中考二轮复习专题13：特殊四边形探究同步测试(含答案)
(常考题)北师大版初中数学九年级数学上册第一单元《特殊平行四边形》检测卷(答案解析)(1)
一、选择题1．如图，矩形ABCD 被两条对角线分成4个小三角形OAB ∆、OAD ∆、OBC ∆和OCD ∆，若这4个小三角形的周长之和为68，对角线10AC =，则矩形ABCD 的周长是（ ）A ．14B ．18C ．21D ．28 2．如图，顺次连接四边形ABCD 各边的中点得到四边形EFGH ，要使四边形EFGH 为菱形，应添加的条件是( )A ．AB ∥DCB ．AB ＝DC C ．AC ⊥BDD ．AC ＝BD 3．如图，将一边长为12的正方形纸片ABCD 的顶点A 折叠至DC 边上的点E ，使DE=5，折痕为PQ ，则PQ 的长为（ ）A ．12B ．13C ．14D ．154．如图，在矩形ABCD 中，23,4AB BC ==，E 为BC 的中点，连接,,,AE DE P Q 分别是,AE DE 上的点，且PE DQ =．设EPQ ∆的面积为y ，PE 的长为x ，则y 关于x 的函数关系式的图象大致是 （ ）A ．B ．C ．D ．5．如图，在菱形ABCD 中，已知3AD =，1DF =，60DAB ∠=︒，15EFG ∠=︒，FG BC ⊥，求AE 的长是（ ）A ．12+B ．6C ．231-D ．13+ 6．矩形具有而菱形不具有的性质是（ ）A ．两组对边分别平行B ．对角线相等C ．对角线互相垂直D ．两组对角分别相等 7．如图，四边形ABCD 中，∠BAD ＝∠C ＝90°，AB ＝AD ，AE ⊥BC ，垂足是E ，若线段AE ＝4，则四边形ABCD 的面积为（ ）A ．12B ．16C ．20D ．248．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，E ，F 分别是AB ，AC 的中点，连接DE ，DF ，当△ABC 满足下列哪个条件时，四边形AEDF 为菱形（ ）A ．AB ＝AC B ．∠B ＝∠A C ．BD ＝DF D ．DE ⊥DF9．如图，在ABC 中，D 是BC 边上的中点，连结AD ，把ACD △沿AD 翻折，得到ADC '，DC '与AB 交于点E ，连结BC '，若2BD BC ='=，3AD =，则点D 到AC '的距离为（ ）A ．332B ．3217C ．7D ．1310．下列四个命题中真命题是（ ）A ．对角线互相垂直平分的四边形是正方形B ．对角线垂直且相等的四边形是菱形C ．对角线相等且互相平分的四边形是矩形D ．四边都相等的四边形是正方形 11．如图，在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝8，BC ＝10，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为EF 中点，则AM 的最小值为（ ）A ．2B ．2.4C ．2.6D ．312．如图，AC ，BD 是四边形ABCD 对角线，点E ，F 分别是AD ，BC 的中点，点M ，N 分别是AC ，BD 的中点，连接EM ，MF ，NE ，要使四边形EMFN 为正方形，则需要添加的条件是（ ）A ．,AB CD AB CD =⊥B ．,AB CD AD BC == C ．,AB CD AC BD =⊥ D ．,//AB CD AD BC =二、填空题13．如图，将矩形ABCD 沿DE 折叠，使A 点落在BC 上的F 处，若∠EFB ＝60°，则∠CFD ＝_____．14．如图，已知正方形OPQR 的顶点O 是正方形ABCD 对角线AC 与BD 的交点，正方形OPQR 绕点O 逆时针旋转一定角度后，△OPR 能与△OBC 重合，已知∠BOR=55°，那么旋转角等于________．15．如图，四边形ABCD 是一张长方形纸片，将该纸片对折，使顶点B 与顶点D 重合，EF 为折痕，若6AB =、8BC =，则图中阴影部分的面积为______.16．如图，矩形ABCD 中AC 交BD 于点O ，120AOB ∠=，3AD =，则BD 的长为__________．17．请你写出一个原命题与它的逆命题都是真命题的命题____________________ ． 18．如图，长方形ABCD 中，AD ＝8，AB ＝4，BQ ＝5，点P 在AD 边上运动，当BPQ 为等腰三角形时，AP 的长为_____．19．如图，CD 是ABC 的边AB 上的中线，将线段AD 绕点D 顺时针旋转90︒后，点A 的对应点E 恰好落在AC 边上，若2AD =，5BC =AC 的长为_________．∆沿着AF翻折，使得翻折后的20．如图，长方形ABCD中，F是BC上一点，将ABFFC=，则线段BF恰好经过AD边的中点E，翻折后的点B记作点G．若EF DF=，1BF的长度为______．三、解答题21．如图，在△ABC中，AB=AC，AD为∠BAC的平分线，AN为△ABC的外角∠BAM的平分线，BE⊥AN，垂足为点E．（1）求证：四边形ADBE是矩形．（2）连接DE，试判断四边形ACDE的形状，并证明你的结论．22．如图，矩形ABCD中，EF垂直平分对角线BD，垂足为O，点E和F分别在边AD，BC 上，连接BE，DF．（1）求证：四边形BFDE是菱形；（2）若AE＝OF，求∠BDC的度数．23．有两棵树，一棵高9米，另一棵高4米，两树相距12米. 一只小鸟从一棵树的树梢（最高点）飞到另一棵树的树梢（最高点），问小鸟至少飞行多少米？24．如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，O为原点，点A在x 轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=10，OC=8，在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处．（1）求点E的坐标；（2）求点D的坐标．25．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC．（1）求证：四边形OCED是菱形；（2）当AC=6时，求出四边形OCED的周长.26．综合与实践问题情境：如图1，已知点O是正方形ABCD的两条对角线的交点，以点O为直角顶点的直角三角形OEF的两边OE，OF分别过点B，C，且OF OC=，30BC=．E∠=︒，2（1）OC的长度为________；操作证明：∆按如图放置，若OE，OF分别与AB，BC （2）如图2，在（1）的条件下，将OEF相交于点M，N．请判断OM和ON有怎样的数量关系，并证明结论；探究发现：∆按如图放置，若点B恰好在EF上，求证：（3）如图3，在（1）的条件下，将OEFEM EB=．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】四个小三角形的周长是两条对角线长的2倍与矩形周长的和，由此可求矩形周长．【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，四个小三角形的周长=2AC+2BD+AD+DC+BC+BA，即40+矩形周长=68，所以矩形周长为28．故选：D.【点睛】本题考查了矩形的性质和矩形的周长，抓住矩形的对角线相等和四个小三角形的周长=4倍的对角线长+矩形的周长是解决本题的关键．2．D解析：D【分析】连AC，BD，根据三角形中位线的性质得到EF∥AC，EF=12AC；HG∥AC，HG=12AC，即有四边形EFGH为平行四边形，当AB∥DC和AB=DC，只能判断四边形EFGH为平行四边形；当AC⊥BD，只能判断四边形EFGH为矩形；当AC=BD，可判断四边形EFGH为菱形．【详解】解：连AC，BD，如图，∵E、F、G、H为四边形ABCD各中点，∴EF∥AC，EF=12AC；HG∥AC，HG=12AC，∴四边形EFGH为平行四边形，要使四边形EFGH为菱形，则EF=EH，而EH=12 AC，∴AC=BD．当AB∥DC和AB=DC，只能判断四边形EFGH为平行四边形，故A、B选项错误；当AC⊥BD，只能判断四边形EFGH为矩形，故C选项错误；当AC=BD，可判断四边形EFGH为菱形，故D选项正确．故选D．【点睛】本题考查了菱形的判定定理：邻边相等的平行四边形是菱形．也考查了平行四边形的判定以及三角形中位线的性质．3．B解析：B【解析】过点P 作PM ⊥BC 于点M ，由折叠得到PQ ⊥AE ，∴∠DAE+∠APQ=90°，又∠DAE+∠AED=90°，∴∠AED=∠APQ ，∵AD ∥BC ，∴∠APQ=∠PQM ，则∠PQM=∠APQ=∠AED ，∠D=∠PMQ ，PM=AD∴△PQM ≌△ADE∴2251213+=.【点睛】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等． 4．C解析：C【分析】过点P 作PH ED ⊥于点H ，用勾股定理求出AE=DE=4，可得ADE ∆为等边三角形，用x 表示出PE 和EQ 的长，在Rt PEH 中利用三角函数用含x 的式子表示出PH 的长，再利用12S EQ PH =⋅△PEQ 可列出y 与x 的函数关系，在结合二次函数性质即可解答． 【详解】∵4BC =，E 为BC 的中点，∴2BE =．在Rt ABE ∆中，3,2AB BE ==，则4AE =，同理可得4ED AE AD ===，故ADE ∆为等边三角形，则60AED ︒∠=，∵PE QD x ==，∴4QE x =-，如图，在PQE ∆中，过点P 作PH ED ⊥于点H ．3·sin ?sin 60PH PE AED xx =∠=︒=， ∴()21133432224y PH EQ x x x x ==⨯⨯-=-+ 因此该函数的图象为开口向下的抛物线，当32232b x a =-=-=-⨯时，y 有最大值3．故选C ．【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，矩形的性质，三角函数解直角三角形，二次函数的性质，解题关键是用含x 的式子表示出PQE ∆的底和高，列出y 与x 的函数关系． 5．D解析：D【分析】首先作FH ⊥AB ，垂足为H ，由四边形ABCD 是菱形，可得AD ＝AB ＝3，即可求得AF 的长，又由∠DAB ＝60°，即可求得AH 与FH 的长，然后由∠EFG ＝15°，证得△FHE 是等腰直角三角形，继而求得答案．【详解】解：如图，作FH ⊥AB ，垂足为H ．∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ＝AB ＝3，∵DF ＝1，∴AF ＝AD−FD ＝2，∵∠DAB ＝60°，∴∠AFH ＝30°，∴AH ＝1，FH 3∵FG BC ⊥，∴FG AD ⊥，又∵∠EFG ＝15°，∴∠EFH ＝∠AFG−∠AFH−∠EFG ＝90°−30°−15°＝45°，∴△FHE 是等腰直角三角形，∴HE ＝FH ＝3，∴AE ＝AH ＋HE ＝1＋3，故选：D ．【点睛】此题考查了菱形的性质、直角三角形的性质、勾股定理以及等腰直角三角形的性质．难度适中，注意掌握辅助线的作法和数形结合思想的应用．6．B解析：B【分析】矩形的对角线互相平分且相等，菱形的对角线互相平分，互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角，据此解答．【详解】A 、是菱形的性质，是矩形的性质，故本选项不符合题意；B 、是矩形的性质，不是菱形的性质，故本选项符合题意；C 、是菱形的性质，不是矩形的性质，故本选项不符合题意；D 、矩形、菱形的对角都相等，故本选项不符合题意；故选：B ．【点睛】此题考查矩形的性质，菱形的性质，熟记各自的性质特征是解题的关键．7．B解析：B【分析】延长CD ，作AF CD ⊥的延长线于点F ，构造出全等三角形，()ABE ADF AAS ≅，即可得到四边形ABCD 的面积就等于正方形AECF 的面积．【详解】解：如图，延长CD ，作AF CD ⊥的延长线于点F ，∵AE BC ⊥，∴90AEC AEB ∠=∠=︒，∵AF CD ⊥，∴90AFC ∠=︒，∵90C ∠=︒，∴四边形AECF 是矩形，∴90EAF ∠=︒，∵BAD EAF ∠=∠，∴BAD EAD EAF EAD ∠-∠=∠-∠，即BAE DAF ∠=∠，在ABE △和ADF 中，BAE DAF AEB AFD AB AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ABE ADF AAS ≅，∴AE AF =，∴四边形AECF 是正方形，∵ABE ADF S S ，∴216ABCD AECF S S AE ===．故选：B ．【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，正方形的性质和判定，解题的关键是作辅助线构造全等三角形．8．A解析：A【分析】可根据三角形的中位线定理、等腰三角形的性质、菱形的判定，分析得出当△ABC 满足条件AB ＝AC 或∠B ＝∠C 时，四边形AEDF 是菱形．【详解】解：要使四边形AEDF 是菱形，则应有DE ＝DF ＝AE ＝AF ，∵E ，F 分别为AC ，BC 的中点∴AE ＝BE ，AF ＝FC ，应有DE ＝BE ，DF ＝CF ，则应有△BDE ≌△CDF ，应有BD ＝CD ，∴当点D 应是BC 的中点，而AD ⊥BC ，∴△ABC 应是等腰三角形，∴应添加条件：AB ＝AC 或∠B ＝∠C ．则当△ABC 满足条件AB ＝AC 或∠B ＝∠C 时，四边形AEDF 是菱形．故选：A ．【点睛】解答此类题的关键是要突破思维定势的障碍，运用发散思维，多方思考，探究问题在不同条件下的不同结论，挖掘它的内在联系，向“纵、横、深、广”拓展，从而寻找出添加的条件和所得的结论．9．B解析：B【分析】过点D 作DF ⊥BC'，垂足为F ，过点A 作AG ⊥BC'，交BC'的延长线于G ，则四边形ADFG 是矩形，计算AC '的长，后利用三角形ADC 'M 面积 的不同计算方法计算即可.【详解】如图，过点D 作DF ⊥BC'，垂足为F ，过点A 作AG ⊥BC'，交BC'的延长线于G ，∵把ACD △沿AD 翻折，得到ADC '，∴DC=DC '，∠ADC=∠A DC '，∵D 是BC 边上的中点，∴DC=BD ，∵2BD BC ='=，∴DC '=2BD BC ='=，∴BDC '是等边三角形，∴∠ADC=∠A DC '=∠B DC '=∠DC 'B=60°，∴BG ∥AD ，∵DF ⊥BC'，AG ⊥BC'，∴四边形ADFG 是矩形，∴BF=FC'=1，FG=AD=3， 222221BD BF -=-3，∴3GC '=2，∴AC '22222(3)AG GC '+=+7，设点D 到AC '的距离为h ， ∴1122AC h AD DF '=，∴1173322h ⨯⨯=⨯⨯， ∴h=3217， 故选B.【点睛】 本题考查了三角形的折叠问题，等边三角形的判定和性质，平行线的判定，矩形的判定，勾股定理，三角形的面积，熟练掌握折叠的性质，矩形的判定，三角形面积不同表示方法是解题的关键.10．C解析：C【分析】根据正方形、菱形、矩形的判定分别判断得出即可．【详解】A 、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故原命题是假命题；B 、对角线垂直平分的四边形是菱形，故原命题是假命题；C 、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故原命题是真命题；D 、四边都相等的四边形是菱形，故原命题是假命题；故选：C ．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解正方形的判定定理、矩形的判定定理、菱形的判定定理．11．B解析：B【分析】先求证四边形AFPE 是矩形，再根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，利用面积法可求得AP 最短时的长，然后即可求出AM 最短时的长．【详解】解：连接AP ，在△ABC 中，AB=6，AC=8，BC=10，∴∠BAC=90°，∵PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，∴四边形AFPE 是矩形，∴EF=AP ．∵M 是EF 的中点，∴AM=12AP ， 根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，即AP ⊥BC 时，AP 最短，同样AM 也最短，∴S △ABC=12BC•AP ＝12AB•AC ， ∴12×10AP ＝12×6×8， ∴AP 最短时，AP=245， ∴当AM 最短时，AM=12AP=125=2.4． 故选：B ．【点睛】此题主要考查学生对勾股定理逆定理的应用、矩形的判定和性质、垂线段最短和直角三角形斜边上的中线的理解和掌握，此题涉及到动点问题，有一定难度．12．A解析：A【分析】证出EN 、NF 、FM 、ME 分别是ABD △、BCD 、ABC 、ACD △的中位线，得出////EN AB FM ，////ME CD NF ，12EN AB FM ==，12ME CD NF ==，证出四边形EMFN 为平行四边形，当AB CD =时，EN FM ME NF ===，得出平行四边形EMFN 是菱形；当AB CD ⊥时，EN ME ⊥，则90MEN ∠=︒，即可得出菱形EMFN 是正方形．【详解】 解：点E ，F 分别是AD ，BC 的中点，点M ，N 分别是AC ，BD 的中点，EN ∴、NF 、FM 、ME 分别是ABD △、BCD 、ABC 、ACD △的中位线， ∴////EN AB FM ，////ME CD NF ，12EN AB FM ==，12ME CD NF ==， ∴四边形EMFN 为平行四边形，当AB CD =时，EN FM ME NF ===，∴平行四边形EMFN 是菱形；当AB CD ⊥时，EN ME ⊥，则90MEN ∠=︒，∴菱形EMFN 是正方形；故选：A ．【点睛】本题考查了正方形的判定、平行四边形的判定、菱形的判定以及三角形中位线定理；熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．二、填空题13．【分析】根据轴对称和矩形性质得；结合∠EFB ＝60°经计算即可得到答案【详解】∵矩形ABCD 沿DE 折叠使A 点落在BC 上的F 处∴∵∠EFB ＝60°∴故答案为：【点睛】本题考查了轴对称矩形的性质；解题的解析：30【分析】根据轴对称和矩形性质，得90EFD A ∠=∠=；结合∠EFB ＝60°，经计算即可得到答案．【详解】∵矩形ABCD 沿DE 折叠，使A 点落在BC 上的F 处∴90EFD A ∠=∠=∵∠EFB ＝60°∴180180609030CFD EFB EFD ∠=-∠-∠=--=故答案为：30．【点睛】本题考查了轴对称、矩形的性质；解题的关键是熟练掌握轴对称、矩形的性质，从而完成求解．14．35°【分析】利用正方形的性质得BA=BC ∠ABC=90°然后根据旋转的定义可判断旋转角为35°【详解】解：∵四边形ABCD 为正方形∴∠BOC=90°∵四边形OPQR 是正方形∴∠POR=90°∴∠P解析：35°【分析】利用正方形的性质得BA=BC ，∠ABC=90°，然后根据旋转的定义可判断旋转角为35°．【详解】解：∵四边形ABCD 为正方形，∴∠BOC=90°，∵四边形OPQR 是正方形，∴∠POR=90°，∴∠POB=90°-∠BOR=35°，∵△OPR 逆时针旋转后能与△OBC 重合，∴旋转角∠POB=35°；故答案为：35°．【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质．15．【分析】先根据矩形的性质可得设从而可得再根据折叠的性质然后在中利用勾股定理可求出DE 的长最后利用三角形的面积公式即可得【详解】四边形ABCD 是长方形且点F 到AD 的距离等于AB 的长的边DE 上的高为6设解析：754【分析】先根据矩形的性质可得8,90AD BC A ==∠=︒，设DE x =，从而可得8AE x =-，再根据折叠的性质8,6,90A E AE x A D AB A A '''==-==∠=∠=︒，然后在Rt A DE '中，利用勾股定理可求出DE 的长，最后利用三角形的面积公式即可得．【详解】四边形ABCD 是长方形，6AB =，8BC =，8,90AD BC A ∴==∠=︒，且点F 到AD 的距离等于AB 的长，DEF ∴的边DE 上的高为6，设DE x =，则8AE AD DE x =-=-，由折叠的性质得：8,6,90A E AE x A D AB A A '''==-==∠=∠=︒，在Rt A DE '中，222A E A D DE ''+=，即()22286x x -+=， 解得254x =， 即254DE =， 则阴影部分的面积为125756244⨯⨯=， 故答案为：754． 【点睛】 本题考查了矩形与折叠问题、勾股定理等知识点，熟练掌握矩形与折叠的性质是解题关键．16．6【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分可得OA=OD 再求出∠AOD=60°然后判断出△AOD 是等边三角形根据等边三角形的性质求出OD 即可得出BD 的长【详解】解：在矩形ABCD 中OA=OC=ACOB解析：6【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分可得OA=OD ，再求出∠AOD=60°，然后判断出△AOD 是等边三角形，根据等边三角形的性质求出OD ，即可得出BD 的长．【详解】解：在矩形ABCD 中，OA=OC=12AC ，OB=OD=12BD ，AC=BD ， ∴OA=OD ，∵∠AOB=120°，∴∠AOD=180°-120°=60°，∴△AOD 是等边三角形，∴OD=AD=3，∴BD=2OD=6；故答案为：6．【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记矩形的性质，证出△AOD是等边三角形是解题的关键．17．对角线互相平分且相等的四边形是矩形（答案不唯一）【分析】命题由题设和结论两部分组成题设是已知事项结论是由已知事项推出的事项；题设成立结论也成立的叫真命题而题设成立结论不成立的为假命题把一个命题的题设解析：对角线互相平分且相等的四边形是矩形（答案不唯一）【分析】命题由题设和结论两部分组成．题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项；题设成立，结论也成立的叫真命题，而题设成立，结论不成立的为假命题，把一个命题的题设和结论互换即可得到其逆命题．【详解】解：如命题：对角线互相平分且相等的四边形是矩形，真命题，逆命题是矩形的对角线互相平分且相等，真命题，故答案为：对角线互相平分且相等的四边形是矩形（答案不唯一）.【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；题设与结论互换的两个命题互为逆命题；正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题.18．3或或2或8【分析】根据矩形的性质可得∠A＝90°BC＝AD＝8然后根据等腰三角形腰的情况分类讨论根据勾股定理和垂直平分线等知识即可求解【详解】解：∵四边形ABCD是矩形∴∠A＝90°BC＝AD＝8解析：3或52或2或8【分析】根据矩形的性质可得∠A＝90°，BC＝AD＝8，然后根据等腰三角形腰的情况分类讨论，根据勾股定理和垂直平分线等知识即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，BC＝AD＝8，分三种情况：①BP＝BQ＝5时，AP3；②当PB＝PQ时，作PM⊥BC于M，则点P在BQ的垂直平分线时，如图所示：∴AP ＝12BQ ＝52； ③当QP ＝QB ＝5时，作QE ⊥AD 于E ，如图所示：则四边形ABQE 是矩形，∴AE ＝BQ ＝5，QE ＝AB ＝4，∴PE 22QP QE -2254-3，∴AP ＝AE ﹣PE ＝5﹣3＝2；④当点P 和点D 重合时，∵CQ=3，CD=4，∴根据勾股定理，PQ=5=BQ ，此时AP=AD=8，综上所述，当BPQ 为等腰三角形时，AP 的长为3或52或2或8； 故答案为：3或52或2或8． 【点睛】此题考查的是矩形的性质、等腰三角形的性质和勾股定理，掌握矩形的性质、等腰三角形的性质、分类讨论的数学思想和勾股定理是解题关键． 19．3【分析】连接BE 由旋转的性质可得AD=DE ∠ADE=90°可求∠A=45°AE=AD=2AD=DE=BD 可证∠AEB=90°由勾股定理可求EC 的长即可求解【详解】解：如图连接BE ∵CD 是△ABC 的解析：3【分析】连接BE ，由旋转的性质可得AD=DE ，∠ADE=90°，可求∠A=45°，2AD=2，AD=DE=BD ，可证∠AEB=90°，由勾股定理可求EC 的长，即可求解．【详解】解：如图，连接BE ，∵CD是△ABC的边AB上的中线，∴AD=BD，∵将线段AD绕点D顺时针旋转90°，∴AD=DE，∠ADE=90°，∴∠A=45°，2AD=2，AD=DE=BD，∴∠AEB=90°，∴∠A=∠ABE=45°，∴AE=BE=2，∴22541-=-=，EC BC BE∴AC=AE+EC=3，故答案是：3．【点睛】本题考查了旋转的性质，直角三角形的判定，勾股定理，求出EC的长是本题的关键．20．3【分析】根据等腰三角形的性质得出EP=PD进而得出AD的长利用矩形的性质解答即可【详解】解：过F点作FP⊥AD于P∵EF=DFFP⊥AD∴EP=PD∵FP⊥AD∴FP∥CD∵四边形ABCD是矩形∴解析：3【分析】根据等腰三角形的性质得出EP=PD，进而得出AD的长，利用矩形的性质解答即可．【详解】解：过F点作FP⊥AD于P，∵EF=DF，FP⊥AD，∴EP=PD，∵FP⊥AD，∴FP∥CD，∵四边形ABCD是矩形，∴PD∥FC，∠PDC=90°，AD=BC，∴四边形PFCD是矩形，∴FC=PD=1，∴ED=2PD=2，∵翻折后的BF恰好经过AD边的中点E，∴AD=2AE=4，∴BC=4，∴BF=4-1=3，故答案为：3．【点睛】本题考查了折叠的性质：叠前后图形的形状和大小不变，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质．三、解答题21．（1）证明见解析；（2）四边形ACDE是平行四边形，证明见解析．【分析】（1）由AD平分∠BAC，AN平分∠BAM，可得∠DAE=90°，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的一条角平分线，可得AD⊥BC，所以∠ADB=90°，又由BE⊥AN，可得∠BEA=90°，即可证得四边形ADBE为矩形；（2）利用（1）中四边形ADBE是矩形，得到AE∥BD，AE=BD，又根据等腰三角形的三线合一可得BD=CD，从而可得AE=CD，由此即可判定四边形ACDE是平行四边形．【详解】（1）证明：∵AD平分∠BAC，AN平分∠BAM，∴∠BAD=12∠BAC，∠BAN=12∠BAM，∴∠DAE=∠BAD+∠BAN=12（∠BAC+∠BAM）=12×180°=90°，∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，∴∠ADB=90°，又∵BE⊥AN，∴∠BEA=90°，∴四边形ADBE是矩形．（2）四边形ACDE是平行四边形．证明：∵四边形ADBE是矩形，∴AE∥BD，AE=BD．∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴BD=CD，∴AE∥CD，AE=CD，∴四边形ACDE是平行四边形．【点睛】此题考查了矩形的判定与性质、等腰三角形的三线合一、角平分线的定义以及平行四边形的判定．解题关键是熟练掌握矩形的判定与性质、等腰三角形的三线合一以及平行四边形的判定．22．（1）见解析；（2）60°．【分析】（1）首先判定平行四边形，然后根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形进行判定即可；（2）AE＝OF，四边形BFDE是菱形，BE=BF，可证△ABF≌△OBF, ∠ABF=∠OBF,∠FBO=∠OBF, ∠OBF=30°，即可求解．【详解】证明:(1)∵四边形ABCD是矩形,∴ AD∥BC,AD=BC,∴∠EDO=∠OBF,∵EF垂直平分BD,∴BO=DO,∠EOD=∠BOF=90°,∴△DEO=△BFO(ASA)∴OE=OF,∴四边形EBFD是平行四边形,又EF⊥BD,∴四边形EBFD是菱形;(2)∵四边形EBFD是菱形,∴ED=EB又 AE＝OF，∠A=∠BOF∴△ABF≌△OBF∴∠ABF=∠OBF,∵∠FBO=∠OBF,∴∠ABF =∠FBO=∠OBF,∴∠OBF=30°∴∠BDC=60°．【点睛】本题考查了菱形的性质和判定，掌握菱形的性质和判定是解题的关键．23．小鸟至少飞行13米．【分析】先画出图形，再根据矩形的判定与性质、勾股定理可求出AC的长，然后根据两点之间线段最短可得最短飞行距离等于AC的长，由此即可得．【详解】画出图形如下所示：由题意得：,,4AB BD CD BD AB ⊥⊥=米，9CD =米，12BD =米，过点A 作AE CD ⊥于点E ，则四边形ABDE 是矩形，12AE BD ∴==米，4DE AB ==米，5CE CD DE ∴=-=米，在Rt ACE △中，222212513AC AE CE +=+=（米），由两点之间线段最短得：小鸟飞行的最短距离等于AC 的长，即为13米，答：小鸟至少飞行13米．【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、两点之间线段最短等知识点，依据题意，正确画出图形是解题关键．24．（1）()4,8E ；（2）()0,5D【分析】（1）由折叠的性质得10AO AE ==，利用勾股定理求出BE 长，得到CE 的长，就可以得到点E 的坐标；（2）设OD x =，8CD x =-，由折叠的性质得OD DE x ==，再在Rt CDE △中利用勾股定理列式求出x 的值，就可以得到点D 的坐标．【详解】解：（1）∵折叠，∴10AO AE ==，在Rt ABE △中，22221086BE AE AB =-=-=， ∴1064CE BC BE =-=-=，∴()4,8E ；（2）设OD x =，则8CD x =-，∵折叠，∴OD DE x ==，在Rt CDE △中，222CD CE DE +=，即()22284x x -+=，解得5x =，∴()0,5D ．【点睛】本题考查折叠问题，解题的关键是掌握折叠的性质，并结合勾股定理进行边长的求解．25．（1）详见解析；（2）12【分析】（1）首先由CE ∥BD ，DE ∥AC ，可证得四边形OCED 是平行四边形，又由四边形ABCD 是矩形，根据矩形的性质，易得OC=OD ，即可判定四边形OCED 是菱形，（2）求出OC=OD=3，由菱形的性质即可得出答案．【详解】（1）∵CE ∥BD ，DE ∥AC ，∴四边形OCED 为平行四边形，又∵四边形 ABCD 是矩形，∴OD=OC ，∴四边形OCED 为菱形；（2）∵四边形 ABCD 是矩形，∴OC=OD=12AC ， 又∵AC=6，∴OC=3， 由（1）知，四边形OCED 为菱形，∴四边形OCED 的周长为=4OC=4×3=12．【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键．26．（1；（2）OM ON =，证明详见解析；（3）详见解析【分析】（1）由题意可得OC=OB ，OC ⊥OB ，再根据勾股定理即可得到答案；（2）连接OB ，OC ，证明BOM CON ∆∆≌，即可得出答案；（3）根据题意可推出OBF ∆为等边三角形，可得60OBF F ∠=∠=︒，BF OF ==45OBC ∠=︒，可得45OBM ∠=︒，从而可推出，EBM EMB ∠=∠，即可得证．【详解】解：（1）∵点O 是正方形ABCD 的两条对角线的交点，以点O 为直角顶点的直角三角形OEF 的两边OE ，OF 分别过点B ，C ，∴OC=OB ，OC ⊥OB ，∵BC=2，∴OC 2=BC 2-OB 2，2OC 2=BC 2，2OC 2=4，即；（2）OM ON =；证明：如图，连接OB ，OC ，∵点O 是正方形ABCD 的两条对角线的交点， ∴OB OC =，45OBM OCN ∠=∠=︒， ∵90BOF MOB BOF NOC ∠+∠=∠+∠=︒， ∴MOB NOC ∠=∠，在BOM ∆和CON ∆中OBM OCN OB OC MOB NOC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()BOM CON ASA ∆∆≌，∴OM ON =；（3）连接OB ，OC ，∵OF OC =，OB OC =，∴OB OF =，∵在Rt OEF ∆中，30E ∠=︒，∴60F ∠=︒，∴OBF ∆为等边三角形，∴60OBF F ∠=∠=︒，2BF OF ==又∵45OBC ∠=︒，∴45OBM ∠=︒，∵180180456075EBM OBM OBF ∠=-∠-∠=--︒︒=︒︒︒， ∴180180753075EMB EBM E ∠=-∠-∠=-︒-︒=︒︒︒， ∴EBM EMB ∠=∠，∴EM EB =．【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，掌握知识点是解题关键．。
中考数学专题复习《特殊四边形的分类讨论、存在性问题》测试卷(附带答案)
中考数学专题复习《特殊四边形的分类讨论 存在性问题》测试卷（附带答案)学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________一 单选题1．如图 ABCD 的对角线,AC BD 相交于点O ．如果添加一个条件 使得ABCD 是矩形 那么这个条件可以是（ ）A ．AB AD = B ．AO BO =C ．AC BD ⊥ D ．AO CO =2．如图 在菱形ABCD 中 对角线AC 与BD 相交于点O 8AC = 6BD = OE BC ⊥ 垂足为点E 则OE 的长为( )A ．10B ．125C ．245D ．243．如图 在正方形ABCD 中 E F 分别为边AD AB 上一点 且=AE BF 连接BE CF BG 平分CBE ∠交CD 于点G 且点G 为CD 中点．若CFB α∠= 则GED ∠的度数为（ ）A ．αB ．2αC ．902α︒- D ．90α︒-4．如图 O 是矩形ABCD 对角线的交点 AE 平分BAD ∠ 30ADO ∠=︒ 则COE ∠的度数为（ ）A ．48︒B ．45︒C ．40︒D ．36︒5．如图 点E 在正方形ABCD 内 满足90AEB ∠=︒ 68AE BE ==， 则阴影部分的面积是（ ）A ．48B ．52C ．76D ．806．如图 在正方形ABCD 中 6BC = 2CE = 点E 点H 为CD AD 边上的一点 连接BE 和CH 使得BE CH ⊥交于点F 点G 是线段CH 上的一个动点 连接BG EG ．当四边形GECB 的面积是8时 线段HG 的长度为（ ）A B C D 7．如图 在菱形ABCD 中 30A ∠=︒ 12AB = F 是边BC 上的一个动点 连接DF 以DF 为对角线作菱形DEFG 使点E 落在DC 边上 当菱形DEFG 的周长最小时 菱形DEFG 的面积为（ ）A ．16B ．12C ．D ．8．如图 取边长为4的正方形各边中点 顺次连接构成小正方形 依次画下去 小正方形的面积从大到小．．．．排列 分别记为1S 2S 3S … 则123::S S S 等于（ ）A ．1:2:3B ．3:2:1C ．1:2:4D ．4:2:1二 填空题9．如图 在边长相同的小正方形网格中 点A B C D 、、、都在这些小正方形的顶点上 AB 与CD 相交于点P 则tan APD ∠的值为 ．10．如图 在矩形ABCD 中 点G 在AD 上 且1GD AB == 3AG = 点E 是线段BC 上的一个动点(点E 不与点B C 重合) 连接GB GE 将GBE 关于直线GE 对称的三角形记作GFE 当点E 运动到使点F 落在矩形任意一边所在的直线上时 则线段BE 的长是 ．11．如图 菱形ABCD 的对角线AC BD 相交于点O 点E 为边CD 的中点 连接OE ．若3AC = 1OE =则菱形ABCD 的面积为 ．12．如图 在矩形ABCD 中 E 是AB 的中点 过点E 作ED 的垂线交BC 于点F 对角线AC 分别交DE DF 于点G H 当DH AC ⊥时 则GH EF的值为 ．13．如图 O 是矩形ABCD 对角线的交点 点E 在AD 边上 连接OE 将线段OE 绕着点O 逆时针旋转90︒得到线段OF （ 点F 在矩形ABCD 内部） 连接,AF EF ．若2AB = 4=AD 则AEF △面积的最大值是 ．三 解答题14．如图 四边形ABCD 的对角线AC BD ，相交于点O 且互相平分 若AD CD = 过点D 作DE AC ∥ 且12DE AC = 连接CE ．(1)求证：四边形OCED 为矩形(2)连接AE ．若4BD = AE = 求四边形ABCD 的面积．=D为AC中点．过点D作AB的平行线过点B作AC的15．如图在ABC中AB BC平行线两平行线相交于点E BC交DE于点F连接CE．求证：(1)四边形BECD是矩形AD=直接写出矩形BECD的面积．(2)取AB的中点M连接DM若2DM=316．如图1 在平行四边形ABCD中AD CD⊥8AB=4=AD M是一动点从点D ---运动以4个单位每秒的速度向终点C点运动N是从点C出发的另出发沿D A B C-运动以2个单位每秒的速度向终点D点运动点M和点N同时出发运一动点沿C D动时间为t秒（M N两点中如有一个点到达终点时所有运动即终止）．(1)若M N出发t秒后四边形MBCN为平行四边形求t(2)若AMC的面积为8 请求出t的值(3)如图2 点F是线段AD中点E是直线CD上另一动点（位于N点右边）且线段NE在++的最小值．移动过程中始终保持长度为2不变请探究并直接写出FN NE BE17．如图① 正方形ABCD中点O是对角线AC的中点点P是线段AC上（不与A O C 重合）的一个动点过点P作PE PB⊥且PE交边CD（或DC延长线）于点E．(1)①如图1 当P在AO时直接写出PB与PE的数量关系__________①如图2 当P在CO时请按题意补全图形判断PB与PE的数量关系并说明理由⊥于点F在P点运(2)如图3 当P在AO时若正方形ABCD的边长为2 过E作EF AC动的过程中PF的长度是否发生变化？若不变试求出这个不变的值若变化请说明理由PC PA CE之间的数量关系．(3)用等式直接表示线段,,18．如图 在矩形ABCD 中 2,23AB BC == 点E 为射线BA 上一点（点E 不与点B 重合） 将BCE 沿EC 折叠 得到FCE △ 点P 为线段FC 上一点 再将EFP △沿EP 折叠 得到EGP △ PG 的延长线与边BC 相交于点Q ．(1)如图1 连接EQ 求证：QB QG =．(2)如图2 当点E 与点A 重合时 若点G 落在边AD 上 连接BF EC ，与BF 相交于点M 与PQ 相交于点N 求MN 的长．(3)若点G 落在边AD 上 且322BQ CE 所在直线与AD 所在直线相交于点H ： ①如图3 当点E 在线段BA 延长线上时 求HG 的长①当点E 在线段AB 上时 请直接写出HG 的长．参考答案：1．B2．B3．C4．B5．C6．C7．DFE BC ∴⊥8．D9．2在Rt PBF 中 tan 2BF BPF PF∠==10．3或5211．1213．9814．（1）证明：①四边形ABCD 的对角线AC BD ，相交于点O 且互相平分 同时AD CD = ①四边形ABCD 是菱形 ①12OC AC =90COD ∠=︒ ①12DE AC = ①DE OC =①∥DE AC①四边形OCED 为平行四边形 再结合90COD ∠=︒ ①四边形OCED 为矩形（2）由（1）可知 90ECA ∠=︒ 122CE OD BD ===6AC ∴==∴菱形ABCD 的面积11641222AC BD =⋅=⨯⨯=． 15．（1）证明：①过点D 作AB 的平行线 过点B 作AC 的平行线 两平行线相交于点E ①四边形ABED 是平行四边形①AD BE = AB DE =①AB BC = D 为AC 中点．①,AD CD BD AC =⊥①,BE CD =①BE CD①四边形BECD 是平行四边形①=90BDC ∠︒①四边形BECD 是矩形（2）如图①2,DM ABD =是直角三角形 AB 的中点为M①24AB DM ==①3AD = D 为AC 中点． ①22223,437CD AD BD AB AD ==--①矩形BECD 的面积为37BD CD ⋅=16．（1）①四边形MBCN 为平行四边形①MB CN =MB CN MN CB ∥ MN BC =①动点M 应在线段AB 上 N 应在线段CD 上 .①在平行四边形ABCD 中 8AB = 4=AD①84CD AB BC AD ====，．由题意得t 秒后 8441242MB t t CN t =+-=-=， 04t ≤≤． ①1242t t -=．①2t =．（2）①当点M 在AD 上时 0144t AM t ≤<=-， ①AMC 的面积为8 Δ12AMC S AM CD =⋅ ①1(44)882t -⋅=． ①12t =． ①当点M 在AB 上时 1344t AM t <≤=-，①AMC 的面积为8 Δ12AMC S AM BC =⋅ ①1(44)482t -⋅=． ①2t =．①当点M 在BC 上时 34164t MC t <<=-，①AMC 的面积为8 Δ12AMC S MC AB =⋅ ①1(164)882t -⋅=． ①72t =．①综上可知12t =,2t =或72t =． （3）如图将BE 向左平移到B N ' 作FN 关于CD 对称的线段F N ' 则122F D FD AD ===',2B B NE '==①22FN NE BE F N B N F B ++=+≥'''++'.①当B ' F ' N 三点共线时有最小值．①826AB AB BB ''=-=-= 426AF AD DF ''=+=+=①F B ''=①22FN NE BE F N B N F B ++=+≥'''++'有最小值2． 17．（1）证明：（1）如图 过P 作MN AD ∥ 交AB 于M 交CD 于N①PB PE ⊥①90BPE ∠=︒①90MPB EPN ∠+∠=︒①四边形ABCD 是正方形①90BAD D ∠=∠=︒①AD MN ∥①90BMP BAD PNE D ∠=∠=∠=∠=︒①90MPB MBP ∠+∠=︒①EPN MBP ∠=∠Rt PNC △中 45PCN ∠=︒①PNC △是等腰直角三角形①PN CN =①90BMP PNC ABC ∠=∠=∠=︒①四边形MBCN 是矩形①BM CN =①BM PN =①()ASA BMP PNE ≌①PB PE =①当P 在CO 时 补全图形如图 此时PB PE =过P 作MN AD ∥ 交AB 于M 交CD 于N①PB PE ⊥①90BPE ∠=︒①90MPB EPN ∠+∠=︒①四边形ABCD 是正方形①90ABC BCD BAC D ∠=∠=∠=∠=︒①AD MN ∥①90BMP BAD PNE D ∠=∠=∠=∠=︒①90MPB MBP ∠+∠=︒①EPN MBP ∠=∠Rt PNC △中 45PCN ∠=︒①PNC △是等腰直角三角形①PN CN =①90BMP PNC ABC ∠=∠=∠=︒①四边形MBCN 是矩形①BM CN =①BM PN =①()ASA BMP PNE ≌①PB PE =（2）解：在P 点运动的过程中 PF 的长度不发生变化 理由是： 连接OB 如图①点O 是正方形ABCD 对角线AC 的中点①OB AC ⊥①90AOB ∠=︒①90AOB EFP ∠=∠=︒①90OBP BPO ∠+∠=︒①90BPE ∠=︒①90BPO OPE ∠+∠=︒①OBP OPE ∠=∠由（1）得：PB PE =①OBP FPE ≌①PF OB =①2AB = ABO 是等腰直角三角形①OB ==①PF 2（3）解：分两种情况：①当P 在线段AO 上 2PC PA EC = 理由如下： 如图①45BAC ∠=︒ ①AMP 是等腰直角三角形 ①PA 2PM =由（1）知：PM NE = ①PA 2NE =①PCN △是等腰直角三角形 ①)22222PC NC NE EC NE EC PA EC +==． ①当P 在线段CO 上 2PA PC EC = 理由如下：如图同理可得 2,PC NC =)222222PA PM NE NC CE NC CE PC CE +== 18．（1）证明：四边形ABCD 是矩形90B ∴∠=︒由折叠知EG EF EB == 90EGP F B ∠=∠=∠=︒18090EGQ EGP ∴∠=︒-∠=︒又EQ EQ =①()Rt Rt HL EBQ EGQ ≌QB QG ∴=（2）解：将BCE 沿EC 折叠 得到FCE EC ∴垂直平分BF ．90BMC ∴∠=︒四边形ABCD 是矩形90ABC BAD ∴∠=∠=︒由（1）知90EGQ ∠=︒ 2EG EF EB === ∴四边形EBQG 是矩形2BQ EG ∴==2CQ BC BQ ∴=-=在Rt ABC △中tan AB ACB BC ∠=== 30ACB ∴∠=︒在Rt BCM △中cos303CM BC =⋅︒== 在Rt CNQ △中4cos30CQ CN ===︒∴3(41MN CM CN =-=-= （3）解：①过点G 作GR BC ⊥ 垂足为R90GRB ∴∠=︒．由（1）得QG QB ==90DAB B GRB ∴∠=∠=∠=︒∴四边形ABRG 是矩形．AG BR ∴= 2GR AB ==． 在Rt GQR △ 中 2222322()22QR GQ GR =-=- ∴32222AG BR BQ QR ==+=+=在Rt EAG △中 222AE AG EG += 2EG EB AE AB AE ==+=+ ∴222(22)(2)AE AE +=+ 解得1AE =． 213EB AE AB ∴=+=+= 四边形ABRG 是矩形∥AH BC ∴．EAH EBC ∴∽． ∴AH AE BC BE= ∴23AE BC AH BE ⋅==∴232HG AG AH =-= ①过点G 作GR BC ⊥ 垂足为R同理得 2222322()22QR GQ GR =--= 3222AG BQ QR ∴=-==在Rt EAG △中 222AE AG EG += 2EG EB AB AE AE ==-=- 222(2)(2)AE AE ∴+=- 解得12AE =．13222EB AB AE ∴=-=-=AH BC ∥． EAD EBC ∴∽． ∴AHAEBC BE =1232=AH ∴=HG AH AG ∴=+=．。
苏科版数学中考复习专题练习— 特殊四边形(含答案)
特殊四边形一、学习目标1．理解多边形的内角和、外角和公式，了解正多边形，四边形的不稳定性；2．掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的定义，判定和性质，会利用这些性质和判定进行计算与推理；3．理解矩形、菱形、正方形与一般平行四边形之间的共性、特性和从属关系．二、典型例题题型一、多边形及其内角和、外角和1．多边形的对角线例题1．（1）五边形共有对角线的条数为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8（2）从十二边形的一个顶点作对角线，把这个十二边形分成三角形的个数是 ．【题小结】找到对角线与边数的关系借题发挥：一个n 边形共有n 条对角线，将这个n 边形截去一个角后它的边数为 ．2. 多边形内角和、外角和例题2．已知正多边形的一个外角等于40°，则这个正多边形的内角和的度数为 ．【题小结】运用多边形的内角和、外角和公式借题发挥：如图，P 为正五边形ABCDE 的边AE 上一点，过点P 作PQ ∥BC ，交DE 于点Q ，则∠EPQ 的度数为 ．题型二、平行四边形及其判定和性质 １．平行四边形判定例题3．如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，下列条件不能判断四边形ABCD 是平行四边形的是（）A ． AB ∥DC ，AD ∥BC B ．AB = DC ，AD = BC C ． AB ∥DC ，AD =BC D ．OA = OC ，OB =OD【题小结】灵活运用平行四边形判定借题发挥：如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝∠C ．E 使边BC 上一点，且DE ＝DC ． 求证：AD ＝BE ．2．平行四边形性质例题4．（1）在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下面的问题：如图，AC 是□ABCD 的对角线，点E 在AC 上，AD ＝AE ＝BE ，∠D ＝102°，则∠BAC 的大小是____________．（2）如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，OE ∥AB 交AD 于点E ．若OA ＝1，△AOE 的周长等于5，则平行四边形ABCD 的周长等于．【题小结】灵活运用平行四边形性质A DB EC Q PD A B C OO E D C B A E D A B C F D A E C B D O A C B 借题发挥：如图，在平行四边形ABCD 中，∠ABC 的平分线交AC 于点E ，交AD 于点F ，交CD 的延长线于点G ，若AF ＝2FD ，则BE EG的值为（ ） A ．12B ．13C ．23D ．34（例题4（1）） （例题4（2））（借题发挥）题型三、矩形及其判定和性质1．矩形判定例题5．已知平行四边形ABCD 中，下列条件：①AB ＝BC ；②AC ＝BD ；③AC ⊥BD ；④AC 平分∠BAD ，其中能说明平行四边形ABCD 是矩形的是（ ）A ．①B ．②C ．③D ．④【题小结】灵活运用矩形判定借题发挥：如图，在□ABCD 中，E 为BC 的中点，连接AE 并延长交DC 的延长线于点F ，连接BF ，A C ．若AD ＝AF ，求证：四边形ABFC 是矩形．2．矩形性质例题6．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，已知∠BOC ＝120°，DC ＝3cm ，则AC 的长为______cm ．【题小结】灵活运用矩形性质借题发挥：如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，AB =6，BC =8，过点O 作OE ⊥AC ，交AD 于点E ，过点E 作EF ⊥BD ，垂足为F ，则OE +EF 的值为（ ）．A ．485B ．325C ．245D ．125（例题6）（借题发挥）3．折叠问题 E D B C F G A F D E A B C O。
2020年中考数学二轮复习压轴专题四边形(含解析)
《四边形》1．【习题再现】课本中有这样一道题目：如图1，在四边形ABCD中，E，F，M分别是AB，CD，BD的中点，AD＝BC．求证：∠EFM ＝∠FEM．（不用证明）【习题变式】（1）如图2，在“习题再现”的条件下，延长AD，BC，EF，AD与EF交于点N，BC与EF 交于点P．求证：∠ANE＝∠BPE．（2）如图3，在△ABC中，AC＞AB，点D在AC上，AB＝CD，E，F分别是BC，AD的中点，连接EF并延长，交BA的延长线于点G，连接GD，∠EFC＝60°．求证：∠AGD＝90°．【习题变式】解：（1）∵F，M分别是CD，BD的中点，∴MF∥BP，，∴∠MFE＝∠BPE．∵E，M分别是AB，BD的中点，∴ME∥AN，，∴∠MEF＝∠ANE．∵AD＝BC，∴ME＝MF，∴∠EFM＝∠FEM，∴∠ANE＝∠BPE．（2）连接BD，取BD的中点H，连接EH，FH．∵H，F分别是BD和AD的中点，∴HF∥BG，，∴∠HFE＝∠FGA．∵H，E分别是BD，BC的中点，∴HE∥AC，，∴∠HEF＝∠EFC＝60°．∵AB＝CD，∴HE＝HF，∴∠HFE＝∠EFC＝60°，∴∠A GF＝60°，∵∠AFG＝∠EFC＝60°，∴△AFG为等边三角形．∴AF＝GF，∵AF＝FD，∴GF＝FD，∴∠FGD＝∠FDG＝30°，∴∠AGD＝60°+30°＝90°．2．（1）问题：如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B，C重合），连接AD，过点A作AE⊥AD，并满足AE＝AD，连接CE．则线段BD和线段CE的数量关系是BD＝CE，位置关系是BD⊥CE．（2）探索：如图2，当D点为BC边上一点（不与点B，C重合），Rt△ABC与Rt△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE．试探索线段BD2、CD2、DE2之间满足的等量关系，并证明你的结论；（3）拓展：如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，若BD＝3，CD＝1，请直接写出线段AD的长．解：（1）问题：在Rt△ABC中，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝45°，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），故答案为：BD＝CE，BD⊥CE；（2）探索：结论：DE2＝BD2+CD2，理由是：如图2中，连接EC．∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，∵，∵△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE，∠B＝∠ACE＝45°，∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝45°+45°＝90°，∴DE2＝CE2+CD2，∴DE2＝BD2+CD2；（3）拓展：如图3，将AD绕点A逆时针旋转90°至AG，连接CG、DG，则△DAG是等腰直角三角形，∴∠ADG＝45°，∵∠ADC＝45°，∴∠GDC＝90°，同理得：△BAD≌△CAG，∴CG＝BD＝3，Rt△CGD中，∵CD＝1，∴DG＝＝＝2，∵△DAG是等腰直角三角形，∴AD＝AG＝2．3．如图1，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接BE、DG．（1）BE和DG的数量关系是BE＝DG，BE和DG的位置关系是BE⊥DG；（2）把正方形ECGF绕点C旋转，如图2，（1）中的结论是否还成立？若成立，写出证明过程，若不成立，请说明理由；（3）设正方形ABCD的边长为4，正方形ECGF的边长为3，正方形ECGF绕点C旋转过程中，若A、C、E三点共线，直接写出DG的长．解：（1）BE＝DG．BE⊥DG；理由如下：∵四边形ABCD和四边形CEFG为正方形，∴CD＝BC，CE＝CG，∠BCE＝∠DCG＝90°，在△BEC和△DGC中，，∴△BEC≌△DGC（SAS），∴BE＝DG；如图1，延长GD交BE于点H，∵△BEC≌△DGC，∴∠DGC＝∠BEC，∴∠DGC+∠EBC＝∠BEC+∠EBC＝90°，∴∠BHG＝90°，即BE⊥DG；故答案为：BE＝DG，BE⊥DG．（2）成立，理由如下：如图2所示：同（1）得：△DCG≌△BCE（SAS），∴BE＝DG，∠CDG＝∠CBE，∵∠DME＝∠BMC，∠CBE+∠BMC＝90°，∴∠CDG+∠DME＝90°，∴∠DOB＝90°，∴BE⊥DG；（3）由（2）得：DG＝EB，分两种情况：①如图3所示：∵正方形ABCD的边长为4，正方形ECGF的边长为3，∴AC⊥BD，BD＝AC＝AB＝4，OA＝OC＝OB＝AC＝2，CE＝3，∴AE＝AC﹣CE＝，∴OE＝OA﹣AE＝，在Rt△BOE中，由勾股定理得：DG＝BE＝＝；②如图4所示：OE＝CE+OC＝2+3＝5，在Rt△BOE中，由勾股定理得：DG＝BE＝＝；综上所述，若A、C、E三点共线，DG的长为或．4．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，动点D从点C出发，沿CA方向匀速运动，速度为2cm/s；同时，动点E从点A出发，沿AB方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．设点D，E运动的时间是t（s）（0＜t＜5）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．（1）t为何值时，DE⊥AC？（2）设四边形AEFC的面积为S，试求出S与t之间的关系式；（3）是否存在某一时刻t，使得S四边形AEFC：S△ABC＝17：24，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（4）当t为何值时，∠ADE＝45°？解：（1）∵∠B＝90o，AB＝6 cm，BC＝8 cm，∴AC＝＝＝10（cm），若DE⊥AC，∴∠EDA＝90°，∴∠EDA＝∠B，∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴＝，即：＝，∴t＝，∴当t＝s时，DE⊥AC；（2）∵DF⊥BC，∴∠DFC＝90°，∴∠DFC＝∠B，∵∠C＝∠C，∴△CDF∽△CAB，∴＝，即＝，∴CF＝，∴BF＝8﹣，BE＝AB﹣AE＝6﹣t，∴S＝S△ABC﹣S△BEF＝×AB•BC﹣×BF•BE＝×6×8﹣×（8﹣t）×（6﹣t）＝﹣t2+t；（3）若存在某一时刻t，使得S四边形AEFC：S△ABC＝17：24，根据题意得：﹣t2+t＝××6×8，解得：t1＝，t2＝（不合题意舍去），∴当t＝s时，S四边形AEFC：S△ABC＝17：24；（4）过点E作EM⊥AC与点M，如图所示：则∠EMA＝∠B＝90°，∵∠A＝∠A，∴△AEM∽△ACB，∴＝＝，即＝＝，∴EM＝t，AM＝t，∴DM＝10﹣2t﹣t＝10﹣t，在Rt△DEM中，当DM＝ME时，∠ADE＝45°，∴10﹣t＝t，∴t＝∴当t＝s时，∠ADE＝45°．5．我们定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且项角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，形象的可以看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”．例如，如图（1），△ABC与△ADE都是等腰三角形，其中∠BAC＝∠DAE，则△ABD≌△ACE（SAS）（1）熟悉模型：如图（2），已知△ABC与△ADE都是等腰三角形，AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，求证：BD＝CE；（2）运用模型：如图（3），P为等边△ABC内一点，且PA：PB：PC＝3：4：5，求∠APB 的度数．小明在解决此问题时，根据前面的“手拉手全等模型”，以BP为边构造等边△BPM，这样就有两个等边三角形共顶点B，然后连结CM，通过转化的思想求出了∠APB的度数，则∠APB的度数为150 度；（3）深化模型：如图（4），在四边形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC ＝45°，求BD的长．（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE；（2）解：以BP为边构造等边△BPM，连接CM，如图（3）所示：∵△ABC与△BPM都是等边三角形，∴AB＝BC，BP＝BM＝PM，∠ABC＝∠PBM＝∠BMP＝60°，∴∠ABC﹣∠PBC＝∠PBM﹣∠PBC，即∠ABP＝∠CBM，在△ABP和△CBM中，，∴△ABP≌△CBM（SAS），∴AP＝CM，∠APB＝∠CMB，∵PA：PB：PC＝3：4：5，∴CM：PM：PC＝3：4：5，∴PC2＝CM2+PM2，∴△CMP是直角三角形，∴∠PMC＝90°，∴∠CMB＝∠BMP+∠PMC＝60°+90°＝150°，∴∠APB＝150°，故答案为：150；（3）解：过点A作EA⊥AD，且AE＝AD，连接CE，DE，如图（4）所示：则△ADE是等腰直角三角形，∠EAD＝90°，∴DE＝AD＝4，∠EDA＝45°，∵∠ADC＝45°，∴∠EDC＝45°+45°＝90°，在Rt△DCE中，CE＝＝＝，∵∠ACB＝∠ABC＝45°，∴∠BAC＝90°，AB＝AC，∵∠BAC+∠CAD＝∠EAD+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE＝．6．（1）某学校“学习落实”数学兴趣小组遇到这样一个题目如图，在△ABC中，点O在线段BC上，∠BAO＝30°，∠OAC＝75°，AO＝，BO：CO ＝2：1，求AB的长经过数学小组成员讨论发现，过点B作BD∥AC，交AO的延长线于点D，通过构造△ABD就可以解决问题（如图2）请回答：∠ADB＝75 °，AB＝3（2）请参考以上解决思路，解决问题：如图3在四边形ABCD中对角线AC与BD相交于点0，AC⊥AD，AO＝，∠ABC＝∠ACB ＝75°，BO：OD＝2：1，求DC的长解：（1）如图2中，过点B作BD∥AC，交AO的延长线于点D，∵BD∥AC，∴∠ADB＝∠OAC＝75°．∵∠BOD＝∠COA，∴△BOD∽△COA，∴＝＝2，．又∵AO＝，∴OD＝2AO＝2，∴AD＝AO+OD＝3．∵∠BAD＝30°，∠ADB＝75°，∴∠ABD＝180°﹣∠BAD﹣∠ADB＝75°＝∠ADB，∴AB＝AD＝3；故答案为75，3．（2）如图3中，过点B作BE∥AD交AC于点E．∵AC⊥AD，BE∥AD，∴∠DAC＝∠BEA＝90°．∵∠AOD＝∠EOB，∴△AOD∽△EOB，∴＝＝＝2．∵BO：OD＝1：3，∵AO＝，∴EO＝2，∴AE＝3．∵∠ABC＝∠ACB＝75°，∴∠BAC＝30°，AB＝AC，∴AB＝2BE．在Rt△AEB中，BE2+AE2＝AB2，即（4BE2）2+BE2＝（2BE）2，解得：BE＝3，∴AB＝AC＝6，AD＝在Rt△CAD中，AC2+AD2＝CD2，即62+（）2＝CD2，解得：CD＝（负根已经舍弃）．7．正方形ABCD中，AB＝4，点E、F分别在AB、BC边上（不与点A、B重合）．（1）如图1，连接CE，作DM⊥CE，交CB于点M．若BE＝3，则DM＝ 5 ；（2）如图2，连接EF，将线段EF绕点F顺时针旋转，当点E落在正方形上时，记为点G；再将线段FG绕点G顺时针旋转，当点F落在正方形上时，记为点H；依此操作下去…，①如图3，线段EF经过两次操作后拼得△EFD，其形状为等边三角形，在此条件下，求证：AE＝CF；②若线段EF经过三次操作恰好拼成四边形EFGH，（3）请判断四边形EFGH的形状为正方形，此时AE与BF的数量关系是AE＝BF；（4）以1中的结论为前提，设AE的长为x，四边形EFGH的面积为y，求y与x的函数关系式及面积y的取值范围．解：（1）如图1中，∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠DCM＝90°，∵BE＝3，BC＝4，∴CE＝＝＝5，∵DM⊥EC，∴∠DMC+∠MCE＝90°，∠MCE+∠CEB＝90°，∴∠DMC＝∠CEB，∵BC＝CD，∴△BCE≌△CDM（AAS），∴DM＝EC＝5．故答案为5．（2）如题图3，由旋转性质可知EF＝DF＝DE，则△DEF为等边三角形．故答案为等边三角形．（2）①四边形EFGH的形状为正方形，此时AE＝BF．理由如下：依题意画出图形，如答图1所示：连接EG、FH，作HN⊥BC于N，GM⊥AB于M．由旋转性质可知，EF＝FG＝GH＝HE，∴四边形EFGH是菱形，由△EGM≌△FHN，可知EG＝FH，∴四边形EFGH的形状为正方形．∴∠HEF＝90°∵∠1+∠2＝90°，∠2+∠3＝90°，∴∠1＝∠3．∵∠3+∠4＝90°，∠2+∠3＝90°，∴∠2＝∠4．在△AEH与△BFE中，，∴△AEH≌△BFE（ASA）∴AE＝BF．故答案为正方形，AE＝BF．（4）利用①中结论，易证△AEH、△BFE、△CGF、△DHG均为全等三角形，∴BF＝CG＝DH＝AE＝x，AH＝BE＝CF＝DG＝4﹣x．∴y＝S正方形ABCD﹣4S△AEH＝4×4﹣4×x（4﹣x）＝2x2﹣8x+16．∴y＝2x2﹣8x+16（0＜x＜4）∵y＝2x2﹣8x+16＝2（x﹣2）2+8，∴当x＝2时，y取得最小值8；当x＝0时，y＝16，∴y的取值范围为：8≤y＜16．8．已知：如图1，在平面直角坐标系中，长方形OABC的顶点B的坐标是（6，4）．（1）直接写出A点坐标（ 6 ，0 ），C点坐标（0 ， 4 ）；（2）如图2，D为OC中点．连接BD，AD，如果在第二象限内有一点P（m，1），且四边形OADP的面积是△ABC面积的2倍，求满足条件的点P的坐标；（3）如图3，动点M从点C出发，以每钞1个单位的速度沿线段CB运动，同时动点N 从点A出发．以每秒2个单位的速度沿线段AO运动，当N到达O点时，M，N同时停止运动，运动时间是t秒（t＞0），在M，N运动过程中．当MN＝5时，直接写出时间t的值．解：（1）∵四边形OABC是长方形，∴AB∥OC，BC∥OA，∵B（6，4），∴A（6，0），C（0，4），故答案为：6，0，0，4；（2）如图2，由（1）知，A（6，0），C（0，4），∴OA＝6，OC＝4，∵四边形OABC是长方形，∴S长方形OABC＝OA•OC＝6×4＝24，连接AC，∵AC是长方形OABC的对角线，∴S△OAC＝S△ABC＝S长方形OABC＝12，∵点D是OC的中点，∴S△OAD＝S△OAC＝6，∵四边形OADP的面积是△ABC面积的2倍，∴S四边形OADP＝2S△ABC＝24，∵S四边形OADP＝S△OAD+S△ODP＝6+S△ODP＝24，∴S△ODP＝18，∵点D是OC的中点，且OC＝4，∴OD＝OC＝2，∵P（m，1），∴S△ODP＝OD•|m|＝×2|m|＝18，∴m＝18（由于点P在第二象限，所以，m小于0，舍去）或m＝﹣18，∴P（﹣18，1）；（3）如图3，由（2）知，OA＝6，OC＝4，∵四边形OABC是长方形，∴∠AOC＝∠OCB＝90°，BC＝6，由运动知，CM＝t，AN＝2t，∴ON＝OA﹣AN＝6﹣2t，过点M作MH⊥OA于H，∴∠OHM＝90°＝∠AOC＝∠OCB，∴四边形OCMH是长方形，∴MH＝OC＝4，OH＝CM＝t，∴HN＝|ON﹣CM|＝6﹣2t﹣t|＝|6﹣3t|，在Rt△MHN中，MN＝5，根据勾股定理得，HN2＝MN2﹣MH2，∴|6﹣3t|2＝52﹣42＝9，∴t＝1或t＝3，即：t的值为1或3．9．综合与实践问题情境数学课上，李老师提出了这样一个问题：如图1，点P是正方形ABCD内一点，PA＝1，PB ＝2，PC＝3．你能求出∠APB的度数吗？（1）小敏与同桌小聪通过观察、思考、讨论后，得出了如下思路：思路一：将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP'A，连接PP'，求出∠APB的度数；思路二：将△APB绕点B顺时针旋转90°，得到△CP'B，连接PP'，求出∠APB的度数．请参考以上思路，任选一种写出完整的解答过程．类比探究（2）如图2，若点P是正方形ABCD外一点，PA＝3，PB＝1，，求∠APB的度数．拓展应用（3）如图3，在边长为的等边三角形ABC内有一点O，∠AOC＝90°，∠BOC＝120°，则△AOC的面积是．解：（1）思路一，如图1，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP'A，连接PP'，则△ABP'≌△CBP，AP'＝CP＝3，BP'＝BP＝2，∠PBP'＝90°∴∠BPP'＝45°，根据勾股定理得，，∵AP＝1，∴AP2+P'P2＝1+8＝9，又∵P'A2＝32＝9，∴AP2+P'P2＝P'A2，∴△APP'是直角三角形，且∠APP'＝90°，∴∠APB＝∠APP'+∠BPP'＝90°+45°＝135°．思路二、同思路一的方法．（2）如图2，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP'A，连接PP'．则△ABP'≌△CBP，，BP'＝BP＝1，∠PBP'＝90°∴∠BPP'＝45°，根据勾股定理得，，∵AP＝3，∴AP2+P'P2＝9+2＝11，又∵，∴AP2+P'P2＝P'A2，∴△APP'是直角三角形，且∠APP'＝90°，∴∠APB＝∠APP'﹣∠BPP'＝90°﹣45°＝45°．（3）如图，将△ABO绕点B顺时针旋转60°，得到△BCE，连接OE．则△BAO≌△BCE，∠AOB＝∠BEC＝360°﹣90°﹣120°＝150°，∵△BOE是等边三角形，∴∠BEO＝∠BOE＝60°，∴∠OEC＝90°，∠OEC＝120°﹣60°＝60°，∴sin60°＝＝，设EC＝k，OC＝2k，则OA＝EC＝k，∵∠AOC＝90°，∴OA2+OC2＝AC2，∴3k2+4k2＝7，∴k＝1或﹣1（舍弃），∴OA＝，OC＝2，∴S△AOC＝•OA•OC＝××2＝．故答案为．10．如图1，在矩形ABCD中，点P是BC边上一点，连接AP交对角线BD于点E，BP＝BE．作线段AP的中垂线MN分别交线段DC，DB，AP，AB于点M，G，F，N．（1）求证：∠BAP＝∠BGN；（2）若AB＝6，BC＝8，求；（3）如图2，在（2）的条件下，连接CF，求tan∠CFM的值．（1）证明：如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴∠BAP＝∠APB＝90°∵BP＝BE，∴∠APB∠BEP＝∠GEF，∵MN垂直平分线段AP，∴∠GFE＝90°，∴∠BGN+∠GEF＝90°，∴∠BAP＝∠BGN．（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠ABP＝90°，AD∥BC，AD＝BC＝8，∴BD＝＝＝10，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠APB，∵∠APB＝∠BEP＝∠DEA，∴∠DAE＝∠DEA，∴DA＝DE＝8，∴BE＝BP＝BD﹣DE＝10﹣8＝2，∴PA＝＝＝2，∵MN垂直平分线段AP，∴AF＝PF＝，∵PB∥AD，∴＝＝＝，∴PE＝PA＝，∴EF＝PF﹣PE＝﹣＝，∴＝＝．（3）解：如图3中，连接AM，MP．设CM＝x．∵四边形AB CD是矩形，∴∠ADM＝∠MCP＝90°，AB＝CD＝6，AD＝BC＝8，∵MN垂直平分线段AP，∴MA＝MP，∴AD2+DM2＝PC2+CM2，∴82+（6﹣x）2＝62+x2，∴x＝，∵∠PFM＝∠PCM＝90°，∴P，F，M，C四点共圆，∴∠CFM＝∠CPM，∴tan∠CFM＝tan∠CFM＝＝＝．11．在利用构造全等三角形来解决的问题中，有一种典型的利用倍延中线的方法，例如：在△ABC中，AB＝8，AC＝6，点D是BC边上的中点，怎样求AD的取值范围呢？我们可以延长AD到点E，使AD＝DE，然后连接BE（如图①），这样，在△ADC和△EDB中，由于，∴△ADC≌△EDB，∴AC＝EB，接下来，在△ABE中通过AE的长可求出AD的取值范围．请你回答：（1）在图①中，中线AD的取值范围是1＜AD＜7 ．（2）应用上述方法，解决下面问题①如图②，在△ABC中，点D是BC边上的中点，点E是AB边上的一点，作DF⊥DE交AC边于点F，连接EF，若BE＝4，CF＝2，请直接写出EF的取值范围．②如图③，在四边形ABCD中，∠BCD＝150°，∠ADC＝30°，点E是AB中点，点F在DC上，且满足BC＝CF，DF＝AD，连接CE、ED，请判断CE与ED的位置关系，并证明你的结论．解：（1）延长AD到点E，使AD＝DE，连接BE，如图①所示：∵点D是BC边上的中点，∴BD＝CD，在△A DC和△EDB中，，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴AC＝EB＝6，在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，∴8﹣6＜AE＜8+6，即2＜AE＜14，∴1＜AD＜7，故答案为：1＜AD＜7；（2）①延长ED到点N，使ED＝DN，连接CN、FN，如图②所示：∵点D是BC边上的中点，∴BD＝CD，在△NDC和△EDB中，中，，∴△NDC≌△EDB（SAS），∴BE＝CN＝4，∵DF⊥DE，ED＝DN，∴EF＝FN，在△CFN中，CN﹣CF＜FN＜CN+CF，∴4﹣2＜FN＜4+2，即2＜FN＜6，∴2＜EF＜6；②CE⊥ED；理由如下：延长CE与DA的延长线交于点G，如图③所示：∵点E是AB中点，∴BE＝AE，∵∠BCD＝150°，∠ADC＝30°，∴DG∥BC，∴∠GAE＝∠CBE，在△GAE和△CBE中，，∴△GAE≌△CBE（ASA），∴GE＝CE，AG＝BC，∵BC＝CF，DF＝AD，∴CF+DF＝BC+AD＝AG+AD，即：CD＝GD，∵GE＝CE，12．如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，对角线AC、BD相交于点O，将直线AC绕点O 顺时针旋转一个角度α（0°＜α≤90°），分别交线段BC、AD于点E、F，已知AB＝1，，连接BF．（1）如图①，在旋转的过程中，请写出线段AF与EC的数量关系，并证明；（2）如图②，当α＝45°时，请写出线段BF与DF的数量关系，并证明；（3）如图③，当α＝90°时，求△BOF的面积．解：（1）AF＝CE；理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AO＝CO，∴∠FAO＝∠ECO，∴在△AFO与△CEO中，，∴△AFO≌△CEO（ASA），（2）BF＝DF；理由如下：∵AB⊥AC，∴∠BAC＝90°，∴AC＝＝＝2，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO＝DO，AO＝CO＝AC＝1，∴AB＝AO，又∵AB⊥AC，∴∠AOB＝45°，∵α＝45°，∠AOF＝45°，∴∠BOF＝∠AOB+∠AOF＝45°+45°＝90°，∴EF⊥BD，∵BO＝DO，∴BF＝DF；（3）∵AB⊥AC，∴∠CAB＝90°，∴∠CAB＝∠AOF＝α＝90°，∴AB∥EF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AF∥BE，∴四边形ABEF是平行四边形，∴AB＝EF＝1，由（1）得：△AFO≌△CEO，∴OF＝OE＝EF＝，由（2）得：AO＝1，∵AB∥EF，AO⊥EF，∴S△BOF＝S△AOF＝AO•OF＝×1×＝．13．综合与实践（1）问题发现如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．请写出∠AEB的度数及线段AD，BE之间的数量关系，并说明理由．（2）类比探究如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．填空：①∠AEB的度数为90°；②线段CM，AE，BE之间的数量关系为AE＝BE+2CM．（3）拓展延伸在（2）的条件下，若BE＝4，CM＝3，则四边形ABEC的面积为35 ．解：（1）∠AEB＝60°，AD＝BE，理由如下：∵△ACB和△DCE均为等边三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°．∴∠ACD＝∠BCE．在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS）．∴∠ADC＝∠BEC．AD＝BE，∵△DCE为等边三角形，∴∠CDE＝∠CED＝60°．∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC＝120°．∴∠BEC＝120°．∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝60°．（2）猜想：①∠AEB＝90°，②AE＝BE+2CM．理由如下：∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°．∴∠ACD＝∠BCE．在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS）．∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC．∵△DCE为等腰直角三角形，∴∠CDE＝∠CED＝45°．∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC＝135°．∴∠BEC＝135°．∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝90°．∵CD＝CE，CM⊥DE，∴DM＝ME．∵∠DCE＝90°，∴DM＝ME＝CM．∴AE＝AD+DE＝BE+2CM．故答案为：90°，AE＝BE+2CM；（3）由（2）得：∠AEB＝90°，AD＝BE＝4，∵△DCE均为等腰直角三角形，CM为△DCE中DE边上的高，∴CM⊥AE，DE＝2CM＝6，∴AE＝AD+DE＝4+6＝10，∴四边形ABEC的面积＝△ACE的面积+△ABE的面积＝AE×CM+AE×BE＝×10×3+×10×4＝35；故答案为：35．14．如图，正方形OABC的边长为8，P为OA上一点，OP＝2，Q为OC边上的一个动点，分别以OP\PQ为边在正方形OABC内部作等边三角形OPD和等边三角形PQE．（1）证明：DE＝OQ；（2）直线ED与OC交于点F，点Q在运动过程中．①∠EFC的度数是否发生改变？若不变，求出这个角的度数；若改变，说明理由；②连结AE，求AE的最小值．（1）证明：如图1中，∵△OPD和△PQE是等边三角形，∴PO＝PD，PQ＝PE，∠OPD＝∠QPE＝60°，∴∠OPQ＝∠DPE，∴△OPQ≌△DPE（SAS），∴DE＝OQ．（2）①∵△OPQ≌△DPE，∴∠EDP＝∠POQ＝90°，∵∠DOP＝∠ODP＝60°∴∠FDO＝∠FDO＝30°，∴∠EFC＝∠FOC+∠FDO＝60°．②如图2中，当点Q与点C重合时，以PQ为边作正三角形PQM．∵∠EFC＝60°为定值，点E的运动路径为线段DM，过点P作PH⊥EA，垂足为H，∴当AE⊥DE时，AE的值最小∵∠PDE＝∠DEH＝∠PHE＝90°，∴四边形PDEH是矩形，∴∠DPH＝90°，EH＝PD＝2，∴EH＝DP＝2，在△PHA中，∠AHP＝90°，∠HPA＝30°∴AH＝PA＝3，∴AE＝EH+AH＝2+3＝5．15．我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂直四边形．（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂直四边形吗？请说明理由；（2）如图2，四边形ABCD是垂直四边形，求证：AD2+BC2＝AB2+CD2；（3）如图3，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC、AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC＝4，BC＝3，求GE长．（1）解：四边形ABCD是垂直四边形；理由如下：∵AB＝AD，∴点A在线段BD的垂直平分线上，∵CB＝CD，∴点C在线段BD的垂直平分线上，∴直线AC是线段BD的垂直平分线，∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂直四边形；（2）证明：设AC、BD交于点E，如图2所示：∵AC⊥BD，∴∠AED＝∠AEB＝∠BEC＝∠CED＝90°，由勾股定理得：AD2+BC2＝AE2+DE2+BE2+CE2，AB2+CD2＝AE2+BE2+DE2+CE2，∴AD2+BC2＝AB2+CD2；（3）解：连接CG、BE，如图3所示：∵正方形ACFG和正方形ABDE，∴AG＝AC，AB＝AE，CG＝AC＝4，BE＝AB，∠CAG＝∠BAE＝90°，∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，在△GAB和△CAE中，，∴△GAB≌△CAE（SAS），∴∠ABG＝∠AEC，又∵∠AEC+∠CEB+∠ABE＝90°，∴∠ABG+∠CEB+∠ABE＝90°，即CE⊥BG，∴四边形CGEB是垂直四边形，由（2）得，CG2+BE2＝BC2+GE2，∵AC＝4，BC＝3，∴AB＝＝＝5，BE＝AB＝5，∴GE2＝CG2+BE2﹣BC2＝（4）2+（5）2﹣32＝73，∴GE＝．。
中考数学复习《特殊的平行四边形》专题练习(含答案)
三、解答题
31. (2018·湘西州)如图，在矩形 中， 是 的中点，连接 .
(1)求证: ;
(2)若 ，求 的周长.
32. (2018连云港)如图，在矩形 中， 是 的中点，延长 交于点 ，连接 .
(1)求证:四边形 是平行四边形;
A. B. C. D.
二、填空题
13. (2018·株洲)如图，矩形 的对角线 与 相交点 ， 分别为 的中点，则 的长度为.
14.(2018·成都)如图，在矩形 中，按以下步骤作图:①分别以点 和 为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧相交于点 和 ;②作直线 交 于点 .若 ，则矩形的对角线 的长为.
38. (2018·乌鲁木齐)如图，在四边形 中， ， 是 的中点， ， ， 于点 .
(1)求证:四边形 是菱形;
(2)若 ，求 的长.
39. (2018·广安)如图，四边形 是正方形， 为 上一点，连接 ，延长 至点 ，使得 ，过点 作 ，垂足为 ，求证: .
40. (2018·盐城)如图，在正方形 中，对角线 所在的直线上有两点 满足 ，连接 .
(2)在(1)的条件下，连接 ，求 的度数.
36.(2018·娄底)如图，在四边形 中，对角线 相交于点 ，且
，过点 作 ，分别交 于点 .
(1)求证: ;
(2)判断四边形 的形状，并说明理由.
37. (2018·南京)如图，在四边形 中， ， . 是四边形 内一点，且 .求证:
(1) ;
(2)四边形 是菱形.
9. (2018·宿迁)如图，菱形 的对角线 相交于点 ， 为边 的中点.若菱
新北师大版九年级数学上册《特殊平行四边形》试卷(附答案)
新北师大版九年级数学上册《特殊平行四边形》试卷(附答案)特殊平行四边形》试卷一、填空题1、如图，将△ABC绕AC的中点O按顺时针旋转180°得到△CDA，添加一个条件使四边形ABCD为矩形．条件：AB=CD2、如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，点E，F，G，H分别为边AD，AB，BC，CD的中点．若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH的面积为________．四边形EFGH的面积为24.3、如图，正方形ABCD的边长为4，点P在DC边上，且DP＝1，点Q是AC上一动点，则DQ＋PQ的最小值为____________．DQ+PQ的最小值为√10.二、选择题4、矩形具有而菱形不具有的性质是() A．两组对边分别平行B．对角线相等C．对角线互相平分D．两组对角分别相等答案：D5、如图，菱形ABCD的两条对角线相交于点O，若AC ＝6，BD＝4，则菱形ABCD的周长是()。
A．24B．16C．413D．213答案：B6、如图，将△XXX沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件中能够判定四边形ACED为菱形的是() A．AB ＝XXX．∠B＝60°D．∠ACB＝60°答案：C7、如图，4×4的方格中每个小正方形的边长都是1，则S 四边形ABDC与S四边形ECDF的大小关系是() A．S四边形ABDC＝S四边形ECDFB．S四边形ABDC<S四边形ECDFC．S四边形ABDC＝S四边形ECDF＋1D．S四边形ABDC＝S四边形ECDF＋2答案：A8、如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC 为边长的正方形ACEF的周长为() A．14B．15C．16D．17答案：C9、如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD 边的B′处，若AE＝2，DE＝6，∠EFB＝60°，则矩形ABCD 的面积是() A．12B．24C．123D．163答案：B三、XXX10、如图，在矩形ABCD中，点E是BC上一点，AE＝AD，DF⊥AE，垂足为F。
初三数学专题复习之三角形与特殊四边形(含答案)
初三数学专题之三角形与特殊四边形（含答案)一．选择题（共20小题）1．关于▱ABCD的叙述，正确的是（）A．若AB⊥BC,则▱ABCD是菱形B．若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形C．若AC=BD，则▱ABCD是矩形D．若AB=AD，则▱ABCD是正方形2．下列说法中正确的是（）A．对角线相等的平行四边形是菱形B．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形C．对角线垂直的四边形是菱形D．有一个角是直角的四边形是矩形3．如图，将▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1=∠2=44°，则∠B 为（)A．66°B．104°C．114° D．124°4．如图,O是▱ABCD的对角线交点，E为AB中点，DE交AC于点F，若S▱ABCD=16．则S△DOE的值为（）A．1 B．C．2 D．5．在△ABC与△A′B′C′中，有下列条件：（1），（2）；（3）∠A=∠A′;（4）∠C=∠C′，如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC∽△A′B′C′的共有(）A．1组 B．2组 C．3组 D．4组6．如图，P是Rt△ABC斜边AB上任意一点（A，B两点除外），过P点作一直线，使截得的三角形与Rt△ABC相似，这样的直线可以作(）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条7．如图,每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分）与左图中△ABC相似的是（）A．B．C．D．8．如图，E是等边△ABC中AC边上的点，∠1=∠2,BE=CD，则△ADE的形状是()A．等腰三角形B．等边三角形C．不等边三角形D．不能确定形状9．如图，AB∥EF,CD⊥EF，∠BAC=50°，则∠ACD=（）A．120°B．130°C．140° D．150°10．在给定的条件中,能画出平行四边形的是（）A．以60cm为一条对角线，20cm,34cm为两条邻边B．以6cm，10cm为两条对角线，8cm为一边C．以20cm，36cm为两条对角线，22cm为一边D．以6cm为一条对角线，3cm，10cm为两条邻边11．用尺规作图，不能作出唯一直角三角形的是（）A．已知两条直角边B．已知两个锐角C．已知一直角边和直角边所对的一锐角D．已知斜边和一直角边12．如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,OE∥DC交BC于点E，AD=6cm，则OE的长为（）A．6cm B．4cm C．3cm D．2cm13．已知：线段AB，BC，∠ABC=90°．求作：矩形ABCD．以下是甲、乙两同学的作业：甲：1．以点C为圆心,AB长为半径画弧；2．以点A为圆心,BC长为半径画弧；3．两弧在BC上方交于点D，连接AD，CD，四边形ABCD即为所求(如图1）．乙：1．连接AC,作线段AC的垂直平分线，交AC于点M；2．连接BM并延长，在延长线上取一点D，使MD=MB，连接AD，CD,四边形ABCD 即为所求（如图2)．对于两人的作业，下列说法正确的是(）A．两人都对B．两人都不对C．甲对，乙不对D．甲不对，乙对14．下列命题是假命题的是（)A．不在同一直线上的三点确定一个圆B．角平分线上的点到角两边的距离相等C．正六边形的内角和是720°D．角的边越大,角就越大15．如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，有“弘”字一面的相对面上的字是()A．传B．统C．文D．化16．如图是正方体的平面展开图,每个面都标注了数字，如果5在正方体的右面，4在下面，那么后面的数字是（）A．3 B．4 C．5 D．617．一个正方体的表面展开图如图所示,每个面内都标注了字母,如果从正方体的右面看是面D，面C在后面，则正方体的上面是()A．面E B．面F C．面A D．面B18．如图所示，已知AB∥CD，下列结论正确的是（）A．∠1=∠2 B．∠2=∠3 C．∠1=∠4 D．∠3=∠419．如图,点E，F在AC上，AD=BC，DF=BE，要使△ADF≌△CBE，还需要添加的一个条件是（）A．∠A=∠C B．∠D=∠B C．AD∥BC D．DF∥BE20．如图，已知E是菱形ABCD的边BC上一点，且∠DAE=∠B=80°，那么∠CDE 的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．35°二．填空题（共8小题）21．如图，A，B两点被池塘隔开，不能直接测量其距离．于是，小明在岸边选一点C，连接CA，CB，分别延长到点M，N,使AM=AC，BN=BC，测得MN=200m,则A，B间的距离为m．22．如图，依据尺规作图的痕迹，计算∠α=°．23．如图，四边形ABCD中，点M、N分别在AB、BC上,将△BMN沿MN翻折，得△FMN,若MF∥AD，FN∥DC，则∠B=°．24．如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A=∠D=90°，请你添加一个条件（不添加字母和辅助线），使Rt△ABC≌Rt△DCB，你添加的条件是．25．将一副三角板如图叠放，则图中∠α的度数为．26．如图,在菱形ABCD中,∠DAB=60°，AB=2，则菱形ABCD的面积为．27．如图，四边形ABCD是菱形，AC=24，BD=10,DH⊥AB于点H，则线段BH的长为．28．矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O,请你添加一个适当的条件，使其成为正方形（只填一个即可)三．解答题（共7小题)29．如图，点B，F，C，E在直线l上（F,C之间不能直接测量)，点A，D在l异侧,测得AB=DE,AC=DF,BF=EC．（1)求证：△ABC≌△DEF;（2）指出图中所有平行的线段，并说明理由．30．嘉淇同学要证明命题“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”是正确的，她先用尺规作出了如图1的四边形ABCD，并写出了如下不完整的已知和求证．已知：如图1，在四边形ABCD中，BC=AD,AB=求证：四边形ABCD是四边形．（1）填空，补全已知和求证;（2)按嘉淇的想法写出证明；(3）用文字叙述所证命题的逆命题为．31．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=40°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°．得到△ADE．连接BD，CE交于点F．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2)求∠ACE的度数；（3）求证：四边形ABFE是菱形．32．如图,已知点A、F、E、C在同一直线上,AB∥CD，∠ABE=∠CDF，AF=CE．（1)从图中任找两组全等三角形；（2）从（1)中任选一组进行证明．33．如图，△ABC、△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°,点E在AB 上．求证:△CDA≌△CEB．34．如图,在平行四边形ABCD中，边AB的垂直平分线交AD于点E，交CB的延长线于点F，连接AF，BE．(1）求证：△AGE≌△BGF；(2)试判断四边形AFBE的形状，并说明理由．35．如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB=DF，AC=DE,BE=FC．（1)求证：△ABC≌△DFE;（2）连接AF、BD，求证:四边形ABDF是平行四边形．2018年05月07日橙子的初中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共20小题）1．关于▱ABCD的叙述,正确的是(）A．若AB⊥BC，则▱ABCD是菱形B．若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形C．若AC=BD，则▱ABCD是矩形D．若AB=AD，则▱ABCD是正方形【分析】由菱形的判定方法、矩形的判定方法、正方形的判定方法得出选项A、B、D错误，C正确；即可得出结论．【解答】解：∵▱ABCD中，AB⊥BC，∴四边形ABCD是矩形,不一定是菱形，选项A错误；∵▱ABCD中,AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形，不一定是正方形，选项B错误；∵▱ABCD中，AC=BD，∴四边形ABCD是矩形,选项C正确；∵▱ABCD中，AB=AD，∴四边形ABCD是菱形，不一定是正方形，选项D错误．故选:C．【点评】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定方法、矩形的判定方法、正方形的判定方法；熟练掌握矩形、菱形、正方形的判定方法是解决问题的关键．2．下列说法中正确的是（）A．对角线相等的平行四边形是菱形B．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形C．对角线垂直的四边形是菱形D．有一个角是直角的四边形是矩形【分析】利用矩形的判定、菱形的判定及正方形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：A、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故错误；B、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形,正确;C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故错误；D、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故错误，故选:B．【点评】本题考查了命题与定理的知识,解题的关键是能够了解矩形的判定、菱形的判定及正方形的判定方法,难度不大．3．如图，将▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处,若∠1=∠2=44°，则∠B 为（）A．66°B．104°C．114° D．124°【分析】由平行四边形的性质和折叠的性质得出∠ACD=∠BAC=∠B′AC，由三角形的外角性质求出∠BAC=∠ACD=∠B′AC=∠1=22°，再由三角形内角和定理求出∠B即可．【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ACD=∠BAC，由折叠的性质得：∠BAC=∠B′AC,∴∠BAC=∠ACD=∠B′AC=∠1=22°，∴∠B=180°﹣∠2﹣∠BAC=180°﹣44°﹣22°=114°；故选：C．【点评】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理;熟练掌握平行四边形的性质,求出∠BAC的度数是解决问题的关键．4．如图，O是▱ABCD的对角线交点，E为AB中点，DE交AC于点F，若S▱ABCD=16．则S△DOE的值为（）A．1 B．C．2 D．【分析】由平行四边形的面积，找到三角形底边和高与平行四边形底边和高的关系，利用面积公式以及线段间的关系求解．分别作△OED和△AOD的高,利用平行线的性质,得出高的关系，进而求解．【解答】解：如图，过A、E两点分别作AN⊥BD、EM⊥BD，垂足分别为M、N，则EM∥AN,∴，∴EM=AN，由题意S ABCD=16∴2××AN×BD=16，∴S OED=×OD×EM===2．故选：C．【点评】本题考查平行四边形的性质,综合了平行线的性质以及面积公式．已知一个三角形的面积求另一个三角形的面积有以下几种做法：①面积比是边长比的平方比;②分别找到底和高的比．5．在△ABC与△A′B′C′中,有下列条件：(1)，（2)；（3）∠A=∠A′；（4）∠C=∠C′，如果从中任取两个条件组成一组,那么能判断△ABC∽△A′B′C′的共有（)A．1组 B．2组 C．3组 D．4组【分析】根据相似三角形的判定方法对各个条件进行分析，从而得到答案．【解答】解：共有3组，其组合分别是（1）和（2）三边对应成比例的两个三角形相似；(2）和（4）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；（3）和（4）两角对应相等的两个三角形相似．故选:C．【点评】考查相似三角形的判定定理：(1）两角对应相等的两个三角形相似．（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．(3)三边对应成比例的两个三角形相似．（4）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．6．如图，P是Rt△ABC斜边AB上任意一点(A，B两点除外)，过P点作一直线，使截得的三角形与Rt△ABC相似，这样的直线可以作（）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【分析】本题要根据相似三角形的判定方法进行求解．【解答】解:过点P可作PE∥BC或PE∥AC，可得相似三角形;过点P还可作PE⊥AB，可得:∠EPA=∠C=90°,∠A=∠A，∴△APE∽△ACB;所以共有3条．故选：C．【点评】此题考查了相似三角形的判定:①有两个对应角相等的三角形相似;②有两个对应边的比相等,且其夹角相等,则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．7．如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中△ABC相似的是()A．B．C．D．【分析】本题主要应用两三角形相似判定定理，三边对应成比例，分别对各选项进行分析即可得出答案．【解答】解:已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为、2、、只有选项B的各边为1、、与它的各边对应成比例．故选：B．【点评】此题考查三角形相似判定定理的应用．8．如图，E是等边△ABC中AC边上的点，∠1=∠2,BE=CD，则△ADE的形状是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．不等边三角形D．不能确定形状【分析】先证得△ABE≌△ACD,可得AE=AD，∠BAE=∠CAD=60°，即可证明△ADE 是等边三角形．【解答】解:∵△ABC为等边三角形∴AB=AC∵∠1=∠2，BE=CD∴△ABE≌△ACD∴AE=AD,∠BAE=∠CAD=60°∴△ADE是等边三角形．故选：B．【点评】此题主要考查学生对等边三角形的判定及三角形的全等等知识点的掌握．9．如图，AB∥EF，CD⊥EF,∠BAC=50°，则∠ACD=（）A．120°B．130°C．140° D．150°【分析】如图，作辅助线；首先运用平行线的性质求出∠DGC的度数，借助三角形外角的性质求出∠ACD即可解决问题．【解答】解：如图，延长AC交EF于点G；∵AB∥EF，∴∠DGC=∠BAC=50°；∵CD⊥EF，∴∠CDG=90°，∴∠ACD=90°+50°=140°，故选:C．【点评】该题主要考查了垂线的定义、平行线的性质、三角形的外角性质等几何知识点及其应用问题;解题的方法是作辅助线，将分散的条件集中；解题的关键是灵活运用平行线的性质、三角形的外角性质等几何知识点来分析、判断、解答．10．在给定的条件中，能画出平行四边形的是（）A．以60cm为一条对角线，20cm，34cm为两条邻边B．以6cm，10cm为两条对角线,8cm为一边C．以20cm,36cm为两条对角线,22cm为一边D．以6cm为一条对角线,3cm，10cm为两条邻边【分析】能画出平行四边形，首先要能画出三角形：两条对角线的一半和平行四边形的一边构成三角形;平行四边形的两条边和一条对角线构成三角形．【解答】解：A、20+34不大于60，不能构成三角形,故A选项错误；B、3+5不大于8，不能构成三角形，故B选项错误;C、10+18＞22，能构成三角形,故C选项正确；D、3+6不大于10,不能构成三角形，故D选项错误；故选：C．【点评】此题主要考查平行四边形的作图，综合考查了平行四边形的性质和三角形三边之间的关系．11．用尺规作图,不能作出唯一直角三角形的是（）A．已知两条直角边B．已知两个锐角C．已知一直角边和直角边所对的一锐角D．已知斜边和一直角边【分析】能不能作出唯一直角三角形要看所给条件是否满足全等三角形的判定条件，然后利用三角形全等的判定方法对各选项进行判定．【解答】解：A、已知两条直角边和直角，可根据“SAS”作出唯一直角三角形，所以A选项错误；B、已知两个锐角，不能出唯一的直角三角形,所以B选项之前；C、已知一直角边和直角边所对的一锐角，可根据“AAS”或“ASA”作出唯一直角三角形,所以B选项错误;D、已知斜边和一直角边,可根据“HL”作出唯一直角三角形，所以D选项错误．故选：B．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图,逐步操作．解决本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法．12．如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE∥DC交BC 于点E，AD=6cm，则OE的长为()A．6cm B．4cm C．3cm D．2cm【分析】利用菱形的四边都相等的性质结合三角形相似求解．【解答】解:∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD=6cm，OC=OA=AC．∵OE∥DC，∴△ABC∽△OEC，则===，∴OE=3（cm）．故选：C．【点评】本题根据三角形相似及菱形的性质解答．13．已知：线段AB，BC，∠ABC=90°．求作：矩形ABCD．以下是甲、乙两同学的作业：甲：1．以点C为圆心，AB长为半径画弧；2．以点A为圆心,BC长为半径画弧;3．两弧在BC上方交于点D，连接AD，CD,四边形ABCD即为所求（如图1）．乙：1．连接AC,作线段AC的垂直平分线,交AC于点M；2．连接BM并延长，在延长线上取一点D，使MD=MB，连接AD，CD，四边形ABCD即为所求（如图2）．对于两人的作业，下列说法正确的是（）A．两人都对B．两人都不对C．甲对，乙不对D．甲不对,乙对【分析】先由两组对边分别相等的四边形是平行四边形得出四边形ABCD是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形判断甲的作业正确；先由对角线互相平分的四边形是平行四边形得出四边形ABCD是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形判断乙的作业也正确．【解答】解:由甲同学的作业可知,CD=AB，AD=BC,∴四边形ABCD是平行四边形，又∵∠ABC=90°,∴▱ABCD是矩形．所以甲的作业正确；由乙同学的作业可知,CM=AM，MD=MB，∴四边形ABCD是平行四边形,又∵∠ABC=90°,∴▱ABCD是矩形．所以乙的作业正确；故选：A．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图的应用及矩形的判定，从两位同学的作图语句中获取正确信息及熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键．14．下列命题是假命题的是(）A．不在同一直线上的三点确定一个圆B．角平分线上的点到角两边的距离相等C．正六边形的内角和是720°D．角的边越大,角就越大【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．【解答】解：A、不在同一直线上的三点确定一个圆，真命题；B、角平分线上的点到角两边的距离相等，真命题；C、正六边形的内角和是720°，真命题；D、角的边越大，角就越大是假命题，因为角的大小与边的长短无关．故选：D．【点评】主要考查命题的真假判断,正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．15．如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后,有“弘”字一面的相对面上的字是（）A．传B．统C．文D．化【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题．【解答】解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“扬"与“统”相对，面“弘”与面“文”相对，“传"与面“化”相对．故选：C．【点评】本题考查了正方体的展开图得知识,注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．16．如图是正方体的平面展开图，每个面都标注了数字,如果5在正方体的右面，4在下面，那么后面的数字是（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】利用正方体及其表面展开图的特点以及题意解题，把“4”作为正方体的底面，然后把平面展开图折成正方体，然后根据5在正方体的右面，4在下面，判断出正方体后面的数．【解答】解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“5”与面“2”相对，面“4”与面“6”相对，“1”与面“3"相对．所以后面的数字是3．故选：A．【点评】注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．17．一个正方体的表面展开图如图所示,每个面内都标注了字母,如果从正方体的右面看是面D,面C在后面,则正方体的上面是（）A．面E B．面F C．面A D．面B【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题．这是一个正方体的平面展开图，共有六个面,其中面“B”与面“D”相对，面“E”与面“A"相对，“F”与面“C"相对．因为右面看是面D，面C在后面，则正方体的上面是A．【解答】解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面,其中面“B"与面“D”相对,面“E"与面“A”相对，“F"与面“C”相对．因为右面看是面D，面C在后面，则正方体的上面是A．故选：C．【点评】注意正方体的空间图形，从相对面入手,分析及解答问题．18．如图所示，已知AB∥CD，下列结论正确的是()A．∠1=∠2 B．∠2=∠3 C．∠1=∠4 D．∠3=∠4【分析】根据平行线的性质即可得到结论．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠1=∠4,故选：C．【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．19．如图，点E,F在AC上，AD=BC,DF=BE，要使△ADF≌△CBE,还需要添加的一个条件是（）A．∠A=∠C B．∠D=∠B C．AD∥BC D．DF∥BE【分析】利用全等三角形的判定与性质进而得出当∠D=∠B时，△ADF≌△CBE．【解答】解：当∠D=∠B时，在△ADF和△CBE中∵，∴△ADF≌△CBE（SAS),故选：B．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键．20．如图，已知E是菱形ABCD的边BC上一点，且∠DAE=∠B=80°，那么∠CDE 的度数为（)A．20°B．25°C．30°D．35°【分析】依题意得出AE=AB=AD,∠ADE=50°，又因为∠B=80°故可推出∠ADC=80°，∠CDE=∠ADC﹣∠ADE，从而求解．【解答】解：∵AD∥BC，∴∠AEB=∠DAE=∠B=80°，∴AE=AB=AD，在三角形AED中，AE=AD,∠DAE=80°,∴∠ADE=50°,又∵∠B=80°，∴∠ADC=80°，∴∠CDE=∠ADC﹣∠ADE=30°．故选:C．【点评】本题是简单的推理证明题,主要考查菱形的边的性质，同时综合利用三角形的内角和及等腰三角形的性质．二．填空题（共8小题）21．如图，A，B两点被池塘隔开，不能直接测量其距离．于是，小明在岸边选一点C，连接CA，CB,分别延长到点M，N，使AM=AC，BN=BC，测得MN=200m，则A,B间的距离为100m．【分析】根据三角形中位线定理计算即可．【解答】解：∵AM=AC，BN=BC，∴AB是△CMN的中位线，∴AB=MN=100m，故答案为：100．【点评】本题考查的是三角形的中位线定理的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．22．如图，依据尺规作图的痕迹,计算∠α=56°．【分析】先根据矩形的性质得出AD∥BC，故可得出∠DAC的度数,由角平分线的定义求出∠EAF的度数，再由EF是线段AC的垂直平分线得出∠AEF的度数，根据三角形内角和定理得出∠AFE的度数，进而可得出结论．【解答】解:∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB=68°．∵由作法可知，AF是∠DAC的平分线，∴∠EAF=∠DAC=34°．∵由作法可知，EF是线段AC的垂直平分线，∴∠AEF=90°，∴∠AFE=90°﹣34°=56°，∴∠α=56°．故答案为：56．【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知角平分线及线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．23．如图，四边形ABCD中，点M、N分别在AB、BC上，将△BMN沿MN翻折，得△FMN，若MF∥AD,FN∥DC，则∠B=95°．【分析】根据两直线平行，同位角相等求出∠BMF、∠BNF,再根据翻折的性质求出∠BMN和∠BNM，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．【解答】解：∵MF∥AD,FN∥DC,∴∠BMF=∠A=100°，∠BNF=∠C=70°，∵△BMN沿MN翻折得△FMN,∴∠BMN=∠BMF=×100°=50°，∠BNM=∠BNF=×70°=35°，在△BMN中，∠B=180°﹣（∠BMN+∠BNM）=180°﹣（50°+35°）=180°﹣85°=95°．故答案为：95．【点评】本题考查了两直线平行，同位角相等的性质，翻折变换的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键．24．如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A=∠D=90°，请你添加一个条件(不添加字母和辅助线），使Rt△ABC≌Rt△DCB，你添加的条件是AB=DC．【分析】根据：斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等，使Rt△ABC≌Rt △DCB,添加的条件是：AB=DC．【解答】解：∵斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等，∴在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A=∠D=90°，使Rt△ABC≌Rt△DCB，添加的条件是：AB=DC．故答案为：AB=DC．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质的应用,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确：①判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．②判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．③判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．④判定定理4:AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．⑤判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．25．将一副三角板如图叠放，则图中∠α的度数为15°．【分析】根据三角形的外角的性质计算即可．【解答】解：由三角形的外角的性质可知,∠α=60°﹣45°=15°，故答案为：15°．【点评】本题考查的是三角形的外角的性质,掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．26．如图，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，AB=2,则菱形ABCD的面积为2．【分析】由菱形ABCD，得到邻边相等，且对角线互相平分，再由一个角为60°的等腰三角形为等边三角形得到三角形ABD为等边三角形，求出BD的长,再由菱形的对角线垂直求出AC的长，即可求出菱形的面积．【解答】解：∵菱形ABCD，∴AD=AB，OD=OB,OA=OC，∵∠DAB=60°，∴△ABD为等边三角形，∴BD=AB=2，∴OD=1,在Rt△AOD中，根据勾股定理得:AO==，∴AC=2，=AC•BD=2，则S菱形ABCD故答案为:2【点评】此题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解本题的关键．27．如图，四边形ABCD是菱形，AC=24，BD=10,DH⊥AB于点H，则线段BH的长为．【分析】直接利用菱形的性质得出AO，DO的长，再利用三角形面积以及勾股定理得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC=24，BD=10，∴AO=12，OD=5，AC⊥BD，∴AD=AB==13,∵DH⊥AB,∴AO×BD=DH×AB，∴12×10=13×DH，∴DH=，∴BH==．故答案为：．【点评】此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理，正确得出DH的长是解题关键．28．矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O，请你添加一个适当的条件AB=BC （答案不唯一）,使其成为正方形（只填一个即可)【分析】此题是一道开放型的题目答案不唯一,证出四边形ABCD是菱形，由正方形的判定方法即可得出结论．【解答】解：添加条件：AB=BC，理由如下：∵四边形ABCD是矩形,AB=BC，∴四边形ABCD是菱形，∴四边形ABCD是正方形，故答案为:AB=BC（答案不唯一）．【点评】本题考查了矩形的性质，菱形的判定,正方形的判定的应用，能熟记正方形的判定定理是解此题的关键,注意：有一组邻边相等的矩形是正方形，对角线互相垂直的矩形是正方形．三．解答题(共7小题）29．如图,点B，F,C,E在直线l上（F，C之间不能直接测量)，点A，D在l异侧,测得AB=DE，AC=DF，BF=EC．（1)求证：△ABC≌△DEF；(2)指出图中所有平行的线段,并说明理由．【分析】（1）先证明BC=EF，再根据SSS即可证明．（2）结论AB∥DE，AC∥DF，根据全等三角形的性质即可证明．【解答】（1）证明：∵BF=CE,∴BF+FC=FC+CE，即BC=EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SSS）．（2）结论:AB∥DE，AC∥DF．理由:∵△ABC≌△DEF，∴∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠DFE，∴AB∥DE，AC∥DF．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形的条件，记住平行线的判定方法,属于基础题，中考常考题型．30．嘉淇同学要证明命题“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”是正确的，她先用尺规作出了如图1的四边形ABCD,并写出了如下不完整的已知和求证．已知：如图1，在四边形ABCD中,BC=AD，AB=CD求证：四边形ABCD是平行四边形．（1）填空，补全已知和求证；(2）按嘉淇的想法写出证明；（3）用文字叙述所证命题的逆命题为平行四边形两组对边分别相等．【分析】（1）命题的题设为“两组对边分别相等的四边形”，结论是“是平行四边形”,根据题设可得已知：在四边形ABCD中，BC=AD，AB=CD，求证：四边形ABCD 是平行四边形；（2）连接BD，利用SSS定理证明△ABD≌△CDB可得∠ADB=∠DBC,∠ABD=∠CDB,进而可得AB∥CD，AD∥CB，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形ABCD是平行四边形；（3）把命题“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”的题设和结论对换可得平行四边形两组对边分别相等．【解答】解：（1)已知：如图1，在四边形ABCD中，BC=AD,AB=CD求证：四边形ABCD是平行四边形．(2)证明：连接BD，在△ABD和△CDB中,，∴△ABD≌△CDB(SSS）,∴∠ADB=∠DBC，∠ABD=∠CDB，∴AB∥CD，AD∥CB，∴四边形ABCD是平行四边形；（3）用文字叙述所证命题的逆命题为：平行四边形两组对边分别相等．。
初三数学同步练习：特殊四边形试卷
初三数学同步练习：特殊四边形试卷一、选择题(每小题3分，共36分)1.下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是( )A.一组对角相等B.对角线互相平分C.一组对边相等D.对角线互相垂直2.如图，是我国古代数学家赵爽所著的《勾股圆方图注》中所画的图形，它是由四个相同的直角三角形拼成的，下面关于此图形的说法正确的是( )A.它是轴对称图形，但不是中心对称图形B.它是中心对称图形，但不是轴对称图形C.它既是轴对称图形，又是中心对称图形D.它既不是轴对称图形，又不是中心对称图形3.有下列四个命题:(1)两条对角线互相平分的四边形是平行四边形;(2)两条对角线相等的四边形是菱形;(3)两条对角线互相垂直的四边形是正方形;(4)两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形.其中正确的个数为( )A.4B.3C.2D.14.下列说法中，正确的是( )A.等腰梯形既是中心对称图形又是轴对称图形B.正方形的对角线互相垂直平分且相等C.矩形是轴对称图形且有四条对称轴D.菱形的对角线相等5.已知三角形的三个顶点坐标，求三角形面积通常有以下三种方法：方法1：直截了当法：运算三角形一边的长，并求出该边上的高;方法2：补形法：将三角形面积转化成若干个专门的四边形和三角形的面积的和与差;方法3：分割法：选择一条恰当的直线，将三角形分割成两个便于运算面积的三角形.现给出三点坐标：(-1，4)，(2，2)，(4，-1)，请你选择一种方法运算△的面积，你的答案是( )A. B. C. D.6.如图，在菱形中，，，则对角线等于( )A.20B.15C.10D.57.如图，小亮用六块形状、大小完全相同的等腰梯形拼成一个四边形，则图中的度数是( )A. B. C. D.8.矩形、菱形、正方形都具有的性质是()A.每一条对角线平分一组对角B.对角线相等C.对角线互相平分D.对角线互相垂直9.如图，将一个长为，宽为的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线(虚线)剪下，再打开，得到的菱形的面积为( )A. B. C. D.10.如图,是一张矩形纸片，，若将纸片沿折叠，使落在上，点的对应点为点，若，则( )A. B. C. .11.如图,在△中，= 90 =30, 是中位线，沿裁剪将△分为两块后拼接成专门的四边形,则不能拼成的图形是( )A.正方形B.矩形C.菱形D.等腰梯形12.有下列命题：(1)等边三角形是专门的等腰三角形;(2)邻边相等的矩形一定是正方形;(3)对角线相等的四边形是矩形;(4)三角形中至少有两个角是锐角;(5)菱形对角线长的平方和等于边长平方的4倍.其中正确命题的个数为()A.2B.3C.4D.5二、填空题(每小题3分，共15分)13.如图所示，在四边形中，、、、分别是、、、的中点，请添加一个与四边形对角线有关的条件为，使四边形是专门的平行四边形，为形.14.已知在四边形ABCD中，，若添加一个条件即可判定该四边形是正方形，则那个条件能够是__________.15.如图，在菱形中，对角线相交于点，若再补充一个条件能使菱形成为正方形，则那个条件是(只填一个条件即可).16.如图，在等腰梯形中，∥，= ，，，，则上底的长是____ ___ .17. 如图，矩形的对角线，，则图中五个小矩形的周长之和为_______ .三、解答题(共69分)18. (9分)如图，是△的一条角平分线，DK∥AB交BC于点E，且D K=BC，连接BK，CK，得到四边形DCKB，请判定四边形DCKB是哪种专门四边形，并说明理由.19.(9分)如图，在四边形中，∥，，,求四边形的周长.20.(10分)如图，在平行四边形中，对角线相交于点，过点分别交于点求证：.21.(10分)如图，在平行四边形ABCD中，、是对角线上的两点，且求证：22.(10分)如图，在△和△中，与交于点.(1)求证：△≌△;(2)过点作∥，过点作∥，与交于点，试判定线段与的数量关系，并证明你的结论.23.(10分) 如图，在梯形中，，过对角线的中点作，分别交边于点，连接.(1)求证：四边形是菱形;(2)若，，求四边形的面积.24.(11分)如图，点是正方形内一点，△是等边三角形，连接，延长交边于点.(1)求证：△≌△;(2)求的度数.第2章专门四边形检测题参考答案1.B 解析：由平行四边形的判定定理知选项B正确.2.B 解析：依照轴对称图形、中心对称图形的定义解题.3.D 解析：只有(1)正确，(2)(3)(4)错误.4.B 解析：A.等腰梯形是轴对称图形，但不是中心对称图形;C.矩形是轴对称图形，但对称轴有两条;D.菱形的对角线互相垂直，但不一定相等.5.B 解析：选择方法2.过点A向轴引垂线，过点B向轴引垂线，两垂线相交于点D，连接CD，则△ABC的面积= ，直截了当运算即可.即△ABC的面积.故选B.点拨：补形法是常用的方法，关键是得到若干个专门的四边形和三角形的面积的和与差.易错点在于准确找到各三角形相应的底与高.6.D 解析：在菱形中，由= ，得.又∵，△是等边三角形，.7.A 解析：观看图形，在等腰梯形的一个上底角顶点处有三个上底角，因而等腰梯形上底角等于，因此.8.C 解析：依照矩形、菱形、正方形的性质解题.9.A 解析：由题意知4 ，5 ，.10.A 解析：由折叠的性质知，四边形为正方形，11. A 解析：第一拼出各种类型的图形(如图)，再依照专门四边形的判定判定是不是正方形、菱形、等腰梯形、矩形即可.选项A，不论如何放置都不能判定所得的四边形是正方形，故本选项符合选择条件.选项B，如图(1)，所得的四边形是矩形，故本选项不符合选择条件.选项C，如图(2)，所得的四边形是平行四边形，因为垂直平分，因此.又=60，因此△是等边三角形，因此，即平行四边形是菱形，故本选项不符合选择条件.选项D，如图(3)，所得的四边形是等腰梯形，故本选项不符合选择条件.故选A.点拨：本题要紧考查了三角形的中位线定理、平行四边形的性质和判定、菱形的判定、正方形的判定、等腰梯形的判定等知识点，解此题的关键是正确拼出各种类型的图形.12. C 解析：分别依照等腰三角形的性质、正方形的判定、矩形的判定、三角形内角和定理以及菱形的性质判定即可得出答案.(1)等边三角形是专门的等腰三角形，依照等腰三角形的性质得出此命题正确.(2)邻边相等的矩形一定是正方形，依照正方形的判定得出此命题正确.(3)对角线相等的四边形也可能是等腰梯形，故此命题错误.(4)三角形中至少有两个角是锐角，依照三角形内角和定理得出此命题正确.(5)如图所示，∵菱形的对角线互相垂直，.菱形对角线长的平方和等于边长平方的4倍，故此命题正确.因此正确的有4个，故选C.13.对角线相等菱解析：如图，连接，∵分别是的中点，，四边形是平行四边形.平行四边形是菱形.家庭是幼儿语言活动的重要环境，为了与家长配合做好幼儿阅读训练工作，小孩一入园就召开家长会，给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。
四边形性质探索测试题(有答案)
四边形性质探索测试题（有答案）一、选择题（每题3分，共30分）1.下列各组图形中有可能不相似的是（）A.各有一个角是45°的两个等腰三角形B.各有一个角是60°的两个等腰三角形C.各有一个角是105°的两个等腰三角形D.两个等腰直角三角形2.下列说法①所有等腰三角形都相似；②有一个底角相等的两个等腰三角形相似；③有一个角相等的等腰三角形相似；④有一个角为60o 的两个直角三角形相似，其中正确的说法是（）A．①③B．②④C．①②④D．②③④3.△ABC和△DEF满足下列条件，其中使△ABC和△DEF不相似的是（）A．∠A＝∠D＝45°，∠C＝27°，∠E＝108°B．AB＝1，AC＝1.5，BC＝2，DE＝12，EF＝8，DF＝16C．BC＝a，AC＝b，AB＝c，DE＝，EF＝，DF＝D．AB＝AC，DE＝DF，∠A＝∠D＝40o，4．如图所示，给出下列条件：①；②；③；④．其中单独能够判定的个数为（）A．1B．2C．3D．45.如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值（）A．只有1个B．可以有2个C．有2个以上但有限D．有无数个6.如图，△ABC中，EF∥BC，DG∥AB，EF和DG相交于点H，则图中与△ABC相似的三角形共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个7.△ABC中，D是AB上一固定点。
E是AC上的一个动点，若使△ABC 和△ADE相似，则这样的点E有（）A．1个B．2个C．3个D．很多8.如图所示，中，于一定能确定为直角三角形的条件的个数是（）①②③④⑤A．1B．2C．3D．49.如图所示，正方形ABCD中，E为AB的中点，AF⊥DE于点O，则等于（）A．B．C．D．10．一个铝质三角形框架三条边长分别为24cm、30cm、36cm，要做一个与它相似的铝质三角形框架，现有长为27cm、45cm的两根铝材，要求以其中的一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为另外两边．截法有（）A.0种B.1种C.2种D.3种二、填空题（每题3分，共30分）11.某同学的身高为1.6米，某一时刻他在阳光下的影长为1.2米，与他相邻的一棵树的影长为3.6米，则这棵树的高度为。
人教版九年级数学中考复习《特殊四边形》综合检测卷(答案)
《特殊四边形》综合检测卷(时间：90分钟满分：100分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．下列命题中正确的是(D)A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形D．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形2．在▱ABCD中，延长AB到点E，使BE＝AB，连结DE交BC于点F，则下列结论不一定成立的是(D)A．∠E＝∠CDF B．EF＝DFC．AD＝2BF D．BE＝2CF3．如图，在平行四边形ABCD中，AE垂直于CD，E是垂足．如果∠B＝55°，那么∠DAE的角度为(B)A．25°B．35°C．45°D．55°4．如图，在△ABC中，点E、D、F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA，则下列四个判断中不正确的是(D)A．四边形AEDF是平行四边形B．如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形C．如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形D．如果AD⊥BC且AB＝AC，那么四边形AEDF是正方形5．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1、S2，则S1＋S2的值为(B)A ．16B ．17C ．18D ．196．如图，点O 是矩形ABCD 的中心，E 是AB 上的点，沿CE 折叠后，点B 恰好与点O 重合，若BC ＝3，则折痕CE 的长为( A )A ．2 3B ．332C ． 3D ．67．如图，P 是菱形ABCD 的对角线AC 上一动点，过P 作垂直于AC 的直线交菱形ABCD 的边于M 、N 两点，设AC ＝2，BD ＝1，AP ＝x ，则△AMN 的面积为y ，则y 关于x 的函数图象的大致形状是( C )8．如图，菱形ABC D 的周长为20 cm ，DE ⊥AB ，垂足为E ，sin A ＝35，则下列结论正确的个数有( C )①DE ＝3 cm ；②BE ＝1 cm ；③菱形的面积为15 cm 2；④BD ＝210 cm. A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个9．如图，把R t △ABC 放在直角坐标系内，其中∠CAB ＝90°，BC ＝5，点A 、B 的坐标分别为(1,0)，(4,0)，将△ABC 沿x 轴向右平移，当点C 落在直线y ＝2x －6上时，线段BC 扫过的面积为( C )A ．4B ．8C ．16D ．8 210．在平行四边形ABCD 中，点A 1、A 2、A 3、A 4和C 1、C 2、C 3、C 4分别是AB 和CD 的五等分点，点B 1、B 2和D 1、D 2分别是BC 和DA 的三等分点，已知四边形A 4B 2C 4D 2的面积为2，则平行四边形ABCD 面积为( C )A ．4B ．310C ．103D ．30解析：设平行四边形ABCD 的面积是S ，设AB ＝5a ，BC ＝3b .AB 边上的高是3x ，BC 边上的高是5y .则S ＝5a ·3x ＝3b ·5y .即ax ＝by ＝S 15.△AA 4D 2与△B 2CC 4全等，B 2C ＝13BC ＝b ，B 2C 边上的高是45·5y ＝4y .则△AA 4D 2与△B 2CC 4的面积是2by ＝215S .同理△D 2C 4D 与△A 4BB 2的面积是S 15，则四边形A 4B 2C 4D 2的面积是S －2S 15－2S 15－S 15－S 15＝35S ，即35S ＝2，解得S ＝103.二、填空题(每小题3分，共18分)11．在▱ABC D 中，B C 边上的高为4，AB ＝5，A C ＝25，则▱ABC D 的周长等于__12或20__.12．如图，梯形ABC D 中，A D ∥B C ，DE ∥AB ，DE ＝DC ，∠C ＝80°，则∠A 等于__100__°.13．如图，在边长为2 cm 的正方形ABCD 中，点Q 为BC 边的中点，点P 为对角线AC 上一动点，连结PB 、PQ ，则△PBQ 结果不取近似值)14．如图，在一个凸四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是各边的中点，图中阴影部分的两块面积之和是四边形ABCD 面积的 12.15．如图，在梯形ABC D 中，A D ∥B C ，A D ＝6，B C ＝16，E 是B C 的中点．点P 以每秒1个单位长度的速度从点A 出发，沿A D 向点D 运动；点Q 同时以每秒2个单位长度的速度从点C 出发，沿C B 向点B 运动．点P 停止运动时，点Q 也随之停止运动．当运动时间t ＝ 2或143秒时，以点P 、Q 、E 、D 为顶点的四边形是平行四边形．16．如图，在▱ABC D 中，AB ＝3，A D ＝4，∠ABC ＝60°，过B C 的中点E 作EF ⊥AB ，垂足为F ，与DC 的延长线相交于点H ，则△DEF三、解答题(共52分)17．(6分)如图，在平行四边形ABCD 中，∠C ＝60°，M 、N 分别是AD 、BC 的中点，B C ＝2CD.(1)求证：四边形MNCD 是平行四边形； (2)求证：BD ＝3MN.证明：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝BC ，AD ∥BC .∵M 、N 分别是AD 、BC 的中点，∴MD ＝NC ，MD ∥NC ，∴四边形MNCD 是平行四边形． (2)连结ND .∵四边形MNCD 是平行四边形，∴MN ＝DC .∵N 是BC 的中点，∴BN ＝CN .∵BC ＝2CD ，∠C ＝60°，∴△NCD 是等边三角形．∴ND ＝NC ，∠DNC ＝60°.∵∠DNC 是△BND 的外角，∴∠NBD ＋∠NDB ＝∠DNC .∵DN ＝NC ＝NB ，∴∠DBN ＝∠BDN ＝12∠DNC ＝30°，∴∠BDC ＝90°.∵tan ∠DBC ＝tan 30°＝DC DB ＝33，∴DB ＝3DC ＝3MN .18.(6分)如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、A C 的中点，过点E 作EF ∥AB ，交B C 于点F.(1)求证：四边形D B FE 是平行四边形；(2)当△ABC 满足什么条件时，四边形D B FE 是菱形？为什么？(1)证明：∵D 、E 分别是AB 、AC 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE ∥BC .又∵EF ∥AB ，∴四边形DBFE 是平行四边形． (2)解：当AB ＝BC 时，四边形DBFE 是菱形．理由如下：∵D 是AB 的中点，∴BD ＝12A B.∵DE 是△ABC 的中位线，∴DE ＝12BC .∵AB ＝BC ，∴BD ＝DE .又∵四边形DBFE 是平行四边形，∴四边形DBFE 是菱形．19．(6分)如图，四边形ABCD 是平行四边形，E 、F 是对角线BD 上的点，∠1＝∠2. (1)求证：BE ＝DF ； (2)求证：AF ∥CE .证明：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ＝CD ，AB ∥CD ，∴∠5＝∠3.∵∠1＝∠2，∴∠AEB ＝∠4.在△ABE 和△CDF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AEB ＝∠4，∠3＝∠5，AB ＝CD ，∴△ABE ≌△CDF (AA S)，∴BE ＝DF . (2)由(1)得△ABE ≌△CDF ，∴AE ＝CF .∵∠1＝∠2，∴AE ∥CF ，∴四边形AECF 是平行四边形，∴AF ∥CE .20．(6分)如图，在正方形ABC D 中，点M 是B C 边上的任一点，连结A M 并将线段A M 绕点M 顺时针旋转90°得到线段MN ，在CD 边上取点P 使C P ＝B M ，连结N P 、BP .(1)求证：四边形B MN P 是平行四边形；(2)线段MN 与CD 交于点Q ，连结A Q ，若△MCQ ∽△A MQ ，则B M 与MC 存在怎样的数量关系？请说明理由．(1)证明：在正方形ABCD 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝∠C .在△ABM 和△BCP 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝BC ，∠ABM ＝∠C ，BM ＝CP ，∴△ABM ≌△BCP (S A S)，∴AM ＝BP ，∠BAM ＝∠CBP .∵∠BAM ＋∠AMB ＝90°，∴∠CBP ＋∠AMB ＝90°，∴AM ⊥BP .∵将线段AM 绕点M 顺时针旋转90°得到线段MN ，∴AM ⊥MN ，且AM ＝MN ，∴MN ∥BP ，MN ＝BP ，∴四边形BMNP 是平行四边形． (2)解：BM ＝MC .理由如下：∵∠BAM ＋∠AMB ＝90°，∠AMB ＋∠CMQ ＝90°，∴∠BAM ＝∠CMQ .又∵∠B ＝∠C ＝90°，∴△ABM ∽△MCQ ，∴AB MC ＝AMMQ.∵△MCQ ∽△AMQ ，∴△AMQ ∽△ABM ，∴AB BM ＝AM MQ ，∴AB MC ＝ABBM，∴BM ＝MC .21．(7分)如图1，将三角板放在正方形ABCD 上，使三角板的直角顶点E 与正方形ABCD 的顶点A 重合，三角板的一边交CD 于点F.另一边交C B 的延长线于点G .(1)求证：EF ＝EG ；(2)如图2，移动三角板，使顶点E 始终在正方形ABCD 的对角线A C 上，其他条件不变，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；(3)如图3，将(2)中的“正方形ABCD ”改为“矩形ABC D ”，且使三角板的一边经过点B ，其他条件不变，若AB ＝a ，B C ＝b ，求EFEG的值．图1(1)证明：∵∠GEB ＋∠BEF ＝90°，∠DEF ＋∠BEF ＝90°，∴∠DEF ＝∠GE B.在△FED和△GEB 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠DEF ＝∠GEB ，ED ＝EB ，∠D ＝∠EBG ，∴△FED ≌△GEB ，∴EF ＝EG . (2)解：成立．证明：如图2，过点E 作EH ⊥BC 于点H ，过点E 作EP ⊥CD 于点P .∵四边形ABCD 为正方形，∴CE 平分∠BCD .又∵EH ⊥BC ，EP ⊥CD ，∴EH ＝EP ，∴四边形EHCP 是正方形，∴∠HEP ＝90°.∵∠GEH ＋∠HEF ＝90°，∠PEF ＋∠HEF ＝90°，∴∠PEF ＝∠GEH ，∴R t △FEP ≌R t △GEH ，∴EF ＝EG . (3)解：如图3，过点E 作EM ⊥BC 于点M ，过点E 作EN ⊥CD 于点N ，垂足分别为M 、N ，则∠MEN ＝90°，∴EM ∥AB ，EN ∥AD .∴△CEN ∽△CAD ，△CEM ∽△CAB ，∴NE AD ＝CE CA ，EM AB ＝CE CA ，∴NE AD ＝EM AB ，即EN EM ＝AD AB ＝CBAB .∵∠NEF ＋∠FEM ＝∠GEM＋∠FEM ＝90°，∴∠GEM ＝∠FEN .∵∠GME ＝∠FNE ＝90°，∴△GME ∽△FNE ，∴EFEG ＝EN EM ，∴EF EG ＝b a. 22．(7分)(1)如图1，▱ABC D 的对角线A C 、B D 交于点O ，直线EF 过点O ，分别交A D 、B C 于点E 、F.求证：A E ＝CF ；(2)如图2，将▱ABC D(纸片)沿过对角线交点O 的直线EF 折叠，点A 落在点A 1处，点B 落在点B 1处，设F B 1交CD 于点G ，A 1B 1分别交CD 、DE 于点H 、I.求证：EI ＝FG.证明：(1)如图1，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，OA ＝OC ，∴∠1＝∠2.在△AOE 和△COF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠1＝∠2，OA ＝OC ，∠3＝∠4，∴△AOE ≌△COF ，∴AE ＝CF . (2)如图2，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠A ＝∠C ，∠B ＝∠D .由(1)，得AE ＝CF ，由折叠的性质可得AE ＝A 1E ，∠A 1＝∠A ，∠B 1＝∠B ，∴A 1E ＝CF ，∠A 1＝∠A ＝∠C ，∠B 1＝∠B ＝∠D .又∵∠1＝∠2，∴∠3＝∠4.∵∠5＝∠3，∠4＝∠6，∴∠5＝∠6.在△A 1IE 与△CGF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠A 1＝∠C ，∠5＝∠6，A 1E ＝CF ，∴△A 1IE ≌△CGF ，∴EI ＝FG .23．(7分)如图，在△ABC 中，点O 是A C 边上(端点除外)的一个动点，过点O 作直线MN ∥B C.设MN 交∠B C A 的平分线于点E ，交∠B C A 的外角平分线于点F ，连结AE 、AF .那么当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？并证明你的结论．解：当点O 运动到AC 的中点(或OA ＝OC )时，四边形AECF 是矩形．证明：如图，∵CE 平分∠BCA ，∴∠1＝∠2.又∵MN ∥BC ，∴∠1＝∠3，∴∠3＝∠2，∴EO ＝CO .同理，FO ＝CO ，∴EO ＝FO .又∵OA ＝OC ，∴四边形AECF 是平行四边形．∵CF 是∠BCA 的外角平分线，∴∠4＝∠5.又∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠5＝∠2＋∠4.又∵∠1＋∠5＋∠2＋∠4＝180°，∴∠2＋∠4＝90°，∴平行四边形AECF 是矩形．24．(7分)如图，在正方形ABCD 中，E 是B C 上的一点，连结AE ，作BF ⊥AE ，垂足为点H ，交CD 于点F ，作CG ∥AE ，交BF 于点G .求证：(1)CG ＝BH ； (2)FC 2＝BF ·GF ； (3)FC 2AB 2＝GFGB. 证明：(1)∵BF ⊥AE ，CG ∥AE ，∴CG ⊥BF .∵在正方形ABCD 中，∠ABH ＋∠CBG ＝90°，∠CBG ＋∠BCG ＝90°，∠BAH ＋∠ABH ＝90°，∴∠BAH ＝∠CBG ，∠ABH ＝∠BCG ，AB ＝BC ，∴△ABH ≌△BCG ，∴CG ＝BH . (2)∵∠BFC ＝∠CFG ，∠BCF ＝∠CGF ＝90°，∴△CFG ∽△BFC ，∴FC BF ＝GFFC ，即FC 2＝BF ·GF . (3)同(2)可知，BC 2＝GB ·BF .∵AB ＝BC ，∴AB 2＝GB ·BF ，∴FC 2BC 2＝GF ·BF GB ·BF ＝GF GB ，即FC 2AB 2＝GFGB.。
北师大版九年级数学中考复习专项训练及检测题(含解析答案)：特殊平行四边形
《特殊平行四边形》热门考点整合应用一元二次方程题的类型非常丰富，常见的有一元二次方程的根、一元二次方程的解法、一元二次方程根的情况、一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的应用等，只要我们掌握了不同类型题的解法特点，就可以使问题变得简单，明了．本章热门考点可概括为：两个概念，一个解法，两个关系，两个应用，三种思想．考点1：两个概念概念1一元二次方程的定义1．当m取何值时，方程(m－1)xm2＋1＋2mx＋3＝0是关于x的一元二次方程？概念2一元二次方程的根2．若一元二次方程ax2－bx－2 017＝0有一根为x＝－1，则a＋b＝________．3．若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1，且a＝4－c＋c－4－2，求（a＋b）2 0182 017c的值．考点2：一个解法——一元二次方程的解法4．选择适当的方法解下列方程：(1)(x－1)2＋2x(x－1)＝0；(2)x2－6x－6＝0；(3)6 000(1－x)2＝4 860；(4)(10＋x)(50－x)＝800；(5)(2x－1)2＝x(3x＋2)－7.考点3：两个关系关系1一元二次方程的根的判别与系数的关系5．在等腰三角形ABC中，三边长分别为a，b，c.其中a＝5，若关于x的方程x2＋(b＋2)x＋(6－b)＝0有两个相等的实数根，求△ABC的周长．关系2一元二次方程根与系数的关系6．关于x的一元二次方程x2＋(2k＋1)x＋k2＋1＝0有两个不等实根x1，x2.(1)求实数k的取值范围；(2)若方程两实根x1，x2满足x1＋x2＝－x1·x2，求k的值．7．设x1，x2是关于x的一元二次方程x2＋2ax＋a2＋4a－2＝0的两个实数根，当a为何值时，x12＋x22有最小值？最小值是多少？考点4：两个应用应用1一元二次方程的应用8．如图，一块长5 m、宽4 m的地毯，为了美观，设计了两横、两纵的配色条纹(图中阴影部分)，已知配色条纹的宽度相同，所占面积是整个地毯面积的1780. (1)求配色条纹的宽度；(2)如果地毯配色条纹部分每平方米造价200元，其余部分每平方米的造价为100元，求地毯的总造价．(第8题)应用2 配方的应用9．阅读下面材料，完成填空．我们知道x 2＋6x ＋9可以分解因式，结果为(x ＋3)2，其实x 2＋6x ＋8也可以通过配方法分解因式，其过程如下：x 2＋6x ＋8＝x 2＋6x ＋9－9＋8＝(x ＋3)2－1＝(x ＋3＋1)(x ＋3－1)＝(x ＋4)(x ＋2)．(1)请仿照上述过程，完成以下练习：x 2＋4x －5＝[x ＋(______)][x ＋(______)]；x 2－5x ＋6＝[x ＋(______)][x ＋(______)]；x 2－8x －9＝[x ＋(______)][x ＋(______)]．(2)请观察横线上所填的数，每道题所填的两个数与一次项系数、常数项有什么关系？10．阅读材料：把形如ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 为常数)的二次三项式(或其一部分)配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a 2±2ab ＋b 2＝(a±b)2.例如：(x －1)2＋3，(x －2)2＋2x ，⎝⎛⎭⎫12x －22＋34x 2是x 2－2x ＋4的三种不同形式的配方，即“余项”分别是常数项、一次项、二次项．请根据阅读材料解决下列问题：(1)比照上面的例子，写出x 2－4x ＋2的三种不同形式的配方；(2)已知a 2＋b 2＋c 2－ab －3b －2c ＋4＝0，求a ＋b ＋c 的值．考点5： 三种思想思想1 整体思想11．已知x ＝a 是2x 2＋x －2＝0的一个根，求代数式2a 4＋a 3＋2a 2＋2a ＋1的值．思想2 转化思想12．解方程：()2x ＋12－3()2x ＋1＝－2.思想3 分类讨论思想13．已知关于x 的方程x 2＋2(a －1)x ＋a 2－7a －4＝0有两个实数根x 1，x 2.(1)求a 的取值范围；(2)若x 12＝x 1x 2，求方程的两个根及a 的值．参考答案1．解：当m 2＋1＝2且m －1≠0时，方程(m －1)xm 2＋1＋2mx ＋3＝0是关于x 的一元二次方程． 由m 2＋1＝2，得m 2＝1，所以m ＝±1.由m －1≠0，得m ≠1，所以只能取m ＝－1.所以当m ＝－1时，方程(m －1)xm 2＋1＋2mx ＋3＝0是关于x 的一元二次方程．方法指导：要准确理解一元二次方程的概念，需从次数和系数两方面考虑．2．2 017 解析：把x ＝－1代入方程中得到a ＋b －2 017＝0，即a ＋b ＝2 017.3．解：∵a ＝4－c ＋c －4－2，∴c －4≥0且4－c ≥0.∴c ＝4，则a ＝－2.又∵－1是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根，∴a －b ＋c ＝0，∴b ＝a ＋c ＝－2＋4＝2.∴原式＝（－2＋2）2 0182 017×4＝0. 4．解：(1)(x －1)2＋2x(x －1)＝0，(x －1)(x －1＋2x) ＝0，(x －1)(3x －1) ＝0，∴x 1＝1，x 2＝13. (2)x 2－6x －6＝0，x 2－6x ＝ 6，x 2－6x ＋9＝ 15，(x －3)2＝ 15，x －3＝±15，∴x 1＝3＋15，x 2＝3－15.(3)6 000(1－x)2＝4 860，(1－x)2＝ 0.81，1－x ＝ ±0.9，∴x 1＝1.9，x 2＝0.1.(4)(10＋x)(50－x)＝800，x 2－40x ＋300＝ 0，(x －10)(x －30)＝ 0，∴x 1＝10，x 2＝30.(5)(2x －1)2＝x(3x ＋2)－7，4x 2－4x ＋1 ＝3x 2＋2x －7，x 2－6x ＋8 ＝0，(x －2)(x －4) ＝0，∴x 1＝2，x 2＝4.5．解：∵关于x 的方程x 2＋(b ＋2)x ＋(6－b)＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝(b ＋2)2－4(6－b)＝0，∴b 1＝2，b 2＝－10(舍去)．当a 为腰长时，△ABC 的周长为5＋5＋2＝12.当b 为腰长时，2＋2＜5，不能构成三角形．∴△ABC 的周长为12.6．解：(1)∵原方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝(2k ＋1)2－4(k 2＋1)＝4k －3>0.解得k>34. (2)由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－(2k ＋1)，x 1·x 2＝k 2＋1.∵x 1＋x 2＝－x 1·x 2，∴－(2k ＋1)＝－(k 2＋1)．解得k ＝0或k ＝2.又∵k>34， ∴k ＝2.7．解：∵方程有两个实数根，∴Δ＝(2a)2－4(a 2＋4a －2)≥0，∴a ≤12. 又∵x 1＋x 2＝－2a ，x 1x 2＝a 2＋4a －2，∴x 12＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝2(a －2)2－4.∵a ≤12， ∴当a ＝12时，x 12＋x 22的值最小． 此时x 12＋x 22＝2×⎝⎛⎭⎫12－22－4＝12，即最小值为12. 方法指导：本题中考虑Δ≥0从而确定a 的取值范围这一过程易被忽略．8．解：(1)设配色条纹的宽度为x m ，依题意得2x ×5＋2x ×(4－2x)＝1780×5×4. 解得x 1＝174(不符合题意，舍去)，x 2＝14. 答：配色条纹的宽度为14m . (2)配色条纹部分造价：1780×5×4×200＝850(元)， 其余部分造价：⎝⎛⎭⎫1－1780×5×4×100＝1 575(元)． 则总造价为850＋1 575＝2 425(元)．所以地毯的总造价是2 425元．9．解：(1)－1；5；－2；－3；1；－9.(2)这两个数的和等于一次项系数，积等于常数项．10．解：(1)(x －2)2－2；(x －2)2－(4－22)x ；2(x －1)2－x 2.(2)a 2＋b 2＋c 2－ab －3b －2c ＋4＝⎝⎛⎭⎫a －12b 2＋34(b －2)2＋(c －1)2＝0，所以a －12b ＝0，b －2＝0，c －1＝0.所以a ＝1，b ＝2，c ＝1.所以a ＋b ＋c ＝4.11．解：∵x ＝a 是2x 2＋x －2＝0的一个根，∴2a 2＋a －2＝0，即2a 2＋a ＝2.∴原式＝a 2(2a 2＋a)＋2a 2＋2a ＋1＝2a 2＋2a 2＋2a ＋1＝2(2a 2＋a)＋1＝5.12．解：设2x ＋1＝y ，则原方程可变形为y 2－3y ＝－2.解得y 1＝1，y 2＝2.当y ＝1时，有2x ＋1＝1，所以x ＝0；当y ＝2时，有2x ＋1＝2，所以x ＝12. 所以原方程的解为x 1＝0，x 2＝12. 方法指导：利用换元法将复杂的一元二次方程转化为简单的一元二次方程来求解．13．解：(1)由题意得Δ＝4(a －1)2－4(a 2－7a －4)＝20a ＋20≥0，∴a ≥－1.(2)若x 12＝x 1x 2，则x 1(x 1－x 2)＝0，故x 1＝0，或x 1＝x 2.当x 1＝0时，代入原方程得a 2－7a －4＝0，解得a ＝7±652.而此时x1＋x2＝－2(a－1)，得x2＝－2(a－1)．故x2＝－5－65或x2＝－5＋65.当x1＝x2时，Δ＝20a＋20＝0，∴a＝－1.原方程为x2－4x＋4＝0，解得x1＝x2＝2.。
哈尔滨中考二轮复习 专题 四边形(附答案)
专题 四边形一、选择题1.下列命题，真命题是 ( )A. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等B. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形C. 在同一个圆中，相等的弦所对的弧相等D. 对角线相等的四边形是矩形 答案：B2.如图2，M 是ABCD 的AB 边中点，CM 交BD 于点E ， 则图中阴影部分的面积ABCD 的面积的比是 ( ）A. 1:3B.1:4C. 1:6D.5:12 答案：A3.把矩形ABCD 沿EF 对折后使两部分叠合，如图所示．若115AEF ∠=︒，则∠1= （ ） A.50° B.55° C.60° D.65° 答案 A4.如图，直角梯形ABCD 中，AB ⊥CD ，AE ∥CD 交BC 于E ，O 是AC 的中点，3=AB ，2=AD ，3=BC ，下列结论：①∠CAE=30°；②四边形ADCE 是菱形；③ABE ADC S S ∆∆=2；④OB ⊥CD.其中正确的结论是（ ）A ．①②④ B. ②③④ C ．①③④ D ．①②③④答：D5.已知如图，在ABCD 中，E 、F 分别为边AB 、CD 的中点BD 是对角线，AG ∥DB ，交CB 的延长线于G ，连接GF ，若AD ⊥BD.下列结论：①DE ∥BF ；②四边形BEDF 是菱形；③FG ⊥AB ；④S △BFG= 其中正确的是（ ）A. ①②③④B. ①②C. ①③D. ①②④ＡＢＥＯＤＣ第4题图（第3题图） 1A B D C E F14ABCD SGFEDCBA答：D6.如图，ABCD 、CEFG 是正方形，E 在CD 上，直线BE 、DG 交于H ，且HE ·HB ＝422-，BD 、AF 交于M ，当E 在线段CD （不与C 、D 重合）上运动时，下列四个结论：① BE ⊥GD ；② AF 、GD 所夹的锐角为45°；③ GD=2AM ；④ 若BE 平分∠DBC ，则正方形ABCD 的面积为4.其中正确的结论个数有（ ） A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个MH GF ED CBA答：D 7．如图，把一个长方形纸片沿EF 折叠后,点D 、C 分别落在D ′、C ′的位置，若∠EFB ＝65°，则∠AED ′等于（ ）A ．50°B ．55°C ．60°D ．65°答案：A8.把长为8cm ，宽为2cm 的矩形按虚线对折，按图中的斜线剪出一个直角梯形，展开得到一个等腰梯形，剪掉部分的面积为6cm 2，则打开后梯形的周长是（ ）A ．)13210(+cmB ．)1310(+cmC ．22cmD ．18cm答案：A9.一幅美丽的图案,在某个顶点处由三个边长相等的正多边形密铺而成,其中有两个正八边形,那么另一个是( )A 正三角形B 正四边形C 正五边形D 正六边形 答案：B10.如图将矩形ABCD 沿DE 折叠，使A 点落在BC 上的F 处，若∠EFB ＝600，则∠CFD ＝（ ）A 、200B 、300C 、400D 、500答案：B11.下列命题中真命题是 （ ）A.有一组邻边相等的四边形是菱形；B.四条边都相等的四边形是菱形；C.对角线互相垂直的四边形是菱形；D.对角线互相平分且相等的四边形是菱形． 答案：B12.边长为2的正六边形的边心距为 （ ） A.1；B.2；C.3；D.23．答案：C13.如图，把矩形ABCD 沿EF 对折后使两部分重合，若∠1=50︒，则∠AEF = ( ) A ．110︒ B ．115° C ．120° D ．130°答案：B14.两条对角线互相垂直平分的四边形是 （ ）.A.等腰梯形；B.菱形；C.矩形；D.平行四边形. 答案：B15.如图，平行四边形ABCD 的对角线交于点O ，a AB =，b AD =，那么b a 2121+等于 （ ）A.AO ；B.AC ；C.BO ；D.CA ． 答案：A16.下列命题中，真命题是 （ ） A.对角线互相平分且相等的四边形是矩形 B.对角线互相垂直且相等的四边形是矩形 C.对角线互相平分且相等的四边形是菱形 D.对角线互相垂直且相等的四边形是菱形 答案：A17．如图，已知正方形ADBF ，点E 在AD 上，且∠AEB=0105，EC//DF 交BD 的延长线于C ，N 为BE 延长线上一点，BN 交AC 于M ，且CE=2MN ，连结AN 、CN，下ABCDO（第15题图）列结论：①AC ⊥BN ； ②△NCE 为等边三角形；③BF=2AM ；④BE+2DE=DF ，其中正确的有：（ ）A 、①②③B 、①②④C 、①③④D 、②③④ 答案：B18．如图，正方形ABCD ，以D 为圆心，DC 为半径画弧与以BC 为直径的⊙O 交于点P ，⊙O 交AC 于E ，CP 交AB 于M ，延长AP 交⊙O 于N ，下列结论：①AE=EC ；②PC=PN ； ③EP ⊥PN ；④ON//AB 。
2021年中考二轮复习 二次函数与特殊平行四边形存在性问题探讨(含答案)
二次函数与特殊平行四边形存在性问题探讨【方法综述】知识准备：特殊四边形包括平行四边形、菱形、矩形和正方形。
它们的判定方法如下：矩形判的定方法有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形有三个角是直角的四边形是矩形菱形判定方法有一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形四条边相等的四边形是矩形正方形的判定方法平行四边形+矩形的特性；平行四边形+菱形的特性解答时常用的技巧：（1）.根据平行四边形的对角线互相平分这条性质，应用中点坐标公式，可以采用如下方法：已知点A、B、C三点坐标已知，点P在某函数图像上，是否存在以点A、B、C、P为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标。
如，当AP、BC为平行四边形对角线时，由中点坐标公式，可得a+m=c+e，n+b=d+f则m= c+e-a;n= d+f-b，点P坐标可知，将其带入到函数关系式进行验证，如果满足函数关系式，即为所求P点，同理，根据分类讨论可以得到其它情况的解答方法。
（2）.菱形在折叠的情况下，可以看成是等腰三角形以底边所在直线折叠所得，因此，菱形的存在性讨论，亦可以看做等腰三角形的存在性讨论。
（3）.矩形中的直角证明出来常规直角的探究外，还有主要是否由隐形圆的直径所对圆周角得到。
【类型1】二次函数与矩形存在型问题【例1】.如图，直线y＝x﹣3与坐标轴交于A、B两点，抛物线y＝x2+bx+c经过点B，与直线y＝x﹣3交于点E（8，5），且与x轴交于C，D两点．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上有一点M，当∠MBE＝75°时，求点M的横坐标；（3）点P在抛物线上，在坐标平面内是否存在点Q，使得以点P，Q，B，C为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【变式训练】如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y＝kx+b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC．（1）求出点A的坐标和点D的横坐标；（2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值；（3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，直接写出点P的坐标；若不能，请说明理由．【类型2】二次函数与矩形存在型问题【例2】如图，抛物线y＝ax2+bx+52过点A（1，0），B（5，0），与y轴相交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）定义：平面上的任一点到二次函数图象上与它横坐标相同的点的距离，称为点到二次函数图象的垂直距离．如：点O到二次函数图象的垂直距离是线段OC的长．已知点E 为抛物线对称轴上的一点，且在x轴上方，点F为平面内一点，当以A，B，E，F为顶点的四边形是边长为4的菱形时，请求出点F到二次函数图象的垂直距离．（3）在（2）中，当点F到二次函数图象的垂直距离最小时，在以A，B，E，F为顶点的菱形内部是否存在点Q，使得AQ，BQ，FQ之和最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．【变式训练】如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于点A（﹣1，0）、B（4，0），交y轴于点C，点P是直线BC上方抛物线上的一点．（1）求抛物线的解析式；（2）求△PBC的面积的最大值以及此时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，将直线BC 向右平移74个单位得到直线l ，直线l 交对称轴右侧的抛物线于点Q ，连接PQ ，点R 为直线BC 上的一动点，请问在在平面直角坐标系内是否存在一点T ，使得四边形PQTR 为菱形，若存在，请直接写出点T 的坐标；若不存在，请说明理由．【类型3】二次函数与正方形存在型问题【例3】在平面直角坐标系中，抛物线y =−13x 2+bx +c 交x 轴于A （﹣3，0），B （4，0）两点，交y 轴于点C ．（1）求抛物线的表达式；（2）如图，直线y =34x +94与抛物线交于A ，D 两点，与直线BC 交于点E ．若M （m ，0）是线段AB 上的动点，过点M 作x 轴的垂线，交抛物线于点F ，交直线AD 于点G ，交直线BC 于点H ．①当点F 在直线AD 上方的抛物线上，且S △EFG =59S △OEG 时，求m 的值；②在平面内是否存在点P ，使四边形EFHP 为正方形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【变式训练】．如图，已知直线y x c =-+交x 轴于点B ，交y 轴于点C ，抛物线23y ax bx =++经过点(1,0)A -，与直线y x c =-+交于B 、C 两点，点P 为抛物线上的动点，过点P 作PE x ⊥轴，交直线BC 于点F ，垂足为E ．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P 位于抛物线对称轴右侧时，点Q 为抛物线对称轴左侧一个动点，过点Q 作QD x ⊥轴，垂足为点D ．若四边形DEPQ 为正方形时求点P 的坐标；（3）若PQF △是以点P 为顶角顶点的等腰直角三角形时，请直接写出点P 的横坐标．【巩固练习】1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝﹣x 2+bx +c 的图象与x 轴交于A 、B 两点，A 点的坐标为（﹣3，0），B 点在原点的左侧，与y 轴交于点C （0，3），点P 是直线BC 上方的抛物线上一动点（1）求这个二次函数的表达式；（2）连接PO 、PC ，并把△POC 沿CO 翻折，得到四边形POP ′C （如图1所示），那么是否存在点P ，使四边形POP ′C 为菱形？若存在，请此时点P 的坐标：若不存在，请说明理由； （3）当点P 运动到什么位置时，四边形ABCP 的面积最大，并求出其最大值．2.如图：在平面直角坐标系中，直线l ：y=13x ﹣43与x 轴交于点A ，经过点A 的抛物线y=ax 2﹣3x+c 的对称轴是x=32． （1）求抛物线的解析式；（2）平移直线l 经过原点O ，得到直线m ，点P 是直线m 上任意一点，PB ⊥x 轴于点B ，PC ⊥y 轴于点C ，若点E 在线段OB 上，点F 在线段OC 的延长线上，连接PE ，PF ，且PE=3PF ．求证：PE ⊥PF ；（3）若（2）中的点P 坐标为（6，2），点E 是x 轴上的点，点F 是y 轴上的点，当PE ⊥PF 时，抛物线上是否存在点Q ，使四边形PEQF 是矩形？如果存在，请求出点Q 的坐标，如果不存在，请说明理由．3．如图，抛物线y ＝x 2+2x 的顶点为A ，与x 轴交于B 、C 两点（点B 在点C 的左侧）． （1）请求出A 、B 、C 三点的坐标；（2）平移抛物线，记平移后的抛物线的顶点为D ，与y 轴交于点E ，F 为平面内一点，若以A、D、E、F为顶点的四边形是正方形，且平移后的抛物线的对称轴在y轴右侧，请求出满足条件的平移后抛物线的表达式．【答案与解析】【类型1】二次函数与矩形存在型问题【例1】.如图，直线y＝x﹣3与坐标轴交于A、B两点，抛物线y＝x2+bx+c经过点B，与直线y＝x﹣3交于点E（8，5），且与x轴交于C，D两点．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上有一点M，当∠MBE＝75°时，求点M的横坐标；（3）点P在抛物线上，在坐标平面内是否存在点Q，使得以点P，Q，B，C为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）直线y＝x﹣3与坐标轴交于A、B两点，则A（3，0）B（0，﹣3），把B、E点坐标代入二次函数方程，解得：抛物线的解析式y＝x2﹣x﹣3…①，则：C（6，0）；（2）符合条件的有M和M′，如下图所示，当∠MBE＝75°时，∵OA＝OB，∴∠MBO＝30°，此时符合条件的M只有如图所示的一个点，MB直线的k为﹣，所在的直线方程为：y＝﹣x﹣3…②，联立方程①、②可求得：x＝4﹣4，即：点M的横坐标4﹣4；当∠M′BE＝75°时，∠OBM′＝120°，直线M′B的k值为﹣，其方程为y＝﹣x﹣3，将M′B所在的方程与抛物线表达式联立，解得：x＝，故：即：点M的横坐标4﹣4或．（3）存在．①当BC为矩形对角线时，矩形BP′CQ′所在的位置如图所示，设：P′（m，n），n＝m2﹣m﹣3…③，P′C所在直线的k1＝，P′B所在的直线k2＝，则：k1•k2＝﹣1…④，③、④联立得：＝0，解得：m＝0或6，这两个点分别和点B、C重合，与题意不符，故：这种情况不存在，舍去．②当BC为矩形一边时，情况一：矩形BCQP所在的位置如图所示，直线BC所在的方程为：y＝x﹣3，则：直线BP的k为﹣2，所在的方程为y＝﹣2x﹣3…⑤，联立①⑤解得点P（﹣4，5），则Q（2，8），情况二：矩形BCP″Q″所在的位置如图所示，此时，P″在抛物线上，其坐标为：（﹣10，32），Q″坐标为（﹣16，29）．故：存在矩形，点Q的坐标为：（2，8）或（﹣16，29）．【变式训练】如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y＝kx+b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC．（1）求出点A的坐标和点D的横坐标；（2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值；（3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，直接写出点P的坐标；若不能，请说明理由．【解答】解：（1）当y＝0时，ax2﹣2ax﹣3a＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），∵直线l：y＝kx+b过A（﹣1，0），∴0＝﹣k+b，即k＝b，∴直线l：y＝kx+k，∵抛物线与直线l交于点A，D，∴ax2﹣2ax﹣3a＝kx+k，即ax2﹣（2a+k）x﹣3a﹣k＝0，∵CD＝4AC，∴点D的横坐标为4；（2）由（1）知，点D的横坐标为4，∴﹣3﹣＝﹣1×4，∴k＝a，∴直线l的函数表达式为y＝ax+a；过E作EF∥y轴交直线l于F，设E（x，ax2﹣2ax﹣3a），则F（x，ax+a），EF＝ax2﹣2ax﹣3a﹣ax﹣a＝ax2﹣3ax﹣4a，∴S△ACE＝S△AFE﹣S△CEF＝（ax2﹣3ax﹣4a）（x+1）﹣（ax2﹣3ax﹣4a）x＝（ax2﹣3ax﹣4a）＝a（x﹣）2﹣a，∴△ACE的面积的最大值＝﹣a，∵△ACE的面积的最大值为，∴﹣a＝，解得a＝﹣；（3）以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，令ax2﹣2ax﹣3a＝ax+a，即ax2﹣3ax﹣4a＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝4，∴D（4，5a），∵抛物线的对称轴为直线x＝1，设P（1，m），①若AD是矩形ADPQ的一条边，则易得Q（﹣4，21a），m＝21a+5a＝26a，则P（1，26a），∵四边形ADPQ是矩形，∴∠ADP＝90°，∴AD2+PD2＝AP2，∴52+（5a）2+32+（26a﹣5a）2＝22+（26a）2，即a2＝，∵a＜0，∴a＝﹣∴P（1，﹣）；②若AD是矩形APDQ的对角线，则易得Q（2，﹣3a），m＝5a﹣（﹣3a）＝8a，则P（1，8a），∵四边形APDQ是矩形，∴∠APD＝90°，∴AP2+PD2＝AD2，∴（﹣1﹣1）2+（8a）2+（1﹣4）2+（8a﹣5a）2＝52+（5a）2，即a2＝，∵a＜0，∴a＝﹣，∴P（1，﹣4），综上所述，点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，点P（1，﹣）或（1，﹣4）．【类型2】二次函数与矩形存在型问题【例2】如图，抛物线y＝ax2+bx+52过点A（1，0），B（5，0），与y轴相交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）定义：平面上的任一点到二次函数图象上与它横坐标相同的点的距离，称为点到二次函数图象的垂直距离．如：点O到二次函数图象的垂直距离是线段OC的长．已知点E 为抛物线对称轴上的一点，且在x轴上方，点F为平面内一点，当以A，B，E，F为顶点的四边形是边长为4的菱形时，请求出点F到二次函数图象的垂直距离．（3）在（2）中，当点F到二次函数图象的垂直距离最小时，在以A，B，E，F为顶点的菱形内部是否存在点Q，使得AQ，BQ，FQ之和最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将A，B两点代入可求解析式．（2）分类讨论，以AB为边的菱形和以AB为对角线的菱形，抓住菱形边长为4和E的横坐标为3，可解F点坐标，即可求点F到二次函数图象的垂直距离．（3）构造三角形，根据两点之间线段最短，可得最短距离为AN，根据勾股定理求AN．【解析】（1）∵抛物线y＝ax2+bx+52过点A（1，0），B（5，0），∴0＝a+b+5 20＝25a+5b+5 2∴a=12，b＝﹣3∴解析式y=12x2﹣3x+52（2）当y＝0，则0=12x2﹣3x+52∴x1＝5，x2＝1∴A（1，0），B（5，0）∴对称轴直线x ＝3，顶点坐标（3，﹣2），AB ＝4∵抛物线与y 轴相交于点C ．∴C （0，52） 如图1①如AB 为菱形的边，则EF ∥AB ，EF ＝AB ＝4，且E 的横坐标为3∴F 的横坐标为7或﹣1∵AE ＝AB ＝4，AM ＝2，EM ⊥AB∴EM ＝2√3∴F （7，2√3），或（﹣1，2√3）∴当x ＝7，y =12×49﹣7×3+52=6∴点F 到二次函数图象的垂直距离6﹣2√3②如AB 为对角线，如图2∵AEBF 是菱形，AF ＝BF ＝4∴AB ⊥EF ，EM ＝MF ＝2√3∴F （3，﹣2√3）∴点F到二次函数图象的垂直距离﹣2+2√3（3）当F（3，﹣2√3）时，点F到二次函数图象的垂直距离最小如图3，以BQ为边作等边三角形BQD，将△BQF绕B逆时针旋转60°到△BDN位置，连接AN，作PN⊥AB于P∵等边三角形BQD∴QD＝QB＝BD，∵将△BQF绕B逆时针旋转60°到△BDN位置∴NB＝BF＝4，∠FBN＝60°，DN＝FQ∵AQ+BQ+FQ＝AQ+QD+DN∴当AQ，QD，DN共线时AQ+BQ+FQ的和最短，即最短值为AN的长．∵AF＝BF＝4＝AB，∴∠ABF＝60°∴∠NBP＝60°且BN＝4，∴BP＝2，PN＝2√3∴AP＝6在Rt△ANP中，AN=√36+12=4√3∴AQ+BQ+FQ的和最短值为4√3．【变式训练】如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于点A（﹣1，0）、B（4，0），交y轴于点C，点P是直线BC上方抛物线上的一点．（1）求抛物线的解析式；（2）求△PBC的面积的最大值以及此时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，将直线BC 向右平移74个单位得到直线l ，直线l 交对称轴右侧的抛物线于点Q ，连接PQ ，点R 为直线BC 上的一动点，请问在在平面直角坐标系内是否存在一点T ，使得四边形PQTR 为菱形，若存在，请直接写出点T 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将A （﹣1，0）、B （4，0）代入抛物线公式即可求得a ，b ．（2）过P 点做平行于直线BC 的直线K ，当K 与抛物线恰有一个交点时，△PBC 面积最大，求得此时的P 点坐标．再过P 做垂直于直线BC 的直线k ，求得k 与直线BC 的交点，求得交点后发现，此时恰巧交点时C ，|BC |即为△PBC 的高，再利用三角形面积公式即可求解．（3）考查菱形的性质．菱形是一个极具对称性的图形，在进行求解时，对角线互相垂直平分．因此，两个相对点的坐标中点也是另外两个相对点的坐标中点．同时，利用菱形的四条边长相等进行求解．【解析】（1）将A （﹣1，0）、B （4，0）代入抛物线公式，如下：{0=a −b +40=16a +4b +4， 求得{a =−1b =3． 抛物线解析式为：y ＝﹣x 2+3x +4．（2）设P 到直线BC 的距离为d ，P 点坐标为（x ，﹣x 2+3x +4）（0＜x ＜4），∵y ＝﹣x 2+3x +4交y 轴于点C ，令x ＝0，∴y ＝4，∴C （0，4），由B （4，0），C （0，4）两点求得直线BC 的解析式为：y +x ﹣4＝0．做直线BC 的平行线K ：y ＝﹣x +m ，因为K 与BC 平行，我们将K 平移，根据题意，点P 是直线BC 上方抛物线上的一点，∴随着K 平行移动，以BC 为底的△PBC 的高d 在逐渐增大，当K 与抛物线y ＝﹣x 2+3x +4恰有一个交点时，此时以BC 为底的△PBC 的高d 最大，即此时△PBC 面积最大． ∵此时K ：y ＝﹣x +m 与抛物线y ＝﹣x 2+3x +4相交，且仅有一个交点，∴﹣x +m ＝﹣x 2+3x +4，m ＝8．∴直线K ：y ＝﹣x +8．此时求K 和抛物线的交点为：﹣x +8＝﹣x 2+3x +4，解得x ＝2，将x ＝2代入直线K ：y ＝﹣x +8，解得y ＝6．因此P （2，6）．现在我们来求P 到直线BC 的距离，即△PBC 的高d ：过P 作垂直于BC 的直线k ：y ＝x +m ．∵P 在直线k 上，∴6＝2+m ，∴m ＝4，直线k ＝x +4．直线K 与直线k 的交点为：{y =−x +4y =x +4， 解得交点坐标（0，4），即交点为C 点．因此的△PBC 的高d 即为B 点和C 点两点之间的距离，∴d ＝|BC |=√(2−0)2+(6−4)2=2√2．在△PBC 中，∵|BC |＝4√2，△PBC 的面积的最大值S △PBC =12|BC |•d =12×4√2×2√2=8．（3）存在．直线BC 向右平移74个单位得到直线l ， ∴l ：y ＝﹣（x −74）+4＝﹣x +234．{y =−x +234y =−x 2+3x +4，解得{x 1=72x 2=12． 二次函数y ＝﹣x 2+3x +4对称轴为x =32，∵直线l 交对称轴右侧的抛物线于点Q ，∴x =72，代入y ＝﹣x +234=94．∴Q （72，94）． 设T （a ，b ）．∵R 为直线BC 上的一动点，∴设R （x ，﹣x +4）．在菱形中PQTR 中，|PR |＝|QP |，（2﹣x ）2+（[6﹣（﹣x +4）]2＝（2−72）2+（6−94）2解得x ＝±√2668， 当x =√2668时，点R 的坐标（√2668，4−√2668），此时T 点坐标为：T （√2668+32，14−√2668）． 当x =−√2668时，R （−√2668，4+√2668），此时T （−√2668+32，14+√2668） 综上所述：T 存在两点，分别为：（√2668+32，14−√2668）或（−√2668+32，14+√2668）． 【类型3】二次函数与正方形存在型问题【例3】在平面直角坐标系中，抛物线y =−13x 2+bx +c 交x 轴于A （﹣3，0），B （4，0）两点，交y 轴于点C ．（1）求抛物线的表达式；（2）如图，直线y =34x +94与抛物线交于A ，D 两点，与直线BC 交于点E ．若M （m ，0）是线段AB 上的动点，过点M 作x 轴的垂线，交抛物线于点F ，交直线AD 于点G ，交直线BC 于点H ．①当点F 在直线AD 上方的抛物线上，且S △EFG =59S △OEG 时，求m 的值；②在平面内是否存在点P ，使四边形EFHP 为正方形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据抛物线解析式中a =−13和交x 轴于A （﹣3，0），B （4，0）两点，利用交点式可得抛物线的解析式；（2）①如图1，先利用待定系数法求直线BC 的解析式，联立方程可得交点E 的坐标，根据M （m ，0），且MH ⊥x 轴，表示点G （m ，34m +94），F （m ，−13m 2+13m +4），由S △EFG =59S △OEG ，列方程可得结论；②存在，根据正方形的性质得：FH ＝EF ，∠EFH ＝∠FHP ＝∠HPE ＝90°，同理根据M （m ，0），得H （m ，﹣m +4），F （m ，−13m 2+13m +4），分两种情况：F 在EP 的左侧，在EP 的右侧，根据EF ＝FH ，列方程可得结论．【解析】（1）∵抛物线y =−13x 2+bx +c 交x 轴于A （﹣3，0），B （4，0）两点， ∴y =−13（x +3）（x ﹣4）=−13x 2+13x +4；（2）①如图1，∵B （4，0），C （0，4），∴设BC 的解析式为：y ＝kx +n ，则{4k +n =0n =4，解得{k =−1n =4， ∴BC 的解析式为：y ＝﹣x +4，∴﹣x +4=34x +94，解得：x ＝1，∴E （1，3），∵M （m ，0），且MH ⊥x 轴，∴G （m ，34m +94），F （m ，−13m 2+13m +4）， ∵S △EFG =59S △OEG ，∴12FG ×(x E −x F )=59×12ON （x E ﹣x G ）， [（−13m 2+13m +4）﹣（34m +94）]（1﹣m ）=59×94(1−m)，解得：m 1=34，m 2＝﹣2；②存在，由①知：E （1，3），∵四边形EFHP 是正方形，∴FH ＝EF ，∠EFH ＝∠FHP ＝∠HPE ＝90°， ∵M （m ，0），且MH ⊥x 轴，∴H （m ，﹣m +4），F （m ，−13m 2+13m +4）， 分两种情况：i ）当﹣3≤m ＜1时，如图2，点F 在EP 的左侧，∴FH ＝（﹣m +4）﹣（−13m 2+13m +4）=13m 2−43m ， ∵EF ＝FH ，∴13m 2−43m =1−m ，解得：m 1=1+√132（舍），m 2=1−√132，∴H （1−√132，7+√132），∴P （1，7+√132），ii ）当1＜m ＜4时，点F 在PE 的右边，如图3，同理得−13m 2+43m =m ﹣1，解得：m 1=1+√132，m 2=1−√132（舍）， 同理得P （1，7−√132）；综上，点P 的坐标为：(1，7+√132)或(1，7−√132)． 【变式训练】．如图，已知直线y x c =-+交x 轴于点B ，交y 轴于点C ，抛物线23y ax bx =++经过点(1,0)A -，与直线y x c =-+交于B 、C 两点，点P 为抛物线上的动点，过点P 作PE x ⊥轴，交直线BC 于点F ，垂足为E ．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P 位于抛物线对称轴右侧时，点Q 为抛物线对称轴左侧一个动点，过点Q 作QD x ⊥轴，垂足为点D ．若四边形DEPQ 为正方形时求点P 的坐标；（3）若PQF △是以点P 为顶角顶点的等腰直角三角形时，请直接写出点P 的横坐标．【解析】（1）抛物线23y ax bx =++经过点C ，则点C 坐标为(0，3)，代入y x c =-+可得3c =，则直线BC 的解析式为3y x =-+.直线BC 经过点B ，则点B 坐标为(3，0)将点(1,0)A -、(3,0)B 代入抛物线23y ax bx =++解得1a =-，2b =∴抛物线的解析式为2y x 2x 3=-++.（2）抛物线的对称轴为12b x a=-=. ∴四边形DEPQ 为正方形，∴PQ PE =，//PQ x 轴.∴点Q 与点P 关于直线1x =对称.设点2(,23)P t t t -++，则2(1)PQ t =-，223PE t t =-++.∴22(1)23t t t -=-++，解得：t =t =t 2=2t =去）当t =)12P ，当t 2=()2P 22-，∴四边形DEPQ 为正方形时点P 的坐标为)2和()22-（3）点P 的横坐标为2或－1 ∴PQF △是以点P 为顶角顶点的等腰直角三角形∴∴QPF=∴PEB=90°∴//PQ x 轴∴点Q 与点P 关于直线1x =对称.设点()2,23P t t t -++，则2(1)PQ t =-，3(),F t t -+∴()2223(3)3PF t t t t t =-++--+=-+. ∴PQ PF =，∴22(1)||3t t t -=-+∣，解得：2t =或t 1=-或t =t =综上所述，点P 的横坐标为2或－1 【巩固练习】 1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝﹣x 2+bx +c 的图象与x 轴交于A 、B 两点，A 点的坐标为（﹣3，0），B 点在原点的左侧，与y 轴交于点C （0，3），点P 是直线BC 上方的抛物线上一动点（1）求这个二次函数的表达式；（2）连接PO 、PC ，并把△POC 沿CO 翻折，得到四边形POP ′C （如图1所示），那么是否存在点P ，使四边形POP ′C 为菱形？若存在，请此时点P 的坐标：若不存在，请说明理由； （3）当点P 运动到什么位置时，四边形ABCP 的面积最大，并求出其最大值．【答案】（1）y ＝﹣x 2﹣2x +3；（2）存在．P ，32）；（3）P 点的坐标为（﹣32，154），四边形ABPC 的面积的最大值为758． 【方法引导】（1）利用待定系数法直接将B 、C 两点直接代入y ＝x 2+bx+c 求解b ，c 的值即可得抛物线解析式；（2）利用菱形对角线的性质及折叠的性质可以判断P 点的纵坐标为﹣32，令y ＝﹣32即可得x 2﹣2x ﹣3＝﹣32，解该方程即可确定P 点坐标；（3）由于△ABC的面积为定值，当四边形ABCP的面积最大时，△BPC的面积最大；过P 作y轴的平行线，交直线BC于Q，交x轴于F，易求得直线AC的解析式，可设出P点的横坐标，然后根据抛物线和直线BC的解析式求出Q、P的纵坐标，即可得到PQ的长，以PQ为底，B点横坐标的绝对值为高即可求得△BPC的面积，由此可得到关于四边形ABCP 的面积与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出四边形ABCP的最大面积及对应的P点坐标．【解析】（1）∵C点坐标为（0，3），∴y＝﹣x2+bx+3，把A（﹣3，0）代入上式得，0＝9﹣3b+3，解得，b＝﹣2，∴该二次函数解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；（2）存在．如图1，设P点的坐标为（x，﹣x2﹣2x+3），PP′交CO于E，当四边形POP'C为菱形时，则有PC＝PO，连接PP′，则PE⊥CO于E，∴OE＝CE＝32，令﹣x2﹣2x+3＝32，解得，x1，x2＝22-+（不合题意，舍去）．∴P，32）．（3）如图2，过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OA交于点F，设P （x ，﹣x 2﹣2x+3），设直线AC 的解析式为：y ＝kx+t ，则303k t t -+=⎧⎨=⎩，解得：13k t =⎧⎨=⎩， ∴直线AC 的解析式为y ＝x+3，则Q 点的坐标为（x ，x+3），当0＝﹣x 2﹣2x+3，解得：x 1＝1，x 2＝﹣3，∴AO ＝3，OB ＝1，则AB ＝4，S 四边形ABCP ＝S △ABC +S △APQ +S △CPQ ＝12AB•OC+12QP•OF+12QP•AF ＝12×4×3+12[（﹣x 2﹣2x+3）﹣（x+3）]×3 ＝﹣32（x+32）2+758． 当x ＝﹣32时，四边形ABCP 的面积最大， 此时P 点的坐标为（﹣32，154），四边形ABPC 的面积的最大值为758． 【思路引导】此题考查了二次函数综合题，需要掌握二次函数解析式的确定、菱形的判定和性质以及图形面积的求法等知识，当所求图形不规则时通常要将其转换为其他规则图形面积的和差关系来求解．2.如图：在平面直角坐标系中，直线l ：y=13x ﹣43与x 轴交于点A ，经过点A 的抛物线y=ax 2﹣3x+c 的对称轴是x=32．（1）求抛物线的解析式；（2）平移直线l 经过原点O ，得到直线m ，点P 是直线m 上任意一点，PB ⊥x 轴于点B ，PC ⊥y 轴于点C ，若点E 在线段OB 上，点F 在线段OC 的延长线上，连接PE ，PF ，且PE=3PF ．求证：PE ⊥PF ；（3）若（2）中的点P 坐标为（6，2），点E 是x 轴上的点，点F 是y 轴上的点，当PE ⊥PF 时，抛物线上是否存在点Q ，使四边形PEQF 是矩形？如果存在，请求出点Q 的坐标，如果不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线的解析式为y=x 2﹣3x ﹣4；（2）证明见解析；（3）点Q 的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）．【解析】（1）当y=0时，13x −43=0，解得x=4，即A （4，0），抛物线过点A ，对称轴是x=32，得{16a −12+c =0−−32a =32， 解得{a =1c =−4，抛物线的解析式为y=x 2﹣3x ﹣4； （2）∵平移直线l 经过原点O ，得到直线m ，∴直线m 的解析式为y=13x ． ∵点P 是直线1上任意一点，∴设P （3a ，a ），则PC=3a ，PB=a ．又∵PE=3PF ，∴PC PF =PB PE ．∴∠FPC=∠EPB ．∵∠CPE+∠EPB=90°，∴∠FPC+∠CPE=90°，∴FP⊥PE．（3）如图所示，点E在点B的左侧时，设E（a，0），则BE=6﹣a．∵CF=3BE=18﹣3a，∴OF=20﹣3a．∴F（0，20﹣3a）．∵PEQF为矩形，∴Q x+P x2=F x+E x2，Q y+P y2=F y+E y2，∴Q x+6=0+a，Q y+2=20﹣3a+0，∴Q x=a﹣6，Q y=18﹣3a．将点Q的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a﹣6）2﹣3（a﹣6）﹣4，解得：a=4或a=8（舍去）．∴Q（﹣2，6）．如下图所示：当点E在点B的右侧时，设E（a，0），则BE=a﹣6．∵CF=3BE=3a﹣18，∴OF=3a﹣20．∴F（0，20﹣3a）．∵PEQF为矩形，∴Q x+P x2=F x+E x2，Q y+P y2=F y+E y2，∴Q x+6=0+a，Q y+2=20﹣3a+0，∴Q x=a﹣6，Q y=18﹣3a．将点Q的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a﹣6）2﹣3（a﹣6）﹣4，解得：a=8或a=4（舍去）．∴Q（2，﹣6）．综上所述，点Q的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）．3．如图，抛物线y＝x2+2x的顶点为A，与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧）．（1）请求出A、B、C三点的坐标；（2）平移抛物线，记平移后的抛物线的顶点为D，与y轴交于点E，F为平面内一点，若以A、D、E、F为顶点的四边形是正方形，且平移后的抛物线的对称轴在y轴右侧，请求出满足条件的平移后抛物线的表达式．解：（1）∵抛物线y＝x2+2x与x轴交于B、C两点，∴0＝x2+2x，∴x1＝0，x2＝﹣2，∴点B（﹣2，0），点C（0，0），∵y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1，∴点A（﹣1，﹣1）；（2）设平移后抛物线的表达式为：y＝（x+1﹣m）2﹣1+n（m＞1），∴点D（m﹣1，﹣1+n），∵y＝（x+1﹣m）2﹣1+n＝x2+2×（1﹣m）x+m2﹣2m+n，∴点E（0，m2﹣2m+n），Ⅰ、如图1，当点D在点A的下方时，过点A作AM⊥y轴于N，过点D作DM⊥AM于M，∴∠ANE＝∠AMD＝90°，∵以A、D、E、F为顶点的四边形是正方形，∴AE＝AD，∠EAD＝90°，∴∠EAN+∠DAM＝90°，∵∠AEN+∠EAN＝90°，∴∠AEN＝∠DAM，∴△AEN≌△DAM（AAS），∴AN＝DM，EN＝AM，∴1＝﹣1﹣（﹣1+n），m﹣1﹣（﹣1）＝m2﹣2m+n﹣（﹣1），∴n＝﹣1，m＝3，∴平移后抛物线的表达式为：y＝（x﹣2）2﹣2；Ⅱ、如图2，点D在点A上方时，过点D作DM⊥y轴于N，过点A作AM⊥DM于M，同理可证△EDN≌△DAM，∴DN＝AM，EN＝DM，∴m﹣1＝﹣1+n+1，m2﹣2m+n﹣（﹣1+n）＝m﹣1+1，∴m＝，n＝，∴平移后抛物线的表达式为：y＝（x﹣）2﹣，Ⅲ、当∠AED＝90°时，同理可求：y＝（x﹣1）2﹣1；综上所述：平移后抛物线的表达式为：y＝（x﹣2）2﹣2或y＝（x﹣）2﹣或y＝（x﹣1）2﹣1．。
2023年数学中考专题 特殊平行四边形练习题(一)含参考答案(通用)
中考专题特殊平行四边形练习题（一）含参考答案第一部分选择题部分（一）1.(2019·呼和浩特)已知菱形的边长为3，较短的一条对角线的长为2，则该菱形较长的一条对角线的长为( )2.如图,在菱形ABCD中,∠BAD=80°,AB的垂直平分线交对角线AC于点F,垂足为E,连接DF,则∠CDF的度数为( )A.50°B.60°C.70°D.80°3.如图,在△ABC中,AB=AC.将△ABC沿边BC翻折,得到的△DBC与原△ABC拼成四边形ABDC,则能直接判定四边形ABDC是菱形的依据是 ( )A.一组邻边相等的平行四边形是菱形B.四边相等的四边形是菱形C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形D.对角线互相垂直且平分的四边形是菱形4.如图,在四边形ABCD中,E是AB上的一点,△ADE和△BCE都是等边三角形,P,Q,M,N分别是AB,BC,CD,DA的中点,则四边形MNPQ是 ( )A.矩形B.菱形C.正方形D.无法确定5.(2019·赤峰)如图,菱形ABCD的周长为20,对角线AC,BD相交于点O,E是CD的中点,则OE的长是( )A.2.5B.3C.4D.56.如图,E是正方形ABCD的对角线AC上的一点,AF ⊥BE于点F,交BD于点G,则下列结论中,不成立的是( )A.AG=BEB.△ABG≌△BCEC.AE=DGD.∠AGD=∠DAG7.(2018·临沂)如图,E,F,G,H分别是四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,则下列说法:①若AC=BD,则四边形EFGH 为矩形;②若AC ⊥BD,则四边形EFGH为菱形;③若四边形EFGH是平行四边形,则AC与BD互相平分；④若四边形EFGH是正方形，则AC与BD互相垂直且相等.其中正确的个数是 ( )A.1B.2C.3D.48.如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,并且∠DAC=60°,∠ADB=15°,E是边AD上一动点,延长EO交BC于点F.当点E从点D向点A移动的过程中(点E与点D,A不重合),四边形AFCE的变化是( )A.平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形B.平行四边形→菱形→平行四边形→矩形→平行四边形C.平行四边形→矩形→平行四边形→正方形→平行四边形D.平行四边形→矩形→菱形→正方形→平行四边形9.如图，将矩形ABCD的四个角向内翻折后，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，EH=12cm，EF=16cm,则边AD的长是 ( )A.12cmB.16cmC.20cmD.28cm10. (2019·绵阳)如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC为菱形,已知点O(0,0),A(4,0),∠AOC=60°,则对角线的交点E的坐标为 ( )二、填空题11.如图,若菱形ABCD的顶点A,B的坐标分别为(4,0),(-1,0),点D在y轴上,则点C 的坐标是 .12.如图,在菱形ABCD中,AC交BD于点O,DE ⊥BC于点E,连接OE.若∠ABC=140°,则∠OED的度数为 .13.如图，四边形ABCD 是平行四边形，∠ABC的平分线与∠BAD的平分线相交于点G，∠EAD的平分线与∠ADF的平分线相交于点I，∠ABC的平分线与∠ADF的平分线相交于点H，则四边形AGHI的形状是 .14.如图是某城市部分街道示意图,四边形ABCD为正方形,点G在对角线BD上,GE⊥CD,GF⊥ BC,AD=1500m.小敏行走的路线为B→A→G→E，小聪行走的路线为B→A→D→E→F.若小敏行走的路程为3100m，则小聪行走的路程为 m.15.如图，有一张边长为2的正方形纸片ABCD，先将正方形ABCD对折后展开，设折痕为EF，再沿过点D的折痕将∠A翻折,使得点A落在EF上的点H处,折痕DG交AE于点G,则△HGD的面积为 .三、解答题16.如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,延长AB至点E,使BE=AB,连接CE.求证:BD=EC.17.如图,将矩形ABCD沿对角线AC折叠,点B落在点E处,EC交AD于点F.(1)求证:△AEF≌△CDF;(2)若AB=4,BC=8,求图中涂色部分的面积.18.如图,在边长为6的正方形ABCD中,E是边CD的中点,将△ADE沿AE对折至△AFE,延长EF交BC于点G,连接AG.(1)求证:△ABG≌△AFG;(2)求BG的长.19.如图,在矩形ABCD中,AB=8cm,BC=16cm,点P从点D出发向点A运动,运动到点A停止,同时,点Q从点B出发向点C运动,运动到点C停止,点P,Q的速度都是1cm/s.连接PQ,AQ,CP.设点P,Q运动的时间为t s.(1)当t为何值时，四边形ABQP是矩形?(2)当t为何值时，四边形AQCP是菱形?(3)求(2)中菱形AQCP的周长和面积.20.(2019·通辽)如图①,P是正方形ABCD内的一点,连接CP,将线段CP绕点C按顺时针方向旋转90°,得到线段CQ,连接BP,DQ.(1)求证:△BCP≌△DCQ.(2)延长BP交直线DQ于点E.①如图②,求证:BE⊥DQ;②如图③，若△BCP为等边三角形，判断△DEP的形状，并说明理由.中考专题 特殊平行四边形练习题（一）含参考答案（第一部分）一、1.C2.B3.B4.B5.A6.D7.A8.B9.C 10.D二、11.(-5,3) 12.20° 13.矩形三、16.∵四边形ABCD 是菱形,∴AB=CD,AB ∥CD.又∵BE=AB,∴BE=CD,BE ∥CD.∴四边形BECD 是平行四边形.∴BD=EC17(1)∵四边形ABCD 是矩形, ∴AB=CD,∠B=∠D=90°.∵将矩形ABCD 沿对角线AC 折叠,点B 落在点E 处, ∴∠E=∠B,AE=AB.∴AE=CD,∠E=∠D.在△AEF 和△CDF 中,∴△AEF ≌△CDF（2）∵四边形ABCD 是矩形,∴AD=BC=8,AB=CD=4.由折叠的特征,得CE=BC=8,AE=AB=CD=4. ∵△AEF ≌△CDF,∴AF=CF,EF=DF.在Rt △CDF 中,由 DF ²+CD ²=CF ²,得 DF 2+42=(8-DF)2. ∴DF=3.∴AF=AD-DF=5 S 涂色部分=21AF*CD=10 18（1）∵四边形ABCD 是正方形∴∠B=∠D=90°,AD=AB.由折叠的性质,可知DE=EF,AD=AF,∠AFE=∠D=90°, ∴∠AFG=90°=∠B,AB=AF.又∵AG=AG,∴△ABG ≌△AFG(2)∵△ABG ≌△AFG, ∴BG=FG.设BG=FG=x,则GC=6-x. ∵ E 为CD 的中点 ∴CE=DE=EF=3. ∴EG=x+3.在Rt △EGC 中,CE 2+CG 2=EG 2,∴32+(6-x)2=(x+3)2, 解得x=2.∴BG=219. 19（1）∵在矩形ABCD 中,AB=8cm,BC=16cm,∴BC=AD=16cm,AB=CD=8cm.由已知,得BQ=DP=t cm,AP=CQ=(16-t) cm.在矩形ABCD中,∠B=90°,AD∥BC.当BQ=AP时,四边形ABQP为矩形,∴t=16-t,解得t=8.∴当t为8时,四边形ABQP是矩形（2）∵AP=CQ,AP∥CQ,∴四边形AQCP为平行四边形∴当AQ=CQ时,四边形AQCP为菱形，即 82+t2=(16-t)2, 解得t=6.∴当t为6时,四边形AQCP是菱形当t=6时,AQ=CQ=CP=AP=16-6=10(cm),∴菱形AQCP的周长为4×10=40(cm),面积为10×8=80(cm²)20(1) ∵线段CP绕点C按顺时针方向旋转90°至CQ,∴∠PCQ=90°,CP=CQ.∵四边形ABCD为正方形,∴BC=DC,∠BCD=90°.∴∠BCP=∠DCQ.∴△BCP≌△DCQ（2）①由(1),知△BCP≌△DCQ,∴∠CBP=∠CDQ.如图,设BE交CD于点M.∵∠BMC=∠EMD,∴易得∠DEM=∠BCM=90°.∴BE⊥DQ②△DEP为等腰直角三角形理由:∵△BCP≌△DCQ,△BCP为等边三角形,∴CP=CD,∠BPC=∠QDC=∠BCP=60°.∴∠PCD=∠BCD-∠BCP=90°-60°=30°∴∠CPD=∠CDP=75°.∴∠EPD=∠EDP=180° -60° -75° =45°.∴EP=ED,∠PED=90°.∴△DEP为等腰直角三角形.特殊平行四边形第二部分一、选择题1.(2019·无锡)下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是( )A.内角和为360°B.对角线互相平分C.对角线相等D.对角线互相垂直2.(2019·攀枝花)下列结论中，错误的是( )A.平行四边形的对边相等B.对角线相等的四边形是矩形C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形D.正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形3.(2019·贵阳)如图,菱形ABCD的周长是4cm,∠ABC=60°,那么这个菱形的对角线AC的长为( )A.1 cmB.2cmC.3cmD.4 cm4.(2018·宜昌)如图,正方形ABCD的边长为1,E,F分别是对角线AC上的两点,EG⊥ AB,EI⊥ AD,FH⊥AB,FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J，则图中涂色部分的面积为( )A.15.(2018·大连)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O.若AB=5,AC=6,则BD的长为( )A.8B.7C.4D.36.(2019·鄂尔多斯)如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形ABE，则∠BED的度数为( )A.15°B.35°C.45°D.55°7.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,∠AOB=60°,AC=6cm,则AB的长为( )A.3cmB.6cmC.10cmD.12cm8.如图,在△ABC中,D,E分别是边AB,AC的中点,AF ⊥BC,垂足为F,∠ADE=30°,DF=4,则BF的长为( )A.4B.89.如图,在菱形ABCD中,∠ADC=72°,AD的垂直平分线交对角线BD于点P,垂足为E,连接CP,则∠CPB的度数为( )A.18°B.36°C.72°D.54°10.如图，在锐角三角形ABC中，延长BC到点D，O是边AC上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，MN分别交∠ACB,∠ACD 的平分线于E,F两点,连接AE,AF.下列结论:①OE=OF;②CE=CF;③若CE=12,CF=5,则OC的长为6;④当AO=CO时,四边形AECF是矩形.其中、正确的有 ( )A.4个B.3个C.2个D.1个二、填空题(每小题3分，共15分)11.如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,延长AB至点E,使BE=AB,连接CE.若∠E=50°,则∠BAO的度数为°.12.如图,E,F,G,H分别为菱形ABCD四边的中点,AB=6cm,∠ABC=60°,则四边形EFGH的面积为cm².13.如图,把菱形ABCD沿AH折叠,使点B落在BC上的点E处.若∠B=70°,则∠EDC的度数为 .14.如图,在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,E为BC上一点,CE=5,F为DE的中点.若△CEF的周长为18,则OF 的长为 .15.(2018·扬州)如图,四边形OABC是矩形,点A的坐标为(8,0),点C的坐标为(0,4),把矩形OABC沿OB折叠,点C落在点D处,则点D的坐标为 .三、解答题(共55分)16.(10分)如图,正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是OC上一点,连接EB.过点A作AM⊥ BE,垂足为M,AM与BD相交于点F.求证:OE=OF.17.(10分)如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E,F在BD上,BE=DF.(1)求证:AE=CF;(2)若AB=6,∠COD=60°,求矩形ABCD的面积.18.(10分)(2019·宁波)如图,矩形EFGH的顶点E,G分别在菱形ABCD的边AD,BC上,顶点F,H在菱形ABCD的对角线BD 上.(1)求证:BG=DE;(2)若E为AD的中点,FH=2,求菱形ABCD的周长.19.(12分)如图,在▱ABCD中,点E,F,G,H分别在边AB,BC,CD,DA上,AE=CG,AH=CF,且EG平分∠HEF.(1)求证:△AEH≌△CGF;(2)若∠EFG=90°,求证:四边形EFGH是正方形.20.(13分)如图,将矩形纸片ABCD(AD>AB)折叠,使点C刚好落在线段AD上,且折痕分别与边BC,AD相交,设折叠后点C，D的对应点分别为G，H，折痕分别与边BC，AD相交于点E，F.(1)判断四边形CEGF的形状，并证明你的结论；(2)若AB=3,BC=9,求线段CE长度的取值范围.第二部分参考答案一、1.C2.B3.A4.B5.A6.C7.A8.D9.C 10.C二、11.40 13.15°三、16.∵四边形ABCD是正方形,∴∠BOE=∠AOF=90°,OB=OA.又∵AM⊥BE,∴∠BEO+∠MAE=90°=∠AFO+∠MAE.∴∠BEO=∠AFO.∴△BOE≌△AOF.∴OE=OF17 (1) ∵四边形ABCD是矩形,∴AB=CD,AB∥CD.∴∠ABE=∠CDF.又∵BE=DF,∴△ABE≌△CDF.∴AE=CF(2)∵四边形ABCD是矩形,,∴△AOB是等边三角形.∴OA=AB=6.∴AC=2OA=12.在Rt△ABC中,∴矩形ABCD的面积为18.(1)如图,连接EG.∵四边形EFGH是矩形,∴EG=FH,EH=FG,EH∥FG.∴∠GFH=∠EHF∴∠BFG=∠DHE.∵四边形ABCD是菱形,∴AD∥BC.∴∠GBF=∠EDH.∴△BGF≌△DEH.∴BG=DE（2）∵四边形ABCD是菱形,∴AD=BC,AD∥BC.∵E为AD的中点,∴AE=ED.∵BG=DE,∴AE=BG.又AE∥BG,∴四边形ABGE是平行四边形.∴AB=EG=FH=2.∴菱形ABCD的周长为2×4=819.(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠A=∠C.又∵AE=CG,AH=CF,∴△AEH≌△CGF（2）∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC,AB=CD,∠B=∠D.∵AE=CG,AH=CF,∴BE=DG,DH=BF.∴△BEF≌△DGH.∴EF=GH.又∵△AEH≌△CGF,∴EH=GF.∴四边形EFGH为平行四边形.∴EH∥FG.∴∠HEG=∠FGE.∵EG平分∠HEF,∴∠HEG=∠FEG.∴∠FGE=∠FEG.∴GF=EF.∴四边形EFGH是菱形.又∵∠EFG=90°,∴四边形EFGH是正方形20.(1)四边形CEGF是菱形由折叠,知EF是CG的垂直平分线,∠CEF=∠GEF,∴FC=FG,EC=EG.又∵在矩形ABCD中,AD∥BC,∴∠GFE=∠CEF.∴∠GFE=∠GEF.∴GF=EG.∴EG=FG=FC=EC.∴四边形CEGF是菱形（2）如图①，当点F与点D重合时，四边形CEGF是正方形,此时CE的长度最小,且CE=CD=AB=3. 如图②,当点G与点A重合时,CE的长度最大.设CE=x,则AE=CE=x,BE=9-x.在Rt△ABE中,∵AB2+BE2=AE2,∴32+(9-x)2=x2,解得x=5.∴CE=5.∴线段CE长度的取值范围是3≤CE≤5。
通用版中考数学二轮复习专题13：特殊四边形探究同步测试(有答案)-(数学)
专题集训13 特殊四边形探究一、选择题1．抛物线y ＝x 2＋x －2与x 轴交于A ，B 两点，A 点在B 点左侧，与y 轴交于点C ，若点E 在x 轴上，点P 在抛物线上，且以A ，C ，E ，P 为顶点的四边形是平行四边形，则符合条件的点E 有( D )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝60°，AB ＝AD ＝BO ＝4，OC ＝8，点P 从B 点出发，沿四边形ABCD 的边BA →AD →DC 以每分钟一个单位长度的速度匀速运动，若运动的时间为t ，△POD 的面积为S ，则S与t 的函数图象大致为( D )【解析】当P 在AB 上时，△POD 中，将OD 看作底边．AB ∥OD ，故高不变，S △POD 不变；当P 在AD 上时，P 逐渐靠近D ，将PD 看作底边，S △POD 逐渐减小；同理P 在DC 上时，S △POD 逐渐增大，当t ＝16时，P 与C 重合，S △POD ＝8 3.故选D.二、填空题3．如图，矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝4.点E 在边AB 上，点F 在边CD 上，点G ，H 在对角线AC 上．若四边形EGFH 是菱形，则AE 的长为__5__．【解析】如图，在Rt △ABC 中，AB ＝8，BC ＝4，所以AC ＝4 5.由cos ∠BAC ＝AB AC ＝AO AE ，得845＝25AE，所以AE ＝5.4．已知平行四边形ABCD 的顶点A 在第三象限，对角线AC 的中点在坐标原点，一边AB 与x 轴平行且AB ＝2，若点A 的坐标为(a ，b )，则点D 的坐标为__(－2－a ，－b )(2－a ，－b )__．【解析】如图1，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴CD ＝AB ＝2，∵A 的坐标为(a ，b )，AB 与x 轴平行，∴B (2＋a ，b )，∵点D 与点B 关于原点对称，∴D (－2－a ，－b )，如图2，∵B (a －2，b )，∵点D 与点B 关于原点对称，∴D (2－a ，－b )，综上所述：D (－2－a ，－b )或(2－a ，－b )．三、解答题5．点A ，C 为半径是3的圆周上两点，点B 为AC ︵的中点，以线段BA ，BC 为邻边作菱形ABCD ，顶点D 恰在该圆直径的三等分点上，求该菱形的边长．解：过B 作直径，连结AC 交AO 于E ，∵点B 为AC ︵的中点，∴BD⊥AC ，①如图①，∵点D 恰在该圆直径的三等分点上，∴BD ＝13×2×3＝2，∴OD ＝OB －BD ＝1，∵四边形ABCD 是菱形，∴DE ＝12BD ＝1，∴OE ＝2，连结OC ，∵CE ＝OC 2－OE 2＝5，∴CD ＝DE 2＋CE 2＝6；②如图②，BD ＝23×2×3＝4，同理可得，OD ＝1，OE ＝1，DE ＝2，连结OC ，∵CE ＝OC 2＋CE 2＝22，∴CD ＝DE 2＋CE 2＝236．如图，抛物线y ＝x 2－2x －3与x 轴负半轴交于点B ，与y 轴交于点C ，且OC ＝3OB . (1)点D 在y 轴上，且∠BDO ＝∠BAC ，求点D 的坐标；(2)点M 在抛物线上，点N 在抛物线的对称轴上，是否存在以点A ，B ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)连结AC ，作BF⊥AC 交AC 的延长线于F ，∵A (2，－3)，C (0，－3)，∴AF ∥x 轴，∴F (－1，－3)，∴BF ＝3，AF ＝3，∴∠BAC ＝45°，设D (0，m )，则OD ＝|m|，∵∠BDO ＝∠BAC ，∴∠BDO ＝45°，∴OD＝OB ＝1，∴|m|＝1，∴m ＝±1，∴D 的坐标为(0，1)或(0，－1)(2)设M (a ，a 2－2a －3)，N (1，n )，①以AB 为边，则AB∥MN ，AB ＝MN ，如图2，过M 作ME⊥对称轴于E ，AF ⊥x 轴于F ，则△ABF≌△NME ，∴NE ＝AF ＝3，ME ＝BF ＝3，∴|a －1|＝3，∴a ＝4或a ＝－2，∴M (4，5)或(－2，5)；②以AB 为对角线，BN ＝AM ，BN ∥AM ，如图3，则N 在x 轴上，M 与C 重合，∴M (0，－3)，所以存在以点A ，B ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，M 的坐标为(4，5)或(－2，5)或(0，－3)7．如图1，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，AB ＝13，BD ＝24，在菱形ABCD 的外部以AB 为边作等边三角形ABE .点F 是对角线BD 上一动点(点F 不与点B 重合)，将线段AF 绕点A 顺时针方向旋转60°得到线段AM ，连结FM .(1)求AO 的长；(2)如图2，当点F 在线段BO 上，且点M 、F 、C 三点在同一条直线上时，求证：AC ＝3AM ； (3)连结EM ，若△AEM 的面积为40，求△AFM 的周长．解：(1)四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，OB ＝OD ＝12BD ，∵BD ＝24，∴OB ＝12，在Rt △OAB 中，∵AB ＝13，∴OA ＝AB 2－OB 2＝132－122＝5 (2)∵四边形ABCD 是菱形，∴BD 垂直平分AC ，∴FA ＝FC ，∠FAC ＝∠FCA ，由已知，AF ＝AM ，∠MAF ＝60°，∴△ADM 为等边三角形，∴∠M ＝∠AFM ＝60°，∵点M ，F ，C 三点在同一条直线上，∴∠FAC ＋∠FCA ＝∠AFM ＝60°，∴∠FAC ＝∠FCA ＝30°，∴∠MAC ＝∠MAF ＋∠FAC ＝60°＋30°＝90°，在Rt △ACM 中，∵tanM ＝tan60°＝ACAM，∴AC ＝3AM (3)如图，连结EM ，∵△ABE 是等边三角形，∴AE ＝AB ，∠EAB ＝60°，由(2)知，△AFM 为等边三角形，∴AM ＝AF ，∠MAF ＝60°，∴∠EAM ＝∠BAF ，在△AEM 和△ABF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝AB ，∠EAM ＝∠BAF ，AM ＝AF ， ∴△AEM ≌△ABF (SAS )，∵△AEM 的面积为40，△ABF 的高为AO ＝5，∴12BF·AO ＝40，∴BF ＝16，∵OB ＝12，∴FO ＝BF －OB ＝16－12＝4，∴AF ＝AO 2＋FO2＝52＋42＝41，∴△AFM 的周长为3418．如图，一次函数y ＝kx ＋b 的图象与反比例函数y ＝mx(x ＞0)的图象交于点P (n ，2)，与x 轴交于点A (－4，0)，与y 轴交于点C ，PB ⊥x 轴于点B ，且AC ＝BC .(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)反比例函数图象上是否存在点D ，使四边形BCPD 为菱形？如果存在，求出点D 的坐标；如果不存在，说明理由．解：(1)∵AC ＝BC ，CO ⊥AB ，A (－4，0)，∴O 为AB的中点，即OA ＝OB ＝4，∴P (4，2)，B (4，0)，⎩⎪⎨⎪⎧－4k ＋b ＝0，4k ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝14，b ＝1，∴一次函数解析式为y ＝14x ＋1，将P (4，2)代入反比例函数解析式得m ＝8，即反比例解析式为y ＝8x(2)假设存在这样的D 点，使四边形BCPD 为菱形．如图，连结CD 与PB 交于E ，∵四边形BCPD 为菱形，PB ⊥x 轴，∴CE ＝DE ＝4，CD ⊥PB ，∴CD ＝8，CD ∥x 轴，又由一次函数解析式y ＝14x ＋1得C (0，1)，∴D 点坐标(8，1)，将D 点坐标代入反比例函数解析式得，左边＝右边，∴反比例函数上存在D (8，1)，使四边形BCPD 为菱形。
中考数学 真题精选 专题试卷 特殊的平行四边形(含答案解析) (含答案解析)
特殊的平行四边形一．选择题（共19小题）1．（•河北）如图，点A，B为定点，定直线l∥AB，P是l上一动点，点M，N分别为PA，PB的中点，对下列各值：①线段MN的长；②△PAB的周长；③△PMN的面积；④直线MN，AB之间的距离；⑤∠APB 的大小．其中会随点P的移动而变化的是（）A．②③ B．②⑤ C．①③④ D．④⑤考点：三角形中位线定理；平行线之间的距离．分析：根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得MN=AB，从而判断出①不变；再根据三角形的周长的定义判断出②是变化的；确定出点P到MN的距离不变，然后根据等底等高的三角形的面积相等确定出③不变；根据平行线间的距离相等判断出④不变；根据角的定义判断出⑤变化．解答：解：∵点A，B为定点，点M，N分别为PA，PB的中点，∴MN是△PAB的中位线，∴MN=AB，即线段MN的长度不变，故①错误；PA、PB的长度随点P的移动而变化，所以，△PAB的周长会随点P的移动而变化，故②正确；∵MN的长度不变，点P到MN的距离等于l与AB的距离的一半，∴△PMN的面积不变，故③错误；直线MN，AB之间的距离不随点P的移动而变化，故④错误；∠APB的大小点P的移动而变化，故⑤正确．综上所述，会随点P的移动而变化的是②⑤．故选B．点评：本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，等底等高的三角形的面积相等，平行线间的距离的定义，熟记定理是解题的关键．2．（•山西）如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB，BC的中点．若△DBE的周长是6，则△ABC 的周长是（）A．8 B．10 C．12 D．14考点：三角形中位线定理．分析：首先根据点D、E分别是边AB，BC的中点，可得DE是三角形BC的中位线，然后根据三角形中位线定理，可得DE=AC，最后根据三角形周长的含义，判断出△ABC的周长和△DBE的周长的关系，再结合△DBE的周长是6，即可求出△ABC的周长是多少．解答：解：∵点D、E分别是边AB，BC的中点，∴DE是三角形BC的中位线，AB=2BD，BC=2BE，∴DE∥BC且DE=AC，又∵AB=2BD，BC=2BE，∴AB+BC+AC=2（BD+BE+DE），即△ABC的周长是△DBE的周长的2倍，∵△DBE的周长是6，∴△ABC的周长是：6×2=12．故选：C．点评：（1）此题主要考查了三角形中位线定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．（2）此题还考查了三角形的周长和含义的求法，要熟练掌握．3．（•铁岭）如图，点D、E、F分别为△ABC各边中点，下列说法正确的是（）A．DE=DF B．EF=AB C．S△ABD=S△ACD D．AD平分∠BAC考点：三角形中位线定理．分析：根据三角形中位线定理逐项分析即可．解答：解：A、∵点D、E、F分别为△ABC各边中点，∴DE=AC，DF=AB，∵AC≠AB，∴DE≠DF，故该选项错误；B、由A选项的思路可知，B选项错误、C、∵S△ABD=BD•h，S△ACD=CD•h，BD=CD，∴S△ABD=S△ACD，故该选项正确；D、∵BD=CD，AB≠AC，∴AD不平分∠BAC，故选C．点评：本题考查了三角形中位线定理的运用，解题的根据是熟记其定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．4．（•安顺）如图，在▱ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF：FC等于（）A．3：2 B．3：1 C．1：1 D．1：2考点：平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质．专题：几何图形问题．分析：根据题意得出△DEF∽△BCF，进而得出=，利用点E是边AD的中点得出答案即可．解答：解：∵▱ABCD，故AD∥BC，∴△DEF∽△BCF，∴=，∵点E是边AD的中点，∴AE=DE=AD，∴=．故选：D．点评：此题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质等知识，得出△DEF∽△BCF是解题关键．5．（•衢州）如图，在▱ABCD中，已知AD=12cm，AB=8cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，则CE的长等于（）A．8cm B．6cm C．4cm D．2cm考点：平行四边形的性质．分析：由平行四边形的性质得出BC=AD=12cm，AD∥BC，得出∠DAE=∠BEA，证出∠BEA=∠BAE，得出BE=AB，即可得出CE的长．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD=12cm，AD∥BC，∴∠DAE=∠BEA，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE，∴∠BEA=∠BAE，∴BE=AB=8cm，∴CE=BC﹣BE=4cm；故答案为：C．点评：本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．6．（•玉林）如图，在▱ABCD中，BM是∠ABC的平分线交CD于点M，且MC=2，▱ABCD的周长是在14，则DM等于（）A．1 B． 2 C． 3 D． 4考点：平行四边形的性质．分析：根据BM是∠ABC的平分线和AB∥CD，求出BC=MC=2，根据▱ABCD的周长是14，求出CD=5，得到DM的长．解答：解：∵BM是∠ABC的平分线，∴∠ABM=∠CBM，∵AB∥CD，∴∠ABM=∠BMC，∴∠BMC=∠CBM，∴BC=MC=2，∵▱ABCD的周长是14，∴BC+CD=7，∴CD=5，则DM=CD﹣MC=3，故选：C．点评：本题考查的是平行四边形的性质和角平分线的定义，根据平行四边形的对边相等求出BC+CD 是解题的关键，注意等腰三角形的性质的正确运用．7．（•绥化）如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC=60°，AB=BC，连接OE．下列结论：①∠CAD=30°；②S▱ABCD=AB•AC；③OB=AB；④OE=BC，成立的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：平行四边形的性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．分析：由四边形ABCD是平行四边形，得到∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，根据AE平分∠BAD，得到∠BAE=∠EAD=60°推出△ABE是等边三角形，由于AB=BC，得到AE=BC，得到△ABC是直角三角形，于是得到∠CAD=30°，故①正确；由于AC⊥AB，得到S▱ABCD=AB•AC，故②正确，根据AB=BC，OB=BD，且BD＞BC，得到AB≠OB，故③错误；根据三角形的中位线定理得到OE=AB，于是得到OE=BC，故④正确．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠EAD=60°∴△ABE是等边三角形，∴AE=AB=BE，∵AB=BC，∴AE=BC，∴∠BAC=90°，∴∠CAD=30°，故①正确；∵AC⊥AB，∴S▱ABCD=AB•AC，故②正确，∵AB=BC，OB=BD，∵BD＞BC，∴AB≠OB，故③错误；∵CE=BE，CO=OA，∴OE=AB，∴OE=BC，故④正确．故选C．点评：本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，平行四边形的面积公式，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．8．（•河南）如图，在▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E．若BF=6，AB=5，则AE的长为（）A．4 B． 6 C．8 D．10考点：平行四边形的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；作图—基本作图．专题：计算题．分析：由基本作图得到AB=AF，加上AO平分∠BAD，则根据等腰三角形的性质得到AO⊥BF，BO=FO=BF=3，再根据平行四边形的性质得AF∥BE，所以∠1=∠3，于是得到∠2=∠3，根据等腰三角形的判定得AB=EB，然后再根据等腰三角形的性质得到AO=OE，最后利用勾股定理计算出AO，从而得到AE的长．解答：解：连结EF，AE与BF交于点O，如图，∵AB=AF，AO平分∠BAD，∴AO⊥BF，BO=FO=BF=3，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AF∥BE，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴AB=EB，而BO⊥AE，∴AO=OE，在Rt△AOB中，AO===4，∴AE=2AO=8．故选C．点评：本题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的对角线互相平分．也考查了等腰三角形的判定与性质和基本作图．9．（•本溪）如图，▱ABCD的周长为20cm，AE平分∠BAD，若CE=2cm，则AB的长度是（）A．10cm B．8cm C．6cm D．4cm考点：平行四边形的性质．分析：根据平行四边形的性质得出AB=CD，AD=BC，AD∥BC，推出∠DAE=∠BAE，求出∠BAE=∠AEB，推出AB=BE，设AB=CD=xcm，则AD=BC=（x+2）cm，得出方程x+x+2=10，求出方程的解即可．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC，AD∥BC，∴∠DAE=∠BAE，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE=∠BAE，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE，设AB=CD=xcm，则AD=BC=（x+2）cm，∵▱ABCD的周长为20cm，∴x+x+2=10，解得：x=4，即AB=4cm，故选D．点评：本题考查了平行四边形的在，平行线的性质，等腰三角形的判定的应用，解此题的关键是能推出AB=BE，题目比较好，难度适中．10．（•福建）如图，在▱ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，下列结论错误的是（）A．AB∥CD B．AB=CD C．AC=BD D．OA=OC考点：平行四边形的性质．分析：根据平行四边形的性质推出即可．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，OA=OC，但是AC和BD不一定相等，故选C．点评：本题考查了平行四边形的性质的应用，能熟记平行四边形的性质是解此题的关键，注意：平行四边形的对边相等且平行，平行四边形的对角线互相平分．11．（•陕西）在▱ABCD中，AB=10，BC=14，E，F分别为边BC，AD上的点，若四边形AECF为正方形，则AE的长为（）A．7 B．4或10 C．5或9 D．6或8考点：平行四边形的性质；勾股定理；正方形的性质．专题：分类讨论．分析：设AE的长为x，根据正方形的性质可得BE=14﹣x，根据勾股定理得到关于x的方程，解方程即可得到AE的长．解答：解：如图：设AE的长为x，根据正方形的性质可得BE=14﹣x，在△ABE中，根据勾股定理可得x2+（14﹣x）2=102，解得x1=6，x2=8．故AE的长为6或8．故选：D．点评：考查了平行四边形的性质，正方形的性质，勾股定理，关键是根据勾股定理得到关于AE的方程．12．（•营口）▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠DAC=42°，∠CBD=23°，则∠COD是（）A．61° B．63° C．65° D．67°考点：平行四边形的性质．分析：由平行四边形的性质可知：AD∥BC，进而可得∠DAC=∠BCA，再根据三角形外角和定理即可求出∠COD的度数．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAC=∠BCA=42°，∴∠COD=∠CBD+∠BCA=65°，故选C．点评：本题考查了平行四边形的性质以及三角形的外角和定理，题目比较简单，解题的关键是灵活运用平行四边形的性质，将四边形的问题转化为三角形问题．13．（•巴彦淖尔）如图，P为平行四边形ABCD的边AD上的一点，E，F分别为PB，PC的中点，△PEF，△PDC，△PAB的面积分别为S，S1，S2．若S=3，则S1+S2的值为（）A．24 B．12 C．6 D．3考点：平行四边形的性质；三角形中位线定理．分析：过P作PQ平行于DC，由DC与AB平行，得到PQ平行于AB，可得出四边形PQCD与ABQP都为平行四边形，进而确定出△PDC与△PCQ面积相等，△PQB与△ABP面积相等，再由EF为△BPC的中位线，利用中位线定理得到EF为BC的一半，且EF平行于BC，得出△PEF与△PBC 相似，相似比为1：2，面积之比为1：4，求出△PBC的面积，而△PBC面积=△CPQ面积+△PBQ 面积，即为△PDC面积+△PAB面积，即为平行四边形面积的一半，即可求出所求的面积．解答：解：过P作PQ∥DC交BC于点Q，由DC∥AB，得到PQ∥AB，∴四边形PQCD与四边形APQB都为平行四边形，∴△PDC≌△CQP，△ABP≌△QPB，∴S△PDC=S△CQP，S△ABP=S△QPB，∵EF为△PCB的中位线，∴EF∥BC，EF=BC，∴△PEF∽△PBC，且相似比为1：2，∴S△PEF：S△PBC=1：4，S△PEF=3，∴S△PBC=S△CQP+S△QPB=S△PDC+S△ABP=S1+S2=12．故选：B．点评：此题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键．14．（•常州）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则下列说法一定正确的是（）A．AO=OD B．AO⊥OD C．AO=OC D．AO⊥AB考点：平行四边形的性质．分析：根据平行四边形的性质：对边平行且相等，对角线互相平分进行判断即可．解答：解：对角线不一定相等，A错误；对角线不一定互相垂直，B错误；对角线互相平分，C正确；对角线与边不一定垂直，D错误．故选：C．点评：本题考查度数平行四边形的性质，掌握平行四边形的对边平行且相等，对角线互相平分是解题的关键．15．（•淄博）如图，在平行四边形ABCD中，∠B=60°，将△ABC沿对角线AC折叠，点B的对应点落在点E处，且点B，A，E在一条直线上，CE交AD于点F，则图中等边三角形共有（）A．4个B．3个C．2个D．1个考点：平行四边形的性质；等边三角形的判定；翻折变换（折叠问题）．分析：根据折叠的性质可得∠E=∠B=60°，进而可证明△BEC是等边三角形，再根据平行四边形的性质可得：AD∥BC，所以可得∠EAF=60°，进而可证明△EFA是等边三角形，由等边三角形的性质可得∠EFA=∠DFC=60°，又因为∠D=∠B=60°，进而可证明△DFC是等边三角形，问题得解．解答：解：∵将△ABC沿对角线AC折叠，点B的对应点落在点E处，∴∠E=∠B=60°，∴△BEC是等边三角形，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∠D=∠B=60°，∴∠B=∠EAF=60°，∴△EFA是等边三角形，∵∠EFA=∠DFC=60°，∠D=∠B=60°，∴△DFC是等边三角形，∴图中等边三角形共有3个，故选B．点评：本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质以及等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟记等边三角形的各种判定方法特别是经常用到的判定方法：三个角都相等的三角形是等边三角形．16．（•连云港）已知四边形ABCD，下列说法正确的是（）A．当AD=BC，AB∥DC时，四边形ABCD是平行四边形B．当AD=BC，AB=DC时，四边形ABCD是平行四边形C．当AC=BD，AC平分BD时，四边形ABCD是矩形D．当AC=BD，AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形考点：平行四边形的判定；矩形的判定；正方形的判定．分析：由平行四边形的判定方法得出A不正确、B正确；由矩形和正方形的判定方法得出C、D不正确．解答：解：∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，∴A不正确；∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形，∴B正确；∵对角线互相平分且相等的四边形是矩形，∴C不正确；∵对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，∴D不正确；故选：B．点评：本题考查了平行四边形的判定、矩形的判定、正方形的判定；熟练掌握平行四边形、矩形、正方形的判定方法是解决问题的关键．17．（•台湾）坐标平面上，二次函数y=﹣x2+6x﹣9的图形的顶点为A，且此函数图形与y轴交于B 点．若在此函数图形上取一点C，在x轴上取一点D，使得四边形ABCD为平行四边形，则D点坐标为何？（）A．（6，0）B．（9，0）C．（﹣6，0）D．（﹣9，0）考点：平行四边形的判定；二次函数的性质．分析：首先将二次函数配方求得顶点A的坐标，然后求得抛物线与y轴的交点坐标，根据电C和点B的纵坐标相同求得点C的坐标，从而求得线段BC的长，根据平行四边形的性质求得AD的长即可求得点D的坐标．解答：解：∵y=﹣x2+6x﹣9=﹣（x﹣3）2，∴顶点A的坐标为（3，0），令x=0得到y=﹣9，∴点B的坐标为（0，﹣9），令y=﹣x2+6x﹣9=﹣9，解得：x=0或x=6，∴点C的坐标为（6，﹣9），∴BC=AD=6，∴OD=OA+AD=3+6=9，∴点D的坐标为（9，0），故选B．点评：本题考查了平行四边形的判定、二次函数的性质等知识，主要利用了抛物线与坐标轴交点的求法，平行四边形的对边平行且相等的性质，综合题，但难度不大．18．（•绵阳）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠CBD=90°，BC=4，BE=ED=3，AC=10，则四边形ABCD的面积为（）A．6 B．12 C．20 D．24考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．分析：根据勾股定理，可得EC的长，根据平行四边形的判定，可得四边形ABCD的形状，根据平行四边形的面积公式，可得答案．解答：解：在Rt△BCE中，由勾股定理，得CE===5．∵BE=DE=3，AE=CE=5，∴四边形ABCD是平行四边形．四边形ABCD的面积为BC•BD=4×（3+3）=24，故选：D．点评：本题考查了平行四边形的判定与性质，利用了勾股定理得出CE的长，又利用对角线互相平分的四边形是平行四边形，最后利用了平行四边形的面积公式．19．（•泰安）如图，∠ACB=90°，D为AB的中点，连接DC并延长到E，使CE=CD，过点B作BF∥DE，与AE的延长线交于点F．若AB=6，则BF的长为（）A．6 B．7 C．8 D．10考点：三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线．分析：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到CD=AB=3，则结合已知条件CE=CD 可以求得ED=4．然后由三角形中位线定理可以求得BF=2ED=8．解答：解：如图，∵∠ACB=90°，D为AB的中点，AB=6，∴CD=AB=3．又CE=CD，∴CE=1，∴ED=CE+CD=4．又∵BF∥DE，点D是AB的中点，∴ED是△AFB的中位线，∴BF=2ED=8．故选：C．点评：本题考查了三角形中位线定理和直角三角形斜边上的中线．根据已知条件求得ED的长度是解题的关键与难点．二．填空题（共11小题）20．（•泰安）如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM 的中点．若AB=8，AD=12，则四边形ENFM的周长为20．考点：三角形中位线定理；勾股定理；矩形的性质．分析：根据M是边AD的中点，得AM=DM=6，根据勾股定理得出BM=CM=10，再根据E、F分别是线段BM、CM的中点，即可得出EM=FM=5，再根据N是边BC的中点，得出EM=FN，EN=FM，从而得出四边形EN，FM的周长．解答：解：∵M、N分别是边AD、BC的中点，AB=8，AD=12，∴AM=DM=6，∵四边形ABCD为矩形，∴∠A=∠D=90°，∴BM=CM=10，∵E、F分别是线段BM、CM的中点，∴EM=FM=5，∴EN，FN都是△BCM的中位线，∴EN=FN=5，∴四边形ENFM的周长为5+5+5+5=20，故答案为20．点评：本题考查了三角形的中位线，勾股定理以及矩形的性质，是年中考常见的题型，难度不大，比较容易理解．21．（•巴中）如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，AD、AE分别为△ABC的中线和角平分线，过点C作CH⊥AE于点H，并延长交AB于点F，连结DH，则线段DH的长为1．考点：三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质．分析：首先证明△ACF是等腰三角形，则AF=AC=3，HF=CH，则DH是△BCF的中位线，利用三角形的中位线定理即可求解．解答：解：∵AE为△ABC的角平分线，CH⊥AE，∴△ACF是等腰三角形，∴AF=AC，∵AC=3，∴AF=AC=3，HF=CH，∵AD为△ABC的中线，∴DH是△BCF的中位线，∴DH=BF，∵AB=5，∴BF=AB﹣AF=5﹣3=2．∴DH=1，故答案为：1．点评：本题考查了等腰三角形的判定以及三角形的中位线定理，正确证明HF=CH是关键．22．（•盐城）如图，点D、E、F分别是△ABC各边的中点，连接DE、EF、DF．若△ABC的周长为10，则△DEF的周长为5．考点：三角形中位线定理．分析：由于D、E分别是AB、BC的中点，则DE是△ABC的中位线，那么DE=AC，同理有EF=AB，DF=BC，于是易求△DEF的周长．解答：解：如上图所示，∵D、E分别是AB、BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=AC，同理有EF=AB，DF=BC，∴△DEF的周长=（AC+BC+AB）=×10=5．故答案为5．点评：本题考查了三角形中位线定理．解题的关键是根据中位线定理得出边之间的数量关系．23．（•无锡）已知：如图，AD、BE分别是△ABC的中线和角平分线，AD⊥BE，AD=BE=6，则AC的长等于．考点：三角形中位线定理；勾股定理．专题：计算题．分析：延长AD至F，使DF=AD，过点F作平行BE与AC延长线交于点G，过点C作CH∥BE，交AF于点H，连接BF，如图所示，在直角三角形AGF中，利用勾股定理求出AG的长，利用SAS 证得△BDF≌△CDA，利用全等三角形对应角相等得到∠ACD=∠BFD，证得AG∥BF，从而证得四边形EBFG是平行四边形，得到FG=BE=6，利用AAS得到三角形BOD与三角形CHD全等，利用全等三角形对应边相等得到OD=DH=3，得出AH=9，然后根据△AHC∽△AFG，对应边成比例即可求得AC．解答：解：延长AD至F，使DF=AD，过点F作FG∥BE与AC延长线交于点G，过点C作CH∥BE，交AF于点H，连接BF，如图所示，在Rt△AFG中，AF=2AD=12，FG=BE=6，根据勾股定理得：AG==6，在△BDF和△CDA中，∴△BDF≌△CDA（SAS），∴∠ACD=∠BFD，∴AG∥BF，∴四边形EBFG是平行四边形，∴FG=BE=6，在△BOD和△CHD中，，∴△BOD≌△CHD（AAS），∴OD=DH=3，∵CH∥FG，∴△AHC∽△AFG，∴=，即=，解得：AC=，故答案为：点评：本题考查了三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，平行四边形的判定和性质以及勾股定理的应用，作出辅助线构建直角三角形和平行四边形是解题的关键．24．（•宿迁）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点．若CD=5，则EF的长为5．考点：三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线．分析：已知CD是Rt△ABC斜边AB的中线，那么AB=2CD；EF是△ABC的中位线，则EF应等于AB的一半．解答：解：∵△ABC是直角三角形，CD是斜边的中线，∴CD=AB，又∵EF是△ABC的中位线，∴AB=2CD=2×5=10cm，∴EF=×10=5cm．故答案为：5．点评：此题主要考查了三角形中位线定理以及直角三角形斜边上的中线等知识，用到的知识点为：（1）直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；（2）三角形的中位线等于对应边的一半．25．（•广州）如图，四边形ABCD中，∠A=90°，AB=3，AD=3，点M，N分别为线段BC，AB 上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为3．考点：三角形中位线定理；勾股定理．专题：动点型．分析：根据三角形的中位线定理得出EF=DN，从而可知DN最大时，EF最大，因为N与B重合时DN最大，此时根据勾股定理求得DN=DB=6，从而求得EF的最大值为3．解答：解：∵ED=EM，MF=FN，∴EF=DN，∴DN最大时，EF最大，∵N与B重合时DN最大，此时DN=DB==6，∴EF的最大值为3．故答案为3．点评：本题考查了三角形中位线定理，勾股定理的应用，熟练掌握定理是解题的关键．26．（•云南）如图，在△ABC中，BC=1，点P1，M1分别是AB，AC边的中点，点P2，M2分别是AP1，AM1的中点，点P3，M3分别是AP2，AM2的中点，按这样的规律下去，P n M n的长为（n 为正整数）．考点：三角形中位线定理．专题：规律型．分析：根据中位线的定理得出规律解答即可．解答：解：在△ABC中，BC=1，点P1，M1分别是AB，AC边的中点，点P2，M2分别是AP1，AM1的中点，点P3，M3分别是AP2，AM2的中点，可得：P1M1=，P2M2=，故P n M n=，故答案为：点评：此题考查三角形中位线定理，关键是根据中位线得出规律进行解答．27．（•珠海）如图，在△A1B1C1中，已知A1B1=7，B1C1=4，A1C1=5，依次连接△A1B1C1三边中点，得△A2B2C2，再依次连接△A2B2C2的三边中点得△A3B3C3，…，则△A5B5C5的周长为1．考点：三角形中位线定理．专题：规律型．分析：由三角形的中位线定理得：A2B2、B2C2、C2A2分别等于A1B1、B1C1、C1A1的一半，所以△A2B2C2的周长等于△A1B1C1的周长的一半，以此类推可求出△A5B5C5的周长为△A1B1C1的周长的．解答：解：∵A2B2、B2C2、C2A2分别等于A1B1、B1C1、C1A1的一半，∴以此类推：△A5B5C5的周长为△A1B1C1的周长的，∴则△A5B5C5的周长为（7+4+5）÷16=1．故答案为：1点评：本题主要考查了三角形的中位线定理，关键是根据三角形的中位线定理得：A2B2、B2C2、C2A2分别等于A1B1、B1C1、C1A1的一半，所以△A2B2C2的周长等于△A1B1C1的周长的一半．28．（•衢州）如图，小聪与小慧玩跷跷板，跷跷板支架高EF为0.6米，E是AB的中点，那么小聪能将小慧翘起的最大高度BC等于 1.2米．考点：三角形中位线定理．专题：应用题．分析：先求出F为AC的中点，根据三角形的中位线求出BC=2EF，代入求出即可．解答：解：∵EF⊥AC，BC⊥AC，∴EF∥BC，∵E是AB的中点，∴F为AC的中点，∴BC=2EF，∵EF=0.6米，∴BC=1.2米，故答案为：1.2．点评：本题考查了三角形的中位线性质，平行线的性质和判定的应用，解此题的关键是求出BC=2EF，注意：垂直于同一直线的两直线平行．29．（•昆明）如图，在△ABC中，AB=8，点D、E分别是BC、CA的中点，连接DE，则DE=4．考点：三角形中位线定理．分析：根据三角形的中位线等于第三边的一半即可得出DE=AB=4．解答：解：∵在△ABC中，点D、E分别是BC、CA的中点，AB=8，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=AB=×8=4．故答案为4．点评：本题考查了三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．30．（•陕西）如图，AB是⊙O的弦，AB=6，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB=45°．若点M，N分别是AB，BC的中点，则MN长的最大值是3．考点：三角形中位线定理；等腰直角三角形；圆周角定理．分析：根据中位线定理得到MN的最大时，AC最大，当AC最大时是直径，从而求得直径后就可以求得最大值．解答：解：∵点M，N分别是AB，BC的中点，∴MN=AC，∴当AC取得最大值时，MN就取得最大值，当AC时直径时，最大，如图，∵∠ACB=∠D=45°，AB=6，∴AD=6，∴MN=AD=3故答案为：3．点评：本题考查了三角形的中位线定理、等腰直角三角形的性质及圆周角定理，解题的关键是了解当什么时候MN的值最大，难度不大．1．（•苏州）如图，在△ABC中，CD是高，CE是中线，CE=CB，点A、D关于点F对称，过点F 作FG∥CD，交AC边于点G，连接GE．若AC=18，BC=12，则△CEG的周长为27．考点：三角形中位线定理；等腰三角形的性质；轴对称的性质．分析：先根据点A、D关于点F对称可知点F是AD的中点，再由CD⊥AB，FG∥CD可知FG是△ACD的中位线，故可得出CG的长，再根据点E是AB的中点可知GE是△ABC的中位线，故可得出GE的长，由此可得出结论．解答：解：∵点A、D关于点F对称，∴点F是AD的中点．∵CD⊥AB，FG∥CD，∴FG是△ACD的中位线，AC=18，BC=12，∴CG=AC=9．∵点E是AB的中点，∴GE是△ABC的中位线，∵CE=CB=12，∴GE=BC=6，∴△CEG的周长=CG+GE+CE=9+6+12=27．故答案为：27．点评：本题考查的是三角形中位线定理，熟知三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解答此题的关键．2．（•铜仁市）如图，∠ACB=9O°，D为AB中点，连接DC并延长到点E，使CE=CD，过点B作BF∥DE交AE的延长线于点F．若BF=10，则AB的长为8．考点：三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线．分析：先根据点D是AB的中点，BF∥DE可知DE是△ABF的中位线，故可得出DE的长，根据CE=CD可得出CD的长，再根据直角三角形的性质即可得出结论．解答：解：∵点D是AB的中点，BF∥DE，∴DE是△ABF的中位线．∵BF=10，∴DE=BF=5．∵CE=CD，∴CD=5，解得CD=4．∵△ABC是直角三角形，∴AB=2CD=8．故答案为：8．点评：本题考查的是三角形中位线定理，熟知三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解答此题的关键．3．（•淮安）如图，A，B两地被一座小山阻隔，为测量A，B两地之间的距离，在地面上选一点C，连接CA，CB，分别取CA，CB的中点D、E，测得DE的长度为360米，则A、B两地之间的距离是720米．考点：三角形中位线定理．专题：应用题．分析：首先根据D、E分别是CA，CB的中点，可得DE是△ABC的中位线，然后根据三角形的中位线定理，可得DE∥AB，且DE=，再根据DE的长度为360米，求出A、B两地之间的距离是多少米即可．解答：解：∵D、E分别是CA，CB的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB，且DE=，∵DE=360（米），∴AB=360×2=720（米）．即A、B两地之间的距离是720米．故答案为：720．点评：此题主要考查了三角形中位线定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．4．（•梅州）如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC，BC=6，DE=2，则▱ABCD的周长等于20．考点：平行四边形的性质．分析：根据四边形ABCD为平行四边形可得AE∥BC，根据平行线的性质和角平分线的性质可得出∠ABE=∠AEB，继而可得AB=AE，然后根据已知可求得结果．解答：解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AE∥BC，AD=BC，AD=BC，∴∠AEB=∠EBC，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC，∴∠ABE=∠AEB，∴AB=AE，∴AE+DE=AD=BC=6，∴AE+2=6，∴AE=4，∴AB=CD=4，∴▱ABCD的周长=4+4+6+6=20，故答案为：20．点评：本题考查了平行四边形的性质，解答本题的关键是根据平行线的性质和角平分线的性质得出∠ABE=∠AEB．5．（•大连）如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，AB=10cm，AD=8cm，AC⊥BC，则OB=cm．考点：平行四边形的性质；勾股定理．分析：由平行四边形的性质得出BC=AD=8cm，OA=OC=AC，由勾股定理求出AC，得出OC，再由勾股定理求出OB即可．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD=8cm，OA=OC=AC，∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°，∴AC===6，。
中考数学二轮专题复习试卷：四边形(含答案)
中考数学二轮专题复习试卷：四边形(时间：120分钟 满分：120分)一、选择题(本大题共15个小题，每小题3分,共45分)1.（山东烟台）一个多边形截去一个角后， 形成另一个多边形的内角和为720°，那么原多边形的边数为( )A.5B.5或6C.5或7D.5或6或7 2.（浙江宁波）如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，5AB 2=，BC=4，连接BD ，∠BAD 的平分线交BD 于点E ，且AE ∥CD ，则AD 的长为( )435A. B. C. D.23233.（江苏扬州）如图，在菱形ABCD 中， ∠BAD=80°，AB 的垂直平分线交对角线AC 于 点F ，垂足为E ，连接DF ，则∠CDF 等于( )A ．50°B ．60°C ．70°D ．80° 4.（福建漳州）用下列一种多边形不能铺满地面的是( ) A.正方形 B ．正十边形 C ．正六边形 D ．等边三角形 5.（云南曲靖）如图，在ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，过点O 作EF ⊥AC 交BC 于点E ，交AD 于点F ，连接AE 、CF ．则四边形AECF 是( ) A.梯形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 6.菱形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示， 若OA=2,∠AOC=45°,则B 点的坐标是( )((((A.22,2 B.22,2C.22,2 D.22,2+ --+--7.(湖南邵阳)如图所示，点E 是矩形ABCD 的边AD 延长线上的一点，且AD=DE ，连接BE 交CD 于 点O ，连接AO ，下列结论不正确．．．的是( ) A.△AOB ≌△BOC B.△BOC ≌△EOD C.△AOD ≌△EOD D.△AOD ≌△BOC8.（重庆）下列图形都是由同样大小的矩形按一定的规律组成，其中第1个图形的面积为2 cm 2，第2个图形的面积为8 cm 2，第3个图形的面积为18 cm 2，…，则第10个图形的面积为( )A.196 cm2B.200 cm2C.216 cm2D.256 cm29.(山东菏泽)如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1、S2，则S1＋S2的值为( )A.16B.17C.18D.1910.（湖南襄阳）如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，且AB=5，△OCD的周长为23，则平行四边形ABCD的两条对角线的和是( )A.18 B．28 C．36 D．4611.（四川雅安）如图,正方形 ABCD中,点E、F 分别在 BC、CD上,△AEF是等边三角形,连接AC 交 EF于G,下列结论:①BE=DF,②∠DAF=15°,③AC 垂直平分EF,④BE+DF=EF,⑤S△C E F=2S△ABE.其中正确结论有( )个A.2B.3C.4D.512.（重庆）如图，矩形纸片ABCD中，AB=6 cm，BC=8 cm，现将其沿AE对折，使得点B落在边AD上的点B1处，折痕与边BC交于点E，则CE的长为( )A.6 cmB.4 cmC.2 cm D．1 cm13.（贵州黔南州）如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是( )A.AB=CDB.AD=BCC.AB=BCD.AC=BD14.（四川巴中）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别是AB、CD的中点,且EF=6，则AD+BC的值是( )A.9B.10.5C.12D.1515.（湖北十堰）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=3，AD=5，∠C=60°，则下底BC的长为( )A.8B.9C.10D.11二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分,共18分)16.（四川遂宁）若一个多边形内角和等于1 260°，则该多边形边数是．17.（浙江舟山）如图，正方形ABCD的边长为3，点E、F分别在边AB、BC上，AE=BF=1，小球P从点E出发沿直线向点F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球P第一次碰到点E时，小球P所经过的路程为．18.（江苏苏州）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，顶点A，C分别在x，y轴的正半轴上.点Q在对角线OB上，且OQ＝OC，连接CQ并延长CQ交边AB于点P，则点P的坐标为( ， ).19.（江苏苏州）如图，在矩形ABCD中，点E是边CD的中点，将△ADE沿AE折叠后得到△AFE，且点F在矩形ABCD内部，将AF延长交边BC于点G.若CG1ADGB k AB，则= （用含k的代数式表示）.20.（贵州六盘水）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=4，AB=5，BC=10，CD的垂直平分线交BC于E，连接DE，则四边形ABED的周长等于．21.（云南曲靖）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，∠C=45°，AD=1，BC=4，则CD= ．三、解答题(本大题共5个小题，共57分)22.(本小题满分10分)（广东深圳）如图，在等腰梯形ABCD中，已知AD∥BC，AB=DC，AC与BD交于点O，廷长BC到E，使得CE=AD，连接DE．（1）求证：BD=DE．（2）若AC⊥BD，AD=3，S梯形ABCD=16，求AB的长．23.（本小题满分10分）（重庆）如图，在矩形ABCD中，E、F分别是AB、CD上的点，AE=CF，连接EF、BF，EF与对角线AC交于点O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC.（1）求证：OE=OF;（2）若BC=23，求AB的长.24.（本小题满分10分）（山东济宁）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、DC上的点，且AF⊥BE.（1）求证：AF=BE；（2）如图2，在正方形ABCD中，M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA上的点，且MP⊥NQ.MP与NQ是否相等？并说明理由.25.(本小题满分12分)（江苏苏州）如图，点P是菱形ABCD对角线AC上的一点，连接DP并延长DP交边AB于点E，连接BP并延长BP交边AD于点F，交CD的延长线于点G.(1)求证：△APB≌△APD；(2)已知DF∶FA＝1∶2，设线段DP的长为x，线段PF的长为y.①求y与x的函数关系式；②当x＝6时，求线段FG的长.26.(本小题满分15分)（江苏苏州）如图，点O为矩形ABCD的对称中心，AB＝10 cm，BC＝12 cm.点E、F、G分别从A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点E的运动速度为 1 cm/s，点F的运动速度为3 cm／s，点G的运动速度为1.5 cm/s.当点F到达点C（即点F与点C 重合）时，三个点随之停止运动.在运动过程中，△EBF 关于直线EF 的对称图形是△EB ′F ，设点E 、F 、G 运动的时间为t （单位：s ）. (1)当t ＝______s 时，四边形EBFB ′为正方形；(2)若以点E 、B 、F 为顶点的三角形与以点F 、C 、G 为顶点的三角形相似，求t 的值； (3)是否存在实数t ，使得点B ′与点O 重合？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由.参考答案1.D2.B3.B4.B5.C6.D7.A8.B9.B 10.C 11.C 12.C 13.D 14.C 15.A 16.9 17.65(2422)-，19.k 12+ 20.19 21.3222.（1）证明：∵AD ∥BC ，CE=AD ， ∴四边形ACED 是平行四边形， ∴AC=DE ，∵四边形ABCD 是等腰梯形，AD ∥BC ，AB=DC ， ∴AC=BD ， ∴BD=DE ．（2）解：过点D 作DF ⊥BC 于点F ，∵四边形ACED 是平行四边形， ∴CE=AD=3，AC ∥DE ， ∵AC ⊥BD ， ∴BD ⊥DE ， ∵BD=DE ，2BDE ABCD 111S BD DE BD BE DF.22211BC CE DF BC AD DF 22S 16∴====+=+==梯形（）（），∴BD= 42， ∴2，221DF BF EF BE 42CF EF CE 1AB CD CF DF 17.∴====∴=-=∴==+=，，23.证明：(1)∵四边形ABCD 是矩形，∴CD ∥AB ， ∴∠FCO=∠EAO. 在△FCO 与△EAO 中，FOC EOA FCO EAO CF AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，， ∴△FCO ≌△EAO(AAS)， ∴OF=OE ； (2)解：连接OB ， ∵∠BEF=2∠BAC, 又∠BEF=∠BAC+∠AOE ， ∴∠BAC=∠AOE ， ∴△EAO 为等腰三角形， ∴AE=OE.∵△FCO ≌△EAO(已证)， ∴△FCO 为等腰三角形, ∴OF=CF=AE=OE, ∴O 为EF 的中点. ∵BE=BF, ∴BO 垂直平分EF,∴Rt △BCF ≌Rt △BOF ≌Rt △BOE(HL), ∴∠CBF=∠OBF=∠OBE=30°. ∵BC=3,∴CF=AE=2,BF=BE=4,∴AB=AE+BE=2+4=6.24.证明：(1)设AF与BE交于点G，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=∠D=90°，∴Rt△ADF中，∠FAD+∠AFD=90°.∵AF⊥BE，∴∠AGE=90°，∴Rt△AGE中，∠EAG+∠AEG=90°,∴∠AFD=∠AEG,∴△DAF≌△ABE,∴AF=BE;(2)解：过点A作AF∥MP交CD于点F，过点B作BE∥NQ交AD于E，得到，∴AF=MP，BE=NQ.由（1）得AF=BE，∴MP=NQ.25.（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，AC平分∠DAB,∴∠DAP=∠BAP.在△APB和△APD中，AB AD,BAP DAP,AP AP,=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△APB ≌△APD;（2）解：①∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ∥BC ，AD=BC. ∴△AFP ∽△CBP ，AF FP.BC BP∴= ∵DF ∶FA=1∶2，∴AF ∶BC=2∶3，∴FP ∶BP=2∶3. 由（1）知PB=PD=x ， 又∵PF=y ，y 22y x x 33∴=∴=，，即y 与x 的函数关系式为2y x 3=； ②当x=6时，2y 643=⨯=，∴FB=FP+PB=10. FG FD 1DG AB DFG AFB FB FA 21FG 10 5.2∴∴==∴=⨯=，∽，，∴线段FG 的长为5.26.解：（1）2.5（2）由题意知AE=t ，BF=3t ，CG=1.5t. ∵AB=10，BC=12，∴BE=10-t ，FC=12-3t.∵点F 在BC 上运动，∴0≤t ≤4. ①当△EBF ∽△FCG 时，得EB BF 10t 3t 14:,t ;FC CG 123t 1.5t 5-==∴=-，即 ②当△EBF ∽△GCF 时，得EB BF 10t 3t,CG FC 1.5t 123t-==-，即： 整理得：t 2+28t-80=0， ∴t 1=-14+269,2t 14269=--.∵0≤t ≤4，(14t s t 1469 s 5∴==-+或符合题意. （3）不存在.理由如下： 连接BD.∵点O 为矩形ABCD 的对称中心， ∴点O 为BD 的中点.假设存在这样的实数t ，使得点B ′与点O 重合,此时EF 是OB 的垂直平分线，垂足为点H.BD 61BD 261BH 42EHB BHF BCD,BE BH BF BH,,DB DC BD BC6161BE BF 1012∴===∴==∴==易知，易证∽∽，，∴AE=10-BE=3.9.∵点F 的运动速度是点E 运动速度的3倍，但BF3,AE≠∴不存在实数t，使得点B′与点O重合.11 / 11。
2020年九年级数学中考专题复习过关检测—特殊的平行四边形(Word版,附答案)
《特殊的平行四边形》时间:90分钟满分:120分一、选择题(本大题共10小题,每题3分,共30分)1.下列命题中正确的是()A.对角线相等的四边形是矩形B.对角线互相垂直的四边形是菱形C.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形D.一组对边相等,另一组对边平行的四边形是平行四边形2.如图,点E是正方形ABCD的边DC上一点,把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置.若四边形AECF的面积为25,DE=2,则AE的长为() A.5 B.√23 C.7 D.√29第2题图第3题图第4题图3.矩形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示,其各顶点的坐标分别为A(0,0),B(2,0),C(2,1),D(0,1),固定点B并将此矩形按顺时针方向旋转,若旋转后点C的对应点的坐标为(3,0),则旋转后点D的对应点的坐标为() A.(3,2) B.(2,3) C.(3,3)D.(2,2)4.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,∠AOB=60°,BD=6,则AB的长是() A.2 B.3 C.4D.65.若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形,则该四边形一定是() A.矩形 B.平行四边形C.对角线相等的四边形D.对角线互相垂直的四边形6.如图,点P是矩形ABCD的对角线AC上一点,过点P作EF∥BC,分别交AB,CD于点E,F,连接PB,PD.若AE=2,PF=8,则图中阴影部分的面积为() A.10 B.12 C.16 D.18第6题图 第7题图7.如图,在给定的一张平行四边形ABCD 纸片上作一个菱形,甲、乙两人的作法如下:甲:连接AC ,作AC 的垂直平分线MN ,分别交AD ,AC ,BC 于点M ,O ,N ,连接AN ,CM ,则四边形ANCM 是菱形.乙:分别作∠BAD ,∠ABC 的平分线AE ,BF ,分别交BC ,AD 于点E ,F ,连接EF ,则四边形ABEF 是菱形.根据两人的作法可判断 ( )A.甲正确,乙错误B.甲、乙均正确C.乙正确,甲错误D.甲、乙均错误8.如图,在菱形ABCD 中,M ,N 分别在AB ,CD 上,且AM=CN ,MN 与AC 交于点O ,连接BO ,若∠DAC=28°,则∠OBC 的度数为 ( )A.28°B.52°C.62°D.72°第8题图 第9题图 第10题图9.如图,点E 在正方形ABCD 的对角线AC 上,且EC=2AE ,Rt△FEG 的两直角边EF ,EG 分别交BC ,DC 于点M ,N.若正方形ABCD 的边长为a ,则重叠部分四边形EMCN 的面积为( )A.23a 2B.14a 2C.59a 2D.49a 2 10.如图,在正方形ABCD 中,点P 是AB 上一动点(点P 不与A ,B 重合),对角线AC ,BD 相交于点O ,过点P 分别作AC ,BD 的垂线,分别交AC ,BD 于点E ,F ,交AD ,BC 于点M ,N.给出下列结论:①△APE ≌△AME ;②PM+PN=BD ;③PE 2+PF 2=PO 2.其中正确的有 ( )A.0个B.1个C.2个D.3个二、填空题(本大题共6小题,每题3分,共18分)11.已知菱形的周长为20 cm,两邻角的比为2∶1,则较短的对角线长为 cm .12.如图,在正方形ABCD 中,AC 为对角线,点E 在AB 边上,EF ⊥AC 于点F ,连接EC ,若AF=3,△EFC 的周长为12,则EC 的长为 .第12题图 第13题图 第14题图13.如图,若将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形ABCD的形状,并使其面积为矩形面积的一半(木条宽度忽略不计),则这个平行四边形的最小内角的度数为.14.如图,在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,E为BC上一点,CE=5,F为DE的中点.若△CEF的周长为18,则OF的长为.AB.将矩形15.如图,在矩形ABCD中,点E,F分别在边AB,BC上,且AE=13沿直线EF折叠,点B恰好落在AD边上的点P处,连接BP交EF于点Q.对于下列结论:①EF=2BE;②PF=2PE;③FQ=4EQ;④△PBF是等边三角形.其中正确结论的序号是.第15题图第16题图16.如图,菱形ABCD的面积为120 cm2,正方形AECF的面积为50 cm2,则菱形的边长为cm.三、解答题(本大题共6小题,共72分)17.(10分)如图,E,F是正方形ABCD的对角线AC上的两点,且AE=CF.(1)求证:四边形BEDF是菱形;(2)若正方形的边长为4,AE=√2,求菱形BEDF的面积.18.(10分)如图,在矩形ABCD中,M,N分别是边AD,BC的中点,E,F分别是线段BM,CM的中点.(1)求证:△ABM≌△DCM;(2)判断四边形MENF是什么特殊四边形,并证明你的结论.19.(12分)已知:如图,四边形ABCD中,AD∥BC,AD=CD,E是对角线BD 上一点,且EA=EC.(1)求证:四边形ABCD是菱形;(2)如果BE=BC,且∠CBE∶∠BCE=2∶3.求证:四边形ABCD是正方形.20.(12分)如图1,将矩形ABCD沿DE折叠,使顶点A落在DC上的点A'处.然后将矩形展平,沿EF折叠,使顶点A落在DE上的点G处,再将矩形ABCD沿CE折叠,此时顶点B恰好落在DE上的点H处,如图2所示.(1)求证:EG=CH;(2)已知AF=√2,求AD和AB的长.21.(14分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,过点C的直线MN∥AB,D 为AB边上一点,过点D作DE⊥BC,交直线MN于点E,垂足为F,连接CD,BE.(1)求证:CE=AD;(2)当D为AB的中点时,四边形BECD是什么特殊四边形?请说明你的理由;(3)若D为AB的中点,则当∠A的大小满足什么条件时,四边形BECD 是正方形?请说明你的理由.22.(14分)某数学兴趣小组在数学课外活动中,研究三角形和正方形的性质时,做了如下探究:在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D为直线BC上一动点(点D不与B,C重合),以AD为边在AD右侧作正方形ADEF,连接CF.(1)观察猜想如图1,当点D在线段BC上时,①BC与CF的位置关系为;②BC,CD,CF之间的数量关系为.(将结论直接写在横线上)(2)数学思考如图2,当点D在线段CB的延长线上时,结论①,②是否仍然成立?若成立,请给予证明;若不成立,请你写出正确结论再给予证明.(3)拓展延伸如图3,当点D在线段BC的延长线上时,延长BA交CF于点G,连接GE.BC,请求出GE的长.若已知AB=2√2,CD=14图1 图2 图3参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D A B C C B C D D15.①④16.1311.5 12.5 13.30°14.7217. (1)如图,连接BD,AC与BD相交于点O.∵四边形ABCD是正方形,∴BD⊥AC,OA=OB=OC=OD.∵AE=CF,∴OA-AE=OC-CF,∴OE=OF,∴四边形BEDF是平行四边形.又∵BD⊥EF,∴四边形BEDF是菱形.(2)∵正方形的边长为4,∴AC=BD=4√.∵CF=AE=√2,∴EF=AC -AE-CF=2√2,∴S 菱形BEDF =12BD×EF=12×4√2×2√2=8.18. (1)∵四边形ABCD 是矩形, ∴∠A=∠D=90°,AB=DC.∵M 是AD 的中点,∴AM=DM.在△ABM 和△DCM 中,{AB =DC ,∠A =∠D ,AM =DM ,∴△ABM ≌△DCM.(2)四边形MENF 是菱形.证明如下:由(1)得△ABM ≌△DCM ,∴BM=CM.∵E ,F 分别是线段BM ,CM 的中点,∴ME=BE=12BM ,MF=CF=12CM ,∴ME=MF.∵N 是BC 的中点,∴EN ,FN 是△BCM 的中位线,∴EN=12CM ,FN=12BM ,∴EN=FN=ME=MF ,∴四边形MENF 是菱形.19. (1)先通过证明△ADE ≌△CDE ,得∠ADE=∠CDE ;再通过证明△ABD ≌△CBD ,得AB=BC ;结合AD ∥BC 可得出BC=CD ,即四边形ABCD 的四边相等,为菱形.(2)根据三角形内角和定理和已知条件可推出∠CBE=45°,进而可得出∠ABC 是直角,由此可证明四边形ABCD 是正方形.(1)在△ADE 和△CDE 中,{AD =CD ,DE =DE ,AE =CE ,∴△ADE ≌△CDE ,∴∠ADE=∠CDE.在△ABD 和△CBD 中,{AD =CD ,∠ADB =∠CDB ,BD =BD ,∴△ABD ≌△CBD ,∴AB=CB.又∵AD ∥BC ,∴∠ADB=∠CBD ,∴∠CBD=∠CDB ,∴BC=CD ,∴AB=BC=CD=AD ,∴四边形ABCD 是菱形.(2)∵BE=BC ,∴∠BCE=∠BEC.设∠BCE=∠BEC=3x°,则∠CBE=2x°.根据三角形内角和定理,得2x°+3x°+3x°=180°,解得x=22.5,∴∠CBE=45°.又∵△ABD ≌△CBD ,∴∠ABE=∠CBE=45°,∴∠ABC=90°.由(1)知四边形ABCD 是菱形,∴四边形ABCD 是正方形.20. (1)由折叠及四边形ABCD 是矩形知,四边形AEA'D 是正方形,AE=A'E=EG ,BC=CH ,∴AE=AD.在矩形ABCD 中,AD=BC ,∴EG=CH.(2)易知∠ADE=45°,∠FGE=∠A=90°,∴∠FGD=90°.∵AF=√2,∴FG=DG=√2,DF=2,∴AD=AF+DF=√2+2.由折叠知∠AEF=∠GEF ,∠BEC=∠HEC ,∴∠GEF+∠HEC=90°,∠AEF+∠BEC=90°,∵∠AEF+∠AFE=90°,∴∠BEC=∠AFE.在△AEF 和△BCE 中,{∠AFE =∠BEC ,∠A =∠B ,AE =BC ,∴△AEF ≌△BCE ,∴BE=AF=√2,∴AB=AE+BE=√2+2+√2=2√2+2.21. (1)∵DE ⊥BC ,∴∠DFB=90°,∵∠ACB=90°,∴∠ACB=∠DFB ,∴AC ∥DE ,∵MN ∥AB ,即CE ∥AD ,∴四边形ADEC 是平行四边形,∴CE=AD.(2)四边形BECD 是菱形.理由如下:∵D 为AB 的中点,∴AD=BD ,∵CE=AD ,∴BD=CE ,∵BD ∥CE ,∴四边形BECD 是平行四边形.又∵DE ⊥BC ,∴四边形BECD 是菱形.(3)当∠A=45°时,四边形BECD 是正方形,理由如下:∵∠ACB=90°,∠A=45°,∴∠ABC=∠A=45°,∴AC=BC ,又∵D 为AB 的中点,∴CD ⊥AB ,∴∠CDB=90°,由(2)知四边形BECD 是菱形,∴四边形BECD 是正方形.22. (1)①垂直;②BC=CD+CF(2)①成立,②不成立,正确结论是BC=DC-CF.证明如下:∵四边形ADEF 是正方形,∴AD=AF ,∠DAF=90°.∵∠BAC=90°,∴∠DAB=∠FAC.又∵AD=AF,AB=AC,∴△DAB≌△FAC.∴DB=CF,∠DBA=∠FCA.∵∠BAC=90°,AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=45°.∴∠FCA=∠DBA=135°,∴∠BCF=90°,∴BC⊥CF.∵BC=DC-DB,DB=CF,∴BC=DC-CF.(3)如图,过点A作AM⊥BC于点M,过点E作EN⊥BC于点N,EP⊥CF于点P.易得四边形PCNE为矩形,∵∠BAC=90°,AB=AC=2√2,∴BC=4,AM=BM=CM=2.∵CD=1BC,∴CD=1,∴MD=3.4∵∠ADC+∠EDN=90°,∠EDN+∠DEN=90°,∴∠ADC=∠DEN.又∵∠AMD=∠DNE=90°,AD=DE,∴△AMD≌△DNE,∴DN=AM=2,EN=MD=3.∵CG=BC=4,∴GP=4-3=1.在Rt△GPE中,由勾股定理,得GE=√GP2+PE2=√12+32=√10.。
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专题集训13 特殊四边形探究
一、选择题
1．抛物线y ＝x 2
＋x －2与x 轴交于A ，B 两点，A 点在B 点左侧，与y 轴交于点C ，若点E 在x 轴上，点P 在抛物线上，且以A ，C ，E ，P 为顶点的四边形是平行四边形，则符合条件的点E 有( D )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
2．如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝60°，AB ＝AD ＝BO ＝4，OC ＝8，点P 从B 点出发，沿四边形ABCD 的边BA →AD →DC 以每分钟一个单位长度的速度匀速运动，若运动的时间为t ，△POD 的面积为S ，则S 与t 的函数图象大致为( D )
【解析】当P 在AB 上时，△POD 中，将OD 看作底边．AB ∥OD ，故高不变，S △POD 不变；当P 在AD 上时，P 逐渐靠近D ，将PD 看作底边，S △POD 逐渐减小；同理P 在DC 上时，S △POD 逐渐增大，当t ＝16时，P 与C 重合，S △POD ＝8 3.故选D.
二、填空题
3．如图，矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝4.点E 在边AB 上，点F 在边CD 上，点G ，H 在对角线AC 上．若四边形EGFH 是菱形，则AE 的长为__5__．
【解析】如图，在Rt △ABC 中，AB ＝8，BC ＝4，所以AC ＝4 5.由cos ∠BAC ＝AB AC ＝AO AE ，得8
45＝25AE
，所以AE ＝5. 4．已知平行四边形ABCD 的顶点A 在第三象限，对角线AC 的中点在坐标原点，一边AB 与x 轴平行且AB ＝2，若点A 的坐标为(a ，b )，则点D 的坐标为__(－2－a ，－b )(2－a ，－。