几种特殊曲面上的测地线

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曲面上的测地线

l
Kd k ds ( ) 2
g i G G i 1
(Gauss-Bonnet公式)
其中 i是G的第i个内角的弧度数 .
华东理工大学《微分几何》电子课件(§2.6 面面上的测地线) pliu@
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引理：若ds du Gdv , 则 dv k g ds d arctan G ( G )u dv (p171习题13) du 证明：由于坐标网正交 , F 0, 由Liouville公式 d 1 ln E 1 ln G kg cos sin , ds 2 G v 2 E u 1 1 1 知 k g ds d Gu sin ds d Gu sin ds 2G 2 EG dv 1 du 1 sin , (P149) 又 cos cos , ds ds G E
2 k i j i j d u d u d u d u d u k r 2 ij n rk Lij ds ds d s ds k ds i, j i, j i j d 2 uk k du du 从而 gkl 2 ij 0 ( l 1, 2) d s ds k i, j ds
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一、曲面曲线的测地曲率
k 为(C )在P点的曲率向量. 称 r 称曲率向量在上的投影k g为(C )在P点的测地曲率.
华东理工大学《微分几何》电子课件(§2.6 面面上的测地线) pliu@
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测地曲率的性质
k g r k k (n ) k ( ) n k n k cos( ) k sin . 2

微分几何§6曲面上的测地线

生物学中的测地线
在生物学中，细胞的运动轨迹和神经元的传导路径可以被描述为测地线，研究测地线有助于理解生物体的行为和生理机制。
THANKS
感谢观看
定义
01
在高维空间中，测地线是连接两点之间长度最短的曲线，其长
度由曲面的几何性质决定。
性质
02
高维空间的测地线具有类似于平面曲线的一些性质，如曲率、
挠率和弧长等。
应用
03
在物理学和工程学中，高维空间的测地线被广泛应用于最小化
能量、时间等物理量的计算。
弯曲空间中的测地线
定义
在弯曲空间中，测地线是连接两点之间长度最短的曲线，但曲率不再是常数。
微分几何§6曲面上的测地线
目录
• 测地线的定义与性质 • 曲面上的测地线方程 • 曲面上的测地线的应用 • 曲面上的测地线的扩展 • 曲面上的测地线的几何意义 • 曲面上的测地线的展望
01
测地线的定义与性质
测地线的定义
测地线是曲面上的最短路径，即连接两点间的曲线段长度最短。
测地线是曲面描述
在地球表面，由于地球的曲率，两点之间的直线距离并不是最短的路径。相反，测地线，即地球表面的大圆弧，是两点之间最短的路径。这对于航海、航空和通信等领域具有重要意义。
航天器轨道设计
总结词
航天器轨道设计经常利用曲面上的测地线概念。
详细描述
在航天领域，为了节省燃料和时间，航天器通常沿着测地线轨道飞行。这是因为测地线是两点之间“几乎最短 ”的路径，同时考虑到地球的引力作用和其他天体的影响。
04
测地线是曲面上的一种特殊曲线，其长度等于曲面上两点之间的直线距离。
测地线的分类
01
根据曲面的不同类型，测地线可以分为欧氏空间中的测地线和非欧氏空间中的测地线。

微分几何26曲面上的测地线

i
d 2u ds2
i
ri
i, j
dui ds
du j ds
rij
k
d 2uk ds2
rk
k
d 2uk ( ds2
i, j
dui ds
du j ds
ikj
)rk
i, j
Lij
dui ds
du j ds
n
kg (
i
dui ds
ri ,
k
(
d 2uk ds2
i, j
dui ds
角为下面给，出则一dd个rs简单一点ruE的c形os式。设rGv曲s线in的切r方u dd向us 与 ruv-线ddvs所成的
du 1 cos , dv 1 sin ,
ds E
ds G
d 2u ds2
d (cos
E
d
)
d
ds
d (cos
E du
)
du ds
d (cos
E dv
)
dv ds
(
d 2u1 ds2
n)
(r1
r2
)
i1j
i, j r1 r2
g
dui ds
du j ds
)](r1,
r2
,
n)
1 g
(r12
r22
(r1
r2
)
2
)
1 (EG F 2) g g
kg
du1 d 2u2 g[( ds ( ds2
i, j
i2j
dui ds
du j ) ( du2 ds ds
kg
g [ du
d 2v
dv

曲面上的测地线

i j du1 d 2u 2 du du 2 ( r1 , ( 2 ij )r2 , n ) ds ds ds ds i, j i j du2 d 2u1 du du 1 ( r2 , ( 2 ij )r1 , n ) ds ds ds ds i, j
i j du2 d 2u1 du du 1 ( ( 2 ij )](r1 , r2 , n ) ds ds ds ds i, j
i j 2 2 1 i j du1 d 2u 2 du du du d u du du 2 1 k g g [( ( 2 ij )( ( 2 ij )] ds ds ds ds ds ds ds ds i, j i, j
i j du1 d 2u 2 du du 2 kg ( r1 , ( 2 ij )r2 , n ) ds ds ds ds i, j i j 2 d 2u1 du du du 1 (( 2 ij )r1 , r2 , n ) ds ds ds ds i, j i j du1 d 2u 2 du du 2 k g [( ( 2 ij ) ds ds ds ds i, j
r1 r2 1 2 2 2 (r1 , r2 , n ) (r1 r2 ) (r1 r2 (r1 r2 ) ) g g 1 ( EG F 2 ) g g i j 2 2 1 i j du1 d 2u 2 du du du d u du du 2 1 k g g [( ( 2 ij )( ( 2 ij )] ds ds ds ds ds ds ds ds i, j i, j
在曲线上一点 P 有：
r n n cos n 令 n ，则 n, , 是两两正交的单位向量且成右手系， n, , , 都在 P 点的法面上。

黎曼几何读书笔记

图（2） C 是曲面； A 是 C 在 ouv 曲线网上的映射；用 A（u，v）来表示 C（x，y，z），即 x=x（u，v），y=y（u，v）)，z=z（u，v）；坐标系 ouv 好似曲线网，所以称 A 是曲纹坐标系，（u，v）是 C 的曲纹坐标。
页码：2/14
黎曼几何读书笔记
2、空间曲线 (1)、弗莱纳（Frenet）标架：
rij ， rijk u k
， g ij ri r j
， Lij rij n
n ， ni u i
gil , j
gil j rij rl ri rlj u
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黎曼几何读书笔记
g jl ,i
图（3）
T s （切向量 = 弧长一阶导数） N T ' s '' （曲向量 = 主法向量 = 切向量一阶导数 = 弧长二阶导数）
B T N （挠向量 = 从法向量 = 切向量 x 曲向量）
(2)、空间曲线基本方程：
'
T ' kn （切向量的导数 = 曲向量 = 曲率 * 单位主法向量 = kn） N ' kt rb （曲向量的导数 = 负曲率 * 单位主法向量 – 挠率 * 单位从法向量） B ' rn （挠向量的导数 = 挠率 * 单位主法向量 = rn）
L M
M du N dv
张量形式：Ⅱ dudv
L M
M du du 1du 2 N dv

l l
11 21
l12 du 1 i j 2 lij du du l 22 du

建国以来电影传播的几种特殊形态

一、政治宣传电影
一、政治宣传电影
在建国初期，电影被视为政治宣传的重要工具。政治宣传电影的主要目的是传达政府的意识形态和政策，以激发人民的爱国热情和建设社会主义的积极性。这类电影通常由政府投资制作，内容以歌颂社会主义、革命英雄事迹等为主。例如，《人民英雄纪念碑》、《五星红旗》等作品，都在不同程度上发挥了政治宣传的作用。
内容摘要
接下来是双曲面。双曲面是一种具有两个不同性质的点的曲面，这些点通常被称为“极”。在双曲面上，测地线通常是不连接极的路径。例如，在数学中，双曲线的性质使得其上的测地线呈现出独特的形状和性质。
内容摘要
最后，我们来看一下超曲面。超曲面是更高维度的曲面，它存在于四维或更高维度的空间中。在超曲面上，测地线的性质非常复杂，通常需要使用高阶微积分和向量分析来描述。例如，在相对论中，爱因斯坦的广义相对论预测了引力如何影响物体运动的路径，电影
近年来，随着公益意识的不断提高，公益电影逐渐成为一种特殊的电影传播形态。公益电影是以社会问题、传递正能量为主要目的的电影作品。这类电影通常不以盈利为目的，而是通过影像的方式唤起人们对社会问题的和思考。例如，《亲爱的》、《失孤》等作品，都是以公益为主题的电影，它们通过影像的方式传递了关爱与温暖的力量。
二、农村放映队
二、农村放映队
在改革开放初期，由于电视等现代媒体尚未普及，农村地区的电影放映成为农民们获取信息和娱乐的主要途径。农村放映队应运而生，他们携带手摇放映机，在田间地头、乡村集市等场所放映电影，为农民们提供了一种简便的文化娱乐方式。虽然这种形态的电影传播方式相对单一，但却在一定程度上丰富了农村地区的文化生活。
1、利用函数的单调性
1、利用函数的单调性
函数的单调性是证明不等式的重要工具之一。如果函数f(x)在区间I上单调递增（或递减），那么对于任意的x1，x2在I上，如果x1>x2，那么f(x1)>f(x2)。我们可以利用这个性质来证明不等式。例如，要证明x+y>2xy，我们可以设 f(x)=x+y-2xy，然后验证f(x)在(0,+∞)上是单调递减的，从而得出 f(x)<f(0)=0，即x+y>2xy。

微分几何 2.6 曲面上的测地线

其中 k g u , k g v 分别为 u 线和 v 线的测地曲率。事实上，对于u 线和 v 线来说，分别有，代入测地曲率的计算公式 1 ∂ ln E 1 ∂ ln G 有
k gu = −
2 G
∂v
,
k gv =
2 E
Байду номын сангаас∂u
.
6、2 曲面上的测地线一、定义：曲面上的一条曲线，如果它的每一点处的测地曲率为 0，则称为测地线。二、性质1）如果曲面上有直线，则必为测地线。 2）命题3：曲面上非直线的曲线是测地线的充要条件是，除了曲率为 0 的点外，曲线的主法线重合于曲面的法线。证明：设曲线（c）为测地线（不是直线），则 k ≠ 0, k g = 0, 但
∴
d 2u sin θ dθ Eu cos 2 θ Ev sin θ cos θ =− − − 2 2 ds 2E E ds 2 E EG
同理
d 2 v cos θ dθ Gu sin θ cos θ Gv sin 2 θ = − − 2 ds 2G 2 G ds 2G EG
代入前面的 kg 的计算公式可得
d 2u k du i du j k du i du j = ∑( 2 + ∑ Γij )rk + ∑ Lij n ds ds ds k i , j ds ds i, j du i d 2u k du i du j k du i du j k g = (∑ ri , ∑ ( 2 + ∑ Γij )rk + ∑ Lij n, n ) ds ds ds ds i k i , j ds ds i, j
过已知点并切于定方向。
6.3 曲面上的半测地坐网一、定义：曲面上的一个坐标网，其中一族是测地线，另一族是这族测地线的正交轨线，则这个坐标网称为半测地坐标网。极坐标网是它的特例。二、命题4：给出曲面上的一条曲线，则总存在一个半测地坐标网，它的非测地坐标曲线族中包含给定的一条曲线。证明：由定理1，过曲面上给定的曲线（C）上的每一点，沿着 1 C （C），在切平面上对应于垂直于（C）的方向，存在唯一条测 (c* ) ，然后再作这一族曲面的正交轨线，则这族测地线和地线 * 它的正交轨线组成了曲面上的一个半测地坐标网，并且 (c ) 的正交轨线族中包含了（C）。三、在前一节习题6（5）中提到，对于曲面上的半测地坐标网，有 Ι = ds 2 = du 2 + Gdv 2 ，我们现在证明这个结论。

3.2 测地曲率测地线

131
Meusnier 定理后知道, τ 亦为 C 关于柱面 Σ 的法曲率向量, 但是曲线 C 又可看成柱面上过 P 点相应于方向 α 的法截线. 因此 τ 就是 C 的曲率向量. 现在定义测地曲率. 对(2.2)式两边关于 α 求内积得到 τ · α = 0, 而 τ 又在切平面 TP 上, 故 τ 与 n 也正交, 因此 τ 记 τ = kg (n × α), 称 kg 为曲线 C 在 P 点处的测地曲率, 于是 |kg | = |τ |, 且
j i d2 uk k du du = 0, (k = 1, 2) + Γ ij ds2 ds ds 因此, 曲面上测地线的存在性等价于微分方程组(2.9)的解的存在性.
kg = 0 ⇐⇒
方程组(2.9)是以 u1 (s), u2 (s) 为因变量, 以 s 为自变量的二阶常微分方程组, 由常微分方程的理论知道, 如果我们给定初始条件 ui (s0 ) = ui 0, dui (s0 ) = ds dui ds , i = 1, 2
§3.2 测地曲率测地线
3.2.1 测地曲率向量测地曲率
设曲面 S 的方程为 r = r (u1 , u2 ), C 是 S 上过 P (u1 , u2 ) 的一条曲线, 参数方程是 ui = ui (s) , 其中 s 是弧长参数. 曲线 C 的切向量为 α= dr dui = ri , ds ds
有唯一解 v = v (u), 它确定了曲面上唯一一条测地线. 【例 2】试确定球面上的测地线. 【解】 kn =
1 ±R ,
θ = θ(u),
设 C 是半径为 R 的球面上的大圆(弧), 则熟知 C 的曲率 k =
1 R,
法曲率
于是 C 的测地曲率

微分几何第二章曲面论第六节曲面上的测地线

(2)若该曲线非直线，由已知，
两曲面沿这条曲线有公共的切平面，
因而沿这条曲线它，们的法线重合，
而曲线在一点的主法线只有一条，
所以当这条曲线的主法线与两曲面之一的法线重合时，
同时必与另一曲面的法线重合，由命题3知，这条曲线也是另一个曲面的测地线.
ikj
rk
Lij n]
i
d 2ui ds2 ri
ikj
i, j,k
dui ds
du j ds
rk
i, j
Lij
dui ds
du j ds
n
k
d 2uk ds2 rk
d 2uk
k [ ds2
i, j
kg (r, r, n)
ikj
dui ds
du j ds ]rk
i, j
证：(1) 对u 曲线而言， (s) 0,
由已知， ln E(u) 0, v
代入柳维尔公式得：
k gu
d
ds
1 2G
ln E v
cos
2
1 E
lnG sin
u
0.
u 曲线是测地线.
(2) 对v 曲线而言， (s) ,
2 由已知， ln E(u) 0,
v 代入柳维尔公式得：
k gv
1,2)
r
k
d 2uk [ ds2
i, j
ikj
dui ds
du j ds ]rk
i, j
Lij
dui ds

微分几何中的测地线浅谈

微分⼏何中的测地线浅谈“测地线”是微分⼏何学中最重要和最基本的概念之⼀，也是⼏何学最基本的研究对象。

测地线的研究不仅推动了⼏何学的发展，实际上很多物理定律及现象也可以通过测地线的相关结论来合理解释。

那么，什么是测地线，它⼜有怎么的性质呢？测地线(Geodesic)⼀词最早不属于⼏何这个学科，⽽是来⾃⼤地测量学(Geodesy)，这⼀点我们从它的名字⼤概就能看出来。

伟⼤的数学王⼦⾼斯，曾经主持过⼀项浩⼤的⼯程，那就是为汉诺威王国绘制详细的地图，为此他耗费⼤量时间实地测量，之后利⽤最⼩⼆乘法等数学⽅法处理相关数据，极⼤地提⾼了地图精度。

在这个过程中，测地线就是⾼斯经常遇到的数学对象。

我们先从最简单的欧式空间说起，这种情况下的测地线有⾮常好的⼏何描述，那就是它是连接两点的最短路径，也就是我们⾮常熟悉的直线段，从严格的数学⾓度来说，这正是直线段的定义。

欧式空间上的测地线的确平淡⽆奇，没有什么好研究的，但当空间的形状改变时，情况就没有这么显然了。

例如球⾯，我想很多⼈都并不知道球⾯上的测地线是什么样的，即使知道可能也不清楚背后严格的数学系证明。

可能很容易猜得到连接球⾯两点之间的最短路径位于过球⼼的⼤圆上，但要⾮常严格地说明这件事却并不太容易。

⽽且为了更好地获得测地线的信息，我们必须要有更为⼀般的理论，以便分析更为复杂的空间。

为此我们要先简单介绍⼀下曲线的测地曲率。

测地曲率有⾮常形象化的解释：对于曲⾯S中的曲线C，它在曲⾯S的P点处切平⾯上会产⽣⼀条投影曲线，⽽原曲线C的测地曲率就等于投影曲线的相对曲率。

利⽤测地曲率，我们就可以得到曲⾯上测地线的定义：曲⾯上测地曲率恒为0的曲线成为测地线。

但这样定义出来的曲线还会是连接任意两点的最短曲线吗？事实上，测地线包含所有曲⾯上的最短曲线，⽽且会往往超出这个范围，也就是说，最短曲线⼀定是测地线，但测地线不⼀定最短。

产⽣这种现象的原因在于我们仅仅使⽤曲率，或者说曲⾯的度量来定义测地线，但曲线的最短性并⾮⼀个像⾼斯曲率那样的内蕴⼏何量，因⽽就⽆法保证最短性。

一些曲面测地线方程的几种计算方法

一些曲面测地线方程的几种计算方法下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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微分几何第二章曲面论第六节曲面上的测地线

在曲面上，连接两点 P , Q的线段中哪条最短？
6.1 曲面上曲线的测地曲率
一.测地曲率的概念
1 2 ( S ) : r r (u , u ) n (C ) : u u ( s),( 1,2) 令 n P 定义曲线(C )在P点的曲率向量r k在上的投影（也就是在S上P点的切平面上的投影）称为曲线(C )在P点的测地曲率. 记作 : k g 即 k r k
i j 2 2 1 i j du1 d 2 u 2 du du du d u du du 2 1 kg g[ ( 2 ij ) ( 2 ij )] ds ds ds ds ds ds ds ds i, j i, j
测地曲率的一般计算公式.
F 0, 此时，特别地，在正交坐标网下，
2 i dui du j d u k [ ij rk Lij n] 2 ri ds i , j ds ds k i i j i j 2 k du du du du d u k ij rk Lij n 2 rk ds ds ds ds ds i , j ,k i, j k i j i j d 2 uk du du du du k [ 2 ij ] rk Lij n ds ds ds ds ds k i, j i, j i du , r ri k g (r r, n) ds i i j 2 2 1 i j du1 d 2 u2 du du du d u du du 2 1 [ ( 2 ij ) ( 2 ij )] (r1 , r2 , n) ds ds ds ds ds ds ds ds i, j i, j

曲面的曲率线、渐近曲线和测地线

另一方面若沿一条曲率线的方向主曲率，则将罗德里克方程，沿，即固定，因而（常数）.这表明在一个平面上，而平面法矢就是 .证毕.
3 渐近曲线
3.1渐近曲线定义
若曲面上一条曲线总是沿着一个渐进方向，即法曲率的方向，则成为上的一条渐近曲线.平面上的任意一点的方向渐进方向，平面上的每一条曲线都是渐近曲线.
3.2一般的渐近曲线的微分方程
一般的渐近曲线的微分方程为：，显然一切线为渐近曲线的充要条件是（整个平面上），线为渐近曲线的充要条件是，参数曲线为渐近曲线的充要条件 .
3.3关于渐近曲线的有关定理和命题及其证明
若曲面上有一条直线，则曲面沿直线的法曲率为0，Байду номын сангаас而直线是一条渐近曲线.
可展曲面上的母线即是曲率线又是渐近线.则可得以下结论：
2.2曲率线的微分方程
对曲面上一点的两个方向，如果他们既共轭又正交，则称在点主方向.
设两个方向是由于正交性，，即
,由于共轭性：，即
,
以上两个条件改写为
＝0.
还可以写成以下形式
，
这是：的二次方程，其判别式为
,所以当且仅当时， =0上述判别式它可以写成
因此除上述的情况外，判别式 >0.
也就是说方程总有两个不相等的实根因而曲面上每一点处除了上述情况总有两个主方向.它们也是这一点的杜邦指标线的主方向，并且如何曲面上某一点处有
曲率线的几何特征：
若为曲面上的一条曲线，则沿的法线所产生的直纹面可以称为曲面沿的法
线曲面..我们有以下定理
定理2曲面上的一条曲线为曲率线的充分条件：沿的法线曲面为可展曲面.
证明设的方程为（1），则定理，沿的法线条件是（2）或（曲面为可展曲面的充要条件）.若曲率线，由定理1知平行，（2）当然满足.

微分几何26曲面上的测地线

微分几何26曲面上的测地线
contents
目录
• 测地线的定义与性质 • 曲面上的测地线 • 微分几何中的测地线 • 26曲面上的测地线 • 总结与展望
01
测地线的定义与性质
测地线的定义
01
测地线是曲面上的最短路径，即连接两点间的曲线段长度最短。
02
在微分几何中，测地线被定义为在曲面上具有常曲率的曲线，其长度由曲面的第一，即其上任意两点的连线都是连续且可微分的。
在某些特定条件下，26曲面上的测地线可能具有闭合性或周期性等特殊性质。
26曲面上的测地线与一般曲面上测地线的区别
01
一般曲面上测地线通常是定义在二维或三维空间中的曲线，而26曲面则是一个更高维度的几何对象。因此，26曲面上的测地线需要考虑更多的维度和复杂性。
05
总结与展望
总结
测地线在微分几何26曲面上的研究具有重要的理论和应用价值，对于理解曲面的几何性质和拓扑结构具有重要意义。
在过去的几十年里，研究者们在测地线的研究方面取得了丰硕的成果，包括测地线的存在性、唯一性和稳定性等问题的解决，以及在黎曼几何和相对论等领域的应用。
然而，仍然存在许多未解决的问题和挑战，需要进一步的研究和探索。
02
26曲面可能具有特殊的几何和拓扑结构，这使得其测地线的性质和计算方法与一般曲面有所不同。例如，在一般曲面中，测地线通常是直线或平面曲线，而在26曲面上，测地线可能是复杂的空间曲线。
03
由于26曲面可能具有特殊的几何和拓扑结构，因此其测地线的存在性和唯一性也可能与一般曲面有所不同。例如，在某些特定条件下，26曲面上的测地线可能不存在或不止一条。
微分几何中的测地线性质
01

微分几何 §6 曲面上的测地线

r=r(u1 ,u 2 )，u1 =u1(s),u 2 =u 2(s)的 r k
n
..
若记 n ， n，

kg r k
k g r k （，n，） k n k sin k
..
..
命题1
k k k ,
下面给出测地曲率的一般计算公式设曲面曲线 C : u s , u u s 其中s是自然参数有
, 2 2
k g k ( , , n) ( , k , n)=( r , r , n) . du i r ri ds i
r ij k
i, j ..
2 2 2
d ds 1 2 G ln E v du ds dv ds cos 1 E 1 G 1 2 E cos sin ln G u sin
由此在给出初始条件下可求测地线惟一的解.
例:利用刘维尔公式证明：平面上的测地线为直线证明：对于平面
ds 2 du 2 dv 2
d 2u k ds
2
ij k
i, j
du i du j ds ds
0, k 1, 2
du k ds ( du k ds
在初始要件 s s0 , u k u0 k ,
)0
由微分方程知识知有唯一解
曲面上任一点，给定一个的切方向，则存在唯一一条测地线切于此方向
6.3. 曲面上的半测地坐标网曲面上的一个坐标网，其中一族是测地线，另一的族
E G 1, F 0, Eu Ev Gu Gv 0
代入测地线的方程得
d ds
du ds
0, const .

曲面的曲率线、渐近曲线和测地线

2.2曲率线的微分方程
对曲面上一点的两个方向，如果他们既共轭又正交，则称在点主方向.
设两个方向是由于正交性，，即
,由于共轭性：，即
,
以上两个条件改写为
＝0.
还可以成以下形式
，
这是：的二次方程，其判别式为
,所以当且仅当时， =0上述判别式它可以写成
因此除上述的情况外，判别式 >0.
也就是说方程总有两个不相等的实根因而曲面上每一点处除了上述情况总有两个主方向.它们也是这一点的杜邦指标线的主方向，并且如何曲面上某一点处有
定理3若一共球面和一个球面（或平面）沿一条曲线相切，则是的一条曲率线，沿的法曲率是异于零的常数（或为0）.
而定理3的逆定理为
定理4若一个平面沿一条曲率线主曲率是异于0或常数（或等于0）则沿和一个球面（或平面）相切.
证明若沿一条曲率线的方向，主曲率为常数，则将罗德里克方程（1）（）沿的积分得，其中为常矢，分别取两边和自己的数积即得，这表明在一个球面上，而且根据前一式，和这个球面沿有相同的法矢 .
4 测地线
4.1测地曲率定义
给定一个曲面，考虑曲面是的自然参数，设是曲线上一点，是在上单位切向量，是的夹角，那么曲线在点的曲率向量在的投影为在的测地曲率，若用表示，则
另一方面若沿一条曲率线的方向主曲率，则将罗德里克方程，沿，即固定，因而（常数）.这表明在一个平面上，而平面法矢就是 .证毕.
3 渐近曲线
3.1渐近曲线定义
若曲面上一条曲线总是沿着一个渐进方向，即法曲率的方向，则成为上的一条渐近曲线.平面上的任意一点的方向渐进方向，平面上的每一条曲线都是渐近曲线.

平行曲面上测地线的性质

平行曲面上测地线的性质在平行曲面上，测地线是沿着沟槽运动的最短路线，其中沟槽的定义是一系列水平曲线，它们的切线与侧壁都垂直。

平行曲面可以被形式化地定义为一组由相同曲率的曲线构成的曲面。

在这里，我们将讨论测地线在平行曲面上的性质。

1. 平行曲面上的测地线是最短路线在平行曲面上，测地线是最短的路径。

这是由于平行曲面上的每个点都具有相同的曲率。

因此，沿着曲面上的任何其他曲线运动都需要更多的路径长度，而测地线是连接两个点的最短路径。

因此，在平行曲面上，测地线是最优的路径选择。

2. 平行曲面上的测地线是沿着切线方向运动的在任何曲面上，测地线是沿着曲面上的切线方向运动的。

在平行曲面上，曲线的切线方向与水平相同，因此在平行曲面上，测地线是沿着水平方向运动的。

这是因为沟槽的定义是一组水平曲线，因此测地线必须沿着这些曲线移动。

3. 平行曲面上的测地线保持水平方向在平行曲面上，测地线保持水平方向。

这是因为平行曲面的每个点都有相同的曲率，因此测地线必须以水平方向移动，以保持其最短长度。

因此，测地线必须始终在水平面上移动，这意味着它必须沿着沟槽上的水平曲线移动。

4. 平行曲面上的测地线具有相同的弧长在平行曲面上，测地线具有相同的弧长。

这是因为平行曲面的每个点都具有相同的曲率，因此测地线必须以相同的弧长移动，以保持其最短长度。

因此，在沟槽上移动的测地线总是具有相同的长度。

5. 平行曲面上的测地线的运动遵循类似于悬链线的形状在平行曲面上，测地线的形状遵循类似于悬链线的形状。

这是因为在沟槽上移动的测地线必须沿着水平曲线移动，并保持其长度最短。

这种形状类似于悬链线或链线，这种线形是由于重力的作用而形成的。

在平行曲面上，测地线具有许多独特的性质。

由于曲面上的每个点都具有相同的曲率，因此测地线是最优的路径，具有相同的弧长，并且在水平方向上移动。

它们的形状类似于悬链线或链线，这种线形是由于其运动必须沿着水平曲线并保持最短长度而导致的。

测井原理及各种曲线的应用

测井原理及各种曲线的应用一、SP曲线和GR曲线测井基本原理用淡水泥浆钻井时，由于地层水矿化度小于泥浆滤液矿化度而在砂岩段形成扩散电位——在井眼内砂岩段靠近井壁的地方负电荷富集，地层内砂岩段靠近井壁的地方正电荷富集，导致砂层段井眼泥浆的电势低于砂层电势，正象一个平行于地层且正极指向地层的“电池”（第一个）。

在泥岩段，因为泥浆滤液与地层水之间存在矿化度差及选择性吸附作用形成吸附电位——在井眼内泥岩段靠近井壁的地方正电荷富集，地层中泥岩段负电荷富集，导致泥岩段井眼泥浆的电势高于地层电势，正象一个平行于地层且正极指向井眼的“电池”（第二个）。

又因为泥浆和地层各具导电性，正象两条导线把以上两个“电池”串联了起来而形成回路，这样在地层中电流从砂岩段（第一个电池正极）流向泥岩段（第二个电池负极）；在井眼中电流从泥岩段（第二个电池正极）流向砂岩段（第一个电池负极）。

在此回路中，地层也充当电阻的作用，总电动势等于扩散电动势和吸附电动势之和。

用M电极在井眼中测的自然电流在泥浆中产生的电位降即得自然电位曲线。

其值在正常情况下与对应地层中泥质含量关系密切，砂岩中泥质含量增加，则电位降下降，异常幅度减小；砂岩中泥质含量下降，则电位降上升，异常幅度增大。

另外，当泥浆柱与地层流体间存在压力差时发生过滤作用形成过滤电动势——动电学电位。

沉积岩的放射形取决于岩石中放射性元素的含量，放射性元素的含量主要取决于粘土和泥质的含量，粘土和泥质含量越高放射性越强。

GR曲线主要测量地层的放射性。

1、曲线幅度反映沉积时水动力能量的强弱；2、曲线形态反映物源供给的变化和沉积时水动力条件的变化；3、顶、底部形态的变化反映沉积初、末期水动力能量和物源供给的变化速度；4、曲线的光滑程度水动力对沉积物改造所持续时间的长短；5、曲线的齿中线组合方式反映沉积物加积特点；6、曲线包络形态反映在大层段内垂向层序特征和多层砂在沉积过程中能量的变化。

影响自然电位曲线异常幅度的因素：（1）岩性、地层水与泥浆含盐度比值的影响。