人教A版高中数学必修二课件：第二章 2.3 2.3.4直线、平面垂直的判定及其性质(共69张PPT)
人教A版高中数学必修二课件：第二章 2.3 2.3.1直线、平面垂直的判定及其性质(共58张PPT)
人教版高中数学必修2(A版) 2.3.2平面与平面垂直的判定 PPT课件
类似地，下面的这个二面角应该如何表示？
Q l
B P
二面角的表示
(1)二面角－AB－ (2)二面角P AB Q (3)二面角 l (4)二面角P l Q
A
三.新知的探索 思考4：我们常说“把门开得大一些”，是指哪个角
大一些？
三.新知的探索
在上述变化过程中，图形在变化，形成的二面角也在变化， 我们应该怎样刻画二面角的大小？
2.3.2平面与平面垂直的判定
一.复习与回顾
1.1如何作出两条异面直线的夹角？ 1.2如何作出斜线与平面的夹角？ “空间问题平面化” 1.3在研究上述两个问题时，我们采用了相同的方法，即将 空间角的问题转化为平面角进行处理.
P
a
a
O
a
b/
A
B
b
二.新知的引入
三.新知的探索
我们知道直线上的一点将直线分割成两部分， 每一部分分别叫射线. 那么平面上的一条直线将整个平面一分为二， 每一部分应该叫做什么呢？
（2）角的两边分别在两个面内
（3）角的两边都要垂直于二面角的棱
三.新知的探索 观察：
1.教室相邻的两个墙面分别与地面所成的二面角是多少度？ 相邻的两个墙面所成的二面角又是多少度？
2.教室相邻的两个墙面分别与地面有什么样的位置关系？ 相邻的两个墙面又有什么位置关系呢？
三.新知的探索 3.4定义：
线线垂直
线面垂直
面面垂直
3.转化与化归思想：空间问题平面化处理 习题2.3 必做题A组 第1题、第2题 选做题B组 第1题
P
PA BC PA AC A
BC AC
高一数学人教A版必修2232平面与平面垂直的判定.ppt
[知识拓展](1)二面角的平面角的大小是由二面角的两个面 的位置唯一确定的，与选择棱上的点的位置无关．
(2)平面角的两边分别在二面角的两个面内，且两边都与 二面角的棱垂直，这个角所确定的平面与棱垂直．
第二章 2．3 2．3.2
在长方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角A－BC－A1的平面 角是( )
第二章 2．3 2．3.2
已知Rt△ABC中，AB＝AC＝1，AD是斜边BC上的高，以 AD为折痕将△ABD折起，使∠BDC成直角．
求证：(1)平面ABD⊥平面BDC，平面ACD⊥平面BDC； (2)∠BAC＝60°.
第二章 2．3 2．3.2
[证明] (1)如图(1)，∵AD⊥BC，
第二章 2．3 2．3.2
∴BC＝ 2BD＝ 2× 22＝1. ∴AB＝AC＝BC.∴∠BAC＝60°.
第二章 2．3 2．3.2
建模应用之路
第二章 2．3 2．3.2
命题方向 二面角的实际应用 [例3] 如图：一山坡的坡面与水平面成30°的二面角， 坡面上有一直道AB，它和坡脚的水平线成30°的角，沿这山 路行走20m后升高了多少米？
[答案] D
第二章 2．3 2．3.2
7．如图，△ADB和△ADC都是以D为直角顶点的直角三 角形，且AD＝BD＝CD，∠BAC＝60°，则直线AD⊥平面 BDC ；直线BD⊥平面ADC；直线CD⊥平面ABD .
[答案] BDC ADC ABD
第二章 2．3 2．3.2
新课引入
第二章 2．3 2．3.2
命题方向 面面垂直的判定 [例2] 如图所示，已知△ABC中，∠ABC＝90°，P为△ ABC所在平面外一点，PA＝PB＝PC.求证平面PAC⊥平面 ABC.
高一数学人教A版必修2课件：2.3.1直线与平面垂直的判定 教学课件
[ 思路分析]
(1) 求线面角的关键是找出直线在平面内的射影，为此须找出
过直线上一点的平面的垂线． (2) 中过 A1 作平面 BDD1B1 的垂线，该垂线必与 B1D1、BB1垂直，由正方体的特性知，直线A1C1满足要求．
[ 解析]
(1)∵直线 A1A⊥平面 ABCD， ∴∠A1CA 为直线 A1C 与平面 ABCD 所
∵∠ABC＝90°，∴AB⊥BC.
又AB∩PA＝A，∴BC⊥平面PAB. (2)∵BC⊥平面PAB，AE⊂平面PAB，∴BC⊥AE.
∵PB⊥AE，BC∩PB＝B，∴AE⊥平面PBC.
(3)∵AE⊥平面PBC，PC⊂平面PBC， ∴AE⊥PC.∵AF⊥PC，AE∩AF＝A，∴PC⊥平面AEF.
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第二章 点、直线、平面之间的位置关系
命题方向2 ⇨直线与平面所成的角
在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中， 导学号 09024474
(1)求直线 A1C 与平面 ABCD 所成的角的正切值； (2)求直线 A1B 与平面 BDD1B1 所成的角．
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第二章 点、直线、平面之间的位置关系
又 BB1∥AA1，∴CD⊥BB1， 又 AA1⊂平面 ABB1A1，BB1⊂平面 ABB1A1， ∴CD⊥平面 ABB1A1.
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第二章 点、直线、平面之间的位置关系
[ 错因分析]
错解中 AA1 和BB1 是平面 ABB1A1 内的两条平行直线，不是相交
直线，故不满足直线与平面垂直的判定定理的条件．
第二章 点、
线面垂直的判定方法：
(1)证明线面垂直的方法
①线面垂直的定义．
②线面垂直的判定定理． ③如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直 于这个平面． ④如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一 个平面．
高中数学第二章点直线平面之间的位置关系2.3.1直线与平面垂直的判定课件新人教A版必修2
错解:因为F,G分别为棱B1B,C1C的中点,所以BC∥FG. 因为BC⊥AB,BC⊥B1B,且B1B∩AB=B, 所以BC⊥平面A1ABB1. 又因为B1E⊂平面A1ABB1, 所以BC⊥B1E, 即FG⊥B1E. 同理A1D1⊥B1E,所以B1E⊥平面A1FGD1. 纠错:本题的错误在于只证明了直线和平面内的两条平行直线垂直,不符
(2)求直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值.
(2)解:作 A1F⊥DE,垂足为 F,连接 BF. 因为 A1E⊥平面 ABC,所以 BC⊥A1E. 因为 BC⊥AE,所以 BC⊥平面 AA1DE.所以 BC⊥A1F,所以 A1F⊥平面 BB1C1C. 所以∠A1BF 为直线 A1B 和平面 BB1C1C 所成的角.
(1)证明:A1D⊥平面A1BC;
(1)证明:设E为BC的中点,连接A1E,AE.由题意得A1E⊥平面ABC,所以 A1E⊥AE. 因为AB=AC,所以AE⊥BC. 故AE⊥平面A1BC. 连接DE,由D,E分别为B1C1,BC的中点,得DE∥B1B且DE=B1B, 从而DE∥A1A且DE=A1A, 所以AA1DE为平行四边形. 于是A1D∥AE. 又因为AE⊥平面A1BC,所以A1D⊥平面A1BC.
和这个平面所成的角.
锐角
(2)一条直线垂直于平面,称它们所成的角是 直角 ;一条直线在平面内或 一条直线和平面平行,称它们所成的角是 0° 的角,于是,直线与平面 所成的角θ 的范围是0°≤θ ≤90°.
自我检测
1.(线面垂直的性质)已知直线a⊥平面α ,直线b∥平面α ,则a与b的关系为
(B ) (A)a∥b
在 Rt△A1NB1 中,sin∠A1B1N= A1N = 1 ,因此∠A1B1N=30°.所以,直线 A1B1 与平面 BCB1 所成的角为 A1B1 2
高中数学 2.3.3-2.3.4直线与平面垂直的性质 平面与平面垂直的性质课件 新人教A版必修2
试判断直线
a与平面β的位置关系。
β B α A
a
学法小结
1. 直线与平面垂直的性质； 2. 平面与平面垂直的性质。
例题精析 例1：如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′ 中，求证：平面ACC′A′⊥平面A′BDC′。
D′ A′
B′
C′
D
A B
C
B. 研读教材P71： 1. 平面与平面垂直的性质； 2. 平面与平面垂直的性质证明体现了“线面” 维度间怎样的联系？
3. 例题精析：
（1）P72 例4，如图，已知平面α、β， α⊥β，直线a满足α⊥β，
a
α，试判断直线a与平面
α a β
α的位置关系。
（2）P72
探究，平面α、β，直线a，且α⊥β=AB，a //α，a ⊥ AB，
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高中数学课件
知识回顾 1. 直线与平面、平面与平面垂直的判定； 2. 直线、平面间所成的三类角的研究方法。
. 直线与平面垂直的性质； 2. 研究直线与平面垂直的性质的证明，体会 几何证明的方法及维度的选择？
3. 自我检测：
（1）教材P71练习部分； （2）教材P71探究部分。
高中数学人教A版必修二 2.3.3 直线与平面垂直的性质2.3.4 平面与平面垂直的性质 课件(39张)
要点 1 直线与平面垂直的性质定理 (1)文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行．
(2)图形语言： (3)符号语言：a⊥α，b⊥α⇒a∥b.
要点 2 直线 l 与平面 α 垂直，则 l 垂直于 α 内的任意一条 直线
要点 3 平面与平面垂直的性质定理 (1)文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直 线与另一个平面垂直．
探究 2 证明面面平行的方法： ①定义，②判定定理，③判定定理的推论，④平行公理的传 递性，⑤本题结论．
思考题 2 已知正方体 ABCD－A1B1C1D1，棱长为 a，
(1)截面 AB1D1 和截面 C1BD 的位置关系如何？并证明； (2)求 C 点到截面 BDC1 的距离； (3)截面 AB1D1 和截面 C1BD 之间的距离是多少？ 【答案】 (1)平行，(可证明两截面都与直线 A1C 垂直) (2) 33a(可用等积法)
又 PD∩CD＝D，∴AE⊥平面 PCD. ② 由①，②可知 AE∥MN.
题型二 证明面面平行
例 2 和同一条直线垂直的两个平面互相平行． 已知：直线 l⊥平面 α，直线 l⊥平面 β. 求证：α∥β.
【证明】 假设 α 与 β 不平行，则 α 与 β 相交，设 α∩β＝m.
设 l∩α＝A，l∩β＝B，如图． 在 m 上取一点 D，则 l 和 D 确定一个平面 γ. 连接 BD、AD，则 AD⊂γ，AD⊂α，BD⊂γ，BD⊂β. ∵l⊥α，l⊥β，∴l⊥AD，l⊥BD. 这与在平面内过直线外一点只能作一条已知直线的垂线相 矛盾， ∴α∥β.
【证明】 (1)连接 BD.∵四边形 ABCD 为菱形，且∠DAB ＝60°，
∴BG⊥AD. ∵平面 PAD⊥平面 ABCD，BD⊂平面 ABCD，平面 PAD∩ 平面 ABCD＝AD. ∴BG⊥平面 PAD.
人教A版高中数学必修二课件 《空间直线、平面的垂直》(直线与直线垂直、直线与平面垂直的定义及判定)
3．[变条件]本例中的条件“AE⊥PB 于点 E， AF⊥PC 于点 F”，改为“E，F 分别是 AB， PC 的中点，PA＝AD”，其他条件不变，求证： EF⊥平面 PCD.
证明：取 PD 的中点 G，连接 AG，FG. 因为 G，F 分别是 PD，PC 的中点， 所以 GF═∥12CD，又 AE═ ∥12CD，所以 GF═ ∥AE， 所以四边形 AEFG 是平行四边形，所以 AG∥EF. 因为 PA＝AD，G 是 PD 的中点， 所以 AG⊥PD，所以 EF⊥PD， 易知 CD⊥平面 PAD，AG⊂平面 PAD， 所以 CD⊥AG，所以 EF⊥CD. 因为 PD∩CD＝D，所以 EF⊥平面 PCD.
8．6 空间直线、平面的垂直 第1课时直线与直线垂直、直线与平面垂直的定义及判定
第八章 立体几何初步
考点
学习目标
核心素养
会用两条异面直线所成角的
直观想象、逻辑
异面直线所成的 定义，找出或作出异面直线
推理、
角
所成的角，会在三角形中求简
数学运算
单的异面直线所成的角
第八章 立体几何初步
考点
学习目标
核心素养
所以∠GFE(或其补角)就是异面直线 EF 与 AB 所成的角，EG ＝GF. 因为 AB⊥CD，所以 EG⊥GF. 所以∠EGF＝90°. 所以△EFG 为等腰直角三角形． 所以∠GFE＝45°， 即 EF 与 AB 所成的角为 45°.
直线与平面垂直的定义
(1)直线 l⊥平面 α，直线 m⊂α，则 l 与 m 不可能( )
解析：当 l 与 α 内的一条直线垂直时，不能保证 l 与平面 α 垂 直，所以①不正确；当 l 与 α 不垂直时，l 可能与 α 内的无数条 平行直线垂直，所以②不正确，③正确．根据线面垂直的定义， 若 l⊥α，则 l 与 α 内的所有直线都垂直，所以④正确． 答案：③④
数学：《直线与平面垂直的判定定理》课件(人教a版必修2)
再将绳子拉直与地面交 与另一点D，D与B，C不共线，连接 BD，
若AB与BC，AB与CD都垂直，则旗杆 与地面垂直，否则不垂 直。
变式：有一根旗杆和一条比它长的绳子，请设计一个方案用
一把皮尺来判断旗杆是否与地面垂直，并说明理由。
A
D C B
例2.已知a∥b, a ⊥ 求证: b ⊥
a
m
b
n
O
练习
在空间四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD， 求证：对角线AC BD。
A
1.
证明 取BD的中点E , 连接AE, CE ,
：
AB AD, AEBD,
D
B E
BC DC, CEBD, 又 Nhomakorabea AE CE E , BD平面ACE, AC 平面ACE, BDAC
间接法
如果两条 平行直线中的 一条垂直于一 个平面，那么 另一条也垂直 于同一个平面。
定义法
此直线垂直于这个平面
；
/ 天津网站建设公司
hnq073dgk
辉煌，尤其是那些啤酒厂的员老们常常神情沮丧地念叨，他们眼前都经历过这样的一幕幕情景：八十年代的啤酒咋卖得那么快， 大年三十还在厂里加班加点地生产，排成队的卡车在车间门外等，还有船在码头等着装啤酒。市场投诉？能买到啤酒就已经是 幸运的了，哪里还有市场投诉；啤酒有悬浮物不要紧，照样喝，那是蛋白营养物质；有不干净的东西，把不干净的东西捞掉再 喝，还说：啤酒是粮食做的，不能浪费„„这些金典语录是骄傲、是炫耀。然而过去的美好时光都如美丽炫目的肥皂泡一样瞬 间消失了，整个啤酒厂都沉浸在过去的光环之中不愿苏醒，日子仍旧在一天天消磨着，人们逐渐迟钝麻木，听天由命，温水煮 青蛙效应遍及全厂，就像人们在微烫的水中洗澡，底下在用火在烧一样。就在这一段时间，厂里的财务出现了状况。话说有一 天，马启明到财务科去报前几天出差的费用，正好碰到供应科的秦天雅，也要到财务科去。秦天雅说包装车间需要三千多元购 买一些设备备件，供应商要先打50%的钱，后付设备备件，他想去问一下财务科最近厂里有没有钱。他们就边走边聊，秦天雅 笑着说道：“我给你讲个段子。有一个学生问大人：‘大粪的粪怎么写？’大人想了想，把手放在嘴下面，苦思冥想地说： ‘唉！怎么刚到嘴边就是不出来！’”秦天雅看马启明不笑，就接着说：“我有一次去北京，看北京是如何欺负老外的，公交 站名‘北京西站南广场东是哪里？搞得老外晕晕乎乎。’报站时说‘前门到了，请从后门下车！’我亲眼见老外当场就傻眼 了。”一进财务科，秦天雅刚张嘴问道：“邱科长，包装车间想买一些备件„„”邱德喜立即打断了秦天雅的话，给他致命一 击：“等一段时间，账上暂时没有钱。”“还等，车间里都打了好几次电话了。如果再买不回来的话，就影响正常生产了，我 就要跳楼了。”秦天雅还垂死挣扎地说道，说要跳楼是临死之前的遗言。“邱科长，这么大的厂子怎会连这么点钱也没有？你 是哭穷吧！”马启明开玩笑地问道。其实他也知道，近来厂里资金周转有些困难，但没想到竟到了连这点购买设备备件的钱都 拿不出来的地步。以前需要什么配件只要给供应商打个电话立刻送货上门，结账的事根本不用担心，可现在却是没钱免谈。 “金钱社会”到这里体现得淋漓尽致。“正在想办法。”邱德喜没有正面回答，只是抬头问道：“我马上还要去开会。马启明， 你有什么事?”“我来把出差的发票报了，才200多元。”马启明生怕邱德喜说没有钱，所以他强调说才200多元钱。如果厂子 连200多元都没有的话，那厂子不就有问题了吗？而且还是大问题。他满怀期待地看着邱德喜，还好邱德喜没有回绝，签了字 站起来，摇摇头，无可奈何地说：“资金是企业的命脉，没有资金，就没有
人教版高中数学必修2第二章2.3直线、平面垂直的判定及其性质：2.3.1 直线与平面垂直的判定
n
②该定理作用：“线线垂直线面垂直”
③应用该定理，关键是证明在平面内有两条相交直线与已知直线
垂直，至于这两条直线是否与已知直线有公共点则是无关紧要的.
例 一旗杆高8m，在它的顶点处系两条长10m的绳子， 拉紧绳子并把它们的下端固定在地面上的两点（与旗杆 脚不在同一条直线上）.如果这两点与旗杆脚距6m，那 么旗杆就与地面垂直，为什么？
☆直线和平面所成角的取值范围为 [0°,90°]
例 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，求：
(1) 直线A1B和平面BCC1B1所成的角；
(2) 直线A1B和平面A1B1CD所成的角.
分析:
D1
关键是找出平面BCC1B1和平面 A1 A1B1CD内的垂线.
D
A
C1 B1
O
C B
练习
如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:
注1：
①定义中的“任意一条直线”与“所有直线”是同义词，但与 “无数条直线”不同. ②该定义作用：“线面垂直线线平行”，这是判断两条直线
垂直时经常使用的一种方法，即a , b a b
③过一点有且只有一条直线与已知平面垂直；
过一点有且只有一一个平面与已知直线垂直.
辨析
探究
有没有比较方便可行的方法来判断直线和平面垂直呢？
C1 B1
C B
和两个平面同时垂直的直线，叫做两个平面的公垂线，
夹在两个平行平面中间的部分，叫做两个平行平面的公 垂线段.这个公垂线段的长度叫做两个平行平面的距离.
back
练习
正方体AC1的棱长为a ， (1) 求证：BD⊥平面ACC1A1 (2) 设P为D1D中点，求P到平面ACC1A1的距离.
人教A版高中数学必修二课件：第二章 2.3 2.3.3直线、平面垂直的判定及其性质(共55张PPT)
一日不读口生，一日不写手生。 一个人的度量是一种精神力量，是一股强大的文明力量。 成功的信念在人脑中的作用就如闹钟，会在你需要时将你唤醒。 骄傲是断了引线的风筝稍纵即逝。 好好扮演自己的角色，做自己该做的事。 不要抱怨，重要的是结束之后就不要悔恨。 瀑布对悬崖无可畏惧，所以唱出气势磅礴的生命之歌。 别着急要结果，先问自己够不够格，付出要配得上结果，工夫到位了，结果自然就出来了。 成功是一种观念，成功是一种思想，成功是一种习惯，成功是一种心态。 人只要不失去方向，就不会失去自己。 雄心壮志是茫茫黑夜中的北斗星。 第一个青春是上帝给的；第二个的青春是靠自己努力的。 做最好的今天，回顾最好的昨天，迎接最美好的明天。 你能够先知先觉地领导产业，后知后觉地苦苦追赶，或不知不觉地被淘汰。 只要还有明天，今天就永远是起跑线。 不要抱怨自己所处的环境，如果改变不了环境，那么就改变自己的心态。 只要你在路上，就不要放弃前进的勇气，走走停停的生活会一直继续。 困难越大，荣耀也越大。 好习惯的养成，在于不受坏习惯的诱惑。
高一数学人教A版必修2课件：2.3.1直线与平面垂直的判定 教学课件
数学必修② · 人教A版第二章点、直线、平面之间的位置关系2.3直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1直线与平面垂直的判定1 自主预习学案2 互动探究学案3 课时作业学案自主预习学案一个人走在灯火通明的大街上，会在地面上形成影子，随着人不停走动，这个影子忽前忽后、忽左忽右，但无论怎样，人始终与影子相交于一点，并始终保持垂直．你承认这个事实吗？为什么？1．直线与平面垂直定义如果直线l与平面α内的____________直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直记法l⊥α有关概念直线l叫做平面α的_______，平面α叫做直线l的_______．它们唯一的公共点P叫做_________．任意一条垂线垂面垂足图示画法画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直[归纳总结](1)定义中的“任任任任任任”任任任任任“任任任任”任任任任任任“任任任任任”任任任任任任(2)任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任(3)任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任2．判定定理文字语言一条直线与一个平面内的两条________直线都垂直，则该直线与此平面垂直图形语言符号语言 l ⊥a ，l ⊥b ，a ⊂α，b ⊂α，__________⇒l ⊥α 作用判断直线与平面垂直相交 a ∩b ＝P[归纳总结]直线与平面垂直的判定定理告诉我们：可以通过直线间的垂直任任任任任任任任任任任任任任任任任任任“任任任任任任任任任任”．任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任3．直线和平面所成的角(1)定义：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面______，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的______叫做斜足．过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过_______和______的直线叫做斜线在这个平面上的射影．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的______，叫做这条直线和这个平面所成的角．(2)规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角等于______；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角等于______.因此，直线与平面所成的角的范围是____________． 垂直 交点 垂足 斜足 锐角 90° 0° [0°，90°][解析] ∵直线l ⊥任任α任∴l 任α任任任任∵m ⊂α任∴l 任m 任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任l ⊥m .任l 任m 任任任任任任1．直线l ⊥平面α，直线m ⊂α，则l 与m 不可能导学号 09024468() A ．平行 B ．相交 C ．异面 D ．垂直A2．直线l 与平面α内的无数条直线垂直，则直线l 与平面α的关系是导学号 09024469( )A ．l 和平面α相互平行B ．l 和平面α相互垂直C ．l 在平面α内D ．不能确定[解析] 如下图所示，直线l 和平面α相互平行，或直线l 和平面α相互垂直或直线l在平面α内都有可能．故选D ．D3．(2016～2017·福州高二检测)在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，P A⊥平面ABC，P A＝8，则P到BC的距离是导学号09024471()A．5B．25C．35D．4 5[解析]取BC的中点D，∵AB＝AC，∴AD⊥BC. 又∵P A⊥平面ABC，∴P A⊥BC.又P A∩AD＝D，∴BC⊥平面P AD，∴BC⊥PD.∵在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，∴AD＝4，∴PD＝P A2＋AD2＝4 5.故选D．D互动探究学案命题方向1⇨线面垂直的判定如图，P为△ABC所在平面外一点，P A⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F.求证：导学号 09024472(1)BC⊥平面P AB；(2)AE⊥平面PBC；(3)PC⊥平面AEF.[思路分析]本题是证线面垂直问题，要多观察题目中的一些“垂直”关系，看是否可利用．如看到PA⊥平面ABC，可想到PA⊥AB、PA⊥BC、PA⊥AC，这些垂直关系我们需要哪个呢？我们需要的是PA⊥BC，联系已知，问题得证．[解析](1)∵PA⊥平面ABC任BC⊂任任ABC任∴PA⊥BC.∵∠ABC任90°任∴AB⊥BC.任AB∩PA任A任∴BC⊥任任PAB.(2)∵BC⊥任任PAB任AE⊂任任PAB任∴BC⊥AE.∵PB⊥AE任BC∩PB任B任∴AE⊥任任PBC.(3)∵AE⊥任任PBC任PC⊂任任PBC任∴AE⊥PC.∵AF⊥PC任AE∩AF任A任∴PC⊥任任AEF.『规律方法』线面垂直的判定方法：(1)任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任(2)利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的步骤：任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任(3)任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任〔跟踪练习1〕如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，S是△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC.导学号 09024473(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.[解析](1)因为SA＝SC，D是AC的中点，所以SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝BD，由已知SA＝SB，所以△ADS≌△BDS，所以SD⊥BD，又AC∩BD＝D，所以SD⊥平面ABC.(2)因为AB＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC，由(1)知SD⊥BD，又因为SD∩AC＝D，所以BD⊥平面SAC.命题方向2⇨直线与平面所成的角在正方体ABCD－A1B1C1D1中，导学号 09024474(1)求直线A1C与平面ABCD所成的角的正切值；(2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角．[思路分析](1)求线面角的关键是找出直线在平面内的射影，为此须找出过直线上一点的平面的垂线．(2)中过A1作平面BDD1B1的垂线，该垂线必与B 1D1、BB1垂直，由正方体的特性知，直线A1C1满足要求．[解析](1)∵直线A1A⊥平面ABCD，∴∠A1CA为直线A1C与平面ABCD所成的角，设A1A＝1，则AC＝2，∴tan∠A1CA＝2 2.(2)连接A1C1交B1D1于O，在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，∵BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1⊂平面A1B1C1D1，∴BB1⊥A1C1，又BB1∩B1D1＝B1，∴A1C1⊥平面BDD1B1，垂足为O.∴∠A1BO为直线A1B与平面BDD1B1所成的角，在Rt△A1BO中，A1O＝12A1C1＝12A1B，∴∠A1BO＝30°.即A1B与平面BDD1B1所成的角为30°.『规律方法』求线面角的方法：(1)任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任(2)任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任〔跟踪练习2〕如图，在三棱柱ΑΒC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，A1A＝4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．导学号 09024475(1)证明：A1D⊥平面A1BC；(2)求直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值．[解析] (1)取BC 任任任E 任任任A 1E 任DE 任AE 任任任任任A 1E ⊥任任ABC 任任任A 1E ⊥AE 任任任AB 任AC 任任任AE ⊥BC 任任AE ⊥任任A 1BC 任任D 任E 任任任B 1C 1任BC 任任任任任DE ∥B 1B 任DE 任B 1B 任任任DE ∥A 1A 任 任任任任任A 1AED 任任任任任任任任A 1D ∥AE 任任任任AE ⊥任任A 1BC 任任任A 1D ⊥任任A 1BC .(2)作A 1F ⊥DE ，垂足为F ，连接BF .因为A 1E ⊥平面ABC ，所以BC ⊥A 1E .因为BC ⊥AE ，所以BC ⊥平面AA 1DE .所以BC ⊥A 1F ，A 1F ⊥平面BB 1C 1C .所以∠A 1BF 为直线A 1B 与平面BB 1C 1C 所成的角．由AB ＝AC ＝2，∠CAB ＝90°，得EA ＝EB ＝ 2.由∠A1EA ＝∠A 1EB ＝90°，得A 1A ＝A 1B ＝4，A 1E ＝14.由DE ＝BB 1＝4，DA 1＝EA ＝2，∠DA 1E ＝90°，得A 1F ＝72.所以sin ∠A 1BF ＝78.逻辑推理不严密致误如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AC＝BC，D 是AB的中点，连接CD.求证：CD⊥平面ABB1A1.导学号 09024476[错解]∵AA1⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，∴CD⊥AA1.又BB1∥AA1，∴CD⊥BB1，又AA1⊂平面ABB1A1，BB1⊂平面ABB1A1，∴CD⊥平面ABB1A1.[错因分析]错解中AA1任BB1任任任ABB1A1任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任[正解]∵AA1⊥任任ABC任CD⊂任任ABC任∴CD⊥AA1.任AC任BC任D任AB任任任任∴CD⊥AB.∵AB⊂任任ABB1A1任AA1⊂任任ABB1A1任AB∩AA1任A任∴CD⊥任任ABB1A 1 .[警示]任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任.〔跟踪练习3〕如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，AB ＝AC ＝1，AA 1＝2，∠B 1A 2C 1＝90°，D 为BB 1的中点．求证：AD ⊥平面A 1DC 1. 导学号09024477[错解] 在三棱柱中，∵AA 1⊥平面ABC ，∠B 1A 1C 1＝90°，∴AD ⊥A 1C 1；又从图可知AD ⊥平面BCC 1B 1，∴AD ⊥C 1D ，∴AD ⊥平面A 1DC 1.[辨析]前半部分任任任任任任任任任任任任任AD⊥A1C1任任任任任任任任任任任任任任AD⊥任任BCC1B1任任任任任任任任任任任任任[分析]任任任C1A1⊥任任ABB1A1任任AD⊥C1A1任任任任任ABB1A1任任任任任任任任AD⊥A1D.[证明]∵AA1⊥任任ABC任任任A1B1C1∥任任ABC任∴AA1⊥任任A1B1C1.∴A1C1⊥AA1.任∠B1A1C1任90°任∴A1C1⊥A1B1.而A1B1∩AA1＝A，∴A1C1⊥平面AA1B1B，AD⊂平面AA1B1B，∴A1C1⊥AD.由已知计算得AD＝2，A1D＝2，AA1＝2. ∴AD2＋A1D2＝AA21，∴A1D⊥AD.∵A1C1∩A1D＝A1，∴AD⊥平面A1DC1.1．线线垂直和线面垂直的相互转化(2016～2017·湖南张家界高一期末)如图，在棱长均为1的直三棱柱ABC－A1B1C1中，D是BC的中点.导学号 09024478(1)求证：AD⊥平面BCC1B1；(2)求直线AC1与平面BCC1B1所成角的正弦值．[解析](1)证明：直三棱柱ABC任A1B1C1任任BB1⊥任任ABC任∴BB1⊥AD任∵AB任AC任D任BC任任任任∴AD⊥BC.任BC∩BB1任B任∴AD⊥任任BCC1B 1 .(2)解：连接C1D.由(1)AD⊥平面BCC1B1，则∠AC1D即为直线AC1与平面BCC1B1所成角．在Rt△AC1D中，AD＝32，AC1＝2，sin∠AC1D＝ADAC1＝64，即直线AC1与平面BCC1B1所成角的正弦值为64.〔跟踪练习4〕如图，四边形ABCD 为矩形，AD ⊥平面ABE ，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE .求证：AE ⊥BE .导学号 09024479[证明] ∵AD ⊥平面ABE ，AD ∥BC ，∴BC ⊥平面ABE .又AE ⊂平面ABE ，∴AE ⊥BC .∵BF ⊥平面ACE ，AE ⊂平面ACE ，∴AE ⊥BF .∵BF ⊂平面BCE ，BC ⊂平面BCE ，BF ∩BC ＝B ，∴AE ⊥平面BCE .又BE ⊂平面BCE ，∴AE ⊥BE .2．关于垂直的存在型探索性问题在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝a ，P A ⊥平面ABCD ，且P A ＝1，边BC 上是否存在点Q ，使得PQ ⊥QD ？为什么？导学号 09024480[思路分析] 关键是将PQ ⊥QD 转化为DQ ⊥AQ ，再使DQ ⊥AP 即可，但AD ＝BC ＝a 是变化的，故需对a 进行讨论．[解析]∵PA⊥平面ABCD任∴PA⊥QD.任任BC任任任任任Q任任任QD⊥AQ任任任QD⊥任任PAQ任任任QD⊥PQ.任任任ABCD任任任AD任a<2任任任任BC任任AD任任任任任任任任任任任任任Q任任AQ⊥DQ.∴任a≥2任任任任任任Q任任任PQ⊥QD.[点评]任任任任任任任任任任任任任任AD任任任任任任BC任任任任任任任任Q任任任任任[解析] 三角形的两边任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任.1．如果一条直线垂直于一个平面内的：导学号 09024481①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边． 则能保证该直线与平面垂直( )A ．①③B ．①②C ．②④D ．①④A2．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为导学号 09024482()A．223B．23C．24D．13[解析]∵AA1⊥平面A1B1C1D1，∴∠AC1A1为直线AC1与平面A1B1C1D1所成角，∵AA1＝1，AB＝BC＝2，∴AC1＝3，∴sin∠AC1A1＝AA1AC1＝13.D3．如图所示，P A⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数有____.导学号 09024483[解析]∵P A⊥平面ABC，∴P A⊥AB，P A⊥AC，P A⊥BC.∴△P AB、△P AC为直角三角形．∵BC⊥AC，P A∩AC＝A，∴BC⊥平面P AC.∴BC⊥AC，BC⊥PC.∴△ABC、△PBC为直角三角形．44．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱P A⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点，P A＝AD.求证：EF⊥平面PCD.导学号 09024484[解析] 如图，取PD 的中点H ，连接AH 、HF .∴FH 12CD ，∴FH AE ，∴四边形AEFH 是平行四边形， ∴AH ∥EF .∵底面ABCD 是矩形，∴CD ⊥AD .又∵P A⊥底面ABCD，∴P A⊥CD，P A∩AD＝A，∴CD⊥平面P AD.又∵AH⊂平面P AD，∴CD⊥AH.又∵P A＝AD，∴AH⊥PD，PD∩CD＝D，∴AH⊥平面PCD，又∵AH∥EF，∴EF⊥平面PCD.课时作业学案。
高中数学 2.32.3.3直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质课件 新人教A版必修2
而 FE⊂平面 DEF，DE⊂平面 DEF，EF∩DE＝E.
栏
PB⊂平面 PGB，GB⊂平面 PGB，PB∩GB＝B，
目 链
接
∴平面 DEF∥平面 PGB.
由(1)得 PG⊥平面 ABCD，而 PG⊂平面 PGB，
∴平面 PGB⊥平面 ABCD， ∴平面 DEF⊥平面 ABCD.
第三十四页，共42页。
PC＝PC，
所以 Rt△PBC≌Rt△PAC，
栏 目
链
所以 AC＝BC.
接
如图，取 AB 中点 D，连接 PD，CD，
则 PD⊥AB，CD⊥AB，又因为 PD∩CD＝D，所以 AB⊥平
面 PDC，所以 AB⊥PC.
第三十七页，共42页。
跟踪 训练
(2)解析：作 BE⊥PC，垂足为 E，连接 AE.
目 链
接
(pàndìng)定理和性质定理间的相互联系．
第三页，共42页。
栏 目 链 接
第四页，共42页。
基础 梳理
1．直线与平面垂直的性质定理.
文字语言
垂直于同一个平面的两条直
平行线(_p_í_n_g_x_íng)
栏
目
链
接
符号语言
a∥b
第五页，共42页。
基础 梳理
图形语言 栏 目 链 接
作用
①线面垂直⇒线线平行； ②作平行线
栏 目 链 接
(1)证明：BD⊥平面 PAC； (2)若 PA＝1，AD＝2，求二面角 BPCA 的正切值．
第二十九页，共42页。
跟踪
训练
证明：∵PA⊥平面 ABCD，∴PA⊥BD.
∵PC⊥平面 BDE，∴PC⊥BD.
又∵PA∩PC＝P，BD⊄平面 PAD.
人教A版高中数学必修二2.3.1直线与平面垂直的判定(共25张PPT)
如果两条平行直线中的一条 垂直于一个平面，那么另一 条也垂直于同一个平面。
ab
m
n
（3）
五．巩固运用 练习.如图,PA垂直于圆O所在面,AB是圆O的直 径,C是圆周上一点,那么图中有几个直角三角形?
焦点:ΔPBC是不是直角三角形?
答案：４个
例3、有一根旗杆AB高8m，它的顶端A挂有一条 长10m的绳子，拉紧绳子并把它的下端放在地面 上的两点（和旗杆脚不在同一条直线上)C、D,如 果这两点都和旗杆脚B的距离是6m，那么旗杆就
探索
问题:如图，使书脊AB与桌面垂直，可否 将若干书页取掉，但至少保留几页？
两页
AA
猜想：如果一条直线和平 面α内两相交直线都垂直， 那么这条直线就垂直于这 个平面．
C DE
E
BB
H G FF
2.线面垂直判定定理的探究
问题:在长方体ABCD－ A1B1C1D1中，棱BB1与底面 ABCD 垂直。观察BB1与AB、 BC 的位置关系,由此你认为保证
D’ A’
C’
B’ O
D A
C B
1.定义：如果一条直线垂于一个平面内的任何一 条直线，则此直线垂直于这个平面.
直线与平面垂直的判定方法:
2.判定定理:如果一条直线垂直于一个平面内的两 条相交直线，那么此直线垂直于这个平面。
线面垂直⇒线线垂直 3.如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面， 那么另一条也垂直于同一个平面。
⑵书脊所在直线与桌面中任意一条直线 已知:如图,a⊥AC,a⊥BC,求证:a⊥AB.
如图,已知:α∩β＝l ,PA⊥αΑ,PB⊥β于B,AQ⊥l于Q,求证:BQ⊥l .
的位置关系? 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面。
人教A版高中数学必修二2.3.2直线与平面垂直的判定课件
温故知新
【回顾】 直线与平面的位置关系：
l l l
l
BA
直线在平面内 直线和平面平行 直线和平面相交
探究新知 【思考】如何定义“直线与平面垂直”？
思考：一条直线 与一个平面垂直的意义是什么？ 如何定义直线与平面垂直？
合作探究
直线l 与平面垂直
直线l 与平面内
✓ 任意一条
合作探究
A
D B
C
判定定理：一条直线与一个平面内的两条 相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直.
l
PA n
m
m ,n
mn P
l
l m ,l n
定义与判定定理比较优越性在哪里？ 定义与判定定理共同点是什么？
小组交流
【例】已知正方体 ABCD A1B1C1D1 直线 AC 与平面CC1D1D 是否垂直？
直线AC 与平面BB1D1D 是否垂直？
D1 A1
直线 AC 与直线 BD1是否垂
小试牛刀
判断下列说法是否正确: (1)如果一条直线垂直于平面内的无数条直线,那么这条直
线和这个平面垂直; ×
(2)垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边; √
(3)过点P垂直于直线l的所有直线都在过点P垂直于l的平
面内; √
(4)如果三条共点直线两两垂直,那么其中一条直线垂直于
另两条直线所确定的平面. √
l
✓ 每一条
✓ 全部的
✓ 所有的
无数条
P
直线垂直
直线和平面垂直的定义
如果一条直线和一个平面内的任意一 条直线都垂直,那么这条直线和这个平面 垂直,记作: l⊥α.
说明:(1)定义中“任何一条直线”与“所有直线”是同义 词,但和“无数条直线”有区别;