高考数学第一部分微专题强化练习题：17推理与证明

第一部分一17

一、选择题

1．(文)将正奇数1,3,5,7，…排成五列(如下表)，按此表的排列规律，89所在的位置是( )

第第第第第

一二三四五

列列列列列

1 3 5 7

1513119

17192123

31292725

…

A．第一列B．第二列

C．第三列D．第四列

[答案] D

[解析]正奇数从小到大排，则89位居第45位，而45＝4×11＋1，故89位于第四列．(理)(2014·广州市综合测试)将正偶数2,4,6,8，…按下表的方式进行排列，记a ij表示第i行第j列的数，若a ij＝2014，则i＋j的值为( )

第1列第2列第3列第4列第5列

第1行2468

第2行16141210

第3行18202224

A．

C．254 D．253

[答案] C

[解析]依题意，注意到题中的数表中，奇数行空置第1列，偶数行空置第5列；且自左向右，奇数行的数字由小到大排列，偶数行的数字由大到小排列；2014是数列{2n}的第1007项，且1007＝4×251＋3，因此2014位于题中的数表的第252行第2列，于是有i＋j ＝252＋2＝254，故选C．

[方法点拨] 归纳推理

根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这样性质的推理，叫做归纳推理，归纳是由特殊到一般的推理．

归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理，在进行归纳时，要先根据已知的部分个体，把它们适当变形，使其具有统一的表现形式，便于观察发现其规律，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论．

2．(2015·广东文，6)若直线l1与l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( )

A．l与l1，l2都不相交B．l与l1，l2都相交

C．l至多与l1，l2中的一条相交D．l至少与l1，l2中的一条相交

[答案] D

[解析]考查空间点、线、面的位置关系．

若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，假如l与l1、l2都不相交，则l∥l1，l∥l2，∴l1∥l2，与l1、l2异面矛盾，因此l至少与l1，l2中的一条相交，故选D．

[方法点拨] 演绎推理

根据一般性的真命题(或逻辑规则)导出特殊性命题为真的推理叫做演绎推理．演绎推理是由一般性命题到特殊性命题的推理．

(1)演绎推理的特点

当前提为真时，结论必然为真．

(2)演绎推理的一般模式——“三段论”

①大前提——已知的一般原理；

②小前提——所研究的特殊情况；

③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．

3．(文)若数列{a n}是等差数列，则数列{b n}(b n＝a1＋a2＋…＋a n

n

)也为等差数列．类比

这一性质可知，若正项数列{c n}是等比数列，则数列{d n}也是等比数列，则d n的表达式应为( )

A ．d n ＝

c 1＋c 2＋…＋c n

n

B ．d n ＝

c 1·c 2·…·c n

n

C ．d n ＝n c n 1

＋c n 2＋…＋c n n

n

D ．d n ＝n

c 1·c 2·…·c n

[答案] D

[解析] 通过审题观察，对比分析得到：

[方法点拨] 类比推理

根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似(或相同)的性质的推理叫做类比推理，类比推理是由特殊到特殊的推理．

进行类比推理时，要抓住类比对象之间相似的性质，如等差数列的和对应的可能是等比数列的和，更可能是等比数列的积，再结合其他要求进一步确定类比项．

(理)记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，利用倒序求和的方法，可将S n 表示成首项a 1、末项a n 与项数n 的一个关系式，即公式S n ＝

n (a 1＋a n )

2

；类似地，记等比数列{b n }的前n 项积为

T n ，且b n >0(n ∈N *)，试类比等差数列求和的方法，可将T n 表示成首项b 1、末项b n 与项数n

的一个关系式，即公式T n ＝( )

A ．

n (b 1＋b n )

2

B ．(b 1＋b n )n

2

C ．n b 1b n

D ．(b 1b n )n

2

[答案] D

[解析] 利用等比数列的性质：若m ＋n ＝p ＋q ，则b m ·b n ＝b p ·b q ，利用倒序求积方法

有⎩

⎪⎨

⎪⎧

T n ＝b 1b 2·…·b n ，T n ＝b n b n －1·…·b 1，

两式相乘得T 2

n ＝(b 1b n )n

，即T n ＝(b 1b n )n

2.

4．观察下图：

1 2 3 4 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 9 10

…………

则第( )行的各数之和等于20112

.( )

A ．2010

B ．2009

C ．1006

D ．1005

[答案] C

[解析] 由题设图知，第一行各数和为1；第二行各数和为9＝32

；第三行各数和为25＝52；第四行各数和为49＝72；…，∴第n 行各数和为(2n －1)2

，令2n －1＝2011，解得n ＝1006.

[点评] 观察可见，第1行有1个数，第2行从2开始有3个数，第3行从3开始有5个数，第4行从4开始有7个数，…，第n 行从n 开始，有2n －1个数，因此第n 行各数的和为n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)[n ＋(3n －2)]2

＝(2n －1)2

.

5．已知正三角形内切圆的半径是其高的1

3，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结

论是( )

A ．正四面体的内切球的半径是其高的1

2

B ．正四面体的内切球的半径是其高的1

3

C ．正四面体的内切球的半径是其高的1

4

D ．正四面体的内切球的半径是其高的1

5

[答案] C

[解析] 原问题的解法为等面积法，即S ＝12ah ＝3×12ar ⇒r ＝1

3h ，类比问题的解法应为

等体积法，V ＝13Sh ＝4×13Sr ⇒r ＝14h ，即正四面体的内切球的半径是其高的1

4

，所以应选C ．

6．(文)用反证法证明命题“设a 、b 为实数，则方程x 3

＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )

A ．方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根

B ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实根

C ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根

D ．方程x 3

＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根 [答案] A

[解析] 至少有一个实根的否定为：没有实根．

(理)①已知p 3＋q 3

＝2，求证p ＋q ≤2，用反证法证明时，可假设p ＋q ≥2，②已知a 、b ∈R ，|a |＋|b |<1，求证方程x 2

＋ax ＋b ＝0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根x 1的绝对值大于或等于1，即假设|x 1|≥1.以下结论正确的是( )

A ．①与②的假设都错误

B ．①与②的假设都正确

C ．①的假设正确；②的假设错误