直线与平面--平面与平面垂直的性质
直线与平面、平面与平面垂直的性质 课件
a⊥α
(3)符号语言：
b⊥α
⇒a∥b.
(4)作用：
பைடு நூலகம்
①线面垂直⇒线线平行；
②作平行线．
平面与平面垂直的性质定理
(1)文字语言： 两个平面垂直，则 一个平面内 垂直于 交线 的直 线与另一个平面 垂直 ．
[一点通] 已知条件是线面垂直和面面垂直，要 证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条放入一平 面内，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得 到线线垂直．在空间几何图形中，高一级的垂直关系 蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到：面面 垂直⇒线面垂直⇒线线垂直．
[例3] (12分)已知：如图，平面 PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC， AE⊥平面PBC，E为垂足．
[例2] 如图所示，在三棱锥P— ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAC⊥ 平面PBC. 求证：BC⊥AC.
[思路点拨] 若BC⊥AC，则会有BC⊥平面PAC，故 只要在平面PAC内再找一线与BC垂直即可．由已知平面 PAC⊥平面PBC.故可由两平面垂直的性质在面PAC中作 交线PC的垂线可证．
[精解详析] 在平面PAC内作AD⊥PC交PC于D. ∵平面PAC⊥平面PBC，AD⊂平面PAC，且 AD⊥PC，平面PAC∩平面PBC＝PC， ∴AD⊥平面PBC. 又∵BC⊂平面PBC，于是有AD⊥BC. ∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC， ∴PA⊥BC，∵AD∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC. ∵AC⊂平面PAC，∴BC⊥AC.
(2)图形语言：
(3)符号语言：
α⊥β α∩β＝l
a⊂α a⊥l
⇒a⊥β.
直线与平面面,平面与平面垂直的性质
A.1
B.2
C.3 D.4
2、如图，已知四边形ABCD是矩形，AD=4,AB=2,F是线段BC 的中点，PA⊥平面ABCD,求证PF⊥FD.
P
提示：连接AF.
A
D
B
FC
2.3.4 平面与平面垂直的性质
回顾
1.面面垂直的定义：
两个平面相交， 如果它们所成的二面 角是直二面角，就说 这两个平面互相垂直。
垂直于同一个平面的两条直线平行
二、怎样证线线垂直：
1.利用平面几何中的定理：半圆上 的圆周角是直角、勾股定理的逆定 理……
2.利用平移：a⊥b,b∥c，则 a⊥c
3.利用线面垂直定义：a⊥α,b α，则 a⊥b
4.利用三垂线定理或其逆定理（以后学）
n
a
a n
a
同理b
bl aα
β
n γm
b // a
a b
b //
b
l
b // l b
lb
线面平行判定
线面平行性质
思考：还可以怎样作辅助线？
2、已知a、b是两条不重合的直线，
P
α、β、γ是三个两两不重合的
平面，给出下列四个命题：
若a⊥α，a⊥β，则α∥β；
A
若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；
O
若α∥β，aα，bβ，则a∥b； B
若α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b，则
a∥b。其中正确命题的序号是 （D）
D C
A. B. C. D.
面 具有什么位置关系?
α
直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质
D、a 或a //
应用举例
例1：在正方体ABCD A1B1C1D1中，M是AB上
一点，N是A1C上的一点，MN 平面A1DC
求证：MN // AD1
分证析明：：要证A1 AMDND//1是AD正1 , 方 只需形证明
ADA1D1 平面A1AD1DC.只需证 明CADD1垂直平于面平A1面ADA1DD1C内 的两AD条1 相C交D直线即可。
简记： 线面垂直
线线平行
作用：证明空间直线的平行。
课堂练习（一）：
判断下列命题是否正确： (1)垂直于同一条直线的两个平面互相平行。（ ）
(2)垂直于同一个平面的两条直线互相平行。（ ）
(3)平行于同一个平面的两条直线互相平行。（ ）
课堂练习（二）：
（D ）
A、a //
B、a
已则C知a、与直a线的a位,b置和关平系面是，且a b,b ,
线线垂直判定 定定 义理线面垂直性性 质质 判定定理 定理线线平行．
新知探究二：平面与平面垂直的性质
如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，
平面AC 平面D1C
平面AC 平面D1C DC D1
C1
D1D 平面D1C
A1
B1
D1D CD D1D 平面AC
D A
C B
平面与平面垂直的性质定理
直则于平A面BE，是须二证面 明直角
E
线 相 件垂 交 已- C直 直 有D于 线 一平 ， 条面而，的内题故平两中可面条条过角
D
B
A
该直AB线作B辅E助线.
C
AB CD
CD , BE , BE CD B
AB
8.6.2直线与平面、平面与平面垂直的性质
授课主题直线与平面、平面与平面垂直的判定教学目标1．理解直线与平面垂直的性质定理，平面与平面垂直的性质定理，并能利用性质定理解决有关问题．2．了解直线与平面，平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系．教学内容1．直线与平面垂直的性质定理.文字语言垂直于同一个平面的两条直线平行符号语言aa bbαα⊥⎫⇒⎬⊥⎭图形语言作用①线面垂直⇒线线平行；②作平行线2．平面与平面垂直的性质定理文字语言两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直符号语言=laaa lαβαββα⊥⎫⎪⋂⎪⇒⊥⎬⊂⎪⎪⊥⎭图形语言作用①面面垂直⇒线面垂直；②作面的垂线题型一 线面垂直性质的应用例1 如右图所示，已知P A ⊥矩形ABCD 所在平面，M ，N 分别是AB ，PC 的中点．(1)求证：MN ⊥CD ；(2)若∠PDA ＝45°，求证：MN ⊥平面PCD证明：(1)如图，取PD 的中点E ，连接AE ，NE ，又N 为PC 中点， 则NE ∥CD ，NE ＝12CD .又∵AM ∥CD ，AM ＝12CD ，∴AM //=NE .∴四边形AMNE 为平行四边形． ∴MN ∥AE .∵ ⎭⎪⎬⎪⎫P A ⊥平面ABCD CD ⊂平面ABCD ⇒⎭⎪⎬⎪⎫CD ⊥P A CD ⊥AD ，P A ∩AD ＝A ⇒⎭⎪⎬⎪⎫CD ⊥平面ADP AE ⊂平面ADP ⇒CD ⊥AE .∴MN ⊥CD .(2)当∠PDA ＝45°时，Rt △P AD 为等腰直角三角形， 则AE ⊥PD .又MN ∥AE ， ∴MN ⊥PD . 又PD ∩CD ＝D ， ∴MN ⊥平面PCD .点评：线面垂直是空间垂直关系的核心，是线线垂直，面面垂直，线面、面面平行相互转化的桥梁．巩固如图，已知直线a⊥α，直线b⊥β，且AB⊥a，AB⊥b，平面α∩β＝c.求证：AB∥c.证明：过点B引直线a′∥a，a′与b确定的平面设为γ，∵a′∥a，AB⊥a，∴AB⊥a′，又AB⊥b，a′∩b＝B，∴AB⊥γ.∵b⊥β，c⊂β，∴b⊥c.①∵a⊥α，c⊂α，∴a⊥c.又a′∥a，∴a′⊥c.②由①②可得c⊥γ，又AB⊥γ，∴AB∥c.题型二面面垂直性质的应用例2如图，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E为垂足．(1)求证：PA⊥平面ABC；(2)当E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形．证明：利用线面垂直的判定、面面垂直的性质来解．(1)如图，在平面ABC内取一点D，作DF⊥AC于F.∵平面P AC⊥平面ABC，且交线为AC，∴DF⊥平面P AC，P A⊂平面P AC，∴DF⊥AP.作DG⊥AB于G.同理可证DG⊥AP.DG，DF都在平面ABC内，且DG∩DF＝D，∴P A⊥平面ABC.(2)如图，连接BE并延长交PC于H.∵E是△PBC的垂心，∴PC⊥BE.又已知AE是平面PBC的垂线，∴PC⊥AE.又∵BE∩AE＝E，∴PC⊥平面ABE.∴PC⊥AB.又∵P A⊥平面ABC，∴P A⊥AB.∴AB⊥平面P AC.∴AB⊥AC，即△ABC是直角三角形．点评：证明线面垂直、面面垂直、线线垂直不要局限于一个方面，有时需考虑多种情况的综合．巩固如图所示，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为矩形，P A⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE.(1)证明：BD⊥平面P AC；(2)若P A＝1，AD＝2，求二面角BPCA的正切值．证明：∵P A⊥平面ABCD，∴P A⊥BD.∵PC⊥平面BDE，∴PC⊥BD.又∵P A∩PC＝P，BD⊄平面P AD.∴BD⊥平面P AC.(2)设AC与BD交于点O，连接OE，∵PC⊥平面BDE，∴PC⊥OE.又∵BO⊥平面P AC，∴PC⊥BO.∴PC⊥平面BOE.∴PC⊥BE.∴∠BEO为二面角BPCA的平面角．∵BD⊥平面P AC，∴BD⊥AC，∴四边形ABCD为正方形，∴BO＝ 2.在△P AC 中，OE OC ＝P A AC ⇒OE 2＝13⇒OE ＝23.∴tan ∠BEO ＝BOOE＝3.∴二面角BPCA 的平面角的正切值为3. 题型三 综合应用例3 如右图所示，在四棱锥PABCD 中，底面ABCD 是∠DAB ＝60°且边长为a 的菱形，侧面PAD 为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD ，(1)求证：AD ⊥PB ；(2)若E 为BC 边的中点，能否在棱上找到一点F ，使平面DEF ⊥平面ABCD ，并证明你的结论． (1)证明：设G 为AD 的中点，连接PG ， ∵△P AD 为正三角形，∴PG ⊥AD .在菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，G 为AD 的中点， ∴BG ⊥AD .又BG ∩PG ＝G ，∴AD ⊥平面PGB . ∵PB ⊂平面PGB ，∴AD ⊥PB . (2)解析：当F 为PC 的中点时， 满足平面DEF ⊥平面ABCD .取PC 的中点F ，连接DE ，EF ，DF ，在△PBC 中，FE ∥PB .在菱形ABCD 中，GB ∥DE ， 而FE ⊂平面DEF ，DE ⊂平面DEF ，EF ∩DE ＝E . PB ⊂平面PGB ，GB ⊂平面PGB ，PB ∩GB ＝B ， ∴平面DEF ∥平面PGB .由(1)得PG ⊥平面ABCD ，而PG ⊂平面PGB ， ∴平面PGB ⊥平面ABCD ，∴平面DEF ⊥平面ABCD .点评：空间问题化成平面问题是解决立体几何问题的一个基本原则，解题时要抓住几何图形自身的特点，如等腰(边)三角形的三线合一、中位线定理、菱形的对角线互相垂直等等，还可以通过解三角形，产生一些题目所需要的条件．对于一些较复杂的问题，注意应用转化思想解决问题．巩 固 如图，在三棱锥P ABC 中，△P AB 是等边三角形，∠P AC ＝∠PBC ＝90°.(1)证明：AB ⊥PC ；(2)若PC ＝4，且平面P AC ⊥平面PBC ，求三棱锥P ABC 的体积． 证明：(1)因为△P AB 是等边三角形，所以PB ＝P A ， 因为∠P AC ＝∠PBC ＝90°， PC ＝PC ，所以Rt △PBC ≌Rt △P AC ， 所以AC ＝BC .如图，取AB 中点D ，连接PD ，CD ，则PD ⊥AB ，CD ⊥AB ，又因为PD ∩CD ＝D ，所以AB ⊥平面PDC ，所以AB ⊥PC . (2)解析：作BE ⊥PC ，垂足为E ，连接AE . 因为Rt △PBC ≌Rt △P AC ， 所以AE ⊥PC ，AE ＝BE .由已知，平面P AC ⊥平面PBC ，故∠AEB ＝90°. 因为∠AEB ＝90°，∠PEB ＝90°，AE ＝BE ，AB ＝PB ，所以Rt △AEB ≌Rt △BEP ，所以△AEB ，△PEB ，△CEB 都是等腰直角三角形． 由已知PC ＝4，得AE ＝BE ＝2，△AEB 的面积S ＝2. 因为PC ⊥平面AEB ，所以三棱锥P ABC 的体积V ＝13·S ·PC ＝83.1．若直线a 与平面α不垂直，那么在平面α内与直线a 垂直的直线( )A ．只有一条B ．有无数条C ．是平面α内的所有直线D ．不存在解析：找到a 在平面α内的射影，在平面α内有无数条直线与射影垂直，也与a 垂直． 答案：B2.如图，P A ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为矩形，下列结论中不正确的是( )A ．PB ⊥BC B ．PD ⊥CD C ．PO ⊥BD D ．P A ⊥BD 答案：C3．设a ，b ，c 表示三条直线，α，β表示两个平面，下列命题中不正确的是( )A.⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αα∥β⇒a ⊥β B.⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊥βα⊥β⇒a ⊥b C.⎭⎪⎬⎪⎫b ∥c b ⊂αc ⊄α⇒c ∥α D.⎭⎪⎬⎪⎫a ∥αb ⊥a ⇒b ⊥α 答案：D4．关于直线m ，n 与平面α，β，有以下四个命题：①若m ∥α，n ∥β且α∥β，则m ∥n ②若m ⊥α，n ⊥β且α⊥β，则m ⊥n ③m ⊥α，n ∥β且α∥β，则m ⊥n ④m ∥α，n ⊥β且α⊥β，则m ∥n其中真命题的序号是( ) A ．①② B ．③④ C ．①④ D ．②③ 答案：D5．圆O 的半径为4，PO 垂直圆O 所在的平面，且PO ＝3，那么点P 到圆上各点的距离是________．答案：56．平面α⊥平面β，直线a ∥α，则a 与β的位置关系为__________．答案：a ∥β或a ⊂β或a 与β相交7．已知，△ABC 所在平面外一点V ，VB ⊥平面ABC ，平面VAB ⊥平面VAC .求证：AC ⊥BA .证明：过B 作BD ⊥VA 于D ，∵平面VAB ⊥平面VAC ， ∴BD ⊥平面VAC ， ∴BD ⊥AC ， 又∵VB ⊥平面ABC ， ∴VB ⊥AC ， 又∵BD ∩VB ＝B ， ∴AC ⊥平面VBA ， ∴AC ⊥BA .8．如下图(左)所示，在边长为1的等边三角形ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 边上的点，AD ＝AE ，F 是BC 的中点，AF 与DE 交于点G ，将△ABF 沿AF 折起，得到如下图(右)所示的三棱锥ABCF ，其中BC ＝22. (1)证明：DE ∥平面BCF ；解析：在等边三角形ABC 中，AD ＝AE ， ∴AD DB ＝AEEC，在折叠后的三棱锥ABCF 中也成立， ∴DE ∥BC .又∵DE ⊄平面BCF ，BC ⊂平面BCF ， ∴DE ∥平面BCF . (2)证明CF ⊥平面ABF .解析：在等边三角形ABC 中，F 是BC 的中点，所以AF ⊥BC ，即AF ⊥CF ，① 且BF ＝CF ＝12.∵在三棱锥ABCF 中，BC ＝22， ∴BC 2＝BF 2＋CF 2. ∴CF ⊥BF .②∵BF ∩AF ＝F ，∴CF ⊥平面ABF .(3)当AD ＝32时，求三棱锥FDEG 的体积V F －DEG .解析：由(1)可知，GE ∥CF ，结合(2)可得GE ⊥平面DFG .∴V FDEG ＝V EDFG ＝13×12×DG ×FG ×GE ＝13×12×13×⎝⎛⎭⎫13×32×13＝3324.1．若直线a ⊥直线b ，且a ⊥平面α，则有( )A．b∥αB．b⊂αC．b⊥αD．b∥α或b⊂α答案：D2．两个平面互相垂直，一个平面内的一条直线与另一个平面() A．垂直B．平行C．平行或相交D．平行或相交或直线在另一个平面内答案：D3．若直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，有下列四个命题：①α∥β⇒l⊥m②α⊥β⇒l∥m③l∥m⇒α⊥β ④l⊥m⇒α∥β其中正确的命题的序号是()A．①②B．③④C．②④D．①③答案：D4．如图，▱ADEF的边AF垂直于平面ABCD，AF＝2，CD＝3，则CE＝________.解析：∵AF∥ED，AF⊥平面ABCD，∴ED⊥平面ABCD.∴ED⊥DC.在Rt△EDC中，ED＝2，CD＝3，∴CE＝22＋32＝13.答案：13。
直线与平面的垂直、平面与平面等与垂直关系
1、平面的斜线 当直线 l 与平面 相交且不垂直时，叫做直线 l 与平面 斜交，直线 l 叫做平面α的斜线。
斜线 l 与平面 的交点M叫做斜足，斜线上一点 与斜足间的线段叫做这个点到平面的斜线段。
l
A
M
34
2、射影 设直线 l 与平面 斜交于点 M，过 l 上任意点 A （异于点M），作平面 的垂线，垂足为O，我们把 点O叫做点A在平面 上的射影，直线OM叫做直线 l 在平面 上的射影。 l 思考：直线l在平面上的 A 射影与点A在l上的取法是 否有关？
mn P l l m, l n
简记为：线线垂直
符号表示： m ,n
l
P
m
n
线面垂直
直线与平面垂直的性质1：
如果一条直线垂直于一个平面，那么这 条直线垂直于面上任意直线．（定义）
a 符号语言： b
图形语言：
ab
a b
O
0 , 2
(2)斜线和平面所成角的范围是 0, 2
42
例2、已知正方体ABCD-A1B1C1D1中的棱长为1， (1)求直线D1B1和平面A1B1BA所成的角；
A1 D D 平面 A1 B1 BA 解： 1是 D D1在平面 A1 B1 BA上的射影是 A1 , 1 1 B1上的点，且
线段B1E
C1 B1
D1 A1
E
D A B
C
38
思考一：通过观察比萨斜塔，如 果把斜塔看成斜线，地面看成面， 如何用数学知识来描述斜塔的倾 斜程度呢？如何求得呢？ 思考二：异面直线所成的角是 如何定义的？
线面所成的角
转化为两相交直线所成角来定义
直线与平面、平面与平面垂直的性质
A D
垂足为B.
B C
E
则∠ABE就是二面角 -CD- 的平面角 ∵
, ∴AB⊥BE(平面与平面垂直的定义)
又由题意知AB⊥CD,且BE CD=B
∴AB⊥ (直线与平面垂直的判定定理)
结论1：过一点有且只有一个平 面和已知直线垂直。
结论2：如果两条平行直线中的 一条垂直于一个平面，那么另 一条直线也垂直于这个平面。
求证：AB ⊥ β 。 证明：在平面 内作 BE C D
α A
D
垂足为 B,则ABE就是二面角 C D 的平面角。
β
E
B C
由 ，可知 AB BE 又AB C D BE与C D是 内两条相交直，
AB
性质定理2：如果两个平面互相 思考1:若α ⊥β ，过平面α 内一点P 作平面β 的垂线，垂足为B，那么直 垂直，那么经过一个平面内一 线AB与平面α有什么位置？说明你的 点且垂直于另一个平面的直线， 理由. 必在这个平面内.
证明：设是m 内 的任意一条直线。
a a m m b m b // b a m
小试牛刀
１、判断下列命题的正误。 （1）平行于同一直线的两条直线互相平行（
√
）
（2）垂直于同一直线的两条直线互相平行（×） （3）平行于同一平面的两条直线互相平行（×） （4）垂直于同一平面的两条直线互相平行（
√）
2、已知直线 a , b和平面 , 且a b, a ，
b __________ // , 或b 则b与的位置关系
a
b
探究新知
教室的黑板所在平面与地 面是什么关系？你能在黑板上 画一条直线与地面垂直吗？
直线与平面垂直,平面与平面垂直的性质
α a
β
ml
课堂练习
•讲学槁练习
例2 如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，
AB=2， BC ，侧2 面PAB是等边三角形，
且侧面PAB⊥底面ABCD. （1）证明：侧面PAB⊥侧面PBC；
（2）求侧棱PC与底面ABCD所成的角.
P
A
D
E
B
C
α
A
B β
如果两个平面互相垂直，那么经过一 个平面内一点且垂直于另一个平面的直 线，必在这个平面内.
α
A
B β
例3：对于三个平面α、β、γ，如果三
个平面二二垂直，且 l ，求证：
直线l ⊥面γ
β l α
b
aγ
例4 如图，已知α⊥β，l⊥β，
l ，试判断直线l与平面α的位置关
系，并说明理由.2:黑板所在平面与地面所在平面垂 直，在黑板上是否存在直线与地面垂直？ 若存在，怎样画线？
α
β
思考3:如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中， 平面A1ADD1与平面ABCD垂直，其交线为
AD，直线A1A，D1D都在平面A1ADD1内，且 都与交线AD垂直，这两条直线与平面
ABCD垂直吗？ C1
D1
B1
A1
C
D
B
A
2、定理 若两个平面互相垂直，则在 一个平面内垂直交线的直线与另一个 平面垂直.
β ,l , m, l m l .
D
B
A
α
C
知识探究（四）平面与平面垂直的性质探究
思考1:若α⊥β，过平面α内一点A作 平面β的垂线，垂足为B，那么点B在什 么位置？说明你的理由.
l
α
β
例1 如图，已知 l,CA ,
线面垂直、面面垂直的性质与判定定理
垂直体系
判定
判定
线线垂
线面垂直 面面垂直
直
定义
性质
问题2 ,a ,a ,判 断 a 与 位 置 关 系
α
a
a //
l
问题3： β
思考：已 ， 知 ，平 直 a,且 面 线 ,A,B
a//,aA,B 试判断 a与 直 平 线 的 面位置关
α
Aa
β
a⊥β
B
例3 ,a ,a ,判 断 a 与 位 置 关 系
∵BC 平面SBC
A
C
∴AD⊥BC
∵SA⊥平面ABC，BC 平面ABC
B
∴SA⊥BC
“从已知想性质，从求证
∵SA∩AD=A，
想判定”这是证明几何问
∴BC⊥平面SAB
题的基本思维方法．
∵AB 平面ABC ∴AB⊥BC
课堂小结
1、证题原则 注从已意知想辅性助质，线从求的证作想判用定
： 2、会利用“转化思想”解决垂直问题
A
DE ⊥AB
则 CD 是 E二面 -A B 角 的平面
由 ⊥β 得CD ⊥ DE
又CD ⊥ AB, 且DE ∩ AB =D
所以直线CD⊥平面β
平面与平面垂直的性质定理：
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线 的直线与另一个平面垂直。
符号语言：
β
a
l
A α
a
l
a
a l
作用： 面面垂直线面垂直
的位置关系有哪几种可能？
α l
β
平行
α
l
β
相交
α
l β
线在面内
知识探究：
思考2:黑板所在平面与地面所在平面垂 直，在黑板上是否存在直线与地面垂直？ 若存在，怎样画线？
高中数学-直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质
的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.
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②利用面面垂直的判定定理证明面面垂直时的一般 方法是:先从现有的直线中寻找平面的垂线,若这样的 直线图中存在,则可通过线面垂直来证明面面垂直;若 这样的直线图中不存在,则可通过辅助线来解决,而作 辅助线则应有理论根据并有利于证明,不能随意添加. ③证明两个平面垂直,通常是通过证明线线垂直→线 面垂直→面面垂直来实现的.因此,在关于垂直问题的 论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相 互转化.每一垂直的判定就是从某一垂直开始转向另 一垂直,最终达到目的,其转化关系如图所示:
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④用面面垂直的性质定理.如果两个平面垂直,那么在一个
平面内垂直于它们交线的直线必垂直于另一个平面.
⑤作定理用的正确命题.如果一条直线垂直于两个平行平面
中的一个平面,它也垂直于另一个平面.
⑥分析线面关系问题的证明思路应养成“看到结论想判定，
看到条件想性质”的习惯，并结合对图形、模型（自己动
手构造）的深入观察,寻求证题思路.
证明：作AE⊥SB于E， ∵平面SAB⊥平面SBC， ∴AE⊥平面SBC，AE⊥BC, ∵SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC， ∴BC⊥平面SAB，∴AB⊥BC.
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本学案证明题的主要方法有哪些?
(1)线面垂直的判定方法
①利用定义.要证明一条直线a⊥平面α,转化为证明直线
a垂直于平面α内的任何一条直线c.
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学点二 面面垂直的性质定理应用 如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它 们的交线垂直于第三个平面.
【分析】欲证线面垂直，可用线线垂直或用
m∥l m⊥γ
直线平面平行、垂直的判定及其性质知识点
直线平面平行、垂直的判定及其性质知识点在几何学中，我们经常会遇到直线和平面之间的关系。
其中，直线与平面可以有平行关系或垂直关系。
本文将介绍直线和平面平行、垂直的判定方法，并讨论它们的性质。
一、直线和平面的基本概念回顾在论述直线和平面的平行、垂直关系之前，我们需要先回顾一些基本概念。
1. 直线直线是由无限多个点按一定方向排列而成的，没有始点和终点。
直线可由一个点和一个方向确定。
在数学中，直线通常用两个点A和B表示，记作AB。
2. 平面平面是二维几何体，具有无限多个点，且任意两点之间可以连成一条直线。
平面由三个非共线的点决定。
在数学中，我们通常用大写字母P、Q、R等表示平面上的点。
二、直线和平面的平行判定1. 平行直线与平面的关系如果一条直线与一个平面内的直线平行，那么它也与这个平面平行。
同样地，如果一条直线与一个平面内的直线垂直，那么它也与这个平面垂直。
2. 平行直线的判定方法直线之间的平行关系有多种判定方法。
下面介绍两种常见的方法：(1) 借助平面间的平行关系进行判定两条直线平行的充要条件是，它们在同一个平面内，且与该平面的一条直线平行。
(2) 借助直线的倾斜角进行判定两条直线平行的充要条件是，它们的倾斜角相等或互补。
三、直线和平面的垂直判定1. 垂直直线与平面的关系如果一条直线与一个平面内的直线垂直，那么它与这个平面垂直。
2. 垂直直线的判定方法直线与平面垂直的判定方法有多种。
下面介绍两种常见的方法：(1) 借助直线和平面的夹角进行判定直线与平面垂直的充要条件是，直线与平面内的两条相交直线成对应的垂直角。
(2) 借助直线的方向向量进行判定直线与平面垂直的充要条件是，直线的方向向量与平面的法向量垂直。
四、直线平面平行、垂直关系的性质1. 性质1：平行或垂直关系具有传递性若直线a与直线b平行，直线b与直线c平行，那么直线a与直线c也平行。
同样的，若直线m与直线n垂直，直线n与直线p垂直，那么直线m与直线p也垂直。
直线与平面垂直和平面与平面垂直的性质我用
思考五、 的位置关系。 思考五、已知 α ⊥ β , l ⊥ β , l ⊄ α ，试判断直线 l 与平面 α 的位置关系。
结论：
l∥α
α
b
l
β
思考六、对于三个平面α、β、γ ，如果α⊥ γ ，β⊥ γ ，α I β = a ，那么直线 a
a⊥ 与平面 γ 的位置关系如何？β
结论： 如果两个相交平面都垂直于第三个平面， 如果两个相交平面都垂直于第三个平面， 那么这两个平面的交线垂直于第三个平面. 那么这两个平面的交线垂直于第三个平面
线必在平面α内 线必在平面 内。 两平面α， 互相垂直 过平面α内任意一点 作平面β的垂线 互相垂直， 内任意一点， 的垂线， 6.两平面 ， β互相垂直，过平面 内任意一点，作平面 的垂线，则此直线必在平 面α内。 内
7.垂直于同一条直线的两个平面平行
四、小结与反思：
线线垂直
线面垂直
性质
面面垂直
α a β l
α ⊥ β ,α I β = l, a ⊂ α , a ⊥ l ⇒ a ⊥ β
练习：判断正误。 练习：判断正误。
平面α⊥平面β,α∩ β＝ 已知平面 ⊥平面β,α∩ β＝l下列命题
(1)平面 内的任意一条直线必垂直于平面 (1)平面α内的任意一条直线必垂直于平面 （ × 平面 内的任意一条直线必垂直于平面β（ ） (2)垂直于交线l的直线必垂直于平面β × (2)垂直于交线l的直线必垂直于平面β（ ） 垂直于交线 (3)在平面α内垂直于交线l的直线，必垂直于平 (3)在平面α内垂直于交线l的直线， 在平面 面β（ ）
垂直于同一条直线的两条直线平行。 ） 2. 垂直于同一条直线的两条直线平行。 （ 两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。 3. 两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。 ） （ 4.过一点有且只有一条直线和已知平面垂直。 4.过一点有且只有一条直线和已知平面垂直。 ） 过一点有且只有一条直线和已知平面垂直 （ 5.过一点有且只有一个平面和已知直线垂直。 ） 5.过一点有且只有一个平面和已知直线垂直。 过一点有且只有一个平面和已知直线垂直 （ 6. 若a / /b，a ⊥ α 则b ⊥ α 。 ） 7. 若a ⊥ α，b / /α则a ⊥ b 。 ） （ （ 8. 若l ⊥ α , α / / β 则l ⊥ β 。 ） （ 9. 若l ⊥ α , l ⊥ β 则α / / β 。 ） （
直线与平面垂直的性质、平面与平面垂直的性质课件
(2)取 BC 的中点 N，连接 AN， ∵AB＝AC，∴AN⊥BC.8 分 取 DE 的中点 M，连接 MN，AM， ∴MN⊥BC.又 AN∩MN＝N， ∴BC⊥平面 AMN，∴AM⊥BC.10 分 又 M 是 DE 的中点，AD＝AE，∴AM⊥DE. 又∵DE 与 BC 是平面 BCDE 内的相交直线， ∴AM⊥平面 BCDE.11 分 ∵AM⊂平面 ADE， ∴平面 ADE⊥平面 BCDE.12 分
图 2－3－31 (1)若 G 为 AD 边的中点，求证：BG⊥平面 PAD； (2)求证：AD⊥PB.
【思路探究】 (1)由题中平面 PAD⊥平面 ABCD，只需 要证明 BG 垂直于两平面的交线即可．
(2)转化为证 AD⊥平面 PBG 即可．
【自主解答】 (1)∵在菱形 ABCD 中，G 为 AD 的中点， ∠DAB＝60°，
2．平面与平面垂直的其他性质 (1)如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内一点垂直 于第二个平面的直线在第一个平面内． (2)如果两个平面垂直，那么与其中一个平面平行的平面 垂直于另一个平面． (3)如果两个平面垂直，那么其中一个平面的垂线平行于 另一个平面或在另一个平面内．
线线、线面、面面垂直的综合应用 如图 2－3－31 所示，在四棱锥 P－ABCD 中， 底面 ABCD 是边长为 a 的菱形，且∠DAB＝60°，侧面 PAD 为正三角形，其所在的平面垂直于底面 ABCD.
1．证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理， 另一种方法是利用面面垂直的性质定理．本题已知面面垂直， 故可考虑面面垂直的性质定理．
2．利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要 注意以下三点：(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平 面内；(3)直线必须垂直于它们的交线．
直线与平面垂直的性质、平面与平面垂直的性质 课件
知识点一 直线与平面垂直的性质定理
思考 在日常生活中常见到一排排和地面垂直的电线杆.一排电线杆中的 每根电线杆都与地面垂直，这些电线杆之间的位置关系是什么？ 答案 平行.
梳理 文字语言 符号语言
图形语言
垂直于同一个平面的两条直线_平__行__ a⊥α ⇒a∥b b⊥α
知识点二 平面与平面垂直的性质定理
思考 黑板所在平面与地面所在平面垂直，你能否在黑板上画一条直线 与地面垂直？ 答案 容易发现墙壁与墙壁所在平面的交线与地面垂直，因此只要在黑 板上画出一条与这条交线平行的直线，则所画直线必与地面垂直.
梳理
两个平面垂直，则 一个平面内 垂直于 交线 的直线与另一 文字语言
反思与感悟 立体几何中的探索性问题 (1)探索条件，即探索能使结论成立的条件是什么.解答此类问题，先观察 与尝试给出条件再给出证明. (2)探索结论，即在给定的条件下命题的结论是什么.解答此类问题，常从 条件出发，探索出要求的结论是什么.对于探索的结论是否存在问题.求解 时，常假设结论存在，再寻找与条件相容还是矛盾的结论.
类型三 垂直关系的综合应用 例3 如图，在△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD， ∠ADB＝60°，E，F分别是AC，AD上的动点，且 AACE＝AADF＝λ(0<λ<1).
(1)求证：无论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；
(2)是否存在实数λ，使得平面BEF⊥平面ACD.
(2)M，N分别为B1D1与C1D上的点，且MN⊥B1D1，MN⊥C1D，求证： MN∥A1C.
反思与感悟 证明线线平行的常用方法 (1)利用线线平行定义：证共面且无公共点. (2)利用三线平行公理：证两线同时平行于第三条直线. (3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行. (4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直. (5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行.Biblioteka 类型二 面面垂直性质定理的应用
直线与平面、平面与平面垂直的性质
直线与平面、平面与平面垂直的性质[学习目标] 1.理解直线和平面垂直、平面与平面垂直的性质定理，并能用文字、符号和图形语言描述定理.2.会用线面垂直、面面垂直的性质定理证明相关问题.3.理解“平行”与“垂直”之间的相互转化.知识点一 直线与平面垂直的性质定理文字语言垂直于同一个平面的两条直线平行符号语言⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊥α⇒a ∥b图形语言作用①线面垂直⇒线线平行②作平行线思考 (1)垂直于同一平面的两条垂线一定共面吗？ (2)过一点有几条直线与已知平面垂直？答 (1)共面.由线面垂直的性质定理可知这两条直线是平行的，故能确定一个平面. (2)有且仅有一条.假设过一点有两条直线与已知平面垂直，由直线与平面垂直的性质定理可得这两条直线平行，即无公共点，这与过同一点相矛盾，故只有一条直线. 知识点二 平面与平面垂直的性质定理 文字语言两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直符号语言⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βα∩β＝la⊂αa⊥l⇒a⊥β图形语言作用①面面垂直⇒线面垂直②作面的垂线(2)如果α⊥β，过β内的任意一点作α与β交线的垂线，则这条直线必垂直于α吗？答(1)正确.若设α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，b⊥l，则a⊥b，故β内与b平行的无数条直线均垂直于α内的任意直线.(2)错误.垂直于交线的直线必须在平面β内才与平面α垂直，否则不垂直.题型一直线与平面垂直的性质及应用例1 如图，正方体A1B1C1D1-ABCD中，EF与异面直线AC、A1D都垂直相交.求证：EF∥BD1.证明如图所示，连接AB1、B1D1、B1C、BD，∵DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴DD1⊥AC.又AC⊥BD，DD1∩BD＝D，∴AC⊥平面BDD1B1，又BD1⊂平面BDD1B1，∴AC⊥BD1.同理可证BD1⊥B1C，又AC∩B1C＝C，∴BD1⊥平面AB1C.∵EF⊥A1D，A1D∥B1C，∴EF⊥B1C.又∵EF⊥AC，AC∩B1C＝C，∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1.跟踪训练1 已知α∩β＝AB，PQ⊥α于点Q，PO⊥β于点O，OR⊥α于点R.求证：QR⊥AB.证明如图，因为α∩β＝AB，PO⊥β于点O，所以PO⊥AB.因为PQ⊥α于点Q，所以PQ⊥AB.因为PO∩PQ＝P，所以AB⊥平面PQO.因为OR⊥α于点R，所以PQ∥OR.因为PQ与OR确定平面PQRO，QR⊂平面PQRO，AB⊥平面PQRO，所以AB⊥QR.题型二平面与平面垂直的性质及应用例2 如图，在三棱锥V－ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC ＝BC ＝2，O ，M 分别为AB ，VA 的中点.(1)求证：VB ∥平面MOC ； (2)求证：平面MOC ⊥平面VAB ； (3)求三棱锥V －ABC 的体积.(1)证明 ∵O ，M 分别为AB ，VA 的中点， ∴OM ∥VB .∵VB ⊄平面MOC ，OM ⊂平面MOC ， ∴VB ∥平面MOC .(2)证明 ∵AC ＝BC ，O 为AB 的中点，∴OC ⊥AB .又∵平面VAB ⊥平面ABC ，且平面VAB ∩平面ABC ＝AB ，OC ⊂平面ABC ，∴OC ⊥平面VAB . ∵OC ⊂平面MOC ，∴平面MOC ⊥平面VAB . (3)解 在等腰直角△ACB 中，AC ＝BC ＝2， ∴AB ＝2，OC ＝1，∴S △VAB ＝34AB 2＝ 3. ∵OC ⊥平面VAB ，∴V C －VAB ＝13OC ·S △VAB ＝13×1×3＝33，∴V V －ABC ＝V C －VAB ＝33.跟踪训练2 如图，在三棱锥S－ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，过点A作AF⊥SB，垂足为F.求证：BC⊥SA.证明因为平面SAB⊥平面SBC，平面SAB∩平面SBC＝SB，AF⊂平面SAB，AF⊥SB，所以AF⊥平面SBC.又因为BC⊂平面SBC，所以AF⊥BC.因为AB⊥BC，AF∩AB＝A，所以BC⊥平面SAB.又因为SA⊂平面SAB，所以BC⊥SA.题型三线线、线面、面面垂直的综合应用例3 如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB∥CD，AD⊥AB，AB＝2，AD＝2，AA1＝3，E为CD上一点，DE＝1，EC＝3.(1)证明：BE⊥平面BB1C1C；(2)求点B1到平面EA1C1的距离.(1)证明过B作CD的垂线交CD于F，则BF＝AD＝2，EF＝AB－DE＝1，FC＝2.在Rt△BFE中，BE＝ 3.在Rt△CFB中，BC＝ 6.在△BEC中，因为BE2＋BC2＝9＝EC2，故BE⊥BC.由BB1⊥平面ABCD得BE⊥BB1，又BB 1∩BC ＝B ，所以BE ⊥平面BB 1C 1C . (2)解 三棱锥E －A 1B 1C 1的体积V ＝13AA 1·111∆A B C S ＝ 2.在Rt△A 1D 1C 1中，A 1C 1＝A 1D 21＋D 1C 21＝3 2. 同理，EC 1＝EC 2＋CC 21＝32，A 1E ＝A 1A 2＋AD 2＋DE 2＝2 3.故11∆A C E S ＝3 5.设点B 1到平面A 1C 1E 的距离为d ， 则三棱锥B 1－A 1C 1E 的体积V ＝13·d ·11∆A C E S ＝5d ，从而5d ＝2，d ＝105. 即点B 1到平面EA 1C 1的距离为105.跟踪训练3 如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为a 的菱形，∠DAB ＝60°，侧面PAD 为等边三角形，其所在平面垂直于底面ABCD . (1)求证：AD ⊥PB ；(2)若E 为BC 边上的中点，能否在PC 棱上找到一点F ，使平面DEF ⊥平面ABCD ？并证明你的结论.(1)证明 设G 为AD 的中点，连接PG ，BG ，如图. 因为△PAD 为等边三角形， 所以PG ⊥AD .在菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，G 为AD 的中点，所以BG ⊥AD .又因为BG ∩PG ＝G ，所以AD ⊥平面PGB . 因为PB ⊂平面PGB ，所以AD ⊥PB .(2)解 当F 为PC 的中点时，满足平面DEF ⊥平面ABCD . 如图，设F 为PC 的中点，则在△PBC 中，EF ∥PB . 在菱形ABCD 中，GB ∥DE ，而EF ⊂平面DEF ，DE ⊂平面DEF ，EF ∩DE ＝E ， 所以平面DEF ∥平面PGB .由(1)，得PG ⊥平面ABCD ，而PG ⊂平面PGB ， 所以平面PGB ⊥平面ABCD . 所以平面DEF ⊥平面ABCD .条件开放型例 4 如图，在直四棱柱A 1B 1C 1D 1－ABCD 中，当底面四边形ABCD 满足什么条件时，有A 1C ⊥B 1D 1？(注：写出一个你认为正确的条件即可，不必考虑所有可能的情形)分析 要使A 1C ⊥B 1D 1→A 1C ⊥BD ――――――→A 1A ∩A 1C ＝A 1BD ⊥平面A 1AC →AC ⊥BD 解 因为BD ∥B 1D 1，所以要使A 1C ⊥B 1D 1，需A 1C ⊥BD .又因为A1A⊥平面ABCD，A1A⊥BD，A1A∩A1C＝A1，所以BD⊥平面A1AC.因为AC⊂平面A1AC，所以AC⊥BD.由以上分析，知要使A1C⊥B1D1，需使AC⊥BD或任何能推导出AC⊥BD的条件，如四边形ABCD 是正方形、菱形等.1.在空间中，下列命题正确的是( )A.垂直于同一条直线的两直线平行B.平行于同一条直线的两个平面平行C.垂直于同一平面的两个平面平行D.垂直于同一平面的两条直线平行2.关于直线m，n与平面α，β，有下列四个命题：①若m∥α，n∥β，且α∥β，则m∥n；②若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥n；③若m⊥α，n∥β，且α∥β，则m⊥n；④若m∥α，n⊥β，且α⊥β，则m∥n.其中真命题的序号是( )A.①②B.③④C.①④D.②③3.若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则( )A.α∥γB.α⊥γC.α与γ相交但不垂直D.以上都有可能4.已知a、b为直线，α、β为平面.在下列四个命题中，正确的命题是________.①若a⊥α，b⊥α，则a∥b；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a⊥α，a⊥β，则α∥β；④若α∥b，β∥b，则α∥β.5.如图，在三棱锥P－ABC内，侧面PAC⊥底面ABC，且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，则PB ＝________.一、选择题1.在长方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB上任取一点E，作EF⊥A1B1于F，则EF与平面A1B1C1D1的关系是( )A.平行B.EF⊂平面A1B1C1D1C.相交但不垂直D.相交且垂直2.如图所示，三棱锥P－ABC中，平面ABC⊥平面PAB，PA＝PB，AD＝DB，则( )A.PD⊂平面ABCB.PD⊥平面ABCC.PD与平面ABC相交但不垂直D.PD∥平面ABC3.如图所示，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点C1在底面ABC上的投影H必在( )A.直线AB上B.直线BC上C.直线AC上D.△ABC内部4.如图，正方形SG1G2G3中，E、F分别是G1G2、G2G3的中点，现在沿SE、SF、EF把这个正方形折成一个四面体，使G1、G2、G3重合，重合后的点记为G.给出下列关系：①SG⊥平面EFG；②SE⊥平面EFG；③GF⊥SE；④EF⊥平面SEG.其中成立的有( )A.①与②B.①与③C.②与③D.③与④5.PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于A，B的任意一点，则下列关系不正确的是( )A.PA⊥BCB.BC⊥平面PACC.AC⊥PBD.PC⊥BC6.三棱锥P－ABC的三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，O是顶点P在底面ABC上的射影，则( )A.S△ABC＝S△PBC＋S△OBCB.S2△PBC＝S△OBC·S△ABCC.2S△PBC＝S△OBC＋S△ABCD.2S△OBC＝S△PBC＋S△ABC7.如图，四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝2，BD⊥CD，将四边形ABCD沿对角线BD 折成四面体A′－BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，则下列结论正确的是( )A.A′C⊥BDB.∠BA′C＝90°C.CA′与平面A′BD所成的角为30°D.四面体A′－BCD的体积为1 3二、填空题8.设两个平面α，β，直线l，下列三个条件：①l⊥α；②l∥β；③α⊥β.若以其中两个作为前提条件，另一个作为结论，则可构成三个命题，这三个命题中，正确命题的个数为_______.9.如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是BC1的中点，则直线DE与平面ABCD所成角的正切值为________.10.已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB＝6，BC＝23，则棱锥O－ABCD的体积为________.11.如图所示，已知两个正方形ABCD 和DCEF 不在同一平面内，M ，N 分别为AB ，DF 的中点.若CD ＝2，平面ABCD ⊥平面DCEF ，则线段MN 的长等于________.三、解答题12.如图所示，四棱锥P －ABCD 中，AP ⊥平面PCD ，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝12AD ，E ，F 分别为线段AD ，PC 的中点.(1)求证：AP ∥平面BEF ；(2)求证：BE ⊥平面PAC .13.在如图所示的多面体中，四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形.(1)若AC⊥BC，证明：直线BC⊥平面ACC1A1；(2)设D，E分别是线段BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？请证明你的结论.当堂检测答案1.答案D解析A项中垂直于同一条直线的两直线可能平行、异面或相交；B项中平行于同一条直线的两个平面可能平行或相交；C项中垂直于同一平面的两个平面可能平行或相交；D项正确.2.答案D解析①m，n可能异面、相交或平行，④m，n可能平行、异面或相交，所以①④错误. 3.答案D解析两个平面都垂直于同一个平面，则这两个平面可能平行，也可能相交，故A，B，C 都有可能，故选D.4.答案①③解析由“垂直于同一平面的两直线平行”知①真；由“平行于同一平面的两直线平行或异面或相交”知②假；由“垂直于同一直线的两平面平行”知③真；易知④假.5.答案5解析∵侧面PAC⊥底面ABC，交线为AC，∠PAC＝90°(即PA⊥AC)，∴PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，∴PB＝PA2＋AB2＝1＋4＝ 5.课时精练答案一、选择题1.答案D解析在长方体ABCD－A1B1C1D1中，平面A1ABB1⊥平面A1B1C1D1且平面A1ABB1∩平面A1B1C1D1＝A1B1，又EF⊂面A1ABB1，EF⊥A1B1，∴EF⊥平面A1B1C1D1，答案D正确.2.答案B解析∵PA＝PB，AD＝DB，∴PD⊥AB.又∵平面ABC⊥平面PAB，平面ABC∩平面PAB＝AB，∴PD⊥平面ABC.3.答案A解析连接AC1，∠BAC＝90°，即AC⊥AB，又AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，所以AC⊥平面ABC1.又AC⊂平面ABC，于是平面ABC1⊥平面ABC，且AB为交线，因此，点C1在平面ABC上的投影必在直线AB上，故选A.4.答案B。
直线与平面垂直平面与平面垂直的性质
2023-10-28CATALOGUE目录•直线与平面垂直的性质•平面与平面垂直的性质•直线与平面垂直和面面垂直在几何中的应用•直线与平面垂直和平面与平面垂直的证明方法01直线与平面垂直的性质03直线与平面垂直的性质定理如果一条直线与一个平面垂直，则这条直线垂直于这个平面内的任意一条直线。
直线与平面垂直的定义01直线与平面垂直的定义如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，则这条直线与这个平面垂直。
02直线与平面垂直的判定定理如果一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，则这条直线与这个平面垂直。
直线与平面垂直的判定定理证明直线与平面垂直的方法利用直线与平面垂直的判定定理，如果一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，则这条直线与这个平面垂直。
实际应用在几何学中，直线与平面垂直的判定定理可以用来证明线面垂直关系，进而解决实际问题。
直线与平面垂直的判定定理如果一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，则这条直线与这个平面垂直。
直线与平面垂直的性质定理直线与平面垂直的性质定理如果一条直线与一个平面垂直，则这条直线垂直于这个平面内的任意一条直线。
证明直线与平面垂直的方法利用直线与平面垂直的性质定理，如果一条直线与一个平面垂直，则这条直线垂直于这个平面内的任意一条直线。
实际应用在几何学中，直线与平面垂直的性质定理可以用来证明线面垂直关系，进而解决实际问题。
02平面与平面垂直的性质平面与平面垂直的定义如果一个平面与另一个平面内的任何一条直线都垂直，那么这两个平面就互相垂直。
定义的应用通过定义可以判断两个平面是否垂直，也可以通过已知一个平面垂直于另一个平面来推导其他线面、面面的垂直关系。
平面与平面垂直的定义定理内容如果一个平面内垂直于两个平面的交线的直线垂直于另一个平面，那么这两个平面就互相垂直。
定理的推导通过交线的垂直关系，可以推导出其他线面、面面的垂直关系。
如果两个平面互相垂直，那么其中一个平面内的直线垂直于另一个平面。
直线平面平行垂直的判定及其性质知识点
直线平面平行垂直的判定及其性质知识点直线和平面的平行与垂直是几何学中的重要概念，它们在解决几何问题中往往起着关键性的作用。
判定直线与平面的平行与垂直关系的方法有很多，下面将逐一介绍。
1.直线与平面平行的判定及性质：直线与平面平行的判定方法有以下三种：（1）法向量判定法：如果直线的方向向量与平面的法向量的点积为零，即直线的方向向量与平面的法向量垂直，则直线与平面平行。
（2）截距判定法：如果直线与平面的两个不同点的坐标满足平面方程，则直线与平面平行。
（3）斜率判定法：如果直线的斜率与平面的法向量的斜率相同或不存在，则直线与平面平行。
直线与平面平行的性质有：（1）两个平行直线与同一个平面的交点之连线垂直于这两个直线。
（2）两个平行直线的斜率相同。
（3）两个平行直线的方向向量相同。
（4）两个平行直线的距离在平行直线之间是相等的。
2.直线与平面垂直的判定及性质：直线与平面垂直的判定方法有以下两种：（1）法向量判定法：如果直线的方向向量与平面的法向量的点积为零，即直线的方向向量与平面的法向量垂直，则直线与平面垂直。
（2）斜率判定法：如果直线的斜率乘以平面的法向量的斜率为-1或直线的斜率不存在且平面的法向量的斜率存在，则直线与平面垂直。
直线与平面垂直的性质有：（1）直线与平面垂直，则直线上的每个点到平面上的任意一点的连线垂直于平面。
（2）直线与平面垂直，则与直线垂直的平面必过直线上的一点。
（3）两个平行的直线与同一个平面的交线垂直于这两个直线。
（4）两个平行直线的方向向量的点积为零。
（5）两个垂直直线的斜率乘积为-1（6）两个平行直线的斜率乘积为1总结起来，判定直线与平面平行与垂直的方法有法向量判定法和斜率判定法。
关于性质，平行直线之间的距离相等，垂直直线的斜率乘积为-1，直线上的每个点到平面上的任意一点的连线垂直于平面等等。
这些性质在解决几何问题时都有非常重要的应用价值。
2.3.3-4直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质
由于△BOE∽△BCD， 3 a· a OE BE BE· DC 2 3 ∴ ＝ ，OE＝ ＝ ＝ a. DC BD BD 2a 4 3 a AE 2 ∴tan ∠AOE＝ ＝ ＝2， OE 3 a 4 即二面角 A－BD－C 的正切值为 2.
2.如图所示，在三棱锥 P -AB C 中，P A ⊥平面 AB C ，平面 P AB ⊥ 平面 P B C . 求证：B C ⊥AB .
证明： (1)∵SA⊥平面 AC，BC⊂平面 AC， ∴SA⊥BC. ∵ABCD 为矩形，∴AB⊥BC，∴BC⊥平面 SAB， ∴BC⊥AE. 又 AE⊥SB，∴AE⊥平面 SBC，∴AE⊥SC. 又 EF⊥SC，∴SC⊥平面 AEF，∴AF⊥SC. (2)∵SA⊥平面 AC，∴SA⊥DC， 又 AD⊥DC，∴DC⊥平面 SAD，∴DC⊥AG. 又由(1)有 SC⊥平面 AEF，AG⊂平面 AEF， ∴SC⊥AG，∴AG⊥平面 SDC，∴AG⊥SD.
2．平面与平面垂直的性质 (1)性质定理可简述为：面面垂直，则线面垂直． (2)性质定理是作线面垂直的依据和方法，在解决二面角问题 中作二面角的平面角经常用到． 这种线面垂直与面面垂直间的相互 转化，是我们立体几何中求解(证)问题的重要思想方法． (3)平面与平面垂直性质定理的推论 如果两个平面互相垂直， 那么经过第一个平面内的一点垂直于 第二个平面的直线，在第一个平面内．
题型二
面面垂直性质定理的应用
【例 2】 如图，将一副三角板拼接，使它们有公共边 BC，且 使两个三角形所在的平面互相垂直， 若∠A＝90° ， AB＝AC， ∠BCD ＝90° ，∠D＝60° . (1)求证：平面 ABD⊥平面 ACD； (2)求二面角 A－BD－C 的正切值． 思路点拨： 证面面垂直的常用方法是找出一个平面内的一条直 线与另一个平面垂直；(2)关键是找出二面角的平面角．
高考数学复习直线、平面垂直的判定与性质
第4讲直线、平面垂直的判定与性质最新考纲考向预测从定义和公理出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.命题趋势直线、平面垂直的判定及性质是高考中的重点考查内容，涉及线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定及其应用、直线与平面所成的角等内容．多出现在解答题的第(1)问，难度中等.核心素养逻辑推理、直观想象1．直线与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直⎭⎬⎫a，b⊂αa∩b＝Ol⊥al⊥b⇒l⊥α性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行⎭⎬⎫a⊥αb⊥α⇒a∥b2.平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直⎭⎬⎫l⊂βl⊥α⇒α⊥β性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与⎭⎬⎫α⊥βl⊂βα∩β＝al⊥a另一个平面垂直⇒l ⊥α3.空间角(1)直线与平面所成的角①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角，如图，∠P AO 就是斜线AP 与平面α所成的角．②线面角θ的范围：θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2．(2)二面角①定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱．两个半平面叫做二面角的面．如图的二面角，可记作：二面角α-l -β或二面角P -AB -Q ． ②二面角的平面角如图，过二面角α-l -β的棱l 上一点O 在两个半平面内分别作BO ⊥l ，AO ⊥l ，则∠AOB 就叫做二面角α-l -β的平面角．③二面角的范围设二面角的平面角为θ，则θ∈[0，π]． ④当θ＝π2时，二面角叫做直二面角． 常用结论1．直线与平面垂直的五个结论(1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线． (2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． (3)垂直于同一条直线的两个平面平行．(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直．(5)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面． 2．三种垂直关系的转化：线线垂直判定定理性质定理线面垂直判定定理性质定理面面垂直常见误区1．证明线面垂直时，易忽视平面内两条直线为相交直线这一条件．2．两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”这一条件．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)已知直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a∥c.()(2)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.()(3)设m，n是两条不同的直线，α是一个平面，若m∥n，m⊥α，则n⊥α.()(4)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．()(5)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.()答案：(1)×(2)×(3)√(4)×(5)×2．(易错题)已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是()A．α⊥β且m⊂αB．m⊥n且n∥βC．m∥n且n⊥βD．m⊥n且α∥β解析：选C.由线线平行性质的传递性和线面垂直的判定定理，可知C正确．3．(多选)四棱锥S-ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中正确的是()A．AC⊥SB B．AD⊥SCC．平面SAC⊥平面SBD D．BD⊥SA解析：选ABC.由SD⊥底面ABCD，得SB在平面ABCD内的射影为DB.又DB与AC垂直，所以SB⊥AC，A正确；由SC在平面ABCD内的射影DC与AD垂直，得SC⊥AD，B正确；由AC⊥SB，AC⊥BD，SB∩BD＝B，可得AC⊥平面SBD，从而有平面SAC⊥平面SBD，C正确；若BD⊥SA，则BD垂直SA在平面ABCD内的射影DA，与已知条件矛盾，D错误．故选ABC.4．已知直线l和平面α，β，且l⊂α，则“l⊥β”是“α⊥β”的________条件．解析：由面面垂直的判定定理可得，若l⊂α，l⊥β，则α⊥β，充分性成立；若l⊂α，α⊥β，则l与β垂直、相交或平行，必要性不成立，所以若l⊂α，则“l⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件．答案：充分不必要5．在三棱锥P-ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O.若P A＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心．解析：如图，连接OA，OB，OC，OP，在Rt△POA，Rt△POB和Rt△POC 中，P A＝PB＝PC，所以OA＝OB＝OC，即O为△ABC的外心．答案：外线面垂直的判定与性质(1)如图，在三棱锥P-ABC中，AB＝BC＝22，P A＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．证明：PO⊥平面ABC.(2)(2020·高考全国卷Ⅲ节选)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F 分别在棱DD1，BB1上，且2DE＝ED1，BF＝2FB1.证明：当AB＝BC时，EF⊥AC.【证明】(1)因为AP＝CP＝AC＝4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP＝2 3.连接OB.因为AB＝BC＝22AC，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB＝12AC＝2.由OP2＋OB2＝PB2知PO⊥OB.由OP⊥OB，OP⊥AC且OB∩AC＝O知PO⊥平面ABC.(2)如图，连接BD，B1D1.因为AB＝BC，所以四边形ABCD为正方形，故AC⊥BD.又因为BB1⊥平面ABCD.于是AC⊥BB1.所以AC⊥平面BB1D1D.由于EF ⊂平面BB1D1D，所以EF⊥AC.判定线面垂直的四种方法1．如图所示，已知AB为圆O的直径，点D为线段AB上一点，且AD＝13DB，点C为圆O上一点，且BC＝3AC，PD⊥平面ABC，PD＝DB.求证：P A⊥CD.证明：因为AB为圆O的直径，所以AC⊥CB，在Rt△ABC中，由3AC＝BC得∠ABC＝30°，设AD＝1，由3AD＝DB得DB＝3，BC＝23，由余弦定理得CD2＝DB2＋BC2－2DB·BC cos 30°＝3，所以CD2＋DB2＝BC2，即CD⊥AO.因为PD⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，所以PD⊥CD，由PD∩AO＝D得，CD⊥平面P AB，又因为P A⊂平面P AB，所以P A⊥CD.2．如图，在三棱锥A-BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.求证：(1)EF∥平面ABC；(2)AD⊥AC.证明：(1)在平面ABD中，因为AB⊥AD，EF⊥AD，所以EF∥AB.又因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.(2)因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，BC⊂平面BCD，BC⊥BD，所以BC⊥平面ABD.因为AD⊂平面ABD，所以BC⊥AD.又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，所以AD⊥平面ABC.又因为AC⊂平面ABC，所以AD⊥AC.面面垂直的判定与性质(1)(2020·高考全国卷Ⅰ节选)如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，△ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，∠APC＝90°.证明：平面P AB⊥平面P AC.(2)(2020·开封市模拟考试)如图，已知在三棱柱ABC-A1B1C1中，平面AA1C1C ⊥平面ABC，AA1＝AC，AC⊥BC.证明：A1C⊥AB1.【证明】(1)由题设可知，P A＝PB＝PC，由于△ABC是正三角形，故可得△P AC≌△P AB，△P AC≌△PBC.又∠APC＝90°，故∠APB＝90°，∠BPC＝90°，从而PB⊥P A，PB⊥PC，故PB⊥平面P AC，所以平面P AB⊥平面P AC.(2)因为AA1＝AC，所以四边形AA1C1C为菱形，所以A1C⊥AC1.因为平面AA1C1C⊥平面ABC，平面AA1C1C∩平面ABC＝AC，BC⊂平面ABC，BC⊥AC，所以BC⊥平面AA1C1C.又BC∥B1C1，所以B1C1⊥平面AA1C1C，所以B1C1⊥A1C.因为AC1∩B1C1＝C1，所以A1C⊥平面AB1C1，而AB1⊂平面AB1C1，所以A1C⊥AB1.(1)证明面面垂直的方法①定义法：利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面角，将证明面面垂直的问题转化为证明平面角为直角的问题．②定理法：利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，进而把问题转化为证明线线垂直加以解决．(2)在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．如图，在三棱锥P-ABC中，P A⊥平面ABC，AB＝AC＝a，BC ＝2a.求证：平面P AB⊥平面P AC.证明：因为P A⊥平面ABC，所以P A⊥AB，P A⊥AC，所以∠BAC即为二面角B-P A-C的平面角．又AB＝AC＝a，BC＝2a，所以∠BAC＝90°，所以平面P AB⊥平面P AC.平行与垂直的综合问题如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面P AD⊥平面ABCD，P A⊥PD，P A＝PD，E，F分别为AD，PB的中点．(1)求证：PE⊥BC；(2)求证：平面P AB⊥平面PCD；(3)求证：EF∥平面PCD.【证明】(1)因为P A＝PD，E为AD的中点，所以PE⊥AD.因为底面ABCD为矩形，所以BC∥AD，所以PE⊥BC.(2)因为底面ABCD为矩形，所以AB⊥AD.又因为平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，AB⊂平面ABCD，所以AB⊥平面P AD，因为PD⊂平面P AD，所以AB⊥PD.又因为P A⊥PD，AB∩P A＝A，所以PD⊥平面P AB.因为PD⊂平面PCD，所以平面P AB⊥平面PCD.(3)如图，取PC的中点G，连接FG，DG.因为F，G分别为PB，PC的中点，所以FG∥BC，FG＝12BC.因为四边形ABCD为矩形，且E为AD的中点，所以DE∥BC，DE＝12BC.所以DE∥FG，DE＝FG.所以四边形DEFG为平行四边形．所以EF∥DG.又因为EF⊄平面PCD，DG⊂平面PCD，所以EF∥平面PCD.平行与垂直的综合问题主要是利用平行关系、垂直关系之间的转化去解决．注意遵循“空间到平面”“低维”到“高维”的转化关系．(2020·高考江苏卷)在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F分别是AC，B1C的中点．(1)求证：EF∥平面AB1C1；(2)求证：平面AB1C⊥平面ABB1.证明：(1)因为E，F分别是AC，B1C的中点，所以EF∥AB1.又EF⊄平面AB1C1，AB1⊂平面AB1C1，所以EF∥平面AB1C1.(2)因为B1C⊥平面ABC，AB⊂平面ABC,所以B1C⊥AB.又AB⊥AC，B1C⊂平面AB1C，AC⊂平面AB1C，B1C∩AC＝C，所以AB⊥平面AB1C.又因为AB⊂平面ABB1，所以平面AB1C⊥平面ABB1.思想方法系列14构造几何模型解决空间问题判断空间线、面的位置关系，常利用正(长)方体及其他几何体模型来判断，把平面、直线看作正(长)方体内及其他几何体平面、侧棱、对角线等进行推导验证，使抽象的推理形象化、具体化．已知m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有下列四个命题：①若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；②若m∥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；③若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；④若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n.其中所有正确的命题是()A．①④B．②④C．①D．④【解析】对于①，可以得到平面α，β互相垂直，如图(1)所示，故①正确；对于②，平面α，β可能垂直，如图(2)所示，故②不正确；对于③，平面α，β可能垂直，如图(3)所示，故③不正确；对于④，由m⊥α，α∥β可得m⊥β，因为n∥β，所以过n作平面γ，且γ∩β＝g，如图(4)所示，所以n与交线g平行，因为m⊥g，所以m⊥n，故④正确．故选A项．【答案】 A(1)构造法实质上是结合题意构造符合题意的直观模型，然后利用模型对问题直观地作出判断．这样减少了抽象性，避免了因考虑不全面而导致的解题错误．(2)由于长方体或正方体中包含了线线平行、线面平行、线线垂直、线面垂直及面面垂直等各种位置关系．故构造长方体或正方体来判断空间直线、平面间的位置关系，显得直观、易判断．构造时注意其灵活性，想象各种情况反复验证．Ｋ(2020·贵阳市四校联考)如图所示，在三棱锥P-ABC中，AP⊥平面ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，AP＝3，则该三棱锥外接球的体积为________．解析：如图所示，根据题意可将三棱锥补形为一个长、宽、高分别为1，1，3的长方体，则三棱锥的外接球与长方体的外接球相同．设外接球半径为R，则(2R)2＝12＋12＋(3)2＝5，所以该三棱锥外接球的体积V＝43πR3＝556π.答案：556π[A级基础练]1．已知平面α和直线l，则α内至少有一条直线与l()A．平行B．相交C．垂直D．异面解析：选C.当直线l与平面α斜交时，在平面α内不存在直线与l平行，故A项错误；当l∥α时，在α内不存在直线与l相交，故B项错误；当l⊂α时，在α内不存在直线与l异面，故D项错误；无论哪种情形，在平面α内都有无数条直线与l垂直．故选C项．2．(多选)设α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列说法正确的是()A．若α⊥β，α∩β＝m，m⊥n，n⊂α，则n⊥βB．若α⊥β，n∥α，则n⊥βC．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若m⊥α，m⊥β，n⊥α，则n⊥β解析：选AD.选项A中，由面面垂直的性质定理知，正确；选项B中，直线n可以与平面β相交、平行或n⊂β，不正确；选项C中，与直线m平行的平面有无数个，且这些平面可以与平面α平行、相交，不正确；选项D中，根据m⊥α，m⊥β，知α∥β，又n⊥α，所以n⊥β正确，故选AD.3．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点O，M，N分别是线段BD，DD1，D1C1的中点，则直线OM与AC，MN的位置关系是()A．与AC，MN均垂直B．与AC垂直，与MN不垂直C．与AC不垂直，与MN垂直D．与AC，MN均不垂直解析：选A.因为DD1⊥平面ABCD，所以AC⊥DD1，又因为AC⊥BD，DD1∩BD＝D，所以AC⊥平面BDD1B1，因为OM⊂平面BDD1B1，所以OM⊥AC.设正方体的棱长为2，则OM＝1＋2＝3，MN＝1＋1＝2，ON＝1＋4＝5，所以OM2＋MN2＝ON2，所以OM⊥MN.故选A.4．(2021·山东济宁模拟)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是()A．CC1与B1E是异面直线B．AC⊥平面ABB1A1C．AE⊥B1C1D．A1C1∥平面AB1E解析：选C.对于A，CC1与B1E均在侧面BCC1B1内，又两直线不平行，故相交，A错误；对于B，AC与平面ABB1A1所成的角为60°，所以AC不垂直于平面ABB1A1，故B错误；对于C，AE⊥BC，BC∥B1C1，所以AE⊥B1C1，故C 正确；对于D，AC与平面AB1E有公共点A，AC∥A1C1，所以A1C1与平面AB1E 相交，故D错误．5.(多选)如图，AC＝2R为圆O的直径，∠PCA＝45°，P A垂直于圆O所在的平面，B为圆周上不与点A，C重合的点，AS⊥PC于点S，AN⊥PB于点N，则下列选项正确的是()A．平面ANS⊥平面PBCB．平面ANS⊥平面P ABC．平面P AB⊥平面PBCD．平面ABC⊥平面P AC解析：选ACD.因为P A⊥平面ABC，P A⊂平面P AC，所以平面ABC⊥平面P AC，故D正确；因为B为圆周上不与A，C重合的点，AC为直径，所以BC⊥AB，因为P A⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以BC⊥P A，又AB∩P A＝A，所以BC⊥平面P AB，又BC⊂平面PBC，所以平面P AB⊥平面PBC，故C正确；因为BC⊥平面P AB，所以BC⊥AN，又因为AN⊥PB，PB∩BC＝B，所以AN⊥平面PBC，又AN⊂平面ANS，所以平面ANS⊥平面PBC，故A正确．故选ACD.6.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABC，PC＝4，M是边AB上的一个动点，则PM的最小值为________．解析：作CH⊥AB于H，连接PH.因为PC⊥平面ABC，所以PH⊥AB，PH为PM的最小值，等于27.答案：277．(2019·高考北京卷)已知l，m是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l⊥m；②m∥α；③l⊥α.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．解析：其中两个论断作为条件，一个论断作为结论，可组成3个命题．命题(1)：若l⊥m，m∥α，则l⊥α，此命题不成立，可以举一个反例，例如在正方体ABCD-A1B1C1D1中，设平面ABCD为平面α，A1D1和A1B1分别为l 和m，满足条件，但结论不成立．命题(2)：若l⊥m，l⊥α，则m∥α，此命题正确．证明：作直线m1∥m，且与l相交，故l与m1确定一个平面β，且l⊥m1，因为l⊥α，所以平面α与平面β相交，设α∩β＝n，则l⊥n，又m1，n⊂β，所以m1∥n，又m1∥m，所以m∥n，又m在平面α外，n⊂α，故m∥α.命题(3)：若m∥α，l⊥α，则l⊥m，此命题正确．证明：过直线m作一平面，且与平面α相交，交线为a，因为m∥α，所以m∥a.因为l⊥α，a⊂α，所以l⊥a，又m∥a，所以l⊥m.答案：若l⊥m，l⊥α，则m∥α(或m∥α，l⊥α，则l⊥m，答案不唯一) 8．如图，已知∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△P AC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有__________________；与AP垂直的直线有________．解析：因为PC⊥平面ABC，所以PC垂直于直线AB，BC，AC.因为AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，所以AB⊥平面P AC，又因为AP⊂平面P AC，所以AB⊥AP，与AP垂直的直线是AB.答案：AB，BC，AC AB9.如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC.(1)求证：DC⊥平面P AC；(2)求证：平面P AB⊥平面P AC.证明：(1)因为PC⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，所以PC⊥DC.又因为AC⊥DC，且PC∩AC＝C，所以DC⊥平面P AC.(2)因为AB∥CD，DC⊥AC，所以AB⊥AC.因为PC⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以PC⊥AB.又因为PC∩AC＝C，所以AB⊥平面P AC.又AB⊂平面P AB，所以平面P AB⊥平面P AC.10．(2020·沈阳市教学质量监测(一))如图，已知△ABC为等边三角形，△ABD为等腰直角三角形，AB⊥BD.平面ABC⊥平面ABD，点E与点D在平面ABC的同侧，且CE∥BD，BD＝2CE.F为AD的中点，连接EF.(1)求证：EF∥平面ABC；(2)求证：平面AED⊥平面ABD.证明：(1)如图，取AB的中点为O，连接OC，OF，因为O，F分别为AB，AD的中点，所以OF∥BD且BD＝2OF，又CE∥BD且BD＝2CE，所以CE∥OF且CE＝OF，所以四边形OCEF为平行四边形，所以EF∥OC.又EF⊄平面ABC且OC⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.(2)因为三角形ABC为等边三角形，所以OC⊥AB，又平面ABC⊥平面ABD且平面ABC∩平面ABD＝AB，所以OC⊥平面ABD，因为EF∥OC，所以EF⊥平面ABD，又EF⊂平面AED，所以平面AED⊥平面ABD.[B级综合练]11．(多选)已知在四面体ABCD中，△ABC，△BCD均为边长为1的等边三角形，E，F分别为BC，BD的中点，则()A．BC⊥ADB．若AD＝1，则四面体ABCD的体积为2 6C ．若AD ＝62，则平面ABC ⊥平面BCD D ．若AF ＝12，则截面AEF 的面积为316解析：选ACD.连接AE ，DE ，因为△ABC ，△BCD 均为边长为1的等边三角形，所以AE ⊥BC ，DE ⊥BC ，又AE ∩DE ＝E ，所以BC ⊥平面ADE ，所以BC ⊥AD ，故A 正确；设点A 在平面BCD 内的射影为点O ，则AO ＝12－⎝ ⎛⎭⎪⎫32×232＝63，所以四面体ABCD 的体积为13×34×12×63＝212，故B 错误；易知∠AED 为二面角A -BC -D 的平面角，AE ＝32，DE ＝32，当AD ＝62时，AE 2＋DE 2＝AD 2，所以∠AED ＝90°，所以平面ABC ⊥平面BCD ，故C 正确；因为E ，F 分别为BC ，BD 的中点，连接EF ，AF ，易知EF ＝12CD ＝12，由余弦定理可得cos ∠AEF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122－⎝ ⎛⎭⎪⎫1222×32×12＝32，所以sin ∠AEF ＝12，所以S △AEF ＝12×12×32×12＝316，故D 正确．12．如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱长为2，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，D 是A 1B 1的中点，F 是BB 1上的动点，AB 1，DF 交于点E .要使AB 1⊥平面C 1DF ，则线段B 1F 的长为________．解析：设B 1F ＝x ，因为AB 1⊥平面C 1DF ，DF ⊂平面C 1DF ，所以AB 1⊥DF . 由已知可以得A 1B 1＝2，设Rt △AA 1B 1斜边AB 1上的高为h ，则DE ＝12h ，又2×2＝h ×22＋（2）2，所以h ＝233，DE ＝33.在Rt△DB1E中，B1E＝（22）2－（33）2＝66.由面积相等得66×x2＋（22）2＝22x，得x＝12.即线段B1F的长为12.答案：1 213．(2020·成都市诊断性检测)如图，在四棱锥PABCD中，AP⊥平面PBC，底面ABCD为菱形，且∠ABC ＝60°，E，F分别为BC，CD的中点．(1)证明：BC⊥平面P AE；(2)点Q在棱PB上，且PQPB＝13，证明：PD∥平面QAF.证明：(1)如图，连接AC.因为底面ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，所以三角形ABC为正三角形．因为E为BC的中点，所以BC⊥AE.因为AP⊥平面PBC，BC⊂平面PBC，所以BC⊥AP.因为AP∩AE＝A，AP，AE⊂平面P AE，所以BC⊥平面P AE.(2)连接BD交AF于点M，连接QM.因为F为CD的中点，所以在底面ABCD中，DMMB＝DFAB＝12，所以DMDB＝13.所以PQPB＝DMDB＝13，所以在三角形BPD中，PD∥QM.又QM⊂平面QAF，PD⊄平面QAF，所以PD∥平面QAF.14．(2020·广东七校联考)如图，在四棱锥P-ABCD中，P A ⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，P A＝AB＝2，E是AB的中点，G是PD的中点．(1)求四棱锥P-ABCD的体积；(2)求证：AG∥平面PEC；(3)求证：平面PCD⊥平面PEC.解：(1)易知V 四棱锥P -ABCD ＝13S 正方形ABCD ·P A ＝13×2×2×2＝83. (2)证明：如图，取PC 的中点F ，连接EF 和FG ，则易得AE ∥FG ，且AE ＝12CD ＝FG ，所以四边形AEFG 为平行四边形，所以EF ∥AG .因为EF ⊂平面PEC ，AG ⊄平面PEC ，所以AG ∥平面PEC .(3)证明：易知CD ⊥AD ，CD ⊥P A ，因为P A ∩AD ＝A ，P A ⊂平面P AD ，AD ⊂平面P AD ，所以CD ⊥平面P AD .又AG ⊂平面P AD ，所以CD ⊥AG .易知PD ⊥AG ，因为PD ∩CD ＝D ，PD ⊂平面PCD ，CD ⊂平面PCD ， 所以AG ⊥平面PCD ，所以EF ⊥平面PCD .又EF ⊂平面PEC ，所以平面PEC ⊥平面PCD .[C 级 创新练]15．一种特殊的四面体叫做“鳖臑”，它的四个面均为直角三角形．在四面体P ABC 中，设E ，F 分别是PB ，PC 上的点，连接AE ，AF ，EF (此外不再增加任何连线)，则图中直角三角形最多有( )A ．6个B ．8个C ．10个D ．12个解析：选C.为使题图中有尽可能多的直角三角形，设四面体P ABC 为“鳖臑”，其中P A ⊥平面ABC ，且AB ⊥BC ，易知CB ⊥平面P AB .若AE ⊥PB ，EF ⊥PC ，由CB ⊥平面P AB ，得平面P AB ⊥平面PBC . 又AE ⊥PB ，平面APB ∩平面PBC ＝PB ，所以AE ⊥平面PBC ， 所以AE ⊥EF ，且AE ⊥PC .又EF ⊥PC ，知四面体P AEF 也是“鳖臑”，则题图中的10个三角形全是直角三角形，故选C.16.(多选)如图，棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P为线段A 1B 上的动点，则下列结论正确的是( )A ．平面D 1A 1P ⊥平面A 1APB ．∠APD 1的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫0，π2 C ．三棱锥B 1D 1PC 的体积为定值D ．DC 1⊥D 1P解析：选ACD.在A 中，因为A 1D 1⊥平面A 1AP ，A 1D 1⊂平面D 1A 1P ，所以平面D 1A 1P ⊥平面A 1AP ，故A 正确；在B 中，当P 与A 1重合时，∠APD 1＝π2，故B 错误； 在C 中，因为△B 1D 1C 的面积是定值，A 1B ∥平面B 1D 1C ，所以点P 到平面B 1D 1C 的距离是定值，所以三棱锥B 1D 1PC 的体积为定值，故C 正确；在D 中，因为DC 1⊥D 1C ，DC 1⊥BC ，D 1C ∩BC ＝C ，D 1C ，BC ⊂平面BCD 1A 1，所以DC 1⊥平面BCD 1A 1，又D 1P ⊂平面BCD 1A 1，所以DC 1⊥D 1P ，故D 正确．第4讲直线、平面垂直的判定与性质最新考纲考向预测从定义和公理出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.命题趋势直线、平面垂直的判定及性质是高考中的重点考查内容，涉及线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定及其应用、直线与平面所成的角等内容．多出现在解答题的第(1)问，难度中等.核心素养逻辑推理、直观想象1．直线与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直⎭⎬⎫a，b⊂αa∩b＝Ol⊥al⊥b⇒l⊥α性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行⎭⎬⎫a⊥αb⊥α⇒a∥b2.平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直⎭⎬⎫l⊂βl⊥α⇒α⊥β性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与⎭⎬⎫α⊥βl⊂βα∩β＝al⊥a另一个平面垂直⇒l ⊥α3.空间角(1)直线与平面所成的角①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角，如图，∠P AO 就是斜线AP 与平面α所成的角．②线面角θ的范围：θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2．(2)二面角①定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱．两个半平面叫做二面角的面．如图的二面角，可记作：二面角α-l -β或二面角P -AB -Q ． ②二面角的平面角如图，过二面角α-l -β的棱l 上一点O 在两个半平面内分别作BO ⊥l ，AO ⊥l ，则∠AOB 就叫做二面角α-l -β的平面角．③二面角的范围设二面角的平面角为θ，则θ∈[0，π]． ④当θ＝π2时，二面角叫做直二面角． 常用结论1．直线与平面垂直的五个结论(1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线． (2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． (3)垂直于同一条直线的两个平面平行．(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直．(5)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面． 2．三种垂直关系的转化：线线垂直判定定理性质定理线面垂直判定定理性质定理面面垂直常见误区1．证明线面垂直时，易忽视平面内两条直线为相交直线这一条件．2．两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”这一条件．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)已知直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a∥c.()(2)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.()(3)设m，n是两条不同的直线，α是一个平面，若m∥n，m⊥α，则n⊥α.()(4)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．()(5)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.()答案：(1)×(2)×(3)√(4)×(5)×2．(易错题)已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是()A．α⊥β且m⊂αB．m⊥n且n∥βC．m∥n且n⊥βD．m⊥n且α∥β解析：选C.由线线平行性质的传递性和线面垂直的判定定理，可知C正确．3．(多选)四棱锥S-ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中正确的是()A．AC⊥SB B．AD⊥SCC．平面SAC⊥平面SBD D．BD⊥SA解析：选ABC.由SD⊥底面ABCD，得SB在平面ABCD内的射影为DB.又DB与AC垂直，所以SB⊥AC，A正确；由SC在平面ABCD内的射影DC与AD垂直，得SC⊥AD，B正确；由AC⊥SB，AC⊥BD，SB∩BD＝B，可得AC⊥平面SBD，从而有平面SAC⊥平面SBD，C正确；若BD⊥SA，则BD垂直SA在平面ABCD内的射影DA，与已知条件矛盾，D错误．故选ABC.4．已知直线l和平面α，β，且l⊂α，则“l⊥β”是“α⊥β”的________条件．解析：由面面垂直的判定定理可得，若l⊂α，l⊥β，则α⊥β，充分性成立；若l⊂α，α⊥β，则l与β垂直、相交或平行，必要性不成立，所以若l⊂α，则“l⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件．答案：充分不必要5．在三棱锥P-ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O.若P A＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心．解析：如图，连接OA，OB，OC，OP，在Rt△POA，Rt△POB和Rt△POC 中，P A＝PB＝PC，所以OA＝OB＝OC，即O为△ABC的外心．答案：外线面垂直的判定与性质(1)如图，在三棱锥P-ABC中，AB＝BC＝22，P A＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．证明：PO⊥平面ABC.(2)(2020·高考全国卷Ⅲ节选)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F 分别在棱DD1，BB1上，且2DE＝ED1，BF＝2FB1.证明：当AB＝BC时，EF⊥AC.【证明】(1)因为AP＝CP＝AC＝4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP＝2 3.连接OB.因为AB＝BC＝22AC，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB＝12AC＝2.由OP2＋OB2＝PB2知PO⊥OB.由OP⊥OB，OP⊥AC且OB∩AC＝O知PO⊥平面ABC.(2)如图，连接BD，B1D1.因为AB＝BC，所以四边形ABCD为正方形，故AC⊥BD.又因为BB1⊥平面ABCD.于是AC⊥BB1.所以AC⊥平面BB1D1D.由于EF ⊂平面BB1D1D，所以EF⊥AC.判定线面垂直的四种方法1．如图所示，已知AB为圆O的直径，点D为线段AB上一点，且AD＝13DB，点C为圆O上一点，且BC＝3AC，PD⊥平面ABC，PD＝DB.求证：P A⊥CD.证明：因为AB为圆O的直径，所以AC⊥CB，在Rt△ABC中，由3AC＝BC得∠ABC＝30°，设AD＝1，由3AD＝DB得DB＝3，BC＝23，由余弦定理得CD2＝DB2＋BC2－2DB·BC cos 30°＝3，所以CD2＋DB2＝BC2，即CD⊥AO.因为PD⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，所以PD⊥CD，由PD∩AO＝D得，CD⊥平面P AB，又因为P A⊂平面P AB，所以P A⊥CD.2．如图，在三棱锥A-BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.求证：(1)EF∥平面ABC；(2)AD⊥AC.证明：(1)在平面ABD中，因为AB⊥AD，EF⊥AD，所以EF∥AB.又因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.(2)因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，BC⊂平面BCD，BC⊥BD，所以BC⊥平面ABD.因为AD⊂平面ABD，所以BC⊥AD.又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，所以AD⊥平面ABC.又因为AC⊂平面ABC，所以AD⊥AC.面面垂直的判定与性质(1)(2020·高考全国卷Ⅰ节选)如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，△ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，∠APC＝90°.证明：平面P AB⊥平面P AC.(2)(2020·开封市模拟考试)如图，已知在三棱柱ABC-A1B1C1中，平面AA1C1C ⊥平面ABC，AA1＝AC，AC⊥BC.证明：A1C⊥AB1.【证明】(1)由题设可知，P A＝PB＝PC，由于△ABC是正三角形，故可得△P AC≌△P AB，△P AC≌△PBC.又∠APC＝90°，故∠APB＝90°，∠BPC＝90°，从而PB⊥P A，PB⊥PC，故PB⊥平面P AC，所以平面P AB⊥平面P AC.(2)因为AA1＝AC，所以四边形AA1C1C为菱形，所以A1C⊥AC1.因为平面AA1C1C⊥平面ABC，平面AA1C1C∩平面ABC＝AC，BC⊂平面ABC，BC⊥AC，所以BC⊥平面AA1C1C.又BC∥B1C1，所以B1C1⊥平面AA1C1C，所以B1C1⊥A1C.因为AC1∩B1C1＝C1，所以A1C⊥平面AB1C1，而AB1⊂平面AB1C1，所以A1C⊥AB1.(1)证明面面垂直的方法①定义法：利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面角，将证明面面垂直的问题转化为证明平面角为直角的问题．②定理法：利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，进而把问题转化为证明线线垂直加以解决．(2)在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．如图，在三棱锥P-ABC中，P A⊥平面ABC，AB＝AC＝a，BC ＝2a.求证：平面P AB⊥平面P AC.证明：因为P A⊥平面ABC，所以P A⊥AB，P A⊥AC，所以∠BAC即为二面角B-P A-C的平面角．又AB＝AC＝a，BC＝2a，所以∠BAC＝90°，所以平面P AB⊥平面P AC.平行与垂直的综合问题如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面P AD⊥平面ABCD，P A⊥PD，P A＝PD，E，F分别为AD，PB的中点．(1)求证：PE⊥BC；(2)求证：平面P AB⊥平面PCD；(3)求证：EF∥平面PCD.【证明】(1)因为P A＝PD，E为AD的中点，所以PE⊥AD.因为底面ABCD为矩形，所以BC∥AD，所以PE⊥BC.(2)因为底面ABCD为矩形，所以AB⊥AD.又因为平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，AB⊂平面ABCD，所以AB⊥平面P AD，因为PD⊂平面P AD，所以AB⊥PD.又因为P A⊥PD，AB∩P A＝A，所以PD⊥平面P AB.因为PD⊂平面PCD，所以平面P AB⊥平面PCD.(3)如图，取PC的中点G，连接FG，DG.因为F，G分别为PB，PC的中点，所以FG∥BC，FG＝12BC.因为四边形ABCD为矩形，且E为AD的中点，所以DE∥BC，DE＝12BC.所以DE∥FG，DE＝FG.所以四边形DEFG为平行四边形．所以EF∥DG.又因为EF⊄平面PCD，DG⊂平面PCD，所以EF∥平面PCD.平行与垂直的综合问题主要是利用平行关系、垂直关系之间的转化去解决．注意遵循“空间到平面”“低维”到“高维”的转化关系．(2020·高考江苏卷)在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥。
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1．线面垂直性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行(线面垂直→线线平 行 )．
2．面面垂直性质定理①：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与
另一个平面垂直．用符号语言表示为：若α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l， 则a⊥β(面面垂直→线面垂直)． 3．面面垂直性质定理②：如果两个平面互相垂直， 那么经过第一个平面内的 一点垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内．
∴∠APD＝45°，△PAD 是等腰直角三角形．
∵E 为 PD 的中点，∴AE⊥PD. 又∵DC⊥AE， ∴AE⊥平面 PDC.又 MN∥AE， ∴MN⊥平面 PDC. ∴平面 MND⊥平面 PDC.
例 4：证明：如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么 它们的交线垂直于第三个平面．
证法一：如图5，在γ内取一点 P，作PA 垂直α与γ的交线于 A，再作 PB 垂直β与γ的交线于 B， 则 PA ⊥α，PB⊥β. ∵l＝α∩β，∴l⊥PA ，l⊥PB. ∵α与β相交，∴PA 与 PB 相交． 图 5
又 PA ⊂γ，PB⊂γ，∴l⊥γ.
证法二：如图 6，在α内作直线 m 垂直于α与γ的交线，在β 内作直线 n 垂直于β与γ的交线， ∵α⊥γ，β⊥γ，
∴m⊥γ，n⊥γ.
∴m∥n.又 n⊂β， ∴m∥β，∴m∥l，∴l⊥γ. 图 6
证法三：如图7，在 l 上取一点 P，过点 P 作γ的垂线 l′，
图2
面面垂直→线面垂直．
2－1.如图 3，四棱锥 V－ABCD 的底面为矩形，侧面 VAB ⊥底面 ABCD，且 VB⊥平面 VAD. 求证：平面 VBC⊥平面 VAC. 证明：∵四边形 ABCD 为矩形，∴BC⊥AB. 又∵面 VBA⊥面 ABCD，面 VBA∩面 ABCD＝AB， ∴BC⊥面 VAB.∴BC⊥VA. ∵VB⊥面 VAD，∴VB⊥VA. ∵VB∩BC＝B，∴VA⊥面 VBC. 又∵VA⊂面 VAC，∴面 VBC⊥面 VAC. 图3
∴四边形 AMNE 为平行四边形，
∴MN∥AE. 图5
∵PA ⊥矩形 ABCD 所在的平面，∴PA ⊥DC，PA ⊥AD.
又∵DC⊥AD，∴DC⊥平面 PAD，而 AE⊂平面 PAD. ∴DC⊥AE，DC⊥PD， ∴∠PDA 是二面角 P－DC－A 的平面角． ∵PDA＝45°，又 PA ⊥AD，
1.已知直线 a , b 和平面
, 如果a , b
,
那么 a , b 的位置关系如何? 2.设 ,
CD, AB , AB CD ,且 AB CD B
那么直线AB与平面 的位置关系如何? 3.设平面 垂直平面 , 点P在平面 内, 过点P作平面 的垂线 a , 直线
∴BC⊥平面 SAB.
又 AE⊂平面 SBC，∴BC⊥AE.
图4
又 SB⊥AE，∴AE⊥平面 SBC. ∴AE⊥SC. 又 EF⊥SC，∴SC⊥平面 AEF， ∴AF⊥SC. (2)∵SA⊥平面 AC，DC⊂平面 AC， ∴SA⊥DC. 又 AD⊥DC，∴DC⊥平面 SAD. 又 AG⊂平面 SAD，∴DC⊥AG. 又由(1)有 SC⊥平面 AEF，AG⊂平面 AEF， ∴SC⊥AG，且 SC∩DC＝C， ∴AG⊥平面 SDC.∴AG⊥SD.
a与平面 具有什么位置关系?
线面、面面垂直的性质定理
1．线面垂直性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行 (线面垂直→线线平行)． 2．面面垂直性质定理①：两个平面垂直，则一个平面内垂 直于交线的直线与另一个平面垂直．用符号语言表示为：若α⊥ β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l，则a⊥β(面面垂直→线面垂直)． 3．面面垂直性质定理②：如果两个平面互相垂直， 那么 经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线必在第一个
3 －1. 已知 PA ⊥矩形 ABCD 所在平面，平面 PDC 与平面 ABCD 成 45°角，M、N 分别为 AB、PC 的中点． 求证：平面 MND⊥平面 PDC.
证明：如图 5，设 E 为 PD 中点，连接 AE、EN，∵M、N 分别为 AB、PC 中点，
∴EN∥DC∥AB，
1 1 且 EN＝2DC＝2AB＝AM.
1－1.已知 a、b 是两条不同的直线，α、β为两个不同的平面， a⊥α，b⊥β，则下列命题中不正确的是( ) B
A．若 a 与 b 相交，则α与β相交
C．若 a∥b，则α∥β
B．若α与β相交，则 a 与 b 相交
D．若α⊥β，则 a⊥b
解析：α与β相交，a 与 b 可能是异面直线． 1－2.α、β是两个不同的平面，m、n 是α、β之外的两条不同
的直线，给出以下四个论断： ①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α. 以其中三个论断作为条件，余下一个作为结论，写出你认 ①③④→② 为正确的一个命题___________. 解析：答案不唯一，如：②③④→①也正确．
平面与平面垂直的性质定理的简单应用
例 2：如图 2，在三棱锥 S－ABC 中，SA⊥平面 ABC，平面 SAB⊥平面 SBC.求证：AB⊥BC. 证明：作 AH⊥SB 于 H. ∵平面 SAB⊥平面 SBC， ∴AH⊥平面 SBC. ∴AH⊥BC. 又 SA⊥平面 ABC，∴SA⊥BC. 又∵AH∩SA＝A， ∴BC⊥平面 SAB.∴BC⊥AB.
面面垂直的综合应用
例 3：如图 4，已知矩形 ABCD，过 A 作 SA⊥平面 AC，AE
⊥SB 于 E 点，过 E 作 EF⊥SC 于 F 点．
(1)求证：AF⊥SC；
(2)若平面 AEF 交 SD 于 G，求证：AG⊥SD. 证明：(1)∵SA⊥平面AC，BC⊂平面AC，
∴SA⊥BC. ∵四边形 ABCD 是矩形，∴AB⊥BC.
平面内．
直线与平面垂直的性质定理的简单应用
例 1：如图 1，在四面体 P－ABC 中，若 PA ⊥BC，PB⊥AC， 求证：PC⊥AB.
图1
思维突破：要证线线垂直，可先证线面垂直，进而由线面 垂直的定义得出线线垂直． 证明：过 P 作 PH⊥平面 ABC，垂足为 H，连接 AH、BH 和 CH. ∵PA ⊥BC, PH⊥BC，PA ∩PH＝P， ∴BC⊥平面 PAH. 又 AH⊂平面 PAH ，∴BC⊥AH. 同理 AC⊥BH，即 H 为△ABC 的垂心， ∴AB⊥CH. ∵PH⊥AB，CH∩PH＝H，∴AB⊥平面 PCH. ∵PC⊂平面 PCH，∴PC⊥AB. 点评：从本例可以进一步体会线面位置关系的相互转化在 解(证)题中的作用．
是证法一、证法二的关键．
证法三是利用“如果两个平面互相垂直，那么经过第一个 平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内”这 一性质，添加了 l′这条辅助线，这是证法三的关键． 通过此例，体会两平面垂直时，添加辅助线的方法．
1．下面四个命题，其中真命题的个数为( B )
①如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这
P： 1—9，选做10，11
条直线和这个平面垂直；②过空间一点有且只有一条直线和已
知平面垂直；③一条直线和一个平面不垂直，这条直线和平面 内的所有直线都不垂直；④垂直于同一平面的两条直线平行． A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
解析：②、④是真命题． 2．两个平面互相垂直，一条直线和其中一个平面平行，则 相交、平行、在平面内 这条直线和另一个平面的位置关系是______________________．
P∈ l P∈ α ⇒ α∩β＝l P∈ β α⊥γ β⊥γ P∈l′ l′⊥γ
l ′⊂ α ⇒α∩β＝l′， ⇒ l ′⊂ β
图 7但Βιβλιοθήκη ∩β＝l，∴l 与 l′重合，∴l⊥γ.
点评：证法一、证法二都是利用“两平面垂直时，在一个 平面内垂直于两平面的交线的直线垂直于另一个平面”这一性 质，添加了在一个平面内垂直于交线的直线这样的辅助线．这