2015-2016年湖北省黄冈市黄梅实验学校八年级上学期期中数学试卷及参考答案

2015-2016学年湖北省黄冈市黄梅实验学校八年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）如果α与β互为余角，则（）A．α+β=180°B．α﹣β=180°C．α﹣β=90°D．α+β=90°2．（3分）有四条线段，长分别是3cm、5cm、7cm、9cm，如果用这些线段中的三条线段组成三角形，可以组成不同的三角形的个数为（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个3．（3分）在等腰三角形ABC中，∠A=60°，BC=4，则△ABC的周长为（）A．12 B．14 C．10 D．164．（3分）如图，AB=CD，AB∥DC，BE=DF，则图中的全等三角形有（）A．4对 B．3对 C．2对 D．1对5．（3分）如图，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如下图形，其中∠C=90°，∠B=45°，∠E=30°，则∠BFD的度数是（）A．15°B．25°C．30°D．10°6．（3分）下列图案是几种汽车的标志，这几个图案中是轴对称图形的共有（）A．4个 B．5个 C．6个 D．7个7．（3分）如图，小林从P点向西直走12米后，向左转，转动的角度为α，再走12米，如此重复，小林共走了108米回到点P，则α=（）A．30°B．40°C．80°D．不存在8．（3分）如图，把一直尺放置在一个三角形纸片上，则下列结论正确的是（）A．∠1+∠6＞180°B．∠2+∠5＜180°C．∠3+∠4＜180°D．∠3+∠7＞180°9．（3分）如图，△DAC和△EBC均是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结论：①△ACE≌△DCB；②CM=CN；③AC=DN．其中，正确结论的个数是（）A．3个 B．2个 C．1个 D．0个10．（3分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A（1，1），在x轴上确定一点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个二、填空题（每小题3分，共30分）11．（3分）如图是汽车牌照在水中的倒影，则该车牌照上的数字是．12．（3分）△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：3：5，则∠C=°，这个三角形按角分类时，属于三角形．13．（3分）等腰三角形的周长为14，其一边长为4，那么它的底边为．14．（3分）如图，AB=AC，要使△ABE≌△ACD，应添加的条件是（添加一个条件即可）．15．（3分）如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=4，则PD的长为．16．（3分）若M（a，2）与N（3，b）关于y轴对称，则a+b=．17．（3分）在△ABC中，AB=AC=12cm，BC=6cm，D为BC的中点，动点P从B 点出发，以每秒1cm的速度沿B→A→C的方向运动．设运动时间为t，那么当t=秒时，过D、P两点的直线将△ABC的周长分成两个部分，使其中一部分是另一部分的2倍．18．（3分）如图折叠一张矩形纸片，已知∠1=70°，则∠2的度数是．19．（3分）如图，l∥m，等边△ABC的顶点A在直线m上，则∠α=．20．（3分）如图，在Rt△ABC中，D，E为斜边AB上的两个点，且BD=BC，AE=AC，则∠DCE的大小为（度）．三、解答题（共60分）21．（6分）请在下列三个2×2的方格中，各画出一个三角形，要求所画三角形是图中三角形经过轴对称变换后得到的图形，且所画的三角形顶点与方格中的小正方形顶点重合，并将所画三角形涂上阴影．（注：所画的三个图形不能重复）22．（6分）如图，点D是△ABC的边AB上一点，点E为AC的中点，过点C作CF∥AB交DE延长线于点F．求证：AD=CF．23．（6分）如图，已知∠1=20°，∠2=25°，∠A=55°，求∠BDC的度数．24．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB．（1）求∠CAD的度数；（2）延长AC至E，使AE=AB，求证：DA=DE．25．（8分）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3．（1）求DE的长；（2）求△ADB的面积．26．（8分）如图，△ABC中，∠ACB=90゜，CD⊥AB于D，AO平分∠BAC，交CD于O，E为AB上一点，且AE=AC，求证：OE∥BC．27．（8分）如图，在平面直角坐标系中，点A与点B分别在x轴与y轴的正半轴上移动，BE是∠ABy的平分线，BE的反向延长线与∠OAB的平分线相交于点C，试问∠C的大小是否随点A、B的移动而发生变化？如果保持不变，求出∠C 的大小；如果随点A、B的移动而发生变化，请求出变化范围．28．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，点D是AC的中点．将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D 重合，连接BE、EC．试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想．2015-2016学年湖北省黄冈市黄梅实验学校八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）如果α与β互为余角，则（）A．α+β=180°B．α﹣β=180°C．α﹣β=90°D．α+β=90°【解答】解：如果α与β互为余角，则α+β=900．故选：D．2．（3分）有四条线段，长分别是3cm、5cm、7cm、9cm，如果用这些线段中的三条线段组成三角形，可以组成不同的三角形的个数为（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【解答】解：其中的任意三条组合有3、5、7；3、5、9；3、7、9；5、7、9四种情况．根据三角形的三边关系，则其中的3+5＜9，不能组成三角形，应舍去．故选：B．3．（3分）在等腰三角形ABC中，∠A=60°，BC=4，则△ABC的周长为（）A．12 B．14 C．10 D．16【解答】解：∵等腰三角形ABC，∠A=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC=4，∴△ABC的周长为4×3=12，故选：A．4．（3分）如图，AB=CD，AB∥DC，BE=DF，则图中的全等三角形有（）A．4对 B．3对 C．2对 D．1对【解答】解：∵AB=CD，AB∥CD，∴四边形ABCD为平行四边形，∴AD=BC，且AD∥BC，在△ABD和△CDB中∴△ABD≌△CDB（SSS）；∵AB∥CD，∴∠ABE=∠CDF，在△ABE和△CDF中∴△ABE≌△CDF（SAS）；同理可得∠ADE=∠CBF，∵BE=DF，∴BE+EF=EF+DF，即BF=DE，在△ADE和△CBF中∴△ADE≌△CBF（SAS），故全等的三角形有3对，故选：B．5．（3分）如图，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如下图形，其中∠C=90°，∠B=45°，∠E=30°，则∠BFD的度数是（）A．15°B．25°C．30°D．10°【解答】解：∵Rt△CDE中，∠C=90°，∠E=30°，∴∠BDF=∠C+∠E=90°+30°=120°，∵△BDF中，∠B=45°，∠BDF=120°，∴∠BFD=180°﹣45°﹣120°=15°．故选：A．6．（3分）下列图案是几种汽车的标志，这几个图案中是轴对称图形的共有（）A．4个 B．5个 C．6个 D．7个【解答】解：雪佛兰不是轴对称图形，三菱是轴对称图形，雪铁龙是轴对称图形，丰田是轴对称图形，奥迪是轴对称图形，本田是轴对称图形，大众是轴对称图形，铃木不是轴对称图形，欧宝不是轴对称图形，综上所述，轴对称图形共有6个．7．（3分）如图，小林从P点向西直走12米后，向左转，转动的角度为α，再走12米，如此重复，小林共走了108米回到点P，则α=（）A．30°B．40°C．80°D．不存在【解答】解：∵108÷12=9，∴小林从P点出发又回到点P正好走了一个9边形，∴α=360°÷9=40°．故选：B．8．（3分）如图，把一直尺放置在一个三角形纸片上，则下列结论正确的是（）A．∠1+∠6＞180°B．∠2+∠5＜180°C．∠3+∠4＜180°D．∠3+∠7＞180°【解答】解：A、∵DG∥EF，∴∠3+∠4=180°，∵∠6=∠4，∠3＞∠1，∴∠6+∠1＜180°，故A选项错误；B、∵DG∥EF，∴∠5=∠3，∴∠2+∠5=∠2+∠3=（180°﹣∠1）+（180°﹣∠ALH）=360°﹣（∠1+∠ALH）=360°﹣（180°﹣∠A）=180°+∠A＞180°，故B选项错误；C、∵DG∥EF，∴∠3+∠4=180°，故C选项错误；D、∵DG∥EF，∴∠2=∠7，∵∠3+∠2=180°+∠A＞180°，∴∠3+∠7＞180°，故D选项正确；故选：D．9．（3分）如图，△DAC和△EBC均是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结论：①△ACE≌△DCB；②CM=CN；③AC=DN．其中，正确结论的个数是（）A．3个 B．2个 C．1个 D．0个【解答】解：∵△DAC和△EBC均是等边三角形，∴AC=CD，BC=CE，∠ACD=∠BCE=60°，∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，∴∠ACE=∠BCD，在△ACE和△BCD中∴△ACE≌△DCB（SAS）；∴①正确；∵∠ACD=∠BCE=60°，∴∠DCE=180°﹣60°﹣60°=60°=∠ACD，∵△ACE≌△DCB，∴∠NDC=∠CAM，在△ACM和△DCN中∴△ACM≌△DCN（ASA），∴CM=CN，AM=DN，∴②正确；∵△ADC是等边三角形，∴AC=AD，∠ADC=∠ACD，∵∠AMC＞∠ADC，∴∠AMC＞∠ACD，∴AC＞AM，即AC＞DN，∴③错误；故选：B．10．（3分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A（1，1），在x轴上确定一点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【解答】解：（1）若AO作为腰时，有两种情况，①当A是顶角顶点时，P是以A为圆心，以OA为半径的圆与x轴的交点，共有1个；②当O是顶角顶点时，P是以O为圆心，以OA为半径的圆与x轴的交点，有2个；（2）若OA是底边时，P是OA的中垂线与x轴的交点，有1个．以上4个交点没有重合的．故符合条件的点有4个．故选：A．二、填空题（每小题3分，共30分）11．（3分）如图是汽车牌照在水中的倒影，则该车牌照上的数字是21678．【解答】解：该车牌照上的数字是21678．12．（3分）△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：3：5，则∠C=100°，这个三角形按角分类时，属于钝角三角形．【解答】解：∵∠A：∠B：∠C=1：3：5，设∠A=x°，则∠B=3x°，∠C=5x°，根据三角形内角和定理得到：∴x+3x+5x=180，解得：x=20则∠A是20°，∠B是3×20=60°，∠C，是5×20=100°，这个三角形按角分类时，属于钝角三角形；故答案为：100°，钝角．13．（3分）等腰三角形的周长为14，其一边长为4，那么它的底边为4或6．【解答】解：当腰是4时，则另两边是4，6，且4+4＞6，6﹣4＜4，满足三边关系定理，当底边是4时，另两边长是5，5，5+4＞5，5﹣4＜5，满足三边关系定理，∴该等腰三角形的底边为4或6，故答案为：4或6．14．（3分）如图，AB=AC，要使△ABE≌△ACD，应添加的条件是∠B=∠C或AE=AD（添加一个条件即可）．【解答】解：添加∠B=∠C或AE=AD后可分别根据ASA、SAS判定△ABE≌△ACD．故答案为：∠B=∠C或AE=AD．15．（3分）如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=4，则PD的长为2．【解答】解：过P作PE⊥OB，交OB与点E，∵∠AOP=∠BOP，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE，∵PC∥OA，∴∠CPO=∠POD，又∠AOP=∠BOP=15°，∴∠CPO=∠BOP=15°，又∠ECP为△OCP的外角，∴∠ECP=∠COP+∠CPO=30°，在直角三角形CEP中，∠ECP=30°，PC=4，∴PE=PC=2，则PD=PE=2．故答案为：2．16．（3分）若M（a，2）与N（3，b）关于y轴对称，则a+b=﹣1．【解答】解：∵M（a，2）与N（3，b）关于y轴对称，∴a=﹣3，b=2，则a+b=﹣3+2=﹣1．故答案为：﹣1．17．（3分）在△ABC中，AB=AC=12cm，BC=6cm，D为BC的中点，动点P从B 点出发，以每秒1cm的速度沿B→A→C的方向运动．设运动时间为t，那么当t= 7或17秒时，过D、P两点的直线将△ABC的周长分成两个部分，使其中一部分是另一部分的2倍．【解答】解：分两种情况：（1）P点在AB上时，如图，∵AB=AC=12cm，BD=CD=BC=×6=3cm，设P点运动了t秒，则BP=t，AP=12﹣t，由题意得：BP+BD=（AP+AC+CD）或（BP+BD）=AP+AC+CD，∴t+3=（12﹣t+12+3）①或（t+3）=12﹣t+12+3②，解①得t=7秒，解②得，t=17（舍去）；（2）P点在AC上时，如图，∵AB=AC=12cm，BD=CD=BC=×6=3cm，P点运动了t秒，则AB+AP=t，PC=AB+AC﹣t=24﹣t，由题意得：BD+AB+AP=2（PC+CD）或2（BD+AB+AP）=PC+CD，∴3+t=2（24﹣t+3）①或2（3+t）=24﹣t+3②解①得t=17秒，解②得，t=7秒（舍去）．故当t=7或17秒时，过D、P两点的直线将△ABC的周长分成两个部分，使其中一部分是另一部分的2倍．故答案为：7或17．18．（3分）如图折叠一张矩形纸片，已知∠1=70°，则∠2的度数是55°．【解答】解：∵根据折叠得出四边形MNFG≌四边形BCFG，∴∠EFG=∠2，∵∠1=70°，∴∠BEF=∠1=70°，∵AB∥DC，∴∠EFC=180°﹣∠BEF=110°，∴∠2=∠EFG=∠EFC=55°，故答案为：55°．19．（3分）如图，l∥m，等边△ABC的顶点A在直线m上，则∠α=20°．【解答】解：如图，延长CB交直线m于D，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，∵l∥m，∴∠1=40°．∴∠α=∠ABC﹣∠1=60°﹣40°=20°．故答案为：20°．20．（3分）如图，在Rt△ABC中，D，E为斜边AB上的两个点，且BD=BC，AE=AC，则∠DCE的大小为45（度）．【解答】解：设∠DCE=x，∠ACD=y，则∠ACE=x+y，∠BCE=90°﹣∠ACE=90°﹣x ﹣y．∵AE=AC，∴∠ACE=∠AEC=x+y，∵BD=BC，∴∠BDC=∠BCD=∠BCE+∠DCE=90°﹣x﹣y+x=90°﹣y．在△DCE中，∵∠DCE+∠CDE+∠DEC=180°，∴x+（90°﹣y）+（x+y）=180°，解得x=45°，∴∠DCE=45°．故答案为：45．三、解答题（共60分）21．（6分）请在下列三个2×2的方格中，各画出一个三角形，要求所画三角形是图中三角形经过轴对称变换后得到的图形，且所画的三角形顶点与方格中的小正方形顶点重合，并将所画三角形涂上阴影．（注：所画的三个图形不能重复）【解答】解：22．（6分）如图，点D是△ABC的边AB上一点，点E为AC的中点，过点C作CF∥AB交DE延长线于点F．求证：AD=CF．【解答】证明：∵CF∥AB，∴∠1=∠F，∠2=∠A，∵点E为AC的中点，∴AE=EC，在△ADE和△CFE中∴△ADE≌△CFE（AAS），∴AD=CF．23．（6分）如图，已知∠1=20°，∠2=25°，∠A=55°，求∠BDC的度数．【解答】解：∵∠1=20°，∠2=25°，∠A=55°，∴∠DBC+∠DCB=180°﹣20°﹣25°﹣55°=80°，在△BCD中，∠BDC=180°﹣（∠DBC+∠DCB）=180°﹣80°=100°．24．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB．（1）求∠CAD的度数；（2）延长AC至E，使AE=AB，求证：DA=DE．【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB，∴∠CAB=60°=2×∠CAD，∴∠CAD=30°；（2）连接BE，得到三角形ABE，∵延长AC至E，使AE=AB，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，∴∠EAB=60°，∴三角形ABE是等边三角形，∴AC=CE，∴Rt△DCA≌Rt△DCE，∴DA=DE．25．（8分）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3．（1）求DE的长；（2）求△ADB的面积．【解答】解：（1）∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，∴CD=DE，∵CD=3，∴DE=3；（2）在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB===10，∴△ADB的面积为S△ADB=AB•DE=×10×3=15．26．（8分）如图，△ABC中，∠ACB=90゜，CD⊥AB于D，AO平分∠BAC，交CD于O，E为AB上一点，且AE=AC，求证：OE∥BC．【解答】证明：在△AOC和△AOE中，，∴△AOC≌△AOE（SAS），∴∠ACD=∠AEO，∵△ABC中，∠ACB=90゜，CD⊥AB，∴∠ACD+∠BCD=∠BCD+∠B=90°，∴∠ACD=∠B，∴∠AEO=∠B，∴OE∥BC．27．（8分）如图，在平面直角坐标系中，点A与点B分别在x轴与y轴的正半轴上移动，BE是∠ABy的平分线，BE的反向延长线与∠OAB的平分线相交于点C，试问∠C的大小是否随点A、B的移动而发生变化？如果保持不变，求出∠C 的大小；如果随点A、B的移动而发生变化，请求出变化范围．【解答】解：∠C的大小保持不变．理由：∵AC平分∠OAB，BE平分∠ABY，∴∠ABE=∠ABY，∠CAB=∠OAB，∴∠C=∠ABE﹣∠CAB=∠ABy﹣∠OAB=（∠ABy﹣∠OAB）=∠AOB=45°．故∠C的大小不发生变化，且始终保持45°．28．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，点D是AC的中点．将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D 重合，连接BE、EC．试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想．【解答】数量关系为：BE=EC，位置关系是：BE⊥EC．证明：∵△AED是直角三角形，∠AED=90°，且有一个锐角是45°，∴∠EAD=∠EDA=45°，∴AE=DE，∵∠BAC=90°，∴∠EAB=∠EAD+∠BAC=45°+90°=135°，∠EDC=∠ADC﹣∠EDA=180°﹣45°=135°，∴∠EAB=∠EDC，∵D是AC的中点，∴AD=CD=AC，∵AC=2AB，∴AB=AD=DC，∵在△EAB和△EDC中，∴△EAB≌△EDC（SAS），∴EB=EC，且∠AEB=∠DEC，∴∠BEC=∠DEC+∠BED=∠AEB+∠BED=90°，∴BE⊥EC．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。