量子力学第9章-含时微扰【VIP专享】

比较等号两边同 幂次项得：
an(0) (0) nk
an(1) (0) an(2) (0) 0
因 an(0)不随时间变化，所以an(0)(t) = an(0)(0) = nk。
t 0 后加入微扰，则第一级近似：
an(0)(t) = n k
dam(1) 1
dt
i n
nk Hˆ m n e imn t
1 i
Hˆ
m k
e
i
knt
i dam(1)
dt
n
an(0) Hˆ m n e imn t
对 t 积分得：
am(1)
1 i
t 0
Hˆ m k eiknt dt
§2 量子跃迁几率
（一）跃迁几率 （二）一阶常微扰 （三）简谐微扰 （四）实例 （五）能量和时间测不准关系
（一）跃迁几率
体系的某一状态
i n
d dt
an(t ) mn
n
an (t )
* m
Hˆ
(
t
)
ne
i[
m
n
]t
/
d
d
i dt am (t ) n
an (t )Hˆ m neimn t
该式是通过展开式
an (t )n
改写而成的
n
Schrodinger方程的另一种形式。仍是严格的。
其中
Hˆ
m n
* m
Hˆ
(t
)
nd
含时微扰理论可以通过 H0 的定态波函数近似地求出微扰存 在情况下的波函数，从而可以计算无微扰体系在加入含时微扰后， 体系由一个量子态到另一个量子态的跃迁几率。
假定 H0 的本征
函数 n 满足：
（二）含时微扰理论
i Hˆ (t ) t
Hˆ 0 n n n
i t
n
Hˆ 0n
H0 的定态波函数可以写为： n =n exp[-iεnt / ] 满足左边含时 S - 方程.
dam (0)
dt
0
零级近似波函数 am(0)不随时 间变化，它由未微扰时体系 所处的初始状态所决定。
i
dam (1) dt
n
a
(0) n
Hˆ
m n
e
i
mn
t
（最后令 = 1，即用 H’mn代替
H’mn，用a m (1)代替 a m (1)。）
i
da m ( 2 dt
)
n
an(1) Hˆ m n e imn t
am (t )m
m
t 时刻发现体系处于 m 态的几率 等于 |a m (t)| 2
am(0) (t) = mk
am (t ) am(0)(t ) am(1)(t )
mk
1 i
t 0
Hm k eimk t dt
末态不等于初态时 mk = 0，则
am (t) am(1)(t)
所以体系在微扰作用下由初态 k 跃迁到末态m 的几率 在一级近似下为：
第5章 -2 量子跃迁
§1 含时微扰理论 §2 量子跃迁几率 §3 光的发射和吸收
§1 含时微扰理论
(一) 引言 （二）含时微扰理论
(一) 引言
上一章中，定态微扰理论讨论了分立能级的能量和波函数的修 正，所讨论的体系 Hamilton 算符不显含时间，因而求解的是定 态 Schrodinger 方程。
H m k
mk
2i
ei
mk
t
/
2
s
in(
1 2
mk
t
)
（3）跃迁几率和跃迁速率
Wkm | am(1)(t) |2
Hm k
mk
2
2ie
i
mk
t
/
2
s
in(
1 2
mk
本章讨论的体系其 Hamilton 算符含有与时间有关的微扰， 即：
Hˆ (t) Hˆ 0 H(t)
因为 Hamilton 量与时间有关，所以体系波函数须由含时 Schrodinger 方程解出。但是精确求解这种问题通常是很困难的， 而定态微扰法在此又不适用，这就需要发展与时间有关的微扰理 论。
am(1)(t )
1 i
t 0
Hm k eimk t dt
Hm k t eimkt dt
i 0
Hm k 1 eimk t i i mk
t H m k e imk t 1 H m k e imk t 1
0
mk
mk
H m k eimk t / 2 eimk t / 2 eimk t / 2 mk
mn
1
[
m
Βιβλιοθήκη Baidu
n]
微扰矩阵元
Bohr 频率
求解方法同定态微扰中使用的方法：
（1）引进一个小参量，用 H' 代替 H'（在最后结果中再令 = 1）；
（2）将 an(t) 展开成下列幂级数； an an(0) an(1) 2an(2)
（3）代入上式并按幂次分类；
i
dam(0)
dam(1)
2
Wkm | am(1)(t ) |2
1 i
t 0
2
Hm k eimk t dt
（二）一阶常微扰
（1）含时 Hamilton 量
设 H'在 0 t t1 这段时间之内不为零，但与时间无关，即：
0
Hˆ
Hˆ
(r)
0
t0
0 t t1 t t1
（2）一级微扰近似 am(1)
H'mk 与 t 无关 (0 t t1)
相 an(t )Hˆ 0n an(t )Hˆ (t)n
消n
n
i
n
d dt
an(t )n
n
an(t )Hˆ (t )n
i
n
d dt
an (t ) n
n
an(t)Hˆ (t)n
以m* 左乘上式后 对全空间积分
i n
d dt
an
(t
)
m* nd an (t )
n
m* Hˆ (t )nd
代 入
定态波函数 n 构成正交完备系，整个体系 的波函数 可按 n 展开：
an (t )n
n
i t n
an (t )n Hˆ (t )
n
an (t )n
i
n
d dt
an
(t
)
n
i
n
an (t
)
t
n
因 H’(t)不含对时间 t 的偏导数算符,故可 与 an(t) 对易。
i t
n
Hˆ 0n
假定t 0 时，体系处于 H0 的第 k 个本征态 k。而且由于 exp[-in t/ ]|t=0 = 1，于是有：
k an (0)n (0) an(0) n [an(0) (0) an(1) (0) ] n
n
n
n
比较等式两边得
nk an(0) (0) an(1) (0)
dam(2)
dt
dt
dt
n
[an(0) an(1) 2an(2) ]Hˆ m neimn t
[an(0) 2an(1) 3an(2) ]Hˆ m neimn t
n
(4)解这组方程，我们可得到关于 an 的各级近似解，从而得到波函 数 的近似解。实际上，大多数 情况下，只求一级近似就足够了。