卡氏第二定理(专业教学)
材料力学能量法第3节 卡式定理
q 2 M ( x) (l x) M e 2
M 1 M e
（2）计算 B 截面转角 B
M q 2 1 M ( x) (l x) M e M e 2 M ( x) M ( x) Bq M e dx EI M e 1 l q 2 [ ( l x ) M ] ( 1 ) d x e EI 0 2 3 l ql 顺时针转向 Me EI 6 ql 3 顺时针转向 B 令 Me 0 6 EI
2
1 dFi dyi U dFi yi 2
(3)
比较(2)(3)式
1 dFi dyi U dFi yi (3) 2 U ( F1 , F2 , Fn ) yi i 1,2,3,... Fi
U U dFi Fi
(Hale Waihona Puke 2)梁的变形能对某一载荷 Fi 的偏导数，等于 在该载荷处沿载荷方向的位移，这就是卡氏定理， 也称卡氏第二定理。由意大利工程师 A 卡斯蒂利亚 诺（1847-1884）于1873年提出的。卡氏定理对其他 线弹性结构也是适用的。
广义力的函数：设在如图所示梁上，作用有 n 个力 y2 ， ， yn 。 F1， F2 ， ， Fn ，其相应位移分别为 y1， 在载荷施加过程中，外力所做的功转变成梁的变形 能。这样，变形能应为广义力 Fi 的函数
U f ( F1, F2 ,, Fn )
若 Fi
(1) ( 2)
Fi dFi ， 则 U
U U dFi Fi
卡式定理的推导 —— 改变加力的次序 (1)先施加 dFi ：在施加 dFi 时，其作用点沿 dFi 方向的 1 dF dy 位移为 dyi ，梁的变形能为 i i；
44卡氏第二定理
Mechanics of Materials卡氏第二定理d d E A I N Δl l ii x xF GI F E F M ++∂∂⎰⎰T T P N ()()()()d ()()i l i x F x x EA M x M x x M x F ∂=∂∂∂⎰22F M EIEI 2NTεP ()()()d d d 222x M x x V x x x EA GI =++⎰⎰⎰F xk N 1Δnj j Nj i j j j iF l F E A F =∂=∂∑桁架结构N ()F x T ()M x ()M x N ()F x T ()M x ()M x S S ()()d 2ix F x GA F ∂+∂⎰组合变形构件图示外伸梁抗弯刚度为EI，只考虑弯曲变形，试求外伸端C的挠度wC 和截面B 的转角θB 。
解：⑴求支座约束力解得：-=AyFa F l=AyFaFl⑵求梁各段的弯矩方程及对载荷的偏导数【例题】AB段BC段(0)x l≤≤()==AyFaM x F x xl()∂=∂M x axF l()l x l a≤≤+()()=+-M x F l a x()∂=+-∂M xl a xF⑶ 求载荷作用点相应的位移0()()()()d d +∂∂=+∂∂⎰⎰ll a C l M x M x M x M x w x xEI F EI F 231()33=+Fa l Fa EI 011d ()()d +=⋅++-⋅+-⎰⎰l l a lFa a x x x F l a x l a x x EI l l EI AB 段BC 段(0)x l ≤≤()==Ay Fa M x F x xl ()∂=∂M x ax F l()l x l a ≤≤+()()=+-M x F l a x ()∂=+-∂M x l aF⑶ 求载荷作用点相应的位移11221200()()()()d d ∂∂=+∂∂⎰⎰la C M x M x M x M x w x x EI F EI F 231()33=+Fa l Fa EI 1112220011d d =⋅+⋅⎰⎰l a Fa a x x x Fx x x EI l l EI AB 段BC 段1(0)≤≤x l 111()==Ay FaM x F x x l11()∂=∂M x a x F l 2(0)≤≤x a 22()=M x Fx 22()∂=∂M x xFlM x F x x Fa M Ay a ==-()111M lM x x a ∂=-∂()11M x Fx =()22M M x a∂=∂0()2⑵ 求梁各段的弯矩方程及对载荷的偏导数AB 段BC 段≤≤x l (0)1x a ≤≤(0)2⑴ 求支座约束力 解得：∑=MB0:Fa F l M Ay a --=0lF Fa M Aya =-↑()有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）1122120()()()()d d θ∂∂=+∂∂⎰⎰la B a a M x M x M x M x x x EI M EIM 11122011()d 0d a a laa M M Fa M x x x Fx x EIl lEI ==-=⋅-+⋅⎰⎰-Fal11()-=aFa M M x x l⑵ 求梁各段的弯矩方程及对载荷的偏导数 AB 段BC 段⑶ 求载荷作用点相应的位移结果负值说明位移方向与对应载荷方向相反3EI =【讨论】图示情况 含义FV ∂∂εFV B D ∂∂ε求 B 处 F 有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）1. 建立内力方程【总结】卡氏第二定理求位移的解题步骤()()d ∂∂⎰l i M x M x x EI F ()[()]d -∂-∂⎰l iM x M x x EI F 2. 内力方程对 F i 求偏导3. 将内力方程及偏导代入积分表达式求位移各段内力方程坐标原点可以不一样 若所求位移处无对应载荷，可虚设对应载荷，偏导后才能令该虚载荷等于 0若所求位移为正，说明实际位移方向与对应载荷方向一致，否则与对应载荷方向相反内力正负规定不会影响计算结果 内力方程不要用约束力表示。
材料力学卡式定理
l
(2)
于是(1)式改写为
y / l
(3)
3
梁内任一点处的比能
u
1 2
E 2
1 2
E 2
l2
y2
(4)
梁的应变能
l
U VudV 0 (AudA)dx
l 1 E 2
( 02
l2
y2dA)dx 1 EI 2
A
2l
(5)
由卡氏第一定理
m U 1 EI (2 ) EIθ
(6)
2 lx)
2
dx
1 ( 5PL3 RC L3 ) 0
EI 48
3
RC
5P 16
能量法求解超静定结构，适 用任意荷载作用下、线性或 非线性弹性杆系、刚架或曲 杆等超静定系统。
14
2.求 wB
① 求内力
M
AB ( x)
5P 16
(L
x)
P(0.5L
x)
M BC ( x)
5P 16
Px L EI Px
1 EI
x 0
P(L
x1 ) ( x1
x)dx1
P
x3 [
(L
x)x2
Lx 2 ]
EI 3
2
12
例6 等截面梁如图，用卡氏定理求B 点的挠度。
P 0.5 L
B
A
L
解：1.依 wC 0 求多余反力，
卡氏定理解 ① 取静定基如图 C 超静定结构
② 求内力
M AB ( x) RC (L x) P(0.5L x)
L x1
O
x
w
①求内力 M AB ( x1) P(L x1) Px ( x x1) M BC ( x1) P(L x1)
卡氏第二定理
卡氏第二定理卡氏第二定理（KummerSecondTheorem）又称为卡氏二元定理，它是由德国数学家卡氏于1852年提出的一种数论定理，是多个古老定理的总结，是一个重要的代数结构之一。
卡氏第二定理涉及了几何射影以及椭圆曲线的投影，是一项重要的数学理论，被广泛应用在数论、组合数学、多元代数和特殊函数的研究中。
卡氏第二定理的主要原理可以归结为三点：（1）设f(x)为一种单个变量的多项式，一般地，一个多项式具有n次不同的根，不论是实根还是复根，他们出现的次数总是n次。
（2）设P(x,y)为一个二元多项式，其中x和y是连续变量，该多项式的根是一个椭圆曲线E上的点的坐标。
若F(x,y)是P(x,y)的一个不可约因子，那么F(x,y)在E上的根也是E上的点的坐标，而且出现次数等于P(x,y)的根的出现次数。
（3）对于任意的二元多项式P(x,y)，如果F(x,y)是P(x,y)的一个不可约因子，则P(x,y)的根总是满足如下条件：P(x,y)是一个整数关系。
卡氏第二定理在数论、组合数学、多元代数研究和计算数学中有着重要的应用价值。
它不仅用于解决多变量多项式的求根问题，而且还可以用来寻找椭圆曲线上有趣点的坐标，以及在数论中研究质素数和平方数等问题。
此外，在数据加密领域，卡氏第二定理的应用也是非常广泛的。
其中，最重要的应用是RSA加密算法，它是目前世界上最常用的公钥加密算法，而RSA算法的安全性完全依赖于卡氏第二定理的应用。
因此，卡氏第二定理的研究可以说是数学的“金矿”，在数学领域有着重要的应用价值，且极具前景。
现代数学家们仍一直在探索和研究卡氏第二定理，并发现了它具有良好的应用价值，为世界各地的科研人员提供了难以估量的帮助。
卡氏第二定理的研究不仅对数学的发展至关重要，而且对实际的应用也具有极大的意义，是数学巨人卡氏的一项重要成就。
第九讲-卡氏定理
基本公式
一般物体 载荷 f : 0 → F 相应位移 δ : 0 → ∆ 线性弹性体
dW= fdδ =
W = ∫ fdδ
0
∆
f ∝δ f =kδ
k － 线弹体在载荷作
用点、 用点、沿其作用方向 产生单位位移所需之 力，称为刚度系数 称为刚度系数
W = ∫ kδdδ
0
∆
k∆2 = 2
F∆ W= = 2
施加矩为 Me的力偶 －附加力偶
θB(q) = [θB(q, Me )]M =0
e
θB (q) =
∫
e
2. 位移计算
ql Me FAy = − 2 l x ∂M qlx Me x qx2 =− M( x) = − − l ∂Me 2 l 2 M( x) ∂M( x) θB (q) = dx l EI ∂Me M =0
∆A
A1 A′
B
B
合力的相应位移
∆A =
2 ∆A = (∆A + fA ) 2
2 ∂U 2 ∂U ∂U = = = (∆A + fA ) 2 ∂F 2 ∂F ∂ 2 F
(
)
FN2 = −F
2F ⋅ 2l (-F)l ⋅ 2+ ⋅ (-1) EA EA (2 2 + 1)Fl EA
∆By =
∆By =
（↓ ）
例 3-2 利用卡氏定理计算θB
EI EI
－附加力法
解：1. 分析方法
转角θ 所对应的载荷？ 转角θB所对应的载荷？
M( x) ∂M( x) dx l EI ∂Me M =0
∂Vc ∵ ∆k = ∂Fk
My ( x) ∂My Mz ( x) ∂Mz FN ( x) ∂FN ( x) T( x) ∂T( x) ∆k = ∫ dx+∫ dx+∫ dx+∫ dx l EA l GI l EI l EI ∂Fk ∂Fk t y ∂F k z ∂F k
卡氏第二定理线性弹性体对于线性弹性体
0a
(FPBB x1 EI
)
(
x1
)dx1
a2a
FPBB
x2
FP(
EI
x2
a)(
x2
)dx2
令：FB=F
By
a 0
Fx12 EI
dx1
2a a
2F
x22 Fax2 EI
dx2
7Fa3 2EI
二、求B 处的转角
由于 B 处没有相应的力偶与 转角相对应，可假设在 B 作用一 力偶 M f ( M f 为附加力偶）。
P 2l 3 3EI
P2l 3 2GI P
3、利用功能原理求位移
U
W
1 2
P
Cy
P2l3 3EI
P2l3 2GI P
P 2
Cy
,
x
Cy
2Pl 3 3EI
Pl 3 GI P
x
例 桁架如图所示，各杆EA相同，利用功能原理求D点的 垂直位移。
解 1、各杆内力
C
FN1 FN 5
dx
段的应变能：
dU
1 2
FN
EA
(x) (dx)
FN2 (x)dx 2EA
FN
FF
FN (x) FN (x) dx
x
FN (x)
dU
1 2
FN
(x) (dx)
FN2 (x)dx 2EA
比能：
u(x) dU FN2 (x)dx 1 (x) (x)
dV 2EA Adx 2
材料力学第8章-能量法3-1
d
FN dx d(l) = EA
0 N
Mdx d EI
0
Tdx d GI p
0 S 0
1 F d l M d F d T d
F FN T T M M dx dx dx EA EI GI p
0 N 0 0
2.力和位移应理解为广义力和广义位移。
能量法/虚功原理 单位力法 图乘法
上节回顾
1、可能内力,可能位移,虚位移 2、虚功原理
在外力作用下处于平衡的结构，任意给它一个虚位移， 则外力在虚位移上所做的虚功，等于结构内力在虚变形上所 作的功。
W Wi
* e
e
*
外力虚功
内力虚功
l
W
Fi
5 M a 3
0 1c
2 Fa a
M
0 2c
3 a 2
Fa a 3 2 2 0 M 3c a 3
能量法/虚功原理 单位力法 图乘法
A
EI1
a
C
EI 2
a
F B
1
2Fa Fa
1
2a 5a/3
2
3a/2
-
2a/3
3
根据图乘法，自由端的挠度为：
1 1 0 0 yB 1M1c 2 M 2c EI 3M 30c EI1 2 1 Fa a 5 3 1 Fa a 2a a Fa a a EI1 2 3 2 EI 2 2 3
能量法/超静定问题 力法 例 如图超静定梁, EI为常数,试求B点的约束反力。
第八章
一、杆件的应变能
《材料力学》学习指导
《材料⼒学》学习指导《材料⼒学》学习指导⼀、《材料⼒学》课程的总体把握1.《材料⼒学》的任务材料⼒学是继理论⼒学之后开设的⼀门专业基础课。
理论⼒学研究物体（刚体）在⼒的作⽤下的平衡与运动规律，材料⼒学研究构件（变形体）的承载能⼒。
材料⼒学的研究对象为变形固体，且仅限于⼯程结构中的杆件。
所有⼯程结构与构件均为变形体，⽽⼯程结构中杆件受⼒后多为⼩变形体，讨论⼩变形体的平衡问题时，⽐如：求⽀反⼒时，可近似⽤刚体⼒学的理论。
⼤部分⼯程材料可近似为连续、均匀、各向同性（变形固体的理想模型）与完全弹性的理想材料。
构件的承载能⼒表现为三个⽅⾯：构件抵抗破坏的能⼒，称为强度；构件抵抗变形的能⼒，称为刚度；构件保持原有构件形状的能⼒，称为稳定性；所以材料⼒学的任务是在理想材料和⼩变形的条件下，研究杆件的强度、刚度与稳定性。
2.掌握《材料⼒学》的研究⽅法材料⼒学⾸先研究杆件在四种基本变形下的内⼒、应⼒与变形。
计算静定结构的内⼒的⽅法为截⾯法，要⽤到刚体⼒学的理论，所以要对理论⼒学中平衡条件的灵活应⽤相当熟练。
讨论应⼒与变形时，要从杆件的整体变形与局部变形之间的⼏何关系、应⼒与应变之间的物理关系、内⼒与应⼒之间的静⼒学关系三⽅⾯⼊⼿。
其中⼏何关系是在试验观察与假设条件下建⽴起来的；物理关系是通过⼤量试验总结得来的；静⼒学关系是由内⼒与应⼒的等效条件通过积分得到的。
对于组合变形下的内⼒、应⼒与变形计算，只需要在四种基本变形的基础上，利⽤叠加原理即可。
如何解决组合变形下的强度问题，需研究危险截⾯上危险点的应⼒状态，通过简单试验观察到的各种材料的破坏现象，提出复杂应⼒状态下的破坏假说(强度理论），进⽽建⽴强度条件。
3.掌握《材料⼒学》的学习⽅法材料⼒学是⼀门典型的理论与实验相结合的课程，其基本概念很多，知识综合性较强，题⽬灵活多变。
该课程在基础课与专业课之间，充当着纽带与桥梁的作⽤。
要学好材料⼒学，不可能⼀蹴⽽就，要有吃苦耐劳的精神。
卡氏第二定理
F3
F1
3 1
1 , 2 , , i ,
结构的变形能
11 1 V ε W 2 F 1 δ 1 2 F 2 δ 2 2 F 3 δ 3
只给 Fi 一个增量 Fi .
引起所有力的作用点沿力方向的位
移增量为 Δ1,δ Δ2,δ Δ3,δ
在作用Fi 的过程中, Fi 完成 F1
的功为
1 2
ΔFi
氏定理）（Castigliano’s Theorem）
说明 (Directions)：
（1）卡氏第二定理只适用于线性弹性体( Applying only to linearly elastic bodies）
δi
Vε Fi
（2）Fi 为广义力（generalized force） i为相应的位移
（displacement corresponding to force Fi )
一个力
一个力偶
一对力
一对力偶
一个线位移
一个角位移
相对线位移 相对角位移
（3）卡氏第二定理的应用 ( Application of castigliano’s second theorem ) （a） 轴向拉,压（Axial tension and compression）
δ i V F ε i F i F N 2 2 ( E x )x d A F E N (x )A F N F ( ix )d x
Δδi
原有的所有力完成的功为
2
F2
F3
3 1
F 1 Δ 1 F 2 δ Δ 2 δ F iΔ i δ
结构应变能的增量为
Δ ε 1 2 V Δ iΔ i F F δ 1 Δ 1 F δ 2 Δ 2 δ F iΔ i δ
材料力学常用的基本公式
1.外力偶矩计算公式（P功率，n转速）2.弯矩、剪力和荷载集度之间的关系式3.轴向拉压杆横截面上正应力的计算公式（杆件横截面轴力F N，横截面面积A，拉应力为正）4.轴向拉压杆斜截面上的正应力与切应力计算公式（夹角a 从x轴正方向逆时针转至外法线的方位角为正）5.纵向变形和横向变形（拉伸前试样标距l，拉伸后试样标距l1；拉伸前试样直径d，拉伸后试样直径d1）6.纵向线应变和横向线应变7.泊松比8.胡克定律9.受多个力作用的杆件纵向变形计算公式?10.承受轴向分布力或变截面的杆件，纵向变形计算公式11.轴向拉压杆的强度计算公式12.许用应力，脆性材料，塑性材料13.延伸率14.截面收缩率15.剪切胡克定律（切变模量G，切应变g ）16.拉压弹性模量E、泊松比和切变模量G之间关系式17.圆截面对圆心的极惯性矩（a）实心圆（b）空心圆18.圆轴扭转时横截面上任一点切应力计算公式（扭矩T，所求点到圆心距离r）19.圆截面周边各点处最大切应力计算公式20.扭转截面系数，（a）实心圆（b）空心圆21.薄壁圆管（壁厚δ≤R0 /10 ，R0为圆管的平均半径）扭转切应力计算公式22.圆轴扭转角与扭矩T、杆长l、扭转刚度GH p的关系式23.同一材料制成的圆轴各段内的扭矩不同或各段的直径不同（如阶梯轴）时或24.等直圆轴强度条件25.塑性材料；脆性材料26.扭转圆轴的刚度条件? 或27.受内压圆筒形薄壁容器横截面和纵截面上的应力计算公式,28.平面应力状态下斜截面应力的一般公式,29.平面应力状态的三个主应力,,30.主平面方位的计算公式31.面内最大切应力32.受扭圆轴表面某点的三个主应力，，33.三向应力状态最大与最小正应力,34.三向应力状态最大切应力35.广义胡克定律36.四种强度理论的相当应力37.一种常见的应力状态的强度条件，38.组合图形的形心坐标计算公式，39.任意截面图形对一点的极惯性矩与以该点为原点的任意两正交坐标轴的惯性矩之和的关系式40.截面图形对轴z和轴y的惯性半径? ,41.平行移轴公式（形心轴z c与平行轴z1的距离为a，图形面积为A）42.纯弯曲梁的正应力计算公式43.横力弯曲最大正应力计算公式44.矩形、圆形、空心圆形的弯曲截面系数? ，，45.几种常见截面的最大弯曲切应力计算公式（为中性轴一侧的横截面对中性轴z的静矩，b为横截面在中性轴处的宽度）46.矩形截面梁最大弯曲切应力发生在中性轴处47.工字形截面梁腹板上的弯曲切应力近似公式48.轧制工字钢梁最大弯曲切应力计算公式49.圆形截面梁最大弯曲切应力发生在中性轴处50.圆环形薄壁截面梁最大弯曲切应力发生在中性轴处51.弯曲正应力强度条件52.几种常见截面梁的弯曲切应力强度条件53.弯曲梁危险点上既有正应力σ又有切应力τ作用时的强度条件或，54.梁的挠曲线近似微分方程55.梁的转角方程56.梁的挠曲线方程?57.轴向荷载与横向均布荷载联合作用时杆件截面底部边缘和顶部边缘处的正应力计算公式58.偏心拉伸（压缩）59.弯扭组合变形时圆截面杆按第三和第四强度理论建立的强度条件表达式，60.圆截面杆横截面上有两个弯矩和同时作用时，合成弯矩为61.圆截面杆横截面上有两个弯矩和同时作用时强度计算公式62.63.弯拉扭或弯压扭组合作用时强度计算公式64.剪切实用计算的强度条件65.挤压实用计算的强度条件66.等截面细长压杆在四种杆端约束情况下的临界力计算公式67.压杆的约束条件：（a）两端铰支μ=l（b）一端固定、一端自由μ=2（c）一端固定、一端铰支μ=0.7（d）两端固定μ=0.568.压杆的长细比或柔度计算公式，69.细长压杆临界应力的欧拉公式70.欧拉公式的适用范围71.压杆稳定性计算的安全系数法72.压杆稳定性计算的折减系数法73.关系需查表求得3 截面的几何参数4 应力和应变5 应力状态分析6 内力和内力图7 强度计算8 刚度校核9 压杆稳定性校核10 动荷载11 能量法和简单超静定问题材料力学公式汇总一、应力与强度条件 1、 拉压 []σσ≤=maxmax AN2、 剪切 []ττ≤=AQmax 挤压 []挤压挤压挤压σσ≤=AP3、 圆轴扭转 []ττ≤=W tTmaxmax t max t max max σσ≤=y I z t max c max max y I Mzc =σ[]cnax σ≤③[]ττ≤⋅=bI S Q z *max z max max 5、斜弯曲[]σσ≤+=maxyyz z max W M W M6、拉（压）弯组合 []σσ≤+=maxmax zW M A N[]t max t zmax t σσ≤+=y I M A N z[]c max c z z max c σσ≤-=A N y I M 注意：“5”与“6”两式仅供参考 7、圆轴弯扭组合：①第三强度理论 []στσσ≤+=+=z2n2w 2n2wr34W M M②第四强度理论[]στσσ≤+=+=z2n2w 2n2wr475.03W M M二、变形及刚度条件１、 拉压 ∑⎰===∆LEAxx N EALN EANL L d )(ii２、 扭转 ()⎰=∑==Φpp i i p GI dx x T GI L T GI TLπφ0180⋅=Φ=p GI T L （m / ）３、 弯曲(1)积分法:)()(''x M x EIy =C x x M x EI x EIy +==⎰d )()()('θD Cx x x x M x EIy ++=⎰⎰d ]d )([)((2)叠加法:()21,P P f …=()()21P f P f ++…， ()21,P P θ=()()++21P P θθ…(3)基本变形表(注意：以下各公式均指绝对值，使用时要根据具体情况赋予正负号)PAB MAB A BqL LLEI ML B =θ EI PL B 22=θ EIqL B 63=θEI ML f B 22=EI PL f B 33= EIqL f B 84=EIML B3=θ,EI MLA 6=θEIPL A B 162==θθEIqL A B 243==θθEIML f c 162=EIPL f c 483=EIqL f c 3844=(4)弹性变形能(注：以下只给出弯曲构件的变形能,并忽略剪力影响,其他变形与此相似,不予写出)EIL M U 22==ii i EI L M 22∑=()⎰EIdx x M 22 (5)卡氏第二定理(注：只给出线性弹性弯曲梁的公式)=∂∂=∆ii P U()()⎰∂∂∑dx P x M EI x M i 三、应力状态与强度理论１、 二向应力状态斜截面应力ατασσσσσα2sin 2cos 22xy yx yx --++=ατασστα2cos 2sin 2xy yx +-=２、 二向应力状态极值正应力及所在截面方位角22min max )2(2xyy x y x τσσσσσσ+-±+=yx xyσστα--=22tg 0３、 二向应力状态的极值剪应力22max )2(xyyx τσστ+-=注：极值正应力所在截面与极值剪应力所在截面夹角为450 ４、 三向应力状态的主应力：321σσσ≥≥LL最大剪应力：231max σστ-=5、二向应力状态的广义胡克定律（1）、表达形式之一（用应力表示应变）)(1y x x Eμσσε-= )(1x y y Eμσσε-= )(y x z Eσσμε+-= Gxy xy τγ= （2）、表达形式之二（用应变表示应力）)(12y x x E μεεμσ+-= )(12x y y Eμεεμσ+-= 0=z σ xy xy G γτ=6、三向应力状态的广义胡克定律()[]z y x x Eσσμσε+-=1()z y x ,, Gxy xy τγ= ()zx yz xy ,,7、强度理论（1）[]111σσσ≤=r ()3212σσμσσ+-=r []σ≤ []bb n σσ=（2）[]σσσσ≤-=313r ()()()[]213232221421σσσσσσσ-+-+-=r []σ≤ []s sn σσ=8、平面应力状态下的应变分析 （1）αγαεεεεεα2sin 22cos 22⎪⎪⎭⎫⎝⎛---++=xyyx y x+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-αεεγα2sin 22yx αγ2cos 2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-xy （2）22min max 222⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-±+=xy y x y x γεεεεεεyx xyεεγα-=02tg 四、压杆稳定1、临界压力与临界应力公式（若把直杆分为三类）①细长受压杆 p λλ≥ ()2min 2cr L EI P μπ= 22cr λπσE= ②中长受压杆 s p λλλ≥≥ λσb a -=cr③短粗受压杆s λλ≤ “cr σ”=s σ 或 b σ2、关于柔度的几个公式iLμλ=p2p σπλE=ba s s σλ-=五、动载荷（只给出冲击问题的有关公式） 能量方程 U V T ∆=∆+∆冲击系数 std 211∆++=hK （自由落体冲击）st20d ∆=g v K （水平冲击）六、截面几何性质1、 惯性矩（以下只给出公式，不注明截面的形状）⎰=dA I P 2ρ=324d π()44132απ-D Dd =α ⎰==6442d dA y I z π ()44164απ-D 123bh123hb 323maxd y I W z z π==()43132απ-D62bh 62hb2、惯性矩平移轴公式A a I I 2zc z +=。
材料力学卡氏第二定理
卡氏第二定理的重要性
总结词
卡氏第二定理在材料力学中具有重要意义，它为分析和预测材料的应力分布提供了理论基础。
详细描述
卡氏第二定理是材料力学中一个重要的基本定理，它为解决复杂弹性体的应力分析问题提供了重要的理论依据。 通过卡氏第二定理，可以推导出许多其他的弹性力学公式和定理，从而更好地理解和预测材料的力学行为。
多学科交叉
加强与其他学科的交叉融合， 如物理学、化学、生物学等， 拓展卡氏第二定理在跨学科 领域的应用价值。
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感谢您的观看
04 卡氏第二定理的扩展与应 用
卡氏第二定理在弹性力学中的应用
总结词
卡氏第二定理在弹性力学中具有广泛的应用，它为解决复杂的弹性问题提供了重要的理 论支持。
详细描述
卡氏第二定理在弹性力学中主要用于求解弹性体的位移、应力和应变分布。通过应用卡 氏第二定理，可以建立各种弹性问题的基本方程，如弹性力学中的平衡方程、应变-位
02 卡氏第二定理的公式与推 导
公式展示
公式
(W = DeltaOmega + Delta K)
描述
该公式表示外力功（(W)）等于变形能（(DeltaOmega)）和动能（(Delta K)）之和。
公式推导过程
第一步
根据牛顿第二定律，外力对物体所做的功等 于物体动能的增量，即 (W = Delta K)。
弯曲梁的实例
总结词
卡氏第二定理在弯曲梁分析中起到关 键作用。
详细描述
弯曲梁在受到外力作用时会产生弯曲 变形，卡氏第二定理可以用来计算梁 内部的应力分布，确保梁的稳定性与 安全性。
扭转轴的实例
总结词
卡氏第二定理在分析扭转轴时具有重 要应用。
材料力学第27讲 Chapter3-2第三章 能量法(卡氏定理)
1
Ax
450
2
l2
l1 Ay
变形协调关系
Ax l1; A ysin4 5 0 A xco s4 5 0 l2
450
V
FN21l1 FN22l2 2EA 2EA
E2lA1 l12 E2lA2 l22
l FNl EA
E 2 lA 1 A x2 E 2 lA 2 A ysin 4 5 0 A xc o s4 5 02
变能V数值上等于余能Vc，则余能定理此时可改写为： Nhomakorabeai
V
(F1,F2 Fi
Fn)
卡氏第二定理
卡氏第二定理只适用于线性弹性情况。
19
例2 求简支梁中点作用集中力F作用时中点处的挠度。
（梁的弯曲刚度为EI，长为l）。
EI
F
A
C
l
2
l
解: 先求应变能
B
V
l M 2(x) d x 2
l 2
(
F 2
x)2 dx
Fn
1 2 i
n
图示梁（材料为线性，也可为非线性）
作用n个集中载荷Fi (i=1,2…n)，
相应位移为i (i=1, 2…n)
5
F1 F2 Fi
Fn
1 2 i
n
梁内的应变能： V W
n
i 0
fid i
i 1
可见，最终梁内的应变能应是关于i (i=1,2…n)的函数，即
V V (1,2 n)
15
F1 F2 Fi
Fn
1 2 i 梁内的余能：Vc Wc
n
n
F i
0
id
fi
i 1
可见，最终梁内的余能应是关于Fi (i=1,2…n)的函数，即
材料力学第10章-能量法
10-4 卡氏定理
（2）先加载dFi ，则力 dFi 在其相应的位移 di上做的功为
1
W1 dFi di
2
F1
再加载F1, F2 ,, Fn ，在相应
的位移 i 上所做的功为
1
n1
W2 i1 2 Fi i V
F2
2
dFi Fi
di
i
n
Fn
原来载荷 dFi 对位移i 上所做的功为
W3 dFi i
F A
F
在位移坐标轴上取了一个微段d ，
该微段对应的外力可视为常力。则常力作
功为
dW Fd k d
B
当外载荷和相应的位移由零缓慢增加 O
d
至F 和 时，在这个过程中外力作功
k 2 F
W kd 0
2
2
SOAB
线弹性范围内，外载荷所做的功等于力与位移乘积的一半。
10-2 外载荷做的功
二、多个力作用下的外力功
量的损失），弹性体内部所贮存的应变能，在数
值上等于外力所作的功，即满足：
V W
l
P
利用功和能的概念来求解可变形固体的位移、变形和内力
等的方法，通称为能量方法。
10-2 外载荷做的功
一、单个力作用下的外力功
材料服从胡克定律，即在线弹性范围内，弹性体在外力
作用下位移 与外载荷F 成正比，即
F k
横力弯曲时，弯矩为x的函数，则横力弯曲时的应变能为
M (x)2 dx dV
2EI
M (x)2 dx
V l 2EI
四、用广义力和广义位移表示的应变能
轴向压力
扭转
弯曲
F l V 2
V M e
卡氏第二定理
m+m2 RD= ——— 2a
x1
C D
x2
m2
B
RD
m
2a qC= ——(m+m2) 3EI
x3
A
RAy
实际上并无m2 ，所以令m2 =0得
2am qC= —— 3EI
通常在积分前即令m2 =0，可使积分简单
2
F2
3
1
F3
1 ΔFi Δδi 2
原有的所有力完成的功为
F1 Δδ1 F2 Δδ2 Fi Δδi
结构应变能的增量为
1 ΔVε ΔFi Δδi F1 Δδ1 F2 Δδ2 Fi Δδi 2
略去高阶微量
1 ΔFi Δδi 2 ΔVε F1 Δδ1 F2 Δδ2 Fi Δδi
一个线位移
一个角位移
相对线位移
相对角位移
（3）卡氏第二定理的应用 ( Application of castigliano’s second theorem )
（a） 轴向拉,压（Axial tension and compression）
2 Vε FN ( x )dx FN ( x ) FN ( x ) δi 2 EA EA Fi dx Fi Fi
B P
A f
M ——=Rcosf P
MM PR3p y= S ——— ds = ——— 4EI EI P
再在B点施加水平力Pa
M=PrcosfPaR(1-sinf)
B Pa P
M ——=R(1- sinf) Pa
A
卡氏第二定理求位移例题
卡氏第二定理求位移例题摘要：一、卡氏第二定理简介1.卡氏第二定理的概念2.卡氏第二定理的意义二、卡氏第二定理求位移例题解析1.问题描述2.解题思路3.具体步骤4.结论正文：【提纲】一、卡氏第二定理简介卡氏第二定理，又称柯西- 施瓦茨（Cauchy-Schwarz）不等式，是数学分析领域中一个非常重要的不等式。
该定理可以用于求解许多与位移相关的问题，例如求解速度、加速度等物理量。
【提纲】二、卡氏第二定理求位移例题解析以下是一个利用卡氏第二定理求位移的例题：问题描述：设有一质点在一维空间的运动方程为x(t) = x0 + v0t +0.5at^2，已知质点在t = 0 时刻的位置为x0 = 1，初始速度为v0 = 2，加速度为a = 3。
求质点在t = 2 秒时的位移。
解题思路：首先，根据位移公式，我们可以得到x(2) = x0 + v0*2 +0.5*a*(2^2)。
然后，利用卡氏第二定理对速度、加速度进行替换，以求得更简单的表达式。
具体步骤：1.根据卡氏第二定理，有(x0 + v0t + 0.5at^2)^2 ≤ (x0^2 + (v0t)^2 + (0.5at^2)^2)。
2.将t = 2 代入，得到(1 + 2*2 + 0.5*3*(2^2))^2 ≤ (1^2 + (2*2)^2 + (0.5*3*(2^2))^2)。
3.计算得(7)^2 ≤ (1 + 4 + 12)。
4.化简得49 ≤ 17，显然成立。
5.根据柯西不等式，有(x0 + v0t + 0.5at^2)/√(1 + (v0t)^2 +(0.5at^2)^2) ≤ √(x0^2 + (v0t)^2 + (0.5at^2)^2)。
6.将t = 2 代入，得到(x(2) - 1)/√(1 + (2*2)^2 + (0.5*3*(2^2))^2) ≤ √(1^2 + (2*2)^2 + (0.5*3*(2^2))^2)。
7.计算得x(2) - 1 ≤ 5，即x(2) ≤ 6。
卡氏第二定理求位移例题
卡氏第二定理求位移例题卡氏第二定理是刚体力学中的一个重要定理，用于描述刚体在作用力下的运动情况。
根据卡氏第二定理，刚体的位移与作用力、质量和时间的乘积成正比。
为了更好地回答你的问题，我将给出一个求解位移的例题，并从多个角度进行详细解答。
例题：一个质量为2 kg的物体受到一个力为10 N的作用，作用时间为5 s。
求物体的位移。
解答：根据卡氏第二定理，我们可以使用以下公式来求解位移：位移 = (作用力× 时间) / 质量。
将题目中给出的数值代入公式中：位移= (10 N × 5 s) / 2 kg.= 50 N·s / 2 kg.= 25 m.因此，物体的位移为25米。
从多个角度全面完整地解答这个问题，我们可以从以下几个方面进行说明：1. 卡氏第二定理的原理，卡氏第二定理是基于牛顿第二定律（F = ma）的推导得出的。
根据牛顿第二定律，物体的加速度与作用力成正比，与质量成反比。
卡氏第二定理则是在牛顿第二定律的基础上，引入了时间的因素，描述了力对物体的作用时间越长，物体的位移越大。
2. 位移的定义，位移是指物体从一个位置移动到另一个位置的距离和方向的变化。
在本例中，位移表示物体从初始位置移动到最终位置的距离。
3. 作用力的定义，作用力是指一个物体对另一个物体施加的力。
在本例中，作用力为10牛顿，表示施加在物体上的外力大小。
4. 时间的定义，时间是指物体受到作用力的持续时间。
在本例中，时间为5秒，表示作用力作用的时间长度。
5. 质量的定义，质量是指物体所具有的惯性和引力特性的物理量。
在本例中，物体的质量为2千克。
6. 单位的转换，在计算中，我们需要注意单位的转换。
在本例中，作用力的单位是牛顿，时间的单位是秒，质量的单位是千克，位移的单位是米。
综上所述，根据卡氏第二定理，我们可以求解出物体在给定作用力下的位移。
希望以上解答能够满足你的要求，并对卡氏第二定理的应用有更深入的理解。
04-13005卡氏第二定理(1)
wA
V F
Fl3 3Fl 8EI 2EA
()
感谢聆听！
广义力：可以是一个力、一个力偶、一对力、一对力偶
广义位移：对应为一个线位移、一个角位移、相对线位移、相对角位移
F
m
F
F
AB
mm AB
C
D
wC
V F
V
D m
AB
V F
AB
V m
例：试用卡氏第二定理求图示梁中点C的挠度。
解：弯矩方程为 M ( x) F x
l/2
2
应变能为
x F
l/2 M 2(x)
线弹性杆件或杆系的应变能对于作用在该杆件或杆系上的某一荷载的变化率就等于与该荷载相应的位移
第十三章 能量法
§13-3 卡氏第二定理(1)
一、卡氏第二定理
V i Fi
卡氏第二定理
线弹性杆件或杆系的应变能对于作用在该杆件或杆系上的某
一 荷载的变化率，就等于与该荷载相应的位移。
卡氏第二定理适用于一切受力状态下的线弹性体
。 卡氏第二定理的含义：
结构的应变能为内力的函数，为荷载的复合函数。若结构 的 应变能 V 表示为荷载F1、F2 …Fi …的函数，则应变能对任一 荷载 Fi的偏导数等于Fi作用点沿Fi方向位移。
V i Fi
式中：Fi为广义力，Δi为与广义力Fi对应的广义位移。i为正表示与Fi方向相同，
为负表示与Fi方向相反，Vε 是整个结构的应变能。
V 2 0
dx 2EI
2
l
1 EI
l /2 F 2 x2
0
4
dx
2
F 4EI
x3 3
2
0
F 2l 3 96EI
卡氏第二定理
解：
❖ 根据卡氏定理,有
AB段
BC段
例2.7
❖图示刚架EI为常 量，B截面受m作 用。求C截面转角
qC及D点的水平 位移x。轴力及
剪力不计。
a
a
2a
C
D
B
m
A
C点施以附加力偶矩m2,支 反力为
m+m2 RAy= ———
2a
m+m2 RD= ———
2a
a
a
2a
C
m2
B
m
A
RAy
D
RD
m+m2 RAy= ———
卡氏定理
卡氏定理(Castigliano's Theorem),是意大利工程师卡斯蒂利亚诺 (A.Castigliano )于1873年提出的,故得其名.
卡氏第二定理
卡氏第一定理
卡氏定理的证明
设弹性结构在支座的约束下无任何刚性位移.
作用有外力: F1 ,F2 , ,Fi ,
相应的位移为：
2
F2
F3
M
ds =
———
EI P
3
PR p
4EI
再在B点施加水平力Pa
M=PrcosfPaR(1-sinf)
M
——=R(1- sinf)
Pa
A
f
3
x=[ S ———M dsM]Pa=0 = ——— PR
EI Pa
2EI
B Pa
P
例 求A点位移A和B点位移B
解
❖ 先求A点位移
由卡氏定理
因为 所以
求B点位移
F3
F1
3 1
F1Δδ1 F2 Δδ2 Fi Δδi
材料力学C(II)下册第三章
表达式。设两杆的轴力均为FN ，两杆的伸长量和A点的位移
分别为
FN l Dl EA
2 2 2 Δ ( l Dl ) 2 l 2 [ l 2 l ( Dl ) ( Dl ) ] l
FN 2l (Δ l ) l 2 EA
第三章 能量法
由结点A的平衡方程
F FN 2 sin
M
C
x1
l/2
l/2
x2
FB
B
法二
F M FA 2 l FB F M 2 l
AC段 CB段
M F M ( x1 ) x1 l 2
F M M ( x2 ) x2 M l 2
F M M ( x1 ) x1 l 2
3
和D的非线性关系，而应力和应变仍为线性关系——几何非
线性。当材料为非线性弹性体时，即应力与应变为非线性 时—— 物理非线性。 （2）几何非线性时，不能用Vε
求应变能。 Vε F d Δ
V
V
v 求应变能，而只能用 ε dV
第三章 能量法
一、功和应变能、余能
利用外力功 三种方法 利用内力功 利用应变能密度
第三章 能量法
思考:
x
l x l
F
F M
V V 1 V 2
V 1
1 Fw 2
x
M
1 V 2 M 2
l
第三章 能量法
例题 原为水平位置的杆系如图所示，试计算在荷载F１作用
下的应变能。两杆的弹性模量均为E,横截面面积均为A 。
解：首先分析力F 和位移D之间的关系，求出F = f (D)的
B
材料力学2.3卡氏第2定理
ds
= —PR—3— Pa=0 2EI
例 求A点位移A和B点位移B
解
• 先求A点位移
由卡氏定理
因为 所以
求B点位移
加入虚载荷P’ AB段
BC段
所以
事实上并无P’,因此令P’=0有 其实可在进行以下积分前令P’=0
（4） 平面桁架 (Plane truss)
δi
Vε Fi
n FNjl j FNj j1 EA Fi
（5） 组合变形(Combined deformation)
δi
Vε Fi
[ FN2( x)dx
T 2( x)dx
M 2( x)dx ]
Fi l 2EA
l 2GIp
l 2EI
FN( x) FN( x)dx T ( x) T ( x)dx M ( x) M ( x)dx
卡氏定理
卡氏定理(Castigliano's Theorem),是意大利工 程师卡斯蒂利亚诺(A.Castigliano )于1873年提出 的,故得其名.
卡氏第二定理
卡氏第一定理
卡氏定理的证明
设弹性结构在支座的约束下无 任何刚性位移.
作用有外力:
F1 ,F2 , ,Fi ,
相应的位移为：
2
F2
RAy=
—m—+m—2 2a
RD=
—m—+m—2 2a
aa
2a
C
m2
B
m
A
RAy
D
RD
RAy=
—m—+m—2 2a
RD=
—m—+m—2 2a
求AB,BC,CD各段的弯 矩方程,并对m2求偏导, 最后由卡氏定理求得C 截面的转角qC。
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2
F2
F3
3 1
F1Δδ1 F2 Δδ2 Fi Δδi
结构应变能的增量为
ΔVε
1 2
ΔFi Δδi
F1 Δδ苍1松课资F2 Δδ2
Fi Δδi
3
略去高阶微量
1 2 ΔFi Δδi
ΔVε F1Δδ1 F2 Δδ2 Fi Δδi
如果把原来的力看作第一组力,而把 Fi 看作第二组力.
M ( x) M ( x)dx EI Fi
6
（4） 平面桁架 (Plane truss)
δi
Vε Fi
n FNjl j FNj j1 EA Fi
（5） 组合变形(Combined deformation)
δi
Vε Fi
[ FN2( x)dx T 2( x)dx M 2( x)dx]
根椐互等定理
F1Δδ1 F2 Δδ2 Fi Δδi ΔFi δi
ΔVε ΔFi δi
பைடு நூலகம்
或者
ΔVε ΔFi
δi
当 Fi 趋于零时,上式为
Vε Fi
δi
这就是卡氏第二定理（Castigliano’s Second Theorem )（卡
氏定理）（Castigliano’s Theo苍r松e课m资）
ds
Pa=0苍松=课资—2PER—I3—
20
例 求A点位移A和B点位移B
苍松课资
21
解
• 先求A点位移
由卡氏定理
因为
所以
苍松课资
22
求B点位移
加入虚载荷P’ AB段
BC段
所以
苍松课资
23
事实上并无P’,因此令P’=0有
其实可在进行以下积分前令P’=0
苍松课资
24
卡氏定理
卡氏定理(Castigliano's Theorem),是意大利工 程师卡斯蒂利亚诺(A.Castigliano )于1873年提出 的,故得其名.
卡氏第二定理
卡氏第一定理
苍松课资
1
卡氏定理的证明
设弹性结构在支座的约束下无 任何刚性位移.
作用有外力:
F1 ,F2 , ,Fi ,
相应的位移为：
qC=
—2a—m 3EI
通常在积分前即令m2 =0，可使积分简单
苍松课资
17
为求D点水平位
移 x , 在D点加水平
力Pa ,求AB,BC,CD各 段的弯矩方程,并对
x2
x1
C
D Pa
B
RD
m
Pa求偏导,最后由卡 氏定理求得D点水平
位移x。
x3
RAx
A
RAy
x=苍1—松67课E资m—Ia2
18
例2.8
Fi l 2EA
l 2GIp
l 2EI
FN( x) FN( x)dx T ( x) T ( x)dx M ( x) M ( x)dx
EA Fi
GIp Fi
EI Fi
苍松课资
7
例 2.6
• 已知 EI, 求 C 端挠 度及 A 截面的转角
苍松课资
8
解：
• 根据卡氏定理,有
苍松课资
9
AB段
苍松课资
10
BC段
苍松课资
11
苍松课资
12
苍松课资
13
例2.7
• 图示刚架EI为常 量，B截面受m作 用。求C截面转
角qC及D点的水 平位移x。轴力
及剪力不计。
aa
2a
C
D
B
m
A
苍松课资
14
C点施以附加力 偶矩m2,支反力为
RAy=
—m—+m—2 2a
aa
2a
C
m2
B
m
A
RAy
D
2
F2
F3
F1
3 1
1 , 2 , , i ,
结构的变形能
Vε
W
1 2
F1δ1
1 2苍F松课2δ资2
1 2
F3δ3
2
只给 Fi 一个增量 Fi .
引起所有力的作用点沿力方向的位
移增量为 Δδ1, Δδ2 , Δδ3 ,
在作用Fi 的过程中, Fi 完成 F1
的功为
1 2 ΔFi Δδi
原有的所有力完成的功为
EI=常量,求B点水平和 垂直位移
先求垂直位移y
M=PRcosf
—M—=Rcosf P
Af
苍松课资
B P
19
y=
S
—MEI— —PM
ds
=
—PR—3p—
4EI
再在B点施加水平力Pa
M=PrcosfPaR(1-sinf)
— M—=R(1- sinf) Pa
Af
B P Pa
[ ] x=
S
—M— —M EI Pa
FN2( x)dx 2EA
FN ( x) FN ( x) dx EA Fi
（b） 扭转（Torsion）
δi
Vε Fi
Fi
T 2( x)dx 2GIp
T ( x) T ( x)dx GIp Fi
（c） 弯曲 （Bending）
δi
Vε Fi
Fi
M 2( x)dx
2 EI苍松课资
RD
RD=
—m—+m—2 2a
苍松课资
15
RAy=
—m—+m—2 2a
RD=
—m—+m—2 2a
求AB,BC,CD各段的弯 矩方程,并对m2求偏导, 最后由卡氏定理求得C 截面的转角qC。
2a
qC= —3E—I (m+m苍2松)课资
x3
x2
x1
C
m2
B
m
D
RD
A
RAy 16
实际上并无m2 ，所以令m2 =0得
一个力
一个力偶
一对力
一对力偶
一个线位移
一个角位移
相对线位移
苍松课资
相对角位移
5
（3）卡氏第二定理的应用 ( Application of castigliano’s second theorem )
（a） 轴向拉,压（Axial tension and compression）
δi
Vε Fi
Fi
4
说明 (Directions)：
（1）卡氏第二定理只适用于线性弹性体( Applying only to linearly elastic bodies）
δi
Vε Fi
（2）Fi 为广义力（generalized force） i为相应的位移
（displacement corresponding to force Fi )