武汉大学线性代数-2003真题
武汉大学2002-2003线性代数试题(54工)
备用试题武汉大学数学与统计学院2002-2003学年第2学期《线性代数》试题 (工科54学时)姓名 学号 班号 专业 成绩 说明：一共九道题目，第一至第四题每题10分，第五至第九题每题12分。
一、设四阶行列式D =10370121 34031221－－－－1）、求D 的代数余子式A 12； 2）、求A 11－2A 12＋2A 13－A 14 。
二、求满足A 2＝A 的一切二阶矩阵。
三、设A ＝ 111212122212 ...................... nn n n n na b a b a b a b a b a b a b a b a b ⋅⋅⋅⎛⎫⎪⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎪⋅⋅⋅⎝⎭，（0 ,1,2,...,i j a b i j n ≠=，），求()R A 四、已知向量组1α，2α，3α线性无关，令1123βααα=-+，21232βααα=++，312323βααα=-+，讨论向量组123, , βββ的线性相关性。
五、设线性方程组为23112131231222322313233323142434x a x a x a x a x a x a x a x a x ax a xa x a ⎧++=⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=⎩ ，1) 如果1234, , , a a a a 两两不相等，问所给方程组是否有解？2) 如果1324, (0)a a k a a k k ==-≠＝＝，且已知12ββ，是该方程组的两个特解，其中：T T12(1, 1, 1)(1, 1, 1)ββ==-－，，试写出此方程组的通解。
六、设三阶方阵A 的三个特征值为1,0,1321-=λ=λ=λ，A 的属于321,,λλλ的特征向量依次为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=520,210,002321ααα，求方阵A 。
七、已知二次型123(, , )f x x x ＝222312132343448x x x x x x x x -+-+1) 写出二次型f 的矩阵A ； 2）用正交变换把二次型f 化为标准型。
【精品】线性代数2003
2003年研究生入学考试题—线性变换2003－010－6设三维线性空间V 上的线性变换σ在基123,,εεε下的矩阵为()33ij A a ⨯=,则σ在基231,,εεε下的矩阵为。
2003－010－15（15分）设φ是n 维线性空间V 上的线性变换，Im φ与ker φ分别表示φ的值域与核，证明下列条件等价：(1)Im ker V φφ=⊕；（2)Im ker 0φφ⋂=;（3）若12,,,r ααα是Im φ的一组基，则12(),(),,()r φαφαφα是2Im φ的一组基； （4）秩()φ=秩2()φ。
（注:表示Im ker φφ⊕直和）2003－011－6（24分）设φ是n 维线性空间V 上的线性变换，记{}Im ()|V φφαα=∈，{}ker |()0V φαφα=∈=。
求证下列命题等价：（1）Im ker V φφ=⊕；(2)Im ker 0φφ⋂=；(3）2ker()ker()φφ=；(4)2Im()Im()φφ=。
2003－012－6（13分）设A 为n 维线性空间V 的线性变换σ关于某基的矩阵，证明：2A 的秩＝A 的秩当且仅当1()(0)V V σσ-=⊕。
200300106给定R 上二维线性空间V 的线性变换A ，A 在一组基下的矩阵表示为01,0.10A a a ⎛⎫=≠ ⎪-⎝⎭求A 的不变子空间。
200300205设V 是数域P 上的一个n 维线性空间,12,,,n a a a 是的一个基，用1V 表示由12n a a a +++生成的线性子空间，令211{0,}n ni i i i i i V k a k k P ====∈∑∑（1） 证明2V 是V 的子空间（2） 证明12V V V =⊕,（3） 设V 上线性变换A 在基12,,,n a a a 下的矩阵A 是置换矩阵（即：A 的每一行与每一列都只有一个元素为1，其余元素全为0)，证明1V 与2V 都是A 的不变子空间。
大学数学线性代数题库及答案解析
大学数学线性代数题库及答案解析1. 求解方程组a) 3x + 2y - z = 7-x + 3y + 2z = -112x - y + 4z = 5解析：首先，我们可以使用增广矩阵表示方程组：[ 3, 2, -1, 7;-1, 3, 2, -11;2, -1, 4, 5 ]接下来，通过行初等变换将矩阵化为阶梯形：[ 3, 2, -1, 7;0, 7/4, 3/4, -21/4;0, 0, 9/7, 4/7 ]从第三行可以得到 z = 4/7，代入第二行可得 y = -21/7，再代入第一行可以得到 x = 3。
因此，方程组的解为 x = 3, y = -3, z = 4/7。
b) 2x + 3y + 2z = 10x - y + z = 44x + 2y + z = 12解析：同样，我们使用增广矩阵表示方程组：[ 2, 3, 2, 10;1, -1, 1, 4;4, 2, 1, 12 ]通过行初等变换将矩阵化为阶梯形：[ 2, 3, 2, 10;0, -5, -1, -6;0, 0, 0, 0 ]从第二行可以得到 -5y - z = -6，即 z = -6 + 5y。
我们可以令 y = t，其中 t 为任意常数。
则得到 z = -6 + 5t。
将 z 的值代入第一行可以得到x = 4 - 3t。
因此，方程组的解可以表示为 x = 4 - 3t, y = t, z = -6 + 5t。
2. 求解线性方程组的向量空间a) 给定矩阵 A = [1, 2, -1; 2, 4, -2; 3, 6, -3]，求解 A 的列空间。
解析：列空间由矩阵 A 的列向量张成。
我们可以计算矩阵 A 的列向量组的极简形式：[ 1, 2, -1;2, 4, -2;3, 6, -3 ]通过初等行变换得到：[ 1, 2, -1;0, 0, 0;0, 0, 0 ]可以看出，第一列是主列，而第二列和第三列都是自由列。
因此，矩阵 A 的列空间可以表示为 Span{[1, 2, -1]}。
武汉大学2003-2004第一学期微积分用卷(216学时)
武汉大学数学与统计学院2003－2004第一学期《微积分》期末考试试题（216学时）学号： 班级： 姓名：一、 填空题：（5×4分）1、2sin 2,0()32,xx f x xx x k ⎧<⎪=⎨⎪-+≥⎩x 0在0x =连续，则常数k =2、lim [ln(1)ln ]x x x x →+∞+-=3、()f x 的一个原函数为ln ,x x 则()f x '=4、22(1x -+⎰＝ .5、使级数2221(1)1(1)n nn x x +∞=+++∑收敛的实数x 的取值范围是二、选择题：（5×4分）1、()f x ＝221()(ln )(sin)1x x x x x +-的可去间断点的个数是 .A 、 0；B 、1；C 、2；D 、3. 2、已知(1)2,f '= 则0(1)(1)limx f x f x x→--+= .A 、 2；B 、－2；C 、4；D 、－4. 3、设)(x f 在),(b a 内连续，若)(limx f a x +→与)(limx f b x -→存在（有限），则A 、)(x f 在],[b a 上一致连续；B 、)(x f 在),(b a 上一致连续；；C 、)(x f 在],[b a 上连续；；D 、)(x f 在),(b a 上可微；4、级数1(1cos)n kn+∞=-∑（k 为正整数）的敛散性是 .A 、 绝对收敛；B 、条件收敛；C 、发散；D 、与k 有关. 5、已知()f x 二阶导数连续，且(0)f ＝0以及2()lim1x f x x→=，则曲线()y f x =在0x =处的曲率k 为 .A 、 0；B 、1；C 、2；D 、 不存在.二、 计算下列各题：（6×5分）1、求极限：11cos 0sin lim ()x x x x-→ ；2、2sin y x = ，求(2004)y ；3、求不定积分：cos sin 2cos x dx x x+⎰ ；4、判别积分⎰∞++-+1d ]11)11[ln(x xx的收敛性。
线性代数试题2003
2003年 试卷一一、填空题（每小题4分） （2）曲面22z x y =+与平面240x y z +-=平行的切平面的方程是_________. 解：245x y z +-=设000(,,)x y z 为与平面240x y z +-=平行的切平面的切点坐标，则过000(,,)x y z 的法向量为00{2,2,1}n x y =-于是过000(,,)x y z 的切平面方程为000002()2()()0x x x y y y z z -+---= 即000220x x y yz z +--= 由题意两平面平行，故00221241x y -==-解得001,2x y ==，故220005z x y =+= 因此所求方程为245x y z +-=（4）从2R 的基1211,01⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭αα到基1211,12⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ββ的过渡矩阵为________解：2312⎛⎫⎪--⎝⎭.设P 为基12,αα到基12,ββ的过渡矩阵 则1212(,)(,)=ββααP11212(,)(,)-=P ααββ 1111102301120112⎛⎫⎛⎫→ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭ 所以2312⎛⎫= ⎪--⎝⎭P .二、选择题（每小题4分）（4）设向量组I:12,,,r ααα可由向量组II:12,,,s βββ线性表示，则（A ）当r s <时，向量组II 必线性相关. （B ）当r s >时，向量组II 必线性相关. （C ）当r s <时，向量组I 必线性相关. （D ）当r s >时，向量组I 必线性相关.222 解：（D ）正确.从r 与s 的大小关系，无法确定向量组II 的线性相关性，这可从以下例子看出.设j e 表示n 阶单位阵E 的第j 个列向量，1,2,,j n =例1. 取向量组I:123,,e e e 3r =； 取向量组II:1234,,,e e e e 4s =.向量组I 可由向量组II 线性表示，r s <，但向量组II: 1234,,,e e e e 线性无关，故（A ）错误.例2. 取向量组I: 1233,,,2e e e e 4r =； 取向量组II:123,,e e e 3s =.向量组I 可由向量组II 线性表示，r s >，但向量组II: 123,,e e e 线性无关，故（B ）错误.不过从r 与s 的大小关系可以确定向量组I 的线性相关性. 由例1知（C ）错误.设向量组I 、II 是n 维向量组.因为12,,,r ααα可由12,,,s βββ线性表示，所以存在s r ⨯矩阵P ，使12(,,,)r =ααα12(,,,)s βββP ，当r s >时，考虑线性方程组0,R r=∈Px x因为r s >，故在非零解1r k k ⎛⎫ ⎪=≠ ⎪ ⎪⎝⎭α0，使1r k k ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P 0，其中1,,r k k 不全为零，于是 111212(,,,)(,,,)r s r r k k k k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭αααβββP 0这说明12,,,r ααα线性相关，故（D ）正确.本题的实质问题是：线性无关的向量组，不能由个数不超过它的向量组线性表示，所以当r s >时，向量组I 必线性相关.（5）设有齐次线性方程组=Ax 0和=Bx 0，其中,A B 均为m n ⨯矩阵，现有4个命题：①若=Ax 0的解均是=Bx 0的解，则()()r r ≥A B ； ②若()()r r ≥A B ，则=Ax 0的解均是=Bx 0的解； ③若=Ax 0与=Bx 0同解，则()()r r =A B ； ④若则()()r r =A B ，则=Ax 0与=Bx 0同解. 以上命题中正确的是（A ）①②. （B ）①③. （C ）②④. （D ）③④. 解：（B ）正确.·223·在过去历年的选择题中，正确的答案只是一个命题，本题标志着由单选开始转入多选。
2003年线性代数考研试题
= ⎜⎜⎝⎛11⎟⎟⎠⎞, β 2
= ⎜⎜⎝⎛ 12⎟⎟⎠⎞ 的过渡
矩阵为
P=[α1
,α
2
]−1
[
β1
,
β
2
]
=
⎡1 ⎢⎣0
1 ⎤ −1 ⎡1 −1⎥⎦ ⎢⎣1
1⎤ 2⎥⎦ .
⎡1 = ⎢⎣0
1 ⎤⎡1 − 1⎥⎦ ⎢⎣1
1⎤ 2⎥⎦
=
⎡2 ⎢⎣− 1
3⎤ − 2⎥⎦.
2. 设向量组 I：α1,α 2 ,",α r 可由向量组 II： β1, β 2 ,", β s 线性表示，则[ D ]
(A) 当 r < s 时，向量组 II 必线性相关. (B) 当 r > s 时，向量组 II 必线性相关. (C) 当 r < s 时，向量组 I 必线性相关. (D) 当 r > s 时，向量组 I 必线性相关.
【详解】 用排除法：如α1
=
⎜⎜⎝⎛
0 0
⎟⎟⎠⎞,
β
1
=
⎜⎜⎝⎛
1 0
⎟⎟⎠⎞,
② 若秩(A) ≥ 秩(B)，则 Ax=0 的解均是 Bx=0 的解；
③ 若 Ax=0 与 Bx=0 同解，则秩(A)=秩(B)；
④ 若秩(A)=秩(B)， 则 Ax=0 与 Bx=0 同解.
以上命题中正确的是[ B ]
(A) ① ②.
(B) ① ③.
(C) ② ④.
(D) ③ ④.
【详解】 若 Ax=0 与 Bx=0 同解，则 n-秩(A)=n - 秩(B), 即秩(A)=秩(B)，命题③成立，
⎧ax + 2by = −3c,
⎪⎨bx + 2cy = −3a,
武汉大学《数学分析》《高等代数》历年考研真题(2009-2018汇总)
4
8! ( K 14 ©) lim an = +∞, y²:
n→∞
Ô! ( K 14 ©) ¼ê
1n
lim n→∞ n
ak = +∞.
k=1
(x2 + y2) sin f (x, y) =
0,
1 , x2 + y2 = 0; x2 + y2
x2 + y2 = 0.
1. ¦ fx(0, 0), fy(0, 0); 2. y²: fx(0, 0), fy(0, 0) 3 (0, 0) ØëY; 3. y²: f (x, y) 3 (0, 0) Œ‡, ¿¦ df (0, 0).
l! ( K 15 ©) z(x, y) ëY
Œ‡, 釩•§
1
∂2z
∂2z ∂2z
1
∂z ∂z
(x2 + y2)2
∂x2
+
2 ∂x∂y
+
∂y2
− (x2 + y2)3
+ ∂x ∂y
= 0.
ŠCþ“† u = xy, v = x − y. 1. ¦“† •§; 2. •ÑCþ“†” :8, ¿`²”
4. OŽ F (α), Ù¥:
eα
x+3α
F (α) = dx
f (x, y)dδ.
D
¦ f (x, y).
Ê! ( K 14 ©) f (x) ´ {(x, y)|x2 + y2 1} þ gëYŒ‡¼ê, …÷v
∂2f ∂x2
+
∂2f ∂y2
= (x2 + y2)2,
Á¦È©
x2+y2 1
x ∂f
武汉大学数学与统计学院 2005-2006第一学期《线性代数》B卷(供72学时用)
武汉大学数学与统计学院2005－2006第一学期《线性代数》B 卷（供72学时用）姓名 学号 专业 成绩一、计算题：（以下5题，每题8分，共40分） 1．设()11,1,1αT=()21,2,3αT=()31,3,t αT=，求t 使得线性相关.2．已知矩阵，求A 的伴随阵*A . 3．已知111222333A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 求22005A A 和.4．计算：211121314222122324233132334244142434100001111x x x x x x x x D x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +=+++.及矩阵211213142212232423132334241424341111x x x x x x x x x x x x x x A x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫+ ⎪+ ⎪= ⎪+ ⎪ ⎪+⎝⎭的秩. 5．设n 阶方阵A 的各行元素之和均为，当A 可逆，且时，求的各行元素之和.二、解答题和证明题（以下6题，共60分）：1．(10分)求解齐次线性方程组: 12341234123412343 0253 044319022 0x x x x x x x x x x x x x x x x --+=⎧⎪--+=⎪⎨-++=⎪⎪--+=⎩.2．(10分)求矩阵X ，使满足AX =A +2X , 其中301110014A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.3．(10分)设线性空间3R 中的六个向量如下:1α=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--221，2α=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-031，3α=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-601，4α=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-283，1β=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-210，2β=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--652(1)求出由1α,2α,3α,4α生成的子空间L(1α,2α,3α,4α)的维数，并选出一个基； (2)对1β和2β中属于L (1α,2α,3α,4α)者，给出其在(1)中所选的基下的坐标. 4．(15分)设A 的一个特征值为1, 其中A ＝.(1)求常数；(2)求可逆矩阵P ，使AP 为对角阵；(3)设向量=(5, 3, 3)，计算A (k 为正整数).5．(10分)已知A 是n 阶可逆矩阵, 证明A T A 是n 阶正定矩阵. 6．(5分)设是n m ⨯矩阵，B 是m n ⨯矩阵（n m ≤），其中I 是n 阶单位矩阵，若AB I =，证明B 的列向量组线性无关.（2005－2006上）线性代数B 卷参考解答： 一、计算题：1．对实数,令：得方程组， 其系数行列式,即t=5时，方程组有非零解，相应，线性相关.2．由初等变换求得101110123321A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭，则*1011012321A A A -⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪--⎝⎭.3．记，，因此所以2()()()A αβαβαβαβT T TT ==，而，则26A A =；同理可求:20052004()()()()()()()AαβαβαβαβαβαβαβαβαβT T T T T T T T T =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=＝20046A .4. 第1列乘以i x -加到第1i +列(1,2,3,4)i =,则12341234110000100001001x x x x x D x x x ----=421234i=142i=11+010001+001000001001i i x x x x x x ----==∑∑.易知0D A =≠, 则矩阵211213142212232423132334241424341111x x x x x x x x x x x x x x A x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫+ ⎪+ ⎪= ⎪+ ⎪ ⎪+⎝⎭的秩为4. 5．因的各行元素之和为，即，(),或，即.又因为A 可逆，得，即各行元素之和均为.二、解答题和证明题：1．对系数矩阵作初等行变换化：因24()()R A R B ==<，故有无穷多解。
(研究生入学考试)线性代数习题册答案3
03 第三章：向量
习题答案3-
总结词
理解向量的加 法
总结词
掌握向量的数 乘
理解向量的模
总结词
总结词
掌握向量的点 乘
习题答案3-
01
总结词
理解向量的减法
总结词
理解向量的模
03
02
总结词
掌握向量的数乘
总结词
掌握向量的点乘
04
习题答案3-
总结词
理解向量的数乘
总结词
理解向量的点乘
总结词
掌握向量的模
总结词
01
$y+z=7$
02
$z+x=8$
03
解得：$x=3, y=2, z=5$
第四章：线性方程组 习题答案4-
第四章：Байду номын сангаас性方程组 习题答案4-
• $\Rightarrow x-y=0$
第四章：线性方程组 习题答案4-
01 02 03
$y-z=5$ $z-x=-5$ 解得：$x=-5, y=-5, z=0$
$Rightarrow begin{bmatrix} x y z end{bmatrix} = begin{bmatrix} 1 & -2 & 3 0 & 1 & -2 -1 & 2 & 1 end{bmatrix}^{-1} begin{bmatrix} -1 0 2 end{bmatrix}$
第四章：线性方程组 习题答案4-
begin{bmatrix} 1 -1 end{bmatrix}$
第四章：线性方程组 习题答案4-
$Rightarrow begin{bmatrix} x y end{bmatrix} = begin{bmatrix} 5 -3 end{bmatrix}$
2023年武汉大学873线性代数考研精品资料
一、武汉大学873线性代数考研真题汇编1．武汉大学873线性代数1998、2000、2002-2023、2023年考研真题，其中2023-2023、2023年有答案。
说明：分析历年考研真题可以把握出题脉络，了解考题难度、风格，侧重点等，为考研复习指明方向。
二、2023年武汉大学873线性代数考研资料2．北京大学《高等代数》考研相关资料（1）北京大学《高等代数》[笔记+课件+提纲]①2023年武汉大学873线性代数之北京大学《高等代数》考研复习笔记。
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②2023年武汉大学873线性代数之北京大学《高等代数》本科生课件。
说明：参考书配套授课PPT课件，条理清晰，内容详尽，非本校课件，版权归属制作教师，本项免费赠送。
③2023年武汉大学873线性代数之北京大学《高等代数》复习提纲。
说明：该科目复习重难点提纲，提炼出重难点，有的放矢，提高复习针对性。
（2）北京大学《高等代数》考研核心题库（含答案）①2023年武汉大学873线性代数考研核心题库之北京大学《高等代数》解答题精编。
说明：本题库涵盖了该考研科目常考题型及重点题型，根据历年考研大纲要求，结合考研真题进行的分类汇编并给出了详细答案，针对性强，是考研复习首选资料。
（3）北京大学《高等代数》考研题库[仿真+强化+冲刺]①2023年武汉大学873线性代数之高等代数考研专业课五套仿真模拟题。
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共五套强化模拟题，均含有详细答案解析，考研强化复习必备。
③2023年武汉大学873线性代数之高等代数考研冲刺五套模拟题及详细答案解析。
说明：专业课冲刺检测使用。
共五套冲刺预测试题，均有详细答案解析，最后冲刺必备资料。
2003-2013数二考研线性代数真题及答案合集
1 0 0 1 0 0 1 0 ， P2 = 0 0 1 ，则 A =（ 得单位矩阵。记 P 1 = 1 0 0 1 0 1 0
（A） P 2 1P （B） P 1 P 2
* −1
）
（C） P2 P 1
（D） P2 P 1
T
−1
（8） 设 A = (α 1 , α 2 , α 3 , α 4 ) 是 4 阶矩阵，A 为 A 的伴随矩阵。 若 (1 ,0,1,0) 是方程组 Ax = 0 的一个基础解系，则 A* x = 0 的基础解系可为（ （A） α 1 , α 3 （B） α 1 , α 2 ） （D） α 2 , α 3 , α 4
．
记
a1 b1 α = a 2 , β = b2 ． a b 3 3
（1）证明二次型 f 对应的矩阵为 2αα + ββ ；
T T
（2）若 α , β 正交且为单位向量，证明 f 在正交变换下的标准形为 2 y1 + y 2 ．
2 2
考研数学二(2003-2013) 线性代数历年真题及答案汇总
2013 7．设Ａ，Ｂ，Ｃ均为 n 阶矩阵，若ＡＢ＝Ｃ，且Ｂ可逆，则 （A）矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价． （B）矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价． （C）矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价． （D）矩阵 C 的列向量组与矩阵 B 的列向量组等价． ( )
2 −1 . −1 2
(C )
1 −2 . −2 1
（14）设 3 阶矩阵 A 的特征值为 2,3, λ .若行列式 2 A = −48 ，则 λ = ___ . （22） （本题满分 12 分）
2023年武汉大学873线性代数考研精品资料
一、武汉大学873线性代数考研真题汇编1．武汉大学873线性代数1998、2000、2002-2023、2023年考研真题，其中2023-2023、2023年有答案。
说明：分析历年考研真题可以把握出题脉络，了解考题难度、风格，侧重点等，为考研复习指明方向。
二、2023年武汉大学873线性代数考研资料2．北京大学《高等代数》考研相关资料（1）北京大学《高等代数》[笔记+课件+提纲]①2023年武汉大学873线性代数之北京大学《高等代数》考研复习笔记。
说明：本书重点复习笔记，条理清晰，重难点突出，提高复习效率，基础强化阶段必备资料。
②2023年武汉大学873线性代数之北京大学《高等代数》本科生课件。
说明：参考书配套授课PPT课件，条理清晰，内容详尽，非本校课件，版权归属制作教师，本项免费赠送。
③2023年武汉大学873线性代数之北京大学《高等代数》复习提纲。
说明：该科目复习重难点提纲，提炼出重难点，有的放矢，提高复习针对性。
（2）北京大学《高等代数》考研核心题库（含答案）①2023年武汉大学873线性代数考研核心题库之北京大学《高等代数》解答题精编。
说明：本题库涵盖了该考研科目常考题型及重点题型，根据历年考研大纲要求，结合考研真题进行的分类汇编并给出了详细答案，针对性强，是考研复习首选资料。
（3）北京大学《高等代数》考研题库[仿真+强化+冲刺]①2023年武汉大学873线性代数之高等代数考研专业课五套仿真模拟题。
说明：严格按照本科目最新专业课真题题型和难度出题，共五套全仿真模拟试题含答案解析。
②2023年武汉大学873线性代数之高等代数考研强化五套模拟题及详细答案解析。
说明：专业课强化检测使用。
共五套强化模拟题，均含有详细答案解析，考研强化复习必备。
③2023年武汉大学873线性代数之高等代数考研冲刺五套模拟题及详细答案解析。
说明：专业课冲刺检测使用。
共五套冲刺预测试题，均有详细答案解析，最后冲刺必备资料。
武汉大学线代试题2007-2008B(工54A卷)
武汉大学数学与统计学院2007－2008第二学期《线性代数B 》 （A 卷，工54）学院 专业 学号 姓名注：所有答题均须有详细过程，内容必须写在答题纸上，凡写在其它地方一律无效。
一、（10分） 计算下列行列式；1. 123123123123n n n n nx a a a a a x a a a a a x a a D a a a xa +++=+;2. 若12312,,,,αααββ都是四维列向量，且四阶行列式12311223,,m n αααβααβα==求四阶行列式()32112αααββ+.二、（10分）若有不全为零的数12,,,,m λλλ使1111m m m m O λαλαλβλβ+++++=成立，则12,,,m ααα线性相关，12,,,m βββ也线性相关.试讨论该结论是否正确？三、（12分）设3阶方阵200121101⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭A ，试求：1、A 的特征值和特征向量；2、kA （k 为正整数）及其特征值和特征向量。
四、（15分）当λ为何值时，方程组123123123322,x x x x x x x x x λλλλ++=-⎧⎪++=-⎨⎪++=-⎩有唯一解、无解、有无穷多解？在有解时，求出方程组的解.五、（15分）设二次型()22212312313,,222T f x x x X AX ax x x bx x ==+-+()0,b >其中二次型的矩阵A 的特征值之和为1，特征值之积为12.-1、,a b 的值；2、用正交变换将二次型f 化为标准形，并写出所用的正交变换与正交矩阵.六（18分）在四维实向量构成的线性空间4R 中,已知：12341111011100110001,,,αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；1234111111102001100,,,a a ββββ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭。
武汉大学 2015-2016 第一学期线性代数 B 期末试题 A
1 2 2 3⎪ ⎝ ⎭⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 2 武汉大学 2015-2016 第一学期线性代数 B 期末试题 A⎡1 0 0⎤ 一、（8 分）设 P ，A 均为 3 阶矩阵，且 P TAP= ⎢0 1 0⎥ , 若 P =（σ ，σ ，σ ），Q =（σ+ σ ，σ ，σ ）,求Q TAQ . ⎛ 1 0 1 ⎫⎢ ⎥ ⎢⎣0 0 0⎥⎦1 2 3 二、（10 分）设 A = 0 2 0 ⎪ ,矩阵 X 满足 AX + I = A 2 + X ，其中 I 为三阶单位矩阵，求矩1 0 1 ⎪ 阵 X .⎡λ1 0 0 ⎤三、（10 分）若 3 阶方阵 A 与对角矩阵 B = ⎢ 0 λ 0 ⎥ 相似,计算矩阵C = ( A - λ1E )(A - λ2 E )(A - λ3E )⎡2 2 0⎤ ⎢⎣ 0 0 λ3 ⎥⎦四、（8 分）设矩阵 A= ⎢8 2 a ⎥ 相似于对角矩阵Λ，求a . ⎢ ⎥ ⎢⎣0 0 6⎥⎦五、（12 分） 求向量组α1 = (1,1,1,4) ,α 2 = (2,1,3,5) ,α 3 = (1,-1,3,-2) ,α 4 = (3,1,5,6) 的一个极大无关组，并把其余的向量用该极大无关组线性表出.六、（10 分）若 2 阶实矩阵 A = ⎡a b ⎤ 的两个特征值都是λ ,且b ≠ 0 ,证明:矩C = ⎡ b0⎤⎢c d ⎥0⎢λ - a 1⎥ ⎣ ⎦-1⎛ λ0 1 ⎫ ⎣ 0 ⎦满足C AC = 0 λ ⎪. ⎝ 0⎭ 七、（8 分）若二次型 f (x , x , , x ) = X T AX (式中 X = (x , x , , x )T ),适合 A < 0 .1 2n 12n求证: 必存在向量α = (a , a ,, a )T ,使 f (a , a , , a ) = α TA α < 0 .12n12n八、（8 分）若n ⨯ r 矩阵 A 的秩为r ,其r 个列向量为某一齐次线性方程组的一个基础解系, B 为r 阶可逆方阵,证明 AB 的r 个列向量也是该齐次线性方程组一个基础解系．⎧ x + a x + a 2 x = a 3， ⎪ 1 1 2 1 3 1⎪x + a x + a 2 x = a 3九、（16 分）对线性方程组⎨ 1 2 2 2 3 2 x + a x + a 2 x = a 3， ⎪ 1 3 2 3 3 3 ⎪ x + a x + a 2 x = a 3. ⎩ 1 4 2 4 3 4(1) 若a 1 , a 2 , a 3 , a 4 两两不等，问方程组是否有解，为什么？(2) 若a 1 = a 3 = b , a 2 = a 4 = -b (b≠ 0)，且已知方程的两个解ξ1 = (1,1, -1)T , ξ = (-1,1,1)T ， 试给出方程组的通解．⎡ x ⎤ ⎡ξ ⎤十、（10 分）设二次曲面的方程 axy + 2xz + 2byz = 1）a > 0 经正交变换⎢ y ⎥ = Q ⎢η ⎥ ，化成ξ 2 + η 2 - 2ζ 2= 1，求a 、b 的值及正交矩阵Q .⎢⎣ z ⎥⎦ ⎢⎣ζ ⎥⎦ 21 2 2 3T ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎪ ⎝ ⎭⎢ ⎥1 2 3 2 武汉大学 2015-2016 第一学期线性代数 B 期末试题 A 解答⎡1 0 0⎤ 一、（8 分）设 A 、P 均为 3 阶矩阵，且 P TAP= ⎢0 1 0⎥ , 若 P =（σ ，σ ，σ ），Q =（σ+ σ ，σ ，σ ）,求Q TAQ . ⎢ ⎥ ⎢⎣0 0 0⎥⎦1 2 3 解：由于Q =（σ ⎡1 0 0⎤ ⎡1 0 0⎤ + σ ，σ ，σ ）= （σ ，σ ，σ ）⎢1 1 0⎥ = P ⎢1 1 0⎥1 2 2 3 1 2 3 ⎢⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣0 0 1⎥⎦ ⎢⎣0 0 1⎥⎦⎛ ⎡1 0 0⎤ ⎫ ⎛ ⎡1 0 0⎤ ⎫ ⎡1 1 0⎤ ⎡1 0 0⎤ 于是Q T AQ= P ⎢1 1 0⎥ ⎪ A P ⎢1 1 0⎥ ⎪ = ⎢0 1 0⎥ P T AP ⎢1 1 0⎥⎢ ⎥ ⎪ ⎢ ⎥ ⎪ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣0 0 1⎥⎦ ⎪ ⎢⎣0 0 1⎥⎦ ⎪ ⎢⎣0 0 1⎥⎦ ⎢⎣0 0 1⎥⎦⎝ ⎭ ⎝ ⎭⎡1 1 0⎤ ⎡1 0 0⎤ ⎡1 0 0⎤ ⎡2 1 0⎤ = ⎢0 1 0⎥ ⎢0 1 0⎥ ⎢1 1 0⎥ = ⎢1 1 0⎥. ⎢⎣0 0 1⎥⎦ ⎢⎣0 0 0⎥⎦ ⎢⎣0 0 1⎥⎦ ⎢⎣0 0 0⎥⎦⎛ 1 0 1 ⎫二、（10 分）设 A = 0 2 0 ⎪ ,矩阵 X 满足 AX + I = A 2 + X ，其中 I 为三阶单位矩阵，求矩1 0 1 ⎪ 阵 X .解 由题知( A - I ) X = A 2- I = ( A - I )( A + I ),⎡0 0 1⎤ ⎡2 0 1⎤ A - I = ⎢0 1 0⎥ 可逆, 故 X = ( A - I )-1 ( A - I )( A + I ) = A + I = ⎢0 3 0⎥ ⎢ ⎢⎣1 ⎥ 0 0⎥⎦ ⎡λ10 0 ⎤⎢ ⎥ ⎢⎣1 0 2⎥⎦ 三、（10 分）若 3 阶方阵 A 与对角矩阵 B = ⎢ 0 λ 0 ⎥ 相似,计算矩阵C = ( A - λ1E )(A - λ2 E )(A - λ3E ). ⎢⎣ 0 0 λ3 ⎥⎦解 因 A ~ B ,故存在可逆矩阵 P 使 P -1 AP = B 则 P -1CP = P -1( A - λ E )( A - λ E )( A - λ E )P= P -1 ( A - λ E )PP -1 ( A - λ E )PP -1( A - λ E )P = (B - λ E )(B - λ E )(B - λ E ) = 0 ，故C = 0123⎡2 2 0⎤ 1 2 3四、（8 分）设矩阵 A= ⎢8 2 a ⎥ 相似于对角矩阵Λ，求a .解： 由 A - λ I ⎢ ⎥ ⎢⎣0 0 6⎥⎦ = 0 ，得 A 的三个特征值 λ1 = λ2 = 6, λ3 = -2 . 由于 A 相似于对角矩阵，⎡-4 2 0⎤ ⎡2 -1 0⎤ R ( A - 6 I )= 1，即 ⎢ 8 -4 a ⎥ ~ ⎢0 0 a ⎥ ，显然，当a = 0 时， R ( A - 6I ) = 1， A 的二 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 0 0 0⎥⎦ ⎢⎣0 0 0⎥⎦⎢ ⎥ c d λ0 2 a a a a 2 3⎡6 0 0 ⎤ 重特征值 6 对应两个线性无关的特征向量,所以当a = 0 时，A 相似于对角矩阵Λ = ⎢0 6 0 ⎥ . ⎢⎣0 0 -2⎥⎦五、 （12 分）求向量组α1 = (1,1,1,4) ,α 2 = (2,1,3,5) ,α 3 = (1,-1,3,-2) ,α 4 = (3,1,5,6) 的一个极大无关组，并把其余的向量用该极大无关组线性表出.解：极大无关组α1,α2 ， α3 = 2α 2 - 3α1 ，α 4 = 2α 2 - α1 .⎡a b ⎤ 六、（ 10 分） 若 2 阶实矩阵 A = ⎢ ⎥ 的两个特征值都是 ,且 b ≠ 0 , 证明: 矩阵 ⎣ ⎦⎡ b 0⎤ -1 ⎛ λ0 1 ⎫ C = ⎢λ - a 1⎥ 满足C AC = 0 λ ⎪.⎣ 0 ⎦ -1 1 ⎛ ⎝ 1 0 ⎫ -1 0 ⎭ 1 ⎛ 1 0⎫⎛ a b ⎫⎛ b 0⎫ ⎛ λ0 1 ⎫ 证 C = b a - λ b ⎪. C AC = b a - λ b ⎪ c d ⎪ λ - a 1 ⎪ = 0 λ ⎪⎝ 0 ⎭ ⎝ 0 ⎭⎝ ⎭⎝ 0 ⎭ ⎝ 0 ⎭(用到bc = (a - λ0 )(d - λ0 ) 及a + b = 2λ0 七、（8 分）若二次型 f (x 1, x 2 , , x n ) = X 'AX (式中 X = (x 1, x 2 , , x n )' ),适合 A < 0 .求证: 必存在向量α = (a 1, a 2 , , a n )',使 f (a 1, a 2 ,, a n ) = α'A α < 0 .证 设 A 的特征值为λ1, λ2 , , λn 因 A = λ1 ⋅ λ2 ⋅ ⋅ λn < 0 ,故至少有一个特征值取负值,不妨设 λ < 0 ，存在正交矩阵T 令 X = TY , (Y = ( y , y , , y )') 则 X 'AX = λ y 2 + λ y 2 + + λ y 2112n1 12 2n n= F ( y 1, y 2 , , y n ) ，取Y 0 = (1, 0, , 0) 则 F (1, 0, , 0) = λ1 < 0 ，令α = TY 0 则α'A α = λ1 < 0 八、（8 分）若n ⨯ r 矩阵 A 的秩为r ,其r 个列向量为某一齐次线性方程组的一个基础解系, B 为r 阶可逆方阵,证明 AB 的r 个列向量也是该齐次线性方程组一个基础解系． 证 ：记 A 的列向量为 A 1, A 2 , A r ，记 AB 列向量为α1,α2 , αr ,则 (α1,α2 , αr ) = ( A 1, A 2 , A r )B ①即α1, αr 可由 A 1, A r 线性表出.又 A 1, A r 为某一齐次方程组的解,∴α1, αr 也为其解. 又 B 可逆, ①式可得: ( A , , A ) = (α , α )B -1 ，即 A , , A , 可由α , ,α 线性表出1r1r1 r 1 r∴ A 1, , A r , 与α1, ,αr 等价，从而α1, αr 亦为该齐次方程组的基础解系.．⎧ x + a x + a 2 x = a 3， ⎪ 1 1 2 1 3 1⎪x + a x + a 2 x = a 3九、（16 分）对线性方程组⎨ 1 2 2 2 3 2x + a x + a 2 x = a 3， ⎪ 1 3 2 3 33 ⎪ x + a x + a 2 x = a 3. ⎩ 14 2 4 3 4(1) 若a 1 , a 2 , a 3 , a 4 两两不等，问方程组是否有解，为什么？(2) 若 a 1 = a 3 = b , a 2 = a 4 = -b (b ≠ 0) ， 且 已 知 方 程 的 两 个 解 ξ1 = (1,1, -1)T,ξ = (-1,1,1)T，试给出方程组的通解．1 a 1 1 a 解：（1） 1 a 3 1 a 42 31 12 3 2 2= (a 3 3 2 34 4- a 1 )(a 3 - a 1 )(a 3 - a 2 )(a 4 - a 1 )(a 4 - a 2 )(a 4 - a 3 ) ≠ 0 ， R ( A b ) ≠ R ( A ) ，无解．a a a a 2 226 3 ⎥ 6 3 ⎥⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 0 a ⎥（2） R ( A ) = 2 ， n = 3 ，故通解 x = k (ξ2 - ξ1 ) + ξ1 ⎡-2⎤ ⎡ 1 ⎤= k ⎢ 0 ⎥ + ⎢ 1 ⎥ , (k ∈ R ) ． ⎢⎣ 2 ⎥⎦ ⎢⎣-1⎥⎦⎡ x ⎤ ⎡ξ ⎤十、（10 分）设二次曲面的方程 axy + 2xz + 2byz = 1）a > 0 经正交变换⎢ y ⎥ = Q ⎢η ⎥ ，化成ξ 2 + η 2 - 2ζ 2= 1，求a 、b 的值及正交矩阵Q .⎢⎣ z ⎥⎦ ⎢⎣ζ ⎥⎦ ⎡ a ⎢ ⎢ 解：设 A = ⎢ 0 ⎢ 2 ⎢ 1b ⎤ ⎥ ⎥ b ⎥ ，由 A - E 0⎥ = 0, A + 2E= 0 知a = 2,b = -1． ⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎥⎦⎡-1 1 1 ⎤ ⎡1 -1 -1⎤ 当λ = 1时， A - E = ⎢ 1 -1 -1⎥ ~ ⎢0 0 0 ⎥ ， ξ = (1,1,0)t ， ξ = (1,-1,2)T⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 12 ⎢⎣ 1 -1 -1⎥⎦ ⎢⎣0 0 0 ⎥⎦⎡ 1 1 -1 ⎤ ⎢ 26 3 ⎥⎡1 0 1 ⎤ ⎢ ⎥ 当λ = -2 时， A + 2E ~ ⎢0 1 -1⎥ ξ = (-1,1,1)T . 故正交阵Q = ⎢ 1-1 1 ⎥ .⎢ ⎥3⎢⎣0 0 0 ⎥⎦⎢ ⎢ ⎥ ⎢ 0 2 1 ⎥ ⎢⎣1 2。
大一线性代数考试题库及答案解析
大一线性代数考试题库及答案解析一、选择题1. 设矩阵A为3阶方阵，且|A|=2，则矩阵A的逆矩阵的行列式为多少？A. 1/2B. 2C. 1/4D. 1答案：C解析：根据行列式的性质，一个矩阵的逆矩阵的行列式等于原矩阵行列式的倒数。
因此，|A^(-1)| = 1/|A| = 1/2。
2. 向量α=(1,2,3)和β=(-1,0,1)是否共线？A. 是B. 否答案：A解析：若向量α和β共线，则存在一个实数k使得β=kα。
将向量α和β的对应分量相除，得到-1/1=0/2=1/3，显然不存在这样的实数k，因此向量α和β不共线。
二、填空题3. 设矩阵B是一个3×3的矩阵，且B的秩为2，则矩阵B的零空间的维数为____。
答案：1解析：矩阵B的零空间的维数等于矩阵的列数减去矩阵的秩，即3-2=1。
4. 若线性方程组Ax=b有唯一解，则系数矩阵A的秩等于____。
答案：n解析：若线性方程组Ax=b有唯一解，则系数矩阵A的秩等于未知数的个数n。
三、解答题5. 给定向量组α1=(1,2,3)，α2=(4,5,6)，α3=(7,8,9)，求证向量组α1，α2，α3线性相关。
答案：证明：首先计算向量组α1，α2，α3的行列式：|α1 α2 α3| = |1 2 3||4 5 6||7 8 9| = 0由于行列式为0，根据行列式的性质，向量组α1，α2，α3线性相关。
6. 设矩阵C为3×3的矩阵，且C的行列式为0，求证矩阵C不可逆。
答案：证明：根据矩阵的逆矩阵的定义，若矩阵C可逆，则存在矩阵C^(-1)使得CC^(-1)=I。
但是，由于|C|=0，根据行列式的性质，不存在矩阵C^(-1)使得CC^(-1)=I，因此矩阵C不可逆。
四、计算题7. 计算矩阵D=\begin{bmatrix}1 & 2 & 3\\4 & 5 & 6\\7 & 8 &9\end{bmatrix}的行列式。
线性代数2001-2009年考研真题
线性代数2001-2009年考研真题咱今天就来唠唠线性代数 2001 2009 年的考研真题。
这可真是个让人又爱又恨的东西啊！记得我当年考研复习线性代数的时候，那叫一个焦头烂额。
每天对着那些密密麻麻的数字和符号，感觉自己的脑袋都要炸了。
有一次，我做一道2005 年的真题，那是一道关于矩阵特征值和特征向量的问题。
题目给了一个三阶矩阵，让求它的特征值和对应的特征向量。
我当时一看，心里就犯嘀咕，这可咋整啊？硬着头皮开始算，吭哧吭哧写了好几页草稿纸，结果还是算错了。
那时候我就想，这线性代数咋就这么难呢？但没办法，还得继续啃啊！我重新拿起教材，把相关的知识点又仔细过了一遍，然后再去看那道错题，突然就发现了自己的问题所在。
原来是在计算行列式的时候，粗心大意算错了一个符号。
其实啊，咱们回过头来看看这些年的线性代数考研真题，会发现还是有规律可循的。
比如说，向量组的线性相关性、线性方程组的求解、矩阵的相似对角化等知识点，那是年年必考。
而且，出题的形式也都大同小异。
就拿 2001 年的一道真题来说，考的是线性方程组解的结构。
题目给出了一个含参数的线性方程组，让判断参数在不同取值下方程组解的情况。
这种类型的题目，关键就是要把方程组化成阶梯形，然后根据秩的情况来判断。
再看看 2003 年的真题，有一道是关于二次型的。
要求通过正交变换把二次型化成标准形，这就需要我们熟练掌握求特征值和特征向量的方法，然后进行正交化和单位化。
2007 年的真题里，有一道矩阵的运算题，看起来很复杂，但只要我们掌握了矩阵的基本运算规则，一步一步来，也能迎刃而解。
2009 年的真题中，有关于向量空间的问题。
这部分内容相对来说比较抽象，但只要我们理解了向量空间的定义和性质，结合具体的题目进行分析，也不是那么难。
总之，这些年的线性代数考研真题虽然各有各的特点，但核心知识点是不变的。
我们在复习的时候，一定要把基础打牢，多做真题，总结规律，这样才能在考场上应对自如。
武汉大学2019-2020第一学期线性代数B试题及解答
武汉大学数学与统计学院2019－2020第一学期《线性代数B 》 （A 卷）一、（10分）计算下列行列式；123123123123n n n n n a x a a a a a xa a a a a x a D a a a a x---=-;二、 （10分分）设非齐次线性方程组1213314411223324423113223432223x x a x a x b x x a x a x b a x a x x x b+++=⎧⎪-++=⎨⎪++-=⎩有三个解向量：()()()1231121,2111,3242T T Tξξξ=-=-=求此方程组系数矩阵的秩，并求其通解（其中,,1,2,3;1,2,3,4ij i a b i j ==为已知常数）。
三、（10分）设m 维向量组12,,,αααm 和向量组12,,,βββm 有关系123213121mmm m βαααβαααβααα-=+++⎧⎪=+++⎪⎨⎪⎪=+++⎩ 问m 维向量组12,,,αααm 和向量组12,,,βββm 是否同秩？证明你的结论。
四、（10分）已知矩阵X 满足11*X A X A A --+=+其中001020101A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求矩阵X .五、（10分）讨论,a b 取何值时，方程组1231231234324ax x x x bx x x bx x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有解。
.六（10分）设3阶方阵200121101⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭A ，试求：（1）A 的特征值和特征向量； （2）kA （k 为正整数）及其特征值和特征向量。
七、（8分） 设B A 和为n 阶矩阵，且满足A A =2，B B =2，n E B A r =-+)(，证明：)()(B r A r =. 八、（10分）已知 123(1,0,1),(2,2,0),(0,1,1)T T T ααα=-==（1）求向量组123,,ααα的一个极大线性无关组；（2）求生成的子空间123(,,)L ααα的一个标准正交基。