【高考二轮】2019届高考数学二轮复习第二部分专项二专题三 1 第1讲专题强化训练 Word版含解析

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届数学统考第二轮专题复习第1讲函数的图像与性质的简单应用学案理含解析

第1讲函数的图像与性质的简单应用高考年份全国卷Ⅰ 全国卷Ⅱ 全国卷Ⅲ2020函数单调性的应用·T12对数大小的判断·T11 函数的奇偶性与单调性·T9函数的性质·T162019 函数图像的判断·T5函数的建模与应用·T4 函数图像的判断·T7 2018函数图像的判断·T3函数图像的判断·T71。

[2019·全国卷Ⅰ］函数f （x )=sinx+x cosx+x 2在[-π,π］的图像大致为( ）A BC D图M1-1-12。

[2018·全国卷Ⅲ]函数y=-x 4+x 2+2的图像大致为 ( ）图M1-1-23。

［2019·全国卷Ⅱ］若a〉b,则 (）A。

ln（a—b）>0 B。

3a〈3bC。

a3—b3〉0 D.｜a|>｜b｜4。

[2020·全国卷Ⅱ］若2x-2y〈3—x-3-y，则(）A.ln(y-x+1)〉0B.ln（y—x+1）〈0C.ln|x-y|〉0D。

ln｜x-y｜〈05.[2020·北京卷]已知函数f(x)=2x—x—1，则不等式f(x）〉0的解集是()A.（—1，1)B。

(-∞,—1)∪(1，+∞）C.(0，1）D。

（-∞,0）∪(1,+∞）6.[2020·全国新高考Ⅰ卷］若定义在R的奇函数f（x)在（-∞，0)单调递减,且f（2）=0,则满足xf(x-1）≥0的x的取值范围是（)B。

［—3,—1]∪[0，1]C.[—1，0］∪［1，+∞）D.[-1,0］∪［1,3］7.［2020·全国卷Ⅲ]已知55〈84,134<85。

设a=log53，b=log85,c=log138,则()A。

a<b〈c B.b<a〈cC。

b<c〈a D.c<a〈b8。

[2020·全国卷Ⅲ］Logistic模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎，累计确诊病例数I（t)(t的单位:天)的Logistic模型:I(t）=K1+e-0.23(t-53)其中K为最大确诊病例数。

届数学二轮复习第二部分专题篇素养提升文理专题一三角函数三角恒等变换与解三角形第2讲三角恒等变换与解三

第2讲三角恒等变换与解三角形（文理)JIE TI CE LUE MING FANG XIANG解题策略·明方向⊙︱考情分析︱1．三角恒等变换是高考的热点内容，主要考查利用各种三角函数公式进行求值与化简,其中二倍角公式、辅助角公式是考查的重点，切化弦、角的变换是常考的内容．2．正弦定理、余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查：(1）边、角、面积的计算;（2）有关边、角的范围问题；(3)实际应用问题．⊙︱真题分布︱（理科)年份卷别题号考查角度分值202 0Ⅰ卷9、16三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值；利用余弦定理解三角形10Ⅱ卷17解三角形求角和周长的12（文科）KAO DIAN FEN LEI XI ZHONG DIAN考点分类·析重点考点一三角恒等变换错误!错误!错误!错误!三角恒等变换与求值1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1）sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β。

(2）cos(α±β）＝cos αcos β∓sin αsin β。

(3)tan(α±β)＝错误!。

2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 2α＝2sin αcos α。

（2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.（3）tan 2α＝错误!.3．辅助角公式a sin x＋b cos x＝错误!sin(x＋φ）（其中tan φ＝错误!)典错误!错误!错误!典例1（1)（2020·全国Ⅱ卷模拟）cos2 40°＋2sin 35°sin 55°sin 10°＝（A)A．错误!B．错误!C．错误!＋错误!D．错误!(2)(2020·宜宾模拟）已知α∈错误!,且3sin2α－5cos2α＋sin 2α＝0，则sin 2α＋cos 2α＝（A)A．1B．－错误!C．－错误!或1D．－1（3）已知函数f（x）＝错误!cos x cos错误!＋sin2错误!－错误!.①求f（x)的单调递增区间;②若x∈错误!，f（x)＝错误!,求cos 2x的值．【解析】（1）原式＝cos240°＋2sin 35°cos 35°sin 10°＝cos240°＋sin 70°sin 10°＝12＋12cos 80°＋sin 70°sin 10°＝错误!＋错误!(cos 70°cos 10°－sin 70°sin 10°＋2sin 70°sin 10°）＝错误!＋错误!(cos 70°cos 10°＋sin 70°sin 10°）＝错误!＋错误!cos 60°＝34。

2019届高考数学二轮复习第二部分突破热点分层教学专项二专题二3高考解答题的审题与答题示范二课

(2)若 6cos Bcos C＝1，a＝3，求△ABC 的周长.
审题路线
标准答案 (1)由题设得12acsin B＝3sian2 A，① 即12csin B＝3sian A.② 由正弦定理得12sin Csin B＝3ssiinnAA.③ 故 sin Bsin C＝23.④
标准答案 (2)由题设及(1) 得 cos Bcos C－sin Bsin C＝－12，⑤ 即 cos(B＋C)＝－12，所以 B＋C＝23π，故 A＝π3.⑥ 由题设得12bcsin A＝3sian2 A，⑦ 即 bc＝8.⑧ 由余弦定理得 b2＋c2－bc＝9，即(b＋c)2－3bc＝9，得 b＋c＝ 33.⑨ 故△ABC 的周长为 3＋ 33.⑩
阅卷现场 ⑦正确写出12bcsin A＝3sian2 A得 1 分； ⑧求出 bc 的值，正确得 1 分，错误不得分； ⑨通过变形得出 b＋c＝ 33得 1 分； ⑩正确写出答案得 1 分.
(1)写全得分步骤：对于解题过程中是得分点的步骤有则给
分，无则没分，所以得分点步骤一定要写全，如第(1)问中满只要写出12acsin B＝3sian2 A就有分，第(2)问中求出分 cos Bcos C－sin Bsin C＝－12就有分．心 (2)写明得分关键：对于解题过程中的关键点，有则给分，得无则没分，所以在答题时要写清得分关键点，如第(1)问中
由正弦定理得12sin Csin B＝3ssiinnAA；第(2)问由余弦定理得 b2＋c2－bc＝9.
满 (3)计算正确是得分保证：解题过程中计算准确，是得满分
分心
的根本保证，如 cos Bcos C－sin Bsin C＝－12化简如果出现
得错误，本题的第(2)问就全错了，不能得分.

2019高考数学理高分大二轮课件专题2第1讲基础小题部分

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精准考点突破
易错防范突破
真题押题精练
增分强化练
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考点一考点二考点三
考点二函数的性质
1．(参数范围)已知函数 f(x)＝x3－2x＋ex－e1x，其中 e 是自然对数的底数．若 f(a－1)
＋f(2a2)≤0，则实数 a 的取值范围是________．解析：由 f(x)＝x3－2x＋ex－e1x，得 f(－x)＝－x3＋2x＋e1x－ex＝－ f(x)，所以 f(x)
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考点一考点二考点三
3．(应用)若不等式(x－1)2<logax在x∈(1,2)内恒成立，则实数a的取值范围为 ( )
A．(1,2]
B．( 22，1)
C．(1， 2)
D．( 2，2)
解析：根据题意，只需函数y＝(x－1)2在(1,2)上的图象在y ＝logax的图象的下方即可．当0<a<1时，显然不成立；当a>1时，如图，要使x∈(1,2) 时y＝(x－1)2的图象在y＝logax的图象的下方，只需(2－ 1)2≤loga2，即loga2≥1，解得1<a≤2，故实数a的取值范围是(1,2]．故选A.
的取值范围是 [－1，12]．答案： [－1，12]
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考点一考点二考点三
2．(函数值)(2018·高考全国卷Ⅱ)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1
－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝

2019届高考数学二轮复习专题三不等式第1讲三个“二次”的问题学案

第1讲三个“二次”的问题1. “三个二次”在历年高考中都有考查，体现出二次函数、二次方程和二次不等式之间有密不可分的联系，即函数的研究离不开方程和不等式；方程和不等式的解的讨论同样要结合函数的图象和性质．2. 主要涉及的题型有：一是求二次函数的解析式；二是求二次函数的值域或最值，考查二次函数和一元二次方程、一元二次不等式的综合应用；三是考查一元二次不等式的解法及“三个二次”间的关系问题；四是从实际情景中抽象出一元二次不等式模型；五是以函数、导数为载体，考查不等式的参数范围问题．1. 不等式(1＋x)(1－x)>0的解集是________．答案：{x|－1<x<1}解析：原式可化为(x ＋1)(x －1)<0，所以不等式的解集为－1<x<1.2. (2018·海安第一次学业质量测试)关于x 的不等式x ＋ax＋b≤0(a，b ∈R )的解集为{x |3≤x ≤4}，则a ＋b 的值为________．答案：5解析：由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧3＋a3＋b ＝0，4＋a 4＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－7，所以a ＋b ＝5.3. (2018·镇江期末)已知函数f(x)＝x 2－kx ＋4，对任意的x∈[1，3]，不等式f(x)≥0恒成立，则实数k 的最大值为________．答案：4解析：由题意知x 2－kx ＋4≥0，x ∈[1，3]，所以k≤x ＋4x对任意的x∈[1，3]恒成立．因为x ＋4x≥4(当且仅当x ＝2时取等号)，所以k≤4，故实数k 的最大值为4.4. (2018·昆山中学月考)不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案：[－1，4]解析：x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4，所以x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，只需a 2－3a ≤4，解得－1≤a≤4., 一)一元二次不等式的求解, 1)已知f(x)＝－3x 2＋a(6－a)x ＋b.(1) 解关于a 的不等式f(1)＞0；(2) 当不等式f(x)＞0的解集为(－1，3)时，求实数a ，b 的值．解：(1) f(1)＝－3＋a(6－a)＋b ＝－a 2＋6a ＋b －3.因为f(1)＞0，所以a 2－6a ＋3－b ＜0.Δ＝24＋4b ，当Δ≤0，即b≤－6时，f(1)＞0的解集为∅；当Δ＞0，即b ＞－6时，3－b ＋6＜a ＜3＋b ＋6，所以b ＞－6时，f(1)＞0的解集为{a|3－b ＋6＜a ＜3＋b ＋6}．(2) 因为不等式－3x 2＋a(6－a)x ＋b ＞0的解集为(－1，3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2＝a （6－a ）3，－3＝b －3，解得⎩⎨⎧a ＝3±3，b ＝9.(2018·苏北四市一模)已知函数f(x)＝ ⎩⎪⎨⎪⎧2－|x ＋1|，x≤1，（x －1）2，x ＞1.若函数g(x)＝f(x)＋f(－x)，则不等式g(x)≤2的解集为________.答案：[－2，2] 解析：f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧3＋x ，x ＜－1，－x ＋1，－1≤x≤1，（x －1）2，x>1，所以f(－x)＝⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋1）2，x<－1，x ＋1，－1≤x≤1，－x ＋3，x ＞1，所以g(x)＝f(x)＋f(－x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x2＋3x ＋4，x<－1 ①，2，－1≤x≤1 ②，x2－3x ＋4，x>1 ③.由不等式g(x)≤2，解得①⎩⎪⎨⎪⎧x<－1，x2＋3x ＋4≤2⇒－2≤x<－1；②⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x≤1，2≤2⇒－1≤x≤1；③⎩⎪⎨⎪⎧x>1，x2－3x ＋4≤2⇒1<x ≤2.综上所述，不等式g(x)≤2的解集为[－2，2]．, 二)二次函数与二次不等式, 2)(2018·北京朝阳统考)已知函数f(x)＝x 2－2ax －1＋a ，a ∈R .(1) 若a ＝2，试求函数y ＝f （x ）x(x >0)的最小值；(2) 对于任意的x ∈[0，2]，不等式f (x )≤a 恒成立，试求a 的取值范围．解：(1) 依题意得y ＝f （x ）x ＝x2－4x ＋1x ＝x ＋1x－4.因为x >0，所以x ＋1x ≥2.当且仅当x ＝1x，即x ＝1时，等号成立．所以y ≥－2. 所以当x ＝1时，y ＝f （x ）x的最小值为－2.(2) 因为f (x )－a ＝x 2－2ax －1，所以要使得“∀x ∈[0，2]，不等式f (x )≤a 恒成立”，只要“x 2－2ax －1≤0在[0，2]上恒成立”．不妨设g (x )＝x 2－2ax －1，则只要g (x )≤0在[0，2]上恒成立即可．所以⎩⎪⎨⎪⎧g （0）≤0，g （2）≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧0－0－1≤0，4－4a －1≤0，解得a ≥34，则a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞.已知函数g (x )＝ax 2－2ax ＋1＋b (a >0)在区间[2，3]上的最大值为4，最小值为1，记f (x )＝g (|x |)．(1) 求实数a ，b 的值；(2) 若不等式f (log 2k )>f (2)成立，求实数k 的取值范围；(3) 定义在[p ，q ]上的一个函数m (x )，用分法T ：p ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝q 将区间[p ，q ]任意划分成n 个小区间，如果存在一个常数M >0，使得和式错误!f(x i )＝f(x 1)＋f(x 2)＋…＋f(x n ))解：(1) g(x)＝a(x －1)2＋1＋b －a ，因为a>0，所以g(x)在区间[2，3]上是增函数，故⎩⎪⎨⎪⎧g （2）＝1，g （3）＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0.(2) 由已知可得f(x)＝g(|x|)＝x 2－2|x|＋1为偶函数，所以不等式f(log 2k )>f (2)可化为|log 2k |>2，解得k >4或0<k <14，故实数k 的取值范围是(0，14)∪(4，＋∞)．(3) 设函数f (x )为[1，3]上的有界变差函数．因为函数f (x )为[1，3]上的单调递增函数，且对任意划分T ：1＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝3，有f (1)＝f (x 0)<f (x 1)<…<f (x n －1)<f (x n )＝f (3)，所以错误!|m(x i )－m(x i －1)|≤M 恒成立，所以M 的最小值为4., 三)二次方程与二次不等式, 3)对于函数f(x)，若f(x 0)＝x 0，则称x 0为函数f(x)的“不动点”；若f(f(x 0))＝x 0，则称x 0为函数f(x)的“稳定点”．如果f(x)＝x 2＋a(a∈R )的“稳定点”恰是它的“不动点”，求实数a 的取值范围．解：(解法1)因为函数的“稳定点”恰是它的“不动点”，由f (f (x ))＝x ，可得(x 2＋a )2＋a ＝x .方程可化为(x 2－x ＋a )(x 2＋x ＋a ＋1)＝0，所以方程x 2－x ＋a ＝0有解，且方程x 2＋x ＋a ＋1＝0无解或其解都是x 2－x ＋a ＝0的解，由方程x 2－x ＋a ＝0有解，得Δ1＝1－4a ≥0，解得a ≤14.由方程x 2＋x ＋a ＋1＝0无解，得Δ2＝1－4(a ＋1)<0，解得a >－34.若方程x 2＋x ＋a ＋1＝0有解且都是x 2－x ＋a ＝0的解．因为方程x 2－x ＋a ＝0与方程x 2＋x ＋a ＋1＝0不可能同解，所以方程x 2＋x ＋a ＋1＝0必有两个相等的实根且是方程x 2－x ＋a ＝0的解，此时，Δ2＝1－4(a ＋1)＝0，解得a ＝－34，经检验，符合题意．综上，a 的取值范围是[－34，14]．(解法2)显然，函数的“不动点”一定是“稳定点”，而函数的“稳定点”恰是它的“不动点”，即不存在非“不动点”的“稳定点”，所以f (x )＝x 有解，但方程组⎩⎪⎨⎪⎧f （x1）＝x2，f （x2）＝x1(x 1≠x 2)无解．由f (x )＝x ，得x 2－x ＋a ＝0有解，所以1－4a ≥0，解得a ≤14.由⎩⎪⎨⎪⎧f （x1）＝x2，f （x2）＝x1，得⎩⎪⎨⎪⎧x21＋a ＝x 2，x 2＋a ＝x 1，两式相减，得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝x 2－x 1.因为x 1≠x 2，所以x 2＝－x 1－1，两式相减，得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝x 2－x 1.因为x 1≠x 2，所以x 2＝－x 1－1，代入消去x 2，得x 21＋x 1＋a ＋1＝0.因为方程x 21＋x 1＋a ＋1＝0无解或仅有两个相等的实根，所以1－4(a ＋1)≤0，解得a ≥－34，故a 的取值范围是[－34，14]．定义：关于x 的两个不等式f (x )<0和g (x )<0的解集分别为(a ，b )和(1b ，1a)，则称这两个不等式为对偶不等式．如果不等式x 2－43x cos θ＋2<0与不等式x 2＋2x sin θ＋1<0为对偶不等式，且θ∈(π2，π)，则θ＝________．答案：2π3解析：由题意知不等式x 2－43x cos θ＋2<0的解集为(a ，b )，所以a ＋b ＝43cos θ，ab ＝2.又不等式x 2＋2x sin θ＋1<0的解集为(1b ，1a)，所以1b ＋1a＝－2sin θ.又1b ＋1a ＝a ＋b ab ＝43cos θ2＝－2sin θ，所以tan θ＝－3. 又θ∈(π2，π)，所以θ＝2π3., 四)三个“二次”的综合问题, 4)设函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c ∈R )，且f (1)＝－a2，3a >2c >2b ，求证：(1) a >0且－3<b a <－34；(2) 函数f (x )在区间(0，2)内至少有一个零点；(3) 若x 1，x 2是函数f (x )的两个零点，则2≤|x 1－x 2|＜574.证明：(1) 因为f (1)＝a ＋b ＋c ＝－a2，所以3a ＋2b ＋2c ＝0.又3a >2c >2b ，所以3a >0，2b <0，所以a >0，b <0. 又2c ＝－3a －2b ，3a >2c >2b ，所以3a >－3a －2b >2b .因为a >0，所以－3<b a <－34.(2) 因为f (0)＝c ，f (2)＝4a ＋2b ＋c ＝a －c ，①当c >0时，因为a >0，所以f (1)＝－a2<0，且f (0)＝c >0，所以函数f (x )在区间(0，1)内至少有一个零点；②当c ≤0时，因为a >0，所以f (1)＝－a2<0，且f (2)＝a －c >0，所以函数f (x )在区间(1，2)内至少有一个零点．综合①②得函数f (x )在区间(0，2)内至少有一个零点．(3) 因为x 1，x 2是函数f (x )的两个零点，则x 1，x 2是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根．所以|x 1－x 2|＝（x1＋x2）2－4x1x2＝（－b a ）2－4（－32－ba）＝（ba＋2）2＋2.因为－3<b a <－34，所以2≤|x 1－x 2|＜574.已知函数f (x )＝2x 2＋ax －1，g (log 2x )＝x 2－x2a －2.(1) 求函数g (x )的解析式，并写出当a ＝1时，不等式g (x )＜8的解集；(2) 若f (x )，g (x )同时满足下列两个条件：①∃t ∈[1，4]，使f (－t 2－3)＝f (4t )；②∀x ∈(－∞，a ]，使g (x )<8.求实数a 的取值范围．解：(1) 令t ＝log 2x ，则x ＝2t，由g (log 2x )＝x 2－x 2a －2，可得g (t )＝22t －2t ＋2－a，即g (x )＝22x －2x ＋2－a，当a ＝1时，不等式g (x )<8⇔22x－2x ＋1<8⇔(2x ＋2)(2x－4)<0，即2x<4，所以x <2，即不等式g (x )＜8的解集为(－∞，2)．(2) 因为f (x )＝2x 2＋ax －1，所以由①∃t ∈[1，4]，使f (－t 2－3)＝f (4t )，得∃t ∈[1，4]，(－t 2－3)＋4t ＝－a 2，即∃t ∈[1，4]，a ＝2(t －2)2－2，所以a ∈[－2，6]；由②∀x ∈(－∞，a ]，使g (x )<8得∀x ∈(－∞，a ]，42a >2x －82x，令μ＝2x ，x ∈(－∞，a ]，则y ＝2x－82x ＝μ－8μ，μ∈(0，2a]，易知函数y ＝μ－8μ在(0，2a ]上是增函数，y max ＝2a－82a，所以42a>2a－82a，所以2a<23，所以a <1＋12log 23.综上，实数a 的取值范围是[－2，1＋12log 23)．1. 函数y ＝3－2x －x2的定义域是 ________．答案：[－3，1]解析：要使函数有意义，必须有3－2x －x 2≥0，即x 2＋2x －3≤0，所以－3≤x≤1.2. 设集合A ＝{x|x 2－4x ＋3<0}，B ＝{x|2x －3>0}，则A∩B＝________．答案：(32，3)解析：集合A ＝(1，3)，B ＝(32，＋∞)，所以A∩B＝(32，3)．3. (2017·山东卷)已知命题p ：∃x ∈R ，x 2－x ＋1≥0；命题q ：若a 2<b 2，则a <b .则命题p ∧綈q 的真假性为________．答案：真解析：易知命题p 为真命题，命题q 为假命题，所以綈q 为真命题，由复合命题真值表知，p ∧綈q 为真命题．4. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x2，x≤1，x ＋6x－6，x>1，则f (f (－2))＝________，f (x )的最小值是________．答案：－1226－6解析：f (－2)＝(－2)2＝4，所以f (f (－2))＝f (4)＝4＋64－6＝－12.当x ≤1时，f (x )≥0；当x >1时，f (x )≥26－6，当x ＝6时取等号，所以函数f (x )的最小值为26－6.5. 已知二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a>0，c>0)的图象与x 轴有两个不同的公共点，且f(c)＝0，当0<x<c 时，恒有f(x)>0. (1) 当a ＝13，c ＝2时，求不等式f(x)<0的解集；(2) 若以二次函数的图象与坐标轴的三个交点为顶点的三角形的面积为8，且ac ＝12，求a 的值；(3) 若f(0)＝1，且f(x)≤m 2－2m ＋1对所有x∈[0，c]恒成立，求正实数m 的最小值．解：(1) 当a ＝13，c ＝2时，f(x)＝13x 2＋bx ＋2，f(x)的图象与x 轴有两个不同交点．因为f(2)＝0，设另一个根为x 1，则2x 1＝6，x 1＝3.则f(x)<0的解集为{x|2<x<3}．(2) 函数f(x)的图象与x 轴有两个交点，因为f(c)＝0，设另一个根为x 2，则cx 2＝c a ，于是x 2＝1a.又当0<x<c 时，恒有f(x)>0，则1a >c ，则三交点分别为(c ，0)，(1a，0)，(0，c)，以这三交点为顶点的三角形的面积为S ＝12(1a －c)c ＝8，且ac ＝12，解得a ＝18，c ＝4.(3) 当0<x<c 时，恒有f(x)>0，则1a>c ，所以f(x)在[0，c]上是单调递减的，且在x ＝0处取到最大值1，要使f(x)≤m 2－2m ＋1对所有x∈[0，c]恒成立，必须f(x)max ＝1≤m 2－2m ＋1成立，即m 2－2m ＋1≥1，即m 2－2m ≥0，解得m ≥2或m ≤0，而m >0，所以m 的最小值为2.(本题模拟高考评分标准，满分16分)(2017·南通考前模拟)已知二次函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )．(1) 当a ＝－6时，函数f (x )的定义域和值域都是[1，b 2]，求b 的值；(2) 若函数f (x )在区间(0，1)上有两个零点，求b 2＋ab ＋b ＋1的取值范围．解：(1) 当a ＝－6时，f (x )＝x 2－6x ＋b ，函数的对称轴为直线x ＝3，故f (x )在区间[1，3]上单调递减，在区间(3，＋∞)上单调递增．(2分)①当2＜b ≤6时，f (x )在区间[1，b2]上单调递减；故⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝b2，f （b2）＝1，方程组无解；(4分)②当6＜b ≤10时，f (x )在区间[1，3]上单调递减，在(3，b 2]上单调递增，且f (1)≥f (b 2)，故⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝b 2，f （3）＝1，解得b ＝10；(6分)③当b >10时，f (x )在区间[1，3]上单调递减，在(3，b 2]上单调递增，且f (1)<f (b 2)，故⎩⎪⎨⎪⎧f （b 2）＝b 2，f （3）＝1，方程组无解．所以b 的值为10.(8分)(2) 设函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点为x 1，x 2(0＜x 1<x 2＜1)，则f (x )＝(x －x 1)(x －x 2)．又f (0)＝b ＝x 1x 2>0，f (1)＝1＋a ＋b ＝(1－x 1)·(1－x 2)>0，(10分)所以b 2＋ab ＋b ＋1＝b (1＋a ＋b )＋1＝f (0)f (1)＋1，而0<f (0)f (1)＝x 1x 2(1－x 1)(1－x 2)≤(x1＋1－x12)2(x2＋1－x22)2＝116.(14分)由于x 1<x 2，故0<f (0)f (1)<116，则1<b 2＋ab ＋b ＋1<1716，即b 2＋ab ＋b ＋1的取值范围是(1，1716)．(16分)1. 在R 上定义运算：⎝ ⎛⎭⎪⎫ab cd ＝ad －bc ，若不等式⎝⎛⎭⎪⎫x －1 a －2a ＋1 x ≥1对任意实数x 恒成立，则实数a 的最大值为________．答案：32解析：由定义知，不等式⎝⎛⎭⎪⎫x －1 a －2a ＋1 x ≥1等价于x 2－x －(a 2－a －2)≥1，∴x 2－x ＋1≥a 2－a 对任意实数x 恒成立．∵ x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34，∴a 2－a ≤34，解得－12≤a ≤32，则实数a 的最大值为32.2. 已知f(x)＝－3x 2＋a(6－a)x ＋6.(1) 解关于a 的不等式f(1)>0；(2) 若不等式f(x)>b 的解集为(－1，3)，求实数a ，b 的值．解：(1) ∵ f(x)＝－3x 2＋a(6－a)x ＋6，∴ f(1)＝－3＋a(6－a)＋6＝－a 2＋6a ＋3>0，即a 2－6a －3<0，解得3－23<a<3＋23，∴不等式的解集为{a|3－23<a<3＋23}．(2) ∵ f(x)>b 的解集为(－1，3)， ∴方程－3x 2＋a(6－a)x ＋6－b ＝0的两根为－1，3，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3＝a （6－a ）3，－1×3＝－6－b 3，解得⎩⎨⎧a ＝3±3，b ＝－3.故a 的值为3＋3或3－3，b 的值为－3.3. 已知函数f(x)＝x2＋cax(x≠0，a ＞0，c ＜0)，当x ∈[1，3]时，函数f(x)的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，56. (1) 求函数f(x)的解析式；(2) 若向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ，12，n ＝(k 2＋k ＋2，3k ＋1)(k ＞－1)，解关于x 的不等式f (x )＜m ·n .解：(1) 因为c ＜0，f (x )＝1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋c x 在[1，3]上单调递增，所以⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝－32，f （3）＝56，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝－4，故f (x )＝x2－42x .(2) 由题意，得x2－42x ＜－k2＋k ＋2x ＋3k ＋12，即x (x －2k )[x －(k ＋1)]＜0.①当－1＜k ＜0时，不等式的解集是(－∞，2k )∪(0，k ＋1)； ②当0≤k ＜1时，不等式的解集是(－∞，0)∪(2k ，k ＋1)；③当k ＝1时，不等式的解集是(－∞，0)；④当k ＞1时，不等式的解集是(－∞，0)∪(k ＋1，2k )．。

2019届高考数学二轮复习第二部分专项二专题二 1 第1讲专题强化训练 Word版含解析

一、选择题1．(2018·南宁模拟)如图，函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，|φ|<π2的图象过点(0，3)，则函数f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 B ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 C ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 D ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 解析：选B.由函数图象可知，A ＝2，又函数f (x )的图象过点(0，3)，所以2sin φ＝3，即sin φ＝32，由于|φ|<π2，所以φ＝π3，于是f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，故选B. 2．(2018·郑州质量检测(二))已知函数f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2－cos 2x ，若要得到一个奇函数的图象，则可以将函数f (x )的图象( )A ．向左平移π6个单位长度B ．向右平移π6个单位长度C ．向左平移π12个单位长度D ．向右平移π12个单位长度解析：选C.f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2－cos 2x ＝3cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x －cos 2x ＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12，所以将f (x )的图象向左平移π12个单位长度可得到奇函数y ＝2sin 2x 的图象．故选C.3．(2018·广州调研)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤－π4，2π3上单调递增，则ω的取值范围为( )A.⎝⎛⎦⎤0，83 B.⎝⎛⎦⎤0，12 C.⎣⎡⎦⎤12，83D.⎣⎡⎦⎤38，2解析：选B.因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，2π3，所以ωx ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－π4ω＋π6，2π3ω＋π6，因为函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤－π4，2π3上单调递增，所以⎩⎪⎨⎪⎧－π4ω＋π6≥2k π－π2，k ∈Z ，2π3ω＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z .又ω>0，所以0<ω≤12，选B.4.(2018·石家庄质量检测(二))已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，已知点A (0，3)，B ⎝⎛⎭⎫π6，0，若将它的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图象，则函数g (x )图象的一条对称轴方程为( )A ．x ＝π12B ．x ＝π4C ．x ＝π3D ．x ＝2π3解析：选A.因为f (0)＝2sin φ＝3，所以sin φ＝32，又|φ|<π，所以φ＝π3或2π3，又f ⎝⎛⎭⎫π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫πω6＋φ＝0，所以πω6＋φ＝k π(k ∈Z )，所以ω＝⎝⎛⎭⎫k π－π3×6π＝6k －2(k ∈Z )，或ω＝⎝⎛⎭⎫k π－2π3×6π＝6k －4(k ∈Z )，又ω>0，且T 4＝2π4ω＝π2ω>π6，所以ω<3，所以ω＝2，φ＝2π3，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3，将其图象向右平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图象，所以g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π6＋2π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，g (x )图象的对称轴方程满足2x ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z )，所以x ＝k π2＋π12(k ∈Z )，故选A.5.(2018·惠州第二次调研)已知函数f (x )＝A sin(2x ＋θ)(|θ|≤π2，A >0)的部分图象如图所示，且f (a )＝f (b )＝0，对不同的x 1，x 2∈[a ，b ]，若f (x 1)＝f (x 2)，有f (x 1＋x 2)＝3，则( )A ．f (x )在⎝⎛⎭⎫－5π12，π12上是减函数B ．f (x )在⎝⎛⎭⎫－5π12，π12上是增函数 C ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π3，5π6上是减函数 D ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π3，5π6上是增函数解析：选B.由题图知A ＝2，设m ∈[a ，b ]，且f (0)＝f (m )，则f (0＋m )＝f (m )＝f (0)＝3，所以2sin θ＝3，sin θ＝32，又|θ|≤π2，所以θ＝π3，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，令－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－5π12＋k π≤x ≤π12＋k π，k ∈Z ，此时f (x )单调递增．所以选项B正确．6．(2018·河北“五个一名校联盟”模拟)已知函数f (x )＝1＋2cos x cos(x ＋3φ)是偶函数，其中φ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则下列关于函数g (x )＝cos(2x －φ)的正确描述是( ) A ．g (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π12，π3上的最小值为－1 B ．g (x )的图象可由函数f (x )的图象向上平移2个单位长度，向右平移π3个单位长度得到C ．g (x )的图象的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫－π12，0 D ．g (x )的一个单调递减区间是⎣⎡⎦⎤0，π2 解析：选C.因为函数f (x )＝1＋2cos x cos(x ＋3φ)是偶函数，y ＝1，y ＝2cos x 都是偶函数，所以y ＝cos(x ＋3φ)是偶函数，所以3φ＝k π，k ∈Z ，所以φ＝k π3，k ∈Z ，又0<φ<π2，所以φ＝π3，所以g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.当－π12≤x ≤π3时，－π2≤2x －π3≤π3，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3∈[0，1]，故A 错误；f (x )＝1＋2cos x cos(x ＋π)＝1－2cos 2x ＝－cos 2x ，显然B 错误；当x ＝－π12时，g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝0，故C 正确；当0≤x ≤π2时，－π3≤2x －π3≤2π3，g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3有增有减，故D 错误．故选C.二、填空题7．(2018·辽宁五校联合体模拟)已知函数f (x )＝4cos(ωx ＋φ)(ω>0，0<φ<π)为奇函数，A (a ，0)，B (b ，0)是其图象上两点，若|a －b |的最小值是1，则f ⎝⎛⎭⎫16＝________．解析：因为函数f (x )＝4cos(ωx ＋φ)(ω>0，0<φ<π)为奇函数，所以cos φ＝0(0<φ<π)，所以φ＝π2，所以f (x )＝－4sin ωx ，又A (a ，0)，B (b ，0)是其图象上两点，且|a －b |的最小值是1，所以函数f (x )的最小正周期为2，所以ω＝π，所以f (x )＝－4sin πx ，所以f ⎝⎛⎭⎫16＝－4sin π6＝－2.答案：－28．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，0＜φ＜π2)，f (0)＝－f ⎝⎛⎭⎫π2，若将f (x )的图象向左平移π12个单位长度后所得函数的图象关于原点对称，则φ＝________．解析：因为f (0)＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，则sin φ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2ω＋φ，所以ω＝4k ＋2，k ∈Z ，将f (x )的图象向左平移π12个单位长度后所得函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋ωπ12＋φ的图象关于原点对称，则ωπ12＋φ＝k π，k ∈Z ，由ω＞0，0＜φ＜π2得ω＝10，φ＝π6.答案：π69．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)＋a cos(2x ＋φ)(0<φ<π)的最大值为2，且满足f (x )＝f ⎝⎛⎭⎫π2－x ，则φ＝________．解析：因为f (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝π4对称，由函数的解析式可得a 2＋1＝2，即a 2＝3.若a ＝3，则f (x )＝sin(2x ＋φ)＋3cos(2x ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋φ＋π3，由函数图象的对称性可得2×π4＋φ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z )，所以φ＝k π－π3(k ∈Z )，因为0<φ<π，所以φ＝2π3；若a ＝－3，则f (x )＝sin(2x ＋φ)－3cos(2x ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋φ－π3，由函数图象的对称性可得2×π4＋φ－π3＝k π＋π2(k ∈Z )，所以φ＝k π＋π3(k ∈Z )，因为0<φ<π，所以φ＝π3.综上可得φ＝π3或2π3.答案：π3或2π3三、解答题10．已知函数f (x )＝sin 4x ＋cos 4x ＋32sin 2x cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4时，求f (x )的最值．解：f (x )＝sin 4x ＋cos 4x ＋32sin 2x cos 2x ＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2x cos 2x ＋34sin 4x ＝1－12sin 2 2x ＋34sin 4x＝1－12·1－cos 4x 2＋34sin 4x＝34sin 4x ＋14cos 4x ＋34＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＋34. (1)T ＝2π4＝π2.(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4时，4x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1，则当4x ＋π6＝π2，即x ＝π12时，函数f (x )取最大值54；当4x ＋π6＝7π6，即x ＝π4时，函数f (x )取最小值12.所以，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4时，函数f (x )的最大值是54，最小值是12.11．已知函数f (x )＝3sin 2ωx ＋cos 4ωx －sin 4ωx ＋1(其中0<ω<1)，若点⎝⎛⎭⎫－π6，1是函数f (x )图象的一个对称中心．(1)求f (x )的解析式，并求距y 轴最近的一条对称轴的方程； (2)先列表，再作出函数f (x )在区间[－π，π]上的图象．解：(1)f (x )＝3sin 2ωx ＋(cos 2ωx －sin 2ωx )(cos 2ωx ＋sin 2ωx )＋1 ＝3sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6＋1.因为点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，1是函数f (x )图象的一个对称中心，所以－ωπ3＋π6＝k π，k ∈Z ，所以ω＝－3k ＋12，k ∈Z .因为0<ω<1，所以k ＝0，ω＝12，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋1.由x ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π＋π3，k ∈Z ，令k ＝0，得距y 轴最近的一条对称轴方程为x ＝π3.(2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋1，当x ∈[－π，π]时，列表如下：12．设函数f (x )＝sin ωx ·cos ωx －3cos 2ωx ＋32(ω>0)的图象上相邻最高点与最低点的距离为π2＋4.(1)求ω的值；(2)若函数y ＝f (x ＋φ)(0<φ<π2)是奇函数，求函数g (x )＝cos(2x －φ)在[0，2π]上的单调递减区间．解：(1)f (x )＝sin ωx ·cos ωx －3cos 2ωx ＋32＝12sin 2ωx －3（1＋cos 2ωx ）2＋32 ＝12sin 2ωx －32cos 2ωx ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π3，设T 为f (x )的最小正周期，由f (x )的图象上相邻最高点与最低点的距离为π2＋4，得⎝⎛⎭⎫T 22＋[2f (x )max ]2＝π2＋4，因为f (x )max ＝1，所以⎝⎛⎭⎫T 22＋4＝π2＋4，整理得T ＝2π.又ω>0，T ＝2π2ω＝2π，所以ω＝12.(2)由(1)可知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，所以f (x ＋φ)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋φ－π3.因为y ＝f (x ＋φ)是奇函数，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ－π3＝0.又0<φ<π2，所以φ＝π3，所以g (x )＝cos(2x －φ)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.令2k π≤2x －π3≤2k π＋π，k ∈Z ，则k π＋π6≤x ≤k π＋2π3，k ∈Z ，所以单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z ，又因为x ∈[0，2π]，所以当k ＝0时，递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3；当k ＝1时，递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤7π6，5π3.所以函数g (x )在[0，2π]上的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，⎣⎢⎡⎦⎥⎤7π6，5π3.。

2019年高考数学二轮复习全攻略理科数学专题二

专题二集合、常用逻辑用语、平面向量、复数、不等式、算法、推理与证明、计数原理第1讲集合与常用逻辑用语知识网络【p11】考情分析【p11】备考建议【p11】从近几年高考题来看，涉及本节知识点的高考题型是选择题或填空题．有时在大题的条件或结论中出现，所以在复习中不宜做过多过高的要求，只要灵活掌握小型综合题型就可以了．要掌握以函数的定义域、值域、不等式的解集为背景考查集合的交、并、补的基本运算；要能够利用集合之间的关系，利用充要性求解参数的值或取值范围；要掌握命题的四种形式及命题真假的判断；还得注意以新定义集合及集合的运算为背景考查集合关系及运算．要活用“定义法”解题，重视“数形结合”，定义是一切法则和性质的基础，是解题的基本出发点，注意方法的选择，抽象到直观的转化．要体会数学语言的简洁性与明确性，发展运用数学语言交流问题的能力．体会分类讨论思想、数形结合思想、函数方程思想等数学思想在解题中的运用．典例剖析【p11】探究一集合的含义与表示、集合的运算例1(1)若A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1≤x≤m＋1}，A∩B＝B，则实数m的取值范围是________．【解析】[－1，＋∞)∵A∩B＝B，∴B⊆A.当B＝∅时，由2m－1＞m＋1，解得m>2；当B≠∅时，则⎩⎪⎨⎪⎧2m－1≤m＋1，2m－1≥－3，m＋1≤4，解得－1≤m≤2.综上，可知，m∈[－1，＋∞)．【点评】在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如A⊆B，则有A ＝∅和A≠∅两种可能，此时应分类讨论．(2)函数f(x)的定义域为D，对给定的正数k，若存在闭区间[]a，b⊆D，使得函数f(x)满足：①f(x)在[]a，b内是单调函数；②f(x)在[]a，b上的值域为[]ka，kb，则称区间[]a，b为y ＝f(x)的k级“理想区间”．下列结论错误的是()A．函数f(x)＝x2(x∈R)存在1级“理想区间”B．函数f(x)＝e x()x∈R不存在2级“理想区间”C．函数f(x)＝4xx2＋1()x≥0存在3级“理想区间”D．函数f(x)＝tan x，x∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2不存在4级“理想区间”【解析】选D.易知[]0，1是f (x )＝x 2的1级“理想区间”，A 正确；设g (x )＝e x －2x ，g ′(x )＝e x －2，当x <ln 2时，g ′(x )<0，当x >ln 2时，g ′(x )>0，因此g (x )min＝g ()ln 2＝2－2ln 2>0，即g (x )＝0无零点，因此f (x )＝e x 不存在2级“理想区间”，B 正确；由h (x )＝4xx 2＋1－3x ＝0，得x ＝0或x ＝33，则⎣⎡⎦⎤0，33是f (x )＝4x x 2＋1的一个3级“理想区间”，C 正确；借助正切函数图象知y ＝tan x 与y ＝4x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内有三个交点，因此f (x )＝tanx ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2有4级“理想区间”，D 错误．故选D.探究二常用逻辑用语例2 (1)命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式是( ) A ．∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n <x 2 B ．∀x ∈R ，∀n ∈N *，使得n <x 2 C ．∃x ∈R ，∃n ∈N *，使得n <x 2 D ．∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n <x 2 【解析】选D.由全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题得，命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式是“∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n <x 2”．(2)已知命题p ：函数f (x )＝2ax 2－x －1在(0，1)内恰有一个零点；命题q ：函数y ＝x 2－a 在(0，＋∞)上是减函数．若p 且綈q 为真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(－∞，2]C ．(1，2]D ．(－∞，1]∪(2，＋∞)【解析】选C.由题意可得，对命题p ，令f (0)·f (1)<0，即－1·(2a －2)<0，得a >1；对命题q ，令2－a <0，即a >2，则綈q 对应的a 的范围是(－∞，2]．因为p 且綈q 为真命题，所以实数a 的取值范围是1<a ≤2.故选C.探究三充要条件例3 (1)设p ：实数x ，y 满足(x －1)2＋(y －1)2≤2，q ：实数x ，y 满足⎩⎨⎧y ≥x －1，y ≥1－x ，y ≤1，则p是q 的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】选A .如图，(x －1)2＋(y －1)2≤2①表示圆心为(1，1)，半径为2的圆及其内部；⎩⎨⎧y ≥x －1，y ≥1－x ，y ≤1②表示△ABC 及其内部．实数x ，y 满足②，则必然满足①，反之不成立．故p 是q 的必要不充分条件．(2)已知条件p ：|x ＋1|>2，条件q ：x>a ，且綈p 是綈q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是________________________________________________________________________．【解析】a ≥1∵p ：|x ＋1|>2，∴p ＝{x|x>1或x<－3}，若綈p 是綈q 的充分不必要条件，则q 是p 的充分不必要条件，则q ⊆p ，∴a ≥1，故答案为a ≥1.规律总结【p 12】1．解答集合问题的策略：(1)集合的化简是实施运算的前提，等价转换是顺利解题的关键．解决集合问题，要弄清集合中元素的本质属性，能化简的要化简；抓住集合中元素的三个性质，对互异性要注意检验；(2)求交集、并集、补集要充分发挥数轴或韦恩图的作用；(3)含参数的问题，要有分类讨论的意识．注意空集的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性．2．命题真假的判定方法：(1)一般命题p 的真假由涉及到的相关知识辨别；(2)四种命题的真假的判断根据：一个命题和它的逆否命题同真假，而与它的其他两个命题的真假无此规律；(3)p ∨q 、p ∧q 、綈p 命题的真假根据p ，q 的真假与逻辑联结词的含义判定；(4)要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M 的每个元素x 验证p (x )成立；但要判定全称命题是假命题，却只要举出集合M 中的一个x ＝x 0，使得p (x 0)不成立即可(也就是通常所说的“举一个反例”)．要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M 中能找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立即可；否则，这一存在性命题是假命题．3．充分条件必要条件的判定方法：(1)定义法：分清条件和结论；找推式，判断“p ⇒q ”及“q ⇒ p ”的真假；下结论，根据推式及定义下结论；(2)等价转化法：条件和结论带有否定词语的命题，常转化为其逆否命题来判断； (3)集合法：小范围可推出大范围，大范围不能推出小范围． 4．解决创新题的问题常分三步：①信息提取，确定化归方向；②对所提取的信息进行加工，探求解决方法；③将涉及到的知识进行转换，有效地输出，其中信息的提取与化归是解题的关键，也是解题的难点．高考回眸【p 12】考题1[2018·全国卷Ⅰ]已知集合A ＝{x|x 2－x －2>0}，则∁R A ＝( ) A ．{x |－1<x <2} B ．{x |－1≤x ≤2} C ．{x |x <－1或x >2} D ．{x |x ≤－1或x ≥2} 【解析】选B.∵x 2－x －2>0，∴(x －2)(x ＋1)>0， ∴x >2或x <－1，即A ＝{x |x >2或x <－1}，∴∁R A ＝{x |－1≤x ≤2}，故选B. 【命题意图】本题考查集合补集的运算、一元二次不等式的解法，考查学生的计算能力．考题2[2018·全国卷Ⅱ]已知集合A ＝{(x ，y)|x 2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为( )A ．9B ．8C ．5D ．4【解析】选A.将满足x 2＋y 2≤3的整数x 、y 全部列举出来，即(－1，－1)，(－1，0)，(－1，1)，(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(1，－1)，(1，0)，(1，1)，共有9个．【命题意图】本题考查集合中元素的个数，考查了学生的理解能力与推理能力．考题3[2017·天津卷] 设θ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12”是“sin θ<12”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】选A.当⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12时，可解得0<θ<π6，即0<sin θ<12，故充分性成立；由sin θ<12可取θ＝0，但此时不满足条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12，故必要性不成立．故选A.【命题意图】本题考查了充分条件与必要条件，考查三角函数的图象及性质，考查学生的计算能力及推理能力．考点限时训练【p 113】 A 组基础演练1．已知A ⊆B ，A ⊆C ，B ＝{}1，2，3，5，C ＝{}0，2，4，8，则A 可以是( ) A.{}1，2 B.{}2，4 C.{}2 D.{}4【解析】选C.由题A ⊆C ，A ⊆B ，∵B ＝{1，2，3，5}，C ＝{0，2，4，8}， ∴A 可以是{2}．2．设0<x <π2，则“x sin 2x <1”是“x sin x <1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】选B.∵x >0，∴x sin 2x <1⇔sin 2x <1x，∵0<x <π2，∴sin 2x <1.sin 2x <1x 不能推导出sin x <1x ，充分性不满足；sin x <1x ⇒sin 2x <1x，必要性满足，所以是必要不充分条件．3．已知命题p ：函数y ＝2－a x ＋1的图象恒过定点(1，2)；命题q ：若函数y ＝f (x －1)为偶函数，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，则下列命题为真命题的是( )A ．p ∨qB ．p ∧qC ．綈p ∧qD ．p ∨綈q 【解析】选D.在y ＝2－a x ＋1中令x ＋1＝0，得x ＝－1，此时y ＝1，所以y ＝2－a x ＋1的图象恒过(－1，1)，所以命题p 为假，綈p 为真．由y ＝f (x －1)为偶函数和f (x －1)＝f (－x －1)，即f (－1＋x )＝f (－x －1)，所以f (x )的对称轴为x ＝－1，所以命题q 为假，綈q 为真，所以p ∨綈q 为真，故选D.4．已知集合A ＝{x |}y ＝4－x 2，B ＝{x |}a ≤x ≤a ＋1，若A ∪B ＝A ，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－3]∪[2，＋∞)B ．[－1，2]C ．[－2，1]D ．[2，＋∞)【解析】选C. 由题A ＝⎩⎨⎧x |}y ＝4－x 2＝{x |}－2≤x ≤2，∵A ∪B ＝A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－2，a ＋1≤2，a ≤a ＋1，∴－2≤a ≤1，选C.5．命题“∀n ∈N *，f (n )∈N *且f (n )≤n ”的否定形式是( ) A ．∀n ∈N *，f (n )∉N *且f (n )>n B ．∀n ∈N *，f (n )∉N *或f (n )>nC ．∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *且f (n 0)>n 0D ．∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *或f (n 0)>n 0 【解析】选D.全称命题的否定是特称命题，故选D.B 组能力提升6．已知p ：∀m ∈R ，x 2－mx －1＝0有解，q ：∃x 0∈N ，x 02－x 0－1≤0，则下列选项中是假命题的为( )A ．p ∧qB ．p ∧(綈q )C ．p ∨qD ．p ∨(綈q ) 【解析】选B.对于命题p ：方程x 2－mx －1＝0，则Δ＝m 2＋4＞0，因此：∀m ∈R ，x 2－mx －1＝0有解，可得：命题p 是真命题．对于命题q ：由x 2－x －1≤0，解得1－52≤x ≤1＋52，因此存在x ＝0，1∈N ，使得x 2－x －1≤0成立，因此是真命题．∴选项中是假命题的为p ∧(綈q )，故选B.7．命题“∃x 0∈R ，a sin x 0＋cos x 0≥2”为假命题，则实数a 的取值范围是________．【解析】(－3，3)由题意，命题“∀x ∈R ，a sin x ＋cos x <2”为真命题，则a 2＋1<2，∴－3<a <3，则实数a 的取值范围是(－3，3)．8．已知集合A ＝{(x ，y )|y －3x ≤0}，B ＝{(x ，y )|x 2＋(y －a )2≤1}，若A ∩B ＝B ，则实数a 的取值范围是________．【解析】a ≤－2因为A ∩B ＝B ，所以x 2＋(y －a )2≤1表示的圆面在不等式y －3x ≤0表示的平面区域内，所以圆心(0，a )一定在y 轴负半轴上，当直线y －3x ＝0与圆x 2＋(y －a )2＝1相切时， d ＝|a |2＝1，所以a ＝±2，因为a <0.所以a ＝－2，那么由题意及数形结合可知a ≤－2.*9.已知等差数列{}a n 的前n 项和为S n ，并且a 2＝2，S 5＝15，数列{}b n 满足b n ＝2－n ＋22n()n ∈N *，记集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫n |2S n ()2－b n n ＋2≥λ，n ∈N *，若M 的子集个数为16，则实数λ的取值范围为________．【解析】⎝⎛⎦⎤1516，1由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝2，a 1＋2d ＝3⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝1，所以S n ＝n ()n ＋12，又b n ＝2－n ＋22n ，故2－b n ＝n ＋22n ，则λ≤n ＋22n ×n ()n ＋1n ＋2，即λ≤n ()n ＋12n.∵M 的子集个数为16，所以有且仅有1，2，3，4四个正整数n 满足该不等式，所以λ≤1；又λ>5×（5＋1）25＝1516，所以实数λ的取值范围为1516<λ≤1，应填答案1516<λ≤1.第2讲平面向量与复数知识网络【p13】考情分析【p14】备考建议【p 14】对于平面向量要把握破解平面向量与“三角”交汇题的关键：一是巧“化简”，即活用诱导公式、同角三角函数的基本关系式、倍角公式、辅助角公式等对三角函数进行化简；二是会“转化”，把向量共线、向量垂直形式出现的条件还其本来面目，转化为“对应坐标乘积之间的关系”．对于复数要掌握复数的概念、纯虚数、复数相等、复数的模、共轭复数等，以及复数的几何意义及四则运算(重点考查复数的乘除)．典例剖析【p 14】探究一复数的概念及运算例1(1) 已知i 是虚数单位，若复数z ＝－i ()a ＋i ()a ∈R 的实部与虚部相等，则z 的共轭复数z －＝( )A ．－1＋iB ．1＋iC ．1－iD ．－1－i【解析】选C.复数z ＝－i ()a ＋i ＝1－a i.实部与虚部相等，则a ＝－1.z ＝1＋i ，z －＝1－i.故选C. (2)已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－4i ，它们在复平面上所对应的点分别为A 、B 、C ，若OC →＝λOA →＋μOB →(O 为坐标原点，λ，μ∈R )，则λ＋μ的值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】选A.因为复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－4i ，它们所对应的点分别为A ，B ，C ，∴A ()－1，2，B ()1，－1，C ()3，－4，因为点的坐标与以原点为起点的向量的坐标相同，所以由OC →＝λOA→＋μOB →，得()3，－4＝λ()－1，2＋μ()1，－1＝()－λ＋μ，2λ－μ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－λ＋μ＝3，2λ－μ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝2，∴λ＋μ＝1，故选A. 探究二平面向量的线性运算例2 (1)如图，AB 是圆O 的直径，C 、D 是圆O 上的点，∠CBA ＝60°，∠ABD ＝30°，CD →＝xOA →＋yBC →，则x ＋y 的值为( )A ．－ 3B ．0C ．1D ．－33【解析】选B .由题意得CD 过圆心，所以CD →＝2CO →＝2(CB →＋BO →)＝2(－BC →＋OA →)⇒x ＝2，y ＝－2，x ＋y ＝0.(2)在△ABC 中，P 为BC 边中点，点A 、B 、C 的对边长分别是a 、b 、c.若cAC →＋aPA →＋bPB →＝0，则△ABC 的形状为( )A ．等边三角形B ．等腰三角形非等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形【解析】选A .将PA →·PB →都用基向量AB →、AC →表示出来可得cAC →－a 2(AB →＋AC →)－b 2(AC →－AB →)＝0，⎝⎛⎭⎫c －a 2－b 2AC→－⎝⎛⎭⎫a 2－b 2AB →＝0，∴⎩⎨⎧c －a 2－b2＝0，a 2－b2＝0， ∴a ＝b ＝c ，∴△ABC 为等边三角形．【点评】用已知向量来表示一些未知向量是用向量解题的基本要求，除利用向量的加减法、实数与向量相乘外，还应充分利用平行四边形的一些定理．因此，在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相连的向量，运用向量加、减法运算及实数与向量相乘来求解，即充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系，运用三角形的加法法则、平行四边形法则、三角形的减法法则，充分利用三角形的中位线、相似三角形对应边成比例的平面几何性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．探究三平面向量的数量积例3 (1)设四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|＝6，|AD →|＝4.若点M ，N 满足BM →＝3MC →，DN →＝2NC →，则AM →·NM →＝( )A ．20B ．15C ．9D ．6【解析】选C .解法一：如图，AM →·NM →＝⎝⎛⎭⎫AB →＋34BC →·⎝⎛⎭⎫13AB →－14BC →＝⎝⎛⎭⎫AB →＋34AD →·⎝⎛⎭⎫13AB →－14AD → ＝13AB →2－316AD →2＝13×62－316×42＝9.解法二：特殊化处理，将平行四边形ABCD 视为矩形，以A 为坐标原点，以AB 为x轴，AD 为y 轴建立平面直角坐标系，由已知可得M(6，3)，N(4，4)，∴AM →＝(6，3)，NM →＝(2，－1)，∴AM →·NM →＝6×2－3×1＝9.【点评】涉及数量积和模的计算问题，通常有两种求解思路：①直接利用数量积的定义；②建立坐标系，通过坐标运算求解．(2)已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2的夹角为β，则cos β＝__________．【解析】223cos β＝a·b |a||b|＝（3e 1－2e 2）·（3e 1－e 2）|3e 1－2e 2||3e 1－e 2|＝9e 12－9e 1·e 2＋2e 229e 12－12e 1·e 2＋4e 229e 12－6e 1·e 2＋e 22＝9－9×13＋29－12×13＋4·9－6×13＋1＝83×22＝223.【点评】在利用数量积的定义计算时，要善于将相关向量分解为图形中模和夹角已知的向量进行计算．探究四平面向量与三角函数结合问题例4 已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(1＋cos β，－sin β)．(1)若α＝π3，β∈(0，π)，且a ⊥b ，求β；(2)若β＝α，求a·b 的取值范围．【解析】(1)∵a ⊥b ，∴a·b ＝cos α＋cos αcos β－sin αsin β＝0， ∵α＝π3，∴cos π3＋cos π3cos β－sin π3sin β＝0，整理得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π3＝－12，∴β＋π3＝2π3＋2k π(k ∈Z )或β＋π3＝4π3＋2k π(k ∈Z )，∵β∈(0，π)，∴β＝π3.(2)a·b ＝cos α＋cos 2α－sin 2α＝cos α＋2cos 2α－1，令t ＝cos α，t ∈[－1，1]，∴a·b ＝2t 2＋t －1＝2⎝⎛⎭⎫t ＋142－98，∴当t ＝1时，(a·b )max ＝2，当t ＝－14时，(a·b )min ＝－98，∴a·b 的取值范围为⎣⎡⎦⎤－98，2. 【点评】在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题．在解决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题．探究五平面向量与其他知识结合问题例5 (1)如图，在直角梯形ABCD 中，AB ⊥AD ，AB ∥DC ，AB ＝2，AD ＝DC ＝1，图中圆弧所在圆的圆心为点C ，半径为12，且点P 在图中阴影部分(包括边界)运动．若AP →＝xAB →＋yBC →，其中x ，y ∈R ，则4x －y 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤2，3＋324B.⎣⎡⎦⎤2，3＋52C.⎣⎡⎦⎤3－24，3＋52D.⎣⎡⎦⎤3－172，3＋172 【解析】选B.以A 点为坐标原点，AB →，AD →方向为x 轴，y 轴正方向建立直角坐标系，设点P 的坐标为P (m ，n )，由意可知：AP →＝x (2，0)＋y (－1，1)，据此可得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2x －y ，n ＝y ，则⎩⎨⎧x ＝m ＋n2，y ＝n ，目标函数：z ＝4x －y ＝2m ＋n ，其中z 为直线系n ＝－2m ＋z 的截距，当直线与圆相切时，目标函数取得最大值3＋52. 当直线过点⎝⎛⎭⎫12，1时，目标函数取得最小值2，则4x －y 的取值范围是⎣⎡⎦⎤2，3＋52. 故选B.【点评】本题同时考查平面向量基本定理和线性规划中的最值问题．求线性目标函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，当b >0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴上截距最小时，z 值最小；当b <0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大．应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．(2)已知向量a ，b 满足|a |＝2|b |≠0，且关于x 的函数f (x )＝－2x 3＋3|a |x 2＋6a ·b x ＋5在R 上单调递减，则向量a ，b 夹角的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤0，π6B.⎣⎡⎦⎤0，π3C.⎝⎛⎭⎫0，π6D.⎣⎡⎦⎤2π3，π【解析】选D.设向量a ，b 的夹角为θ，因为f (x )＝－2x 3＋3|a |x 2＋6a·b x ＋5，所以f ′(x )＝－6x 2＋6|a |x ＋6a·b ，又函数f (x )在R 上单调递减，所以f ′(x )≤0在R 上恒成立，所以Δ＝36|a |2－4×(－6)×(6a·b )≤0，解得a·b ≤－14|a |2，因为a·b ＝|a|·|b |cos θ，且|a |＝2|b |≠0，所以|a||b |cos θ＝12|a |2cos θ≤－14|a |2，解得cos θ≤－12，因为θ∈[0，π]，所以向量a ，b 的夹角θ的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，π，故选D.【点评】本题是平面向量和函数的交汇，由函数的性质把问题转化为平面向量问题，求解时应注意θ∈[0，π]．平面向量具有代数形式与几何形式的“双重型”，常与三角函数、解三角形、平面解析几何、函数、不等式等知识交汇命题，平面向量的“位置”为：一是作为解决问题的工具，二是通过运算作为命题条件．规律总结【p 15】1．复数的基本概念与运算问题的解题思路：(1)与复数的相关概念和复数的几何意义有关的问题，一般是先变形分离出实部和虚部，把复数的非代数形式化为代数形式，然后再根据条件，列方程(组)求解．(2)与复数z 的模|z |和共轭复数有关的问题，一般都要设出复数z 的代数形式z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，代入条件，用待定系数法解决．2．当向量以几何图形的形式出现时，要把这个几何图形中的一个向量用其余的向量线性表示，就要根据向量加减法的法则进行，特别是减法法则很容易出错，向量AB →＝OB →－OA →(其中O 为任意一个点)，这个法则就是终点向量减去起点向量．3．根据平行四边形法则，对于非零向量a ，b ，当|a ＋b|＝|a －b|时，平行四边形的两条对角线长度相等，此时平行四边形是矩形，条件|a ＋b|＝|a －b|等价于向量a ，b 互相垂直．4．两个向量夹角的范围是[0，π]，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或π的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不单纯就是其数量积小于零，还要求不能反向共线．在解决有关向量夹角及共线问题时，要避免忽视向量共线时的方向性而导致错误．5．数量积运算不适合结合律，即(a·b )·c ≠a·(b·c )，这是由于(a·b )·c 表示一个与c 共线的向量，a ·(b·c )表示一个与a 共线的向量，而a 与c 不一定共线，因此(a·b )·c 与a·(b·c )不一定相等．6．若a ＝0，则a·b ＝0，但由a·b ＝0，不能得到a ＝0或b ＝0，因为a ⊥b 时a·b ＝0.7．平面向量的综合运用主要体现在三角函数和平面解析几何中，在三角函数问题中平面向量的知识主要是给出三角函数之间的关系，解题的关键还是三角函数问题；解析几何中向量知识只是给出几何量的位置和数量关系，在解题中要善于根据向量知识分析解析几何中的几何关系．高考回眸【p 16】考题1[2018·全国卷Ⅰ]若z ＝1－i1＋i＋2i ，则|z|＝( )A ．0B .12 C ．1 D . 2【解析】选C .∵z ＝1－i 1＋i ＋2i ＝（1－i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＋2i ＝－2i 2＋2i ＝i ，∴|z|＝1，故选C .【命题意图】本题考查了复数的四则运算和复数的模的概念，考查学生的计算能力．考题2[2018·全国卷Ⅰ]在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →＝( ) A .34AB →－14AC → B .14AB →－34AC → C .34AB →＋14AC → D .14AB →＋34AC →【解析】选A .作出示意图如图所示： EB →＝ED →＋DB →＝12AD →＋12CB →＝34AB →－14AC →，故选A . 【命题意图】本题考查了平面向量的线性运算，考查了学生的逻辑思维能力．考题3[2018·全国卷Ⅱ]已知向量a ，b 满足|a |＝1，a·b ＝－1，则a·(2a －b )＝( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．0 【解析】选B.a·(2a －b )＝2a 2－a·b ＝2－(－1)＝3，故选B.【命题意图】本题考查了平面向量的数量积的概念，考查了学生的逻辑思维能力．考题4[2018·全国卷Ⅲ]已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)．若c ∥(2a ＋b )，则λ＝________________________________________________________________________.【解析】122a ＋b ＝(4，2)，因为c ∥(2a ＋b )，所以4λ＝2得λ＝12.【命题意图】本题考查了平面向量的坐标运算，考查了平面向量平行的条件．考点限时训练【p 114】A 组基础演练1．已知复数z 1＝k 2－4＋(k 2－5k ＋6)i ，z 2＝3k ＋(k 2－5k ＋6)i(k ∈R )．若z 1<z 2，则k 的值为( )A ．2B ．3C ．2或3D ．不存在【解析】选C.由z 1<z 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧k 2－4<3k ，k 2－5k ＋6＝0，解得k ＝2或k ＝3.故选C.2．已知复数z ＝|(3－i)i|＋i 5(i 为虚数单位)，则复数z 的共轭复数为( )A ．2－iB ．2＋iC ．4－iD ．4＋i 【解析】选A.由题意知z ＝|3i ＋1|＋i ＝12＋（3）2＋i ＝2＋i ，所以z ＝2－i.故选A. 3．已知单位向量a ，b 满足a ⊥(a ＋2b )，则a 与b 夹角的余弦值为( )A.32 B ．－32 C.12 D ．－12 【解析】选D.由a ⊥(a ＋2b )，可得，a·(a ＋2b )＝0，a 2＋2a·b ＝0，cos 〈a·b 〉＝a·b |a|·|b |＝－12，所以选D.4．向量a ，b ，c 在正方形网格中，如图所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ＝( )A ．2B ．－2C ．6 D.12【解析】选A.如图，以a ，b 的公共点为原点，建立直角坐标系，则a ＝(－1，1)，因为a ＝(－1，1)，b ＝(5，2)，c ＝(－3，－4)，因为c ＝λa ＋μb ，所以有⎩⎪⎨⎪⎧－λ＋5μ＝－3，λ＋2μ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，μ＝－1，所以λμ＝2，选A.5．△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1，若AB →＋AC →＝2AO →，且|AO →|＝|AC →|，则向量BA →在向量BC →方向上的射影的数量为( )A.32B.32C ．3D ．－32【解析】选A.由于AB →＋AC →＝2AO →，由向量加法的几何意义，O 为边BC 中点，因为△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1，所以|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝|AC →|＝1，三角形应该是以BC 边为斜边的直角三角形，斜边BC ＝2AO ＝2，直角边AB ＝3，所以∠ABC ＝30°，则向量BA →在向量BC →方向上的投影为|BA |cos 30°＝3×32＝32，故选A.6．已知AB ⊥AC ，AB ＝AC ，点M 满足AM →＝tAB →＋(1－t )AC →，若∠BAM ＝π3，则t 的值为( )A.3－ 2B.2－1C.3－12D.3＋12【解析】选C.由题意可得：AM →＝tAB →＋AC →－tAC →，则AM →－AC →＝tAB →－tAC →，即CM →＝tCB →⇒t ＝|CM →||CB →|.其中CB AC ＝2，由正弦定理：CM AC ＝sin 30°sin 105°，整理可得：t 的值为3－12. B 组能力提升7．现定义e i θ＝cos θ＋isin θ，其中i 为虚数单位，e 为自然对数的底数，θ∈R ，且实数指数幂的运算性质对e i θ都适用，若a ＝C 50cos 5θ－C 52cos 3θsin 2θ＋C 54cos θsin 4θ，b ＝C 51cos 4θsin θ－C 53cos 2θsin 3θ＋C 55sin 5θ，那么复数a ＋b i 等于( )A ．cos 5θ＋isin 5θB ．cos 5θ－isin 5θC ．sin 5θ＋icos 5θD ．sin 5θ－icos 5θ【解析】选A.a ＋b i ＝C 50cos 5θ－C 52cos 3θsin 2θ＋C 54cos θsin 4θ＋ iC 51cos 4θsin θ－iC 53cos 2θsin 3θ＋iC 55sin 5θ ＝C 50cos 5θ＋i 2C 52cos 3θsin 2θ＋i 4C 54cos θsin 4θ ＋iC 51cos 4θsin θ＋i 3C 53cos 2θsin 3θ＋i 5C 55sin 5θ ＝()cos θ＋isin θ5＝cos 5θ＋isin 5θ，选A.*8.已知a ，b 是单位向量，a ，b 的夹角为90°，若向量c 满足|c －a －b |＝2，则|c |的最大值为( )A ．2－ 2 B. 2 C ．2D ．2＋ 2【解析】选D.依题意，设a ，b 分别是x 轴与y 轴正方向上的单位向量，则a ＝(1，0)，b ＝(0，1)，a ＋b ＝(1，1)，设c ＝(x ，y )，则c －a －b ＝(x －1，y －1)，因为|c －a －b |＝（x －1）2＋（y －1）2＝2，所以(x －1)2＋(y －1)2＝4，故c ＝OC →，点C 的轨迹是以(1，1)为圆心，2为半径的圆，圆心M (1，1)到原点的距离为2，则|c |的最大值为2＋ 2.9．如果复数z 满足||z ＋3i ||＋z －3i ＝6，那么||z ＋1＋i 的最小值是__________．【解析】1复数z 满足|z ＋3i|＋|z －3i|＝6，∴z 的几何意义是以A (0，3)，B (0，－3)为端点的线段AB ，则|z ＋1＋i|＝|z －(－1－i)|的几何意义为AB 上的点到C (－1，－1)的距离，则由图象知C 到线段AB 的距离的最小值为1.*10.对任意两个非零的平面向量α和β，定义新的运算“⊗”：α⊗β＝α·ββ·β.若两个非零的平面向量a ，b 满足a 与b 的夹角θ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，且a ⊗b 和b ⊗a 都在集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2|n ∈Z 中，则a ⊗b ＝__________．【解析】12根据新定义，得a ⊗b ＝a·b b·b ＝|a||b|cos θ|b |2＝|a ||b |cos θ，b ⊗a ＝b·a a·a ＝|a||b|cos θ|a |2＝|b||a|cos θ.因为a ⊗b 和b ⊗a 都在集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2|n ∈Z 中，设a ⊗b ＝n 12，b ⊗a ＝n 22(n 1，n 2∈Z )，那么(a ⊗b )·(b ⊗a )＝cos 2θ＝n 1n 24.又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，所以0<n 1n 2<2.所以整数n 1，n 2的值均为1.故a ⊗b ＝n 12＝12.第3讲不等式与线性规划知识网络【p 17】考情分析【p 17】备考建议【p 17】1．复习简单线性规划问题时，要重视数形结合思想的运用，同时因为最优解是通过图形观察的，所以作图要精确，否则可能导致结果有误．典例剖析【p 17】探究一不等式性质的应用及解不等式例1设x ∈(0，＋∞)时，不等式9x －m·3x ＋m ＋1>0恒成立，则m 的取值范围是( ) A ．2－22<m<2＋2 2 B ．m<2C ．m<2＋2 2D ．m ≥2＋2 2 【解析】选C .令t ＝3x (t>1)，则由已知得函数f(t)＝t 2－m·t ＋m ＋1的图象在t ∈(1，＋∞)上恒在x 轴上方．则对于方程f(t)＝0，有Δ<0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，m 2≤1，f （1）≥0，解得m<2＋22.探究二基本不等式的应用例2已知函数f(x)＝⎩⎨⎧x 2－ax ，x>0，2x －1，x ≤0.若不等式f(x)＋1≥0在x ∈R 上恒成立，则实数a的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．[－2，2]C ．(－∞，2]D ．[0，2]【解析】选C.例3已知函数f(x)＝ln (x ＋1＋x 2)，若正实数a ，b 满足f(2a)＋f(b －1)＝0，则1a ＋1b的最小值是__________．【解析】3＋22 因为f(x)＝ln (x ＋1＋x 2)，f(－x)＝ln (－x ＋1＋x 2)，所以f(x)＋f(－x)＝0, 即f(x)在R上为奇函数．又因为f (x )在其定义域上是增函数，故2a ＋b ＝1，所以1a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (2a ＋b )＝3＋b a ＋2ab ≥3＋22(当且仅当a ＝2－22，b ＝2－1时等号成立)．探究三线性目标函数的最值及取值范围例4 (1)[2017·全国卷Ⅱ]设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，y ＋3≥0，则z ＝2x ＋y 的最小值是( )A ．－15B ．－9C ．1D ．9【解析】选A .作出约束条件对应的可行域，如图中阴影部分所示，当目标函数线经过可行域中的点A(－6，－3)时，目标函数取得最小值，即z min ＝2×(－6)－3＝－15.故选A .(2)实数x 、y 满足不等式组⎩⎨⎧y ≥0，x －y ≥0，2x －y －2≥0，则w ＝y －1x ＋1的取值范围是( )A .⎣⎡⎤－1，13B .⎣⎡⎦⎤－12，13C .⎣⎡⎭⎫－12，＋∞D .⎣⎡⎭⎫－12，1 【解析】选D .点(x ，y)在图中阴影部分，w ＝y －1x ＋1表示动点(x ，y)与定点A (－1，1)连线的斜率，l 1为斜率k 1＝k AB ＝－12. l 2与x －y ＝0平行，∴w ∈⎣⎡⎭⎫－12，1.(3)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为( )A .12或－1B ．2或12C ．2或1D ．2或－1【解析】选D .作出约束条件满足的可行域，根据z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，通过数形结合分析求解．如图，由y ＝ax ＋z 知z 的几何意义是直线在y 轴上的截距，故当a>0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝2；当a<0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝－1. 选D .规律总结【p 18】1．实数大小的比较方法：作差法、作商法、函数单调性法、不等式的性质法． 2．利用不等式求最值的解题技巧(1)凑项：通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值．(2)凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，可以通过凑系数后得到和或积为定值，从而可利用基本不等式求最值．(3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用基本不等式求最值，即化为y ＝m ＋Ag （x ）＋Bg (x )(A >0，B >0)，g (x )恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式求最值．(4)单调性：应用基本不等式求最值时，若遇等号取不到的情况，则应结合函数的单调性求解．3．平面区域的确定方法平面区域的确定方法是“直线定界，特殊的定域”，二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的区域的交集．4．线性目标函数z ＝ax ＋by 最值的确定方法：将目标函数z ＝ax ＋by 化成直线的斜截式方程(z 看成常数)，根据z b 的几何意义，确定zb的最值，从而得到z 的最值．5．线性规划中参数问题及其解题思路(1)线性规划中的参数问题，就是已知目标函数的最值或其他限制条件，求约束条件或目标函数中所含参数的值或取值范围的问题．(2)求解策略：解决这类问题时，首先要注意对参数取值的讨论，将各种情况下的可行域画出来，以确定是否符合题意，然后在符合题意的可行域里，寻求最优解，从而确定参数的值或取值范围．高考回眸【p 18】考题1[2018·全国卷Ⅰ]设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －2y －2≤0，x －y ＋1≥0，y ≤0，则z ＝3x ＋2y 的最大值为__________．【解析】6作出可行域为如图所示的△ABC 所表示的阴影区域，作出直线3x ＋2y ＝0，并平移该直线，当直线过点A(2，0)时，目标函数z ＝3x ＋2y 取得最大值，且z max ＝3×2＋2×0＝6.【命题立意】本题考查简单的线性规划，考查学生的转化与化归能力、运算求解能力，考查的数学核心素养是逻辑推理、数学运算．考题2[2015·全国卷Ⅰ]设x 、y 满足约束条件⎩⎨⎧x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，则yx的最大值为__________．【解析】3 yx的几何意义为点(x ，y)与坐标原点连线的斜率．画出可行域，如图中阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＋y －4＝0，得C(1，3)，由题易知可行域上的C 点与坐标原点连线的斜率最大，且最大值为3.【命题立意】本题考查简单的线性规划，考查学生的转化与化归能力、运算求解能力，考查的数学核心素养是逻辑推理、数学运算．考题3[2016·全国卷Ⅰ]某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元．【解析】216 000设生产产品A 、产品B 分别为x 件、y 件，利润之和为z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ∈N ，y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≤300，10x ＋3y ≤900，5x ＋3y ≤600，x ∈N ，y ∈N ，目标函数为z ＝2 100x ＋900y .作出二元一次不等式组表示的平面区域为图中阴影部分内(包括边界)的整点，即可行域．由图可知当直线z ＝2 100x ＋900y 经过点M 时，z 取得最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧10x ＋3y ＝900，5x ＋3y ＝600，得M 的坐标为(60，100)，所以当x ＝60，y ＝100时，z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000.【命题立意】本题考查简单的线性规划，考查学生的分析问题、解决问题的能力，转化与化归能力、运算求解能力，考查的数学核心素养是逻辑推理、数学运算．考点限时训练【p 115】 A 组基础演练1．设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋3y ≤3，x －y ≥1，y ≥0，则z ＝x ＋y 的最大值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 【解析】选D.作出约束条件对应的可行域，如图中阴影部分所示，当直线z ＝x ＋y 经过可行域中的点A (3，0)时，目标函数取得最大值，故z max ＝3.2．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧y ≤3x －2，x －2y ＋1≤0，2x ＋y ≤8，则lg(y ＋1)－lg x 的取值范围是( )A ．[0，1－2lg 2] B.⎣⎡⎦⎤1，52 C.⎣⎡⎦⎤lg 2，12 D.[]－lg 2，1－2lg 2【解析】选A. 如图，作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤3x －2，x －2y ＋1≤0，2x ＋y ≤8确定的可行域：因为lg(y ＋1)－lg x ＝lg y ＋1x ，设t ＝y ＋1x，显然，t 的几何意义是可行域内的点P (x ，y )与定点E (0，－1)连线的斜率．由图可知，P 点与B 点重合时，t 取得最小值，P 点与C 点重合时，t 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1＝0，2x ＋y ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2，即B (3，2)；。

2019年高考数学二轮复习讲义 (精品资料)

目录• 第一讲：复数理论与集合第十一节：数列• 第二讲：简易逻辑第十二节：不等式• 第三讲：函数的性质第十三节：线性规划• 第四讲：导数与函数综合第十四节：二项式定理（理科专场）• 第五节：定积分第十五节：圆锥曲线【删去直线方程与圆】• 第六节：立体几何（基础知识）第十六节：排列组合• 第七节：外接球理论第十七节：三视图理论【删去程序框图】• 第八节：三角函数第十八节：概率论与数理统计• 第九节：解三角形第十九节：极坐标方程• 第十节：平面向量第二十节：结束语2019年高考核心要点复习强化讲义——复数• 第一讲：复数理论与集合• 1、Z ∙ Z = Z2竖着加+×着减• 2、• 3、• 4、会辨别实部、虚部、纯虚数、共轭复数、第几象限？深刻理解什么是部？• 5、当求复数时，应会设 z = a +bi第二讲：简易逻辑1、简易逻辑核心要点：四种命题及相互关系：原命题与逆否命题同真同假，其余不定！2、3、对于常规命题：命题的否命题是：条件和结论都否掉。

命题的否定是：只需把结论否掉即可对于特称命题：命题的否命题是：条件和结论都否掉。

命题的否定是：条件和结论否掉即可• 5、p q p∧q p∨q非p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真• 6、命题命题的否定• ∀x∈M，p(x) ∃x0∈M，非p(x0)∃x0∈M，p(x0) ∀x∈M，非p(x)• 7、量词名称常见量词表示符号全称量词所有、一切、任意、全部、每一个、任给等用“∀”表示存在量词存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等用“∃”表示•第三讲：函数的性质• 1、要求学生掌握：函数周期性【参见链接】、对称性、对称中心、奇偶性• 2、会判断函数图象• 3、一些重要的奇函数• 4、函数定义域的问题，共三种模型：死死的记住一个函数的定义与就是指x•补充：附加：两个重要证明：只要考到，你就不会！！！⎛ a ⎫ 证明：(2)若函数y=f(x)的图像关于点(a, b)对称，则y=f(kx)(常数k≠ 0)的图像关于点 , b⎪对称。

2019届高考数学二轮复习课件：第二部分专项二专题二 1 第1讲三角函数的图象与性质

－1π2，23π，x1≠x2，因为 x∈－1π2，23π，所以 0≤2x＋π6≤32π，
所以 2x1＋π6＋2x2＋π6＝π，所以 x1＋x2＝π3，所以 f(x1＋x2)＝ 2sin 56π＝1，故选 B. 法二：由 f(x)＝2sinωx＋φ，x∈－1π2，23π的图象，得最小正周期 T＝2ωπ＝4323π＋1π2＝π，所以 ω＝2，所以 f(x)＝2sin(2x＋φ)，将点23π，－2代入，得 sin43π＋φ＝－1，又 φ∈0，π2，解得 φ
＝π6，所以 f(x)＝2sin(2x＋π6)x∈－1π2，23π，因为 f(x1)＝f(x2) 且 x1≠x2，由图象得 x1＋x2＝π3，所以 f(x1＋x2)＝2sin56π＝1，故选 B. 【答案】 B
由“图”定“式”找“对应” 由三角函数的图象求解析式 y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)中参数的值，关键是把握函数图象的特征与参数之间的对应关系，其基本依据就是“五点法”作图． (1)最值定 A，B：根据给定的函数图象确定最值，设最大值为 M，最小值为 m，则 M＝A＋B，m＝－A＋B，解得 B＝M＋2 m， A＝M－2 m.
[注意] “奇变偶不变，符号看象限”．
基本关系
sin2x＋cos2x＝1，tan
x＝csions
x x.
[考法全练]
1．若 sinπ2＋α＝－35，且 α∈π2，π，则 tan(π－α)＝(
)
A．43
B．23
C．－23
D．－43
解析：选 A.由 sinπ2＋α＝cos α＝－35，且 α∈π2，π，得 sin α＝ 1－cos2 α＝45，所以 tan(π－α)＝－tan α
(2)函数 y＝cosωx＋π3的图象向右平移π3个单位长度后，所得函数图象对应的解析式为 y＝cosωx－π3＋π3＝cosωx－ω3π＋π3，其图象与函数 y＝sin ωx＝cosωx－π2＋2kπ，k∈Z 的图象重合，所以－π2＋2kπ＝－ω3π＋π3，k∈Z，所以 ω＝－6k＋52，k∈Z，又 ω>0，所以 ω 的最小值为52，故选 B. 【答案】 (1)B (2)B