高中数学第四讲用数学归纳法证明不等式单元整合课件新人教A版选修4_5
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4.1 数学归纳法 课件(人教A选修4-5)
由于 l 与这 k 条直线均相交且任意三条不过同一点，所 以直线 l 与 l1，l2，l3，…，lk 的交点共有 k 个． ∴f(k＋1)＝f(k)＋k kk－1 k2＋k ＝ ＋k＝ 2 2 kk＋1 k＋1[k＋1－1] ＝ ＝ . 2 2 ∴当 n＝k＋1 时，命题成立． 由(1)(2)可知，命题对一切 n∈N＋且 n≥2 成立．
1 1 1 1 1 ＝ ＋ ＋…＋ ＋ － 2k 2k＋1 2k＋2 k＋1 k＋2 1 1 1 1 ＝ ＋ ＋…＋ ＋ ， k＋2 k＋3 2k＋1 2k＋2 从而可知，当 n＝k＋1 时，命题亦成立． 由(1)(2)可知，命题对一切正整数 n 均成立．
[悟一法] (1)用数学归纳法证明代数恒等式的关键有两点：一是准 确表述n＝n0时命题的形式，二是准确把握由n＝k到n＝k＋1 时，命题结构的变化特点．
本课时考点常与数列问题相结合考查数学归纳法的 应用，2012年天津高考将数列、数学归纳法相结合，以解 答题的形式进行了考查，是高考模拟命题的一个新亮点．
[考题印证] (2012· 天津高考)已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn， {bn}是等比数列，且a1＝b1＝2，a4＋b4＝27，S4－b4＝10. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式；
3．数学归纳法中的两步的作用是什么？
提示：在数学归纳法中的第一步“验证n＝n0时，命题 成立”，是归纳奠基、是推理证明的基础．第二步是归 纳递推，保证了推理的延续性，证明了这一步，就可 以断定这个命题对于n取第一个值n0后面的所有正整数 也都成立．Fra bibliotek[研一题]
[例 1] 1 1 1 1 1 用数学归纳法证明：1－ ＋ － ＋…＋ － 2 3 4 2n－1 2n
线，命题成立． (2)假设 n＝k 时命题成立， 1 即凸 k 边形的对角线的条数 f(k)＝ k(k－3)(k≥4)． 2 当 n＝k＋1 时， k＋1 边形是在 k 边形基础上增加了一边， 凸 增加了一个顶点 Ak＋1，增加的对角线条数是顶点 Ak＋1 与不
第四讲 数学归纳法证明不等式 知识归纳 课件(人教A选修4-5)
由(1)、(2)知，对任意n∈N＋原命题成立．
[例 4]
1 设 0<a<1，定义 a1＝1＋a，an＋1＝a ＋a，求证： n
1 对一切正整数 n∈N＋，有 1<an< . 1－a
[证明] 命题成立．
1 (1)当 n＝1 时，a1>1，又 a1＝1＋a< ， 1－a
(2)假设 n＝k(k∈N＋)时，命题成立， 1 即 1<ak< . 1－a ∴当 n＝k＋1 时，由递推公式，知 1 ak＋1＝a ＋a>(1－a)＋a＝1. k
1－a2 1 1 同时，ak＋1＝a ＋a<1＋a＝ < ， 1－a 1－a k 1 ∴当 n＝k＋1 时，命题也成立，即 1<ak＋1< . 1－a 1 综合(1)、 (2)可知， 对一切正整数 n， 1<an< 有 . 1－a
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[例3]
除．
用数学归纳法证明：n(n＋1)(2n＋1)能被6整
[证明](1)当n＝1时，1×2×3显然能被6整除． (2)假设n＝k时，命题成立， 即k(k＋1)(2k＋1)＝2k3＋3k2＋k能被6整除．
当n＝k＋1时，(k＋1)(k＋2)(2k＋3)＝
2k3＋3k2＋k＋6(k2＋2k＋1) 因为2k3＋3k2＋k,6(k2＋2k＋1)都能被6整除，所以2k3 ＋3k2＋k＋6(k2＋2k＋1)能被6整除，即当n＝k＋1时命题 成立．
tank＋1α－tan α 1 ＝ [ ][1＋tan(k＋1)α· α]－k tan tan α 1＋tank＋1α· α tan 1 ＝ [tan(k＋1)α－tan α]－k tan α tank＋1α ＝ －(k＋1)， tan α 所以当 n＝k＋1 时，等式也成立． 由(1)和(2)知，n≥2，n∈N＋时等式恒成立．
4.1 数学归纳法 课件(人教A选修4-5)
x2k－y2k能被x＋y整除，
当n＝k＋1时，
即x2k＋2－y2k＋2＝x2·2k－x2y2k＋x2y2k－y2·2k x y ＝x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)． ∵x2k－y2k与x2－y2都能被x＋y整除， ∴x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)能被x＋y整除． 即n＝k＋1时，x2k＋2－y2k＋2能被x＋y整除．
[通一类] 2．求证：n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3能被9整除． 证明：(1)当n＝1时，13＋(1＋1)3＋(1＋2)3＝36，能被9整 除，命题成立． (2)假设n＝k时，命题成立，即 k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除． 当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3 ＝(k＋1)3＋(k＋2)3＋k3＋3k2· 3＋3k·2＋33 3 ＝k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3＋9(k2＋3k＋3)． 由归纳假设，上式中k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，又 9(k2＋3k＋3)也能被9整除． 故n＝k＋1时命题也成立． 由(1)(2)可知，对任意n∈N*命题成立.
由(1)和(2)，可知对任意n∈N*，Tn＋12＝
－2an＋10bn成立．
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[例2] 求证：二项式x2n－y2n(n∈N＋)能被x＋y整除．
[精讲详析] 本题考查数学归纳法在证明整除问题中
的应用，解答本题需要设法将x2n－y2n进行分解因式得出x
＋y，由于直接分解有困难，故采用数学归纳法证明． (1)当n＝1时，x2－y2＝(x＋y)(x－y)， ∴能被x＋y整除． (2)假设n＝k(k≥1，且k∈N＋)时，
2＋3d＋2q3＝27， 条件，得方程组 8＋6d－2q3＝10， d＝3， 解得 q＝2.
人教版高中数学选修4-5 第四讲 二 用数学归纳法证明不等式 (共30张PPT)教育课件
22
1 32
...
1 n2
n 1都成立.
n
解：
1当n
2时，212
2
2
1，命题成立.
2 假设当n
kk
2
时，命题成立，即
1 22
1 32
...
1 k2
k k
1. 1
当n k 1时，
11
1
1 k 1
1
22
32
...
k2
k
12
k
1
k
12
k3 k2
k k 1
k 1 1
.
k 1
所以当n k 1时命题成立.
情感态度与价值观
培养学生严密的逻辑思维能力 和严谨的态度.
教学重难点
重点
会运用数学归纳法证明含有任意 正整数n的不等式(包括贝努利不等式).
难点
灵活运用数学归纳法.
例1
观察下面两个数列，从第几项起an 始终小于bn？证明你的结论.
{an=n2}:1,4,9,16,25,36,…; {bn=2n}:2,4,8,16,32,64,…
由(1)(2)知，n2<2n(nN+,n≥5)
所以(k+1)2<2k+1,即当n=k+1时命题成立.
例2
证明不等式│sinnθ│≤n│sinθ│(n
N+)
分析
这是个涉及正整数n的三角函数问题， 又与绝对值有关，在证明递推关系时，应 注意利用三角函数的性质及绝对值不等式.
证明
(1)当n=1时，左边=右边，命题成立. (2)假设当n=k(k≥1) 时命题成立,即 有│sinkθ│≤k│sinθ│
1 32
...
1 n2
n 1都成立.
n
解：
1当n
2时，212
2
2
1，命题成立.
2 假设当n
kk
2
时，命题成立，即
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当n k 1时，
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k k 1
k 1 1
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所以当n k 1时命题成立.
情感态度与价值观
培养学生严密的逻辑思维能力 和严谨的态度.
教学重难点
重点
会运用数学归纳法证明含有任意 正整数n的不等式(包括贝努利不等式).
难点
灵活运用数学归纳法.
例1
观察下面两个数列，从第几项起an 始终小于bn？证明你的结论.
{an=n2}:1,4,9,16,25,36,…; {bn=2n}:2,4,8,16,32,64,…
由(1)(2)知，n2<2n(nN+,n≥5)
所以(k+1)2<2k+1,即当n=k+1时命题成立.
例2
证明不等式│sinnθ│≤n│sinθ│(n
N+)
分析
这是个涉及正整数n的三角函数问题， 又与绝对值有关，在证明递推关系时，应 注意利用三角函数的性质及绝对值不等式.
证明
(1)当n=1时，左边=右边，命题成立. (2)假设当n=k(k≥1) 时命题成立,即 有│sinkθ│≤k│sinθ│
人教数学选修4-5全册精品课件：第四讲一数学归纳法
1)· [2(k＋1)－1]．
即n＝k＋1时等式也成立．
由(1)(2)可知对任何n∈N＋等式均成立．
用数学归纳法证明几何问题
例2 平面上有n个圆，其中每两个圆都相交于
两点，并且每三个圆都不相交于同一点，求证： 这n个圆把平面分成了f(n)＝n2－n＋2部分． 【思路点拨】 用数学归纳法证明几何问题，主 要是搞清楚当n＝k＋1时比n＝k时分点增加了多 少，区域增加了几块，本题中第k＋1个圆被原来 的k个圆分成2k条弧，而每一条弧把它所在部分 分成了两部分，此时共增加了2k个部分，问题就 得到了解决．
1 1 1 1 1 1 那么 ＋ 2＋ 3＋„＋ k－1＋ k＋ k＋1 2 2 2 2 2 2 1 1 k＋1 [1－ ] 2 2 1 ＝ ＝1－ k＋1. 1 2 1－ 2 这就是说，当 n＝k＋1 时，等式也成立． 根据(1)和(2)可知，等式对任何 n∈N＋都成立．
【错因】 从形式上看，会认为以上的证明是正确 的，过程甚至是完整无缺的，但实际上以上的证明 却是错误的． 错误的原因在第(2)步， 它是直接利用等比数列的求 1 1 1 和公式求出了当 n＝k＋1 时式子 ＋ 2＋ 3＋„＋ 2 2 2 1 1 1 k－1＋ k＋ k＋1的和，而没有利用“归纳假设”，这 2 2 2 是在用数学归纳法证题时极易犯的一种错误， 要引 以为戒，一定要引起同学们的足够重视．
＝(x＋1)[(x＋1)k＋1 ＋(x＋2)2k－1]＋(x2 ＋3x＋3)· (x ＋2)2k－1. 因为(x＋1)k＋1＋(x＋2)2k－1和x2＋3x＋3都能被x2＋ 3x＋3整除，所以上面的式子也能被x2 ＋3x＋3整
除．
这就是说，当n＝k＋1时， (x＋1)(k＋1)＋1 ＋(x＋2)2(k＋1)－1 也能被x2 ＋3x＋3整 除． 根据(1)(2)可知，命题对任何n∈N＋都成立．
4.1 数学归纳法 课件(人教A选修4-5)
[研一题]
[例 3] 平面上有 n(n≥2，且 n∈N＋)条直线，其中任意两
条直线不平行，任意三条不过同一点， nn－1 求证：这 n 条直线共有 f(n)＝ 个交点． 2
[精讲详析]
本题考查数学归纳法在证明几何命题中的
应用，解答本题应搞清交点随 n 的变化而变化的规律，然后 采用数学归纳法证明． (1)当 n＝2 时， ∵符合条件是两直线只有 1 个交点， 1 又 f(2)＝ ×2×(2－1)＝1. 2 ∴当 n＝2 时，命题成立．
由于 l 与这 k 条直线均相交且任意三条不过同一点，所 以直线 l 与 l1，l2，l3，…，lk 的交点共有 k 个． ∴f(k＋1)＝f(k)＋k kk－1 k2＋k ＝ ＋k＝ 2 2 kk＋1 k＋1[k＋1－1] ＝ ＝ . 2 2 ∴当 n＝k＋1 时，命题成立． 由(1)(2)可知，命题对一切 n∈N＋且 n≥2 成立．
本课时考点常与数列问题相结合考查数学归纳法的 应用，2012年天津高考将数列、数学归纳法相结合，以解 答题的形式进行了考查，是高考模拟命题的一个新亮点．
[考题印证] (2012· 天津高考)已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn， {bn}是等比数列，且a1＝b1＝2，a4＋b4＝27，S4－b4＝10. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式；
线，命题成立． (2)假设 n＝k 时命题成立， 1 即凸 k 边形的对角线的条数 f(k)＝ k(k－3)(k≥4)． 2 当 n＝k＋1 时， k＋1 边形是在 k 边形基础上增加了一边， 凸 增加了一个顶点 Ak＋1，增加的对角线条数是顶点 Ak＋1 与不
相邻顶点连线再加上原 k 边形的一边 A1Ak， 共增加的对角线条 数为(k＋1－3)＋1＝k－1. 1 1 2 f(k＋1)＝ k(k－3)＋k－1＝ (k －k－2) 2 2 1 1 ＝ (k＋1)(k－2)＝ (k＋1)[(k＋1)－3]． 2 2 故 n＝k＋1 时由(1)、(2)可知，对于 n≥4，n∈N*公式成立．
4.1 数学归纳法 课件(人教A选修4-5)
当n＝k＋1时，
12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－(2k＋2)2 ＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－[2(k＋1)]2 ＝－k(2k＋1)－(4k＋3)＝－(2k2＋5k＋3) ＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]， ∴当n＝k＋1时，等式也成立．
根据(1)和(2)可知，等式对任何n∈N＋都成立．
Tn＝－2(3n－1)＋3×22＋3×23＋…＋3×2n＋2n 2＝ 121－2n－1 ＋ ＋2n 2－6n＋2＝10×2n－6n－10. 1－2 而－2an＋10bn－12＝－2(3n－1)＋10×2n－12＝10×2n－ 6n－10，故 Tn＋12＝ －2an＋10bn，n∈N*.
＋
法二：(1)当n＝1时，T1＋12＝a1b1＋12＝16，－2a1＋
(2)记Tn＝anb1＋an－1b2＋…＋a1bn，n∈N*，证明Tn＋12
＝－2an＋10bn(n∈N*.)
[命题立意]
应用．
本题考查数学归纳法在证明数列问题中的
[解]
(1)设等差数列{an}的公差为 d，等比数列{bn}的公
比为 q.由 a1＝b1＝2，得 a4＝2＋3d，b4＝2q3，S4＝8＋6d.由
(2)假设当 n＝k(k≥2 且 k∈N＋)时命题成立， 就是该平面内 1 满足题设的任何 k 条直线的交点个数为 f(k)＝ k(k－1)， 则当 n 2 ＝k＋1 时，任取其中一条直线记为 l，如图，剩下的 k 条直线 为 l1，l2，…，lk.由归纳假设知，它们之间的交点个数为 f(k)＝ kk－1 . 2
[例2] 求证：二项式x2n－y2n(n∈N＋)能被x＋y整除．
[精讲详析] 本题考查数学归纳法在证明整除问题中
高中数学第四讲数学归纳法证明不等式4.2用数学归纳法证明不等式课件新人教A版选修4_5
(3)明确用上归纳假设后要证明的不等式应是怎样 的，然后通过运用放缩法、分析法、比较法、综合法等 方法进行证明．
(4)有些不等式先用分析法转化为另一个较为简单的 不等式然后再用数学归纳法证明．
根据(1)和(2)可知对任何 n∈N＋， n2＋n＜n＋1 都成 立．
则对上述证法的说法中： (1)过程全部正确．( ) (2)n＝1 验证不正确．( ) (3)归纳假设不正确．( ) (4)从 n＝k 到 n＝k＋1 的推理不正确．( )
解析：在证明n＝k＋1时没有用到归纳假设故(4)正 确，(1)、(2)、(3)不正确．
时，应推证的目标不等式是_______________________．
解析：把n＝k时的不等式中的k换成k＋1即可．
答案：
1 22
＋
1 32
＋…＋
1 （k＋1）2
＋
1 （k＋2）2
＞
1 2
－
1 k＋3
5．证明n＋2 2<1＋12＋13＋…＋21n<n＋1(n>1)，当n＝ 2时，要证明的式子为____________________．
[变式训练]
若不等式
1 n＋1
＋
1 n＋2
＋
1 n＋3
＋…＋
1 3n＋1
＞
a 24
对一切正整数n都成立，求正整数a的最大
值，并证明你的结论．
解：当n＝1时，1＋1 1＋1＋1 2＋3×11＋1＞2a4，
则2264＞2a4，所以a＜26.
又a∈N＋，所以取a＝25.
下面用数学归纳法证明
1 n＋1
＋
答案：B
3．用数学归纳法证明“2n＞n2＋1对于n≥n0的正整
4.1 数学归纳法 课件(人教A选修4-5)
Tn＝－2(3n－1)＋3×22＋3×23＋…＋3×2n＋2n 2＝ 121－2n－1 ＋ ＋2n 2－6n＋2＝10×2n－6n－10. 1－2 而－2an＋10bn－12＝－2(3n－1)＋10×2n－12＝10×2n－ 6n－10，故 Tn＋12＝ －2an＋10bn，n∈N*.
＋
法二：(1)当n＝1时，T1＋12＝a1b1＋12＝16，－2a1＋
10b1＝16，故等式成立； (2)假设当n＝k时等式成立，即Tk＋12＝－2ak＋10bk，则 当n＝k＋1时有： Tk＋1＝ak＋1b1＋akb2＋ak－1b3＋…＋a1bk＋1 ＝ak＋1b1＋q(akb1＋ak－1b2＋…＋a1bk) ＝ak＋1b1＋qTk
＝ak＋1b1＋q(－2ak＋10bk－12) ＝2ak＋1－4(ak＋1－3)＋10bk＋1－24 ＝－2ak＋1＋10bk＋1－12. 即Tk＋1＋12＝－2ak＋1＋10bk＋1. 因此n＝k＋1时等式也成立．
x2k－y2k能被x＋y整除，
当n＝k＋1时，
即x2k＋2－y2k＋2＝x2·2k－x2y2k＋x2y2k－y2·2k x y ＝x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)． ∵x2k－y2k与x2－y2都能被x＋y整除， ∴x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)能被x＋y整除． 即n＝k＋1时，x2k＋2－y2k＋2能被x＋y整除．
当n＝k＋1时，
12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－(2k＋2)2 ＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－[2(k＋1)]2 ＝－k(2k＋1)－(4k＋3)＝－(2k2＋5k＋3) ＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]， ∴当n＝k＋1时，等式也成立．
根据(1)和(2)可知，等式对任何n∈N＋都成立．
4.1 数学归纳法 课件(人教A选修4-5)
由(1)(2)可知，对任意的正整数n命题均成立．
[悟一法]
利用数学归纳法证明整除问题时，关键是整理出除数
因式与商数因式积的形式，这就往往要涉及到“添项”与“减
项”等变形技巧，例如，在本例中，对x2k＋2－y2k＋2进行拼
凑，即减去x2y2k再加上x2y2k，然后重新组合，目的是拼凑
出n＝k时的归纳假设，剩余部分仍能被x＋y整除．
2＋3d＋2q3＝27， 条件，得方程组 8＋6d－2q3＝10， d＝3， 解得 q＝2.
所以 an＝3n－1，bn＝2n，n∈N*. (2)法一：由(1)得 Tn＝2an＋22an－1＋23an－2＋…＋2na1，
＋
①
2Tn＝22an＋23an－1＋…＋2na2＋2n 1a1. ② 由②－①，得
[研一题]
[例 3] 平面上有 n(n≥2，且 n∈N＋)条直线，其中任意两
条直线不平行，任意三条不过同一点， nn－1 求证：这 n 条直线共有 f(n)＝ 个交点． 2
[精讲详析]
本题考查数学归纳法在证明几何命题中的
应用，解答本题应搞清交点随 n 的变化而变化的规律，然后 采用数学归纳法证明． (1)当 n＝2 时， ∵符合条件是两直线只有 1 个交点， 1 又 f(2)＝ ×2×(2－1)＝1. 2 ∴当 n＝2 时，命题成立．
x2k－y2k能被x＋y整除，
当n＝k＋1时，
即x2k＋2－y2k＋2＝x2·2k－x2y2k＋x2y2k－y2·2k x y ＝x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)． ∵x2k－y2k与x2－y2都能被x＋y整除， ∴x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)能被x＋y整除． 即n＝k＋1时，x2k＋2－y2k＋2能被x＋y整除．
4.1 数学归纳法 课件(人教A选修4-5)
10b1＝16，故等式成立； (2)假设当n＝k时等式成立，即Tk＋12＝－2ak＋10bk，则 当n＝k＋1时有： Tk＋1＝ak＋1b1＋akb2＋ak－1b3＋…＋a1bk＋1 ＝ak＋1b1＋q(akb1＋ak－1b2＋…＋a1bk) ＝ak＋1b1＋qTk
＝ak＋1b1＋q(－2ak＋10bk－12) ＝2ak＋1－4(ak＋1－3)＋10bk＋1－24 ＝－2ak＋1＋10bk＋1－12. 即Tk＋1＋12＝－2ak＋1＋10bk＋1. 因此n＝k＋1时等式也成立．
本课时考点常与数列问题相结合考查数学归纳法的 应用，2012年天津高考将数列、数学归纳法相结合，以解 答题的形式进行了考查，是高考模拟命题的一个新亮点．
[考题印证] (2012· 天津高考)已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn， {bn}是等比数列，且a1＝b1＝2，a4＋b4＝27，S4－b4＝10. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式；
2．数学归纳法的基本过程
[小问题· 大思维] 1．在数学归纳法中，n0一定等于1吗？ 提示：不一定．n0是适合命题的正整数中的最小值，有 时是n0＝1或n0＝2，有时n0值也比较大，而不一定是从1 开始取值．
2．数学归纳法的适用范围是什么？
提示：数学归纳法的适用范围仅限于与正整数有关的数 学命题的证明．
[悟一法] 对于几何问题的证明，可以从有限情形中归纳出一个变 化的过程，或者说体会出是怎么变化的，然后再去证明，也
可以采用递推的办法，利用数学归纳法证明几何问题时，关
键是正确分析由n＝k到n＝k＋1时几何图形的变化规律．
[通一类]
1 3．证明：凸 n 边形的对角线的条数 f(n)＝ n· (n－3)(n≥4)． 2 1 证明：(1)n＝4 时，f(4)＝ · (4－3)＝2，四边形有两条对角 4· 2
＝ak＋1b1＋q(－2ak＋10bk－12) ＝2ak＋1－4(ak＋1－3)＋10bk＋1－24 ＝－2ak＋1＋10bk＋1－12. 即Tk＋1＋12＝－2ak＋1＋10bk＋1. 因此n＝k＋1时等式也成立．
本课时考点常与数列问题相结合考查数学归纳法的 应用，2012年天津高考将数列、数学归纳法相结合，以解 答题的形式进行了考查，是高考模拟命题的一个新亮点．
[考题印证] (2012· 天津高考)已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn， {bn}是等比数列，且a1＝b1＝2，a4＋b4＝27，S4－b4＝10. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式；
2．数学归纳法的基本过程
[小问题· 大思维] 1．在数学归纳法中，n0一定等于1吗？ 提示：不一定．n0是适合命题的正整数中的最小值，有 时是n0＝1或n0＝2，有时n0值也比较大，而不一定是从1 开始取值．
2．数学归纳法的适用范围是什么？
提示：数学归纳法的适用范围仅限于与正整数有关的数 学命题的证明．
[悟一法] 对于几何问题的证明，可以从有限情形中归纳出一个变 化的过程，或者说体会出是怎么变化的，然后再去证明，也
可以采用递推的办法，利用数学归纳法证明几何问题时，关
键是正确分析由n＝k到n＝k＋1时几何图形的变化规律．
[通一类]
1 3．证明：凸 n 边形的对角线的条数 f(n)＝ n· (n－3)(n≥4)． 2 1 证明：(1)n＝4 时，f(4)＝ · (4－3)＝2，四边形有两条对角 4· 2
高中数学 第四讲 数学归纳法证明不等式高效整合 新人教A版选修4-5(2021年最新整理)
2016-2017学年高中数学第四讲数学归纳法证明不等式高效整合新人教A 版选修4-5编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016-2017学年高中数学第四讲数学归纳法证明不等式高效整合新人教A版选修4-5）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2016-2017学年高中数学第四讲数学归纳法证明不等式高效整合新人教A版选修4-5的全部内容。
第四讲数学归纳法证明不等式一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1．用数学归纳法证明1＋错误!＋错误!＋…＋错误!<n（n∈N＊，n>1）时，第一步应验证不等式（）A．1＋错误!〈2 B．1＋错误!＋错误!<2C．1＋错误!＋错误!<3 D．1＋错误!＋错误!＋错误!〈3解析:n∈N＊，n>1，∴n取的第一个自然数为2，左端分母最大的项为错误!＝错误!，故选B.答案:B2．用数学归纳法证明12＋32＋52＋…＋（2n－1）2＝错误!n（4n2－1）的过程中,由n＝k递推到n＝k＋1时，等式左边增加的项为( )A．(2k）2B．（2k＋3)2C．(2k＋1)2D．(2k＋2)2解析:把k＋1代入(2n－1)2得(2k＋2－1)2即(2k＋1)2，选C。
答案：C3．设凸n边形有f(n)条对角线,则凸n＋1边形的对角线的条数，加上多的哪个点向其他点引的对角线的条数f（n＋1)为（）A．f（n）＋n＋1 B．f（n）＋nC．f（n）＋n－1 D．f(n）＋n－2解析：凸n＋1边形的对角线的条数等于凸n边形的对角线的条数，加上多的那个点向其他点引的对角线的条数(n－2)条，再加上原来有一边成为对角线,共有f（n)＋n－1条对角线，故选C。
高中数学 第四讲 用数学归纳法证明不等式 一 数学归纳法 新人教A版选修4-5
第四讲 用数学归纳法证明不等式
一 数学归纳法
第四讲 用数学归纳法证明不等式
1.了解数学归纳法的原理． 2.了解数学归纳法的使 用范围． 3.会用数学归纳法证明一些简单问题．
1．数学归纳法的定义 一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数 n0 的所有正 整数 n 都成立时，可以用以下两个步骤： (1)证明当__n_＝__n__0 ___时命题成立． (2)假设当_n_＝__k_(_k_∈__N_＋_且___k_≥__n_0_) 时命题成立，证明当_n_＝__k_＋__1__ 时命题也成立． 在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于 n0 的所 有正整数都成立，这种证明方法称为数学归纳法．
解：(1)由 a1＝1，得 a2＝3＋1＝4，a3＝32＋4＝13. (2)证明：用数学归纳法证明： ①当 n＝1 时，a1＝1＝31－2 1，所以等式成立． ②假设 n＝k(k∈N＋，k≥1)时等式成立， 即 ak＝3k－2 1，那么当 n＝k＋1 时， ak＋1＝ak＋3k＝3k－2 1＋3k＝3k－12＋2·3k＝3k＋21－1. 即 n＝k＋1 时，等式也成立． 由①②知等式对 n∈N＋都成立．
利用数学归纳法证明恒等式的注意点 利用数学归纳法证明代数恒等式时要注意两点：一是要准确表 达 n＝n0 时命题的形式，二是要准确把握由 n＝k 到 n＝k＋1 时，命题结构的变化特点，并且一定要记住：在证明 n＝k＋1 成立时，必须使用归纳假设．
1.用数学归纳法证明：n∈N＋时，1×1 3＋3×1 5＋… ＋（2n－1）1（2n＋1）＝2nn＋1.
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)归纳法的特点是由一般到特殊．( × ) (2)在运用数学归纳法时，要注意起点 n 一定取 1.( × ) (3)数学归纳法得出的结论都是正确的．( √ ) (4)数学归纳法中的两个步骤，第一步是归纳基础，第二步是归 纳递推，两者缺一不可．( √ ) (5)数学归纳法第二步不需要假设也可以得出结论．( × )
一 数学归纳法
第四讲 用数学归纳法证明不等式
1.了解数学归纳法的原理． 2.了解数学归纳法的使 用范围． 3.会用数学归纳法证明一些简单问题．
1．数学归纳法的定义 一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数 n0 的所有正 整数 n 都成立时，可以用以下两个步骤： (1)证明当__n_＝__n__0 ___时命题成立． (2)假设当_n_＝__k_(_k_∈__N_＋_且___k_≥__n_0_) 时命题成立，证明当_n_＝__k_＋__1__ 时命题也成立． 在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于 n0 的所 有正整数都成立，这种证明方法称为数学归纳法．
解：(1)由 a1＝1，得 a2＝3＋1＝4，a3＝32＋4＝13. (2)证明：用数学归纳法证明： ①当 n＝1 时，a1＝1＝31－2 1，所以等式成立． ②假设 n＝k(k∈N＋，k≥1)时等式成立， 即 ak＝3k－2 1，那么当 n＝k＋1 时， ak＋1＝ak＋3k＝3k－2 1＋3k＝3k－12＋2·3k＝3k＋21－1. 即 n＝k＋1 时，等式也成立． 由①②知等式对 n∈N＋都成立．
利用数学归纳法证明恒等式的注意点 利用数学归纳法证明代数恒等式时要注意两点：一是要准确表 达 n＝n0 时命题的形式，二是要准确把握由 n＝k 到 n＝k＋1 时，命题结构的变化特点，并且一定要记住：在证明 n＝k＋1 成立时，必须使用归纳假设．
1.用数学归纳法证明：n∈N＋时，1×1 3＋3×1 5＋… ＋（2n－1）1（2n＋1）＝2nn＋1.
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)归纳法的特点是由一般到特殊．( × ) (2)在运用数学归纳法时，要注意起点 n 一定取 1.( × ) (3)数学归纳法得出的结论都是正确的．( √ ) (4)数学归纳法中的两个步骤，第一步是归纳基础，第二步是归 纳递推，两者缺一不可．( √ ) (5)数学归纳法第二步不需要假设也可以得出结论．( × )
高中数学第四讲数学归纳法证明不等式复习课学案新人教A版选修4-5(2021年整理)
2018-2019学年高中数学第四讲数学归纳法证明不等式复习课学案新人教A版选修4-5编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年高中数学第四讲数学归纳法证明不等式复习课学案新人教A版选修4-5）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第四讲数学归纳法证明不等式复习课［整合·网络构建］[警示·易错提醒]1．数学归纳法的两个关注点．(1）关注用数学归纳法证题的步骤．第一步称“归纳奠基”，是递推链的起点；第二步称为“归纳递推”，是递推链具有传递性的保证．两步缺一不可，否则不能保证结论成立．（2）关注适用范围，数学归纳法适用于某些与正整数n有关的问题，这里n是任意的正整数，它可取无限多个值，但是，并不能说所有与正整数n有关的问题都可以用数学归纳法．2．数学归纳法的两个易错点．(1）在数学归纳法中，没有应用归纳假设．（2）归纳推理不到位．专题一数学归纳法在使用数学归纳法证明不等式时，一般来说,第一步,验证比较简明，而第二步归纳步骤情况较复杂．因此，熟悉归纳步骤的证明方法是十分重要的，其实归纳步骤可以看作是一个独立的证明问题，归纳假设“P(k)"是问题的条件,而命题P（k＋1）成立就是所要证明的结论,因此，合理运用归纳假设这一条件就成了归纳步骤中的关键．[例❶] 设0＜a＜1，定义a1＝1＋a，a n＋1＝错误!＋a,求证:对一切正整数n，有1＜a n＜错误!.证明:（1)当n＝1时，a1＞1，a1＝1＋a＜11－a，命题成立．（2)假设n＝k（k∈N＊）时,命题成立．即1＜a k＜错误!,当n＝k＋1时，由递推公式,知a k＋1＝错误!＋a＞(1－a）＋a＝1.同时,a k＋1＝错误!＋a＜1＋a＝错误!＜错误!,故当n＝k＋1时,命题也成立，即1＜a k＋1＜错误!，综合（1）(2)可知，对一切正整数n,有1＜a n＜错误!。
2020版高中数学第四讲用数学归纳法证明不等式4.1数学归纳法课件新人教A版选修4_5
知识梳理
重难聚焦
典例透析
(2)证明：用数学归纳法证明
当n=3时,a3=a1+2,等式成立. 假设当n=k(k≥3)时,等式成立,即ak=ak-2+2. 因为ak+1ak=(ak-1+2)(ak-2+2),ak=ak-2+2≠0, 所以ak+1=ak-1+2. 这就是说,当n=k+1时,等式也成立.
综上可知,对所有n≥3,n∈N+,有an=an-2+2, 即an=an-2+2,n=3,4,5,….
典例透析
题型三 利用数学归纳法解决几何中的有关问题
【例3】 平面内有n个圆,任意两个圆都相交于两点,任意三个圆不 相交于同一点,求证:这n个圆将平面分成f(n)=n2-n+2个部分(n∈N+).
分析：因为f(n)为n个圆把平面分割成的区域数,那么再有一个圆 和这n个圆相交,就有2n个交点,这些交点将增加的这个圆分成2n段 弧,且每一段弧又将原来的平面区域一分为二,所以增加一个圆后, 平面分成的区域数增加2n个,即f(n+1)=f(n)+2n.有了上述关系,数学 归纳法的第二步证明就很容易解决了.
变式训练1】 求证:x2n-y2n(n∈N+)能被x+y整除. 分析：本题是与正整数有关的命题,直接分解出因式(x+y)有困 难,故可考虑用数学归纳法证明. 证明：(1)当n=1时,x2-y2=(x+y)(x-y)能被x+y整除. (2)假设当n=k(k≥1,k∈N+)时,x2k-y2k能被x+y整除, 那么当n=k+1时,x2k+2-y2k+2
答案：D
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人教A版高中数学选修4—5《不等式选讲》简析
发 讨论 不等 式 的基 本性质 ，介绍 了基 本 不等 式及其 几何 解 释 ； 后讨论 绝对值 不等 式 的性质 、 然 几何 意义 及解 法。
析 问 题 、 解 决 问题 的 能 力 等 做 为 本 专 题 的基 本 目标 。 围绕 这一 目标 ，在 本 专 题 的 编 写 中 ，编 者着 重 考 虑 了
题 的能 力 。
一
教 科 书 将 其 做 为 重 点 内 容 进 行 了 介绍 。 用 反证 法 和 放
缩 法证 明 不等 式 是 新 引 入 的 内容 。 第 三 讲 介 绍 了柯 西 不 等 式 、 排序 不等 式 以及 它们 的简 单 应 用 。 教 科 书 按 照 二 维 形 式 的柯 西 不等 式 — — 几 何 解 释 — — 向 量 形 式 的 柯 西 不 等 式 — — 一 般 形 式 的 柯 西 不 等 式 的 顺 序 展 开 教学 内容 ， 注 意 与 二 次 函 数 、 并 函数 极值 、 归思 想 等 建 立 紧 密 联 系 ； 讨 论 排 序 不 等 化 在 式 时 ， “ 究— — 猜 想— — 证 明— — 应 用 ” 研 究 过 以 探 的 程 ， 导 学 生 通 过 自 己 的 数 学 活 动 ， 识 排 序 不 等 式 的 引 认 数学意 义、 明方法和简单应 用。 西 不等式、 序不 ‘ 证 柯 排
１＋ ≤ ｌ ＋Ｉ 、 ６ｌ ｌ ｌ Ｉ
型 如 Ｉ ＋ ≤ｃ ＋ ≥ｃ — ＋ ｌ ｂｌ ６ｌ 、Ｉ ６ Ｉ 、ｌ ｃｌ — ≥Ⅱ的
不等 式 ， 加 强 学 生从 “ 何 意 义 ” 察 不 等 式 的 意 识 ， 以 几 考
第 二讲 介 绍 了证 明不 等 式 的 基 本 方 法 ，这 些 方 法
是 深入 讨 论 不 等 式 问题 的基 础 ，所 以 本讲 也是 本专 题 的 基 础 内 容 。 证 明 不等 式 的 几 种 方 法 中 ， 较 法 （ 在 比 特 别 是 相减 比较 法 ） 证 明 不等 式 的最 基 本 的 方 法 ， 此 是 因
2020版高中数学第四讲用数学归纳法证明不等式本讲整合课件新人教A版选修4_5
提示：数列类问题用数学归纳法证明时,一般先用递推公式,后 用归纳假设.
知识建构
综合应用
真题放送
专题一
专题二
证明：(1)当
n=1
时,a1>1,a1=1+a<
1 1-������
,
显然命题成立.
(2)假设当 n=k(k∈N+,k≥1)时,命题成立,即 1<ak< 11-������.
则当 n=k+1 时,由递推公式,知
������+1.要证明������������+1+2 ������������+1 ≥
������+������ 2
������+1
, 只需证明
������������+1+������������+1 2
≥
(������+������)(������������+������������) 4
������
成立.
知识建构
综合应用
真题放送
专题一
专题二
2.放缩法 涉及关于正整数n的不等式,从“k”过渡到“k+1”,有时也考虑用放
缩法.
应用
3
求证:1+
1 2
+
1 3
+
⋯
+
1 2������-1
>
������ 2
(������∈N+).
提示：利用数学归纳法证明不等式关键是利用放缩、凑假设、
凑结论.但要注意从n=k变化到n=k+1时增加了多少项,减少了多少
������(������+1) 2
人教数学选修4-5全册精品课件：第四讲二用数学归纳法证明不等式
【思路点拨】
本题由递推公式先计算前几项，然
后再进行猜想，最后用数学归纳法进行证明；对于 (2)中的第①题，要利用数学归纳法进行证明；②利 用放缩法证明．
【解】 (1)由 a1＝2，得 a2＝a2－a1＋1＝3；由 a2＝ 1 3，得 a3＝a2－2a2＋1＝4；由 a3＝4，得 a4＝a2－3a3 2 3 ＋1＝5. 由此猜想：an＝n＋1(n∈N＋)． (2)①用数学归纳法证明： 当 n＝1 时，a1≥3＝1＋2，不等式成立； 假设当 n＝k(k≥1)时，不等式成立，即 ak≥k＋2. 那么当 n＝k＋1 时，ak＋1＝a2－kak＋1＝ak(ak－k)＋ k 1≥(k＋2)(k＋2－k)＋1＝2(k＋2)＋1≥k＋3＝(k＋1) ＋2，也就是说，当 n＝k＋1 时，ak＋1≥(k＋1)＋2. 综上可得，对于所有 n≥1，有 an≥n＋2.
＝k＋1成立时没有进行推证，而是直接写出结论, 这样是不符合数学归纳法要求的．
【自我校正】 (1)同上． (2)假设当 n＝k(k≥1)时，结论成立． kk＋1 k＋12 即 <ak< . 2 2 当 n＝k＋1 时，ak＋1＝ak＋ k＋1k＋2 kk＋1 kk＋1 > ＋ k＋1k＋2> ＋(k＋1) 2 2 k＋1[k＋1＋1] ＝ . 2
当 n＝k＋1 时， k＋1k＋2 ak＋1＝ak＋ k＋1k＋2> . 2 k＋2 2 又 ak＋1＝ak＋ k＋1k＋2<( )， 2 ∴当 n＝k＋1 时，结论也成立． 由(1)、(2)知，对一切 n∈N＋，不等式成立．
【错因】
错误出在(2)中，从n＝k成立，证明n
假设当n＝k时, 起始自然数)不等式成立 ______________________；第二步是_____________
4.1 数学归纳法 课件(人教A选修4-5)
[(3k＋3)＋1]· 7k＋1－1＝[3k＋1＋3]· 7· 7k－1＝
7· (3k＋1)· 7k－1＋21· 7k ＝[(3k＋1)· 7k－1]＋18k· 7k＋6· 7k＋21· 7k
k k k
由归纳假设(3k＋1)·k－1能被9整除，又因为 18k·k＋ 7 7
27·k也能被9整除，所以[3(k＋1)＋1]·k＋1－1能被9整除， 7 7
6．求证：平面内有n(n≥2)条直线，其中任意两条直线不
平行，任意三条直线不过同一点，求证它们彼此互相
分割成n2条线段(或射线) 证明：(1)当n＝2时，两条直线不平行，彼此互相分割 成4条射线，命题成立。 (2)假设当n＝k时，命题成立，即k条满足条件的直线彼 此互相分割成k2条线段(或射线)．那么n＝k＋1时，取 出其中一条直线为l，其余k条直线彼此互相分割成k2条
1 又 ×(12＋1＋2)＝2， 2 ∴n＝1 时命题成立． (2)假设 n＝k 时，命题成立，即 k 条满足题意的直线把 1 2 平面分割成了 (k ＋k＋2)个区域．那么当 n＝k＋1 时，k＋1 2 1 2 条直线中的 k 条直线把平面分成了 (k ＋k＋2)个区域，第 k 2 ＋1 条直线被这 k 条直线分成 k＋1 段，每段把它们所在的区
即n＝k＋1时命题成立．
则①②可知对所有正整数n命题成立．
4．用数学归纳法证明：
当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除． 证明：(1)当n＝1时，x＋y能被x＋y整除． (2)假设n＝2k－1时，x2k－1＋y2k－1能被x＋y整除，当n＝ 2k＋1时，x2k＋1＋y2k＋1＝x2k＋1＋y2k＋1＋x2y2k－1－x2y2k－1
1 2 何三条不共点，求证：这 n 条直线把平面分割成 (n ＋n＋2) 2 个区域．
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