第一章质点运动学教案(2007)

求船在距岸边为x处时的速度和加速度。
解：（第一类运动学问题）
如图建立坐标，小船到岸边距离为x，绳子长度为l，则有
(1)
得:
_____小船的运动方程(其中l是t的函数)
小船的速度为:
(推导中用到 ，负号表示绳子的长度在缩短)
小船的加速度为
(推导中用到 ，即为小船的速度)
(如果把(1)式看作运动方程的隐式，用隐函数求导的方法求速度和加速度会简便一些)
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第一章质点运动学
教学要求：
*理解质点模型和参照系等概念。
*掌握位置矢量、位移、速度、加速度等物理量及其关系。
*理解自然坐标中路程、速率、切、法向加速度等物理概念。
§1-2切向加速度和法向加速度自然坐标系
笛卡尔坐标系普遍使用，在有的问题中并不是最简捷的方法。
自然坐标系--以某动点为原点，以轨道切向单位矢量和法向单位矢量为垂直轴的二维坐标系。它特别适于描述圆周运动加速度。
一圆周运动的切向加速度和法向加速度
如图，把 分解为两个分矢量:
除以过程的时间间隔 ，并令 ，有：
按式(1-26)， 为法向加速度大小 ，
而 为速度大小即速率v，因而简化为
于是法向加速度大小为:
(1-27)
方向:与速度v垂直即指向圆心
（故 称为向心加速度即法向加速度）
2．切向加速度
按上图可看到 的分量 的大小等于速率的增量，
记作：
同除以 并令 有：
若质点速率减少，则增量分解按下图。
若令 则 极限方向应与速度v方向相反，
相反时速率减小，如上抛运动。
(3)在曲线运动中，加速度方向与速度方向并不一致，如斜抛运动。
把(1-13)式代入(1-18)式可得分量：
(1-19)
由加速度三个分量可以确定加速度的大小和方向余弦。
3．速度公式
由 ，得：
积分：
(1-20)
分量形式为：
(1-21)
*匀加速运动
速度公式为：
或
(1-22)
位移公式为：
加速度大小：
加速度方向：与速度的夹角
例1.5一质点沿一半径为R的圆周运动，路程 ，其中 和b为正常量，求任
意时刻t质点的速率和加速度的大小。
解：质点的速率为：
质点的切向加速度为：
质点的法向加速度为：
质点加速度的大小为：
例1.6一质点作斜上抛运动，初速率为 ，仰角为，见图，
求质点轨道在起点p1和顶点p2的曲率半径。
路程s定义为在一段时间内，质点所经历的轨迹的长度，它是标量。位移矢量定义为在一段时
间内，从初位置引向终位置的一个有向线段，它是矢量。
例如：物体运动轨迹是曲线，从A点运动到B点，则路程是弧长Δs,位移是Δr,
一般情况|Δr|<|Δs|。
只有：质点从A点运动B点的时间间隔Δt→0时，|dr|=|Δs|。
记作: (1-24)
其中:
(1-25)
——法向加速度
(1-26)
——切向加速度
讨论
1．法向加速度
（与匀速率圆周运动中讨论向心加速度过程相同）
图中（a）位矢r和位移 的等腰三角形
与图(b)中速度v和速度增量 构成等腰三角形相似，
有:
式中: 为质点在p1处的速率v，
为位矢大小即圆半径R，
故可记作:
两边同除以 ,并令 ,得:
解：质点的法向加速度
（其中R为曲率半径）
对于p1点，加速度g向下，法向加速度
速率为 ，故有：
由此求得p1点轨道的曲率半径为
对于p2点，加速度g向下：
质点速率为：
故有：
解得p2点的曲率半径为：
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解：质点加速度的两个分量为:
初速度的分量为:
按速度公式有:
按位移公式有:
此题也可直接用匀加速运动公式(1-23)和(1-24)的分量式得到结果
例1.4一质点沿x轴运动，其速度与位置的关系为 ，其中k为一正常量。若
t=0时质点在 处，求任意t时质点的位置、速度和加速度。
解：（第二类运动学问题）
按题意有 ，按速度定义改写为:
选定了参考系后，在其上固定坐标系，描述质点位置可用坐标法。在直角坐标中，质点位置用三
个坐标（x,y,z）确定。
描述质点的位置，还可以用矢量方法：
(1-1)
____质点的位置矢量（简称位矢或径矢）
位矢的大小(质点到原点O的距离):
(1-2)
位矢的方向余弦:
(1-3)
2．运动方程
质点运动方程-----就是位矢r随时间的变化规律。
例1.1一质点在Oxy平面内运动，运动方程为 (A、为正常量)，
求:质点的轨道方程及质点在任意t时位矢、速度和加速度的大小和方向。
解：（第一类运动学问题）
质点运动方程的分量形式为
联立消去t可得到轨迹方程
(圆的方程，圆心O，半径A,质点在作圆周运动)
位矢大小为:
位矢方向为:
(1)
质点速度为:
速度的分量为:
可见：速度为位矢对时间的变化率。
讨论:
(1)速度方向：
可见： 时 趋于轨道切线方向------速度方向沿着轨道切向，且指向前进一侧
------质点的运动方向。
把(1-5)式代入(1-11)式，注意i、j、k为常量，有：
(1-12)
(1-13)
(2)速度的大小和方向余弦可以由它的三个分量确定。
(1-14)
§1-4相对运动
作业：
1-05)、1-08)、1-10)、1-12)、1-16)、
1-18)、1-19)、1-21）、1-23）、1-25）。
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引向终位置的一个有向线段。
如图质点作曲线运动，质点t时刻在p1，位矢r1， 时刻在p2，位矢r2，
定义位移矢量为：
(1-6)
按运动方程(1-4)式有：
(1-7)
分量为：
(1-8)
大小为：
方向余弦为：
讨论：
（1）位移矢量等于终时刻的位置矢量减初时刻位置矢量，二者的顺序不能颠倒。
（2）位移和路程是两个不同的概念。
将(1)两边同时对时间t求导可得:
(注意到上式中 ， =v)
故有:
(2)
解得:
再将(2)式对时间求导得到:
(其中 为船的加速度)
故有:
解得:
例1.3如图，一质点在Oxy平面内斜上抛，忽略空气阻力，
加速度为 ，方向向下。t=0时质点位置在 处，
初速度大小为 ，仰角为 。
求:质点在任意t时的速度和位矢的两个分量。
(3)速率：
平均速率定义为：
瞬时速率（速率）定义为路程对时间的变化率：
由于在 时 ，而dt是正量，
所以：
结论：瞬时速率等于速度矢量的大小。
3.位移公式
由式(1-11)可得
积分
即
(1-15)
——位移公式
把(1-4)式和(1-13)式代入(1-15)式，可得：
(1-16)
三加速度
--加速度是描述质点速度的大小 和方向变化快慢的物理量。
§1-1质点运动的描述
质点----如果研究的问题不涉及物体转动或物体各部分的相对运动，它的大小和形状可以忽略，就可以把物体当作是一个
有一定质量的点，这样的点叫质点。
能否将物体视为质点，依问题的性质而定，而不是依物体的大小而定。
参考系----为描述物体的运动而选的标准物叫参考系。
（1）为什么引入参考系：这是基于机械运动既是绝对的，又是相对的这一客观性质。绝对性指一切物体都在运动，
*理解平面极坐标中的角位置、角速度和角加速度等概念。
*掌握笛卡儿坐标系中运动方程计算质点速度和加速度。由微积分求解直线运动中质点位置、速度和加速度。
*了解相对运动中的位置、速度和加速度变换。
教学内容(学时：4学时)：
§1-1质点运动的描述
§1-2切向加速度和法向加速度自然坐标系
§1-3圆周运动的角量描述平面极坐标系
第一物理学基础，力学规律将引入热学、电磁学、波动学等
*力学分为：
运动学：讨论物体运动的描述及规律性，
动力学：讨论物体运动状态变化原因及物体间相互作用。
*第一章：
讨论质点运动，
*第二~四章：
从受力、动量、角动量及能量讨论质点(系)运动原因。
*第五章：
讨论刚体的力学规律。
(一阶微分方程)
可以通过分离变量法求解,有:
对方程积分，按题意t=0时质点位置在x0，
又设t时质点位置在x，
有:
积分得:
解出质点位置为:
质点速度为:
质点加速度为:
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矢量形式：
(1-4)
——---运动方程
分量形式：
(1-5)
（质点运动方程包含质点运动全部信息，解决质点运动学问题关键所在）
3．轨道方程
轨道为质点运动时在空间形成的轨迹，一般为空间曲线，该曲线方程称轨道方程。
从运动方程中消去t，即可得到轨道方程。