分岔与混沌理论与应用作业
论文题目多自由度非线性机械系统的全局分叉和混沌动力学研究
论文题目：多自由度非线性机械系统的全局分叉和混沌动力学研究作者简介：姚明辉，女，1971年11月出生，2002年09月师从于北京工业大学张伟教授，于2006年06月获博士学位。
中文摘要在机械系统中，有许多问题的数学模型和动力学方程都可用高维非线性系统来描述，对于高维非线性动力系统来说，其研究难度比低维非线性动力系统要大得多，不仅理论方法上有困难，几何描述和数值计算都有困难。
目前研究高维非线性系统的全局分叉和混沌动力学的理论方法还不是很多，国际上处于发展阶段，国内尚处于起步阶段，因此发展处理高维非线性动力学系统的理论研究方法是非常重要和迫切的。
在高维非线性动力学的全局分叉和混沌动力学问题中，除了单脉冲混沌运动外，还有多脉冲混沌运动，目前研究多脉冲混沌运动的解析方法主要有两种，即广义Melnikov方法和能量相位法。
本论文改进和推广了Kovacic、Haller和Wiggins等人提出的广义Melnikov方法和能量相位法，利用这两种全局摄动解析方法首次研究了非线性非平面运动悬臂梁、粘弹性传动带非平面运动和面内载荷和横向载荷联合作用下四边简支薄板的多脉冲轨道和Shilnikov型混沌运动。
理论研究发现这些系统存在多脉冲混沌运动；利用数值方法模拟、验证了理论分析的结果。
论文的研究内容及取得的创新性成果有以下几个方面。
(1) 综述了高维非线性系统的分叉和混沌动力学的国内外研究现状；简要介绍了Melnikov 方法的发展，高维Melnikov方法的应用，以及广义Melnikov方法的提出和建立；概括了能量相位法的国内外主要研究进展；介绍了研究高维非线性系统的全局分叉和混沌运动的其它方法。
总结了能量相位法和广义Melnikov方法的研究进展、成果及存在的不足和有待深入研究的问题。
(2) 介绍了由Haller和Wiggins提出的能量相位法；以及由Kovacic等人提出的广义Melnikov方法。
由于能量相位法和广义Melnikov方法提出和发展的时间较短，而且一直是独立的两种解析方法，在本论文中，首次详细地研究了两种全局摄动解析方法的区别和联系。
非线性动力学中的混沌与分岔现象
非线性动力学中的混沌与分岔现象混沌现象的介绍混沌现象是非线性动力学中一个重要的研究课题，它描述了一种似乎随机的、无规律可循的运动状态。
在混沌现象的研究中，人们发现了一些特征，如灵敏依赖于初始条件、无周期运动和封闭轨道等。
混沌现象的研究对于理解自然界中的复杂系统行为具有重要的意义。
混沌现象最早是由美国数学家Edward Lorenz于20世纪60年代发现的。
他在研究气象学中的大气运动方程时，意外地发现了不确定性的现象。
这个发现被称为“蝴蝶效应”，即当一个蝴蝶在巴西振动翅膀时，可能引发一系列的气流变化，最终导致美国得克萨斯州的一个龙卷风的形成。
这个例子说明了混沌现象中初始条件的微小变化可能引起系统运动的巨大变化。
混沌现象的数学表示混沌现象可以用一些非线性动力学方程描述。
这些方程通常包含了一些非线性项，使得系统的演化不再是简单的线性叠加。
一个经典的混沌系统方程是Lorenz方程：\\frac{{dx}}{{dt}} = \\sigma(y - x),\\frac{{dy}}{{dt}} = x(\\rho - z) - y,\\frac{{dz}}{{dt}} = xy - \\beta z其中，x、y和z是系统的状态变量，t是时间。
σ、ρ和β是一些常数，它们决定了系统的性质。
这个方程描述了一个三维空间中的运动，这种运动就是混沌现象。
分岔现象的介绍分岔现象是混沌现象的一个重要特征，它描述了系统参数发生微小变化时，系统行为的剧烈变化。
简单来说，分岔现象就是系统从一个稳定的演化状态变成多个稳定状态的过程。
分岔现象的经典例子是Logistic映射。
Logistic映射是一种常用的非线性映射，它用于描述生物种群的增长。
Logistic映射的公式为：x_{n+1} = r \\cdot x_n \\cdot (1 - x_n)其中，x_n是第n个时刻的种群密度，x_{n+1}是下一个时刻的种群密度，r是系统的参数，它决定了种群的增长速度。
混沌动力学中的分岔现象与稳定性分析
混沌动力学中的分岔现象与稳定性分析混沌动力学是一门研究非线性系统行为的学科，它揭示了许多复杂系统中的混沌现象。
其中一个重要的研究方向是分岔现象与稳定性分析，它们对于理解系统的演变和控制具有重要意义。
一、分岔现象的基本概念分岔现象是指系统在参数变化过程中，由于参数的微小变化，系统的行为发生了剧烈的变化。
简单来说，就是系统在某个特定参数值附近，出现了多个稳定状态或周期解。
这种现象在混沌动力学中被广泛研究。
分岔现象的典型例子是一维映射系统的Feigenbaum分岔图。
在这个图中，横轴表示参数的变化，纵轴表示系统状态的变化。
当参数在某个特定值附近变化时，系统的状态从一个稳定状态突然变为两个稳定状态，然后又变为四个、八个，以此类推。
这种分岔现象呈现出一种分形的结构，即在不同尺度上都有相似的形态。
二、分岔现象的机理分岔现象的机理可以通过动力学方程的稳定性分析来解释。
在分岔点附近，系统的稳定性发生了变化，从而导致了系统行为的剧烈变化。
稳定性分析是研究系统平衡点或周期解的稳定性的方法。
通过计算系统方程的雅可比矩阵的特征值，可以判断系统的稳定性。
当特征值的实部为负时，系统为稳定状态；当特征值的实部为正时，系统为不稳定状态；当特征值有一对纯虚数时，系统为周期解。
在分岔点附近，系统的雅可比矩阵的特征值发生了变化，从而导致了系统稳定性的改变。
当参数变化超过某个临界值时，特征值的实部从负数变为正数，系统从稳定状态变为不稳定状态，从而引发了分岔现象。
三、分岔现象的应用分岔现象在许多领域都有广泛的应用。
在自然科学中，分岔现象可以用来解释生物体的形态变化、气候系统的变化等。
在工程领域中，分岔现象可以用来设计新型的控制系统，实现系统的稳定性和可控性。
例如，在电力系统中，分岔现象可以用来研究电力系统的稳定性和可靠性。
通过对电力系统的分岔现象进行分析，可以找到系统的临界点，从而实现对系统的控制。
这对于提高电力系统的稳定性和可靠性具有重要意义。
机床导轨结合部接触动力学的混沌与分岔的研究的开题报告
机床导轨结合部接触动力学的混沌与分岔的研究的开题报告一、研究背景随着机床技术的不断发展，高速、高精度机床成为了现代制造业的重要设备，而导轨则作为机床的关键零部件之一，其性能的好坏直接影响机床的工作效率和精度。
当导轨处于高速运动状态下，接触处的动态力学行为将产生混沌效应并且分岔现象也将表现出来，这将降低机床的加工精度和寿命。
因此，在机床的设计和制造过程中，需要对机床导轨结合部的接触动力学行为进行深入的研究和分析，以提高机床的加工精度和寿命。
二、研究内容本研究将针对机床导轨结合部接触动力学行为的混沌与分岔效应进行研究，具体研究内容包括：1.机床导轨结合部接触动力学模型的建立：本研究将建立机床导轨结合部接触部分的数学模型，并采用数值计算的方法对其进行模拟。
2.混沌效应的研究：利用混沌理论的基本概念及数学工具，对机床导轨结合部接触动力学行为的混沌特征进行研究和分析。
3.分岔效应的研究：在混沌效应的基础上，进一步研究机床导轨结合部接触动力学行为的分岔效应，并对其进行深入分析。
三、研究意义1.为机床的设计和制造提供基础数据：通过深入研究机床导轨结合部接触动力学行为的混沌与分岔效应，可以为机床的设计和制造提供更加精确的数据和指导，避免因为不良设计而引起的机床故障和加工质量下降等情况。
2.提高机床的加工精度和寿命：了解机床导轨结合部接触动力学行为的混沌与分岔效应，可以采取相应措施，提高机床的加工精度和寿命，并减少机床故障率。
3.拓展混沌理论和应用：本研究还将应用混沌理论和方法，进一步拓展混沌理论的应用领域，为相关领域的研究提供思路和方法。
四、研究方法本研究将采用数学建模与计算、混沌理论分析以及相关数学工具等方法进行研究。
具体步骤包括：1.建立机床导轨结合部接触动力学模型，并利用有限元软件进行数值模拟。
2.分析模拟结果，通过混沌分析的基本原理，获取系统的混沌特征参数，以确定系统的混沌特性。
3.基于数值计算的分支理论和Hopf分岔理论等，进一步研究并分析机床导轨结合部接触动力学行为的分岔效应。
高维非线性系统的全局分岔和混沌动力学
精彩摘录
“分岔图是研究非线性系统的重要工具，通过它可以观察到系统在不同参数 下的行为变化。”
精彩摘录
“混沌吸引子是描述混沌系统的一种几何对象，它展示了混沌系统的复杂性 和动态性。”
“通过Lyapunov指数可以量化系统的混沌程度，正的Lyapunov指数意味着系 统是混沌的。”
精彩摘录
“高维非线性系统的全局动力学往往更加复杂，但也更能揭示自然界的真实 复杂性。”
目录分析
在引言部分，作者首先阐述了高维非线性系统全局分岔和混沌动力学的重要 性，并回顾了该领域的历史背景和发展概况。这一部分为后续的详细讨论奠定了 基础，使得读者能够更好地理解全局分岔和混沌动力学的实际意义和价值。
目录分析
第二章至第四章的内容是基础知识，主要介绍了高维非线性系统的基本概念、 数学描述和动力学行为。通过这一部分，读者可以建立起对高维非线性系统的基 本认知，为后续深入理解全局分岔和混沌动力学打下坚实的理论基础。
目录分析
第五章至第七章的内容聚焦于全局分岔分析。这部分详细介绍了全局分岔的 基本概念、分类以及判定方法。作者还通过实例展示了如何运用全局分岔理论对 具体的高维非线性系统进行分析，使得抽象的理论更加生动和易于理解。
目录分析
第八章至第十章的内容重点在于混沌动力学的探讨。在这部分，作者详细介 绍了混沌现象的定义、特征、产生条件以及混沌的数值模拟方法。同时，通过具 体的实例，展示了混沌在现实世界中的广泛存在和应用，深化了读者对混沌动力 学的理解。
阅读感受
书中特别提到了标准Melnikov方法、微分几何理论和不变流形纤维丛理论在 研究多自由度非线性系统中的应用。这些方法为我们提供了全新的视角和工具， 使我们能够更深入地探索非线性系统的全局行为。尤其是对于那些受到外周期激 励的系统，这些方法使得我们能够理解和预测其复杂的动态行为，包括全局分岔 和混沌动力学。
动力系统中混沌现象的分岔分析
动力系统中混沌现象的分岔分析混沌现象在动力系统中是一个极为复杂而又充满魅力的问题。
混沌现象指的是在非线性动力系统中出现的不可预测、高度敏感的行为。
混沌现象的研究对于理解动力系统的行为规律、探索自然界的规律以及解决实际问题具有重要意义。
在本文中，我们将对动力系统中混沌现象的分岔分析进行探讨。
动力系统中的分岔现象是指当一个参数发生微小变化时，系统的稳定状态发生突变，并且出现了新的稳定状态或周期轨道。
分岔现象是混沌现象的产生之源，也是系统从有序状态向混沌状态过渡的重要标志之一。
首先，我们需要了解什么是动力系统。
动力系统是一个由一组相互作用的方程组描述的数学模型，用于描述物理、生物、化学以及工程等领域中的现象。
动力系统的行为取决于其初始状态和参数的选择。
在进行分岔分析之前，我们需要明确一个重要概念——周期倍增分岔。
周期倍增分岔是分岔现象中最为典型和常见的形式之一。
它发生在系统中存在一个稳定的周期轨道，而随着一个参数的变化，周期轨道的周期倍增，最终演化成混沌状态。
对于动力系统中的混沌现象，分岔分析方法可以帮助我们揭示混沌的产生机制、寻找混沌现象出现的参数范围以及预测系统的行为。
下面我们将介绍一些常用的分岔分析方法。
一种常用的分岔分析方法是基于映射的分岔分析。
映射是动力系统中的一种简化形式，通过在相空间中取样并进行离散化，将连续的动力系统转化为迭代的映射。
通过改变映射参数，我们可以观察到一系列周期倍增分岔现象。
这种方法在理论研究中非常有用，可以帮助我们理解混沌现象的产生机制。
另一种常用的分岔分析方法是基于连续系统的分岔分析。
连续系统的分岔分析主要通过数值模拟的方法进行，可以得到系统的参数空间以及相应的分岔图。
这种方法在实际问题中具有重要意义，可以帮助我们确定系统的关键参数范围，从而控制或优化系统的性能。
除了映射和连续系统的分岔分析方法，还有一些其他的方法可以用于分析复杂动力系统中的混沌现象，比如通过Lapunov指数来判断系统是否处于混沌状态，通过Poincare截面来观察系统的稳定状态以及周期轨道等。
复杂系统的分形、混沌及其若干应用的开题报告
复杂系统的分形、混沌及其若干应用的开题报告一、选题背景随着现代科技的飞速发展，越来越多的领域涉及到了复杂系统的研究。
复杂系统是由许多相互作用的组件所组成的系统，这些组件可能存在多个尺度上的相互作用以及非线性的响应。
这种复杂性给系统的研究和控制带来了难度，因此如何建立复杂系统的数学模型并研究其动力学特性，已成为当前科学研究的重要问题。
分形和混沌是研究复杂系统的两个重要分支。
分形是指一些复杂形态的自相似性质，在分形中研究了物体的结构和形态等问题。
混沌则是指具有高度敏感性的非周期性的运动，这种运动表现出一种非常规则的形态。
分形和混沌理论在诸多领域中都有广泛应用，如图像压缩、金融时间序列预测、气象学等等。
因此，在当前复杂系统研究的背景下，本文将以分形、混沌及其若干应用为主题，深入探究相关知识并尝试运用到实际问题中。
二、选题意义1.促进复杂系统研究的深入随着科技的进步，复杂系统研究越来越受到人们的关注。
本文主题分形和混沌作为复杂系统研究的两个重要分支，有着广泛的应用和发展。
本文将深入研究相关知识，为复杂系统研究的深入提供参考和促进。
2.为实际问题提供应用方案分形和混沌理论在不同领域中均有广泛应用，如金融、气象、信号处理等等。
本文将分析分形和混沌的应用，并尝试将其运用到实际问题中，为实际问题提供可行的应用方案。
三、选题内容1.分形(1)分形概念及其发展历程(2)分形的数学基础(3)分形的特征及应用2.混沌(1)混沌概念及其发展历程(2)混沌的数学基础(3)混沌的特征及应用3.分形和混沌在自然科学中的应用(1)气象学中的应用(2)生物学中的应用4.分形和混沌在工程领域中的应用(1)信号处理中的应用(2)金融时间序列预测中的应用四、选题方法本文将采用文献综述和案例分析的方法，深入探讨分形、混沌原理及其应用。
其中涉及到的理论、实验和应用案例将进行详尽的解析和分析。
五、预期成果本文预期能够深入探究分形和混沌理论，分析其在自然科学和工程领域中的应用，并尝试将分形和混沌运用到实际问题中。
非线性振动系统的分岔与混沌现象研究
非线性振动系统的分岔与混沌现象研究引言非线性系统是物理领域中一个重要而复杂的研究领域，其具有许多特殊的现象和行为。
其中分岔与混沌现象是非线性系统研究中非常引人注目的方面。
本文将从物理定律到实验准备、过程以及对实验的应用和其他专业性角度进行详细解读。
1. 物理定律的基础非线性振动系统的分岔与混沌现象研究的基础是几个重要的物理定律，包括但不限于以下几点：1.1 非线性定理非线性定理表明了在存在非线性项的情况下，振动系统的演化方程不再是线性的。
这导致了系统的行为变得更加复杂，可能会出现分岔和混沌现象。
1.2 余弦定律余弦定律描述了振动系统中的力和位移之间的关系。
对于非线性振动系统，该定律可以通过泰勒级数展开来表示非线性项。
1.3 哈密顿定律哈密顿定律是描述系统演化的基本定律，在非线性振动系统中也起到了重要作用。
它基于能量守恒和哈密顿函数，描述了系统的演化方程。
2. 实验准备为了研究非线性振动系统的分岔与混沌现象，我们需要准备一系列的实验设备和工具。
以下是主要的实验准备工作：2.1 实验装置搭建一个具有非线性特性的振动系统，如双摆、自激振荡器或混沌电路。
确保实验装置具备调节参数和监测系统状态的能力。
2.2 测量设备使用合适的测量设备来精确测量实验过程中的振动幅度、频率和相位等关键参数。
常用的测量设备包括振动传感器、频谱分析仪和示波器等。
2.3 数据采集与记录选择适当的数据采集与记录系统，以记录实验过程中得到的数据。
使用计算机或数据采集卡等设备，能够高频率、高精度地采集数据并存储。
3. 实验过程在实验过程中，我们将通过对振动系统的参数进行调节和测量，观察和分析系统的行为以及分岔与混沌现象。
以下是实验过程的主要步骤：3.1 参数调节与测量首先，通过调节振动系统的参数（如频率、振幅、阻尼等），使得系统处于不同的运动状态。
通过测量系统的参数，如振幅和频率，可以获取实验数据。
3.2 观察分岔现象通过在一定范围内改变系统的某一参数（如驱动频率或振幅），观察并记录系统的运动状态。
混沌动力学中的Lyapunov指数与分岔图分析
混沌动力学中的Lyapunov指数与分岔图分析混沌动力学是一门研究非线性系统行为的学科，它揭示了一些看似混乱无序的系统中的一些规律和模式。
在混沌动力学中，Lyapunov指数和分岔图是两个重要的工具，它们帮助我们理解和描述混沌系统的特性。
首先，让我们来了解一下Lyapunov指数。
Lyapunov指数是用来衡量系统中的初始条件对系统演化的敏感程度的指标。
在混沌系统中，微小的初始条件差异可能会导致系统演化出完全不同的轨迹。
Lyapunov指数通过计算系统中相邻轨迹之间的指数增长率来描述这种敏感程度。
正的Lyapunov指数表示系统的轨迹会发散，而负的Lyapunov指数表示系统的轨迹会收敛。
Lyapunov指数的绝对值越大，系统的混沌性越强。
Lyapunov指数的计算可以通过数值模拟的方法来实现。
我们可以选择一个初始条件，然后计算系统在不同时间点上的状态。
接下来，我们选择一个微小的扰动，并将其加到初始条件上，再次计算系统的演化。
通过比较两个轨迹之间的差异，我们可以得到Lyapunov指数。
重复这个过程，我们可以得到整个系统中不同点上的Lyapunov指数分布。
这个分布可以帮助我们判断系统的混沌性质以及混沌的程度。
分岔图是另一个用于描述混沌系统的工具。
分岔图展示了系统在参数空间中的演化情况。
在分岔图中，我们将系统的某个特定状态量（如系统的输出）作为纵坐标，而系统的参数作为横坐标。
当系统的参数发生变化时，我们观察系统状态的变化。
如果系统的状态在某个参数值附近发生突变，我们就可以看到分岔现象。
分岔图可以帮助我们理解系统的稳定性和不稳定性，以及混沌的产生机制。
分岔图的构建可以通过数值模拟或实验测量来实现。
对于数值模拟，我们可以选择一个参数值，然后计算系统在不同时间点上的状态。
接下来，我们改变参数值，并再次计算系统的演化。
通过观察系统状态的变化，我们可以绘制出分岔图。
对于实验测量，我们可以改变系统的某个控制参数，并记录系统的输出。
数学中的混沌动力系统与分岔理论
在数学领域中，混沌动力系统与分岔理论是两个重要而引人注目的主题。
混沌动力系统是指那些对初始条件极其敏感，呈现出难以预测和复杂演化的系统。
分岔理论则是研究系统从一个稳定状态突变为多个稳定状态的过程。
这两个理论在许多领域都有广泛的应用，从自然科学到社会科学，深深地影响了人们对系统运行和演变的理解。
混沌动力系统最早是由美国气象学家、数学家爱德华·洛伦兹在1960年代中期提出的。
他的研究工作主要集中在研究大气运动模型。
在这个系统中，初始条件的微小变化会引起模型的输出结果相差甚远。
这引发了洛伦兹的兴趣，他将这种现象命名为“蝴蝶效应”来形容起初微弱的变化可能会引发大规模的效应。
洛伦兹在混沌动力系统的研究中发现了奇异吸引子的存在，这是一种引导系统演化过程的特殊性质。
奇异吸引子在混沌动力系统理论中起着重要的作用，它不仅提供了对系统行为的定量描述，同时也揭示了系统中的复杂结构。
分岔理论则着重研究系统的稳定性突变过程。
分岔是指当系统参数发生细微变化时，系统从一种稳定状态突变为另一种稳定状态的现象。
最著名的分岔是“费根鲍姆分岔”，早在19世纪末由法国数学家亨利·费根鲍姆提出。
他发现简单的非线性方程可能引起系统从一个稳定状态到周期运动，然后到混沌。
这种突变行为使得分岔理论成为许多自然现象的重要解释机制，例如生物进化、气候变化等。
混沌动力系统和分岔理论在现代科学中有广泛的应用。
在天气预报中，混沌动力系统理论帮助科学家们理解气象系统的复杂行为，进而提高了预测的准确性。
在物理学中，混沌动力系统的研究揭示了粒子运动的随机性和确定性之间的微妙平衡。
在生物学中，分岔理论帮助研究者理解进化过程中物种数量的突变和物种多样性的起源。
在社会科学中，混沌动力系统的影响范围更加广泛，从经济学到心理学，都有许多应用案例。
总之，数学中的混沌动力系统与分岔理论是对系统运行和演化进行研究的重要工具。
混沌动力系统的研究揭示了系统的复杂性和不确定性，而分岔理论则研究了系统从一个稳定状态到多个状态的突变过程。
混沌原理的实际应用
混沌原理的实际应用引言混沌原理是一种复杂系统中表现出的确定性和随机性相结合的特性。
混沌理论源于1960年代，其应用领域涵盖了天气预测、物流规划、金融市场分析等多个领域。
本文将介绍混沌原理的基本概念，并列举几个混沌原理在实际应用中的案例。
混沌原理的基本概念混沌原理是一种非线性动力学系统的行为，其特点是对初始条件极为敏感，微小的变化可能会引起系统状态的巨大变化。
混沌系统有一个特殊的吸引子，称为奇异吸引子，它具有复杂的拓扑结构。
混沌系统常常表现出周期性、分岔、混合等特性。
混沌原理在天气预测中的应用天气预测一直是人类关注的热点问题之一，而天气系统正是典型的混沌系统。
通过对气象数据进行分析，并运用基于混沌原理的天气模型，可以提高天气预测的准确性。
混沌原理的应用使得天气预测不再是简单的线性统计，而是考虑了初始条件对结果的影响，从而更好地理解和预测天气系统的行为。
具体应用案例： - 利用混沌原理进行气象数据处理和预测，提高天气预测准确率。
- 分析海洋环境中的混沌行为，预测风暴和海啸等自然灾害。
混沌原理在物流规划中的应用物流规划是企业生产和运营过程中的重要环节，混沌原理可以帮助优化物流规划和提高运营效率。
通过分析各项物流数据、交通流量和油价等因素，利用混沌原理建立物流规划模型，可以得到更好的物流方案。
具体应用案例： - 利用混沌原理对物流数据进行混沌模拟，找到最佳物流路径和运输策略。
- 优化物流节点的布局和运输车辆的配送路线，提高物流效率。
混沌原理在金融市场分析中的应用金融市场的波动性一直是投资者关注的焦点问题，而混沌原理可以帮助分析和预测金融市场的复杂行为。
通过建立基于混沌原理的金融模型，并利用历史数据进行模拟和预测，可以更好地理解金融市场的波动性和趋势。
具体应用案例： - 利用混沌模型分析股票价格和市场指数的波动，进行投资策略的制定。
- 利用混沌预测模型对金融市场的未来走势进行预测，提供投资建议。
结论混沌原理作为一种非线性动力学系统行为的探索，其在实际应用中发挥了重要作用。
《高维非线性系统的全局分岔和混沌动力学》笔记
《高维非线性系统的全局分岔和混沌动力学》读书记录目录一、内容描述 (2)1.1 研究背景与意义 (3)1.2 国内外研究现状综述 (4)1.3 本书主要内容概述 (5)二、高维非线性系统的基本概念 (6)2.1 非线性系统的定义与特点 (8)2.2 高维非线性系统的演化方程 (9)2.3 高维非线性系统的相空间重构 (10)三、高维非线性系统的局部分岔理论 (11)3.1 分岔点的判定方法 (12)3.2 分岔路径的几何描述 (14)3.3 分岔参数的敏感性分析 (15)四、高维非线性系统的全局分岔与混沌动力学 (17)4.1 全局分岔的概念与判据 (18)4.2 混沌运动的特性与判据 (19)4.3 同宿点与异宿轨线的几何构造 (20)4.4 混沌系统的吸引子与李雅普诺夫指数 (22)五、高维非线性系统的控制与同步 (23)5.1 系统控制的策略与方法 (24)5.2 相空间重构在控制中的应用 (25)5.3 基于李雅普诺夫指数的混沌系统同步方法 (27)5.4 多变量系统的控制与同步 (28)六、高维非线性系统的数值模拟与实验验证 (29)6.1 数值模拟的方法与步骤 (30)6.2 实验验证的重要性及常用实验设计 (32)6.3 实验结果与理论分析的对比分析 (33)七、结论与展望 (35)7.1 本书的主要研究成果总结 (36)7.2 研究中的不足与局限性分析 (38)7.3 对未来研究的展望与建议 (39)一、内容描述《高维非线性系统的全局分岔和混沌动力学》是一本深入探讨高维非线性系统动力学行为的学术著作。
本书内容涵盖了高维非线性系统的基本概念、全局分岔理论、混沌动力学机制以及相关的应用实例。
通过阅读这本书，我对书中的知识框架和核心内容有了全面的理解。
书中介绍了高维非线性系统的基础知识和相关背景，包括其在自然科学、工程技术和社会科学等领域的应用价值。
重点阐述了全局分岔理论的基本原理和分类，如结构稳定性、动态分岔等概念，以及这些理论在高维非线性系统中的应用。
非线性微分方程的分岔和混沌现象
非线性微分方程的分岔和混沌现象非线性微分方程是自然科学中经典的研究对象之一。
在广泛的自然现象和实验研究时，非线性微分方程都是用来描述这些现象的数学工具。
但是，非线性微分方程的动力学特性非常复杂，包括分岔、混沌等现象。
这些现象对于科学家而言是非常重要而且有很多有趣的数学理论成果与实际应用。
在本文中，我们将探讨非线性微分方程的分岔和混沌现象的一些基本概念与数学理论。
一、非线性微分方程的分岔现象分岔现象是指一个系统中的某些参数发生变化时，该系统的稳定性质发生变化。
特别是当这些参数逐渐变化到一定的“临界点”时，系统的稳定性质突然发生改变，这种现象叫做分岔。
通常，这个临界点称为临界参数值。
分岔现象是非线性微分方程的一个根本动力学现象，在自然科学中有着广泛的应用。
1. 常见的分岔类型非线性微分方程的分岔有许多类型，其中比较常见的有：鞍点分岔、极小极大分岔、超过阈值分岔、分支分岔等。
鞍点分岔是指由一个稳定的状态发生分裂从而出现两个不同状态的现象。
这种分岔是由一个简单稳定节点与一个鞍点相遇时产生的。
极小极大分岔是指当参数发生微小的变化时，极小值点和极大值点突然出现的现象。
超过阈值分岔是指当参数超过某些阈值时，系统从一个极限环突变到一个新的解的现象。
分支分岔是指在参数空间中出现分支条件，这通常在响应系统行为的外部变量出现周期性变化时会发生。
2. 分岔的重要性分岔现象对于非线性微分方程而言是非常重要的，因为它可以揭示系统的稳定性和动力学性质。
而且，正是由于分岔现象才使得非线性微分方程在自然科学领域中有着广泛的应用。
例如，在物理领域中，分岔现象可以帮助我们研究光学、空气动力学、气象学等领域中的不同系统。
在生物学领域中，分岔现象可以帮助我们研究細胞過程中的周期性行为、神经行为、化學反應等。
在经济学领域中，分岔现象可以帮助我们理解市場泡沫、动态平衡等问题。
二、非线性微分方程的混沌现象混沌现象是指某些动力学系统（如非线性微分方程）的随时间演化的状态具有无限的、不可预测的细节。
混沌理论及应用
后来洛伦兹发现两次计算的差别只是第二次 输入中间数据时将原来的0.506127省略为 0.506。洛伦兹意识到，因为他的方程是 非线性的，非线性方程不同于线性方程， 线性方程对初值的依赖不敏感，而非线性 方程对初值的依赖极其敏感。正是初始条 件的微小误差导致了计算结果的巨大偏离。 由此洛伦兹断言：准确地作出长期天气预 报是不可能的。对此，洛伦兹作了个形象 的比喻：一只蝴蝶在巴西扇动一下翅膀会 在美国的得克萨斯州引起一场龙卷风，这 就是蝴蝶效应。
i) 系统的变化看似毫无规则，但实际上是有迹可寻的。
ii)系统的演化对初始条件的选取非常敏感，初始条件极微小的 分别（就例如0.6和0.6001仅仅相差六千分之一）， 在一段时 间的演化后可带来南辕北辙的结果。
典型连续混沌系统——Chen系统
典型连续混沌系统——Lorenz系统
典型连续混沌系统——RÖssler系统
典型连续混沌系统——Chua系统
典型离散混沌映射
典型离散混沌映射
4．非周期性 在数学和物理学中，周期性的定义是很明确的。对于函
数f(x)，若能找到一个最小正数t满足关系f(x+t)=f(x)，则称f(x) 是周期函数，t为其周期；否则f(x)就是非周期的, 非周期性意 味着构成奇怪吸引子的积分曲线从不重复原曲线而封闭。这 样，向着奇怪吸引子演化的系统，从来不以同样的状态重新 经过。非周期性说明，混沌运动的每一瞬间都是“不可预见 的创新”的发生器。应当注意的是“非周期性”这个概念比 “混沌’’要广、要大的多。比如，准周期是非周期的，但 不是混沌；遍历运动是非周期的，但单纯遍历还不是混沌。 混沌运动要求有“混合”的性质，即“对初始条件的敏感依 赖性”。但这并不能因此说混沌运动就是杂乱而无用的，相 反，混沌不是无序和紊乱。一提到有序，人们往往会想到周 期排列或对称形状。
摩擦引起振动的分岔与混沌
摩擦引起振动的分岔与混沌引言摩擦引起的振动是动力学界广泛研究的现象，这是因为摩擦模型的重要产业关联性和不断发展的新进展。
在本文中，我们将报告一个单一的自由度机械振动的表面上一个单一的程度的分岔的研究结果。
我们使用的摩擦模型是由canudas de Wit等人开发的一个日益受到社会各界的认可的力学模型。
利用这个模型，我们发现在一个稳定的极限环在中间的滑动速度为一个单一的自由度机械振子，而且，机械振子可以表现出混乱的运动。
对于某些参数，数值模拟表明Silnikov 同宿轨道的存在性。
这是不应该在一个单自由度系统中存在。
由于摩擦模型中包含一个内部变量，这样混沌的发生就成为可能。
这实验演示了一个独特的摩擦模型特性。
与大多数的摩擦模型不同的是，本模型是能够同时在非常低的滑动速度建模自我激励和预测粘滑。
1.简介摩擦引起的振动对机械和工程系统有着不同的影响。
制动尖叫是一个摩擦引起振动的众所周知的例子。
摩擦引起的振动，往往会导致过度磨损机器部件，限制生产过程的精度和生产率，并降低了控制系统的精度。
此外，摩擦振动引起的噪声同样是令人讨厌的。
摩擦力学系统的动力学研究有着悠久的历史。
最早是由Den Hartog研究的稳态响应机械振荡器结合库仑摩擦和粘性阻尼。
DEN Hartogs论文清楚地说明了存在摩擦动力学系统的非线性性质；非线性体现在激励和响应之间的比例的损失。
其他涉及摩擦自激振动和坚持的重要动力学现象包括–滑移现象。
由于两者之间的接触表面基本物理和化学的复杂性，所以精确建模的摩擦仍然是一个活跃的研究领域。
由于涉及两个固体表面互相滑动摩擦，所以摩擦力是受许多因素影响，如散装和表面层材料的性能，接触表面的粗糙度，应力水平的滑动速度、温度、环境，以及润滑剂和润滑条的性能。
此外，摩擦往往伴随着磨损。
可以想象的是，摩擦力可以是与时间相关的。
在这些潜在变量中，好的摩擦模型是捕获必要的点，但不是太复杂，这样会使他们不切实际。
分岔与混沌理论与应用作业
分岔与混沌理论与应用学院：专业：姓名：学号：我对混沌理论的认识1、混沌理论概述混沌是指发生在确定性系统中的貌似随机的不规则运动，一个确定性理论描述的系统，其行为却表现为不确定性－－不可重复、不可预测，这就是混沌现象。
混沌现象起因于物体不断以某种规则复制前一段的运动状态，而产生无法预测的随机效果。
所谓“差之毫厘，失之千里”正是此一现象的最佳批注。
具体而言，混沌现象发生于易变动的物体或系统，该物体在行动之初极为简单，但经过一定规则的连续变动之后，却产生始料所未及的后果，也就是混沌状态。
但是此种混沌状态不同于一般杂乱无章的混乱状况，此一混沌现象经过长期及完整分析之后，可以从中理出某种规则出来。
混沌现象虽然最先用于解释自然界，但是在人文及社会领域中因为事物之间相互牵引，混沌现象尤为多见。
混沌理论，是近三十年才兴起的科学革命，它与相对论与量子力学同被列为二十世纪的最伟大发现和科学传世之作。
混沌的发现揭示了我们对规律与由此产生的行为之间－－即原因与结果之间－－关系的一个基本性的错误认识。
我们过去认为，确定性的原因必定产生规则的结果，但它们可以产生易被误解为随机性的极不规则的结果。
我们过去认为，简单的原因必定产生简单的结果(这意昧着复杂的结果必然有复杂的原因)，但简单的原因可以产生复杂的结果。
我们认识到，知道这些规律不等于能够预言未来的行为。
这一思想已被一群数学家和物理学家，其中包括威廉·迪托(William Ditto)、艾伦·加芬科(Alan Garfinkel)和吉姆·约克(Jim Yorke)，变成了一项非常有用的实用技术，他们称之为混沌控制。
实质上，这一思想就是蝴蝶效应。
初始条件的小变化产生随后行为的大变化，这可以是一个优点；你必须做的一切，是确保得到你想要的大变化。
对混沌动力学如何运作的认识，使我们有可能设计出能完全实现这一要求的控制方案。
这个方法已取得若干成功。
2、分叉的概述分叉理论研究动力系统由于参数的改变而引起解的拓扑结构和稳定性变化的过程。
动力系统中的分岔与混沌行为探究
动力系统中的分岔与混沌行为探究动力系统是指由物理、数学或工程等领域中的方程、规则或模型构成的系统，用于描述物体、系统或过程的运动、变化和演化规律。
动力系统的行为可以呈现出多种形式，其中分岔与混沌行为是常见且引人注目的现象。
分岔是指在动力系统中，当某个参数的变化达到一定的条件时，系统的行为从一种状态转变为多种或无穷多种状态的现象。
分岔分为离散分岔和连续分岔两种。
离散分岔通常发生在离散时间点上，系统的状态从一个值突然跳变到多个不同的值。
而连续分岔则是在连续时间上发生的，系统的状态从一个平衡态跳变到多个平衡态。
分岔现象通常在非线性系统中出现，且常常伴随着系统的复杂性增加。
混沌行为是指在动力系统中，微小的初始条件变化会导致系统的演化结果迅速发散，且系统的状态表现出随机、不可预测的特征。
混沌行为在数学上可以用混沌吸引子等概念描述。
混沌系统具有灵敏依赖于初始条件的特性，也被称为“蝴蝶效应”，即初始条件的微小变化可以导致系统的演化结果巨大差异。
混沌行为通常在非线性系统中出现，并且常常呈现出复杂、分形的特征。
分形是指具有自相似性和统计性质的几何图形或数学对象。
在动力系统中，分岔与混沌行为常常伴随着分形的出现。
分形结构既可以在系统的状态空间中观察到，也可以在时间序列中观察到。
分形的出现进一步增加了系统的复杂性，并丰富了我们对动力系统行为的认识。
分岔和混沌行为在许多科学领域都有着广泛的应用和理论研究。
在物理学中，分岔和混沌理论被用来解释各种现象，如天体力学中的三体问题、非线性动力学系统中的相变等。
在工程学中，分岔和混沌现象的研究可以应用于电力系统、电路、通信等领域中，帮助我们更好地理解和控制这些系统的行为。
研究分岔和混沌行为不仅对于科学理论的发展有着重要意义，也对实际应用具有重要价值。
通过深入研究动力系统中的分岔与混沌行为，我们可以更好地理解自然界和人造系统的复杂性，并探索其中的规律和机制。
在处理分岔与混沌行为时，数学方法和计算机模拟技术被广泛应用。
混沌系统的复杂动力学行为研究及应用
混沌系统的复杂动力学行为研究及应用
混沌系统是一类具有高度非线性、异步和随机行为的随机系统,其复杂动力学行为表现出一系列奇异的现象,例如混沌现象、分岔、奇异吸引子等现象,这些现象在物理学、数学、工程学等领域具有重要的应用价值。
混沌系统的复杂动力学行为研究及应用可以分为以下几个方面:
1. 混沌现象研究:混沌现象是混沌系统的基本特征,其研究涉及到数学、物理、工程等领域的交叉学科,包括偏微分方程、分形几何、随机过程等多个领域。
混沌现象的应用包括天气预报、金融市场、流体力学等领域。
2. 分岔现象研究:分岔是混沌系统的另一类重要特征,其研究涉及到数学、物理、工程学等多个领域。
分岔现象的应用包括光学、通信、分子模拟等领域。
3. 奇异吸引子现象研究:奇异吸引子是混沌系统的一类特殊形态,其研究涉及到数学、物理、工程学等多个领域。
奇异吸引子的应用包括天体物理学、粒子物理学、生物医学等领域。
4. 混沌系统的应用:混沌系统在数学、物理、工程学等领域都有
重要的应用,例如混沌天气预报、混沌控制、混沌加密、混沌优化等领域。
混沌系统的应用正在不断拓展和深化。
混沌系统的研究和应用涉及到数学、物理、工程学等多个领域,其研究不仅具有理论意义,同时也具有重要的工程意义和实际价值。
实验十八 迭代与分叉、混沌
实验十八 迭代与分叉、混沌
很显然，上面所列参数r的临界值有收敛趋势。 事实上也的确如此，它们最后收敛到。收 敛序列可表示为
rn r c
式中称为Feigenbaum常数，
实验十八 迭代与分叉、混沌
实验十八 迭代与分叉、混沌
r 3.80, x0 0.3 ，相应的MATLAB代码为 （6） >>clear; >>x=0.3;r=3.80; >>for i=1:100 >>x=r*x*(1-x);x1(i)=i;y(i)=x; >>end >>plot(x1,y,'k-o') 计算结果见下图，由图中可知，迭代数列不再呈现稳定的周 期性，也不具有任何可预测的模式。迭代数列在区间（0,1） 内跳来跳去，而且表现出对初始条件非常敏感的依赖性， 称这种状态为混沌（chaos）。
实验十方程可写为标准形式
xn1 rxn (1 xn )
对于不同的r,观察数列的收敛情况。 （1） r 0.6, x0 0.3 ，相应的MATLAB代码为 >>clear; >>x=0.3;r=0.6; >>for i=1:30 >>x=r*x*(1-x);x1(i)=i;y(i)=x; >>end >>plot(x1,y,'k-o')
实验十八 迭代与分叉、混沌
【实验准备】 1.逻辑斯谛模型 2.一些基本概念 3.迭代的MATLAB命令
实验十八 迭代与分叉、混沌
非线性电路振荡周期的分岔与混沌实验讲解
图3非线性电路原理图图4非线性负阻器件R的伏安曲线图3电路的非线性动力学方程为:
11211( dVc C G Vc Vc gVc dt
=--
2212( L dVc C G Vc Vc i dt
=-+ 2Vc dt
di L L -=式中,导纳12V V G R R =+, 1C V和2C V分别表示加在1C和2C上的电压, L i表示流过电感器L的电流, g表示非线性电阻R的导纳。
1(x kx x -→
其中k是0和4之间的常数。迭代这映射,我们得离散动力学系统
1(1n n n x kx x -=+ , 0=n , 1, 2„
我们发现:①当k小于3时,无论初值是多少经过多次迭代,总能趋于一个稳定的不动点; ②当k大于3时,随着k的增大出现分岔,迭代结果在两个不同数值之间交替出现,称之为周期2循环; k继续增大会出现4, 8, 16, 32„周期倍化级联; ③很快k在58. 3左右就结束了周期倍增,迭代结果出现混沌,从而无周期可言。④在混沌状态下迭代结果对初值高度敏感,细微的初值差异会导致结果巨大区别,常把这种现象称之为“蝴蝶效应”。⑤迭代结果不会超出0~1的范围称为奇怪吸引子。
图5图6
图7实际非线性混沌电路图
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分岔与混沌理论与应用
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我对混沌理论的认识
1、混沌理论概述
混沌是指发生在确定性系统中的貌似随机的不规则运动，一个确定性理论描述的系统，其行为却表现为不确定性－－不可重复、不可预测，这就是混沌现象。
混沌现象起因于物体不断以某种规则复制前一段的运动状态，而产生无法预测的随机效果。
所谓“差之毫厘，失之千里”正是此一现象的最佳批注。
具体而言，混沌现象发生于易变动的物体或系统，该物体在行动之初极为简单，但经过一定规则的连续变动之后，却产生始料所未及的后果，也就是混沌状态。
但是此种混沌状态不同于一般杂乱无章的混乱状况，此一混沌现象经过长期及完整分析之后，可以从中理出某种规则出来。
混沌现象虽然最先用于解释自然界，但是在人文及社会领域中因为事物之间相互牵引，混沌现象尤为多见。
混沌理论，是近三十年才兴起的科学革命，它与相对论与量子力学同被列为二十世纪的最伟大发现和科学传世之作。
混沌的发现揭示了我们对规律与由此产生的行为之间－－即原因与结果之间－－关系的一个基本性的错误认识。
我们过去认为，确定性的原因必定产生规则的结果，但它们可以产生易被误解为随机性的极不规则的结果。
我们过去认为，简单的原因必定产生简单的结果(这意昧着复杂的结果必然有复杂的原因)，但简单的原因可以产生复杂的结果。
我们认识到，知道这些规律不等于能够预言未来的行为。
这一思想已被一群数学家和物理学家，其中包括威廉·迪托(William Ditto)、艾伦·加芬科(Alan Garfinkel)和吉姆·约克(Jim Yorke)，变成了一项非常有用的实用技术，他们称之为混沌控制。
实质上，这一思想就是蝴蝶效应。
初始条件的小变化产生随后行为的大变化，这可以是一个优点；你必须做的一切，是确保得到你想要的大变化。
对混沌动力学如何运作的认识，使我们有可能设计出能完全实现这一要求的控制方案。
这个方法已取得若干成功。
2、分叉的概述
分叉理论研究动力系统由于参数的改变而引起解的拓扑结构和稳定性变化的过程。
在科学技术领域中，许多系统往往都含有一个或多个参数。
当参数连续改变时，系统解的拓扑结构或定性性质在参数取某值时发生突然变化，这时即产
生分叉现象[5]。
根据研究的目的，范围和对象以及方法的不同，分叉问题有不同的分类。
根据系统轨线的范围可以分为局部分叉和全局分叉。
局部分叉仅研究在平衡点或闭轨附近的某个邻域向量场轨线的拓扑结构的变化，全局分叉粗略的说就是非局部分叉，，局部分叉反映出许多实际工作中的分叉问题[6]。
在通常的分叉研究中可将分为静态分叉和动态分叉。
静态分叉主要研究平衡点分叉。
动态分叉主要研究闭轨，同宿轨线，异宿轨线，不变环面等的分叉，因而动态分叉实际上包含了静态分叉问题[6]。
分叉问题研究的内容广泛而丰富，即需要较厚的数学基础，有需要较宽的专业知识，归纳起来，大致可分为如下几个方面：
分叉集的确定，即确定分叉的必要条件和充分条件，这是分叉研究的基本内容。
分叉定性形态的研究，即研究分叉出现时系统拓扑结构随参数变化的情况，这是分叉研究的重要内容。
分叉解的计算，即系统平衡点和极限环的计算。
由于非线性系统分叉的直接求解往往较为困难，甚至不可能，这就需要采取实用而有效的近似方法。
各种不同分叉的相互作用，以及分叉与动力系统的其他现象如混沌的联系。
3、通往混沌的道路
(1)倍周期分叉
分叉与混沌有着密切联系，系统周期解在一定条件下，会产生倍周期分叉。
随着系统参数的变化，这种分叉可以无限延续下去，直至周期演化为无限的，出现混沌。
(2)阵发性分叉
阵发性分叉是指在分叉图上，系统的周期解随着参数的逐渐变化，在达到某一值时，不经过一系列的分叉，而是突然变成非周期的而成为混沌，分叉过程具有明显的跳变现象。
(3)由拟周期（准周期，概周期）通往混沌的道路
系统经过无穷多次准周期分叉进入混沌。
只要经过有限次，一般几次即可进入混沌，这条道路是指直接通过若干次分叉进入混沌。
4、混沌理论的特性
(1)随机性：体系处于混沌状态是由体系内部动力学随机性产生的不规则性行为，常称之为内随机性．例如，在一维非线性映射中，即使描述系统演化行为的数学模型中不包含任何外加的随机项，即使控制参数、韧始值都是确定的，而系统在混沌区的行为仍表现为随机性。
这种随机性自发地产生于系统内部，与外随机性有完全不同的来源与机制，显然是确定性系统内部一种内在随机性和机制作用。
体系内的局部不稳定是内随机性的特点，也是对初值敏感性的原因所在。
(2)敏感性：系统的混沌运动，无论是离散的或连续的，低维的或高维的，保守的或耗散的。
时间演化的还是空间分布的，均具有一个基本特征，即系统的运动轨道对初值的极度敏感性。
这种敏感性，一方面反映出在非线性动力学系统内，随机性系统运动趋势的强烈影响；另一方面也将导致系统长期时间行为的不可预测性。
气象学家洛仑兹提出的所谓"蝴蝶效应"就是对这种敏感性的突出而形象的说明。
(3)分维性：混沌具有分维性质，是指系统运动轨道在相空间的几何形态可以用分维来描述。
例如Koch雪花曲线的分维数是1.26；描述大气混沌的洛伦兹模型的分维数是2.06体系的混沌运动在相空间无穷缠绕、折叠和扭结，构成具有无穷层次的自相似结构。
(4)普适性：当系统趋于混沌时，所表现出来的特征具有普适意义。
其特征不因具体系统的不同和系统运动方程的差异而变化。
这类系统都与费根鲍姆常数相联系。
这是一个重要的普适常数δ＝4．669201609l0299097…
(5)标度律：混沌现象是一种无周期性的有序态，具有无穷层次的自相似结构，存在无标度区域。
只要数值计算的精度或实验的分辨率足够高，则可以从中发现小尺寸混沌的有序运动花样，所以具有标度律性质。
例如，在倍周期分叉过程中，混沌吸引子的无穷嵌套相似结构，从层次关系上看，具有结构的自相似，具备标度变换下的结构不变性，从而表现出有序性。
5、混沌理论的应用
混沌理论也就是非线性动力系统的理论，包含了分叉现象、稳定的周期轨道运动和不稳定运动的组织、多解的共存和解的吸引槽的结构等等。
尽管目前混沌理论还仅限于确定的、低维的系统，但在机械工程中已有不少应用，而且可以预料：随着研究的深入，理论本身会不断地发展，应用也会更加广泛。
目前，有可能应用于机械工程的是混沌理论中的非线性时间序列分析和混沌的控制理论。
(1)非线性时间序列分析
既然一个简单的确定的系统可以表现出非常复杂的动力学行为，那么任意的一组实验数据也许可以用一个精确的、恰当的非线性模型来表示。
为此，首先要重建状态空间，然后进行非线性的功能逼近。
这一技术可以用来解决识别、预测和消噪等问题。
(2)混沌的控制
在混沌控制中，有著名的OGY(Ott-Grebogi-Yorke)理论：利用混沌极其敏感的特点，用很小的能量给系统一个轻微的扰动，使系统运行在选定的运动轨道上。
这一方法的基本原理是：在混沌运动中，有无数个不稳定的周期运动轨道，混沌运动将使系统趋近所期望的运动，一旦系统进入了所期望的运动再使运动稳定下来，这一方法也许会成为机械运动控制的主要方法。
机械工程中有大量的非线性问题，也有大量的混沌现象。
许多混沌现象在过去被人们认为是不可理解和解释而对其束手无策或是随机的现象而被忽略掉了。
目前的研究多数处于研究的初始阶段，即发现混沌现象的阶段。
混沌现象在有些情况下有利于机械的运动，而在有些情况下将会产生不良的影响。
研究混沌的最终目的是分析它对机械运动的影响，并采取相应的措施稳定或抑制混沌。
要作到这一点还必须作大量的、多方面的研究工作，包括混沌现象的研究方法、混沌的控制和利用等。