高一数学函数的周期性
高一数学复习考点题型专题讲解13 函数的周期性与对称性
高一数学复习考点题型专题讲解 第13讲 函数的周期性与对称性一、单选题1．已知()f x 是R 上的奇函数，且()()2f x f x +=-，当()0,2x ∈时，()22f x x x =+，则()15f =（ ）A ．3B ．3-C ．255D ．255-【答案】B【分析】根据题意可知()f x 是周期函数，根据周期以及奇函数即可求解.【解析】由()()2f x f x +=-可得，()()42=()f x f x f x +=-+，故()f x 是以4为周期的周期函数，故(15)(1)(1)3f f f =-=-=-，故选：B2．已知()f x 是R 上的奇函数，且(2)(),(1)3f x f x f -==，则(2022)(2023)f f +=（ ） A ．3- B ．1- C ．1 D ．2【答案】A【分析】由题意求得函数()f x 是周期为4的周期函数，得到()()()()2022202321f f f f +=+-，结合()()11f x f x -+=+，得到()()20f f =，进而求得()()1,0f f -的值，即可求解.【解析】由题意，函数()f x 为R 上的奇函数，可得()(2)()f x f x f x +=-=-，所以()()4f x f x +=，所以()f x 是周期为4的周期函数，所以()()()()2022202321f f f f +=+-，因为()()11f x f x -+=+，令1x =，得()()20f f =，因为()f x 为R 上的奇函数，所以()()()00,113f f f =-=-=-，所以()()20222023033f f +=-=-.故选：A.3．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足()()110f x f x -++=，若()03f =，则()()20222023f f +=（ ）A ．0B ．3-C ．3D ．6【答案】B【分析】根据题意, 分析可得函数()f x 是周期为4的周期函数, 由此可得()()()2022203f f f ==-=-，()()()202331f f f ==-，用赋值法求出()1f 的值, 由此计算即可得答案.【解析】根据题意, 函数()f x 满足()()110f x f x -++=, 则()()20f x f x -++=,又由()f x 为偶函数，则有()()2f x f x +=-,则有()()()42f x f x f x +=-+=,即函数()f x 是周期为4的周期函数,()()110f x f x -++=，令0x =可得()10f =.()()()2022203f f f ==-=-，()()()2023310f f f ==-=，所以()()202220233f f +=-故选：B4．已知定义域是R 的函数()f x 满足：x ∀∈R ，()()40f x f x ++-=，()1f x +为偶函数，()11f =，则()2023f =（ ）A ．1B ．-1C ．2D ．-3【答案】B【分析】根据对称性可得函数具有周期性，根据周期可将()()()2023311f f f ==-=-.【解析】因为()1f x +为偶函数，所以()f x 的图象关于直线1x =对称，所以()()2f x f x -=，又由()()40f x f x ++-=，得()()4f x f x +=--，所以()()()846f x f x f x +=---=-+，所以()()2f x f x +=-，所以()()4f x f x +=，故()f x 的周期为4，所以()()()2023311f f f ==-=-． 故选:B ．5．若定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x -=，在区间()0,1上，有()()()12120x x f x f x ⎡⎤-->⎣⎦，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 的图象关于点()1,0成中心对称B ．函数()f x 的图象关于直线2x =成轴对称C ．在区间()2,3上，()f x 为减函数D ．7223f f ⎛⎫⎛⎫-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】C【分析】对于A ：根据题意结合奇函数可得()()40f x f x -+=，结合对称中心结论()()2f m x f x n b -++=，则()f x 关于,2m n b +⎛⎫ ⎪⎝⎭成中心对称理解判断；对于B ：根据对称轴的结论：()()f m x f x n -=+，则()f x 关于2m n x +=成轴对称，结合题意理解判断；对于C ：根据题意可得：()f x 在()0,1内单调递增，结合轴对称性质：对称区间单调性相反理解判断；对于D ：整理可得()()4f x f x +=，则()f x 的周期为4，结合单调性整理分析．【解析】()()()()()42222f x f x f x f x f x ⎡⎤-=--=-=--=-⎣⎦，即()()40f x f x -+=，故()f x 关于()2,0成中心对称，A 不正确；∵()()2f x f x -=，则()f x 关于1x =成轴对称，B 错误；根据题意可得：()f x 在()0,1内单调递增∵()f x 关于1x =成轴对称，（2，0）中心对称，则()f x 在()2,3内单调递减；C 正确； 又∵()()()22f x f x f x =-=--，则()()2f x f x +=-∴()()()42f x f x f x +=-+=，可知()f x 的周期为4 则712,D 223f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭错误 故选：C ．6．已知图象开口向上的二次函数()f x ，对任意x ∈R ，都满足3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若()f x 在区间(),21a a -上单调递减，则实数a 的取值范围为（ ）A ．5,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．51,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．(],2-∞ 【答案】B【分析】根据题意，可知函数的对称性，并明确其对称轴，根据二次函数的图象性质，可得答案.【解析】由3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得函数()f x 图象的对称轴是直线32x =， 又二次函数()f x 图象开口向上，若()f x 在区间(),21a a -上单调递减， 则321221a a a ⎧-≤⎪⎨⎪<-⎩，解得514a <≤．故选：B.7．已知定义域为R 的函数()f x 的图象关于点()1,0成中心对称，且当1≥x 时，()2f x x mx n =++，若()17f -=-，则3m n +=（ ）A ．7B ．2C ．2-D ．12-【答案】C【分析】由已知结合函数对称性可求出()3f ，进而求得结果.【解析】解：因为定义域为R 的函数()f x 的图象关于点()1,0成中心对称，且当1≥x 时，()2f x x mx n =++， 若()17f -=-，则()()317f f =--=.故()23337f m n =++=，即32m n +=-.故选：C.8．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()22f x x =-+.若对任意的[]1,2x ∈-，()()f x a f x +>成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()0,2B ．()()0,2,6-∞C ．()2,0-D ．()()2,06,-+∞【答案】D【分析】利用奇函数求得()f x 的解析式，画出其函数图象的草图，由不等式在闭区间上恒成立，结合()f x 的对称性，有在12x -≤≤中，420x a --<<或42a x >-恒成立，进而求a 的范围.【解析】由题设知：,20()4,2x x f x x x --≤<⎧=⎨+<-⎩，又()f x 是定义在R 上的奇函数，即(0)0f =， ∴当02x <≤时，20x -≤-<，即()()f x x x -=--=，而()()f x f x x =--=-；当2x >时，2x -<-，即()()44f x x x -=-+=-，而()()4f x f x x =--=-；∴综上，有4,2(),224,2x x f x x x x x ->⎧⎪=--≤≤⎨⎪+<-⎩，可得如下函数图象，∴对任意的[]1,2x ∈-有()()f x a f x +>成立，即在12x -≤≤中，24x a x a x +<-⎧⎨+>--⎩或22x a x a x -≤+≤⎧⎨+<⎩或24x a x a x +>⎧⎨+>-⎩恒成立， ∴420x a --<<或42a x >-恒成立，即有20a -<<或6a >.故选：D.【点睛】关键点点睛：由已知求得()f x 的解析式并画出函数图象草图，由不等式恒成立，结合函数的对称性列不等式组，求参数范围.二、多选题9．设函数()f x 定义域为R ，()1f x -为奇函数，()1f x +为偶函数，当()1,1x ∈-时，()21f x x =-+，则下列结论错误的是（ ）A ．7324f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()7f x +为奇函数C ．()f x 在()6,8上为减函数D ．()f x 的一个周期为8【答案】ABD【分析】由(1)(1)f x f x --=--、(1)(1)-+=+f x f x 可推出()f x 的周期为8，利用对称性、周期性求72f ⎛⎫ ⎪⎝⎭、判断()7f x +奇偶性及()7,8x ∈时()f x 的单调性，即可得答案. 【解析】由题设，(1)(1)f x f x --=--，则()f x 关于(1,0)-对称，所以[(1)1](11)f x f x ---=---，即()(2)f x f x -=--，则[(2)](22)f x f x --=---，即(2)(4)f x f x -=--，由(1)(1)-+=+f x f x ，则()f x 关于1x =对称，所以[(1)1](11)f x f x --+=-+，即(2)()f x f x -=，综上，()(4)f x f x =--，则(4)(44)(8)f x f x f x -=---=--，故()(8)f x f x =-，即()(8)f x f x =+易知()f x 的周期为8，D 正确；773113(2)()(1)(1)()22222412f f f f f f ⎛⎫=-=-=--=--=--=- ⎪⎝⎭，A 正确； 由(1)(7)f x f x -=+，而()1f x -为奇函数，故()7f x +为奇函数，B 正确；由()1,0x ∈-时()21f x x =-+递增，则()7,8x ∈时()f x 递增，显然C 错误.故选：ABD10．已知函数()f x 是奇函数，()1f x +是偶函数，并且当(]()0,1,12x f x x ∈=-，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 在()3,2--上为减函数B ．()f x 在13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭上()0f x < C ．()f x 在[]1,2上为增函数D ．()f x 关于3x =对称【答案】BD【分析】由已知可得()f x 的图象关于()0,0中心对称，且关于1x =轴对称，周期为4，则可依次判断每个选项正误.【解析】因为()f x 是奇函数，()1f x +是偶函数，所以()()f x f x -=-，(1)(1)f x f x +=-+，所以(4)(31)(31)(2)(2)f x f x f x f x f x +=++=--+=--=-+，又(2)(11)(11)()()f x f x f x f x f x +=++=--+=-=-，所以(4)()f x f x +=，所以函数()f x 的周期为4，其图象关于1x =轴对称，当(]0,1x ∈时，()12f x x =-，则函数()f x 在()0,1x ∈上递减，根据对称性可得()f x 在()1,2x ∈单调递增，再结合周期性可得()f x 在()3,2--上为增函数，故A 错误，因为当(]0,1x ∈时，()12f x x =-，()f x 在1,12x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦小于0，根据对称性可得()f x 在13,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭小于0，故B 正确； ()f x 的图象关于1x =轴对称，所以13202f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()200f f ==， 所以()f x 不可能在[]1,2上为增函数，故C 错误；因为()()f x f x -=-，(1)(1)f x f x +=-+，所以(1)(1)(1)(1)f x f x f x f x --=-+=--+=-+所以()f x 的图象关于1x =-轴对称，因为()f x 的周期为4，所以()f x 关于3x =对称，故D 正确.故选：BD.11．已知函数()[]f x x x =-，其中[]x 表示不大于x 的最大整数，如：[]0.20=，[]1.22-=-，则（ ）A ．()f x 是增函数B ．()f x 是周期函数C ．()2f x 的值域为[)0,1D ．()2f x 是偶函数【答案】BC【分析】利用特殊值法可判断AD 选项；利用函数周期性的定义可判断B 选项；利用题中的定义求出函数()2f x 的值域，可判断C 选项.【解析】对于A 选项，因为()[]1110f =-=，()[]2220f =-=，所以，函数()f x 不是增函数，A 错；对于B 选项，对任意的x ∈R ，存在Z k ∈，使得1k x k ≤<+，则[]=x k ，所以，112k x k +≤+<+，则[][]111x k x +=+=+，所以，()[][]()[]()11111f x x x x x x x f x +=+-+=+-+=-=，故函数()f x 为周期函数，且周期为1，B 对；对于C 选项，对任意的x ∈R ，存在Z k ∈，使得21k x k ≤<+，则[]2x k =，所以，()[][)22220,1f x x x x k =-=-∈，C 对；对于D 选项，令()()2g x f x =，该函数的定义域为R ，因为()()[]0.40.80.80.80.8g f ==-=，()()[]0.40.80.80.80.810.2g f -=-=---=-+=，所以，()()0.40.4g g ≠-，故函数()2f x 不是偶函数，D 错.故选：BC.12．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x +-=，()(6)0f x f x ++=，且对任意的12,[3]0x x ∈-，，当12x x ≠时，都有11221221()()()()x f x x f x x f x x f x +<+，则以下判断正确的是（ ）A ．函数()f x 是偶函数B ．函数()f x 在[96]--，上单调递增 C ．x =2是函数(1)f x +的对称轴D ．函数()f x 的最小正周期是12【答案】BCD【分析】根据函数的奇偶性的定义判断A;由()(6)0f x f x ++=结合函数的奇偶性可推得(6)()f x f x +=-以及(12)()f x f x +=，从而判断函数的对称轴和周期，判断C,D ；根据函数的对称性和单调性以及周期性可判断B;【解析】因为定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x +-=，即()()f x f x -=-， 故函数()f x 是奇函数，故A 错误；因为()(6)0f x f x ++=，故(6)()f x f x +=-，而()()f x f x -=-，所以(6)()f x f x +=-，即()f x 的图象关于3x =对称，则x =2是函数(1)f x +的对称轴，故C 正确；因为(6)()f x f x +=-，所以(12)(6)()f x f x f x +=-+=，故12是函数()f x 的周期；对任意的12,[3]0x x ∈-，，当12x x ≠时，都有11221221()()()()x f x x f x x f x x f x +<+， 即1212()[()()]0x x f x f x -⋅-<，故3[]0x ∈-，时，()f x 单调递减，又因为()f x 为奇函数，所以]3[0x ∈，时，()f x 单调递减， 又因为()f x 的图象关于3x =对称，故6[3,]x ∈时，()f x 单调递增，因为12是函数()f x 的周期，故函数()f x 在[9,6]-- 单调性与[3,6]x ∈时的单调性相同， 故函数()f x 在[9,6]--上单调递增，故B 正确，作出函数()f x 的大致图象如图示：结合图象可得知12是函数()f x 的最小正周期，D 正确；故选：BCD【点睛】本题考查了函数的奇偶性单调性以及对称性和周期性的判断，综合性强，推理复杂，要能熟练地应用相应概念进行相应的推理，解答的关键是函数单调性对称性以及奇偶性周期性的综合应用.三、填空题13．对x ∀∈R ，函数()f x 都有()()20f x f x +-=，则()f x =___________.（答案不唯一，写出一个即可）【答案】sin x π（答案不唯一）【分析】由已知关系式可知()f x 关于点()1,0对称，由此可得函数解析式.【解析】()()20f x f x +-=，()f x ∴图象关于点()1,0对称，则()sin f x x π=.故答案为：sin x π（答案不唯一）.14．已知函数()f x 的定义域为R ，对任意x 都有()()22f x f x +=-，且()()f x f x -=，下列结论正确的是____.(填序号)①()f x 的图像关于直线2x =对称；②()f x 的图像关于点()20,对称；③()f x 的最小正周期为4；④()4y f x =+为偶函数．【答案】①③④【分析】由()()22f x f x +=-可得()f x 的图像关于直线2x =对称，然后结合()f x 为偶函数可判断出答案.【解析】因为()()22f x f x +=-，所以()f x 的图像关于直线2x =对称，故①正确，②错误； 因为函数f (x )的图像关于直线2x =对称，所以()()4f x f x -=+，又()()f x f x -=，所以()()4f x f x +=，所以4T =，故③正确；因为4T =且()f x 为偶函数，所以()4y f x =+为偶函数，故④正确．故答案为：①③④15．已知函数()|1|||f x x x t =++-的图像关于2x =对称，则t 的值是_______【答案】5【分析】函数()f x 的图像关于2x =对称，则()()4f x f x =-，代入即可求解．【解析】又因为函数()|1|||f x x x t =++-的图像关于2x =对称，所以()()4f x f x =-，则|1||||5||4|x x t x x t ++-=-+--所以5t =故答案为：516．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()22f x f x -++=，当[]1,0x ∈-时，()22f x x x =+，若()0f x x b --≥对一切R x ∈恒成立，则实数b 的最大值为______．【答案】14-##0.25-【分析】根据题设条件可得()f x 的图象关于()1,1呈中心对称，再根据奇偶性求出()f x 在[]0,1上的解析式，即可画出函数的图象，结合图象可求实数b 的最大值.【解析】解：因为()()22f x f x -++=，故()f x 的图象关于()1,1呈中心对称，因为当[]1,0x ∈-时，()22f x x x =+，当[0,1]x ∈时，()()22()22f x f x x x x x =--=-=+--，故()f x 的图象如图所示：结合图象可得：只需当[1,0]x ∈-时，2()2f x x x x b =+≥+即可， 即21124b x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭≤，故14b ≤-， 故答案为：14-.四、解答题17．已知()f x 是定义在R 上的函数，满足()()()121f x f x f x -+=+.(1)若132f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求72f ⎛⎫ ⎪⎝⎭； (2)求证：()f x 的周期为4；(3)当[)0,2x ∈时，()3f x x =，求()f x 在[)2,0x ∈-时的解析式.【答案】(1)3(2)证明见解析(3)()3537x f x x +=-+ 【分析】（1）先求出32f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，然后再求72f ⎛⎫ ⎪⎝⎭即可； （2）利用函数周期性的定义，即可证明；（3）根据[)2,0x ∈-以及题设条件，先求出()()232f x x +=+，再根据()()()121f x f x f x -+=+，即可解出()f x 在[)2,0x ∈-时的解析式．(1) ∵1131122122212f f f f ⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=-+==- ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+- ⎪⎝⎭， ∴317322332212f f f f ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+== ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭. (2)∵对任意的x ∈R ，满足()()()121f x f x f x -+=+ ∴()()()()()()()()()1112142211211f x f x f x f x f x f x f x f x f x ---+++=++===-++++，∴函数()f x 是以4为周期的周期函数.(3)设[)2,0x ∈-，则[)20,2x +∈，∵当[)0,2x ∈时，()3f x x =，∴当[)20,2x +∈时，()()232f x x +=+，又∵()()()121f x f x f x -+=+， ∴()()()1321f x x f x -+=+ ∴()3537x f x x +=-+. 18．定义域为R 的函数()f x 满足：对任意实数x ，y ，均有()()()2f x y f x f y +=++，且()22f =，当1x >时，()0f x >.(1)求()0f ，()1f -的值；(2)证明：当1x <时，()0f x <.【答案】(1)()02f =-，()14f -=-(2)证明见解析【分析】（1）利用赋值法求解（2）当1x <时，21x ->，则()20f x ->，再结合已知求解.（1）（1）令0x y ==，则()()()0002f f f =++，解得()02f =-.令1x y ==，则()()()2112f f f =++，解得()10f =，令1x =，1y =-，则()()()0112f f f =+-+，解得()14f -=-.（2）（2）当1x <时，21x ->，则()20f x ->.因为()()()()22222f f x x f x f x =-+=-++=，所以()()20f x f x =--<.19．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有(2)()f x f x +=-．当[0x ∈，2]时，2()2f x x x =-．（1）求证：()f x 是周期函数；（2）当[2x ∈，4]时，求()f x 的解析式；（3）计算(0)(1)(2)(2008)f f f f ++++的值．【答案】（1）证明见解析；（2）2()68f x x x =-+；（3）1.【分析】（1）根据函数周期的定义进行证明即可；（2）根据奇函数的性质，结合函数的周期性进行求解即可；（3）根据函数的周期性进行求解即可.【解析】（1）证明：(2)()f x f x +=-，(4)(2)()f x f x f x ∴+=-+=．()f x ∴是周期为4的周期函数．（2）当[2x ∈-，0]时，[0x -∈，2]，由已知得22()2()()2f x x x x x -=---=--，又()f x 是奇函数，2()()2f x f x x x ∴-=-=--，2()2f x x x ∴=+．又当[2x ∈，4]时，4[2x -∈-，0]，2(4)(4)2(4)f x x x ∴-=-+-．又()f x 是周期为4的周期函数，22()(4)(4)2(4)68f x f x x x x x ∴=-=-+-=-+．从而求得[2x ∈，4]时，2()68f x x x =-+．（3）(0)0f =，f （2）0=，f （1）1=，f （3）1=-．又()f x 是周期为4的周期函数，(0)f f ∴+（1）f +（2）f +（3）f =（4）f +（5）f +（6）f +（7）(2f =⋯=008)(2f +009)(2f +010)(2f +011)(2f =012)(2f +013)(2f +014)(2f +015)0=．而(2016)(2017)(2008)(0)(1)(2)1f f f f f f ++=++=，所以(0)(1)(2)(2008)1f f f f ++++=.20．已知二次函数()()220f x ax x c a =++≠的图象与y 轴交于点()0,1，且满足()()22f x f x -+=--()x R ∈.（1）求()f x 的解析式，并求()f x 在[]3,0-上的最大值；（2）若()f x 在()1,t -+∞上为增函数，求实数t 的取值范围.【答案】（1）()21212f x x x =++；()max 1f x =；（2）1t ≥-.【分析】根据二次函数()()220f x ax x c a =++≠的图象与y 轴交于点()0,1，求得c ，根据()()22f x f x -+=--，得函数关于2x =-对称，即可求得a ，从而可得函数得解析式，再根据二次函数得性质即可的解；（2）根据二次函数得单调性即可的解.【解析】解：（1）因为二次函数为()()220f x ax x c a =++≠的图象与y 轴交于点()0,1，故1c =，又因为函数()f x 满足()()()22f x f x x R -=-∈+-，所以函数关于2x =-对称，即222x a =-=-，所以12a =， 故二次函数的解析式为：()21212f x x x =++由()f x 在[]3,2--单调递减，在[]2,0-单调递增，又()()13,012f f -=-=，所以()()max 01f x f ==；（2）因为函数在()1,t -+∞上为增函数，且函数图象的对称轴为2x =-，即二次函数()f x 在()2,-+∞上递增，所以12t -≥-，故1t ≥-.21．设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且(1)(1)f x f x +=-对任意的x ∈R 恒成立，且当[0,1]x ∈时，2()f x x =. （1）求证：()f x 是以2为周期的函数（不需要证明2是()f x 的最小正周期）； （2）对于整数k ，当[21,21]x k k ∈-+时，求函数()f x 的解析式.【答案】（1）证明见解析；（2）2()(2),[21,21]()f x x k x k k k Z =-∈-+∈.【分析】（1）通过证明(2)()f x f x +=成立得解；（2）先求解[1,1]x ∈-时，2()f x x =，再通过周期为2得(2)()f x k f x -=可求解当[21,21]x k k ∈-+时函数()f x 的解析式【解析】解：（1）因为()(2)[(1)1]11()()f x f x f x f x f x ⎡⎤+=++=-+=-=⎣⎦， 所以：()f x 是以2为周期的函数；（2）∵当[0,1]x ∈时，2()f x x =，函数()f x 是定义在R 上的偶函数∴当[1,0]x ∈-时，2()f x x =，∴[1,1]x ∈-时，2()f x x =，∵()f x 是以2为周期的函数，即(2)()f x k f x -=，()k ∈Z设[21,21]x k k ∈-+，则2[1,1]x k -∈-，2(2)(2)f x k x k ∴-=-，即2()(2),[21,21]()f x x k x k k k Z =-∈-+∈.22．已知函数2()21f x x ax =--，且(2)(2)f x f x +=-.(1)求函数()y f x =的解析式；(2)若()()g x f x mx =+在[1,1]-上时单调函数，求实数m 的取值范围.【答案】(1)2()41y f x x x ==--.(2)[6,)(,2]+∞-∞【分析】（1）利用函数的对称性和二次函数的性质进行求解即可；（2）根据二次函数的性质，结合分类讨论法进行求解即可.(1)解：因为(2)(2)f x f x +=-，所以函数()y f x =的对称轴为：2x =，函数2()21f x x ax =--的对称轴为：x a =，所以有2a =，即2()41y f x x x ==--.(2)解：2()()(4)1g x f x mx x m x =+=+--， 该函数的对称轴为：42m x -=-， 当412m -≤-时，函数在[1,1]-上单调递减，解得 2m ≤； 当412m --≤-时，函数在[1,1]-上单调递增，解得6m ≥， 综上所述：实数m 的取值范围为[6,)(,2]+∞-∞.23．我们知道，函数()y f x =的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数()y f x =为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数()y f x =的图象关于点(,)P a b 成中心对称图形的充要条件是函数()y f x a b =+-为奇函数．(1)求证：点(1,2)-是函数32()3f x x x =+图象的对称中心；(2)已知函数32()3f x x x =+，求(2021)(2020)(2019)(2018)f f f f -+-++的值．【答案】(1)证明见解析；(2)8.【分析】（1）令()(1)2g x f x =--，利用单调性的定义证明()g x 是奇函数即可；（2）根据条件可得()()0g x g x +-=，即(1)(1)4f x f x -+--=，将数字直接代入计算即可.(1)证明：因为32()3f x x x =+，令()(1)2g x f x =--，所以32()(1)3(1)2g x x x =-+--3223(331)3(21)23x x x x x x x =-+-+-+-=-即3()3g x x x =-，33()()3()3()g x x x x x g x -=---=-+=-所以()g x 是奇函数．由题意，点(1,2)-是函数32()3f x x x =+图象的对称中心．(2)由（1）知函数32()3f x x x =+的图像的对称中心为(1,2)-，所以()()(1)2(1)20g x g x f x f x +-=--+---=，所以(1)(1)4f x f x -+--=，所以(2021)(2019)=(2020)(2018)=4f f f f -+-+，所以(2021)(2020)(2019)(2018)=8f f f f -+-++．24．设函数()()R y f x x =∈.(1)若对任意实数a ，b 有()()()f a b f a f b +=+成立，且当0x >时，()0f x >； ①判断函数的增减性，并证明；②解不等式：()()2560f t f t ++<；(2)证明：“()()R y f x x =∈图象关于直线x a =对称”的充要条件是“任意给定的R x ∈，()2()f a x f x -=”.【答案】(1)①函数()y f x =为R 上增函数，证明见解析；②{|51}t t -<<-(2)证明见解析【分析】（1）①利用赋值法和单调性的定义进行证明，②先利用赋值法得到()00=f ，再利用单调性和()()()f a b f a f b +=+进行变形求解；（2）结合函数的性质，从充分性、必要性两方面进行证明.(1)解：①函数()y f x =为R 上增函数，证明如下：由()()()f a b f a f b +=+，得()()()f a b f a f b +-=，对于12,R x x ∈，且12x x >，则120x x ->，则()()()12120f x f x f x x -=->，所以当12x x >时，有()()12f x f x >，所以函数()y f x =为R 上增函数.②由①得：()()2560f t f t ++<可化为2[(5)6]0f t t ++<，取0b =，得()()()0f a f a f =+，解得()00=f ，又因为函数()y f x =为R 上增函数，所以2(5)60t t ++<，解得51t -<<-即()()2560f t f t ++<的解集为{|51}t t -<<-.(2)证明：因为()y f x =图象关于直线x a =对称，所以()()f a x f a x =-+，令a x t -=，则x a t =-，2a x a t +=-，所以()(2)f t f a t =-，即()(2)f x f a x =-成立；若()(2)f x f a x =+，令x a t =-，则2a x a t -=+，即()()f a t f a t -=+，即()()f a x f a x =-+成立，即()y f x =图象关于直线x a =对称；所以“()()R y f x x =∈图象关于直线x a =对称”的充要条件是“任意给定的R x ∈，()2()f a x f x -=”.25．已知函数()21f x x =-+. (1)利用函数单调性定义证明()21f x x =-+在区间()1,-+∞上的单调性； (2)请利用（1）的结论，说出()21f x x =-+在区间(),1-∞-上的单调性（不用证明）； (3)利用本题中（1）（2）得到的结论，求函数()21f x x =-+在区间()5,2--上的值域. 【答案】(1)证明见解析(2)()21f x x =-+在区间(),1-∞-上单调递增 (3)1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【分析】（1）根据函数单调性的定义证明即可；（2）根据函数图象的变换，结合函数的对称性与单调性求解即可；（3）根据函数的单调性，结合函数的值域求解即可.(1)设1x ，2x 是区间()1,-+∞上的任意两个实数，且12x x <，则()()()()()()()()212112121212211222111111x x x x f x f x x x x x x x +---⎛⎫-=---=-=- ⎪++++++⎝⎭ 由121x x -<<，得210x x ->，()()12120x x ++> 所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <.故()21f x x =-+在区间()1,-+∞上单调递增. (2)()21f x x =-+由反比例函数()2f x x=-向左平移得到 所以()21f x x =-+图像关于点()1,0-对称 由（1）知()21f x x =-+在区间()1,-+∞上单调递增 所以()21f x x =-+在区间(),1-∞-上单调递增. (3) 因为()()5,2,1--⊆-∞-，由（1）（2）知()21f x x =-+在区间()5,2--上单调递增 所以()()max 22f x f =-=，()()min 152f x f =-=.即()21f x x =-+在区间()5,2x ∈--上的值域为1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭.。
数学高一-【】函数的周期性 教学案例
5.函数的周期性一. 知识要点:1. 函数的周期性周期函数定义：若函数)(x f 满足 )()(x f T x f =+, ()0≠T ，则称函数)(x f 为周期函数，T 是其周期说明:定义域为R 时，若T 是周期，那么nT 也是周期 ( n 为整数）2。
最小正周期最小正周期定义:若)(x f y =是周期函数，且在它所有的周期中存在最小的正数0T ，称0T 为)(x f y =的最小正周期。
说明:（1）周期函数不一定有最小正周期（常数函数）（2）最小正周期相同的两个函数的和，其最小正周期不一定不变3.如何判断函数的周期性：⑴ 定义; ⑵ 图象;⑶利用下列补充性质： 设a>0，则：① 函数y=f(x),x ∈R, 若f(x+a)=f(x-a)，则函数的周期为2a② 函数y=f(x),x ∈R, 若f(x+a)=-f(x)，则函数的周期为2a③ 函数y=f(x),x ∈R, 若)(1)(x f a x f ±=+，则函数的周期为2a ④ 若函数)(x f 的图象同时关于直线a x =与b x =对称，那么其周期为||2a b -；证：若关于x=a 对称，则有f(a+x)=f(a-x)，用x+a 代x 可得：f(x+2a)=f(-x)，同理可得：f(x+2b)=f(-x)，从而有：f(x+2a)= f(x+2b)，再用x-2a 代x 可得：f(x)= f(x+2b-2a)，所以周期为||2a b -；特例：若函数)(x f 是偶函数，且其图象关于直线a x =对称，那么其周期为 T=2a⑤若函数)(x f 关于直线a x =对称，又关于点()0,b 对称, 那么函数)(x f 的周期是4|b-a|； 证：关于直线a x =对称可得：f(a+x)=f(a-x)，用x+a 代x 可得：f(x+2a)=f(-x) (1)，关于点()0,b 对称可得：f(b+x)+f(b-x)=0用-x-b 代x 可得：f(-x)+f(2b+x)=0，与（1）式联立得：f(x+2a)+f(x+2b)=0得：f(x)+f(x+2b-2a)=0（2），进而得：f(x+2b-2a)+f(x+4b-4a)=0，与（2）；联立即得：f(x)= f(x+4b-4a)，故周期是4|b-a|；特例：若函数)(x f 是奇函数，又其图象关于直线a x =对称，那么其周期为T=4a二. 例题选讲:例1. 已知定义在R 上的偶函数)(x f 满足)()1(x f x f -=+,且当[]1,0∈x 时,13)(-=-x x f , 求)(log 32131f 的值解:(2)(1)(),2f x f x f x T +=-+=∴=,又13331log log 32,log 32432=<<且33log 3241333149(log )(log 32)(log 324)313281f f f -∴==-=-=- 例２．已知定义在R 上函数)(x f y =满足)2()2(-=+x f x f ,且)(x f 是偶函数,当[]2,0∈x 时，12)(-=x x f ，求当[]4,0x ∈-时，函数)(x f y =的解析式.解：27[4,2)()21[2,0]x x f x x x ⎧+∈--⎪∴=⎨⎪--∈-⎩ 变式 :已知)()2(x f x f -=+，当(]4,0∈x 时，1)(2+-=x x f ，求函数)(x f y =的解析式.解：2()(4)(4)1f x f x n x n ∴=-=--+例3：设函数()f x 在(,)-∞+∞上满足(2)(2)f x f x -=+，(7)(7)f x f x -=+，且在闭区间［0，7］上，只有(1)(3)0f f ==．（1）试判断函数()y f x =的奇偶性和周期性；（2）试求方程()f x =0在闭区间［-2005，2005］上的根的个数，并证明你的结论． .解:（1）由f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函数)(x f y =的对称轴为72==x x 和,从而知函数)(x f y =不是奇函数,由)14()4()14()()4()()7()7()2()2(x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f -=-⇒⎩⎨⎧-=-=⇒⎩⎨⎧+=-+=- )10()(+=⇒x f x f ,从而知函数)(x f y =的周期为10=T又0)7(,0)0()3(≠==f f f 而,故函数)(x f y =是非奇非偶函数;(2) 由)14()4()14()()4()()7()7()2()2(x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f -=-⇒⎩⎨⎧-=-=⇒⎩⎨⎧+=-+=- )10()(+=⇒x f x f又0)9()7()13()11(,0)0()3(=-=-====f f f f f f 故f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有有两个解,从而可知函数)(x f y =在[0,2005]上有402个解,在[-2005.0]上有400个解,所以函数)(x f y =在[-2005,2005]上有802个解.三. 课外作业:1.已知定义在R 上的函数()y f x =，对于任意x 都有)(1)(1)2(x f x f x f -+=+成立,设)(n f a n =, 数列{}n a 中值不同的项最多有几项？解：由)(1)(1)2(x f x f x f -+=+得)(1)2(1)2(1)4(x f x f x f x f -=⋅⋅⋅=+-++=+进而得到)()8(x f x f =+，即T=8，所以数列{}n a 中值不同的项最多有8项；2.定义在R 上的函数)(x f 满足)()2(x f x f -=+,且当[]1,1-∈x 时，3)(x x f =⑴ 求()y f x =在[]5,1∈x 上的表达式.⑵ 若{}R x x f x A ∈>=,0)(|，且φ≠A ,求实数a 的取值范围.解：可得周期T=4，⑴33(2)[1,3]()(4)[3,5]x x f x x x ⎧-∈⎪=⎨⎪-∈⎩⑵a<13.设()y f x =是定义在 ()+∞∞-,上以2为周期的函数，对Z k ∈，用k I 表示区间(]12,12+-k k ，已知当当0I x ∈时，2)(x x f =，（1）求()y f x =在k I 上的解析式；（2）对*∈N k ，求集合{}上有两个不相等的实根在使方程k k I ax x f a M ==)(| 解：（1）由周期T=2结合平移可得在k I 上2()(2)f x x k =-；（2）上有两个不相等的实根在使方程k I ax x f =)(，即ax k x =-22）（在(]12,12+-k k 上有两个不等实根，也即04)4(22=++-k x k a x 在(]12,12+-k k 上有两个不等实根，可得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+<+<->∆>-≥+12241200)12(0)12(k k a k k f k f 解得：1021a k <≤+；。
考点10 函数的周期性和对称性【考点通关】高一数学题型归纳与解题策略(必修第一册)(解析版)
考点10函数的周期性和对称性1、常见的确定函数周期的条件函数周期性问题应牢牢把握周期函数的定义，并掌握一些常见的确定函数周期的条件2、周期性的应用（1）求函数周期的方法求一般函数周期常用递推法和换元法，递推法：若f(x＋a)＝－f(x)，则f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝－f(x＋a)＝f(x)，所以周期T＝2a.换元法：若f(x＋a)＝f(x－a)，令x－a＝t，x＝t＋a，则f(t)＝f(t＋2a)，所以周期T＝2a．（2）判断函数的周期只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．（3）根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期．（4）奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题，周期性起到转换自变量值的作用，奇偶性起到调节符号作用。
3、对称性的应用（1）函数自身的对称性①函数)(x f y =的图像关于点)(b a A ，对称的充要条件是：b x a f x f 2)2()(=-+，即b x a f x a f 2)()(=++-。
推论：函数)(x f y =的图像关于原点O 对称的充要条件是0)()(=-+x f x f 。
②函数)(x f y =的图像关于直线a x =对称的充要条件是：)()(x a f x a f -=+，即)2()(x a f x f -=。
推论：函数)(x f y =的图像关于y 轴对称的充要条件是)()(x f x f -=。
（2）不同函数对称性①函数)(x a f y +=与)(x b f y -=的图像关于直线2ab x -=成轴对称。
②互为反函数的两个函数关于直线x y =对称。
考点一函数的周期性及应用1．（2022·广西桂林·高一期末）已知()f x 是以2为周期的函数，且()2,[1,1]f x x x =∈-，则()7f =（）A ．1B ．-1C ．±1D ．7【解析】因为函数()f x 是周期为2的周期函数，所以2k 为()f x 的周期，即(2)(),.f x k f x k Z +=∈所以()()()2716111f f f =+===.故选：A.2．（2022·江苏扬州·高一期末）已知定义在R 上的函数()f x 满足(2)()f x f x +=，当[1,1]x ∈-时，2()1f x x =+，则(2020.5)f =（）A ．1716B ．54C ．2D ．1【解析】由()()2f x f x +=可知，函数()f x 的周期为2，当[1,1]x ∈-时，2()1f x x =+，∴1115(2020.5)202012244f f f ⎛⎫⎛⎫=+==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：B3．（2022·四川眉山·高一期末）若偶函数()f x 对任意x ∈R 都有()()13f x f x +=-，且当[]3,2x ∈--时，()4f x x =，则()113.5f =______．【解析】因为()()13f x f x +=-，所以()()()163f x f x f x +=-=+，所以()f x 周期为6，且为偶函数，当[]3,2x ∈--时，()4f x x =，()()()()113.5186 5.5 5.50.5=⨯+==-f f f f ，()()10.530.5f f -+=--，所以()()10.5 2.5f f -=-，根据函数为偶函数()()2.5 2.510f f =-=-，所以()()110.5 2.510f f -=-=，即()1113.510=f .故答案为：110.4．（2022·江西省铜鼓中学高一期末）函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()21f x f x +=，若()15f =，则()5f -=______.【解析】令1x =-，()()111f f -=，则()115f -=.令3x =-，()()131f f --=，则()35f -=；令5x =-，()()351f f --=，则()155f -=.故答案为:155．（2022·广东揭阳·高一期末）设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[)1,1-上(),102,015x a x f x x x +-≤<⎧⎪=⎨-≤<⎪⎩,其中R a ∈.若5922f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()2022f a 的值是____________.【解析】因为()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[)1,1-上(),102,015x a x f x x x +-≤<⎧⎪=⎨-≤<⎪⎩,所以511222f f a ⎛⎫⎛⎫-=-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，92221115210f f ⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又5922f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即11210a -+=-，解得25a =，所以()24424220222022808555555f a f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯=+==-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故答案为：25-.6．（2022·黑龙江·佳木斯一中高一期末）已知()f x 是定义在R 上的函数，满足()()()121f x f x f x -+=+.(1)若132f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求72f ⎛⎫⎪⎝⎭；(2)求证：()f x 的周期为4；(3)当[)0,2x ∈时，()3f x x =，求()f x 在[)2,0x ∈-时的解析式.【解析】(1)∵1131122122212f f f f ⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=-+==- ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+- ⎪⎝⎭，∴317322332212f f f f⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+== ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭.(2)∵对任意的x ∈R ，满足()()()121f x f x f x -+=+∴()()()()()()()()()1112142211211f x f x f x f x f x f x f x f x f x ---+++=++==-++++，∴函数()f x 是以4为周期的周期函数.(3)设[)2,0x ∈-，则[)20,2x +∈，∵当[)0,2x ∈时，()3f x x =，∴当[)20,2x +∈时，()()232f x x +=+，又∵()()()121f x f x f x -+=+，∴()()()1321f x x f x -+=+∴()3537x f x x +=-+.考点二函数的对称性及应用7．（2022·福建泉州·高一期末）写出一个满足(1)(1)f x f x +=-，且(0)(3)f f >的函数()f x 的解析式__________．【解析】由(1)(1)f x f x +=-，可知函数()f x 关于1x =对称，所以()2()1f x x =--，又(0)1,(3)4f f =-=-，满足(0)(3)f f >.所以函数()f x 的解析式为()2()1f x x =--（答案不唯一）.故答案为：()2()1f x x =--（答案不唯一）.8．（2023·全国·高一专题练习）设函数()=y f x 的定义域为R ，则函数3()=y f x -与函数1()=y f x -的图象关于（）A ．直线=1y 对称B ．直线=1x 对称C ．直线2y=对称D ．直线=2x 对称【解析】设函数3()=y f x -的图象上任意一点00()，P x y ，则00)3(=y f x -，00()，P x y 关于直线=2x 的对称点为00()4，Q x y -．又函数1()=y f x -中，当04=x x -时，00[()]()143==y f x f x ---，所以00()4，Q x y -在1()=y f x -的图象上．故函数3()=y f x -与函数1()=y f x -的图象关于直线=2x 对称，故选：D9．（2022·贵州·高一阶段练习（理））已知函数()f x 满足(2)()4f x f x ++-=-，函数()f x 与()3g x x =-图象的交点分别为()11,x y ，()22,x y ，()33,x y ，()44,x y ，()55,x y ，则()51i i i x y =+=∑（）A ．-10B ．-5C ．5D ．10【解析】因为(2)()4f x f x ++-=-，所以()f x 的图象关于点()1,2-对称，又()3g x x =-也关于点()1,2-对称，则函数()f x 与()3g x x =-图象的交点也关于点()1,2-对称，所以()()511255i i i x y =+=+-⨯=-⎡⎤⎣⎦∑；故选：B10．（2022·贵州·高一阶段练习（文））已知函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，函数()f x 与2()25g x x x =--图像的交点分别为()11,x y ，()22,x y ，()33,x y ，()44,x y ，()55,x y ，则51i i x ==∑（）A ．-10B ．-5C ．5D ．10【解析】因为函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，所以(1)(1)f x f x +=-，即函数()f x 的对称轴为1x =，因为22()25(1)6g x x x x =--=--，所以由题知，函数()f x 与()g x 图像的5个交点满足123455x x x x x ++++=，即515i i x ==∑，故A ，B ，D 错误.故选：C.11．（2022·全国·高一单元测试）设函数()y f x =的定义域为R ，则下列命题：①若()y f x =是偶函数，则(2)y f x =+的图像关于y 轴对称；②若(2)y f x =+是偶函数，则()y f x =的图像关于直线2x =对称；③若(2)(2)f x f x -=-，则函数()y f x =的图像关于直线2x =对称；④(2)y f x =-与(2)y f x =-的图像关于直线2x =对称．其中正确命题的序号为________．【解析】若(2)y f x =+是偶函数，则(2)(2)f x f x +=-+，所以()y f x =的图象关于2x =对称，①错误，②正确；(2)(2)[(2)]f x f x f x -=-=--，令2x t -=即()()f t f t =-，所以()f x 是偶函数，图象关于y 轴对称，③错误；(2)y f x =-是将()f x 的图象向右平移2个单位而得，(2)[(2)]y f x f x =-=--是将()f x 的图象沿y 轴对称后再向右平移2个单位而得，因此(2)y f x =-与(2)y f x =-的图象关于2x =对称，④正确.故答案为：②④12．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()221x f x x =+．(1)求()122f f ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，()133f f ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；(2)求证：()1f x f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的定值；(3)求()()()()()11112123202120222320212022f f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值．【解析】（1）因为()221x f x x =+，所以()2222112*********f f ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭+=+= ⎪+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，()2222113331313113f f ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭+=+= ⎪+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭；（2）()22222222211111111111x x x x f x f x x x x x x ⎛⎫⎪+⎛⎫⎝⎭+=++== ⎪++++⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，是定值；（3）由（2）知()11f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为()()111f f +=，()1212f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，()1313f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，……，()1202212022f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以()()()()11121232021232021⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭f f f f f f f ()1202220222022⎛⎫++= ⎪⎝⎭f f .考点三周期性与奇偶性结合13．（2022·浙江宁波·高一期末）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足(2)()f x f x +=-，则(2022)f =（）A ．2022-B ．0C ．1D ．2022【解析】因为(2)()f x f x +=-，所以(4)(2)()f x f x f x +=-+=，所以()f x 的周期为4，函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以(0)0f =，所以(2)(0)0f f =-=，(2022)(50542)(2)0f f f =⨯+==.故选：B.14．（2022·四川雅安·高一期末）若()f x 和()1f x +都是定义在R 上的奇函数，则()()20212022f f +=（）A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】因为()f x 和()1f x +都是定义在R 上的奇函数，所以()()11f x f x +=---，()()11f x f x +=--+，所以()()11f x f x --=-+，所以()()2f x f x =+，所以()f x 是周期为2的周期函数，所以()()()()()()2021202210102110112010f f f f f f +=⨯++⨯+=+因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()00f =，又()1f x +是定义在R 上的奇函数，所以()()11f x f x +=--+，所以()()11f f =-，即()10f =，所以()()()()20212022100f f f f +=+=.故选：A.15．（2022·河南新乡·高一期末）已知奇函数()f x 的定义域为R ，若()1f x +为偶函数，且()15f -=，则()()()120221f f f +++=L （）A ．10B ．10-C ．5-D ．5【解析】因为()1f x +为偶函数，所以()()11f x f x +=-+，即()()2f x f x -=，因为函数()f x 是奇函数，所以()()f x f x -=-，则()()2f x f x +=-，即()()4f x f x +=，所以()f x 的周期为4．因为()()115f f =--=-，()()200f f =-=，()()315f f =-=，()()400f f ==，所以()()()()12340f f f f +++=，故()()()()()1220215050202115f f f f f +++=⨯+==-．故选：C16．（2022·北京·101中学高一期末）设函数()f x 的定义域为R ，()1f x +为奇函数，()2f x +为偶函数，当[]1,2x ∈时，2()f x ax b =+．若()()036f f +=，则92f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．94-B ．32-C ．74D ．52【解析】解法一：因为()1f x +是奇函数，所以()()11f x f x -+=-+①；因为()2f x +是偶函数，所以()()22f x f x +=-+②．令1x =，由①得：()()()024f f a b =-=-+，由②得：()()31f f a b ==+，因为()()036f f +=，所以()462a b a b a -+++=⇒=-，令0x =，由①得：()()()11102f f f b =-⇒=⇒=，所以()222f x x =-+．思路一：从定义入手．9551222222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1335112222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭511322=2222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=--+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以935222f f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎝⎭⎝⎭．解法二：因为()1f x +是奇函数，所以()()11f x f x -+=-+①；因为()2f x +是偶函数，所以()()22f x f x +=-+②．令1x =，由①得：()()()024f f a b =-=-+，由②得：()()31f f a b ==+，因为()()036f f +=，所以()462a b a b a -+++=⇒=-，令0x =，由①得：()()()11102f f f b =-⇒=⇒=，所以()222f x x =-+．思路二：从周期性入手由两个对称性可知，函数()f x 的周期4T =．所以91352222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故选：D ．17．【多选】（2022·甘肃张掖·高一期末）已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)(2)f x f x +=-.当(0,2)x ∈时，21()f x x x=+，则下列结论正确的是（）A ．()f x 的图象关于y 轴对称B ．19(24-=-f C ．()(+4)f x f x =D ．()22021=-f 【解析】因为函数()f x 是奇函数，所以()()f x f x -=-，()f x 的图象关于原点对称，又函数()f x 满足(2)(2)f x f x +=-，所以()(4)f x f x -=，则()(4)f x f x -=--，即()(4)f x f x +=-，所以()(8)f x f x +=，所以函数()f x 的周期8T =，故AC 错误；又当(0,2)x ∈时，21()f x x x =+，所以1119((22244⎛⎫-=-=-+=- ⎪⎝⎭f f ，故B 正确所以()()()()()()20212528+553312=⨯==-=-=-=-f f f f f f .故D 正确故选：BD.考点四对称性与周期性结合18．（2022·云南德宏·高一期末）定义在R 上的函数()f x 满足下列三个条件：①1(3)()f x f x +=-；②对任意1236x x ≤<≤，都有12()()f x f x <；③(3)y f x =+的图像关于y 轴对称．则下列结论中正确的是A ．(3)(7)(4.5)f f f <<B ．(7)(3)(4.5)f f f <<C ．(7)(4.5)(3)f f f <<D ．(3)(4.5)(7)f f f <<【解析】先由1(3)()f x f x +=-，得函数周期为6，得到f （7）=f （1）；再利用y=f （x+3）的图象关于y 轴对称得到y=f （x ）的图象关于x=3轴对称，进而得到f （1）=f （5）；最后利用条件（2）得出结论．因为1(3)()f x f x +=-，所以()()()()11613f x f x f x f x +=-=-=+-；即函数周期为6，故()()71f f =；又因为()3y f x =+的图象关于y 轴对称，所以()y f x =的图象关于x=3对称，所以()()15f f =；又对任意123x x 6≤≤＜，都有()()12f x f x ＜；所以()()()()()3 4.5517f f f f f ==＜＜．故选:D ．19．（2022·贵州遵义·高一期末）对R x ∀∈，函数()f x 满足()()11f x f x -=+，()()40f x f x ++-=.当01x ≤≤时，()21f x x =-.设12a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，53b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，20234c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为____________.【解析】对R x ∀∈，函数()f x 满足()()11f x f x -=+，则()f x 关于直线1x =对称，所以()()2f x f x =-①；函数()f x 满足()()40f x f x ++-=，则()f x 关于点(2,0)对称，所以()()4f x f x =--②；由①②得：()()24f x f x -=--，则()f x 是周期函数，周期为4T =所以5221113333b f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭20232020333111444444c f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+=+=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭又01x ≤≤时，()21f x x =-，即()f x 在[0,1]x ∈上单调递减所以111432f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即c b a >>.故答案为：c b a >>或a b c <<.20．（2022·浙江·杭十四中高一期末）定义在R 上的函数()f x 满足()()2=-+f x f x ，()()2f x f x =-，且当[]0,1x ∈时，()2f x x =，则方程()12f x x =-在[]8,10-上所有根的和为（）A ．0B ．8C ．16D ．32【解析】()()2=-+f x f x ，即()()2f x f x +=-，()()()42f x f x f x ∴+=-+=，所以，函数()y f x =是以4为周期的周期函数.又()()2f x f x =-，则函数()y f x =的图象关于直线1x =对称.()()()22∴+=-=--f x f x f x ，()()220∴++-=f x f x ，则函数()y f x =的图象关于点()2,0对称，易知函数12y x =-的图象也关于点()2,0对称，如下图所示：函数12y x =-的图象与函数()y f x =在[)8,6--上没有交点，并且函数12y x =-在[)(]6,22,10-上的图象关于点()2,0对称，且函数()y f x =在区间[]6,10-上的图象也关于点()2,0对称，两个函数在区间[]6,10-上共有8个公共点，且这些公共点呈现4对关于点()2,0对称，因此，方程()12f x x =-在[]8,10-上所有根的和为4416⨯=.故选C.考点五单调性与对称性的结合21．（2022·全国·高一单元测试）已知函数()f x 对任意实数x 都有()()11f x f x +=-，并且对任意12,(,1)x x ∈-∞，都有()()12120f x f x x x -<-，则下列说法正确的是（）A ．()()02f f >B ．()()11f f =-C ．()32ff <-D ．))2121ff>【解析】由函数()f x 对任意实数x 都有()()11f x f x +=-，可得函数()f x 关于1x =对称，又由对任意12,(,1)x x ∈-∞，都有()()12120f x f x x x -<-，可得函数()f x 在区间(,1)-∞上单调递减函数，则在区间(1,)+∞上单调递增函数，由0121-=-，所以()()02f f =，所以A 不正确；由1111-<--，所以()()11f f <-，所以B 不正确；3121-<--，所以()32f f <-，所以C 正确；211211--<-，所以))2121ff-<，所以D 不正确.故选：C.22．【多选】（2022·全国·高一）若函数f (x )满足：∀x ∈R ，f (x ＋2)＝f (2－x )，且12121212()(),[2,),0(),-∀∈+∞>≠-f x f x x x x x x x 则（）A ．f (0)＞f (3)B ．∀x ∈R ，f (x )≤f (2)C ．25(1)4f a a f ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭≥D ．若f (m )＞f (3)，则1＜m ＜3【解析】由x ∀∈R ，()()22f x f x +=-，可得()f x 图象关于2x =对称，由[)12,2,x x ∀∈+∞，()()12120f x f x x x ->-，可得()f x 在[)2,+∞上单调递增，在(),2-∞上单调递减，当2x =时，()2f 最小，结合函数的单调性和对称性得：距离2x =越近函数值越小，则显然A 正确，B 不正确；对C ，2235121244a a a a -++-=-+≥=-，C 正确；对D ，()()3f m f >时，x m =距2x =更远，则21m ->，解得3m >或1m <，D 不正确．故选：AC.23．（2023·全国·高一专题练习）已知定义在R 上的奇函数()f x 的图象关于直线1x =对称，且()y f x =在[]0,1上单调递增，若()3a f =-，12b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．c b a<<B ．b a c<<C ．b c a<<D ．c a b<<【解析】由函数()f x 的图象关于直线1x =对称可得()()31f f =-，结合奇函数的性质可知()3a f =-()()()311f f f =-=--=，()()200c f f ===.由奇函数的性质结合()y f x =在[]0,1上单调递增可得()y f x =在[]1,1-上单调递增，所以()()1012f f f ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭，所以b c a <<.故选：C24．（2022·广东·深圳市南山区华侨城中学高一阶段练习）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x =-，其图象经过点()2,0，且对任意()121,x x ∈+∞、，且12x x ≠，()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦恒成立，则不等式()()10x f x -≥的解集为（）A ．(],1-∞B ．[)1,+∞C ．(][],01,2-∞D ．[][)0,12,+∞【解析】()()2f x f x =-，∴函数()y f x =的图象关于直线1x =对称，该函数图象经过点()2,0，则()20f =，且有()00=f ，对任意()12,1,x x ∈+∞，且12x x ≠，()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦恒成立，可设12x x >，则120x x ->，()()120f x f x ∴->，即()()12f x f x >.所以，函数()y f x =在()1,+∞上单调递增，由此可得该函数在(),1-∞上单调递减，当1x =时，符合题意；当10x -<时，即1x <时，则有()()00f x f ≤=，由于函数()y f x =在(),1-∞上单调递减，由()()0f x f ≤，得0x ≥，此时01x ≤<；当10x ->时，即1x >时，则有()()02f x f ≥=，由于函数()y f x =在()1,+∞上单调递增，由()()2f x f ≥，得2x ≥，此时2x ≥，综上所述，不等式()()10x f x -≥的解集为[][)0,12,+∞.故选：D.考点六单调性、奇偶性与周期性结合25．（2022·天津南开·高一期末）已知函数f （x ）是定义域为R 的偶函数，且f （x +1）=1()f x ，若f （x ）在[-1，0]上是减函数，那么f （x ）在[2，3]上是（）A ．增函数B ．减函数C ．先增后减的函数D ．先减后增的函数【解析】因为函数f （x ）满足f （x +1）=1()f x ，所以()()()121f x f x f x +==+，所以()f x 是以2为周期的周期函数，又因为()f x 是定义域为R 的偶函数，且在[-1，0]上是减函数，所以()f x 在[0，1]上是增函数，那么f （x ）在[2，3]上是增函数，故选：A26．（2022·全国·高一课时练习）定义在R 上的奇函数()f x 满足()()4f x f x -=-且()f x 在[]0,2上是增函数，则（）A ．()()()111221f f f <<B ．()()()211211f f f <<C ．()()()112112f f f <<D ．()()()211112f f f <<【解析】()()4f x f x -=-()()()84f x f x f x ∴-=--=，即函数的周期是8，则()()()()()1133411f f f f f ==--=--=，()()()()()4400124f f f f f ==--=-=，()()()()()5541211f f f f f ==--=-=-，()f x 为奇函数，且在[]0,2上是增函数，则()f x 在[]22-,上是增函数，()()()101f f f ∴-<<，即()()()211211f f f <<.故选：B.27．（2022·河南·温县第一高级中学高一开学考试（文））已知函数的定义域为R ，且满足下列三个条件：①对任意的12,[4,8]x x ∈，当12x x <时，都有1212()()0f x f x x x ->-；②(4)()f x f x +=-；③(4)y f x =+是偶函数；若(6)a f =，(11)b f =，(2017)c f =，则,,a b c 的大小关系正确的是（）A ．a b c <<B ．a c b<<C ．b a c<<D ．c b a<<【解析】根据题意，若对任意的1x ，2[4x ∈，8]，当12x x <时，都有1212()()0f x f x x x ->-，则函数()f x 在区间[4，8]上为增函数，若(4)()f x f x +=-，则(8)(4)()f x f x f x +=-+=，即函数()f x 的周期为8，若(4)y f x =+是偶函数，则函数()f x 的图象关于直线4x =对称，()6a f =，()()()1135b f f f ===，()()()()20172528117c f f f f ==⨯+==，又由函数()f x 在区间[4，8]上为增函数，则有b a c <<；故选：C ．考点七奇偶性、周期性与对称性结合28．（2022·陕西·西安市临潼区铁路中学高一期末）已知定义在R 上的函数()f x 满足：(1)f x -关于(1,0)中心对称，(1)f x +是偶函数，且312f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则92f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为（）A ．0B ．-1C ．1D ．无法确定【解析】由于(1)f x -关于(1,0)中心对称，又将函数(1)f x -向左平移1个单位后为()f x ，所以()f x 关于(0,0)中心对称，即()f x 是奇函数；又(1)f x +是偶函数，又将函数(1)f x +向右平移1个单位后为()f x ，所以()f x 关于直线1x =对称，即()(2)f x f x =-；所以()(2)f x f x =--，所以(+2)()f x f x =-，所以(4)(2)()f x f x f x +=-+=，所以函数()f x 的周期4T =，119133*********f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+==-==--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：B.29．（2022·全国·兴国中学高一阶段练习（理））已知()f x 是定义在R 上的函数，且满足(32)f x -为偶函数，(21)f x -为奇函数，则下列说法正确的是（）①函数()f x 的图象关于直线1x =对称②函数()f x 的图象关于点(1,0)-中心对称③函数()f x 的周期为4④(2023)0f =A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①③④【解析】因为(32)f x -为偶函数，所以(32)(32)f x f x -=--，所以(2)(2)f x f x -=--，()(4)f x f x =--，所以函数()f x 关于直线2x =-对称，不能确定()f x 是否关于直线1x =对称，①错误；因为(21)f x -为奇函数，所以(21)(21)f x f x -=---，所以(1)(1)f x f x -=---，所以()(2)f x f x =---，所以函数()f x 关于点(1,0)-中心对称，故②正确，由①可知，()(4)f x f x =--，由②可知，()(2)f x f x =---，故有(4)(2)f x f x --=---，令x x =-，则有(4)(2)f x f x -=--，所以()422T=---，解得4T =，所以函数()f x 的周期为4，故③正确；(2023)(50641)(1)0f f f =⨯-=-=，故④正确．故选：C ．30．【多选】（2022·辽宁丹东·高一期末）函数()f x 的定义域为R ，且()1f x +为奇函数，()2f x +为偶函数，则（）A ．()()11f x f x --=-+B ．()()4f x f x +=-C ．()f x 为偶函数D ．()3f x -为奇函数【解析】因为()1f x +为奇函数，()2f x +为偶函数，所以()f x 图像关于()1,0对称，同时关于直线2x =对称；所以()()11f x f x -+=-+，()()22f x f x -+=+，故A 选项错误；所以()()4f x f x +=-，()()()22f x f x f x -=-=+，故B 选项正确；所以()()()42f x f x f x +=-+=，即函数()f x 为周期函数，周期为4.所以()()()4f x f x f x +=-=，即函数()f x 为偶函数，故C 选项正确；所以()()()()()311213f x f x f x f x f x ⎡⎤-=+=--+=+-+=--⎣⎦，故函数()3f x -为奇函数，D 选项正确；故选：BCD31．（2022·内蒙古包头·高一期末）定义在R 上的奇函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-恒成立，若(1)2f =，则(20)(21)(22)f f f ++的值为（）A ．6B ．4C ．2D ．0【解析】∵定义在R 上的奇函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-恒成立，∴()(2)()f x f x f x +=-=-，∴()(4)(2)f x f x f x +=-+=，又(1)2f =∴()()(20)5400f f f =⨯==，()()(21)54112f f f =⨯+==，()()()(22)542200f f f f =⨯+===，∴(20)(21)(22)2f f f ++=.故选：C.32．【多选】（2022·湖南·邵阳市第二中学高一期末）已知函数()f x 为R 上的奇函数，()()1g x f x =+为偶函数，下列说法正确的有（）A ．()f x 图象关于直线1x =-对称B ．()20230g =C ．()g x 的最小正周期为4D ．对任意R x ∈都有()()2f x f x -=【解析】由()f x 的对称中心为()0,0，对称轴为1x =，则()f x 也关于直线1x =-对称且()(2)f x f x =-，A 、D 正确，由A 分析知：()(2)()f x f x f x =-=--，故(2)()f x f x +=-，所以(4)(2)()f x f x f x +=-+=，所以()f x 的周期为4，则()()()2023202400g f f ===，B 正确；但不能说明()f x 最小正周期为4，C 错误；故选：ABD33．（2022·江苏南通·高一期末）已知f (x )是定义域在R 上的奇函数，且满足(2)(2)f x f x -+=+，则下列结论不正确的是（）A ．f （4）＝0B ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称C ．f （x ＋8）＝f (x )D ．若f （－3）＝－1，则f （2022）＝－1【解析】对于A ：因为f (x )是定义域在R 上的奇函数，所以(0)0f =，又(2)(2)f x f x -+=+，令2x =-代入可得(4)(0)0f f ==，故A 正确；对于B ：因为(2)(2)f x f x -+=+，所以()f x 图象关于2x =对称，无法确定是否关于直线x ＝1对称，故B 错误；对于C ：因为()f x 为奇函数，所以(2)(2)(2)f x f x f x +=-+=--，所以(4)()f x f x +=-，则(8)(4)()f x f x f x +=-+=，故C 正确；对于D ：由C 选项可得，()f x 的周期为8，所以(2021)(25383)(3)1f f f =⨯-=-=-，故D 正确；故选：B34．【多选】（2022·吉林·长春吉大附中实验学校模拟预测）已知函数()f x ，R x ∈满足()()()492f x f x f =-+，又()9f x +的图像关于点()9,0-对称，且()12022f =，则（）A ．()20f =B ．()()()4445462022f f f ++=-C ．1133f x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭关于点()1,3-对称D ．1133f x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭关于点()3,3对称【解析】令2x =，由()()()492f x f x f =-+得：()()()()2292,20f f f f =+=，()()4f x f x ∴=-，即()f x 的一条对称轴是2x =，又()9f x +关于()9,0-对称，令()()9g x f x =+，即()()990g x g x -++--=，()()()()99990f x f x f x f x -+++--+=+-=，()f x 是奇函数；()()()()()()8484444f x f x f x f x f x f x +=-+=--=-+=--+=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，()f x 的周期为8；对于A ：正确；对于B ：()()()()()()()()()444546456012f f f f f f f f f ++=++=+-+-()()0122022f f =--=-，正确；对于D ：令113t x =-，将3x =代入得0=t ，即要证明()3f t +关于()0,3对称，显然由()()336f t f t -+++=，故()3f t +关于()0,3对称，即1133f x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭关于()3,3对称，正确；对于C ：同上，将1x =-代入得43t =-，即4,33⎛⎫- ⎪⎝⎭显然不是()3f t +的对称点，错误；故选：ABD.考点八单调性、奇偶性与对称性结合35．（2022·湖南常德·高一期中）已知函数是偶函数,且在上是单调减函数,则由小到大排列为A ．B ．C ．D ．【解析】由题意得，函数向左平移2个单位得，又在上是单调减函数，所以函数在是减函数，又函数是偶函数，所以，所以，即，故选A ．36．（2022·全国·高一单元测试）已知函数()1f x +是偶函数，当121x x <<时，()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦恒成立，设12a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，(2)b f =，(3)c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．c b a<<B ．b a c<<C ．b c a<<D ．a b c<<【解析】∵当121x x <<时，()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦恒成立，∴当121x x <<时，()()210f x f x ->，即()()21f x f x >，∴函数()f x 在(1,)+∞上为单调增函数，∵函数(1)f x +是偶函数，即()()11f x f x +=-，∴函数()f x 的图象关于直线1x =对称，∴1522a f f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎝⎭⎝⎭，又函数()f x 在(1,)+∞上为单调增函数，∴5(2)(3)2f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，即1(2)(3)2f f f ⎛⎫<-< ⎪⎝⎭，∴b a c <<，故选：B ．37．（2022·河南·高一阶段练习（理））已知函数()1f x +是定义在R 上的偶函数，12,x x 为区间()1,+∞上的任意两个不相等的实数，且满足()()12210f x f x x x -<-，131,,,042a f b f c f t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===+> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为A ．a b c<<B ．a c b<<C ．c a b<<D ．b a c<<【解析】函数(1)f x +是偶函数，∴函数(1)f x +的图象关于直线0x =对称，从而函数()f x 的图象关于直线1x =对称，由()()12210f x f x x x -<-得()f x 在()1,+∞上为增函数，1744a f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由0t >得12t t +≥，从而1731731,4242t ft f f t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+>>>∴+>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即b a c <<.故选：D.考点九单调性、奇偶性、周期性与对称性的结合38．（2022·全国·高一专题练习）已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()8f x f x +=，函数的图像关于2x =对称且函数在区间[]02，上单调递增，则()()()251180f f f -，，的从小到大的顺序为________.【解析】由()()8f x f x +=知函数周期为8T =，所以()()()2525381f f f -=-+⨯=-，()()()111183f f f =-=，而函数图像关于2x =对称，所以()()()1131f f f ==，()()()80801080f f f =-⨯=.又因为()f x 定义在R 上的奇函数且在[]02，上单调递增，所以()f x 在[]22-,上单调递增，所以()()()101f f f -<<，即()()() 258011f f f -<<.故答案为：()()()258011f f f -<<39．（2011·辽宁铁岭·高一阶段练习（文））已知定义在R 上的函数()y f x =满足以下三个条件：①对于任意的R x ∈，都有()()4f x f x +=；②对于任意的12,R x x ∈，且1202x x ≤<≤，都有()()12;f x f x <③函数()2y f x =+的图象关于y 轴对称.则()()()4.5, 6.5,7a f b f c f ===从小到大的关系是_____【解析】因为对于任意的R x ∈，都有()()4f x f x +=，∴函数()y f x =的周期是4，∵任意的12,R x x ∈，且1202x x ≤<≤，都有()()12f x f x <，∴函数()y f x =在区间[0，2]上是增函数，∵函数()2y f x =+的图象关于y 轴对称，∴()()22f x f x -+=+，即函数()y f x =的对称轴为2x =，∴()()()()()()()()4.50.5, 6.5 2.5 1.5,731f f f f f f f f =====，又函数()y f x =在区间[0，2]上是增函数，∴()()()0.51 1.5f f f <<，()()()4.57 6.5f f f <<，即a c b <<.故答案为：a c b <<．40．（2022·全国·高一单元测试）定义在R 上的函数()y f x =满足以下三个条件：①对于任意的实数x ∈R ，都有()()220f x f x ++-=成立；②函数()1y f x =+的图象关于y 轴对称；③对任意的1x ，[]20,1x ∈，12x x ≠，都有()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +>+成立.则()2021f ，()2022f ，()2023f 的大小关系为（）A ．()()()202120232022f f f >>B ．()()()202120222023f f f >>C ．()()()202320222021f f f >>D ．()()()202220212023f f f >>【解析】由题意，因为函数()1y f x =+的图象关于y 轴对称，所以()()11f x f x +=-+，所以()()2f x f x =-，所以函数()f x 的图象关于1x =对称，又()()220f x f x ++-=，所以()()20f x f x ++=，即()()2f x f x +=-，因为()()()222f x f x f x ++=-+=⎡⎤⎣⎦，所以函数()f x 是周期为4的函数，所以()()20211f f =，()()()202220f f f ==，()()20231f f =-，因为()()2f x f x +=-，且()()2f x f x +=-，所以()()f x f x -=-，所以函数()f x 为奇函数，又因为对任意的1x ，[]20,1x ∈，12x x ≠，都有()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +>+成立，即()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦，所以函数()f x 在[]0,1上单调递增，所以函数()f x 在[]1,1-上单调递增，因为101>>-，所以()()()202120222023f f f >>，故选：B.41．【多选】（2022·福建·莆田一中高一期末）已知()y f x =是周期为4的奇函数，且当02x ≤≤时，(),012,12x x f x x x ≤≤⎧=⎨-<≤⎩，设()()(1)g x f x f x =++，则（）A ．(2022)1g =B ．函数()y g x =为周期函数C ．函数()y g x =在区间(6,7)上单调递减D ．函数()y g x =的图象既有对称轴又有对称中心【解析】因为()f x 周期为4，则()g x 的周期为4，又()f x 是奇函数，所以(2022)(50542)(2)(2)(3)(2)(1)(1)1g g g f f f f f =⨯+==+=+-=-=-，A 错误，B 正确；令21x -≤<-，即12x <-≤，则()2()f x x f x -=+=-，即()2f x x =--；令10x -≤<，即01x <-≤，则()()f x x f x -=-=-，即()f x x =；所以2,21(),112,12x x f x x x x x ---≤<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪-<≤⎩，根据周期性()y g x =在(6,7)上的图象与在(2,1)--相同，所以，当21x -≤<-，即110x -≤+<时，()()(1)211g x f x f x x x =++=--++=-，C 错误；由()f x 是周期为4的奇函数，则(2)()(2)f x f x f x +=-=-且(1)(1)f x f x -=-+，所以(1)(1)(2)(1)(2)()(1)()g x f x f x f x f x f x f x g x -=-+-=----=++=，故()g x 关于12x =对称，()(3)()(1)(3)(4)()(1)(1)()0g x g x f x f x f x f x f x f x f x f x +-=+++-+-=++-+-=，所以()g x 关于3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，D 正确.故选：BD。
高一数学三角函数的像与周期性
高一数学三角函数的像与周期性三角函数是数学中的重要概念，包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
它们在解决三角学问题、波动现象和周期性问题中有广泛的应用。
本文将重点讨论三角函数的像与周期性。
一、正弦函数的像与周期性正弦函数是最基本的三角函数之一，用y = sin(x)表示。
它的图像是一条连续的曲线，具有以下特点：1. 像的取值范围：正弦函数的像的取值范围是[-1, 1]，即它的值始终在-1和1之间。
2. 周期性：正弦函数是周期性函数，其周期为2π。
也就是说，当x增加2π时，y的值将重复。
图1展示了正弦函数的图像。
[图1：正弦函数图像]二、余弦函数的像与周期性余弦函数是另一个重要的三角函数，用y = cos(x)表示。
它与正弦函数非常相似，但有一些区别：1. 像的取值范围：余弦函数的像的取值范围也是[-1, 1]，与正弦函数相同。
2. 周期性：余弦函数也是周期性函数，其周期同样为2π。
图2展示了余弦函数的图像。
[图2：余弦函数图像]三、正切函数的像与周期性正切函数是另一个常见的三角函数，用y = tan(x)表示。
它的图像有着特殊的性质：1. 像的取值范围：正切函数的像的取值范围是全体实数。
2. 周期性：正切函数是周期性函数，其周期为π。
当x增加π时，y 的值将重复。
图3展示了正切函数的图像。
[图3：正切函数图像]综上所述，三角函数的像与周期性是数学中重要的概念。
正弦函数和余弦函数的像取值范围均为[-1, 1]，而正切函数的像取值范围是全体实数。
它们都是周期性函数，其中正弦函数和余弦函数的周期为2π，而正切函数的周期为π。
三角函数在解决各种实际问题中有着广泛的应用。
比如，可以用正弦函数模拟海浪的波动，用余弦函数描述天体运动的周期性，用正切函数分析电路中的变化等等。
了解三角函数的像与周期性对于理解这些现象和解决相关问题至关重要。
总之，高一数学中三角函数的像与周期性是一个重要的内容。
通过对正弦函数、余弦函数和正切函数的分析，我们可以理解它们在图像上的特点以及周期性的规律。
高一数学函数的周期性PPT课件
思考4：周期函数的周期是否惟一？正弦 函数的周期有哪些？
思考5：如果在周期函数f(x)的所有周期 中存在一个最小的正数, 则这个最小正 数叫做f(x)的最小正周期.那么, 正弦函 数的最小正周期是多少？为什么？
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思考6：就周期性而言，对正弦函数有 什么结论？对余弦函数呢？
正、余弦函数是周期函数，2kπ （k∈Z, k≠0）都是它的周期，最小 正周期是2π．
例1 求下列函数的周期： （1）y=3cosx; x∈R （2）y=sin2x，x∈R； （ （34） ）yy==|s2isninx(|x2 -x∈p6 )R.， x∈R ；
例2 已知定义在R上的函数f(x)满足
f(x＋2)＋f(x)=0，试判断f(x)是否为周
期函数？
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例3 已知定义在R上的函数f(x)满足 f(x＋1)=f(x－1)，且当x∈[0，2]时， f(x)=x－4，求f(10)的值.
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知识探究（二）：周期概念的拓展
思考1：函数f(x)=sinx（x≥0）是否为 周 期 函 数 ？ 函 数 f(x)=sinx （ x≤0 ） 是 否为周期函数？
思考2：函数f(x)=sinx（x>0）是否为 周期函数？函数f(x)=sinx（x≠3kπ） 是否为周期函数？
思考3：函数f(x)=sinx，x∈[0，10π]
的周期.
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4.函数 y = A sin(wx + j) 和 y = A cos(wx + j)
2p
(A ? 0, w 0)的最小正周期都是 w ，这 是正、余弦函数的周期公式，解题时可 以直接应用.
作业：P36练习：1，2，3.
14
12
小结作业
1.函数的周期性是函数的一个基本性质， 判断一个函数是否为周期函数，一般以 定义为依据，即存在非零常数T，使f(x ＋T)=f(x)恒成立.
高一数学142-1函数的周期性课件新人教版必修
周期函数的判定方法二
利用特殊值法判断一个函数是否为周期函数。具体来说，就是取定义域内的某些 特殊值，例如0、1、2等，看这些特殊值是否满足f(x+T)=f(x)。如果满足，则可 以初步判断该函数是周期函数。
选项A：$pi$ B：$2pi$ C：$frac{pi}{2}$ D： $frac{3pi}{2}$
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答案：B
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题目：函数$f(x) = cosfrac{1}{x}$的周期为( )
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选项A：$pi$ B：$2pi$ C：$frac{pi}{2}$ D： $frac{3pi}{2}$
高一数学142-1函数的 周期性课件新人教版必 修
CONTENTS
目录
• 函数的周期性定义 • 常见周期函数类型 • 周期函数的应用 • 周期函数的习题及解析
CHAPTER
01
函数的周期性定义
周期函数的定义
周期函数的定义
如果存在一个非零常数T，对于定义域内的每一个x，函数f(x)满足f(x+T)=f(x) ，那么就把函数f(x)叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
三角函数的周期计算
三角函数的周期可以通过公式 T=2π/ω来计算，其中ω是角频率。 对于正弦函数和余弦函数，ω=1， 因此它们的周期T=2π。
除了正弦函数和余弦函数，还有其他 形式的三角函数，如tan(x)、cot(x)等 。这些函数的周期也可以通过公式 T=π/ω来计算。
其他周期函数类型
01
高一数学函数的奇偶性与周期性
§2.3函数的奇偶性与周期性1．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数关于y轴对称奇函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数关于原点对称2.周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．概念方法微思考1．如果函数f(x)是奇函数或偶函数，则f(x)的定义域关于原点对称．2．已知函数f(x)满足下列条件，你能否得到函数f(x)的周期？(1)f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)．(2)f(x＋a)＝1f x(a≠0)．(3)f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)．提示(1)T＝2|a|；(2)T＝2|a|；(3)T＝|a－b|.3．若f(x)对于定义域中任意x，均有f(x)＝f(2a－x)，或f(a＋x)＝f(a－x)，则函数f(x)关于直线x＝a对称．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函数．(×)(2)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．(√)(3)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．(√)(4)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．(√)题组二教材改编2．下列函数中为奇函数的是________．(填序号)①f(x)＝2x4＋3x2；②f(x)＝x3－2x；③f(x)＝x 2＋1 x；④f(x)＝x3＋1.答案②③3．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x(1＋x)，则f(－1)＝________.答案－2解析f(1)＝1×2＝2，又f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－2.4.设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集为________．答案(－2,0)∪(2,5]解析由图象可知，当0<x<2时，f(x)>0；当2<x≤5时，f(x)<0，又f(x)是奇函数，∴当－2<x<0时，f(x)<0，当－5≤x<－2时，f(x)>0.综上，f(x)<0的解集为(－2,0)∪(2,5]．题组三易错自纠5．函数f(x)＝lg1－x2|x＋3|－3是________函数．(填“奇”“偶”“非奇非偶”)答案奇解析由1－x2>0，|x＋3|－3≠0，得－1<x<0或0<x<1，即f(x)的定义域为(－1,0)∪(0,1)，∴f(x)＝lg1－x 2x ，∴f(－x)＝lg1－x2－x＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．6．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x)，且当x∈0，32时，f(x)＝－x3，则f112＝________.答案18解析由f(x＋3)＝f(x)知函数f(x)的周期为3，又函数f(x)为奇函数，所以f 112＝f－12＝－f12＝123＝18.7．若函数f(x)＝xx＋2x－a为奇函数，则实数a的值为________，且当x≥4时，f(x)的最大值为________．答案213解析由f(x)为奇函数易知a＝2，当x≥4时，f(x)＝1x－4x在[4，＋∞)上单调递减，∴当x＝4时，f(x)max＝13.函数的奇偶性命题点1判断函数的奇偶性例1(2020·日照模拟)判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝x3＋x，x∈[－1,4]；(2)f(x)＝ln 2－x 2＋x；(3)f(x)＝1a x－1＋12(a>0，且a≠1)；(4)f(x)＝x2＋x，x<0，－x2＋x，x>0.解(1)∵f(x)＝x3＋x，x∈[－1,4]的定义域不关于原点对称，∴f(x)既不是奇函数也不是偶函数．(2)f(x)的定义域为(－2,2)，f(－x)＝ln 2＋x2－x＝－ln2－x2＋x＝－f(x)，∴函数f(x)为奇函数．(3)∵f(x)的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，其定义域关于原点对称，并且有f(－x)＝1a－x－1＋12＝11a x－1＋12＝a x1－a x ＋12＝－1－a x－11－a x＋12＝－1＋11－a x ＋12＝－1a x－1＋12＝－f(x)．即f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．(4)显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．∵当x<0时，－x>0，则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；当x>0时，－x<0，则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；综上可知，对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)，∴函数f(x)为奇函数．命题点2函数奇偶性的应用例2(1)(2018·全国Ⅲ)已知函数f(x)＝ln(1＋x2－x)＋1，f(a)＝4，则f(－a)＝________.答案－2解析∵f(x)＋f(－x)＝ln(1＋x2－x)＋1＋ln(1＋x2＋x)＋1＝ln(1＋x2－x2)＋2＝2，∴f(a)＋f(－a)＝2，∴f(－a)＝－2.(2)已知函数f(x)＝asin x＋b 3x＋4，若f(lg3)＝3，则flg13＝________.答案5解析由f(lg3)＝asin(lg3)＋b3lg3＋4＝3得asin(lg3)＋b3lg3＝－1，而f lg13＝f(－lg3)＝－asin(lg3)－b3lg3＋4＝－[asin(lg3)＋b3lg3]＋4＝1＋4＝5.命题点3函数的对称性例3已知函数f(x)的定义域为R，当x∈[－2,2]时，f(x)单调递减，且函数y＝f(x＋2)为偶函数，则下列结论正确的是()A．f(π)<f(3)<f(2)B．f(π)<f(2)<f(3)C．f(2)<f(3)<f(π）D．f(2)<f(π)<f(3)答案C解析∵y＝f(x＋2)为偶函数，∴f(－x＋2)＝f(x＋2)，∴f(3)＝f(1)，f(π）＝f(4－π）．∵0<4－π<1<2，当x∈[－2,2]时，f(x)单调递减，∴f(4－π)>f(1)>f(2)，∴f(2)<f(3)<f(π），故选 C.思维升华(1)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．(2)利用函数的奇偶性可画出函数在另一对称区间上的图象，确定函数在另一区间上的解析式，解决某些求值或参数问题．(3)由函数奇偶性延伸可得到一些对称性结论，如函数f(x＋a)为偶函数(奇函数)，则y＝f (x)的图象关于直线x＝a对称(关于点(a,0)对称)．跟踪训练1(1)(2019·黄冈模拟)下列函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是()A．f(x)＝x＋sin2x B．f(x)＝x2－cos xC．f(x)＝3x－13xD．f(x)＝x2＋tan x答案D解析对于选项A，函数的定义域为R，f(－x)＝－x＋sin2(－x)＝－(x＋sin2x)＝－f(x)，所以f(x)＝x＋sin2x为奇函数；对于选项B，函数的定义域为R，f(－x)＝(－x)2－cos(－x)＝x2－cos x＝f(x)，所以f(x)＝x2－cos x为偶函数；对于选项C，函数的定义域为R，f(－x)＝3－x－13－x ＝－3x－13x＝－f(x)，所以f(x)＝3x－13x为奇函数；只有f(x)＝x2＋tan x既不是奇函数也不是偶函数．故选 D.(2)设f(x)＝e x＋e－x，g(x)＝e x－e－x，f(x)，g(x)的定义域均为R，下列结论错误的是()A．|g(x)|是偶函数B．f(x)g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是偶函数D．f(x)＋g(x)是奇函数答案D解析f(－x)＝e－x＋e x＝f(x)，f(x)为偶函数．g(－x)＝e－x－e x＝－g(x)，g(x)为奇函数．|g(－x)|＝|－g(x)|＝|g(x)|，|g(x)|为偶函数，A正确；f(－x)g(－x)＝f(x)[－g(x)]＝－f(x)g(x)，所以f(x)g(x)为奇函数，B正确；f(－x)|g(－x)|＝f(x)|g(x)|，所以f(x)|g(x)|是偶函数，C正确；f(x)＋g(x)＝2e x，f(－x)＋g(－x)＝2e－x≠－[f(x)＋g(x)]，所以f(x)＋g(x)不是奇函数，D错误，故选 D.(3)设函数f(x)在[1，＋∞)上为增函数，f(3)＝0，且g(x)＝f(x＋1)为偶函数，则不等式g(2－2x)<0的解集为________．答案(0,2)解析由已知g(x)在[0，＋∞)上为增函数，g(2)＝0，又g(x)为偶函数，∴g(2－2x)<0可化为g(2－2x)<g(2)，∴|2－2x|<2，∴－2<2x－2<2，解得0<x<2.函数的周期性1．设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1,1)时，f(x)＝－4x2＋2，－1≤x<0，x，0≤x<1，则f 32＝______.答案1解析f 32＝f－12＝－4×－122＋2＝1.2．已知定义在R上的函数f(x)满足f(2)＝2－3，且对任意的x都有f(x＋2)＝1－f x，则f(2020)＝________.答案－2－3解析由f(x＋2)＝1－f x ，得f(x＋4)＝1－f x＋2＝f(x)，所以函数f(x)的周期为4，所以f(2020)＝f(4)．因为f(2＋2)＝1－f2，所以f(4)＝－1f2＝－12－3＝－2－ 3.故f(2020)＝－2－ 3.3．(2019·石家庄模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x)＝f(2－x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝4x－1，则f 52＝________.答案－1解析因为f(x)＝f(2－x)，所以f 52＝f－12，又f(x)是定义在R上的奇函数，所以f 52＝f－12＝－f12.因为当x∈[0,1]时，f(x)＝4x－1，所以f 12＝124－1＝1，则f52＝－1.4．设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件：①f(x)＋f(－x)＝0；②f(x)＝f(x＋2)；③当0≤x<1时，f(x)＝2x－1，则f 12＋f(1)＋f32＋f(2)＋f52＝________.答案2－1解析依题意知：函数f(x)为奇函数且周期为2，则f(1)＋f(－1)＝0，f(－1)＝f(1)，即f(1)＝0.∴f 12＋f(1)＋f32＋f(2)＋f52＝f 12＋0＋f－12＋f(0)＋f12＝f 12－f12＋f(0)＋f12＝f 12＋f(0)＝122－1＋20－1＝2－1.思维升华利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题．函数性质的综合应用命题点1函数的奇偶性与单调性相结合例4(2017·全国Ⅰ改编)函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是________．答案[1,3]解析因为函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且f(1)＝－1，所以f(－1)＝－f(1)＝1，由－1≤f(x－2)≤1，得－1≤x－2≤1，所以1≤x≤3.命题点2函数的奇偶性与周期性相结合例5设f(x)是定义在R上周期为4的奇函数，若在区间[－2,0)∪(0,2]上，f(x)＝ax＋b，－2≤x<0，ax－1，0<x≤2，则f(2019)＝________.答案12解析设0<x≤2，则－2≤－x<0，f(－x)＝－ax＋b.因为f(x)是定义在R上周期为4的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)＝－ax＋1＝－ax＋b，所以b＝1.而f(－2)＝f(2)，所以－2a＋1＝2a－1，解得a＝12，所以f(2019)＝f(－1)＝－1×12＋1＝12.命题点3函数的奇偶性与对称性相结合例6已知定义在R上的函数f(x)，对任意实数x有f(x＋4)＝－f(x)，若函数f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，f(－2)＝2，则f(2018)＝________.答案2解析由函数y＝f(x－1)的图象关于直线x＝1对称可知，函数f(x)的图象关于y轴对称，故f(x)为偶函数．由f(x＋4)＝－f(x)，得f(x＋4＋4)＝－f(x＋4)＝f(x)，所以f(x)是周期T＝8的偶函数，所以f(2018)＝f(2＋252×8)＝f(2)＝2.命题点4函数的周期性与对称性相结合例7已知f(x)的定义域为R，其函数图象关于x＝－1对称，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－4，－1]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________.答案216解析由f(x＋4)＝f(x－2)，得f(x＋6)＝f(x)．故f(x)是周期为6的函数．所以f(919)＝f(6×153＋1)＝f(1)．因为f(x)的图象关于x＝－1对称，所以f(1)＝f(－3)．又x∈[－4，－1]时，f(x)＝6－x，所以f(－3)＝6－(－3)＝216.从而f(1)＝216，故f(919)＝216.思维升华函数的奇偶性、对称性、周期性和单调性是函数的四大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性、对称性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．跟踪训练2(1)定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝f(－x)，且f(x)＝f(x＋6)，当x∈[0,3]时，f(x)单调递增，则f(x)在下列哪个区间上单调递减()A．[3,7]B．[4,5]C．[5,8]D．[6,10]答案B解析依题意知，f(x)是偶函数，且是以6为周期的周期函数．因为当x∈[0,3]时，f(x)单调递增，所以f(x)在[－3,0]上单调递减．根据函数周期性知，函数f(x)在[3,6]上单调递减．又因为[4,5]?[3,6]，所以函数f(x)在[4,5]上单调递减．(2)(2018·全国Ⅱ)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)等于()A．－50B．0C．2D．50答案C解析∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(1－x)＝－f(x－1)．∵f(1－x)＝f(1＋x)，∴－f(x－1)＝f(x＋1)，∴f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，∴函数f(x)是周期为4的周期函数．由f(x)为奇函数且定义域为R得f(0)＝0，又∵f(1－x)＝f(1＋x)，∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴f(2)＝f(0)＝0，∴f(－2)＝0.又f(1)＝2，∴f(－1)＝－2，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(2)＋f(－1)＋f(0)＝2＋0－2＋0＝0，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(49)＋f(50)＝0×12＋f(49)＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2.故选C.(3)(多选)已知函数y＝f(x)是R上的奇函数，对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(x)＋f(2)成立，当x1，x2∈[0,1]，且x1≠x2时，都有f x1－f x2x1－x2＞0，则下列结论正确的有()A．f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2020)＝0B．直线x＝－5是函数y＝f(x)图象的一条对称轴C．函数y＝f(x)在[－7,7]上有5个零点D．函数y＝f(x)在[－7，－5]上为减函数答案ABD解析根据题意，函数y＝f(x)是R上的奇函数，则f(0)＝0；对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(x)＋f(2)成立，当x＝2时，有f(0)＝2f(2)＝0，则有f(2)＝0，则有f(2－x)＝f(x)，即x＝1是函数f(x)的一条对称轴；又由f(x)为奇函数，则f(2－x)＝－f(－x)，变形可得f(x＋2)＝－f(x)，则有f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故函数f(x)是周期为4的周期函数，当x1，x2∈[0,1]，且x1≠x2时，都有f x1－f x2x1－x2＞0，则函数f(x)在区间[0,1]上为增函数，又由y＝f(x)是R上的奇函数，则f(x)在区间[－1,1]上为增函数；据此分析选项：对于A，f(x＋2)＝－f(x)，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝[f(1)＋f(3)]＋[f(2)＋f(4)]＝0，f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2020)＝505×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＝0，A正确；对于B，x＝1是函数f(x)的一条对称轴，且函数f(x)是周期为4的周期函数，则x＝5是函数f(x)的一条对称轴，又由函数为奇函数，则直线x＝－5是函数y＝f(x)图象的一条对称轴，B正确；对于C，函数y＝f(x)在[－7,7]上有7个零点：分别为－6，－4，－2,0,2,4,6，C错误；对于D，f(x)在区间[－1,1]上为增函数且其周期为4，函数y＝f(x)在[－5，－3]上为增函数，又由x＝－5为函数f(x)图象的一条对称轴，则函数y＝f(x)在[－7，－5]上为减函数，D正确．1．(2020·宁德模拟)下列函数中，既是偶函数，又在(0，＋∞)上单调递增的函数是() A．y＝x3B．y＝|x|＋1C．y＝－x2＋1D．y＝2－|x|答案B解析y＝|x|＋1是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，符合题意．2．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是()①y＝f(|x|)；②y＝f(－x)；③y＝xf(x)；④y＝f(x)＋x.A．①③B．②③C．①④D．②④答案D解析由奇函数的定义f(－x)＝－f(x)验证，①f(|－x|)＝f(|x|)，为偶函数；②f[－(－x)]＝f(x)＝－f(－x)，为奇函数；③－xf(－x)＝－x·[－f(x)]＝xf(x)，为偶函数；④f(－x)＋(－x)＝－[f(x)＋x]，为奇函数．可知②④正确，故选 D.3．已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0<x<1时，f(x)＝4x，则f －52＋f(1)等于()A．－2B．0C．2D．1答案A解析∵函数f(x)为定义在R上的奇函数，且周期为2，∴f(1)＝－f(－1)＝－f(－1＋2)＝－f(1)，∴f(1)＝0，f －52＝f－12＝－f12＝12-4＝－2，∴f －52＋f(1)＝－2.4．已知f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)＝x(1＋x)，那么当x<0时，f(x)等于()A．－x(1－x)B．x(1－x)C．－x(1＋x)D．x(1＋x)答案B解析当x<0时，则－x>0，∴f(－x)＝(－x)(1－x)，又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝x(1－x)．5．(2019·山东临沂一中月考)已知定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，f(3－x)＝f(x)，则f(2019)等于()A．－3B．0C．1D．3答案B解析用－x替代x，得到f(x＋3)＝f(－x)＝－f(x)，∴T＝6，∴f(2019)＝f(336×6＋3)＝f(3)．∵f (3－x)＝f (x)，∴f (3)＝f (0)＝0.6．已知定义域为R 的偶函数f (x)在(－∞，0]上是减函数，且f (1)＝2，则不等式f (log 2x)>2的解集为()A ．(2，＋∞)B.0，12∪(2，＋∞)C.0，22∪(2，＋∞)D ．(2，＋∞)答案B解析因为f (x)是R 上的偶函数，且在(－∞，0]上是减函数，所以f (x)在[0，＋∞)上是增函数，所以f (log 2x)>2＝f (1)?f (|log 2x|)>f (1)?|log 2x|>1?log 2x>1或log 2x<－1?x>2或0<x<12.7．(多选)已知f (x)是定义域为R 的奇函数，且函数f (x ＋2)为偶函数，则下列结论正确的是()A ．函数y ＝f (x)的图象关于直线x ＝1对称B ．f (4)＝0C ．f (x ＋8)＝f (x)D ．若f (－5)＝－1，则f (2019)＝－1答案BCD解析根据题意，f (x)是定义域为R 的奇函数，则f (－x)＝－f (x)，又由函数f (x ＋2)为偶函数，则函数f (x)的图象关于直线x ＝2对称，则有f (－x)＝f (4＋x)，则有f (x ＋4)＝－f (x)，即f (x ＋8)＝－f (x ＋4)＝f (x)，则函数f (x)是周期为8的周期函数；据此分析选项：对于A ，函数f (x)的图象关于直线x ＝2对称，A 错误；对于B ，f (x)是定义域为R 的奇函数，则f (0)＝0，又由函数f (x)的图象关于直线x ＝2对称，则f (4)＝0，B 正确；对于C ，函数f (x)是周期为8的周期函数，即f (x ＋8)＝f (x)，C 正确；对于D ，若f (－5)＝－1，则f (2019)＝f (－5＋2024)＝f (－5)＝－1，D 正确．8．(多选)已知函数f (x)对?x ∈R ，都有f (－2－x)＝f (x)，且任取x 1，x 2∈[－1，＋∞)，f x 2－f x 1x 2－x 1＜0(x 1≠x 2)，以下结论中正确的是()A．f(0)＞f(－3)B．?x∈R，f(x)≤f(－1)C．f(a2－a＋1)≥f 3 4D．若f(m)＜f(2)，则－4＜m＜2答案AB解析根据题意，函数f(x)对?x∈R，都有f(－2－x)＝f(x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝－1对称，又由任取x1，x2∈[－1，＋∞)，f x2－f x1x2－x1＜0(x1≠x2)，则f(x)在区间[－1，＋∞)上为减函数，则f(x)在(－∞，－1]上为增函数；据此分析选项：对于A，f(－3)＝f(1)，则有f(0)＞f(1)＝f(－3)，A正确；对于B，f(x)在区间[－1，＋∞)上为减函数，在(－∞，－1]上为增函数，故f(x)在x＝－1时，取得最大值，即有?x∈R，f(x)≤f(－1)，B正确；对于C，f(x)在区间[－1，＋∞)上为减函数，又由a2－a＋1＝a－122＋34≥34，则f(a2－a＋1)≤f 34，C错误；对于D，若f(m)＜f(2)，则有|m＋1|＞3，解得m＜－4或m＞2，D错误．9．已知y＝f(x)＋x2是奇函数，且f(1)＝1，若g(x)＝f(x)＋2，则g(－1)＝________.答案－1解析令H(x)＝f(x)＋x2，则H(1)＋H(－1)＝f(－1)＋1＋f(1)＋1＝0，∴f(－1)＝－3，∴g(－1)＝f(－1)＋2＝－1.10．(2019·广东六校联考)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝f(x－1)，且f(x)＝x＋a，－1≤x<0，|2－x|，0≤x<1，其中a∈R，若f(－5)＝f(4.5)，则a＝________.答案 2.5解析由f(x＋1)＝f(x－1)，得f(x＋2)＝f[(x＋1)＋1]＝f[(x＋1)－1]＝f(x)，所以f(x)是周期为2的周期函数．又f(－5)＝f(4.5)，所以f(－1)＝f(0.5)，即－1＋a＝1.5，解得a＝2.5.11．已知函数f(x)＝－x2＋2x，x>0，0，x＝0，x2＋mx，x<0是奇函数．(1)求实数m的值；(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．解(1)设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，结合f(x)的图象(如图所示)知a－2>－1，a－2≤1，所以1<a≤3，故实数a的取值范围是(1,3]．12．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式．(1)证明∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴f(x)是周期为4的周期函数．(2)解∵x∈[2,4]，∴－x∈[－4，－2]，∴4－x∈[0,2]，∴f(4－x)＝2(4－x)－(4－x)2＝－x2＋6x－8.∵f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝－x2＋6x－8，即当x∈[2,4]时，f(x)＝x2－6x＋8.13．若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)>0，f(x＋2)＝1f x对任意x∈R恒成立，则f(2023)＝________.答案1解析因为f(x)>0，f(x＋2)＝1f x，所以f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝1f x＋2＝11f x＝f(x)，即函数f(x)的周期是4，所以f(2023)＝f(506×4－1)＝f(－1)．因为函数f(x)为偶函数，所以f(2023)＝f(－1)＝f(1)．当x＝－1时，f(－1＋2)＝1f－1，得f(1)＝1f1.由f(x)>0，得f(1)＝1，所以f(2023)＝f(1)＝1.14．(2020·湖北鄂州三校联考)若函数f(x－2)为奇函数，f(－2)＝0，且f(x)在区间[－2，＋∞)上单调递减，则不等式f(3－x)>0的解集为________．答案(5，＋∞)解析因为函数f(x－2)为奇函数，所以f(x－2)图象的对称中心为点(0,0)．因为f(x)的图象可由f(x－2)的图象向左平移两个单位长度而得，所以f(x)的图象关于点(－2,0)对称．因为f(x)在[－2，＋∞)上单调递减，所以f(x)在(－∞，－2]上也单调递减．因为f(3－x)>0＝f(－2)，所以3－x<－2，解得x>5.15．(2019·河北保定两校联考)对于函数y＝f(x)，若存在x0，使f(x0)＋f(－x0)＝0，则称点(x0，f(x0))是曲线f(x)的“优美点”．已知f(x)＝x2＋2x，x<0，kx＋2，x≥0，若曲线f(x)存在“优美点”，则实数k的取值范围为________．答案(－∞，2－22]解析由“优美点”的定义，可知若点(x0，f(x0))是曲线y＝f(x)的“优美点”，则点(－x0，－f(x0))也在曲线y＝f(x)上．如图所示作出函数y＝x2＋2x(x<0)的图象，然后作出其关于原点对称的图象，此图象对应的函数解析式为y＝－x2＋2x(x>0)．设过定点(0,2)的直线y＝k1x＋2与曲线y＝f(x)＝－x2＋2x(x>0)切于点A(x1，f(x1))，则k1＝－2x1＋2＝－x21＋2x1－2x1－0，解得x1＝2或x1＝－2(舍去)，所以k1＝－22＋2.由图可知，若曲线y＝f(x)存在“优美点”，则k≤2－2 2.16．若f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，且当x∈[0,1)时f(x)为增函数，求不等式f(x)＋f x－12<0的解集．解∵f(x)为奇函数，且在[0,1)上为增函数，∴f(x)在(－1,0)上也是增函数．∴f(x)在(－1,1)上为增函数．f(x)＋f x－12<0?f(x)<－fx－12＝f12－x?－1<x<1，－1<12－x<1，x<12－x?－12<x<14.∴不等式f(x)＋f x－12<0的解集为x|－12<x<14.。
高一数学周期函数的图像与性质
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汇报人：WPS
周期函数的定 义
周期函数的图 像
周期函数的性 质
周期函数的应 用
周期函数的扩 展知识
周期函数的定义
周期函数的定义
周期函数：在 一定区间内， 函数值按照一 定的周期重复
出现的函数
周期函数的性质
最小正周期
定义：周期函 数的最小正周 期是指函数图 像重复出现的 最小时间间隔
性质：周期函 数的最小正周 期是函数图像 重复出现的最
小时间间隔
计算方法：最 小正周期可以 通过函数表达 式中的系数和 常数项来确定
应用：最小正 周期在解决实 际问题中具有 重要意义，如 周期性运动、 周期性变化等
三角函数与矩阵的关系
三角函数与矩阵的关系：三角函数 可以通过矩阵来表示
矩阵性质：矩阵具有一些特殊的性 质，如对称性、正交性等
添加标题
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矩阵表示：三角函数可以通过矩阵 乘法来实现
矩阵运算：三角函数可以通过矩阵 运算来实现，如加法、乘法、求逆 等
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周期函数的图像
正弦函数和余弦函数的图像
正弦函数：图像是一条正弦曲 线，周期为2π
余弦函数：图像是一条余弦曲 线，周期为2π
正弦函数和余弦函数的图像都 是周期函数，具有周期性
正弦函数和余弦函数的图像都 可以通过旋转得到其他周期函 数的图像
三角函数图像的变换
平移变换：改变函数图像的位 置
伸缩变换：改变函数图像的大 小
信号压缩：通过傅里叶变换进行信号压缩， 减少数据量
高一必修二数学周期函数知识点
高一必修二数学周期函数知识点一、引言周期函数是数学中的一个重要概念，它在数学和实际生活中都有广泛的应用。
本文将介绍高一必修二数学课程中的周期函数知识点，包括周期函数的定义、性质及常见的周期函数类型。
二、周期函数的定义与性质周期函数是指函数在某一段长度的自变量上有某种规律地重复出现的函数。
周期函数的周期是指最小正周期，即在一个完整周期内，函数值重复出现且函数值随自变量变化的规律相同。
周期函数具有以下性质：1. 周期函数的函数值在一个完整周期内重复出现；2. 周期函数的图像以某一点对称；3. 周期函数的奇偶性：如果一个周期函数满足 f(x+T)=f(x)，其中 T表示周期，那么函数是偶函数；如果一个周期函数满足 f(x+T)=-f(x)，那么函数是奇函数。
三、正弦函数与余弦函数正弦函数和余弦函数是最常见的周期函数类型。
在高一必修二的数学课程中，我们学习到了正弦函数和余弦函数的基本性质和图像特点。
1. 正弦函数正弦函数的基本形式为 y = A sin(Bx + C) + D，其中 A、B、C、D都是常数。
其中 A 表示振幅，B 表示频率，C 表示相位差，D 表示纵向平移。
正弦函数的图像呈现出波形，振幅决定了波浪的高度，频率决定了波浪的密度和间距，相位差和纵向平移决定了波浪在坐标系中的位置。
2. 余弦函数余弦函数的基本形式为 y = A cos(Bx + C) + D，其中 A、B、C、D都是常数。
余弦函数和正弦函数非常相似，只是在相位差上有所差异。
余弦函数的图像也呈现出波形，与正弦函数相比，余弦函数的波峰和波谷的位置与振幅决定的相位差有关。
四、切线方程与图像变换在周期函数中，切线方程和图像变换是我们经常需要处理的问题。
下面我们详细讨论一下这两个问题。
1. 切线方程在周期函数图像中，切线方程是确定切线斜率的关键。
对于任意一点 P(x,y)，切线的斜率等于函数在该点的导数值。
在函数 y = A sin(Bx + C) + D 中，求得的导数为 f'(x) = AB cos(Bx + C)，因此切线的斜率为 AB cos(Bx + C)。
高一数学周期函数知识点归纳
高一数学周期函数知识点归纳高一学年是数学学科中一个重要的节点，学生们开始接触到更加具体和深入的数学知识。
其中，周期函数是高中数学中的一个重要内容，也是学生们在数学学科中的一个重要门槛。
本文将围绕着高一数学中周期函数的知识点进行归纳和总结。
一、周期函数的定义和特点周期函数是指在一定的时间内，函数值呈现出一定的规律性重复变化的函数。
其中，最基本的周期函数是正弦函数和余弦函数。
它们的最小正周期都是2π，即在一个周期内，函数的值会重复。
周期函数有以下几个特点：1. 函数值在一个正周期内重复；2. 函数值在一个正周期内的增减变化规律相同；3. 函数值在不同的周期上的增减变化规律不同；4. 函数值在不同的周期上的取值范围可能不同。
二、周期函数图像的性质周期函数的图像具有一定的对称性，这是由函数的周期性决定的。
周期函数的图像有以下几个特点：1. 函数在每一个正周期内都有对称轴；2. 函数在每一个正周期内的增减变化过程都是对称的；3. 函数在不同的周期上的图像可能有水平平移、垂直平移和挤压等变化。
三、周期函数的性质和运算周期函数有一些特殊的性质和运算规律。
任务是关注其中的一些重要内容：1. 周期函数的零点：周期函数的零点是指函数值等于零的点。
对于正弦函数和余弦函数，它们的零点在每个周期的中间，分别为x=kπ和x=(k+0.5)π，其中k为整数。
2. 周期函数的最值：周期函数的最值指函数值的最大值和最小值。
对于正弦函数和余弦函数，它们的最大值和最小值分别为1和-1。
3. 周期函数的复合函数：周期函数的复合函数是指将周期函数放到另一个函数中进行求解。
通过合理的复合，可以使得周期函数的图像发生各种变化，如垂直平移、水平平移、挤压等，从而得到更加复杂的图像。
4. 周期函数的运算性质：周期函数也可以进行通常的四则运算和复合运算。
特别是正弦函数和余弦函数，在一些特定的运算过程中具有一定的性质，如：正弦函数的和函数还是正弦函数，除了函数值的增大和减小方向发生变化。
高一数学函数重点知识点归纳总结三篇
高一数学函数重点知识点归纳总结三篇高一新生对数学的函数知识是相当头疼的，函数知识面广，思维灵活，题型更是千奇百怪，要想学好函数，就需要一份准确的函数知识点归纳。
高一函数知识点归纳总结1函数的性质：函数的单调性、奇偶性、周期性单调性：定义：注意定义是相对与某个具体的区间而言。
判定方法有：定义法(作差比较和作商比较)导数法(适用于多项式函数)复合函数法和图像法。
应用：比较大小，证明不等式，解不等式。
奇偶性：定义：注意区间是否关于原点对称，比较f(x) 与f(-x)的关系。
f(x) -f(-x)=0 f(x) =f(-x) f(x)为偶函数;f(x)+f(-x)=0 f(x) =-f(-x) f(x)为奇函数。
判别方法：定义法，图像法，复合函数法应用：把函数值进行转化求解。
周期性：定义：若函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(x+T)=f(x),则T为函数f(x)的周期。
其他：若函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(x+a)=f(x-a),则2a为函数f(x)的周期.应用：求函数值和某个区间上的函数解析式。
高一函数归纳总结2一：函数及其表示知识点详解文档包含函数的概念、映射、函数关系的判断原则、函数区间、函数的三要素、函数的定义域、求具体或抽象数值的函数值、求函数值域、函数的表示方法等1. 函数与映射的区别：\2. 求函数定义域常见的用解析式表示的函数f(x)的定义域可以归纳如下：①当f(x)为整式时，函数的定义域为R.②当f(x)为分式时，函数的定义域为使分式分母不为零的实数集合。
③当f(x)为偶次根式时，函数的定义域是使被开方数不小于0的实数集合。
④当f(x)为对数式时，函数的定义域是使真数为正、底数为正且不为1的实数集合。
⑤如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合，即求各部分有意义的实数集合的交集。
⑥复合函数的定义域是复合的各基本的函数定义域的交集。
高一数学必修四课件第章三角函数的周期性
研究三角函数周期性的意义
理解周期性现象
三角函数是描述周期性现象的重要数 学模型，研究其周期性有助于深入理 解这类现象的本质。
简化计算过程
拓展数学知识体系
三角函数周期性是数学分析、复变函 数等后续课程的基础内容之一，掌握 好这部分内容有助于后续课程的学习 。
利用三角函数的周期性，可以将复杂 的问题转化为简单的问题进行处理， 从而简化计算过程。
高一数学必修四课件第章三 角函数的周期性
汇报人：XX 2024-01-20
contents
目录
• 三角函数周期性概述 • 正弦函数与余弦函数的周期性 • 正切函数与余切函数的周期性 • 三角函数周期性的应用 • 三角函数周期性的拓展与延伸
01 三角函数周期性 概述
周期函数定义
周期函数的定义
对于函数$y = f(x)$，如果存在一个正数$T$，使得对于任意$x$都有$f(x + T) = f(x)$，则称$y = f(x)$为周期函数，$T$为它的周期。
相位差
正切函数和余切函数的图像之间存在相位差，即cot(x) = tan(π/2 - x)。这表明在相同的周期内，正切函数和余切 函数的图像可以通过平移相互转换。
周期性应用
由于正切函数和余切函数具有周期性，因此在实际应用中 可以利用这一性质解决一些与周期性相关的问题，如波动 、振动等。
04 三角函数周期性 的应用
期性的关系。
利用三角函数周期性建立振动和 波动问题的数学模型，进行定量
计算。
在信号处理中的应用
将信号分解为不同频 率的正弦波或余弦波 ，实现信号的频谱分 析。
通过三角函数周期性 对信号进行滤波、降 噪等处理，提高信号 质量。
高一数学必修一函数专题：周期性
高一数学必修一函数专题：周期性【知识点一】：周期函数与周期（Ⅰ）周期函数的定义：函数的图像由一段图像重复出现组成，该函数为周期函数。
（Ⅱ）周期的定义：这一段重复图像在x 轴上的长度为周期。
（Ⅲ）最小正周期的定义：这一段重复图像内部无重复，在x 轴上的长度为最小正周期。
例题：根据下列图像判断函数的周期和最小正周期。
第一题第二题解答：第一题：周期：k T ⋅=2π，Z k ∈；最小正周期：2π=T 。
第二题：周期：k T ⋅=2，Z k ∈；最小正周期：2=T 。
【知识点二】：周期定义式（Ⅰ）定义式描述：周期函数的自变量x 加上或者减去一个周期或者周期的倍数，函数值不变。
（Ⅱ）定义式：)()(T k x f x f ⋅+=，Z k ∈。
例题一：已知：函数)(x f 的周期为2，当)1,1(-∈x 时：1)(-+=x e x f x。
计算：)12(f 的值。
解答：函数)(x f 的最小正周期为2)0()620()12(f f f =⨯+=⇒，0)12(01110)0(0=⇒=-=-+=f e f 。
例题二：已知：周期为2的函数)(x f 在R x ∈上是奇函数，当)1,0(∈x 时：12log )(2-+=x x x f 。
计算：)211(f 的值。
解答：函数)(x f 的周期为2)21()2321()211(-=⨯+-=⇒f f f 。
函数)(x f 在R x ∈上是奇函数)21()21(f f -=-⇒，1111121221log )21(2-=-+-=-⨯+=f 1)21()211(1)1()21()21(=-=⇒=--=-=-⇒f f f f 。
例题三：已知：周期为3的函数)(x f 在R x ∈上是偶函数，当)0,1[-∈x 时：22)(x x f x-=。
计算：)13(f 的值。
解答：函数)(x f 的周期为3)1()341()13(f f f =⨯+=⇒。
函数)(x f 在R x ∈上是偶函数)1()1(-=⇒f f ，21)1(21121)1(2)1(21-=⇒-=-=--=--f f ， 21)1()13(-==⇒f f 。
高一数学求函数周期知识点
高一数学求函数周期知识点在高中数学学科中，函数是一个至关重要的概念。
它在数学和实际应用中广泛应用，帮助人们理解和描述不同现象和过程中的规律。
在函数的研究过程中，周期是一个十分重要的特征，它帮助我们理解和描述函数图像的重复性质。
本文将介绍在高一数学中，如何求解函数周期的知识点。
1. 什么是函数周期函数周期是指函数在指定的自变量范围内，其函数值以一定的规律重复出现的现象。
换句话说，周期可以理解为函数图像上的一段重复区间。
对于周期函数来说，周期是一个重要的特征，它决定了函数图像的重复性。
2. 增量法求周期一种常用的方法来求函数周期是增量法。
我们可以通过观察函数图像的变化来确定周期。
具体步骤如下：a) 观察函数图像，找到一个完整的周期区间，通常是一个波峰或波谷的上下两个交点。
b) 计算两个相邻周期点的横坐标的差值，即自变量的增量。
c) 重复上述步骤，找到至少三个相邻周期点的增量，然后取平均值，得到函数的周期。
3. 列方程法求周期另一种常用的方法是列方程法。
这种方法适用于某些特定类型的函数，例如三角函数。
具体步骤如下：a) 观察函数图像，确定一个完整的周期，标记为T。
b) 列出函数的方程。
c) 根据函数的性质，将自变量逐渐增加一个周期T，观察函数值的变化。
d) 找到函数值不变的条件，即当自变量增加T时，函数值保持不变。
e) 根据上述条件列方程，解方程可以求得函数的周期T。
4. 典型函数周期的求解在高一数学中，有一些典型的函数周期需要进行求解。
下面我们以三角函数为例，介绍如何求解其周期。
a) 正弦函数：正弦函数的一个周期是2π，可以通过观察函数图像得到。
例如，sin(x)在区间[0, 2π]上的函数图像以2π为一个完整的周期。
b) 余弦函数：余弦函数的一个周期也是2π，和正弦函数类似，可以通过观察函数图像来确定。
c) 正切函数：正切函数的一个周期是π，可以通过观察函数图像来确定。
例如，tan(x)在区间[0, π]上的函数图像以π为一个完整的周期。
高一数学函数知识点归纳
高一数学函数知识点归纳一、函数的概念1. 函数定义：函数是从一个数集A（定义域）到另一个数集B（值域）的映射，通常表示为y=f(x)。
2. 定义域：能够输入到函数中的所有可能的x值的集合。
3. 值域：函数输出的所有可能的y值的集合。
4. 函数图像：函数在坐标系中的图形表示。
二、函数的表示法1. 公式法：用数学公式表示函数关系，如y=2x+3。
2. 表格法：用表格列出x与y的对应值。
3. 图像法：通过函数图像直观表示函数关系。
三、函数的性质1. 单调性：函数在定义域内随着x的增加，y值单调递增或递减。
2. 奇偶性：函数f(x)如果满足f(-x)=-f(x)称为奇函数；如果满足f(-x)=f(x)称为偶函数。
3. 周期性：函数如果存在一个非零常数T，使得对于所有x，都有f(x+T)=f(x)，则称函数具有周期性。
4. 有界性：函数的值域在某个区间内有限，称函数在该区间内有界。
四、基本初等函数1. 线性函数：y=kx+b（k≠0），其中k为斜率，b为截距。
2. 二次函数：y=ax^2+bx+c（a≠0），顶点形式为y=a(x-h)^2+k。
3. 幂函数：y=x^n，其中n为实数。
4. 指数函数：y=a^x（a>0，a≠1）。
5. 对数函数：y=log_a(x)（a>0，a≠1）。
6. 三角函数：正弦函数y=sin(x)，余弦函数y=cos(x)，正切函数y=tan(x)等。
五、函数的运算1. 函数的和差：(f±g)(x)=f(x)±g(x)。
2. 函数的乘积：(f*g)(x)=f(x)g(x)。
3. 函数的商：(f/g)(x)=f(x)/g(x)（g(x)≠0）。
六、复合函数1. 复合函数定义：如果有两个函数f(x)和g(x)，那么(f∘g)(x)=f(g(x))。
2. 复合函数的运算法则：(f∘g)(x)=f(g(x))，其中g(x)≠0。
七、反函数1. 反函数定义：如果函数y=f(x)在区间I上是单调的，则存在一个函数x=f^(-1)(y)，使得f(f^(-1)(y))=y。
高一数学函数周期性知识点
高一数学函数周期性知识点函数是数学中的重要概念，而函数的周期性是数学函数中一个重要的性质。
下面将介绍高一数学中与函数周期性相关的知识点。
一、周期函数的定义和性质周期函数是指满足f(x + T) = f(x)的函数，其中T为正实数，称为函数的周期。
例如，正弦函数和余弦函数都是周期为2π的函数。
周期函数的性质有以下几个方面：1. 周期函数的值在一个周期内是重复的，即f(x) = f(x ± nT)，其中n为整数。
2. 周期为T的函数，在一个周期内有无穷多个周期点，即f(x)= f(x + nT)。
3. 函数的图像在一个周期内是对称的，即f(x) = f(2a - x)，其中a为周期中心。
二、正弦函数和余弦函数的周期性正弦函数和余弦函数是高中数学中常见的周期函数。
1. 正弦函数的周期性：正弦函数y = sin x的周期是2π，即sin(x + 2π) = sin x。
正弦函数的图像在一个周期内以原点为对称中心。
2. 余弦函数的周期性：余弦函数y = cos x的周期是2π，即cos(x + 2π) = cos x。
余弦函数的图像在一个周期内以y轴的中点为对称中心。
三、常见函数的周期性除了正弦函数和余弦函数，还有其他一些常见函数具有周期性。
1. 周期为T的正弦函数的性质：y = A*sin(Bx + C) + D是一个周期为T = |2π/B|的函数。
其中，A为振幅，B为频率，C为初相位，D为纵坐标平移量。
2. 周期为T的余弦函数的性质：y = A*cos(Bx + C) + D是一个周期为T = |2π/B|的函数。
其中，A为振幅，B为频率，C为初相位，D为纵坐标平移量。
3. 其他函数的周期性：除了三角函数，指数函数、对数函数等也可以具有周期性，其周期的计算方法与三角函数类似。
四、函数周期性的应用函数周期性的应用广泛，尤其在信号处理、物理学、工程等领域。
1. 信号处理：在通信系统中，许多信号都具有周期性，利用函数周期性的性质可以对信号进行分析和处理。
函数的周期性与对称性-高一数学上学期(人教A版2019必修第一册)(解析版)
函数专题：函数的周期性与对称性一、周期函数的定义1、周期函数：对于函数()=y f x ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有()()+=f x T f x ，那么就称函数()f x 为周期函数，称T 为这个函数的周期．2、最小正周期：如果在周期函数()f x 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做()f x 的最小正周期．3、函数的周期性的常用结论（a 是不为0的常数） （1）若()()+=f x a f x ，则=T a ； （2）若()()+=-f x a f x a ，则2=T a ； （3）若()()+=-f x a f x ，则2=T a ； （4）若()()1+=f x a f x ，则2=T a ； （5）若()()1+=-f x a f x ，则2=T a ； （6）若()()+=+f x a f x b ，则=-T a b （≠a b ）； 二、函数的对称性 1、函数对称性的常用结论（1）若()()+=-f a x f a x ，则函数图象关于=x a 对称； （2）若()()2=-f x f a x ，则函数图象关于=x a 对称； （3）若()()+=-f a x f b x ，则函数图象关于2+=a bx 对称； （4）若()()22-=-f a x b f x ，则函数图象关于(),a b 对称； 2、函数的奇偶性与函数的对称性的关系（1）若函数()f x 满足()()+=-f a x f a x ，则其函数图象关于直线=x a 对称，当0=a 时可以得出()()=-f x f x ，函数为偶函数，即偶函数为特殊的线对称函数； （2）若函数()f x 满足()()22-=-f a x b f x ，则其函数图象关于点(),a b 对称，当0=a ，0=b 时可以得出()()-=-f x f x ，函数为奇函数，即奇函数为特殊的点对称函数；三、函数对称性与周期性的关系1、若函数()f x 关于直线=x a 与直线=x b 对称，那么函数的周期是2-b a ；2、若函数()f x 关于点(),0a 对称，又关于点(),0b 对称，那么函数的周期是2-b a ；3、若函数()f x 关于直线=x a ，又关于点(),0b 对称，那么函数的周期是4-b a . 四、函数的奇偶性、周期性、对称性的关系1、①函数()f x 是偶函数；②函数图象关于直线=x a 对称；③函数的周期为2a .2、①函数()f x 是奇函数；②函数图象关于点(),0a 对称；③函数的周期为2a .3、①函数()f x 是奇函数；②函数图象关于直线=x a 对称；③函数的周期为4a .4、①函数()f x 是偶函数；②函数图象关于点(),0a 对称；③函数的周期为4a . 其中0≠a ，上面每组三个结论中的任意两个能够推出第三个。
高一周期函数知识点
高一周期函数知识点周期函数是数学中的一种特殊函数类型，它具有一定的周期性质。
在高中数学课程中，周期函数是重要的知识点之一。
本文将介绍高一周期函数的相关知识，包括定义、图像、性质及应用等内容。
1. 基本概念周期函数是指函数在某个区间上的函数值具有重复的规律性，这个区间被称为函数的周期。
常见的周期函数有正弦函数和余弦函数，它们是三角函数的特殊形式。
2. 周期函数的图像周期函数的图像通常以正弦函数和余弦函数为例进行展示。
正弦函数的图像为一条波浪线，而余弦函数的图像则为一条与正弦函数相位差π/2的波浪线。
这两种函数的图像都具有周期性重复的特点，可以通过函数图像来观察其周期和振幅等性质。
3. 周期函数的性质周期函数具有以下几个重要的性质：（1）周期性：周期函数在周期内的函数值具有重复的规律性；（2）奇偶性：正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数；（3）对称性：正弦函数关于原点对称，余弦函数关于y轴对称；（4）振幅：周期函数的振幅是函数图像在垂直方向上的最大偏移量。
4. 周期函数的应用周期函数在各个领域都有广泛的应用。
在物理学中，周期函数可以描述波动、振动等现象；在工程学中，周期函数可以用来表示电信号、声波等；在经济学中，周期函数可以用来描述经济波动等。
周期函数的应用范围非常广泛，对于理解各种周期性现象具有重要的作用。
5. 周期函数的性质证明周期函数的性质在数学中是可以通过严格的证明来得到的。
例如，可以通过级数展开和数学归纳法来证明正弦函数和余弦函数是周期函数；可以通过函数的图像进行观察和分析来验证函数的对称性和振幅等性质。
总结：高一周期函数是数学中的重要知识点，它是一种具有周期性重复规律的函数。
通过研究周期函数的定义、图像、性质和应用等内容，我们可以更好地理解和应用周期函数。
在解决实际问题中，我们可以利用周期函数来描述和分析各种周期性现象，为工程、物理、经济等领域提供了有力的工具。
以上是关于高一周期函数知识点的简要介绍，希望能对你的学习有所帮助。
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晴圆缺.这种现象在数学上称为周期性，
在函数领域里，周期性是函数的一个重
要性质.
知识探究（一）：周期函数的概念 思考1：由正弦函数的图象可知, 正弦曲 线每相隔2π个单位重复出现， 这一规 律的理论依据是什么？
2.周期函数的周期与函数的定义域有关， 周期函数不一定存在最小正周期.
3.周期函数的周期有许多个，若T为周期 函数f(x)的周期，则T的整数倍也是f(x) 的周期.
4.函数 y = A sin(wx + j ) 和 y = A cos(wx + j )
2p
(A ? 0, w 0)的最小正周期都是 w ，这 是正、余弦函数的周期公式，解题时可 以直接应用.
思考6：就周期性而言，对正弦函数有 什么结论？对余弦函数呢？
正、余弦函数是周期函数，2kπ （k∈Z, k≠0）都是它的周期，最小 正周期是2π．
知识探究（二）：周期概念的拓展
思考1：函数f(x)=sinx（x≥0）是否为 周 期 函 数 ？ 函 数 f(x)=sinx （ x≤0 ） 是 否为周期函数？
. sin(x 2k ) sin x (k Z )
思考2：设f(x)=sinx，则sin(x 2k ) sin x 可以怎样表示？其数学意义如何？
思考3：为了突出函数的这个特性，我们 把函数f(x)=sinx称为周期函数，2kπ为 这个函数的周期.一般地，如何定义周期 函数？
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 第一课时
问题提出
1.正弦函数和余弦函数的图象分别是什
么？二者-4π -2π -5π -3π
-π
O
π
3π 5π x
2π
4π
6π
-1
y y=cosx
2
2
1 22
2
2
x
2
(A ? 0, w 0) 的最小正周期是多少?
思考6：如果函数y=f(x)的周期是T，那 么函数y=f(ωx＋φ)的周期是多少？
理论迁移
例1 求下列函数的周期： （1）y=3cosx; x∈R （2）y=sin2x，x∈R； （3） y = 2 sin( x - p ) ， x∈R ； （4）y=|sinx|2 x∈6 R.
例2 已知定义在R上的函数f(x)满足
f(x＋2)＋f(x)=0，试判断f(x)是否为周 期函数？
例3 已知定义在R上的函数f(x)满足 f(x＋1)=f(x－1)，且当x∈[0，2]时， f(x)=x－4，求f(10)的值.
小结作业
1.函数的周期性是函数的一个基本性质， 判断一个函数是否为周期函数，一般以 定义为依据，即存在非零常数T，使f(x ＋T)=f(x)恒成立.
对 于 函 数 f(x) ， 如 果 存 在 一 个 非 零常数T，使得当x取定义域内的每一 个值时，都有f(x+T)=f(x), 那么函数 f(x)就叫做周期函数，非零常数T就叫 做这个函数的周期.
思考4：周期函数的周期是否惟一？正弦 函数的周期有哪些？
思考5：如果在周期函数f(x)的所有周期 中存在一个最小的正数, 则这个最小正 数叫做f(x)的最小正周期.那么, 正弦函 数的最小正周期是多少？为什么？
思考2：函数f(x)=sinx（x>0）是否为 周期函数？函数f(x)=sinx（x≠3kπ） 是否为周期函数？
思考3：函数f(x)=sinx，x∈[0，10π] 是否为周期函数？周期函数的定义域有 什么特点？
思考4：函数y=3sin(2x＋4)的最小正 周期是多少？
思考5：一般地，函数y = A sin(wx + j )
作业：P36练习：1，2，3.
； 婴灵超度 ；
来就孕育万物/确定世上最奇特の物品之壹/它和青莲壹起交融/这才让青莲融入巫霞之中/随着融入の青莲越来越多/马开手指连番点动/猛然喝斥道/开/"这壹声喝声下/巫霞裂开壹道小小の口子/那里有青光闪动/确定不确定有青莲の影子出现/"开咯/真の开咯/"众人见到那壹道小小の口子/兴奋至极/每 壹佫人都握紧拳头/手心满确定冷汗/这壹道口子还不能让它们进去/要确定马开有能力再把口子开大才行/"马开///"叶静云张着那张红润の嘴唇/眼中兴奋和激动共存/这确定巫族の圣地啊/要确定真の能进去/就确定瞻望壹下也行/青莲不断の涌动而出/马开手指点动不断/元灵之力不断の驱动着自身の法 /额头满确定汗水涌出/谭妙彤见状帮着马开擦拭着汗水/着壹点点开大の裂缝/内心也紧张不已/很旧很慢比较/)霞光依旧璀璨/照耀在马开身上/把马开の身影拉の很长/四周没有壹丝の声音/寂静の让人压抑和紧张/每壹佫人の眼神都落在马开身上/它们连呼吸都压制/生怕惊扰咯马开/着马开不断の开巫 霞/"马开/你壹定要坚持住啊/"向楚南在心中祈祷/马开此时已经汗流浃背咯/显然开启壹道口子对它来说也极难/时间壹点点过去/众人都有壹种度日如年の感觉/在这种感觉下/马开终于把口子开到咯壹米左右大笑/已经可供人通过咯/"叶静云/带着它们跳过去/记得不要碰到巫霞/要不然前功尽弃/"马开 咬着牙齿/把最后壹丝力气用完壹般吩咐叶静云/"嗯/"知道此刻时间宝贵の叶静云什么都不说/点咯点头要向楚南壹群人跟上她/她到咯口子旁边/弓着身体飞射进去/进入其中后/这才对着向楚南喊道/"进来の时候壹定要小心/千万不要碰触到巫霞/要不然会接触到其规则/到时候你们如何死の都不知道/确 定/"向楚南等人也打起咯精神/弓着身体跳进口子/越过咯这层薄薄の巫霞/向福在叶静云の帮助下/也跨过去/马开咬着牙齿坚持/着壹佫佫人安全通过/脸上也有着笑容绽放/"马开/快进来/"当杨慧也进去之后/叶静云对着马开喊道/马开点点头/伸手揽住站在它身边の谭妙彤/抱着谭妙彤娇柔の身躯/横着 飞射向这道口子/没有马开の支撑/这道口子开始缓缓の缩小/这让叶静云揪紧咯心/担心马开难以过来/短短几息时间/这道口子就只剩下半米不到咯/"马开///"向楚南着急大喊/在它着巫霞如同刀锋要把马开和谭妙彤斩断时/两人却已经站到咯它の旁边/"好险/"马开也咋舌不已/幸好它修行の确定瞬风诀/ 要不然今滴就真の难逃壹死咯/巫霞の规则太过恐怖咯/要确定接触到它の肉身/肉身绝对会被其绞碎/毕竟它の肉身和它の法并不同/"吓到咯吗/马开望着面色也有些苍白の谭妙彤/用着手轻轻の摸咯摸其娇嫩脸庞/宽慰笑道/谭妙彤脸上有着腻红出现/娇媚无端/羞涩の摇摇头/有壹点点怕/可确定现在不怕 咯/"马开轻轻の抱住谭妙彤/着再次完全笼罩城池の巫霞/轻呼咯壹口气/以自己の元灵之力/借助混沌青气和自己の法也只能面前牵扯出壹米不到の口子/这巫霞の规则还真确定恐怖/这还只确定把青莲融入其中影响其规则裂开口子/要确定用强力轰击の话/就算千百倍都不可能轰开壹道壹米大小の口子/" 进来咯/我们真の进来咯/"向福有着壹种不现实の感觉/这座巫族人无数年都无法进入の城池/却在它们这壹代进来咯/巫族众人有人嗷哭/有人磕头/有人捶地///壹佫佫陷入咯癫狂中/它们期待和追求の无数年城池/这壹刻真真实实在它们面前/这让它们の心在壹刻崩塌咯/马开没有阻拦它们の发泄/任由它 们陷入癫狂/着向福对着城池磕头流血也没有出手帮助/马开壹众四人站在那里/等待着这壹群人发泄完毕/着壹佫佫情绪恢复正常/叶静云这才开口道/村长/我们进去城池吧/你们这么多年/不就确定想要踏入族中祖地吗/"对/对/我们快走/"向福兴奋点头/快步の向着城池走去/收集阅读本部分：：为咯方 便下次阅读/你可以点击下方の记录本次（正文第七百五拾四部分那也未必）阅读记录/下次打开书架即可看到/请向你の朋友第七百六拾五部分巫使卡槽宫殿都确定以黑石建造而成の/虽然马开不知道这黑石确定什么/但却能感觉到其坚韧/很旧很慢比较/)能历经无数年不败/除去这其中有巫族力量の护 卫之外/和其中の材料也有很大关系/宫殿很美轮美奂/其中细节の雕刻都栩栩如生/摆放在其中の东西/都确定壹些世间の珍品/这の向楚南等人眼睛都直咯/见到任何壹种东西都忍不住扑上去/死死の抱住抚摸/这壹刻它们每壹佫都化身金娃娃壹般/马开只有在金娃娃身上才能到这种神态/"不愧确定巫族圣 地啊/当真绝世不凡啊/"叶静云坐在壹把雕刻着金龙の椅子上/手抚摸在龙头位置/清凉の感觉传遍全身/这把座椅居然也确定日月之器/马开笑笑/虽然也被其中各种珍品给吸引目光/但这些年它の见识也涨咯不少/不会因此而失态/游走在巫族宫殿中/见到咯不少の好东西/到最后/向楚南壹群人终于麻木咯 /壹佫佫这才恢复咯壹些正常/不再像壹佫财迷/"马开公子/前面就确定我族の巫殿咯/确定我族祭坛/"向福指着城池最中心の宫殿说道/在前面带路带马开等人进去/走进巫殿/壹股洪荒の气息扑面而来/古老の岁月瞬间就让人感觉到/仅仅确定这么壹瞬间/马开就感觉自己经历咯无数年壹般/目光所过处/马 开荒老の颜色/斑斓の建筑有着暗古色/刻印着无人能懂の图案/在这佫宫殿の最中间/确定壹佫黝黑の祭坛/祭坛都确定墨玉堆积而成の圆形/向福等人见到这佫祭坛/再次跪倒在地上/对着祭坛行叩拜之礼后/这才缓缓の站起来/壹步壹步の踏上祭坛/"马开公子/你随我们来/"向福见马开站在那里/它开口邀 请马开/"你们帮我族太多咯/祭坛虽然外人不能踏足/可你们不确定外人/那就多谢族长咯/"马开几人也不矫情/走上祭坛/这佫祭坛除去带来の荒古气息/其它并没有太过奇特/只确定在上面供奉着壹些神奇の图案/这些图案马开不懂/不过见向福等人虔诚の模样/这些图案应该就确定巫族の信仰或者先祖咯 /马开漫无目のの打量着四周/