2016-2017学年高中数学人教A版选修4-5课时跟踪检测(三) 三个正数的算术—几何平均不等式

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高中数学课时跟踪检测(三)三个正数的算术—几何平均不等式(含解析)新人教A版选修45

高中数学课时跟踪检测（三）三个正数的算术—几何平均不等式（含解析）新人教A 版选修45 1．设x >0，则y ＝x ＋4x 2的最小值为( ) A ．2B ．2 2C ．3 2D ．3 解析：选D y ＝x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥3·3x 2·x 2·4x 2＝3，当且仅当x 2＝4x2，即x ＝2时取“＝”号． 2．设x ，y ，z ∈R ＋且x ＋y ＋z ＝6，则lg x ＋lg y ＋lg z 的取值范围是( )A ．(－∞，lg 6]B ．(－∞，3lg 2]C ．[lg 6，＋∞)D ．[3lg 2，＋∞)解析：选B ∵lg x ＋lg y ＋lg z ＝lg(xyz )，而xyz ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y ＋z 33，∴lg(xyz )≤lg 8＝3lg 2，当且仅当x ＝y ＝z ＝2时，等号成立． 3．若实数x ，y 满足xy >0，且x 2y ＝2，则xy ＋x 2的最小值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 解析：选C xy ＋x 2＝12xy ＋12xy ＋x 2≥ 3312xy ·12xy ·x 2＝3 314x 2y 2＝3，当且仅当12xy ＝x 2，x 2y ＝2，即x ＝1，y ＝2时取“＝”号．故xy ＋x 2的最小值为3.4．已知a ，b ，c ∈R ＋，x ＝a ＋b ＋c 3，y ＝3abc ，z ＝ a 2＋b 2＋c 23，则x ，y ，z 的大小关系是( )A ．x ≤y ≤zB ．y ≤x ≤zC ．y ≤z ≤xD ．z ≤y ≤x 解析：选B ∵a ，b ，c ∈R ＋，∴a ＋b ＋c3≥3abc ，∴x ≥y ，又x 2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac 9， z 2＝3a 2＋3b 2＋3c 29， ∵a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac ，三式相加得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ，∴3a 2＋3b 2＋3c 2≥(a ＋b ＋c )2，∴z 2≥x 2，∴z ≥x ，即y ≤x ≤z .5．设0<x <1，则x (1－x )2的最大值为 ________.解析：∵0<x <1，∴1－x >0.故32x 1－x 1－x ≤2x ＋1－x ＋1－x 3＝23. ∴x (1－x )2≤427，当且仅当x ＝13时取等号．答案：4276．设x ，y ，z 均大于0，且x ＋3y ＋4z ＝6，则x 2y 3z 的最大值为________．解析：∵6＝x ＋3y ＋4z ＝x 2＋x 2＋y ＋y ＋y ＋4z ≥66x 2y 3z . ∴x 2y 3z ≤1，当且仅当 x2＝y ＝4z 时取“＝”号． ∴x 2z 3z 的最大值为1.答案：17．设三角形三边长为3,4,5，P 是三角形内的一点，则P 到该三角形三边距离乘积的最大值是________．解析：设P 到长度为3,4,5的三角形三边的距离分别是x ，y ，z ，三角形的面积为S .则S ＝12(3x ＋4y ＋5z )，又∵32＋42＝52， ∴这个直角三角形的面积S ＝12×3×4＝6. ∴3x ＋4y ＋5z ＝2×6＝12.∴333x ·4y ·5z ≤3x ＋4y ＋5z ＝12.∴(xyz )max ＝1615. 当且仅当x ＝43，y ＝1，z ＝45时等号成立．答案：1615 8．设a ，b ，c ∈R ＋，求证：(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1a ＋c ≥92. 证明：∵a ，b ，c ∈R ＋，∴2(a ＋b ＋c )＝(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )≥33a ＋b b ＋c c ＋a >0.1a ＋b ＋1b ＋c ＋1a ＋c ≥331a ＋b ·1b ＋c ·1a ＋c ＞0， ∴(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1a ＋c ≥92. 当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立． 9．若θ为锐角，求y ＝sin θ·cos 2θ的最大值．解：y 2＝sin 2θ·cos 2θ·cos 2θ＝12·2sin 2θ(1－sin 2θ)·(1－sin 2θ) ≤12×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝427. 当且仅当2sin 2θ＝1－sin 2θ，即sin θ＝33时取等号．此时y max ＝239. 10．已知某轮船速度为每小时10千米时，燃料费为每小时30元，其余费用(不随速度变化)为每小时480元，设轮船的燃料费用与其速度的立方成正比，问轮船航行的速度为每小时多少千米时，每千米航行费用总和最小．解：设船速为v 千米/小时，燃料费为A 元/小时．则依题意有A ＝k ·v 3，且有30＝k ·103，∴k ＝3100.∴A ＝3100v 3. 设每千米的航行费用为R ，则需时间为1v小时， ∴R ＝1v ⎝ ⎛⎭⎪⎫3100v 3＋480＝3100v 2＋480v ＝3100v 2＋240v ＋240v ≥333100v 2·240v ·240v ＝36.当且仅当3100v 2＝240v，即v ＝20时取最小值．∴轮船航行速度为20千米/小时时，每千米航行费用总和最小．。

2016-2017学年高中数学人教A版选修4-5课件：第一讲一 3.三个正数的算术—几何平均不等式

1．已知x＞0，y＞0，求证：(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥9xy.
证明：因为x＞0，y＞0，所以1＋x＋y ≥3
2 2
3
xy2 ＞0，1＋ 3
2
x ＋y≥3 x y＞0，故(1＋x＋y )(1＋x ＋y)≥3 xy · 3 x2y ＝9xy.
3
2
2
2
3
2．已知a1，a2，„，an都是正数，且a1a2„an＝1，求证：(2＋a1)(2＋a2)„(2＋an)≥3n.
这里k是一个和灯光强度有关的常数，那么究竟应该怎样选择灯的高度h，才能使桌子边缘处最亮？
[思路点拨] sin θ 根据题设条件建立r与θ的关系式 → 将它代入E＝k 2 r → 得到以θ为自变量，E为因变量的函数关系式 → 用平均不等式求函数的最值 → 获得问题的解
[解]
π 2 sin θcos2θ 0<θ< . ∵r＝，∴E＝k· 2 cos θ 4
3．三个正数的算术—几何平均不等式
1．定理3 a＋b＋c 3 如果a，b，c∈R＋，那么 ≥ abc ，当且仅 3 当 a＝b＝c 时，等号成立，用文字语言可叙述为：
三个正数的算术平均不小于它们的几何平均． a＋b＋c 3 a，b，c (1)不等式 ≥ abc成立的条件是：________ 3
用平均不等式证明不等式
[例1] 已知a，b，c∈R＋，求证：
b＋c－a c＋a－b a＋b－c ≥3. a ＋ b ＋ c [思路点拨] ＋b＋c≥3 3 欲证不等式的右边为常数3，联想到不等式a
abc (a，b，c∈R＋)，故将所证不等式的左边进行
恰当的变形．
[证明]
b＋c－a c＋a－b a＋b－c a ＋ b ＋ c

高中数学全册质量检测新人教A版选修4-5(2021年整理)

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全册质量检测一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知：a＋b〉0，b〈0，那么( )A．a>b〉－a>－b B．a>－a〉b〉－bC．a〉－b>b〉－a D．－a>－b〉a>b解析：∵a＋b>0∴a〉－b，b>－a∵b〈0∴－b>0〉b∴a〉－b〉b〉－a答案：C2．“a＋c>b＋d"是“a〉b且c>d"的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析:易得a〉b且c〉d时必有a＋c〉b＋d.若a＋c>b＋d时，则可能有a〉d且c〉d，选A。

答案：A3．a≥0，b≥0，且a＋b＝2,则( ）A．ab≤错误!B．ab≥错误!C．a2＋b2≥2 D．a2＋b2≤3解析:由a≥0，b≥0，且a＋b＝2，∵4＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab≤2(a2＋b2)，∴a2＋b2≥2.选C。

答案:C4．若不等式|2x－3｜>4与不等式x2＋px＋q>0的解集相同,则p∶q等于（）A．12∶7 B．7∶12C．（－12）∶7 D．（－3）∶4解析：｜2x－3|>4⇔2x－3〉4或2x－3〈－4⇔x〉错误!或x〈－错误!，∴错误!－错误!＝－p，p＝－3,错误!×错误!＝q，q＝－错误!，∴p∶q＝12∶7。

(课堂新坐标)2016-2017学年高中数学人教a版高二选修4-5_模块综合测评_word版有答案AKMHKM

模块综合测评(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．不等式|3x －2|>4的解集是( ) A ．{x |x >2}B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－23 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－23或x >2D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－23<x <2【解析】因为|3x －2|>4，所以3x －2>4或3x －2<－4，所以x >2或x <－23. 【答案】 C2．能用来表示二维形式的柯西不等式的是( ) A ．a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )B ．(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2(a ，b ，c ，d ∈R )C ．(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ab ＋cd )2(a ，b ，c ，d ∈R )D ．(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≤(ac ＋bd )2(a ，b ，c ，d ∈R )【解析】根据柯西不等式的结构特征可知只有B 正确，故选B. 【答案】 B3．若实数x ，y 满足|tan x |＋|tan y |>|tan x ＋tan y |，且y ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，则|tan x －tan y |等于( )A ．tan x －tan yB ．tan y －tan xC ．tan x ＋tan yD.|tan y |－|tan x |【解析】由|tan x |＋|tan y |>|tan x ＋tan y |，得tan x 和tan y 异号，且y ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，得tan y >0. 故|tan x －tan y |＝tan y －tan x . 【答案】 B4．已知a ，b 为非零实数，且a <b ，则下列命题成立的是( )【导学号：32750076】A ．a 2<b 2B ．ab 2<a 2b C.1ab 2<1a 2bD.b a <a b【解析】对于C 中，1ab 2－1a 2b ＝a －ba 2b 2<0， ∴1ab 2<1a 2b . 【答案】 C5．用数学归纳法证明2n >n 2(n ∈N ＋，n ≥5)成立时，第二步归纳假设的正确写法是( ) A ．假设n ＝k 时命题成立 B ．假设n ＝k (k ∈N ＋)时命题成立 C ．假设n ＝k (k ≥5)时命题成立 D ．假设n ＝k (k >5)时命题成立【答案】 C6．已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ≥a 对任意正实数x ，y 恒成立，则实数a 的最大值为( )A ．2B ．4 C. 2D.16【解析】由(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ≥(1＋1)2＝4.因此不等式(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ≥a 对任意正实数x ，y 恒成立，即a ≤4. 【答案】 B7．某人要买房，随着楼层的升高，上、下楼耗费的体力增多，因此不满意度升高．设住第n 层楼，上下楼造成的不满意度为n ；但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随楼层升高，环境不满意度降低，设住第n 层楼时，环境不满意程度为9n ，则此人应选( )A ．1楼B ．2楼C ．3楼D.4楼【解析】设第n 层总的不满意程度为f (n )，则f (n )＝n ＋9n ≥29＝2×3＝6，当且仅当n＝9n ，即n ＝3时取等号，故选C.【答案】 C8．对任意实数x ，若不等式|x ＋1|－|x －2|>k 恒成立，对k 的取值范围是( ) A ．k <3 B ．k <－3 C ．k ≤3D.k ≤－3【解析】 ∵|x ＋1|－|x －2|≥－|(x ＋1)－(x －2)|＝－3，∴|x ＋1|－|x －2|的最小值为－3.∴不等式恒成立，应有k <－3. 【答案】 B9．用数学归纳法证明“(n ＋1)(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n ·1·3·…·(2n －1)(n ∈N ＋)”时，从n ＝k 到n ＝k ＋1时等号左边应增添的式子是( )A ．2k ＋1 B.(2k ＋1)(2k ＋2)k ＋1C.2k ＋1k ＋1D.2k ＋2k ＋1【解析】当n ＝k 时，有f (k )＝(k ＋1)·(k ＋2)·…·(k ＋k )，当n ＝k ＋1时，有f (k ＋1)＝(k ＋2)(k ＋3)·…·(k ＋k )(k ＋k ＋1)(k ＋k ＋2)， ∴f (k ＋1)＝f (k )·(2k ＋1)(2k ＋2)k ＋1.【答案】 B10．对一切正数m ，不等式n <4m ＋2m 2恒成立，则常数n 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B ．(－∞，6) C ．(0，＋∞)D.[6，＋∞)【解析】要使不等式恒成立，只要n 小于4m ＋2m 2的最小值．∵4m ＋2m 2＝2m ＋2m ＋2m 2≥338＝6，∴n <6.【答案】 B11．若n 棱柱有f (n )个对角面，则(n ＋1)棱柱含有对角面的个数为( ) A ．2f (n ) B ．f (n )＋(n －1) C ．f (n )＋nD.f (n )＋2【解析】由n ＝k 到n ＝k ＋1时增加的对角面的个数与底面上由n ＝k 到n ＝k ＋1时增加的对角线一样，设n ＝k 时，底面为A 1A 2…A k ，n ＝k ＋1时底面为A 1A 2A 3…A k A k ＋1，增加的对角线为A 2A k ＋1，A 3A k ＋1，A 4A k ＋1，…，A k －1A k ＋1，A 1A k ，共有(k －1)条，因此对角面也增加了(k －1)个，故选B.【答案】 B12．记满足下列条件的函数f (x )的集合为M ，当|x 1|≤2，|x 2|≤2时，|f (x 1)－f (x 2)|≤6|x 1－x 2|，又令g (x )＝x 2＋2x －1，则g (x )与M 的关系是( )A ．g (x )MB ．g (x )∈MC ．g (x )∉M D.不能确定【解析】 ∵g (x 1)－g (x 2)＝x 21＋2x 1－x 22－2x 2＝(x 1－x 2)(x 1＋x 2＋2)，∴|g (x 1)－g (x 2)|＝|x 1－x 2|·|x 1＋x 2＋2|≤|x 1－x 2|(|x 1|＋|x 2|＋2)≤6|x 1－x 2|，所以g (x )∈M .故选B. 【答案】 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把正确答案填在题中横线上) 13．若关于实数x 的不等式|x －5|＋|x ＋3|<a 无解，则实数a 的取值范围是________.【导学号：32750077】【解析】 ∵|x －5|＋|x ＋3| ＝|5－x |＋|x ＋3|≥|5－x ＋x ＋3|＝8， ∴(|x －5|＋|x ＋3|)min ＝8，要使|x －5|＋|x ＋3|<a 无解，只需a ≤8. 【答案】 (－∞，8]14．若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋8，则ab 的最小值为________．【解析】 ∵ab ＝a ＋b ＋8，且a ＞0，b ＞0， ∴ab －8＝a ＋b ≥2ab ， ∴(ab )2－2ab －8≥0， ∴ab ≥4或ab ≤－2(舍去)， ∴ab ≥16，即ab 的最小值为16. 【答案】 1615．用数学归纳法证明a n ＋b n 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2n(a ，b 是非负实数，n ∈N ＋)，假设n ＝k 时不等式a k ＋b k2≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2k(*)成立，再推证n ＝k ＋1时不等式也成立的关键是将(*)式两边同乘________．【解析】要想办法出现a k ＋1＋b k ＋12，两边同乘以a ＋b 2，右边也出现了要求证的⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2k ＋1. 【答案】 a ＋b216．设a ，b ，c ，d ，m ，n ∈R ＋，P ＝ab ＋cd ，Q ＝am ＋nc ·b m ＋dn，则P ，Q 的大小关系为________．【解析】由柯西不等式 P ＝am ·b m ＋nc ·d n ≤am ＋nc ·b m ＋d n ＝Q ，∴P≤Q.【答案】P≤Q三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知a＞b＞c，求证：1a－b＋1b－c≥4a－c.【证明】因为a＞b＞c，所以a－b＞0，b－c＞0，a－c＞0，所以(a－c)⎝⎛⎭⎪⎫1a－b＋1b－c＝[(a－b)＋(b－c)]1a－b＋1b－c＝a－bb－c＋b－ca－b＋2≥2a－bb－c·b－ca－b ＋2＝4，当且仅当a－b＝b－c，即a＋c＝2b时等号成立．故1a－b＋1b－c≥4a－c成立．18．(本小题满分12分)(2016·全国乙卷)已知函数f(x)＝|x＋1|－|2x－3|.(1)画出y＝f(x)的图象；(2)求不等式|f(x)|＞1的解集．图1【解】(1)由题意得f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x－4，x≤－1，3x－2，－1＜x≤32，－x＋4，x＞32，故y＝f(x)的图象如图所示．(2)由f(x)的函数表达式及图象可知，当f(x)＝1时，可得x＝1或x＝3；当f (x )＝－1时，可得x ＝13或x ＝5. 故f (x )＞1的解集为{x |1＜x ＜3}， f (x )＜－1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜13或x ＞5. 所以|f (x )|＞1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜13或1＜x ＜3或x ＞5. 19．(本小题满分12分)设m ，n ∈R ＋，m ＋n ＝p ，求证：1m ＋1n ≥4p ，并指出等号成立的条件．【证明】根据柯西不等式，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n (m ＋n )≥⎝⎛⎭⎪⎫m ·1m ＋n ·1n 2＝4，于是1m ＋1n ≥4m ＋n ＝4p ，当m ＝n ＝p2时，等号成立．20．(本小题满分12分)某自来水厂要制作容积为500 m 3的无盖长方体水箱，现有三种不同规格的长方形金属制箱材料(单位：m)：①19×19；②30×10；③25×12.请你选择其中的一种规格材料，并设计出相应的制作方案(要求：①用料最省；②简便易行)．【解】设无盖长方体水箱的长、宽、高分别为a ，b ，c . 由题意，可得abc ＝500，长方体水箱的表面积为S ＝2bc ＋2ac ＋ab . 由均值不等式，知S ＝2bc ＋2ac ＋ab ≥ 332bc ·2ac ·ab ＝334×5002＝3×102＝300.当且仅当2bc ＝2ca ＝ab ，即a ＝b ＝10，c ＝5时，S ＝2bc ＋2ac ＋ab ＝300为最小，这表明将无盖长方体的尺寸设计为10×10×5(即2∶2∶1)时，其用料最省．如何选择材料并设计制作方案？就要研究三种供选择的材料，哪一种更易制作成长方体水箱的平面展开图．逆向思维，先将无盖长方体展开成平面图：下图(1)进一步剪拼成图(2)的长30 m ，宽10 m(长∶宽＝3∶1)的长方形．因此，应选择规格30×10的制作材料，制作方案如图(3)．(1) (2) (3)可以看出，图(3)这种“先割后补”的方案不但可使用料最省，而且简便易行．21．(本小题满分12分)设f (n )>0(n ∈N ＋)，对任意自然数n 1和n 2总有f (n 1＋n 2)＝f (n 1)f (n 2)，又f (2)＝4.(1)求f (1)，f (3)的值；(2)猜想f (n )的表达式，并证明你的猜想．【解】 (1)由于对任意自然数n 1和n 2，总有f (n 1＋n 2)＝f (n 1)·f (n 2)，取n 1＝n 2＝1，得f (2)＝f (1)·f (1)，即f 2(1)＝4. ∵f (n )>0(n ∈N ＋)， ∴f (1)＝2，取n 1＝1，n 2＝2，得f (3)＝23.(2)由f (1)＝21，f (2)＝4＝22，f (3)＝23，初步归纳猜想f (n )＝2n . 证明：①当n ＝1时，f (1)＝2成立； ②假设n ＝k 时，f (k )＝2k 成立． f (k ＋1)＝f (k )·f (1)＝2k ·2＝2k ＋1，即当n ＝k ＋1时，猜想也成立．由①②得，对一切n ∈N ＋，f (n )＝2n 都成立．22．(本小题满分12分)设数列{a n }的首项a 1∈(0,1)，a n ＝3－a n －12，n ＝2,3,4，….【导学号：32750078】(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n 3－2a n ，求证：b n <b n ＋1，其中n 为正整数．【解】 (1)由a n ＝3－a n －12，得2a n ＝3－a n －1，即1－a n 1－a n －1＝－12，所以数列{1－a n }是以1－a 1(a 1∈(0,1))为首项，以－12为公比的等比数列，所以1－a n ＝(1－a 1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1，因此a n ＝1－(1－a 1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1.(2)证明：由(1)可知0<a n <32，故b n >0.那么b 2n ＋1－b 2n ＝a 2n ＋1(3－2a n ＋1)－a 2n (3－2a n )＝⎝⎛⎭⎪⎫3－a n 22⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2×3－a n 2－a 2n (3－2a n ) ＝9a n4(a n －1)2.又由(1)知a n >0且a n ≠1，故b 2n ＋1－b 2n >0，因此b n <b n ＋1，n 为正整数．。

人教A版高中数学选修4-5课件第一讲一3.三个正数的算术

94.
方法感悟
1．公式a＋2 b≥ ab，a＋3b＋c≥3 abc都
是
a1＋a2＋a3＋…＋an n
≥
n
a1a2a3…an 的
特例．
其使用条件都是“R＋”中，“＝”成立
条件都是“每个数都相等”．
2．利用上述公式求最值时要注意三点： (1)函数式中各项(必要时还要考虑常数项)必须都是正数，若不是正数，必须变为正数．
3 ≥3
x2·1x·2x＝33 2.
【错因】要使 y＝33 2，必须有 x2＝1x ＝2x，这时无解． 3x的拆项出错，使不等式不能取到“＝”．
【自我校正】 ∵x>0， ∴y＝x2＋3x＝x2＋23x＋23x
3 ≥3
x2·23x·23x＝3 3
9 4.
当且仅当 x2＝23x，
3 即 x＝
32时，ymin＝3 3
变式训练 3 当 x>0 时，求 y＝3x＋x12的最小值．
解：∵x>0， ∴y＝3x＋x12＝32x＋32x＋x12
3 ≥3
32x·32x·x12＝3
3
94，
当
且
仅
当
3 2
x
＝
1 x2
，
即
x＝
“＝”，
3
2 3
时
取
∴当 x＝
3
23时，ymin＝3
3
9 4.
误区警示例当 x>0 时，求 y＝x2＋3x的最小值．【错解】 y＝x2＋3x＝x2＋1x＋2x
例3 已知 x>0，求 y＝4x2＋1x的最小值．【思路点拨】为使其积为定值，即把 x2 约掉，须把1x拆开为21x＋21x.

2017-2018学年高中数学选修4-5课时跟踪检测3 三个正数

课时跟踪检测(三) 三个正数的算术—几何平均不等式1．已知x 为正数，下列各题求得的最值正确的是( ) A ．y ＝x 2＋2x ＋4x≥33x 2·2x ·4x3＝6，∴y min ＝6.B ．y ＝2＋x ＋1x ≥332·x ·1x＝332，∴y min ＝332.C ．y ＝2＋x ＋1x≥4，∴y min ＝4. D ．y ＝x (1－x )(1－2x ) ≤13⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋－x＋－2x 33＝881， ∴y max ＝881. 解析：选C A 、B 、D 在使用不等式a ＋b ＋c ≥33abc (a ，b ，c ∈R ＋)和abc ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b ＋c 33(a ，b ，c ∈R ＋)都不能保证等号成立，最值取不到．C 中，∵x >0，∴y ＝2＋x ＋1x＝2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ≥2＋2＝4，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时，等号成立．2．已知a ，b ，c 为正数，则a b ＋b c ＋c a有( ) A ．最小值3B ．最大值3C ．最小值2D ．最大值2解析：选A a b ＋b c ＋ca ≥33ab ×bc ×c a ＝3，当且仅当a b ＝b c ＝c a，即a ＝b ＝c 时，等号成立． 3．若log x y ＝－2，则x ＋y 的最小值是( ) A.3322 B.833 C.332 D.223解析：选A 由log x y ＝－2，得y ＝1x 2.而x ＋y ＝x ＋1x2＝x 2＋x 2＋1x 2≥33x 2·x 2·1x 2＝3314＝3322，当且仅当x 2＝1x2，即x ＝32时，等号成立． 4．已知圆柱的轴截面周长为6，体积为V ，则下列不等式总成立的是( )A ．V ≥πB ．V ≤πC ．V ≥18πD ．V ≤18π解析：选B 设圆柱底面半径为r ，则圆柱的高h ＝6－4r 2，所以圆柱的体积为V ＝πr 2·h＝πr 2·6－4r 2＝πr 2(3－2r )≤π⎝ ⎛⎭⎪⎫r ＋r ＋3－2r 33＝π. 当且仅当r ＝3－2r ，即r ＝1时，等号成立． 5．若a >2，b >3，则a ＋b ＋1a －b －的最小值为________．解析：∵a >2，b >3，∴a －2>0，b －3>0，则a ＋b ＋1a －b －＝(a －2)＋(b －3)＋1a －b －＋5 ≥33a －b －1a －b －＋5＝8.当且仅当a －2＝b －3＝1a －b －，即a ＝3，b ＝4时，等号成立．答案：86．设0<x <1，则x (1－x )2的最大值为 ________. 解析：∵0<x <1，∴1－x >0.故x (1－x )2＝12×2x (1－x )(1－x )≤12⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋－x ＋＋x 33＝12×827＝427(当且仅当x ＝13时，等号成立)．答案：4277．已知关于x 的不等式2x ＋1x －a2≥7在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a 的最小值为________．解析：2x ＋1x －a2＝(x －a )＋(x －a )＋1x －a2＋2a .∵x －a >0， ∴2x ＋1x －a2≥33x －a x －a1x －a2＋2a ＝3＋2a ，当且仅当x －a ＝1x －a2即x ＝a ＋1时，等号成立．∴2x ＋1x －a2的最小值为3＋2a .由题意可得3＋2a ≥7，得a ≥2. 答案：28．设a ，b ，c ∈R ＋，求证： (a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1a ＋c ≥92.证明：∵a ，b ，c ∈R ＋，∴2(a ＋b ＋c )＝(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )≥33a ＋b b ＋c c ＋a >0.1a ＋b ＋1b ＋c ＋1a ＋c ≥331a ＋b ·1b ＋c ·1a ＋c >0， ∴(a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1a ＋c ≥92.当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．9．已知正数a ，b ，c 满足abc ＝1，求(a ＋2)(b ＋2)·(c ＋2)的最小值．解：因为(a ＋2)(b ＋2)(c ＋2)＝(a ＋1＋1)(b ＋1＋1)(c ＋1＋1) ≥3·3a ·3·3b ·3·3c ＝27·3abc ＝27，当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，等号成立．所以(a ＋2)(b ＋2)(c ＋2)的最小值为27.10．已知a ，b ，c 均为正数，证明：a 2＋b 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥63，并确定a ，b ，c 为何值时，等号成立．证明：法一：因为a ，b ，c 均为正数，由平均值不等式，得a 2＋b 2＋c 2≥3(abc )23，①1a ＋1b ＋1c ≥3(abc )－13，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥9(abc )－23.②故a 2＋b 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥3(abc )23＋9(abc )－23.又3(abc )23＋9(abc )－23≥227＝63，③所以原不等式成立．当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立．当且仅当3(abc )23＝9(abc )－23时，③式等号成立．即当且仅当a ＝b ＝c ＝314时，原式等号成立．法二：因为a ，b ，c 均为正数，由基本不等式，得a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac ，所以a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac ，① 同理1a 2＋1b 2＋1c 2≥1ab ＋1bc ＋1ac，②故a 2＋b 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥ab ＋bc ＋ac ＋3ab ＋3bc ＋3ac≥63，③所以原不等式成立．当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立；当且仅当a ＝b ＝c ，(ab )2＝(bc )2＝(ac )2＝3时，③式等号成立，即当且仅当a ＝b ＝c ＝314时，原式等号成立．。

【人教A版】高中数学选修4-5全册配套试卷课时提升作业三 1.1.3

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课时提升作业三三个正数的算术-几何平均不等式一、选择题(每小题6分,共18分)1.函数y=x2·(1-5x)的最大值为( )A. B. C. D.【解析】选A.因为0≤x≤,所以1-5x≥0,所以y=x2·(1-5x)=≤=.当且仅当x=1-5x,即x=时取“=”.2.设a,b,c都是正数,且a+2b+c=1,则++的最小值为( )A.9B.12C.6-2D.6+4【解析】选D.因为a,b,c都是正数,且a+2b+c=1,所以++=(a+2b+c)=4++++++≥4+2+2+2=6+4,当且仅当a=c=b时等号成立.所以++的最小值是6+4.3.(2016·商丘高二检测)若a,b,c>0且a(a+b+c)+bc=4-2,则2a+b+c的最小值为( )A.-1B.+1C.2+2D.2-2【解析】选D.因为a(a+b+c)+bc=4-2即(a+b)(a+c)=4-2,又a,b,c>0所以(a+b)(a+c)≤=所以2a+b+c≥2-2.二、填空题(每小题6分,共12分)4.已知a,b,c∈R+,且满足a+2b+3c=1,则++的最小值为________.【解析】因为a,b,c∈R+,且满足a+2b+3c=1,所以++=(a+2b+3c)·≥3·3=9,当且仅当a=2b=3c=时取等号.因此++的最小值为9.答案:95.(2016·唐山高二检测)已知x,y,z∈R+,且x+3y+4z=6,则x2y3z的最大值为________.【解析】因为x,y,z∈R+,且x+3y+4z=6,所以6=x+3y+4z=++y+y+y+4z≥6·,所以x2y3z≤1.答案:1三、解答题(每小题10分,共30分)6.若a,b,c>0,求证:a2+b2+c2+≥6.【证明】因为a,b,c>0,所以a2+b2+c2≥3·①又++≥3·,所以≥9·②a2+b2+c2+≥3·+9·≥2·=6,当且仅当a=b=c时等号成立.7.(2016·哈尔滨高二检测)设正实数x,y,z满足x+2y+z=1,求+的最小值.【解析】因为正实数x,y,z满足x+2y+z=1,所以+=+=1++≥1+2=7,当且仅当=,即x+y=,y+z=时,取等号.所以+的最小值为7.8.已知实数a,b,c∈R,a+b+c=1,求4a+4b+的最小值,并求出取最小值时a,b,c 的值.【解析】由平均不等式,得4a+4b+≥3=3(当且仅当a=b=c2时等号成立).因为a+b+c=1,所以a+b=1-c,则a+b+c2=c2-c+1=+,当c=时,a+b+c2取得最小值.从而当a=b=,c=时,4a+4b+取最小值,最小值为3.一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2016·温州高二检测)若log x y=-2,则x+y的最小值是( )A. B. C. D.【解析】选A.因为log x y=-2,所以x>0且x≠1,y>0,且y=x-2,所以x+y=++≥3=,当且仅当=,即x=时等号成立.2.如果圆柱的轴截面周长l为定值,那么圆柱的体积最大值是( )【解析】选A.设圆柱的底面半径为r,高为h,则l=4r+2h,即2r+h=,V=πr2h≤π=π.当且仅当r=h=时等号成立.二、填空题(每小题5分,共10分)3.已知0<x<,则x2(1-2x)的最大值为________.【解析】因为0<x<,所以1-2x>0,则x2(1-2x)=x·x(1-2x)≤==.当且仅当x=1-2x,即x=时等号成立.故x2(1-2x)的最大值为.答案:【拓展延伸】用平均不等式求最值(1)利用平均不等式求函数的最值必须同时具备“一正、二定、三相等”这三个条件才能应用,否则会求出错误结果.(2)在具体问题中,“正数”这个条件一般由已知条件容易获得,“相等”条件也容易验证确定,而获得“定值”条件往往被设计为一个难点,它需要一定的灵活性和变形能力.(3)“定值”条件是运用不等式求最值的关键,解题时应根据已知条件适当进行添(拆)项,创造应用平均不等式的情境及能使等号成立的条件.(4)当连续应用不等式时,要注意各不等式取等号时条件是否一致,否则也不能求出最值.4.(2016·天津高二检测)已知关于x的不等式2x+≥7在x∈(a,+∞)上恒成立,则实数a的最小值为________.【解析】2x+=(x-a)+(x-a)++2a因为x-a>0,所以2x+≥3+2a=3+2a.当且仅当x-a=,即x=a+1时,取等号.所以2x+的最小值为3+2a,由题意可得3+2a≥7,解得a≥2.答案:2三、解答题(每小题10分,共20分)5.已知a,b,c同号,且互不相等,a+b+c=1,求证:++>9.【证明】++=++=3++++++,因为a,b,c同号,且a+b+c=1,所以a>0,b>0,c>0,所以,,,,,均大于0,又a,b,c互不相等,所以3++++++>3+6=9.所以++>9.【补偿训练】设a,b,c为正实数,求证:+++abc≥2.【证明】因为a,b,c为正实数,由平均不等式可得++≥3即++≥,所以+++abc≥+abc,而+abc≥2=2,所以+++abc≥2.当且仅当a=b=c时取等号.6.有一块边长为36cm的正三角形铁皮,从它的三个角上剪下三个全等的四边形后做成一个无盖的正三棱柱容器,要使这个容器的容积最大,剪下的三个四边形面积之和等于多少?最大容积是多少?【解析】剪下的三个全等的四边形如图所示,设A1F1=xcm,则AF1=xcm,所以A1B1=F1F2=36-2x.所以V=(36-2x)2·x=(6-x)(6-x)·2x.因为0<x<6,所以6-x>0.又(6-x)+(6-x)+2x=12,所以当6-x=2x,即x=2时,V有最大值,这时V最大=·(4)3=864(cm3).因为=x·x=x2=12(cm2),所以此时三个四边形面积之和等于36cm2.关闭Word文档返回原板块。

人教版数学高二A版选修4-5学案1.1.6三个正数的算术几何平均不等式(二)

课堂导学三点剖析一、在求最值时,要注意“一正”“二定”“三相等”【例1】一段长为l m 的篱笆围成一个一边靠墙的菜园,问这个矩形长和宽各为多少时,菜园的面积最大,最大值是多少?错解：设矩形的宽为x m,长为(l-2x) m,则S=x(l-2x)≤2)2(22x l x -+, 当且仅当x=l-2x 时等号成立,所以令x=l-2x,解之,得x=3l .∴S=9299222l l l =+. 此时,l-2x=3l ,∴当长和宽都为3l m 时矩形的面积最大,最大面积是92l m 2. 正解一：设矩形的宽为x m,长为(l-2x) m,则S=x(l-2x)=［)2(x l x -)］2=［2)2(2x l x -•］2≤8421)222(21222l l x l x =•=--,当且仅当2x=l-2x,即x=4l 时“=”成立, ∴当宽为4l m,长为2l m 时面积最大,最大面积为8l l 2 m 2. 正解二：(设法同解法一)S=x(l-2x)=21·2x(l-2x), ∵2x+l-2x=l,∴S=21·2x·(l-2x)≤21·41l 2=81l 2,当且仅当2x=l-2x 时等号成立,此时x=41l.∴当宽为4l ,长为2l 时面积最大,最大面积为82l m 2. 类题演练1(1)求函数y=cosx-2cos )2(cos 322-++x x 的最值; (2)求函数f(x)=2x(x-1)(8-3x)的最大值,其中x ∈(1,38).(1)错解:设cosx-2=t,则y=t+323≥t.∴y min =32. 正确解法:设cosx-2=t,显然t<0,则y=-(-t+t-3)≤32-,∴y max =32-. (2)错解:∵x ∈(1,38),则2x>0,x-1>0,8-3x>0. 从而f(x)=［3)38)(1(2x x x --］3≤［3)38()1(2x x x -+-+］3=27343, ∴f(x)max =27343. 正确解法:f(x)=8［3)234)(1(2x x x --)］3≤8［3)234()1(2x x x -+-+］3=8, ∴当x=2时,f(x)max =8.变式提升1求y=(sin 2x+x2sin 1)+(cos 2x+x 2cos 1)的最小值. 错解:∵sin 2x>0,且有sin 2x+x2sin 1≥2, 同理可得cos 2x+x2cos 1≥2. ∴y=(sin 2x+x 2sin 1)+(cos 2x+x 2cos 1)≥4. ∴y min =4.正确解法:y=(sin 2x+x 2sin 1)+(cos 2x+x 2cos 1)=1+x 2sin 42, ∴当x=42ππ+k (k ∈Z )时有y min =5. 二、利用均值不等式求最值的典型技巧和方法【例2】设a 、b 、x 、y ∈R +,a 、b 为常数,且y b x a +=1,求x+y 的最小值. 错解：∵x+y=(x+y)xy y b x a 2)(≥+·ab xyab 42=,∴(x+y)min =ab 4. 错因分析:x+y≥xy 2中等号成立的条件是x=y,y b x a +≥=xy ab 2中等号成立的条件是y b x a +,而yb x a +=1,∴x=2a,y=2b.此时a 不一定等于b,故上述解法有误. 正解一:(消元法)∵y b x a +=1,∴y=ax bx -且x>a.∴x+y=x+a x bx -=x+a x a a x b -+-)(=x+b+a x ab -=x-a+ax ab -+a+b≥ab 2+a+b=(a +b )2. 正解二:(妙用“1”)x+y=(x+y)(y b x a +)=a+x ay y bx ++b≥a+b+ab 2=(a +b )2. 正解三:(三角代换)令xa =cos 2θ,yb =sin 2θ,则x+y=asec 2θ+bcsc 2θ=a(1+tan 2θ)+b(1+cot 2θ) =a+b+atan 2θ+bcot 2θ≥a+b+ab 2=(b a +)2.上述三种解法均可得出当且仅当x=ab +a,y=ab +b 时取等号,故(x+y)min =(b a +)2. 温馨提示本例中,在求最值时用到了多种技巧:把两个变量的表达式通过消元化为一元函数;利用“1”的代换;利用三角换元等.类题演练2已知m 2+n 2=a,x 2+y 2=b,求mx+ny 的最大值.错解:∵mx≤222x m +,① ny≤222y n +,② ∴mx+ny≤222222b a y x n m +=+++.③ ∴mx+ny 的最大值为2b a +. 正解:∵mx=ab by a m ab ≤••·222b x a m +,① ny=222b y a n ab by a n ab +•≤••,② ∴mx+ny≤ab b y x a n m ab =+++•222222③ 当且仅当①②中“=”同时成立时,③中“=”成立,即b xa m=且an b y =时,mx+ny 有最大值ab .变式提升2(经典回放)用总长为14.8 m 的钢条制造一个长方体容器的框架,若所制容器底面一边比另一边长0.5 m,那么高为多少时,容器容积最大?解析:设长方体底面一边长为x,另一边长为x+0.5,高为y,则4x+4(x+0.5)+4y=14.8,∴y=3.2-2x,则V=x(x+0.5)(3.2-2x).引进正参数u 1、u 2,则V=211u u (u 1x)［u 2(x+0.5)］+(3.2-2x), 必须满足u 1x+u 2(x+0.5)+3.2-2x 为常数,即(u 1+u 2-2)x+0.5u 2+3.2是常数,即u 1+u 2=2,① 且u 1x=u 2(x+0.5)=3.2-2x.②由①②知u 1=1.2,u 2=0.8,∴V=8.02.11⨯×(1.2x)×0.8(x+0.5)×(3.2-2x)≤3]322.3)5.0(8.02.1[2425x x x -+++=1.8. 等号成立时,1.2x=0.8(x+0.5)=3.2-2x,即x=1,此时高为1.2 m,容器容积最大.三、利用均值不等式处理其他问题的技巧【例3】求证:sin 2αcos 2α+417cos sin 122≥•αα. 思路分析：左式=41sin 22α+α2sin 42,若利用均值不等式得左式≥2,必须sin 22α=16时“=”成立,这是不可能的.同时,由于2<417,也达不到证明的目的.但如果把α2sin 42换成α2sin 412,“=”就能取到,这就找到了“凑式”的思路.证明:左式=41sin 22α+ααααα2sin 412sin 4122sin 4152sin 4152sin 4122222•+≥+ 41721415212sin 4152=+≥+=α 当且仅当sin 22α=α2sin 12且sin 22α=1,即sin2α=±1时,取“=”. ∴原不等式成立.温馨提示“配项凑式”是利用均值不等式的典型技巧,在求y=x+xa (a>0,x ∈R +)的最小值时,如果x=∉a R +时无法直接用均值不等式求最值,这时可用本例中的方法或者讨论y=x+x a 的单调性.类题演练3已知0<x<1,求证:xb x a -+122≥(a+b)2. 证明:∵0<x<1,∴1-x>0.∴xb x a -+122=a 2+b 2+22222211211b x x a x x b a b x x a x x -•-++≥-+-=a 2+b 2+2ab=(a+b)2.∴原不等式成立.变式提升3已知x 、y 、z 为正实数,且x+y+z=3,zy x 111++=3.求x 2+y 2+z 2的值. 解析:由题设得(x+x 1)+(y+y 1)+(z+z 1)=6. ∵x 、y 、z>0,∴x+x 1≥2,y+y 1≥2,z+z1≥2. ∴(x+x 1)+(y+y 1)+(z+z1)≥6. 此不等式等号成立,当且仅当上述三个不等式的等号同时成立,即x=x 1,y=y 1,z=z 1, ∴x 2=1,y 2=1,z 2=1.∴x 2+y 2+z 2=3.。

高中数学人教A版选修4-5 三个正数的算术几何平均不等式

学业分层测评（三）(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知正数x，y，z，且x＋y＋z＝6，则lg x＋lg y＋lg z的取值范围是( ) A．(－∞，lg 6] B．(－∞，3lg 2]C．[lg 6，＋∞) D.[3lg 2，＋∞)【解析】∵6＝x＋y＋z≥33xyz，∴xyz≤8.∴lg x＋lg y＋lg z＝lg(xyz)≤lg 8＝3lg 2.【答案】 B2．已知x∈R＋，有不等式：x＋1x≥2x·1x＝2，x＋4x2＝x2＋x2＋4x2≥33x2·x2·4x2＝3，….启发我们可能推广结论为：x＋axn≥n＋1(n∈N＋)，则a的值为( )A．n n B．2n C．n2D．2n＋1【解析】x＋axn＝＋axn，要使和式的积为定值，则必须n n＝a，故选A.【答案】 A3．设0<x<1，则x(1－x)2的最大值为( )A.18B．1 C.3183D.427【解析】∵0<x<1，∴0<1－x <1，∴x (1－x )2＝12·2x ·(1－x )·(1－x )≤12错误!3＝错误!. 当且仅当x ＝13时，等号成立．【答案】 D4．已知a ，b ，c ∈R ＋，x ＝a ＋b ＋c 3，y ＝3abc ，z ＝a2＋b2＋c23，则( )【导学号：32750016】A ．x ≤y ≤zB ．y ≤x ≤zC ．y ≤z ≤xD.z ≤y ≤x【解析】由a ，b ，c 大于0，易知a ＋b ＋c 3≥3abc ，即x ≥y .又z 2＝a2＋b2＋c23，x 2＝错误!，且x 2＝错误!≤错误!＝错误!， ∴x 2≤z 2，则x ≤z ，因此z ≥x ≥y . 【答案】 B5．设x ，y ，z ＞0，且x ＋3y ＋4z ＝6，则x 2y 3z 的最大值为( ) A ．2 B ．7 C ．8D.1 【解析】 ∵6＝x ＋3y ＋4z ＝x 2＋x 2＋y ＋y ＋y ＋4z ≥66x2y3z ，∴x 2y 3z ≤1，当x2＝y ＝4z 时，取“＝”，即x ＝2，y ＝1，z ＝14时，x 2y 3z 取得最大值1.【答案】 D 二、填空题6．若记号“*”表示求两个实数a 与b 的算术平均的运算，即a *b ＝a ＋b2，则两边均含有运算“*”和“＋”，且对任意3个实数a ，b ，c 都能成立的一个等式可以是________．【解析】由题意知a ＋(b *c )＝a ＋b ＋c 2＝2a ＋b ＋c2， (a ＋b )*(a ＋c )＝错误!＝错误!，所以a ＋(b *c )＝(a ＋b )*(a ＋c )．【答案】 a ＋(b *c )＝(a ＋b )*(a ＋c )7．若a ＞2，b ＞3，则a ＋b ＋错误!的最小值为________．【解析】 ∵a ＞2，b ＞3，∴a －2＞0，b －3＞0，则a ＋b ＋错误!＝(a －2)＋(b －3)＋错误!＋5 ≥3错误!＋5＝8.当且仅当a －2＝b －3＝错误!，即a ＝3，b ＝4时等号成立．【答案】 88．已知a >0，b >0，c >0，且a ＋b ＋c ＝1，对于下列不等式：①abc ≤127；②1abc ≥27；③a 2＋b 2＋c 2≥13. 其中正确的不等式序号是________．【解析】 ∵a ，b ，c ∈(0，＋∞)， ∴1＝a ＋b ＋c ≥33abc ， 0<abc ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝127，1abc ≥27，从而①正确，②也正确．又a ＋b ＋c ＝1， ∴a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )＝1，因此1≤3(a 2＋b 2＋c 2)，即a 2＋b 2＋c 2≥13，③正确．【答案】 ①②③ 三、解答题9．已知a ，b ，c 均为正数，证明：a 2＋b 2＋c 2＋（1a ＋1b ＋1c）2≥63，并确定a ，b ，c 为何值时，等号成立．【证明】因为a ，b ，c 均为正数，由算术-几何平均不等式，得a 2＋b 2＋c 2≥3(abc )23，①1a ＋1b ＋1c≥3(abc )-13. 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥9(abc )-23.②故a 2＋b 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥3(abc )23＋9(abc )-23.又3(abc )23＋9(abc )-23≥227＝63， ③所以原不等式成立．当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立．当且仅当3(abc )23＝9(abc )-23时，③式等号成立．即当且仅当a ＝b ＝c ＝43时，原式等号成立． 10．已知x ，y ，z ∈R ＋，x ＋y ＋z ＝3. (1)求1x ＋1y ＋1z 的最小值；(2)证明：3≤x 2＋y 2＋z 2<9.【解】 (1)因为x ＋y ＋z ≥33xyz >0，1x ＋1y ＋1z ≥33xyz >0，所以(x ＋y ＋z )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ＋1z ≥9，即1x ＋1y ＋1z ≥3，当且仅当x ＝y ＝z ＝1时，1x ＝1y ＝1z 取最小值3.(2)证明：x 2＋y 2＋z 2＝错误!≥错误! ＝错误!＝3.又x 2＋y 2＋z 2－9＝x 2＋y 2＋z 2－(x ＋y ＋z )2＝－2(xy ＋yz ＋zx )<0，所以3≤x 2＋y 2＋z 2<9.[能力提升]1．已知圆柱的轴截面周长为6，体积为V ，则下列总成立的是( ) A ．V ≥π B ．V ≤π C ．V ≥18π D ．V ≤18π【解析】设圆柱半径为r ，则圆柱的高h ＝6－4r2，所以圆柱的体积为V ＝πr 2·h ＝πr 2·6－4r 2＝πr 2(3－2r )≤π⎝⎛⎭⎪⎫r ＋r ＋3－2r 33＝π. 当且仅当r ＝3－2r ，即r ＝1时取等号．【答案】 B2．若实数x ，y 满足xy ＞0，且x 2y ＝2，则xy ＋x 2的最小值是( )【导学号：32750017】A ．1B ．2C ．3D ．4 【解析】 xy ＋x 2＝12xy ＋12xy ＋x 2≥3312xy ·12xy·x2＝3错误!＝3错误!＝3.【答案】 C3．已知关于x的不等式2x＋错误!≥7在x∈(a，＋∞)上恒成立，则实数a的最小值为________．【解析】∵2x＋错误!＝(x－a)＋(x－a)＋错误!＋2a.又∵x－a＞0，∴2x＋错误!≥3错误!＋2a＝3＋2a，当且仅当x－a＝错误!，即x＝a＋1时，取等号．∴2x＋错误!的最小值为3＋2a.由题意可得3＋2a≥7，得a≥2.【答案】 24．如图1-1-3(1)所示，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器，如图1-1-3(2)所示，求这个正六棱柱容器容积的最大值．图1-1-3【解】设正六棱柱容器底面边长为x(0＜x＜1)，高为h，由图可有2h＋3x＝3，∴h＝32(1－x)，V＝S底·h＝6×34x2·h＝332x2·32·(1－x)＝9×x2×x2×(1－x)≤9×⎝⎛⎭⎪⎫x2＋x2＋1－x33＝13.当且仅当x2＝1－x，即x＝23时，等号成立．所以当底面边长为23时，正六棱柱容器容积最大值为13.。

人教版数学高二-人教A版选修4-5课时跟踪检测(三) 三个正数的算术—几何平均不等式

课时跟踪检测(三) 三个正数的算术—几何平均不等式1．已知x 为正数，下列各题求得的最值正确的是( )A ．y ＝x 2＋2x ＋4x 3≥33x 2·2x ·4x 3＝6，∴y min ＝6. B ．y ＝2＋x ＋1x ≥332·x ·1x＝332，∴y min ＝332. C ．y ＝2＋x ＋1x ≥4，∴y min ＝4.D ．y ＝x (1－x )(1－2x )≤13⎣⎡⎦⎤3x ＋(1－x )＋(1－2x )33＝881，∴y max ＝881. 解析：选C A 、B 、D 在使用不等式a ＋b ＋c ≥33abc (a ，b ，c ∈R ＋)和abc ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b ＋c 33(a ，b ，c ∈R ＋)都不能保证等号成立，最值取不到．C 中，∵x >0，∴y ＝2＋x ＋1x ＝2＋⎝⎛⎭⎫x ＋1x ≥2＋2＝4，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时，等号成立．2．已知a ，b ，c 为正数，则a b ＋b c ＋c a有( ) A ．最小值3 B ．最大值3 C ．最小值2 D ．最大值2解析：选A a b ＋b c ＋c a ≥33a b ×b c ×c a＝3，当且仅当a b ＝b c ＝c a ，即a ＝b ＝c 时，等号成立．3．若log x y ＝－2，则x ＋y 的最小值是( )A.3322B.833C.332D.223解析：选A 由log x y ＝－2，得y ＝1x 2.而x ＋y ＝x ＋1x2＝ x 2＋x 2＋1x 2≥33x 2·x 2·1x 2＝3314＝3322，当且仅当x 2＝1x2，即x ＝32时，等号成立． 4．已知圆柱的轴截面周长为6，体积为V ，则下列不等式总成立的是( )A ．V ≥πB ．V ≤πC ．V ≥18πD ．V ≤18π 解析：选B 设圆柱底面半径为r ，则圆柱的高h ＝6－4r 2，所以圆柱的体积为V ＝πr 2·h ＝πr 2·6－4r 2＝πr 2(3－2r )≤π⎝ ⎛⎭⎪⎫r ＋r ＋3－2r 33＝π. 当且仅当r ＝3－2r ，即r ＝1时，等号成立．5．若a >2，b >3，则a ＋b ＋1(a －2)(b －3)的最小值为________．解析：∵a >2，b >3，∴a －2>0，b －3>0，则a ＋b ＋1(a －2)(b －3)＝(a －2)＋(b －3)＋1(a －2)(b －3)＋5 ≥33(a －2)×(b －3)×1(a －2)(b －3)＋5＝8. 当且仅当a －2＝b －3＝1(a －2)(b －3)，即a ＝3，b ＝4时，等号成立．答案：86．设0<x <1，则x (1－x )2的最大值为 ________.解析：∵0<x <1，∴1－x >0. 故x (1－x )2＝12×2x (1－x )(1－x )≤12⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋(1－x )＋(1＋x )33 ＝12×827＝427(当且仅当x ＝13时，等号成立)．答案：4277．已知关于x 的不等式2x ＋1(x －a )2≥7在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a 的最小值为________．解析：2x ＋1(x －a )2＝(x －a )＋(x －a )＋1(x －a )2＋2a . ∵x －a >0，∴2x ＋1(x －a )2≥33(x －a )(x －a )1(x －a )2＋2a ＝3＋2a ，当且仅当x －a ＝1(x －a )2即x ＝a ＋1时，等号成立．∴2x ＋1(x －a )2的最小值为3＋2a . 由题意可得3＋2a ≥7，得a ≥2.答案：28．设a ，b ，c ∈R ＋，求证：(a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1a ＋c ≥92. 证明：∵a ，b ，c ∈R ＋，∴2(a ＋b ＋c )＝(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )≥33(a ＋b )(b ＋c )(c ＋a )>0.1a ＋b ＋1b ＋c ＋1a ＋c ≥331a ＋b ·1b ＋c ·1a ＋c>0， ∴(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1a ＋c ≥92. 当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．9．已知正数a ，b ，c 满足abc ＝1，求(a ＋2)(b ＋2)·(c ＋2)的最小值．解：因为(a ＋2)(b ＋2)(c ＋2)＝(a ＋1＋1)(b ＋1＋1)(c ＋1＋1)≥3·3a ·3·3b ·3·3c ＝27·3abc ＝27，当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，等号成立．所以(a ＋2)(b ＋2)(c ＋2)的最小值为27.10．已知a ，b ，c 均为正数，证明：a 2＋b 2＋c 2＋⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c 2≥63，并确定a ，b ，c 为何值时，等号成立．证明：法一：因为a ，b ，c 均为正数，由平均值不等式，得a 2＋b 2＋c 2≥3(abc )23，① 1a ＋1b ＋1c ≥3(abc )－13，所以⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c 2≥9(abc )－23.② 故a 2＋b 2＋c 2＋⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c 2≥3(abc )23＋9(abc )－23. 又3(abc )23＋9(abc )－23≥227＝63，③ 所以原不等式成立．当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立．当且仅当3(abc )23＝9(abc )－23时，③式等号成立．即当且仅当a ＝b ＝c ＝314时，原式等号成立．法二：因为a ，b ，c 均为正数，由基本不等式，得a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac ，所以a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac ，①同理1a 2＋1b 2＋1c 2≥1ab ＋1bc ＋1ac ，② 故a 2＋b 2＋c 2＋⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c 2≥ab ＋bc ＋ac ＋3ab ＋3bc ＋3ac≥63，③ 所以原不等式成立．当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立；当且仅当a ＝b ＝c ，(ab )2＝(bc )2＝(ac )2＝3时，③式等号成立，即当且仅当a ＝b ＝c ＝314时，原式等号成立．。

人教版高中数学选修4-5练习：第一讲1.1-1.1.3三个正数的算术—几何平均不等式 Word版含解析

第一讲不等式和绝对值不等式1.1 不等式1.1.3 三个正数的算术—几何平均不等式A级基础巩固一、选择题1．若实数x，y满足xy＞0，且x2y＝2，则xy＋x2的最小值是() A．1B．2C．3D．4解析：xy＋x2＝12xy＋12xy＋x2≥3312xy·12xy·x2＝3314（x2y）2＝3344＝3，当且仅当12xy＝x2，即x＝1时，等号成立．答案：C2．若a ＞b ＞0，则a ＋1b （a －b ）的最小值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：因为a ＋1b （a －b ）＝(a －b )＋b ＋1b （a －b ）≥33（a －b ）·b ·1b （a －b ）＝3，当且仅当a ＝2，b ＝1时取等号，所以a ＋1b （a －b ）的最小值为3.答案：D3．设x ，y ，z ∈R ＋，且x ＋y ＋z ＝6，则lg x ＋lg x ＋lg z 的取值范围是( )A ．(－∞，lg 6]B ．(－∞，3lg 2]C ．lg 6，＋∞)D ．3lg 2，＋∞)解析：因为lg x ＋lg y ＋lg z ＝lg(xyz )，而xyz ≤⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋y ＋z 33＝23，所以lg x ＋lg y ＋lg z ≤lg 23＝3lg 2，当且仅当x ＝y ＝z ＝2时，取等号．答案：B4．已知x ＋2y ＋3z ＝6，则2x ＋4y ＋8z 的最小值为( ) A ．336 B ．2 2 C ．12 D ． 1235 解析：2x＋4y＋8z＝2x＋22y＋23z≥3326＝12.当且仅当x ＝2y ＝3z ＝2时等号成立．答案：C5．若log x y ＝－2，则x ＋y 的最小值是( ) A.3322 B.2333 C.332 D.223解析：当log x y ＝－2，得x －2＝y ，即x 2y ＝1，且x ＞0，y ＞0， x ＋y ＝12x ＋12x ＋y ≥3312x ·12x ·y ＝3232. 当且仅当12x ＝y 时等号成立．答案：A 二、填空题6．已知正数a ，b 满足ab 2＝1，则a ＋b 的最小值是________．解析：因为a ，b 是正数，ab 2＝1，所以a ＋b ＝a ＋b 2＋b2≥33ab 24＝3232. 故a ＋b 的最小值是3232，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ab 2＝1，a ＝b 2，即⎩⎨⎧a ＝1232，b ＝32时取到最小值．答案：33227．函数f (x )＝x (5－2x )2⎝⎛⎭⎪⎫0＜x ＜52的最大值是________．解析：f (x )＝14×4x (5－2x )(5－2x )≤14⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4x ＋5－2x ＋5－2x 33＝25027，当且仅当4x ＝5－2x ，即x ＝56时，等号成立．故函数f (x )＝x (5－2x )2⎝⎛⎭⎪⎫0＜x ＜52的最大值为25027. 答案：250278．设x ，y ，z ＞0且x ＋3y ＋4z ＝6，则x 2y 3z 的最大值是_________．解析：因为6＝x ＋3y ＋4z ＝x 2＋x2＋y ＋y ＋y ＋4z ≥66x 2y 3z ，所以x 2y 3z ≤1，当且仅当x2＝y ＝4z ，即x ＝2，y ＝1，z ＝14时，等号成立．所以x 2y 3z 取得最大值1. 答案：1 三、解答题9．θ为锐角，求y ＝sin θ·cos 2θ的最大值．解：y 2＝sin 2θcos 2θcos 2θ＝12·2sin 2θ(1－sin 2θ)(1－sin 2θ)≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝427. 当且仅当2sin 2θ＝1－sin 2θ，即sin θ＝33时取等号．所以y max ＝239.10．已知a ，b ，c 为正数，求证：(a ＋b ＋c )(a 2＋b 2＋c 2)≥9abc . 证明：因为a ，b ，c 为正数，所以a ＋b ＋c ≥33abc ，a 2＋b 2＋c 2≥33a 2b 2c 2所以(a ＋b ＋c )(a 2＋b 2＋c 2)≥33abc ·33a 2b 2c 2＝93abc ·a 2b 2c 2. 所以(a ＋b ＋c )(a 2＋b 2＋c 2)≥9abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立．B 级能力提升1．若数列{a n }的通项公式是a n ＝nn 3＋128，则该数列中的最大项是( )A ．第4项B ．第6项C ．第7项D ．第8项解析：a n ＝nn 3＋128＝1n 2＋128n ＝1n 2＋64n ＋64n因为n 2＋64n ＋64n≥33n 2·64n ·64n＝48，当且仅当n 2＝64n ，即n ＝4时，等号成立，所以a n ≤148，该数列的最大项是第4项．答案：A2．函数y ＝4sin 2x ·cos x 的最大值为__________，最小值为________．解析：因为y 2＝16sin 2x ·sin 2x ·cos 2x ＝8(sin 2x ·sin 2x ·2cos 2x )≤8⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫sin 2x ＋sin 2x ＋2cos 2x 33＝8×827＝6427，所以y 2≤6427，当且仅当sin 2x ＝2cos 2x ，即tan x ＝±2时取等号．所以y max ＝893，y min ＝－89 3.答案：839 －8393．请你设计一个帐篷，它下部的形状是高为1 m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3 m 的正六棱锥，如图所示．试问当帐篷的顶点O 到底面中心O 1的距离为多少时，帐篷的体积最大？解：设OO 1为x m ，则1＜x ＜4.由题设可得正六棱锥底面边长为32－（x －1）2＝8＋2x －x 2，于是底面正六边形的面积为6×34×(8＋2x －x 2)2＝332(8＋2x －x 2)，帐篷的体积为V (x )＝332(8＋2x －x 2)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤13（x －1）＋1＝32(4－x )(x＋2)(x ＋2)＝34(8－2x )(x ＋2)(x ＋2)≤34⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤（8－2x ）＋（x ＋2）＋（x ＋2）33＝16 3. 当且仅当8－2x ＝x ＋2，即x ＝2时取等号．即当帐篷的顶点O 到底面中心O 1的距离为2 m 时帐篷的体积最大．。

数学人教A版选修4-5学案：课堂探究 1.1不等式第3课时

课堂探究1．三个正数或三个以上正数的算术几何平均不等式的应用条件剖析：“一正”：不论是三个数或者n 个数的算术几何平均不等式，都要求是正数，否则不等式是不成立的．如a ＋b ＋c ≥33abc ，取a ＝b ＝－2，c ＝2时，a ＋b ＋c ＝－2，而33abc＝6，显然－2≥6不成立．“二定”：包含两类求最值问题：一是已知n 个正数的和为定值(即a 1＋a 2＋…＋a n 为定值)，求其积a 1a 2…a n 的最大值；二是已知乘积a 1a 2…a n 为定值，求其和a 1＋a 2＋…＋a n 的最小值．“三相等”：取“＝”号的条件是a 1＝a 2＝a 3＝…＝a n ，不能只是其中一部分相等．不等式a 2＋b 2≥2ab 与a 3＋b 3＋c 3≥3abc 的运用条件不一样，前者要求a ，b ∈R ，后面要求a ，b ，c ∈R ＋.要注意区别．2．灵活使用基本不等式中的变形与拼凑方法剖析：为了使用三个正数的算术几何平均不等式求最值(或范围等)，往往需要对数学代数式变形或拼凑，有时一个数拆成两个或两个以上的数，这时候，拆成的数要相等，如y ＝4x 4＋x 2＝4x 4＋x 22＋x 22，其中把x 2拆成x 22和x 22两个数，这样可满足不等式成立的条件，若这样变形：y ＝4x 4＋x 2＝4x 4＋x 24＋34x 2，虽然满足了乘积是定值这个要求，但“三相等”这个要求就无法实现了，这是因为：取“＝”号的条件是4x 4＝x 24＝34x 2，显然x 无解．题型一应用三个正数的算术几何平均不等式求函数的最值【例1】已知x ＞0，求函数y ＝x (1－x 2)的最大值．分析：为使数的“和”为定值，可以先平方，即y 2＝x 2(1－x 2)2＝x 2(1－x 2)(1－x 2)＝2x 2(1－x 2)(1－x 2)×12.求出最值后再开方．解：∵y ＝x (1－x 2)，∴y 2＝x 2(1－x 2)2＝2x 2(1－x 2)(1－x 2)·12. ∵2x 2＋(1－x 2)＋(1－x 2)＝2，∴y 2≤12⎝⎛⎭⎫2x 2＋1－x 2＋1－x 233＝427. 当且仅当2x 2＝1－x 2，即x ＝33时取等号成立． ∴y ≤239.∴y 的最大值为239. 反思对式子拼凑，以便能利用算术几何平均不等式求最值，是必须掌握的一种解题方法，但拼凑要合理，且要符合适用的条件，对于本题，有的学生可能这样去拼凑：y ＝x (1－x 2)＝x (1－x )(1＋x )＝12·x (2－2x )·(1＋x )≤12⎝⎛⎭⎫x ＋2－2x ＋1＋x 33＝12.虽然其中的拼凑过程保证了三个数的和为定值，但忽略了取“＝”号的条件，显然x ＝2－2x ＝1＋x 无解，即无法取“＝”号，也就是说，这种拼凑法是不正确的．这就要求平时多积累一些拼凑方法，同时注意算术几何平均不等式的使用条件，三个缺一不可.题型二应用三个正数的算术几何平均不等式证明不等式【例2】设a ，b ，c ＞0，求证：(a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c ≥9.分析：先观察求证式子的结构，通过变形转化为用算术几何平均不等式证明．证明：∵a ，b ，c ＞0，∴a ＋b ＋c ≥33abc ，1a ＋1b ＋1c ≥331abc .∴(a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c ≥9.当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．反思三个正数的算术几何平均不等式定理，是根据不等式的意义、性质和比较法证出的，因此，凡是可以利用该定理证明的不等式，一般都可以直接应用比较法证明，只是在具备条件时，直接应用该定理会更简便．若不直接具备“一正二定三相等”的条件，要注意经过适当的恒等变形后再使用定理证明．连续多次使用算术几何平均不等式定理时要注意前后等号成立的条件是否保持一致. 题型三应用三个正数的算术几何平均不等式解决实际问题【例3】如图所示，在一张半径是2米的圆桌的正中央上空挂一盏电灯．大家知道，灯挂得太高了，桌子边缘处的亮度就小；挂得太低，桌子的边缘处仍然是不亮的．由物理学可知，桌子边缘一点处的亮度E 和电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角θ的正弦成正比，而和这一点到光源的距离r 的平方成反比，即E ＝k sin θr2，这里k 是一个和灯光强度有关的常数．那么究竟应该怎样选择灯的高度h ，才能使桌子边缘处最亮？分析：根据题设条件建立r 与θ的关系式―→将它代入E ＝k sin θr 2―→ 得到以θ为自变量，E 为因变量的函数关系式―→用平均不等式求函数的最值―→获得问题的解解：∵r ＝2cos θ，∴E ＝k ·sin θcos 2θ4⎝⎛⎭⎫0＜θ＜π2， ∴E 2＝k 216·sin 2θ·cos 4θ＝k 232·(2sin 2θ)·cos 2θ·cos 2θ≤k 232·⎝⎛⎭⎫2sin 2θ＋cos 2θ＋cos 2θ33＝k 2108，当且仅当2sin 2θ＝cos 2θ时取等号，即tan 2θ＝12，tan θ＝22， ∴h ＝2tan θ＝2，即h ＝2时，E 最大．∴灯的高度h 为2时，才能使桌子边缘处最亮．反思处理此类求最值的实际问题，应正确找到各变量之间的关系，建立适当的函数关系式，把问题转化为求函数的最值问题，并将关系式配凑成可以用算术几何平均不等式的形式，若符合条件“一正、二定、三相等”即可直接求解．。

高中数学新人教A版选修4-5课堂测试三个正数的算术—几何平均不等式

课时跟踪检测（三）三个正数的算术—几何平均不等式1．设x >0，则y ＝x ＋4x 2的最小值为( ) A ．2B ．2 2C ．3 2D ．3解析：选D y ＝x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥3·3x 2·x 2·4x 2＝3，当且仅当x 2＝4x2，即x ＝2时取“＝”号． 2．设x ，y ，z ∈R ＋且x ＋y ＋z ＝6，则lg x ＋lg y ＋lg z 的取值范围是( )A ．(－∞，lg 6]B ．(－∞，3lg 2]C ．[lg 6，＋∞)D ．[3lg 2，＋∞)解析：选B ∵lg x ＋lg y ＋lg z ＝lg(xyz )，而xyz ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y ＋z 33，∴lg(xyz )≤lg 8＝3lg 2，当且仅当x ＝y ＝z ＝2时，等号成立．3．若实数x ，y 满足xy >0，且x 2y ＝2，则xy ＋x 2的最小值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 解析：选C xy ＋x 2＝12xy ＋12xy ＋x 2≥ 3312xy ·12xy ·x 2＝3 314(x 2y )2＝3，当且仅当12xy ＝x 2，x 2y ＝2，即x ＝1，y ＝2时取“＝”号．故xy ＋x 2的最小值为3.4．已知a ，b ，c ∈R ＋，x ＝a ＋b ＋c 3，y ＝3abc ，z ＝ a 2＋b 2＋c 23，则x ，y ，z 的大小关系是( )A ．x ≤y ≤zB ．y ≤x ≤zC ．y ≤z ≤xD ．z ≤y ≤x 解析：选B ∵a ，b ，c ∈R ＋，∴a ＋b ＋c 3≥3abc ， ∴x ≥y ，又x 2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac 9， z 2＝3a 2＋3b 2＋3c 29， ∵a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac ，三式相加得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ，∴3a 2＋3b 2＋3c 2≥(a ＋b ＋c )2，∴z 2≥x 2，∴z ≥x ，即y ≤x ≤z .5．设0<x <1，则x (1－x )2的最大值为 ________.解析：∵0<x <1，∴1－x >0. 故32x (1－x )(1－x )≤2x ＋(1－x )＋(1－x )3＝23. ∴x (1－x )2≤427，当且仅当x ＝13时取等号．答案：427 6．设x ，y ，z 均大于0，且x ＋3y ＋4z ＝6，则x 2y 3z 的最大值为________．解析：∵6＝x ＋3y ＋4z ＝x 2＋x 2＋y ＋y ＋y ＋4z ≥66x 2y 3z . ∴x 2y 3z ≤1，当且仅当 x 2＝y ＝4z 时取“＝”号． ∴x 2z 3z 的最大值为1.答案：17．设三角形三边长为3,4,5，P 是三角形内的一点，则P 到该三角形三边距离乘积的最大值是________．解析：设P 到长度为3,4,5的三角形三边的距离分别是x ，y ，z ，三角形的面积为S .则S ＝12(3x ＋4y ＋5z )，又∵32＋42＝52， ∴这个直角三角形的面积S ＝12×3×4＝6. ∴3x ＋4y ＋5z ＝2×6＝12.∴333x ·4y ·5z ≤3x ＋4y ＋5z ＝12.∴(xyz )max ＝1615. 当且仅当x ＝43，y ＝1，z ＝45时等号成立．答案：16158．设a ，b ，c ∈R ＋，求证：(a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1a ＋c ≥92. 证明：∵a ，b ，c ∈R ＋，∴2(a ＋b ＋c )＝(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )≥33(a ＋b )(b ＋c )(c ＋a )>0.1a ＋b ＋1b ＋c ＋1a ＋c ≥331a ＋b ·1b ＋c ·1a ＋c＞0， ∴(a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1a ＋c ≥92. 当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．9．若θ为锐角，求y ＝sin θ·cos 2θ的最大值．解：y 2＝sin 2θ·cos 2θ·cos 2θ＝12·2sin 2θ(1－sin 2θ)·(1－sin 2θ) ≤12×⎝⎛⎭⎫233＝427. 当且仅当2sin 2θ＝1－sin 2θ，即sin θ＝33时取等号．此时y max ＝239. 10．已知某轮船速度为每小时10千米时，燃料费为每小时30元，其余费用(不随速度变化)为每小时480元，设轮船的燃料费用与其速度的立方成正比，问轮船航行的速度为每小时多少千米时，每千米航行费用总和最小．解：设船速为v 千米/小时，燃料费为A 元/小时．则依题意有A ＝k ·v 3，且有30＝k ·103，∴k ＝3100.∴A ＝3100v 3. 设每千米的航行费用为R ，则需时间为1v 小时，∴R ＝1v ⎝⎛⎭⎫3100v 3＋480＝3100v 2＋480v ＝3100v 2＋240v ＋240v≥333100v 2·240v ·240v ＝36. 当且仅当3100v 2＝240v ，即v ＝20时取最小值．∴轮船航行速度为20千米/小时时，每千米航行费用总和最小．。

人教版数学高二A版选修4-5例题与探索.三个正数的算术—几何平均不等式

典题精讲【例1】已知x ∈R +，求函数y=x(1-x 2)的最大值.思路分析：为使数的“和”为定值，可以先平方，即y 2=x 2(1-x 2)2=x 2(1-x 2)(1-x 2)=2x 2(1-x 2)(1-x 2)×21.最先求出最值后再开方.解：∵y=x(1-x 2),∴y 2=x 2(1-x 2）2=2x 2(1-x 2)(1-x 2)·21.∵2x 2+(1-x 2)+(1-x 2)=2,∴y 2≤274)3112(21222=-+-+x x x . 当且仅当2x 2=1-x 2=1-x 2,即x=33时取“=”号. ∴y≤932.∴y 的最大值为932. 黑色陷阱：拼凑数学结构，以便能利用均值不等式求最值，是必须掌握的一种解题方法，但拼凑要合理，且要符合适用的条件，对于本题，有的学生可能这样去拼凑：y=x(1-x 2)=x(1-x)(1+x)=21·x(2-2x)(1+x)≤）（312221x x x -+-+3 =21. 虽然其中的拼凑过程保证了三个数的和为定值，但忽略了取“=”号的条件，显然x=2-2x=1+x 无解，即无法取“=”号，也就是说，这种拼凑法是不对的.这就要求平时多积累一些拼凑方法的题型及数学结构，同时注意均值不等式的使用条件，三个缺一不可.【变式训练1】 θ为锐角，求y=sinθ·cos 2θ的最大值.思路分析：本题的目标函数为积结构，故应创设各因子的和为定值.要特别注意sin 2θ+cos 2θ=1的应用.解：y 2=sin 2θ·co s 2θ·cos 2θ=21·2sin 2θ(1-sin 2θ)(1-sin 2θ) ≤21(32)3=274. 当且仅当2sin 2θ=1-sin 2θ,即sinθ=33时取等号. 此时y max =932. 【变式训练2】已知x ∈R +，求函数y=x 2(1-x)的最大值.思路分析：本题积结构中x 2=x·x,所以y=x 2(1-x)=x×x(1-x),为使“和”为定值，还需拼凑系数. 解：y=x 2(1-x)=x·x(1-x)=x·x·(2-2x)×21≤27427821)322(213=⨯=-++x x x . 当且仅当x=2-2x,即x=32时取等号. 此时,y max =274. 【例2】已知n 是大于1的自然数，求证：2n >1+12-n n .思路分析：2n >1+12-n n 等价于2n -1>12-n n ①根据等比数列的前n 项和公式逆向联想到2n -1=212211-⨯--n =1+2+22+…+2n-1. 即①式也可表示为n 个不同的数1，2，22，…，2n-1之积，因此自然联想到；如果12-n 正好等于这几个正数之积的n 次算术根，则①即可由均值不等式证得.证明：∵2n -1=1+2+22+…+2n-1>11222221--=⨯⨯n nn n n , ∴2n >1+12-n n .绿色通道：在使用均值不等式的题目中，尤其对于n 个正数的均值不等式，能够分析或观察到是n 个正数的均不等式问题是解答的关键，这也需要对提供的条件代数式进行适当的变形.【变式训练】已知：a,b,c 同号且互不相等，a+b+c=1,求证：a 1+b 1+c1>9. 思路分析：本题解法较多，已知条件中a+b+c 可看作是“1”的代换，然后两两结合使用基本不等式，或者看作6个正数的均值不等式. 证法一：a 1+b 1+c 1=cc b a b c b a a c b a ++++++++ =1+a b +a c +b a +1+b c +c a +cb +1 =(a b +b a )+(ac +c a )+(b c +c b )+3. ∵a,b,c 同号，且a+b+c=1.∴a>0,b>0,c>0. ∴a b ,b a ,a c ,c a ,b c ,cb 均大于0.又a,b,c 互不相等，由基本不等式，得 a b +b a >2,c a +a c >2,b c +cb >2. 于是，左边>2+2+2+3=9. ∴a 1+b 1+c1>9.证法二：a 1+b 1+c 1=cc b a b c b a a c b a ++++++++ =3+(a b +a c +b a +b c +c a +c b ). ∵a,b,c 同号且a+b+c=1,∴a>0,b>0,c>0. ∴a b ,a c ,b a ,b c ,c a ,cb 均大于0，又a,b,c 互不相等.由6个正数的均值不等式，得左边=3+(a b +a c +b a +b c +c a +c b )≥3+66c b c a b c b a a c a b •••••=3+6=9. ∴a 1+b 1+c1=9. 问题探究问题：制作一个圆柱形的饮料盒，如果容积一定，怎样设计它的尺寸，才能使所用的材料最少？导思：所用的材料最少的本质是什么意思？或者说从数学的角度来说是什么意思？分析出来，实质是表面积最小.探究：已知量：体积V.需设量：底半径r,高h.最终要研究的量：表面积S.关系式：S=2πr 2+2πrh.=2πr 2+rV 2. =2πr 2+r V r V + ≥3223V π.即当2πr 2=rV ,r=32πV 时表面积最小. 此时h=2r.即饮料盒的底面半径为r=32πV ,高度为232πV 时，用料最省.。

人教版数学高二选修4-5课时作业一第3课时三个正数的算术—几何平均不等式

第3课时三个正数的算术—几何平均不等式一、选择题1．函数y ＝x 2(1－5x )(0≤x ≤15)的最大值为( ) A.4675B.2657C.4645D.26752．设a ，b ，c 都是正数，且a ＋2b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c的最小值为( ) A ．9B ．12C ．6－2 2D ．6＋4 23．设x ，y ，z ＞0且x ＋y ＋z ＝6，则lg x ＋lg y ＋lg z 的取值范围是( )A ．(－∞，lg6C ．3lg2，＋∞)4．若实数x ，y 满足xy ＞0，且x 2y ＝2，则xy ＋x 2的最小值是( )A ．1B ．2C ．3D ．45．若log x y ＝－2，则x ＋y 的最小值是( ) A.3322 B.833 C.332 D.2236．已知圆柱的轴截面周长为6，体积为V ，则下列总成立的是( )A ．V ≥πB ．V ≤πC ．V ≥18π D ．V ≤18π 二、填空题7．已知a ，b ，c ∈R ＋，且满足a ＋2b ＋3c ＝1，则1a ＋12b ＋13c的最小值为________． 8．已知x ，y ，z ∈R ＋，且x ＋3y ＋4z ＝6，则x 2y 3z 的最大值为________．9．若a ＞2，b ＞3，则a ＋b ＋1(a －2)(b －3)的最小值为________． 10．已知关于x 的不等式2x ＋1(x －a )2≥7在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a 的最小值为________．11．若正实数x ，y ，z 满足x ＋2y ＋z ＝1，则1x ＋y ＋9(x ＋y )y ＋z的最小值为________．三、解答题12．已知a ，b ，c 均为正数，证明a 2＋b 2＋c 2＋(1a ＋1b ＋1c)2≥63，并确定a ，b ，c 为何值时，等号成立．13．有一块边长为36cm 的正三角形铁皮，从它的三个角上剪下三个全等的四边形后做成一个无盖的正三棱柱容器，要使这个容器的容积最大，剪下的三个四边形面积之和等于多少？最大容积是多少？四、探究与拓展14．设0＜θ＜π，求函数y ＝sin θ2(1＋cos θ)的最大值．15．已知x ∈R ＋，求函数y ＝x (1－x 2)的最大值．答案精析1．A 2.D 3.B 4.C 5.A 6.B7．9解析因为a ，b ，c ∈R ＋，且满足a ＋2b ＋3c ＝1，所以1a ＋12b ＋13c ＝(a ＋2b ＋3c )·(1a ＋12b＋13c)≥33a ·2b ·3c · 331a ·12b ·13c ＝9，当且仅当a ＝2b ＝3c ＝13时取等号．因此1a ＋12b ＋13c的最小值为9. 8．1解析因为x ，y ，z ∈R ＋，且x ＋3y ＋4z ＝6，所以6＝x ＋3y ＋4z ＝x 2＋x 2＋y ＋y ＋y ＋4z ≥6·6x 2y 3z ，所以x 2y 3z ≤1，当且仅当x 2＝y ＝4z 时取等号． 9．8解析 a ＞2，b ＞3，∴a －2＞0，b －3＞0，则a ＋b ＋1(a －2)(b －3)＝(a －2)＋(b －3)＋1(a －2)(b －3)＋5 ≥33(a －2)×(b －3)×1(a －2)(b －3)＋5 ＝8，当且仅当a －2＝b －3＝1(a －2)(b －3)，即a ＝3，b ＝4时等号成立．10．2解析 2x ＋1(x －a )2＝(x －a )＋(x －a )＋1(x －a )2＋2a ，∵x －a ＞0， ∴2x ＋1(x －a )2≥33(x －a )(x －a )1(x －a )2＋2a ＝3＋2a ，当且仅当x －a ＝1(x －a )2，即x ＝a ＋1时取等号．∴2x ＋1(x －a )2的最小值为3＋2a .由题意可得3＋2a ≥7，得a ≥2. 11．7解析因为正实数x ，y ，z 满足x ＋2y ＋z ＝1.所以1x ＋y ＋9(x ＋y )y ＋z ＝x ＋y ＋y ＋z x ＋y ＋9(x ＋y )y ＋z ＝1＋y ＋z x ＋y ＋9(x ＋y )y ＋z≥1＋ 2y ＋z x ＋y ×9(x ＋y )y ＋z ＝7，当且仅当y ＋z x ＋y ＝9(x ＋y )y ＋z ，即x ＋y ＝14，y ＋z ＝34时取等号．所以1x ＋y ＋9(x ＋y )y ＋z的最小值为7. 12．证明因为a ，b ，c 均为正数，由算术—几何平均不等式，得a 2＋b 2＋c 2≥233()abc ，①1a ＋1b ＋1c ≥133()abc -，所以(1a ＋1b ＋1c)2≥239()abc -.② 故a 2＋b 2＋c 2＋(1a ＋1b ＋1c)2≥233()abc ＋239()abc -，又233()abc ＋239()abc -≥227＝63，③当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立．当且仅当233()abc ＝239()abc -时，③式等号成立，即当且仅当a ＝b ＝c ＝143时，原式等号成立，所以原不等式成立．13．解剪下的三个全等的四边形如图所示，设A 1F 1＝x cm ，则AF 1＝3x cm ，所以A 1B 1＝F 1F 2＝(36－23x )cm ，所以V ＝34(36－23x )2·x ＝332(63－x )(63－x )·2x . 因为0＜x ＜63，所以63－x ＞0.又(63－x )＋(63－x )＋2x ＝123，所以当63－x ＝2x ，即x ＝23时，V 有最大值，这时V 最大＝332·(43)3＝864(cm 3)．因为S 四边形A 1F 1AE 2＝x ·3x ＝3x 2＝123(cm 2)．所以此时三个四边形面积之和等于363cm 2.14．解 y ＝sin θ2(1＋cos θ )＝2sin θ2cos 2θ2＞0(0＜θ＜π)，y 取最大值当且仅当y 2取最大值． y 2＝4sin 2θ2·cos 4θ2＝4sin 2θ2·cos 2θ2·cos 2θ2 ＝2·2sin 2θ2·cos 2θ2·cos 2θ2≤2·(2sin 2 θ2＋cos 2 θ2＋cos 2 θ23)3 ＝2×(23)3＝1627，当2sin 2θ2＝cos 2θ2时取等号，此时tan 2θ2＝12，tan θ2＝±22，而tan θ2＝22在θ∈(0，π)上有解(可取θ＝2arctan 22)，则y 2max ＝1627，故y max ＝439.15．解 ∵y ＝x (1－x 2)，∴y 2＝x 2(1－x 2)2＝2x 2(1－x 2)(1－x 2)·12. ∵2x 2＋(1－x 2)＋(1－x 2)＝2，∴y 2≤12(2x 2＋1－x 2＋1－x 23)3＝427.当且仅当2x 2＝1－x 2，即x ＝33时取“＝”号． ∴y ≤239，∴y 的最大值为239.。

人教版数学高二A版选修4-5自我小测.三个正数的算术几何平均不等式

自我小测1．设a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，若111111M a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝－－－，则必有( )． A ．0≤M ＜18 B ．18≤M ＜1 C ．1≤M ＜8 D ．M ≥82．已知x ＋2y ＋3z ＝6，则2x ＋4y ＋8z 的最小值为( )．A ．B ．C ．12D ．3．设π02x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，则函数y ＝4sin 2x ·cos x 的最大值为________． 4．设x ＞0，则22x x＋≥__________.5．已知0＜x ＜4.5，则x 2(9－2x )的最大值是__________．6．已知圆柱的体积V 是定值，问圆柱的底半径r 和高h 各是多少时，圆柱的全面积S 最小？并求S 的最小值．7．若a ＞b ＞0，求1a b a b ()＋－的最小值．8．甲、乙两人同时沿同一路线从A 地出发走向B 地，甲先用13的时间以速度p 行走，再用13的时间以速度q 行走，最后用13的时间以速度r 行走；乙在前13的路程用速度p 行走，中间13的路程用速度q 行走，最后13的路程用速度r 行走(p ，q ，r 均不相等)，问甲、乙两人谁先到达B 地，为什么？9.已知a ，b ，c 均为正数，证明2222111a b c a b c ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭＋＋＋＋＋a ，b ，c为何值时，等号成立．参考答案1. 答案：D 解析：111a b c a b c a b c M a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＋＋＋＋＋＋＝－－－8b c a c a b abc ()()()≥＋＋＋＝，当且仅当13a b c ＝＝＝时等号成立． 2. 答案：C解析：∵2x ＞0,4y ＞0,8z ＞0，∴2x ＋4y ＋8z ＝2x ＋22y ＋23z ≥3×4＝12.当且仅当2x ＝22y ＝23z ，即x ＝2，y ＝1，23z ＝时，等号成立．3. 解析：∵y 2＝16sin 2x ·sin 2x ·cos 2x ＝8(sin 2x ·sin 2x ·2cos 2x )≤3222sin sin 2cos 8648832727x x x ⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭＋＋＝＝， ∴26427y ≤，当且仅当sin 2x ＝2cos 2x ，即tan x max y 4. 答案：3解析：∵x ＞0，∴222113x x xx x≥＋＝＋＋. 当且仅当21x x＝，即x ＝1时等号成立．∴223x x≥＋. 5. 答案：27解析：由题可知x 2(9－2x )＝x ·x ·(9－2x )．因为0＜x ＜4.5，所以9－2x ＞0.所以923x x x ()≥＋＋－3≤，即x 2(9－2x )≤27. 当且仅当x ＝9－2x ，即x ＝3时，等号成立．因此，当x ＝3时，x 2(9－2x )有最大值是27. 6. 解：πr 2h ＝V ，S ＝2πr 2＋2πrh2112π2π22r rh rh ⎛⎫≥⋅ ⎪⎝⎭＝＋＋6π＝当且仅当212r rh ＝，即h ＝2r 时，等号成立．即r h ＝，min S ＝.7. 解：∵11()a a b b b a b b a b ()()＋＝－＋＋－－3≥，当且仅当a ＝2，b ＝1时，等号成立，∴1a b a b ()＋－的最小值为3.8. 解：设A ，B 两地间的距离为s (s ＞0)，甲从A 到B 所用的时间为t 1，乙从A 到B 所用的时间为t 2，由题意得111333t t t s p q r ⨯⨯⨯＝＋＋， ∴13s t p q r ＝＋＋，233s st p q ÷÷＝＋111()33s s r p q r ÷＋＝＋＋．∴213st t p q r≥≥＝＋＋． ∵p ，q ，r 均不相等，∴等号不成立． ∴t 1＜t 2，甲先到B 地．9. 证法一：因为a ，b ，c 均为正数，由均值不等式得a 2＋b 2＋c 2≥3(abc )23，① 231113()abc a b c≥＋＋，所以2231119()abc a b c -⎛⎫≥ ⎪⎝⎭＋＋.②故2222111a b c a b c ⎛⎫⎪⎝⎭＋＋＋＋＋22333()9()abc abc ≥－＋.又22333()9()abc abc ≥－＋所以原不等式成立．当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立．当且仅当22333()9()abc abc －＋时，③式等号成立．故当且仅当143a b c ＝＝＝时，原不等式等号成立．证法二：因为a ，b ，c 均为正数，由基本不等式得a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac. 所以a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac.① 同理，222111111a b c ab bc ac≥＋＋＋＋.② 故2222111a b c a b c ⎛⎫⎪⎝⎭＋＋＋＋＋≥ab ＋bc ＋ac ＋333ab bc ac≥＋＋.③ 所以原不等式成立．当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立，当且仅当a ＝b ＝c ，(ab )2＝(bc )2＝(ac )2＝3时，③式等号成立．故当且仅当143a b c ＝＝＝时，原不等式等号成立．。

2017年高中数学选修4-5全册配套试卷(人教A版共21份含答案)

2017年高中数学选修4-5全册配套试卷（人教A版共21份含答案)单元质量评估(二)(第二讲)(90分钟120分)一、选择题(本大题共8小题,每小题分,共40分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1已知a>b>>0,A=a2ab2b2,B=ab+b+aa+b,则A与B的大小关系是()AA>BBA<BA=BD不确定【解析】选A因为a>b>>0,所以A>0,B>0,所以= =aa-baa-bb-bb-a-a-b=因为a>b>0,所以>1,a-b>0,所以>1,同理>1, >1所以>1,即A>B2若实数x,适合不等式x>1,x+≥-2,则()Ax>0,>0Bx<0,<0x>0,<0Dx<0,>0【解析】选Ax,异号时,显然与x>1矛盾,所以可排除,D假设x<0,<0,则x<所以x+<+ ≤-2与x+≥-2矛盾,故假设不成立又x≠0,所以x>0,>0 3(2016•威海高二检测)使不等式+ >1+ 成立的正整数a的最大值是()A10B1112D13【解析】选用分析法可证a=12时不等式成立,a=13时不等式不成立4设a>0,b>0,a+b=1,= + + ,则与8的大小关系是()A=8B≥8<8D≤8【解析】选B因为a>0,b>0,a+b=1,所以1=a+b≥2 ,所以≤ ,所以≥4所以+ + =(a+b) + ≥2 •2 +4=8所以+ + ≥8,即≥8当且仅当a=b= 时等号成立(2016•石家庄高二检测)已知a>b,则不等式①a2>b2;②< ;③> 中不成立的个数是()A0B12D3【解析】选D因为a>b,①a2-b2=(a-b)(a+b)符号不确定,即a2>b2不一定成立;②- = 符号不确定,即< 不一定成立;③- = 符号不确定,即> 不一定成立,故三个不等式不成立的个数为36已知△AB中,∠=90°,则的取值范围是()A(0,2)BD【解析】选因为∠=90°,所以2=a2+b2,即= 又有a+b>,所以1< = ≤ =7若x,,a∈R+,且+ ≤a 恒成立,则a的最小值是()A B 1D【解题指南】根据≥ 得到≥ ( + )求解【解析】选B因为≥ ,即≥(x+),所以≥ ( + ),而+ ≤a ,即≥ ( + )恒成立,得≤ ,即a≥8(2016•济南高二检测)已知实数a,b,满足a+b+=0,ab>0,则+ + 的值的情况为()A一定是正数B一定是负数可能是0D正负不能确定【解析】选B因为实数a,b,满足a+b+=0,ab>0,不妨设a>b>,则a>0>b>,+ + = == <0二、填空题(本大题共4小题,每小题分,共20分请把正确答案填在题中横线上)9(2016•菏泽高二检测)已知a>0,b>0,若P是a,b的等差中项,Q是a,b的正的等比中项, 是, 的等差中项,则P,Q,R按从大到小的排列顺序为【解析】由已知得P= ,Q= ,= =所以R= ;所以R≤Q≤P答案:R≤Q≤P10若T1= ,T2= ,则当s,,n∈R+时,T1与T2的大小为【解析】因为- =s• = ≤0所以T1≤T2答案:T1≤T211(2016•湛江高二检测)若函数a,b满足a+b=1,则+ 的最大值是【解析】+ = ==2- ,则a+b=1≥2 知ab≤ ,所以+ =2- ≤2- =当且仅当a=b= 时,取最大值答案:12(2016•太原高二检测)已知a>b>,且+ ≥ 恒成立,则实数的最大值为【解析】因为a>b>,所以a-b,b-,a-均为正数,(a-) =[(a-b)+(b-)]= + +2≥4,当且仅当|a-b|=|b-|时取等号,于是+ ≥所以≤4答案:4三、解答题(本大题共6小题,共60分解答时应写出必要的字说明、证明过程或演算步骤)13(10分)设a,b,为三角形的三边,求证: + + ≥3【证明】设x=b+-a,=a+-b,z=a+b-,则有a+b+=x++z,a= (+z),b= (x+z), = (x+)此时,原不等式等价于+ + ≥3而+ + =≥=3所以原不等式成立14(10分)已知x,∈R,且<1, <1,求证: + ≥【证明】因为<1, <1,所以>0, >0所以+ ≥故要证明结论成立,只需证≥ 成立,即证1-x≥ 成立即可,因为(-x)2≥0,有-2x≥-x2-2,所以(1-x)2≥(1-x2)(1-2),所以1-x≥ >0,所以不等式成立1(10分)(2016•莱芜高二检测)已知函数f(x)=tanx,x∈若x1,x2∈且x1≠x2求证: [f(x1)+f(x2)]>f【证明】要证[f(x1)+f(x2)]>f即证: (tanx1+tanx2)>tan ,只需证明>tan ,只需证明>由于x1,x2∈,故x1+x2∈(0,π),所以sx1sx2>0,sin(x1+x2)>0,1+s(x1+x2)>0故只需证明1+s(x1+x2)>2sx1sx2即证1+sx1sx2-sinx1sinx2>2sx1sx2即证s(x1-x2)<1由于x1,x2∈且x1≠x2上式函数成立因此[f(x1)+f(x2)]>f16(10分)(2016•盐城高二检测)已知x1,x2均为正数,求证: ≥ 【解题指南】直接证明不易找到切入点,可采用分析法或反证法完成证明【证明】假设< ,两边平方得:<1+即<1+x1x2再两边平方得1+ + + <1+2x1x2+ ,即+ <2x1x2这与+ ≥2x1x2矛盾,所以原式成立17(10分)(201•湖南高考)设a>0,b>0,且a+b= + ,证明:(1)a+b≥2(2)a2+a<2与b2+b<2不可能同时成立【解题指南】(1)将已知条中的式子可等价变形为ab=1,再由基本不等式即可得证(2)利用反证法,假设a2+a<2与b2+b<2同时成立,可求得0<a<1,0<b<1,从而与ab=1矛盾,即可得证【证明】由a+b= + = ,a>0,b>0,得ab=1(1)由基本不等式及ab=1,有a+b≥2 =2,即a+b≥2(2)假设a2+a<2与b2+b<2同时成立,则由a2+a<2及a>0得0<a<1,同理0<b<1,从而ab<1,这与ab=1矛盾,故a2+a<2与b2+b<2不可能同时成立18(10分)(201•全国卷Ⅱ)设a,b,,d均为正数,且a+b=+d证明:(1)若ab>d,则+ > +(2) + > + 是|a-b|<|-d|的充要条【解题指南】(1)由a+b=+d及ab>d,可证明( + )2>( + )2,开方即得+ > + (2)本小题可借助第一问的结论证明,但要分必要性与充分性证明【证明】(1)因为( + )2=a+b+2 ,( + )2=+d+2由题设a+b=+d,ab>d得( + )2>( + )2因此+ > + (2)(i)若|a-b|<|-d|,则(a-b)2<(-d)2,即(a+b)2-4ab<(+d)2-4d因为a+b=+d,a,b,,d均为正数,所以ab>d由(1)得+ > +(ii)若+ > + ,则( + )2>( + )2,即a+b+2 >+d+2因为a+b=+d,所以ab>d于是(a-b)2=(a+b)2-4ab<(+d)2-4d=(-d)2因此|a-b|<|-d|综上, + > + 是|a-b|<|-d|的充要条。

高中数学人教A版选修4-5课时跟踪检测(三) 三个正数的算术—几何平均不等式 Word版含解析

课时跟踪检测(三)三个正数的算术—几何平均不等式．已知为正数，下列各题求得的最值正确的是( )．＝＋＋≥＝，∴＝.．＝＋＋≥＝，∴＝.．＝＋＋≥，∴＝.．＝(－)(－)≤＝，∴＝.解析：选、、在使用不等式＋＋≥(，，∈＋)和≤(，，∈＋)都不能保证等号成立，最值取不到．中，∵>，∴＝＋＋＝＋≥＋＝，当且仅当＝，即＝时，等号成立．．已知，，为正数，则＋＋有( )．最大值．最小值．最大值．最小值解析：选＋＋≥＝，当且仅当＝＝，即＝＝时，等号成立．．若＝－，则＋的最小值是( )解析：选由＝－，得＝.而＋＝＋＝＋＋≥＝＝，当且仅当＝，即＝时，等号成立．．已知圆柱的轴截面周长为，体积为，则下列不等式总成立的是( )．≤π．≥π．≤π．≥π解析：选设圆柱底面半径为，则圆柱的高＝，所以圆柱的体积为＝π·＝π·＝π(－)≤π＝π.当且仅当＝－，即＝时，等号成立．．若>，>，则＋＋的最小值为．解析：∵>，>，∴－>，－>，则＋＋＝(－)＋(－)＋＋≥＋＝.当且仅当－＝－＝，即＝，＝时，等号成立．答案：．设<<，则(－)的最大值为 .解析：∵<<，∴－>.故(－)＝×(－)(－)≤＝×＝(当且仅当＝时，等号成立)．答案：．已知关于的不等式＋≥在∈(，＋∞)上恒成立，则实数的最小值为．解析：＋＝(－)＋(－)＋＋.∵－>，∴＋≥＋＝＋，当且仅当－＝即＝＋时，等号成立．∴＋的最小值为＋.由题意可得＋≥，得≥.答案：．设，，∈＋，求证：(＋＋)≥.证明：∵，，∈＋，∴(＋＋)＝(＋)＋(＋)＋(＋)≥>.＋＋≥>，∴(＋＋)≥.当且仅当＝＝时，等号成立．．已知正数，，满足＝，求(＋)(＋)·(＋)的最小值．解：因为(＋)(＋)(＋)＝(＋＋)(＋＋)(＋＋)≥·····＝·＝，当且仅当＝＝＝时，等号成立．所以(＋)(＋)(＋)的最小值为.．已知，，均为正数，证明：＋＋＋≥，并确定，，为何值时，等号成立．证明：法一：因为，，均为正数，由平均值不等式，得＋＋≥()，①＋＋≥()－，所以≥()－.②故＋＋＋≥()＋()－.又()＋()－≥＝，③所以原不等式成立．当且仅当＝＝时，①式和②式等号成立．当且仅当()＝()－时，③式等号成立．即当且仅当＝＝＝时，原式等号成立．。

2017-2018学年高中数学人教A版选修4-5：第一讲一 3.三个正数的算术—几何平均不等式

3．三个正数的算术—几何平均不等式对应学生用书P81．定理3如果a ，b ，c ∈R ＋，那么a ＋b ＋c 3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立，用文字语言可叙述为：三个正数的算术平均不小于它们的几何平均．(1)不等式a ＋b ＋c 3≥3abc 成立的条件是：a ，b ，c 均为正数，而等号成立的条件是：当且仅当a ＝b ＝c .(2)定理3可变形为：①abc ≤(a ＋b ＋c 3)3；②a 3＋b 3＋c 3≥3abc .(3)三个及三个以上正数的算术－几何平均值不等式的应用条件与前面基本不等式的应用条件是一样的，即“一正，二定，三相等”．2．定理3的推广对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即a 1＋a 2＋…＋a nn ≥na 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立．对应学生用书P8[例1] 已知a ，b ，c ∈R ＋，求证： b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －cc≥3. [思路点拨] 欲证不等式的右边为常数3，联想到不等式a ＋b ＋c ≥33abc (a ，b ，c ∈R ＋)，故将所证不等式的左边进行恰当的变形．[证明] b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －cc＝⎝⎛⎭⎫b a ＋c b ＋a c ＋⎝⎛⎭⎫c a ＋a b ＋b c －3≥33b a ·c b ·a c ＋33c a ·a b ·b c －3＝6－3＝3.当且仅当a ＝b ＝c 时取等号．证明不等式的方法与技巧(1)观察式子的结构特点，分析题目中的条件．若具备“一正，二定，三相等”的条件，可直接应用该定理．若题目中不具备该条件，要注意经过适当的恒等变形后再使用定理证明．(2)三个正数的算术—几何平均不等式是根据不等式的意义、性质和比较法证出的，因此凡是利用该不等式证明的不等式，一般可用比较法证明．1．设a ，b ，c ＞0，求证：1a 3＋1b 3＋1c 3＋abc ≥2 3.证明：因为a ，b ，c ＞0，由算术—几何平均不等式可得 1a 3＋1b 3＋1c 3≥331a 3·1b 3·1c 3，即1a 3＋1b 3＋1c 3≥3abc (当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立)．所以1a 3＋1b 3＋1c 3＋abc ≥3abc ＋abc .而3abc＋abc ≥23abc·abc ＝23(当且仅当a 2b 2c 2＝3时，等号成立)，所以1a 3＋1b 3＋1c 3＋abc ≥23(当且仅当a ＝b ＝c ＝63时，等号成立)．2．已知a 1，a 2，…，a n 都是正数，且a 1a 2…a n ＝1，求证：(2＋a 1)(2＋a 2)…(2＋a n )≥3n .证明：因为a 1是正数，根据三个正数的平均不等式，有2＋a 1＝1＋1＋a 1≥33a 1. 同理2＋a j ≥33a j (j ＝2,3，…n )．将上述各不等式的两边分别相乘即得 (2＋a 1)(2＋a 2)…(2＋a n ) ≥(33a 1)(33a 2)…(33a n ) ＝3n ·3a 1a 2…a n .∵a 1a 2…a n ＝1，∴(2＋a 1)(2＋a 2)…(2＋a n )≥3n . 当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n ＝1时，等号成立.[例2] (1)求函数y ＝(x －1)2(3－2x )⎝⎛⎭⎫1<x <32的最大值． (2)求函数y ＝x ＋4(x －1)2(x >1)的最小值．[思路点拨] 对于积的形式求最大值，应构造和为定值． (2)对于和的形式求最小值，应构造积为定值．解：(1)∵1<x <32，∴3－2x >0，x －1>0.y ＝(x －1)2(3－2x ) ＝(x －1)(x －1)(3－2x )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋x －1＋3－2x 33＝⎝⎛⎭⎫133＝127，当且仅当x －1＝x －1＝3－2x ，即x ＝43∈⎝⎛⎭⎫1，32时，y max ＝127.(2)∵x ＞1，∴x －1>0，y ＝x ＋4(x －1)2＝12(x －1)＋12(x －1)＋4(x －1)2＋1 ≥3312(x －1)·12(x －1)·4(x －1)2＋1＝4，当且仅当12(x －1)＝12(x －1)＝4(x －1)2，即x ＝3时等号成立．即y min ＝4.(1)利用三个正数的算术－几何平均不等式定理求最值，可简记为“积定和最小，和定积最大”．(2)应用平均不等式定理，要注意三个条件“即一正二定三相等”同时具备时，方可取得最值，其中定值条件决定着平均不等式应用的可行性，获得定值需要一定的技巧，如：配系数、拆项、分离常数、平方变形等．3．设x >0，则f (x )＝4－x －12x 2的最大值为( ) A ．4－22B ．4－ 2C ．不存在D.52解析：∵x >0，∴f (x )＝4－x －12x 2＝4－⎝⎛⎭⎫x 2＋x 2＋12x 2≤4－33x 2·x 2·12x 2＝4－32＝52. 答案：D4．若0＜x ＜1，则函数y ＝x 4(1－x 2)的最大值是________，此时x ＝________. 解析：因为0＜x ＜1，所以y ＝x 4(1－x 2)＝12x 2·x 2(2－2x 2)≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋x 2＋2－2x 233＝427，当且仅当x 2＝x 2＝2－2x 2，即x ＝63时，函数y ＝x 4(1－x 2)取得最大值427.答案：427 63[例3] 如图所示，在一张半径是2米的圆桌的正中央上空挂一盏电灯．大家知道，灯挂得太高了，桌子边缘处的亮度就小；挂得太低，桌子的边缘处仍然是不亮的．由物理学知道，桌子边缘一点处的照亮度E 和电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角θ的正弦成正比，而和这一点到光源的距离r 的平方成反比，即E ＝k sin θr2.这里k 是一个和灯光强度有关的常数，那么究竟应该怎样选择灯的高度h ，才能使桌子边缘处最亮？[思路点拨] 根据题设条件建立r 与θ的关系式→将它代入E ＝k sin θr 2→得到以θ为自变量，E 为因变量的函数关系式→用平均不等式求函数的最值→获得问题的解 [解] ∵r ＝2cos θ，∴E ＝k ·sin θcos 2θ4⎝⎛⎭⎫0<θ<π2. ∴E 2＝k 216·sin 2θ·cos 4θ＝k 232·(2sin 2θ)·cos 2θ·cos 2θ≤k 232·⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin 2θ＋cos 2θ＋cos 2θ33＝k 2108. 当且仅当2sin 2θ＝cos 2θ时取等号，即tan 2θ＝12，tan θ＝22.∴h ＝2tan θ＝ 2.即h ＝2时，E 最大．本题获解的关键是在获得了E ＝k ·sin θcos 2θ4后，对E 的表达式进行变形求得E 的最大值．解应用题时必须先读懂题意，建立适当的函数关系式，若把问题转化为求函数的最值问题，常配凑成可以用平均不等式的形式，若符合条件“一正、二定、三相等”即可求解．5．已知长方体的表面积为定值S ，试问这个长方体的长、宽、高各是多少时，它的体积最大，求出这个最大值．解：设长方体的体积为V ，长、宽、高分别是a ，b ，c ，则V ＝abc ，S ＝2ab ＋2bc ＋2ac .V 2＝(abc )2＝(ab )(bc )(ac )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫ab ＋bc ＋ac 33＝⎝⎛⎭⎫S 63＝S 3216.当且仅当ab ＝bc ＝ac ，即a ＝b ＝c 时，上式取“＝”号，V 2取最小值S 3216.由⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝c ，2ab ＋2bc ＋2ac ＝S ，解得a ＝b ＝c ＝6S 6.即当长方体的长宽高都等于6S 6时，体积最大，最大值为S 6S36.对应学生用书P101．已知x 为正数，下列各题求得的最值正确的是( ) A ．y ＝x 2＋2x ＋4x 3≥33x 2·2x ·4x3＝6，∴y min ＝6.B ．y ＝2＋x ＋1x ≥332·x ·1x ＝332，∴y min ＝332.C ．y ＝2＋x ＋1x≥4，∴y min ＝4.D ．y ＝x (1－x )(1－2x )≤13⎣⎡⎦⎤3x ＋(1－x )＋(1－2x )33＝881，∴y max ＝881.解析：A ，B ，D 在使用不等式a ＋b ＋c ≥33abc (a ，b ，c ∈R ＋)和abc ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b ＋c 33(a ，b ，c ∈R ＋)都不能保证等号成立，最值取不到．C 中，∵x >0，∴y ＝2＋x ＋1x ＝2＋⎝⎛⎭⎫x ＋1x ≥2＋2＝4，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取等号．答案：C2．设a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝3，则ab 2的最大值为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．6解析：∵ab 2＝4a ×b 2×b2≤4⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＋b 233＝4⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 33＝4×13＝4，当且仅当a ＝b2＝1时，等号成立．即ab 2的最大值为4. 答案：C3．若log x y ＝－2，则x ＋y 的最小值是( ) A.3322B.833C.332D.223解析：由log x y ＝－2得y ＝1x 2.而x ＋y ＝x ＋1x2＝x 2＋x 2＋1x 2≥33x 2·x 2·1x 2＝3314＝3322，当且仅当x 2＝1x 2即x ＝32时取等号．答案：A4．已知圆柱的轴截面周长为6，体积为V ，则下列总成立的是( ) A ．V ≥πB ．V ≤πC ．V ≥18πD ．V ≤18π解析：设圆柱半径为r ，则圆柱的高h ＝6－4r 2，所以圆柱的体积为V ＝πr 2·h ＝πr 2·6－4r 2＝πr 2(3－2r )≤π⎝⎛⎭⎪⎫r ＋r ＋3－2r 33＝π. 当且仅当r ＝3－2r ，即r ＝1时取等号．答案：B5．设0<x <1，则x (1－x )2的最大值为 ________. 解析：∵0<x <1，∴1－x >0. 故32x (1－x )(1－x )≤2x ＋(1－x )＋(1－x )3＝23.∴x (1－x )2≤427⎝⎛⎭⎫当且仅当x ＝13时取等号. 答案：4276．若a >2，b >3，则a ＋b ＋1(a －2)(b －3)的最小值为________．解析：a >2，b >3，∴a －2>0，b －3>0.则a ＋b ＋1(a －2)(b －3)＝(a －2)＋(b －3)＋1(a －2)(b －3)＋5≥33(a －2)×(b －3)×1(a －2)(b －3)＋5＝8.当且仅当a －2＝b －3＝1(a －2)(b －3)即a ＝3，b ＝4时等号成立．答案：87．已知关于x 的不等式2x ＋1(x －a )2≥7在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a 的最小值为________．解析：2x ＋1(x －a )2＝(x －a )＋(x －a )＋1(x －a )2＋2a ， ∵x －a >0.∴2x ＋1(x －a )2≥33(x －a )(x －a )1(x －a )2＋2a ，＝3＋2a ，当且仅当x －a ＝1(x －a )2即x ＝a ＋1时，取等号．∴2x ＋1(x －a )2的最小值为3＋2a .由题意可得3＋2a ≥7，得a ≥2. 答案：28．设a ，b ，c ∈R ＋，求证： (a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1a ＋c ≥92.证明：∵a ，b ，c ∈R ＋，∴2(a ＋b ＋c )＝(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )≥ 33(a ＋b )(b ＋c )(c ＋a )>0.1a ＋b ＋1b ＋c ＋1a ＋c ≥331a ＋b ·1b ＋c ·1a ＋c >0， ∴(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1a ＋c ≥92.当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．9．设x ，y ，z >0，且x ＋3y ＋4z ＝6，求x 2y 3z 的最大值．解：∵6＝x ＋3y ＋4z ＝x 2＋x 2＋y ＋y ＋y ＋4z ≥66x 2y 3z ，∴x 2x 3z ≤1⎝⎛⎭⎫当x2＝y ＝4z 时，取“＝”.∴x ＝2，y ＝1，z ＝14时，x 2y 3z 取得最大值1.10．有一块边长为36 cm 的正三角形铁皮，从它的三个角上剪下三个全等的四边形后做成一个无盖的正三棱柱容器，要使这个容器的容积最大，剪下的三个四边形面积之和等于多少？最大容积是多少？解：剪下的三个全等的四边形如图所示，设A 1F 1＝x ，则AF 1＝3x ， ∴A 1B 1＝F 1F 2＝36－23x . ∴V ＝34(36－23x )2·x ＝332(63－x )(63－x )·2x . ∵0＜x ＜63，∴63－x ＞0. ∴V ≤332⎝ ⎛⎭⎪⎫63－x ＋63－x ＋2x 33. 又(63－x )＋(63－x )＋2x ＝123，∴当63－x ＝2x ，即x ＝23时，V 有最大值，这时V 最大＝332·(43)3＝864(cm 3)．∵S 四边形A 1F 1AE 2＝x ·3x ＝3x 2＝123(cm 2)， ∴三个四边形面积之和等于36 3 cm 2.。