量子力学第9章-含时微扰【VIP专享】
量子力学课程教学大纲
量子力学课程教学大纲
一、课程说明
（一）课程名称、所属专业、课程性质、学分；
课程名称：量子力学
所属专业：物理学专业
课程性质：专业基础课
学分：4
（二）课程简介、目标与任务；
课程简介：
量子理论是20世纪物理学取得的两个（相对论和量子理论）最伟大
的进展之一，以研究微观物质运动规律为基本出发点建立的量子理论开辟了人类认识客观世界运动规律的新途径，开创了物理学的新时代。本课程着重介绍《量子力学》（非相对论）的基本概念、基本原理和基本方法。课程分为两大部分：第一部分主要是讲述量子力学的基本原理（公设）及表述形式。在此基础上，逐步深入地让学生认识表述原理的数学结构，如薛定谔波动力学、海森堡矩阵力学以及抽象表述的希尔伯特空间的代数结构。本部分的主要内容包括：量子状态的描述、力学量的算符、量子力学中的测量、运动方程和守恒律、量子力
学的表述形式、多粒子体系的全同性原理。第二部分主要是讲述量子力学的基本方法及其应用。在分析清楚各类基本应用问题的物理内容基础上，掌握量子力学对一些基本问题的处理方法。本篇主要内容包括：一维定态问题、氢原子问题、微扰方法对外场中的定态问题和量子跃迁的处理以及弹性散射问题。
课程目标与任务：
1.掌握微观粒子运动规律、量子力学的基本假设、基本原理和基本方法。
2．掌握量子力学的基本近似方法及其对相关物理问题的处理。3．了解量子力学所揭示的互补性认识论及其对人类认识论的贡献。
（三）先修课程要求，与先修课与后续相关课程之间的逻辑关系和内容衔接；
本课程需要学生先修《电磁学》、《光学》、《原子物理》、《数学物理方法》和《线性代数》等课程。《电磁学》和《光学》中的麦克斯韦理论最终统一了光学和电磁学；揭示了任意温度物体都向外辐射电磁波的机制，它是19世纪末人们研究黑体辐射的基本出发点，对理解本课程中的黑体辐射实验及紫外灾难由于一定的帮助。《原子物理》中所学习的关于原子结构的经典与半经典理论及其解释相关实验的困难是导致量子力学发展的主要动机之一。《数学物理方法》中所学习的复变函数论和微分方程的解法都在量子力学中有广泛的应用。
量子力学第9章-含时微扰
1 k ′k Hm eiωm tdt 0 iℏ ∫
t
2
（二）一阶常微扰
（1）含时 Hamilton 量
H'在 这段时间之内不为零，但与时间无关， 设 H'在 0 ≤ t ≤ t1 这段时间之内不为零，但与时间无关，即：
0 ˆ ˆ H′ = H′(r) 0 t <0 0 ≤ t ≤ t1 t > t1
第5章 -2 量子跃迁
§1 含时微扰理论 §2 量子跃迁几率 §3 光的发射和吸收
§1 含时微扰理论
(一) 引言 （二）含时微扰理论
(一) 引言
上一章中， 上一章中，定态微扰理论讨论了分立能级的能量和波函数的 修正， 算符不显含时间， 修正，所讨论的体系 Hamilton 算符不显含时间，因而求解的是 方程。 定态 Schrodinger 方程。 算符含有与时间有关的微扰， 本章讨论的体系其 Hamilton 算符含有与时间有关的微扰 ， 即：
an(0)(t) = δn
d m) a(1 d t
k
iℏ
d m) a(1 d t
(0 ˆ n = ∑ an )H′ neiωm t m n
1 ˆ n = ∑ δnkH′ neiωm t m iℏ n 1 ˆ = H′ keiωknt iℏ m
对 t 积 得 分 ：
(1 am)
1 t ˆ ′k = ∫ Hm eiωkntdt iℏ 0
《量子力学》课程考试大纲
《量子力学》课程考试大纲
科目名称：量子力学
科目代码：
一、考试对象
修完本课程所规定的各专业学生。
二、考试目的
本课程考试目的是考察学生对波函数、薛定谔方程、力学量及其表象、微扰理论、自旋与全同粒子等内容的掌握程度。
三、考试要求
本课程是一门理论性很强的专业基础性学科，要求学生对基本理论的了解和掌握。
四、考试内容与要求
1、波函数与薛定谔方程
理解波函数的统计解释，态迭加原理，薛定鄂方程，粒子流密度和粒子数守恒定律定态薛定谔方程。掌握一维无限深势阱，线性谐振子。
2、力学量的算符表示
理解算符与力学量的关系。掌握动量算符和角动量算符，厄米算符本征函数的正交性，算符的对易关系，两力学量同时有确定值的条件测不准关系，力学量平均值随时间的变化守恒定律。
3、态和力学量的表象
理解态的表象，掌握算符的矩阵表示，量子力学公式的矩阵表述么正变换，了解狄喇克符号，线性谐振子与占有数表象。
4、定态近似方法
掌握非简并定态微扰理论，简并情况下的微扰理论，理解变分法。
5、含时微扰论
掌握与时间有关的微扰理论，跃迁几率，光的发散和吸收及选择定则。
6、自旋与角动量
理解电子自旋，掌握电子的自旋算符和自旋函数。
7、全同粒子体系
理解两个角动量的耦合，光谱的精细结构和全同粒子的特性。掌握全同粒子体系的波函数，泡利原理，两个电子的自旋函数。
五、考试方式及时间
闭卷理论考，考试时间为150分钟。
六、教材及主要参考书
1、选用教材：
《量力力学》周世勋编高等教育出版社，2008年
河南工业大学
2019年硕士研究生入学考试试题样卷
考试科目代码及名称：626量子力学 共 3 页（第 1 页） 注意：1、本试题纸上不答题，所有答案均写在答题纸上
《曾谨言 量子力学教程 第3版 笔记和课后习题 含考研真题 》读书笔记思维导图
第4章 力学量随时间的演化与 对称性
4.2 课后习题详 解
4.1 复习笔记
4.3 名校考研真 题详解
第5章 中心力场
5.2 课后习题详 解
5.1 复习笔记
5.3 名校考研真 题详解
第6章 电磁场中粒子的运动
6.2 课后习题详 解
6.1 复习笔记
6.3 名校考研真 题详解
第7章 量子力学的矩阵形式与 表象变换
012
第12章 其他近似方 法
本书特别适用于参加研究生入学考试指定考研参考书目为曾谨言《量子力学教程》（第3版）的考生。也可 供各大院校学习曾谨言《量子力学教程》（第3版）的师生参考。曾谨言主编的《量子力学教程》（第3版）是我 国高校物理类广泛采用的权威教材之一，也被众多高校（包括科研机构）指定为考研考博专业课参考书目。为了 帮助参加研究生入学考试指定参考书目为曾谨言主编的《量子力学教程》（第3版）的考生复习专业课，我们根据 该教材的教学大纲和名校考研真题的命题规律精心编写了曾谨言《量子力学教程》（第3版）辅导用书（均提供免 费下载，免费升级）：1．[3D电子书]曾谨言《量子力学教程》（第3版）笔记和课后习题（含考研真题）详解 [免费下载]2．[3D电子书]曾谨言《量子力学教程》（第3版）配套题库【名校考研真题+课后习题+章节题库+模 拟试题】[免费下载]本书是曾谨言主编的《量子力学教程》（第3版）的配套e书，主要包括以下内容：（1）梳 理知识脉络，浓缩学科精华。本书每章的复习笔记均对该章的重难点进行了整理，并参考了国内名校名师讲授该 教材的课堂笔记。因此，本书的内容几乎浓缩了该教材的所有知识精华。（2）详解课后习题，巩固重点难点。本 书参考大量相关辅导资料，对曾谨言主编的《量子力学教程》（第3版）的课后思考题进行了详细的分析和解答， 并对相关重要知识点进行了延伸和归纳。（3）精编考研真题，培养解题思路。本书精选详析了部分名校近年来的 相关考研真题，这些高校均以该教材作为考研参考书目。所选考研真题基本涵盖了每章的考点和难点，考生可以 据此了解考研真题的命题风格和难易程度，并检验自己的复习效果。（4）免费更新内容，获取最新信息。本书定 期会进行修订完善，补充最新的考研真题和答案。对于最新补充的考研真题和答案，均可以免费升级获得。
周世勋《量子力学教程》(第2版)-微扰理论笔记和课后习题(含考研真题)详解(圣才出品)
第5章
微扰理论
5.1复习笔记
一、定态微扰理论1．适用范围及使用条件
求分立能级及所属波函数的修正。适用条件是：一方面要求H 可分成两部分，即'0H H H +=，
同时0H 的本征值和本征函数已知或较易计算；另一方面又要求0H 把H 的主要部分尽可能包括进去，使剩下的微扰'
H 比较小，以保证微扰计算收敛较快，即
'(0)(0)
(0)(0)
1,mn
n m
n m
H E E E E <<≠-（1）非简并情况
微扰作用下的哈密顿量可表示为：'
0H H H +=第n 个能级可近似表示为：∑+-++=m
m
n
nm
nn n
n E
E
H H E E
)0()0(2'
'
'
)
0(相应的波函数可近似表示为：∑
+-+=m
m m
n mn n
n E E H )
0()
0()0(''
)0(ψψψ（2）简并情况
能级的一级修正由久期方程
0det )
1('=-v k v E H μμδ即
)
1(''2
'1
'
2)1('22'
21
'1'
12)1('11=---n
kk k k k
n
k
n
E H H H H E H H H H E H
给出。个实根，记为有k k f E )
1(k k f E ,,2,1,)
1( =αα，分别把每一个根)
1(αk E 代入方程
∑==-k
f v v v k v
a E H 1
)
1('
0)(μαμ
δ，即可求得相应的解，记为v a α，于是可得出新的零级波函数
∑>>=v
kv v
kv a φα
||。相应的能量为：)1()0(αk k k E E E +=。
2．氢原子的一级斯塔克效应
（1）斯塔克（Stark）效应：原子在外电场作用下所产生的谱线分裂的现象。（2）用简并情况下的微扰论解释氢原子的斯塔克效应：
量子力学的三种绘景
量子力学的三种绘景
王怀玉
【摘要】介绍了量子力学中三种绘景的公式以及它们的推导.这三种绘景是:薛定谔绘景、海森伯绘景和相互作用绘景.指出了一些教科书上有关公式的瑕疵,并说明其原因.给出了薛定谔绘景和相互作用绘景中的时间演化算符之间关系的正确的表达式.通常的教科书上限定初始时刻为0,因此给出了不正确的表达式.明确了通常的量子力学教科书上讲的含时微扰公式的来源.
【期刊名称】《大学物理》
【年(卷),期】2018(037)012
【总页数】4页(P7-10)
【关键词】薛定谔绘景;海森伯绘景;相互作用绘景;微扰展开公式
【作者】王怀玉
【作者单位】清华大学物理系,北京 100084
【正文语种】中文
【中图分类】O413.1
量子力学的基本公式可以用三种绘景来表述，它们是：薛定谔绘景﹑海森伯绘景和相互作用绘景.我们先把这三种绘景中的力学量和波函数的符号列于表1.其中，把这三种绘景中的量分别用下标S﹑H和I来标记.
表1 三种绘景中的力学量和状态的符号力学量波函数时间演化算符薛定谔绘景
ASψS(t)US(t,t0)海森伯绘景AH(t)ψH相互作用绘景AI(t)ψI(t)UI(t,t0)
在研究量子力学体系的时候，这三种绘景是常用的工具.在一般的量子力学教科书[1-6]上，不介绍这三种绘景.在朗道和栗弗席兹的理论物理教程中，文献[5]中只提及海森伯绘景，并且只适用于哈密顿量不随时间变化的情况，而在文献[7]只提及
相互作用绘景.在有些介绍这三种绘景的书上，给出的公式是有瑕疵的文献[8-14]，特别是关于薛定谔和相互作用这两个绘景中的时间演化算符US(t,t0)和UI(t,t0)之
量子力学-含时间的微扰论-量子跃迁 Ⅱ. 微扰引起的跃迁 Ⅲ. 磁共振 Ⅳ. 绝热近似
即微扰不存在时，体系处于定态 k(r, t)上.
当微扰存在时，特别是与 t 有关时，
则体系处于 Hˆ 0的各本征态（或定态）的概 率将可能随时间发生变化。
设：
Hˆ Hˆ 0 Vr, t
i Hˆ t
当然， 仍可按 Hˆ 0 的定态 n 展开。 但由于 n 不是 Hˆ 的定态，所以展开系数
(0) lk
(
' a (0) k(1) l' l'l
'
a (0) (1) lk ' k 'k
)
l'
k'
2(
' a (0) k(2) l' l'l
'
a (0) (2) lk ' k 'k
)
l'
k'
应注意二点：
ⓐ 求和 ' 不包括 k1, k 2 k'
ⓑ 显然
Hˆ E (0)
(0)
e2E02 2
nlm x 100 2
0 e(in1 )tdt
e(in1 )tdt 2
0
e2E02 2
2
nlm x 100 2 1 1 in1 in1
e2E02 2
nlm x 100 2
《量子力学》考试知识点
《量⼦⼒学》考试知识点
《量⼦⼒学》考试知识点
第⼀章：绪论―经典物理学的困难
考核知识点：
（⼀）、经典物理学困难的实例
（⼆）、微观粒⼦波－粒⼆象性
考核要求：
（⼀）、经典物理困难的实例
1.识记：紫外灾难、能量⼦、光电效应、康普顿效应。
2.领会：微观粒⼦的波－粒⼆象性、德布罗意波。
第⼆章：波函数和薛定谔⽅程
考核知识点：
（⼀）、波函数及波函数的统计解释
（⼆）、含时薛定谔⽅程
（三）、不含时薛定谔⽅程
考核要求：
（⼀）、波函数及波函数的统计解释
1.识记：波函数、波函数的⾃然条件、⾃由粒⼦平⾯波
2.领会：微观粒⼦状态的描述、Born⼏率解释、⼏率波、态叠加原理（⼆）、含时薛定谔⽅程
1.领会：薛定谔⽅程的建⽴、⼏率流密度，粒⼦数守恒定理
2.简明应⽤：量⼦⼒学的初值问题
（三）、不含时薛定谔⽅程
1. 领会：定态、定态性质
2. 简明应⽤：定态薛定谔⽅程
第三章：⼀维定态问题
⼀、考核知识点：
（⼀）、⼀维定态的⼀般性质
（⼆）、实例
⼆、考核要求：
1.领会：⼀维定态问题的⼀般性质、束缚态、波函数的连续性条件、反射系数、透射系数、完全透射、势垒贯穿、共振
2.简明应⽤：定态薛定谔⽅程的求解、
第四章量⼦⼒学中的⼒学量
⼀、考核知识点：
（⼀）、表⽰⼒学量算符的性质
（⼆）、厄密算符的本征值和本征函数
（三）、连续谱本征函数“归⼀化”
（四）、算符的共同本征函数
（五）、⼒学量的平均值随时间的变化
⼆、考核要求：
（⼀）、表⽰⼒学量算符的性质
1.识记：算符、⼒学量算符、对易关系
2.领会：算符的运算规则、算符的厄密共厄、厄密算符、厄密算符的性质、基本⼒学量算符的对易关系
量子力学智慧树知到课后章节答案2023年下内蒙古民族大学
量子力学智慧树知到课后章节答案2023年下内蒙古民族大学内蒙古民族大学
绪论单元测试
1.卢瑟福粒子实验证实了（）。
答案:
原子的有核模型
2.斯特恩-盖拉赫实验证实（）。
答案:
原子的自旋磁矩取向量子化.
3.康普顿效应证实了（）。
答案:
光的量子性
4.戴维逊-革末实验证实了（）
答案:
电子的波动性
5.下列各物体哪个是绝对黑体（）
答案:
不能反射任何光线的物体
6.光电效应证明光具有粒子性。（）
答案:
对
7.黑体辐射证明光的能量是量子化的，具有粒子属性。（）
答案:
对
8.电子衍射实验证明电子具有粒子性。（）
答案:
错
9.写出德布罗意关系式___，___。
答案:
null
10.Einstein的光量子假说揭示了光的___性。
答案:
null
11.德布罗意波的波函数与经典波的波函数的本质区别是什么？
答案:
null
12.Bohr的氢原子理论解决了哪些问题？
答案:
null
13.金属的光电效应的红限依赖于什么？
答案:
null
第一章测试
1.完全描述微观粒子运动状态的是（）。
答案:
波函数
2.完全描述微观粒子运动状态变化规律的是（）。
答案:
薛定谔方程
3.粒子处于定态意味着（）。
答案:
粒子的力学平均值及概率密度分布都与时间无关的状态
4.一维运动的粒子，所处状态为，则粒子在处单位体积内
出现的概率为（）。
答案:
5.下列条件不是波函数的必备条件的是（）。
答案:
归一
6.若是描述电子运动状态的波函数，则与
描述的是同一个状态。（）
答案:
对
7.若是描述电子运动状态的波函数，则与
描述的是同一个状态。（）
答案:
错
8.写出德布罗意波的表达式]___，___
量子力学-含时间的微扰论 Ⅴ.贝利相位和贝利相位因子 第十一章 量子散射的近似方法Ⅰ.一些描述散射的物理量
Ⅰ. 含时间的微扰论： Hˆ 与 t 有关， 体系的哈氏量原为 Hˆ 0(r, Pˆ ) ，随 t 有一
微扰 V(r, t)
i Hˆ t
Hˆ (t) Hˆ 0 V(r, t)
当微扰存在时，特别是与 t 有关时，
Bbe
it
0
若振荡场比静场小
b B0
设 t 0 时刻，电子自旋态的本征值
为 2。在一级近似下，从本征值为 2
的自旋态跃迁到本征值为 2 的自旋态的概
率为
P
1
2
t
1
†
0
0
0
Bbeit
2
Bbe 0
it
0 1
e
i
2BB0t
/
dt
1 2
t
2
Bb 2 ei(0 )tdt
1 i
0t
Vnkeink t1dt1
1
Vnk
1 einkt nk
Vnk *n (r)V(r)k (r)dr
单位时间跃迁概率（称为跃迁速率或
跃迁率）
wkn
2
Vnk
2 f
(Ek0 )
它表明：① 跃迁率与时间无关。通常
称为Fermi黄金定则;
② 当 t 一定大后，跃迁贡
专题讲座11-含时微扰和选择定则
含时微扰和选择定则
现在讨论含时微扰问题,即体系的哈密顿算符为
)(')(0
t H H
t H ∧
∧
∧
+=
其中0
∧
H 与时间无关,仅微扰部分)('t H ∧
与时间有关.由于哈密顿与时间
有关,体系的波函数要由含时间的薛定谔方程准确解出是比较困难的.下面要讨论的与时间有关的微扰理论,使我们能够由0∧
H 的定态波函数
近似地计算出有微扰时的波函数,从而可以计算无微扰体系在微扰作用下由一个量子态跃迁到另一个量子态的跃迁几率. 体系波函数ψ所满足的薛定谔方程是
ψ
ψ)(t H t
i ∧
=∂∂
设0
∧
H 的本征函数n
φ为已知
n n n H
φεφ=∧
将ψ按0
∧H 的定态波函数t
i n n
n e
εφ
-
=Φ展开
∑=
n
n
n
t a
Φ
ψ)(
代入(5.6-2),得
n
n
n
n
n
n
n
n
n n
n n
H t a
H t a
t
t a i dt
t da i Φ
ΦΦΦ
')()()
()
(0∧
∧
∑∑∑∑+
=
∂∂+
利用n
n
H
t
i Φ
Φ0
∧
=∂∂
,消去上式左边第二项和右边第一项,上式简化为
n
n
n
n
n n
H t a
dt
t da i Φ
Φ
')()
(∧
∑∑=
以*m
Φ左乘上式两边,然后对整个空间积分,可得
τ
τd H t a
d dt
t da i n m
n
n
n m
n
n ΦΦ
ΦΦ
')()(**∧
⎰∑⎰∑
=
将mn
n m
d δτ=⎰ΦΦ
*代入,有
t
i mn
n
m
mn e
H t a
dt
t da
i ω∑=
')()
(
其中
τ
φφ
d H H
n m
mn
'*'∧
⎰=
是微扰矩阵元
)
(1n m mn εεω-=
是体系从n
ε能级跃迁到m
ε能级的玻尔频率. 到现在为止我们还没有
做任何近似,因而所得的方程就是薛定谔方程的另一种表示形式. 现在求方程的近似解.设微扰在t=0时开始引入,这时体系处于0
量子力学+周世勋(全套课件)
简要介绍几种著名的量子算法（如Shor算法、Grover算法等），以 及它们在解决某些问题上的优势。
感谢观看
THANKS
简并态微扰论
分析简并态下微扰论的处理方法，涉及简并态的 解除和波函数的正交化。
含时微扰论
含时微扰论的基本原理
阐述含时微扰论的基本思想，将含时问题转化为不含时问题进行处理。
跃迁概率和选择定则
讨论含时微扰论中跃迁概率的计算和选择定则的应用。
光的吸收和发射
分析原子或分子在光的作用下发生的吸收和发射过程，以及相关的爱因斯坦系数。
02
自旋三重态
自旋三重态是指两个自旋为1/2的粒子组成的系统，其总自旋为1的状态。
这种状态是对称的，即交换两个粒子的状态不会导致波函数变号。
03
自旋单态和三重态的应用
自旋单态和三重态在量子力学和原子物理中有广泛应用，如超导、磁性
材料等。
全同粒子波函数性质
全同粒子
全同粒子是指具有完全相同内禀 属性的粒子，如电子、质子等。
德布罗意波
提出物质波概念，将粒子性与波动性统一 起来。
海森堡矩阵力学与薛定谔波动力 学
分别建立了量子力学的数学形式体系，后 者更为直观且应用广泛。
波函数与薛定谔方程
波函数定义及物理意义
定态薛定谔方程及其解
描述微观粒子状态的函数，其模平方 表示粒子在某处出现的概率密度。
量子力学概论第9章 含时微扰理论
9.2 辐射的发射ຫໍສະໝຸດ Baidu吸收
9.2.1 电磁波 9.2.2 吸收，受激辐射和自发辐射 9.2.3 非相干微扰
9.2.1 电磁波
图9.3 电磁波
9.2.2 吸收，受激辐射和自发辐射
图9.4 光与原子作用的三种方式 a)吸收 b)受激发射 c) 自发发射
9.2.3 非相干微扰
图9.5 对做平均时的轴
第9章 含时微扰理论
9.1 二能级系统 9.2 辐射的发射与吸收 9.3 自发发射
9.1 二能级系统
9.1.1 微扰体系 9.1.2 含时微扰理论 9.1.3 正弦微扰
9.1.3 正弦微扰
图9.1 在正弦微扰下作为时间函数的跃迁概率(式9.28)
图9.2 作为驱动频率函数的跃迁概率(式9.28)
9.3 自发发射
9.3.1 爱因斯坦A，B系数 9.3.2 激发态寿命 9.3.3 选择定则
9.3.3 选择定则
图9.6 氢原子前四个玻尔能级容许的衰变
含时微扰理论91二能级系统92辐射的发射与吸收93自发发射91二能级系统911微扰体系912含时微扰理论913正弦微扰913正弦微扰图91在正弦微扰下作为时间函数的跃迁概率式928图92作为驱动频率函数的跃迁概率式92892辐射的发射与吸收921电磁波922吸收受激辐射和自发辐射923非相干微扰921电磁波图93电磁波922吸收受激辐射和自发辐射图94光与原子作用的三种方式a吸收b受激发射自发发射923非相干微扰图9593自发发射931爱因斯坦ab系数932激发态寿命933选择定则933选择定则图96氢原子前四个玻尔能级容许的衰变
张永德量子力学讲义q9第9章 电磁作用分析和重要应用
q c
（9.4）
（对无电磁场情况，粒子机械动量=粒子正则动量，仍然是正则量子 化。 ）
1
场下粒子的拉氏量，按Legendre变换，得哈密顿量H= L ，这里 p
L q P A c 为正则动量。其中 P 为粒子的机械动量，将 p （而不是 P ）量子化为算符 i ，即
（9.5b）
将这个方程和方程（9.3）分别乘以 和 * 并相减，即得
t q A 0 c 2 i
令
q ， j A c 2 i
qf ' exp i c
（9.7b）
则方程（9.3）的形式将保持不变。这说明：电磁场中 Schrodinger 方
程（9.3）具有定域规范变换不变性。 证明： 假定变换后的方程成立，即有
i
' 1 q 2 ( p A') ' V ' q' ' t 2 c
e e e A p = (B r) p = B (r p) μc 2μ c 2μ c e = BL 2μ c
2021量子力学考研配套考研真题解析
2021量子力学考研配套考研真题解析
一、真题精解精析
1当前冷原子物理研究非常活跃，在实验中，粒子常常是被束缚在谐振子势中，因此其哈密顿量为。假设粒子间有相互作用，其中分别代表粒子1和粒子2的自旋，参数J＞0。
（1）如果把两个自旋1/2的全同粒子放在上述势阱中，试写出基态能量和基态波函数；
（2）如果把两个自旋1的全同粒子放在上述势阱中，试写出基态能量和基态波函数。（注意：参数在不同范围内，情况会不同）
[浙江大学2014研] 【解题思路】
①研究体系处在线性谐振子势场中，有关单个体系在谐振子势中的问题，一般可以通过求解薛定谔方程得出相应的本征波函数和本征能量，确定体系的波函数，研究对象的量子状态、对其进行测量可得到的测量值的大小和几率等问题，都可以一一解决。
②研究体系内包含两个粒子，它们之间存在自旋-自旋相互作用，利用角动量的合成来解决这部分相互作用引出的相关问题。
③在两个问题中，涉及到不同自旋的粒子，即玻色子和费米子，可以通过它们满足的统计性质来决定在势场中的分布情况，从而解决要求的基态能量和波函数。
【解析】
（1）对于处在线性谐振子势中粒子的哈密顿量
由薛定谔方程
得本征能量为
本征波函数为
两粒子间有相互作用
设
因此
即
所以
因为
所以两粒子是费米子，满足费米狄拉克统计，体系的总波函数要求交换反对称，并且S＝0或者S＝1。
因为，所以体系基态选择，因此体系坐标部分的波函数为
满足交换对称性。
为了保证总波函数的交换反对称，所以自旋部分的波函数满足交换反对称，即
所以体系的基态波函数为
基态能量为
（2）当S1＝S2＝1时，体系中两个粒子为玻色子，满足玻色爱因斯坦统计，体系波函数要求交换对称。因为，所以体系基态选择n1＝n2＝1。因此体系坐标部分的波函数为
【完整版】毕业论文--量子力学中微扰理论的简单论述--量子力学论文
A simple discussion of perturbation
theory in quantum mechanics
设 的本征方程是：
归一化条件是：
的本征方程是：
由于 是完备系，将 按 展开后，得：
将此式代入上式得：
以 左乘上式两端，对全空间进行积分后有：
其中：
按微扰的精神，将 的本征值 和在 表象中的本征函数 按的幂级数作微扰展开：
再将这两式代入后得：
比较上式给出的两端 的同次幂，给出：
：
：
如果讨论的能级是第 个能级，即 ，由 的0次幂方程式得：
将上两式代入薛定谔方程中得：
然后比较上式两端的 的同次幂，可得出各级近似下的方程式：
：
： =
：
……
零级近似显然是无微扰时的定态薛定谔方程式，同样还可以列出准确到 ， ……等各级的近似方程式。[3]
1.2
求一级微扰修正只需要求解 = 。
由于 厄米， 的本征函数系 系展开
将此式代入 的近似薛定谔方程中的
[6]刘觉平．普通高等教育"十一五"国家级规划教材:量子力学．高等教育出版社．2012.08
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比较等号两边同 幂次项得：
an(0) (0) nk
an(1) (0) an(2) (0) 0
因 an(0)不随时间变化，所以an(0)(t) = an(0)(0) = nk。
t 0 后加入微扰，则第一级近似：
an(0)(t) = n k
dam(1) 1
dt
i n
nk Hˆ m n e imn t
1 i
Hˆ
m k
e
i
knt
i dam(1)
dt
n
an(0) Hˆ m n e imn t
对 t 积分得：
am(1)
1 i
t 0
Hˆ m k eiknt dt
§2 量子跃迁几率
（一）跃迁几率 （二）一阶常微扰 （三）简谐微扰 （四）实例 （五）能量和时间测不准关系
（一）跃迁几率
体系的某一状态
i n
d dt
an(t ) mn
n
an (t )
* m
Hˆ
(
t
)
ne
i[
m
n
]t
/
d
d
i dt am (t ) n
an (t )Hˆ m neimn t
该式是通过展开式
an (t )n
改写而成的
n
Schrodinger方程的另一种形式。仍是严格的。
其中
Hˆ
m n
* m
Hˆ
(t
)
nd
含时微扰理论可以通过 H0 的定态波函数近似地求出微扰存 在情况下的波函数，从而可以计算无微扰体系在加入含时微扰后， 体系由一个量子态到另一个量子态的跃迁几率。
假定 H0 的本征
函数 n 满足：
（二）含时微扰理论
i Hˆ (t ) t
Hˆ 0 n n n
i t
n
Hˆ 0n
H0 的定态波函数可以写为： n =n exp[-iεnt / ] 满足左边含时 S - 方程.
dam (0)
dt
0
零级近似波函数 am(0)不随时 间变化，它由未微扰时体系 所处的初始状态所决定。
i
dam (1) dt
n
a
(0) n
Hˆ
m n
e
i
mn
t
（最后令 = 1，即用 H’mn代替
H’mn，用a m (1)代替 a m (1)。）
i
da m ( 2 dt
)
n
an(1) Hˆ m n e imn t
am (t )m
m
t 时刻发现体系处于 m 态的几率 等于 |a m (t)| 2
am(0) (t) = mk
am (t ) am(0)(t ) am(1)(t )
mk
1 i
t 0
Hm k eimk t dt
末态不等于初态时 mk = 0，则
am (t) am(1)(t)
所以体系在微扰作用下由初态 k 跃迁到末态m 的几率 在一级近似下为：
第5章 -2 量子跃迁
§1 含时微扰理论 §2 量子跃迁几率 §3 光的发射和吸收
§1 含时微扰理论
(一) 引言 （二）含时微扰理论
(一) 引言
上一章中，定态微扰理论讨论了分立能级的能量和波函数的修 正，所讨论的体系 Hamilton 算符不显含时间，因而求解的是定 态 Schrodinger 方程。
H m k
mk
2i
ei
mk
t
/
2
s
in(
1 2
mk
t
)
（3）跃迁几率和跃迁速率
Wkm | am(1)(t) |2
Hm k
mk
2
2ie
i
mk
t
/
2
s
in(
1 2
mk
本章讨论的体系其 Hamilton 算符含有与时间有关的微扰， 即：
Hˆ (t) Hˆ 0 H(t)
因为 Hamilton 量与时间有关，所以体系波函数须由含时 Schrodinger 方程解出。但是精确求解这种问题通常是很困难的， 而定态微扰法在此又不适用，这就需要发展与时间有关的微扰理 论。
am(1)(t )
1 i
t 0
Hm k eimk t dt
Hm k t eimkt dt
i 0
Hm k 1 eimk t i i mk
t H m k e imk t 1 H m k e imk t 1
0
mk
mk
H m k eimk t / 2 eimk t / 2 eimk t / 2 mk
mn
1
[
m
Βιβλιοθήκη Baidu
n]
微扰矩阵元
Bohr 频率
求解方法同定态微扰中使用的方法：
（1）引进一个小参量，用 H' 代替 H'（在最后结果中再令 = 1）；
（2）将 an(t) 展开成下列幂级数； an an(0) an(1) 2an(2)
（3）代入上式并按幂次分类；
i
dam(0)
dam(1)
2
Wkm | am(1)(t ) |2
1 i
t 0
2
Hm k eimk t dt
（二）一阶常微扰
（1）含时 Hamilton 量
设 H'在 0 t t1 这段时间之内不为零，但与时间无关，即：
0
Hˆ
Hˆ
(r)
0
t0
0 t t1 t t1
（2）一级微扰近似 am(1)
H'mk 与 t 无关 (0 t t1)
相 an(t )Hˆ 0n an(t )Hˆ (t)n
消n
n
i
n
d dt
an(t )n
n
an(t )Hˆ (t )n
i
n
d dt
an (t ) n
n
an(t)Hˆ (t)n
以m* 左乘上式后 对全空间积分
i n
d dt
an
(t
)
m* nd an (t )
n
m* Hˆ (t )nd
代 入
定态波函数 n 构成正交完备系，整个体系 的波函数 可按 n 展开：
an (t )n
n
i t n
an (t )n Hˆ (t )
n
an (t )n
i
n
d dt
an
(t
)
n
i
n
an (t
)
t
n
因 H’(t)不含对时间 t 的偏导数算符,故可 与 an(t) 对易。
i t
n
Hˆ 0n
假定t 0 时，体系处于 H0 的第 k 个本征态 k。而且由于 exp[-in t/ ]|t=0 = 1，于是有：
k an (0)n (0) an(0) n [an(0) (0) an(1) (0) ] n
n
n
n
比较等式两边得
nk an(0) (0) an(1) (0)
dam(2)
dt
dt
dt
n
[an(0) an(1) 2an(2) ]Hˆ m neimn t
[an(0) 2an(1) 3an(2) ]Hˆ m neimn t
n
(4)解这组方程，我们可得到关于 an 的各级近似解，从而得到波函 数 的近似解。实际上，大多数 情况下，只求一级近似就足够了。