2016-2017学年高中数学人教版选修1-1习题：第1章 常用逻辑用语1.4.3

选修1-1 第一章 1.4 1.4.3一、选择题1．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是导学号 92600223( ) A ．任意一个有理数，它的平方是有理数 B ．任意一个无理数，它的平方不是有理数 C ．存在一个有理数，它的平方是有理数 D ．存在一个无理数，它的平方不是有理数 [答案] B[解析] 量词“存在”否定后为“任意”，结论“它的平方是有理数”否定后为“它的平方不是有理数”，故选B ．2．命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是导学号 92600224( ) A ．∀x ∈R ，|x |>0 B ．∃x 0∈R ，|x 0|>0 C ．∀x ∈R ，|x |≤0 D ．∃x 0∈R ，|x 0|≤0[答案] C[解析] 由词语“有些”知原命题为特称命题，故其否定为全称命题，因为命题的否定只否定结论，所以选C ．3．(2016·江西抚州高二检测)已知命题p ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0，则¬p 是导学号 92600225( )A ．∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2<0B ．∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2<0C ．∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2≤0D ．∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0[答案] C[解析] ∵全称命题的否定是特称命题，∴选项C 正确．4．已知命题p ：∃x ∈(0，π2)，sin x ＝12，则¬p 为导学号 92600226( )A ．∀x ∈(0，π2)，sin x ＝12B ．∀x ∈(0，π2)，sin x ≠12C ．∃x ∈(0，π2)，sin x ≠12D ．∃x ∈(0，π2)，sin x >12[答案] B[解析]¬p表示命题p的否定，即否定命题p的结论，由“∃x∈M，p(x)”的否定为“∀x∈M，¬p(x)”知选B．5．下列说法正确的是导学号92600227()A．“a>1”是“f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在(0，＋∞)上为增函数”的充要条件B．命题“∃x∈R使得x2＋2x＋3<0”的否定是“∀x∈R，x2＋2x＋3>0”C．“x＝－1”是“x2＋2x＋3＝0”的必要不充分条件D．命题p：“∀x∈R，sin x＋cos x≤2”，则¬p是真命题[答案] A[解析]a>1时，f(x)＝log a x为增函数，f(x)＝log a x(a>0且a≠1)为增函数时，a>1，∴A 正确；“<”的否定为“≥”，故B错误；x＝－1时，x2＋2x＋3≠0，x2＋2x＋3＝0时，x无解，故C错误；∵sin x＋cos x＝2sin (x＋π4)≤2恒成立，∴p为真命题，从而¬p为假命题，∴D错误．6．命题p：存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根，则“非p”形式的命题是导学号92600228()A．存在实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0无实根B．不存在实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0有实根C．对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实根D．至多有一个实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0有实根[答案] C[解析]¬p：对任意实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实根，故选C．二、填空题7．命题“存在x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定是______.导学号92600229[答案]任意x∈R，使得x2＋2x＋5≠0[解析]特称命题的否定是全称命题，将“存在”改为“任意”，“＝”改为“≠”．8．命题“过平面外一点与已知平面平行的直线在同一平面内”的否定为________. 导学号92600230[答案]过平面外一点与已知平面平行的直线不都在同一平面内[解析]原命题为全称命题，写其否定是要将全称量词改为存在量词．9．命题“∃x ∈R ，使x 2＋ax ＋1<0”为真命题，则实数a 的取值范围是________. 导学号 92600231[答案] a >2或a <－2[解析] 由于∃x ∈R ，使x 2＋ax ＋1<0，又二次函数f (x )＝x 2＋ax ＋1开口向上，故Δ＝a 2－4>0，所以a >2或a <－2.三、解答题10．写出下列命题的否定并判断真假：导学号 92600232 (1)不论m 取何实数，方程x 2＋x －m ＝0必有实数根； (2)所有末位数字是0或5的整数都能被5整除； (3)某些梯形的对角线互相平分； (4)被8整除的数能被4整除．[解析] (1)这一命题可以表述为p ：“对所有的实数m ，方程x 2＋x －m ＝0都有实数根”，其否定是¬p ：“存在实数m ，使得x 2＋x －m ＝0没有实数根”，注意到当Δ＝1＋4m <0，即m <－14时，一元二次方程没有实根，因此¬p 是真命题．(2)命题的否定是：存在末位数字是0或5的整数不能被5整除，是假命题． (3)命题的否定：任一个梯形的对角线都不互相平分，是真命题． (4)命题的否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除，是假命题．一、选择题1．(2015·浙江理)命题“∀n ∈N *，f (n )∈N * 且f (n )≤n ”的否定形式是导学号 92600233( )A ．∀n ∈N *, f (n )∉N *且f (n )>nB ．∀n ∈N *, f (n )∉N *或f (n )>nC ．∃n 0∈N *, f (n 0)∉N *且f (n 0)>n 0D ．∃n 0∈N *, f (n 0)∉N *或f (n 0)>n 0[答案] D[解析] 命题“∀n ∈N *，f (n )∈N *且f (n )≤n ” 其否定为：“∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *或f (n 0)>n 0”．2．命题“∀x ∈R ，e x >x 2”的否定是导学号 92600234( )A ．不存在x ∈R ，使e x >x 2B ．∃x ∈R ，使e x <x 2C ．∃x ∈R ，使e x ≤x 2D ．∀x ∈R ，使e x ≤x 2[答案] C[解析] 原命题为全称命题，故其否定为存在性命题，“>”的否定为“≤”，故选C ． 3．已知命题“∀a 、b ∈R ，如果ab >0，则a >0”，则它的否命题是导学号 92600235( )A ．∀a 、b ∈R ，如果ab <0，则a <0B ．∀a 、b ∈R ，如果ab ≤0，则a ≤0C ．∃a 、b ∈R ，如果ab <0，则a <0D ．∃a 、b ∈R ，如果ab ≤0，则a ≤0 [答案] B[解析] 条件ab >0的否定为ab ≤0； 结论a >0的否定为a ≤0，故选B ．4．(2016·江西抚州高二检测)已知命题“∃x ∈R,2x 2＋(a －1)x ＋12≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是导学号 92600236( )A ．(－∞，1)B ．(－1,3)C ．(3，＋∞)D ．(－3,1)[答案] B[解析] 由题意知，∀x ∈R,2x 2＋(a －1)x ＋12>0，恒成立，∴Δ＝(a －1)2－4＝a 2－2a －3<0，∴－1<a <3. 二、填空题5．已知命题p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋14<0，命题q ：∃x 0∈R ，sin x 0＋cos x 0＝2，则p ∨q ，p ∧q ，¬p ，¬q 中是真命题的有________.导学号 92600237[答案] p ∨q ¬p[解析] ∵x 2－x ＋14＝(x －12)2≥0，故p 是假命题，而存在x 0＝π4，使sin x 0＋cos x 0＝2，故q 是真命题，因此p ∨q 是真命题，¬p 是真命题．6．已知命题p ：m ∈R ，且m ＋1≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立，若p ∧q为假命题且p ∨q 为真命题，则m 的取值范围是________.导学号 92600238[答案] m ≤－2或－1<m <2[解析] p ：m ≤－1，q ：－2<m <2，∵p ∧q 为假命题且p ∨q 为真命题，∴p 与q 一真一假，当p 假q 真时，－1<m <2，当p 真q 假时，m ≤－2，∴m 的取值范围是m ≤－2或－1<m <2.三、解答题7．(2016·山东临沂高二检测)已知命题p ：∀a ∈(0，b ](b ∈R 且b >0)，函数f (x )＝3sin (xa ＋π3)的周期不大于4π.导学号 92600239 (1)写出¬p ；(2)当¬p 是假命题时，求实数b 的最大值． [解析] (1)¬p ：∃a 0∈(0，b ](b ∈R ，且b >0)， 函数f (x )＝ 3 sin(x a 0＋π3)的周期大于4π.(2)∵¬p 是假命题，∴p 是真命题， ∴∀a ∈(0，b ]，2π1a ≤4恒成立，∴a ≤2，∴b ≤2. 故实数b 的最大值是2.8．(2016·安徽安庆高二检测)已知命题p ：∃x 0∈[－1,2]，4x 0>m .导学号 92600240 (1)写出¬p ；(2)当¬p 是真命题时，求实数m 的取值范围． [解析] (1)¬p ：∀x ∈[－1,2]，4x ≤m .(2)¬p 是真命题，即当－1≤x ≤2时，m ≥(4x )max ， ∴m ≥42＝16，∴实数m 的取值范围是[16，＋∞)．。