量子力学第9章-含时微扰【VIP专享】
第九章变分法_量子力学
a
a
（9）
其中N为归一化常数，λ为变分参数。利用归一化条件
∫ <ψ |ψ >= a ψ 2dx = 1 −a
容易求得
N 2a = 315 /16(λ 2 + 8λ + 28)
由公式
∫ h 2
E =− 2m
aψ
−a
d 2ψ dx2
dx
求得
E (λ )
=
3 4
11λ 2 λ2
+ 36λ + 60 + 8λ + 28
J (α,
β
,L)
=
∫ψ *(r;α, β ,L)Hψ (r;α, β ,L)dτ ∫ψ *(r;α , β ,L)ψ (r;α, β ,L)dτ
的极值。 ∂J / ∂α = ∂J / ∂β = L = 0 （1）
α β, ,L 得到使积分取得最小值的参量 00 用它们按（1）式计算得结果就是基态能量的近似值，即近似的有
量子力学 第九章 变分法
李延芳 李忻忆 龚 陈蔚
变分法的基本步骤： 1、根据实际问题的物理分析，选择含有待定参量α，β，的尝试波函数
，然后计算积分
J (α, β ,L)
ψ (r;α , β,L)
=
∫ψ *(r;α , β ,L)Hψ (r;α, β ,L)dτ
∫ψ (r;α, β ,L)ψ (r;α, β ,L)dτ *
n
≥ (E2 − E1)(C2*C2 + C3*C3 +L)
≥ (E2 − E1)(1− C1*C1)
（6）
此式即为（2）式。
1
在看下一道题之前，这里我们先看一下无限深势阱波函数和能级的精确解是什么？
量子力学课件(曾谨言)第九章
2. 角动量本征值和本征态的代数解法 考虑二维各向同性谐振子，相应的声子产生 a a , a 和湮灭算符用 1 1 和 2 , a2 表示,并满足
及
ˆ , a] n a n . [N
ˆ n aN ˆ n Na ˆ n na n , 左 Na
由此可得
ˆ n (n 1)a n . Na
ˆ N
这说明，a | n 也是 征值为 ( n 1) 。
的本征态，相应本
ˆ 的本征态 | n 出发，逐次 如此类推，从 N ˆ 的一系列本征态 用 a 运算，可得出 N
ˆ aa 1 a a 1 N
0
已知 由
是
ˆ N
的本征态，本征值是0 可知
ˆ n (n 1)a n Na
ˆ 0 1 a 0 Na
a 即 0 也是
ˆ N
的本征态，本征值是1
下面看 a 2 是多少？
0
ˆ 是否也是 N 的本征态，本征值
显然
ˆ 2 0 a a a 2 0 Na
2 14 n
四、S-方程因式分解的条件
对于存在束缚态的一维势阱V(x)， ' 只要基态能量 E0 有限, 0存在,则可定义相应 的升降算符，并对Hamilton量进行因式分解。 对于r幂函数形式的中心势 V ( r ) ， 只当 V ( r ) ~ 1 / r （Coulomb势）或 V (r ) ~ r 2 (各向同性谐振子势)时， 径向Schrö dinger方程才能因式分解. 总之， Schrö dinger方程的因式分解与经典 粒子束缚运动轨道的闭合性有某种关系。
a a a a 0
ˆ )a 0 a (1 N
量子力学曾谨言习题解答第九章
第九章：定态微扰论[1]设非简谐振子的哈密顿量为：220222212ˆx dx d H μωμ+-= （β为常数）取 220220212ˆx dx d h H μωμ+-= ，2x H β='，试用定态微扰论求其能量及能量本征函数。
（解）一级能量本征值修正量：本题是一维、无简并的，按本章§9.1公式()∑=1kkk W ，从§3.3知道一维谐振子波函数是：()()x H e k x k x kk απαψα222!2-⋅=，但μωα=（1）()()()⎰⎰∞=-∞=-==x x k xkxk k k dxx H e x k dxx E αβπαψβψα233*122!2 （2）但根据§3.3，一维谐振子波函数中的厄密多项式是有宇称的（或奇或偶），因而()x H n α2必定是个偶函数。
（2）式中被积函数就应是奇函数，又因积分限等值异号，结果有：()01=k E一级波函数修正值：据§9.1公式[12b])0()0()0(//nnk nk kk E E H ψψψ-+=∑（3） ω )21()0(+=k E k /)3(微扰矩阵元nk nk W H λ=/要涉及厄密多项式相乘积的积分，为此利用关于)0(k ψ的一个递推公式（90.p ，问题2）：)212(1)0(1)0(1)0(+-++=n n n n n x ψψαψ （4） 将此式遍乘x ，再重复使用（4）)5(}4)2)(1()21(4)1({1)2221(21)221(2[1)212(1)0(2)0()0(22)0(2)0()0()0(22)0(1)0(1)0(2+-+-+-+++++-=++++++-=++=n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x n x n x ψψψαψψψψαψψαψ再将此式遍乘x ，重复使用（4）式}4)2)(1()21(4)1({1)0(2)0()0(22)0(3+-+++++-=n n n n n n x n x n n x ψψψαψ=})3)(2)(1(1)1(33)2)(1({81)0(3)0(1)0(1)0(33++--++++++++--n n n n n n n n n n n n n n ψψψψα（6） 利用公式（6）来计算微扰矩阵元nk W ： ⎰∞∞-=dx x x W k n nk ψβψ2*)(将（6）式中的n 换成k 代入前一式，并注意)0(n ψ是正交归一化的，即nk k n dx x x δψψ=⎰)()()0(*0dxk k k k k k k k k k aW k k k n n nk })3)(2)(1(1)1(33)2)(1({81)0(30101)0(33)0(++--∞∞-++++++++--⋅⋅=⎰ψψψψβψ)7(})3)(2)(1(1)1(33)2)(1({82,1,1,3,2++--++++++++-+=k n k n k n k n k k k k k k k k k k δδδδαβk 是固定指标，故nk W 只有当n 取下述四值时不为零，即)8(3,1,1,3++--=k k k k n但要注意，当n 取用一个值时，就不能再取其他值，所以n 取定后nk W 的非零值是（7）式中某个δ的系数。
量子力学第9章-含时微扰【VIP专享】
Hm k
mk
2
2ie
i
mk
t
/
2
s
in(
1 2
mk
t
)
4|
Hm k
|2
sin2
(
1 2
mk
t
)
2mk 2
极限公式：
lim
sin2 (x) x2
( x)
则当t →∞ 时 上式右第二个分式有如下极限值：
lim t
sin
2
(
1 2
mkt)
1 4
mk
2t
(
1 2
mk )
2 ( m k )
2 ( m k )
（1）引进一个小参量，用 H' 代替 H'（在最后结果中再令 = 1）；
（2）将 an(t) 展开成下列幂级数； an an(0) an(1) 2an(2)
（3）代入上式并按幂次分类；
i
dam(0)
dam(1)
2
dam(2)
dt
dt
dt
n
[an(0) an(1) 2an(2) ]Hˆ m neimn t
因此,我们只需讨论 ω≈ ± ωmk 的情况即可。
（3）跃迁几率
当 ω=ωm k 时， 略去第一项，则
am(1)
Fmk
e i[mk ]t
mk
1
此 式 与 常 微 扰 情 况 的 表 达 式 类 似 ， 只 需 作 代 换 ： H’mk→ Fmk , ωmk → ωmk-ω，常微扰的结果就可直接引用，于是得简谐微扰情况 下的跃迁几率为：
m | Fˆ [eit eit ] | k
m | Fˆ | k [eit eit ] Fmk [eit eit ]
曾谨严量子力学习题第九章16
(
(0)
En
n 2
Ek1 0
(0)
n
要涉及厄密多项式相乘积的积分，为此利用关于
(0) n1
n
2
1
(0) n1
)
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电，力根保通据护过生高管产中线工资敷艺料设高试技中卷术资配0料不置试仅技卷可术要以是求解指，决机对吊组电顶在气层进设配行备置继进不电行规保空范护载高高与中中带资资负料料荷试试下卷卷高问总中题体资，配料而置试且时卷可，调保需控障要试各在验类最；管大对路限设习度备题内进到来行位确调。保整在机使管组其路高在敷中正设资常过料工程试况中卷下，安与要全过加，度强并工看且作护尽下关可都于能可管地以路缩正高小常中故工资障作料高；试中对卷资于连料继接试电管卷保口破护处坏进理范行高围整中，核资或对料者定试对值卷某，弯些审扁异核度常与固高校定中对盒资图位料纸置试，.卷保编工护写况层复进防杂行腐设自跨备动接与处地装理线置，弯高尤曲中其半资要径料避标试免高卷错等调误，试高要方中求案资技，料术编试交写5、卷底重电保。要气护管设设装线备备置敷4高、调动设中电试作技资气高，术料课中并中3试、件资且包卷管中料拒含试路调试绝线验敷试卷动槽方设技作、案技术，管以术来架及避等系免多统不项启必方动要式方高，案中为；资解对料决整试高套卷中启突语动然文过停电程机气中。课高因件中此中资，管料电壁试力薄卷高、电中接气资口设料不备试严进卷等行保问调护题试装，工置合作调理并试利且技用进术管行，线过要敷关求设运电技行力术高保。中护线资装缆料置敷试做设卷到原技准则术确：指灵在导活分。。线对对盒于于处调差，试动当过保不程护同中装电高置压中高回资中路料资交试料叉卷试时技卷，术调应问试采题技用，术金作是属为指隔调发板试电进人机行员一隔，变开需压处要器理在组；事在同前发一掌生线握内槽图部内纸故，资障强料时电、，回设需路备要须制进同造行时厂外切家部断出电习具源题高高电中中源资资，料料线试试缆卷卷敷试切设验除完报从毕告而，与采要相用进关高行技中检术资查资料和料试检，卷测并主处且要理了保。解护现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
《曾谨言 量子力学教程 第3版 笔记和课后习题 含考研真题 》读书笔记思维导图
02
第2章 一维势场中的 粒子
03
第3章 力学量用算符 表达
04
第4章 力学量随时间 的演化与对称性
05 第5章 中心力场
06
第6章 电磁场中粒子 的运动
目录
07 第7章 量子力学的矩 阵形式与表象变换
08 第8章 自 旋
09
第9章 力学量本征值 问题的代数解法
010 第10章 微扰论
011 第11章 量子跃迁
7.2 课后习题详 解
7.1 复习笔记
7.3 名校考研真 题详解
第8章 自 旋
8.2 课后习题详 解
8.1 复习笔记
8.3 名校考研真 题详解
第9章 力学习题详 解
9.1 复习笔记
9.3 名校考研真 题详解
第10章 微扰论
10.2 课后习题 详解
10.1 复习笔记
第1章 波函数与Schrödinger 方...
1.2 课后习题详 解
1.1 复习笔记
1.3 名校考研真 题详解
第2章 一维势场中的粒子
2.2 课后习题详 解
2.1 复习笔记
2.3 名校考研真 题详解
第3章 力学量用算符表达
3.2 课后习题详 解
3.1 复习笔记
3.3 名校考研真 题详解
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量子力学目录20152
目录第一章量子力学的起源——量子力学的产生背景 (1)1．1经典物理学的辉煌 11．1．1经典力学 (1)1．1．2热学 (1)1．1．3电磁场理论 (2)1．2 辐射的粒子性 31．3 玻尔的原子模型 101．4 粒子的波动性 15第二章量子力学的基本观念——量子力学的哲学 (25)2．1双缝干涉实验 252．2微观粒子双缝干涉实验的分析 302．3量子力学的基本观念 342．4关于测不准原理 372．5结语 46第三章量子力学的基本原理——量子力学的诸定律 (49)3．1量子力学的立论方式 493．2波函数 503．3波函数的演化 553．3．1物质波 (56)3．3．2薛定谔方程的引入 (58)3．3．3关于薛定谔方程的讨论 (62)3．4动量的测量 653．5物理量用算符表示 683．6物理量测量的可能值 813．7小结——波动力学的基本原理 88第四章简单量子体系——能量本征值问题 (93)4．1 关于薛定谔方程的求解 934．2 一维无限深势阱——束缚态之一 964．3 一维简谐振子——束缚态之二 984．4 一维本征值问题的一般讨论 1054．5*其它势场的本征值问题 1144．6 散射态 1214．7 三维简单势场问题 1344．8 周期性边界条件 136第五章角动量——角动量本征值问题 (143)5．1 算符的对易关系 1435．2 角动量算符 1545．3 角动量的本征值问题 156第六章中心势场中的粒子——三维中心势场的能量本征值问题 (175)6．1中心势场的能量本征值问题 1756．2三维自由粒子 1796．3三维方势阱 1816．4氢原子 184第七章电磁场中的带电粒子——电磁场中的能量本征值问题 (197)7．1 分析力学回顾 1977．2与经典力学的相似性 2017．2．1 Ehrenfest定理 (201)7．2．2两种力学的相似性 (202)7．2．3量子化方法 (204)7．3电磁场中的Hamilton算符 2057．4均匀磁场中的带电粒子 2087．5均匀电场中的带电粒子 2147．6规范不变性 2167．6．1规范变换下波函数的改变 (216)7．6．2 Aharanov-Bohm效应 (217)第八章自旋角动量——粒子的内禀性质 (223)8．1角动量的实验测量 2238．2粒子的自旋 2278．2．1角动量本征值问题的一般解 (227)8．2．2自旋 (233)8．2．3自旋的矩阵表示 (234)8．2．4自旋1/2 (239)8．2．5实验的量子理论解释 (243)第九章近似方法I——定态S方程的近似解 (245)chrodinger9．1 问题概述 2459．2非简并能级的微扰理论 2459．3简并情况下的定态微扰论2499．4 变分方法 253第十章近似方法II——含时S方程的近似解 (259)chrodinger10．1含时微扰问题 25910．2含时微扰理论 26010．3常微扰 26310．3．1跃迁概率 (263)10．3．2黄金规则 (266)10．4周期微扰 26810．5原子与辐射的相互作用 27210．6电偶极跃迁的选择定则 281第十一章（定态）散射理论——三维非束缚态问题 (287)11．1问题概述 28711．2散射截面 28811．3散射振幅 29311．3．1处理散射的定态方法 (294)11．3．2散射截面的计算 (295)11．4玻恩近似 29611．5分波法 303第十二章多粒子体系——一个说不完的话题 (309)12．1量子多粒子体系 30912．2 二体问题 31112．3无相互作用多粒子体系 31312．4 全同多粒子体系 31612．5 例——两个电子的原子 32712．6 多电子原子（in preparation）12．7 分子（in preparation）12．8 原子核体系（in preparation）附录A 耦合质点组的振动 (331)A．1两个质点的耦合质点组的振动 331NA．2个质点的耦合质点组的振动 337A．3连续型耦合质点组的振动与Fourier级数 342A．4无界连续型耦合质点组的振动与Fourier积分 348A．5简正模与简谐波 351附录B 波包 (353)B．1色散关系和群速 353B．2波包的运动 357索引 (369)。
曾谨言《量子力学》答案 第9章
{ k (k 1)(k 2) n,k 3 3k k n ,k 1 8 2 3(k 1) k 1 n,k 1
(k 1)(k 2)(k 3) n ,k 2 } (7 )
2
1
{
n(n 1) ( 0) 1 (0) n 2 (n ) n 4 2 (5)
(n 1)(n 2) ( 0) n2 } 4
再将此式遍乘 x ，重复使用（4）式
( 0) x 3 n
1
2
{
n(n 1) (0) x n 2 4
1 (n 1)(n 2) ( 0) (0) (n ) x n n2 } 2 4
有： Ek
( 0) ) Ek(0 2 3
， ，
) Ek( 0) Ek(0 1
， （9 ）
) Ek(0) Ek(0 1
) Ek(0) Ek(0 3 3
将（7）和（9）所决定的诸值代入（3）
k
(0) k
(0) k
/
/ H k/ 2,k H nx (0) (0) ) n k (0) k( 0 3 ) E k0 E k( 0) E k E k( 0 2 ) k( 0 3
/ ( H nk )2 ( 0) (0) En n Ek
(10)
二能级量本征值修正量：按二级近似式是
Ek E
/
(0) k
H
/ kk
（11）
其中 H kk Wkk 0 ，二级修正量是个数量的和，它也用（7）式来计算，并也包括四个项：
周世勋量子力学课件第九章
ˆ2 的属于同一本征值的本征函数：分 散射前后始终是 L
波法精髓
将入射波作瑞利展开：平面波按球面波展开
jl (kr ) 是 l 阶球贝塞耳函数
各个不同 l 的分波互相独立地发生散射， 经过散射 后仍是第 l 个分波，散射只影响波函数的径向部分：
Rl (r ) 由径向方程求解，叠加系数 Al 由边界条件定
K 2k sin
2
实验测量 ( , ) 数值计算
V (K )
V (x)
玻恩近似适用的条件: 设V(x)近似用平均势 V 和力程 r0 表征
玻恩近似适用时要求微扰修正项是小量:
一级修正的小量
p 是小量 x ~ 是大量 p x ~ r0 p
x ~ r0 p
3 在 p 附近 d p体积元内的状态数为:
2n1 p1 L
2n2 p2 L
2n3 p3 L 2 3
L
) 的体积
的跃迁概率为:
对 p 积分, 得到单位时间内落到θ, φ方向dΩ范围内的 概率为:
设L3范围内的粒子数为n, 则
入射粒子流强度
动量转移:
K p p0
对于弹性散射, Q=0; m1=m3, m2=m4; r=m1/m2
总散射截面是一个无穷级数求和：
当 jl(kr) 的第一个极大值位于散射势场的力程之外时， 即 l/k>a 时散射效应很小， 相移δl 可以忽略，在低能时 只需考虑S分波的贡献：
§3 方形势阱与势垒所产生的散射
考虑低能粒子受球对称方形势阱或势垒的散射， 入射粒 子能量很小，其德布罗意波长比势场作用力程大得多 散射势场写为：
对于非弹性散射， 总能量守恒， 但是相对运动能量 不再守恒：
(2021年整理)量子力学9
（完整）量子力学9编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（完整）量子力学9）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为（完整）量子力学9的全部内容。
§2—9 线性谐振子一、参考模型无论在经典物理还是在量子物理中线性谐振子都是很有用的模型。
任何体系在稳定平衡点附近的运动都可以近似地看作一维谐振子.如双原子分子的振动、晶体结构中原子和离子的振动、核振动等等都使用了谐振子模型，辐射场也可以看作线性谐振子的集合.比如，双原子分子中两原子间的势能U 是两原子间距离x 的函数，其形状如图所示。
在a x =处势能有一极小值，这是一个稳定平衡点，在这点附近，)(x U 可以展为)(a x -的幂级数，且注意到0=∂∂=a x x U则21()()()()2!U x U a U a x a ''=+-+ 若忽略高次项，且令)(a U k ''=,则有2)(21)()(a x k a U x U -+=再令0)(=a U ,a x x -=',则有221)(x k x U '='，可以写成221)(kx x U = （1）其中2μω=k .凡是在势能为221)(kx x U =的场中运动的微观体系都称之为线性谐振子。
二、线性谐振子的本征问题 1．体系的哈密顿及本征方程22222212ˆx dx d H μωμ+-= )()(21222222x E x x dx d ψψμωμ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+- 2．本征方程的求解能量E 和ω的量纲是一致的，为了使方程变成无量纲的形式,两边同乘以ω2，得 ψωψμωψμω Ex dx d 2222=+-令μωα=x αξ= ωλ E2=（2） 得到0)()()(222=-+ξψξλξψξd d (3） 由于方程（3）不能直接求解，可先求±∞→ξ的渐进解，此时由于λ与2ξ相比可以忽略,则方程退化为0222=-ψξψξd d （渐近方程） （4） 其渐进解为2/2)(ξξψ±∝e 。
量子力学课件第九章
.1 两能级体系
作为开始，我们假设体系（非微扰）只有两个态，和。它们是非微扰哈 密顿量的两个本征态： ＝ ＝ [9.1] 它们是正交归一的 [9.2] 任何态都可以表示为这两个态的线性迭加：特别地 [9.3] 态和可以是空间波函数，也可以是旋量，也可以是其它更稀奇的东西这 无关紧要；这里我们关心的是体系随时间的变化，所以当我写时，我指 的是体系在时刻时的状态。没有微扰作用时，每一个分量按其特征指数 因子演化： [9.4] 我们说是粒子处于态的几率——其真正含义是，测量能量得到的几率。
到任何光放大。 除了吸收和受激发射外，还有第三种与物质相互作用的机制；它叫 作自发发射。处于高能态的原子会向低能态自动跃迁，并放射一个光 子，这种过程无需应用电磁场去激发跃迁（图9.4（c））。这种机制能 够解释处在高能态原子的衰变。 乍看起来，为什么会发生自发发射不 是很清楚。如果一个原子处在定态（即使是激发态），在没有外部微扰 时，它将永远处在此态。如果所有的外部微扰确实不存在，那么它也应 该的确如此。然而，在量子电动力学中，即使处在基态,场也是非零的 就像谐振子处在基态时仍有非零的能量（）一样。你可以关闭所有的灯 源，并把屋子冷却到绝对零度，但是仍然有电磁辐射存在，正是这个 “零点”辐射催生了自发发射。所以，并没有真正意义上的自发发射； 所有的都是受激发射。唯一能区别的仅是，这个激发场是你放在那儿 的，还是上帝放在那儿的。在这个意义上，这种理解和经典辐射过程完 全相悖，经典辐射过程中，没有这样的受激发射，而都是自发发射。
..2 吸收，受激发射和自发发射
如果原子初始态为低能态，受单色光照射，跃迁到高能态的几率由方程 9.28给出，考虑到9.34式，这个几率可以写为
图9.3 电磁波 [9.35] 在这个过程中，原子从电磁场中吸收能量。我们称它吸收一个光子（图 9.4（a））.（如前所述，光子这个词其实属于量子电动力学[电磁场的 量子理论]，经管现在我们把场自身处理为经典的，但是这个称呼是方 便的。） 当然，若初始态为高能态（），我们也能同样推导出跃迁几率。如 果你愿意，可以自行推导，结果完全一样；除了此时我们计算的是，向 低能态的跃迁几率： [9.36] (这样的计算表明我们只需交换，用替代。当得到方程9.25后，只保留 第一项，其分母是，其余所需做的同前一样。) 但此时如果你们停下来 思考一下，这绝对是一个令人吃惊的结果：如果这个粒子是处在高能 态，你用光照射它，它可以向低能态跃迁，并且跃迁几率同由低能态向 高能态的跃迁几率完全相同。这个过程由爱因斯坦首先预言，称为受激 发射。 在受激发射情况下，电磁场从原子获得了能量；我们说一个光子的 进入而导致两个光子出来—导致跃迁发生的原来的一个加上跃迁自身产 生的一个（图9.4（b））。这就有了光放大的可能性，因为如果我有一 瓶原子，所有的原子都处在高能态，这时用一个光子激发它，就会发生 连锁反应，初始的一个产生2个，2个产生4个，依次类推。我们将会得 到巨大数目的光子，它们的频率相同并且实际上它们是同时产生的。当 然，这就是激光（受激发射所产生的光放大）产生的原理。注意到， （对激光产生），使大多数原子处于高能态是必须的（所谓的粒子数反 转），因为吸收（这将减少一个光子）和受激发射（这将产生一个光子 子）相伴的；如果你从两态的一个均匀混合状态开始，那么你将不会得
量子力学概论第9章 含时微扰理论
9.3 自发发射
9.3.1 爱因斯坦A，B系数 9.3.2 激发态寿命 9.3.3 选择定则
9.3.3 选择定则
图9.6 氢原子前四个玻尔能级容许的衰变
第9章 含时微扰理论
9.1 二能级系统 9.2 辐射的发射与吸收 9.3 自发发射
9.1 二能级系统
9.1.1 微扰体系 9.1.2 含时微扰理论 9.1.3 正弦微扰
9.1.3 正弦微扰
图9.1 在正弦微扰下作为时间函数的跃迁概率(式9.28)
图9.2 作为驱动频率函数的跃迁概率(式9.28)
9.2 辐射的发射与吸收
9.2.1 电磁波 9.2.2 吸收，受激辐射和自发辐射 9.2.3 非相干微扰
2.1 电磁波
图9.3 电磁波
9.2.2 吸收，受激辐射和自发辐射
图9.4 光与原子作用的三种方式 a)吸收 b)受激发射 c) 自发发射
9.2.3 非相干微扰
图9.5 对做平均时的轴
含时微扰理论91二能级系统92辐射的发射与吸收93自发发射91二能级系统911微扰体系912含时微扰理论913正弦微扰913正弦微扰图91在正弦微扰下作为时间函数的跃迁概率式928图92作为驱动频率函数的跃迁概率式92892辐射的发射与吸收921电磁波922吸收受激辐射和自发辐射923非相干微扰921电磁波图93电磁波922吸收受激辐射和自发辐射图94光与原子作用的三种方式a吸收b受激发射自发发射923非相干微扰图9593自发发射931爱因斯坦ab系数932激发态寿命933选择定则933选择定则图96氢原子前四个玻尔能级容许的衰变
量子力学第九章
ˆ (q ) (q ) (q ) H 0 1 i 1 i i 1 ˆ H 0 (q2 ) j (q2 ) j j (q2 )
体系的哈米顿算符的本征值方程为：
ˆ (q , q ) E (q , q ) H 1 2 1 2
本征波函数 本征能量
(q1, q2 ) i (q1 ) j (q2 ) E i j
后来这条原理被证明为：在费米子组成的系统中，不能有两 个或更多的粒子处于完全相同的状态。对于泡利不相容原理 所反映的这种严格的排斥性的物理本质是什么？至今还是物 理学界没有完全揭开的一个谜。 我们知道，标志电子状态的量子数有五个：n，l， s， ml 和 ms 。它们分别表示电子层、电子亚层、 自旋量子数、轨道的空间伸展方向和自旋的空间取向。
这表示如果 (q1, , qi , q j ,, qN , t ) 是方程的解， 则 (q1, , q j , qi ,, qN , t ) 也是方程的解。 根据全同性原理，它们描述的是同一状态，则它 们间只可能相差一常数因子，以 表示.即有
(q1,, q j ,, qi ,qN , t ) (q1,, qi ,, q j ,qN , t )
2
a ( x1 ) b ( x2 ) b ( x1 ) a ( x2 );
可区分粒子:
x
2 1
x a x1 dx1 b x2 dx2 x 2
2 1 2 2
a
x
2 2
a x1 dx1 x b x2 dx2
二、独立粒子模型
在不考虑粒子间相互作用时，全同粒子体系的能量 等于各单粒子能量之和，哈米顿算符的本征函数是各 单粒子的本征函数的积。解多粒子体系的问题，归结 为解单粒子的薛定谔方程。这就是独立粒子模型。相 当于把粒子相互作用项当微扰，取0级近似
张永德量子力学讲义q9第9章 电磁作用分析和重要应用
2
H0
（9.9）
其中
206
e2 2 e2 2 e2 B r (B r) A = (B r) = 2 2 2 2μc 8μc 8μc ^ e2 2 2 2 e2 2 2 2 r = B r B r = B r sin B 2 2 8μc 8μc
eB e2 H = H0 + ξ r L S + Lz + 2Sz + 2 B 2 x 2 + y 2 2μc 8μc
（9.10）
2
2 现来估算一下 B 2 项和 B 项的比值。 原子的 x 2 y 2 ~ B ~ 10 8 cm ， 对
于磁场 B 10 5 高斯，有
（9.5b）
将这个方程和方程（9.3）分别乘以 和 * 并相减，即得
t q A 0 c 2 i
令
q ， j A c 2 i
方程，量子化规则应当变更成为 了得到有电磁场时的 Schrodinger
i i - q t t -i -i - q A c
（9.2）
这就将电磁势引进了 Schrodinger 方程。 原则上， （9.2） 式应当是一个
假设，它的正确性按照由其导出的结论与实验是否符合来决定。迄今 的实验事实都证明（9.2）式是对的。
由于电磁势是不确定的,它们可以相差任一定域规范变换,因此这
205
时粒子的波函数也就可以有一个局域的任意位相因子。 最后,再考察一下时间反演问题。对于一个定态问题，
【完整版】毕业论文--量子力学中微扰理论的简单论述--量子力学论文
0
微扰理论是量子力学的重要的理论。对于中等复杂度的哈密顿量，很难找到其薛定谔方程的精确解。我们所知道的就只有几个量子模型有精确解，像氢原子、量子谐振子、与箱归一化粒子。这些量子模型都太过理想化，无法适当地描述大多数的量子系统。应用微扰理论，可以将这些理想的量子模型的精确解，用来生成一系列更复杂的量子系统的解答。
[10]J. W. S. Rayleigh, Theory of Sound, 2nd edition Vol. I, pp 115-118, Macmillan, London (1894)
A simple discussion of perturbation
theory in quantum mechanics
设 的本征方程是：
归一化条件是：
的本征方程是：
由于 是完备系，将 按 展开后，得：
将此式代入上式得：
以 左乘上式两端，对全空间进行积分后有：
其中：
按微扰的精神，将 的本征值 和在 表象中的本征函数 按的幂级数作微扰展开：
再将这两式代入后得：
比较上式给出的两端 的同次幂，给出：
：
：
如果讨论的能级是第 个能级，即 ，由 的0次幂方程式得：
（4）关于 的讨论：由 得出，若设我们将 看成一个可变化的参数，则显然当 0时， ，这时体系未受到微扰的影响；当 1时， ，微扰全部加进去了。因此、可以想象体系当从 0缓慢变化到 1的过程，也就是体系从无微扰的状态逐步变成有微扰的状态的过程。[7]
1.5
设 是 的函数，因此他的本征方程和归一条件为：
则，由：
将得出 。无须再去重新组合零级波函数。简并微扰可类似于非简并微扰的方法处理。[10]
含时微扰理论
含时微扰理论含时微扰理论是量子力学中的重要概念，用于描述系统在外部扰动下的演化过程。
它是对系统的哈密顿量进行微小、有限时间的扰动，从而得到系统的演化方程和一系列重要的物理量。
本文将介绍含时微扰理论的基本原理、应用以及与其相关的一些重要概念。
一、基本原理含时微扰理论是建立在微扰理论的基础上的，而微扰理论是量子力学的重要工具，用于处理系统的哈密顿量具有小扰动的情况。
在含时微扰理论中，我们考虑系统在某个初始态下，受到一个含时外场的作用，即哈密顿量在时间上发生了变化。
我们通过对系统的哈密顿量进行展开，得到系统的演化方程，并计算一系列物理量的期望值。
二、含时微扰理论的应用含时微扰理论在理论物理研究中有广泛的应用。
其一，在量子力学中，它可以用来描述原子和分子在弱外场下的响应行为，比如激光的原子吸收和辐射等。
其二，在凝聚态物理中，含时微扰理论可以用来描述晶体中电子的运动和输运行为。
其三，在核物理中，它可以用来研究核反应和衰变等过程。
除了这些应用，含时微扰理论还被广泛应用于量子信息、量子计算和量子光学等领域。
三、相关概念在含时微扰理论中，有一些重要的概念需要了解。
首先是微扰项的选择，通常我们选择比较简单的形式，比如线性扰动或二次扰动。
其次是系统的响应函数，它描述了系统在外场作用下的响应情况。
响应函数的计算可以借助于微扰展开，通过对微扰项的逐级递推计算，得到系统的响应。
最后是含时微扰理论的有效性和局限性，对于强场或长时间的扰动，微扰理论可能不再适用，此时需要考虑更加复杂的方法。
综上所述，含时微扰理论是量子力学中的重要概念，能够描述系统在外部扰动下的演化过程。
它有着广泛的应用领域，可以用于研究原子、分子、凝聚态物理和核物理等。
在应用含时微扰理论时，我们需要选择适当的微扰项、计算系统的响应函数，并注意其有效性和局限性。
通过对含时微扰理论的研究，我们可以更好地理解量子系统的演化行为，推动理论物理的发展。
量子力学习题解答-第9章
4. 选 择 定 则 ： 在 光 波 作 用 下 ， 要 实 现 原 子 在 y nlm y 与 n'l'm' 态 之 间 的 跃 迁 ， 必 须 满 足
y r y nlm
n 'l 'm'
¹ 0 的条件，不能实现的跃迁称为禁戒跃迁。要使矩阵元不为零，两态之间的
角量子数和磁量子数必须满足
Dl = l' - l = ±1, Dm = m' - m = 0, ±1。
=
2 H b¢a ihw
iw 0 t
e2
sin
æ çè
wt 2
ö ÷ø
得到：
ca
2
+
cb
2
=
cos2
æ çè
wt 2
ö ÷ø
+
æ çè
w0 w
ö2 ÷ø
sin2
æ çè
wt 2
ö ÷ø
+
4 H a¢b h 2w 2
2
sin 2
æ wt çè 2
ö ÷ø
=
cos2
æ çè
wt 2
ö ÷ø
+
éæ êêëçè
由初始条件 ca (-e )
= 1 Þ c&b (t) t=-e
sin
æ çè
wt 2
öù ÷øúû
由 cb
( 0)
=
0
得： C4
=
iw0 w
，所以
ca
(t)
=
e-
i 2
w0
t
éêëcos
æ çè
wt 2
ö ÷ø
+
九章量子力学的建立-PPT精品
1909年，卢瑟福和盖革、马斯顿，用氦核轰击厚度为 10-6米的金箔(α散射实验)。起初盖革什么现象也没看到， 卢瑟福告诉他要仔细观察：“要多看细看，实验要重复几十 次、几百次、几千次，才能发现偶然的现象。”结果，实验 测得散射角大于90°的比例约为1/8000。根据汤姆逊模型， α粒子的大角偏折是多次小偏折积累造成的。其概率约为 1/103500。实验结果和模型明显不符。
康普顿最初发表的论文只涉及一种散射物质（石墨），为 了证明这一效应的普遍性，吴有训在康普顿的指导下，做了７ 种物质的Ｘ射线散射曲线，证明只要散射角相同，不同物质散 射的效果都一样。
1925年吴有训以《康普顿效应》的论文获得博士学位。
§3.卢瑟福的原子核式结构
一.原子模型的历史演变 二.卢瑟福的核式结构
二、康普顿效应
康普顿效应进一步证实了光量子理论的正确性。
1918年美国物理学家康普顿(pton)开始研究X射 线的散射，1922年，他把X射线投射到石墨上，以观察被散射 后的X射线，发现其中有两种不同的频率成分：一种频率与入 射线相同，另一种频率则低于入射线。按照经典理论，散射 过程不会改变入射线的频率。1923年康普顿利用爱因斯坦 1916年提出的光量子的动量表达式，对光子与电子的碰撞过 程应用质能守恒和动量守恒定律，圆满解释了实验结果。
普朗克为一理论物理学家，他不满足于找到一个经验公 式，普朗克写道:“……从10月19日提出这个公式开始，我就 致力于找出这个公式的真正物理意义。这个问题使我直接去 考虑熵和几率之间的关系，也就是说把我引到了波尔兹曼的 思想。”
1900年12月14日，普朗克明确提出了能量子概念，并指
量子力学第九章
含时微扰理论
出发点：1. Hamilton可以分为不含时和含时两部分： ˆ ˆ H ( t ) H H ( t )
0
不含时部分可以解出：
ˆ H 0 n n n
i nt / n (r , t ) n (r )e
2. 含时部分小。 则可以通过微扰方法，近似求解与时间有关的Schrodinger方程 ˆ ( t ) ( r , t ) ( H H ( t )) ( r , t ) ˆ i ( r , t ) H 0 t 问题可以等价为t <0时处于定态，t >0加上微扰。含时微扰理 论可以通过 H0 的定态波函数近似地求出微扰存在情况下的 波函数，从而可以计算无微扰体系在加入含时微扰后，体系 由一个量子态到另一个量子态的跃迁几率。
方程1解得：
(0 da m ) 0, dt
( ( a n0 ) ( t ) a n0 ) (0) nk
方程2解得：
i
(1 da m )
an(0)(t) = n
( ˆ a n0 ) H mn e i mn t
k
dt
n
(1 dam ) 1 ˆ e i m nt 1 H e i k nt ˆ nk H mn mk dt i n i
该式是在定态表象中写出的含时Schrodinger方程，它是严格 的。其中
* ˆ ˆ H mn m H ( t ) n d 1 mn [ m n ]
微扰矩阵元
Bohr 频率
（2）微扰方法求解
（1）引进一个参量，用 H’ 代替 H’（最后再令 = 1）； （2）将 an(t) 展开成下列幂级数；
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假定t 0 时，体系处于 H0 的第 k 个本征态 k。而且由于 exp[-in t/ ]|t=0 = 1，于是有：
k an (0)n (0) an(0) n [an(0) (0) an(1) (0) ] n
n
n
n
比较等式两边得
nk an(0) (0) an(1) (0)
含时微扰理论可以通过 H0 的定态波函数近似地求出微扰存 在情况下的波函数，从而可以计算无微扰体系在加入含时微扰后， 体系由一个量子态到另一个量子态的跃迁几率。
假定 H0 的本征
函数 n 满足：
（二）含时微扰理论
i Hˆ (t ) t
Hˆ 0 n n n
i t
n
Hˆ 0n
H0 的定态波函数可以写为： n =n exp[-iεnt / ] 满足左边含时 S - 方程.
1 i
Hˆ
m k
e
i
knt
i dam(1)
dt
n
an(0) Hˆ m n e imn t
对 t 积分得：
am(1)
1 i
t 0
Hˆ m k eiknt dt
§2 量子跃迁几率
（一）跃迁几率 （二）一阶常微扰 （三）简谐微扰 （四）实例 （五）能量和时间测不准关系
（一）跃迁几率
体系的某一状态
H m k
mk
2i
ei
mk
t
/
2
s
in(
1 2
mk
t
)
（3）跃迁几率和跃迁速率
Wkm | am(1)(t) |2
Hm k
mk
2
2ie
i
mk
t
/
2
s
in(
1 2
mk
本章讨论的体系其 Hamilton 算符含有与时间有关的微扰， 即：
Hˆ (t) Hˆ 0 H(t)
因为 Hamilton 量与时间有关，所以体系波函数须由含时 Schrodinger 方程解出。但是精确求解这种问题通常是很困难的， 而定态微扰法在此又不适用，这就需要发展与时间有关的微扰理 论。
比较等号两边同 幂次项得：
an(0) (0) nk
an(1) (0) an(2) (0) 0
因 an(0)不随时间变化，所以an(0)(t) = an(0)(0) = nk。
t 0 后加入微扰，则第一级近似：
an(0)(t) = n k
dam(1) 1
dt
i n
nk Hˆ m n e imn t
i n
d dt
an(t ) mn
n
an (t )
* m
Hˆ
(
t
)
ne
i[
m
n
]t
/
d
d
i dt am (t ) n
an (t )Hˆ m neimn t
该式是通过展开式
an (t )n
改写而成的
n
Schrodinger方程的另一种形式。仍是严格的。
其中
Hˆ
m n
* m
Hˆ
(t
)
nd
dam(2)
dt
dt
dt
n
[an(0) an(1) 2an(2) ]Hˆ m neimn t
[an(0) 2an(1) 3an(2) ]Hˆ m neimn t
n
(4)解这组方程，我们可得到关于 an 的各级近似解，从而得到波函 数 的近似解。实际上，大多数 情况下，只求一级近似就足够了。
am (t )m
m
t 时刻发现体系处于 m 态的几率 等于 |a m (t)| 2
am(0) (t) = mk
am (t ) am(0)(t ) am(1)(t )
mk
1 i
t 0
Hm k eimk t dt
末态不等于初态时 mk = 0，则
am (t) am(1)(t)
所以体系在微扰作用下由初态 k 跃迁到末态m 的几率 在一级近似下为：
mn
1
[
m
n]
微扰矩阵元
Bohr 频率
求解方法同定态微扰中使用的方法：
（1）引进一个小参量，用 H' 代替 H'（在最后结果中再令 = 1）；
（2）将 an(t) 展开成下列幂级数； an an(0) an(1) 2an(2)
（3）代入上式并按幂次分类；
i
dam(0)
dam(1)
2
dam (0)
dt
0
零级近似波函数 am(0)不随时 间变化，它由未微扰时体系 所处的初始状态所决定。
i
dam (1) dt
n
a
(0) n
Hˆ
m n
e
i
mn
t
（最后令 = 1，即用 H’mn代替
H’mn，用a m (1)代替 a m (1)。）
i
da m ( 2 dt
)
n
an(1) Hˆ m n e imn t
相 an(t )Hˆ 0n an(t )Hˆ (t)n
消n
n
i
n
d dt
an(t )n
n
an(t )Hˆ (t )n
i
n
d dt
an (t ) n
n
an(t)Hˆ (t)n
以m* 左乘上式后 对全空间积分
i n
d dt
an
(t
)
m* nd an (t )
n
m* Hˆ (t )nd
Wkm | am(1)(t ) |2
1 i
t 0
2
Hm k eimk t dt
（二）一阶常微扰
（1）含时 Hamilton 量
设 H'在 0 t t1 这段时间之内不为零，但与时间无关，即：
0
Hˆ
Hˆ
(r)
0
t0
0 t t1 t t1
（2）一级微扰近似 am(1)
H'mk 与 t 无关 (0 t t1)
第5章 -2 量子跃迁
§1 含时微扰理论 §2 量子跃迁几率 §3 光的发射和吸收
§1 含时微扰理论
(一) 引言 （二）含时微扰理论
(一) 引言
上一章中，定态微扰理论讨论了分立能级的能量和波函数的修 正，所讨论的体系 Hamilton 算符不显含时间，因而求解的是定 态 Schrodinger 方程。
am(1)(t )
1 i
t 0
Hm k eimk t dt
Hm k t eimkt dt
i 0
Hm k 1 eimk t i i mk
t H m k e imk tபைடு நூலகம் 1 H m k e imk t 1
0
mk
mk
H m k eimk t / 2 eimk t / 2 eimk t / 2 mk
代 入
定态波函数 n 构成正交完备系，整个体系 的波函数 可按 n 展开：
an (t )n
n
i t n
an (t )n Hˆ (t )
n
an (t )n
i
n
d dt
an
(t
)
n
i
n
an (t
)
t
n
因 H’(t)不含对时间 t 的偏导数算符,故可 与 an(t) 对易。
i t
n
Hˆ 0n