专题+函数=Asin(wx+φ)的图象及应用年领军高考数学一轮复习(文理通用)
高考数学一轮复习函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用
/目录
01
目录
1.函数y＝Asin（ωx＋φ）的有关概念
y＝Asin（ωx＋φ）
（A＞0，ω＞0）
振幅
周期
频率
A
2
T＝
ω
1
ω
f＝ ＝
T 2
相位
初相
ωx＋φ
φ
目录
2.用“五点法”画y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）一个周期内的简图
用“五点法”画y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）一个周期内的简图时，要找
区间.如果已知图象上有最值点，最好代入最值点求解.
目录
1.如图，函数y＝ 3tan 2 +
△DEF的面积为
（
π
A.
4
π
B.
2
C.π
D.2π
π
6
的部分图象与坐标轴分别交于点D，E，F，则
）
解析：A 在y＝ 3tan 2 +
π
6
中，令x＝0，可得y＝1，所以D（0，1）；令y＝
π
π
0，解得x＝ － （k∈Z），故E
,0
6
2
12
12
D. −
5π
,0
12
.
A.8π
π
−
2 6
1
图象上所有点的横坐标缩小到原来的 ，则所得函数的最
2
）
B.4π
C.2π
解析：C 所得函数解析式为y＝sin
π
−
6
D.π
，周期为2π.
目录
1
3
4.函数y＝ sin
3
2
1
答案：
2020版高考数学一轮复习 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用讲义理(含解析)
第4讲函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象及应用1.“五点法”作函数y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的简图“五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与x轴相交的三个点，作图时的一般步骤为：(1)定点：如下表所示．(2)作图：在坐标系中描出这五个关键点，用平滑的曲线顺次连接得到y＝A sin(ωx＋φ)在一个周期内的图象．(3)扩展：将所得图象，按周期向两侧扩展可得y＝A sin(ωx＋φ)在R上的图象．2．函数y＝sin x的图象经变换得到y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的步骤1．概念辨析(1)将函数y ＝3sin2x 的图象左移π4个单位长度后所得图象的解析式是y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.( ) (2)利用图象变换作图时，“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致．( )(3)将函数y ＝2sin x 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得函数y＝2sin x2的图象．( )(4)由图象求解析式时，振幅A 的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的．( )答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ 2．小题热身(1)函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的振幅、频率和初相分别为( ) A ．2，1π，π4B ．2，12π，π4 C ．2，1π，π8D ．2，12π，－π8答案 A解析 函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的振幅是2，周期T ＝2π2＝π，频率f ＝1T ＝1π，初相是π4，故选A.(2)用五点法作函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6在一个周期内的图象时，主要确定的五个点是________、________、__________、________、________.答案 ⎝⎛⎭⎪⎫π6，0⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，1⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6，0⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3，－1⎝ ⎛⎭⎪⎫13π6，0解析 列表：五个点依次是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0、⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，1、⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6，0、⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3，－1、⎝ ⎛⎭⎪⎫13π6，0.(3)将函数f (x )＝－12cos2x 的图象向右平移π6个单位长度后，再将图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数y ＝g (x )的图象，则g ⎝⎛⎭⎪⎫3π4＝________.答案32解析 函数f (x )＝－12cos2x 的图象向右平移π6个单位长度后得函数y ＝－12cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝－12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，再将图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数g (x )＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－π3＝sin π3＝32.(4)(2018·长春模拟)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为________．答案 f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 解析 由图象可知A ＝2，T 4＝7π12－π3＝π4，所以2πω＝π，ω＝2，所以f (x )＝2sin(2x＋φ)，又f ⎝⎛⎭⎪⎫7π12＝－2，所以2×7π12＋φ＝2k π＋3π2，k ∈Z ，φ＝2k π＋π3，k ∈Z ，又|φ|<π，所以φ＝π3，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.题型 一 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换1．(2017·全国卷Ⅰ)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，则下面结论正确的是( )A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2答案 D解析 由C 2：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋π2＝cos ( 2x ＋π6 )＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12. 根据三角函数图象变换的规律，可得D 正确．2．(2018·蚌埠一模)已知ω>0，顺次连接函数y ＝sin ωx 与y ＝cos ωx 的任意三个相邻的交点都构成一个等边三角形，则ω＝( )A ．π B.6π2 C.4π3D.3π 答案 B解析 当正弦值等于余弦值时，函数值为±22，故等边三角形的高为2，由此得到边长为2×33×2＝263，边长即为函数的周期，故2πω＝263，ω＝6π2.3．已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上单调递增，求ω的最大值．解 函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2ω，π2ω上单调递增，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2ω，π2ω，所以⎩⎪⎨⎪⎧－π2ω≤－π3，π2ω≥π4.解得0<ω≤32，所以ω的最大值为32.4．已知函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.(1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在区间[0，π]内的图象；(3)说明y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象可由y ＝cos x 的图象经过怎样的变换而得到．解 (1)函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的振幅为1，周期T ＝2π2＝π，初相是－π3. (2)列表：描点，连线．(3)解法一：把y ＝cos x 的图象上所有的点向右平移π3个单位长度，得到y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的图象；再把y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象．解法二：将y ＝cos x 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变)，得到y ＝cos2x 的图象；再将y ＝cos2x 的图象向右平移π6个单位长度，得到y ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象．作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象常用的两种方法(1)五点法作图：用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，3π2，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．(2)图象的变换：由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.1.要想得到函数y ＝sin2x ＋1的图象，只需将函数y ＝cos2x 的图象( ) A.向左平移π4个单位长度，再向上平移1个单位长度B.向右平移π4个单位长度，再向上平移1个单位长度C.向左平移π2个单位长度，再向下平移1个单位长度D.向右平移π2个单位长度，再向下平移1个单位长度答案 B解析 先将函数y ＝cos2x 的图象向右平移π4个单位长度，得到y ＝sin2x 的图象，再向上平移1个单位长度，即得y ＝sin2x ＋1的图象，故选B.2.(2018·青岛模拟)将函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图象向左平移π12个单位得到函数g (x )的图象，在g (x )图象的所有对称轴中，离原点最近的对称轴方程为( )A.x ＝－π24B ．x ＝π4C.x ＝5π24D ．x ＝π12答案 A解析 当函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变时，此时函数解析式可表示为f 1(x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3，再将所得图象向左平移π12个单位得到函数g (x )的图象，则g (x )可以表示为g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋2π3.则函数g (x )的图象的对称轴可表示为4x ＋2π3＝π2＋k π，k ∈Z ，即x ＝－π24＋k π4，k∈Z .则g (x )的图象离原点最近的对称轴，即g (x )的图象离y 轴最近的对称轴为x ＝－π24.题型 二 由图象确定y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式1.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)，其导函数f ′(x )的图象如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2的值为( )A ．2 2 B. 2 C ．－22 D ．－24答案 D解析 依题意得f ′(x )＝Aωcos(ωx ＋φ)，结合函数y ＝f ′(x )的图象，则T ＝2πω＝4⎝⎛⎭⎪⎫3π8－π8＝π，ω＝2.又Aω＝1，因此A ＝12.因为0<φ<π，3π4<3π4＋φ<7π4，且f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋φ＝－1，所以3π4＋φ＝π，即φ＝π4，所以f (x )＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫π＋π4＝－12×22＝－24. 2.设f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)，其图象上最高点M 的坐标是(2，2)，曲线上的点P 由点M 运动到相邻的最低点N 时，在点Q (6,0)处越过x 轴．(1)求A ，ω，φ的值；(2)函数f (x )的图象能否通过平移变换得到一个奇函数的图象？若能，写出变换方法；若不能，说明理由．解 (1)由题意知A ＝2，T ＝(6－2)×4＝16，所以ω＝2πT ＝π8.又因为Q (6,0)是零值点，且|φ|<π，所以π8×6＋φ＝π，所以φ＝π4，经验证，符合题意．所以A ＝2，ω＝π8，φ＝π4.(2)f (x )的图象经过平移变换能得到一个奇函数的图象．由(1)知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋π4，当f (x )的图象向右平移2个单位长度后，所得图象的函数解析式为g (x )＝2sin π8x ，是奇函数.确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0)中参数的方法(1)求A ，b ：确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m2，b ＝M ＋m2；(2)求ω：确定函数的周期T ，则可得ω＝2πT；(3)求φ：常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．具体如下：1．(2018·四川绵阳诊断)如图是函数f (x )＝cos(πx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫0<φ<π2的部分图象，则f (3x 0)＝( )A.12 B ．－12C.32D ．－32答案 D解析 ∵f (x )＝cos(πx ＋φ)的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32， ∴32＝cos φ，结合0<φ<π2，可得φ＝π6.∴由图象可得cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx 0＋π6＝32，πx 0＋π6＝2π－π6，解得x 0＝53. ∴f (3x 0)＝f (5)＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π＋π6＝－32.2.已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|＜π2，y ＝f (x )的部分图象如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π24等于________．答案3解析 观察图象可知T 2＝3π8－π8，所以π2ω＝π4，ω＝2，所以f (x )＝A tan(2x ＋φ)．又因为函数图象过点⎝⎛⎭⎪⎫3π8，0，所以0＝A tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×3π8＋φ，所以3π4＋φ＝k π(k ∈Z )，所以φ＝k π－3π4(k ∈Z )．又因为|φ|<π2，所以φ＝π4.又图象过点(0,1)，所以A ＝1.综上知，f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π24＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π24＋π4＝ 3.题型 三 三角函数图象性质的应用角度1 三角函数模型的应用1．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )A.5 B ．6 C ．8 D ．10答案 C解析 由图象可知，y min ＝2，因为y min ＝－3＋k ，所以－3＋k ＝2，解得k ＝5，所以这段时间水深的最大值是y max ＝3＋k ＝3＋5＝8.角度2 函数零点(方程根)问题2.已知关于x 的方程2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋1－a ＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上存在两个根，则实数a的取值范围是________．答案 [2,3)解析 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋1－a ＝0化为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝a －12，令t ＝x ＋π6，由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3得，t ＝x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6，画出函数y ＝sin t ，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6的图象和直线y ＝a －12，当12≤a －12<1，即2≤a <3时，函数y ＝sin t ，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6的图象和直线y ＝a －12有两个公共点，原方程有两个根.角度3 三角函数图象性质的综合3.函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图，则( )A ．函数f (x )的对称轴方程为x ＝4k π＋π4(k ∈Z )B.函数f (x )的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤8k π＋π4，8k π＋5π4(k ∈Z )C.函数f (x )的递增区间为[8k ＋1,8k ＋5](k ∈Z )D.f (x )≥1的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤8k －13，8k ＋73(k ∈Z )答案 D解析 由题图知，A ＝2，函数f (x )的最小正周期T ＝4×(3－1)＝8，故ω＝2π8＝π4，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋φ，因为点(1,2)在图象上，所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝2，因为|φ|<π2，所以φ＝π4，即f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4，由π4x ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )得x ＝4k ＋1，即函数f (x )的对称轴方程为x ＝4k ＋1(k ∈Z )，所以A 项错误；由2k π＋π2≤π4x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )得8k ＋1≤x ≤8k ＋5，即函数f (x )的单调减区间为[8k ＋1,8k ＋5](k ∈Z )，所以B ，C两项错误；由2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4≥1，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4≥12，所以2k π＋π6≤π4x ＋π4≤2k π＋5π6(k ∈Z )，解得8k －13≤x ≤8k ＋73(k ∈Z )，即不等式f (x )≥1的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤8k －13，8k ＋73(k ∈Z )，故选D.(1)三角函数模型在实际应用中体现的两个方面①已知三角函数模型，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则；②把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模．(2)三角函数的零点、不等式问题的求解思路①把函数表达式转化为正弦型函数形式y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)； ②画出一个周期上的函数图象；③利用图象解决有关三角函数的方程、不等式问题．(3)研究y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质时可将ωx ＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想解题.1.设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3(x ∈R )，则f (x )( )A.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，7π6上是增函数B.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2上是减函数 C.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上是增函数D.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6上是减函数答案 A解析 函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3(x ∈R )的图象如图所示，由图象可知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3(x ∈R )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，7π6上是增函数．故选A.2.一个大风车的半径为8 m,12 min 旋转一周，它的最低点P 0离地面2 m ，风车翼片的一个端点P 从P 0开始按逆时针方向旋转，则点P 离地面距离h (m)与时间t (min)之间的函数关系式是( )A ．h (t )＝－8sin π6t ＋10B.h (t )＝－cos π6t ＋10C.h (t )＝－8sin π6t ＋8D.h (t )＝－8cos π6t ＋10答案 D解析 设h (t )＝A cos ωt ＋B ，因为12 min 旋转一周， 所以2πω＝12，所以ω＝π6，由于最大值与最小值分别为18,2.所以⎩⎪⎨⎪⎧－A ＋B ＝18，A ＋B ＝2，解得A ＝－8，B ＝10.所以h (t )＝－8cos π6t ＋10.3.若函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω>0)满足f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，且函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个零点，则f (x )的最小正周期为( )A.π2 B ．π C.3π2D ．2π 答案 B解析 依题意，函数f (x )图象的一条对称轴为x ＝0＋π32＝π6，又因为函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个零点，所以π6－0≤T 4≤π2－π6，所以2π3≤T ≤4π3.根据选项可得，f (x )的最小正周期为π.。
高考数学一轮复习： 专题4.5 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及其应用(讲)
专题4.5 函数y ＝Asin （ωx ＋φ）的图象及其应用【考纲解读】【直击考点】题组一 常识题1．把函数y ＝sin x 的图像上每个点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍得到函数________的图像．2．某函数的图像向右平移π2个单位长度后得到的图像对应的函数解析式是y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，则原函数的解析式是____________．【解析】将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图像向左平移π2个单位长度得y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋π4的图像，即原函数为y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3π4.3．已知简谐运动f (x )＝2sin π3x ＋φ|φ|<π2的图像经过点(0，1)，则该简谐运动的初相φ为________．【解析】因为函数图像经过点(0，1)，所以将点(0，1)的坐标代入函数解析式可得2sin φ＝1，即sinφ＝12.又因为|φ|<π2，所以φ＝π6.题组二 常错题4．为得到函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像，只需将函数y ＝sin 2x 的图像向________平移________个单位长度．5．设ω>0，若函数f (x )＝sin ωx2cosωx2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3上单调递增，则ω的取值范围是____________．【解析】f (x )＝sinωx2cosωx 2＝12sin ωx ，若函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3上单调递增，则T 2＝πω≥π3＋π3＝2π3，故ω∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32.6．若f (x )＝2sin(ωx ＋φ)＋m 对任意实数t 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＋t ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8－t ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝－3，则实数m ＝________．【解析】由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＋t ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8－t ，得函数图像的对称轴为直线x ＝π8.故当x ＝π8时，函数取得最大值或最小值，于是有－2＋m ＝－3或2＋m ＝－3，即m ＝－1或m ＝－5. 题组三 常考题7． 将函数y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像向左平移13个周期后，所得图像对应的函数为________．【解析】函数y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的周期为π，将函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像向左平移13个周期即π3个单位长度，所得图像对应的函数为y ＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋π3＝2cos(2x ＋π)＝－2cos 2x .8．已知函数f (x )＝2sin ωx2cosωx2＋cos ωx 的最小正周期为π，则ω的值是________.【解析】f (x )＝2sin ωx2cosωx2＋cos ωx ＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4，所以T ＝2π|ω|＝π，得ω＝±2.【知识清单】考点1 求三角函数解析式 1．的有关概念2．用五点法画一个周期内的简图()sin y A x ωϕ=+sin y A x =+用五点法画一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：3. 由的图象求其函数式：已知函数的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求；由函数的周期确定；确定常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置． 4.利用图象变换求解析式：由的图象向左或向右平移个单位，，得到函数，将图象上各点的横坐标变为原来的倍()，便得，将图象上各点的纵坐标变为原来的倍()，便得. 考点2 三角函数图象的变换1.函数图象的变换（平移变换和上下变换） 平移变换：左加右减，上加下减把函数向左平移个单位，得到函数的图像; 把函数向右平移个单位，得到函数的图像; 把函数向上平移个单位，得到函数的图像; 把函数向下平移个单位，得到函数的图像. 伸缩变换:把函数图像的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的，得到函数的图像;把函数图像的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的，得到函数的图像;()sin y A x ωϕ=+()sin y A x ωϕ=+()sin y A x ωϕ=+A ωϕ,0ϕω⎛⎫- ⎪⎝⎭sin y x =()0ϕ>()0ϕ<ϕ()sin y x ϕ=+1ω0ω>()sin y x ωϕ=+A 0A >()sin y A x ωϕ=+()y f x =()0ϕϕ>()y f x ϕ=+()y f x =()0ϕϕ>()y f x ϕ=-()y f x =()0ϕϕ>()y f x ϕ=+()y f x =()0ϕϕ>()y f x ϕ=-()y f x =1ω()()01y fx ωω=<<()y f x =1ω()()1y f x ωω=>把函数图像的横坐标不变,纵坐标伸长到原来的，得到函数的图像; 把函数图像的横坐标不变,纵坐标缩短到原来的，得到函数的图像. 2.由的图象变换出的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换,利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少.途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将的图象向左或向右平移个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍()，便得的图象.途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换：先将的图象上各点的横坐标变为原来的倍()，再沿轴向左()或向右()平移个单位，便得的图象.注意：函数的图象，可以看作把曲线上所有点向左(当时)或向右(当时)平行移动个单位长度而得到. 考点3 函数的图像与性质的综合应用 1. 的递增区间是，递减区间是. 2．对于和来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系.的图象有无穷多条对称轴，可由方程解出；它还有无穷多个对称中心，它们是图象与轴的交点，可由，解得，即其对称中心为． 3. )若为偶函数，则有;若为奇函数则有.4. 的最小正周期都是. 【考点深度剖析】()y f x =A ()()1y Af x A =>()y f x =A ()()01y Af x A =<<sin y x =()sin y x ωϕ=+()0ω>x sin y x =()0ϕ>()0ϕ<ϕ1ω0ω>()sin y x ωϕ=+sin y x =1ω0ω>x 0ϕ>0ϕ<ωϕ||()sin y x ωϕ=+sin() y x ωϕ=+sin y x ω=0ϕ>0ϕ<ϕω()sin y A x ωϕ=+x y sin =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-2222ππππk k ，)(Z k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++23222ππππk k ，)(Z k ∈sin()y A x ωφ=+cos()y A x ωφ=+sin )y A x ωϕ=+（()2x k k Z πωϕπ+=+∈x ()x k k Z ωϕπ+=∈()k x k Z πϕω-=∈(),0k k Z πϕω-⎛⎫∈⎪⎝⎭sin()y A x ωϕ=+()2k k Z πϕπ=+∈()k k Z ϕπ=∈()sin()f x A x ωϕ=+2||T πω=本课时是高考热点之一，主要考查：①作函数图像，包括用五点法描图及图形变换作图；②由图像确定解析式；③考查三角函数图像变换；④图像的轴对称、中心对称．题型多是容易题．【重点难点突破】考点1 求三角函数解析式【1-1】已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，0<φ≤π2的部分图像如图所示，则φ的值为________．【答案】π3【1-2】如图，函数（其中，，）与坐标轴的三个交点、、满足，，为的中点，， 则的值为 .【答案】14【解析】由题意设、，，则，有两点间距离公式得，()sin()f x A x ωϕ=+0A >0ω>||2πϕ≤P Q R (1,0)P 4PQR π∠=MQR 2PM =A (),0Q a ()0,R a -()0a >,22a a M ⎛⎫-⎪⎝⎭【思想方法】1.根据的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑： (1) 的确定：根据图象的最高点和最低点，即＝最高点－最低点2；(2) 的确定：根据图象的最高点和最低点，即＝最高点＋最低点2；(3) 的确定：结合图象，先求出周期，然后由 ()来确定；(4) 求，常用的方法有：①代入法：把图像上的一个已知点代入(此时已知)或代入图像与直线的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②五点法：确定值时，由函数最开始与轴的交点的横坐标为 (即令，)确定.将点的坐标代入解析式时，要注意选择的点属于“五点法”中的哪一个点,“第一点”（即图象上升时与轴的交点）为，其他依次类推即可.2.在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量而言的，如果的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向． 【温馨提醒】求时一般把图像上的一个最值点代入． 考点2 三角函数图象的变换【2-1】函数的部分图像如图所示，则将的图象向右平移个单位后，得到的图像解析式为________．()sin y A x h ωϕ=++()0,0A ω>>A A h h ωT 2T πω=0ω>ωϕ,,A h ωy h =ϕ()sin y A x k ωϕ=++x ϕω-0x ωϕ+=x ϕω=-ϕx 002x k ωϕπ+=+x x ϕ()sin()(0,0,)2f x A x A πωφωφ=+>><()y f x =6π第（9）题【答案】【解析】【2-2】函数（其中A ＞0，）的图象如图所示，为得到的图象，则只要将的图象向 平移 个单位．【答案】右，【解析】由图知，函数的周期，，，， 易求得点在函数的图像上，，又，， ，将函数的图象向右平移个单位长即得的图象.【思想方法】1. 在解决函数图像的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的变换”的原则，写出每一次的变换所得图象对应的解析式，这样才能避免出错．2. 图像变换法．若函数图像可由某个基本函数的图像经过平移、翻折、对称得到，可利用图像变换作出，但要注意变换顺序．对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．3.解决图象变换问题时，要分清变换的对象及平移(伸缩)的大小，避免出现错误．4.特别提醒：进行三角函数的图象变换时，要注意无论进行什么样的变换都是变换变量本身;要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数.【温馨提醒】解决图象变换的关键是变换“只能对函数关系式中的变换”的原则即可,值得注意点是,sin(2)6y x π=-)sin()(ϕω+=x A x f 2||πω<x x g 3sin )(=)(xf )(x f 32)4125(4πππ=-=T 1=A 3=∴ω)3sin()(ϕ+=∴x x f )0,12(π)(x f 0)123sin(=+⨯∴ϕπ2||πω<4πϕ-=∴)43sin()(π+=∴x x f )43sin()(π+=x x f 12πx x g 3sin )(=,x y ,x y要得到函数的图象，可以看作把曲线上所有点向左(当时)或向右(当时)平行移动个单位长度而得到,而不是平行移动个单位． 考点3 函数的图像与性质的综合应用 【 3-1】设的最小正周期为，且对任意实数都有，则的单调减区间是 .【答案】【 3-2】若函数的图像在上恰有一个极大值和一个极小值，则的取值范围是 . 【答案】【解析】∵函数的图像在上恰有一个极大值和一个极小值， ∴，∴. 【思想方法】(1)奇偶性：时，函数为奇函数；时，函数为偶函数．(2)周期性：存在周期性，其最小周期为. (3)单调性：根据和的单调性来研究，由得单调增区间；由得单调减区间． sin() y x ωϕ=+sin y x ω=0ϕ>0ϕ<ϕωϕ()sin y A x ωϕ=+()()()=sin cos 0,2f x x x πωϕωϕωϕ⎛⎫+++><⎪⎝⎭πx ()()4f x f π≤()f x )(],43,4[Z k k k ∈++ππππ()2sin f x x ω=(0)ω>(0,2)πω35(,]44()2sin f x x ω=(0)ω>(0,2)π35222πππω<≤3544ω<≤()k k Z ϕπ=∈sin()y A x ωϕ=+()2k k Z πϕπ=+∈sin()y A x ωϕ=+sin()y A x ωϕ=+2||T πω=sin y t =t x ωϕ=+22,22k x k k Z πππωϕπ-+≤+≤+∈322,22k x k k Z πππωϕπ+≤+≤+∈(4)对称性：利用的对称中心为求解，令，求得.利用的对称轴为 ()求解，令得其对称轴．【温馨提醒】对于函数求其单调区间，要特别注意的正负，若为负值，需要利用诱导公式把负号提出来，转化为的形式，然后求其单调区间.【易错试题常警惕】由y ＝sin x 的图像变换到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位长度；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是|φ|ω(ω>0)个单位长度。
函数y=Asin(ωx+φ)的图象及其应用(重点)-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题
考向20 函数y=Asin(ωx +φ)的图象及其应用【2022·浙江·高考真题】为了得到函数2sin3y x =的图象，只要把函数π2sin 35y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上所有的点（ ） A ．向左平移π5个单位长度B ．向右平移π5个单位长度C ．向左平移π15个单位长度 D ．向右平移π15个单位长度【2022·全国·高考真题（文）】将函数π()sin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图像向左平移π2个单位长度后得到曲线C ，若C 关于y 轴对称，则ω的最小值是（ ） A ．16B ．14C ．13D ．121．已知()()sin (0,0)f x A x A ωφω=+>>的部分图象求A 的方法： （1）利用极值点的纵坐标求A ；（2）把某点的坐标代入求A ． 2．已知()()sin (0,0)f x A x A ωφω=+>>的部分图象求ω的方法： 由2Tπω=，即可求出ω．常用结论：（1）相邻两个极大（小）值点之间的距离为T ；（2）相邻两个零点之间的距离为;2T （3）极值点到相邻的零点，自变量取值区间长度为4T．3．已知()()sin (0,0)f x A x A ωφω=+>>的部分图象求φ的方法： 求φ的值时最好选用最值点求． 峰点：22x k πωφπ+=+；谷点：22x k πωφπ+=-+．也可用零点求，但要区分该零点是升零点，还是降零点． 升零点（图象上升时与x 轴的交点）：2x k ωφπ+=；降零点（图象下降时与x 轴的交点）：2x k ωφππ+=+（以上k z ∈）．此外也可以把图象上的一个已知点代入（此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上）．函数sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>的物理意义简谐运动的图象所对应的函数解析式sin(),[0,)y A x x ωϕ=+∈+∞，其中0,0A ω>>．在物理中，描述简谐运动的物理量，如振幅、周期和频率等都与这个解析式中的常数有关：A 就是这个简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离；这个简谐运动的周期是2T πω=，这是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间；这个简谐运动的频率由公式1f T=给出，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数；x ωϕ+称为相位；0x =时的相位ϕ称为初相．1．平移与伸缩由函数sin y x =的图像变换为函数2sin(2)33y x π=++的图像的步骤；方法一：(2)23x x x ππ→+→+．先相位变换，后周期变换，再振幅变换，不妨采用谐音记忆：我们“想欺负”（相一期一幅）三角函数图像，使之变形．3sin y x π=−−−−−−→向左平移个单位的图像sin()3y x π=+的图像12−−−−−−−−−→所有点的横坐标变为原来的纵坐标不变sin(2)3y x π=+的图像2−−−−−−−−−→所有点的纵坐标变为原来的倍横坐标不变2sin(2)3y x π=+的图像 3−−−−−−→向上平移个单位2sin(2)33y x π=++方法二：(2)23x x x ππ→+→+．先周期变换，后相位变换，再振幅变换． sin y x =的图像12−−−−−−−−−→所有点的横坐标变为原来的纵坐标不变6sin 2y x π=−−−−−−→向左平移个单位的图像sin 2()sin(2)62y x x ππ=+=+的图像2−−−−−−−−−→所有点的纵坐标变为原来的倍横坐标不变32sin(2)3y x π=+−−−−−−→向上平移各单位的图像2sin(2)33y x π=++注：在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩（先相位后周期，即“想欺负”），但先伸缩后平移（先周期后相位）在题目中也经常出现，所以必须熟练掌握，无论哪种变化，切记每一个变换总是对变量x 而言的，即图像变换要看“变量x ”发生多大变化，而不是“角wx φ+”变化多少．1．（2022·全国·模拟预测（理））函数()f x 的图象按以下次序变换：①横坐标变为原来的12；②向左平移23π个单位长度；③向上平移一个单位长度；④纵坐标变为原来的2倍，得到sin y x =的图象，则()f x 的解析式为（ ）A ．()112sin 1223f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ B ．()11sin 1223f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭C ．()12sin 2123f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭D ．()1sin 2123f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭2．（2022·河南省杞县高中模拟预测（文））已知点π,06⎛⎫ ⎪⎝⎭是函数()π2sin 3f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象的一个对称中心，其中()0,6ω∈，将函数()f x 的图象向右平移5π24个单位长度得到函数()g x 的图象，则()g x =（ ） A ．π2sin 28x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭B ．2sin 4x -C ．2cos2x -D ．2cos4x -3．（2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测（文））已知直线8x π=是函数()2sin(2)||2πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭f x x 的图像的一条对称轴，为了得到函数()y f x =的图像，可把函数2cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像（ ）A ．向左平移24π个单位长度 B ．向右平移24π个单位长度 C ．向左平移12π个单位长度 D ．向右平移12π个单位长度4．（2022·全国·高三专题练习（文））将函数π()sin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图像向左平移π2个单位长度后得到曲线C ，若C 关于y 轴对称，则ω的最小值是（ ） A ．16B ．14C ．13D ．125．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））将函数()πsin(2)6f x x =+的图象向右平移6π个单位长度，然后将所得图象上所有点的横坐标缩小到原来的12（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，则下列说法正确的是（ ）A ．π()sin 46g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()g x 在ππ,123⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调C ．()g x 的图象关于直线π2x =对称D ．当π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()g x 的值域为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦1．（2022·上海浦东新·二模）将函数()sin2f x x =的图像向左平移4π个单位后，得到函数()g x 的图像，设,,A B C 为以上两个函数图像不共线的三个交点，则ABC 的面积不可能为（ ） A ．22πB 2πC 2D 2 2．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））将函数()sin(2)6f x x π=+的图象向右平移6π个单位长度，然后将所得图象上所有点的横坐标缩小到原来的12 （纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，则当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()g x 的值域为（ ）A ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[]1,1-D ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦3．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））已知函数()2sin cos f x x x =+的图象向左平移()0ϕϕ>个单位长度后得到函数()sin 2cos g x x x =+的图象，则()g ϕ=（ ） A ．65B ．115C ．15D ．854．（2022·广东茂名·二模）已知函数π()3sin(2)(||)2f x x ϕϕ=+< 的部分图象如图所示．将函数()f x 的图象向左平移π12个单位得到()g x 的图象，则（ ）A ．()3sin(2)6g x x π+） B ．()3sin(2)12g x x 5π=+C ．()32g x x =D ．()32g x x =5．（2022·安徽省舒城中学三模（理））将函数π()2sin()(0)3f x x ωω=->的图象向左平移3ωπ个单位，得到函数()y g x =的图象，若()y g x =在π[0,]4上为增函数，则ω最大值为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．526．（2022·黑龙江·哈九中三模（文））已知函数()()()sin 0,0,0πf x A x A ωϕωϕ=+>><<的部分图象如图所示，且13π23f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．将()f x 图象上所有点的横坐标缩小为原来的14，再向上平移一个单位长度，得到()g x 的图象．若()()129g x g x =，1x，[]20,4πx ∈，则21x x -的最大值为（ ）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π7．（多选题）（2022·全国·模拟预测）将函数()()sin 3cos 0f x x x ωωω=>的图象向右平移π3个单位，得到的图象关于y 轴对称，则下列说法正确的是（ ） A ．()f x 最小正周期的最大值为4π5 B ．()f x 最小正周期的最大值为4π11C ．当()f x 的最小正周期取最大值时，平移后的函数在π0,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．当()f x 的最小正周期取最大值时，平移后的函数在π0,11⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减8．（多选题）（2022·山东·德州市教育科学研究院三模）已知函数π()sin (0)6f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭图像的一条对称轴和一个对称中心的最小距离为34π，则（ ） A ．函数()f x 的最小正周期为3πB ．将函数()f x 的图像向左平移π4个单位长度后所得图像关于原点对称 C ．函数()f x 在5π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数D ．设||3π()e 24x g x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()g x 在(10π,10π)-内有20个极值点9．（多选题）（2022·全国·模拟预测）已知函数()()sin cos sin f x x x x =-，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 的最小正周期为2πB ．()f x 21-C ．()f x 的图像关于直线8x π=-对称 D ．将()f x 的图像向右平移8π个单位长度，再向上平移12个单位长度后所得图像对应的函数为奇函数10．（多选题）（2022·全国·模拟预测）函数()()()cos 02f x x ωϕϕπ=+≤<的部分图像如图所示，则（ ）A ．3ω=B ．65ϕπ=C ．函数()f x 在314,55ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．函数()f x 图像的对称轴方程为()315k x k ππ=-∈Z 11．（2022·上海闵行·二模）若函数3sin cos y x x =+的图像向右平移ϕ个单位后是一个奇函数的图像，则正数ϕ的最小值为___________；12．（2022·河北衡水·高三阶段练习）把函数()22cos cos 23f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图像向右平移ϕ个单位长度，得到的图像所对应的函数()g x 为偶函数，则ϕ的最小正值为__________．13．（2022·山东潍坊·三模）已知函数()cos 2f x x =向右平移12π个单位长度后得到()g x ．若对于任意的1,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，总存在[]2,x m n ∈，使得()()12f x g x =，则m n -的最小值为______．14．（2022·江苏扬州·模拟预测）已知函数()π2sin 3f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，将()y f x =的图象上所有点横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变），再将所得函数图象向左平移π4个单位长度，得到()y g x =图象，若()32gx =在[]0,2π有n 个不同的解12,,,n x x x ，则1tan n i i x =⎛⎫= ⎪⎝⎭∑__________.15．（2022·重庆八中模拟预测）已知函数()sin()0,0,||2f x A x B A πωϕωϕ⎛⎫=++>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示．(1)求函数()f x 的解析式；(2)将函数()y f x =的图象上所有的点向右平移12π个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象．当130,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，方程()0g x a -=恰有三个不相等的实数根()123123,,x x x x x x <<，求实数a 的取值范围和1232x x x ++的值．16．（2022·全国·模拟预测）条件①：()()()f x g x h x =⋅；条件②：()()()2f x g x h x =．已知()3sin cos g x x x =-，()cos sin 44h x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为条件，求： (1)求()f x 的解析式；(2)将()y f x =的图象上的各点的横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移12π个单位长度，得到()y t x =的图象，求函数()y t x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上的单调递减区间和最大值．17．（2022·湖北·襄阳五中模拟预测）已知数2()32sin 1(0)6212x f x x πωπωω⎛⎫⎛⎫=+++-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的相邻两对称轴间的距离为2π.(1)求()f x 的解析式；(2)将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，当,126x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()g x 的值域；(3)对于第（2）问中的函数()g x ，记方程4()3g x =在4,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的根从小到大依次为12,,n x x x ，若m =1231222n n x x x x x -+++++，试求n 与m 的值.18．（2022·()3cos 22sin 0011cos A A x A x A x>按第一列展开11213132M M M ++，记函数()1121f x M M =+，且()f x 的最大值是4． (1)求A ；(2)将函数()y f x =的图像向左平移12π个单位，再将所得图像上各点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图像，求()g x 在11,1212ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的值域．19．（2022·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习（理））已知函数()()*sin ,2f x x N πωϕωϕ⎛⎫=+∈< ⎪⎝⎭的图像关于直线512x π=-对称，且在区间5,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增；(1)求()f x 解析式．(2)若02f π⎛⎫< ⎪⎝⎭，将函数()f x 的图象所有的点向右平移12π个单位长度，再把所得图像上各点横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），得到()g x 的图象；若()g x m =在,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上恰有两个零点，求m 的取值范围．1．（2022·浙江·高考真题）为了得到函数2sin3y x =的图象，只要把函数π2sin 35y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上所有的点（ ） A ．向左平移π5个单位长度B ．向右平移π5个单位长度C ．向左平移π15个单位长度 D ．向右平移π15个单位长度 2．（2022·全国·高考真题（文））将函数π()sin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图像向左平移π2个单位长度后得到曲线C ，若C 关于y 轴对称，则ω的最小值是（ ） A ．16B ．14C ．13D ．123．（2021·全国·高考真题（理））把函数()y f x =图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移3π个单位长度，得到函数sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，则()f x =（ ）A ．7sin 212x π⎛⎫-⎪⎝⎭B ．sin 212x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．7sin 212x π⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．sin 212x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭4．（2020·天津·高考真题）已知函数()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．给出下列结论：①()f x 的最小正周期为2π； ②2f π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的最大值；③把函数sin y x =的图象上所有点向左平移3π个单位长度，可得到函数()y f x =的图象． 其中所有正确结论的序号是（ ） A ．①B ．①③C ．②③D ．①②③5．（2019·天津·高考真题（文））已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕπ=+>><是奇函数，将()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为()g x .若()g x 的最小正周期为2π，且24g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．2-B ．2-C ．2D ．26．（2014·辽宁·高考真题（文））将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度，所得图象对应的函数A ．在区间7[,]1212ππ上单调递减B ．在区间7[,]1212ππ上单调递增C ．在区间[,]63ππ-上单调递减 D ．在区间[,]63ππ-上单调递增 7．（2015·湖南·高考真题（理））将函数()sin 2f x x =的图像向右平移(0)2πϕϕ<<个单位后得到函数()g x 的图像，若对满足12()()2f x g x -=的，，有，则ϕ=A ．512πB ．3π C ．4π D ．6π 8．（2012·天津·高考真题（文））将函数()sin f x x ω=（其中ω>0）的图像向右平移4π个单位长度，所得图像经过点3,04π⎛⎫⎪⎝⎭，则ω的最小值是A ．13B ．1C ．53D ．29．（2018·天津·高考真题（理））将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数 A ．在区间35[,]44ππ上单调递增 B ．在区间3[,]4ππ上单调递减 C ．在区间53[,]42ππ上单调递增 D ．在区间3[,2]2ππ上单调递减 10．（2018·天津·高考真题（文））将函数sin 25y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数A ．在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增B ．在区间,04π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 上单调递减C ．在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减11．（2017·全国·高考真题（理））已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2。
2020届高三文理科数学一轮复习《函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用》专题汇编(教师版).pdf
π 2x＋6
＋
1＋
a，
2π ∵ f(x)的最大值为 2，∴ a＝－ 1，最小正周期 T＝ 2 ＝ π．
π (2)由 (1) 知 f(x)＝ 2sin 2x＋ 6 ，列表：
x π
2x＋6
0
π 5π 2π 11π
6
12
3
12
π
ππ
3π
13 π
6
2
π
2
2π
6
π f(x) ＝2sin 2x＋6
1
2
0
－2
0
1
1．将函数
y＝
2sin2
x＋
π的图像向右平移 6
1个周期后，所得图像对应的函数为 4
(
)
π A ． y＝ 2sin 2x＋ 4
π B ． y＝ 2sin 2x＋3
C．y＝ 2sin
2x－
π 4
D ． y＝ 2sin 2x－π3
解析 ： D，函数
y＝ 2sin
2x＋
π 6
的周期为
π，将函数
y＝ 2sin 2x＋ π6 的图像向右平移
π
5π
π
π
7π
x＋6
－6
－2
0
2
π
6
2π
π
π
5π
x
－π
－3
－6
3
6
π
y
－1
－2
0
2
0
－1
作图如图：
π 9．已知函数 f(x)＝ sin 2x＋ 6 .
(1)请用“五点法”画出函数 f(x)在一个周期上的图像；
(2)求 f (x)在区间
π， 12
高考数学一轮复习 3.4函数y=Asin(wx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用讲解与练习 理 新人教A版
第四节函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用[备考方向要明了]考什么怎么考1.了解函数y＝A sin(ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝A sin(ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响．2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题.1.以选择题的形式考查三角函数的图象变换及由图象确定解析式等，如2012年浙江T4等．2.与三角恒等变换相结合考查y＝A sin(ωx＋φ)的性质及简单应用且以解答题的形式考查，如2012年安徽T16等.[归纳·知识整合]1．y＝A sin(ωx＋φ)的有关概念y＝A sin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时振幅周期频率相位初相A T＝2πωf＝1T＝ω2πωx＋φφ2．用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)一个周期内的简图用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：x －φω－φω＋π2ωπ－φω3π2ω－φω2π－φωωx＋φ0π2π3π22πy＝A sin(ωx＋φ)0 A 0－A 0[探究] 1.用五点法作y＝A sin(ωx＋φ)的图象，应首先确定哪些数据？提示：先确定ωx ＋φ，即先使ωx ＋φ等于0，π2，π，3π2，2π，然后求出x 的值．3．函数y ＝sin x 的图象变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象的步骤 法一 法二[探究] 2.在图象变换时运用“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”两种途径，向左或向右平移的单位个数为什么不一样？提示：可以看出，前者平移|φ|个单位，后者平移⎪⎪⎪⎪⎪⎪φω个单位，原因在于相位变换和周期变换都是针对变量x 而言的，因此在用这样的变换法作图象时一定要注意平移与伸缩的先后顺序，否则会出现错误．[自测·牛刀小试]1．(教材习题改编)为了得到函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π5的图象，只要把函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π5的图象上所有的点( )A ．向右平行移动π5个单位长度B ．向左平行移动π5个单位长度C ．向右平行移动2π5个单位长度D ．向左平行移动2π5个单位长度解析：选C ∵y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π5＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －25π＋π5，∴要得到函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π5的图象，应把函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π5的图象上所有点向右平行移动25π个单位长度．2．(教材习题改编)y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的振幅、频率和初相分别为( ) A ．2，1π，－π4B ．2，12π，－π4 C ．2，1π，－π8D ．2，12π，－π8解析：选A 由振幅、频率和初相的定义可知，函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的振幅为2，周期为π，频率为1π，初相为－π4.3．将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平行移动π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π10 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π5C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π10D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π20 解析：选C 将y ＝sin x 的图象向右平移π10个单位得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π10的图象，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π10的图象． 4．将函数y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ≤π)的图象向左平移π6个单位后，所得的函数恰好是偶函数，则φ的值是________．解析：函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象向左平移π6个单位后，得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋φ，则π3＋φ＝k π＋π2.又0≤φ≤π，故φ＝π6. 答案：π65．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A 、ω、φ为常数，A >0，ω>0)在闭区间[－π，0]上的图象如图所示，则ω＝________.解析：由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象可知：T 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π＝π3， 则T ＝23π.∵T ＝2πω＝23π，∴ω＝3.答案：3函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换[例1] 已知函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， (1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；(3)说明y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到．[自主解答] (1)y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的振幅A ＝2，周期T ＝2π2＝π，初相φ＝π3.(2)令X ＝2x ＋π3，则y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝2sin X .列表，并描点画出图象：x －π6 π12 π3 7π12 5π6 X 0 π2 π 3π2 2π y ＝sin X 01 0 －1 0 y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π32－2(3)法一：把y ＝sin x 的图象上所有的点向左平移π3个单位，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象，再把y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象上的点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，最后把y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象． 法二：将y ＝sin x 的图象上每一点的横坐标x 缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到y＝sin 2x 的图象；再将y ＝sin 2x 的图象向左平移π6个单位，得到y ＝sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象；再将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的2倍，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象．若将本例(3)中“y ＝sin x ”改为“y ＝2cos 2x ”，则如何变换？解：y ＝2cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2――→向右平移π4个单位y ＝2sin 2x ――→向左平移π6个单位y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， 即将y ＝2cos 2x 的图象向右平移π12个单位即可得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象．———————————————————函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象的作法(1)五点法：用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．(2)图象变换法：由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．1．(2012·山东高考)已知向量m ＝(sin x,1)，n ＝3A cos x ，A2cos 2x (A >0)，函数f (x )＝m·n 的最大值为6.(1)求A ；(2)将函数y ＝f (x )的图象向左平移π12个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π24上的值域．解：(1)f (x )＝m·n＝3A sin x cos x ＋A 2cos 2x ＝A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin 2x ＋12cos 2x＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.因为A >0，由题意知A ＝6. (2)由(1)知f (x )＝6sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.将函数y ＝f (x )的图象向左平移π12个单位后得到y ＝6sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π6＝6sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象；再将得到图象上各点横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到y ＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3的图象．因此g (x )＝6sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π3.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π24，所以4x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，7π6，故g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π24上的值域为[－3,6]. 求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式[例2] (1)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A ＞0，ω＞0)的部分图象如图(1)所示，则f (0)＝________.(2)如图(2)所示是函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2图象的一部分，则f (x )的解析式为________．图(1) 图(2)[自主解答] (1)由图可知A ＝ 2.∵T 4＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π.又∵T ＝2πω＝π，∴ω＝2. 又图象过点⎝⎛⎭⎪⎫π3，0，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ＝0. 由图可知23π＋φ＝2k π＋π，k ∈Z .∴φ＝2k π＋π3，k ∈Z .故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，f (0)＝2sin π3＝62. (2)由于最大值和最小值之差等于4，故A ＝2，B ＝1. 把(0,2)代入f (x )，得2＝2sin φ＋1，取φ＝π6.由图，可知0＜ω＜1，令ω(－π)＋φ＝－π2＋2k π，得ω＝23.所以函数的解析式是f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋π6＋1.答案：(1)62 (2)f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋π6＋1 ———————————————————确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0，ω＞0)的解析式的步骤 (1)求A ，b ，确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m2，b ＝M ＋m2.(2)求ω，确定函数的周期T ，则ω＝2πT.(3)求φ，常用方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．具体如下：“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx ＋φ＝π2；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx ＋φ＝3π2；“第五点”为ωx ＋φ＝2π.2．设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π2)的部分图象如图所示，直线x ＝π6是它的一条对称轴，则函数f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3B ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6C ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π3 D ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 解析：选D ∵由题意可知，T 4＝5π12－π6＝π4，∴T ＝π＝2πω，∴ω＝2.再将x ＝π6代入B ，D 检验直线x ＝π6是否是对称轴，得D 选项正确.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与性质的综合应用[例3] 函数f (x )＝6cos2ωx2＋3sin ωx －3(ω＞0)在一个周期内的图象如图所示，A 为图象的最高点，B 、C 为图象与x 轴的交点，且△ABC 为正三角形．(1)求ω的值及函数f (x )的值域；(2)若f (x 0)＝835，且x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，23，求f (x 0＋1)的值．[自主解答] (1)由已知可得，f (x )＝3cos ωx ＋3sin ωx ＝23·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3.又正三角形ABC 的高为23，从而BC ＝4.所以函数f (x )的周期T ＝4×2＝8，即2πω＝8，ω＝π4.函数f (x )的值域为[－23，23]． (2)因为f (x 0)＝835，由(1)有f (x 0)＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3＝835，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3＝45.由x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，23，知πx 04＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2， 所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝35. 故f (x 0＋1)＝23sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 04＋π4＋π3＝23sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3＋π4＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3cos π4＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3sin π4＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫45×22＋35×22＝765.——————————————————— 解决三角函数图象与性质的综合问题的方法认识并理解三角函数的图象与性质是解决此类问题的关键．此类问题往往先用三角恒等变换化简函数解析式，再来研究其性质，因此对三角恒等变换的公式应熟练掌握．3．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R ⎝ ⎛⎭⎪⎫其中A ＞0，ω＞0，－π2＜φ＜π2，其部分图象如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)已知横坐标分别为－1、1、5的三点M 、N 、P 都在函数f (x )的图象上，求sin ∠MNP 的值．解：(1)由图可知，最小正周期T ＝4×2＝8，所以T ＝2πω＝8，ω＝π4.又f (1)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝1，且－π2＜φ＜π2， 所以－π4＜π4＋φ＜3π4，所以π4＋φ＝π2，φ＝π4.所以f (x )＝sin π4(x ＋1)．(2)因为f (－1)＝sin π4(－1＋1)＝0，f (1)＝sin π4(1＋1)＝1，f (5)＝sin π4(5＋1)＝－1，所以M (－1,0)，N (1,1)，P (5，－1)， 所以|MN |＝5，|MP |＝37，|PN |＝20， 从而cos ∠MNP ＝5＋20－3725×20＝－35，由∠MNP ∈(0，π)，得sin ∠MNP ＝1－cos 2∠MNP ＝45.1个区别——两种图象变换的区别由y ＝sin x 的图象变换到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是|φ|ω(ω＞0)个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x 而言，即x 本身加减多少值，而不是依赖于ωx 加减多少值．2个注意——作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象应注意的问题 (1)首先要确定函数的定义域；(2)对于具有周期性的函数，应先求出周期，作图象时只要作出一个周期的图象，就可根据周期性作出整个函数的图象．3种方法——由函数图象求解析式的方法方法一 如果从图象可确定振幅和周期，则可直接确定函数表达式y ＝A sin(ωx ＋φ)中的参数A 和ω，再选取“第一零点”(即五点作图法中的第一个点)的数据代入“ωx ＋φ＝0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得φ.方法二 通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A ，ω，φ.依据是五点法．方法三 运用逆向思维的方法，根据图象变换可以确定相关的参数.答题模板——由三角函数图象确定解析式[典例] (2012·湖南高考)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫x ∈R ，ω>0，0<φ<π2的部分图象如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12的单调递增区间．[快速规范审题]第(1)问1．审条件，挖解题信息观察条件：函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象――――――――――――――――→可知图象与y 轴的交点及两个平衡点(0,1)，⎝⎛⎭⎪⎫5π12，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12，0――――――→可确定周期 T ＝2⎝⎛⎭⎪⎫11π12－5π12＝π.2．审结论，明确解题方向观察所求结论：求函数f (x )的解析式――――――――――――→需要确定A ，ω，φ三个参数应建立关于A ，ω，φ的三个方程．3．建联系，找解题突破口结合条件和求解可知――――――――→由周期确定ω 2πω＝π，即ω＝2―――――――→由平衡点确定φ2×5π12＋φ＝π＋2k π，k ∈Z ，即φ＝π6――――――――――――→初步确定函数解析式 f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 ―――――――――→由点0，1确定A f (0)＝1⇒A sin π6＝1⇒A ＝2 ―――――――――――――――→A ，ω，φ都已求出，解析式确定f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.第(2)问1．审条件，挖解题信息 观察条件：f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.2．审结论，明确解题方向观察所求结论：求函数g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12的单调递增区间―――――――――→化简g x 的解析式g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.3．建联系，找解题突破口联想函数y ＝sin x 的单调性2,2,22k k k zππππ单调递区间为增⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦−−−−−−−−−−→2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2⇒k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z ⇒g (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z . [准确规范答题](1)由题设图象知，周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12－5π12＝π， 所以ω＝2πT＝2.⇨(2分)因为点(5π12，0)在函数图象上，所以A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×5π12＋φ＝0，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋φ＝0.又因为0<φ<π2，所以5π6<5π6＋φ<4π3.从而5π6＋φ＝π，即φ＝π6.⇨(4分)又点(0,1)在函数图象上，所以A sin π6＝1，得A ＝2.⇨(5分)故函数f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.⇨(6分)(2)g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋π6－2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π6 ＝2sin 2x －2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3⇨(7分)＝2sin 2x －2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 2x ＋32cos 2x易忽视φ的范围或点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋0为第二个平衡点而导致解题错误.＝sin 2x －3cos 2x ⇨(8分) ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.⇨(9分) 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .⇨(11分)所以函数g (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z .⇨(12分) [答题模板速成]由图象确定函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式，一般可用以下几步解答：第一步 观察图象根据图象确定五点作图中的第一个平衡点、第二个平衡点的坐标或图象的最高点、最低点⇒第二步 明确方向将“ωx ＋φ”作为一个整体，找到对应的值(通常利用周期求ω，利用图象的某一个点(通常选取平衡点)确定φ)⇒第三步 给出证明列方程组求解(求φ时，往往要利用φ的范围)⇒第四步 写解析式写出所求的函数解析式⇒第五步 反思回顾查看关键点，易错点及答题规范．如本题中在求φ时，要注意⎝⎛⎭⎪⎫5π12，0是“五点作图”中的第二个零点一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)易忽视易将单调区间写成不等式k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z 或漏写k ∈Z 造成结论表述不准确．1．(2012·浙江高考)把函数y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是( )解析：选A 变换后的三角函数为y ＝cos(x ＋1)，结合四个选项可得A 选项正确． 2．设函数f (x )＝cos ωx (ω＞0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于( )A.13 B ．3 C ．6D ．9解析：选C 将f (x )向右平移π3个单位长度得g (x )＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3ω，则－π3ω＝2k π，即ω＝－6k (k ∈Z )．∵ω＞0，∴k ＜0.∴当k ＝－1时，ω有最小值6. 3.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋h (ω>0，0<φ<π2)的图象如图所示，则f (x )＝( )A ．4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4＋2B ．－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π4＋2C ．2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4＋4D ．－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4＋4 解析：选C 由题中的图象可知，A ＝6－22＝2，h ＝4，函数f (x )的周期为4⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝4π，所以ω＝12.点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，6相当于五点作图法的第二个点，所以12×π2＋φ＝π2，所以φ＝π4，根据以上分析结合函数的图象特征可知函数f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4＋4. 4．已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2，y ＝f (x )的部分图象如图，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π24等于( )A ．2＋ 3 B. 3 C.33D ．2－ 3解析：选B ∵由图象可知：T ＝2⎝⎛⎭⎪⎫3π8－π8＝π2，∴ω＝2，∴2×π8＋φ＝k π＋π2.又|φ|＜π2，∴φ＝π4.又f (0)＝1，∴A tan π4＝1，得A ＝1，∴f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π24＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋π4＝tan π3＝ 3. 5．(2013·江西九校联考)已知A ，B ，C ，D 是函数y ＝sin(ωx ＋φ)ω＞0,0＜φ＜π2一个周期内的图象上的四个点，如图所示，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0，B 为y 轴上的点，C 为图象上的最低点，E 为该函数图象的一个对称中心，B 与D 关于点E 对称，CD uuu r 在x 轴上的投影为π12，则ω，φ的值为( )A ．ω＝2，φ＝π3B ．ω＝2，φ＝π6C ．ω＝12，φ＝π3D ．ω＝12，φ＝π6解析：选A 由CD uuu r 在x 轴上的投影为π12，知OF ＝π12，又A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0，所以AF ＝T 4＝π2ω＝π4，所以ω＝2. 同时函数图象可以看做是由y ＝sin x 的图象向左平移而来，故可知φω＝φ2＝π6，即φ＝π3.6．(2013·潍坊模拟)如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置P (x ，y )．若初始位置为P 0⎝⎛⎭⎪⎫32，12，当秒针从P 0(注：此时t ＝0)正常开始走时，那么点P 的纵坐标y 与时间t 的函数关系为( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π30t ＋π6B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π60t －π6C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π30t ＋π6 D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π30t －π3 解析：选C 由题意可得，函数的初相位是π6，排除B 、D.又函数周期是60(秒)且秒针按顺时针旋转，即T ＝2π|ω|＝60，所以|ω|＝π30，即ω＝－π30.二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω＞0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f (x )的取值范围是________．解析：∵f (x )与g (x )的图象的对称轴完全相同，∴f (x )与g (x )的最小正周期相等．∵ω＞0，∴ω＝2，∴f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.∵0≤x ≤π2，∴－π6≤2x －π6≤5π6，∴－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1，∴－32≤3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤3，即f (x )的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，38．已知直线y ＝b (b ＜0)与曲线f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2在y 轴右侧依次的三个交点的横坐标成等比数列，则b 的值是________．解析：设三个横坐标依次为x 1，x 2，x 3，由图及题意有，⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝π，x 2＋x 3＝2π，x 22＝x 1x 3，解得x 2＝2π3，所以b ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＝－12.答案：－129．(2013·苏州模拟)设f (x )＝a sin 2x ＋b cos 2x ，其中a ，b ∈R ，ab ≠0，若f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对一切x ∈R 恒成立，则①f ⎝⎛⎭⎪⎫11π12＝0；②⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π10＜⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5；③f (x )既不是奇函数也不是偶函数；④f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )；⑤存在经过点(a ，b )的直线与函数f (x )的图象不相交．以上结论正确的是________(写出所有正确结论的编号)．解析：f (x )＝a sin 2x ＋b cos 2x ＝a 2＋b 2sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝b a，因为对一切x∈R ，f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6恒成立，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝±1，可得φ＝k π＋π6(k ∈Z )，故f (x )＝±a 2＋b 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12＝±a 2＋b 2·sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×11π12＋π6＝0，所以①正确；⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π10＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2＋b 2sin 4730π＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2＋b 2sin 1730π，⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2＋b 2sin 1730π，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π10＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5，故②错误；③明显正确；④错误；由函数f (x )＝a 2＋b 2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6和f (x )＝－a 2＋b 2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象可知(图略)，不存在经过点(a ，b )的直线与函数f (x )的图象不相交，故⑤错．答案：①③三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分) 10．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的图象与y 轴的交点为(0,1)，它在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x 0,2)和(x 0＋2π，－2)．(1)求函数f (x )的解析式及x 0的值；(2)若锐角θ满足cos θ＝13，求f (4θ)的值．解：(1)∵由题意可得A ＝2，T2＝2π，即T ＝4π，∴2πω＝4π，∴ω＝12.∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋φ.由图象经过点(0,1)得， f (0)＝2sin φ＝1，又|φ|＜π2，∴φ＝π6.故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6.又f (x 0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 0＋π6＝2，∴12x 0＋π6＝2k π＋π2(k ∈Z )，∴x 0＝4k π＋2π3(k ∈Z )，根据图象可得x 0是最小的正数，∴x 0＝2π3.(2)由(1)知，f (4θ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π6＝3sin 2θ＋cos 2θ. ∵θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，cos θ＝13，∴sin θ＝223，∴cos 2θ＝2cos 2θ－1＝－79，sin 2θ＝2sin θcos θ＝429，∴f (4θ)＝3×429－79＝469－79＝46－79.11．已知函数f (x )＝23·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4－sin(x ＋π)．(1)求f (x )的最小正周期；(2)若将f (x )的图象向右平移π6个单位，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0，π]上的最大值和最小值．解：(1)因为f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋sin x ＝3cos x ＋sin x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos x ＋12sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，所以f (x )的最小正周期为2π. (2)∵将f (x )的图象向右平移π6个单位，得到函数g (x )的图象，∴g (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6.∵x ∈[0，π]，∴x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，∴当x ＋π6＝π2，即x ＝π3时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝1，g (x )取得最大值2. 当x ＋π6＝7π6，即x ＝π时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝－12，g (x )取得最小值－1.12．已知函数f (x )＝2a cos 2x ＋b sin x cos x －32，且f (0)＝32，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝12. (1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )的单调递减区间；(3)函数f (x )的图象经过怎样的平移才能使所得图象对应的函数成为奇函数？ 解：(1)∵由f (0)＝32，得2a －32＝32， ∴2a ＝3，则a ＝32.由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝12，得32＋b 2－32＝12，∴b ＝1. ∴f (x )＝3cos 2x ＋sin x cos x －32＝32cos 2x ＋12sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， ∴函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)∵由π2＋2k π≤2x ＋π3≤32π＋2k π(k ∈Z )，得π12＋k π≤x ≤712π＋k π(k ∈Z )， ∴f (x )的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12＋k π，712π＋k π(k ∈Z )．(3)∵f (x )＝sin2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，∴奇函数y ＝sin 2x 的图象左移π6个单位，即得到f (x )的图象．故函数f (x )的图象右移π6个单位后对应的函数成为奇函数．1．为了得到函数y ＝sin x ＋cos x 的图象，只需把y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4的图象上所有的点( )A ．向左平移π4个单位B ．向右平移π4个单位C ．向左平移π2个单位D ．向右平移π2个单位解析：选C ∵y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2－π4.∴y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的图象向左平移π2个单位，可得y ＝sin x ＋cos x的图象．2．函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)(A >0，φ∈R )的部分图象如图所示，那么f (0)＝( )A ．－12B ．－32C ．－1D ．－ 3解析：选C ∵由图可知，A ＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2， ∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝1，∴2π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，∴φ＝－π6＋2k π(k ∈Z )， ∴f (0)＝2sin φ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋2k π＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1.3．设函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω＞0)的周期为π. (1)求它的振幅、初相；(2)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；(3)说明函数f (x )的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到． 解：(1)f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin ωx ＋32cos ωx＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3.又∵T ＝π，∴2πω＝π，即ω＝2.∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∴函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx 的振幅为2，初相为π3.(2)列出下表2x ＋π30 π2 π 32π 2π x－π6π12 π3 7π12 56π y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π32－2描点画出图象如图．21(3)把y ＝sin x 图象上所有的点向左平移π3个单位， 得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象，再把y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，然后把y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象． 4.如图为y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的一段．(1)求其解析式；(2)若将y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象向左平移π6个单位后得y ＝f (x )的图象，求f (x )的对称轴方程．解：(1)由图象知A ＝3，以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0为第一个零点， N ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，0为第二个零点． 列方程组⎩⎪⎨⎪⎧ ω·π3＋φ＝0，ω·5π6＋φ＝π，解之得⎩⎪⎨⎪⎧ ω＝2，φ＝－2π3.故所求解析式为y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2π3. (2)f (x )＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－2π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.令2x －π3＝π2＋k π，k ∈Z ，则x ＝512π＋k π2(k ∈Z )， 故f (x )的对称轴方程为x ＝512π＋k π2(k ∈Z )．。
专题23 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用-2021年新高考数学基础考点一轮复习
专题23 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及应用【考点总结】1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念2.用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：3. 【常用结论】1．两种图象变换的区别由y ＝sin x 的图象变换到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，两种变换的区别：①先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位长度．②先周期变换(伸缩变换)，再相位变换，平移的量是|φ|ω(ω>0)个单位长度．即图象的左右平移变换是针对x 而言的，应是x 本身加减多少，而不是ωx 加减多少． 2．周期与对称性之间的关系(1)正弦曲线或余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是12周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14周期；(2)正切曲线相邻的两对称中心之间的距离是12周期．3．对称轴(对称中心)与函数值的关系在判断对称轴或对称中心时，用以下结论可快速解题：设y ＝f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，g (x )＝A cos(ωx ＋φ)，x ＝x 0是对称轴方程⇔f (x 0)＝±A ，g (x 0)＝±A ；(x 0，0)是对称中心⇔f (x 0)＝0，g (x 0)＝0. 【易错总结】(1)搞错图象平移的单位长度； (2)搞错横坐标伸缩与ω的关系；(3)搞不清f (x )在x ＝π2处取最值；(4)确定不了解析式中φ的值．例1．将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为( ) A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 解析：选D.函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的周期为π，将函数y ＝2sin(2x ＋π6)的图象向右平移14个周期即π4个单位长度，所得函数为y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 故选D.例2．函数y ＝sin x 的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍得到的图象对应的函数解析式是________．解析：根据函数图象变换法则可得． 答案：y ＝sin 12x例3．若函数f (x )＝sin ωx (0<ω<2)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω＝________． 解析：由题意知当x ＝π3时，函数取得最大值，所以有sin ωπ3＝1，所以ωπ3＝π2＋2k π(k ∈Z )，所以ω＝32＋6k (k ∈Z )，又0<ω<2，所以ω＝32.答案：32例4．已知简谐运动f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋φ⎝⎛⎭⎫|φ|<π2的图象经过点(0，1)，则该简谐运动的初相φ为________． 解析：将点(0，1)代入函数表达式可得2sin φ＝1，即sin φ＝12.因为|φ|<π2，所以φ＝π6.答案：π6【考点解析】【考点】一、函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换 例1、已知函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. (1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；(3)说明y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到． 【解】 (1)y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的振幅A ＝2， 周期T ＝2π2＝π，初相φ＝π3.(2)令X ＝2x ＋π3，则y ＝2sin(2x ＋π3)＝2sin X .列表如下：(3)法一：把y ＝sin x 的图象上所有的点向左平移π3个单位长度，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象； 再把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象；最后把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象． 法二：将y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin 2x 的图象；再将y ＝sin 2x 的图象向左平移π6个单位长度，得到y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象； 再将y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变)，即得到y ＝2sin(2x ＋π3)的图象．(1)y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象可用“五点法”作简图得到，可通过变量代换z ＝ωx ＋φ计算五点坐标． (2)由y ＝sin ωx 到y ＝sin(ωx ＋φ)的变换：向左平移φω(ω>0，φ>0)个单位长度而非φ个单位长度．(3)平移前后两个三角函数的名称如果不一致，应先利用诱导公式化为同名函数，ω为负时应先变成正值．【变式】1．函数y ＝sin(2x ＋π6)的图象可以由函数y ＝cos 2x 的图象 ( )A ．向右平移π6个单位长度得到B ．向右平移π3个单位长度得到C ．向左平移π6个单位长度得到D ．向左平移π3个单位长度得到解析：选A.将函数y ＝cos 2x 的图象向右平移π4个单位长度，可得函数y ＝sin 2x 的图象，再将y ＝sin 2x的图象向左平移π12个单位长度，可得函数y ＝sin(2x ＋π6)的图象，综上可得，函数y ＝sin(2x ＋π6)的图象可以由函数y ＝cos 2x 的图象向右平移π6个单位长度得到，故选A.【变式】2．将函数y ＝cos x －sin x 的图象先向右平移φ(φ>0)个单位长度，再将所得的图象上每个点的横坐标变为原来的a 倍，得到y ＝cos 2x ＋sin 2x 的图象，则φ，a 的可能取值为( )A ．φ＝π2，a ＝2B ．φ＝3π8，a ＝2C ．φ＝3π8，a ＝12D ．φ＝π2，a ＝12解析：选D.将函数y ＝cos x －sin x ＝2cos(x ＋π4)的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，可得y ＝2cos(x＋π4－φ)的图象，再将函数图象上每个点的横坐标变为原来的a 倍，得到y ＝2cos(1a x ＋π4－φ)的图象，又y ＝2cos(1a x ＋π4－φ)＝cos 2x ＋sin 2x ＝2cos(2x －π4)，所以1a ＝2，π4－φ＝－π4＋2k π(k ∈Z )，所以a ＝12，又φ>0，所以φ＝π2＋2k π(k ∈N )，结合选项知选D.【变式】3．(2020·福州模拟)若ω>0，函数y ＝cos(ωx ＋π3)的图象向右平移π3个单位长度后与函数y ＝sin ωx的图象重合，则ω的最小值为________．解析：将函数y ＝cos(ωx ＋π3)的图象向右平移π3个单位长度，得y ＝cos(ωx －ωπ3＋π3)的图象．因为所得函数图象与y ＝sin ωx 的图象重合，所以－ωπ3＋π3＝3π2＋2k π(k ∈Z )，解得ω＝－72－6k (k ∈Z )，因为ω>0，所以当k ＝－1时，ω取得最小值52.答案：52【考点】二、求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式例1、 (1)如图，函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)(A >0，|φ|<π2)的图象过点(0，3)，则f (x )的函数解析式为( )A ．f (x )＝2sin(2x －π3)B ．f (x )＝2sin(2x ＋π3)C ．f (x )＝2sin(2x ＋π6)D ．f (x )＝2sin(2x －π6)(2)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0，0<φ<π2)的部分图象如图所示，则f (－π3)＝________.【解析】 (1)由题意知，A ＝2，函数f (x )的图象过点(0，3)，所以f (0)＝2sin φ＝3，由|φ|<π2，得φ＝π3，所以f (x )＝2sin(2x ＋π3)．故选B. (2)由函数的图象可得A ＝2，14×2πω＝7π12－π3，可得ω＝2，则2×π3＋φ＝π＋2k π(k ∈Z )，又0<φ<π2，所以φ＝π3，故f (x )＝2sin(2x ＋π3)，所以f (－π3)＝－62.【答案】 (1)B (2)－62确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)的解析式的步骤 (1)求A ，B ，确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m 2，B ＝M ＋m2. (2)求ω，确定函数的周期T ，则ω＝2πT .(3)求φ，常用方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间还是在下降区间)或把图象的最高点或最低点代入；②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．具体如下：“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx ＋φ＝π2；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx ＋φ＝3π2；“第五点”(即图象上升时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝2π.【变式】1．函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的部分图象是( )解析：选A.由y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6可知，函数的最大值为2，故排除D ；又因为函数图象过点⎝⎛⎭⎫π6，0，故排除B ；又因为函数图象过点⎝⎛⎭⎫－π12，2，故排除C.故选A. 【变式】2．(2020·安徽黄山毕业班第二次质量检测)已知f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图，则f (x )图象的一个对称中心是( )A.⎝⎛⎭⎫5π6，－1 B ．⎝⎛⎭⎫π12，0 C.⎝⎛⎭⎫π12，－1D ．⎝⎛⎭⎫5π6，0解析：选A.由题图得⎝⎛⎭⎫π3，－1为f (x )图象的一个对称中心，T 4＝π3－π12，所以T ＝π，从而f (x )图象的对称中心为⎝⎛⎭⎫π3＋k π2，－1(k ∈Z )，当k ＝1时，为⎝⎛⎭⎫5π6，－1，选A. 【考点】三、三角函数图象与性质的综合应用 角度一 三角函数图象与性质的综合问题例1、(2020·河南郑州三测)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，要使f (a ＋x )－f (a －x )＝0成立，则a 的最小正值为( )A.π12B ．π6 C.π4D ．π3【解析】 由函数图象可得，函数的最大值为2，即A ＝2.因为函数图象过点(0，1)，即f (0)＝1，所以sin φ＝12，又|φ|<π2，所以φ＝π6.故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6. 因为函数图象过点⎝⎛⎭⎫11π12，0，所以f ⎝⎛⎭⎫11π12＝0，即2sin ⎝⎛⎭⎫ω×11π12＋π6＝0， 又x ＝11π12在函数f (x )的单调递增区间内，所以令11π12ω＋π6＝2k π(k ∈Z )，解得ω＝24k －211(k ∈Z )．由函数图象可得最小正周期T >11π12，即2πω>11π12，解得ω<2411.又ω>0，故k ＝1，从而ω＝2211＝2. 所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 由f (a ＋x )－f (a －x )＝0，得f (a ＋x )＝f (a －x )，所以该函数图象的对称轴为直线x ＝a . 令2a ＋π6＝n π＋π2(n ∈Z )，解得a ＝n 2π＋π6(n ∈Z )．要求a 的最小正值，只需n ＝0，得a ＝π6，故选B.【答案】 B求解该题的难点是ω的确定，需要根据函数的周期与函数的零点所在位置列出条件，x ＝11π12在函数的单调递增区间内，如果忽视这个隐含条件，就会得到11π12ω＋π6＝k π(k ∈Z )，从而产生增解，无法得到正确的选项．故根据函数图象确定函数解析式时，要准确定位函数图象的特征性质． 角度二 函数零点(方程根)问题例2、(2020·湖南株洲二模)若函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4－a ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，9π8恰有三个不同的零点x 1，x 2，x 3，则x 1＋x 2＋x 3的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫5π4，11π8 B ．⎣⎡⎭⎫9π4，7π2 C.⎝⎛⎦⎤5π4，11π8D ．⎝⎛⎦⎤9π4，7π2【解析】 由题意得方程cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4＝a ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，9π8有三个不同的实数根． 画出函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，9π8的大致图象，如图所示．由图象得，当22≤a <1时，方程cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4＝a 恰好有三个不同的实数根． 令2x －π4＝k π，k ∈Z ，解得x ＝π8＋k π2，k ∈Z .当k ＝0时，x ＝π8.不妨设x 1<x 2<x 3，由题意得点(x 1，0)，(x 2，0)关于直线x ＝π8对称，所以x 1＋x 2＝π4.又结合图象可得π≤x 3<9π8，所以5π4≤x 1＋x 2＋x 3<11π8.故x 1＋x 2＋x 3的取值范围为⎣⎡⎭⎫5π4，11π8.故选A. 【答案】 A巧用图象解决三角函数相关的方程或不等式问题解决与三角函数相关的方程或不等式问题，最基本的方法就是作出对应函数的图象，然后结合函数图象的特征确定方程的解或不等式的解集．故准确作出对应函数在指定区间上的图象是解决问题的关键． 【变式】1．(2020·山东烟台3月模拟)将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的图象向右平移π6个单位长度后，所得图象关于y 轴对称，且f ⎝⎛⎭⎫πω＝－12，则当ω取最小值时，函数f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 B ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6C ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6D ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π6 解析：选C.将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的图象向右平移π6个单位长度后，可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －ωπ6＋φ的图象． 因为所得函数图象关于y 轴对称，所以－ωπ6＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，解得ω＝－6k －3＋6φπ，k ∈Z .又f ⎝⎛⎭⎫πω＝－12＝sin ()π＋φ＝－sin φ，即sin φ＝12，又|φ|<π2，所以φ＝π6.所以ω＝－6k －2，又ω>0，所以取k ＝－1，可得ωmin ＝4，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6.故选C.【变式】2．(2020·新疆乌鲁木齐二检)若关于x 的方程(sin x ＋cos x )2＋cos 2x ＝m 在区间(]0，π上有两个不同的实数根x 1，x 2，且|x 1－x 2|≥π4，则实数m 的取值范围是( )A ．[0，2)B ．[0，2]C ．[1，2＋1]D ．[1，2＋1)解析：选A.关于x 的方程(sin x ＋cos x )2＋cos 2x ＝m 可化为sin 2x ＋cos 2x ＝m －1，即sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝m －12.易知sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝m －12在区间(0，π]上有两个不同的实数根x 1，x 2，且|x 1－x 2|≥π4.令2x ＋π4＝t ，即sin t ＝m －12在区间⎝⎛⎦⎤π4，9π4上有两个不同的实数根t 1，t 2. 作出y ＝sin t ⎝⎛⎭⎫π4<t ≤9π4的图象，如图所示， 由|x 1－x 2|≥π4得|t 1－t 2|≥π2，所以－22≤m －12<22， 故0≤m <2，故选A.。
专题25 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用-2025年高考数学一轮复习讲义(新高考专用)解析
专题25函数y＝Asin(w＋)的图象及应用（新高考专用）【知识梳理】 (2)【真题自测】 (3)【考点突破】 (6)【考点1】函数y＝Asin(w＋)的图象及变换 (6)【考点2】由图象确定函数y＝Asin（w＋）的解析式 (10)【考点3】三角函数图象、性质的综合应用 (17)【分层检测】 (23)【基础篇】 (23)【能力篇】 (31)【培优篇】 (35)考试要求：1.了解函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的物理意义；能画出y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象.2.了解参数A ，ω，φ对函数图象变化的影响.3.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.1.用“五点法”画y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)一个周期内的简图时，要找五个关键点x －φω－φω＋π2ωπ－φω3π2ω－φω2π－φωωx ＋φ0π2π3π22πy ＝A sin (ωx ＋φ)A－A2.函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象的两种途径3.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)，x ∈[0，＋∞)表示一个振动量时振幅周期频率相位初相AT ＝2πωf ＝1T ＝ω2πωx ＋φφ1.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 图象平移的规律：“左加右减，上加下减”.2.由y ＝sin ωx 到y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移φω个单位长度而非φ个单位长度.一、单选题1．（2023·全国·高考真题）函数()y f x =的图象由函数πcos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移π6个单位长度得到，则()y f x =的图象与直线1122y x =-的交点个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．42．（2022·天津·高考真题）已知1()sin 22f x x =，关于该函数有下列四个说法：①()f x 的最小正周期为2π；②()f x 在ππ[,44-上单调递增；③当ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()f x 的取值范围为⎡⎢⎣⎦；④()f x 的图象可由1πg()sin(2)24x x =+的图象向左平移π8个单位长度得到．以上四个说法中，正确的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．43．（2022·浙江·高考真题）为了得到函数2sin 3y x =的图象，只要把函数π2sin 35y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上所有的点（）A ．向左平移π5个单位长度B ．向右平移π5个单位长度C ．向左平移π15个单位长度D ．向右平移π15个单位长度4．（2022·全国·高考真题）将函数π()sin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图像向左平移π2个单位长度后得到曲线C ，若C 关于y 轴对称，则ω的最小值是（）A ．16B ．14C ．13D ．125．（2021·全国·高考真题）把函数()y f x =图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移3π个单位长度，得到函数sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，则()f x =（）A ．7sin 212x π⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．sin 212x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．7sin 212x π⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．sin 212x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭参考答案：1．C【分析】先利用三角函数平移的性质求得()sin 2f x x =-，再作出()f x 与1122y x =-的部分大致图像，考虑特殊点处()f x 与1122y x =-的大小关系，从而精确图像，由此得解.【详解】因为πcos 26y x ⎛⎫=+ ⎝⎭向左平移π6个单位所得函数为πππcos 2cos 2sin 2662y x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以()sin 2f x x =-，而1122y x =-显然过10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭与()1,0两点，作出()f x 与1122y x =-的部分大致图像如下，考虑3π3π7π2,2,2222x x x =-==，即3π3π7π,,444x x x =-==处()f x 与1122y x =-的大小关系，当3π4x =-时，3π3πsin 142f ⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，13π1π4284312y +⎛⎫=⨯--=-<- ⎪⎝⎭；当3π4x =时，3π3πsin 142f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，13π13π412428y -=⨯-=<；当7π4x =时，7π7πsin 142f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，17π17π412428y -=⨯-=>；所以由图可知，()f x 与1122y x =-的交点个数为3.故选：C.2．A【分析】根据三角函数的图象与性质，以及变换法则即可判断各说法的真假．【详解】因为1()sin 22f x x =，所以()f x 的最小正周期为2ππ2T ==，①不正确；令ππ2,22t x ⎡⎤=∈-⎢⎣⎦，而1sin 2y t =在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上递增，所以()f x 在ππ[,]44-上单调递增，②正确；因为π2π233t x ⎡⎤=∈-⎢⎣⎦，sin ,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以()1,42f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，③不正确；由于1π1πg()sin(2)sin22428x x x ⎡⎤⎛⎫=+=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以()f x 的图象可由1πg()sin(2)24x x =+的图象向右平移π8个单位长度得到，④不正确．故选：A ．3．D【分析】根据三角函数图象的变换法则即可求出．【详解】因为ππ2sin 32sin 3155y x x ⎡⎤⎛⎫==-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以把函数π2sin 35y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上的所有点向右平移π15个单位长度即可得到函数2sin 3y x =的图象．故选：D.4．C【分析】先由平移求出曲线C 的解析式，再结合对称性得,232k k ωππππ+=+∈Z ，即可求出ω的最小值.【详解】由题意知：曲线C 为sin sin()2323y x x ππωππωω⎡⎤⎛⎫=++=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，又C 关于y 轴对称，则,232k k ωππππ+=+∈Z ，解得12,3k k ω=+∈Z ，又0ω>，故当0k =时，ω的最小值为13.故选：C.5．B【分析】解法一：从函数()y f x =的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到23y f x π⎡⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即得2sin 34f x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再利用换元思想求得()y f x =的解析表达式；解法二：从函数sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到()y f x =的解析表达式.【详解】解法一：函数()y f x =图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到(2)y f x =的图象，再把所得曲线向右平移3π个单位长度，应当得到23y f x π⎡⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图象，根据已知得到了函数sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，所以2sin 34f x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，令23t x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,则,234212t t x x πππ=+-=+,所以()sin 212t f t π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,所以()sin 212x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；解法二：由已知的函数sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭逆向变换，第一步：向左平移3π个单位长度，得到sin sin 3412y x x πππ⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到sin 212x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，即为()y f x =的图象，所以()sin 212x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.故选：B.【考点1】函数y ＝Asin(ωx ＋)的图象及变换一、单选题1．（23-24高一上·天津宁河·期末）为了得到函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需把函数πsin 3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上所有的点的（）A ．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B ．横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变C ．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变D ．纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标不变2．（2024·四川·模拟预测）已知函数()()sin (0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<的最小正周期为π，且()y f x =的图象关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，给出下列三个结论：①()02f =；②函数()f x 在π0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；③将cos2y x =的图象向左平移π12个单位可得到()f x 的图象．其中所有正确结论的序号是（）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③二、多选题3．（2024·湖南长沙·模拟预测）已知()22ππsin cos (0)33f x x x ωωω⎛⎫⎛⎫=+-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，下列判断正确的是（）A ．若()()120f x f x ==，且12minπ2x x -=，则2ω=B ．1ω=时，直线π6x =为()f x 图象的一条对称轴C ．1ω=时，将()f x 的图象向左平移π3个单位长度后得到的图象关于原点对称D ．若()f x 在[]0,2π上恰有9个零点，则ω的取值范围为5359,2424⎡⎫⎪⎢⎣⎭4．（2024·云南·一模）为得到函数π6sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需要将函数6sin2y x =的图象（）A ．向左平行移动π6个单位B ．向左平行移动π3个单位C ．向右平行移动5π6个单位D ．向右平行移动11π6个单位三、填空题5．（2007·安徽·高考真题）函数f (x )＝3sin (2)3x π-的图象为C ，则以下结论中正确的是．(写出所有正确结论的编号)①图象C 关于直线x ＝12π对称；②图象C 关于点2(,0)3π对称；③函数f (x )在区间5(,)1212ππ-内是增函数；④由y ＝3sin2x 的图象向右平移3π个单位长度可以得到图象C ．6．（2024·浙江·二模）将函数()cos 2g x x =的图象上的每个点横坐标不变，纵坐标扩大为原来的2倍，再将所得图象向右平移π4得到函数()y h x =的图象，若函数()y g x =与函数()1y h x =+图象交于点()(),g αα，其中π02α-<<，则sin α的值为.参考答案：1．B【分析】利用三角函数的伸缩变换可以得到答案.【详解】因为把函数πsin 3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，就能得到函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象.故选：B 2．D【分析】由题意先求出()2πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再由三角函数的性质对选项一一判断即可得出答案.【详解】因为函数()f x 的周期为π，所以2ω=，又图象对称中心为π,06⎛⎫⎪⎝⎭，即πsin 206ϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，则ππ,3k k ϕ+=∈Z ，有ππ,3k k ϕ=-∈Z ，由0πϕ<<，所以2π1,3k ϕ==，故()2πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，此时()2π0sin 32f ==，结论①正确；当π03x <<时，2π2π4π2333x <+<，函数()f x 单调递减，结论②正确；将cos2y x =的图象向左平移π12个单位可得图象对应的函数为πcos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为2ππππsin 2sin 2cos 23626x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以结论③正确．故选：D.3．BD【分析】利用二倍角公式化简()f x ，利用余弦函数的图象和性质依次判断选项即可.【详解】()22ππ2πcos sin cos 2,0333f x x x x ωωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+=-+> ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，对于A ，根据条件，可得π2π,π,1222T T ωω=∴==∴=，故A 错误；对于B ，当1ω=时，()2πππ2πcos 2,cos cosπ13633f x x f⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+∴=-+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以直线π6x =为()f x 的一条对称轴，故B 正确；对于C ，当1ω=时，()2πcos 23f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，将()f x 向左平移π3个单位长度后可得π2ππcos 2cos 2333y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，为非奇非偶函数，故C 错误；对于D ，由题意[]0,2πx ∈，则2π2π2π24π333x ωω≤+≤+，因为()f x 在[]0,2π上恰有9个零，所以19π2π21π4π232ω≤+<，解得53592424ω≤<，故D 正确.故选：BD.4．ACD【分析】根据已知条件，逐项分析各个选项，利用诱导公式化简函数解析式即可判断.【详解】A 选项，向左平行移动π6个单位，有ππ6sin 26sin 263y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，A 正确；B 选项，向左平行移动π3个单位，有π2π6sin 26sin 233y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，B 错误；C 选项，向右平行移动5π6个单位，有5π5π6sin 26sin 263y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，5πππ6sin 26sin 22π6sin 2333y x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，C 正确；D 选项，向右平行移动11π6个单位，有11π11π6sin 26sin 263y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，11πππ6sin 26sin24π6sin 2333y x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，D 正确；故选：ACD 5．②③【分析】对于①：直接求出即可验证；对于②：用代入法进行判断；对于③：直接求出增区间即可；对于④：利用相位变换即可判断.【详解】因为f (x )＝3sin (2)3x π-对于①：由()232x k k Z πππ-=+∈得：()5122k x k Z ππ=+∈，所以f (x )＝3sin (2)3x π-的对称轴方程为：()5122k x k Z ππ=+∈，令512212k x πππ=+=，解得：23k Z =-∉，故①错误；对于②：因为3sin 2022333f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯=⎝-⎪⎪⎭⎝⎭，所以图象C 关于点2(,0)3π对称；故②正确；对于③：令()222232k x k k Z πππππ-+≤-≤∈，解得：()51212k x k k Z ππππ-+≤≤∈，所以f (x )的递增区间为()5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，当k =0时，5(,)1212ππ-是f (x )的一个递增区间，故③正确；对于④：y ＝3sin2x 的图象向右平移3π个单位长度可以得到23sin23sin 23sin 2333y x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-≠- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝，故④错误.故答案为：②③6．/【分析】先利用伸缩变换和平移变换得到()h x ，再根据题意，由()()1h g αα+=求解.【详解】解：由题意得：()2sin 2h x x =，因为函数()y g x =与函数()1y h x =+图象交于点()(),g αα，所以2sin 21cos 2αα+=，即22224sin cos sin cos cos sin αααααα++=-，整理得()2sin 2cos sin 0ααα+=，因为π02α-<<，所以2cos sin 0αα+=，又因为22sin cos 1αα+=，所以sin 5α=-，故答案为：5-反思提升：作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象常用如下两种方法：(1)五点法作图，用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象；(2)图象的变换法，由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.【考点2】由图象确定函数y ＝Asin （ωx ＋）的解析式一、单选题1．（2024·陕西商洛·模拟预测）将函数()f x 的图象的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），然后再向左平移π12个单位长度，得到函数()()πsin 0,0,2g x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则函数()f x 的解析式为（）A ．()π3sin 42f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()π3sin 46f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．()π3sin 6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．()π3sin 2f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）如图所示的曲线为函数()()cos 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=->>< ⎪⎝⎭的部分图象，将()y f x =图象上所有点的横坐标伸长到原来的32倍，再将所得曲线向左平移8π个单位长度，得到函数()y g x =的图像，则()g x 的解析式为（）A ．()92cos 28x g x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()2cos 28g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()2sin2g x x=D ．()2cos2g x x=二、多选题3．（2024·浙江金华·三模）已知函数()πsin 2cos cos 2sin 0,02f x x x ωϕωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则（）A ．π6ϕ=B ．2ω=C ．π6f x ⎛⎫+⎪⎝⎭为偶函数D ．()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最小值为12-4．（2024·广东汕头·二模）如图，函数()()π22f x x ϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的部分图象与坐标轴分别交于点D 、E 、F ，且DEF 的面积为π4，则（）A ．点D 的纵坐标为1B ．()f x 在ππ,66⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增C ．点5π,012⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心D ．()f x 的图象可由y x =的图象上各点的横坐标变为原来的12（纵坐标不变），再将图象向左平移π6个单位得到三、填空题5．（2024·全国·模拟预测）已知函数()()()sin 0,0πf x x ωϕωϕ=+><<的部分图象如图所示，将()f x 图象上所有点的横坐标缩小为原来的()20m m>，纵坐标不变，得到()g x 的图象，若()g x 在区间()0,π上恰有两个极大值点，则实数m 的取值范围是．6．（2023·广西·模拟预测）已知函数()()2cos f x x ωϕ=+（0ω>，π2ϕ<）的部分图象如图所示．将函数()f x 图象上所有的点向左平移π6个单位长度得到函数()g x 的图象，则π3g ⎛⎫⎪⎝⎭的值为．参考答案：1．B【分析】由图象可得最小正周期，可求ω，A ，点π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭的坐标代入函数()y g x =的解析式，可求解析式，进而利用图象变换可求函数()f x 的解析式.【详解】由图像可得3A =，函数()y g x =的最小正周期为5πππ66T ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，所以2π2T ω==，将点π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭的坐标代入函数()y g x =的解析式，且函数()y g x =在π6x =-附近递增，所以πsin 206ϕ⎡⎤⎛⎫⨯-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.则()π2π3k k ϕ-=∈Z ，得()π2π3k k ϕ=+∈Z .因为ππ22ϕ-<<，所以当0k =时，π3ϕ=，因此()π3sin 23g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.函数()g x 的图象向右平移π12个单位长度，然后横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数()f x 的解析式为()πππ3sin 223sin 41236f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选：B.2．D【分析】结合图象，以及周期公式，求出()f x ，再结合平移伸缩的法则即可求解.【详解】由图象可知π2π5π632,212A +==，则()f x 的一个最低点为5π,212⎛⎫- ⎪⎝⎭，()f x 的最小正周期为2π3T =，则2π3Tω==，5π5π2cos 321212f ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()5ππ2πZ 4k k ϕ-=+∈，所以()π2πZ 4k k ϕ=-∈，又因为π2ϕ＜，所以π4ϕ=，所以()π2cos 34f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，将()y f x =图象上所有点的横坐标伸长到原来的32倍，得π2cos 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，再将所得曲线向左平移8π个单位长度，得ππ2cos 22cos 284y x x ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故()2cos2g x x =，故选：D.3．ACD【分析】先由正弦展开式，五点法结合图象求出()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，可得A 正确，B 错误；由诱导公式可得C 正确；整体代入由正弦函数的值域可得D 正确.【详解】由题意得()()sin 2f x ωϕ=+，由图象可得()110sin 22f ϕ=⇒=，又π02ϕ<<，所以π6ϕ=，由五点法可得4ππ3π1362ωω⨯+=⇒=，所以()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.A ：由以上解析可得π6ϕ=，故A 正确；B ：由以上解析可得1ω=，故B 错误；C ：πππsin 2cos 2666f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故C 正确；D ：当πππ7π0,2,2666x x ⎡⎤⎡⎤∈⇒+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦时，π1sin 2,162x ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以最小值为12-，故D 正确；故选：ACD.4．ABC【分析】首先根据周期，以及条件求函数的解析式，再根据函数的性质判断BC ，以及根据函数图象变换规律判断D.【详解】对于A ，由周期可知，π2EF =，所以1ππ244DEF S EF OD OD =⨯⨯=⨯= ，则1OD =，即点D 的纵坐标为1，故A 正确；即()01f ϕ==，且π2ϕ<，所以π6ϕ=，即()π26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于B ，当ππ,66x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，πππππ2,,66222x ⎛⎫⎛⎫+∈-⊆- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 在ππ,66⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，故B 正确；对于C ，5ππ012f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以点5π,012⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心，故C 正确；对于D ，将y x =的图象上各点的横坐标变为原来的12（纵坐标不变），得y x =，再将图象向左平移6个单位得()π23y x f x ⎛⎫=+≠ ⎪⎝⎭，故D 错误.故选：ABC 5．2549,1212⎛⎤⎥⎝⎦【分析】结合图象求得()f x 的最小正周期，即可求得2ω=，然后结合图象上的点的坐标及0πϕ<<可求得5π12ϕ=，得到()f x 的解析式，进而利用三角函数图象的变换法则得到()g x 的解析式，最后利用正弦函数的图象求得m 的取值范围．【详解】设()f x 的最小正周期为T ，则由图象知113π7πππ424244T T -=⇒==，所以2π2Tω==，则()()sin 2f x x ϕ=+，由()f x 在13π24x =处取得最小值，可得13π3π22π242k ϕ⨯+=+，Z k ∈，得5π2π12k ϕ=+，Z k ∈．因为0πϕ<<，所以5π12ϕ=，所以()5πsin 212f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（或由题意可得7ππ2π2413π3π2π242k k ωϕωϕ⎧⨯+=+⎪⎪⎨⎪⨯+=+⎪⎩，k ∈Z ，亦可得()5πsin 212f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭）()5πsin 12g x mx ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由()0,πx ∈，得5π5π5π,π121212mx m ⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，所以由题意得5π5π9ππ2122m <+≤，解得25491212m <≤，即实数m 的取值范围是2549,1212⎛⎤⎥⎝⎦．故答案为：2549,1212⎛⎤⎥⎝⎦.6．1【分析】根据图象可知半个周期，求得ω，代入点的坐标结合已知可求得π3ϕ=-，再利用图象平移即可得出()g x 的解析式，进而求出π3g ⎛⎫⎪⎝⎭.【详解】由图象可知()f x 的最小正周期为2πππ2312ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，解得4ω=，代入π,212⎛⎫ ⎪⎝⎭可得πcos 13ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得()π2πZ 3k k ϕ=-+∈，又π2ϕ<，所以π3ϕ=-，故()π2cos 43f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，左移π6个单位长度得()πππ2cos 42cos 4633g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故π4ππ2cos 1333g ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．故答案为：1反思提升：由f （x ）＝A sin （ωx ＋φ）（A ＞0，ω＞0）的一段图象求其解析式时，A 比较容易由图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：（1）如果图象明确指出了周期T 的大小和“零点”坐标，那么由ω＝2πT即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升（或下降）的零点的横坐标x 0，则令ωx 0＋φ＝0（ωx 0＋φ＝π）即可求出φ.（2）代入点的坐标.利用一些已知点（最高点、最低点或零点）坐标代入解析式.再结合图形解出ω和φ，若对A ，ω的符号或φ的范围有所需求，可用诱导公式变换使其符合要求.【考点3】三角函数图象、性质的综合应用一、单选题1．（2024·山东泰安·二模）已知函数()πsin 4f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，将函数()f x 的图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标变为原来的2倍，得到函数()g x 的图象，则下列结论正确的是（）A ．()π2sin 24x g x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()g x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增C ．()g x 的图象关于点π,08⎛⎫⎪⎝⎭中心对称D ．()g x 在π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为⎡⎣2．（2024·浙江丽水·二模）将函数()cos2f x x =的图象向右平移π02ϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位后得到函数()g x 的图象，若对满足()()122f x g x -=的12,x x ，有12minπ3x x -=，则ϕ=（）A ．π6B ．π4C ．π3D ．5π12二、多选题3．（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数()()()sin 0f x A x ωϕω=+>是偶函数，将()y f x =的图象向左平移π6个单位长度，再将图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到()y g x =的图象．若曲线()y g x =的两个相邻对称中心之间的距离为2π，则（）A ．2ω=B ．()g x 的图象关于直线π3x =-对称C ．()g x 的图象关于点2π,03⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．若()2f π=-，则()g x 在区间[]0,π4．（2023·广东佛山·模拟预测）已知函数()sin cos ()f x a x x x =-∈R 的图象关于π3x =对称，则（）A ．()f x 的最大值为2B ．π3f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是偶函数C ．()f x 在2,33ππ⎡⎤-⎢⎣⎦上单调递增D ．把()f x 的图象向左平移π6个单位长度，得到的图象关于点3π,04⎛⎫⎪⎝⎭对称三、填空题5．（2022·四川广安·二模）函数()sin 2y x ϕ=+（π2ϕ<）的图象向右平移π6后所得函数图象关于y 轴对称，则ϕ=．6．（2021·陕西西安·模拟预测）将函数()sin 221f x x x =+的图象向右平移6π个单位长度后得到函数()g x 的图象，设()()h x g x =，下列结论正确的是.①函数()h x 值域为[]0,3；②函数()h x 对称轴为()24k x k Z ππ=+∈；③函数()h x 与12y =在[]0,2π内交点的横坐标之和是10π；④函数()h x 在311,412ππ⎡⎤⎢⎣⎦是增加的.参考答案：1．C【分析】根据三角函数图象的伸缩变换可得π()2sin(2)4g x x =-，结合正弦函数的图象与性质，依次判断选项即可.【详解】A ：将()f x 的图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标变为原来的2倍，得到函数π()2sin(2)4g x x =-，故A 错误；B ：由选项A 可知π()2sin(2)4g x x =-，由π02x <<，得π3π2444πx -<-<，所以函数()g x 在ππ(,)42-上单调递增，在π3π(,)24上单调递减，故B 错误；C ：由选项A 可知π()2sin(2)4g x x =-，则πππ(2sin(22sin 00884g =⨯-==，所以函数()g x 图象关于点π(,0)8中心对称，故C 正确；D ：由选项A 可知π()2sin(2)4g x x =-，由π3π44x ≤≤，得ππ5π2444x ≤-≤，所以πsin(214x -≤，则()2g x ≤≤，即()g x的值域为[2]，故D 错误.故选：C 2．A【分析】根据函数图象的平移可得()cos(22)g x x ϕ=-，利用三角函数的最值，求出自变量1x ，2x 的值，然后判断选项即可，【详解】因函数()cos 2f x x =的最小正周期为π，将()f x 的图象向右平移π02ϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位后得到函数()cos(22)g x x ϕ=-的图象，若对满足12|()()|2f x g x -=的可知，两个函数的最大值与最小值的差为2，有12minπ3x x -=，不妨10x =，则2π3x =±，即()g x 在2π3x =±取得最小值，当2π3x =时，πcos(22)13ϕ⨯-=-，此时2π2π2π3k ϕ-=+，6ππk ϕ=--，Z k ∈，不合题意02πϕ<<，当2π3x =-时，2πcos(2)13ϕ--=-，此时2π2π2π3k ϕ--=+，ππ6k ϕ=-，Z k ∈，当0k =，π6ϕ=满足题意，故选：A ，3．BC【分析】首先利用三角函数的性质求出()f x 和()g x 的关系，进一步利用三角函数的性质求出结果.【详解】由于函数()()()sin 0f x A x ωϕω=+>是偶函数，所以ππ+2k ϕ=()k ∈Z ，由于将()y f x =的图象向左平移π6个单位长度，再将图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到()y g x =的图象，则()1πsin 26g x A x ωωϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于A ，因为曲线()y g x =的两个相邻对称中心之间的距离为2π，故2π4π12T ω==，解得1ω=，故A 不正确；所以函数()πsin π2f x A x k ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则()cos f x A x =或()cos f x A x =-，()1ππsin π262g x A x k ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，则()1πcos 26g x A x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭或()1πcos 26g x A x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，对于B ，令1ππ26x k +=()k ∈Z ，解得π2π3x k =-，所以当0k =时，()g x 的图象关于直线π3x =-对称，故B 正确；对于C,令1πππ+262x k +=()k ∈Z ，解得2π2π+3x k =，所以当0k =时，所以()g x 的图象关于点2π,03⎛⎫⎪⎝⎭对称，故C 正确；对于D ，当()π2f =-时，2A =-或2A =，所以()1πcos 26g x A x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭或()1πcos 26g x A x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，当()1π2cos 26g x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭时，当[]0,πx ∈时，1ππ2π,2663x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以()g x 在[]0,π上单调递增，故函数的最大值为(π)1g =；当()1π2cos 26g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭时，当[]0,πx ∈时，1ππ2π,2663x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以()g x 在[]0,π上单调递减，故函数的最大值为(0)g =，故D 错误；故选：BC.4．AB【分析】依题意可求出a =π()2sin(6f x x =-+，结合函数的图象性质逐一判断即可.【详解】因为函数()sin cos ()f x a x x x =-∈R 的图象关于π3x =对称，所以πππ1()sin cos 33322f a a =--=a =所以π()cos 2sin()6f x x x x =-=-+，其最大值为2，故A 正确；令ππππ()()2sin()2sin()2cos 3362f xg x x x x +==-++=-+=-，()g x 定义域为R ，()2cos()2cos ()g x x x g x -=--=-=，所以()g x 即π3f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是偶函数，故B 正确；2,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，π,622x ππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，π2sin()6y x =+在2,33ππ⎡⎤-⎢⎣⎦单调递增，π()2sin(6f x x =-+在2,33ππ⎡⎤-⎢⎣⎦单调递减，故C 错误；把()f x 的图象向左平移π6个单位长度，得到函数πππ()2sin[()]2sin()663h x x x =-++=-+的图象，因为3π3ππππ()2sin()2sin(π)2sin 04431212h =-+=-+=≠，所以()h x 的图象不关于点3π,04⎛⎫⎪⎝⎭对称，故D 错误.故选：AB 5．π6-【分析】根据函数的平移变换及函数的奇偶性即可求解.【详解】由()sin 2y x ϕ=+的图象向右平移π6后，可得ππ()sin 2sin 263f x x x ϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，因为π()sin 23f x x ϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象关于y 轴对称，所以πππ,Z 32k k ϕ-+=+∈,解得5ππ,Z6k k ϕ=+∈因为π2ϕ<，解得ππ22ϕ-<<，当1k =-时，π6ϕ=-.故答案为：π6-.6．①②③【分析】由已知得()f x 2sin 213x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，根据平移规律可得()2sin 21g x x =+，由[]sin 21,1x ∈-得()2sin 21h x x =+的值域可判断①；由()g x 的对称轴为()24k x k Z ππ=+∈可判断②；画出函数()h x 与12y =在[]0,2π的图象可判断③；由图象可判断④.【详解】由()1sin 2cos 212sin 2cos 2122f x x x x x ⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪⎝⎭12sin 2cos 212sin 21223x x x π⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()f x 的图象向右平移6π个单位长度后得到函数()g x 的图象，所以()2sin 212sin 2163x x g x ππ⎡⎤⎛⎫=-++=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，当x R ∈时，[]sin 21,1x ∈-，所以[]2sin 211,3x +∈-，所以()[]()2sin 210,3h x g x x ==+∈，故①正确；()g x 的对称轴为()22x k k Z ππ=+∈即为()24k x k Z ππ=+∈，函数()h x 对称轴为()24k x k Z ππ=+∈，故②正确；令12sin 212x +=[]()0,2x π∈得7111923,,,12121212x x x x ππππ====，如图函数()h x 与12y =在[]0,2π内交点共有8个，前4个是关于34x π=对称的，后4个是关于74x π=对称的，所以交点的横坐标之和是37441044πππ⨯+⨯=，所以③正确；如图由于34x π=是()h x 的一条对称轴，所以()h x 在311,412ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦是下降的，所以④错误.故答案为：①②③.【点睛】本题主要考查了三角函数的性质，解题的关键点是对函数解析式进行化简和画出函数的图象，考查了学生分析问题解决问题的能力.反思提升：（1）研究y ＝A sin （ωx ＋φ）的性质时可将ωx ＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题.（2）方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数.（3）三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题.【基础篇】一、单选题1．（2022·全国·模拟预测）为了得到函数()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数()πcos 23g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象（）A ．向左平移π12个单位长度B ．向右平移π12个单位长度C ．向左平移π3个单位长度D ．向右平移π3个单位长度2．（2024·山东潍坊·二模）将函数()cos f x x =的图象向右平移π2个单位长度，再将所得图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到()g x 的图象，则()g x =（）A ．sin 2xB ．sin2xC ．sin2x -D ．cos 2x3．（2024·山西晋城·二模）将函数π()2sin 34f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移ϕ（0ϕ>）个单位长度，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在区间(0,)ϕ上恰有两个零点，则ϕ的取值范围是（）A ．5π3π,124⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．3π13π,412⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．5π3π,124⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．3π13π,412⎛⎤ ⎥⎝⎦4．（2024·四川南充·二模）将函数)π2cos 22f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移π6个单位长度，得到函数()g x 的图象，则曲线()y g x =与直线y =）A ．π6B ．π3C ．π2D ．π二、多选题5．（2024·浙江·模拟预测）为了得到函数2cos2y x =的图象，只要把函数π2sin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象上所有的点（）A ．向左平移π3个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移2π3个单位长度D ．向右平移2π3个单位长度6．（2024·安徽合肥·三模）已知12,x x 是函数π()2sin (0)6f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的两个零点，且12x x -的最小值是π2，则（）A ．()f x 在π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增B ．()f x 的图象关于直线π6x =-对称C ．()f x 的图象可由()2sin 2g x x =的图象向右平移π6个单位长度得到D ．()f x 在π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上仅有1个零点7．（22-23高三上·湖南常德·阶段练习）函数()()sin f x A x ωϕ=+的图象如图所示，将函数()f x 的图象向右平移12π个单位长度，得到()y g x =的图像，则下列说法正确的是（）A ．函数()g x 的最大值为3B ．函数()g x 关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．函数()g x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D ．函数()g x 的最小正周期为π三、填空题8．（2021·全国·模拟预测）已知函数()()sin f x x ωϕ=+(0ω>，02πϕ<<)，其图象相邻的对称轴与对称中心之间的距离为4π，且3x π=-是一个极小值点.若把函数()f x 的图象向左平移()0t t >个单位长度后，所得函数的图象关于直线4x π=对称，则实数t 的最小值为.9．（2023·湖北·一模）函数()sin(2)f x x ϕ=+的图象向左平移π3个单位得到函数()g x 的图象，若函数()g x 是偶函数，则tan ϕ=．10．（2022·陕西咸阳·二模）将函数)sin()y x x ϕϕ=+-+的图象向右平移3π个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则ϕ的一个可能取值为.四、解答题11．（22-23高一下·辽宁铁岭·阶段练习）已知函数()sin(),0,0,||2πf x A x x R A ωϕωϕ⎛⎫=+∈>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.(1)求()f x 的最小正周期及解析式；(2)将函数()y f x =的图象向右平移π6个单位长度得到函数()y g x =的图象，求函数()g x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.12．（2021·浙江·三模）函数()223sin cos sin cos 2222x x x x f x ⎫=-⎪⎝⎭.（1）求函数()y f x =的对称中心；（2）将函数()f x 的图象向左平移ϕ个单位得到函数()g x 的图象，其中0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且3tan 4ϕ=，求函数()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围.参考答案：1．A 【分析】结合诱导公式，利用三角函数图象的平移和变换求解即可.【详解】因为()sin 2sin 2πc 6ππππos 2cos 236212f x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以只需将函数()c πcos 2πs 263o g x x x ⎡⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥⎛⎫-= ⎭⎝⎣⎭⎝⎦⎪的图象向左平移π12个单位长度.故选：A 2．B【分析】根据平移变换和周期变换的原则求解即可.【详解】将函数()cos f x x =的图象向右平移π2个单位长度，得πcos sin 2y x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，再将所得图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得()1sin 2g x x =.故选：B.3．C【分析】根据三角函数图象的平移变换可得π()2sin(33)4g x x ϕ=+-，由()g x 在(0,)ϕ上有2个零点得π2π3π4ϕ-≤-<-，解之即可求解.【详解】将函数π()2sin(3)4f x x =+的图象向右平移ϕ个单位长度，得π()2sin(33)4g x x ϕ=+-的图象，由0x ϕ<<，得πππ333444x ϕϕ-<+-<，又()g x 在(0,)ϕ上有2个零点，所以π2π3π4ϕ-≤-<-，解得5π3π124ϕ<≤，即实数ϕ的取值范围为5π3π(,]124.故选：C 4．A【分析】根据三角函数的图象变换得π()2cos(2)6g x x =-，再解方程求解可得答案．【详解】函数()π2cos 22f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移π6个单位长度，得到函数()g x 的图象，πππ()2cos(22cos(2)326g x x x =+-=-，令π2cos(2)6x -=πcos(2)6x -=，则1ππ22π+66x k -=，1k Z ∈，或2ππ22π66x k -=-，2k Z ∈，即1ππ+6x k =，1k Z ∈，或2πx k =，2k Z ∈，可得π6x =，7π6，13π6，⋯，0x =，π，2π，⋯，相邻交点距离的最小值为π6．故选：A ．5．AD【分析】根据函数图象平移结论逐项检验可得结论.【详解】把函数π2sin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象上所有的点向左平移π3个单位长度，可得函数2πππ2sin 22sin 22cos 2362y x x x ⎛⎫⎛⎫=+-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，A 正确；把函数π2sin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象上所有的点向右平移π3个单位长度，可得函数2πππππ2sin 22sin 22cos 236323y x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=--=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的图象，B 错误；把函数π2sin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象上所有的点向左平移2π3个单位长度，可得函数4πππ3ππ2sin 22sin 22cos 236323y x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=-+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的图象，C 错误；把函数π2sin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象上所有的点向右平移2π3个单位长度，可得函数4ππ3π2sin 22sin 22cos 2362y x x x ⎛⎫⎛⎫=--=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，D 正确；故选：AD.6．ABD【分析】依题意可得()f x 的最小正周期πT =，即可求出ω，从而得到()f x 解析式，再根据正弦函数的性质一一判断即可.【详解】由题意可知，函数()f x 的最小正周期π2π22T ω=⨯=，2ω∴=，()2sin 26πf x x ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭．对于A ，当x ∈π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，πππ2662x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，因为sin y x =在ππ,62⎡⎤-⎢⎣⎦上单调递增，所以()f x 在π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故A 正确；对于B ，因为πππ2sin 22sin 2π6662f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⨯--=-⎛⎫-= ⎪=-⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭，所以()f x 的图象关于直线π6x =-对称，故B 正确；对于C ，将()2sin 2g x x =的图象向右平移π6个单位长度得到：ππ2sin 22sin 2()63y x x f x ⎛⎫⎛⎫=-=-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 错误；对于D ，当π,π2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，π5π11π2,666x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，仅当2x -ππ6=，即7π12x =时，()0f x =，即()f x 在π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上仅有1个零点，故D 正确．故选：ABD ．7．ACD【分析】根据题意由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由图象顶点坐标求出ϕ的值，再利用正弦函数的图象和性质，得出结论．【详解】由图可知3A =，353()41234T πππ=--=，T π∴=，2ω=，将点5(,3)12π代入()3sin 2y x ϕ=+，得2()3k k Z πϕπ=-+∈，故()3sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，向右平移12π个单位长度得：()3sin 23sin 23cos21232y g x x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==--=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，函数()g x 的最大值为3，故A 正确；3cos 0126g ππ⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭，故B 错误；0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()20,x π∈，函数()g x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，故C 正确；函数()g x 的最小正周期为22T ππ==，故D 正确.故选：ACD ．8．5π12【分析】利用三角函数的图象的性质求得周期，进而得到原函数π4x =右侧的第一个最值点，也就是对称轴，也就是对称轴，然后得到t 的最小值.【详解】相邻的对称轴与对称中心之间的距离为π4，∴π44T =,∴πT =，∴最小值点π3x =-右侧最近的一个最大值点为πππ+=326x =-，第二个最值点为最小值点，即π2π+π=33x =-是第一个超过π4x =的最值点，即π4x =右侧第一条对称轴为2π3x =，∴把函数()f x 的图象向左平移()0t t >个单位长度后，所得函数的图象关于直线π4x =对称，则实数t 的最小值为2ππ5π3412-=,故答案为：5π12.【点睛】本题考查三角函数的图象和性质，考查三角函数的平移变换，属基础题.注意相邻的中心与轴间的距离为四分之一周期，相邻极值点间的距离为半个周期.注意平移的方向，找到函数()()sin f x x ωϕ=+在直线4x π=右侧的第一条对称轴是关键.9．【分析】根据函数图象的平移可得()sin(2π2π33)g f x x x ϕ⎛⎫=+=+⎝+⎪⎭，进而根据偶函数即可求解ππ,Z 6k k ϕ=-+∈,进而可求解.【详解】()sin(2π2π33)g f x x x ϕ⎛⎫=+=+⎝+⎪⎭，由于()g x 是偶函数，所以2πππ,Z 32k k ϕ+=+∈,故ππ,Z 6k k ϕ=-+∈，所以ππtan tan πtan 663k ϕ⎛⎫⎛⎫=-+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故答案为：3-10．6π（答案不唯一）【分析】根据辅角公式可知原函数为2cos 6y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再将其按照题意平移后函数2cos 6y x πϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，根据函数2cos 6y x πϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭为偶函数，可知,Z 6k k πϕπ-=∈，由此即可求出结果.【详解】因为()()sin 2cos 6y x x x πϕϕϕ⎛⎫+-+=++ ⎪⎝⎭，所以将函数)sin()y x x ϕϕ=+-+的图象向右平移3π个单位长度后2cos 2cos 366y x x πππϕϕ⎛⎫⎛⎫=-++=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由题意可知，函数2cos 6y x πϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭是偶函数，所以,Z 6k k πϕπ-=∈，即,Z 6k k πϕπ=+∈.故答案为：6π（答案不唯一）.11．(1)πT =，()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)11,2-.【分析】（1）由图象可知1A =，相邻的对称中心和对称轴距离相差4T，再代入关键点可得解析式；（2）根据图象的变换得到()y g x =解析式，再根据正弦函数的图象与性质可得其在区间上π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦最值.【详解】（1）由图象可知()y f x =的最大值为1，最小值-1，故1A =；又2π5ππ2π431244T ω=-==∴2ω=，将点2π,13⎛⎫- ⎪⎝⎭代入()y f x =，2π4π()133f sin ϕ⎛⎫=+=-⎪⎝⎭∴4π3ππ2π,=2π326k k ϕϕ+=++，∵π2ϕ<∴π6ϕ=故答案为：πT =，()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（2）由()y f x =的图象向右平移π6个单位长度得到函数πππ()sin 2sin 2666g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦∵π0,2⎡⎤∈⎢⎣⎦x ∴ππ5π2666x ⎡⎤-∈-⎢⎣⎦∴当ππ266x -=-时，即0x =，min π1sin 262x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭；当ππ262x -=时，即π3x =，max πsin 216x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.12．（1）(),06k k Z ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭；（2）1210⎡-⎢⎣.【分析】（1）化简函数()6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令,6x k k Z ππ+=∈，即可求得函数()f x 的对称中心；（2）由三角函数的图象变换，得到()6g x x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，根据题设条件，求得2,663x πππϕϕϕ⎡⎤++∈++⎢⎥⎣⎦，结合正弦函数的性质，即可求解.【详解】（1）由题意，函数()223sin cos sin cos 22222x x x x f x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭3sin 226x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，令,6x k k Z ππ+=∈，解得,6x k k Z ππ=-∈，所以函数()f x 的对称中心为(),06k k Z ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭.（2）由题意，将函数()f x 的图象向左平移ϕ个单位得到()6g x x πϕ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，因为0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且3tan 4ϕ=，可得3sin 5ϕ=，4cos 5ϕ=，且,64ππϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，又因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎣⎦，所以2,663x πππϕϕϕ⎡⎤++∈++⎢⎥⎣⎦，当62x ππϕ++=时，函数()g x 取得最大值，最大值为()max g x =。
专题4.5 函数y=Asin(ωx+ψ)的图像与性质 2020年高考数学一轮复习对点提分(文理科通用)(原卷版)
第四篇 三角函数与解三角形专题4.05 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象与性质【考试要求】1.结合具体实例，了解y ＝A sin(ωx ＋φ)的实际意义；能借助图象理解参数ω，φ，A 的意义，了解参数的变化对函数图象的影响；2.会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型． 【知识梳理】1.用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示.2.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念3.函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的两种途径4.三角函数应用(1)用正弦函数可以刻画三种周期变化的现象：简谐振动(单摆、弹簧等)，声波(音叉发出的纯音)，交变电流.(2)三角函数模型应用题的关键是求出函数解析式，可以根据给出的已知条件确定模型f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋k中的待定系数.(3)把实际问题翻译为函数f (x )的性质，得出函数性质后，再把函数性质翻译为实际问题的答案. 【微点提醒】1.由y ＝sin ωx 到y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移φω个单位长度而非φ个单位长度.2.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴由ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )确定；对称中心由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )确定其横坐标.3.音叉发出的纯音振动可以用三角函数表达为y ＝A sin ωx ，其中x 表示时间，y 表示纯音振动时音叉的位移，|ω|2π表示纯音振动的频率(对应音高)，A 表示纯音振动的振幅(对应音强).4.交变电流可以用三角函数表达为y ＝A sin(ωx ＋φ)，其中x 表示时间，y 表示电流，A 表示最大电流，|ω|2π表示频率，φ表示初相位. 【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)将函数y ＝3sin 2x 的图象左移π4个单位长度后所得图象的解析式是y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4.( ) (2)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致.( ) (3)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.( )(4)由图象求解析式时，振幅A 的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的.( )【教材衍化】2.(必修4P56T3改编)y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x －π3的振幅、频率和初相分别为( ) A.2，4π，π3B.2，14π，π3C.2，14π，－π3D.2，4π，－π33.(必修4P62例4改编)某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现.下表是今年前四个月的统计情况：选用一个正弦型函数来近似描述收购价格(元/斤)与相应月份之间的函数关系为________________________.【真题体验】4.(2019·北京通州区模拟)函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的部分图象是( )5.(2016·全国Ⅰ卷)若将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为( ) A.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 B.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 C.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4D.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π36.(2018·济南模拟改编)y ＝cos(x ＋1)图象上相邻的最高点和最低点之间的距离是________.【考点聚焦】考点一 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换【例1】 某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) ⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f (x )的解析式；(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图象.若y ＝g (x )图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫5π12，0，求θ的最小值.【规律方法】 作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象常用如下两种方法：(1)五点法作图，用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象； (2)图象的变换法，由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.【训练1】 (1)(2017·全国Ⅰ卷)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3，则下面结论正确的是( ) A.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2(2)(2018·青岛调研)若把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6的图象向左平移π3个单位长度，所得到的图象与函数y ＝cos ωx 的图象重合，则ω的一个可能取值是( ) A.2 B.32 C.23 D.12考点二 求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式【例2】 (1)(一题多解)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为________.(2)(2019·长郡中衡阳八中联考)函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，已知A ⎝⎛⎭⎫5π12，1，B ⎝⎛⎭⎫11π12，－1，则f (x )图象的对称中心为( )A.⎝⎛⎭⎫k π2＋5π6，0(k ∈Z )B.⎝⎛⎭⎫k π＋5π6，0(k ∈Z ) C.⎝⎛⎭⎫k π2＋π6，0(k ∈Z ) D.⎝⎛⎭⎫k π＋π6，0(k ∈Z )【规律方法】 1.已知f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得出，利用周期性求ω，难点是“φ”的确定. 2.y ＝A sin(ωx ＋φ)中φ的确定方法(1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入.(2)五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.【训练2】 (1)(2019·衡水中学一模)已知函数f (x )＝－2cos ωx (ω>0)的图象向左平移φ⎝⎛⎭⎫0<φ<π2个单位，所得的部分函数图象如图所示，则φ的值为( )A.π6B.5π6C.π12D.5π12(2)(2019·山东省重点中学质检)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，|φ|<π2，ω>0的图象的一部分如图所示，则f (x )图象的对称轴方程是________.考点三 y ＝A sin(ωx ＋φ)图象与性质的应用 角度1 三角函数模型的应用【例3－1】 如图，某大风车的半径为2米，每12秒旋转一周，它的最低点O 离地面1米，点O 在地面上的射影为A .风车圆周上一点M 从最低点O 开始，逆时针方向旋转40秒后到达P 点，则点P 到地面的距离是________米.角度2 三角函数性质与图象的综合应用【例3－2】 已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋23sin 2ωx －3(ω>0)的最小正周期为π. (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)将函数f (x )的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，若y ＝g (x )在[0，b ](b >0)上至少含有10个零点，求b 的最小值.【规律方法】1.三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题，二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立数学模型，再利用三角函数的有关知识解决问题.2.方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数.3.研究y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质时可将ωx ＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题.【训练3】 (1)某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用函数y ＝a ＋A cos ⎣⎡⎦⎤π6（x －6）(x ＝1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高为28 ℃，12月份的月平均气温最低为18 ℃，则10月份的平均气温为________℃.(2)已知函数f (x )＝5sin x cos x －53cos 2x ＋523(其中x ∈R )，求：①函数f (x )的最小正周期； ②函数f (x )的单调区间；③函数f (x )图象的对称轴和对称中心.【反思与感悟】1.五点法作图及图象变换问题(1)五点法作简图要取好五个关键点，注意曲线凸凹方向；(2)图象变换时的伸缩、平移总是针对自变量x 而言，而不是看角ωx ＋φ的变化. 2.由图象确定函数解析式解决由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象确定A ，ω，φ的问题时，常常以“五点法”中的五个点作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个“零点”和第二个“零点”的位置.要善于抓住特殊量和特殊点. 【易错防范】1.由函数y ＝sin x 的图象经过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，如先伸缩再平移时，要把x 前面的系数提取出来.2.复合形式的三角函数的单调区间的求法.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的单调区间的确定，基本思想是把ωx ＋φ看作一个整体.若ω<0，要先根据诱导公式进行转化.3.求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)在x ∈[m ，n ]上的最值，可先求t ＝ωx ＋φ的范围，再结合图象得出y ＝A sin t 的值域. 【核心素养提升】【逻辑推理与数学运算】——三角函数中有关ω的求解数学运算是解决数学问题的基本手段，通过运算可促进学生思维的发展；而逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式.运算和推理贯穿于探究数学问题的始终，可交替使用，相辅相成. 类型1 三角函数的周期T 与ω的关系【例1】 为了使函数y ＝sin ωx (ω>0)在区间[0，1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值为( ) A.98π B.1972π C.1992π D.100π【评析】 解决此类问题的关键在于结合条件弄清周期T ＝2πω与所给区间的关系，从而建立不等关系.类型2 三角函数的单调性与ω的关系【例2】 若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω的取值范围是( )A.0≤ω≤23B.0≤ω≤32C.23≤ω≤3 D.32≤ω≤3【评析】 根据正弦函数的单调递减区间，确定函数f (x )的单调递减区间，根据函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，建立不等式，即可求ω的取值范围.类型3 三角函数对称性、最值与ω的关系【例3】 (1)(2019·枣庄模拟)已知f (x )＝sin ωx －cos ωx ⎝⎛⎭⎫ω>23，若函数f (x )图象的任何一条对称轴与x 轴交点的横坐标都不属于区间(π，2π)，则ω的取值范围是________.(结果用区间表示)(2)已知函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最小值为－2，则ω的取值范围是________.【评析】 这类三角函数题除了需要熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的单调性外，还必须知晓一个周期里函数最值的变化，以及何时取到最值，函数取到最值的区间要求与题目给定的区间的关系如何.【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：40分钟)一、选择题1.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则( )A.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 B.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 C.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6 D.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π32.(2019·杭州期中)将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋φ2·cos ⎝⎛⎭⎫x ＋φ2的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的取值不可能是( )A.－3π4B.－π4C.π4D.5π43.(2019·咸阳模拟)已知点P (32，－332)是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)图象上的一个最低点，M ，N 是与点P 相邻的两个最高点，若∠MPN ＝60°，则该函数的最小正周期是( )A.3B.4C.5D.64.(2018·天津卷)将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度，所得图象对应的函数( ) A.在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上单调递增 B.在区间⎣⎡⎦⎤－π4，0上单调递减 C.在区间⎣⎡⎦⎤π4，π2上单调递增D.在区间⎣⎡⎦⎤π2，π上单调递减5.(2019·张家界模拟)将函数f (x )＝3sin 2x －cos 2x 的图象向左平移t (t >0)个单位后，得到函数g (x )的图象，若g (x )＝g ⎝⎛⎭⎫π12－x ，则实数t 的最小值为( ) A.5π24B.7π24C.5π12D.7π12二、填空题6.将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平移π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是________________.7.(2018·沈阳质检)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，则f ⎝⎛⎭⎫π4＝________.8.已知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)，f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π3，且f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝____________________________________.三、解答题9.某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cosπ12t －sin π12t ，t ∈[0，24).(1)求实验室这一天上午8时的温度；(2)求实验室这一天的最大温差.10.已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，－π2≤φ＜π2的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻最高点的距离为π.(1)求f ⎝⎛⎭⎫π4的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移π12个单位后，得到y ＝g (x )的图象，求g (x )的单调递减区间.【能力提升题组】(建议用时：20分钟)11.(2019·天津和平区调研)已知x ＝π12是函数f (x )＝3sin(2x ＋φ)＋cos(2x ＋φ)(0<φ<π)图象的一条对称轴，将函数f (x )的图象向右平移3π4个单位长度后得到函数g (x )的图象，则函数g (x )在⎣⎡⎦⎤－π4，π6上的最小值为( ) A.－2B.－1C.－ 2D.－ 312.函数f (x )＝220sin 100πx －220sin ⎝⎛⎭⎫100πx ＋2π3，且已知对任意x ∈R ，有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)恒成立，则|x 2－x 1|的最小值为( )A.50πB.1100πC.1100D.44013.(2019·广东省际名校联考)将函数f (x )＝1－23·cos 2x －(sin x －cos x )2的图象向左平移π3个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，若x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，则函数g (x )的单调递增区间是________.14.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示.(1)求函数f(x)的解析式；(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的12倍，再把所得的函数图象向左平移π6个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)在区间⎣⎡⎦⎤0，π8上的最小值.【新高考创新预测】15.(多填题)已知函数f(x)＝23sin ωx2cosωx2＋2cos2ωx2－1(ω>0)的最小正周期为π，当x∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，方程f(x)＝m恰有两个不同的实数解x1，x2，则x1＋x2＝________，f(x1＋x2)＝________.。
2020年领军高考数学一轮复习(文理通用)专题21 函数=Asin(wx+φ)的图象及应用 含解析
的图像上所有的点向右平移 个单位 4
长度，再把图像上各点的横坐标扩大到原来的 2 倍（纵坐标不变），则所得图像的解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A 【解析】
向右平移 个单位长度得： 4
横坐标扩大到原来的 2 倍得：
本题正确选项： A
5．【山东省威海市 2019 届高三二模考试】函数
（）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：根据函数 y＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象，
可得： T •
，
解得：ω＝2，
由于点（ ，2）在函数图象上，可得：2sin（2
φ）＝2，可得：2
φ＝2kπ ，k∈Z，
解得：φ＝2kπ ，k∈Z， 由于：0＜φ＜π，
可得：φ ，即 y＝2sin（2x ），
【题型三】三角函数图象性质的应用
命题点 1 三角函数模型 【典型例题】
如图，扇形 OAB 的半径为 1，圆心角为 ，若 P 为弧 上异于 A，B 的点，且 PQ⊥OB 交 OB 于 Q
点，当△POQ 的面积大于 时，∠POQ 的大小范围为
．
【解答】解：设∠POQ＝θ，则 PQ＝sinθ，OQ＝cosθ，（0＜θ ）．
B．f（x）的最小正周期为
C．y＝f（x）的图象关于点
对称
D．f（x）在
单调递增
【解答】解：函数 y＝sin2x 的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，可得：y＝sinx，
即 f（x）＝sinx．
根据正弦函数的图象及性质：可知：对称轴 x 周期 T＝2π，∴B 不对． 对称中心坐标为：（kπ，0），∴C 不对．
A．
高考数学一轮复习函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用课件文
基础诊断 考点突破
课堂总结
知识梳理 1．“五点法”作函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的简图
“五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点 及与 x 轴相交的三个点，作图时的一般步骤为：
基础诊断 考点突破
课堂总结
• (1)定点：如下表所示.
x
－ωφ
π2－φ ω
π－φ ω
32π－φ ω
• 第5讲函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象 及应用
基础诊断 考点突破
课堂总结
最新考纲 1.了解函数 y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出 y＝Asin(ωx＋φ)的图象，了解参数 A，ω，φ 对函数图象变化 的影响；2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模 型，会用三角函数解决一些简单实际问题．
基础诊断 考点突破
课堂总结
【训练 1】 设函数 f(x)＝cos(ωx＋φ)ω＞0，－π2＜φ＜0的最小
正周期为
π，且
f4π＝
3 2.
(1)求 ω 和 φ 的值； (2)在给定坐标系中作出函数 f(x)在[0，π]上的图象．
基础诊断 考点突破
课堂总结
解 (1)∵T＝2ωπ＝π，ω＝2， 又 fπ4＝cos2×4π＋φ＝ 23， ∴sin φ＝－ 23， 又－π2＜φ＜0，∴φ＝－3π.
• 答案 A
基础诊断 考点突破
课堂总结
3．(2014·安徽卷)若将函数 f(x)＝sin 2x＋cos 2x 的图象向右平移
φ 个单位，所得图象关于 y 轴对称，则 φ 的最小正值是
()
π
π
3π
5π
A.8
B.4
C. 8
D. 4
高考一轮复习：正弦型函数y=Asin(ωx φ)的图象及应用
第4讲 正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及应用【2015年高考会这样考】1．考查正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象变换．2．结合三角恒等变换考查y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质及简单应用． 3．考查y ＝sin x 到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的两种变换途径． 【复习指导】本讲复习时，重点掌握正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的“五点”作图法，图象的三种变换方法，以及利用三角函数的性质解决有关问题．基础梳理1．用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点 如下表所示x0－φω π2－φω π－φω 3π2－φω 2π－φω ωx ＋φ 0 π2 π 3π2 2π y ＝A sin(ωx ＋φ)A－A2．函数y ＝sin x 的图象变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的步骤3．当函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，x ∈[0，＋∞))表示一个振动时，A 叫做振幅，T ＝2πω叫做周期，f ＝1T 叫做频率，ωx ＋φ叫做相位，φ叫做初相． 4．图象的对称性函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象是轴对称也是中心对称图形，具体如下： (1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象关于直线x ＝x k (其中 ωx k ＋φ＝k π＋π2，k ∈Z )成轴对称图形．(2)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象关于点(x k,0)(其中ωx k ＋φ＝k π，k ∈Z )成中心对称图形．一种方法在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M ，最小值为m ，则A ＝M －m 2，k＝M ＋m 2，ω由周期T 确定，即由2πω＝T 求出，φ由特殊点确定． 一个区别由y ＝sin x 的图象变换到y ＝A sin (ωx ＋φ)的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是|φ|ω(ω＞0)个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x 而言，即x 本身加减多少值，而不是依赖于ωx 加减多少值． 两个注意作正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象时应注意： (1)首先要确定函数的定义域；(2)对于具有周期性的函数，应先求出周期，作图象时只要作出一个周期的图象，就可根据周期性作出整个函数的图象．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4 的振幅、频率和初相分别为( )．A ．2，1π，－π4 B ．2，12π，－π4 C ．2，1π，－π8 D ．2，12π，－π8答案 A2.已知简谐运动f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2的部分图象如图所示，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为( )．我爱学习网 在线学习网 分享学习方法 励志人生我爱学习网 文言文网/wenyanwen/A ．T ＝6π，φ＝π6 B ．T ＝6π，φ＝π3 C ．T ＝6，φ＝π6D ．T ＝6，φ＝π3解析 由题图象知T ＝2(4－1)＝6⇒ω＝π3，由图象过点(1,2)且A ＝2，可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3×1＋φ＝1，又|φ|＜π2，得φ＝π6.答案 C3．函数y ＝cos x (x ∈R )的图象向左平移π2个单位后，得到函数y ＝g (x )的图象，则g (x )的解析式应为( )．A ．－sin xB ．sin xC ．－cos xD ．cos x 解析 由图象的平移得g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－sin x .答案 A4．设ω＞0，函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3＋2的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合，则ω的最小值是( )． A.23 B.43 C.32 D ．3解析 y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3＋2向右平移4π3个单位后得到y 1＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －4π3＋π3＋2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3－4π3ω＋2，又y 与y 1的图象重合，则－4π3ω＝2k π(k ∈Z )． ∴ω＝－32k .又ω＞0，k ∈Z ，∴当k ＝－1时，ω取最小值为32，故选C. 答案 C5．(2011·重庆六校联考)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的图象如图所示，则ω＝________.解析 由题意设函数周期为T ，则T 4＝23π－π3＝π3，故T ＝43π.∴ω＝2πT ＝32. 答案 32考向一 作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象【例1】►设函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2＜φ＜0的最小正周期为π，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝32.(1)求ω和φ的值；(2)在给定坐标系中作出函数f (x )在[0，π]上的图象． [审题视点] (1)由已知条件可求ω，φ；(2)采用“五点法”作图，应注意定义域[0，π]．解 (1)周期T ＝2πω＝π，∴ω＝2，∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4＋φ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝－sin φ＝32， ∵－π2＜φ＜0，∴φ＝－π3.(2)由(1)知f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，列表如下：2x －π3－π3π2π32π53π我爱学习网 在线学习网 分享学习方法 励志人生我爱学习网 文言文网/wenyanwen/x 0π6 512π 23π 1112π π f (x )121－112图象如图：(1)“五点法”作图的关键是正确确定五个点，而后列表、描点、连线即可．(2)变换法作图象的关键看x 轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用ωx ＋φ＝ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φω来确定平移单位． 【训练1】 已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4，x ∈R .(1)画出函数f (x )在长度为一个周期的闭区间上的简图； (2)将函数y ＝sin x 的图象作怎样的变换可得到f (x )的图象？ 解 (1)列表取值：x π2 32π 52π 72π 92π 12x －π4 0 π2 π 32π 2π f (x )3－3描出五个关键点并用光滑曲线连接，得到一个周期的简图．(2)先把y ＝sin x 的图象向右平移π4个单位，然后把所有的点的横坐标扩大为原来的2倍，再把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到f (x )的图象．考向二 求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式【例2】►(2011·江苏)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f (0)的值是________．[审题视点] 由最高、最低点确定A ，由周期确定ω，然后由图象过的特殊点确定φ.解析 由图可知：A ＝2，T 4＝7π12－π3＝π4，所以T ＝2k π＋π，∴φ＝2k π＋π3，令k ＝0，ω＝2πT ＝2，又函数图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，所以2×π3＋φ＝π，则φ＝π3，故函数的解析式为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，所以f (0)＝2sin π3＝62.答案 62解决这类题目一般是先根据函数图象的最高点、最低点确定A ，h 的值，函数的周期确定ω的值，再根据函数图象上的一个特殊点确定φ值．【训练2】 已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，|φ|＜π2，ω＞0)的图象的一部分如图所示．(1)求f (x )的表达式； (2)试写出f (x )的对称轴方程．解 (1)观察图象可知：A ＝2且点(0,1)在图象上，∴1＝2sin(ω·0＋φ)， 即sin φ＝12.∵|φ|＜π2，∴φ＝π6.又∵1112π是函数的一个零点，且是图象递增穿过x 轴形成的零我爱学习网 在线学习网 分享学习方法 励志人生我爱学习网 文言文网/wenyanwen/点，∴11π12ω＋π6＝2π，∴ω＝2. ∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.(2)设2x ＋π6＝B ，则函数y ＝2sin B 的对称轴方程为 B ＝π2＋k π，k ∈Z ， 即2x ＋π6＝π2＋k π(k ∈Z )， 解上式得x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的对称轴方程为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )．考向三 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与性质的综合应用【例3】►(2012·西安模拟)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R (其中A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π2)的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上的一个最低点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2.(1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2时，求f (x )的值域．[审题视点] 先由图象上的一个最低点确定A 的值，再由相邻两个交点之间的距离确定ω的值，最后由点M 在图象上求得φ的值，进而得到函数的解析式；先由x 的范围，求得2x ＋π6的范围，再求得f (x )的值域． 解 (1)由最低点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2，得A ＝2.由x 轴上相邻的两个交点之间的距离为π2，得T 2＝π2，即T ＝π，所以ω＝2πT ＝2ππ＝2.由点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2在图象上，得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×2π3＋φ＝－2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＋φ＝－1.故4π3＋φ＝2k π－π2，k ∈Z ，所以φ＝2k π－11π6(k ∈Z )． 又φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以φ＝π6.故f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.(2)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2，所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，7π6.当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2； 当2x ＋π6＝7π6，即x ＝π2时，f (x )取得最小值－1. 故函数f (x )的值域为[－1,2]．利用三角函数图象与x 轴的相邻两个交点之间的距离为三角函数的12个最小正周期，去求解参数ω的值，利用图象的最低点为三角函数最值点，去求解参数A 的值等．在求函数值域时，由定义域转化成ωx ＋φ的范围，即把ωx ＋φ看作一个整体．【训练3】 (2011·南京模拟)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0，图象上与点P 最近的一个最高点是Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，5.(1)求函数的解析式； (2)求函数f (x )的递增区间．解 (1)依题意得：A ＝5，周期T ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π12＝π，∴ω＝2ππ＝2.故y ＝5sin(2x ＋φ)，又图象过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0，∴5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋φ＝0，由已知可得π6＋φ＝0，∴φ＝－π6 ∴y ＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.(2)由－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，我爱学习网 在线学习网 分享学习方法 励志人生我爱学习网 文言文网/wenyanwen/得：－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z ，故函数f (x )的递增区间为：⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )．规范解答8——怎样求解三角函数的最值问题【问题研究】 (1)求三角函数的最值是高考的一个热点．在求解中，一定要注意其定义域，否则容易产生错误．(2)主要题型：①求已知三角函数的值域(或最值)；②根据三角函数的值域(或最值)求相关的参数；③三角函数的值域(或最值)作为工具解决其他与范围相关的问题．【解决方案】 ①形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数，可通过引入辅助角φ⎝⎛⎭⎪⎫cos φ＝a a 2＋b 2，sin φ＝b a 2＋b 2，将原式化为y ＝a 2＋b 2·sin(x ＋φ)＋c 的形式后，再求值域(或最值)；②形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ，将原式化为二次函数y ＝at 2＋bt ＋c 的形式，进而在t ∈[－1,1]上求值域(或最值)；③形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，将原式化为二次函数y ＝±12a (t 2－1)＋bt ＋c 的形式，进而在闭区间t ∈[－2，2]上求最值．【示例】►(本题满分12分)(2011·北京)已知函数f (x )＝4cos x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－1.(1)求f(x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上的最大值和最小值．首先化为形如y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，由T ＝2πω求得：由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4，求得ωx ＋φ的范围，从而求得最值． [解答示范] (1)因为f (x )＝4cos x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－1＝4cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x －1＝3sin 2x ＋2cos 2x －1＝ 3 sin 2x ＋cos 2x＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，(4分)所以f (x )的最小正周期为π.(6分)(2)因为－π6≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π6≤2π3.(8分) 于是，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时， f (x )取得最大值2；(10分)当2x ＋π6＝－π6，即x ＝－π6时，f (x )取得最小值－1.(12分)解决这类问题常常借助三角函数的有界性或转化为我们所熟悉的函数，如二次函数等来解决．【试一试】 是否存在实数a ，使得函数y ＝sin 2x ＋a cos x ＋58a －32在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值是1？若存在，求出对应的a 值？若不存在，试说明理由． [尝试解答] y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －12a 2＋a 24＋58a －12，当0≤x ≤π2时，0≤cos x ≤1，令t ＝cos x ，则0≤t ≤1，∴y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －12a 2＋a 24＋58a －12，0≤t ≤1.当0≤a 2≤1，即0≤a ≤2时，则当t ＝a 2，即cos x ＝a2时． y max ＝a 24＋58a －12＝1，解得a ＝32或a ＝－4(舍去)． 当a2＜0，即a ＜0时，则当t ＝0，即cos x ＝0时， y max ＝58a －12＝1，解得a ＝125(舍去)．当a2＞1，即a ＞2时，则当t ＝1，即cos x ＝1时， y max ＝a ＋58a －32＝1，解得a ＝2013(舍去)． 综上知，存在a ＝32符合题意．。
2020版高考数学(文)一轮复习通用版课件函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用
答案：π6，0 23π，1 76π，0 53π，－1 136π，0 5．若函数 f(x)＝sin(ωx－φ)ω>0，|φ|≤π2的部分图象如图所示，
则 φ＝________.
解析：由图象可知，函数的周期为 423π－－π3＝4π，所以 ω＝
法 还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入
五点 确定 φ 值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口
法
[题组训练]
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1.函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，|φ|<π2的部分
图象如图所示，则 f1214π的值为
()
A．－
6 2
B．－
3 2
C．－
返回
()
解析：由题意知 y＝－sinsixn，x，x∈x∈0，π2π2，，π， 结合图象知选 C. 答案：C
(三)填一填
返回
4．用五点法作函数 y＝sinx－π6在一个周期内的图象时，主要确
定的五个点是______、______、______、______、______.
∴ω＝2Tπ＝π6.将(3，9 000)看成函数图象的 第二个特殊点，则有π6×3＋φ＝π2，∴φ＝0，
故 f(x)＝2 000sinπ6x＋7 000(1≤x≤12，x∈N*)． ∴f(7)＝2 000×sin76π＋7 000＝6 000. 故 7 月份的出厂价格为 6 000 元． [答案] 6 000
2．某城市一年中 12 个月的平均气温与月份的关系可近似地用函数
24ππ＝12，将23π，1代入 y＝sin12x－φ，得π3－φ＝π2＋2kπ，k∈Z，
即 φ＝－π6－2kπ，k∈Z，又∵|φ|≤π2，∴φ＝－π6. 答案：－π6
2020届高三文理科数学一轮复习《函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用》专题汇编(教师版)
《函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图像及三角函数模型的简单应用》专题一、相关知识点1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：4.图像变换的相关结论(1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 图像平移的规律：“左加右减，上加下减”．(2)y ＝sin ωx 到y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移φω个单位长度而非φ个单位长度．(3)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴由ωx ＋φ＝k π＋π2，k ∈Z 确定；对称中心由ωx ＋φ＝k π，k∈Z 确定其横坐标．题型一 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念以及五点法作图“五点法”画图(1)y ＝sin x 的图象在[0,2π]上五个关键点坐标为(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)． (2)y ＝cos x 的图象在[0,2π]上五个关键点坐标为(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1)．1．函数y ＝13sin ⎝⎛⎭⎫32x ＋π4的振幅为__________，周期为________，初相为________． 解析：13 4π3 π42．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的振幅、频率和初相分别为( ) A ．2，1π，π4 B ．2，12π，π4 C ．2，1π，π8 D ．2，12π，－π8解析：选A ，函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的振幅为2，频率为1π，初相为π4. 3．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π上的简图是( )解析：选A ，令x ＝0，得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π3＝－32，排除B 、D.由f ⎝⎛⎭⎫－π3＝0，f ⎝⎛⎭⎫π6＝0，排除C 4．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋1. (1)求它的振幅、最小正周期、初相；(2)画出函数y ＝f (x )在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上的图像． 解析：(1)振幅为2，最小正周期T ＝π，初相为－π4.(2)图像如图所示．5．已知函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 求它的振幅、周期、初相；并用“五点法”作出它在一个周期内的图像．解析：(1)y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的振幅A ＝2，周期T ＝2π2＝π，初相φ＝π3. (2)令X ＝2x ＋π3，则y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝2sin X . 列表如下：6．已知函数f (x )＝4cos x ·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋a 的最大值为2. (1)求a 的值及f (x )的最小正周期；(2)画出f (x )在[0，π]上的图象． 解析：(1)f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋a ＝4cos x ·⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x ＋a ＝3sin 2x ＋2cos 2x ＋a ＝3sin 2x ＋cos 2x ＋1＋a ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1＋a ， ∵f (x )的最大值为2，∴a ＝－1，最小正周期T ＝2π2＝π.(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，列表：7．已知函数f (x )＝12sin ωx ＋32cos ωx (ω＞0)的最小正周期为π.①求ω的值，并画出函数y ＝f (x )在区间[0，π]上的图像；解析：①由题意知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3，因为T ＝π，所以2πω＝π，即ω＝2， 故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.列表如下：8．函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6(其中0<ω<1)，若点⎝⎛⎭⎫－π6，0是函数f (x )图象的一个对称中心． (1)试求ω的值，并求出函数的单调增区间；(2)先列表，再作出函数f (x )在区间x ∈[－π，π]上的图象．解析：(1)因为点⎝⎛⎭⎫－π6，0是函数f (x )图象的一个对称中心，所以－ωπ3＋π6＝k π，k ∈Z ， 所以ω＝－3k ＋12，k ∈Z ，因为0<ω<1，所以当k ＝0时，可得：ω＝12.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6， 令2k π－π2<x ＋π6<2k π＋π2，k ∈Z ，解得2k π－2π3<x <2k π＋π3，k ∈Z ，所以函数的单调增区间为⎝⎛⎭⎫2k π－2π3，2k π＋π3，k ∈Z. (2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，x ∈[－π，π]，列表如下：9．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. (1)请用“五点法”画出函数f (x )在一个周期上的图像； (2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π12，π2上的最大值和最小值； (3)写出f (x )的单调递增区间．解析：(Ⅰ)令X ＝2x ＋π6，则y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝sin X . 列表：描点，画出函数f (x )在⎣⎦⎤－π12，11π12上的图像：(2)因为π12≤x ≤π2，所以π3≤2x ＋π6≤7π6，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6最大值等于1，即f (x )的最大值等于1； 当2x ＋π6＝7π6，即x ＝π2时，sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6最小值等于－12，即f (x )的最小值等于－12. 所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π12，π2上的最大值为1，最小值为－12. (3)根据函数的图像知，f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π3＋k π，π6＋k π(k ∈Z)． 题型二 三角函数图象的变换函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (A >0，ω>0)中，参数A ，ω，φ，k 的变化引起图象的变换： (1)A 的变化引起图象中振幅的变换，即纵向伸缩变换； (2)ω的变化引起周期的变换，即横向伸缩变换；(3)φ的变化引起左右平移变换，k 的变化引起上下平移变换．图象平移遵循的规律为：“左加右减，上加下减”．1．将函数y ＝2sin2x ＋π6的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为( )A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 解析：D ，函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的周期为π，将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图像向右平移14个周期即π4个单位长度，所得图像对应的函数为y ＝2sin2x －π4＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3． 2．为了得到函数y ＝3sin 2x ＋1的图像，只需将y ＝3sin x 的图像上的所有点( )A ．横坐标伸长2倍，再向上平移1个单位长度B ．横坐标缩短12倍，再向上平移1个单位长度C ．横坐标伸长2倍，再向下平移1个单位长度D ．横坐标缩短12倍，再向下平移1个单位长度解析：B ，将y ＝3sin x 的图像上的所有点的横坐标缩短12倍得到y ＝3sin 2x 的图像，再将y＝3sin 2x 的图像再向上平移1个单位长度即得y ＝3sin 2x ＋1的图像． 3．为了得到函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图像，可以将函数y ＝2sin 2x 的图像( ) A ．向右平移π6个单位长度 B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向左平移π3个单位长度解析：A ，y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π6，故选A ． 4．已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3，则下面结论正确的是( ) A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2解析：因为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3－π2＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，所以曲线C 1：y ＝cos x 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到曲线y ＝cos 2x ，再把得到的曲线y ＝cos 2x 向左平移π12个单位长度，得到曲线y ＝cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π12＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，故选D ． 5．把函数y ＝sin x 的图像上所有点的横坐标都缩小为原来的12，纵坐标保持不变，再把图像向右平移π6个单位长度，则所得图像的解析式为( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π3D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π6 解析：把函数y ＝sin x 的图像上所有点的横坐标缩小为原来的12，纵坐标不变，得到y ＝sin 2x 的图像，再把y ＝sin 2x 的图像向右平移π6个单位长度，得到y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π6， 即y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图像，故选A ． 6．为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图像，只需把函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －4π3的图像( ) A ．向左平移π4个单位长度B ．向右平移π4个单位长度C ．向左平移π2个单位长度D ．向右平移π2个单位长度解析：y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －4π3＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫2x －4π3＝sin2x －5π12，故要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图像，只需要平移⎝⎛⎭⎫x －π6－⎝⎛⎭⎫x －5π12＝π4个单位长度，又π4＞0，所以应向左平移，故选A ． 7．已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，则以下判断中正确的是( ) A ．函数f (x )的图象可由函数y ＝2cos 2x 的图象向左平移π8个单位长度得到B ．函数f (x )的图象可由函数y ＝2cos 2x 的图象向左平移π4个单位长度得到C ．函数f (x )的图象可由函数y ＝2sin 2x 的图象向右平移3π8个单位长度得到 D ．函数f (x )的图象可由函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移3π4个单位长度得到 解析：选A ，为f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，所以函数f (x )的图象可由函数y ＝2cos 2x 的图象向左平移π8个单位长度得到.8．将函数f (x )＝cos 2x －sin 2x 的图象向左平移π8个单位长度后得到函数F (x )的图象，则下列说法中正确的是( )A ．F (x )是奇函数，最小值是－2B ．F (x )是偶函数，最小值是－2C ．F (x )是奇函数，最小值是－2D ．F (x )是偶函数，最小值是－ 2 解析：选C ，f (x )＝cos 2x －sin 2x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，则F (x )＝2cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π8＋π4＝ 2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－2sin 2x . 9．为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图像，可以将函数y ＝2cos 3x 的图像( )A ．向右平移π12个单位B ．向右平移π4个单位C ．向左平移π12个单位D ．向左平移π4个单位解析：A ，由于y ＝sin 3x ＋cos 3x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4，y ＝2cos 3x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π2，因此只需将y ＝2cos 3x 的图像向右平移π12个单位，即可得到y ＝2sin3x －π12＋π2＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4的图像． 10．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为6π，将其图象向右平移2π3个单位长度后得到函数g (x )＝sin ωx 的图象，则φ等于( )A.4π9B.2π9C.π6D.π3 解析：选B ，由题意得2πω＝6π，∴ω＝13.∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫13x ＋φ.将其图象向右平移 2π3个单位长度后得到的，函数图象的解析式为g (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤13⎝⎛⎭⎫x －2π3＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎫13x －2π9＋φ＝sin 13x ，∴φ－2π9＝2k π(k ∈Z)．解得φ＝2k π＋2π9(k ∈Z)，∵|φ|<π2，∴φ＝2π9.故选B. 11．已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx －ωπ6(ω>0)的最小正周期为π，则函数f (x )的图象( ) A ．可由函数g (x )＝cos 2x 的图象向左平移π3个单位长度得到B ．可由函数g (x )＝cos 2x 的图象向右平移π3个单位长度得到C ．可由函数g (x )＝cos 2x 的图象向左平移π6个单位长度得到D ．可由函数g (x )＝cos 2x 的图象向右平移π6个单位长度得到解析：由已知得，ω＝2ππ＝2，则f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象可由函数g (x )＝cos 2x 的图象向右平移π6个单位长度得到，故选D.12．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π5的图像向右平移π10个单位长度，所得图像对应的函数( ) A ．在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上是增加的 B ．在区间⎣⎡⎦⎤－π4，0上是减少的 C ．在区间⎣⎡⎦⎤π4，π2上是增加的 D ．在区间⎣⎡⎦⎤π2，π上是减少的 解析：A ，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π5＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π10，将其图像向右平移π10个单位长度，得到函数y ＝sin 2x 的图像．由2k π－π2≤2x ≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π4≤x ≤k π＋π4，k ∈Z.令k ＝0，可知函数y ＝sin 2x 在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上是增加的． 13．将函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(0<ω<10)的图象向右平移π6个单位长度之后与函数f (x )的图象重合，则ω＝( )A ．9B ．6C ．4D ．8解析：选B ，函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3的图象向右平移π6个单位长度后所得图象对应的函数解析式为f (x )＝tan ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x －π6＋π3＝tan ⎝⎛⎭⎫ωx －ωπ6＋π3，∵平移后的图象与函数f (x )的图象重合，∴－ωπ6＋π3＝π3＋k π，k ∈Z ，解得ω＝－6k ，k ∈Z.又0<ω<10，∴ω＝6. 14．定义运算：⎪⎪⎪⎪a 1 a 2a 3 a 4＝a 1a 4－a 2a 3，将函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪3 sin ωx 1 cos ωx (ω>0)的图象向左平移2π3个单位长度，所得图象对应的函数为偶函数，则ω的最小值是( )A.14B.54C.74D.34解析：选B 依题意得f (x )＝3cos ωx －sin ωx ＝2cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6，且函数f ⎝⎛⎭⎫x ＋2π3＝2cos [ ω⎝⎛⎭⎫x ＋2π3＋π6 ]＝2cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋2ωπ3＋π6是偶函数，于是有2ωπ3＋π6＝k π，k ∈Z ，即ω＝32⎝⎛⎭⎫k －16，k ∈Z.又ω>0，所以ω的最小值是32⎝⎛⎭⎫1－16＝54. 15．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像向右平移m (m >0)个单位长度，所得函数图像关于y 轴对称，则m 的最小值为( )A ．5π12B ．π3C ．π12D ．7π12解析：A ，平移后的函数解析式为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－2m ，又图像关于y 轴对称，则sin ⎝⎛⎭⎫π3－2m ＝±1，∴π3－2m ＝k π＋π2，k ∈Z ， ∴m ＝－k π2－π12，k ∈Z ，又m >0，∴m 的最小值为5π12.16．函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)在它的某一个周期内的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤5π12，11π12.将 y ＝f (x )的图象先向左平移π4个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，所得到的图象对应的函数记为g (x )．(1)求g (x )的解析式；(2)求g (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π4上的最大值和最小值． 解析：(1)T 2＝1112π－512π＝12π，所以T ＝π，ω＝2πT＝2，又sin ⎝⎛⎭⎫2×5π12＋φ＝1， |φ|<π2，所以φ＝－π3，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，所以g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6. (2)由正弦函数的性质可得，g (x )在⎣⎡⎦⎤0，π12上为增函数，在⎣⎡⎦⎤π12，π4上为减函数， 所以g (x )max ＝g ⎝⎛⎭⎫π12＝1.又g (0)＝12，g ⎝⎛⎭⎫π4＝－12，所以g (x )min＝－12， 故函数g (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π4上的最大值和最小值分别为1和－12. 17．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π2，其中0<ω<3，已知f ⎝⎛⎭⎫π6＝0. (1)求ω；(2)将函数y ＝f (x )的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图像向左平移π4个单位，得到函数y ＝g (x )的图像，求g (x )在⎣⎡⎦⎤－π4，3π4上的最小值． 解析：(1)因为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π2， 所以f (x )＝32sin ωx －12cos ωx －cos ωx ＝32sin ωx －32cos ωx ＝3⎝⎛⎭⎫12sin ωx －32cos ωx ＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π3. 由题设知f ⎝⎛⎭⎫π6＝0，所以ωπ6－π3＝k π，k ∈Z ， 所以ω＝6k ＋2，k ∈Z. 又0<ω<3，所以ω＝2. (2)由(1)得f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 所以g (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4－π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫x －π12. 因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4，所以x －π12∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3. 当x －π12＝－π3，即x ＝－π4时，g (x )取得最小值－32.题型三 由图象求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0)的步骤和方法(1)求A ，b ：确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m 2，b ＝M ＋m 2； (2)求ω：确定函数的周期T ，则可得ω＝2πT； (3)求φ：常用的方法有代入法和五点法．①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点是在上升区间上还是在下降区间上)．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．1．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝2所得线段长为π2，则f ⎝⎛⎭⎫π6的值是( ) A ．－3 B.33 C ．1 D. 3 解析：选D ，由题意可知该函数的周期为π2，∴πω＝π2，ω＝2，f (x )＝tan 2x .∴f ⎝⎛⎭⎫π6＝tan π3＝ 3. 2．函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)图象的最高点与相邻最低点的距离是17，若将y ＝f (x )图象向右平移16个单位长度得到y ＝g (x )的图象，则函数y ＝g (x )图象的一条对称轴方程是( ) A ．x ＝56 B ．x ＝13 C ．x ＝12D ．x ＝0 解析：选B ，函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3的最大值为2，由(17)2－42＝1可得函数f (x )的周期T ＝2×1＝2，所以ω＝π，因此f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π3.将y ＝f (x )的图象向右平移16个单位长度得到的图象对应的函数解析式为g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤π⎝⎛⎭⎫x －16＋π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π6，当x ＝13时，g ⎝⎛⎭⎫13＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3＋π6＝2，为函数的最大值，故直线x ＝13为函数y ＝g (x )图象的一条对称轴． 3．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)( ω>0，－π2<φ<π2)的部分图象如图所示，则φ的值为( )A ．－π3 B.π3 C ．－π6 D.π6解析：选B ，由题意，得T 2＝π3－⎝⎛⎭⎫－π6＝π2，所以T ＝π，由T ＝2πω，得ω＝2，由图可知A ＝1，所以f (x )＝sin(2x ＋φ)．又因为f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＝0，－π2<φ<π2，所以φ＝π3. 4．函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图像如图所示，则f (x )的递减区间为( )A ．⎝⎛⎭⎫k π－14，k π＋34，k ∈Z B ．⎝⎛⎭⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C ．⎝⎛⎭⎫k －14，k ＋34，k ∈Z D ．⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 解析：D ，由图像知，周期T ＝2⎝⎛⎭⎫54－14＝2，∴2πω＝2，∴ω＝π. 由π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π4，∴f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫πx ＋π4. 由2k π<πx ＋π4<2k π＋π，得2k －14<x <2k ＋34，k ∈Z ， ∴f (x )的递减区间为⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z.故选D ． 5．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的部分图象如图所示，则f (2 019)＝( )A ．1 B.32 C.12 D.34解析：选C ，由函数图象可知最小正周期T ＝4，所以f (2 019)＝f (504×4＋3)＝f (3)，观察图象可知f (3)＝12，所以f (2 019)＝12.故选C. 6．若函数f (x )＝sin(ωx －φ)⎝⎛⎭⎫|φ|≤π2的部分图象如图所示，则ω和φ的值是( )A ．ω＝1，φ＝π3B ．ω＝1，φ＝－π3C ．ω＝12，φ＝π6D ．ω＝12，φ＝－π6解析：由图象可知，函数的周期为4[ 2π3－⎝⎛⎭⎫－π3 ]＝4π，所以ω＝2π4π＝12，将⎝⎛⎭⎫2π3，1代入 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －φ，又|φ|≤π2，得φ＝－π6，故选D. 7．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)( A >0，ω>0，|φ|<π2 )的部分图象如图所示，则将y ＝f (x )的图象向左平移π3个单位长度后，得到的图象对应的函数解析式为( )A ．y ＝－cos 2xB ．y ＝cos 2xC ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π6D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 解析：选C ，设函数f (x )的最小正周期为T .由题图知，34T ＝1112π－π6，得T ＝π＝2πω，∴ω＝2；由f (x )的最大值为1，得A ＝1，∴f (x )＝sin ()2x ＋φ，将⎝⎛⎭⎫π6，1的坐标代入可得sin ( π3＋φ )＝1，又∵|φ|<π2，∴φ＝π6，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.f (x )的图象向左平移π3个单位长度，可得g (x )＝sin [ 2( x ＋π3 )＋π6]＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π6的图象．故选C. 8．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A ＞0，x ∈R ，ω＞0，|φ|＜π)的部分图像如图所示，则函数f (x )的解析式为f (x )＝________.解析：由题图可知，函数的最大值为A ＋B ＝3，最小值为－A ＋B ＝－1，解得A ＝2，B ＝1.函数的最小正周期为T ＝2×⎣⎡⎦⎤5π12－⎝⎛⎭⎫－π12＝π，由2πω＝π，解得ω＝2. 由f ⎝⎛⎭⎫－π12＝2sin ⎣⎡⎦⎤2×⎝⎛⎭⎫－π12＋φ＋1＝－1，得sin ⎝⎛⎭⎫φ－π6＝－1，故φ－π6＝2k π－π2(k ∈Z)， 解得φ＝2k π－π3(k ∈Z)，又因为|φ|＜π，所以φ＝－π3. 所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1. 9．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2的部分图像如图所示，若x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝( )A ．12B ．22C ．32D ．1 解析：由题图知，T 2＝π2，即T ＝π，则ω＝2，所以f (x )＝sin(2x ＋φ)，因为点⎝⎛⎭⎫π3，0在函数f (x )的图像上，所以sin ⎝⎛⎭⎫2×π3＋φ＝0，即2π3＋φ＝2k π＋π，k ∈Z ，所以φ＝2k π＋π3，k ∈Z ，又|φ|＜π2，所以φ＝π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，因为x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，所以x 1＋x 22＝π12，所以x 1＋x 2＝π6，所以f (x 1＋x 2)＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋π3＝32.10．函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，－π<φ<0)的部分图象如图所示，为了得到g (x )＝A sin ωx 的图象，只需将函数y ＝f (x )的图象( )A ．向左平移π6个单位长度B ．向左平移π12个单位长度 C ．向右平移π6个单位长度 D ．向右平移π12个单位长度 解析：选B ，由题图知A ＝2，T 2＝π3－⎝⎛⎭⎫－π6＝π2，∴T ＝π，∴ω＝2，∴f (x )＝2cos(2x ＋φ)，将⎝⎛⎭⎫π3，2代入得cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＝1，∵－π<φ<0，∴－π3<2π3＋φ<2π3，∴2π3＋φ＝0，∴φ＝－2π3，∴f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －2π3＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12，故将函数y ＝f (x )的图象向左平移π12个单位长度可得到g (x )的图象11．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，其中A ，B 两点间距离为5，则ω＋φ＝________.解析：∵AB ＝5＝ T 24＋16，∴T ＝6＝2πω，∴ω＝π3.∵f (2)＝－2，∴23π＋φ＝2k π＋32π，k ∈Z.又∵0<φ<π，∴φ＝56π，∴φ＋ω＝76π. 12．函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的图像如图，f ⎝⎛⎭⎫π2＝－23，则f ⎝⎛⎭⎫－π6＝( )A ．－23B ．－12C ．23D ．12解析：由题图知T 2＝11π12－7π12＝π3，所以T ＝2π3，即ω＝3， 当x ＝7π12时，y ＝0，即3×7π12＋φ＝2k π－π2，k ∈Z ，所以φ＝2k π－9π4，k ∈Z ， 即k ＝1时，φ＝－π4，所以f (x )＝A cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4. 即A cos ⎝⎛⎭⎫3π2－π4＝－23，得A ＝223，所以f (x )＝223cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4， 故f ⎝⎛⎭⎫－π6＝223cos ⎝⎛⎭⎫－π2－π4＝－23. 13．设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，|φ|<π.若f ⎝⎛⎭⎫5π8＝2，f ⎝⎛⎭⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，则( ) A ．ω＝23，φ＝π12 B ．ω＝23，φ＝－11π12 C ．ω＝13，φ＝－11π24 D ．ω＝13，φ＝7π24解析：∵f ⎝⎛⎭⎫5π8＝2，f ⎝⎛⎭⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π， ∴f (x )的最小正周期为4⎝⎛⎭⎫11π8－5π8＝3π，∴ω＝2π3π＝23，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫23x ＋φ. ∴2sin ⎝⎛⎭⎫23×5π8＋φ＝2，得φ＝2k π＋π12，k ∈Z.又|φ|<π，∴取k ＝0，得φ＝π12.故选A ． 14．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2≤φ≤π2的图象上的一个最高点和与它相邻的一个最低点的距离为22，且图象过点⎝⎛⎭⎫2，－12，则函数f (x )＝____________. 解析：依题意得 22＋⎝⎛⎭⎫πω2＝22，ω>0，所以ω＝π2，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋φ.因为该函数图象过点⎝⎛⎭⎫2，－12，所以sin(π＋φ)＝－12，即sin φ＝12.因为－π2≤φ≤π2，所以φ＝π6，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π6.15．（理科）已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)( ω>0，φ∈⎣⎡⎦⎤π2，π )的部分图象如图所示，其中f (0)＝1，|MN |＝52，将f (x )的图象向右平移1个单位长度，得到函数g (x )的图象，则g (x )的解析式是( )A ．g (x )＝2cos π3xB ．g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋2π3C ．g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2π3x ＋π3D ．g (x )＝－2cos π3x 解析：选A ，设函数f (x )的最小正周期为T .由题图及|MN |＝52，得T 4＝32，则T ＝6，ω＝π3.又由f (0)＝1，φ∈⎣⎡⎦⎤π2，π得sin φ＝12，φ＝5π6.所以f (x )＝2sin ( π3x ＋5π6).则g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤π3(x －1)＋5π6＝2cos π3x .故选A.16．已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2，y ＝f (x )的部分图像如图，则f ⎝⎛⎭⎫π24＝________.解析：由题图可知，T ＝2⎝⎛⎭⎫3π8－π8＝π2，所以ω＝2，所以2×π8＋φ＝k π＋π2(k ∈Z)． 又|φ|＜π2，所以φ＝π4.又f (0)＝1，所以A tan π4＝1，得A ＝1，所以f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， 所以f ⎝⎛⎭⎫π24＝tan ⎝⎛⎭⎫π12＋π4＝tan π3＝ 3. 17．(理科)已知函数f (x )＝A sin ( π3x ＋φ )⎝⎛⎭⎫A >0，0<φ<π2，y ＝f (x )的部分图象如图所示，P ，Q分别为该图象的最高点和最低点，作PR ⊥x 轴于点R ，点R 的坐标为(1,0)．若∠PRQ ＝2π3，则f (0)＝( ) A.12 B.32 C.34 D.24解析：过点Q 作QH ⊥x 轴于点H .设P (1，A )，Q (a ，－A )．由函数图象得2|a －1|＝2ππ3＝6，即|a －1|＝3.因为∠PRQ ＝2π3，所以∠HRQ ＝π6，则tan ∠QRH ＝A 3＝33，解得A ＝ 3.又P (1，3)是图象的最高点，所以π3×1＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z.又因为0<φ<π2，所以φ＝π6，所以f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋π6，f (0)＝3sin π6＝32.故选B. 18．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图像如图所示．(1)求f (x )的最小正周期及解析式；(2)设g (x )＝f (x )－cos 2x ，讨论函数g (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的单调性． 解析：(1)由题图可知A ＝1，12×2πω＝2π3－π6，故ω＝2， 所以f (x )的最小正周期为T ＝2πω＝π. 当x ＝π6时，f ⎝⎛⎭⎫π6＝1，即sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝1，因为|φ|<π2，所以φ＝π6. 所以f (x )的解析式为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. (2)g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－co s 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， 令z ＝2x －π6，函数y ＝sin z 的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z. 由－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z. 设A ＝⎣⎡⎦⎤0，π2，B ＝x ⎪⎪⎭⎬⎫－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z .易知A ∩B ＝⎣⎡⎦⎤0，π3. 所以当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减． 题型四 三角函数模型的简单应用1．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ( A >0，ω>0，|φ|<π2 )的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价9千元，9月份价格最低为5千元．则7月份的出厂价格为________元．解析：作出函数简图如图：三角函数模型为：y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B ，由题意知：A ＝2 000，B ＝7 000，T ＝2×(9－3)＝12，∴ω＝2πT ＝π6.将(3，9 000)看成函数图象的第二个特殊点，则有π6×3＋φ＝π2，∴φ＝0，故f (x )＝2 000sin π6x ＋7 000(1≤x ≤12，x ∈N *)．∴f (7)＝2 000×sin 7π6＋7 000＝6 000.故7月份的出厂价格为6 000元．2．如图，某地夏天从8～14时用电量变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b ⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2.(1)求这一天的最大用电量及最小用电量．(2)写出这段曲线的函数解析式． 解析：(1)最大用电量为50万kW·h ，最小用电量为30万kW·h.(2)由图象可知，8～14时的图象是y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的半个周期的图象，∴A ＝12×(50－30)＝10，b ＝12×(50＋30)＝40. ∵12×2πω＝14－8，∴ω＝π6.∴y ＝10sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋φ＋40. 将x ＝8，y ＝30代入上式，解得φ＝π6. ∴所求解析式为y ＝10sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋π6＋40，x ∈[8,14]．。
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与 y＝3 的交点有 30 个点，即 x1，x2 关于 对称，x2，
x3 关于 对称，…，即 x1+x2
2，x2+x3
2，…，x30+x31＝2
将以上各式相加得：x1+2x2+2x3+…+2x28+2x29+2x30+x31＝2（
）＝（2+5+8+…+89）
455π 故选：C．
命题点 3 三角函数图象性质的综合 【典型例题】
，
∴要使 sin（2ωx
） ，在 0≤x 上有三个根，
∴
2π≤ωπ
4π，
得 2π≤ωπ
，即 2≤ω ，
即 ω 的取值范围是[2， ）， 故选：A．
【再练一题】
已知函数
，若函数 F（x）＝f（x）﹣3 的所有零点依次记为 x1，x2，x3，…，
xn，且 x1＜x2＜x3＜…＜xn，则 x1+2x2+2x3+…+2xn﹣1+xn＝（ ）
重点难点突破 【题型一】函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换
【典型例题】
已知向量 （cosx， ）， （ sinx，cos2x），x∈R，设函数 f（x） • ． （1）求 f（x）的表达式并完成下面的表格和画出 f（x）在[0，π]范围内的大致图象；
0
π
x
0
π
f（x）
（2）若方程 f（x）﹣m＝0 在[0，π]上有两个根 α、β，求 m 的取值范围及 α+β 的值．
B．f（x）的最小正周期为
C．y＝f（x）的图象关于点
对称
D．f（x）在
单调递增
【解答】解：函数 y＝sin2x 的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，可得：y＝sinx，
即 f（x）＝sinx．
根据正弦函数的图象及性质：可知：对称轴 x 周期 T＝2π，∴B 不对． 对称中心坐标为：（kπ，0），∴C 不对．
当x
时，可得 y≠0，∴B 不对．
令
2x
，可得
，∴C 不对．
函数 y＝2cos2x 的图象向右平移 个单位，可得 2cos2（x
）＝2co（s 2x
）＝2sin（2x
）
＝2sin（2x 故选：D．
）．∴D 项正确．
思维升华 (1)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象 转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题． (2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数． (3)研究 y＝Asin(ωx＋φ)的性质时可将 ωx＋φ 视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．
A．
B．
C．
D．
【解答】解：根据函数 y＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象，
可得： T •
，
解得：ω＝2，
由于点（ ，2）在函数图象上，可得：2sin（2
φ）＝2，可得：2
φ＝2kπ ，k∈Z，
解得：φ＝2kπ ，k∈Z， 由于：0＜φ＜π，
可得：φ ，即 y＝2sin（2x ），
∴
，
由
，得 sin2θ ，
又 2θ∈（0，π），∴ 2θ ，
则θ．
∴∠POQ 的大小范围为
．
故答案为：
．
【再练一题】
海上一艘轮船以 60nmile/h 的速度向正东方向航行，在 A 处测得小岛 C 在北偏西 30°的方向上，小岛 D 在
北偏东 30°的方向上，航行 20min 后到达 B 处测得小岛 C 在北偏西 60°的方向上，小岛 D 在北偏西 15°
基础知识训练
1．【山东省日照市 2019 届高三 5 月校际联合考试】将函数
到 g x 图象，则函数的解析式是（ ）
A．
B．
的图象向右平移 个单位长度得 6
C．
D．
【答案】C 【解析】 由题意，将函数 可得 故选：C．
的图象向右平移 个单位长度， 6
的图象.
2．【辽宁省朝阳市重点高中 2019 届高三第四次模拟】已知函数
【题型三】三角函数图象性质的应用
命题点 1 三角函数模型 【典型例题】
如图，扇形 OAB 的半径为 1，圆心角为 ，若 P 为弧 上异于 A，B 的点，且 PQ⊥OB 交 OB 于 Q 点，当
△POQ 的面积大于 时，∠POQ 的大小范围为
．
【解答】解：设∠POQ＝θ，则 PQ＝sinθ，OQ＝cosθ，（0＜θ ）．
∴解得：CD＝10 ．
即目标 C、D 之间的距离为 10 ．
故答案为：10 ．
命题点 2 函数零点(方程根)问题 【典型例题】
已知函数 f（x）＝2sin（ωx ）sin（ωx ）（ω＞0），若函数 g（x）＝f（x） 三个零点，则 ω 的取值范围为（ ）
在[0， ]上有且只有
A．[2， ）
Байду номын сангаас
B．（2， ）
C．横坐标缩短为原来的 1 ，纵坐标不变，再向右平移 个单位
2
6
D．横坐标缩短为原来的 1 ，纵坐标不变，再向左平移 个单位
2
6
【答案】A
【解析】
把函数
的图像上所有点的横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变得到函数
故选 A
，再将函数
的图像上所有点向右平移 个单位得到函数 y sinx 。
6
4．【上海市崇明区 2019 届高三三模】将函数
已知函数 （）
（ω＞0），且
，当 ω 取最小值时，以下命题中假命题是
A．函数 f（x）的图象关于直线
对称
B．
是函数 f（x）的一个零点
C．函数 f（x）的图象可由
的图象向左平移 个单位得到
D．函数 f（x）在
上是增函数
【解答】解：f（x） sinωx cosωx+cosωx sinωx cosωx sin（ωx ），
∵f（ ） sin（ π ）＝0，
∴π
kπ，∴ω＝3k﹣1，k∈Z．
∵ω＞0，∴ω 的最小值为 2．
此时 f（x） sin（2x ）．
∵f（ ） sin
，
∴当 x
时，f（x）取得最大值，故 A 正确；
∵f（ ）＝0，∴x
是 f（x）的零点，故 B 正确；
∵f（x） sin[2（x ）]，∴f（x）的图象由 g（x）的图象向右平移 个单位得到，故 C 错误；
所以
，
因此，为了得到函数
的图象，只需将
的图象向右平移 个单位长度. 12
故选 D
3．【安徽省合肥市 2019 届高三第三次教学质量检测】为了得到函数 y sin x 的图像，只需将函数
的图像（ ）
A．横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变，再向右平移 个单位 6
B．横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变，再向左平移 个单位 6
基础知识融会贯通
1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ)(A>0， 振幅
ω>0)，x∈R
A
周期 T＝2ωπ
频率 f＝T1＝2ωπ
相位 ωx＋φ
初相 φ
2.用五点法画 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈R)一个周期内的简图时，要找五个特征点 如下表所示：
x
0－φ ω
π2－φ ω
令 2kπ
2x
2kπ ，k∈Z，解得：kπ
x≤kπ ，k∈Z，
可得：则函数 f（x）的单调递增区间为：[kπ 故选：C．
，kπ ]，k∈Z．
思维升华 y＝Asin(ωx＋φ)中 φ 的确定方法 (1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高 点或最低点代入． (2)五点法：确定 φ 值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．
的图像上所有的点向右平移 个单位长度， 4
再把图像上各点的横坐标扩大到原来的 2 倍（纵坐标不变），则所得图像的解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A 【解析】
向右平移 个单位长度得： 4
横坐标扩大到原来的 2 倍得：
本题正确选项： A
5．【山东省威海市 2019 届高三二模考试】函数
的图象可由 y cos2x 的图象如何得到( )
【题型二】由图象确定 y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
【典型例题】
函数 y＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示．则 （f π）＝（ ）
A．1
B．
C．
D．2
【解答】解：根据函数 y＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象，
可得： T •
，
解得：ω＝2，
由于点（ ，2）在函数图象上，可得：2sin（2
A．
B．445π
C．455π
D．
【解答】解：函数
，
令 2x
kπ 得 x
，k∈Z，即 f（x）的对称轴方程为 x
，k∈Z．
∵f（x）的最小正周期为 T＝π，0≤x
，
当 k＝0 时，可得第一根对称轴 x ，当 k＝30 时，可得 x
，
∴f（x）在[0， ]上有 30 条对称轴，
根据正弦函数的性质可知：函数
C．[
）
D．（
）
【解答】解：f（x）＝2sin（ωx ）sin（ωx ）＝2sin（ωx
）sin（ωx ）
＝﹣2cos（ωx ）sin（ωx ）＝﹣sin（2ωx
），
由 g（x）＝f（x）
0 得 f（x）
，