高中数学必修2重点题型

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高中数学必修2立体几何常考题型：空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系

空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系【知识梳理】1．直线与平面的位置关系位置关系直线a在平面α内直线a在平面α外直线a与平面α相交直线a与平面α平行公共点无数个公共点一个公共点没有公共点符号暗示a⊂αa∩α＝A a∥α图形暗示2．两个平面的位置关系位置关系图示暗示法公共点个数两平面平行α∥β没有公共点两平面相交α∩β＝l 有无数个公共点(在一条直线上)【常考题型】题型一、直线与平面的位置关系【例1】下列说法：①若直线a在平面α外，则a∥α；②若直线a∥b，直线b⊂α，则a∥α；③若直线a∥b，b⊂α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线．其中说法正确的个数为()A．0个B．1个C．2个D．3个[解析]对于①，直线a在平面α外包孕两种情况：a∥α或a与α相交，∴a和α纷歧定平行，∴①说法错误．对于②，∵直线a∥b，b⊂α，则只能说明a和b无公共点，但a可能在平面α内，∴a纷歧定平行于α.∴②说法错误．对于③，∵a∥b，b⊂α，∴a⊂α或a∥α，∴a与平面α内的无数条直线平行．∴③说法正确．[答案] B【类题通法】空间中直线与平面只有三种位置关系：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行．在判断直线与平面的位置关系时，这三种情形都要考虑到，避免疏忽或遗漏．另外，我们可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，以便于正确作出判断，避免凭空臆断．【对点训练】1．下列说法中，正确的个数是()①如果两条平行直线中的一条和一个平面相交，那么另一条直线也和这个平面相交；②一条直线和另一条直线平行，它就和经过另一条直线的任何平面都平行；③经过两条异面直线中的一条直线，有一个平面与另一条直线平行；④两条相交直线，其中一条与一个平面平行，则另一条必然与这个平面平行．A．0 B．1C．2 D．3解析：选C①正确；②错误，如图1所示，l1∥m，而m⊂α，l1⊂α；③正确，如图2所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线A1C1与直线BD异面，A1C1⊂平面A1B1C1D1，且BD∥平面A1B1C1D1，故③正确；④错误，直线还可能与平面相交．由此可知，①③正确，故选C.题型二、平面与平面的位置关系【例2】(1)平面α内有无数条直线与平面β平行，问α∥β是否正确，为什么？(2)平面α内的所有直线与平面β都平行，问α∥β是否正确，为什么？[解](1)不正确．如图所示，设α∩β＝l，则在平面α内与l平行的直线可以有无数条：a1，a2，…，a n，…，它们是一组平行线，这时a1，a2，…，a n，…与平面β都平行(因为a1，a2，…，a n，…与平面β无交点)，但此时α与β不平行，α∩β＝l.(2)正确．平面α内所有直线与平面β平行，则平面α与平面β无交点，符合平面与平面平行的定义．【类题通法】两个平面的位置关系同平面内两条直线的位置关系类似，可以从有无公共点区分：如果两个平面有一个公共点，那么由公理3可知，这两个平面相交于过这个点的一条直线；如果两个平面没有公共点，那么就说这两个平面互相平行．这样我们可以得出两个平面的位置关系：①平行——没有公共点；②相交——有且只有一条公共直线．若平面α与β平行，记作α∥β；若平面α与β相交，且交线为l，记作α∩β＝l.【对点训练】2．在底面为正六边形的六棱柱中，互相平行的面视为一组，则共有________组互相平行的面．与其中一个侧面相交的面共有________个．解析：六棱柱的两个底面互相平行，每个侧面与其直接相对的侧面平行，故共有4组互相平行的面．六棱柱共有8个面围成，在其余的7个面中，与某个侧面平行的面有1个，其余6个面与该侧面均为相交的关系．答案：4 63．如图所示，平面ABC与三棱柱ABC－A1B1C1的其他面之间有什么位置关系？解：∵平面ABC与平面A1B1C1无公共点，∴平面ABC与平面A1B1C1平行．∵平面ABC与平面ABB1A1有公共直线AB，∴平面ABC与平面ABB1A1相交．同理可得平面ABC与平面ACC1A1及平面BCC1B1均相交．【练习反馈】1．M∈l，N∈l，N∉α，M∈α，则有()A．l∥αB．l⊂αC．l与α相交D．以上都有可能解析：选C由符号语言知，直线l上有一点在平面α内，另一点在α外，故l与α相交．2.如图所示，用符号语言可暗示为()A．α∩β＝lB．α∥β，l∈αC．l∥β，l⊄αD．α∥β，l⊂α解析：选D显然图中α∥β，且l⊂α.3．平面α∥平面β，直线a⊂α，则a与β的位置关系是________．答案：平行4．经过平面外两点可作该平面的平行平面的个数是________．解析：若平面外两点所在直线与该平面相交，则过这两个点不存在平面与已知平面平行；若平面外两点所在直线与该平面平行，则过这两个点存在独一的平面与已知平面平行．答案：0或15．三个平面α、β、γ，如果α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b，且直线c⊂β，c∥b.(1)判断c与α的位置关系，并说明理由；(2)判断c与a的位置关系，并说明理由．解：(1)c∥α.因为α∥β，所以α与β没有公共点，又c⊂β，所以c与α无公共点，则c∥α.(2)c∥a.因为α∥β，所以α与β没有公共点，又γ∩α＝a，γ∩β＝b，则a⊂α，b⊂β，且a，b⊂γ，所以a，b没有公共点．由于a、b都在平面γ内，因此a∥b，又c∥b，所以c∥a.。

高中数学必修2直线与圆常考题型：两直线的交点坐标、两点间的距离(教师版)

两直线的交点坐标、两点间的距离【知识梳理】1．两直线的交点坐标23．(1)公式：点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式|P 1P 2|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2.(2)文字叙述：平面内两点的距离等于这两点的横坐标之差与纵坐标之差的平方和的算术平方根．【常考题型】题型一、两条直线的交点问题【例1】判断下列各组直线的位置关系．如果相交，求出交点的坐标： (1)l 1：5x ＋4y －2＝0，l 2：2x ＋y ＋2＝0； (2)l 1：2x －6y ＋3＝0，l 2：y ＝13x ＋12；(3)l 1：2x －6y ＝0，l 2：y ＝13x ＋12.【类题通法】判断两直线的位置关系，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况．(1)解方程组的重要思想就是消元，先消去一个变量，代入另外一个方程能解出另一个变量的值．(2)解题过程中注意对其中参数进行分类讨论． (3)最后把方程组解的情况还原为直线的位置关系．【对点训练】1．判断下列各对直线的位置关系．若相交，求出交点坐标： (1)l 1：2x ＋y ＋3＝0，l 2：x －2y －1＝0； (2)l 1：x ＋y ＋2＝0，l 2：2x ＋2y ＋3＝0.题型二、直线恒过定点问题【例2】求证：不论m 为何实数，直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5都过某一定点．【类题通法】解含有参数的直线恒过定点的问题(1)方法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解．(2)方法二：含有一个参数的二元一次方程若能整理为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0解得．若整理成y －y 0＝k (x －x 0)的形式，则表示的所有直线必过定点(x 0，y 0)．【对点训练】2．求经过两直线l1：3x＋4y－2＝0和l2：2x＋y＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l的方程．题型三、两点间距离公式的应用【例3】已知点A(1,1)，B(5,3)，C(0,3)，求证：△ABC为直角三角形．【类题通法】1．计算两点间距离的方法(1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，则|P1P2|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2.(2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解．2．解答本题还要注意构成三角形的条件．【对点训练】3．已知点A(－1,2)，B(2，7)，在x轴上求一点P，使|P A|＝|PB|，并求|P A|的值．【练习反馈】1．直线3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交点的坐标为()A．(－4，－3)B．(4,3)C．(－4,3) D．(3,4)2．已知点A(－2，－1)，B(a,3)，且|AB|＝5，则a的值为()A．1 B．－5C．1或－5 D．1－或53．设Q(1,3)，在x轴上有一点P，且|PQ|＝5，则点P的坐标是________．4．若p，q满足p－2q＝1，直线px＋3y＋q＝0必过一个定点，该定点坐标为________．5．分别求经过两条直线2x＋y－3＝0和x－y＝0的交点，且符合下列条件的直线方程．(1)平行于直线l1：4x－2y－7＝0；(2)垂直于直线l2：3x－2y＋4＝0.题型一、两条直线的交点问题【例1】判断下列各组直线的位置关系．如果相交，求出交点的坐标： (1)l 1：5x ＋4y －2＝0，l 2：2x ＋y ＋2＝0； (2)l 1：2x －6y ＋3＝0，l 2：y ＝13x ＋12；(3)l 1：2x －6y ＝0，l 2：y ＝13x ＋12.[解] (1)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0，得⎩⎨⎧x ＝－103，y ＝143.所以l 1与l 2相交，且交点坐标为⎝⎛⎭⎫－103，143. (2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －6y ＋3＝0，①y ＝13x ＋12，②②×6整理得2x －6y ＋3＝0.因此，①和②可以化成同一个方程，即①和②表示同一条直线，l 1与l 2重合．(3)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －6y ＝0，①y ＝13x ＋12，②②×6－①得3＝0，矛盾．方程组无解，所以两直线无公共点，l 1∥l 2. 【类题通法】判断两直线的位置关系，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况．(1)解方程组的重要思想就是消元，先消去一个变量，代入另外一个方程能解出另一个变量的值．(2)解题过程中注意对其中参数进行分类讨论． (3)最后把方程组解的情况还原为直线的位置关系．【对点训练】1．判断下列各对直线的位置关系．若相交，求出交点坐标：(1)l 1：2x ＋y ＋3＝0，l 2：x －2y －1＝0； (2)l 1：x ＋y ＋2＝0，l 2：2x ＋2y ＋3＝0.解：(1)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＋3＝0，x －2y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，所以直线l 1与l 2相交，交点坐标为(－1，－1)．(2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋2＝0，①2x ＋2y ＋3＝0，②①×2－②，得1＝0，矛盾，方程组无解．所以直线l 1与l 2无公共点，即l 1∥l 2.题型二、直线恒过定点问题【例2】求证：不论m 为何实数，直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5都过某一定点． [证明] 法一：取m ＝1时，直线方程为y ＝－4；取m ＝12时，直线方程为x ＝9.两直线的交点为P (9，－4)，将点P 的坐标代入原方程左边＝(m －1)×9＋(2m －1)×(－4)＝m －5.故不论m 取何实数，点P (9，－4)总在直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5上，即直线恒过点P (9，－4)．法二：原方程化为(x ＋2y －1)m ＋(－x －y ＋5)＝0. 若对任意m 都成立，则有⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －1＝0，x ＋y －5＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝－4.所以不论m 为何实数，所给直线都过定点P (9，－4)．【类题通法】解含有参数的直线恒过定点的问题(1)方法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解．(2)方法二：含有一个参数的二元一次方程若能整理为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0解得．若整理成y －y 0＝k (x －x 0)的形式，则表示的所有直线必过定点(x 0，y 0)．【对点训练】2．求经过两直线l 1：3x ＋4y －2＝0和l 2：2x ＋y ＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l 的方程．解：法一：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2，即l 1与l 2的交点坐标为(－2,2)．∵直线过坐标原点，所以其斜率k ＝2－2＝－1，直线方程为y ＝－x ，一般式为x ＋y ＝0.法二：∵l 2不过原点，∴可设l 的方程为3x ＋4y －2＋λ(2x ＋y ＋2)＝0(λ∈R )，即(3＋2λ)x ＋(4＋λ)y ＋2λ－2＝0. 将原点坐标(0,0)代入上式，解得λ＝1， ∴l 的方程为5x ＋5y ＝0，即x ＋y ＝0.题型三、两点间距离公式的应用【例3】已知点A (1,1)，B (5,3)，C (0,3)，求证：△ABC 为直角三角形． [证明] 法一：∵|AB |＝(5－1)2＋(3－1)2＝25，|AC |＝(0－1)2＋(3－1)2＝5，又|BC |＝(5－0)2＋(3－3)2＝5，∴|AB |2＋|AC |2＝|BC |2， ∴△ABC 为直角三角形．法二：∵k AB ＝3－15－1＝12，k AC ＝3－10－1＝－2，∴k AB ·k AC ＝－1，∴AB ⊥AC ，∴△ABC 是以A 为直角顶点的直角三角形．【类题通法】1．计算两点间距离的方法(1)对于任意两点P 1(x 1，y 1)和P 2(x 2，y 2)，则|P 1P 2|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.(2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解． 2．解答本题还要注意构成三角形的条件．【对点训练】3．已知点A (－1,2)，B (2，7)，在x 轴上求一点P ，使|P A |＝|PB |，并求|P A |的值．解：设所求点P (x,0)，于是由|P A |＝|PB |得(x ＋1)2＋(0－2)2＝(x －2)2＋(0－7)2，即x 2＋2x ＋5＝x 2－4x ＋11，解得x ＝1. 所以，所求P 点坐标为(1,0)，|P A |＝(1＋1)2＋(0－2)2＝2 2.【练习反馈】1．直线3x ＋2y ＋6＝0和2x ＋5y －7＝0的交点的坐标为( ) A ．(－4，－3) B ．(4,3) C ．(－4,3)D ．(3,4)解析：选C 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋2y ＋6＝0，2x ＋5y －7＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝3.2．已知点A (－2，－1)，B (a,3)，且|AB |＝5，则a 的值为( ) A ．1 B ．－5 C ．1或－5 D ．1－或5解析：选C ∵|AB |＝(a ＋2)2＋(3＋1)2＝5，∴a ＝－5或a ＝1.3．设Q (1,3)，在x 轴上有一点P ，且|PQ |＝5，则点P 的坐标是________．解析：由题意设P (a,0)，则|PQ |＝(a －1)2＋(0－3)2＝5，解得a －1＝±4，即a ＝5或－3.故点P 的坐标是(5,0)或(－3,0)．答案：(5,0)或(－3,0)4．若p ，q 满足p －2q ＝1，直线px ＋3y ＋q ＝0必过一个定点，该定点坐标为________．解析：因为p ＝2q ＋1代入整理：(2x ＋1)q ＋3y ＋x ＝0对q 为一切实数恒成立，即2x ＋1＝0，且3y ＋x ＝0，所以x ＝－12，y ＝16.答案：⎝⎛⎭⎫－12，16 5．分别求经过两条直线2x ＋y －3＝0和x －y ＝0的交点，且符合下列条件的直线方程． (1)平行于直线l 1：4x －2y －7＝0； (2)垂直于直线l 2：3x －2y ＋4＝0.解：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －3＝0，x －y ＝0，得交点P (1,1)．(1)若直线与l 1平行， ∵k 1＝2， ∴斜率k ＝2，∴所求直线方程为y －1＝2(x －1) 即：2x －y －1＝0. (2)若直线与l 2垂直， ∵k 2＝32，∴斜率k ＝－1k 2＝－23，∴y －1＝－23(x －1)即：2x ＋3y －5＝0.。

全国通用2023高中数学必修二第六章平面向量及其应用笔记重点大全

全国通用2023高中数学必修二第六章平面向量及其应用笔记重点大全单选题1、已知向量a⃑,b⃑⃑满足|a⃑|=2,|b⃑⃑|=1,a⃑⋅(a⃑−2b⃑⃑)=2，则a⃑与b⃑⃑的夹角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°答案：B分析：由题意，先求出a⃑⋅b⃑⃑，然后根据向量的夹角公式即可求解.解：因为a⃑⋅(a⃑−2b⃑⃑)=a⃑2−2a⃑⋅b⃑⃑=|a⃑|2−2a⃑⋅b⃑⃑=4−2a⃑⋅b⃑⃑=2，所以a⃑⋅b⃑⃑=1，设a⃑与b⃑⃑的夹角为θ，则cosθ=a⃑⃑⋅b⃑⃑|a⃑⃑||b⃑⃑|=12，因为θ∈[0°,180°]，所以θ=60°，故选：B.2、锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a=7、b=8，m⃑⃑⃑=(12,cosA)，n⃑⃑=(sinA，−√32)，且m⃑⃑⃑⊥n⃑⃑，则△ABC的面积为（）A．√3B．3√3C．5√3D．10√3答案：D分析：先由向量垂直得到A=π3，利用余弦定理求出c=3或c=5，利用锐角三角形排除c=3，从而c=5，利用面积公式求出答案.由题意得：12sinA−√32cosA=0，故tanA=√3，因为A∈(0,π2)，所以A=π3，由余弦定理得：cosA=64+c 2−492×8c =12，解得：c=3或c=5，当c=3时，最大值为B，其中cosB=49+9−642×7×3<0，故B为钝角，不合题意，舍去；当c=5时，最大值为B，其中cosB=49+25−642×7×5>0，故B为锐角，符合题意，此时S△ABC=12bcsinA=12×8×5×√32=10√3.故选：D3、已知向量|a⃑|=2,|b⃑⃑|=4，且a⃑,b⃑⃑不是方向相反的向量，则|a⃑−b⃑⃑|的取值范围是（）A．(2,6)B．[2,6)C．(2,6]D．[2,6]答案：B分析：直接由||a⃑|−|b⃑⃑||≤|a⃑−b⃑⃑|<|a⃑|+|b⃑⃑|求解即可.由已知必有||a⃑|−|b⃑⃑||≤|a⃑−b⃑⃑|<|a⃑|+|b⃑⃑|，则所求的取值范围是[2,6)．故选：B.4、我国南宋著名数学家秦九韶发现了“三斜”求职公式，即△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，则△ABC的面积S=√14[c2a2−(c2+a2−b22)2].已知在△ABC中，accosB=6,b=2√2，则△ABC面积的最大值为（）A．√33B．2√33C．2D．4 答案：D分析：由条件accosB=6,b=2√2得a2+c2=20，由基本不等式得ac≤10，再由S=√14[c2a2−(c2+a2−b22)2]可求解.∵accosB=ac·a2+c2−b22ac =a2+c2−b22=6，又∵b=2√2，a2+c2=12+b2=20.∴ac≤a2+c22=10（当且仅当a=c=√10时取等号）.∴S△ABC=√14[a2c2−(a2+c2−b22)2]=√14(a2c2−62)≤√14×(102−62)=4，∴△ABC面积的最大值为4.故选：D5、已知不共线的平面向量a⃗,b⃑⃗,c⃗两两所成的角相等，且|a⃗|=1,|b⃑⃗|=4,|a⃗+b⃑⃗+c⃗|=√7，则|c⃗|=（）A．√2B．2C．3D．2或3答案：D分析：先求出θ=2π3，转化|a ⃗+b ⃑⃗+c ⃗|=√(a ⃗+b ⃑⃗+c ⃗)2=√7，列方程即可求出.由不共线的平面向量a ⃗，b ⃑⃑，c ⃑两两所成的角相等，可设为θ，则θ=2π3.设|c ⃑|=m. 因为|a ⃗|=1，|b ⃑⃗|=4，|a ⃗+b ⃑⃗+c ⃗|=√7，所以|a ⃗+b ⃑⃗+c ⃗|2=7，即a ⃗2+2a ⃗⋅b ⃑⃗+b ⃑⃗2+2b ⃑⃗⋅c ⃗+2a ⃗⋅c ⃗+c ⃗2=7，所以12+2×1×4cos 2π3+42+2×4×mcos 2π3+2×1×mcos 2π3+m 2=7即m 2−5m +6=0，解得：m =2或3.所以|c ⃑|=2或3故选：D6、若点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足3AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑－AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑－AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑＝0→，则△ABM 与△ABC 的面积之比为（） A ．1∶2B ．1∶3C ．1∶4D ．2∶5答案：B分析：由平面向量的加法结合已知可得M 为AD 的三等分点，然后由等高的三角形面积之比等于底边之比可得. 如图，D 为BC 边的中点，则AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=12(AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑) 因为3AM⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑－AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑－AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑＝0→所以3AM⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=2AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，所以AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=23AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 所以S △ABM =23S △ABD =13S △ABC .故选：B7、《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图．图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田，已知正八边形ABCDEFGH 的边长为2√2，点P 是正八边形ABCDEFGH 的内部（包含边界）任一点，则AP⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑的取值范围是（）A ．[−4√2,4√2]B ．[−4√2,8+4√2]C ．[8−4√2,8+4√2]D ．[−4√2,8−4√2]答案：B分析：先求出AP⃑⃑⃑⃑⃑⃑在AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑方向上的投影的取值范围，再由数量积的定义求出AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑的取值范围即可.如图，作AM ⊥GH 的延长线于M ，BN ⊥DC 的延长线于N ，根据正八边形的特征，可知AM =BN =2，于是AP⃑⃑⃑⃑⃑⃑在AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑方向上的投影的取值范围为[−2,2√2+2]，结合向量数量积的定义可知，AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑等于AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑的模与AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑在AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑方向上的投影的乘积，又|AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=2√2，∴AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑的最大值为2√2×(2√2+2)=8+4√2，AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑的最小值为2√2×(−2)=−4√2．则AP⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑的取值范围是[−4√2,8+4√2]. 故选：B ．8、已知向量a ⃗,b ⃑⃗满足|a ⃗|=2，|b ⃑⃗|=3，|a ⃗−2b ⃑⃗|=2√13则a ⃗与b⃑⃗的夹角为（） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6答案：C分析：先对|a ⃗−2b ⃑⃗|=2√13平方，代入已知条件整理得a ⃗⋅b⃑⃗=−3，再利用数量积公式可求得.∵|a ⃗−2b ⃑⃗|=2√13，∴|a ⃗−2b ⃑⃗|2=a ⃗2−4a ⃗⋅b⃑⃗+4b ⃑⃗2=52，又|a ⃗|=2，|b ⃑⃗|=3，∴a ⃗⋅b⃑⃗=−3，设a ⃗与b⃑⃗的夹角为θ， ∴cosθ=a ⃑⃗⋅b ⃑⃗|a ⃑⃗||b ⃑⃗|=−12，从而θ=2π3，所以a ⃗与b ⃑⃗的夹角θ=2π3.故选：C9、向量AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(7,−5)，将AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑按向量a ⃑=(3,6)平移后得到向量A ′B ′⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑，则A ′B ′⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑的坐标形式为（）A ．(10,1)B ．(4,−11)C ．(7,−5)D ．(3,6)答案：C分析：由向量平移可知，A ′B ′⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑与AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑方向相同且长度相等，即可得A ′B ′⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑的坐标.因为平移后，A ′B ′⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑与AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑方向相同且长度相等，故A ′B ′⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(7,−5). 故选：C10、下列说法正确的是（）A ．向量AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑//CD⃑⃑⃑⃑⃑⃑就是AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑所在的直线平行于CD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑所在的直线 B ．长度相等的向量叫做相等向量C ．若a ⃑=b ⃑⃑,b ⃑⃑=c ⃑，则a ⃑=c ⃑D ．共线向量是在一条直线上的向量答案：C分析：根据共线向量的定义可判断A ，D ；由相等向量的定义可判断B ，C ；进而可得正确选项.对于A ：根据共线向量的定义可知向量AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑//CD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑就是AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑所在的直线与CD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑所在的直线平行或重合，故选项A 不正确；对于B ：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，故选项B 不正确；对于C ：若a ⃑=b ⃑⃑,b ⃑⃑=c ⃑，则a ⃑=c ⃑，故选项C 正确；对于D ：方向相同或相反的非零向量叫平行向量，也叫共线向量，零向量与任意向量共线，故选项D 不正确；故选：C.填空题11、若向量a ⃑，b ⃑⃑不共线，且|a ⃑|=4，|b ⃑⃑|=7，则|a ⃑+b⃑⃑|的取值范围是______．答案：(3,11)分析：设向量a ⃑，b ⃑⃑的夹角为θ，利用|a ⃑+b ⃑⃑|=√(a ⃑+b ⃑⃑)2展开计算，再将−1<cosθ<1代入，写出|a ⃑+b⃑⃑|的范围. 设向量a ⃑，b ⃑⃑的夹角为θ，因为|a ⃑|=4，|b⃑⃑|=7，所以|a ⃑+b ⃑|=√(a ⃑+b ⃑)2=√|a ⃑|2+2|a ⃑||b ⃑|cosθ+|b ⃑|2=√16+2×4×7×cosθ+49=√65+56cosθ，又向量a⃑，b ⃑⃑不共线，所以−1<cosθ<1，所以3<√65+56cosθ<11，即3<|a⃑+b ⃑⃑|<11. 所以答案是：(3,11).12、在直角坐标系中，O 为原点,O 、A 、B 不共线，xOA⃑⃑⃑⃑⃑⃑+yOB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=2AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，则x +y =________ 答案：0解析：根据向量的线性运算求出(x +2)OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+(y −2)OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=0⃑⃗，根据对应关系求出x +y 的值即可．∵ xOA⃑⃑⃑⃑⃑⃑+yOB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=2AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑， ∴xOA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+yOB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=2(OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)，∴(x +2)OA⃑⃑⃑⃑⃑⃑+(y −2)OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=0⃑⃗， ∴x =−2，y =2，x +y =0.所以答案是：0．13、在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =2√3 ，AD =5 ，∠A =30° ，点E 在线段CB 的延长线上，且AE =BE ，则BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅AE⃑⃑⃑⃑⃑⃑=__________. 答案：−1.分析：建立坐标系利用向量的坐标运算分别写出向量而求解．建立如图所示的直角坐标系，则B(2√3,0)，D(5√32,52)．因为AD ∥BC ，∠BAD =30°，所以∠CBA =150°，因为AE =BE ，所以∠BAE =∠ABE =30°，所以直线BE 的斜率为√33，其方程为y =√33(x −2√3)，直线AE 的斜率为−√33，其方程为y =−√33x ．由{y =√33(x −2√3),y =−√33x得x =√3，y =−1，所以E(√3,−1)．所以BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑·AE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(√32,52)·(√3,−1)=−1．小提示：平面向量问题有两大类解法：基向量法和坐标法，在便于建立坐标系的问题中使用坐标方法更为方便．解答题14、康平滕龙阁，位于康平县中央公园中心，建在有“敖包朝霞”之称的敖包山旧址上，是老百姓心中的祥瑞之地.如图，小明同学为测量滕龙阁的高度，在滕龙阁的正东方向找到一座建筑物AB ，高为8米，在地面上的点M （B ，M ，D 三点共线）测得楼顶A ，滕龙阁顶部C 的仰角分别为15°和60°，在楼顶A 处测得阁顶部C 的仰角为30°，试替小明求滕龙阁的高度？（精确到0.01米）答案：37.86米分析：在△ACM 中，利用正弦定理求得CM ，然后在Rt △CDM 中，由CD =CMsin60°求解.解：由题意得，在Rt △ABM 中，AM =AB sin15°，在△ACM 中，∠CAM =30°+15°=45°，∠AMC =180°−15°−60°=105°，所以∠ACM =30°，由正弦定理AM sin∠ACM =CM sin∠CAM ，得CM =sin∠CAM sin∠ACM ⋅AM =√2AB sin15°，又sin15°=sin(45°−30°)=√22×√32−√22×12=√6−√24，在Rt△CDM中，CD=CMsin60°=√6AB2sin15°=√62×√6−√24=24+8√3≈37.86.答：滕龙阁的高度约为37.86米.15、如图，为测量河对岸A，B两点的距离，在河的这边取C，D两点观察，测得CD=√3km，∠ADB=45°，∠ADC=30°，∠ACB=75°，∠DCB=45°（A，B，C，D在同一平面内），求A，B两点之间的距离．答案：√5km分析：由题意，先计算得∠DBC=60°，∠DCA=120°，∠DAC=30°，由正弦定理计算BD,AD，再由余弦定理计算AB∠DAC＝180°﹣∠ADC﹣∠DCB﹣∠ACB＝30°，∠DBC＝180°﹣∠DCB﹣∠ADC﹣∠ADB＝60°在△ADC中由正弦定理得：DCsin∠DAC =ADsin(∠DCB+∠ACB)∴AD=sin(∠DCB+∠ACB)×DCsin∠DAC=3在△CDB中由正弦定理得：DCsin∠DBC =BDsin∠DCB∴BD=DCsin∠DBC×sin∠DCB=√2在△ADB中由余弦定理得：AB2＝DB2+AD2﹣2DB×AB cos∠ADB＝2+9﹣2×√2×3×√22＝5 ∴AB＝√5km答：A、B两点间的距离为√5km。

高中数学必修2立体几何常考题型：棱柱、棱锥、棱台的结构特征

棱柱、棱锥、棱台的结构特征【知识梳理】1．空间几何体题型一、棱柱的结构特征【例1】下列关于棱柱的说法：(1)所有的面都是平行四边形；(2)每一个面都不会是三角形；(3)两底面平行，并且各侧棱也平行；(4)被平面截成的两部分可以都是棱柱．其中正确说法的序号是________．[解析](1)错误，棱柱的底面不一定是平行四边形；(2)错误，棱柱的底面可以是三角形；(3)正确，由棱柱的定义易知；(4)正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱，所以说法正确的序号是(3)(4)．[答案](3)(4)【类题通法】有关棱柱的结构特征问题的解题策略(1)紧扣棱柱的结构特征进行有关概念辨析①两个面互相平行；②其余各面是四边形；③相邻两个四边形的公共边互相平行．求解时，首先看是否有两个平行的面作为底面，再看是否满足其他特征．(2)多注意观察一些实物模型和图片便于反例排除．【对点训练】1．下列四个命题中，假命题为()A．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面B．棱柱的各个侧面都是平行四边形C．棱柱的两底面是全等的多边形D．棱柱的面中，至少有两个面互相平行解析：选A A错，正六棱柱的两个相对的侧面互相平行，但不是棱柱的底面，B、C、D 是正确的.题型二、棱锥、棱台的结构特征【例2】下列关于棱锥、棱台的说法：(1)用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台；(2)棱台的侧面一定不会是平行四边形；(3)棱锥的侧面只能是三角形；(4)由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；(5)棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥，其中正确说法的序号是________．[解析](1)错误，若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台；(2)正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；(3)正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形；(4)正确，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；(5)错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥．[答案](2)(3)(4)【类题通法】判断棱锥、棱台形状的两个方法(1)举反例法：结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确．(2)直接法：2．试判断下列说法正确与否：①由六个面围成的封闭图形只能是五棱锥；②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台．解：①不正确，由六个面围成的封闭图形有可能是四棱柱；②不正确，两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体．侧棱不一定相交于一点，所以不一定是棱台.题型三、多面体的平面展开图【例3】如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？[解]由几何体的侧面展开图的特点，结合棱柱，棱锥，棱台的定义，可把侧面展开图还原为原几何体，如图所示：所以①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台．【类题通法】1．解答此类问题要结合多面体的结构特征发挥空间想象能力和动手能力．2．若给出多面体画其展开图时，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面．3．若是给出表面展开图，则可把上述程序逆推．【对点训练】3.水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的表面展开图(图中数字写在正方体的外表面上)，若图中“0”上方的“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是()A．1B．2C．快D．乐解析：选B由题意，将正方体的展开图还原成正方体，1与乐相对，2与2相对，0与快相对，所以下面是2.【练习反馈】1．下列几何体中棱柱有()A．5个B．4个C．3个D．2个解析：选D由棱柱定义知，①③为棱柱．2．下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是()解析：选D A、B、C中底面边数与侧面个数不一致，故不能围成棱柱．3．棱锥最少有________个面．答案：44．下列几何体中，________是棱柱，________是棱锥，________是棱台(仅填相应序号)．答案：①③④⑥⑤5．(1)三棱锥、四棱锥、十五棱锥分别有多少条棱？多少个面？(2)有没有一个多棱锥，其棱数是2 012？若有，求出有多少个面；若没有，说明理由．解：(1)三棱锥有6条棱、4个面；四棱锥有8条棱、5个面；十五棱锥有30条棱、16个面．(2)设n棱锥的棱数是2 012，则2n＝2012，所以n＝1 006，1 006棱锥的棱数是2 012，它有1 007个面．。

高中数学必修二专题02 平面向量的基本定理、坐标运算及数量积(重难点突破)(含答案)

专题02 平面向量的基本定理、坐标运算及数量积一、考情分析二、题型分析(一) 平面向量的基本定理与坐标表示知识点1 平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中e 1，e 2是一组基底．例1．（1）.（2019·四川雅安中学高一月考）以下四组向量能作为基底的是（）A ．B ．C ．D ．12(1,2),(2,4)e e ==12(3,1),(1,3)e e =-=-12(2,1),(2,1)e e ==--121(,0),(3,0)2e e ==【答案】B【解析】对于，与共线，不能作为基底；对于，与不共线，能作为基底；对于，与共线，不能作为基底；对于，与共线，不能作为基底，故选B. （2）.（2019·江西高一期末）设是平面内的一组基底,则下面四组向量中,能作为基底的是（）A ．与B ．与C ．与D ．与【答案】C【解析】由是平面内的一组基底，所以和不共线，对应选项A ：，所以这2个向量共线，不能作为基底；对应选项B ：，所以这2个向量共线，不能作为基底；对应选项D ：，所以这2个向量共线，不能作为基底；对应选项C ：与不共线，能作为基底.故选：C ．A 114220,e ⨯-⨯=∴2eB ()()1331180,e ⨯--⨯-=≠∴2eC ()()121120,e ⨯--⨯-=∴2eD 110030,2e ⨯-⨯=∴2e 12,e e 21e e -12e e -1223e e +1246e e --12e e +12e e -121128e e -+1214e e -12,e e 1e 2e 21e e -()12e e =--1223e e +()121462e e =---121128e e -+121124e e ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭12e e +12e e -（3）.（2020·内蒙古高三月考）在正方形中，点为内切圆的圆心，若，则的值为（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】连并延长到与相交于点，设正方形的边长为1，则，设内切圆的半径为，则，可得. 设内切圆在边上的切点为，则，有，，故. 故选：DABCD O ABC ∆AO xAB yAD =+xy 1434-1412OB AC HABCD 122BH BD ==ABC ∆r)1BH OH OB r r =+=+==r =ABC ∆AB E ()1AO AE EO r AB r AD=+=-+22222112222AB AD AB AD ⎛⎛⎫-=-+=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭x =1y =-11222xy ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭【变式训练1】．（2020·北京高三开学考试）在平行四边形ABCD 中，，，，则 .（用表示）【答案】【解析】如图：＝－＝＋2＝＋＝－＋(－)＝－＋＝.故本题答案为. 【变式训练2】．（2020·辽宁高考模拟）在中，，，若，则（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】因为，所以点是的中点，又因为，所以点是的中点，所以有：，因此1AB e =2AC e =14NC AC =12BM MC =MN =12,e e 1225312e e -+MN CN CM CN BM CN 23BC 14AC 23AC AB 214e 212()3e e -1225312e e -+1225312e e -+ABC ∆2AB AC AD +=0AE DE +=EB xAB y AC =+3y x =3x y =3y x =-3x y =-2AB AC AD +=D BC 0AE DE +=E AD 11131()22244BE BA AE AB AD AB AB AC AB AC =+=-+=-+⨯+=-+，故本题选D. 31,344x y x y =-=⇒=-(二) 平面向量的坐标运算知识点2 平面向量的坐标运算(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)(b ≠0)，则a±b ＝(x 1±x 2，y 1±y 2)．(2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)． (3)若a ＝(x ，y )，λ∈R ，则λa ＝(λx ，λy )．(4)a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.(5)|a |＝x 21＋y 21.若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2.例2．（1）.（2020·福建高三月考）已知，若，则的坐标为（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】设,因为,所以.所以,所以, 解得: ,.所以.故选D. （2）.（2019·湖南高一期末）已知，，则（） A ．2 BC ．4 D．【答案】C 【解析】由题得=（0,4）所以．故选：C(5,2),(4,3)a b =-=--230a b c -+=c 8(1,)3138(,)33-134(,)33134(,)33--(,)c x y =230a b c -+=(5,2)2(4,3)3(,)(0,0)x y ----+=(583,263)(0,0)x y ++-++=1330,430x y +=+=133x 43y =-134(,)33c =--()0,1A -()0,3B ||AB =AB ||04AB =+=【变式训练1】.（2020·湖北高一期中）已知向量，向量.（1）求向量的坐标；（2）当为何值时，向量与向量共线.【答案】（1）（2）【解析】（1）（2），∵与共线，∴∴【变式训练2】.（2018·上海市嘉定区封浜高级中学高二期中）已知，为坐标原点.(1) 求向量的坐标及；(2) 若，求与同向的单位向量的坐标．【答案】(1) ，；（2）.【解析】（1）,.（2）,, 与同向的单位向量. ()1,2a =()3,2b =-2a b -k ka b +2a b -()7,2-12k =-()()()21,223,27,2a b -=--=-()()()1,23,23,22ka b k k k +=+-=-+()()()21,223,27,2a b -=--=-ka b +2a b -()()72223k k +=--12k =-(3,4),(5,10)A B ---O AB AB OC OA OB =+OC ()8,6AB =-10AB =21010OC n OC ⎛==- ⎝⎭()8,6AB =-2810AB ∴==()()()3,45,102,14OC OA OB =+=--+-=-22OC ==∴OC 21010OC n OC ⎛==- ⎝⎭(三) 平面向量的数量积知识点3．平面向量数量积1．平面向量数量积的有关概念(1)向量的夹角：已知两个非零向量a 和b ，记OA→＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a 与b 的夹角．(2)数量积的定义：已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ叫作a 与b 的数量积，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ.规定：0·a ＝0.(3)数量积的几何意义：数量积a ·b 等于a 的模|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．2．平面向量数量积的性质设a ，b 都是非零向量，e 是与b 方向相同的单位向量，θ是a 与e 的夹角，则(1)e·a ＝a·e ＝|a|cos θ.(2)当a 与b 同向时，a·b ＝|a||b|；当a 与b 反向时，a·b ＝－|a||b|.特别地，a·a ＝|a|2或|a|＝a ·a .(3)cos θ＝a·b |a||b|.(4)|a·b|≤|a||b|.3．平面向量数量积的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a ，b 的夹角为θ，则(1)a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.(2)|a |＝x 21＋y 21.若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2.(3)cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22.(4)a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.例3．（1）（2020·浙江高一期末）已知向量，，则__________，与方向相反的单位向量__________.【解析】依题意，故与方向相反的单位向量为. （2）.（2019·全国高考真题）已知=(2,3)，=(3，t )，=1，则= A ．-3B ．-2C ．2D ．3 【答案】C 【解析】由，，得，则，．故选C【变式训练1】.（2019·安徽高三月考（理））已知，，均为单位向量，与的夹角为，则的最大值为( ) ()3,4a =()1,2b =-2a b +=a c =34,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭()21,8a b +=2218a b +=+=a c ()()()3,43,434,5553,4a a -----⎛⎫===-- ⎪---⎝⎭AB AC ||BC AB BC ⋅(1,3)BC AC AB t =-=-211BC ==3t =(1,0)BC =(2,3)(1,0)21302AB BC ==⨯+⨯=a b c a b 60()(2)c a c b +⋅-A ．BC ．2D ． 3【答案】B 【解析】设与的夹角为，因为，，所以，所以，所以.故选：B ．【变式训练2】.（2020·四川高一月考）已知，若，则实数=__________；=__________. 【答案】0 0【解析】∵，∴，∵，∴，解得．故答案为．【变式训练3】.（2019·江苏高考真题）如图，在中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点.若，则的值是_____. 32c 2a b -θ222|2|443a b a a b b -=-⋅+=|2|3a b -=2()(2)(2)21|||2|cos 1c a c b cc a b a b c a b θ+⋅-=+⋅--⋅=+⋅--()(2)3cos c a c b θ+⋅-=max =cos 1θ=()()1,3,1,2a b ==-0a b λμ+=λμ()()1,3,1,2a b ==-()()()1,31,2,32a b λμλμλμλμ+=+-=+-0a b λμ+=0320λμλμ+=⎧⎨-=⎩0λμ=⎧⎨=⎩0,0λμ==ABC O 6AB AC AO EC ⋅=⋅ABAC. 【解析】如图，过点D 作DF //CE ，交AB 于点F ，由BE =2EA ，D 为BC 中点，知BF =FE =EA ,AO =OD .，得即故. 【变式训练4】.（2020·浙江高一期中）已知为单位向量，. （1）求；（2）求与的夹角的余弦值；()()()3632AO EC AD AC AE AB AC AC AE =-=+-()223131123233AB AC AC AB AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫=+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22223211323322AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭2213,22AB AC =3,AB AC =AB AC=,a b 12a b ⋅=2a b +2a b +b θ【答案】（1；（2）.【解析】由题得；由题得与的夹角的余弦值为故答案为：（1；（2.7222=4++4=5+4a b a b a b +⋅⋅2a b +b θ(2)2cos |2|||7a b b a b a b b θ+⋅⋅====+(四) 平面向量的应用（平行与垂直）知识点1 平面向量的平行与垂直若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)(b ≠0)，则a±b ＝(x 1±x 2，y 1±y 2)．(1)如果a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件为x 1y 2－x 2y 1＝0.a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1y 2，因为x 2，y 2有可能等于0.判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判定．(2)如果a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.x 1y 2－x 2y 1＝0与x 1x 2＋y 1y 2＝0不同，前者是两向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)共线的充要条件，后者是它们垂直的充要条件．例4．(1)（2020·江西高一期末）已知向量，，若，则（）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】向量，，且，，解得. 故选：D.(2)．(多选题)已知向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，c =(m ﹣2，﹣n )，其中m ，n 均为正数，且(a b -)∥c ，下列说法正确的是（）A ．a 与b 的夹角为钝角()1,a m =()2,5b =//a b m =152-25-52()1,a m =()2,5b =//a b 25m ∴=52m =B ．向量a 在bC ．2m +n =4D ．mn 的最大值为2 【答案】CD对于A ，向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，则2110a b ⋅=-=>，则,a b 的夹角为锐角，错误；对于B ，向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，则向量a 在b 方向上的投影为22a b b⋅=，错误；对于C ，向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，则a b -= (1，2)，若(a b -)∥c ，则(﹣n )=2(m ﹣2)，变形可得2m +n =4，正确；对于D ，由C 的结论，2m +n =4，而m ，n 均为正数，则有mn 12= (2m •n )12≤ (22m n +)2=2，即mn 的最大值为2，正确；故选：CD.【变式训练1】（2020·浙江高一期中）已知向量满足.若，则 _______； ______.【答案】【解析】因为，所以（1）×m 4=0,所以m= 4.所以故答案为：(1). (2).【变式训练2】．（2020广东高一期末）已知， ;(1) 若，求的值；,a b (1,2),(2,)a b m =-=//a b m =||b =4-//a b ---2||=2+b =（4-)cos ,1(),sin ,1(θθ==b aR ∈θ)0,2(=+b a θθθcos sin 2sin 2+（2）若，，求的值.【答案】（1）（2）【解析】（1），∴， ……1分∴ ； ……3分∴. ……7分（2）， ……8分∴，两边平方得， ……10分，且， ∴∴， ……12分 ∴. ……分)51,0(=-b a(,2)θππ∈θθcos sin +12-75-)cos ,1(),sin ,1(θθ==b a)0,2()cos sin ,2(=+=+θθb asin cos 0,tan 1θθθ+=∴=-1tan tan 2tan cos sin cos sin 2sin cos sin 2sin 222222++=++=+θθθθθθθθθθθ21-=)51,0()cos sin ,0(=-=-θθb a51cos sin =-θθ2512cos sin =θθ(,2)θππ∈02512cos sin >=θθ⎪⎭⎫⎝⎛∈ππθ23,0cos sin <+θθ57cos sin 21cos sin -=+-=+θθθθ14。

高中数学必修二直线与直线方程题型归纳总结

高中数学必修二直线与直线方程题型归纳总结知识点归纳概括：1.直线的倾斜角为0°≤α<180°，斜率为k=tanα（α≠90°）。

2.已知两点求斜率公式为k=(y2-y1)/(x2-x1)（x2≠x1）。

3.两直线平行时，它们的斜率相等；垂直时，它们的斜率之积为-1.4.直线的五种方程：点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式。

5.两直线的交点坐标可通过联立两直线方程求得，两点间距离可用距离公式计算。

题型归纳分析：1.直线的倾斜角与斜率的计算。

2.平行和垂直直线的判断及斜率之间的关系。

3.直线的方程及其应用。

4.两直线交点坐标和两点间距离的计算。

例1：过点M(-2,a)和N(a,4)的直线的斜率等于1，则a的值为（）。

A。

1B。

4C。

1或3D。

1或4解析：由题意可得，直线MN的斜率为1，即(k=(4-a)/(a+2)=1)，解得a=2，故选B。

变式1：已知点A(1,3)、B(-1,3)，则直线AB的倾斜角是（）。

A。

60°B。

30°C。

120°D。

150°解析：由斜率公式可得，k=(3-3)/(-1-1)=0，因为斜率为0，所以直线与x轴平行，倾斜角为0°，故选A。

变式2：已知两点A(3,2)、B(-4,1)，求过点C(-1.)的直线l与线段AB有公共点，求直线l的斜率k的取值范围。

解析：首先求出AB的斜率k1=(1-2)/(-4-3)=-1/7，然后求出点C到直线AB的距离d，d=|(-1-3)×(-1)+(?-2)×(-4+3)|/√((-4+3)²+(1-2)²)=|4-2×(?-1)|/√5，因为直线l与AB有公共点，所以点C到直线l的距离也为d，根据距离公式可得，|k1×(-1)+1×(?-1)-d|/√(k1²+1²)=d，化简得，|k1×(-1)+1×(?-1)|=2d√(k1²+1²)，即|k1+?(?-1)|=2d√(k1²+1²)，因为直线l过点C，所以直线l的斜率为k2=(?-1)/(-1-3)，代入得，|k1+k2|=2d√(k1²+1²)，整理得，|?-1+7k2|=2d√(50)，因为|?-1+7k2|≥0，所以d≥0，又因为√(50)>7，所以|?-1+7k2|≤2d×7，即|?-1+7k2|≤14d，代入得|?-1+7(?-1)/(-1-3)|≤14d，即|-2?-6/(-4)|≤14d，解得-1/2≤d≤1/2，因为d≥0，所以1/2≥d≥0，代入得-1/2≤?-1+7k2≤1/2，解得-3/14≤k2≤1/14，故k2的取值范围为[-3/14,1/14]。

高中数学必修二最新版-二面角求法及经典题型归纳

αβa O A B 立体几何二面角求法一：知识准备1、二面角的概念：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面.2、二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角。

3、二面角的大小范围：[0°，180°]4、三垂线定理：平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它就和这条斜线垂直5、平面的法向量：直线L 垂直平面α，取直线L 的方向向量，则这个方向向量叫做平面α的法向量。

（显然，一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量）6、二面角做法：做二面角的平面角主要有3种方法：（1）、定义法：在棱上取一点，在两个半平面内作垂直于棱的2 条射线，这2条所夹的角；（2）、垂面法：做垂直于棱的一个平面，这个平面与2个半平面分别有一条交线，这2条交线所成的角；（3）、三垂线法：过一个半平面内一点（记为A ）做另一个半平面的一条垂线，过这个垂足（记为B ）再做棱的垂线，记垂足为C ，连接AC ，则∠ACB 即为该二面角的平面角。

7、两个平面的法向量的夹角与这两个平面所成的二面角的平面角有怎样的关系？二：二面角的基本求法及练习1、定义法：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。

本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。

如例1中从二面角S —AM—B 中半平面ABM 上的一已知点（B ）向棱AM 作垂线，得垂足（F ）；在另一半平面ASM 内过该垂足（F ）作棱AM 的垂线（如GF ），这两条垂线（BF 、GF ）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。

高中数学必修2直线与圆常考题型：两条直线平行与垂直的判定

两条直线平行与垂直的判定【知识梳理】1．对于两条不重合的直线l 1，l 2，其斜率分别为k 1，k 2，有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2.2．如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；反之，如果它们的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直，即l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.【常考题型】题型一、两条直线平行的判定【例1】根据下列给定的条件，判断直线l 1与直线l 2是否平行．(1)l 1经过点A (2,1)，B (－3,5)，l 2经过点C (3，－3)，D (8，－7)；(2)l 1经过点E (0,1)，F (－2，－1)，l 2经过点G (3,4)，H (2,3)；(3)l 1的倾斜角为60°，l 2经过点M (1，3)，N (－2，－23)；(4)l 1平行于y 轴，l 2经过点P (0，－2)，Q (0,5)．[解] (1)由题意知，k 1＝5－1－3－2＝－45，k 2＝－7＋38－3＝－45，所以直线l 1与直线l 2平行或重合，又k BC ＝5－(－3)－3－3＝－43≠－45，故l 1∥l 2. (2)由题意知，k 1＝－1－1－2－0＝1，k 2＝3－42－3＝1，所以直线l 1与直线l 2平行或重合，k FG ＝4－(－1)3－(－2)＝1，故直线l 1与直线l 2重合．(3)由题意知，k 1＝tan 60°＝3，k 2＝－23－3－2－1＝3，k 1＝k 2，所以直线l 1与直线l 2平行或重合．(4)由题意知l 1的斜率不存在，且不是y 轴，l 2的斜率也不存在，恰好是y 轴，所以l 1∥l 2.【类题通法】判断两条不重合直线是否平行的步骤【对点训练】1．试确定m 的值，使过点A (m ＋1,0)，B (－5，m )的直线与过点C (－4,3)，D (0,5)的直线平行．解：由题意直线CD的斜率存在，则与其平行的直线AB的斜率也存在．k AB＝m－0－5－(m＋1)＝m－6－m，k CD＝5－30－(－4)＝12，由于AB∥CD，即k AB＝k CD，所以m－6－m＝12，得m＝－2.经验证m＝－2时直线AB的斜率存在，所以m＝－2.题型二、两条直线垂直的问题【例2】已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－2，－3)，直线l2经过点C(2,3)，D(－1，a－2)，如果l1⊥l2，求a的值．[解]设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2.∵直线l2经过点C(2,3)，D(－1，a－2)，且2≠－1，∴l2的斜率存在．当k2＝0时，a－2＝3，则a＝5，此时k1不存在，符合题意．当k2≠0时，即a≠5，此时k1≠0，由k1·k2＝－1，得－3－aa－2－3·a－2－3－1－2＝－1，解得a＝－6.综上可知，a的值为5或－6.【类题通法】使用斜率公式判定两直线垂直的步骤(1)一看，就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第一步．(2)二用：就是将点的坐标代入斜率公式．(3)求值：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论．总之，l1与l2一个斜率为0，另一个斜率不存在时，l1⊥l2；l1与l2斜率都存在时，满足k1·k2＝－1.【对点训练】2．已知定点A(－1,3)，B(4,2)，以A、B为直径作圆，与x轴有交点C，则交点C的坐标是________．解析：以线段AB为直径的圆与x轴的交点为C，则AC⊥BC.设C(x,0)，则k AC＝－3x＋1，k BC＝－2x－4，所以－3x＋1·－2x－4＝－1，得x＝1或2，所以C(1,0)或(2,0)．答案：(1,0)或(2,0)题型三、平行与垂直的综合应用【例3】已知A (－4,3)，B (2,5)，C (6,3)，D (－3,0)四点，若顺次连接A ，B ，C ，D 四点，试判定图形ABCD 的形状．[解] 由题意知A ，B ，C ，D 四点在坐标平面内的位置，如图所示，由斜率公式可得k AB ＝5－32－(－4)＝13， k CD ＝0－3－3－6＝13，k AD ＝0－3－3－(－4)＝－3， k BC ＝3－56－2＝－12. 所以k AB ＝k CD ，由图可知AB 与CD 不重合，所以AB ∥CD .由k AD ≠k BC ，所以AD 与BC 不平行．又因为k AB ·k AD ＝13×(－3)＝－1，所以AB ⊥AD ，故四边形ABCD 为直角梯形．【类题通法】1．在顶点确定的情况下，确定多边形形状时，要先画出图形，由图形猜测其形状，为下面证明提供明确目标．2．证明两直线平行时，仅有k 1＝k 2是不够的，注意排除两直线重合的情况．【对点训练】3．已知A (1,0)，B (3,2)，C (0,4)，点D 满足AB ⊥CD ，且AD ∥BC ，试求点D 的坐标．解：设D (x ，y )，则k AB ＝23－1＝1，k BC ＝4－20－3＝－23，k CD ＝y －4x ，k DA ＝y x －1.因为AB ⊥CD ，AD ∥BC ，所以，k AB ·k CD ＝－1，k DA ＝k BC ，所以⎩⎨⎧ 1×y －4x ＝－1，y x －1＝－23.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10，y ＝－6.即D (10，－6)．【练习反馈】1．下列说法正确的有( )①若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行；②若l 1∥l 2，则k 1＝k 2；③若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直； ④若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选A 若k 1＝k 2，则这两条直线平行或重合，所以①错；当两条直线垂直于x 轴时，两条直线平行，但斜率不存在，所以②错；若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，才有这两条直线垂直，所以③错；④正确．2．直线l 1，l 2的斜率是方程x 2－3x －1＝0的两根，则l 1与l 2的位置关系是( )A ．平行B ．重合C ．相交但不垂直D ．垂直解析：选D 设l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，则k 1·k 2＝－1.3．已知△ABC 中，A (0,3)、B (2，－1)，E 、F 分别为AC 、BC 的中点，则直线EF 的斜率为________．解析：∵E 、F 分别为AC 、BC 的中点，∴EF ∥AB .∴k EF ＝k AB ＝－1－32－0＝－2. 答案：－24．经过点(m,3)和(2，m )的直线l 与斜率为－4的直线互相垂直，则m 的值是________．解析：由题意可知k l ＝14，又因为k l ＝m －32－m ，所以m －32－m ＝14，解得m ＝145. 答案：1455．判断下列各小题中的直线l 1与l 2的位置关系．(1)l 1的斜率为－10，l 2经过点A (10,2)，B (20,3)；(2)l 1过点A (3,4)，B (3,100)，l 2过点M (－10,40)，N (10,40)；(3)l 1过点A (0,1)，B (1,0)，l 2过点M (－1,3)，N (2,0)；(4)l 1过点A (－3,2)，B (－3,10)，l 2过点M (5，－2)，N (5,5)．解：(1)k 1＝－10，k 2＝3－220－10＝110. ∵k 1k 2＝－1，∴l 1⊥l 2.(2)l1的倾斜角为90°，则l1⊥x轴．k2＝40－4010－(－10)＝0，则l2∥x轴，∴l1⊥l2.(3)k1＝0－11－0＝－1，k2＝0－32－(－1)＝－1，∴k1＝k2.又k AM＝3－1－1－0＝－2≠k1，∴l1∥l2.(4)∵l1与l2都与x轴垂直，∴l1∥l2.。

高中数学必修2直线与圆常考题型：圆的一般方程

圆的一般方程【知识梳理】圆的一般方程(1)圆的一般方程的概念：当D 2＋E 2－4F ＞0时，二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0叫做圆的一般方程．(2)圆的一般方程对应的圆心和半径：圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)表示的圆的圆心为(－D 2，－E 2)，半径长为12D 2＋E 2－4F . 【常考题型】题型一、圆的一般方程的概念辨析【例1】若方程x 2＋y 2＋2mx －2y ＋m 2＋5m ＝0表示圆，求(1)实数m 的取值范围；(2)圆心坐标和半径．[解] (1)据题意知D 2＋E 2－4F ＝(2m )2＋(－2)2－4(m 2＋5m )＞0，即4m 2＋4－4m 2－20m ＞0，解得m ＜15，故m 的取值范围为(－∞，15)． (2)将方程x 2＋y 2＋2mx －2y ＋m 2＋5m ＝0写成标准方程为(x ＋m )2＋(y －1)2＝1－5m ，故圆心坐标为(－m,1)，半径r ＝1－5m .【类题通法】形如x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法： ①由圆的一般方程的定义令D 2＋E 2－4F ＞0，成立则表示圆，否则不表示圆，②将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解，应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解．【对点训练】1．下列方程各表示什么图形？若表示圆，求其圆心和半径．(1)x 2＋y 2＋x ＋1＝0；(2)x 2＋y 2＋2ax ＋a 2＝0(a ≠0)；(3)2x 2＋2y 2＋2ax －2ay ＝0(a ≠0)．解：(1)∵D ＝1，E ＝0，F ＝1，∴D 2＋E 2－4F ＝1－4＝－3＜0，∴方程(1)不表示任何图形．(2)∵D ＝2a ，E ＝0，F ＝a 2，∴D 2＋E 2－4F ＝4a 2－4a 2＝0，∴方程表示点(－a,0)．(3)两边同除以2，得x 2＋y 2＋ax －ay ＝0，D ＝a ，E ＝－a ，F ＝0，∴D 2＋E 2－4F ＝2a 2＞0，∴方程(3)表示圆，它的圆心为(－a 2，a 2)，半径r ＝12 D 2＋E 2－4F ＝22|a |. 题型二、圆的一般方程的求法【例2】已知△ABC 的三个顶点为A (1,4)，B (－2,3)，C (4，－5)，求△ABC 的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径．[解] 法一：设△ABC 的外接圆方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，∵A ，B ，C 在圆上，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋16＋D ＋4E ＋F ＝0，4＋9－2D ＋3E ＋F ＝0，16＋25＋4D －5E ＋F ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝－2，E ＝2，F ＝－23，∴△ABC 的外接圆方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －23＝0，即(x －1)2＋(y ＋1)2＝25.∴外心坐标为(1，－1)，外接圆半径为5.法二：∵k AB ＝4－31＋2＝13，k AC ＝4＋51－4＝－3， ∴k AB ·k AC ＝－1，∴AB ⊥AC .∴△ABC 是以角A 为直角的直角三角形，∴外心是线段BC 的中点，坐标为(1，－1)，r ＝12|BC |＝5. ∴外接圆方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝25.应用待定系数法求圆的方程时：(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a ，b ，r .(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D 、E 、F .【对点训练】2．求经过点A (－2，－4)且与直线x ＋3y －26＝0相切于点B (8,6)的圆的方程．解：设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2. ∵圆与x ＋3y －26＝0相切，∴6＋E 28＋D 2·⎝⎛⎭⎫－13＝－1，即E －3D －36＝0.①∵(－2，－4)，(8,6)在圆上，∴2D ＋4E －F －20＝0，②8D ＋6E ＋F ＋100＝0.③联立①②③，解得D ＝－11，E ＝3，F ＝－30，故所求圆的方程为x 2＋y 2－11x ＋3y －30＝0.题型三、代入法求轨迹方程【例3】已知△ABC 的边AB 长为4，若BC 边上的中线为定长3，求顶点C 的轨迹方程．[解] 以直线AB 为x 轴，AB 的中垂线为y 轴建立坐标系(如图)，则A (－2,0)，B (2,0)，设C (x ，y )，BC 中点D (x 0，y 0)．∴⎩⎨⎧2＋x 2＝x 0，0＋y 2＝y 0. ①∵|AD |＝3，∴(x 0＋2)2＋y 20＝9. ②将①代入②，整理得(x ＋6)2＋y 2＝36.∵点C 不能在x 轴上，∴y ≠0.综上，点C 的轨迹是以(－6,0)为圆心，6为半径的圆，去掉(－12,0)和(0,0)两点．轨迹方程为(x ＋6)2＋y 2＝36(y ≠0)．用代入法求轨迹方程的一般步骤【对点训练】3．过点A (8,0)的直线与圆x 2＋y 2＝4交于点B ，则AB 中点P 的轨迹方程为________________．解析：设点P 的坐标为(x ，y )，点B 为(x 1，y 1)，由题意，结合中点坐标公式可得x 1＝2x －8，y 1＝2y ，故(2x －8)2＋(2y )2＝4，化简得(x －4)2＋y 2＝1，即为所求．答案：(x －4)2＋y 2＝1【练习反馈】1．圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是( )A ．(2,3)B ．(－2,3)C ．(－2，－3)D ．(2，－3)解析：选D 圆的方程化为(x －2)2＋(y ＋3)2＝13，圆心(2，－3)，选D.2．已知方程x 2＋y 2－2x ＋2k ＋3＝0表示圆，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(3，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)D ．(－32，＋∞) 解析：选A 方程可化为：(x －1)2＋y 2＝－2k －2，只有－2k －2>0，即k <－1时才能表示圆．3．方程x 2＋y 2＋2ax －by ＋c ＝0表示圆心为C (2,2)，半径为2的圆，则a ＝________，b ＝________，c ＝________.解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧ －2a 2＝2，－－b 2＝2，12 4a 2＋b 2－4c ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－2，b ＝4，c ＝4.答案：－2,4,44．设A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，P A 是圆的切线且|P A |＝1，则P 点的轨迹方程是________．解析：设P (x ，y )是轨迹上任一点，圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为B (1,0)，则|P A |2＋1＝|PB |2，∴(x －1)2＋y 2＝2.答案：(x －1)2＋y 2＝25．求过点(－1,1)，且圆心与已知圆x 2＋y 2－6x －8y ＋15＝0的圆心相同的圆的方程．解：设所求的圆的方程为：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，又圆x 2＋y 2－6x －8y ＋15＝0的圆心为(3,4)，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧2－D ＋E ＋F ＝0，－D 2＝3，－E 2＝4，解此方程组，可得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－6，E ＝－8，F ＝0. ∴所求圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0.。

人教A版2019高中数学选择性必修第二册数列求通项(重点题型)

第4讲：数列求通项(重点题型方法与技巧)目录类型一：n S 法(已知n S 与n a 的关系)角度1：用1n n S S --，得到n a 角度2：将题意中的n a 用1n n S S --替换角度3：已知等式中左侧含有：1ni i i a b =∑类型二：累加法类型三：累乘法类型四：构造法类型五：倒数法类型一：n S 法(已知n S 与n a 的关系)角度1：用1n n S S --，得到n a典型例题例题1．（2022·河南省淮阳中学高三阶段练习（文））已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n S a =-． (1)求{}n a 的通项公式；【答案】(1)2n n a =由22n n S a =-，得1122S a =-，得12a =，当2n ≥时，()()111222222n n n n n n n a S S a a a a ---=-=---=-，即12n n a a -=， ∴{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列， ∴{}n a 的通项公式为2n n a =．例题2．（2022·福建省华安县第一中学高二阶段练习）正项数列{}n a 的前n 项和n S 满足：()()22210n n S n n S n n -+--+=.(1)求数列{}n a 的通项公式n a ；【答案】(1)2n a n =n，则数列2)2)n 可得S 为公差的等差数列，)(1221n =1114043⎛++-20224045. ·黑龙江·大庆实验中学模拟预测（理））已知正项数列(2,n n ≥∈()1n ++- 【详解】由题意得：()111n a a n +=++-，()11n n a -++-②，()()112,n n a n +=+≥434=，…，1n n a n a -=，时，1a 不满足3na n++=3na n++=，11n a n -++=-123n -=⋅，23n n a n -=⋅23n n -++⋅(22)3n n ++-⋅)121333n -+++-3(12)3n n n ⋅=-⋅-． ·黑龙江·双鸭山一中高二开学考试）已知数列(31n +++(31n +++(1332n⎛⎫++⨯- ⎪⎝⎭112n +⎛⎫ ⎪⎝⎭ na a n++=n a a n ++=11n a n -++=-1n a n =，当，2121a a=满足上式，，因此数列{}n a n是常数列，即2n =. 2n a na ++=2n a na ++=12n a -++=，212n a -++=②，()121n n a +--221,2a a a =适合上式，所以数列12n -.2n n a ++=2n n a ++=11n n a --++=两式相减得：2n n n na =，故*N 时，n a 2log n a a +)()22462n n +++++1222n n n +=++-.济南市历城第二中学模拟预测）在数列{项和为n S ，且22=-n n S b ．12n n a a -⋅⋅=时也成立 2-，即1b =12--n b ④()21111111111212a a a n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-+=-+-++-+ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭【详解】1n n a a +-2时，n a -121=-，a ，，以上各式相加得：)[]1212(1)n n -++-+++-)[]2122212(1)n n -++++-+++-12(1) 2122n n n n --=--=也适合上式， ()*1)N 2n -∈． (1)2n n --．(21n ++-·四川广安·高一期末（理））已知数列的通项公式；1-37722a a ==累加得：7822a a -++=82252a a =+故选：D武功县普集高级中学高二阶段练习）已知数列(23)n ++-符合上式，∴n b =弥勒市一中高二阶段练习）的通项公式；(1)3a 是3S 与23121a a q S a ⎧=⎪⎨=+⎪⎩(2)由（1）得：20222023a a ++B ．2021【详解】由已知，数列{}n a ，1n a n +=123121a a =，213313n n a a a a a a a a ⋅⋅⋅==⋅⋅⋅⋅(1)1)21(2121n n n n +⋅⋅==+⋅-⋅⋅，1n +，即21)(N )n a n ++⋅+∈，420222023a a a ++2022(2404420222023⨯++==⨯2022·宁夏·平罗中学高一期中（理））数列________________. 2n ⋅a11211341n n a n a n --⨯⨯=⨯⨯⨯⨯+， 1)+.(4313451112312n n n n a n a n -+=⋅⋅⋅⋅=-n S ①)113n n a S --=，②)()(1132n n n n n a a na n a n +-=⇒=+13a 也满足上式，()12n na n +∴=+(4313451112312n n n n a n a n -+=⋅⋅⋅⋅=-同类题型归类练高三专题练习）已知数列{}n a 满足a1(452221144414n n n aa a ---⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=1a ，∴1(1)(26)4n n n a --=．取得最小值，最小值为3642--=. 211S S S ⨯⨯⨯6543⨯⨯⨯⨯成立，(1321221212353···121,232531a a n n a n n a a n n --⋅⋅⋅=⋅⨯⨯=-≥--满足上式，的通项公式为21n a n =-．类型四：构造法典型例题【详解】14n a a +=24,2-=所以数列1224n -=⨯．（2022·全国·高二课时练习）已知数列145(2)n a +4 【答案】C【详解】解：由题意可知，112(++=12n a +=145(2)n a +145(21n -2(2)45460n -，即(2n +246n ，因为C ．1132n -+++11133213n n --+++=+-（2022·全国·高二期中）n S =___________. 23n - 132+--n设实数λ满足113n a +++·全国·高三专题练习）已知数列123n ++-·福建省长汀县第一中学高三阶段练习）已知数列___________.。

人教版高中数学必修2立体几何题型归类总结资料讲解

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图 14 15．一个棱锥的三视图如图图 9-3-7，则该棱锥的全面积（单位： cm2 ）_____________.
正视图
左视图
俯视图图 15
16．图 16 是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是_____________.
D'
C'
A'
C'
A'
B'
O
O
D
C
A
B
A
c
注：球的有关问题转化为圆的问题解决.
球面积、体积公式：
S球
4
R2 ,V球
4 3
R3 （其中
R
为球的半径）
平行垂直基础知识网络★★★
平行与垂直关系可互相转化
平行关系平面几何知
1. a ,b a // b 2. a ,a // b b
3. a , a //
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另一条与其相交；（2）可将两条一面直线同时平移至某一特殊位置。常用中位线平移法二证：证明所找（作）的角就是异面直线所成的角（或其补角）。常需要证明线线平行；三计算：通过解三角形，求出异面直线所成的角；
2 求直线与平面所成的角 0,90 ：关键找“两足”：垂足与斜足
正视图
俯视图
图 10
11. 如图 11 所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为 1 的正方形，俯视图是一
个直径为 1 的圆，那么这个几何体的全面积为_____________.
图
图 11
图 12
图 13

高中数学必修2直线与圆常考题型：直线的两点式方程、直线的一般式方程

直线的两点式方程、直线的一般式方程【知识梳理】1．直线的两点式与截距式方程(1)在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都可以用一个关于x ，y 的二元一次方程表示．(2)每个关于x ，y 的二元一次方程都表示一条直线． 3．直线的一般式方程的定义我们把关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(其中A ，B 不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．【常考题型】题型一、利用两点式求直线方程【例1】三角形的三个顶点是A (－1,0)，B (3，－1)，C (1,3)，求三角形三边所在直线的方程．[解] 由两点式，直线AB 所在直线方程为：y －(－1)0－(－1)＝x －3－1－3，即x ＋4y ＋1＝0.同理，直线BC 所在直线方程为： y －3－1－3＝x －13－1，即2x ＋y －5＝0. 直线AC 所在直线方程为： y －30－3＝x －1－1－1，即3x －2y ＋3＝0.【类题通法】求直线的两点式方程的策略以及注意点(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程．(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误．在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系．【对点训练】1．(1)若直线l 经过点A (2，－1)，B (2,7)，则直线l 的方程为________． (2)若点P (3，m )在过点A (2，－1)，B (－3,4)的直线上，则m ＝________.解析：(1)由于点A 与点B 的横坐标相等，所以直线l 没有两点式方程，所求的直线方程为x ＝2.(2)由两点式方程得，过A ，B 两点的直线方程为y －(－1)4－(－1)＝x －2－3－2，即x ＋y －1＝0.又点P (3，m )在直线AB 上，所以3＋m －1＝0，得m ＝－2.答案：(1)x ＝2 (2)－2题型二、直线的截距式方程及应用【例2】直线l 过点P (43，2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，O 为坐标原点．(1)当△AOB 的周长为12时，求直线l 的方程． (2)当△AOB 的面积为6时，求直线l 的方程．[解] (1)设直线l 的方程为x a ＋yb＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意知，a ＋b ＋a 2＋b 2＝12. 又因为直线l 过点P (43，2)，所以43a ＋2b＝1，即5a 2－32a ＋48＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，b 1＝3，⎩⎨⎧a 2＝125，b 2＝92，所以直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0 或15x ＋8y －36＝0.(2)设直线l 的方程为x a ＋yb ＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意知，ab ＝12，43a ＋2b ＝1，消去b ，得a 2－6a ＋8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，b 1＝3，⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2，b 2＝6，所以直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0或3x ＋y －6＝0. 【类题通法】用截距式方程解决问题的优点及注意事项(1)由截距式方程可直接确定直线与x 轴和y 轴的交点的坐标，因此用截距式画直线比较方便．(2)在解决与截距有关或直线与坐标轴围成的三角形面积、周长等问题时，经常使用截距式． (3)但当直线与坐标轴平行时，有一个截距不存在；当直线通过原点时，两个截距均为零．在这两种情况下都不能用截距式，故解决问题过程中要注意分类讨论．【对点训练】2．求经过点A (－2,2)，并且和两坐标轴围成的三角形面积是1的直线方程．解：设直线在x 轴、y 轴上的截距分别是a 、b ，则有S ＝12|a ·b |＝1.∴ab ＝±2.设直线的方程是x a ＋yb＝1.∵直线过点(－2,2)，代入直线方程得－2a ＋2b ＝1，即b ＝2aa ＋2.∴ab ＝2a 2a ＋2＝±2.当2a 2a ＋2＝－2时，化简得a 2＋a ＋2＝0，方程无解；当2a 2a ＋2＝2时，化简得a 2－a －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－2，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.∴直线方程是x －1＋y －2＝1或x 2＋y1＝1，即2x ＋y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0.题型三、直线方程的一般式应用【例3】 (1)已知直线l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线l 2：mx ＋3y －2＝0平行，求m 的值； (2)当a 为何值时，直线l 1：(a ＋2)x ＋(1－a )y －1＝0与直线l 2：(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0互相垂直？[解] (1)法一：由l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0. l 2：mx ＋3y －2＝0.①当m ＝0时，显然l 1与l 2不平行． ②当m ≠0时，l 1∥l 2，需2m ＝m ＋13≠4－2. 解得m ＝2或m ＝－3.∴m 的值为2或－3. 法二：令2×3＝m (m ＋1)，解得m ＝－3或m ＝2. 当m ＝－3时，l 1：x －y ＋2＝0，l 2：3x －3y ＋2＝0，显然l 1与l 2不重合，∴l 1∥l 2.同理当m ＝2时，l 1：2x ＋3y ＋4＝0，l 2：2x ＋3y －2＝0， l 1与l 2不重合，l 1∥l 2， ∴m 的值为2或－3.(2)法一：由题意，直线l 1⊥l 2，①若1－a ＝0，即a ＝1时，直线l 1：3x －1＝0与直线l 2：5y ＋2＝0，显然垂直． ②若2a ＋3＝0，即a ＝－32时，直线l 1：x ＋5y －2＝0与直线l 2：5x －4＝0不垂直．③若1－a ≠0，且2a ＋3≠0，则直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2都存在，k 1＝－a ＋21－a ，k 2＝－a －12a ＋3，当l 1⊥l 2时，k 1·k 2＝－1，即(－a ＋21－a )·(－a －12a ＋3)＝－1，所以a ＝－1.综上可知，当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2. 法二：由直线l 1⊥l 2，所以(a ＋2)(a －1)＋(1－a )(2a ＋3)＝0，解得a ＝±1.将a ＝±1代入方程，均满足题意．故当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2. 【类题通法】1．直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，(1)若l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0(或A 1C 2－A 2C 1≠0)． (2)若l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.2．与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线方程可设为Ax ＋By ＋m ＝0，(m ≠C )，与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线方程可设为Bx －Ay ＋m ＝0.【对点训练】3．(1)求与直线3x ＋4y ＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l 的方程； (2)求经过点A (2,1)且与直线2x ＋y －10＝0垂直的直线l 的方程．解：(1)法一：设直线l 的斜率为k ， ∵l 与直线3x ＋4y ＋1＝0平行，∴k ＝－34.又∵l 经过点(1,2)，可得所求直线方程为y －2＝－34(x －1)，即3x ＋4y －11＝0. 法二：设与直线3x ＋4y ＋1＝0平行的直线l 的方程为3x ＋4y ＋m ＝0. ∵l 经过点(1,2)，∴3×1＋4×2＋m ＝0，解得m ＝－11. ∴所求直线方程为3x ＋4y －11＝0. (2)法一：设直线l 的斜率为k . ∵直线l 与直线2x ＋y －10＝0垂直， ∴k ·(－2)＝－1， ∴k ＝12.又∵l 经过点A (2,1)，∴所求直线l 的方程为y －1＝12(x －2)，即x －2y ＝0.法二：设与直线2x ＋y －10＝0垂直的直线方程为x －2y ＋m ＝0. ∵直线l 经过点A (2,1)， ∴2－2×1＋m ＝0， ∴m ＝0.∴所求直线l 的方程为x －2y ＝0.【练习反馈】1．直线x 3－y4＝1在两坐标轴上的截距之和为( )A ．1B ．－1C ．7D ．－7解析：选B 直线在x 轴上截距为3，在y 轴上截距为－4，因此截距之和为－1. 2．直线3x －2y ＝4的截距式方程是( ) A.3x 4－y2＝1 B.x 13－y 12＝4 C.3x 4－y－2＝1 D.x 43＋y－2＝1 解析：选D 求直线方程的截距式，必须把方程化为x a ＋yb ＝1的形式，即右边为1，左边是和的形式．3．直线l 过点(－1,2)和点(2,5)，则直线l 的方程为________．解析：由题意直线过两点，由直线的两点式方程可得：y －25－2＝x －(－1)2－(－1)，整理得x －y ＋3＝0.答案：x －y ＋3＝04．斜率为2，且经过点A (1,3)的直线的一般式方程为________．解析：由直线点斜式方程可得y －3＝2(x －1)，化成一般式为2x －y ＋1＝0. 答案：2x －y ＋1＝05．三角形的顶点坐标为A (0，－5)，B (－3,3)，C (2,0)，求直线AB 和直线AC 的方程．解：∵直线AB 过点A (0，－5)，B (－3,3)两点，由两点式方程，得y ＋53＋5＝x －0－3－0.整理，得8x ＋3y ＋15＝0.∴直线AB 的方程为8x ＋3y ＋15＝0. 又∵直线AC 过A (0，－5)，C (2,0)两点，由截距式得x 2＋y－5＝1，整理得5x －2y －10＝0，∴直线AC 的方程为5x －2y －10＝0.。

高中数学必修2立体几何常考题型：圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征与简单组合体的结构特征

圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征与简单组合体的结构特征【知识梳理】1．旋转体由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体．3．简单组合体的构成形式有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成的；另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成的．【常考题型】题型一、旋转体的结构特征【例1】给出下列说法：(1)以直角三角形的一条边所在直线为轴，其余两边旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥；(2)以等腰三角形底边上的中线所在直线为轴，将三角形旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥；(3)经过圆锥任意两条母线的截面是等腰三角形；(4)圆锥侧面的母线长有可能大于圆锥底面圆直径，其中正确说法的序号是________．[解析](1)不正确，因为当直角三角形绕斜边所在直线旋转得到的旋转体就不是圆锥，而是两个同底圆锥的组合体；(2)正确，以等腰三角形底边上的中线所在直线为轴，将三角形旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥；(3)正确，如图所示，经过圆锥任意两条母线的截面是等腰三角形；(4)正确，如图所示，圆锥侧面的母线长有可能大于圆锥底面圆半径的2倍(即直径)．[答案](2)(3)(4)【类题通法】1．判断简单旋转体结构特征的方法(1)明确由哪个平面图形旋转而成．(2)明确旋转轴是哪条直线．2．简单旋转体的轴截面及其应用(1)简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量．(2)在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想．【对点训练】1．给出下列说法：(1)圆柱的底面是圆面；(2)经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；(3)圆台的任意两条母线的延长线可能相交，也可能不相交；(4)夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体．其中说法正确的是________．解析：(1)正确，圆柱的底面是圆面；(2)正确，如图所示，经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；(3)不正确，圆台的母线延长相交于一点；(4)不正确，圆柱夹在两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体．答案：(1)(2)题型二、简单组合体【例2】观察下列几何体的结构特点，完成以下问题：(1)图①所示几何体是由哪些简单几何体构成的？试画出几何图形，可旋转该图形180°后得到几何体①；(2)图②所示几何体结构特点是什么？试画出几何图形，可旋转该图形360°得到几何体②；(3)图③所示几何体是由哪些简单几何体构成的？并说明该几何体的面数、棱数、顶点数．[解析](1)图①是由圆锥和圆台组合而成．可旋转如下图形180°得到几何体①.(2)图②是由一个圆台，从上而下挖去一个圆锥，且圆锥的顶点恰为圆台底面圆的圆心．可旋转如下图形360°得到几何体②.(3)图③是由一个四棱锥与一个四棱柱组合而成，且四棱锥的底面与四棱柱底面相同．共有9个面，9个顶点，16条棱．【类题通法】1．明确组合体的结构特征，主要弄清它是由哪些简单几何体组成的，必要时也可以指出棱数、面数和顶点数，如图③所示的组合体有9个面，9个顶点，16条棱．2．会识别较复杂的图形是学好立体几何的第一步，因此我们应注意观察周围的物体，然后将它们“分拆”成几个简单的几何体，进而培养我们的空间想象能力和识图能力．【对点训练】2．下列组合体是由哪些几何体组成的？解：(1)由两个几何体组合而成，分别为球、圆柱．(2)由三个几何体组合而成，分别为圆柱、圆台、圆柱．(3)由三个几何体组合而成，分别为圆锥、圆柱、圆台．【练习反馈】1．圆锥的母线有()A．1条B．2条C．3条D．无数条答案：D2.右图是由哪个平面图形旋转得到的()解析：选A图中几何体由圆锥、圆台组合而成，可由A中图形绕图中虚线旋转360°得到．3．等腰三角形绕底边上的高所在直线旋转180°，所得几何体是________．答案：圆锥4．如图所示的组合体的结构特征为________．解析：该组合体上面是一个四棱锥，下面是一个四棱柱，因此该组合体的结构特征是四棱锥和四棱柱的一个组合体．答案：一个四棱锥和一个四棱柱的组合体5.如图，AB为圆弧BC所在圆的直径，∠BAC＝45°.将这个平面图形绕直线AB旋转一周，得到一个组合体，试说明这个组合体的结构特征．解：如图所示，这个组合体是由一个圆锥和一个半球体拼接而成的．。

高中数学必修2直线与圆常考题型：点到直线的距离、两条平行线间的距离(教师版)

点到直线的距离、两条平行线间的距离【知识梳理】点到直线的距离与两条平行线间的距离题型一、点到直线的距离【例1】求点P (3，－2)到下列直线的距离： (1)y ＝34x ＋14；(2)y ＝6；(3)x ＝4.【类题通法】应用点到直线的距离公式应注意的三个问题(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式． (2)点P 在直线l 上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用．(3)直线方程Ax ＋By ＋C ＝0中，A ＝0或B ＝0公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解．【对点训练】1．已知点A (a,2)(a ＞0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a ＝( ) A.2 B ．2－ 2 C.2－1D.2＋12．点P(2,4)到直线l：3x＋4y－7＝0的距离是________．题型二、两平行线间的距离【例2】求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且到l的距离为2的直线方程．【类题通法】求两平行线间的距离，一般是直接利用两平行线间的距离公式，当直线l1：y＝kx＋b1，l2：y＝kx＋b2，且b1≠b2时，d＝|b1－b2|k2＋1；当直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0且C1≠C2时，d＝|C1－C2|A2＋B2.但必须注意两直线方程中x，y的系数对应相等．【对点训练】3．两直线3x＋y－3＝0和6x＋my－1＝0平行，则它们之间的距离为________．题型三、距离的综合应用【例3】求经过点P(1,2)，且使A(2,3)，B(0，－5)到它的距离相等的直线l的方程．【类题通法】解这类题目常用的方法是待定系数法，即根据题意设出方程，然后由题意列方程求参数．也可以综合应用直线的有关知识，充分发挥几何图形的直观性，判断直线l的特征，然后由已知条件写出l的方程．【对点训练】4．求经过两直线l1：x－3y－4＝0与l2：4x＋3y－6＝0的交点，且和点A(－3,1)的距离为5的直线l的方程．【练习反馈】1．原点到直线x＋2y－5＝0的距离为()A．1 B. 3C．2 D. 52．已知直线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y－1＝0，则l1，l2之间的距离为()A．1 B. 2C. 3 D．23．直线4x－3y＋5＝0与直线8x－6y＋5＝0的距离为________．4．若点(2，k)到直线5x－12y＋6＝0的距离是4，则k的值是________．5．已知△ABC三个顶点坐标A(－1,3)，B(－3,0)，C(1,2)，求△ABC的面积S.【例1】求点P (3，－2)到下列直线的距离： (1)y ＝34x ＋14；(2)y ＝6；(3)x ＝4.[解] (1)直线y ＝34x ＋14化为一般式为3x －4y ＋1＝0，由点到直线的距离公式可得d ＝|3×3－4×(－2)＋1|32＋(－4)2＝185. (2)因为直线y ＝6与y 轴垂直，所以点P 到它的距离d ＝|－2－6|＝8. (3)因为直线x ＝4与x 轴垂直，所以点P 到它的距离d ＝|3－4|＝1. 【类题通法】应用点到直线的距离公式应注意的三个问题(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式． (2)点P 在直线l 上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用．(3)直线方程Ax ＋By ＋C ＝0中，A ＝0或B ＝0公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解．【对点训练】1．已知点A (a,2)(a ＞0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a ＝( ) A.2 B ．2－ 2 C.2－1D.2＋1解析：选C 由点到直线的距离公式知 d ＝|a －2＋3|2＝|a ＋1|2＝1，得a ＝－1±2.又∵a ＞0，∴a ＝2－1.2．点P (2,4)到直线l ：3x ＋4y －7＝0的距离是________．解析：点P 到直线l 的距离d ＝|3×2＋4×4－7|32＋42＝155＝3.答案：3【例2】求与直线l ：5x －12y ＋6＝0平行且到l 的距离为2的直线方程． [解] 法一：设所求直线的方程为5x －12y ＋C ＝0. 在直线5x －12y ＋6＝0上取一点P 0(0，12)，则点P 0到直线5x －12y ＋C ＝0的距离为|－12×12＋C |52＋(－12)2＝|C －6|13，由题意，得|C －6|13＝2，所以C ＝32，或C ＝－20.故所求直线的方程为5x －12y ＋32＝0，或5x －12y －20＝0. 法二：设所求直线的方程为5x －12y ＋C ＝0，由两平行直线间的距离公式得2＝|C －6|52＋(－12)2，解得C ＝32，或C ＝－20.故所求直线的方程为5x －12y ＋32＝0，或5x －12y －20＝0. 【类题通法】求两平行线间的距离，一般是直接利用两平行线间的距离公式，当直线l 1：y ＝kx ＋b 1，l 2：y ＝kx ＋b 2，且b 1≠b 2时，d ＝|b 1－b 2|k 2＋1；当直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0且C 1≠C 2时，d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2.但必须注意两直线方程中x ，y 的系数对应相等．【对点训练】3．两直线3x ＋y －3＝0和6x ＋my －1＝0平行，则它们之间的距离为________．解析：因为两直线平行，所以m ＝2.法一：在直线3x ＋y －3＝0上取点(0,3)，代入点到直线的距离公式，得d ＝|6×0＋2×3－1|62＋22＝104. 法二：将6x ＋2y －1＝0化为3x ＋y －12＝0，由两条平行线间的距离公式得d ＝⎪⎪⎪⎪－3＋1232＋12＝104. 答案：104题型三、距离的综合应用【例3】求经过点P (1,2)，且使A (2,3)，B (0，－5)到它的距离相等的直线l 的方程． [解] 法一：当直线斜率不存在时，即x ＝1，显然符合题意．当直线斜率存在时，设所求直线的斜率为k ，则直线方程为y －2＝k (x －1)．由条件得|2k －3－k ＋2|k 2＋1＝|5－k ＋2|k 2＋1，解得k ＝4，故所求直线方程为x ＝1或4x －y －2＝0.法二：由平面几何知识知l ∥AB 或l 过线段AB 的中点． ∵直线AB 的斜率k AB ＝4，若l ∥AB ，则l 的方程为4x －y －2＝0.若l 过AB 的中点(1，－1)，则直线方程为x ＝1，故所求直线方程为x ＝1或4x －y －2＝0. 【类题通法】解这类题目常用的方法是待定系数法，即根据题意设出方程，然后由题意列方程求参数．也可以综合应用直线的有关知识，充分发挥几何图形的直观性，判断直线l 的特征，然后由已知条件写出l 的方程．【对点训练】4．求经过两直线l 1：x －3y －4＝0与l 2：4x ＋3y －6＝0的交点，且和点A (－3,1)的距离为5的直线l 的方程．解：由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y －4＝0，4x ＋3y －6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－23，即直线l 过点B ⎝⎛⎭⎫2，－23. ①当l 与x 轴垂直时，方程为x ＝2，点A (－3,1)到l 的距离d ＝|－3－2|＝5，满足题意． ②当l 与x 轴不垂直时，设斜率为k ，则l 的方程为y ＋23＝k (x －2)，即kx －y －2k －23＝0，由点A 到l 的距离为5，得⎪⎪⎪⎪－3k －1－2k －23k 2＋(－1)2＝5，解得k ＝43，所以l 的方程为43x －y －83－23＝0，即4x －3y －10＝0.综上，所求直线方程为x ＝2或4x －3y －10＝0.【练习反馈】1．原点到直线x ＋2y －5＝0的距离为( ) A ．1 B. 3 C ．2D. 5解析：选D d ＝|－5|5＝ 5.2．已知直线l 1：x ＋y ＋1＝0，l 2：x ＋y －1＝0，则l 1，l 2之间的距离为( ) A ．1 B. 2 C. 3D ．2 解析：选B 在l 1上取一点(1，－2)，则点到直线l 2的距离为|1－2－1|12＋12＝ 2.3．直线4x －3y ＋5＝0与直线8x －6y ＋5＝0的距离为________．解析：直线8x －6y ＋5＝0化简为4x －3y ＋52＝0，则由两平行线间的距离公式得⎪⎪⎪⎪5－5242＋32＝12. 答案：124．若点(2，k )到直线5x －12y ＋6＝0的距离是4，则k 的值是________．解析：∵|5×2－12k ＋6|52＋122＝4，∴|16－12k |＝52，∴k ＝－3，或k ＝173.答案：－3或1735．已知△ABC 三个顶点坐标A (－1,3)，B (－3,0)，C (1,2)，求△ABC 的面积S . 解：由直线方程的两点式得直线BC 的方程为 y 2－0＝x ＋31＋3，即x －2y ＋3＝0.由两点间距离公式得 |BC |＝(－3－1)2＋(0－2)2＝25，点A 到BC 的距离为d ，即为BC 边上的高， d ＝|－1－2×3＋3|12＋(－2)2＝455，所以S ＝12|BC |·d ＝12×25×455＝4，即△ABC 的面积为4.。

人教A版2019高中数学选择性必修第二册数列的概念(重点题型)

1a >>．11+>，整理得>．}n 从第1项到第2022·全国·2n >-；}是递增数列，还是递减数列？为什么？321n n a a -=时，上式也符合，2n =. ）知，n b =解：当当又当()()515252021521212502155log log log lo l l g og o 5g 1a a a a a a a a a ⋅++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅==.故选：B.2．（2022·黑龙江·大庆实验中学高二期中）已知数列{}n a 中，n S 为前n 项和，且11a =，13n n a a +=+，则2017S =______ 【答案】3025【详解】解：因为13n n a a +=+，所以123n n a a +++=，所以2n n a a +=，*n ∈N ，即数列{}n a 为周期数列，周期为2，因为11a =，所以22a =，所以()201712110081008313025S a a a =++=⨯+= 故答案为：30253．（2022·全国·高二专题练习）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，22a =，21n n n a a a ++=-，则2021S =___________．【答案】1【详解】因为11a =，22a =，21n n n a a a ++=-，由题得321211a a a =-=-=， 432121a a a =-=-=-， 543112a a a =-=--=-，6542(1)1a a a =-=---=-， 7651(2)1a a a =-=---=， 8761(1)2a a a =-=--=，所以数列的周期为6，因为()()()126+++1211210a a a =+++-+-+-=，2019=6336+5⨯，所以()()2021123450336121121S a a a a a =⨯+++++++-+-+==，故答案为：1.类型四：根据数列的前n 项和n S 求n a 角度1：n S 法：用1n n S S --，得到n a典型例题例题1．（2022·四川·泸州市龙马高中高二开学考试（文））已知数列{}n a 前n 项和2n S n n =+.(1)求数列{}n a 的通项公式；【答案】(1)2n a n =【详解】1n n S S +-=11nS =，所以数列2022·辽宁沈阳A．55 B．58 C．60 D．62(n a a ++-(n n ++=343610a a ++++++全国·高三专题练习（文））“中国剩余定理《孙子算经》中“物不知数问题的解法传至欧洲. 1874故选：D.n 猜想”是德国数学6．（多选）（2022·广东·石门高级中学高二阶段练习）（多选）“克拉茨猜想”又称“31家洛萨克拉茨在1950年世界数学家大会上公布的一个猜想：任给一个正整数n，如果n是偶数，就将它减半；如果n为奇数就将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，最终都能够得到1，得到1即终止运算，已知正整数m经过5次运算后得到1，则m的值为（）A．32 B．16 C．5 D．4【答案】AC【详解】根据题意，正整数m经过5次运算后得到1，所以正整数m经过4次运算后得到2，经过3次运算后得到4，经过2次运算后得到8或1（不符合题意，舍去），经过1次运算后得到16，可得正整数m的值为32或5.故选：AC。

高中数学必修二概率统计专题训练(经典必练题型)

高中数学必修二概率统计专题训练(经典必练题型)介绍本文档是针对高中数学必修二中的概率统计专题进行的训练，旨在帮助学生巩固和提高概率统计方面的知识和技能。

文档包含一系列经典必练题型，涵盖了该专题的重要内容。

题型一：排列组合1. 有5个不同的苹果和3个不同的橘子，从中任选3个水果，求共有几种选法。

2. 由字母A、B、C、D、E无重复组成的3位数共有多少种？题型二：事件与概率1. 一枚骰子被掷两次，求两次得到的点数之和为7的概率。

2. 从1至10的十个自然数中随机选择两个数，求两数之和为偶数的概率。

题型三：独立事件与复合事件1. 甲、乙、丙三个人独立地作一件事情成功的概率分别是1/2、1/3、1/4，求三人都成功的概率。

2. 一批零件共有100个，其中有5个次品。

从中连续取3个，求取出3个次品的概率。

题型四：条件概率1. 甲、乙两组各选一位同学参加足球比赛，甲组和乙组每组有5名同学，甲组中有两名女生和三名男生，乙组中有4名女生和一名男生。

从两组中各选出一位同学参加比赛，已知参赛者是女生，求该同学来自甲组的概率。

2. 甲、乙两个班级的数学成绩分别如下表所示，学生随机抽取一位，已知该学生是不及格的，求该学生来自乙班的概率。

题型五：概率分布1. 投掷一枚均匀硬币，正面向上为事件A，反面向上为事件B。

设事件A和事件B的概率分别为0.4和0.6，记为P(A)=0.4，P(B)=0.6。

求该硬币投掷一次出现事件A的概率。

2. 掷一个骰子，其点数的概率分布为：P(X=1)=1/6，P(X=2)=1/6，P(X=3)=1/6，P(X=4)=1/6，P(X=5)=1/6，P(X=6)=1/6。

求投掷一次出现点数为奇数的概率。

以上为高中数学必修二概率统计专题训练的经典必练题型，希望能够帮助学生加深对该专题的理解和应用。

高中数学-必修二6.2.1两角和,差的三角比公式-知识点

1高中数学-必修二6.2.1两角和/差的三角比公式-知识点1、熟记两角和与差的余弦、正弦、正切公式.2、题型：给角求值。

要点：①把非特殊角转化为特殊角的和或差，然后正用公式求值，比如sin75°=sin(45°+30°)=426+；sin15°=cos(45°-30°)= 426-；②利用诱导公式，构造两角和或差的三角比公式的结构形式，然后逆用公式求值,比如sin460°×sin(-160°)+cos560°×cos(-280°)。

3、题型：给值求值。

例如：已知tan α=1/2，sin(α+β)=-2/10，其中，α，β∈（0，π），求cos β的值。

要点：①把所求角分解成两个已知角的和或差，常见角的变换有：2α+β=（α+β）+α；2α-β=（α-β）+α；2βα+=（2βα-）-（βα-2）；2βα-=（2βα+）-（βα+2）；(απ+4)+(βπ+4)=2π+（βα+）；(απ+4)+(βπ-4)=2π+（βα-）。

②在求三角比的时候，经常要对角的范围进行压缩。

比如这道题，由α，β的范围得α+β∈（0，2π），但sin(α+β)＜0，则α+β∈（π，2π），又tan α＞0，所以α∈（0，π/2），所以α+β∈（π，3π/2）。

4、题型：给值求角。

例如：已知α，β均为锐角，且cos α=25/5，cos β= 10/10，求α-β的值。

要点与给值求值题型相同(分解所求角和压缩角的范围)。

2 5、两角和与差的正切公式的变形：①tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β)；tan αtan β=1-β)+tan(αtan β+tan α；②tan α-tan β=tan(α-β)(1+tan αtan β)； tan αtan β=β)-tan(αtan β-tan α-1。