+x) ×80%B.(500+x) ×75%=500×80%C.500(1-75%)=(500+x)(1-80%)D.500×15%=(500+x) ×20%4、为了搞活经济，商场将一种商品A按标价的9折出售，仍可获利润10%，若商品标价为33元，那么该商品进货价为（）A.31元B.30.2元C.29.7元D.27元5、某公司向银行贷款20万元资金，约定两年到期时一次性还本付息，利息是本金的12%，该公司用这笔贷款经营，两年到期时除还清贷款的本金、利息之外，还盈余6.4万元，若经营期间资金增长的百分数相同，则这个百分数为（）A.20%B.10%C.22%D.15%三、解答题1、（2004年）一工厂生产总值在两年内由500万元增加到605万元，那么平均每年增长百分率是多少？2、一辆汽车从A地驶往B地，前路段为普通公路，其余路段为高速公路．已知汽车在普通公路上行驶的速度为60km/h，在高速公路上行驶的速度为100km/h，汽车从A地到B地一共行驶了2.2h．请你根据以上信息，就该汽车行驶的“路程”或“时间”，提出一个用二元一次方程组解决的问题，列出方程组，并写出你求解这个方程组的方法。

沪教版(五四制)八年级数学下册 21.5 列方程(组)解应用题讲义(无答案)

板块一：列整式方程解应用题【例题1】【基础、提高】某商厦今年一月的销售额为60万元，二月份由于经营不善，销售额下降10%，后来改进了管理，大大激发了员工的积极性，月销售销大幅度上升，到四月份销售额猛增到96万元，求三、四月平均每月增长的百分率（精确到0.1%）【尖子】某人将人民币20000元按一年的定期储蓄存入银行，到期后支取10000元作为消费，将剩下的10000元以及所得利息又全部按一年定期再存入银行，若存款利率不变，到期后得本利和共10918元，求一年期定期存款的年利率.【例题2】容器里盛满60升纯酒精，倒出若干升后用水加满，然后倒出比上一次多14升的溶液，再用水加满，如果这时容器里纯酒精和水各一半，问第一次倒出的纯酒精是多少升？第五讲列方程解应用题【例题3】【基础、提高】某商店从厂家以每件21元的价格购进了一批商品，该商店可以自行定价，若每件商品售价为a元，则可卖出（350－10a）元，但物价局限定每件商品加价不能超过进价的20%，商店计划要赚400元，需要卖出多少件商品？每件商品售价多少元？【尖子】求四个连续整数，其中一个数的立方等于其余三个数的立方和.板块二：列分式方程解应用题【例题4】某水果店店主用300元钱以相同的单价购进一批水果，发现其中10千克已烂掉，其余苹果按原价每千克加2元作零售价出售，卖剩20千克后按零售价六折出售，全部卖完后共赚110元，问店主进货时苹果的单价是多少元？【例题5】【基础、提高】甲、乙两人绕湖而行，甲绕湖一周需3时，现两人同时背向出发，乙自遇甲后再行4时才能到达出发点，求乙绕湖一周所需的时间.【尖子】小明和小莉两人分别从甲、乙两地同时出发同向而行，小明经过乙地，再经过3时12分在丙地追上小莉，这时两个所走的路程和为36千米，而甲、丙两地的距离等于小莉走5时的路程，求甲、乙两地距离.【例题6】甲杯中装有含盐20%的盐水40千克，乙杯中装有含盐4%的盐水60千克，现在从甲杯中取出一些盐水放入丙杯，再从乙杯中取出一些盐水放入丁杯，然后将丁杯盐水全部倒入甲杯，把丙杯盐水全部倒入乙杯，结果甲乙两杯成为含盐浓度相同的两杯盐水，若已知从乙杯取出并倒入丁杯的盐水重量是从甲杯取出并倒入丙杯盐水重量的6倍，试确定从甲杯取出倒入丙杯的盐水为多少千克?【例题7】【基础、提高】为加强防汛工作，市工程队准备对苏州河一段长为2240米的河堤进行加固．由于采用新的加固模式，现在计划每天加固的长度比原计划增加了20米，因而完成此段加固工程所需天数将比原计划缩短2天．为进一步缩短该段加固工程的时间，如果要求每天加固224米，那么在现在计划的基础上，每天加固的长度还要再增加多少米？【尖子】今年入夏以来，河北部分地区旱情严重，为了缓解甲、乙两地旱情，某水库计划向甲、乙两地送水．甲地需水量为180万立方米，乙地需水量为120万立方米，现已两次送水：往甲地送水3天，乙地送水2天，共送水84万立方米；往甲地送水2天，乙地送水3天，共送水81万立方米．问：完成往甲地、乙地送水任务还各需多少天？板块三：列无理方程解应用题【例题8】【基础、提高】已知：点P在x轴上，点A（3，1）、点B（0，2），且PA PB+=P 的坐标.【尖子】如图，A、B、C三个村庄在一条东西走向的公路沿线上，AB=2千米，BC=3千米，在B村的正北方向有一个D村，测得∠ADC=45°．将△ADC区域规划为开发区，除其中4平方千米的水塘（阴影部分）外，均作为绿化用地，试求绿化用地的面积是多少平方千米?DC B A【例题9】在△ABC 中，正方形DEFG 的两个顶点E 、F 在BC 边上，另两个顶点D 、G 分别在AB 、AC上，△ADG 和△CFG 的面积均为1，△BDE 的面积为3，求正方形DEFG 的面积.GF E D C B A【例题10】如图，梯子AB 斜靠在墙上，∠ACB =90°，AB =5米，BC =4米，当点B 下滑到点B ′时，点A向左平移到点A ′.设BB ′=x 米（0＜x ＜4），AA ′=y 米．（1）用含x 的代数式表示y ；（2）当x 为何值时，点B 下滑的距离与点A 向左平移的距离相等？BB'A板块四：列方程组解应用题【例题11】今年二月份甲乙两厂的生产总值分别为160万元、150万元，从三月份起，甲、乙两厂每月比上一月各自都增长相同的百分率，结果三月份甲厂的生产总值比乙厂多20万元，四月份甲厂的生产总值比乙厂多34万元，求三月份起甲乙两厂的生产总值的月增长率各是多少？【例题12】【基础、提高】商场计划销售一批运动衣，能获利润12000元，经过市场调查后，进行了促销活动，由于降低了售价，每套运动衣少获利润10元，但是销售数量比计划增加了400套，使得总利润比计划多4000元，实际销售运动衣多少套？每套运动衣的实际利润多少元？【尖子】一个工程队挖通一段隧道要14天，如果增加4名队员，每人每天多工作1时，那么这个工程可以在10天内完成；如果工程队再增加6名队员，每人每天再多工作1时，那么全部工程只需7天就能完成，问工程队原来有队员多少人？原来每人每天工作多少时？【例题13】如图，正方形ABCD 的边长为1，点M 、N 分别在CD 、BC 上，使△CMN 的周长为2，求△MAN的面积的最小值.MN D CB A【练习1】某商场在“五一”节期间实行让利销售，全部商品一律按9折销售，这样每天所获得的利润恰是销售收入的20%，第一天的销售收入是4万元，并且每天的销售收入都有增长，第三天的利润是1.25万元，求（1）第三天的销售收入是多少万元？（2）求第二天和第三天销售收入平均每天的增长率.【练习2】甲、乙两城间的铁路路程为2400千米，经过技术改造，列车实施提速，提速后比提速前速度增加40千米/时，列车从甲城到乙城的行驶时间减少2时，这条铁路在现在条件下安全行驶速度不得超过250千米/时，请你用学过的数学知识说明在这条铁路的现有条件下列车还可以再次提速吗？【练习3】某工程若由甲、乙两队合作6天完成，厂家需付甲、乙两队共8700元；若由乙、丙两队合作10天完成，厂家需付乙、丙两队共9500元；若由甲、丙两队合作，5天完成全部工程的23，厂家需付甲、丙两队共5500元.（1）求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？（2）若工期要求不超过15天完成全部工程，问可由哪队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由.【练习4】年上海为实行轨道交通12号线开通，某工程队承担了铺设一段长3千米的地铁轨道的光荣任务，铺设600米后，该工程队改进技术，每天比原来多铺设10米，结果共用了80天完成任务，试问，该工程队改进技术后每天铺设轨道多少米？【练习5】某商厦进货员在A市发现一种应季服装，预料能畅销市场，就用80000元购进所有服装，但还急需2倍这种服装，经人介绍又在B设用176000元购进所需服装，只是单价比A市贵4元，商厦按每件58元销售，销路很好，最后剩下的150件按8折销售，很快售完，问商厦在这笔生意中盈利多少元？【练习6】有一种书包的批发价格是每个40元，当每个标价50元进行销售时，估计能卖出500个，但是售价每提高1元，销售量就会减少10个，另外，商店经营应按销售利润的10%缴纳销售税，商店希望通过销售这种书包能净赚纳税后利润7200元，又能让顾客得益，求每个书包应该定价为多少元？。