比例线段及性质

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比例线段及有关定理

射影定理
总结词
射影定理是指在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和减去两直角边的乘积。
详细描述
射影定理是几何学中的一个重要定理，它描述了直角三角形中斜边与两直角边之间的关系。具体来说，在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和减去两直角边的乘积。这个定理在解决实际问题中具有广泛的应用，如测量、建筑等领域。
03
比例线段的计算方法
利用平行线分线段成比例定理计算平行线分线段成比例定理如果一组平行线被一组横截线所截，那么这些截线段之比是相等的。
应用
通过已知的比例线段，利用平行线分线段成比例定理，可以计算出其他相关的比例线段长度。
利用相似三角形的性质和判定定理计算
相似三角形的性质
两个三角形对应角相等，则这两个三角形相似。相似三角形对应边之比为相似比。
成比例的线段具有传递性，即如果a:b:c:d且b:c:d:e，则必有 a:b:c:e。
比例线段的性质
01
02
03
比例线段的性质
如果线段a、b、c、d成比例，那么它们的长度之比是常数，即|a/b|=|c/d|。
比例线段的性质
如果线段a、b、c、d成比例，那么它们的面积之比是常数的平方，即 |a×d/b×c|=1。
判定定理
如果两个三角形两组对应角相等，则这两个三角形相似。
应用
通过已知的比例线段，利用相似三角形的性质和判定定理，可以计算出其他相关的比例线段长度。
利用射影定理计算
射影定理
在直角三角形中，斜边上的高将直角三角形分为两个小三角形，这两个小三角形是相似的，且它们的边长之比等于原三角形的边长之比。
利用面积关系计算线段长度
通过已知的线段和面积比例关系，可以计算出未知线段的长度。

《比例线段》课件

在建筑设计中的应用
在建筑设计中，比例线段的应用同样不可忽视。建筑师需要利用比例来协调各个部分之间的关系，以创造和谐、平衡的建筑外观。
例如，在建筑设计图中，建筑师会使用比例尺来表示实际建筑与设计图纸之间的比例关系，以确保施工过程中的准确性。
在地图绘制中的应用
在地图绘制中，比例线段的应用至关重要。地图上的比例尺可以帮助我们了解地图上的距离与实际距离之间的比例关系。
比例线段的等比性
总结词
比例线段的等比性是指两条线段的长度比值是常数，与线段所在的位置无关。
详细描述
如果两条线段AB和CD的长度比值是常数k，即$frac{AB}{CD} = k$，那么无论这两条线段在平面上的位置如何变化，它们的长度比值始终保持为k。这个性质在解决几何问题时非常有用。
比例线段的传递性
02 比例线段的性质
CHAPTER
比例线段的相似性
总结词
比例线段的相似性是指两条线段在长度上成比例，且夹角相等。
详细描述
如果两条线段AB和CD在长度上成比例，即$frac{AB}{CD} = k$（k为常数），并且它们之间的夹角相等，那么这两条线段被称为相似的。相似线段在几何学中具有很多重要的性质和应用。
利用代数方法计算
总结词
利用代数方法，通过建立方程式来求解比例线段问题。
详细描述
代数方法是解决比例线段问题的另一种常用方法。通过建立方程式来表示比例线段的关系，我们可以求解未知的线段长度。这种方法适用于解决一些涉及比例线段的代数问题
。
05 练习与思考
CHAPTER
基础练习题
基础题目1
已知线段a=10cm，b=5cm， c=2.5cm，d=5cm，判断线段a 、b、c、d是否成比例。

线段的比与比例线段的概念

线段的比与比例线段的概念、比例的性质和黄金分割I 梳理知识比与比例、比例的基本性质、合比性质、等比性质、两线段的比、成比例线段、平行线分线段成比例、截三角形两边或其延长线的直线平行于第三边的判定、黄金分割1. 线段的比的定义在同一单位长度下，两条线段2. 比例线段的定义在四条线段中，如果其中两条线段的_______________________________________ 等于另外两条线段的 _____ ,那么这四条线段叫做成比例线段，简称 ____________ .在 a ： b = c ： d 中，a 、d 叫做比例的 ___ , b 、c 叫做比例的 _____ ，称d 为a 、b 、c 的 _____________ .3. 比例的性质(1)比例的基本性质：如果a : b = c : d ，那么则b 叫a , c 的比例中项.⑵合份)比性质：若a⑶等比性质：若一b4.黄金分割(1) 黄金分割的意义：如图，点那么称线段 AB 被点C 黄金分割.其中点C 叫做线段AB 的做 .(2) 黄金分割的作法【例题讲解】例1.(1)已知1,厉,5三个数，如果再添一个数，使之能与已知的三个数成比例，则这个数应该是 ___________ .⑵在比例尺为1: n 的某市地图上，规划出一块长 5cm X 2cm 的矩形工业区，则该工业区的实际面积是平方米.例 2.(1)已知 X ： y : z = 3 : 4 : 5，①求-—y的值；②若 x +y + z = 6, za(2)已知a 、b 、c 、d 是非零实数，且 --------b c d的值•的比叫做这两条线段的比•特别地，若a : b = b : C,即，则C 把线段AB 分成两条线段 AC 和BC,如果 __________________ , ,AC 与AB 的比叫求 X 、y 、z.C bad一d一k ，求 ka b c求x 的值.黄金分割点吗为什么【同步测试】一、选择题1. 已知一矩形的长 a = 1.35m , (A)9 : 400(B)9 : 402. 下列线段能成比例线段的是( b = 60cm ，贝U a : b 的值为((C)9 : 4(D)90 : 4)(A)1cm,2cm,3cm,4cm (B)1cm, 72 cm,V 2 cm,2cm (C b/2 cm,亦cm, J 3 cm,1cm(D)2cm,5cm,3cm,4cm3. 如果线段a = 4, (A)84. 已知- b 3 (A)- 25. 已知 (A)— 2(B)16 2 2,则3 4 (B)4 y : z = 1 (B)2b = 16,c = 8, (C)24 「的值为b5 (C)5 :2 : 3，且 (C)3 那么a 、b 、c 的第四比例项d 为( (D)32 3 (D)- 5 2x + y — 3z =— 15，贝U x 的值为( (D)— 3 6. 在比例尺为1 : 38000的南京交通游览图上，玄武湖隧道长约为 7cm ，它的实际长度约为()(A)0.226km (B)2.66km (C)26.6km (D)266km 7. 某班同学要测量学校升国旗的旗杆高度，在同一时刻，量得某一同学的身高是影长是1米，旗杆的影长是 8米，则旗杆的高度是( ) (A)12 米 8. 已知点 1.5 米, (B)11 米 (C)10 米 C 是AB 的黄金分割点(AC >BC , (B)(6 — 2也)cm (D)9 米若AB = 4cm ，贝U AC 的长为( (C)詰—1)cm AD AE (A)(2A /5 — 2)cm )(D)(3 —75 )cm 9.若D 、E 分别是△ ABC 的边AB 、AC 上的点，且AB =疋，那么下列各式中正确的是 ((3)若a 、b 、c 是非零实数，并满足ab c ，且 xa(a b)(b c)(c a)abc例3.(1 )已知线段AB = a ,在线段 AB 上有一点C,若则点 C 是线段AB 的(A)AD DEDB = BCAB(B)A DAE=A CDB AB(C)Ec = ACAD AE(D)DB = AC10.若k丄空 b 2c a + b+ CM0,k的值为（(A)—1 (B)2 (C)1 (D) —二、填空题11.在(5 +x)：2中的x= (5—x) : x 中的x=12.若10 813.若a : 3 = b : 4 = c : 5 ,且a + b —c= 6,贝U a=,b= c=14.已知x : y :z= 4 : 5 ,且x+ y+ z= 12,那么x= ,y=z=15.若b16.已知ace,②(x + y) : (y + z)17.若x 2y18.图纸上画出的某个零件的长是是32 mm,如果比例尺是 1 : 20,这个零件的实际长19.如图，已知AB : DB = AC：EC, AD = 15 cm , AB = 40 cm , AC = 28 cm ,贝U AEA20.已知，线段 2 cm, c (2 73) cm, 则线段a、c的比例中项b是三、解答题21.已知x3 0，求下列各式的值：（1）2x 3y 4z⑵5x 3y za22.已知——x0，求x+y+ z 的值.23.若△ ABC 的三内角之比为 1 : 2 : 3,求^ ABC 的三边之比.24.已知 a 、b 、c 为^ ABC 的三边，且 a + b + c = 60cm , a : b : c = 3 : 4 : 5,求^ ABC 的面积.25.已知线段AB = 10cm , C 、D 是AB 上的两个黄金分割点，求线段CD 的长.四、挑战中考DE = 12 , BC = 15, GH = 4，求 AH .ABCD,取 AB 的中点 P ,连结 PD ,在BA 的延长线上取点F ,使PF =PD,以AF 为边作正方形 AMEF ,点M 在AD 上(1)求AM 、MD 的长；1、若一c-a bA . 12B . 1C .— 1则k 的值为()D .-或一12AGABC 中,2、如图，△ 匹，且。

比例线段及其应用

比例线段及其应用比例线段是数学中重要的概念，它在几何图形的构造和测量中有广泛的应用。

本文将详细介绍比例线段的定义、性质以及它在实际问题中的应用。

一、比例线段的定义和性质比例线段是指两个线段的比值等于另外两个线段的比值。

设有线段AB和CD，若有AB/CD = EF/GH，其中EF和GH是对应的线段，则称AB和CD为比例线段。

比例线段有以下重要性质：1. 若等式AB/CD = EF/GH成立，则有AB/CD = (EF+GH)/(GH+EF)。

2. 若等式AB/CD = EF/GH成立，则有AB/EF = CD/GH。

二、比例线段的应用举例1. 海报制作在海报制作中，比例线段用于确定原图与放大或缩小后图形之间的比例关系。

例如，如果要将一幅长宽比为3:2的原始海报缩小为A4尺寸，首先需要计算出原始海报与A4尺寸之间的比例关系，然后按比例缩小图片。

2. 地图测量在地图测量中，比例线段用于确定地图上的距离与实际距离之间的比例关系。

通过在地图上测量两个地点的实际距离，并计算出对应的地图上线段的长度，可以得到地图上的比例尺，从而在实际使用中准确测量距离。

3. 建筑设计在建筑设计中，比例线段用于确定建筑物的尺寸和比例关系。

比例线段可以帮助建筑师在设计初期对建筑物进行草图设计，并确认各个部分的比例关系，保证整体设计的协调性。

4. 经济分析在经济分析中，比例线段可以用于计算不同产品或指标之间的比例关系。

例如，通过计算消费者支出与收入之间的比例，可以分析出不同收入阶层的消费结构和消费倾向，为市场营销和财务规划提供依据。

5. 统计调查在统计调查中，比例线段可以用于测量样本数据与总体数据之间的比例关系。

通过在样本中抽取一定数量的数据，并计算出对应的总体数据，可以推断出总体的特征和趋势，从而进行全面的统计分析。

三、总结比例线段是数学中重要的概念，它在几何图形的构造和测量、经济分析、地图测量以及统计调查等领域有广泛的应用。

正确理解和应用比例线段可以帮助我们解决实际问题，提高数学应用能力和实践能力。

几何中的线段比例

几何中的线段比例线段比例是几何学中的一个重要概念，它描述了两个线段在长度上的相对关系。

在几何问题中，线段比例常常被用来解决关于图形形状和大小的推理和计算。

本文将详细探讨线段比例的定义、性质以及一些应用实例。

一、线段比例的定义与性质线段比例是指在一条直线上，将该直线分割成若干个部分时，各个部分的长度之间的比例关系。

设直线上有三个点A、B、C，分别对应线段AB、BC，如果满足线段AB与线段BC的长度比等于一个常数k，即AB/BC=k，则称线段AB与线段BC成比例。

线段比例具有以下性质:1. 反身性：线段的长度比与其倒数之间的关系是相互的。

即若AB/BC=k，则BC/AB=1/k。

2. 传递性：若AB/BC=k，BC/DE=m，则必有AB/DE=km。

3. 分点式定理：对于分割线段的一个点D，AD/DB=k，那么BD所对应的其他点E与线段AB的比例与AD/DB相同，即BE/EC=AD/DB=k。

二、线段比例的应用实例1. 相似三角形的线段比例：在相似三角形中，对应边的长度比相等。

例如，若△ABC相似于△DEF，且AB/DE=BC/EF=k，那么AC/DF也等于k。

2. 面积比例的计算：线段比例可以用于计算图形的面积比。

例如，若在平行四边形ABCD中，两条对角线AC和BD相交于点O，且AO/OC=BO/OD=k，那么△AOD的面积与△BOC的面积之比为k²。

3. 带有比例关系的图形构造：线段比例可以用于构造符合特定长度比的图形。

例如，在一个圆上，若AB/BC=k，可以利用线段比例来确定点B和点C的位置。

三、线段比例的推断与计算方法1. 通过已知比例推断未知线段：若已知线段AB与线段BC的比例为k，且已知线段AB的长度为a，则通过线段比例可以推断线段BC的长度为a/k。

2. 通过已知线段推断比例：若已知线段AB的长度为a，线段BC长度为b，可以通过计算得到线段AB与线段BC的比例为a/b。

3. 通过已知线段求多个线段的比例：若已知线段AB与线段BC的比例为k，线段BC与线段CD的比例为m，可以通过传递性得到线段AB与线段CD的比例为km。

北师大数学九年级上册第四章比例线段

第01讲_比例线段知识图谱比例与比例线段知识精讲一．比例的性质1.比例的基本性质：a cad bc b d =⇔=； 2.反比定理：a c b db d ac =⇔=；3.更比定理：a c a b b d c d =⇔=(或d cb a =)；4.合比定理：a c a b c db d b d ++=⇔=； 5.分比定理：a c a b c db d b d --=⇔=； 6.合分比定理：a c a b c db d a bcd ++=⇔=--； 7.等比定理：(0)a c m a c m ab d n b d n b d n b++⋅⋅⋅+==⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅+≠⇔=++⋅⋅⋅+．二．成比例线段1.比例线段：对于四条线段a b c d ，，，，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a cb d=（即::a b c d =），那么这四条线段a b c d ，，，叫做成比例线段，简称比例线段． 2.比例的项：在比例式a cb d =（::a bcd =）中，a d ，称为比例外项，b c ，称为比例内项，d 叫做a b c ，，的第四比例项．三条线段a bb c=（2b ac =）中，b 叫做a 和c 的比例中项．3.黄金分割：如图，若线段AB 上一点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC BC >），且使AC 是AB 和BC 的比例中项（即2AC AB BC =⋅）则称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫线段AB 的黄金分割点，其中510.618AC AB AB -=≈，350.382BC AB AB -=≈，AC 与AB 的比叫做黄金比．三点剖析一．考点：比例与成比例线段二．重难点：比例的性质三．易错点：注意等比定理在运用时的时候一定要对分母为0或不为0进行讨论．比例的基本性质例题1、已知23a b=（0ab≠），下列比例式成立的是（）A.32ab= B.32a b= C.23ab= D.32ba=【答案】B【解析】本题考查比例的基本性质，内项积等于外项积。

比例的基本性质、平行线分线段成比例

精心整理数学辅导11：比例的基本性质一、知识点：1. 成比例线段：线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即dc b a =，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段. 2.（1d 都不为（2（3（4（5.（1，则yx（2 已知572c b a ==，则a cb a -+=______________.已知75==d c b a ，那么db ca 3232--=_____________.（3）在△ABC 与△DEF 中，若43===FD CA EF BC DE AB ，且△ABC 的周长为36cm ，则△DEF 的周长为______.（4）已知543cb a ==，且6=-+c b a ，则a =__________. （5）如果d c b a =（0≠+b a ，0≠+d c ），那么cd ca b a +=+成立吗？请说明理由. （6）已知a ，b ，c ，d 是成比例线段，其中cm a 3=，cm b 2=，cm c 6=，则线段d =___________.（7）已知2:4:3::=c b a ，且182=-+c b a ，求c b a 23+-的值. 练习12. ∶c =d 3. 4 A 5 A 、511=+y y x B 、51=-y y x C 、6=-y x x D 、5=-x y y6．若2:1:::===d c c b b a ，则=d a :（）A 、1:2B 、1:4C 、1:6D 、1:87．若3:2:1::=c b a ，则c b a cb a +---的值为（）A 、-2B 、2C 、3D 、-38．已知875c b a ==，且20=++c b a ，则=-+c b a 2（） A 、11 B 、12 C 、314D 、99．若4:3:2::=c b a ，且5=-+c b a ，则b a -的值是（）A10.11.12.m ，1314151617．18. 如果线段a ，b ，c 的长度之和是32cm ，且457ac c b b a +=+=+，那么这三条线段能否围成一个三角形？数学辅导12：平行线分线段成比例一、知识点：如图1，∵L 1∥L 2∥L 3，∴EF DE BC AB =；如图2，∵L 1∥L 2∥L 3，∴EFDEBC AB =.。

比例性质及比例线段

比例性质及比例线段（初二4.16）一、知识点与方法概述：1、比例的性质：基本性质：如果a:b=c:d，那么ad=bc；如果ad=bc，那么a:b=c:d.合比性质：等比性质：如果，那么.2、（成）比例线段：比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比. 那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.设a、b、c、d为线段，如果a:b=c:d，b、c叫比例内项，a、d叫比例外项，d叫做a、b、c的第四比例项；如果a:b=b:c，或b2=ac，那么b叫a、c的比例中项.3、黄金分割：如图，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC>BC)，且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割, 点C叫做线段AB的黄金分割点.注意：1、AC 0.618AB；2、0.618叫做黄金比；3、一条线段有两个黄金分割点.4、平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的线段对应成比例.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例. 推论的扩展：平行于三角形一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.（三角形一边平行线的性质）推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.（三角形一边平行线的判定定理）5、平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等.根据被截的两条直线的位置关系，可以分五种图形情况（如图1-图5）:推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰.已知：在梯形ACFD 中，CF AD //，AB=BC求证：DE=EF推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边.已知：在△ACF 中，CF BE //，AB=BC 求证：AE=EF6、三角形的中位线定理：三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

24.1比例线段及比例的基本性质

比例线段
两条线段的比是它们的长度的比，也就是两个数的比. 关于成比例的数具有下面的性质.
比例式是等式，因而具有等式的各个性质，此外还有一些特殊性质：
(1)比例的基本性质
如果 a：b =c：d ，那么ad =bc.
比因为例a的：内b=c项：d乘，积即等于ab =外dc项，乘积.
两边同乘以 bd，得 ad=bc；上述性质反过来也对，就是
BE CF EA = FA
，
E
F
那么
AE AB =
AF AC
，
B
C
理由：
BE CF
EA = FA
AE+BE AE
=
AF+CF AF
AB AC AE = AF
AE AF AB = AC .
练习3—5：
如图，已知
BE AB
=
CF AC
，
那么
AE AB =
AF AC
，
E
理由：
B
A F C
BE CF
=
a b
.
练习3—5：
A
如图，已知
BE AB
=
CF AC
，
那么
AE AB =
AF AC
，
E
F
理由：
B
C
BE CF
AB = AC
AC CF AB = BE
AC AB
=
–CF –BE
AB–BE≠0
AC–CF AB–BE
=
AC AB
AF AC AE = AB
AF AE AC = AB
AC BC =
DF EF
，

比例线段知识点总结

比例线段知识点总结一、概念比例线段是指在空间中，两条相交直线及其被它们截断的线段之间的比例关系。

即在一条直线上，有两个点A、B，它们分别位于C、D两点之间，若AC：CB=AD：DB，则称AB 与CD成比例，这里的A、B、C、D称为比例线段。

二、性质1. 等价性：如果AB与CD成比例，那么CB与AD也成比例。

2. 共线性：如果AB与CD成比例，那么A、B、C、D四点共线。

3. 分解性：如果AB与CD成比例且BC=BD-CD，那么A、C、D三点共线。

4. 反比例性：如果AB线段与CD线段成比例，那么AB与DC反比例。

三、比例线段的性质1. 正比例和反比例（1）正比例：如果两个比列线段是正比例的，那么它们之间的关系是A处乘B等于C处乘D。

即AB/CD=AC/BD；（2）反比例：如果两个比例线段是反比例的，那么它们之间的关系是A处乘B等于C处乘D的倒数。

即AB/CD=AD/BC。

2. 合比例与轴比例（1）合比例：如果两个比例线段是合比例的，那么它们之间的关系是有一个共同的中点E，其中AE/EB=CE/ED；（2）轴比例：如果两个比例线段是轴比例的，那么它们之间的关系是有中点E，其中AE/BE=CE/DE。

3. 调和比调和比是指四个不相等的正数a、b、c、d，如果满足a/b=c/d，那么称a、b、c、d为调和比，用(a,b,c,d)表示。

四、比例线段的运算1. 和与差（1）和：如果AB与BC成比例，那么AB+BC等于线段AC的长度；（2）差：如果AB与BC成比例，且AB大于BC，那么AB-BC等于线段AC的长度。

2. 积与商（1）积：如果AB与BC成比例，那么AB*BC等于AC*BC；（2）商：如果AB与BC成比例，那么AB/BC等于线段AC的比例。

3. 比值定理如果在三角形ABC内，D、E分别是AB、AC的两个点，而线段DE与BC平行，那么AD/DB=AE/EC。

五、应用1. 已知比例求线段长度对于等比例线段AB、CD，通过已知比例和其中一个线段的长度，可以求解另一个线段的长度。

自学初中数学资料比例线段、相似的性质

自学资料一、比例线段【知识探索】1．比例线段的基本性质：（1）如果，那么．（2）比例线段的比例式中，只要乘积形式不变，、、、的位置可以灵活变化．若，则、、、、、、．【注意】（1）对于实数、、、，如果成立，则不一定成立；如果，则一定成立．（2）对于线段长度、、、，如果成立，则一定成立；如果，则也一定成立．第1页共24页自学七招之日计划护体神功：每日计划安排好，自学规划效率高非学科培训第2页共页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训第3页共页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训（2）已知线段a、b、c，a=4cm，b=9cm，线段c是线段a和b的比例中项．求线段c的长．【答案】解：（1）∵a、b、c、d是成比例线段，∴a：b=c：d，∵a=3cm，b=2cm，c=6cm，∴d=4cm；（2）∵线段c是线段a和b的比例中项，a=4cm，b=9cm，∴c2=ab=36，解得：c=±6，又∵线段是正数，∴c=6cm．4．已知线段a=0.3m，b=60cm，c=12dm．（1）求线段a与线段b的比．（2）如果线段a、b、c、d成比例，求线段d的长．（3）b是a和c的比例中项吗？为什么？【答案】解：（1）∵a=0.3m=30cm；b=60cm，∴a：b=30：60=1：2；（2）∵线段a、b、c、d是成比例线段，∴ab =c d，∵c=12dm=120cm，∴12=120d，∴d=240cm；（3）是，理由：∵b2=3600，ac=30×120=3600，∴b2=ac，∴b是a和c的比例中项．二、黄金分割【知识探索】1．与的比值称为黄金分割数，简称黄金数．第4页共24页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训第5页共24页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训【说明】黄金分割数是一个无理数，在应用时常取它的近似值．【注意】（1）不是黄金分割数；（2）．（3）称为黄金分割数或简称黄金数；它的倒数称为黄金比．【错题精练】例1．已知如图，点C 是线段AB 的黄金分割点（AC ＞BC ），AB=2，则AC 的长为（） A. √5−1 B. √5+1C. √5−2D. 3−√5【解答】解：∵C 为线段AB=5的黄金分割点，且AC ＞BC ，AC 为较长线段， ∴AC=√5−12×2=√5−1，故选：A ．【答案】A例2．把1米的线段进行黄金分割，则分成的较短的线段长为（） A. 3−√52 B. √5−12 C.1+√52D.3+√52【解答】解：较短的线段长=1×（1-√5−12）=3−√52；故选：A ．【答案】A例3．美是一种感觉，本应没有什么客观的标准，但在自然界里，物体形状的比例却提供了在匀称与协调上的一种美感的参考，在数学上，这个比例称为黄金分割．在人体躯干（由脚底至肚脐的长度）与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，也就是说，若此比值越接近0.618，就越给别人一种美的感觉．如果某女士身高为1.65 m ，躯干与身高的比为0.60，为了追求美，她想利用高跟鞋达到这一效果，那么她选的高跟鞋的高度约为（） A. 2.5 cm B. 5.3 cm C. 7.8 cm D. 8.5 cm【解答】解：根据已知条件得下半身长是165×0.6=99cm ，第6页共24页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训设选的高跟鞋的高度是xcm ，则根据黄金分割的定义得：99+x165+x =0.618，解得：x≈7.8cm ．故选：C ．【答案】C例4．如果C 是线段AB 一点，并且AC ＞CB ，AB =1，那么AC 的长度为（）时，点C 是线段AB 的黄金分割点． A. 0.618； B. 1−√52； C.√5−12； D.3−√52．【答案】C例5．实数a,n,m,b 满足a ＜n ＜m ＜b ，这四个数在数轴上对应的点为A ，N ，M ，B （如图），若AM 2=BM·AB ，BN 2=AN·AB ，则称m 为a,b 的“大黄金数”，n 为a,b 的“小黄金数”，当b −a =2时，a,b 的大黄金数和小黄金数只差m −n =__________【答案】2√5−4例6．如图，在△ABC 中，AC=BC ，在边AB 上截取AD=AC ，连接CD ，若点D 恰好是线段AB 的一个黄金分割点，则∠A 的度数是______．【解答】解：∵点D 是线段AB 的一个黄金分割点， ∴AD 2=BD•AB ， ∵AD=AC=BC ， ∴BC 2=BD•AB ，即BC ：BD=AB ：BC ，而∠ABC=∠CBD ， ∴△BCD ∽△BAC ，∴∠A=∠BCD，设∠A=x，则∠B=x，∠BCD=x，∴∠ADC=∠BCD+∠B=2x，而AC=AD，∴∠ACD=∠ADC=2x，∴x+2x+x+x=180°，解得x=36°．故答案为36°．【答案】36°例7．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，CE平分∠ACB交AB于点E，（1）试说明点E为线段AB的黄金分割点；（2）若AB=4，求BC的长．【答案】（1）证明：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ACB=12（180°-36°）=72°，∵CE平分∠ACB，∴∠BCE=12∠ACB=12×72°=36°，∴∠BCE=∠A=36°，∴AE=BC，又∵∠B=∠B，∴△ABC∽△CBE，∴ABBC =BC BE，∴BC2=AB•BE，即AE2=AB•BE，∴E为线段AB的黄金分割点；（2）∵AB=AC，∠A=36°，∴∠B=∠ACB=72°，∴∠BEC=180°-72°-36°=72°，∴BC=CE，由（1）已证AE=CE，∴AE=CE=BC，第7页共24页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训第8页共24页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训∴BC=√5−12•AB=√5−12×4=2√5-2．【举一反三】1．如图，点C 是线段AB 的黄金分割点（AC ＞BC ），下列结论错误的是（）A. ACAB =BCAC B. BC 2=AB•BC C. ACAB =√5−12D. BCAC ≈0.618【解答】解：∵AC ＞BC ， ∴AC 是较长的线段，根据黄金分割的定义可知：AB ：AC=AC ：BC ，故A 正确，不符合题意； AC 2=AB•BC ，故B 错误，AC AB=√5−12，故C 正确，不符合题意；BCAC≈0.618，故D 正确，不符合题意．故选：B ．【答案】B2．如图是著名画家达芬奇的名画《蒙娜丽莎》．画中的脸部被包在矩形ABCD 内，点E 是AB 的黄金分割点，BE ＞AE ，若AB=2a ，则BE 长为（）A. （√5+1）aB. （√5-1）aC. （3-√5）aD. （√5-2）a【解答】解：∵点E 是AB 的黄金分割点，BE ＞AE ， ∴BE=√5−12AB=√5−12•2a=（√5-1）a ．故选：B ．【答案】B3．如图，P是线段AB的黄金分割点，PA＞PB，若S1表示以AP为边正方形的面积，S2表示以AB为长PB为宽的矩形的面积，则S1、S2大小关系为（）A. S1＞S2B. S1=S2C. S1＜S2D. 不能确定【解答】解：∵P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB，∴PA2=PB•AB，又∵S1表示以PA为一边的正方形的面积，S2表示以长为AB，宽为PB的矩形的面积，∴S1=PA2，S2=PB•AB，∴S1=S2．故选：B．【答案】B4．已知点C在线段AB的黄金分割点，且AB=10cm，则线段AC的长为______【答案】5√5−5或15−5√55．如图，AD是△ABC的外角平分线，且ABAC =√5+12，求证：C是BD的黄金分割点．【答案】证明：过C作CE∥AD，交AB于点E，∵CE∥AD，∴∠1=∠3，∠2=∠4，∵AD平分外角，∴∠1=∠2，∴∠3=∠4，∴AE=AC，第9页共24页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训∵CE∥AD，∴ABAE =BD CD，∴ABAC =BD CD，∵ABAC =√5+12，∴BDDC =√5+12，∴BD=√5+12CD，∴CD=√5−12BD，即C是BD的黄金分割点．6．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，CD是∠ACB的平分线．（1）△ABC和△CBD相似吗？为什么？（2）AD、AB、BD之间有什么关系？为什么？【答案】解：（1）相似，理由如下：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠ACB=72°，∵CD平分∠ACB，∴∠DCB=∠DCA=∠A，且∠ABC=∠CDB，∴△ABC∽△CBD；（2）由（1）可得△ABC∽△CBD，∴CDAB =BD BC，又由（1）可知AD=CD=CB，∴AD2=AB•BD．三、平行线分线段成比例定理【知识探索】第10页共24页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训1．平行线等分线段定理：两条直线被三条平行直线所截，如果在一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等．【说明】“平行线等分线段定理”是“平行线分线段成比例定理”的特例．【错题精练】例1．已知直线a//b//c,直线m交直线a,b,c于点A,B,C,直线n交直线a,b,c于点D,E,F，若ABBC =12,则（）A. 13B. 12C. 23D. 1【答案】C例2．D、E分别为△ABC中BC、AC边上的点，且BD：DC=1：3，AE：EC=2：1，则AF：FD=（）A. 3：1B. 5：1C. 8：1D. 9：1【解答】解：过点A作AG平行BC交BE延长线与G，∴△AGE∽△CEB，∴AGBCEC=2，∴AG=2BC，∵BD：CD=1：3，∴BC=4BD，∴AG=8BD，∵△AGF∽△DBF，∴AFDF=AGBD=8，故选：C．【答案】C例3．如图是小刘做的一个风筝支架示意图，已知BC∥PQ，AB：AP=2：5，AQ=20cm，则CQ的长是（）A. 8cmB. 12cmC. 30cmD. 50cm【解答】解：∵BC∥PQ，∴△ABC∽△APQ，∴ABAP=ACAQ∵AB：AP=2：5，AQ=20cm，∴AC20=25，解得：AC=8cm，∴CQ=AQ-AC=20-8=12（cm），故选：B．【答案】B例4．如图，已知直线l1、l2、l3分别截直线l4于点A、B、C，截直线l5于点D、E、F，且l1∥l2∥l3．（1）如果AB=4，BC=8，EF=12，求DE的长．（2）如果DE：EF=2：3，AB=6，求AC的长．【答案】解：（1）∵l1∥l2∥l3．∴DEEF=ABBC例5．如图，△ABC中，DE∥BC，若AD：DB＝2：3，则下列结论中正确的（）A. DEBC =23；B. DEBC =25；C. AEAC =23；D. AEEC =25．【答案】B【举一反三】1．如图，已知直线a∥b∥c，直线m分别交直线a、b、c于点A、B、C，直线n分别交直线a、b、c于点D、E、F，若AB=2，AD=BC=4，则BECF的值应该（）A. 等于13； B. 大于13；C. 小于13； D. 不能确定．【答案】B2．如图，在△ABC中，AB∥EF∥GH，AE=GC，EF=14，GH=5，那么∴y=95x，∴5AB=x2x+y=x2x+x95=519，∴AB=19．故答案为：19．【答案】193．如图，在△ABC中，DE∥FG∥BC，AD：DF：BF=1：2：3，BC=10cm．（1）求AE：EG：GC的值；（2）求DE与FH的比．，∴FH=25×10=4，∴DEFH=53534=512．4．如图，D是BC上一点，E是AB上一点，AD、CE交于点P，且AE：EB=3：2，CP：CE=5：6，那么DB：CD=（）A. 1：2B. 1：3C. 2：3D. 1：4【解答】解：作EF∥BC交AD于F，如图，∵EF∥BD，AE：EB=3：2，∴EF：BD=AE：AB=3：5，∴BD=53EF，∵EF∥CD，∴EF：CD=EP：PC，而CP：CE=5：6，∴EF：CD=1：5，∴CD=5EF，∴BD：CD=53EF：5EF=1：3．故选：B．【答案】B5．如图，已知直线l1，l2，l3分别交直线l4于点A，B，C，交直线l5于点D，E，F，且l1∥l2∥l3，若AB=4，AC=6，DF=9，则DE=（）A. 5B. 6C. 7D. 8【解答】解：∵l1∥l2∥l3，AB=4，AC=6，DF=9，∴ABAC =DEDF，即46=DE9，可得；DE=6，故选：B．【答案】B6．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，AE2=AD•AB，∠ABE=∠ACB．（1）求证：DE∥BC；（2）如果S△ADE：S四边形DBCE=1：8，求S△ADE：S△BDE的值．【答案】（1）证明：∵AE2=AD•AB，∴AEAD =ABAE，又∵∠EAD=∠BAE，∴△AED∽△ABE，∴∠AED=∠ABE，∵∠ABE=∠ACB，∴∠AED=∠ACB，∴DE∥BC；（2）解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴S△ADES△ABC =（ADAB）2，∵S△ADES四边形DBCE =18，∴S△ADES△ABC =19，∴（ADAB ）2=19，∴ADAB =13，∴ADDB =12，∴S△ADES△BDE =12．7．如图，已知直线l1，l2，l3分别交直线l4于点A，B，C，交直线l5于点D，E，F，且l1∥l2∥l3，若AB=4，AC=6，DF=9，则DE=（）A. 5；B. 6；C. 7；D. 8．【答案】B1．△ABC中，已知点D、E分别为BC、AC的中点，△ABC的面积是12，则△CDE的面积为________【答案】3．2．（浙江杭州市中考22）（本题满分12分）如图，在△中（），，点在边上，于点．（1）若，，求的长；（2）设点在线段上，点在射线上，以，，为顶点的三角形与△有一个锐角相等，交于点．问：线段可能是△的高线还是中线？或两者都有可能？请说明理由．【解答】【答案】（1）（2）略．3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线的交点为O，CE∥AB交BD的延长线于E，若OB=6，OD=4，则DE=（）A. 12B. 9C. 8D. 5【解答】解：在梯形ABCD中，由分析可知BO：OE=AO：OC=OD：OB，即：OD：OB=BO：OE，又OB=6，OD=4，即4：6=6：OE，解得OE=9，又OD=4，所以DE=5，故选D．【答案】D。

比例的性质与比例线段定理

比例的性质与比例线段定理比例是数学中非常重要的概念之一，它描述了两个或多个量之间的关系。

在实际生活中，我们常常会遇到各种各样的比例问题，比如比例尺、相似三角形等等。

本文将探讨比例的性质以及比例线段定理，希望能够对读者更好地理解比例的概念和应用。

1. 比例的基本性质比例关系是指两个或多个数或量之间存在着相等关系。

如果两个比例相等，我们可以称之为“比例相等”。

比如，若a/b=c/d，我们可以说a 与b的比例等于c与d的比例。

基于此，我们可以得出比例的三个基本性质：性质一：如果a/b=c/d，那么a/c=b/d，即比例的两对比例项可以交叉相乘。

性质二：如果a/b=c/d，那么a/(b+c)=c/(d+a)，即比例的两对比例项可以组合相加。

性质三：如果a/b=c/d，那么(a+b)/b=(c+d)/d，即比例的两对比例项可以组合相加后再除以一个比例项。

这些性质为我们解决比例问题提供了方便和灵活性，可以通过灵活运用来求解各种复杂的比例关系。

2. 比例线段定理比例线段定理是比例的一个重要应用，它可以帮助我们求解线段上的未知点坐标。

比例线段定理可以描述为：定理一：在一条直线上，如果有两点A、B将这条直线分成了三个部分，设AC:CB= m:n，则m/n等于点A到点B的距离的比例。

这个定理可以用数学表达式表示为AC/BC=m/n。

根据这个定理，我们可以通过已知点的坐标和比例关系来求解未知点的坐标。

除了比例线段定理外，我们还可以利用相似三角形来解决比例问题。

在相似三角形中，对应边的比例是相等的，这一点也可以用于比例问题的求解。

总结：比例的性质与比例线段定理在数学中扮演着重要的角色。

比例的基本性质使得我们能够更加灵活地运用比例关系来解决问题，而比例线段定理则为我们提供了一种求解线段上未知点坐标的方法。

通过理解和掌握比例的性质与比例线段定理，我们可以更好地应用数学知识解决实际生活中的问题，提升自己的数学能力。

（以上内容仅供参考，具体格式和表达方式请根据实际需要进行调整。

比例线段及相似性质和判定

比例线段与相似性质和判定一、比例的性质1．,a c ad bc b d =⇔=这一性质称为比例的基本性质,由它可推出许多比例形式; 2．a c b db d ac =⇔=(反比定理); 3．a c a b b d c d =⇔=(或d cb a =)(更比定理); 4．ac a b c db d b d ++=⇔=(合比定理); 5．a c a b c db d b d --=⇔=(分比定理); 6．a c a b c db d a bcd ++=⇔=--(合分比定理); 7．(0)a c m a c m a b d n b d n b d n b ++⋅⋅⋅+==⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅+≠⇔=++⋅⋅⋅+(等比定理).二、成比例线段1．比例线段对于四条线段a b c d ，，，，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如a cb d=（即::a b c d =），那么这四条线段a b c d ，，，叫做成比例线段，简称比例线段．2．比例的项在比例式a cb d=（::a b c d =）中，a d ，称为比例外项，b c ，称为比例内项，d 叫做a b c ，，的第四比例项．三条线段a bb c=（::a b b c =）中，b 叫做a 和c 的比例中项．3．黄金分割BAC如图，若线段AB 上一点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC BC >），且使AC 是AB 和BC 的比例中项（即2AC AB BC =⋅）则称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫线段AB 的黄金分割点，其中510.6182AC AB AB -=≈，350.3822BC AB AB -=≈，AC 与AB 的比叫做黄金比．三、平行线分线段成比例定理1．定理两条直线被三条平行线所截，截得的对应线段成比例． 2．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例． 3．推论的逆定理如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．4．三角形一边的平行线性质平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．如图，AB CD EF ∥∥，则AC BD CE DF AC BD CE DFCE DF AC BD AE BF AE BF====，，，．若将AC 称为上，CE 称为下，AE 称为全，上述比例式可以形象地表示为====上上下下上上下下，，，下下上上全全全全．AB C D E FFEDC B A当三条平行线退化成两条的情形时，就成了“A ”字型，“X ”字型．则有AE AF AE AF EFBC EF EB FC AB AC BC⇔===∥，． A BCE F F ECB A考点一：比例的性质☞考点说明：如果要考查多以选择和填空为主，重点掌握等比性质【例1】若345x y z==，则2332x y z x y z ++--的值为________【巩固】设14a c e b d f ===，则a c e b d f +-=+-_______【拓展】若a b a c b ck c b a+++===，则k 的值为_________【例2】已知::1:3:5x y z =，求33x y zx y z+--+的值【巩固】已知：234x y z==．求33x y z x y -+-.考点二：黄金分割☞考点说明：如果要考查可能出现在22题之中，需要掌握黄金分割的定义【例3】如图所示，乐器上的一根弦80AB cm =，两个端点A B ，固定在乐器面板上，支撑点C 是靠近点B的黄金分割点（即AC 是AB 与BC 的比例中项），支撑点D 是靠近点A 的黄金分割点，则AC =________cm ，DC =________cm ．DBAC【例4】如图所示，在黄金分割矩形ABCD 512AB BC ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭中，分出一个正方形ABFE ，求FCCD ． F EDB AC考点三：平行线分线段成比例定理☞考点说明：平行线分线段成比例定理的考查多数以选择或填空的形式展开【例5】如图，DE BC ∥，且DB AE =，若510AB AC ==，，求AE 的长．EDCBA【例6】如图，已知DE BC ∥，EF AB ∥，则下列比例式中错误的是（）FEDCB AA ．AD AEAB AC =B ．CE EACF FB =C ．DE AD BC BD =D ．EF CF AB CB =【拓展】如图，ABC ∆中，D 为BC 边的中点，延长AD 至E ，延长AB 交CE 的延长线于P ．若2A D D E =，求证:3AP AB =．PEDCBA【例7】已知，如图边长为2的等边ABC ∆，DE BC ∥，:1:4BCD ABC S S ∆∆=，则EC 的长为_____【例8】如图，在OCE ∆中，AD BE ∥、BD CE ∥，若3OA =，9AC =，则AB 的长为________【例9】已知，如图在平行四边形ABCD ，P 为BC 上任一点，连接DP 交AB 的延长线于Q求证：1BC ABBP BQ-=E D CBAEDC BA O QPDC BA考点四：梅涅劳斯定理☞考点说明：梅涅劳斯型在选择和填空中考察较多，需要熟练掌握该定理以提高解题速度梅涅劳斯定理：如果一条直线与ABC △的三边AB 、BC 、CA 或其延长线交于F 、D 、E 点，那么1AF BD CEFB DC EA⋅⋅=．这条直线叫ABC △的.梅氏线，ABC △叫梅氏三角形． GF EDCBAGFE DCBAH3H 2H 1F E DCBA证法一：如左图，过C 作CG ∥DF∵DB FB DC FG =，EC FGAE AF= ∴1AF BD CE AF FB FGFB DC EA FB FG AF⋅⋅=⋅⋅=．证法二：如中图，过A 作AG BD ∥交DF 的延长线于G ∴AF AG FB BD =，BD BD DC DC =，CE DCEA AG= 三式相乘即得：1AF BD CE AG BD DCFB DC EA BD DC AG⋅⋅=⋅⋅=．证法三：如右图，分别过A B C 、、作DE 的垂线，分别交于123H H H 、、．则有123AH BH CH ∥∥，所以3122311CH AH BH AF BD CE FB DC EA BH CH AH ⋅⋅=⋅⋅=．【例10】如图，在ABC ∆中，M 是AC 的中点，E 是AB 上一点，且14AE AB =，连接EM 并延长，交BC 的延长线于D ，则BCCD=_______.MEDCBA【例11】如图，在ABC ∆中，D 为BC 边的中点，E 为AC 边上的任意一点，BE 交AD 于点O .（1）当1A 2AE C =时，求AOAD 的值；（2）当11A 34AE C =、时，求AOAD的值；（3）试猜想11AE AC n =+时AO AD 的值，并证明你的猜想. E OD CBA【巩固】如图，AD 是ABC ∆的中线，点E 在AD 上，F 是BE 延长线与AC 的交点.（1）如果E 是AD 的中点，求证：12AF FC =；（2）由（1）知，当E 是AD 中点时，12AF AEFC ED=⋅成立，若E 是AD 上任意一点（E 与A 、D 不重合），上述结论是否仍然成立，若成立请写出证明，若不成立，请说明理由. AB CDEF【拓展】在ABC ∆中，底边BC 上的两点E 、F 把BC 三等分，BM 是AC 上的中线，AE 、AF 分别交BM于G 、H 两点，求证：::5:3:2BG GH HM =MH G FECBA考点五：相似三角形的性质☞考点说明：利用相似三角形的性质如对应边成比例，求线段的长，或者转化角度。

数学比例线段的概念和性质

数学比例线段的概念和性质数学中，比例线段是指具有相等比例关系的线段。

比例线段具有以下性质：1. 相似性：比例线段的长度比是相等的。

如果两个线段AB和CD成比例，即AB/CD=k，则两个线段是相似的。

相似的线段具有相似的性质和形状。

2. 约束性：比例线段是有限制的，即如果一条线段成比例于其他两条线段，那么这两条线段的关系也是成比例的。

例如，如果AB/CD=k，CD/EF=m，那么AB/EF=(AB/CD)*(CD/EF)=k*m。

3. 反比关系：比例线段的倒数也是成比例的。

如果AB/CD=k，则CD/AB=1/k。

这意味着如果一个线段是另一个线段的倍数，那么这两个线段的倒数也是成比例的。

4. 比例线段的比例可乘性：如果有三个比例线段AB、BC和CD，且AB/BC=k，BC/CD=m，那么AB/CD=(AB/BC)*(BC/CD)=k*m。

这个性质可以用于求解比例线段之间的未知量。

5. 分离性：如果有两个比例线段AB/CD=k，EF/CD=m，则AB/EF=k/m。

这意味着两个比例线段之间的比例关系不受其他线段的影响，可以独立分析。

6. 平行性：如果两条平行线上的线段成比例，那么这些线段上的任意线段也成比例。

例如，如果ABCD，且AB/CD=k，则对于平行线段EF和GH，有EF/GH=k。

7. 三角形的角平分线：在一个三角形中，角的平分线把相对边分割成比例线段。

例如，如果BE是三角形ABC中角B的平分线，那么AE/EC=AB/BC。

8. 重心和垂心：在三角形中，重心到各个顶点的距离成比例，垂心到各个顶点的距离也成比例。

这是由重心和垂心的特殊性质决定的。

具体来说，如果G是三角形ABC的重心，D是三角形ABC中BC边上的垂足，则AG/GC=BD/DC。

9. 正弦定律和余弦定律：在三角形中，正弦定律和余弦定律也可以看作是比例线段的定理。

正弦定律可以表示为a/sin(A)=b/sin(B)=c/sin(C)，其中a、b和c是对应的边长，A、B和C是对应的角度。

初中数学相似三角形基础知识精讲--比例线段

初中数学相似三角形基础知识精讲--比例线段【基础知识精讲】一、两条线段的比：同一长度单位下两条线段长度的比叫两条线段的比。

二、成比例线段：1.比例线段：四条线段d c b a 、、、中，如果dc b a =，那么这四条线段d c b a 、、、叫做成比例线段，简称比例线段。

2.比例中项：如果cbb a =（或ac b =2），则b 叫做c a 、的比例中项。

三、比例的性质：1. 基本性质: 如果d cb a =，那么bc ad =. 2．更比性质：如果d c b a =，那么d bc a =.3．反比性质: 如果d c b a =，那么c da b =.4．合比性质：如果d c b a =，那么d dc b b a +=+.5．分比性质：如果d c b a =，那么ddc b b a -=-.6．等比性质: 如果)0(≠+++===n d b nmd c b a ，那么b a n d b mc a =++++++ .四、黄金分割：点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC>BC ），如果ACBCAB AC =，那么点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比，618.0215≈-=AB AC 。

【例题巧解点拨】例1：（1）已知 2a c a b c db d b d--==，求和（2）已知 0,0,a c a b c d a b c d b d a b c d++=-≠-≠=--，且求证：例2：已知d c b a 、、、是非零实数，且k cb a dd a b c d c a b d c b a =++=++=++=++，求k 的值.变式训练：1.若a b c 、、均为正数，a b cx b c a c a b===+++，则x 的值一定是（）A 、12B 、-1C 、12或-1D 、322.已知一次函数1-=kx y 中，比例系数k 满足c a bk a b b c c a===+++，试求直线1-=kx y 与x 轴的交点坐标. 例3：若,65432+==+c b a 且2132=+-c b a ，试求c b a ::的值。

比例线段

线段的比与比例线段的概念、比例的性质和黄金分割Ⅰ梳理知识比与比例、比例的基本性质、合比性质、等比性质、两线段的比、成比例线段、平行线分线段成比例、截三角形两边或其延长线的直线平行于第三边的判定、黄金分割 1.线段的比的定义在同一单位长度下，两条线段的比叫做这两条线段的比. 2.比例线段的定义在四条线段中，如果其中两条线段的等于另外两条线段的，那么这四条线段叫做成比例线段，简3.4.黄5.例3.(1)已知线段AB=a ，在线段AB 上有一点C ，若AC=a 253-，则点C 是线段AB 的黄金分割点吗？为什么？(2)宽与长的比等于黄金比的矩形也称为黄金矩形。

请你设法作出一个黄金矩形.Ⅲ同步测试一、选择题(每小题3分，共30分)1.已知一矩形的长a =1.35m ，宽b =60cm ，则a ∶b 的值为（） (A)9∶400 (B)9∶40 (C)9∶4 (D)90∶42.下列线段能成比例线段的是（）(A)1cm,2cm,3cm,4cm (B)1cm,2cm,22cm,2cm 3.4.5.6.7.是8.9.= ，= ，= .15.若43===f e d c b a , 则______=++++f d b e c a .16.已知x ∶4 =y ∶5 = z ∶6 , 则 ①x ∶y ∶z = , ② (x+y )∶(y+z )= .17.若322=-y y x , 则_____=yx .18.图纸上画出的某个零件的长是32 mm ，如果比例尺是 1∶20，这个零件的实际长是 .19.如图，已知 AB ∶DB = AC ∶EC ，AD = 15 cm , AB = 40 cm ,A CDB EAC = 28 cm , 则 AE = ；(第19题图)20.已知，线段a = 2 cm ，)32(-=c cm ，则线段a 、c 的比例中项b 是 .三、解答题(每小题8分，共40分) 21.已知0≠==zy x ，求下列各式的值：(1)z y x +- (2)z y x ++432. 22.23.若24.25.1 2 3、 BA 的延长线上取点F ，以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上（如图l －4－1）．（1）求AM 、MD 的长；（2）你能说明点M 是线段AD 的黄金分割点吗？〖考查重点与常见题型〗1．考查比例的性质，常以选择题或填空题出现，如：(1)已知a＝4，b＝9，则a、b的比例中项是(2)已知线段a＝4cm，b＝9cm，线段c是a、b的比例中项，则线段c的长为2．求线段的比、面积的比，在中考题中常以选择题、填空题或求解题型出现，如图，已知DE∥BC，CD和c＋d1234(A) ADBD=BFCF(B)AEDE=CEBC(C)AECE=BDCD(D)ADDE=ABBC(4) (8)AB CD EFA BCDE5、把m=abc 写成比例式，且使m 为第四比例项 ;6、若线段a=5cm ，b=10cm,c=4dm,d=2cm,它们是否成比例线段 ;7、已知x y =53，则(x+y):(x-y)= ;8、如图，已知ΔABC 中，DE ∥BC,AC=7cm,CE=3cm,AB=6cm,则AD= ;9、如图，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC,AC,BD 交于O ，过O 作AD 的平行线交AB 于M ，交CD 于N ，若AD=3cm ，101、（1 （22345、已知，在梯形ABCD 中，AD ∥BC,点E,F 分别在AB,AC 上，EF ∥BC, EF 交AC 于G ，若EB=DF ，AE=9,CF=4,求BE,CD, GFAD的值。

比例性质和平行线分线段成比例定理

4,如图,
AB BD AC DC
AB=4,AC=2,BC=3,
A
求DC,BD的长.
B D
C
AE AD 5,如图,AD=2,AB=5,且 EC DB
求AC.
A
D
E
B
C
四、平行线分线段成比例定理及推论
定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例. 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例. 推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.
16 3 3.若4是x和 3 的比例中项，则x= 3
x y z ≠0，那么 x y z = = 【例1】如果 x yz 2 3 4 的值是( C )
A.7 B.8 C.9 D.10
典型例题解析
【解析】方法1：设x=2k，y=3k，z=4k，代入求值，这种方法比较适用，故选C.
x y z 23 4 9 9 方法2：利用比例的性质， x yz 234 1
课时训练
4.如图，在梯形ABCD中，AD//BC, E、F分别是AB、CD的中点，EF 分别交BD、AC于G、H，设 BC-AD=m,则GH的长为 ( D ) A.2m B.m C.2m/3 D.m/2 5. 如图，在平行四边形 ABCD 中， AE:EB=1:2,BF//DE,SΔAGE=6cm2, 则四边形FDGH的面积为 ( A ) A.48cm2 B.24cm2 C.18cm2 D.12cm2
图6-1-3
【例4】如图6-1-4所示，在梯形ABCD中，AD∥BC， AB=CD=3，P是BC上一点，PE∥AB交AC于E，PF∥CD交BD于F，设PE，PF的长分别为m，n，x=m+n，那么当P点在BC边上移动时，x值是否发生变化?若变化，求出x的取值范围；若不变，求出x的值，并说明理由.

九年级数学比例线段知识点

九年级数学比例线段知识点一、比例线段的概念。

1. 定义。

- 如果两个数的比值与另两个数的比值相等，就说这四个数成比例。

例如，若a:b = c:d（b、d≠0），那么就说a、b、c、d四个数成比例，其中a、d称为比例外项，b、c称为比例内项。

- 若a:b=b:c（b≠0），则b叫做a与c的比例中项，此时b^2=ac。

2. 比例的基本性质。

- 若a:b = c:d，则ad = bc；反之，若ad=bc（a、b、c、d都不为0），则a:b = c:d。

3. 合比性质。

- 如果(a)/(b)=(c)/(d)，那么(a± b)/(b)=(c± d)/(d)。

4. 等比性质。

- 如果(a)/(b)=(c)/(d)=·s=(m)/(n)(b + d+·s+n≠0)，那么(a + c+·s+m)/(b +d+·s+n)=(a)/(b)。

二、成比例线段。

1. 定义。

- 在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。

例如，若线段a、b、c、d满足(a)/(b)=(c)/(d)，则a、b、c、d是成比例线段。

2. 比例尺。

- 比例尺是表示图上一条线段的长度与地面相应线段的实际长度之比。

公式为：比例尺=(图上距离)/(实际距离)。

例如，比例尺为1:500表示图上1厘米代表实际距离500厘米（5米）。

三、相似多边形中的比例线段。

1. 相似多边形的定义。

- 如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形。

- 相似多边形对应边的比称为相似比。

例如，若多边形ABCDE与多边形A'B'C'D'E'相似，且(AB)/(A'B')=(BC)/(B'C')=·s=(AE)/(A'E')=k，k就是它们的相似比。