静定结构弯矩图
结构力学二3-静定结构的内力计算
因此，计算多跨静定梁时应该是先附属后 基本，这样可简化计算，取每一部分计算时与 单跨静定梁无异。
例 计算下图所示多跨静定梁
4kN
（a)
A
2m
↓
10kN
B
↓
C
2m
D
2m
6kN/m
2m
2m
↓ ↓↓ ↓ ↓↓ ↓ ↓ ↓ ↓↓↓ E F
2m 2m
(b) B
10kN
C
解： 首先分析几何 组成:AB、CF为 基本部分，BC 为附属部分。 画层叠图(b) 按先属附后基 本的原则计算各 支反力(c)图。 之後，逐段作 出梁的弯矩图 和剪力图。
VB 4 10 4 得 6 67kN ← 10 4HB= 26.7 20 13.6 3 6.7kN· m 6 8 2
2
用叠加法作CD杆的弯矩图 VB×4－HB×6=0 杆中点的弯矩为：
例: 作图示结构弯矩图
Pl / 2 Pl / 2 l/2
P
P
l
P
Pl / 2
有突变
铰或 作用处 自由端 (无m）
m
Q图
M图
水平线
⊕
⊖㊀
Q=0 处 突变值为P 如变号 无变化
有极值 尖角指向同P 有极值 有突变 M=0 有尖角
斜直线
→
↑
利用上述关系可迅速正确地绘制梁的内力图（简易法）
结构力学 第三章 静定结构
E
1m 53kN
20kN
B
10
24
C
34
20
1 M C 18 2 6 22 24 2
弯矩图/kNm
34 20
24 34
剪力图/kN
18 6 21
33
用分段叠加法作直杆M 图的步骤
•(1)、竖：用截面法求杆端弯矩。 •(2)、联：将杆两端弯矩纵标联以直 线 •(3)、叠加：以联线为基础，叠加由 于杆跨上荷载所产生的简支梁弯矩 图。
5 1
1.25 2
M 图
15
(kN· m)
（3）、作剪力图:
•
• • • • • •
FP1=1kN
C
由杆件平衡计算杆端剪 力,再由规律作剪力图。 B CB杆：FQBC=+1kN 3 FQCB= ? MBA + =+3kN BE杆 1 + ：FQBE FQBA FQEB= ? 1 BA杆：FQBA=+1kN FQBC= ?
截面内力算式：
• 轴力=截面一边所有外力沿杆轴切线方 向的投影代数和 。 • 剪力=截面一边所有外力沿杆轴法线方 向的投影代数和。 • 弯矩=截面一边所有外力对截面形心的 力矩代数和。
三、内力与荷载的关系
qy
剪力图和弯矩图(史上最全面)
18
mA(Fi) 0 ,
Q(x)dx
1 2
q( x)(d x)2
M
(x)
[M
(x)
dM
(x)]
0
dM (x) dx
Q(x)
弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。
y M(x) Q(x)
q(x) Q(x)+d Q(x)
A
dx
M(x)+d M(x)
弯矩与荷载集度的关系是：
dM 2(x) dx2
与 M1
x
m
反
M
M2
M1 M2 40m
[例1] 绘制下列图示梁的弯矩图。
(1)
2P
M
a
a
P
Pa + x
=
=
2P
M1
–
x
2Pa
+
+
M2
2Pa
+
P
41 x
(2)
a
q
M
–
x
=
a q
qa2 M1
=+
侧），但须注明正、负号。
33
l P1 P1a
[例10] 试作图示刚架的内力图。
a
P1
P2
B
C
P2 A
+
+ Q图
建筑力学弯矩图剪力图
MB
MA
+
8
MB
ql2 MA MB
8
2
整理课件
50
MA
q
L
MB MA
q
+
MB
L
MA
1 qL2 8
MB
中点M=
MAMB 1qL2 28
整理课件
51
即： +
MA
1 qL2 8
整理课件
MB
52
分段叠加法作弯矩图:杆端弯矩图叠加 上简支梁上对应荷载（均布荷载q或中点 集中力P）的标准弯矩图；
叠加：是指弯矩图纵坐标的代数和， 而不是弯矩图的简单拼合。
P
q
A
1
1B 2
2
2
2
整理课件
7
解： 1．求梁的支座反力。
由整体平衡可求： X A 0 ,Y A 3 N ,Y B 1N 5
2．求1－1截面上的内力
杆上外力均为已知，可求任意截面的内
力。如截面1－1，取左段为分离体，如
图所示。
P
YA 2m
M1 Q1
1m
整理课件
8
由 X0,N10
由 Y 0 ,Q 1 4 2 1 5 7 (N )
取分段分离体求剪力控制截面值，但如 果M图已知，不求约束反力也可确定分 段杆端的剪力控制截面值。
结构力学I-第三章 静定结构的受力分析(桁架、组合结构)
C F NCE
FNCF FNCD
④ 取C点为隔离体
5 kN 2m
10 kN E
10 kN 10 kN
C 5 kN
F
A 20 kN
G
D
HB
2 m 4=8 m
20 kN
X 0， FNCE FNCF 0
Y 0，
得
10kN 2FNCE sin FNCD 0
FNCD
00:44
静定平面桁架
• 桁架的内力计算
– 结点法：例1
10 kN
E
FNEC
F NEA
FNED
5 kN 2m
10 kN E
10 kN 10 kN
C 5 kN
F
A 20 kN
G
D
HB
2 m 4=8 m
20 kN
③ 取E点为隔离体，由
X 0
FNEC cos FNED cos FNEA cos 0
结构力学I 第一部分 静定结构
结构力学I
第三章 静定结构的受力分析
2020年4月25日
• 主要内容
– 梁的内力计算的回顾 – 静定多跨梁 – 静定平面刚架 – 静定平面桁架 – 静定组合结构 – 三铰拱
回顾
回顾
• 梁与刚架结构
– 梁: 受弯构件，但在竖向荷载下不产生水平推力； 梁轴线通常为直线（有时也为曲线）；
结构力学-静定梁与静定刚架
A BC
DE F
17 26
4) 作FS图 17 9
AB C
M图（kN·m） FS图（kN）
7 23 30
DE 7
F 7
22
例3-1-2 作图示单跨梁的M图和FS图。
80kN·m 160kN
40kN/m
40kN
只有线性变形体才适用叠加原理。
A提简示单：拼决合不，q是而两是个每图一形截B的面 弯M矩A 值的叠M加B。
A
B
MA
MB
MA
MB
+q
A
B
15
现在讨论分段叠加法的做法，见下图。
A FP
q
m B
C
D
FP
q
m
A
CC
DD
B
MC
MC MD
MD
FP A
q CC
DD
mB
MC
MC MD
MD
16
FP
q
A
C
m B
D
A
24
80kN·m 160kN
40kN/m 40kN
A BC
D
E
F
1m 1m 2m 130kN 取右图AD段为隔离体：
弯矩图100题练习新编及解答
静定结构弯矩图100题练习
结构力学课程组编
快速绘制M图练习指导
一、方法步骤
1.确定支反力的大小和方向（一般情况心算即可计算出支反力）
●悬臂式刚架不必先求支反力；
●简支式刚架取整体为分离体求反力；
●求三铰式刚架的水平反力以中间铰C的某一边为分离体；
●对于主从结构的复杂式刚架，注意“先从后主”的计算顺序；
●对于复杂的组合结构，注意寻找求出支反力的突破口。
2. 对于悬臂式刚架，从自由端开始，按照分段叠加法，逐段求
作M图（M图画在受拉一侧）；
对于其它形式的刚架，从支座端开始，按照分段叠加法，逐段求作M图（M图画在受拉一侧）。
（学会“局部悬臂梁法”求截面弯矩）
二、观察检验M图的正确性
1.观察各个关键点和梁段的M图特点是否相符
●铰心的弯矩一定为零；
●集中力偶作用点的弯矩有突变，突变值与集中力偶相等；
●集中力作用点的弯矩有折角；
●均布荷载作用段的M图是抛物线，其凹凸方向与荷载方向
要符合“弓箭法则”；
2.结构中的链杆（二力杆）没有弯矩；
3.结构中所有结点的杆端弯矩必须符合平衡特点。（要熟练掌握
目测判断）
静定结构弯矩图百题练习
一、悬臂梁
二、简支梁
三、外伸梁
四、多跨梁
五、斜梁
六、悬臂式刚架
七、简支式刚架
八、三铰式刚架
九、复杂刚架
结构力学弯矩图绘制100题
本科生静定结构弯矩图绘制试题
姓名： 专业： 班级： 成绩：
请作出下列图示结构弯矩图（每题1分，共100题，满分100）
(14)(13)(12)
(11)(10)(9)
(8)
(7)(6)
(5)(4)(3)
(2)(1)一、梁
q
q
q
q
q
q q
2q
q
(22)
(21)
二、悬臂式刚架
(18)
M=2qa
q
M=PL
(28)
(26)
(24)
(23)
q
q
(33)
(32)
(30)
(29)
q
(40)
(39)
(38)
(37)
(36)
(35)
三、简支式刚架
q
2
2
qa 2
(46)
(45)
(41)
q
q
(53)
(50)
(51)
(48)
(47)
a a
a
a M
a
a
2a
P
P
L
L
L 1.5L L
q
L
q
(49)
q
(52)
(53)
(50)
(51)
(48)
(47)
M
q
四、三铰式刚架
(56)
(55)
(54)
(58)
(57)
q
q
q
(62)
(63)
(64)
(66)
(68)
(69)
(67)
q
五、复杂刚架
q
(76)
(77)
(74)
(72)
(75)
q
(73)
2
q
(79)
4m
P q=10kN/m
2m (82)
2m 2m 2m 4m
2kN
2a
a (80)
a 2a
qa
q
a
a
(78)
a a
a
a
a
a
a
(81)
a
a
a P qa
a
(86)
(83)
(87)
(88)
(90)
(89)
15
P
(92)
(98)
(96)
(97)
结构力学 4静定结构受力分析-刚架
C
铰结 点处 无弯 矩
B
×
A （e）
×
A
（f）
B
× ×
铰上无弯矩
×
注意这个铰，该处支座 反力沿着杆件轴线方向 ，不产生弯矩
集中力偶处弯矩有突变
×
（ j）
弯矩图正误判断 M图与荷载的对应关系 M图与结点性质、约束情况 作用在结点上的各杆端弯矩及结点集中力偶 不满足平衡条件。 在自由端、铰支座、铰结点处，无集中力偶 作用，截面弯矩等于零，有集中力偶作用， 截面弯矩等于集中力偶的值。 刚结点上各杆端弯矩及集中力偶应满足结点 的力矩平衡。两杆相交刚结点无集中力偶作 用时，两杆端弯矩等值，同侧受拉。
∑X =0 N BD = 0
M图 图
∑Y = 0 QBD = 20kN
∑MD = 0 M BD = 160kN m
NBA
80 20
20kN/m
B 2m
2m
B
160
160
40
D
MBA
QBA
B 20kN/m 4m
20 60
40
A M图 (KNm) 图
80
A
20
80
Q图(KN) 图
B
160
160
40
D
∑ MC = 0
注意： 注意：
O
寻找建立相互独立的支座反力的静力平衡方程， 寻找建立相互独立的支座反力的静力平衡方程， 可以大大降低计算反力的复杂程度和难度。 可以大大降低计算反力的复杂程度和难度。 这个刚架对哪点 取矩简单呢？
弯矩图绘制方法汇总
基本性质 派生性质 零载法
静定结构基本性质
第三章
静定梁与静定刚架
满足全部平衡条件的解答是静定结构的唯 一解答 证明的思路：
静定结构是无多余联系的几何不变体系，用刚体虚位移 原理求反力或内力解除约束以“力”代替后，体系成为单 自由度系统，一定能发生与需求“力”对应的虚位移，因 此体系平衡时由主动力的总虚功等于零一定可以求得“力” 的唯一解答。
4 8 2 2
铰处的M为零，且梁上无集中荷载作用， M图为一无斜率变化的斜直线。
2
ql 2 2 2
4 2
ql 2 2 8
2
4
第三章
静定梁与静定刚架
例7 试作图示刚架弯矩图的形状。
m
ql 2 2
m
mm
P
m Q= 0，M为一直线 P
第三章
静定梁与静定刚架
3-5 静定结构的特性
.1 静力解答的唯一性 静定结构的全部反力和内力均可由静力平衡条件求得， 且其解答是唯一的确定值。
Q= 0，M为一直线
第三章
静定梁与静定刚架
例5 试作图示刚架的弯矩图。
2Pa
2Pa
2Pa 3Pa P
铰处的M为零，且梁 上无集中荷载作用， M图为一无斜率变化 的斜直线。
Q= P，M 为一斜线
P Q= 0，M为一直线 3Pa
第二章静定结构的受力分析
第二章静定结构的受力分析
第一节静定结构的特性
一、静定结构的性质
( )
( )
2-1-7 图2-1-7所示结构 B 。（ ） 2-1-8 图2-1-8示结构中
|（二）选择题
2-2-1 A .C .有内力、无位移、无应变； D .无内力、无位移、有应变。 2-2-2 对于一个静定结构，下列说法错误的有哪些：( ) A .只有当荷载作用于结构时，才会产生内力； B .环境温度的变化，不会产生内力;
C .杆件截面尺寸及截面形状的任意改变均不会引起内力改变;
D .制造误差与支座沉降可能使得结构形状发生变化，因此可能产生内力。 2-2-3 静定结构由于支座沉降(位移)或制造误差，结构内部将：( ) A .有内力、有位移； B .无内力、有位移； C .有内力、无位移； D
.无内力、无位移。
2-2-4 静定结构由于支座沉降(位移)，结构内部将：( ) A .有应变、有位移； B .无应变、有位移; C .有应变、无位移; (D)无应变、无位移。
（三）填空题
2-3-1
2-3-2 。 2-3-3 已知AB 梁的值为__________ kN ·m
2-3-7 比较图2-3-3a、b
三、习题答案
2-1-1 O
2-1-2 X
2-1-3 O；
2-1-4 O。提示：ACB为附属部分，根据性质7。
2-1-5 X。提示：静定结构在温度变化时不产生内力。
2-1-7 X。提示：附属部分上无荷载，因此附属部分无内力和反力。
2-1-8 O。提示：静定结构内力图与杆件刚度无关，因此该结构为对称结构受反对称荷载。
2-2-1 B；
弯矩图100题练习 有答案
静定结构弯矩图100题练习答案
华中科技大学土木工程与力学学院
结构力学教研室2009年
静定结构弯矩图百题练习答案
2
2
qL
48
4
qL
2
q
q
q
q q q
一、梁
(2)(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)(9)
(10)
(11)
(12)
(13)(14)
M
2
qL2
qL2
2
+
2
5qL
32
(22)
q
2
2
17qa 8qa 2
22
(21)
(20)
(19)二、悬臂式刚架
2
PL
22
2qa
(28)
(27)(26)
(25)(24)
(23)
q
22
2
2
2
2cosα
qL2
2
2
qL
(33)
(32)
(30)
(29)
q
2
2
Pa 2
(40)
(39)
(38)
(37)
(36)
(35)
三、简支式刚架2
2
qa 2
7qL
4
(41)
q
(46)
M
M
2
Pa 2
P P 2
无弯矩
N=P/2
2
2qL 2qL 2
22(52)
(53)
(50)
(51)
(48)
(47)
a a
a
a
M
a
a
2a
P P
L
L
L
1.5L L
L
L
q
L
q
M
Pa 2
qa 8
22q q
(49)
2qL
PL PL 2
qL
(52)(53)
(48)
(47)
M
2L
L
L
9qa/2
(58)
(57)
(56)
(55)
(54)
q=20kN/m
四、三铰式刚架
2
2qa/3
2
PL
(64)
(62)
q
2
2
qa/2
M qa2
2
2
2(68)
(67)
(66)
2M/2
2
2qL/2
(76)
(75)
(74)
(73)
(72)
五、复杂刚架
q
(78)
(79)
(80)
(81)
(82)
6Pa
2qa 2
2
(86)
(85)
(83)
(90)
(89) (88)
(87)
2
(93)
(92)
(91)
(96)
(97)
(98)
2Pa
《结构力学》静定结构的内力分析(上)
4kN·m
8kN·m
2kN/m
3m
3m
2m
（1）悬臂段分布荷载作用下
4kN·m 2kN·m
（2）跨中集中力偶作用下
4kN·m
4kN·m
（3）叠加得弯矩图
6kN·m
4kN·m
2kN·m
分段叠加法作弯矩图的方法：
（1）选定外力的不连续点（集中力作用点、集中力偶作用点、分布荷载的 始点和终点）为控制截面，首先计算控制截面的弯矩值； （2）分段作弯矩图。当控制截面间无荷载时，弯矩图为连接控制截面弯矩 值的直线；当控制截面间存在荷载时，弯矩图应在控制截面弯矩值作出的直 线上再叠加该段简支梁作用荷载时产生的弯矩值。 几点注意： 1、弯矩图叠加是竖标相加，而不是图形的拼合。叠加上的竖标要垂直杆轴线。 2、为了顺利地利用叠加法绘制弯矩图，应牢记简支梁在跨中荷载下的弯矩图。 3、利用叠加法绘制弯矩图可以少求一些控制截面的弯矩图。 4、利用叠加法绘制弯矩图还可以少求一些支座反力。 5、对于任意直杆段，不论其内力是静定还是超静定，不论是等截面杆还是变
Q
Q 方向的合力, 使杆微段有顺时针
方向转动趋势的为正，画剪力
图要注明正负号；
M
M 弯矩：截面上应力对截面形心的
力矩之和，不规定正负号。弯矩
图画在杆件受拉一侧，不注符号。
二、用截面法求指定截面内力
剪力图和弯矩图(史上最全面)
利用内力和外力的关系及特殊点的内力值来作图的方法。
38
三、 叠加原理： 多个载荷同时作用于结构而引起的内力等于每个载荷单
独作用于结构而引起的内力的代数和。
Q ( P 1 P 2 P n ) Q 1 ( P 1 ) Q 2 ( P 2 ) Q n ( P n )
M ( P 1 P 2 P n ) M 1 ( P 1 ) M 2 ( P 2 ) M n ( P n )
q AB
RA qa Q qa/2
+ – qa/2
qa2 CD
RD
– qa/2
M
qa2/2
+
–
3qa2/8 qa2/2
qa2/2
解：求支反力 RAq2a ;RDq2a
左端点A：
Q qa;M 0 2
x
B点左： Qqa;M1qa2
2
2
B点右： Qqa;M1qa2
2
2
C点左： Qqa;M1qa2 M 的驻点：Q02;M3q2a2
驻点等。
21
qa
q
A
a
a
Q
–
qa M
– qa2
左端点：Qq;aM0
线形：根据 dQ dxxqx ；
x
dM(x) dx
Q(x)；
dM2(x) dx2
q(x)
及集中载荷点的规律确定。
结构力学 静定结构——梁
6m
FAY 20 4 60 20kN
A 4m
B 4m
取右半部分为隔离体：
0 FAX 20 4 8 10kN
由式1： FBX 10kN
§3-1 梁的内力计算回顾
2）画弯矩图 （1）几种简单荷载的弯矩图
▲ 简支梁在均布荷载
q qL2/8
FP
作用下的弯矩图
FPL/4
Fp q(x) M
y
p(x)
dx
x
dFQ dFN dM FQ , q( x ) , p( x ) dx dx dx
M FN
q(x)
M+dM
dx
FQ
FN+d FN P(x) F ＋dF Q Q
§3-1 梁的内力计算回顾
无何载区段 均布荷载区段
↓↓↓↓↓↓
集中力作用处 发生突变
集中力偶作用处
Y 0
FY A 8 4 4 7 17kN
c、求分段点C、E点的弯矩值：
§3-1 梁的内力计算回顾
取AC为隔离体
1m
8
1m
A 17
C
MC
FQCA
M
C
0
M C 17 2 8 1 26kN m
取EG为隔离体
ME
16kN∙m
M
结构力学第三章静定结构受力分析1-6
A Q
qy
B
Biblioteka Baidu
N
M
m
Px Py
ΔM=m
N+ΔN M+ΔM
增量关系说明了内力图的突变特征 由微分关系可得 右端剪力等于左端剪力减去 3） 积分关系： 该段qy的合力； QB=QA－∫qydx 右端弯矩等于左端弯矩加上 MB＝MA+∫Qdx 该段剪力图的面积。
7
内力图形状特征
5
例：求截面1、截面2的内力 N2=50 －141×cos45o
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
5kN/m
1
=－50kN Q2= －141×sin45°＝－100kN
1 2 2
50kN
M2＝ 50×5 －125－141×0.707×5 ＝－375kN.m + M2＝375kN.m （左拉） N1=141×0.707=100kN
1
Statically Determinate Beam and Plane Frame
基本要求：
掌握结构的支座反力的计算，结构的 剪力和轴力计算的两种方法，内 力图的形状特征和绘制内力图的 叠加法。 熟练掌握绘制弯矩图各种技巧，能迅 速绘制弯矩图。 理解恰当选取分离体和平衡方程计算 静定结构内力的方法与技巧。会 根据几何组成寻找求解途径。
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静定结构弯矩图百题练习
(14)(13)(12)
(11)(10)(9)
(8)(7)(6)
(5)(4)(3)
(2)(1)一、梁
q
q
q
q
q
q q
2q
q
(22)
(21)
二、悬臂式刚架
(18)
M=2qa
q
M=PL
(28)
(26)
(24)
(23)
q
q
(33)
(32)
(30)
(29)
q
(40)
(39)
(38)
(37)
(36)
(35)
三、简支式刚架
q
2
2
qa 2
(46)
(45)
(41)
q
q
(53)
(50)
(51)
(48)
(47)
a a
a
a M
a
a
2a
P
P
L
L
L 1.5L L
q
L
q
(49)
q
(52)
(53)
(50)
(51)
(48)
(47)
M
q
(58)
(57)
8
四、三铰式刚架
(56)
(55)
(54)
q
q
q
(62)
(63)
(64)
(66)
10
(68)
(69)
(67)
q
五、复杂刚架
q
(76)
(77)
(74)
(72)
(75)
q
(73)
2
q
(79)
4m
P q=10kN/m
2m (82)
2m 2m 2m 4m
2kN
2a
a (80)
a 2a
qa
q
a
a
(78)
a a
a
a
a
a
a
(81)
a
a
a P qa
a
(86)
(83)
(87)
(88)
(90)
(89)
15
P
(92)
16