九年级数学下册26.1二次函数练习(含解析)

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新人教版九年级数学下册 26.1.1 二次函数同步练习(含答案)

26.1.1 二次函数
1. 下列五个函数关系式：①25y ax x =-+，②y ＝－x 2＋1，③y ＝32
＋2x ，④2325y x x =--，⑤2256
y x x =-+.其中是二次函数的有（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2. 下列结论正确的是（）
A ．关于x 的二次函数y ＝a (x ＋2)2中，自变量的取值范围是x ≠－2
B ．二次函数自变量的取值范围是所有实数
C ．在函数y ＝－x 22
中，自变量的取值范围是x ≠0 D ．二次函数自变量的取值范围是非零实数
3. 如图，直角三角形AOB 中，AB ⊥OB ，且AB =OB =3，设直线x =t 截此三角形所得的阴影部
分的面积为S ，则S 与t 之间的函数关系式为（）
A ．S=t
B ．212S t =
C ．S=t 2
D ．2112
S t =- 4. 当m =_________时，2(2)m m y m x +=+是关于x 的二次函数．
5. 国家决定对某药品价格分两次降价，若设平均每次降价的百分率为x ，该药品原价为18
元，降价后的价格为y 元，则y 与x 之间的函数关系式为．
参考答案
1．B
2．B
3．B
4．1
5．y=18(1－x)2。

九年级数学下册第26章二次函数26.1二次函数练习华东师大版(2021年整理)

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26.1 二次函数知|识｜目｜标1．通过对教材“问题1”“问题2”中所列函数关系式共同点的探索,归纳出二次函数的定义,并会判断一个函数是不是二次函数．2．类比根据实际问题列出一次函数关系式的方法，能根据实际问题或几何图形写出二次函数的关系式及自变量的取值范围．目标一能识别二次函数例1 教材补充例题下列函数：①y＝x＋2；②y＝2x2；③y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数）；④y＝错误!;⑤y＝x(x＋1)；⑥y＝－错误!x2－x＋2；⑦y＝(x＋1）2－x(x＋1）．其中y一定是x 的二次函数的有哪些？请指出二次函数中相应的a,b,c的值．【归纳总结】1．一个函数是二次函数必须同时满足:（1）函数关系式是整式；(2）化简后自变量的最高次数是2；（3）二次项系数不等于零．三者缺一不可．2．确定二次函数中各项系数时，应先将关系式化为一般形式，注意各项系数应包括它前面的符号．目标二会列二次函数关系式例2 教材练习第1题针对训练如图26－1－1，有长为30 m的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度为15 m）围成中间隔有一道篱笆的长方形菜园．设菜园的一边AB＝x m，总面积为S m2，求S关于x的函数关系式，并确定自变量x的取值范围．图26－1－1【归纳总结】列二次函数关系式“三步法”：(1)审清题意,找到实际问题中的已知量（常量)和未知量（变量），分析各量之间的关系,找出等量关系．（2)根据实际问题中的等量关系,列出二次函数关系式,并化成一般形式．(3）根据实际问题的意义及所列函数关系式，确定自变量的取值范围．知识点一二次函数的概念定义：形如__________________________________的函数叫做二次函数．其中x是自变量，ax2，bx，c分别是二次函数的二次项、一次项和常数项．a，b，c分别是二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项．自变量x的取值范围是__________．知识点二列二次函数关系式根据题意用自变量表示出题目中的相关量,然后列出函数关系式．列出函数关系式后,要注意标明自变量的取值范围．当m为何值时，y＝(m＋1）是关于x的二次函数？解：令x的指数是2，即m2－3m－2＝2，解得m1＝－1，m2＝4。

九年级数学下册26.1二次函数练习(含解析)(新版)华东师大版

26.1二次函数同步练习一、选择题 1.函数432-+=x xy ( )A ．一次函数B ．二次函数C ．正比例函数D ．反比例函数答案：B解析：解答：因为函数中二次项的系数03≠，函数形式符合二次函数．故选：B ．分析：根据二次函数的定义形如c bx axy ++=2，()0≠a 判断函数是否是二次函数．2．在下列y 关于x 的函数中，一定是二次函数的是（） A ．2xy =B ．21xy = C ．2kx y = D ．x k y 2=答案：A解析：解答：A.符合二次函数定义形式，是二次函数；B.是分式方程，故B 错误；C.当k =0时，不是函数，故C 错误；D.当k =0是常函数，故D 错误．故选：A ．分析：根据二次函数的定义形如c bx axy ++=2，()0≠a 是二次函数．3.对于任意实数m ,下列函数一定是二次函数的是( ) A ．()221xm y -=B ．()221xm y +=C ．()221x m y +=D ．()221x my -=答案：C解析：解答：A.当m =1时，二次项系数等于0，不是二次函数，故错误；B.当m =-1时，二次项系数等于0，不是二次函数，故错误；C.无论m 取何值，12+m 总大于或等于1，即无论m 取何值，12+m 都不等于0，符合二次函数概念，是二次函数，故正确．故选：C ．分析：根据二次函数的定义形如c bx axy ++=2，()0≠a 是二次函数．4. 二次函数532+=x y 的二次项系数是( ) A.3 B.2 C.5 D.0 答案：A解析：解：二次函数532+=x y 的二次项系数是3，一次项系数是0．故选：A ．分析：本题考查二次函数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．5．下列各式中，y 是x 的二次函数的是（） A ．22=+x xyB ．0222=+-y x C ．21xy =D ．02=-x y答案：B解析：解：A.整理为y=22x x x-+不是二次函数，故A 错误； B.0222=+-y x变形，得1212+=x y ，是二次函数，故B 正确；C.分母中含自变量，不是二次函数，故C 错误；D.y 的指数是2，y 不是x 的二次函数，故此选项错误．故选：B ．分析：整理成一般形式后，根据二次函数的定义判定即可． 6．下列函数中，属于二次函数的是（）A ．x y 2=B ．()()312-+=x x yC ．23-=x yD ．xx y 12+=答案：B 解析：解：A.xy 2=是反比例函数，故本选项错误； B.()()6423122--=-+=x xx x y ，是二次函数，故本选项正确；C.23-=x y 是一次函数，故本选项错误；D.xx x x y 112+=+=，不是二次函数，故本选项错误．故选：B ．分析：根据反比例函数的定义，二次函数的定义，一次函数的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．7．已知函数()5621--+=m m xm y 是二次函数，则m 等于（）A ．7B ．-2或7C ．﹣1D ．以上都不对答案：A 解析：解：∵()5621--+=m m xm y 是二次函数，∴2562=--m m ，∴m =7或m =﹣1（舍去）．故选A ．分析：根据二次函数的定义列出关于m 的方程，求出m 的值即可． 8．下列函数是二次函数的是（） A ．12+=x y B ．12+-=x y C ．22+=x y D ．221-=x y答案：C解析：解：A.12+=x y ，是一次函数，故此选项错误； B.12+-=x y ，也是一次函数，故此选项错误； C.22+=x y 是二次函数，故此选项正确；D.221-=x y ，是一次函数，故此选项错误．故选：C ．分析：直接根据二次函数的定义判定即可． 9．下列函数中，属于二次函数的是（）A ．32-=x yB ．()221x x y -+=C ．x x y 722-= D ．22x y -= 答案：C解析：解：A.函数32-=x y 是一次函数，故本选项错误； B.由原方程化简，得12+=x y ，属于一次函数，故本选项错误； C.函数x x y 722-=符合二次函数的定义；故本选项正确；D.22xy -=不是整式；故本选项错误．故选:C ．分析：二次函数是指未知数的最高次数为二次的多项式函数．二次函数可以表示为c bx axy ++=2，()0≠a ．10．下列四个函数中，一定是二次函数的是（）A ．x xy +=21 B ．c bx ax y ++=2 C ．()227+-=x x y D ．()()121-+=x x y答案：D解析：解答：解：A.x xy +=21中未知数的最高次数不是2，故本选项错误； B.c bx axy ++=2二次项系数a =0时，c bx ax y ++=2不是二次函数，故本选项错误；C.∵()()4914121--=-+=x x x y ，即4914--=x y ，没有二次项，故本选项错误；D.由原方程得，122--=x x y ，符合二次函数的定义，故本选项正确．故选：D ．分析：根据二次函数的定义解答． 11．已知函数①45-=x y ，②x x t 6322-=，③38223+-=x x y ，④1832-=x y ，⑤2132+-=xx y ，其中二次函数的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4答案：B解析：解：①45-=x y ，③38223+-=x xy ，⑤2132+-=xx y 不符合二次函数解析式， ②x x t6322-=，④1832-=x y 符合二次函数解析式，有两个．故选B ．分析：首先去掉不是整式的函数，再利用二次函数的定义条件判定即可． 12.下列函数关系中，可以看做二次函数c bx ax y++=2，()0≠a 模型的是（）A.在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系B.我国人口年自然增长率1%，这样我国人口总数随年份的关系C.竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）D.圆的周长与圆的半径之间的关系答案：C解析：解：A.距离一定，汽车行驶的速度与行驶的时间的积是常数，即距离，速度与时间成反比例关系；B.设原来的人口是a ，x 年后的人口数是y ，则()x a y%11+=，是正比例函数；C.竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）是二次函数．D.设半径是r ，则周长r C π2=，是一次函数关系．故选C ．分析：根据实际问题中的数量关系及二次函数的模型，逐一判断． 13.若函数()1222--+=m m xm m y是二次函数,那么m 的值是( )A.2B.-1或3C.3D.1-答案：C 解析：解：∵()1222--+=m m x m my 是二次函数，∴2122=--m m ，∴m =3或m =-1．当m =-1时02=+m m ，所以m =3故选C ．分析：根据二次函数的定义列出关于m 的方程，求出m 的值即可． 14.下列函数中,是二次函数的是( ) A.182+=x yB.18+=x yC.x y 8=D.28xy =答案：A解析：解答：A 符合二次函数定义形式，是二次函数；B 一次函数，故B 错误；C 是反比例函数，故C 错误；D 不符合二次函数定义形式，故D 错误．故选：A ．分析：根据二次函数的定义形如c bx ax y ++=2，()0≠a 是二次函数．15.若()222--=m xm y 是二次函数,则m 等于( ) A ．2B ．-2C ．±2D ．不能确定答案：B解析：解答：根据二次函数的定义,得222=-m ,解得m =2或m =-2,又2-m ≠0,即m ≠2,故当m =-2时,这个函数是二次函数. 故选：B ．分析：根据二次函数的定义可得答案．二、填空题 16. 关于x 的函数()()m x m x m y +-++=112,当m =0时,它是________函数;当m =-1时,它是________函数. 答案：二次|一次解析：解答：当m =0时,函数关系式可化为x x y -=2,是一个二次函数;当m =-1时,函数关系式可化为12--=x y,是一次函数．分析：将m =0和m =1分别代入等式中再进行判断． 17．已知()ax x a y++=21是二次函数，那么a 的取值范围是_________答案：a ≠﹣1解析：解答：根据二次函数的定义可得a +1≠0，即a ≠﹣1．分析：根据二次函数的定义条件列出不等式求解即可． 18．已知()322-++=x x a y是关于x 的二次函数，则常数a 应满足的条件是_________．答案：a ≠﹣2 解析：解答：由()322-++=x x a y 是关于x 的二次函数，得02≠+a ．解得a ≠﹣2，故答案为：a ≠﹣2．分析：根据形如c bx ax y ++=2，()0≠a 是二次函数，可得答案．19．已知()kk xk y ++=22是二次函数，则k 的值为_________．答案：1解析：解答：∵()kk xk y ++=22是二次函数，∴22=+k k 且k +2≠0，解得k =1，故答案为：1．分析：利用二次函数的定义列方程求解即可． 20．已知方程02=++cy bx ax（0≠a ，b 、c 为常数），请你通过变形把它写成你所熟悉的一个函数表达式的形式．则函数表达式为_________，成立的条件是_________，是 _________函数．答案：x cbx c a y --=2|a ≠0，c ≠0|二次．解析：解答：整理得函数表达式为x cbx c a y --=2，成立的条件是a ≠0，c ≠0，是二次函数．故答案为：x cbx c a y --=2；a ≠0，c ≠0；二次．分析：函数通常情况下是用x 表示y ．注意分母不为0，二次项的系数不为0．三、解答题 21.已知函数()35112-+-=+x xm y m y 是二次函数，求m 的值．答案：解答：()35112-+-=+x xm y m 是二次函数，得21012m m ì-?ïïíï+=ïî解得m =﹣1．解析：本题考查了二次函数的定义，注意二次项的系数不等于零，二次项的次数是2．分析：根据二次函数是c bx ax y ++=2的形式，可得答案．22. 已知函数()2222+-+=m m xm my ．(1)当函数是二次函数时,求m 的值．答案：解答：(1)依题意,得2222=+-m m ,解得m =2或m =0; 又02≠+m m ,解得m ≠0且m ≠-1;因此m =2.(2)当函数是一次函数时,求m 的值．答案：解答：依题意,得1222=+-m m ,解得m =1; 当m =1时,02≠+m m ,因此m =1.解析：本题考查了二次函数和一次函数的定义，注意二次项的系数不等于零，二次项的次数是2，所以令2222=+-m m 且02≠+m m 即可．同理第二问令1222=+-m m 即可求解.分析：根据二次函数是c bx ax y ++=2,()0≠a 的形式，可得答案．23．己知()m xm y m ++=21是关于x 的二次函数，且当x ＞0时，y 随x 的增大而减小．求：（1）m 的值．答案：解答：（1）∵()m xm y m ++=21是关于x 的二次函数，∴22=m ，解得m =，∵当x ＞0时，y 随x 的增大而减小， ∴m+1＜0，m =﹣，m =（不符合题意，舍）；（2）求函数的最值．答案：解答：当x =0时，y 最大=m =﹣．解析：（1）根据()m xm y m ++=21是关于x 的二次函数，可得22=m ，再由当x ＞0时，y 随x 的增大而减小，可得m +1＜0，从而得出m 的值；（2）根据顶点坐标即可得出函数的最值．分析：本题考查了二次函数的定义，利用了二次函数的定义，二次函数的性质． 24．已知()()212232m x m x m my m x +-+-=--是x 的二次函数，求出它的解析式．答案：解答：根据二次函数的定义可得：2122=--m m ，且02≠-m m ，解得 m =3或m =﹣1；当m =3时，962+=xy ；当m =﹣1时，1422+-=x x y ；综上所述，该二次函数的解析式为：962+=x y 或1422+-=x x y ．解析：本题考查二次函数的定义．一般地，形如c bx axy ++=2,()0≠a 的函数，叫做二次函数．其中x 、y 是变量，a 、b 、c 是常量，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．c bx ax y ++=2,()0≠a 也叫做二次函数的一般形式．分析：根据二次函数的定义列出不等式求解即可．25．函数()()31--=x kx y ，当k 为何值时，y 是x 的一次函数？当k 为何值时，y 是x 的二次函数？答案：解答：∵()()()313333122++-=+--=--=x k kx x kx kx x kx y ，∴k =0时，y 是x 的一次函数，k ≠0时，y 是x 的二次函数．解析：利用一次函数与二次函数的定义分别分析得出即可．。

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2
－
3，如果
y 随 x 的增大而减小，那么
x 的取值范围是 ______.
2．抛物线 y= (x-1) 2+2 的对称轴是直线 ____顶点坐标为 ____。
3 ．抛物线 y 3(x 1)2 2 可由抛物线 y 3 x 2 先向 ____ 平移 ______ 单位，再向 _____ 平移
_______ 单位得到。
1
1．形如 _______ ________ 的函数叫做二次函数 .
2．扇形周长为 10，半径为 x，面积为 y，则 y 与 x 的函数关系式为 _______________ 。
3．下列函数中 , 不是二次函数的是 ( )
A.y=1- 2 x 2
B.y=2(x-1) 2+4 C.y= 1 (x-1)(x+4) D.y=(x-2)
式 :a____0,b____0,c_____0;a+b+c_____0,a-b+c_____0.
2．函数 y=(x+1)(x-2) 的图像的对称轴是 _____, 顶点为 ____.
2
3．若二次函数 y=x － 2x+c 图象的顶点在 x 轴上，则 c 等于 ( )
A. － 1 B.1 4．已知一次函数
3 ．如果二次函数 y x2 2 x c 的图象过点（ 1 ， 2 ），则这个二次函数的解析式为
_____________ 。
4．抛物线 y=x2+1 的图象大致是（
）
y
y
y
y
O
-1
x
O
-1
x
1
O
x
1

九年级数学下第26章二次函数26.1二次函数及其图象2二次函数y=ax2的图象习题新人教

•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月27日星期日2022/3/272022/3/272022/3/27 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/272022/3/272022/3/273/27/2022 •3、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之失败。 2022/3/272022/3/27March 27, 2022
x＞ 0时， y随 x的增大而增大， x＜ 0时， y随 x的增大而减小 .
2.a＜0⇔开口向下⇔有最大值⇔
x＞ 0时， y随 x的增大而减小， x＜ 0时， y随 x的增大而增大 .
知识点 2 求二次函数y=ax2的解析式
【例2】(2013·山西中考)如图是我省某地一座抛物线形拱桥,
(1)求此抛物线的解析式. (2)过点P作CB所在直线的垂线,垂足为点R, 求证:PF=PR.
【解析】(1)由题意可得:点A的坐标为(2,-1),
∵抛物线的顶点为坐标原点O,
∴可设抛物线的解析式为:y=ax2, 将点A(2,-1)代入可得:4a=-1,解得a=- 1 ,
4
∴抛物线的解析式为y=- 1 x2.
【例1】函数 ym2xm 2m 4 是关于x的二次函数,求:
(1)满足条件的m的值. (2)m为何值时,抛物线有最低点?求出这个最低点,这时当x为何值时,y随x的增大而增大? (3)m为何值时,抛物线的开口方向向下?这时当x为何值时,y随x 的增大而减小?
【解题探究】(1)函数是二次函数的条件是自变量的最高次数

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第二十六章二次函数26．1二次函数（第一课时）一、课前小测1．已知函数y=(k+2)x+3是关于x的一次函数,则k_______.2．已知正方形的周长是ccm,面积为Scm2,则S与c之间的函数关系式为__ ___. 3．填表:4．在边长为4m的正方形中间挖去一个长为xm的小正方形, 剩下的四方框形的面积为y,则y与x间的函数关系式为_________.5．用一根长为8m的木条,做一个长方形的窗框,若宽为xm,则该窗户的面积y(m2)与x(m)之间的函数关系式为________.二、基础训练121．形如_______ ________的函数叫做二次函数.2．扇形周长为10，半径为x ，面积为y ，则y 与x 的函数关系式为_______________。

3．下列函数中,不是二次函数的是( )x 2 B.y=2(x-1)2+4 C.y=12(x-1)(x+4) D.y=(x-2)2-x 2 4．在半径为4cm 的圆中, 挖去一个半径为xcm 的圆面, 剩下一个圆环的面积为ycm 2,则y与x 的函数关系式为( )A.y=πx 2-4 B.y=π(2-x)2; C.y=-(x 2+4) D.y=-πx 2+16π 5．若y=(2-m)22m x -是二次函数,则m 等于( )A.±2 B.2 C.-2 D.不能确定三、综合训练1．已知y 与x 2成正比例,并且当x=1时,y=2,求函数y 与x 的函数关系式,并求当x=-3时,y的值.当y=8时,求x 的值.2．已知函数y =(m 2－m )x 2+(m －1)x +m +1.(1)若这个函数是一次函数，求m 的值;(2)若这个函数是二次函数，则m 的值应怎样？326．1二次函数（第二课时）一、课前小测1．函数y =ax 2+bx +c (a ，b ，c 是常数)是二次函数的条件是（）A.a ≠0，b ≠0，c ≠0B.a <0，b ≠0，c ≠0C.a >0，b ≠0，c ≠0D.a ≠02．下列函数中：①y =－x 2；②y =2x ；③y =22+x 2－x 3；④m =3－t －t 2是二次函数的是__ __(其中x 、t 为自变量).3．当k=__ ___时，27(3)k y k x -=+是二次函数。

华东师大版九年级数学下册《26.1二次函数》同步练习(有答案)

26．1 二次函数知识点 1 二次函数的概念1．若y ＝(a －1)x 2－2x ＋6是关于x 的二次函数，则a －1________，所以a 的取值范围是________．2．下列函数：y ＝12x －1，y ＝3x 2，y ＝12x 2－4x ＋1，y ＝2x 2－1，y ＝x (x －2)，y ＝(x －1)2－x 2中，是二次函数的有________个．3．在学习了二次函数的概念后，老师要求同学们各举一个二次函数的例子．小刚：y ＝3x 2－2019是二次函数．小红：y ＝22＋2x 是二次函数．小敏：y ＝ax 2＋bx ＋c (其中a ，b ，c 为常数)是二次函数．小虎：y ＝1－3x ＋15x 2是二次函数．小华：y ＝x 2－x (x ＋1)是二次函数．小秀：y ＝2x －1＋x 2是二次函数．(1)上面六名同学所举的例子正确吗？若不正确，错在哪里？(2)举一个二次函数的例子应注意哪些问题？4．已知函数y ＝(m －1)xm 2＋1＋3x 是二次函数，求m 的值．知识点 2 确定二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中a ，b ，c 的值5．二次函数y ＝3x 2＋x －4中的二次项系数、一次项系数和常数项分别是________．6．把下列二次函数化为一般形式，并指出二次项系数、一次项系数及常数项．(1)y ＝(1－x )(1＋x )；(2)y ＝4x 2－12x (1＋x )；(3)y ＝x 2＋(x －1)2；(4)y＝(x＋1)(2x－3)＋5.知识点3根据实际问题列二次函数关系式7．我国政府为解决老百姓看病难的问题，决定对某药品价格分两次降价，若设平均每次降价的百分率为x，已知该药品的原价为18元，降价后的价格为y元，则y与x之间的函数关系式为()A．y＝18(1－x2) B．y＝18(1＋x)2C．y＝18(1－x)2D．y＝18(1＋x2)8．菱形的两条对角线的长度之和为26 cm，则菱形的面积S(cm2)与其中一条对角线的长x(cm)之间的函数关系式为____________，自变量x的取值范围是____________．9．根据下面的条件列出函数关系式，并判断列出的函数关系式是不是二次函数关系式．(1)如果两个数中，其中一个数比另一个数大5，那么这两个数的乘积p是较大的数m 的函数；(2)在一个半径为10 cm的圆上，挖掉4个大小相同的正方形孔，剩余的面积S(cm2)是正方形孔边长x(cm)的函数；(3)有一块长为60 m、宽为40 m的矩形空地，计划在它四周相同的宽度内铺设草坪，中间种郁金香，那么郁金香的种植面积S(m2)是草坪宽度a(m)的函数．10．在下列4个不同的情境中，两个变量所满足的函数关系属于二次函数关系的有()①设正方形的边长为x，面积为y，y是x的函数；②x个球队参加比赛，每两个队之间赛一场，则比赛的场次数y是x的函数；③设正方体的棱长为x，表面积为y，y是x的函数；④若一辆汽车以120 km/h的速度匀速行驶，则汽车行驶的里程y(km)是行驶时间x(h)的函数．A．1个B．2个C．3个D．4个11．已知函数y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常数)，当a________时，是二次函数；当a________，b________时，是一次函数；当a________，b________，c________时，是正比例函数．12．若函数y＝(m－6)xm2－9m＋20－mx＋5是关于x的二次函数，则m的值是________．13．如图26－1－1，有长为24 m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度a为10 m)围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的一边AB长为x m，面积为y m2.(1)写出y关于x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；(2)如果要围成面积为45 m2的花圃，那么AB的长度是多少？图26－1－114．教材“问题2”变式某店销售一种小工艺品，该工艺品每件的进价为12元，售价为20元，每周可售出40件．经调查发现，若把每件工艺品的售价提高1元，就会少售出2件．设每件工艺品的售价提高x元，每周销售这种工艺品获得的利润为y元．(1)填空：每件工艺品的售价提高x元后的利润为________元，每周可售出工艺品________件，y关于x的函数关系式为____________________(化为一般形式，并写出自变量的取值范围)；(2)若y＝384，则每件工艺品的售价应定为多少元？15．如图26－1－2所示，△ABC与△DEF是两个全等的等腰直角三角形，BC＝EF＝8，∠C＝∠F＝90°，且点C，E，B，F在同一条直线上，将△ABC沿CB方向平移，AB与DE相交于点P，设CE＝x，△PBE的面积为S.(1)求S与x之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围；(2)当x＝3时，求△PBE的面积．图26－1－2答案1．≠0 a ≠12．3 [解析] 二次函数的有y ＝3x 2，y ＝12x 2－4x ＋1，y ＝x (x －2)，共3个．故答案为3. 3．解：(1)小刚、小虎所举的例子是正确的，其他人所举的例子都不正确．原因如下：小红举的例子是一次函数，因为式子中不含自变量x 的二次项；小敏所举例子中没有说明二次项系数a ≠0；小华所举例子经过整理得y ＝－x ，实际上是正比例函数；小秀所举例子中含x －1(也就是1x)，不是整式． (2)(答案合理即可)应注意的问题：①等式的右边必须是整式；②自变量的最高次数是2；③二次项系数不为0.4．解：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧m －1≠0，m 2＋1＝2，解得m ＝－1， ∴当m ＝－1时，函数y ＝(m －1)xm 2＋1＋3x 是二次函数．5．3，1，－46．解：(1)化为一般形式为y ＝－x 2＋1，二次项系数为－1，一次项系数为0，常数项为1.(2)化为一般形式为y ＝－8x 2－12x ，二次项系数为－8，一次项系数为－12，常数项为0.(3)化为一般形式为y ＝2x 2－2x ＋1，二次项系数为2，一次项系数为－2，常数项为1.(4)化为一般形式为y ＝2x 2－x ＋2，二次项系数为2，一次项系数为－1，常数项为2.7．C [解析] 原价为18元，第一次降价后的价格为18(1－x )元；第二次降价是在第一次降价后的基础上降价的，为18×(1－x )×(1－x )＝18(1－x )2元，则y ＝18(1－x )2.故选C.8．S ＝－12x 2＋13x 0<x <26 [解析] 因为菱形的面积等于两条对角线长的乘积的一半，所以S ＝12x (26－x )＝－12x 2＋13x .因为x >0，26－x >0，所以0<x <26. 9．解：(1)这两个数的乘积p 与较大的数m 之间的函数关系式为p ＝m (m －5)＝m 2－5m ，是二次函数关系式．(2)剩余的面积S (cm 2)与正方形孔边长x (cm)之间的函数关系式为S ＝100π－4x 2，是二次函数关系式．(3)郁金香的种植面积S (m 2)与草坪宽度a (m)之间的函数关系式为S ＝(60－2a )(40－2a )＝4a 2－200a ＋2400，是二次函数关系式．10．C [解析] ①依题意得y ＝x 2，y 是x 的二次函数；②依题意得y ＝12x (x －1)＝12x 2－12x ，y 是x 的二次函数； ③依题意得y ＝6x 2，y 是x 的二次函数；④依题意得y ＝120x ，y 是x 的一次函数．综上所述，两个变量所满足的函数关系属于二次函数关系的有3个．故选C.11．≠0 ＝0 ≠0 ＝0 ≠0 ＝012．3 [解析] 根据题意，得m 2－9m ＋20＝2，且m －6≠0，解得m ＝3.13．解：(1)∵AB ＝x m ，∴BC ＝(24－3x )m ，∴y ＝x (24－3x )＝－3x 2＋24x .∵x >0且10≥24－3x >0，∴143≤x <8. (2)当y ＝45时，即－3x 2＋24x ＝45，∴x ＝3(舍去)或x ＝5，∴当AB 的长度为5 m 时，花圃的面积为45 m 2.14．解：(1)(8＋x ) (40－2x )y ＝－2x 2＋24x ＋320(0≤x ≤20)(2)∵y ＝384，∴384＝－2x 2＋24x ＋320，整理，得x 2－12x ＋32＝0，(x －4)(x －8)＝0，解得x 1＝4，x 2＝8.4＋20＝24(元)，8＋20＝28(元)，故每件工艺品的售价应定为24元或28元．15．解：(1)∵CE ＝x ，BC ＝8，∴EB ＝8－x .∵△ABC 与△DEF 是两个全等的等腰直角三角形，∴∠ABC ＝∠DEF ＝45°，∴△PBE 是等腰直角三角形，∴PB ＝PE ＝22EB ＝22(8－x )， ∴S ＝12PB •PE ＝12×22(8－x )×22(8－x )＝14(8－x )2＝14x 2－4x ＋16，即S ＝14x 2－4x ＋16(0≤x ＜8)． (2)当x ＝3时，S ＝14×(8－3)2＝254. 即当x ＝3时，△PBE 的面积为254.。

人教版九年级数学下册--26.1 二次函数及其图象同步练习 --(附解析答案)

26.1 二次函数及其图象专题一开放题1．请写出一个开口向上，与y 轴交点纵坐标为﹣1，且经过点（1，3）的抛物线的解析式．（答案不唯一） 2．（1）若22()m my m m x -=+是二次函数，求m 的值；（2）当k 为何值时，函数221(1)(3)k k y k x k x k --=++-+是二次函数？专题二探究题3．如图，把抛物线y =x 2沿直线y =x 平移2个单位后，其顶点在直线上的A 处，则平移后抛物线的解析式是（） A ．1)1(2-+=x y B ．1)1(2++=x y C ．1)1(2+-=x y D ．1)1(2--=x y4．如图，若一抛物线y ＝ax 2与四条直线x =1、 x =2、 y =1、 y =2围成的正方形有公共点，求a 的取值范围.专题三存在性问题5．如图，抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且OA =2，OC =3. （1）求抛物线的解析式；（2）若点D (2,2)是抛物线上一点,那么在抛物线的对称轴上,是否存在一点P ,使得△BDP的周长最小？若存在,请求出点P 的坐标；若不存在,请说明理由.c bx x y ++-=221注：二次函数c bx ax y ++=2（a ≠0）的对称轴是直线x =ab2-.=6．如图,二次函数c x x y +-=221的图象与x 轴分别交于A 、B 两点,顶点M 关于x 轴的对称点是M′.（1）若A (－4,0),求二次函数的关系式; （2）在(1)的条件下,求四边形AMBM′的面积; （3）是否存在抛物线212y x x c =-+,使得四边形AMBM′为正方形？若存在,请求出此抛物线的函数关系式;若不存在,请说明理由.【知识要点】1．二次函数的一般形式c bx ax y ++=2（其中a ≠0，a ，b ，c 为常数）.2．二次函数2y ax =的对称轴是y 轴，顶点是原点，当a ＞0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点，a 越大，抛物线的开口越小；当a ＜0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点，a 越大，抛物线的开口越大． 3．抛物线2()y a x h k =-+的图象与性质：（1）二次函数2()y a x h k =-+的图象与抛物线2y ax =形状相同，位置不同，由抛物线2y ax =平移可以得到抛物线2()y a x h k =-+.平移的方向、距离要根据h ，k 的值确定.（2）①当0a >时，开口向上；当a ＜0时，开口向下； ②对称轴是直线x h =； ③顶点坐标是（h ，k ）.4．二次函数y=ax 2+bx+c 的对称轴是直线x =ab2-，顶点坐标为)44,2(2a b ac a b --.【温馨提示】1．二次函数的一般形式y=ax 2+bx+c 中必须强调a ≠0. 2．当a ＜0时，a 越小，开口越小，a 越大，开口越大. 3．二次函数的增减性是以对称轴为分界线的.4．当a ＞0时，二次函数有最小值，若自变量取值范围不包括顶点的横坐标，则距离对称轴最近处，取得函数的最小值；当a ＜0时，二次函数有最大值，若自变量取值范围不包括顶点的横坐标，则距离对称轴最近处，取得函数的最大值.【方法技巧】1．一般地，抛物线的平移规律是 “上加下减常数项，左加右减自变量”. 2．如已知三个点求抛物线解析式，则设一般式y=ax 2+bx+c . 3．若已知顶点和其他一点，则设顶点式2()y a x h k =-+.参考答案1．答案不唯一，如y=x 2+3x ﹣1等.【解析】设抛物线的解析式为y=ax 2+bx+c ，∵ 开口向上，∴a ＞0. ∵其与y 轴交点纵坐标为﹣1，∴c =﹣1. ∵经过点（1，3），∴a+b －1=3.令a =1，则b =3，所以y=x 2+3x ﹣1．2．解:（1）由题意，得⎪⎩⎪⎨⎧=+=-,0,222m m m m 解得m =2．（2）由题意，得⎩⎨⎧≠+=--,01,2122k k k 解得k =3．3．C 【解析】把抛物线y=x 2沿直线y=x 平移2个单位，即是将抛物线向上平移一个单位长度后再向右移1个单位长度，再根据“上加下减常数项，左加右减自变量”即可得到平移后的抛物线的解析式为2(1)1=-+y x ，答案为C.4．解:因为四条直线x =1、 x =2、 y =1、 y =2围成正方形ABCD ，所以A (1，2)，C (2，1). 设过A 点的抛物线解析式为y ＝a 1x 2，过C 点的抛物线解析式为y ＝a 2x 2，则a 2≤a ≤a 1. 把A (1，2)，C (2，1)分别代入，可求得a 1=2，a 2=14.所以a 的取值范围是14≤a ≤2.5．解:（1）将A （-2,0）， C （0,3）代入y =c bx x ++-221得⎩⎨⎧=+--=,022,3c b c解得b = 12 ，c = 3.∴此抛物线的解析式为 y = 21-x 2+21x +3.(2) 连接AD 交对称轴于点P ，则P 为所求的点.设直线AD 的解析式为y =kx +b.由已知得⎩⎨⎧=+=+-,22,02b k b k 解得k= 21，b =1.∴直线AD 的解析式为y =21x +1.对称轴为直线x =－a b 2= 21.当x = 21时，y = 45，∴ P 点的坐标为（21，45）. 6．解:(1) 把A (－4，0)代入c x x y +-=221，解出c ＝-12. ∴二次函数的关系式为12212--=x x y . (2)如图,xy M'MBA O令y ＝0,则有211202x x --=，解得14x =-,26x =，∴A (－4,0),B (6,0)， ∴AB ＝10. ∵225)1(21122122--=--=x x x y ,∴M (1, 225-), ∴M ′(1, 225)， ∴MM′＝25. ∴四边形AMBM′的面积＝12AB·MM′＝21×10×25＝125. (3) 存在.假设存在抛物线c x x y +-=221,使得四边形AMBM′为正方形.令y ＝0,则0212=+-=c x x y ，解得c x 211-±=. ∴A (c 211--,0),B (c 211-+,0)，∴AB ＝c 212-. ∵四边形AMBM′为正方形, ∴MM′＝c 212-.∵对称轴为直线12=-=abx ，∴顶点M (1, c 21--). 把点M 的坐标代入212y x x c =-+,得c 21--＝c +-121, 整理得2304c c +-=,解得112c =(不合题意,舍去),232c =-.∴抛物线关系式为23212--=x x y 时, 四边形AMBM′为正方形.。

26.1二次函数练习(A卷)

26.1二次函数(A 卷)(100分 60分钟)一、选择题:(每题4分,共28分)1.若函数2221()m m y m m x --=+是二次函数,那么m 的值是A.2B.-1或3C.3D.1-±2.满足函数y=x 2-4x-4的一个点是( ) A.(4,4) B.(3,-1); C.(-2,-8) D. 1171,24⎛⎫- ⎪⎝⎭3.无论m 为何实数,二次函数y=x 2-(2-m)x+m 的图象总是过定点( )A.(1,3)B.(1,0);C.(-1,3)D.(-1,0)4.在函数y=1x -中,自变量x 的取值范围是( )A.x≠1B.x>0;C.x>0且x≠1D.x≥0且x≠1 5.在直角坐标系中,坐标轴上到点P(-3,-4)的距离等于5的点共有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6.在函数y=29x x +-中,自变量x 的取值范围是( )A.x>-2且x≠-3;B.x>-2且x≠3;C.x≥-2且x≠±3;D.x≥-2且x≠3 7.下列函数中,是二次函数的是( ) A.y=8x 2+1 B.y=8x+1; C.y=8xD.y=28x二、填空题:(每题5分,共45分)y=-x+2x>1y=x 2-1≤x ≤1y=x+2x<-1输入x 值(1) (2) (3)8.形如_______________的函数叫做二次函数.9.如图1所示,某校小农场要盖一排三间长方形的羊圈,打算一面利用一堵旧墙, 其余各面用木棍围成栅栏,该校计划用木棍围出总长为24m 的栅栏. 设每间羊圈的B ACDx B 长为xm.(1)请你用含x 的关系式来表示围成三间羊圈所利用的旧墙的总长度L=_______,三间羊圈的总面积S=____________;(2)S 可以看成x 的_________,这里自变量x 的取值范围是_________; (3)请计算,当羊圈的长分别为2m 、3m 、4m 和5m 时,羊圈的总面积分别为_____、_____、______、______,在这些数中,x 取_____m 时,面积S 最大.10.如图2所示,长方体的底面是边长为xcm 的正方形,高为6cm,请你用含x 的代数式表示这个长方体的侧面展开图的面积S=________,长方体的体积为V=__________,各边长的和L=__________,在上面的三个函数中,_______是关于x 的二次函数.11.根据如图3所示的程序计算函数值. (1)当输入的x 的值为23时,输出的结果为________;(2)当输入的数为________时,输出的值为-4.12.如图4所示,要用总长为20m 的铁栏杆,一面靠墙, 围成一个矩形的花圃, 若设AB 的长为xm,则矩形的面积y=_______________.13.某商店将每件进价为8元的某种商品每件10元出售,一天可销出约100件. 该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润.经过市场调查,发现这种商品单价每降低0.1元,其销售量可增加10件,将这种商品的售价降低x 元时, 则销售利润y=_________. 14.函数710x x -+中,自变量x 的取值范围是___________.15.y=(m 2-2m-3)x 2+(m-1)x+m 2是关于x 的二次函数要满足的条件是_______.16.如图5所示,有一根长60cm 的铁丝,用它围成一个矩形,写出矩形面积S(cm 2)与它的一边长x(cm)之间的函数关系式____________. 三、解答题:(27分)17.(12分)心理学家发现,在一定的时间范围内,学生对概念的接受能力y 与提出概念所用的时间x(单位:分钟)之间满足函数关系y=-0.1x 2+2.6x+43(0≤x≤30),y 的值越大,表示接受能力越强.(1)若用10分钟提出概念,学生的接受能力y 的值是多少?(2)如果改用8分钟或15分钟来提出这一概念,那么与用10分钟相比,学生的接受能力是增强了还是减弱了?通过计算来回答.18.(15分)已知正方形的周长是Ccm,面积是Scm 2.(1)求S 与C 之间的函数关系式;(2)当S=1cm 2时,求正方形的边长;(3)当C 取什么值时,S≥4cm 2?BRACD PGl26.1 二次函数(B 卷)(100分 90分钟)一、学科内综合题:(每题6分,共18分)1.如图所示,在直角梯形ABCD 中,∠A=∠D=90°,截取AE=BF=DG=x.已知AB=6,CD=3,AD=4.求四边形CGEF 的面积S 关于x 的函数表达式和x 的取值范围.x x BF ACD E x G2.如图所示,在△ABC 中是AC 上与A 、C 不重合的一个动点,过P 、B 、C 的⊙O 交AB 于D.设PA=x,PC 2+PD 2=y,求y 与x 的函数关系式,并确定x 的取值范围.3.如图所示,有一边长为5cm 的正方形ABCD 和等腰三角形PQR,PQ= PR= 3cm, QR=8cm,点B 、C 、Q 、R 在同一条直线L 上,当C 、Q 两点重合时,等腰三角形PQR 以1cm/ 秒的速度沿直线L 按箭头所示的方向开始匀速运动,t 秒后正方形ABCD 与等腰△PQR重合部分的面积为Scm 2.解答下列问题:(1)当t=3时,求S 的值;(2)当t=5时,求S 的值;(3)当5≤t≤8时,求S 与t 之间的函数关系式.BRA CD PQ lB HRAC D PQ G l二、学科间综合题:(7分)4.一个人的血压与其年龄及性别有关,对女性来说,正常的收缩压p(毫米汞柱) 与年龄x(岁)大致满足关系式p=0.01x 2+0.05x+107;对男性来说,正常的收缩压p( 毫米汞柱)与年龄x(岁)大致满足关系式p=0.006x 2-0.02x+120.(1)利用公式计算你的收缩压;(2)如果一个女性的收缩压为120毫米汞柱,那么她的年龄大概是多少岁?(1毫米汞柱=133.3224帕)(3)如果一个男性的收缩压为130毫米汞柱,那么他的年龄大概是多少岁?三、应用题:(每题9分,共36分)5.如图所示,在矩形ABCD中,AB=6厘米,BC=12厘米,点P在线段AB上,P从点A 开始沿AB边以1厘米/秒的速度向点B移动.点E为线段BC的中点,点Q从E点开始,沿EC以1厘米/秒的速度向点C移动.如果P、Q同时分别从A、E出发,写出出发时间t与△BPQ的面积S的函数关系式,求出t的取值范围.QA6.某化工材料经销公司购进了一批化工原料共7000千克, 购进价格为每千克30元.物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元,也不得低于30元.市场调查发现,单价定为70元时,日均销售60千克;单价每降低1元,每天多售出2千克. 在销售过程中,每天还要支出其他费用500元(天数不足一天时,按一天计算).设销售单价为x元,日均获利为y元.请你求出y关于x的二次函数关系式,并注明x的取值范围.7.某商场以每件30元的价格购进一种商品,试销中发现,这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数关系m=162-3x. 请写出商场卖这种商品每天的销售利润y(元)与每件销售价x(元)之间的函数关系式.8.某公司试销一种成本单价为500元/件的新产品, 规定试销时的销售单价不低于成本单价,又不高于800元/件.试销时,发现销售量y(件)与销售价x(元/件)的关系可近似看作一次函数y=kx+b(k≠0),如图所示.(1)根据图象,求一次函数y=kx+b的表达式;(2)设公司获得的毛利润(毛利润=销售总价-成本总价)为S元, 试用销售单价表示毛利润S./件)四、创新题:(每题10分,共20分) (一)教材中的变型题9.(教材P4第3题变题)已知二次函数y=ax 2+(km+c),当x=3时,y=15;当x=-2时,y=5,试求y 与x 之间的函数关系式.(二)多变题10.如图所示,在边长为4的正方形EFCD 上截去一角,成为五边形ABCDE, 其中AF=2,BF=1,在AB 上取一点P,设P 到DE 的距离PM=x,P 到CD 的距离PN=y,试写出矩形PMDN 的面积S 与x 之间的函数关系式.FEB ACD PN五、中考题:(19分)11.(2002,昆明,8分)某广告公司设计一幅周长为12米的矩形广告牌, 广告设计费为每平方米1000元,设矩形一边长为x 米,面积为S 平方米.(1)求出S 与x 之间的函数关系式,并确定自变量x 的取值范围.(2)为使广告牌美观、大方,要求做成黄金矩形,请你按要求设计,并计算出可获得的设计费是多少?(精确到元)12.(2004,黄冈,11分)心理学家研究发现,一般情况下, 学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化,讲课开始时,学生的注意力逐步增强, 中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的状态,随后学生的注意力开始分散.经过实验分析可知, 学生的注意力y 随时间t 的变化规律有如下关系式:224100(0100)240(1020)7380(2040)t y t y t t t ⎧-++<≤⎪=<≤⎨⎪-+<≤⎩(1)讲课开始后第5分钟时与讲课开始后第25分钟时比较, 何时学生的注意力更集中?(2)讲课开始后多少分钟,学生的注意力最集中?能持续多少分钟?(3)一道数学难题,需要讲解24分钟,为了效果较好,要求学生的注意力最低达到180,那么经过适当安排,老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目?26.1 二次函数(C 卷)(30分 45分钟)一、实践题:(10分)1.某高科技发展公司投资500万元,成功研制出一种市场需求量较大的高科技替代产品,并投入资金1500万元进行批量生产.已知生产每件产品的成本为40元, 在销售过程中发现,当销售单价定为100元时,年销售时为20万件;销售单价每增加10元, 年销售量将减少1万件.设第一年销售单价为x 元,销售量为y 万件,获利(年获利=年销售额-生产成本-投资)为z 万元.(1)试写出y 与x 之间的函数关系式;(不必写出x 的取值范围) (2)试写出z 与x 之间的函数关系式;(不必写出x 的取值范围)(3)计算销售单价为160元时的获利,并说明同样的获利,销售单价还可以定为多少元?相应的销售量分别为多少万件?二、竞赛题:(每题10分,共20分)2.已知:如图所示,BD 为⊙O 的直径,且BD=8, DM 是圆周的14,A 为 DM 上任意一点, 取AC=AB,交BD 的延长线于C,连结OA,并作AE⊥BD 于E,设AB=x,CD=y.(1)写出y 关于x 的函数关系式; (2)当x 为何值时,CA 是⊙O 的切线?(3)当CA 与⊙O 相切时,求tan∠OAE 的值.EBM ACD O3.如图所示,△ABC 中,BC=4,∠B=45°,AB=,M 、N 分别是AB 、AC 上的点,MN∥BC.设MN=x,△MNC 的面积为S.(1)求出S 与x 之间的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围.(2)是否存在平行于BC 的线段MN,使△MNC 的面积等于2?若存在,请求出MN 的长; 若不存在,请说明理由.二次函数A 卷答案:一、1.C 2.D 3.C 4.D 5.C 6.D 7.A二、8.y=ax 2+bx+c(a 、b 、c 为常数,a≠0)9.(1)-4x+24;-4x 2+24x (2)二次函数;0<x<6(3)32m 2;36m 2;32m 2;20m 2;310.24x;6x 2;8x+24;V=6x 211.(1)49(2)6或-612.y=-2x 2+20x(0<x<10)13.y=-100x 2+100x+200(0≤x≤2) 14.x>3且x≠5 15.m≠-1且m≠316.S=-x 2+30x(0<x<30)三、17.解:(1)当x=10时,y=-0.1x 2+2.6x+43=-0.1³102+2.6³10+43=59.(2)当x=8时,y=0.1x 2+2.6x+43=-0.1³82+2.6³8+43=57.4, ∴用8分钟与用10分钟相比,学生的接受能力减弱了;当x=15时,y=-0.1x 2+2.6x+43=-0.1³152+2.6³15+43=59.5. ∴用15分钟与用10分钟相比,学生的接受能力增强了.18.解:(1)S=221416C C ⎛⎫= ⎪⎝⎭(2)当S=1时,由 2116S C =,得1=2116C ,∴C=4或C=-4(舍去).∴C=4,∴正方形边长为1cm. (3)∵S=2116C ,∴欲使S≥4,需2116C ≥4,∴C 2≥64.∴C≥8或C≤-8(舍去), ∴C≥8.B 卷答案: 一、1.解:S=S 梯形ABCD -S △EGD -S △EFA -S △BCF =12³(3+6)³4-12x(4-x)-12x(6-x)-12³4x=x 2-7x+18∵30 40 60 xxxx>⎧⎪->⎪⎨->⎪⎪->⎩∴0<x<3,故S=x2-7x+18(0<x<3).2.解:∵AB=∴AB2)2 =48,AC2=62=36,BC2)2=12.∴AB2=AC2+BC2.∴△ABC为直角三角形,且∠A=30°.连结PB,则PB为⊙O的直径.∴PD⊥AB.∵在Rt△APD中,∠A=30°,PA=x,∴PD=12x,∴y=PC2+PD2=(6-x)2+22x⎛⎫⎪⎝⎭=254x-12x+36(0<x<6).3.解:(1)作PE⊥QR于E,∵PQ=PR,∴QE=RE=12QR=12当t=3时,QC=3,设PQ 与DC相交于点G.∵PE∥DC,∴△QCG∽△QEP,∴234QEPSS∆⎛⎫= ⎪⎝⎭,∵S△QEP=12³4³3=6,∴S=2327648⎛⎫⨯=⎪⎝⎭(cm2)(2)当t=5时,CR=3.设PR与DC交于G,由△RCG∽△REP可求出S△RCG=278,∴S=S△PBR-S△RCG=12-278=698(cm2)(3)当5≤t≤8时,如答图所示,QB=t-5,RC=8-t. 设PQ 交AB 于点H,由△QBH ∽△QEP,得S △QBH =23(5)8t -.设PR 交CD 于G,由△PCG∽△REP,得S △RCG =38(8-t)2.∴S=12-23(5)8t --23(8)8t -=2339171448t t -+-即关系式为S=2339171448t t -+-.二、4.解:(1)根据解答者的性别、年龄实事求是地代入即可.(2)把p=120代入p=0.01x 2+0.05x+107,得120=0.01x 2+0.05x+107.解得x 1≈-39(舍去),x 2=34. 故该女性的年龄大约为34岁.(3)把p=130代入p=0.006x 2-0.02x+120,得130=0.006x 2-0.02x+120. 解得x 1≈-39(舍去),x 2=43. 故该男性的年龄大约为43岁. 三、5.解:∵PB=6-t,BE+EQ=6+t, ∴S=12PB ²BQ=12PB ²(BE+EQ)= 12(6-t)(6+t)=-12t 2+18.∴S=-12t 2+18(0≤t≤6).6.解:若销售单价为x 元,则每千克降低(70-x)元,日均多销售出2(70-x)千克,日均销售量为[60+2(70-x)]千克,每千克获利(x-30)元.依题意,得 y=(x-30)[60+2(70-x)]-500 =-2x2+260x-6500(30≤x≤70). 即y=-2x2+260x-6500(30≤x≤70).7.解:由题意,得每件商品的销售利润为(x-30)元,那么m 件的销售利润为y=m(x-30).又∵m=162-3x,∴y=(x -30)(162-3x),即y=-3x 2+252x-4860.∵x -30≥0,∴x≥30.又∴m≥0,∴162-3x≥0,即x≤54. ∴30≤x≤54.∴所求关系式为y=-3x 2+252x-4860(30≤x≤54).8.解:(1)由图象可知,当x=600时,y=400;当x=700时,y=300,代入y=kx+b中,得400600 300700k bk b=+⎧⎨=+⎩解得k=-1,b=1000∴y=-x+1000(500≤x≤800)(2)销售总价=销售单价³销售量=xy,成本总价=成本单价³销售量=500y,代入毛利润公式,得S=xy-500y=x(-x+1000)-500(-x+1000)=-x2+1500x-500000.∴S=-x2+1500x-500000(500≤x≤800)四、(一)9.解:把x=3,y=15;x=-2,y=5分别代入y=ax2+(xm+c),得9()15 4()5a km ca km c++=⎧⎨++=⎩解得a=2,km+c=-3, ∴y=2x2-3.(二)10.解:如答图,S矩形PNDM=xy,且2≤x≤4.延长NP交EF于G,显然PG∥BF.故PG AGBF AF=,即4212y x--=,∴y=-12x+5,∴S=xy=-12x2+5x,即S=-12x2+5x(2≤x≤4).五、11.解:(1)由矩形的一边长为x米,得另一边长为1222x-⎛⎫⎪⎝⎭米,即(6-x)米,∴S=x(6-x)=-x2+6x,即S=-x2+6x,其中0<x<6.(2)设此黄金矩形的长为x米,宽为y米,则由题意,得2()6x y x yx y⎧=+⎨+=⎩,解得39xy⎧=⎪⎨=-⎪⎩即当把矩形的长设计为3-米时,矩形将成为黄金矩形,此时S=xy=(3-)(9-2)-;可获得的设计费为2)³1000≈8498(元).12.解:(1)当t=5时,y=195,当t=25时,y=205.∴讲课开始后第25分钟时学生的注意力比讲课开始后第5分钟时更集中.(2)当0<t≤10时,y=-t 2+24t+100=-(t-12)2+244,该图的对称轴为t=12, 在对称轴左侧,y 随x 的增大而增大,所以,当t=10时,y 有最大值240.当10<t≤20时,y=240.当20<t≤40时,y=-7t+380,y 随x 的增大而减小,故此时y<240.所以,当t=20时,y 有最大值240.所以,讲课开始后10分钟时,学生的注意力最集中,能持续10分钟.(3)当0<t≤10,令y=-t 2+24t+100=180,∴t=4.当20<t≤40时,令=-7t+380=180,∴t=28.57.所以,老师可以经过适当安排,能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目.二次函数C 卷答案:一、1.解:(1)y=20-10010x -³1=-0.1x+30.(2)z=y ²x-40y-500-1500=(30-0.1x)x-40(30-0.1x)-2000=30x-0.1x 2-1200+4x-2000=-0.1x 2+34x-3200.(3)当x=160时,z=-0.1x 2+34x-3200=-0.1³1602+34³160-3200=-320.把z=- 320代入z=-0.1x 2+34x-3200,得-320=-0.1x 2+34x-3200,x 2-340x+28800=0,∴(x -160) (x-180)=0.∴x=160或x=180.当x=160时,y=-0.1x+30=-0.1³160+30=14(万件);当x=180时,y=-0.1x+30=-0.1³180+30=12(万件).二、2.解:(1)∵OA=OB,AB=AC,∴△AOB 和△ABC 是等腰三角形.∴∠B=∠BAO=∠C.∴△AOB∽△BAC. ∴ABO B BCAB =, 即 48x y x =+, ∴y=2184x -∵A 为 MD 上任意一点,BM≤AB≤BD,而==∴∴y=2184x - ((2)若OA⊥CA,则AC 为⊙O 的切线,即当OC 2=OA 2+AC 2时,OA⊥CA,∴(4+y)2=42+ x 2,即y 2+8y=x 2.由y=14x 2-8和y 2+8y=x 2两式可得y=4,∴x=,即当时,CA 是⊙O 的切线.(3)由(2)得,CA 是⊙O 的切线,此时y=4,而OE=BE-OB=12==∴tan∠OAE=3O E AE ==.3.解:(1)过点A 作AD⊥BC 于D,则有³sin450=32=. 设△MNC 的MN 边上的高为h,∵MN∥BC,∴343x h -=. ∴h=1234x -, ∴S=12MN ²h=21123332482x x x x -=-+ , 即S=23382x x -+ (0<x<4).(2)若存在这样的线段MN,使S △MNC =2,则方程 23382x x -+=2必有实根, 即3x 2-12x+16=0 必有实根.但△=(-12)2-4³3³16=-48<0,说明此方程无实根,所以不存在这样的线段MN.。

26.1 二次函数(二)同步测控优化训练(含答案)

26.1 二次函数（二）一、课前预习 (5分钟训练) 1.抛物线y=31x 2不具有的性质是( ) A.开口向下 B.对称轴是y 轴 C.与y 轴不相交 D.最高点是坐标原点 2．二次函数y=－3x 2，y=－5x 2图象的开口较大的是__________，开口方向__________，对称轴是__________，顶点是__________.3．二次函数y=3x 2－3开口向__________，顶点坐标为__________，对称轴为__________．当x ＞0时，y 随x 的增大而__________；当x ＜0时，y 随x 的增大而__________．因为a=3＞0，所以y 有最__________值，当x=__________时，y 的最__________值是__________． 4．若点A （－2，a ）在抛物线y=－5x 2上，则点A 关于y 轴对称点的坐标为__________．二、课中强化(10分钟训练)1．对于二次函数y=（a 2+3）x 2，下列命题中正确的是( )A ．函数图象开口方向不确定B ．当a<0时，抛物线开口向下C ．此抛物线的对称轴是y 轴，顶点是坐标原点;D ．当x<0时，y 随x 的增大而增大 2．某工厂的大门是一抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8米，两侧距地面3米高处各有一盏壁灯，两壁灯之间的水平距离为6米，如图26－1－2－1所示，则大门的高（水泥建筑物厚度不计，精确到0．1米）为( )A ．6.9米B ．7.0米C ．7.1米D ．6.8米3．将抛物线y=2x 2向上平移3个单位得到的抛物线，其解析式是_________________.若向下平移3个单位,得到的抛物线的解析式是_________________．4．（1）已知二次函数①y=－3 x 2，②y=－3 x 2+5.在同一个坐标系中画出图象后比较它们的开口大小、方向，顶点坐标，对称轴有什么关系？（2）y=ax 2，y=ax 2+b 的开口大小，顶点坐标，对称轴有什么关系？图26－1－2－15．如图26－1－2－2，等边△ABC 以2 m/s 的速度沿直线l 向菱形DCEF 移动，直到AB 与CD 重合，其中∠DCF ＝60°，设x s 时，三角形与菱形重叠部分的面积为y m 2．（1）写出y 与x 的关系表达式．（2）当x ＝0.5，1时，y 分别是多少?（3）当重叠部分的面积是菱形面积的一半时，三角形移动了多长时间？图26－1－2－2三、课后巩固(30分钟训练)1．如图26－1－2－3，已知h 关于t 的函数关系式为h=21gt 2（g 为正常数，t 为时间），则函数图象为( )图26－1－2－32．二次函数y=－mx 2－m+4，开口向下，其图象的顶点在y 轴的正半轴上，则m 的取值范围是( )A.m<0B.m>0C.m>4D.0<m<4 3．二次函数的图象如图26－1－2－4所示,则它的解析式为( )A.y=2x 2+2B.y=2x 2－4C.y=2x 2－2D.y=－2x 2－2图26－1－2－44．函数y=－ax 2与y=－ax+a 的图象在同一个坐标系中的图象大致是( )图26－1－2－55．已知二次函数y=mx m2－2m －6中，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，则m=______________．6．抛物线y=21x 2关于x 轴对称的函数解析式为_________________． 7．抛物线y=5x 2与直线y=kx+3的交点为（1，b ），则b=____________，k=____________． 8．如图26－1－2－6，有一座抛物线型拱桥，桥下面在正常水位AB 时宽20 m ，水位上升3 m 就达到警戒线CD ，这时水面宽度为10米． (1)建立适当的坐标系，求抛物线的关系式；（2）若洪水到来时水位以0．2米／时的速度上升，从正常水位开始，再过几小时就能到达桥面？图26－1－2－69.如图26－1－2－7，已知抛物线的顶点为A （0，1），矩形CDEF 的顶点C 、F 在抛物线上，D 、E 在x 轴上，CF 交y 轴于点B （2，0），且其面积为8．求此抛物线的解析式.图26－1－2－710.如图26－1－2－8是某段河床横断面的示意图．查阅该河段的水文资料，得到下表中的数据：（1）请你以上表中的各对数据（x，y）作为点的坐标，尝试在图26－1－2－9所示的坐标系中画出y关于x的函数图象.（2）①填写下表：②根据所填表中数据呈现的规律，猜想出用x表示y 的二次函数的表达式：______________________．（3）当水面宽度为36米时，一艘吃水深度（船底部到水面的距离）为1．8米的货船能否在这个河段安全通过？为什么？图26－1－2－8 图26－1－2－9参考答案一、课前预习 (5分钟训练) 1.抛物线y=31-x 2不具有的性质是( ) A.开口向下 B.对称轴是y 轴 C.与y 轴不相交 D.最高点是坐标原点解析：本题具有逆向思维的过程，把y=31-x 2的性质写下来形成对比，开口向下，对称轴是y 轴，最高点是坐标原点，问题显而易见．答案：C2．二次函数y=－3x 2，y=－5x 2图象的开口较大的是__________，开口方向__________，对称轴是__________，顶点是__________.解析：二次函数的开口大小决定于｜a ｜,｜a ｜越大开口越小,｜a ｜越小开口越大,开口方向由a 的符号决定,a>0开口向上,a<0开口向下. 答案：y=－3x 2 向下 y 轴原点3．二次函数y=3x 2－3开口向__________，顶点坐标为__________，对称轴为__________．当x ＞0时，y 随x 的增大而__________；当x ＜0时，y 随x 的增大而__________．因为a=3＞0，所以y 有最__________值，当x=__________时，y 的最__________值是__________．解析：在二次函数中，当二次项系数大于0时，开口向上，有最低点，最小值，在对称轴左侧，函数值y 随着的x 增大而减小；在对称轴右侧，函数值y 随着x 的增大而增大．答案：上（0，－3） y 轴增大减小小 0 小－34．若点A （－2，a ）在抛物线y=－5x 2上，则点A 关于y 轴对称点的坐标为__________．解析：点A （－2，a ）在抛物线y=－5x 2上，代入后求得a ＝－20，即A 点的坐标就是（－2，－20），它关于y 轴对称点的坐标为（2，－20）．答案：（2，－20）二、课中强化(10分钟训练)1．对于二次函数y=（a 2+3）x 2，下列命题中正确的是( )A ．函数图象开口方向不确定B ．当a<0时，抛物线开口向下C ．此抛物线的对称轴是y 轴，顶点是坐标原点;D ．当x<0时，y 随x 的增大而增大解析：a 2+3>0，∴抛物线开口向上，A 、B 错误；顶点是坐标原点，对称轴为y 轴．当x>0时，y 随x 的增大而增大；当x<0时，y 随x 的增大而减小，D 项错误．答案：C2．某工厂的大门是一抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8米，两侧距地面3米高处各有一盏壁灯，两壁灯之间的水平距离为6米，如图26－1－2－1所示，则大门的高（水泥建筑物厚度不计，精确到0．1米）为( )图26－1－2－1A ．6.9米B ．7.0米C ．7.1米D ．6.8米解析：如右图所示，建立平面直角坐标系．设抛物线关系式为y=ax 2，设大门高为h 米，则A （4，－h ），B （－4，－h ），C （3，－h+3），D （－3，－h+3）．将A 、C 坐标代入上式，得⎩⎨⎧=+-=-.93,16a h a h 解得h≈6.9.∴大门高约为6.9米．答案：A3．将抛物线y=2x 2向上平移3个单位得到的抛物线，其解析式是_________________.若向下平移3个单位,得到的抛物线的解析式是_________________．解析：上下平移只是顶点位置的不同，向上纵坐标增大，向下纵坐标减小．答案：y=2x 2+3 y=2x 2－34．（1）已知二次函数①y=－3 x 2，②y=－3 x 2+5.在同一个坐标系中画出图象后比较它们的开口大小、方向，顶点坐标，对称轴有什么关系？（2）y=ax 2，y=ax 2+b 的开口大小，顶点坐标，对称轴有什么关系？解：（1）画图略，开口大小、方向相同；顶点坐标不同，但都在y 轴上；对称轴都是y 轴．（2）开口大小、方向相同；顶点坐标不同，但都在y 轴上；对称轴都是y 轴． 5．如图26－1－2－2，等边△ABC 以2 m/s 的速度沿直线l 向菱形DCEF 移动，直到AB 与CD 重合，其中∠DCF ＝60°，设x s 时，三角形与菱形重叠部分的面积为y m 2．（1）写出y 与x 的关系表达式．（2）当x ＝0.5，1时，y 分别是多少?（3）当重叠部分的面积是菱形面积的一半时，三角形移动了多长时间？图26－1－2－2解：重合部分是一个等边三角形，底边为2x ，其高为3x ，所以， (1)y=3x 2.(2)当x=0.5时,y=43;当x=1时,y=3. (3)S 菱形=350,当y=325时,x=5 s. 三、课后巩固(30分钟训练)1．如图26－1－2－3，已知h 关于t 的函数关系式为h=21gt 2（g 为正常数，t 为时间），则函数图象为( )图26－1－2－3解析:因为h=21gt 2的h 是t 的二次函数，g 、t 、h 都是非负数，所以该函数的图象是在第一象限的抛物线．答案：A2．二次函数y=－mx 2－m+4，开口向下，其图象的顶点在y 轴的正半轴上，则m 的取值范围是( )A.m<0B.m>0C.m>4D.0<m<4 解析:开口向下得m>0，顶点在y 轴的正半轴上得－m+4>0，故选D ．答案：D3．二次函数的图象如图26－1－2－4所示,则它的解析式为( )A.y=2x 2+2B.y=2x 2－4C.y=2x 2－2D.y=－2x 2－2图26－1－2－4解析:根据图象可设解析式为y=ax 2+b ，又因顶点为（0，－2）且过（1，0），解析式为y=2x 2－2．答案：C4．函数y=－ax 2与y=－ax+a 的图象在同一个坐标系中的图象大致是( )图26－1－2－5解析:一看开口，二看经过的象限及截距,从而得出答案．答案：A5．已知二次函数y=mx m2－2m －6中，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，则m=______________．解析:由题意得m 2－2m －6=2且m≠0，解得m ＝4或m ＝－2，但当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，就是说m ＞0，故只取m ＝4．答案：4 6．抛物线y=21x 2关于x 轴对称的函数解析式为_________________．解析:y=21x 2关于x 轴对称的函数的二次项系数应与之相反．答案：y=－21x 27．抛物线y=5x 2与直线y=kx+3的交点为（1，b ），则b=____________，k=____________．解析:抛物线y=5x 2与直线y=kx+3的交点为（1，b ），说明（1，b ）代入y=5x 2和y=kx+3都成立，解得b=5，k=2．答案：5 28．如图26－1－2－6，有一座抛物线型拱桥，桥下面在正常水位AB 时宽20 m ，水位上升3 m 就达到警戒线CD ，这时水面宽度为10米． (1)建立适当的坐标系，求抛物线的关系式；（2）若洪水到来时水位以0．2米／时的速度上升，从正常水位开始，再过几小时就能到达桥面？图26－1－2－6解：（1）建立如图所示坐标系，则D 点横坐标为5，B 点横坐标为10，EF=3．设OE=h ，则OF=h －3．则B （10，－h ），D （5，3－h ）．设抛物线为y=ax 2,则⎩⎨⎧-=-=.325,100h a h a解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=.4,251h a∴y=251-x 2,B(10,－4),D(5,－1). （2）∵OE=4,∴4÷0．2=20（小时）．9.如图26－1－2－7，已知抛物线的顶点为A （0，1），矩形CDEF 的顶点C 、F 在抛物线上，D 、E 在x 轴上，CF 交y 轴于点B （2，0），且其面积为8．求此抛物线的解析式.图26－1－2－7解：B 点坐标为（0，2），∴OB=2.∵矩形CDEF 面积为8，∴CF=4.∴C 点坐标为（－2，2）．根据题意可设抛物线解析式为y=ax 2+c ，其过点A （0，1）和C （－2，2），得⎩⎨⎧+==.42.1c a c 解这个方程组，得a=41，c=1.∴此抛物线的解析式为y=41x 2+1. 10.如图26－1－2－8是某段河床横断面的示意图．查阅该河段的水文资料，得到下表中的数据：（1）请你以上表中的各对数据（x ，y ）作为点的坐标，尝试在图26－1－2－9所示的坐标系中画出y 关于x 的函数图象. （2）①填写下表：②根据所填表中数据呈现的规律，猜想出用x 表示y 的二次函数的表达式：______________________．（3）当水面宽度为36米时，一艘吃水深度（船底部到水面的距离）为1．8米的货船能否在这个河段安全通过？为什么？图26－1－2－8 图26－1－2－9 解：（1）图象略．（2）①填表如下；－ 11 － ②y=2001x 2. （3）当水面宽度为36米时，相应的x 为18，此时水面中心的y=2001×182=1.62.因为货船吃水深度为1.8 m ，显然，1.62<1.8,所以当水面宽度为36米时，该货船不能通过这个河段．。

26_1 二次函数(难点练)原卷版

26.1 二次函数（难点练）一、单选题1．（2020·全国九年级课时练习）下列函数关系中，可以看作二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）模型的是（）A ．在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系B ．我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的变化关系C ．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）D ．圆的周长与圆的半径之间的关系2．（2018·全国九年级课时练习）已知函数y=（m 2+m ）2x +mx+4为二次函数，则m 的取值范围是（）A ．m≠0B ．m ≠-1C ．m≠0，且m≠-1D ．m=-13．（2021·四川眉山·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线245y x x =-+与y 轴交于点C ，则该抛物线关于点C 成中心对称的抛物线的表达式为（）A ．245y x x =--+B ．245y x x =++C ．245y x x =-+-D ．245y x x =---二、填空题4．（2021·全国九年级专题练习）若函数y ＝(m －3)2213m m x ＋－是二次函数，则m ＝______.5．（2018·全国九年级课时练习）当m ____时，函数y ＝(m －2)x 2＋4x －5(m 是常数)是二次函数． 6．（2018·全国九年级单元测试）开口向下的抛物线y ＝(m 2－2)x 2＋2mx ＋1的对称轴经过点(－1，3)，则m ＝_____．7．（2018·全国九年级课时练习）一种函数21(1)53m y m x x +=-+-是二次函数，则m=________ 8．（2018·福建连城·九年级期中）平面直角坐标系下，一组有规律的点A 1（0，1）、A 2（1，0）、A 3（2，1）、A 4（3，0）、A 5（4，1）、A 6（5，0）…（注：当n 为奇数时，A n （n ﹣1，1），n 为偶数时，A n （n ﹣1，0）），抛物线C 1经过点A 1、A 2、A 3三点，…抛物线C n 经过C n ，C n +1，C n +2三点，请写出抛物线C 2n 的解析式_____． 9．（2019·安徽九年级月考）抛物线()26y a x k =-+经过点()0,2，当9x =时 2.43y >，当18x =时0y <，则k 的取值范围是__________.三、解答题10．（2019·广东九年级模拟预测）如图①，等边三角形ABC 的边长为2，P 是BC 边上的任一点(与,B C 不重合)，设BP x =，连接AP ，以AP 为边向两侧作等边三角形APD 和等边三角形APE ，分别与边,AB AC 交于点,M N ．(1)求证：AM AN =；(2)求四边形ADPE 与△ABC 重叠部分的面积S 与x 之间的函数关系式及S 的最小值；(3)如图②，连接DE ，分别与边,AB AC 交于点,G H ．当x 为何值时，15BAD ∠=︒．11．（2021·吉林汽车经济技术开发区·九年级期末）如图，在Rt ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝10，AC ＝6，点P 从点B 出发，以每秒5个单位长度的速度沿BC 向点C 运动，同时点M 从点A 出发，以每秒6个单位长度的速度沿AB 向点B 运动，过点P 作PQ ⊥AB 于点Q ，以PQ 、MQ 为邻边作矩形PQMN ，当点P 到达点C 时，整个运动停止．设点P 的运动时间为t （t ＞0）秒．（1）求BC 的长；（2）用含t 的代数式表示线段QM 的长；（3）设矩形PQMN 与ABC 重叠部分图形的面积为S （S ＞0），求S 与t 之间的函数关系式；（4）连结QN ，当QN 与ABC 的一边平行时，直接写出t 的值．12．（2021·吉林九台·九年级一模）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝3，连结BD ．点P 从点A 出发，沿折线AB －BD －DC 以每秒1个单位长度的速度向终点C 运动．当点P 不与矩形ABCD 的顶点重合时，以AP 为对角线作正方形AEPF （点F 在直线AP 的右侧）．设正方形AEPF 的面积为S （平方单位），点P 的运动时间为t （秒）．（1）当点P 在线段BD 上时，用含t 的代数式表示PB 的长，并写出t 的取值范围；（2）当AP ⊥BD 时，求t 的值；（3）求S 与t 之间的函数关系式．（4）当直线BF 将正方形AEPF 分成的两部分图形面积相等时，直接写出t 的值．13．（2021·江苏泗洪·九年级二模）如图，在平面直角坐标系中，点A 坐标为()4,0-，点B 坐标为()4,0，点C 为线段AB 上的一个动点，分别以AC BC 、为边在x 轴上方作正方形ACDE 和正方形BCGF ，连接EF 交直线CG 于点P ，设P 点坐标为(),x y ．（1）当C 运动到点()2,0-时，求P 点坐标；（2）当点C 从点A 运动到点B 的过程中（包含AB 、两点），试求出点P 运动路径图象的函数表达式，并写出自变量的取值范围；（3）连接CE CF 、，在点C 的运动过程中，是否存在PDE ∆和CEF ∆相似，若存在，试求出P 点坐标，若不存在，请说明理由．14．（2021·广东龙岗·深圳市东升学校九年级月考）在矩形ABCD中，点E是AD边上一点，连接BE，且∠ABE＝30°，BE＝DE，连接BD．点P从点E出发沿射线ED运动，过点P作PQ∥BD 交直线BE于点Q．（1）当点P在线段ED上时（如图1），求证：BE＝PD；（2）若BC＝6，设PQ长为x，以P、Q、D三点为顶点所构成的三角形面积为y，求y与x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；（3）在②的条件下，当点P运动到线段ED的中点时，连接QC，过点P作PF⊥QC，垂足为F，PF交对角线BD于点G（如图2），求线段PF的长．15．（2019·浙江杭州·九年级模拟预测）如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E、F分别从C、A两点同时出发，以相同的速度作直线运动．已知点E沿射线CB运动，点F沿边BA的延M DE交AC于点N．长线运动，连结DF、DE、EF，EF与对角线AC所在的直线交于点,⊥；（1）求证：DE DF=，AMF的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）设CE x（3）随着点E在射线CB上运动，NA MC的值是否会发生变化？若不变，请求出NA MC的值；若变化，请说明理由．。

达标测试华东师大版九年级数学下册第26章二次函数专题练习试卷(含答案详解)

华东师大版九年级数学下册第26章二次函数专题练习考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示，那么点,a P b c ⎛⎫⎪⎝⎭在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2、同一直角坐标系中，函数y mx m =+和21y mx x =-++（m 是常数，且0m ≠）的图象可能．．是（）A ．B ．C ．D ．3、如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c （a 、b 、c 为常数，且a ≠0）的图象与x 轴的一个交点坐标为（﹣1，0），对称轴为直线x ＝1．下列结论：①x ＞0时，y 随x 的增大而增大；②2a +b ＝0；③4a +2b +c ＜0；④关于x 的方程ax 2+bx +c +a ＝0有两个不相等的实数根．其中，所有正确结论的序号为（）A ．②③B ．②④C ．①②③D ．②③④ 4、抛物线()241y x =-+的顶点坐标是（）A ．()4,1B ．()4,1-C ．()41-,D ．()4,1--5、二次函数 y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a ），下列结论：①4a +2b +c ＞0；②5a ﹣b +c ＝0；③若关于 x 的方程ax 2+bx +c ＝1 有两个根，则这两个根的和为﹣4；④若关于 x 的方程 a （x +5）（x ﹣1）=﹣1 有两个根 x 1和 x 2，且 x 1＜x 2，则﹣5＜x 1＜x 2＜1．其中正确的结论有（）A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个6、如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ＞0）的图像经过点A （﹣1，0），点B （m ，0），点C （0，﹣m ），其中2＜m ＜3，下列结论：①2a ＋b ＞0，②2a ＋c ＜0，③方程ax 2＋bx ＋c ＝﹣m 有两个不相等的实数根，④不等式ax 2＋（b ﹣1）x ＜0的解集为0＜x ＜m ，其中正确结论的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．47、如图，给出了二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象，对于这个函数有下列五个结论：①24b ac -＜0；②ab ＞0；③0a b c -+=；④40a b +=；⑤当y ＝2时，x 只能等于0．其中结论正确的是（）A ．①④B ．③⑤C ．②⑤D ．③④8、将抛物线y ＝x 2先向右平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度，所得抛物线的解析式为（）A ．y ＝（x +3）2+5B ．y ＝（x ﹣3）2+5C ．y ＝（x +5）2+3D ．y ＝（x ﹣5）2+39、二次函数y ＝（x ＋2）2＋5的对称轴是（）A ．直线x ＝12B ．直线x ＝5C ．直线x ＝2D ．直线x ＝﹣210、当﹣2≤x ≤1，二次函数y ＝﹣（x ﹣m ）2+m 2+1有最大值4，则实数m 值为（）A ．74-BC ．2或D ．274- 第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（10小题，每小题3分，共计30分）1、请写出一个开口向下且过点（0，﹣4）的抛物线表达式为 _________________．2、如图，在平面直角坐标系中，Q 是直线132y x =+上的一个动点，将Q 绕点P (0，1)顺时针旋转90°，得到点Q'，连接OQ'，则OQ'的最小值为_________．3、如图，已知二次函数()210y ax bx c a =++≠与一次函数()20y kx m k =+≠的图象相交于点()2,4A -和()82,B ，若无论x 取何值，S 总取1y ，2y 中的最大值，则S 的最小值是___________．4、已知抛物线223y ax x =-+经过点()2,3A ．若点(),B m n 在该抛物线上，且23m -<<，则n 的取值范围为______．5、已知二次函数y ＝（m ﹣2）x 2﹣4x +2m ﹣8的图象经过原点，它可以由抛物线y ＝ax 2（a ≠0）平移得到，则a 的值是 _____．6、已知抛物线222y ax ax a =-+-与x 轴相交于A ，B 两点.若线段AB 的长不小于2，则代数式267a a -+的最小值为_______．7、抛物线223y x bx =-+的对称轴是直线2x =，则它的顶点坐标为______8、若抛物线263y x x m =+++与y 轴交于原点，则m 的值为 __．9、已知二次函数y ＝x 2＋bx ＋3图象的对称轴为x ＝2，则b ＝________；顶点坐标是________．10、函数2112y x x=+的图象如图所示，在下列结论中：①该函数自变量x 的取值范围是0x ≠；② 该函数有最小值32；③方程21132x x+=有三个根；④如果()11,x y 和()22,x y 是该函数图象上的两个点，当120x x <<时一定有12y y <．所有正确结论的序号是______．三、解答题（5小题，每小题8分，共计40分）1、如图，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c与x轴交于点B（1，0）点，与y轴交于点C（0，3），对称轴l与x轴交于点F，点E是直线AC上方抛物线上一动点，连接AE、EC．(1)求抛物线的解析式；(2)当四边形AECO面积最大时，求点E的坐标；(3)在（2）的条件下，连接EF，点P是x轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q，使得以F、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．2、某小区计划建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为a的墙，另三边用总长为79米的篱笆围成，围成的花圃是如图所示的矩形ABCD，并在BC边上留有一扇1米宽的门．设AD边的长为x米，矩形花圃的面积为S 平方米．(1)求S 与x 之间的函数关系式．(2)若墙长a ＝30米，求S 的最大值．3、如图，Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，8BC =．动点P ，Q 分别从A ，C 两点同时出发，点P 沿边AC 向C 以每秒3个单位长度的速度运动，点Q 沿边BC 向B 以每秒4个单位长度的速度运动，当P ，Q 到达终点C ，B 时，运动停止．设运动时间为()t s ．(1)①当运动停止时，t 的值为．②设P ，C 之间的距离为y ，则y 与t 满足（选填“正比例函数关系”，“一次函数关系”，“二次函数关系” )．(2)设PCQ ∆的面积为S ，①求S 的表达式（用含有t 的代数式表示）；②求当t 为何值时，S 取得最大值，这个最大值是多少？4、在平面直角坐标系xOy 中，二次函数()240y ax ax a =-≠的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B的左侧）．(1)求A 、B 两点的坐标；(2)已知点()()1,0,3,21P Q a --，如果线段PQ 与二次函数()240y ax ax a =-≠的图象恰有一个公共点．结合函数图象，求a 的取值范围．5、如图，抛物线y =−34x 2+bx +c 与x 轴交于点A (4，0)，与y 轴交于点B (0，3)，点M (m ，0)为线段OA 上一动点，过点M 且垂直于x 轴的直线与直线AB 及抛物线分别交于点P ，N ．(1)求抛物线的解析式，并写出此抛物线的对称轴和顶点坐标；(2)如果以点P 、N 、B 、O 为顶点的四边形为平行四边形，求m 的值；(3)如果以B 、P 、N 为顶点的三角形与△ABO 相似，求点M 的坐标．-参考答案-一、单选题1、C【解析】【分析】根据对称轴的位置、开口方向、与y 轴的交点的位置即可判断出a 、b 、c 的符号，进而求出,a P b c ⎛⎫ ⎪⎝⎭的符号．【详解】由函数图像可得：∵抛物线开口向上，∴a ＞0，又∵对称轴在y 轴右侧， ∴02b a->， ∴b <0，又∵图象与y 轴交于负半轴，∴c ＜0， ∴0a c<∴,a P b c ⎛⎫⎪⎝⎭在第三象限故选：C【点睛】考查二次函数y =ax 2+bx +c 系数符号的确定．根据对称轴的位置、开口方向、与y 轴的交点的位置判断出a 、b 、c 的符号是解题的关键．2、D【解析】【分析】根据一次函数，二次函数的图象与性质逐一分析两个解析式中的m 的符号，再判断即可.【详解】解：选项A ：由y mx m =+的图象可得：0,m <由21y mx x =-++的图象可得：0,m 则0,m > 故A 不符合题意；选项B ：由y mx m =+的图象可得：0,m <由21y mx x =-++的图象可得：0,m 则0,m < 而抛物线的对称轴为：110,22xm m 则0,m > 故B 不符合题意；选项C ：由y mx m =+的图象可得：0,m >由21y mx x =-++的图象可得：0,m 则0,m < 故C 不符合题意；选项D ：由y mx m =+的图象可得：0,m <由21y mx x =-++的图象可得：0,m 则0,m <而抛物线的对称轴为：110,22x m m 则0,m < 故D 符合题意；故选D【点睛】本题考查的是一次函数与二次函数的图象共存问题，掌握“一次函数与二次函数的图象与性质”是解本题的关键.3、D【解析】【分析】根据二次函数的图象及性质即可判断．【详解】解：由函数图象可知，抛物线开口向上，∴a ＞0，∵对称轴为直线x ＝1，抛物线与x 轴的一个交点坐标为（﹣1，0），∴抛物线与x 轴另一个交点坐标为（3，0），∴当x ＞1时，y 随x 的增大而增大，故①错误； ∵﹣2b a＝1， ∴b ＝﹣2a ，∴2a +b ＝0，故②正确；当x ＝2时，y ＝4a +2b +c ＜0，故③正确；当x ＝﹣1时，y ＝a ﹣b +c ＝3a +c ＝0，∴c ＝﹣3a ，∴﹣a ＞c ，∴直线y ＝﹣a 与抛物线y ＝ax 2+x +c 有2个交点，∴关于x 的方程ax 2+bx +c ＝﹣a 有两个不相等的实数根，即关于a 的方程ax 2+bx +c +a ＝0有两个不相等的实数根，故④正确；正确的有②③④，故选：D ．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，正确理解二次函数与方程的关系，本题属于中等题型．4、A【解析】【分析】根据顶点式2()y a x h k =-+的顶点坐标为(),h k 求解即可【详解】解：抛物线()241y x =-+的顶点坐标是(4,1)故选A【点睛】本题考查了二次函数顶点式2()y a x h k =-+的顶点坐标为(),h k ，掌握顶点式求顶点坐标是解题的关键．5、C【解析】【分析】222494b a ac b a a⎧-=-⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩求解,,a b c 的数量关系；将2x =代入①式中求解判断正误；②将45b a c a ==-，代入，合并同类项判断正负即可；③中方程的根关于对称轴对称，1222+=-x x 求解判断正误；④中求出二次函数与x 轴的交点坐标，然后观察方程的解的取值即可判断正误．【详解】解：由顶点坐标知222494b a ac b a a⎧-=-⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩ 解得45b a c a ==-，∵0a >∴当2x =时，4248570a b c a a a a ++=+-=>，故①正确，符合题意；554540a b c a a a a -+=--=-<，故②错误，不符合题意；方程的根为2y ax bx c =++的图象与直线1y =的交点的横坐标，即12x x ，关于直线2x =-对称，故有1222+=-x x ，即124x x +=-，故③正确，符合题意； ()()()224551y ax bx c a x x a x x =++=+-=+-，与x 轴的交点坐标为()()5,01,0-，，方程()()511a x x +-=-的根为二次函数图象与直线1y =-的交点的横坐标，故可知1251x x -<<<，故④正确，符合题意；故选C ．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与二次方程等知识．解题的关键与难点在于从图象中提取信息，并且熟练掌握二次函数与二次方程的关系．6、C【解析】【分析】利用二次函数的对称轴方程可判断①，结合二次函数过()1,0,- 可判断②，由y m =-与2y ax bx c=++有两个交点，可判断③，由21y ax b x 过原点，对称轴为1,2b x a求解函数与x 轴的另一个交点的横坐标，结合原二次函数的对称轴及与x 轴的交点坐标，可判断④，从而可得答案.【详解】解：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ＞0）的图像经过点A （﹣1，0），点B （m ，0），∴ 抛物线的对称轴为：1,2m x 2＜m ＜3，则111,22m 1,2b a而图象开口向上0,a > 2,b a 即20,a b 故①符合题意；二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ＞0）的图像经过点A （﹣1，0），0,a b c ∴-+= 则,b a c 11,22b a 则2,a b a0,a b ∴+<20,a c 故②符合题意；0,,23,C m m∴ y m =-与2y ax bx c =++有两个交点，∴ 方程ax 2＋bx ＋c ＝﹣m 有两个不相等的实数根，故③符合题意； 1,0,,0A B m 关于2b x a=-对称，1,22b b m a a 1,ba b m a a21y ax b x 过原点，对称轴为1,2b x a∴ 该函数与抛物线的另一个交点的横坐标为：11,b bm a a ∴ 不等式ax 2＋（b ﹣1）x ＜0的解集不是0＜x ＜m ，故④不符合题意；综上：符合题意的有①②③故选：C【点睛】本题考查的是二次函数的图象与性质，利用二次函数的图象判断,,a b c 及代数式的符号，二次函数与一元二次方程，不等式之间的关系，熟练的运用数形结合是解本题的关键.7、D【解析】【分析】由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】①由抛物线与x 轴有两个交点可以推出b 2-4ac ＞0，故①错误； ②由抛物线的开口方向向下可推出a ＜0；因为对称轴为x =2b a-=2＞0，又因为a ＜0，∴b ＞0，故ab ＜0；②错误； ③由图可知函数经过（-1,0），∴当1x =-，0y a b c =-+=，故③正确；④对称轴为x =22b a-=，∴40a b +=，故④正确；⑤当y ＝2时，120,4x x ==，故⑤错误；∴正确的是③④故选：D【点睛】二次函数y =ax 2+bx +c 系数符号的确定：（1）a 由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a ＞0；否则a ＜0．（2）b 由对称轴和a 的符号确定：由对称轴公式x =−2b a-判断符号．（3）c 由抛物线与y 轴的交点确定：交点在y 轴正半轴，则c ＞0；否则c ＜0．（4）b 2-4ac 由抛物线与x 轴交点的个数确定：2个交点，b 2-4ac ＞0；1个交点，b 2-4ac =0；没有交点，b 2-4ac ＜0．8、B【解析】【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解．【详解】解：将抛物线y ＝x 2先向右平移3个单位长度，得：y ＝（x ﹣3）2；再向上平移5个单位长度，得：y ＝（x ﹣3）2+5，故选：B ．【点睛】本题考察了二次函数抛物线的平移问题，解题的关键是根据左加右减，上加下减的平移规律进行求解．9、D【解析】【分析】直接根据二次函数的顶点式进行解答即可．【详解】解：由二次函数y=（x+2）2+5可知，其图象的对称轴是直线x=-2．故选：D．【点睛】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键．10、C【解析】【分析】求出二次函数对称轴为直线x=m，再分m＜-2，-2≤m≤1，m＞1三种情况，根据二次函数的增减性列方程求解即可．【详解】解：二次函数对称轴为直线x=m，①m＜-2时，x=-2取得最大值，-（-2-m）2+m2+1=4，解得m=74，不合题意，舍去；②-2≤m≤1时，x=m取得最大值，m2+1=4，解得m∵m-2≤m≤1的范围，∴m③m＞1时，x=1取得最大值，-（1-m）2+m2+1=4，解得m=2．综上所述，m=2或4．故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的最值，熟悉二次函数的性质及图象是解题的关键．二、填空题1、y＝﹣x2﹣4（答案不唯一）【解析】【分析】根据二次函数的性质，二次项系数小于0时，函数图象的开口向下，再利用过点（0，﹣4）得出即可．【详解】解：∵抛物线开口向下且过点（0，﹣4），∴可以设顶点坐标为（0，﹣4），故解析式为：y＝﹣x2﹣4（答案不唯一）．故答案为：y＝﹣x2﹣4（答案不唯一）．【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，是开放型题目，答案不唯一．2【解析】【分析】利用等腰直角三角形构造全等三角形，求出旋转后Q′的坐标，然后根据勾股定理并利用二次函数的性质即可解决问题．【详解】解：作QM ⊥y 轴于点M ，Q ′N ⊥y 轴于N ，∵∠PMQ ＝∠PNQ ′＝∠QPQ ′＝90°，∴∠QPM ＋∠NPQ ′＝∠PQ ′N ＋∠NPQ ′，∴∠QPM ＝∠PQ ′N ，在△PQM 和△Q ′PN 中，90PMQ PNQ QPM PQ NPQ PQ ∠=∠'=︒⎧⎪∠=∠'⎨⎪='⎩， ∴△PQM ≌△Q ′PN （AAS ），∴PN ＝QM ，Q ′N ＝PM ，设Q （m ，12m ＋3），∴PM ＝|12m ＋2|，QM ＝|m |，∴ON ＝|1-m |，∴Q ′（12m ＋2，1−m ），∴OQ ′2＝（12m ＋2）2＋（1−m ）2＝54m 2＋5，当m ＝0时，OQ ′2有最小值为5，∴OQ【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，三角形全等，坐标与图形的变换−旋转，二次函数的性质，勾股定理，表示出点的坐标是解题的关键．3、2【解析】【分析】分x ＞8，x ＜-2，-2≤x ≤8，确定S 的最小值，比较三个最小值的大小，下结论即可．【详解】∵二次函数()210y ax bx c a =++≠与一次函数()20y kx m k =+≠的图象相交于点()2,4A -和()82,B ，∴当x ＞8时，1y ＞2y ，且1y 的最小值为2，∴S =1y ，且S 的最小值为2；∴当x ＜-2时，1y ＞2y ，且1y 的最小值为4，∴S =1y ，且S 的最小值为4；∴当-2≤x ≤8时，2y ＞1y ，∴S =2y ，∴248=2k m k m -+=⎧⎨+⎩，解得1-518=5k m ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩， ∴S =2y =118-55x +， ∴S 随x 的增大而减小，∴当x =8时，2y 有最小值，且为118-855⨯+=2， ∴S 的最小值为2，综上所述，S 的最小值为2，故答案为：2．【点睛】本题考查了一次函数的解析式和性质，二次函数与一次函数的综合，正确利用数形结合思想，熟练掌握性质是解题的关键．4、211n ≤<【解析】将点()2,3A 代入求出抛物线的解析式，再求出对称轴为直线1x =，开口向上，自变量离对称轴越远，因变量越大即可求解．【详解】解：将()2,3A 代入223y ax x =-+中得到：3443=-+a ，解得1a =，∴抛物线的对称轴为直线1x =，且开口向上，根据“自变量离对称轴越远，其对应的因变量越大”可知，当2m =-时，对应的n 最大为：=4+4+3=11n ，当1m =时，对应的n 最小为：1232=-+=n ，故n 的取值范围为：211n ≤<，故答案为：211n ≤<．【点睛】本题考查二次函数的图像及性质，点在抛物线上，将点的坐标代入即可求解．5、2【解析】【分析】先由抛物线过原点求解m 的值，再由抛物线的平移不改变抛物线的形状与开口方向，所以二次项的系数相同，从而可得答案.【详解】解：二次函数y ＝（m ﹣2）x 2﹣4x +2m ﹣8的图象经过原点，280,m所以抛物线为：224,y x x它可以由抛物线y ＝ax 2（a ≠0）平移得到，2.a ∴=故答案为：2【点睛】本题考查的是抛物线的性质，抛物线的平移，掌握“抛物线的平移不改变抛物线的形状与开口方向”是解本题的关键.6、-1【解析】【分析】将抛物线解析式配方，求出顶点坐标为（1，-2）在第四象限，再根据抛物线与x 轴有两个交点可得0a >，设12,x x 为A ，B 两点的横坐标，然后根据已知12||2AB x x =-≥，求出a 的取值范围，再设267w a a =-+，配方代入求解即可．【详解】解：222y ax ax a =-+-=2(21)2a x x -+-=2(1)2a x --∴抛物线顶点坐标为（1，-2），在第四象限，又抛物线222y ax ax a =-+-与x 轴相交于A ，B 两点.∴抛物线开口向上，即0a >设12,x x 为A ，B 两点的横坐标，∴121222,a x x x x a-+== ∵线段AB 的长不小于2，∴12||2AB x x =-≥∴212()4x x -≥∴221212+24x x x x -≥∴21212(+)44x x x x -≥∴22244a a--⨯≥ 解得，2a ≤设2267=(3)2w a a a =-+--当2a =时，267w a a =-+有最小值，最小值为：()22321--=-故答案为：-1【点睛】本题主要考查发二次函数的图象与性质，熟记完全平方公式和根与系数的关系是解题的关键． 7、()2,5-【解析】【分析】根据顶点坐标公式求得横坐标等于2，即可求得b 的值，进而求得顶点坐标．【详解】抛物线223y x bx =-+的对称轴是直线224b b x a --=-=-= 8b ∴= 即抛物线解析式为2283y x x =-+当2x =时，2228235y =⨯-⨯+=-∴它的顶点坐标为()2,5-【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，求得b 的值是解题的关键．8、-3【解析】【分析】根据函数图象经过原点时，0x =，0y =，代入即可求出m 的值．【详解】解：抛物线263y x x m =+++与y 轴交于原点，∴当0x =时，0y =，30m ∴+=，3m ∴=-，故答案为：3-．【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握函数图象经过原点，即当0x =时，0y =是解决问题的关键．9、 4 （2，7）【解析】【分析】由对称轴公式即可求得b ，把解析式化成顶点式即可求得顶点坐标．【详解】解：∵二次函数y ＝x 2＋bx ＋3图象的对称轴为x ＝2，∴−2(1)b ⨯-＝2， ∴b ＝4，∴二次函数y ＝−x 2＋4x ＋3，∵y ＝−x 2＋4x ＋3＝−（x −2）2＋7，∴顶点坐标是（2，7），故答案为：4，（2，7）．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，熟知对称轴公式和二次函数解析式的三种表现形式是解题的关键．10、①③##③①【解析】【分析】根据函数解析式可知1x中0x ≠，则可判断①，根据函数图像不存在最小值，进而判断②，根据2112y x x =+与3y =存在3个交点可判断③当0x <时，y 随x 的增大而减小，进而即可判断④ 【详解】解：2112y x x=+则，0x ≠，即函数图象与y 轴无交点，∴该函数自变量x 的取值范围是0x ≠；故①正确；根据函数图象可知，该函数图像不存在最小值，故②不正确；如图2112y x x =+与3y =存在3个交点，则方程21132x x+=有三个根；故③正确当0x <时，y 随x 的增大而减小，如果()11,x y 和()22,x y 是该函数图象上的两个点，当120x x <<时一定有12y y >．故④不正确故正确的有①③故答案为：①③【点睛】本题考查了函数的图象与性质，类比反比例函数和二次函数的图象与性质是解题的关键．三、解答题1、 (1)y ＝﹣x 2﹣2x +3(2)E （﹣32，154）(3)存在，（﹣12，154，﹣154，﹣154）【解析】【分析】（1）根据待定系数法求二次函数解析式即可；（2）连接OE ，设E （m ，﹣m 2﹣2m +3）,令0y =,求得A 点的坐标，进而根据S △AEC ＝S △AEO +S △ECO ﹣S △AOC 列出关系式，而AOC S 的面积是定值，进而当S △AEC 最大时，四边形AECO 面积最大，根据二次函数的性质求得最值即可；（3）分EF 是平行四边形的边和平行四边形的对角线分析，①EF 是平行四边形的边，根据平行四边形的对称性，满足条件的点Q 的纵坐标为±154，代入二次函数解析式，即可求得点Q 的坐标，②当EF 为对角线时，满足条件的点Q 的纵坐标为154，同①解方程即可 (1)∵y ＝﹣x 2+bx +c 与x 轴交于B （1，0），与y 轴交于点C （0，3），则：∴-1+03b c c +=⎧⎨=⎩，解得23b c =-⎧⎨=⎩， ∴抛物线的解析式为y ＝﹣x 2﹣2x +3．故答案为：y ＝﹣x 2﹣2x +3；如图1中，连接OE ．设E （m ，﹣m 2﹣2m +3）．当﹣x 2﹣2x +3=0时x 1=-3,x 2=1(3,0)A ∴-∴OA ＝OC ＝3，AOC S 193322=⨯⨯=,AECO S 四边形AOC AEC S S =+△△ ∴当AEC S 取得最大值时，即四边形AECO 面积最大∵S △AEC ＝S △AEO +S △ECO ﹣S △AOC ＝12×3×（﹣m 2﹣2m +3）+12×3×（﹣m ）﹣12×3×3 ＝﹣32（m +32）2+278， ∵﹣32＜0， ∴m ＝﹣32时，△AEC 的面积最大，即四边形AECO 面积最大 ∴E （﹣32，154）；存在．如图2中，因为点P 是x 轴上，点Q 在抛物线上①EF 是平行四边形的边，根据平行四边形的对称性，满足条件的点Q 的纵坐标为±154，对于抛物线y ＝﹣x 2﹣2x +3，当y ＝154时，﹣x 2﹣2x +3＝154，解得x ＝﹣32（舍弃）或﹣12， ∴Q 1（﹣12，154）．当y ＝﹣154时，﹣x 2﹣2x +3＝﹣154，解得x ，∴Q 2，﹣154），Q 3154）． ②当EF 为对角线时,154Q y =﹣x 2﹣2x +3＝154，解得x ＝﹣32（舍弃）或﹣12， ∴Q 1（﹣12，154）．综上所述，满足条件的点Q 坐标为（﹣12，154，﹣154，﹣154）【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的最值，平行四边形的性质，已知函数值求自变量的值，分类讨论是解题的关键．2、 (1)21402S x x =-+； (2)S 的最大值为750平方米【解析】【分析】（1）设AD 边的长为x 米，则AB 边长为（40﹣12x ）米，然后利用矩形的面积公式列出函数关系式即可；（2）利用二次函数的性质求最大值即可．(1)设AD 边的长为x 米，则AB 边长为（40﹣12x ）米，根据题意得：S ＝（40﹣12x ）x ＝﹣12x 2+40x ，∴S 与x 之间的函数关系式为S ＝﹣12x 2+40x ；(2)由（1）知，S ＝﹣12x 2+40x ＝﹣12（x ﹣40）2+800，∵﹣1＜0，a ＝30，∴当x ≤40时，S 随x 的增大而增大，∴当x ＝30时，S 有最大值，最大值为750，∴墙长a ＝30米，S 的最大值为750平方米．【点睛】本题考查了二次函数和几何图形相关的应用题，通常会与面积或者容积有关，只需设未知量，将所求量表示出来建立等式即可，需要注意自变量的取值范围是否符合要求．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的最值若自变量x 的取值范围是全体实数，则当0a >时，抛物线开口向上，有最低点，当2b x a =-时，函数取得最小值244ac b a -；当0a <时，抛物线开口向下，有最高点，当2b x a=-时，函数取得最大值244ac b a -．3、 (1)①2，②一次函数关系；(2)①2612S t t =-+；②1t =，S 的值最大为6【解析】【分析】（1）①由已知可得，当运动停止时，t 的值为6÷3=8÷4=2，②由已知可得CP =6-3t ，即y=-3t +6，即可得到答案；（2）①由已知可得：CP =-3t +6，CQ =4t ，即可得S =-6t 2+12t ；②由S =-6t 2+12t =-6（t -1）2+6，即可得t =1时，S 的值最大为6．(1)①6AC =，8BC =，点P 沿边AC 向C 以每秒3个单位长度的速度运动，点Q 沿边BC 向B 以每秒4个单位长度的速度运动，∴当运动停止时，t 的值为63842÷=÷=，故答案为：2；②由已知可得；3AP t =，而3AC =，63CP t ∴=-，36y t ∴=-+，是一次函数，故答案为：一次函数关系；(2)①由已知可得：36CP t =-+，4CQ t =，()213646122S t t t t ∴=⨯-+⋅=-+； ②()22612616S t t t =-+=--+，且60-<，1t ∴=时，S 的值最大为6．【点睛】本题考查了函数的综合应用，涉及动点问题、三角形面积等知识，解题的关键是用含t 的代数式表示AP 、CQ 的长度．4、 (1)点A 的坐标为()0,0，点B 的坐标为()4,0(2)a 的取值范围为01a <≤【解析】【分析】（1）解240ax ax -=（0a ≠），求出方程的解即可得到A 、B 两点的坐标；（2）先求出直线3x =与二次函数()240y ax ax a =-≠图象的交点C 的坐标，当0a >时．点C 在点Q上方（或重合），得到321a a -≥--，求出取值范围；当0a <时，3221a a a ->-≥--，点C 在点Q 的上方，线段PQ 与二次函数()240y ax ax a =-≠的图象没有公共点，或321a a -≤--，解得1a ≥，所以a的值不符合题意．(1)解：令0y =，∴240ax ax -=，∵0a ≠，∴240x x -=，∴120,4x x ==，∵点A 在点B 的左侧，∴点A 的坐标为()0,0，点B 的坐标为()4,0．(2)当3x =时．23433y a a a =⨯-⨯=-，直线3x =与二次函数()240y ax ax a =-≠图象的交点坐标为()3,3C a -，当0a >时．点C 在点Q 上方（或重合），线段PQ 与二次函数()240y ax ax a =-≠的图象恰有一个公共点，∴321a a -≥--，解得1a ≤．∴01a <≤；当0a <时，3221a a a ->-≥--，点C 在点Q 的上方，线段PQ 与二次函数()240y ax ax a =-≠的图象没有公共点，或321a a -≤--，解得1a ≥，所以a 的值不符合题意综上所述：a 的取值范围为01a <≤．【点睛】此题考查了求抛物线与坐标轴的交点坐标，直线与抛物线的交点坐标，分类思想讨论线段与抛物线的交点问题，正确掌握各知识点是解题的关键．5、 (1)抛物线的解析式为y =−34x 2+94x +3，对称轴为x =32，顶点坐标为(32，7516)； (2)m =2；(3)点M 的坐标为（119，0）或（3，0）．【解析】【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式，利用配方法可求得此抛物线的对称轴和顶点坐标；（2）先求得直线AB 的解析式，得到NP =−34m 2+3m ，根据NP = OB ，列出方程求解即可；（3）利用两点间的距离公式计算出AB =5，BP 54m =，NP =−34m 2+3m ，分PB PN OB AB =时，△BPN ∽△OBA ；PB PN AB OB =时，△BPN ∽△ABO 两种情况讨论即可求解． (1)解：∵抛物线y =−34x 2+bx +c 与x 轴交于点A (4，0)，与y 轴交于点B (0，3)， ∴2344043b c c ⎧-⨯++=⎪⎨⎪=⎩，解得：943b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴抛物线的解析式为y =−34x 2+94x +3，∵y =−34x 2+94x +3=−34(x -32)2+7516， ∴此抛物线的对称轴为x =32，顶点坐标为(32，7516)； (2)解：设直线AB 的解析式为y =px +q ，把A （4，0），B （0，3）代入得403p q q +=⎧⎨=⎩，解得：343p q ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴直线AB 的解析式为y =334x -+，∵M （m ，0），MN ⊥x 轴，∴N （m ，−34m 2+94m +3），P （m ，334m -+），∴NP =−34m 2+3m ，OB =3，∵NP ∥OB ，且以点P 、N 、B 、O 为顶点的四边形为平行四边形，∴NP = OB ，即−34m 2+3m =3，整理得：m 2-4m +4=0，解得：m =2；(3)∵A （4，0），B （0，3），P （m ，334m -+）， ∴AB=5，BP54m =，而NP =−34m 2+3m ，∵PN ∥OB ，∴∠BPN =∠ABO ，当PB PN OB AB =时，△BPN ∽△OBA ，即25334435m m m -+=，整理得9m 2-11m =0，解得m 1=0（舍去），m 2=119，此时M 点的坐标为（119，0）；当PB PN AB OB=时，△BPN ∽△ABO ，即25334453m m m -+=，整理得2m 2-5m =0，解得m 1=0（舍去），m 2=3，此时M 点的坐标为（3，0）；综上所述，点M的坐标为（119，0）或（3，0）．【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和相似三角形的判定与性质；会利用待定系数法求函数解析式；灵活应用相似比表示线段之间的关系；理解坐标与图形的性质；会利用分类讨论的思想解决数学问题．。