线性代数行列式计算习题课最终版.ppt
合集下载
线性代数行列式计算习题课PPT课件
元 素 的 余 子 式 的 值 依 次 是 3 ,9 , 3 , 1 ， 则 m 7
第 3 行 元 素 代 数 余 子 式 的 值 依 次 是 ： 3 , 9 , ( 3), (1)
由 代 数 余 子 式 的 性 质 得 2 3 ( 1 ) ( 9 ) m ( 3 ) 6 1 0
第15页
第16页
x 1 1 1 x c1c4 x 1 1 1
x 1 1 1 1 x 1 1 1
1 1 1 x1 1 0 0 x
c2c1
1 c1x x
1
x1
1 c3c1 1 x
0
x
0x4
1 x1 1 1 c4c1 1 x 0 0
1 1 1 1 1 0 0 0
第11页
•三、练习
•1设行列式
01 0 2 0 1 0 1 0 2 D 0 2 0 1 0 202 0 1 2 0 1 0 3
a 3 1 a 3 2 a 3 3 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31
n阶行列式： a11 a12 L a1n
p1p2L pn
Dndet(aij)L a21
a22 L a2n LLL
(1)ta1p1a2p2Lanpn
an1 an2 L ann
n !项
第3页
行列式的性质
第一章 行列式
小结与习题
第 3 行 元 素 代 数 余 子 式 的 值 依 次 是 ： 3 , 9 , ( 3), (1)
由 代 数 余 子 式 的 性 质 得 2 3 ( 1 ) ( 9 ) m ( 3 ) 6 1 0
第15页
第16页
x 1 1 1 x c1c4 x 1 1 1
x 1 1 1 1 x 1 1 1
1 1 1 x1 1 0 0 x
c2c1
1 c1x x
1
x1
1 c3c1 1 x
0
x
0x4
1 x1 1 1 c4c1 1 x 0 0
1 1 1 1 1 0 0 0
第11页
•三、练习
•1设行列式
01 0 2 0 1 0 1 0 2 D 0 2 0 1 0 202 0 1 2 0 1 0 3
a 3 1 a 3 2 a 3 3 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31
n阶行列式： a11 a12 L a1n
p1p2L pn
Dndet(aij)L a21
a22 L a2n LLL
(1)ta1p1a2p2Lanpn
an1 an2 L ann
n !项
第3页
行列式的性质
第一章 行列式
小结与习题
第一章行列式习题课PPT课件
105
64＝| C || 1 2 4 | 2 2 0 ,
1 05
031
由于 2 2 0＝32，故 | 1 2 4 |＝2.
031
从而 | A| 2 | 3 2 1 | 3| 1 2 4 | －2（ 5） 3 2 4
第28页/共55页
例9、13 设A为3阶方阵且| A | 1，求(1 A)1 8A*.
xn1 n
第10页/共55页
5.行列式常用计算方 法
首先观察行列式元素的规律（数字规律与排列规 律），
常用计算方法有：
• 利用行列式的定义；
• 利用行列式的性质化为三角形行列式；
• 利用行列式的性质做恒等变形化简,使行列式中出现 尽量多的零元素，然后按零元素最多的行或列展开；
• 拆行列式为几个行列式的和；
第6页/共55页
3.行列式的性质
• 性质1 行列式与它的转置行列式相等。 此性质说明在行列式中行和列的地位是同等的，即对
行成立的性质对列也同样成立。 • 性质2 互换行列式的两行(列)，行列式改变符号。
推论 若行列式中两行(列)对应元素完全相同，则此 行列式为零。 • 性质3 行列式中某一行(列)元素的公因子可以提到行列 式外面。 推论1 若行列式某一行(列)的元素全为零，则该行列 式为零。 推论2 若行列式某两行第(7列页/共)对55页应元素成比例，则该行
线性代数-行列式PPT课件
行列式的加法规则
总结词
行列式的加法规则
详细描述
行列式的加法规则是对于任何两个同阶方阵A和B，它们的行列式之和等于它们对应元素之和的行列式。 即，如果矩阵A和B是同阶方阵，那么|A+B| = |A| + |B|。
04
行列式的应用
在几何中的应用
描述几何形状
行列式可以用来描述几何形状的面积和体积。例如，二阶行 列式可以用来计算平行四边形的面积，三阶行列式可以用来 计算立方体的体积。
利用代数余子式的性质，将行列 式表示为代数余子式的线性组合， 从而简化计算。
具体步骤
首先计算每个元素的代数余子式， 然后将代数余子式按照一定的规 则进行组合，得到行列式的值。
注意事项
在计算过程中，需要注意代数余 子式的性质，以及组合规则的正 确应用。
展开法
1 2 3
展开法
将行列式按照某一行或某一列进行展开，从而将 高阶行列式转化为低阶行列式，简化计算。
性质
02
三阶行列式具有交换律、结合律和代数余子式等性质。
应用
03
三阶行列式在解析几何、向量运算和矩阵运算中都有广泛应用。
范德蒙德行列式
定义
范德蒙德行列式表示为n(n+1)/2个n维向量的外积，其计算公式为 V=A0*A1*...*An，其中Ai表示第i个n维向量。
线性代数第一章行列式课件
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a31 a32 a33 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 .
注意 实线上三元素的乘积冠以正号，虚线上三元素 的乘积冠以负号．
例2 计算三阶行列式
1 3 2 D 3 2 2
第一节 行列式的基本概念
一、行列式的定义
１. 排列及逆序数
定义1 将 n 个不同的自然数 m1, m2 ,
一个有序数组称为一个 n 级排列.
, mn组成的
定义1＇ 将自然数 1, 2, , n 组成的一个有序数组称 为一个 n 级排列．
例1 试写出所有的 3 级排列．
1 2 3, 13 2, 213, 2 31, 31 2, 3 21
定理3 任意一个行列式经过一系列上述的三类变换， 总能化成上三角或下三角行列式进行求值．
例 7 计算 n 阶行列式 x 00 1 x 0 0 1 x
Dn
0 00 0 00
0 a1 0 a2 0 a3
x an1 1 x an
例8 证明
a11 a12 a21 a22
D am1 am2 c11 c12 c21 c22
(1)n( j1 j2 jn ) (1) ( j1 j2 jn )
２. 行列式的定义
定义4 将由 n2 个数 aij (i, j 1, 2, , n) 组成的算式
注意 实线上三元素的乘积冠以正号，虚线上三元素 的乘积冠以负号．
例2 计算三阶行列式
1 3 2 D 3 2 2
第一节 行列式的基本概念
一、行列式的定义
１. 排列及逆序数
定义1 将 n 个不同的自然数 m1, m2 ,
一个有序数组称为一个 n 级排列.
, mn组成的
定义1＇ 将自然数 1, 2, , n 组成的一个有序数组称 为一个 n 级排列．
例1 试写出所有的 3 级排列．
1 2 3, 13 2, 213, 2 31, 31 2, 3 21
定理3 任意一个行列式经过一系列上述的三类变换， 总能化成上三角或下三角行列式进行求值．
例 7 计算 n 阶行列式 x 00 1 x 0 0 1 x
Dn
0 00 0 00
0 a1 0 a2 0 a3
x an1 1 x an
例8 证明
a11 a12 a21 a22
D am1 am2 c11 c12 c21 c22
(1)n( j1 j2 jn ) (1) ( j1 j2 jn )
２. 行列式的定义
定义4 将由 n2 个数 aij (i, j 1, 2, , n) 组成的算式
线性代数完整版ppt课件
0 D2 0
0 a23 a32 0
0 0
(1)t(4321)a14a23a33a41a14a23a33a41
a41 0 0 0
其中 t(4 3 2 1 )0 123 3 4 6 .
2
.
30
a11 a12 a13 a14
0 D3 0
a22 0
a23 a33
a24 a34
a11a22a33a44
.
4
§1 二阶与三阶行列式
我们从最简单的二元线性方程组出发，探 求其求解公式，并设法化简此公式.
一、二元线性方程组与二阶行列式
二元线性方程组
aa1211xx11
a12 x2 a22 x2
b1 b2
由消元法，得
( a a a a ) x b a a b 12 12 12 21 1 1 22 12 2
28
例：写出四阶行列式中含有因子a11a的23 项.
解：a11a23a32a44和 a11a23a34a42.
例：计算行列式
a11 0 0 0
0 D1 0
a22 0 0 a33
0 0
0 0 0 a44
0 0 0 a14
0 D2 0
0 a23 a32 0
0 0
a41 0 0 0
a11 a12 a13 a14
a 11 a 12 数表 a 2 1 a 2 2
线性代数完整版ppt课件
显然 P n n ( n 1 ) ( n 2 )3 2 1 n !
即n 个不同的元素一共有n! 种不同的排法.
.
18
3个不同的元素一共有3! =6种不同的排法 123，132，213，231，312，321
所有6种不同的排法中，只有一种排法 （123）中的数字是按从小到大的自然 顺序排列的，而其他排列中都有大的 数排在小的数之前.
a11 a12 a13 D a21 a22 a23
a31 a32 a33
实线上的三个元素的乘积冠正号， 虚线上的三个元素的乘积冠负号.
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31a12a21a33 a11a23a32
注意：对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.
.
13
a11x1 a12x2 b1 a21x1 a22x2 b2
求解公式为
x1
x
2
b1a 22 a11a 22 a11b2 a11a 22
a12b2 a12a 21 b1a 21 a12a 21
请观察，此公式有何特点？ Ø分母相同，由方程组的四个系数确定. Ø分子、分母都是四个数分成两对相乘再
线性代数（第五版）
在以往的学习中，我们接触过二 元、三元等简单的线性方程组.
但是，从许多实践或理论问题里 导出的线性方程组常常含有相当 多的未知量，并且未知量的个数 与方程的个数也不一定相等.
即n 个不同的元素一共有n! 种不同的排法.
.
18
3个不同的元素一共有3! =6种不同的排法 123，132，213，231，312，321
所有6种不同的排法中，只有一种排法 （123）中的数字是按从小到大的自然 顺序排列的，而其他排列中都有大的 数排在小的数之前.
a11 a12 a13 D a21 a22 a23
a31 a32 a33
实线上的三个元素的乘积冠正号， 虚线上的三个元素的乘积冠负号.
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31a12a21a33 a11a23a32
注意：对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.
.
13
a11x1 a12x2 b1 a21x1 a22x2 b2
求解公式为
x1
x
2
b1a 22 a11a 22 a11b2 a11a 22
a12b2 a12a 21 b1a 21 a12a 21
请观察，此公式有何特点？ Ø分母相同，由方程组的四个系数确定. Ø分子、分母都是四个数分成两对相乘再
线性代数（第五版）
在以往的学习中，我们接触过二 元、三元等简单的线性方程组.
但是，从许多实践或理论问题里 导出的线性方程组常常含有相当 多的未知量，并且未知量的个数 与方程的个数也不一定相等.
高等数学线性代数行列式教学ppt(1)
当 a11a22 a12a21 0 时， 方程组的解为
x1
b1a22 a11a22
a12b2 ， a12a21
x2
a11b2 a11a22
b1a21 . a12a21
（3）
由方程组的四个系数确定.
定义 用记号 a11 a12 a21 a22
表示 a11a22 a12a21,
称为二阶行列式。
a A i1 j1 a A i2 j2 a A in jn 0, i j .
证 把行列式 D det(aij ) 按第 j 行展开，有
a11 a1n
ai1 ain
a j1 Aj1 a jn Ajn
,
a j1 a jn
an1 ann
把 a jk 换成 aik (k 1,,n),可得
a11
x2
D2 D
a21 a11
a21
b1 b2 . a12 a22
注意 分母都为原方程组的系数行列式.
例1 求解二元线性方程组
32x1x12
x2 x2
12, 1.
解
3 D
2
3 (4) 7 0,
21
12 D1 1
2 14,
1
3 D2 2
12 1
21,
x1
D1 D
14 7
2,
x2
D2 D
线性代数课件第一章行列式
定义：将a11 a12 称作二阶行列式，它是一 a21 a22
种特殊的运算，即a11 a21
a12 a22
a11a22 a12a21.
aij称 为 行 列 式 的 元 素第一行 第二列
对角线法则:
主对角线 a11 副对角线 a12
a12
a11a22 a12a21 .
a 22
线性代数课件第一章行列式
线性代数课件第一章行列式
但是，当时MarkⅡ还不能处理500个未知量、 500个方程组的方程组.所以他把这个问题提炼成 42个未知量、42个方程的方程组.
最后，经过56小时的持续运转， MarkⅡ终于求出了一个解.
列昂惕夫开启了通往经济学数学 模型一个新时代的大门，并于1973年 荣获诺贝尔奖.从那时起，其他领域 的研究者也开始使用计算机分析数学 模型. 常用的数学软件有Matlab、Maple、 Mathematica、SAS、Mathcad.
线性代数课件第一章行列式
应用四、经济学和工程学中Βιβλιοθήκη Baidu线性模型
列昂惕夫 美籍俄裔著名经济学家，1906 年8月日生于俄国彼得堡，1925年毕业于列 宁格勒大学经济系。1928年获德国柏林大 学哲学博士学位。
1949年夏末，哈佛大学的瓦.列昂惕夫教 授小心翼翼的将最后一张穿孔卡片插入学校的 MarkⅡ计算机.这些卡片存储着美国劳工统计署历 时两年紧张工作所得的250000多条数据.列昂惕夫把 美国的经济系统分成500个“部门”，如：煤炭工业、 汽车工业、通讯业等.针对每个部门给出了一个线性 方程，描述该部门如何向其他部门分配产出.
线性代数-行列式(完整版)ppt课件
a11a22a12a21
数a（ ij i, j 1,2)称为它的元素。
今后对任何行列式，排 横称为行， 竖排称为列 ,
ai中 j i称为行, j称 标为列, a标 ij 表示i第 行第 j列元,素
左上角到右下角表示主对角线，
4
.
右上角到左下角表示次对角线，
例１ 5 1
52(1)313
32
例２
2
3
0 0 0 a11a22 ann
an1 an2 an3 ann
证： 由定义 D ( 1 ) N (j 1 j 2 j n ) a 1 j 1 a 2 j 2 a n nj
和式中,只有当 jnn ,jn 1n 1 , ,j22 ,j11 时
a1j1a2j2annj0
所以 D ( 1 ) N ( 1 n 2 ) a 1 a 3 2 1 2 a n n a 1 a 2 1 2 a nn
奇偶排列: 若排列i1i2…in的逆序数为奇（偶）数， 称它为奇（偶）排列.
17
.
逆序数的计算方法
不 妨 设 元1至 素n的 为自 然并数规定，从小到大 为标准次序。 设i1i2in为一n级 个排列。
考虑i元 j(i1素 ,2n),如果比ij大，且排在 i j前面的元素有t j个，那么ji的逆序t是 j个全，体 元 素 逆序之和 i1i2就 in的 是逆序 即 数，
行列式习题课.ppt
0
00
a 0
34 0
a 0
44 0
a a 0
52
53 0
0
解 D5中可能的非零元素只有一项
aaaaa, 12 25 31 44 53
a a a a a 从而 D5 (1) (25143) 12 25 31 44 53
a a a a a
.
12 25 31 44 53
注意
如果一个n阶行列式中等于零的元素比
6 用数学归纳法
例９ 证明
cos 1
0 0 0
1 2cos 1 0 0
0 Dn
1 2cos 0 0
0
0
0
0
0 1
0 1 2cos
cos n .
证 对阶数n用数学归纳法
因为D1 cos ,
cos
D2 1
1
cos 2
2cos2
1 cos 2 ,
所以,当n 1, n 2时,结论成立.
x1 x2 xn１a x1 x2 xn2 a xn x1 x2 a x4 xn
xn xn1 x3(a x1 a x2 x1 x2)
x1 x2 xn a( x1 x2 xn1 x1 x3 xn x2 x3 xn).
当 x1 x2 xn 0时，还可改写成
Dn x1 x2 xn[1 a( 1 1 1 )].
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第一章 行列式
小结与习题
第1页
知识点
➢ 行列式的定义 ➢ 行列式的性质 ➢ 行列式按行（列）展开 ➢ 几类特殊行列式的值
第2页
行列式的定义
二阶行列式：a11
a21
a12 a22
a11a22 a12a21
三阶行列式：a11 a12 a13
a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
百度文库
ain Ajn 0 ani Anj 0，i j
第5页
几类特殊行列式的值
a11 a12
1.
a22
a1n a11 a2n a21 a22
a11
a22
ann an1 an2
ann
ann
a11a22 ann
第6页
典型习题
➢ 代数余子式的相关计算 ➢ 计算行列式
第7页
与代数余子式有关的计算
求A43.
第12页
1 12 3
2.解方程 1 2 x 2 2 3
0
2 31 5
2 3 1 9 x2
第13页
•3.计算下列行列式的值
0a 0 0
D4
0
c
0 0
b
0
0 0
00 xd
第14页
4．用克兰姆法则解线性方程组
4x 3y z 1 3x 4y 7z 2 x 7y 6z 1
1 1 x 1
1 x 1
1
x 1 1 1
x 1 1 1 1 x 1 1 1
1 1 1 x 1 1 0 0 x
c2 c1
1 c1 x x
1
x 1
1 c3 c1 1 x
0
x
0 x4
1 x 1 1 1 c4 c1 1 x 0 0
1 1 1 1
10 0 0
第11页
•三、练习
•1设行列式
01 0 2 0 1 0 1 0 2 D 0 2 0 1 0 202 0 1 2 0 1 0 3
*
*
3、 kai1
kain k ai1
ain
*
*
ri k (ci k) ri k (ci k)
4、若有两行(列)元素相同或对应成比例，行列式等于零
*
*
*
5、 bi1 ci1
bin cin bi1
bin ci1
cin
*
*
*
6、某行（列）的k倍加到另一行（列）上，行列式值不变 ri krj (ci kc j )
第4页
行列式按行（列）展开
行列式等于它的任一行(列)各元素与其对应的代数余子式 乘积之和：
Dn ai1Ai1 ai2 Ai2 a1i A1i a2i A2i
ain Ain ani Ani
行列式某一行(列)元素与另一行(列)对应元素的代数余子式 乘积之和等于零：
ai1 Aj1 ai2 Aj2 a1i A1 j a2i A2 j
•51. 已知某4阶行列式的第2行元素依次是2, 1, m,6，第3行
元素的余子式的值依次是3,9, 3, 1，则m 7
第3行元素代数余子式的值依次是： 3, 9, (3), (1)
由代数余子式的性质得 23 (1)(9) m(3) 61 0
解得 m 7.
第8页
计算行列式
① 利用行列式定义计算
x1 1 2
•26. 函数f (x) 1 x 1 1 中x3的系数是 1
32 x 1 1 1 2x 1
(1)t(1234) x x x 1 (1)t(1243) x x 1 2x
第9页
计算行列式
② 化三角形法
利用性质化行列式为三角形行列式。
③ 造零降阶法
利用性质将某行（列）中大部分元素化为零，然后
a31 a32 a33
n阶行列式： a11 a12
a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31
a1n
p1 p2 pn
Dn det(aij ) a21 a22
a2n
(1)t a1p1 a2 p2
anpn
an1 an2
ann
n!项
第3页
行列式的性质
1、D DT 2、两行（列）互换，行列式变号 ri rj (ci c j )
按该行（列）展开，降低行列式的阶数。
2 3 8 1
2 1 3 1
3
1
0 1
2 31；
1
2
5 3
1 3 4 2
4 1 1
0 20
4
0 1 0 1
2 3 4 9
3
第10页
a. 行（列）元素之和相等的行列式
1
7•3. D 1
1
1 1 x 1
1 x 1
1
x 1 x c1 c2 1 x c1c3 1 x c1c4
第15页
第16页
小结与习题
第1页
知识点
➢ 行列式的定义 ➢ 行列式的性质 ➢ 行列式按行（列）展开 ➢ 几类特殊行列式的值
第2页
行列式的定义
二阶行列式：a11
a21
a12 a22
a11a22 a12a21
三阶行列式：a11 a12 a13
a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
百度文库
ain Ajn 0 ani Anj 0，i j
第5页
几类特殊行列式的值
a11 a12
1.
a22
a1n a11 a2n a21 a22
a11
a22
ann an1 an2
ann
ann
a11a22 ann
第6页
典型习题
➢ 代数余子式的相关计算 ➢ 计算行列式
第7页
与代数余子式有关的计算
求A43.
第12页
1 12 3
2.解方程 1 2 x 2 2 3
0
2 31 5
2 3 1 9 x2
第13页
•3.计算下列行列式的值
0a 0 0
D4
0
c
0 0
b
0
0 0
00 xd
第14页
4．用克兰姆法则解线性方程组
4x 3y z 1 3x 4y 7z 2 x 7y 6z 1
1 1 x 1
1 x 1
1
x 1 1 1
x 1 1 1 1 x 1 1 1
1 1 1 x 1 1 0 0 x
c2 c1
1 c1 x x
1
x 1
1 c3 c1 1 x
0
x
0 x4
1 x 1 1 1 c4 c1 1 x 0 0
1 1 1 1
10 0 0
第11页
•三、练习
•1设行列式
01 0 2 0 1 0 1 0 2 D 0 2 0 1 0 202 0 1 2 0 1 0 3
*
*
3、 kai1
kain k ai1
ain
*
*
ri k (ci k) ri k (ci k)
4、若有两行(列)元素相同或对应成比例，行列式等于零
*
*
*
5、 bi1 ci1
bin cin bi1
bin ci1
cin
*
*
*
6、某行（列）的k倍加到另一行（列）上，行列式值不变 ri krj (ci kc j )
第4页
行列式按行（列）展开
行列式等于它的任一行(列)各元素与其对应的代数余子式 乘积之和：
Dn ai1Ai1 ai2 Ai2 a1i A1i a2i A2i
ain Ain ani Ani
行列式某一行(列)元素与另一行(列)对应元素的代数余子式 乘积之和等于零：
ai1 Aj1 ai2 Aj2 a1i A1 j a2i A2 j
•51. 已知某4阶行列式的第2行元素依次是2, 1, m,6，第3行
元素的余子式的值依次是3,9, 3, 1，则m 7
第3行元素代数余子式的值依次是： 3, 9, (3), (1)
由代数余子式的性质得 23 (1)(9) m(3) 61 0
解得 m 7.
第8页
计算行列式
① 利用行列式定义计算
x1 1 2
•26. 函数f (x) 1 x 1 1 中x3的系数是 1
32 x 1 1 1 2x 1
(1)t(1234) x x x 1 (1)t(1243) x x 1 2x
第9页
计算行列式
② 化三角形法
利用性质化行列式为三角形行列式。
③ 造零降阶法
利用性质将某行（列）中大部分元素化为零，然后
a31 a32 a33
n阶行列式： a11 a12
a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31
a1n
p1 p2 pn
Dn det(aij ) a21 a22
a2n
(1)t a1p1 a2 p2
anpn
an1 an2
ann
n!项
第3页
行列式的性质
1、D DT 2、两行（列）互换，行列式变号 ri rj (ci c j )
按该行（列）展开，降低行列式的阶数。
2 3 8 1
2 1 3 1
3
1
0 1
2 31；
1
2
5 3
1 3 4 2
4 1 1
0 20
4
0 1 0 1
2 3 4 9
3
第10页
a. 行（列）元素之和相等的行列式
1
7•3. D 1
1
1 1 x 1
1 x 1
1
x 1 x c1 c2 1 x c1c3 1 x c1c4
第15页
第16页