人教中考数学压轴题之锐角三角函数(中考题型整理,突破提升)

一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，某无人机于空中A 处探测到目标B D 、的俯角分别是30、60??,此时无人机的飞

行高度AC 为60m ，随后无人机从A 处继续水平飞行303m 到达'A 处.

（1）求之间的距离

（2）求从无人机'A 上看目标的俯角的正切值. 【答案】（1）120米；（223

. 【解析】 【分析】

（1）解直角三角形即可得到结论；

（2）过'A 作'A E BC ⊥交BC 的延长线于E ，连接'A D ，于是得到'60A E AC ==，

'30CE AA ==3Rt △ABC 中，求得3

3，然后根据三角函数的定义即可得到结论． 【详解】

解：（1）由题意得：∠ABD=30°，∠ADC=60°， 在Rt △ABC 中，AC=60m ，

∴AB=sin 30AC

?

=6012

=120（m ）

（2）过'A 作'A E BC ⊥交BC 的延长线于E ，连接'A D ， 则'60A E AC ==， '30CE AA ==3

在Rt △ABC 中， AC=60m ，∠ADC=60°，

∴33∴3

∴tan ∠A 'A D= tan ∠'A DC=

'A E DE 5032

35

答：从无人机'A 上看目标D 2

35

【点睛】

本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线建立直角三角形是解题的关键.

2．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5分）

已知：如图，AB 是半圆O 的直径，弦//CD AB ，动点P 、Q 分别在线段OC 、CD 上，且DQ OP =，AP 的延长线与射线OQ 相交于点E 、与弦CD 相交于点F （点F 与点C 、D 不重合），20AB =，4

cos 5

AOC ∠=

．设OP x =，CPF ?的面积为y ．

（1）求证：AP OQ =；

（2）求y 关于x 的函数关系式，并写出它的定义域； （3）当OPE ?是直角三角形时，求线段OP 的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）236030050

(10)13

x x y x x -+=<<；（3）8OP =

【解析】 【分析】

（1）证明线段相等的方法之一是证明三角形全等，通过分析已知条件，OP DQ =，联结

OD 后还有OA DO =，再结合要证明的结论AP OQ =，则可肯定需证明三角形全等，寻

找已知对应边的夹角，即POA QDO ∠=∠即可；

（2）根据PFC ?∽PAO ?，将面积转化为相似三角形对应边之比的平方来求；（3）分成三种情况讨论，充分利用已知条件4

cos 5

AOC ∠=、以及（1）（2）中已证的结论，注意要对不符合（2）中定义域的答案舍去． 【详解】

（1）联结OD ，∵OC OD =，

∴OCD ODC ∠=∠， ∵//CD AB ， ∴OCD COA ∠=∠， ∴POA QDO ∠=∠． 在AOP ?和ODQ ?中，

{OP DQ

POA QDO OA DO

=∠=∠=， ∴AOP ?≌ODQ ?， ∴AP OQ =；

（2）作PH OA ⊥，交OA 于H ， ∵4cos 5

AOC ∠=， ∴4455OH OP x =

=，3

5PH x =， ∴1

32

AOP S AO PH x ?=

?=． ∵//CD AB ， ∴PFC ?∽PAO ?， ∴

22

10(

)()AOP

y CP x S OP x

?-==， ∴2360300

x x y x

-+=，当F 与点D 重合时，

∵4

2cos 210165

CD OC OCD =?∠=??=， ∴

101016x x =-，解得50

13

x =， ∴2360300x x y x

-+=

50

(10)13x <<； （3）①当90OPE ∠=时，90OPA ∠=， ∴4

cos 1085

OP OA AOC =?∠=?

=； ②当90POE ∠=时，

101025

4cos cos 25OC CQ QCO AOC =

===

∠∠，

∴252OP DQ CD CQ CD ==-=-

2571622

=-=，

∵

50

1013

OP <<， ∴7

2

OP =

（舍去）； ③当90PEO ∠=时，∵//CD AB ， ∴AOQ DQO ∠=∠， ∵AOP ?≌ODQ ?， ∴DQO APO ∠=∠， ∴AOQ APO ∠=∠，

∴90AEO AOP ∠=∠=，此时弦CD 不存在，故这种情况不符合题意，舍去； 综上，线段OP 的长为8．

3．如图，已知，在

O 中，弦AB 与弦CD 相交于点E ，且AC BD =.

（1）求证：AB CD =；

（2）如图，若直径FG 经过点E ，求证：EO 平分AED ∠；

（3）如图，在（2）的条件下，点P 在CG 上，连接FP 交AB 于点M ，连接MG ，若

AB CD ⊥，MG 平分PMB ∠，2MG =，FMG ?的面积为2，求O 的半径的长.

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）O 10.

【解析】 【分析】

(1) 利用相等的弧所对的弦相等进行证明；

（2）连接AO 、DO ，过点O 作OJ AB ⊥于点J ，OQ CD ⊥于点Q ，证明

AOJ DOQ ???得出OJ OQ =，根据角平分线的判定定理可得结论；

（3）如图，延长GM 交

O 于点H ，连接HF ，求出2FH =，在HG 上取点L ，使

HL FH =，延长FL 交O 于点K ，连接KG ，求出22FL =，设HM n =，则有

2LK KG n ==

，222FK FL LK n =+=+，再证明KFG EMG HMF ∠=∠=∠，从而得到tan tan KFG HMF ∠=∠，

KG HF

FK HM

=，再代入LK 和FK 的值可得n=4,再求得FG 的长，最后得到圆的半径为10． 【详解】

解：（1）证明：∵AC BD =，∴AC CB BD CB +=+， ∴AB CD =， ∴AB CD =.

（2）证明：如图，连接AO 、DO ，过点O 作OJ AB ⊥于点J ，OQ CD ⊥于点Q ，

∴90AJO DQO ∠=∠=?，11

22

AJ AB CD DQ ===， 又∵AO DO =， ∴AOJ DOQ ???， ∴OJ OQ =，

又∵OJ AB ⊥，OQ CD ⊥， ∴EO 平分AED ∠.

（3）解：∵CD AB ⊥，∴90AED ∠=?，

由（2）知，1

452

AEF AED ∠=

∠=?， 如图，延长GM 交O 于点H ，连接HF ，

∵FG 为直径，∴90H ∠=?，1

22

MFG S MG FH ?=??=， ∵2MG =，∴2FH =，

在HG 上取点L ，使HL FH =，延长FL 交O 于点K ，连接KG ，

∴45HFL HLF ∠=∠=?，45KLG HLF ∠=∠=?， ∵FG 为直径，∴90K ∠=?，

∴9045KGL KLG KLG ∠=?-∠=?=∠，∴LK KG =， 在Rt FHL ?中，222FL FH HL =+，22FL = 设HM n =，2HL MG ==，

∴GL LM MG HL LM HM n =+=+==， 在Rt LGK ?中，222LG LK KG =+，22

LK KG ==

，2

22FK FL LK =+=， ∵GMP GMB ∠=∠，∵PMG HMF ∠=∠，∴HMF GMB ∠=∠， ∵1

452

AEF AED ∠=

∠=?， ∴45MGF EMG MEF ∠+∠=∠=?，45MGF KFG HLF ∠+∠=∠=?， ∴KFG EMG HMF ∠=∠=∠， ∴tan tan KFG HMF ∠=∠，

∴

KG HF

FK HM

=，∴22

22222

n

n =

+

，4n =， ∴6HG HM MG =+=，

在Rt HFG ?中，222FG FH HG =+，210FG =10FO = 即

O 10

【点睛】

考查了圆的综合题，本题是垂径定理、圆周角定理以及三角函数等的综合应用，适当的添

加辅助线是解题的关键．

4．在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，点D是边BC上一点，连接AD，将线段AD绕点A 逆时针旋转90°，得到线段AE，连接DE．

（1）如图①，当点E落在边BA的延长线上时，∠EDC＝度（直接填空）；

（2）如图②，当点E落在边AC上时，求证：BD＝1

2 EC；

（3）当AB＝22，且点E到AC的距离等于3﹣1时，直接写出tan∠CAE的值．

【答案】（1）90；（2）详见解析；（3）

633 tan EAC

-

∠=

【解析】

【分析】

（1）利用三角形的外角的性质即可解决问题；

（2）如图2中，作PA⊥AB交BC于P，连接PE．只要证明△BAD≌△PAE（SAS），提出BD=PE，再证明EC=2PE即可；

（3）如图3，作EF⊥AC于F，延长FE交BC于H，作AG⊥BC于G，PA⊥AB交BC于P，连接PE．设PH＝x，在Rt△EPH中，可得EP3，EH＝2PH＝2x，

由此FH＝31，CF＝33，由△BAD≌△PAE，得BD＝EP3x，AE＝AD，在Rt△ABG中， AG＝GB＝2，在Rt△AGC中，AC＝2AG＝4，故AE2＝AD2＝AF2+EF2，由勾股定理得AF＝3tan∠EAF＝23tan∠EAC＝

6-33

11

．

【详解】

（1）如图1中，

∵∠EDC＝∠B+∠BED，∠B＝∠BED＝45°，

∴∠EDC＝90°，

故答案为90；

（2）如图2中，作PA⊥AB交BC于P，连接PE．

∵∠DAE＝∠BAP＝90°，

∴∠BAD＝∠PAE，

∵∠B＝45°，

∴∠B＝∠APB＝45°，

∴AB＝AP，

∵AD＝AE，

∴△BAD≌△PAE（SAS），

∴BD＝PE，∠APE＝∠B＝45°，

∴∠EPD＝∠EPC＝90°，

∵∠C＝30°，

∴EC＝2PE＝2BD；

（3）如图3，作EF⊥AC于F，延长FE交BC于H，作AG⊥BC于G，PA⊥AB交BC于P，连接PE．

设PH＝x，在Rt△EPH中，∵∠EPH＝90°，∠EHP＝60°，

∴EP

，EH＝2PH＝2x，

∴FH＝

1，CF FH＝

∵△BAD≌△PAE，

∴BD＝EP

，AE＝AD，

在Rt△ABG中，∵AB＝

∴AG＝GB＝2，

在Rt△AGC中，AC＝2AG＝4，

∵AE2＝AD2＝AF2+EF2，

∴2

2+（2）21）2+（4﹣﹣2，整理得：9x2﹣12x＝0，

解得x＝4

3

（舍弃）或0

∴PH＝0，此时E，P，H共点，

∴AF＝

∴tan∠EAF

＝EF

AF

＝2

根据对称性可知当点E在AC的上方时，同法可得tan∠EAC＝

11

．

【点睛】

本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．

5．如图，在平面直角坐标系中，直线DE交x轴于点E（30，0），交y轴于点D（0，

40），直线AB：y＝1

3

x+5交x轴于点A，交y轴于点B，交直线DE于点P，过点E作

EF⊥x轴交直线AB于点F，以EF为一边向右作正方形EFGH．

（1）求边EF的长；

（2）将正方形EFGH沿射线FB个单位的速度匀速平移，得到正方形E1F1G1H1，在平移过程中边F1G1始终与y轴垂直，设平移的时间为t秒（t＞0）．

①当点F1移动到点B时，求t的值；

②当G1，H1两点中有一点移动到直线DE上时，请直接写出此时正方形E1F1G1H1与△APE 重叠部分的面积．

【答案】（1）EF＝15；（2）①10；②120；【解析】

【分析】

（1）根据已知点E（30，0），点D（0，40），求出直线DE的直线解析式y=-4

3

x+40，可

求出P点坐标，进而求出F点坐标即可；

（2）①易求B（0，5），当点F1移动到点B时，1010=10；

②F点移动到F'10t，F垂直x轴方向移动的距离是t，当点H运动到直线DE

上时，在Rt△F'NF中，NF

NF'

=

1

3

，EM=NG'=15-F'N=15-3t，在Rt△DMH'中，

4

3

MH

EM

'

=，

t=4，S=1

2

×(12+

45

4

)×11=

1023

8

；当点G运动到直线DE上时，在Rt△F'PK中，

PK

F K'

=

1

3

，

PK=t-3，F'K=3t-9，在Rt△PKG'中，PK

KG'

＝

3

1539

t

t

-

-+

＝

4

3

，t=7，S=15×（15-7）=120.

【详解】

（1）设直线DE的直线解析式y＝kx+b，将点E（30，0），点D（0，40），

∴

300

40

k b

b

+=

?

?

=

?

，

∴

4

3

40

k

b

?

=-

?

?

?=

?

，

∴y＝﹣4

3

x+40，

直线AB与直线DE的交点P（21，12），

由题意知F（30，15），

∴EF＝15；

（2）①易求B（0，5），

∴BF＝10，

∴当点F1移动到点B时，t＝1010＝10；

②当点H 运动到直线DE 上时，

F 点移动到F'的距离是10t ， 在Rt △F'NF 中，

NF NF '=1

3

， ∴FN ＝t ，F'N ＝3t ， ∵MH'＝FN ＝t ，

EM ＝NG'＝15﹣F'N ＝15﹣3t ， 在Rt △DMH'中，

4

3MH EM '=， ∴

4

1533t t =-， ∴t ＝4，

∴EM ＝3，MH'＝4，

∴S ＝

1451023(12)11248?+?=； 当点G 运动到直线DE 上时，

F 点移动到F'10， ∵PF ＝10 ∴PF'10t ﹣10， 在Rt △F'PK 中，

1

3

PK F K ='，

∴PK ＝t ﹣3，F'K ＝3t ﹣9， 在Rt △PKG'中，PK KG '＝31539t t --+＝4

3

， ∴t ＝7，

∴S ＝15×（15﹣7）＝120. 【点睛】

本题考查一次函数图象及性质，正方形的性质；掌握待定系数法求函数解析式，利用三角形的正切值求边的关系，利用勾股定理在直角三角形中建立边之间的联系，准确确定阴影部分的面积是解题的关键．

6．如图，正方形OABC 的顶点O 与原点重合，点A ，C 分别在x 轴与y 轴的正半轴上，点

A 的坐标为（4，0），点D 在边A

B 上，且tan ∠AOD ＝

1

2

，点E 是射线OB 上一动点，EF ⊥x 轴于点F ，交射线OD 于点G ，过点G 作GH ∥x 轴交AE 于点H ． （1）求B ，D 两点的坐标；

（2）当点E 在线段OB 上运动时，求∠HDA 的大小；

（3）以点G 为圆心，GH 的长为半径画⊙G ．是否存在点E 使⊙G 与正方形OABC 的对角线所在的直线相切？若不存在，请说明理由；若存在，请求出所有符合条件的点E 的坐标．

【答案】（1）B （4，4），D （4，2）；（2）45°；（3）存在，符合条件的点为（8﹣

2，8﹣2）或（2，2）或42164216,77??

? ???或16421642,77?-- ??

，理由见解析 【解析】 【分析】

（1）由正方形性质知AB=OA=4，∠OAB=90°，据此得B （4，4），再由tan ∠AOD= 1

2

得AD=

1

2

OA=2，据此可得点D 坐标；

（2）由

1

tan

2

GF

GOF

OF

∠==知GF=

1

2

OF，再由∠AOB=∠ABO=45°知OF=EF，即

GF=1

2

EF，根据GH∥x轴知H为AE的中点，结合D为AB的中点知DH是△ABE的中位

线，即HD∥BE，据此可得答案；

（3）分⊙G与对角线OB和对角线AC相切两种情况，设PG=x，结合题意建立关于x的方程求解可得．

【详解】

解：（1）∵A（4，0），

∴OA＝4，

∵四边形OABC为正方形，

∴AB＝OA＝4，∠OAB＝90°，

∴B（4，4），

在Rt△OAD中，∠OAD＝90°，

∵tan∠AOD＝1

2

，

∴AD＝1

2OA＝

1

2

×4＝2，

∴D（4，2）；

（2）如图1，在Rt△OFG中，∠OFG＝90°

∴tan∠GOF＝GF

OF ＝

1

2

，即GF＝

1

2

OF，

∵四边形OABC为正方形，∴∠AOB＝∠ABO＝45°，∴OF＝EF，

∴GF＝1

2

EF，

∴G为EF的中点，

∵GH∥x轴交AE于H，

∴H为AE的中点，

∵B（4，4），D（4，2），

∴D为AB的中点，

∴DH是△ABE的中位线，

∴HD∥BE，

∴∠HDA＝∠ABO＝45°．

（3）①若⊙G与对角线OB相切，

如图2，当点E在线段OB上时，

过点G作GP⊥OB于点P，设PG＝x，可得PE＝x，EG＝FG＝2x，OF＝EF＝22x，

∵OA＝4，

∴AF＝4﹣22x，

∵G为EF的中点，H为AE的中点，

∴GH为△AFE的中位线，

∴GH＝1

2AF＝

1

2

×（4﹣22x）＝2﹣2x，

则x＝2﹣2x，

解得：x＝22﹣2，

∴E（8﹣42，8﹣42），

如图3，当点E在线段OB的延长线上时，

x2x﹣2，

解得：x＝2

∴E（2，2

②若⊙G 与对角线AC 相切，

如图4，当点E 在线段BM 上时，对角线AC ，OB 相交于点M ，

过点G 作GP ⊥OB 于点P ，设PG ＝x ，可得PE ＝x ， EG ＝FG ＝2x ， OF ＝EF ＝22x ， ∵OA ＝4， ∴AF ＝4﹣22x ，

∵G 为EF 的中点，H 为AE 的中点， ∴GH 为△AFE 的中位线， ∴GH ＝

12AF ＝1

2

×（4﹣22x ）＝2﹣2x ， 过点G 作GQ ⊥AC 于点Q ，则GQ ＝PM ＝3x ﹣22， ∴3x ﹣22＝2﹣2x ， ∴422

7

x +=

， ∴42164216,E ??

++ ? ???

； 如图5，当点E 在线段OM 上时，

GQ ＝PM ＝23x ，则23x ＝22，

解得422

7

x -=

， ∴16421642,77E ??-- ? ???

； 如图6，当点E 在线段OB 的延长线上时，

3x ﹣22x ﹣2， 解得：422

x -=

（舍去）； 综上所述，符合条件的点为（8﹣2，8﹣2）或（2，2）或

42164216,77?? ? ???或16421642,77?-- ??

． 【点睛】

本题是圆的综合问题，解题的关键是掌握正方形和直角三角形的性质、正切函数的定义、三角形中位线定理及分类讨论思想的运用．

7．

如图，△ABC 中，AC ＝BC ＝10，cosC ＝

3

5

，点P 是AC 边上一动点（不与点A 、C 重合），以PA 长为半径的⊙P 与边AB 的另一个交点为D ，过点D 作DE ⊥CB 于点E ． （1）当⊙P 与边BC 相切时，求⊙P 的半径．

（2）连接BP 交DE 于点F ，设AP 的长为x ，PF 的长为y ，求y 关于x 的函数解析式，并直接写出x 的取值范围．

（3）在（2）的条件下，当以PE 长为直径的⊙Q 与⊙P 相交于AC 边上的点G 时，求相交所得的公共弦的长.

【答案】（1）

40

9

R=;（2）2

5

880

320

x

y x x

x

=-+

+

;（3）50105

-.

【解析】【分析】

（1）设⊙P与边BC相切的切点为H，圆的半径为R，连接HP，则HP⊥BC，cosC＝3

5

，则

sinC＝4

5

，sinC＝

HP

CP

＝

10

R

R

-

＝

4

5

，即可求解；

（2）首先证明PD∥BE，则EB BF

PD PF

=，即：20

2

4

588

x y

x

x

x

y

-+

--

=，即可求解；

（3）证明四边形PDBE为平行四边形，则AG＝EP＝BD，即：AB＝DB+AD＝AG+AD＝45，即可求解．

【详解】

（1）设⊙P与边BC相切的切点为H，圆的半径为R，

连接HP，则HP⊥BC，cosC＝3

5

，则sinC＝

4

5

，

sinC＝HP

CP

＝

10

R

R

-

＝

4

5

，解得：R＝

40

9

；

（2）在△ABC中，AC＝BC＝10，cosC＝3

5

，

设AP＝PD＝x，∠A＝∠ABC＝β，过点B作BH⊥AC，

则BH ＝ACsinC ＝8，

同理可得：CH ＝6，HA ＝4，AB ＝45，则：tan ∠CAB ＝2， BP ＝228+(4)x -＝2880x x -+，

DA ＝

25x ，则BD ＝45﹣25

x ， 如下图所示，PA ＝PD ，∴∠PAD ＝∠CAB ＝∠CBA ＝β，

tanβ＝2，则cosβ5

，sinβ5

， EB ＝BDcosβ＝（525

x ）5＝4﹣25

x ，

∴PD ∥BE ，

∴EB BF

PD PF

=，即：202

4588x y x x

x -+--=，

整理得：y 25x

x 8x 803x 20

-++

（3）以EP 为直径作圆Q 如下图所示，

两个圆交于点G，则PG＝PQ，即两个圆的半径相等，则两圆另外一个交点为D，GD为相交所得的公共弦，

∵点Q是弧GD的中点，

∴DG⊥EP，

∵AG是圆P的直径，

∴∠GDA＝90°，

∴EP∥BD，

由（2）知，PD∥BC，∴四边形PDBE为平行四边形，

∴AG＝EP＝BD，

∴AB＝DB+AD＝AG+AD＝5

设圆的半径为r，在△ADG中，

AD＝2rcosβ

5DG

5

AG＝2r，

5＝52r

51

，

则：DG

5

50﹣5

相交所得的公共弦的长为50﹣5

【点睛】

本题考查的是圆知识的综合运用，涉及到解直角三角形、勾股定理等知识，其中（3），要关键是根据题意正确画图，此题用大量的解直角三角形的内容，综合难度很大．

8．已知：如图，直线y＝－x＋12分别交x轴、y轴于A、B点，将△AOB折叠，使A点恰好落在OB的中点C处，折痕为DE．

(1)求AE的长及sin∠BEC的值；

(2)求△CDE的面积．

【答案】（1）52，sin∠BEC=3

5

；（2）

75

4

【解析】

【分析】

（1）如图，作CF⊥BE于F点，由函数解析式可得点B，点A坐标，继而可得

∠A=∠B=45°，再根据中点的定义以及等腰直角三角形的性质可得OC=BC=6，

CF=BF=32，

设AE=CE=x，则EF=AB-BF-AE=122-32-x=92-x，在Rt△CEF中，利用勾股定理求出x 的值即可求得答案；

（2）如图，过点E作EM⊥OA于点M，根据三角形面积公式则可得

S△CDE=S△AED=

2

4

AD×AE，设AD=y，则CD=y，OD=12-y，在Rt△OCD中，利用勾股定理求

出y，继而可求得答案.

【详解】

（1）如图，作CF⊥BE于F点，

由函数解析式可得点B（0，12），点A（12，0），∠A=∠B=45°，

又∵点C是OB中点，

∴OC=BC=6，2

设AE=CE=x，则222-x，

在Rt△CEF中，CE2=CF2+EF2，即x2=（2）2+（2）2，

解得：2

故可得sin∠BEC=

3

5

CF

CE

，2

（2）如图，过点E作EM⊥OA于点M，