高考数学第一部分微专题强化练习题：17推理与证明

第一部分一17一、选择题1．(文)将正奇数1,3,5,7，…排成五列(如下表)，按此表的排列规律，89所在的位置是( )第第第第第一二三四五列列列列列1 3 5 715131191719212331292725…A．第一列B．第二列C．第三列D．第四列[答案] D[解析]正奇数从小到大排，则89位居第45位，而45＝4×11＋1，故89位于第四列．(理)(2014·广州市综合测试)将正偶数2,4,6,8，…按下表的方式进行排列，记a ij表示第i行第j列的数，若a ij＝2014，则i＋j的值为( )第1列第2列第3列第4列第5列第1行2468第2行16141210第3行18202224A．C．254 D．253[答案] C[解析]依题意，注意到题中的数表中，奇数行空置第1列，偶数行空置第5列；且自左向右，奇数行的数字由小到大排列，偶数行的数字由大到小排列；2014是数列{2n}的第1007项，且1007＝4×251＋3，因此2014位于题中的数表的第252行第2列，于是有i＋j ＝252＋2＝254，故选C．[方法点拨] 归纳推理根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这样性质的推理，叫做归纳推理，归纳是由特殊到一般的推理．归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理，在进行归纳时，要先根据已知的部分个体，把它们适当变形，使其具有统一的表现形式，便于观察发现其规律，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论．2．(2015·广东文，6)若直线l1与l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( )A．l与l1，l2都不相交B．l与l1，l2都相交C．l至多与l1，l2中的一条相交D．l至少与l1，l2中的一条相交[答案] D[解析]考查空间点、线、面的位置关系．若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，假如l与l1、l2都不相交，则l∥l1，l∥l2，∴l1∥l2，与l1、l2异面矛盾，因此l至少与l1，l2中的一条相交，故选D．[方法点拨] 演绎推理根据一般性的真命题(或逻辑规则)导出特殊性命题为真的推理叫做演绎推理．演绎推理是由一般性命题到特殊性命题的推理．(1)演绎推理的特点当前提为真时，结论必然为真．(2)演绎推理的一般模式——“三段论”①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．3．(文)若数列{a n}是等差数列，则数列{b n}(b n＝a1＋a2＋…＋a nn)也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{c n}是等比数列，则数列{d n}也是等比数列，则d n的表达式应为( )A ．d n ＝c 1＋c 2＋…＋c nnB ．d n ＝c 1·c 2·…·c nnC ．d n ＝n c n 1＋c n 2＋…＋c n nnD ．d n ＝nc 1·c 2·…·c n[答案] D[解析] 通过审题观察，对比分析得到：[方法点拨] 类比推理根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似(或相同)的性质的推理叫做类比推理，类比推理是由特殊到特殊的推理．进行类比推理时，要抓住类比对象之间相似的性质，如等差数列的和对应的可能是等比数列的和，更可能是等比数列的积，再结合其他要求进一步确定类比项．(理)记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，利用倒序求和的方法，可将S n 表示成首项a 1、末项a n 与项数n 的一个关系式，即公式S n ＝n (a 1＋a n )2；类似地，记等比数列{b n }的前n 项积为T n ，且b n >0(n ∈N *)，试类比等差数列求和的方法，可将T n 表示成首项b 1、末项b n 与项数n的一个关系式，即公式T n ＝( )A ．n (b 1＋b n )2B ．(b 1＋b n )n2C ．n b 1b nD ．(b 1b n )n2[答案] D[解析] 利用等比数列的性质：若m ＋n ＝p ＋q ，则b m ·b n ＝b p ·b q ，利用倒序求积方法有⎩⎪⎨⎪⎧T n ＝b 1b 2·…·b n ，T n ＝b n b n －1·…·b 1，两式相乘得T 2n ＝(b 1b n )n，即T n ＝(b 1b n )n2.4．观察下图：1 2 3 4 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 9 10…………则第( )行的各数之和等于20112.( )A ．2010B ．2009C ．1006D ．1005[答案] C[解析] 由题设图知，第一行各数和为1；第二行各数和为9＝32；第三行各数和为25＝52；第四行各数和为49＝72；…，∴第n 行各数和为(2n －1)2，令2n －1＝2011，解得n ＝1006.[点评] 观察可见，第1行有1个数，第2行从2开始有3个数，第3行从3开始有5个数，第4行从4开始有7个数，…，第n 行从n 开始，有2n －1个数，因此第n 行各数的和为n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)[n ＋(3n －2)]2＝(2n －1)2.5．已知正三角形内切圆的半径是其高的13，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是( )A ．正四面体的内切球的半径是其高的12B ．正四面体的内切球的半径是其高的13C ．正四面体的内切球的半径是其高的14D ．正四面体的内切球的半径是其高的15[答案] C[解析] 原问题的解法为等面积法，即S ＝12ah ＝3×12ar ⇒r ＝13h ，类比问题的解法应为等体积法，V ＝13Sh ＝4×13Sr ⇒r ＝14h ，即正四面体的内切球的半径是其高的14，所以应选C ．6．(文)用反证法证明命题“设a 、b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A ．方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根B ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实根C ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根D ．方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根 [答案] A[解析] 至少有一个实根的否定为：没有实根．(理)①已知p 3＋q 3＝2，求证p ＋q ≤2，用反证法证明时，可假设p ＋q ≥2，②已知a 、b ∈R ，|a |＋|b |<1，求证方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根x 1的绝对值大于或等于1，即假设|x 1|≥1.以下结论正确的是( )A ．①与②的假设都错误B ．①与②的假设都正确C ．①的假设正确；②的假设错误D ．①的假设错误；②的假设正确 [答案] D[解析] 反证法的实质是命题的等价性，因为命题p 与命题的否定¬p 真假相对，故直接证明困难时，可用反证法．故选D ．[方法点拨] 1.反证法的定义一般地，由证明p ⇒q 转向证明：綈q ⇒r ⇒…⇒t ，t 与假设矛盾，或与某个真命题矛盾．从而判断綈q 为假，推出q 为真的方法，叫做反证法．2．反证法的特点先假设原命题不成立，再在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、公式或已被证明了的结论，或与公认的简单事实等矛盾．7．(文)在平面直角坐标系中，设△ABC 的顶点分别为A (0，a )、B (b,0)、C (c,0)，点P (0，p )在线段AO 上(异于端点)，设a 、b 、c 、p 均为非零实数，直线BP 、CP 分别交AC 、AB 于点E 、F ，一同学已正确算出OE 的方程：(1b －1c )x ＋(1p －1a)y ＝0，则OF 的方程为：(________)x ＋(1p －1a)y ＝0.( )A ．1b －1cB ．1a －1bC ．1c －1bD ．1c －1a[答案] C[分析] 观察E ，F 两点可以发现，E 、F 两点的特征类似，E 是BP 与AC 的交点，F 是CP 与AB 的交点，故直线OE 与OF 的方程应具有类似的特征，而y 的系数相同，故只有x 的系数满足某种“对称性”，据此可作猜测．[解析] 方法1：类比法E 在AC 上，OE 的方程为(1b －1c )x ＋(1p －1a)y ＝0.F 在AB 上，它们的区别在于B 、C 互换．因而OF 的方程应为 (1c －1b )x ＋(1p －1a)y ＝0.∴括号内应填：1c －1b.方法2：画草图如右，由对称性可猜想填1c －1b.事实上，由截距式可得直线AB ：x b ＋y a＝1，直线AP ：x c ＋y p＝1，两式相减得(1c －1b)x＋(1p －1a)y ＝0，显然直线AB 与CP 的交点F 满足此方程，又原点O 也满足此方程，故为所求直线OF 的方程．[方法点拨] 类比推理是由特殊到特殊的推理，是两类类似的对象之间的推理，其中一个对象具有某个性质，则另一个对象也具有类似的性质．在进行类比时，要充分考虑已知对象性质的推理过程，然后仿照推导类比对象的性质．(理)在Rt △ABC 中，CA ⊥CB ，斜边AB 上的高为h 1，则1h 21＝1CA 2＋1CB2；类比此性质，如图，在四面体P －ABC 中，若PA 、PB 、PC 两两垂直，底面ABC 上的高为h ，则得到的正确结论为( )A ．1h 2＝1AB 2＋1AC 2＋1BC 2B ．h 2＝PA 2＋PB 2＋PC 2C ．1h3＝1AB3＋1AC3＋1BC3 D ．1h 2＝1PA 2＋1PB 2＋1PC2[答案] D[解析] 本题考查了合情推理的能力． 连接CO 并延长交AB 于点D ，连接PD ，由已知可得PC ⊥PD ，在直角三角形PDC 中，DC ·h ＝PD ·PC ， 则PD 2＋PC 2·h ＝PD ·PC ，所以1h 2＝PD 2＋PC 2PD 2·PC 2＝1PC2＋1PD 2.容易知道AB ⊥平面PDC ， 所以AB ⊥PD ，在直角三角形APB 中，AB ·PD ＝PA ·PB ， 所以PA 2＋PB 2·PD ＝PA ·PB ，1PD 2＝PA 2＋PB 2PA 2·PB 2＝1PA 2＋1PB 2，故1h 2＝1PA 2＋1PB 2＋1PC 2.(也可以由等体积法得到)．[点评] 上述解答完整的给出了结论1h2＝1 PA2＋1PB2＋1PC2的证明过程，如果注意到所给结论是一个真命题，可直接用作条件，则在Rt△PAB中，有1PD2＝1PA2＋1PB2，在Rt△PDC中，有1h2＝1PD2＋1PC2，即可得出结论．8．(文)正方形ABCD的边长是a，依次连接正方形ABCD各边中点得到一个新的正方形，再依次连接新正方形各边中点又得到一个新的正方形，依次得到一系列的正方形，如图所示．现有一只小虫从A点出发，沿正方形的边逆时针方向爬行，每遇到新正方形的顶点时，沿这个正方形的边逆时针方向爬行，如此下去，爬行了10条线段．则这10条线段的长度的平方和是( )A．10232048a2B．1023768a2C．5111024a2D．20474096a2[答案] A[解析]由题可知，这只小虫爬行的第一段长度的平方为a21＝(12a)2＝14a2，第二段长度的平方为a22＝(24a)2＝18a2，…，从而可知，小虫爬行的线段长度的平方可以构成以a21＝14a2为首项，12为公比的等比数列，所以数列的前10项和为S10＝14a2[1－(12)10]1－12＝1023a22048.(理)对于大于1的自然数m的三次幂可以用技术进行以下方式的“分裂”：23＝⎩⎪⎨⎪⎧35，33＝⎩⎪⎨⎪⎧7911，43＝⎩⎪⎨⎪⎧13151719，…，仿此，若m3的“分裂数”中有一个是59，则m＝( )A．7 B．8C．9 D．10[答案] B[解析]由23,33,43的“分裂”规律可知m3的分裂共有m项，它们都是连续的奇数，其第一个奇数为(m－2)(m＋1)＋3，当m＝8时，第一个奇数为57，故m＝8，此时83＝57＋59＋61＋63＋65＋67＋69＋71.二、填空题9．(文)(2015·南昌市二模)观察下面数表： 1， 3,5， 7,9,11,13，15,17,19,21,23,25,27,29.设1027是该表第m 行的第n 个数，则m ＋n 等于________． [答案] 13[解析] 由数表知第P 行最后一个数为第S P 个奇数，其中S P ＝1＋2＋22＋…＋2P －1＝2P－1，易得第9行最后一个奇数为2(29－1)－1＝1021，故1027为第10行的第3个数，∴m ＋n ＝13.(理)(2015·河南八市质量监测)已知不等式1＋14<32，1＋14＋19<53，1＋14＋19＋116<74，…，照此规律，总结出第n (n ∈N *)个不等式为________．[答案] 1＋122＋132＋142＋…＋1(n ＋1)2<2n ＋1n ＋1(n ∈N *) [解析] 由于1＋14<32，1＋14＋19<53，1＋14＋19＋116<74，所以可以写为1＋122<2×2－12，1＋122＋132<2×3－13，1＋122＋132＋142<2×4－14，照此规律，所以第n 个不等式为1＋122＋132＋142＋…＋1(n ＋1)2<2n ＋1n ＋1. 10．(文)已知2＋23＝22×23，3＋38＝32×38，4＋415＝42×415，…，若9＋b a ＝92×b a (a 、b为正整数)，则a ＋b ＝________.[答案] 89[解析] 观察前三式的特点可知，3＝22－1,8＝32－1,15＝42－1，故其一般规律为n ＋nn 2－1＝n 2×n n 2－1，此式显然对任意n ∈N ，n ≥2都成立，故当n ＝9时，此式为9＋980＝81×980，∴a ＝80，b ＝9，a ＋b ＝89. (理)观察下列等式 12＝1， 12－22＝－3， 12－22＋32＝6， 12－22＋32－42＝－10， ……照此规律，第n 个等式可为________．[答案] 12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1·n (n ＋1)2(n ∈N *)[解析] 观察上述各式等号左边的规律发现，左边的项数每次加1，故第n 个等式左边有n 项，每项所含的底数的绝对值也增加1，依次为1,2,3，…，n ，指数都是2，符号成正负交替出现可以用(－1)n ＋1表示，等式的右边数的绝对值是左边项的底数的和，故等式的右边可以表示为(－1)n ＋1·n (n ＋1)2，所以第n 个式子可为12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1·n (n ＋1)2(n ∈N *)．三、解答题11．(文)(2015·江苏，16)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知AC ⊥BC ，BC ＝CC 1.设AB 1的中点为D ，B 1C ∩BC 1＝E .求证：(1)DE ∥平面AA 1C 1C ； (2)BC 1⊥AB 1.[分析] 考查线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理．(1)由三棱锥性质知侧面BB 1C 1C 为平行四边形，因此点E 为B 1C 的中点，从而由三角形中位线性质得DE ∥AC ，再由线面平行的判定定理得DE ∥平面AA 1C 1C ；(2)因为直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中BC ＝CC 1，所以侧面BB 1C 1C 为正方形，因此BC 1⊥B 1C ，又AC ⊥BC ，AC ⊥CC 1(可由直三棱柱推导)，因此由线面垂直的判定定理得AC ⊥平面BB 1C 1C ，从而AC ⊥BC 1，再由线面垂直的判定定理得BC 1⊥平面AB 1C ，进而可得BC 1⊥AB 1.[证明] (1)由题意知，E 为B 1C 的中点， 又D 为AB 1的中点，因此DE ∥AC ． 又因为DE ⊄平面AA 1C 1C ，AC ⊂平面AA 1C 1C ， 所以DE ∥平面AA 1C 1C ．(2)因为棱柱ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱， 所以CC 1⊥平面ABC ．因为AC ⊂平面ABC ，所以AC ⊥CC 1.又因为AC ⊥BC ，CC 1⊂平面BCC 1B 1，BC ⊂平面BCC 1B 1，BC ∩CC 1＝C ， 所以AC ⊥平面BCC 1B 1.又因为BC 1⊂平面BCC 1B 1，所以B 1C ⊥AC ．因为BC ＝CC 1，所以矩形BCC 1B 1是正方形，因此BC 1⊥B 1C ． 因为AC ，B 1C ⊂平面B 1AC ，AC ∩B 1C ＝C ，所以BC 1⊥平面B 1AC ． 又因为AB 1⊂平面B 1AC ，所以BC 1⊥AB 1.(理)(2015·商丘市二模)如图，已知四棱锥P －ABCD 的底面为菱形，∠BCD ＝120°，AB ＝PC ＝2，AP ＝BP ＝ 2.(1)求证：AB ⊥PC ；(2)求二面角B －PC －D 的余弦值．[解析] (1)证明：取AB 的中点O ，连接PO ，CO ，AC ． ∵AP ＝BP ，∴PO ⊥AB ．又四边形ABCD 是菱形，且∠BCD ＝120°， ∴△ACB 是等边三角形，∴CO ⊥AB ． 又CO ∩PO ＝O ，∴AB ⊥平面PCO ， 又PC ⊂平面PCO ，∴AB ⊥PC ．(2)由AB ＝PC ＝2，AP ＝BP ＝2，易求得PO ＝1，OC ＝3， ∴OP 2＋OC 2＝PC 2，OP ⊥OC ．以O 为坐标原点，以OC ，OB ，OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系O －xyz ，则B (0,1,0)，C (3，0,0)，P (0,0,1)，D (3，－2,0)，∴BC →＝(3，－1,0)，PC →＝(3，0，－1)，DC →＝(0,2,0)． 设平面DCP 的一个法向量为n 1＝(1，y ，z )，则n 1⊥PC →，n 1⊥DC →， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·PC →＝3－z ＝0n 1·DC →＝2y ＝0，∴z ＝3，y ＝0，∴n 1＝(1,0，3)．设平面BCP 的一个法向量为n 2＝(1，b ，c )，则n 2⊥PC →，n 2⊥BC →， ∴⎩⎪⎨⎪⎧n 2·PC →＝3－c ＝0n 2·BC →＝3－b ＝0，∴c ＝3，b ＝3，∴n 2＝(1，3，3)． ∴cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝42×7＝277，∵二面角B －PC －D 为钝角，∴二面角B －PC －D 的余弦值为－277.12．(文)(2015·昆明质检)已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋1n (n ＋1)＋1.(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1n 是等差数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 的前n 项和为S n ，证明：S n <n 2n ＋1.[解析] (1)∵⎝⎛⎭⎪⎫a n ＋1＋1n ＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1n ＝a n ＋1n (n ＋1)＋1＋1n ＋1－a n －1n＝1n (n ＋1)－1n (n ＋1)＋1＝1.∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1n 是公差为1的等差数列．又a 1＋1＝1，故a n ＋1n＝n .即数列{a n }的通项公式为a n ＝n －1n .(2)由(1)知a n ＝n －1n ，则a n n＝1－1n2，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 的前n 项和S n ＝n －⎝ ⎛⎭⎪⎫112＋122＋…＋1n 2∵1n 2>1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1.∴n －⎝ ⎛⎭⎪⎫112＋122＋…＋1n 2<n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝n －1＋1n ＋1＝n 2n ＋1. ∴对∀n ∈N *，S n <n 2n ＋1成立．(理)(2015·湖南文，19)设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2＝3S n－S n ＋1＋3，n ∈N *.(1)证明：a n ＋2＝3a n ； (2)求S n .[分析] (1)依据已知等式利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)用构造法求解，然后验证当n ＝1时，命题成立即可；(2)利用(1)中的结论先求出数列{a n }的通项公式，然后通过求解数列{a n }的奇数项与偶数项的和即可得到其对应前n 项和的通项公式．[解析] (1)由条件，对任意n ∈N *，有a n ＋2＝3S n －S n ＋1＋3，(n ∈N *)，因而对任意n ∈N *，n ≥2，有a n ＋1＝3S n －1－S n ＋3，(n ∈N *)，两式相减，得a n ＋2－a n ＋1＝3a n －a n ＋1，即a n ＋2＝3a n ，(n ≥2)，又a 1＝1，a 2＝2，所以a 3＝3S 1－S 2＋3＝3a 1－(a 1＋a 2)＋3＝3a 1， 故对一切n ∈N *，a n ＋2＝3a n .(2)由(1)知，a n ≠0，所以a n ＋2a n＝3，于是数列{a 2n －1}是首项a 1＝1，公比为3的等比数列，数列{a 2n }是首项a 2＝2，公比为3的等比数列，所以a 2n －1＝3n －1，a 2n ＝2×3n －1，于是S 2n ＝a 1＋a 2＋…＋a 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝(1＋3＋…＋3n －1)＋2(1＋3＋…＋3n －1)＝3(1＋3＋…＋3n －1)＝3(3n－1)2从而S 2n －1＝S 2n －a 2n ＝3(3n－1)2－2×3n －1＝32(5×3n －2－1)，综上所述，S n＝⎩⎪⎨⎪⎧32(5×3n －22－1)，(n ＝2k ＋1，k ∈N *)32(3n2－1)，(n ＝2k ，k ∈N *).[方法点拨] 直接证明从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性的证明称为直接证明．综合法和分析法是直接证明中最基本的两种方法，也是解决数学问题时常用的思维方法．(1)综合法从已知条件和某些数学定义、公理、定理等出发，经过逐步的推理论证，最后达到待证的结论，这种证明方法叫综合法．也叫顺推证法或由因导果法．(2)分析法从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知的条件、定理、定义、公理等)为止．这种证明方法叫分析法．也叫逆推证法或执果索因法．13．(文)(2015·邯郸市二模)设函数f (x )＝ln x －a (x －2)，g (x )＝e x. (1)求f (x )的单调区间；(2)过原点分别作曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )的切线l 1，l 2，且l 1，l 2的斜率互为倒数，试证明：a ＝0或12－1e <a <1－1e.(附：ln2＝0.693)．[解析] (1)f ′(x )＝1x －a ＝1－axx(x >0)①当a ≤0时，对一切x >0，恒有f ′(x )>0，f (x )的单增区间为(0，＋∞)；②当a >0时，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )>0；x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )<0.∴f (x )的增区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，1a ，减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞.(2)设过原点与函数f (x )，g (x )相切的直线分别为l 1：y ＝k 1x ，l 2：y ＝k 2x ， 切点分别为A (x 1，ln x 1－ax 1＋2a )，B (x 2，e x 2)，∵g ′(x )＝e x，∴k 2＝e x 2＝e x 2x 2，∴x 2＝1，k 2＝e ，∴k 1＝1e又f ′(x )＝1x －a ，∴k 1＝1x 1－a ＝ln x 1－ax 1＋2a x 1＝1e ，得a ＝1x 1－1e ，并将它代入ln x 1－ax 1＋2a x 1＝1e 中，可得ln x 1－1＋2x 1－2e＝0设h (x )＝ln x －1＋2x －2e ，则h ′(x )＝1x －2x 2＝x －2x 2∴h (x )在(0,2]上单减，在(2，＋∞)上单增若x 1∈(0,2]，∵h (1)＝1－2e >0，h (2)＝ln2－2e ≈0.693－2e <0，∴x 1∈(1,2)而a ＝1x 1－1e 在x 1∈(1,2)上单减，∴12－1e <a <1－1e，若x 1∈(2，＋∞)，h (x )在(2，＋∞)上单增，且h (e)＝0，即x 1＝e ，得a ＝0， 综上所述：a ＝0或12－1e <a <1－1e.(理)(2015·安徽理，18)设n ∈N *，x n 是曲线y ＝x 2n ＋2＋1在点(1,2)处的切线与x 轴交点的横坐标．(1)求数列{x n }的通项公式； (2)记T n ＝x 21x 23…x 22n －1，证明：T n ≥14n.[分析] 考查1.曲线的切线方程；2.数列的通项公式；3.放缩法证明不等式；4.考查运算求解能力和推理论证能力，分析和解决问题的能力．解答本题(1)可利用导数的几何意义求解，(2)根据数列的通项公式用放缩法证明不等式．[解析] (1)y ′＝(x 2n ＋2＋1)′＝(2n ＋2)x2n ＋1，曲线y ＝x2n ＋2＋1在点(1,2)处的切线斜率为2n ＋2.从而切线方程为y －2＝(2n ＋2)(x －1)．令y ＝0.解得切线与x 轴交点的横坐标x n ＝1－1n ＋1＝nn ＋1.(2)由题设和(1)中的计算结果知T n ＝x 21x 23…x 22n －1 ＝(12)2(34)2…(2n －12n )2. 当n ＝1时，T 1＝14.当n ≥2时，因为x 22n －1＝(2n －12n )2＝(2n －1)2(2n )2>(2n －1)2－1(2n )2＝n －1n ，所以T n >(12)2×12×23×…×n －1n ＝14n. 综上可得对任意的n ∈N *，均有T n ≥14n.14．(2015·新课标Ⅱ文，20)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，点(2，2)在C 上．(1)求C 的方程；(2)直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．[解析] (1)由题意有a 2－b 2a ＝22，4a 2＋2b2＝1，解得a 2＝8，b 2＝4，所以椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )，把y ＝kx ＋b 代入x 28＋y 24＝1得，(2k 2＋1)x 2＋4kbx ＋2b 2－8＝0. 故x M ＝x 1＋x 22＝－2kb 2k 2＋1，y M ＝kx M ＋b ＝b 2k 2＋1，于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M ＝－12k，即k OM ·k ＝－12，所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率乘积为定值．15．(文)已知点P 为y 轴上的动点，点M 为x 轴上的动点，点F (1,0)为定点，且满足PN →＋12NM →＝0，PM →·PF →＝0. (1)求动点N 的轨迹E 的方程；(2)过点F 且斜率为k 的直线l 与曲线E 交于两点A 、B ，试判断在x 轴上是否存在点C ，使得|CA |2＋|CB |2＝|AB |2成立，请说明理由．[解析] (1)设N (x ，y )，则由PN →＋12NM →＝0，得P 为MN 的中点．∴P (0，y2)，M (－x,0)．∴PM →＝(－x ，－y 2)，PF →＝(1，－y 2)．∴PM →·PF →＝－x ＋y 24＝0，即y 2＝4x .∴动点N 的轨迹E 的方程为y 2＝4x . (2)设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x 消去x 得y 2－4ky －4＝0.设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4k，y 1y 2＝－4.假设存在点C (m,0)满足条件，则CA →＝(x 1－m ，y 1)，CB →＝(x 2－m ，y 2)，∴CA →·CB →＝x 1x 2－m (x 1＋x 2)＋m 2＋y 1y 2 ＝(y 1y 24)2－m (y 21＋y 224)＋m 2－4＝－m4[(y 1＋y 2)2－2y 1y 2]＋m 2－3＝m 2－m (4k2＋2)－3＝0.∵Δ＝(4k2＋2)2＋12>0，∴关于m 的方程m 2－m (4k2＋2)－3＝0有解．∴假设成立，即在x 轴上存在点C ，使得|CA |2＋|CB |2＝|AB |2成立．[方法点拨] 1.在证明问题时，我们可以使用分析法，寻找解决问题的突破口，然后用综合法写出证明过程，有时分析法与综合法交替使用．2．有些命题和不等式，从正面证如果不好证，可以考虑反证法．凡是含有“至少”、“唯一”或含有其他否定词的命题，适宜用反证法．即“正难则反”．反证法的步骤是：(1)假设：作出与命题结论相反的假设；(2)归谬：在假设的基础上，经过合理的推理，导出矛盾的结果； (3)结论：肯定原命题的正确性．(理)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知对任意的n ∈N *，点(n ，S n )均在函数y ＝b x＋r (b >0且b ≠1，b 、r 均为常数)的图象上．(1)求r 的值；(2)当b ＝2时，记b n ＝2(log 2a n ＋1)(n ∈N *)，证明对任意的n ∈N *，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n>n ＋1成立． [解析] (1)由题意：S n ＝b n＋r ，当n ≥2时，S n －1＝b n －1＋r .所以a n ＝S n －S n －1＝b n －1(b －1)，由于b >0且b ≠1，所以n ≥2时，{a n }是以b 为公比的等比数列．又a 1＝b ＋r ，a 2＝b (b －1)，a 2a 1＝b ， 即b (b －1)b ＋r＝b ，解得r ＝－1. (2)证明：由于b ＝2，则根据(1)得a n ＝2n －1，因此b n ＝2n (n ∈N *)，所证不等式为2＋12·4＋14·…·2n ＋12n>n ＋1①当n ＝1时，左式＝32，右式＝ 2.左式>右式，所以结论成立，②假设n ＝k (k ∈N *)时结论成立，即2＋12·4＋14·2k ＋12k >k ＋1，则当n ＝k ＋1时，2＋12·4＋14·…·2k ＋12k ·2k ＋32(k ＋1)>k ＋1·2k ＋32(k ＋1)＝2k ＋32k ＋1 要证当n ＝k ＋1时结论成立， 只需证2k ＋32k ＋1≥k ＋2，即证2k ＋32≥(k ＋1)(k ＋2)，由基本值不等式2k ＋32＝(k ＋1)＋(k ＋2)2≥(k ＋1)(k ＋2)成立，所以，当n ＝k ＋1时，结论成立． 由①②可知，n ∈N *时，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n>n ＋1成立． [方法点拨] 1.与正整数有关的恒等式、不等式、数的整除性、数列的通项及前n 项和等问题，都可以考虑用数学归纳法证明．2．数学归纳法的主要步骤 (1)归纳奠基证明当n 取第一个值n 0(例如n 0＝1或2等)时结论正确； (2)归纳递推假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥n 0)时结论正确(归纳假设)，证明当n ＝k ＋1时结论也正确． 综合(1)(2)知，对任何n ∈N *，命题均正确．在用数学归纳法证题中，从n ＝k 到n ＝k ＋1时一定要用到归纳假设，可以对n ＝k ＋1时的情况进行适当变换，突出归纳假设，这是证题的关键．3．归纳推理可以帮助我们发现一般规律，但是其正确性需要通过证明来验证．一般情况下，有关正整数的归纳、猜想问题，都需要由不完全归纳法得到猜想，然后用数学归纳法证明猜想．。