整体代换在几何计算题中的应用

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运用“整体代入法”巧解几何图形题课堂版

*1、一个圆柱将其沿直径截成相等的两部分后，其中一个截面的面积（即：轴截面面积）是10平方厘米，它的侧面积是多少平方厘米？
*2、一个圆柱体侧面展开后是一个正方形，且底面积为10平方厘米，圆柱的表面积是多少平方厘米？
*3、一个圆柱体的侧面积是9.42平方米，体积为18.84立方米，其底面积是多少平方米？
*4、把一个横截面是正方形的长方体的木料切削成一个最大的圆柱体，此圆柱的表面积是32.97平方厘米，求底面直径与高的比是多少？
*5、一个圆柱形钢材，沿底面直径切成两个相等的半圆柱体，如图。

已知一个刨面的面积是960平方厘米，半圆柱体的体积是3014.4立方厘米，表面积是多少平方厘米？。

试论代换法在高中数学解题中的应用

试论代换法在高中数学解题中的应用
代换法是一种常用的解题方法，其主要应用于高中数学中的代数问题。

代换法是一种
通过引入新的变量或通过代入已知数值来简化或转化问题的方法，以便更容易解决问题。

1. 解含有开方的方程：有些方程中含有开方项，通过代换法可以将开方项进行替换，从而将方程化简为更容易求解的形式。

对于方程√(x+2)+√(2-x)=2，我们可以令u=x+2，v=2-x，然后方程变为√(u)+√(v)=2，然后再进行求解。

二、代换法在解函数图像和函数性质问题中的应用
1. 求函数的反函数：有些函数存在反函数，通过代换法可以将函数的自变量和因变
量进行替换，从而求得函数的反函数表达式。

对于函数y=2x+3，我们可以令u=y，v=x，然后原函数变为u=2v+3，然后将原函数变为v=1/2u-3/2，即为反函数表达式。

2. 求函数的极限：有些函数的极限很难直接求得，通过代换法可以将函数进行替换，从而将极限问题转化为已知极限的形式。

对于极限lim(x→∞)(1+x)^(1/x)，我们可以令
u=1/x，然后极限变为lim(u→0)(1+1/u)^u，然后再进行求解。

1. 解平面几何问题：在平面几何中，有些问题涉及到一些几何变换，通过引入合适
的代换能够简化问题的解法。

对于平面上的一点(x,y)，若令u=x+y，v=xy，可以将点的坐标进行代换，从而简化问题的求解。

整体代换法的题目

整体代换法的题目一、整体代换法的概念整体代换法是一种数学解题方法，它是将一个式子或其中的一部分看作一个整体，用一个变量来代替它，从而简化问题，使问题更容易求解。

1. 题目1：已知x + y = 5，xy = 3，求(x + y)^2 - 2xy的值。

- 解析：- 在这里，我们发现式子(x + y)^2 - 2xy中，x + y和xy的值是已知的。

- 我们可以把x + y = 5，xy = 3整体代入式子(x + y)^2 - 2xy中。

- 则原式=5^2 - 2×3- 先计算指数运算：5^2 = 25，再计算乘法运算：2×3 = 6。

- 最后进行减法运算：25 - 6 = 19。

2. 题目2：若a - b = 2，a^2 - b^2 = 6，求a + b的值（人教版）。

- 解析：- 我们知道a^2 - b^2=(a + b)(a - b)。

- 已知a - b = 2，a^2 - b^2 = 6，把a - b = 2和a^2 - b^2 = 6代入a^2 - b^2=(a + b)(a - b)中。

- 得到6=(a + b)×2。

- 要求a + b的值，我们把a + b看作一个整体，根据等式的性质，等式两边同时除以2，得到a + b = 6÷2 = 3。

3. 题目3：已知2x + 3y=7，求4x + 6y - 1的值。

- 解析：- 观察式子4x + 6y - 1，发现4x+6y = 2(2x + 3y)。

- 因为已知2x + 3y = 7，把2x + 3y = 7整体代入4x + 6y - 1中。

- 则4x + 6y-1 = 2(2x + 3y)-1。

- 把2x + 3y = 7代入2(2x + 3y)-1，得到2×7 - 1。

- 先计算乘法：2×7 = 14，再计算减法：14 - 1 = 13。

七年级整体代换法的题目

七年级整体代换法的题目一、整体代换法的概念整体代换法是数学中一种重要的方法，它是将一个代数式看作一个整体，用一个变量来代替它，从而简化计算或求解的过程。

在七年级数学中，整体代换法常用于整式的化简求值、解方程等方面。

二、整式化简求值中的整体代换法题目及解析1. 题目已知a + b = 5，求代数式(a + b)^2 3(a + b)的值。

解析在这个代数式(a + b)^2-3(a + b)中，我们发现已知a + b = 5，这里就可以把a + b看作一个整体。

将a + b = 5代入到代数式中，得到：begin{align}(a + b)^2-3(a + b) =5^2-3×5 =25 15 =10end{align}2. 题目若x^2+3x = 2，求代数式2x^2 + 6x 5的值。

解析观察代数式2x^2+6x 5，发现2x^2+6x=2(x^2 + 3x)。

因为x^2+3x = 2，所以将其整体代入可得：begin{align}2x^2+6x-5 =2(x^2 + 3x)-5 =2×2-5 =4 5 =-1end{align}三、解方程中的整体代换法题目及解析1. 题目解方程3(x 1)^2 2(x 1)=0解析设y=x 1，则原方程变为3y^2-2y = 0。

提取公因式y得y(3y 2)=0，所以y = 0或者3y-2=0。

当y = 0时，即x-1=0，解得x = 1；当3y 2=0时，y=(2)/(3)，即x-1=(2)/(3)，解得x=(2)/(3)+ 1=(5)/(3)。

2. 题目解方程(x^2 2x)^2-3(x^2 2x)-4 = 0解析设m=x^2 2x，则原方程变为m^2-3m 4=0。

对于一元二次方程m^2-3m 4 = 0，分解因式得(m 4)(m+1)=0，所以m = 4或者m=-1。

当m = 4时，即x^2-2x=4，x^2-2x 4=0，根据求根公式x=(2±√(4 + 16))/(2)=(2±2√(5))/(2) = 1±√(5)；当m=-1时，即x^2-2x=-1，x^2-2x + 1=0，(x 1)^2=0，解得x = 1。

试论代换法在高中数学解题中的应用

试论代换法在高中数学解题中的应用数学中的代换法是一种常见的解题方法，其核心思想是将一个未知数用其他变量或表达式替代，从而简化问题的处理。

代换法在高中数学解题中应用广泛，下面就对其具体应用进行探讨。

在一元一次方程组的解题中，当出现多项式无法直接化简时，可以使用代换法来简化处理。

例如，当需要求解以下方程时：2x^2 + 5x - 3 = 0显然，这是一个二次方程，如果直接使用求根公式解决，计算量会很大，这时可以选择代换法。

假设令 y = 2x + 1，则将原方程变形为：这是一个一元二次方程，可以使用求根公式轻松解决。

得到两根为 y1 = 1，y2 = -2，再代回原方程解得 x1 = 1/2，x2 = -2。

sin(x) + cos(x) = 1sin(x) = 2t/(1+t^2) cos(x) = (1-t^2)/(1+t^2)将 t 代入原方程式中，得到：将左侧通分并化简，可得：2t + 1-t^2 = 1+t^2化简可得：在计算几何中，有些题目可能需要进行坐标变换，此时也可以使用代换法。

例如，当需要求解一下函数的图像时：y = 2x/(1+x^2)如果直接使用函数图像定性分析法，需要推导出函数的一般式，计算量较大。

此时，可以尝试使用代换法，令：y = t将函数 y = t 与原代换式 t = x + 1/x 结合，可得：这是一个一元二次方程，可以使用求根公式解决。

得到两根为：由于函数关系的对称性，x1 对应 x2，在坐标系中对应的图像是关于 y=x 直线对称的。

综上所述，代换法在高中数学解题中的应用十分广泛，能够简化繁琐的运算，提高解题效率。

当遇到较为复杂的数学问题时，可以尝试使用代换法进行处理。

例谈整体代换思想在数学解题中的应用

例谈整体代换思想在数学解题中的应用作者：张结军来源：《理科考试研究·高中》2016年第06期绝大多数高中生在解决数学问题时，缺乏一种全局观念，对整体代换思想的理解和使用存在缺陷.而整体代换思想在高中数学教学中有着重要的作用，是解决三角函数、代数、数列等知识的有效工具.对此，我们必须在日常的数学教学中，联系实际案例，强化对学生整体代换思想的教学.整体代换思想是指将问题或者是问题的一部分看成一个整体，或者将一些相关量视作整体研究，从整体入手，简化求解过程.下面我将结合教学实践，分析整体代换思想在解题中的几例应用.一、三角函数的整体代换例1已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，ω>0，0解析从问题上不难看出，本题主要考查的是学生对三角函数的概念及对其单调区间的求法.由该函数图形，容易得到它的周期为π，故ω=2πT=2；再由图形的已知点元素为（5π12，0）与（0，1），可以继续求出φ=π6、A=2，得到函数f（x）=2sin（2x+π6）.将函数f（x）的表达式代入g（x）中，可以得到g（x）=2sin（2x-π3）.欲求解g（x）的单调增区间，可以利用整体代换，令t=2x-π3，原题则变成了求解y=sint的单调增区间，大大简化了求解过程.由正弦函数的性质可知，当t∈[-π2+2kπ，π2+2kπ]（k∈Z）时，即是函数y=sint的单调增区间.因此，当2x-π3∈[-π2+2kπ，π2+2kπ]时，函数g（x）单调递增.化简整理后可以得到函数g（x）的单调增区间为[kπ-π12，kπ+5π2]，k∈Z.点评在求解正弦三角函数y=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0）的单调区间时，只需要利用元素t将函数中的ωx+φ整体代换即可，然后再利用基本三角函数的单调区间进行转化求解.在碰到余弦函数时，可以先使用诱导公式进行转换，再继续进行求解.二、数列的整体代换例2已知数列{an}中，a1=32，a2=2，同时有Sn+1-3Sn+2Sn-1+1=0 （n≥2），请问{an-1} （n∈N*）是等比数列吗？试证明.解析拿到此类题目，很多学生的第一反应就是利用数列的前n项和公式进行求.由于求和公式的复杂性，很多时候会给学生的证明与求解带来障碍.对此，我们不妨引导学生利用已知式来变换关系，采用整体代换进行简化求解.由Sn+1-3Sn+2Sn-1+1=0 （n≥2），可得（Sn+1-Sn）-2（Sn-Sn-1）+1=0.此时，由Sn+1-Sn=an+1与Sn-Sn-1=an可进行表达式的简化，即可得an+1-2an+1=0.当看到以上的表达式时，学生们很容易联想到代数式的简化运算，继续使用整体代换思想，得到an+1-1=2（an-1），即是an+1-1an-1=2 （n≥2）.同时，当n=1时，也存在关系式a2-1a1-1=2.至此，可以看出数列{an-1}是以12为首项，2为公比的等比数列，即{an-1} （n∈N*）是等比数列，得证.点评在数列知识的常见问题中，对通项公式求解、等差等比证明与求和公式的求解，切勿盲目利用数列求解的公式进行展开.在求解前必须仔细阅读审题，将已知条件整体代换到数列的递推公式中进行求解.三、代数式的整体代换例3设x、y为实数，已知4x2+y2+xy=1，则2x+y的最大值是多少？解法一欲求代数式2x+y的最值，我们不妨直接用t=2x+y进行整体代换，则可知y=t-2x.将上式代入表达式4x2+y2+xy=1中，可以得到6x2-3tx+t2-1=0.此时，可以将其视作关于x的一元二次方程，要想该一元二次方程有实根，即要使Δ>0即可.利用一元二次方程有实根可得Δ=3t2-4×6×（t2-1）≥0，求得-2510≤t≤2510.故由t的取值范围可以得到代数式2x+y的最大值为2510.解法二对代数式4x2+y2+xy=1进行移项转化，可得（2x+y）2-1=3xy.此时，可以利用基本不等式性质进行整体代换，即（2x+y）2=4x2+y2+4xy≥4|xy|+4xy≥8xy.故（2x+y）2-1=3xy≤38（2x+y）2，移项后可得58（2x+y）2≤1，即可得到2x+y的最大值为2510.点评（解法一）通过整体代换思想的使用，学生们避免了复杂的计算分析过程，实现了解题的高效性.（解法二）分别将元素xy与2x+y视为整体，通过基本不等式的运用，也同样实现了代数式最值的求解.总之，整体代换思想是高中数学中的重要思想方法之一.作为高中数学教师，我们必须积极拓宽整体代换思想的使用，帮助学生从整体上认识数学知识.。

整体法在解题中应用

整体法在力学问题中的应用湖北大冶一中刘汉洲将物体系统作为一个整体，或者从物体运动的全过程考虑，即用整体法解题，是解决问题的一种方法．它与隔离法、微元法相对应．用整体法解题，有时比用隔离法解决问题更方便．下面就两个方面略举几例加以说明。

一、研究对象的整体化1.整体原理在平衡态对象中的应用平衡态对象是指研究对象处于静止或匀速直线运动状态．例1、在粗糙水平面上有一个三角形木块abc ，在它的两个粗糙斜面上分别放两个质量m 1和m 2树木块，m 1＞m 2，如图所示．已知三角形木块和两物体均静止，则粗糙水平面对三角形木块的摩擦力大小和方向是 [ ]A ．有摩擦力的作用，摩擦力的方向水平向右B ．有摩擦力的作用，摩擦力的方向水平向左C 有摩擦力的作用，但摩擦力的方向不能确定，因为m 1、m 2、θ1、θ2的数值并未给出 D ．以上结论都不对解析：此题若逐个物体分析，则要用到牛顿第二定律等，比较麻烦；若用整体原理分析，把m 1，m 2和三角形木块当作一个整体，这一整体在水平方向上无其他外力作用，因而不存在摩擦力，答案D ，显示整体原理可使解题简捷.例2、用轻质细线把两个质量未知的小球悬挂起来，如图所示，今对小球a持续施加一个向左偏下30°的恒力，并对小球b 持续施加一个向右偏上30°的同样大的恒力，最后达到平衡，则表示平衡状态的图可能是图3中的哪一个？解析：将a 、b 视为一个整体隔离，其受力情况除上端绳对系统的拉力外，如图所示.由于F 与F '大小相等方向相反，其合力为零，因此系统可视为只受竖直向下的重力作用，大小为G a ＋G b根据已知，系统处于静止状态．由平衡条件可知．系统应须再受一个竖直向上的力，大小为G a +G b ．即绳的拉力应是竖直向上的．因此，本题正确答案为A ．例3、如图4所示，质量为m ＝5kg 的物体置于一粗糙的斜面体上，用一平行于斜面的大小为30N 的力F 推物体，使物体沿斜面向上匀速运动，斜面体质量为M ＝10kg ，且始终静止。

“整体”思想在解题中的应用

“整体”思想在解题中的应用“整体”思想是数学的重要解题思想，也是中考考查的重要内容之一。

运用“整体”思想解题在初中数学的很多方面都有体现。

下面结合初三中考复习的一些教学内容谈谈我对“整体”思想解题的一点体会。

“整体”思想解题主要体现在以下五个方面：一、求代数式的值此类题型一般是已知一个代数式的值，求另一个代数式的值。

解这类题时若先把已知代数式中的未知数求出来往往行不通，一般的方法就是运用 “整体”思想来解决。

例1：已知x 2+3x+1=0，求x 3+2x 2-2x+9的值。

分析：把已知条件中的“x 2+3x+1”看成一个整体，设法把所求的代数式化为由“x 2+3x+1”组成的式子即可。

解：x 3+2x 2-2x+9= x 3+3x 2+x - x 2-3x -1+10=x(x 2+3x+1) –(x 2+3x+1)+10=10 例2：若a 2-a+1=2，则a-a 2+1=________.解：由a 2-a+1=2得a 2-a=1，移项得a-a 2+1=0例3：已知：a+2b+3c=10，4a+5b+6c=19，则a+b+c=________。

分析：此题的关键是把a+b+c 看作一个整体，而不能当成三个未知数。

解：由已知得（4a+5b+6c ）-（a+2b+3c ）=19-10，所以3a+3b+3c=9，故a+b+c=3 跟例3类似的题还有“若3a+4b-c=5，2a+b+6c=15，则a+b+c=________.” 例4：当a+b=3，x-y=1时代数式a 2+2ab+ b 2-x+y 的值等于_______.（2003年广东省中考题）解：a 2+2ab+ b 2-x+y=(a+b)2-(x-y)= 32-1=8(注：分别把a+b 和x-y 当成一个整体)。

这类题型在中考中很常见，除上面的例子外还有很多，如：1、（04年山西）已知x+y=1，那么221x +xy+221y 的值为________， 2、（02年哈尔滨）已知a+a 1=3，那么a 2+21a= ，3、（04年天津）已知x 2+y 2=25，x+y=7，且x>y ，则x-y 的值等于，4、（03年河南）如果（2a+2b+1）(2a+2b-1)=63，那么a+b 的值是，5、（00年广东）已知x+2y+3z=10，4x+3y+2z=15，则x+y+z= 。

二元一次方程的整体代换法

二元一次方程的整体代换法
二元一次方程是形如ax+by=c的方程，其中a、b、c为已知常数，x、y为未知数。

这种方程在数学中有着广泛的应用，例如在几何中可以用它来描述直线的方程，同时也常常出现在物理、经济学等领域的建模中。

在解二元一次方程时，我们通常使用消元法、代入法、加减消法等方法，但这些方法都需要对方程进行分步操作，比较繁琐。

而整体代换法则可以在一步之内解决方程，具有较强的实用性。

所谓整体代换法，就是通过将x、y用新的变量u、v表示，将二元一次方程转化为只含有u、v的一元一次方程，然后再根据代换关系将u、v还原为x、y。

这个方法的关键在于寻找合适的代换关系，使得转换后的方程易于求解。

例如，对于方程2x-3y=7，我们可以通过代换x=u+2，y=v-1来将其转化为只含有u、v的方程2u-3v=13，然后通过解一元一次方程的方法求解出u、v的值，最后再将u、v代回原方程求得x、y的值。

整体代换法不仅可以简化解题过程，还有助于理解二元一次方程的性质和结构，对于提高数学思维能力具有重要的作用。

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整体代入法巧解数学难题-非常实用-完整版

初中数学思想方法专题讲座——整体思想解题策略整体思想，就是在研究和解决有关数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法．从整体上去认识问题、思考问题，常常能化繁为简、变难为易，同时又能培养学生思维的灵活性、敏捷性．整体思想的主要表现形式有：整体代入、整体加减、整体代换、整体联想、整体补形、整体改造等等．在初中数学中的数与式、方程与不等式、函数与图象、几何与图形等方面，整体思想都有很好的应用，因此，每年的中考中涌现了许多别具创意、独特新颖的涉及整体思想的问题，尤其在考查高层次思维能力和创新意识方面具有独特的作用．一．数与式中的整体思想【例1】已知代数式3x 2－4x+6的值为9，则2463x x -+的值为 ( )A ．18B ．12C ．9D ．7相应练习：1. 若代数式2425x x -+的值为7，那么代数式221x x -+的值等于（）．A ．2B ．3C ．－2D ．4 2.若3a 2-a-2=0,则 5+2a-6a 2=3.先化简，再求值222142442a a a a a a a a +--⎛⎫-÷ ⎪--+-⎝⎭，其中a 满足a 2－2a －1=0．总结：此类题是灵活运用数学方法解题技巧求值的问题，首先要观察已知条件和需要求解的代数式，然后将已知条件变换成适合所求代数式的形式，运用主题带入法即可得解。

【例2】.已知114a b -=，则2227a ab b a b ab---+的值等于（） A.6 B.6- C.125 D.27-【例3】已知200200a x =+，2002008b x =+，2002009c x =+，求多项式222a b c a b b c a c ++---的值．总结：在进行条件求值时，我们可以根据条件的结构特征，合理变形，构造出条件中含有的模型，然后整体代入，从整体上把握解的方向和策略，从而使复杂问题简单化．【例4】逐步降次代入求值：已知m 2-m -1=0，求代数式m 3-2m +2005的值．相应练习：1、已知m 是方程2250x x +-=的一个根，求32259m m m +--的值.2、已知m 是方程2310x x -+=的根，求代数式10214+-m m 的值.总结：此类题目通常为初中阶段很少接触到得三次方程甚至更高次的方程，那么用初中阶段的知识直接解题时肯定行不通的，所以这个时候我们就要考虑如何降次的问题。

整体代换在初中数学中的应用与技巧

整体代换在初中数学中的应用与技巧摘要：“数与代数”是我国新课标九年义务教学数学培养方案中重要的一部分。

这一部分的内容涉及知识内容复杂抽象，跨度大，是初中教学的重点难点之一。

本文以整体代换这一基本数学方法为主旨，简要概述了其在初中数学中代数计算中的应用和技巧，力求整理完善整体代换的教学思路。

关键词：初中数学；初中教学；代数初中阶段是重要的教学衔接阶段，在中学数学中，学生要锻炼培养基本的理解能力和分析计算能力。

数学作为一门融合概念、计算和图形的抽象学科，在初中阶段的思维培养和方法教学至关重要。

在初中数学学习中，教材的知识点分布均匀，将几何和代数剥离开来。

代数教学是培养学生抽象思维和逆向思维的重要途径之一，在代数学习与解题中运用整体代换，也是十分重要的学习内容。

教师要通过教学使学生了解代数，学会运用整体代换的方法化繁为简，学会灵活的运用未知数。

在数学问题上大胆假设，细心实践，是整体代换教学中需要体现和强化的重点。

一、初中数学教学中代数教学的要点1.数学思维的延伸在数与代数的教学中，数学逻辑分析能力和运算能力尤为重要。

代数学习的关键在于学生对代数运算工具的理解和运用，这是在小学数学中很难掌握的进阶分析能力。

所以在初中数学的教学中，开启代数教学时，要注意强化代数概念、公式极其运用方法之间联系。

在课程设置中注意教学的重点和难点，可以考虑采用比较基础的内容来展开代数教学。

数学代数因其知识点众多，由难到易，在教学过程中也有利于学生数学思维的延伸和培养。

2.颠覆传统的教学方式数学作为传统基础学科之一，在我国的教育体系中有着长久的历史，许多数学知识都有经验形成的传统教学方案。

而在新课改的指引下，我国九年义务教育的不断改革，促使着初中数学教学的改变。

代数教学也要紧跟潮流，颠覆传统的教学方式。

教师应在课堂中传递整体代换的思维，根据学生的学习情况设置相应的教学任务，不能局限于对代数方法的单方面传授，要引导教学，锻炼学生学习的独立性。

试论代换法在高中数学解题中的应用

试论代换法在高中数学解题中的应用一、引言数学代换法是指在解决数学问题时，通过对问题中的变量进行代换，从而简化问题的解决步骤和思路。

在高中数学教学中，代换法是一个非常重要的解题方法，它不仅能够帮助学生简化复杂的问题，还能够提高学生的逻辑思维能力和数学解题能力。

本文将探讨代换法在高中数学解题中的应用，并通过具体的例题进行分析与讨论。

二、代换法的基本概念代换法是数学解题中的一种普遍方法，它的基本思想是将问题中的变量进行代换，以简化问题的解决过程。

代换法的关键在于选择合适的代换变量，通过对问题进行变量替换，求解起来更加方便、快捷，从而加强解题的方法性。

代换法的核心是利用问题中的特定条件或关系，通过代入合适的变换，将原问题转化为更简单的形式。

代换法的要领在于把原问题转化为另一个等价的问题，即通过变换使问题的求解更加有效，简便。

在高中数学教学中，代换法被广泛应用于各个章节，如函数、方程、不等式、三角函数等。

以下将分别从这些章节中举例说明代换法的应用。

1. 函数章节对于复合函数、反函数等函数复杂性较高的问题，代换法可以大大简化解题过程。

求解函数f(x)=2^x, g(x)=4^x的复合函数(f*g)(x)时，通过代换法将2^x替换为y，再将4^x 替换为z，可以将原问题转化为一个更简单的问题，求解过程更加清晰。

2. 方程章节对于一些复杂的方程，通过代换可以将原方程转化为简化形式的方程，从而简化解题过程。

对于含有分式的方程，可以进行代换令x^2=t，从而将分式方程转化为一元方程，提高解题的效率。

3. 不等式章节在不等式的解题中，代换法也发挥了重要作用。

对于复杂的不等式问题，可以通过代入x^2=y，从而将原不等式转化为更加简单的形式，进而进行解题。

在解三角函数方程和不等式时，代换法也是常用的解题方法。

对于复杂的三角函数方程，可通过代换sinx=t，将原方程转化为一个一元方程，然后进行求解。

四、代换法在实际解题中的例题分析下面通过几个实际的例题，通过代换法进行解题分析，以便更好地理解代换法在高中数学解题中的应用。

整体换元在数学解题中的应用

整体换元在数学解题中的应用作者：周淦利来源：《中学课程辅导高考版·学生版》2010年第08期任何一道数学问题,都是由一些基本要素组成,各基本要素之间相互关联、相互制约,形成一个有机的整体.我们在研究数学问题时,目光不能只局限于问题的各个组成部分,而要有意识地放大考察问题的视角,将需要解决的问题中貌似独立但实质上又相互联系的量看作一个整体,研究问题的整体形式、整体结构和整体功能,全面理解题意,在动态分析中寻找解决问题的整体思路和途径,这就是整体思想方法.在具体解题时,为了化繁为简、化难为易,促使问题顺利解决,常常需要把某个式子看作一个整体,看作一个新的变元,用一个字母去替代它,实行变量替换,从而使问题得到解决,这就是换元法.在分析、探索一些数学问题的解题途径时,我们可根据问题的特点,将整体思想方法与换元法结合起来,对问题进行整体观察、整体变形、整体配对、整体换元、整体代入,从而使问题能够简捷、明快地获得解决,这就是整体换元的思想方法.下面通过一些具体的例子,对整体换元的思想方法在数学解题中的应用略加阐述.一、整体换元在函数中的应用例1 已知函数f(x)的值域是[38,49],求函数y=f(x)+1-2f(x)的值域.解:设1-2f(x)=t,则f(x)=1-t22,∵f(x)∈[38,49],∴t∈[13,12],于是y=f(x)+1-2f(x)=-12t2+t+12,(t∈[13,12]),容易求得y∈[79,78].评注:本题中将1-2f(x)看成一个整体,设为新变元t,从而将比较复杂的无理函数的值域求法,转化为简单的二次函数值域求法.例2 已知函数f(x)=x+1x-x+1x+1,(x>0),试求f(x)的最大值.解:设t=x+1x+x+1x+1,则t≥2+3,(当且仅当x=1时,取“=”).∵t•f(x)=1,且t≥2+3,∴0评注:此题若直接考虑,会感到无从入手,但是从整体角度出发,引入一个新变元t=x+1x+x+1x+1进行整体配对,则问题轻松得到解决.二、整体换元在不等式中的应用例3 解不等式:2x+5>x+1.解:设t=2x+5,则x=t22-52,于是原不等式可化为t>t22-52+1,整理得t2-2t-3评注:引入新变元t后,将无理不等式化为有理不等式,可以避开直接解无理不等式时分类讨论的麻烦.例4 已知a,b,c∈R,f(x)=ax2+bx+c,g(x)=ax+b,当-1≤x≤1时,f(x)≤1,求证:(1)c≤1,(2)-1≤x≤1时,g(x)≤2.证明:(1)令x=0,由已知f(x)≤1,可得c≤1.(2)∵x=(x+1)2-(x-1)24,∴g(x)=ax+b=a[(x+12)2-(x-12)2]+b(x+12-x-12)=[a(x+12)2+b(x+12)+c]-[a(x-12)2+b(x-12)+c]=f(x+12)-f(x-12),∵-1≤x≤1时,有0≤x+12≤1,-1≤x-12≤0,则根据绝对值不等式的性质得f(x+12)-f(x-12)≤f(x+12)+f(x-12)≤2,即g(x)≤2.评注:本题第(2)小题的解答,运用了整体思想,找出了g(x)与f(x)的关系,避免了分类讨论(常规解法是对a>0,a=0,a三、整体换元在三角中的应用例5 已知0解:令sin x+cos x=t,则sin x cos x=t2-12,于是y=(1+sin x)(1+cos x)=sin x cos x+sin x+cos x+1=12t2+t+12=12(t+1)2∵0评注:本题中把sin x+cos x看成一个新变元t,利用整体代换,将函数式化成了关于t 的二次函数,使得问题得到解决.事实上sin x+cos x、sin x-cos x、sin x cos x三者之间有着内在的必然联系,通过整体换元,可以将它们统一.例6 求sin220°+cos250°+sin20°cos50°的值.解:设A=sin220°+cos250°+sin20°cos50°,B=cos220°+sin250°+cos20°sin50°,则A+B=2+sin70°,A-B=-12-sin70°,从而可得A=34.评注:本题通过整体观察式子的结构特点,整体地构造了一个对偶式cos220°+sin250°+cos20°sin50°,使得问题获得了简捷的解决.四、整体换元在数列中的应用例7 等差数列{a n}的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为解:∵S m=a1+…+a m,S2m-S m=a m+1+…+a2m,S3m-S2m=a2m+1+…+a3m,又a1,a2,…,a3m成等差数列,则S m,S2m-S m,S3m-S2m也成等差数列,∴2(S2m-S m)=S m+S3m-S2m,整理得S3m=3(S2m-S m)=3(100-30)=210.评注:很多数列问题,若分开求解往往运算麻烦或解题思路不明,若通过对问题的整体结构进行分析,然后整体换元,常可简化解题过程,减少运算量.下面的几道习题都是这样,请同学们练习.练习1:等比数列的前n项和为2,前2n项和为12,若n为偶数,再求前3n项和.答案:62.练习2:已知数列{a n}为等比数列,且a n>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,求a3+a 5.答案:5.练习3:等差数列{a n}中,S10=100,S100=10,求S110.答案:-110.练习4:一个等差数列的前12项和为354,前12项中偶数项与奇数项和之比为32:27,求公差d的值.答案:5.练习5:已知等差数列{a n}的公差d=1,且a1+a2+a3+…+a98=137,求a2+a4+a6+…+a98的值.答案:93.练习6:已知等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别为S n和T n,若S nT n=2n+13n+2,试求a9b9的值.答案:3553.五、整体换元在立体几何中的应用例8 长方体的全面积为11,所有棱长之和为24,求长方体的一条对角线长.解:设长方体的长、宽、高分别为a,b,c,则有2(ab+bc+ac)=114(a+b+c)=24,将它们整体代入长方体的对角线长公式l=a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+bc+ac)中可得l=5.评注:本题在解答的过程中运用了整体思想,不必计算出a,b,c的值,就可以把问题轻松解决.六、整体换元在解析几何中的应用例9 已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0),A、B是椭圆上两点,线段AB的垂直平分线与x轴交于点P(x0,0),求证:-a2-b2a证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为(x′,y′),则x1+x2=2x′y1+y2=2y′,由b2x21+a2y21=a2b2b2x22+a2y22=a2b2可得b2(x2-x1)(x2+x1)+a2(y2-y1)(y2+y1)=0,所以有-x2-x1y2-y1=a2y′b2x′,即AB中垂线的斜率为a2y′b2x′,所以AB中垂线的方程为y-y′=a2y′b2x′(x-x′),令y=0得x0=a2-b2a2x′,因为-a评注:对于有些解析几何问题,若分开讨论往往运算量大,如果注意到其整体结构特点,设法通过整体换元将问题变形转化,以达到避免一些不必要的运算,降低求解难度.其中“设而不求”是整体思想方法的最大体现.(作者:周淦利,江苏省泰州市第三高级中学)。

第四章第六讲整体代换与子数列

3．等差（比）数列中，若干项进行有规律的运算，所得新数列有时仍成等差（比）数列（要注意验证）。
例6 在等比数列{an}中，a9=6， a14=9，求a4.
例7 等差数列{an}中，a1=-3， d=2，求a3+a6+a9+…+a99.
例8 等差数列{an}中，一至四项的和为1，五至八项的和为3，求十七至二十项的和；
例9 在等比数列{an}中，前4 项的和为1，前八项的和为4，求十七至二十项的和。
例10 等差数列{an}中， a1+a4+a7=39，a2+a5+a8=33，求 a3+a6+a9。
பைடு நூலகம்
例11 在等比数列{an}中，a3a4a5=3， a6a7a8=24，求a9a10a11的值。
第六讲整体代换与子数列
一．整体代换
等差（比）数列具有以下性质：若m+n=u+v(m、 n、u、v∈N*)，则am+an=av+av(aman=avav).
例1 等差数列{an}中，若 a1+a2+a3+a4+a5=15，求a3.
例2 等差数列{an}中，若a5+a8=10，求 S12.
例3 等差数列{an}中，若 a3+an-2=10，且Sn=55，求n。
例4 在等比数列{an}中， a2a5=-10，求a1a2a3a4a5a6的值。
例5 已知等差数列{an}中，a3=5，求a1+2a4.
二．子数列的应用
在等差（比）数列运算中，有时利用以下性质可以简化运算：
1．等差（比）数列中，等距离选出若干项仍依次成等差（比）数列；

整体代换在几何计算题中的应用

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整体代换在几何计算题中的应用
作者：秦正林
来源：《中学数学杂志(初中版)》2008年第04期
整体代换是初中数学中重要的代数思想. 其特点是：求某一代数式的值时，由于式中各字母的取值不确定，故不能分别代值求之；但因各字母间的内在联系，而又使它在整体上显示出取值的确定性，故可将该代数式看作一个有机的整体，实施整体代换求解. 这一解题思想在几何计算题中也有着广泛的应用，现举例加以说明.
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圆锥曲线简化计算技巧

圆锥曲线简化计算技巧
圆锥曲线是解析几何中一个重要的部分，它包括椭圆、双曲线和抛物线等。

在解决圆锥曲线问题时，掌握一些简化计算的技巧是非常有帮助的。

以下是一些常用的圆锥曲线简化计算技巧：
1. 参数方程法：对于一些复杂的圆锥曲线问题，可以通过引入参数来简化计算。

参数方程可以将圆锥曲线的几何性质转化为代数方程，从而方便求解。

2. 极坐标法：对于一些与极坐标有关的圆锥曲线问题，使用极坐标可以简化计算。

极坐标可以将圆锥曲线的方程转化为极坐标形式，从而方便求解。

3. 对称性质：圆锥曲线具有对称性质，可以利用这些性质来简化计算。

例如，在椭圆中，关于长轴和短轴的对称性可以用来简化计算。

4. 切线性质：对于一些与切线有关的圆锥曲线问题，可以利用切线的性质来简化计算。

例如，在抛物线中，切线的斜率等于该点的导数。

5. 数形结合：在解决圆锥曲线问题时，可以将代数方程与几何图形结合起来，从而方便求解。

数形结合可以帮助我们更好地理解问题的本质，从而找到更有效的解决方案。

6. 整体代换：在一些复杂的圆锥曲线问题中，可以通过整体代换来简化计算。

整体代换可以将复杂的代数表达式转化为简单的代数表达式，从而方便求解。

7. 逐步化简：在解决圆锥曲线问题时，可以通过逐步化简来简化计算。

逐步化简可以将复杂的代数方程逐步化简为简单的代数方程，从而方便求解。

以上是一些常用的圆锥曲线简化计算技巧，掌握这些技巧可以帮助我们更有效地解决圆锥曲线问题。

数学代换法的原理

数学代换法的原理
数学代换法，也称为等量代换，是数学的基本规律之一。

它的原理是在数量关系式中，将一个量用它的相等量来代替。

代换法可以理解为换元法，即把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化。

实质是数量之间的转化，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。

代换法在数学中有广泛的应用，包括解代数方程、几何问题、和倍和差问题等。

例如，在解代数方程时，我们可以通过代换法将复杂的代数式转化为简单的代数式，从而简化计算过程。

在几何问题中，代换法可以将复杂的图形转化为简单的图形，从而更容易找出图形的性质和特点。

总之，数学代换法的原理是通过等量替换来简化问题，将复杂的问题转化为简单的问题，从而更容易地解决数学问题。

高考数学圆锥曲线代数表达式的处理技巧

高考数学圆锥曲线代数表达式的处理技巧
处理圆锥曲线中的代数表达式的技巧主要包括以下几种：
1. 整体代换：在解题过程中，将一个表达式整体代入另一个表达式，从而简化计算。

2. 参数分离：对于参数方程，将参数从方程中分离出来，单独处理，可以简化问题。

3. 消元法：在处理多个变量或参数的方程时，通过消元法将问题转化为更简单的形式。

4. 换元法：引入新的变量或参数来替换原方程中的复杂部分，使问题变得更易于处理。

5. 配方：对于一些复杂的代数表达式，通过配方将其转化为更容易处理的形式。

6. 因式分解：对于一些多项式方程，通过因式分解简化问题。

7. 导数法：在处理圆锥曲线的切线问题时，利用导数可以更方便地找到切线的斜率。

8. 代数恒等式的应用：利用代数恒等式简化问题，例如平方差公式、完全平方公式等。

9. 数形结合：结合代数表达式和几何意义来处理问题，例如在解析几何中，利用几何意义来解释代数表达式的含义。

10. 分类讨论：对于一些涉及多个变量或参数的情况，需要进行分类讨论，以确定不同情况下的结果。

以上是处理圆锥曲线中代数表达式的常用技巧，具体使用哪种技巧取决于问题的具体情况。

在解题过程中，需要根据问题的特点选择合适的技巧，以简化问题并得到正确的答案。

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