2017年秋季学期新版新人教版九年级数学上学期21.2.4、一元二次方程的根与系数的关系导学案7

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初中数学教学课件：21.2.4一元二次方程的根与系数的关系(人教版九年级上)

察下
2x2 +7x-4=0 1/2 -4 -7/2 -2
表
6x2+7x-3=0 -3/2 1/3 -7/6 -1/2
4 3/5 23/5 12/5 5x2-23x+12=0
请同学们猜想：
对于任意的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的
两个实数根x1、x2，那么x1+x2， x1·x2与系数a，b， c 的关系.
21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
1.熟练掌握一元二次方程根与系数的关系. 2.灵活运用一元二次方程根与系数关系解决实际问题． 3.提高学生综合运用基础知识分析解决较为复杂问题的
能力．
两个根x1、两根两根
请
方程
x2的值
的和的积
同学
x1 x2 x1+x2 x1·x2
们观
3x2 -4x-4=0 2 -2/3 4/3 -4/3
子天
是开
梅放
花；
，有
选的
择孩
在子
冬是
天荷
开花
放，
选
择
在
夏
我们，还在路上……
【解析】设方程的另一个根是x1，那么
2x1= 6 5
∴x1=
3. 5
又 3 +2= k
5
5
∴ k=-7
答：方程的另一个根是，3 k的值是-7. 5
例题【例2】不解方程，求方程2x2+3x-1=0的
两个根的（1）平方和（2）倒数和.
【解析】设方程的两个根分别是x1 、x2那么
x1+x2 =
23，x1.x2 =
1.
2

人教版数学九年级上册 21.2.4一元二次方程的根与系数的关系教案设计

人教版九年级数学第二十一章2.4节21.2.4 一元二次方程的根与系数关系一教学目标知识与技能：1.理解一元二次方程根与系数之间关系的推导过程2.掌握一元二次方程根与系数的关系3.能够不解方程，应用根与系数关系解决问题过程与方法：1.通过学生探究、发现根与系数的关系，培养学生观察能力，思考归纳概括能力和探究精神2.通过探究学习，让学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的解决问题的思路。

3.让学生经历观察、实验、猜想、证明的数学活动，发展推理能力，培养创新精神。

情感态度与价值观：1.通过情境教学，激发学生的求知欲望，培养积极的学习态度2.通过对根与系数之间的关系探究，体会事物之间的联系，更好的认识世界。

3.体验教学活动充满着探究和创造，享受成功快乐。

二教学重点难点重点：一元二次方程根与系数关系及应用难点：探究根与系数之间关系过程三教学过程教师准备：多媒体课件1-4 学生准备：预习学习内容 1.新课导入课件1 完成下列表格2.新知构建一探究活动观察以上表格，思考问题 ⑴通过观察你发现了什么规律？ ⑵语言叙述你发现的规律？ ⑶设x ²+px+q=0的两根为x ₁，x ₂ 用式子表示发现的规律【师生活动】：小组讨论，共同探究，对有困难学生进行指导二探究活动课件2 完成下列表格填表，思考下列问题：⑴上面发现的结论在这里成立吗？⑵你能发现两根之和、两根之积与方程的系数有何关系？ ⑶用语言表述你的发现。

⑷进一步猜想：方程ax ²+bx+c=0（a ≠0）的根x ₁，x ₂与a ，b ，c 之间的关系 ⑸你能证明上面的猜想吗？【师生互动】：小组合作交流，公同探究，教师及时指导学生把证明过程写板书。

课件3：一元二次方程ax ²+bx+c=0（a ≠0）a2ac 4b b x 21-+-= a 2ac 4b b x 22---=∴ x ₁+x ₂=a 2ac 4b b 2-+-+a 2ac 4b b 2--- = -abx ₁• x ₂=a 2ac 4b b 2-+- • a 2ac 4b b 2--- = ac【设计意图】：学生经历“实践、观察、发现、猜想、证明”的过程，使学生既动手、动脑又动口，教师引导启发，体现学生的主体学习特征，培养学生的创新精神。

九年级数学上册21.2.4一元二次方程的根与系数的关系教案(新版)新人教版

21.2.4一元二次方程的根与系数的关系教学目标：掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用．教学重点：根与系数的关系及其推导．教学难点：正确理解根与系数的关系．教学过程：一、温故知新（1）写出一元二次方程的一般式和求根公式．（2）解方程①x2-5x＋6＝0，②2x2＋x-3＝0．观察、思考两根和、两根积与系数的关系．在教师的引导和点拨下，由学生得出结论，教师提问：所有的一元二次方程的两个根都有这样的规律吗？2．推导一元二次方程两根和与两根积和系数的关系．设x1、x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根．以上一名学生在板书，其它学生在练习本上推导．二、探究新知由此得出，一元二次方程的根与系数的关系．（一元二次方程两根和与两根积与系数的关系）结论1．如果ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根是x1，x2，那么x1我们就可把它写成x2+px+q=0．结论2．如果方程x2+px+q＝0的两个根是x1，x2，那么x1＋x2＝-p，x1·x2=q．结论1具有一般形式，结论2有时给研究问题带来方便．练习1．（口答）下列方程中，两根的和与两根的积各是多少？（1）x2-2x＋1＝0；（2）x2-9x＋10＝0；（3）2x2-9x＋5＝0；（4）4x2-7x＋1＝0；（5）2x2-5x＝0；（6）x2-1＝0此组练习的目的是更加熟练掌握根与系数的关系．三、应用新知（1）验根．（口答）判定下列各方程后面的两个数是不是它的两个根．验根是一元二次方程根与系数关系的简单应用，应用时要注意三个问题：（1）要先把一元二次方程化成一般形式，（2）不要漏除二次项系数，（3）还要注意-ba 的负号。

（2）已知方程一根，求另一根．例：已知方程2x 2＋kx-4＝0的根是-4，求它的另一根及k 的值．答：方程的另一根是-12,k 的值7此题的解法是依据一元二次方程根与系数的关系，设未知数列方程达到目的，还可以向学生展现下列方法，并且作比较．方法（二）∵ -4是方程2x 2+kx-4=0的根，∴ 2×（-4）2＋k ×（-4）-4＝0，∴ k ＝7．∴ 原方程可变为2x 2+7x-4=0解此方程x=-4或x=12答：方程的另一个跟为12,k 的值为7.学生进行比较，方法（二）不如方法（一）简单，从而认识到根与系数关系的应用价值．四、课堂小结1.一元二次方程根与系数的关系：2.如何应用根与系数的关系解决问题：教学反思：21.2.4一元二次方程根与系数的关系（导学案）1、已知一元二次方程01322=--x x 的两根为1x 、2x ，则=+21x x ______．2、关于x 的一元二次方程20x bx c ++=的两个实数根分别为1和2，则b =______，c =______．3、一元二次方程210x ax -+=的两实数根相等，则a 的值为（）A ．0a =B ．2a =或2a =-C ．2a =D ．2a =或0a = 4、若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是( )A .B .且C .D .且5、若n ()是关于x 的方程的根，则m ＋n 的值为( )A .1B .2C .－1D .－26、若方程的两根为x 1、x 2，则的值为() A ．3 B ．－3 C ．13D ．－137、一元二次方程x 2＋mx ＋3＝0的一个根为－1，则另一个根为． 8、若关于x 的一元二次方程x 2－3x ＋m ＝0有实数根，则m 的取值范围是．9、已知方程2310x x ++=的两个根为1x 、2x ，求12(1)(1)x x ++的值.10、已知1x 、2x 是方程2630x x ++=的两实数根，求2112x x x x +的值.。

21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系要点归纳同步练习人教版数学九年级上册

*21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系要点归纳当堂检测(建议用时：10分钟)1.已知x₁,x₂是一元二次方程2x²−4x+1=0的两个实数根，则.x₁·x₂等于( )A.-2B.−12C. 12D.22.已知一元二次方程的两根分别是2 和--3，则这个一元二次方程是( )A.x²−6x+8=0B.x²+2x−3=0C.x²−x−6=0D.x²+x−6=03.已知x₁，x₂是一元二次方程x²+4x−3=0的两个实数根，则x₁+x₂−x₁x₂的值是( )A.6B.0C.7D.-14.已知关于x 的一元二次方程. x²−6x+c=0有一个根为2，则另一根为.5.若关于x 的一元二次方程3x²+(2k−1)x+k—2=0的两个实数根互为相反数，则k的值为.6.已知关于x 的一元二次方程x²+3x+m−1=0的两个实数根为x₁,x₂,若2(x₁+ x₂)+x₁x₂+10=0,则m 的值为.7.不解方程，求下列方程两个根的和与积：(1)6x²−x=2x²+3;(2)4x²−6=2x(x−2)+1.*21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系要点归纳知识要点：−pq−ba ca ≥当堂检测1.C2. D3. D4.45. 126.-37.解：(1)原方程化为一般形式得4x²−x−3=0,则x1+x2=14,x1⋅x2=−34.(2)原方程化为一般形式得2x²+4x−7=0,则x1+x2=−2,x1⋅x2=−72.。

九年级数学上册21.2.4一元二次方程的根与系数的关系教案

21.2.4一元二次方程的根与系数的关系一、教学目标1.掌握一元二次方程根与系数的关系。

2.能运用根与系数的关系求：已知方程的一个根，求方程的另一个根及待定系数；根据方程求代数式的值。

二、课时安排1课时三、教学重点掌握一元二次方程根与系数的关系。

四、教学难点能运用根与系数的关系求：已知方程的一个根，求方程的另一个根及待定系数；根据方程求代数式的值。

五、教学过程（一）导入新课如果这个一元二次方程是一般形式ax 2+bx +c =0（a ≠0），你能否用前面学过的配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．（二）讲授新课【问题】已知ax 2+bx+c =0（a ≠0）且b 2-4ac ≥0，试推导它的两个根为∴x 1+x 2和x 1x 2的值。

分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a 、b 、c •也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．解：移项，得：ax 2+bx =-c 二次项系数化为1，得x 2+b a x =-c a配方，得：x 2+b a x +（2b a ）2=-c a +（2b a ）2 即（x +2b a）2=2244b ac a∵b 2-4ac ≥0且4a 2>0 ∴2244b ac a -≥0直接开平方，得：x +2b a即x∴x 1，x 2∴x 1+x 2= - ba , x 1x 2=q归纳总结：如果方程x 2+px+q=0的两根是x 1 ，x 2，那么x 1+x 2= -p , x 1x 2= ca（三）重难点精讲例1、不解方程，求方程两根的和与两根的积：（1）2310x x +-=（2）22410x x -+=解：（1）123x x +=- ，121x x ⋅=-（2）原方程可化为：21202x x -+=122x x +=，1212x x ⋅=例题2、已知方程2560x kx +-=的一个根是2，求它的另一个根及k 的值。

解：原方程可化为：26055kx x +-=设方程的另一根是x 1，那么2 x 1= 65- ∴x 1= 35- 又∵（35-）+2= 5k- ∴ k=-5[(35-)+2]=-7答：方程的另一个根是 35- ，k 的值是-7。

人教版数学九年级上册 21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系课件(共19张PPT)

的关系进行简单计算。
情感态度与价值观：
1）培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识。
2）激发学生对学数学的兴趣，体会学数学的快乐，培养用数学的意
识。
教学重难点
掌握一元二次方程根与系数的关系。
利用一元二次方程根与系数的关系进行简单
计算。
复习引入：
1.一元二次方程的一般式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0).
b2-6b+4=0，且
A.

B.

a≠b，则 + 的值是( A )

−

C.

D.

−

解：∵ a2-6a+4=0 和 b2-6b+4=0 两个等式的
形式相同，且 a≠b，∴ a，b 可以看成是方
程 x2-6x+4=0 的两个根，∴ a+b=6，ab=4，

∴

+ =

+

=
+
巩固练习：
1.不解方程，求下列方程两个根的和与积.
(1) x2－3x＝15；
(2) 3x2＋2＝1－4x；
(3) 5x2－1＝4x2＋x；
(4) 2x2－x＋2＝3x＋1.
解：(1)方程化为 x2－3x－15＝0，
x1＋x2＝－(－3)＝3，x1x2＝－15.
(2)方程化为 3x2＋4x＋1＝0，
2.判断一元二次方程根的情况.
b2 - 4ac > 0 时，方程有两个不相等的实数根.
b2 - 4ac = 0 时，方程有两个相等的实数根.
b2 - 4ac < 0 时，方程无实数根.

人教数学九年级上册21.2.4：一元二次方程的根与系数关系教学设计

《一元二次方程的根与系数关系》教学设计教材分析学生已经学习了完一元二次方程求根公式的基础上，对一元二次方程的根与系数之间的关系进行再探究，通过本课进一步的学习，使学生了解一元二次方程两根之和、两根之积与一元二次方程中系数之间的关系．教学目标1.掌握一元二次方程根与系数的关系；2.能运用根与系数的关系解决具体问题.3.在探索一元二次方程根与系数的关系的过程中,体验观察→发现→猜想→验证的思维转化过程，培养学生分析问题和解决问题的能力.教学重难点重点：一元二次方程根与系数的关系及其应用.难点：探索一元二次方程根与系数的关系.课前准备多媒体课件教学过程问题1：（1）一元二次方程的一般形式是什么？（2）一元二次方程有实数根的条件是什么？（3）当Δ>0，Δ＝0，Δ<0时，一元二次方程根的情况如何？（4）一元二次方程的求根公式是什么？[师生活动]教师指导学生回忆知识，学生进行口答，教师指出重点．[答]（1）一元二次方程一般形式为ax2+bx+c=0(a≠0)；（2）当△≥0时，一元二次方程有两个实数根；（3）当△＞0时，一元二次方程有两个不等实根；当△=0时，一元二次方程有两个相等实根；当△＜0时，一元二次方程没有实根；（4）方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式为a acbbx24 2-±-=（△≥0）. 【设计意图】通过复习巩固旧知识，并为新知识的学习做铺垫。

问题2：请完成下面的表格观察、思考表格中方程两根之和与两根之积与系数有何关系，你能从中发现什么规律？你有什么发现？【设计意图】学生通过计算、观察、分析，发现一元二次方程中根与系数的关系，发展学生的感性认识，体会由特殊到一般的认识过程。

问题3：（1）填写上表后思考：①运用你所发现的规律，你能解答下列问题吗？已知方程x 2-4x-7=0的根为x 1,x 2，则x 1+x 2= , x 1·x 2= ; 已知方程x 2+3x-5=0的两根为x 1,x 2，则x 1+x 2= , x 1·x 2= .已知方程2x 2－3x －2＝0的两根分别是x 1和x 2，则x 1+x 2= , x 1·x 2= . [答案]4，-7；-3，-5；23，-1. ②如果方程ax 2+bx+c=0的两根为x 1,x 2,你知道x 1+x 2和x 1·x 2与方程系数之间的关系吗？ [回答]若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的两个根分别为x 1和x 2，则x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝c a .③如何证明以上发现的规律呢？[论证结论]教师与学生共同整理证明过程：证明：当Δ>0时，由求根公式得x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a ，x 2＝－b －b 2－4ac2a，所以x 1＋x 2＝－b ＋b 2－4ac 2a ＋－b －b 2－4ac 2a ＝－2b 2a ＝－ba ，x 1x 2＝－b ＋b 2－4ac 2a ·－b －b 2－4ac 2a ＝（－b ）2－（b 2－4ac ）4a 2＝ca ；当Δ＝0时，x 1＝x 2＝－b2a .所以x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝ca.[归纳并板书]根与系数关系：若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的两个根分别为x 1和x 2，则x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝ca.[文字表达]一元二次方程的根与系数的关系为：两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比.【设计意图】 ①进一步分析、验证所发现的根与系数的关系，为从感性到理性打好基础．②通过设置问题2使学生明确利用一元二次方程根与系数的关系进行计算需要满足Δ≥0.问题4：例1 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程的两个根x 1，x 2的和与积．(1)x 2－6x －15＝0；(2)3x 2＋7x －9＝0；(3)5x －1＝4x 2. [师生活动]学生自主进行解答，教师做好评价和总结．[注意]把一元二次方程整理为一般形式，确定a ，b ，c 的值，比较b 2－4ac 与0的大小，然后利用根与系数的关系代入求值．[解]（1）x 1+x 2=6，x 1·x 2=-15；（2）x 1+x 2=37-，x 1·x 2=39-；（3）方程化为4x 2-5x+1=0，∴x 1+x 2=45，x 1·x 2=41. 变式练习1 已知x 1，x 2是一元二次方程x 2－4x ＋1＝0的两个实数根，则x 1x 2等于(C )A ．－4B ．－1C ．1D ．4变式练习2 若x 1，x 2为方程x 2－2x －1＝0的两个实数根，求x 1＋x 2－x 1x 2的值． [解]由根与系数关系得，x 1+x 2=2，x 1·x 2=-1， ∴x 1＋x 2－x 1x 2=2-（-1）=3.【设计意图】问题的设置是针对本课时的重点所学进行及时巩固，也是培养学生计算能力和熟记公式的关键。

2017年秋季学期新版新人教版九年级数学上学期21.2.4、一元二次方程的根与系数的关系同步练习14

一元二次方程的根与系数的关系一、教材题目：P17 T77. 求下列方程两个根的和与积：(1)x 2－3x ＋2＝10；(2)5x 2＋x －5＝0；(3)x 2＋x ＝5x ＋6；(4)7x 2－5＝x ＋8.二、补充题目：部分题目来源于《典中点》3．已知方程x 2－5x ＋2＝0的两个解分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2－x 1·x 2的值为( )A ．－7B ．－3C ．7D ．34．已知方程x 2－2x －1＝0，则此方程( )A ．无实数根B ．两根之和为－2C ．两根之积为－1D ．有一根为－1＋ 25．(2015·广西)已知实数x 1，x 2满足x 1＋x 2＝7，x 1x 2＝12，则以x 1，x 2为根的一元二次方程是( )A ．x 2－7x ＋12＝0B ．x 2＋7x ＋12＝0C ．x 2＋7x －12＝0D ．x 2－7x －12＝012．(2015·烟台)等腰三角形三边长分别为a ，b ，2，且a ，b 是关于x 的一元二次方程x2－6x ＋n －1＝0的两根，则n 的值为( )A ．9B ．10C ．9或10D ．8或1015．若x 1，x 2是一元二次方程2x 2－3x －1＝0的两个根，求下列代数式的值．(1)(x 1－x 2)2；(2)⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋1x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 1.16．(2015·潜江)已知关于x 的一元二次方程x 2－4x ＋m ＝0.(1)若方程有实数根，求实数m 的取值范围；(2)若方程两实数根分别为x 1，x 2，且满足5x 1＋2x 2＝2，求实数m 的值．17．(2014·泸州)已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2－2(m ＋1)x ＋m 2＋5＝0的两个实数根．(1)若(x 1－1)(x 2－1)＝28，求m 的值；(2)已知等腰三角形ABC 的一边长为7，若x 1，x 2恰好是△ABC 另外两边的长，求这个三角形的周长．答案一、教材7. 解：(1)方程可化为x 2－3x －8＝0，x 1＋x 2＝－(－3)＝3，x 1x 2＝－8.(2)x 1＋x 2＝－15，x 1x 2＝－55＝－1. (3)方程可化为x 2－4x －6＝0，x 1＋x 2＝－(－4)＝4，x 1x 2＝－6.(4)方程可化为7x 2－x －13＝0，x 1＋x 2＝－－17＝17，x 1x 2＝－137. 二、典中点3.D4.C5.A12．B 点拨：由一元二次方程根与系数的关系求得a ＋b ＝6，再根据等腰三角形的三边关系，判断a ，b 的取值，进而求得n 值．本题容易出错的地方是忽略利用三角形三边关系舍去一种情况，而导致多解．15．解：根据一元二次方程根与系数的关系，得x 1＋x 2＝32，x 1x 2＝－12. (1)(x 1－x 2)2＝x 12＋x 22－2x 1x 2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝174. (2)⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋1x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 1＝x 1x 2＋1＋1＋1x 1x 2＝－12＋2－2＝－12. 16．解：(1)∵方程x 2－4x ＋m ＝0有实数根，∴Δ＝b 2－4ac ＝(－4)2－4m≥0，∴m≤4.(2)∵方程x 2－4x ＋m ＝0的两实数根为x 1，x 2，∴x 1＋x 2＝4，①又∵5x 1＋2x 2＝2，②联立①②解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－2，x 2＝6. ∴m＝x 1·x 2＝－2×6＝－12.17．解：∵x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2－2(m ＋1)x ＋m 2＋5＝0的两个根，∴x 1＋x 2＝2(m ＋1)，x 1·x 2＝m 2＋5.∴(x 1－1)(x 2－1)＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝m 2＋5－2(m ＋1)＋1＝28，∴m 2－2m －24＝0，∴(m－6)(m ＋4)＝0，∴m 1＝6，m 2＝－4.(2)①当7为腰长时，则另一腰长7为方程x 2－2(m ＋1)x ＋m 2＋5＝0的一个根．将x ＝7代入得49－14(m ＋1)＋m 2＋5＝0，整理得m 2－14m ＋40＝0，即(m －4)(m －10)＝0，∴m 1＝4，m 2＝10.当m＝4时，原方程为x2－10x＋21＝0，∴(x－7)(x－3)＝0，x1＝7，x2＝3.即另一边长为3，7，7，3能组成三角形，此时周长为7＋7＋3＝17.当m＝10时，原方程为x2－22x＋105＝0.∴(x－7)(x－15)＝0，∴x1＝7，x2＝15.另一边长为15，7，7，15不能组成三角形，故舍去．②当7为底边长时，方程有两个相等的实数根，Δ＝4(m＋1)2－4×1×(m2＋5)＝8m－16＝0，∴m＝2.此时方程为x2－6x＋9＝0，∴(x－3)2＝0，∴x1＝x2＝3.7，3，3不能组成三角形，故舍去．∴这个三角形的周长为17.。

21.2.4 一元二次方程根与系数的关系课件(共17张PPT) 人教版数学九年级上册

求 a 的值及该方程的另一个根.
解：由方程有两个实数根，得 Δ = a2 - 4 ≥0，
即 a ≥ 2或a ≤ -2.
由根与系数的关系得 x1 + x2 = 2a，x1 x2 = 16.
∴
x1 x2
x1 x2
1
1

1
x1
x2
x1 x2
16
解得 a = 8
21.2.4 一元二次方程根与系数的关系
x1 x2 x12 x22 ( x1 x2 )2 2 x1 x2
3.

;
x2 x1
x1 x2
x1 x2
4.( x1 1)( x2 1) x1 x2 ( x1 x2 ) 1;
5. x1 x2 ( x1 x2 )2 ( x1 x2 )2 4 x1 x2 .
21.2.4 一元二次方程
的根与系数的关系
九年级上
学习目标
目
录
新课引入
新知学习
随堂练习
课堂小结
21.2.4 一元二次方程根与系数的关系
学习目标
1. 了解一元二次方程的根与系数的关系. （2022年版课标将*删除）
2. 会用一元二次方程的根与系数的关系解决简单问题.
21.2.4 一元二次方程Βιβλιοθήκη 与系数的关系7－9
(2) x1＋x2＝－，x1 x2＝＝－3.
3
3
(3)方程化为 4x2－5x＋1＝0，∴
x1＋x2＝－
1
5 5
= ， x1 x2＝ .
4
4 4
21.2.4 一元二次方程根与系数的关系
1
1

人教版九年级数学上册21.2.4《一元二次方程的根与系数的关系》教案

《一元二次方程的根与系数的关系》教案教学目标1、掌握一元二次方程a 2x ＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根和系数之间的关系，了解关系式的推导过程.2、会正确写出根与系数的关系式.3、会利用根与系数的关系式解题.教学重点熟练利用一元二次方程根与系数的推导过程教学难点利用一元二次方程根与系数的关系式解题教学过程一、回顾与复习1、解一元二次方程的基本策略是，把二次方程转化为来解2、一元二次方程有四种解法(1)、因式分解法，方程一边是两个一次式的的形式，另一边为 .(2)、直接开平方法，方程一边是形式，另一边是 . (3)、配方法，通过配方配成完全平方形式来解一元二次方程的方法.(4)、公式法：关于x 的一元二次方程a 2x ＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根的判别式为∆= 当0∆≥时，实数根可写成1,2x = ；3、在用适当方法解一元二次方程时，先考虑用、；再考虑用配方法和公式法.4、一元二次方程最多有个实数根. 二、新课讲授：(一)、解方程求出两个解12x x ，，并计算两个解的和与积，填入下表：方程1x2x12x x +12x x ⋅230x x -= 2320x x -+=2210x x ++= 2490x -= 2250x x +=22310x x -+=观察表格中方程的两个解的和、两个解的乘积，与原方程中的系数之间的关系有什么规律？写出你的结论： .猜测：一元二次方程a 2x ＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根12x x ，和系数a b c ，，之间的关系 (二)、推导过程.一元二次方程的一般形式为a 2x ＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，根据求根公式可知，方程的两根为：221244,22b b ac b b ac x x a a-----==计算12x x += = ；因此，方程的两根12,x x 和系数,,a b c 有如下关系：用文字叙述一元二次方程的根与系数的关系为：两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根的乘积等于常数项与二次项系数的比.(三)、例题和练习例一、根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程两根12,x x 的和与积 (1)、26150x x --= (2)、2397x x =- (3)、2514x x -= 解:(学生独立完成)1、练习：求下列方程两根12,x x 的和与积(1)、2315x x -= (2)、22514x x x -=+ (3)、2320x x -+= (4)、2550x x +-= (5)、256x x x +=+ (6)、2758x x -=+ 2、练习(1)、已知关于x 的方程20x mx n ++=的两个根为5,7-，求m n -的值. (2)、已知关于x 的方程260x kx +-=的一个根为3，求k 的值和方程的另一个根. (3)、已知关于x 的方程2240x x m ++=的两个根的和等于两个根的积，求m 的值. (4)、已知关于x 的一元二次方程220x mx --=①、若1x =-是方程的一个根，求m 的值和方程的另一根.②对于任意实数m ，判断方程的根的情况，并说明理由.3、练习(1)、已知12,x x 是方程2420x x -+=的两根，求下列式子的值(2)、已知关于x 的一元二次方程2(1)10x k x k --++=的两个实数根的平方和等于4，求实数k 的值.(3)、已知关于x 的一元二次方程2210x x m -+-=，①、当m 取何值时，方程有两个不相等的实数根？②、设12,x x 是方程的两个实数根，且满足2211221x x x x ++=，求m 的值.。

人教版九年级上册数学教案：21.2.4一元二次方程根与系数的关系

一元二次方程根与系数的关系教学目标：1、知识与技能：掌握一元二次方程根与系数的关系，会运用关系定理求已知一元二次方程的两根之和及两根之积，并会解一些简单的问题。

2、过程与方法：经历一元二次方程根与系数关系的探究过程，培养学生的观察思考、归纳概括能力，在运用关系解决问题的过程中，培养学生解决问题能力，渗透整体的数学思想，求简思想。

3、情感态度：通过学生自己探究，发现根与系数的关系，增强学习的信心，培养科学探究精神。

教学重点：根与系数关系及运用教学难点：根与系数关系的发现及运用。

教学过程：一创设情境，激发探究欲望温故知新：1一元二次方程的一般式是什么？ax2+bx+c=0(a≠0)2一元二次方程的求根公式是什么？ax2+bx+c=0(a≠0)，当b2－4ac≥0，则x=a acb b24 2-±-它揭示了两根与系数间的直接关系，那么一元二次方程根与系数间是否还有更深一层的联系呢？导入：一元二次方程根与系数的关系二、合作交流，探究新知：先填空，再找规律：思考：观察表中1x +2x 与1x .2x 的值，它们与前面的一元二次方程的各项系数之间有什么关系？从中你能发现什么规律？猜想：如果：一元二次方程a 2x +bx+c=0（a ≠0）的两根为1x 、2x ，那么：1x +2x = - ba 1x . 2x =c a一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）若一元二次方程a 2x +bx+c=0（a ≠0）的两根为1x 、2x ，则1x +2x = -b a 1x . 2x =c a小试牛刀：下列方程中两根之和与两根之积各是多少？ 1 2 3 4强调.应注意的问题：1. 先化成一般形式，在确定a,b,c .2.当且仅当b 2-4ac ≥0时，才能应用根与系关系.3.要注意比的符号：两个根的和1x +2x = - ba比前面有负号，01522=--x x 05322=-+x x 0732=-x x 522=x两个根的积1x . 2x =c a比前面没有负号。

九年级数学上册解一元二次方程21.2.4一元二次方程的根与系数的关系课件(新版)新人教版

C
答案
1
2
3
4
5
6
2.(2017· 贵州黔东南州中考)已知一元二次方程x2-2x-1=0的两根分 1 1 别为x1,x2,则 �� + �� 的值为( )
1 2
A.2
B.-1
1 C.- D.-2 2
关闭
D
答案
1
2
3
4
5
6
3.若关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为1和2,则 b= ,c= .
=
5 2 -2×3 2
= 36.
点拨此类题目的解题关键是将求值的代数式变形为含x1+x2和 x1x2的形式.运用根与系数的关系求代数式的值时,一定要保证二次项系数不为0和b2-4ac≥0这两个条件.
2.求方程中未知系数的值【例2】若关于x的一元二次方程x2+kx+4k2-3=0的两个实数根分别是x1,x2,且满足x1+x2=x1x2,求k的值. 分析根据根与系数的关系写出表示x1+x2与x1x2的代数式,并代入 x1+x2=x1x2中,从而求出k的值,注意求出的k的值必须使原方程有实数根.
关闭关闭因为 α,β 是方程 x2+3x-1=0 的两个实数根, 所以 α+β=-3,αβ=-1 . α+β=-3,αβ=-1,把要求的代数式的值分由根与系数的关系 ,得 (1)α2+β2=(α+β)2-2αβ=(-3)2-2× (-1)=11. 别用 α + β , αβ 来表示 , 代入求解 . (2)α3β+αβ3=αβ(α2+β2)=(-1)× 11=-11.

人教版九年级数学上册教案-21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系1带教学反思

*21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系1．探索一元二次方程的根与系数的关系．2．会不解方程利用一元二次方程的根与系数解决问题．一、情境导入一般地，对于关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0(p ，q 为已知常数，p 2－4q ≥0)，试用求根公式求出它的两个解x 1、x 2，算一算x 1＋x 2、x 1·x 2的值，你能得出什么结果？二、合作探究探究点：一元二次方程根与系数的关系【类型一】利用一元二次方程根与系数的关系求关于方程根的代数式的值已知m 、n 是方程2x 2－x －2＝0的两实数根，则1m ＋1n的值为( ) A ．－1 B.12 C ．－12D ．1 解析：根据根与系数的关系，可以求出m ＋n 和mn 的值，再将原代数式变形后，整体代入计算即可．因为m 、n 是方程2x 2－x －2＝0的两实数根，所以m ＋n ＝12，mn ＝－1，1m ＋1n＝n ＋m mn ＝12－1＝－12.故选C. 方法总结：解题时先把代数式变形成与两根和、积有关的形式，注意前提：方程有两个实数根时，判别式大于或等于0.【类型二】根据方程的根确定一元二次方程已知一元二次方程的两根分别是4和－5，则这个一元二次方程是( )A ．x 2－6x ＋8＝0B ．x 2＋9x －1＝0C ．x 2－x －6＝0D ．x 2＋x －20＝0解析：∵方程的两根分别是4和－5，设两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－1，x 1·x 2＝－20.如果令方程ax 2＋bx ＋c ＝0中，a ＝1，则－b ＝－1，c ＝－20.∴方程为x 2＋x －20＝0.故选D.方法总结：先把所构造的方程的二次项系数定为1，利用一元二次方程根与系数的关系确定一元二次方程一次项系数和常数项．【类型三】根据根与系数的关系确定方程的解(2014·云南曲靖)已知x＝4是一元二次方程x2－3x＋c＝0的一个根，则另一个根为________．解析：设另一根为x1，则由根与系数的关系得x1＋4＝3，∴x1＝－1.故答案为x＝－1.方法总结：解决这类问题时，利用一元二次方程的根与系数的关系列出方程即可解决．【类型四】利用一元二次方程根与系数的关系确定字母系数(2014·山东烟台)关于x的方程x2－ax＋2a＝0的两根的平方和是5，则a的值是( )A．－1或5 B．1C．5 D．－1解析：将两根平方和转化为用两根和、积表示的形式，从而利用一元二次方程根与系数的关系解决．设方程两根为x1，x2，由题意，得x21＋x22＝5.∴(x1＋x2)2－2x1x2＝5.∵x1＋x2＝a，x1x2＝2a，∴a2－2×2a＝5.解得a1＝5，a2＝－1.又∵Δ＝a2－8a，当a＝5时，Δ<0，此时方程无实数根，所以舍去a＝5.当a＝－1时，Δ>0，此时方程有两实数根．所以取a ＝－1.故选D.方法总结：解答此类题的关键是将与方程两根有关的式子转化为用两根和、积表示的形式，从而利用一元二次方程根与系数的关系解决问题．注意不要忽略题目中的隐含条件Δ≥0，导致解答不全面．【类型五】一元二次方程根与系数的关系和根的情况的综合应用已知x1、x2是一元二次方程(a－6)x2＋2ax＋a＝0的两个实数根．(1)是否存在实数a，使－x1＋x1x2＝4＋x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由；(2)求使(x1＋1)(x2＋1)为负整数的实数a的整数值．解：(1)根据题意，得Δ＝(2a)2－4×a(a－6)＝24a≥0.解得a≥0.又∵a－6≠0，∴a≠6.由根与系数关系得：x1＋x2＝－2aa－6，x1x2＝aa－6.由－x1＋x1x2＝4＋x2得x1＋x2＋4＝x1x2，∴－2aa－6＋4＝aa－6，解得a＝24.经检验a＝24是方程－2aa－6＋4＝aa－6的解．即存在a＝24，使－x1＋x1x2＝4＋x2成立．(2)原式＝x1＋x2＋x1x2＋1＝－2aa－6＋aa－6＋1＝66－a为负整数，则6－a为－1或－2，－3，－6.解得a＝7或8，9，12.三、板书设计教学过程中，强调一元二次方程的根与系数的关系是通过求根公式得到的，在利用此关系确定字母的取值时，一定要记住Δ≥0这个前提条件.~。

人教版九年级上册数学21.2.4《解一元二次方程的根与系数的关系》教案

21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系一、教学目标1．理解并掌握根与系数的关系：1212b c x x x x a a+=-⋅=，． 2．会用根与系数的关系、根的判别式解决问题．二、教学重点及难点重点：一元二次方程根与系数关系的推导过程．难点：利用一元二次方程根与系数的关系解题．三、教学用具：多媒体课件。

四、相关资源《小明与小青悄悄话》动画，。

五、教学过程【创设情景，提出问题】前两天悄悄地听到咱班的小明和小青的一段对话，内容如下：小明：小青，我有一个秘密，你想听吗？小青：什么秘密？小明：你知道咱们可爱的张老师年龄到底有多大吗？小青：哦？小明：呵呵，这绝对是个秘密，我不能直接告诉你，我这么说吧：她的年龄啊是方程212350x x -+=的两根的积，回去你把两根求出来就知道了．小青：咳，你难不住我，我不用求根就已经知道答案了，而且我还告诉你，张老师的年龄还是方程2352000x x --=的两根的和呢．【合作探究，形成知识】问题1 从因式分解法可知，方程（x －x 1）（x －x 2）＝0（x 1，x 2为已知数）的两根为x 1，x 2，将方程化为x 2＋px ＋q ＝0的形式，你能看出x 1，x 2与p ，q 之间的关系吗？师生活动：让学生分组合作、小组讨论，经过讨论后交流小组的结论，可以发现：（1）用语言叙述规律：两根之和为一次项系数的相反数；两根之积为常数项．（2）把方程（x －x 1）（x －x 2）＝0的左边展开，化成一般形式，得方程x －（x 1＋x 2）x ＋x 1x 2＝0这个方程的二次项系数为1，一次项系数p ＝－（x 1＋x 2），常数项q ＝x 1x 2.于是，上述方程两根的和、积与系数的关系为：（x 1＋x 2）＝－p ，x 1x 2＝q ．问题2 一般的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0中，二次项系数a 未必是1，它的两个根的和、积与系数又有怎样的关系呢？你能利用求根公式推导根与系数的关系吗？师生活动：学生探讨，试写推导过程，教师巡视后给出规范推导过程．一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根是：12x x =．由此可得122222b b b b x x a a a a---+-+=+==-，22122()(4)224b b b b ac c x x a a a a---+---===．（1）用语言叙述规律：两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数；两根之积为常数项与二次项系数之比．（2）()200ax bx c a ++=≠的两根是12x x ，，用式子表示规律：1212b c x x x x a a+=-=，．归纳总结：两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数；两根之积为常数项与二次项系数之比．3．例题分析：例1 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根12x x ，的和与积：（1）26150x x --=；（2）23+790x x -=；（3）2514x x -=．师生活动：让学生根据根与系数的关系，独立解决上述问题．教师巡视学生的掌握情况，指导困难学生．解：（1）()12126615x x x x +=--==-，．（2）121279333x x x x -+=-==-，．（3）方程化为24510x x -+=．1212551444x x x x -+=-==，．教师引导：只要把一元二次方程化成一般式，找对a ，b ，c ，代入韦达定理即可求解．例2 已知方程2290x kx +-=的一个根是－3，求另一个根及k 的值．师生活动：找一名学生上黑板解答，其他同学交流做法，老师巡视辅导．针对在黑板上解答的学生出现的问题，进行讲解．解：设已知方程的另一个根是x 1，由题意可得19(3)2x --⋅=．所以132x =．故方程的另一个根为32．所以133322k x --+=-+=．解得k =3．教师引导：本例对绝大多数同学来说是可以掌握的内容，也是研究根与系数的关系应该掌握的内容．此外，还可以让学生应用多种方法解决问题，进一步培养学生的发散思维．【练习巩固，综合应用】1．已知m ，n 是关于x 的一元二次方程230x x a -+=的两个解,若(m －1)(n －1)=－6,则a 的值为（）．A ．－10B ．4C ．－4D ．102．设a b ，是方程220150x x +-=的两个实数根，则22a a b ++的值为（）． A ．2 012 B ．2 013 C ．2 014 D ．2 0153．若方程2310x x --=的两个根为12x x ，，则1211x x +的值为（）． A ．3 B ．－3 C ．13 D ．13- 4．已知x =1是方程220x ax ++=的一个根，则方程的另一个根为，a = ．5．求下列方程两个根x 1，x 2的和与积：（1）23210x x -+=；（2）2550x x +-=；（3）256x x x +=+；（4）2758x x -=+．6．已知关于x 的方程260x x k -+=的两个根是m 和n ，且3m ＋2n =20，求k 的值．7．已知12x x ，是一元二次方程2310x x --=的两个实数根,求22121240x x x x ++=的值．目标检测答案1．C 2．C 3．B 4．2，-35．解：（1）方程化为2380x x --=．1212(3)38x x x x +=--==-，．（2）121215155x x x x -+=-==-，．（3）方程化为2460x x --=．1212(4)46x x x x +=--==-，．（4）方程化为27130x x --=．12121113777x x x x -+=-==-，． 6．解：∵m ，n 是方程的两个根， ∴6 3220 m n mn k m n +=⎧⎪=⎨⎪+=⎩，①，②．③①×2－③，得－m =－8．∴m =8．将m =8代入①，得n =－2．将m =8，n =－2代入②，得k =8×(－2)=－16．∵当k =－16时，∆=36－4k =100＞0，∴k =－16．7．根据一元二次方程根与系数的关系可知121231x x x x +==-，．所以222121212124()2927x x x x x x x x ++=++=-=．六、课堂小结1．一元二次方程根与系数的关系两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比．2．数学语言表述若一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个根是12x x ，，则 1212b c x x x x a a+=-=，．设计意图：帮助学生养成系统整理知识的学习习惯，加深认识，深化提高，形成学生自己的知识体系．七、板书设计21.2解一元二次方程——21.2.4一元二次方程的根与系数的关系1．一元二次方程根与系数的关系2．数学语言表述。

人教版九年级数学上册21.2.4一元二次方程根与系数的关系教案

一元二次方程的根与系数的关系教学目标知识与能力：1、在理解的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系；2、能运用根与系数的关系检验两数是否为原方程的根；3、已知一根求另一根及系数。

过程与方法：通过韦达定理的教学过程，使学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点，进一步培养学生的创新意识和创新精神。

情感、态度与价值观：通过情景教学过程，激发学生的求知欲望，培养学生积极学习数学的态度。

教学重、难点重点：一元二次方程根与系数的关系的应用。

难点：对一元二次方程根与系数的关系的理解和推导。

一、创设情景，引入新课师：在上一节“一元二次方程的根的判别式”中，我们讲了一个小秘诀，就是不解方程，就能知道一元二次方程的根的情况。

同学们还记得这个小秘诀是什么吗？生：通过“Δ”的值来判断一元二次方程的根的情况。

当“Δ＞0”时，方程有两个不相等的实数根；当“Δ=0”时，方程有两个相等的实数根；当“Δ＜0”时，方程没有实数根。

师：回答的真好。

其实啊，一元二次方程还有一个小秘密，而且是一个非常重要的秘密，同学想知道吗？生：想。

师：那么这节课我们一起来探究这个秘密。

一元二次方程的根与系数的关系（板书课题）二、探索新知，解决问题1、两人一组，完成问题卡片上的表格1.表格1师：你发现了什么规律？请用语言叙述你发现的规律。

生：……师：若方程x2+px+q=0的两根是x1、x2，你能用式子表示出你发现的规律吗？生：x1 +x2 = – p，x1x2 = q师：是不是所有的一元二次方程都具有这样的规律呢？生：不一定。

师：为什么不一定呢？生：因为这几个一元二次方程的二次项系数都是1，如果二次项系数不为1时，可能就不存在这样的关系了。

师：同学们观察的非常的仔细。

那么对于一般的一元二次方程根与系数又会存在着怎样的关系呢？2、还是两个同学一组，完成问题卡片上的表格2。

表格2师：观察表格2，你又有什么发现？你能用语言文字概括你的发现吗？生：学生认真思考，并回答。