2013年南京高考二模数学试题及答案
南京二模数学
南京、淮安市2013届高三模拟考试（南京二模、淮安三模）数学2013．3参考公式：锥体的体积公式为13V Sh =，其中S 是锥体的底面面积，h 是锥体的高． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．1．已知集合A={2a ,3}，B={2,3}．若A B={1,2,3}，则实数a 的值为____． 2．函数()sin cos f x x x =的最小正周期是__________． 3．若复数12miz i-=+(i 是虚数单位)是纯虚数，则实数m 的值为____． 4．盒子中有大小相同的3只白球、2只黑球，若从中随机地摸出两只球，则两只球颜色相同的概率是______．5．根据2012年初我国发布的《环境空气质量指数AQI 技术规定（试行）》，AQI 共分为六级：(0,50]为优，(50,100]为良，(100,150]为轻度污染，(150,200]为中度污染，(200,300]为重度污染，300以上为严重污染．2012年12月1日出版的《A 市早报》对A 市2012年11月份中30天的AQI 进行了统计，频率分布直方图如图所示，根据频率分布直方图，可以看出A 市该月环境空气质量优、良的总天数为____．6．右图是一个算法流程图，其输出的n 的值是_____．7．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为3cm ，圆心角为23π的扇形，则此圆锥的高为___cm ．8．在平面直角坐标系xOy 中，设过原点的直线l 与圆C ：22(3)(1)4x y -+-=交于M 、N 两点，若MN 23≥，则直线l 的斜率k 的取值范围是______． 9．设数列{n a }是公差不为0的等差数列，Sn为其前n 项和，若22221234a a a a +=+，55S =，则7a 的值为_____．10．若函数()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x >时，1()23x f x -=-，则不等式()1f x >的解集为______________．11．在ABC ∆中，已知AB=2，BC=3，60ABC ∠=︒，BD ⊥AC ，D 为垂足，则BD BC ⋅的值为____．12．关于x 的不等式(21)ln 0ax x -≥对任意(0,)x ∈+∞恒成立，则实数a 的值为_____．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：22143x y -=．设过点M(0,1)的直线l 与双曲线C 交于A 、B 两点，若2AM MB =，则直线l 的斜率为_____．14．已知数列{n a }的通项公式为72n a n =+，数列{n b }的通项公式为2n b n =．若将数列{n a }，{n b }中相同的项按从小到大的顺序排列后看作数列{n c }，则9c 的值为_____． 二、解答题：本大题共6小题，共90分．15．（本小题满分14分）在ABC ∆中，已知角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ，且cos 2cos C a cB b-=， （1）求B ； （2）若tan()74A π+=，求cos C 的值．16，（本小题满分14分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，AD//BC ，PB ⊥平面ABCD ，CD ⊥BD ，PB=AB=AD=1，点E 在线段PA 上，且满足PE=2EA ．（1）求三棱锥E-BAD 的体积； （2）求证：PC//平面BDE ．17．（本小题满分16分）如图，某广场中间有一块扇形绿地OAB ，其中O 为扇形所在圆的圆心，60AOB ∠=︒，广场管理部门欲在绿地上修建观光小路：在AB 上选一点C ，过C 修建与OB 平行的小路CD ，与OA 平行的小路CE ，问C 应选在何处，才能使得修建的道路CD 与CE 的总长最大，并说明理由．18．（本小题满分16分）已知数列{}n a 的各项都为正数，且对任意*n N ∈，都有212n n n a a a k ++=+(k 为常数)．（1）若221()k a a =-，求证：123,,a a a 成等差数列；（2）若k=0，且245,,a a a 成等差数列，求21a a 的值； （3）已知12,a a ab ==(,a b 为常数)，是否存在常数λ，使得21n n n a a a λ+++=对任意*n N ∈都成立？若存在．求出λ；若不存在，说明理由．19．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>过点(,),(3,1)22a aA B ． （1）求椭圆C 的方程；（2）已知点00(,)P x y 在椭圆C 上，F 为椭圆的左焦点，直线l 的方程为00360x x y y +-=．①求证：直线l 与椭圆C 有唯一的公共点；②若点F 关于直线l 的对称点为Q ，求证：当点P 在椭圆C 上运动时，直线PQ 恒过定点，并求出此定点的坐标．20．（本小题满分16分）设函数2()(2)ln f x x a x a x =---．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数有两个零点，求满足条件的最小正整数a 的值；（3）若方程()f x c =有两个不相等的实数根12,x x ，求证：12()02x x f +'>．。
2013年江南十校二模文科数学标准答案
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江南十校 高三学生第二次联考 二模 测试 ! " # $ 年
数学 文科 参考答案及评分标准
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2013年江苏省南通、扬州、泰州、宿迁四市高考数学二模试卷 (2)
2013年江苏省南通、扬州、泰州、宿迁四市高考数学二模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答卷卡的相应位置上．1．（5分）（2013•南通二模）在平面直角坐标系中，已知向量=（2，1），向量=（3，5），则向量的坐标为_________．2．（5分）（2013•南通二模）设集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}，B={x|x2﹣5x≥0}，则A∩（∁R B）=_________．3．（5分）（2013•南通二模）设复数z满足|z|=|z﹣1|=1，则复数z的实部为_________．4．（5分）（2013•南通二模）设f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=x+e x（e为自然对数的底数），则f（ln6）的值为_________．5．（5分）（2013•南通二模）某篮球运动员在7天中进行投篮训练的时间（单位：分钟）用茎叶图表示（如图），图中左列表示训练时间的十位数，右列表示训练时间的个位数，则该运动员这7天的平均训练时间为_________分钟．6．（5分）（2014•盐城一模）根据如图所示的伪代码，最后输出的S的值为_________．7．（5分）（2013•南通二模）在平面直角坐标系xOy中，设椭圆与双曲线y2﹣3x2=3共焦点，且经过点，则该椭圆的离心率为_________．8．（5分）（2013•南通二模）若将一个圆锥的侧面沿一条母线剪开，其展开图是半径为2cm的半圆，则该圆锥的高为_________cm．9．（5分）（2013•南通二模）将函数的图象上每一点向右平移1个单位，再将所得图象上每一点的横坐标扩大为原来的倍（纵坐标保持不变），得函数y=f（x）的图象，则f（x）的一个解析式为_________．10．（5分）（2013•南通二模）函数f（x）=（x﹣1）sinπx﹣1（﹣1＜x＜3）的所有零点之和为_________．11．（5分）（2013•南通二模）设α，β∈（0，π），且，．则cosβ的值为_________．12．（5分）（2013•南通二模）设数列{a n}满足：a3=8，（a n+1﹣a n﹣2）（2a n+1﹣a n）=0（n∈N*），则a1的值大于20的概率为_________．13．（5分）（2013•南通二模）设实数x1，x2，x3，x4，x5均不小于1，且x1•x2•x3•x4•x5=729，则max{x1x2，x2x3，x3x4，x4x5}的最小值是_________．14．（5分）（2013•南通二模）在平面直角坐标系xOy中，设A（﹣1，1），B，C是函数图象上的两点，且△ABC为正三角形，则△ABC的高为_________．二、解答题：本大题共6小题，共90分.请把答案写在答题卡相应的位置上.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）（2013•南通二模）已知△ABC的内角A的大小为120°，面积为．（1）若AB=，求△ABC的另外两条边长；（2）设O为△ABC的外心，当时，求的值．16．（14分）（2013•南通二模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，BC∥平面PAD，∠PBC=90°，∠PBA≠90°．求证：（1）AD∥平面PBC；（2）平面PBC⊥平面PAB．17．（14分）（2013•南通二模）为稳定房价，某地政府决定建造一批保障房供给社会．计划用1600万元购得一块土地，在该土地上建造10幢楼房的住宅小区，每幢楼的楼层数相同，且每层建筑面积均为1000平方米，每平方米的建筑费用与楼层有关，第x层楼房每平方米的建筑费用为（kx+800）元（其中k为常数）．经测算，若每幢楼为5层，则该小区每平方米的平均综合费用为1270元．（每平方米平均综合费用=）．（1）求k的值；（2）问要使该小区楼房每平方米的平均综合费用最低，应将这10幢楼房建成多少层？此时每平方米的平均综合费用为多少元？18．（16分）（2013•南通二模）已知函数f （x）=（m﹣3）x3+9x．（1）若函数f （x）在区间（﹣∞，+∞）上是单调函数，求m的取值范围；（2）若函数f （x）在区间[1，2]上的最大值为4，求m的值．19．（16分）（2013•南通二模）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y2=r2和直线l：x=a（其中r和a均为常数，且0＜r＜a），M为l上一动点，A1，A2为圆C与x轴的两个交点，直线MA1，MA2与圆C的另一个交点分别为P、Q．（1）若r=2，M点的坐标为（4，2），求直线PQ方程；（2）求证：直线PQ过定点，并求定点的坐标．20．（16分）（2013•南通二模）设无穷数列{a n}满足：∀n∈N*，a n＜a n+1，．记．（1）若，求证：a1=2，并求c1的值；（2）若{c n}是公差为1的等差数列，问{a n}是否为等差数列，证明你的结论．选做题：本大题包括A，B，C，D共4小题，请从这4题中选做2小题．每小题10分，共20分．请在答题卡上准确填涂题目标记．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21．（10分）（2013•南通二模）如图，AB是⊙O的直径，C，F是⊙O上的两点，OC⊥AB，过点F作⊙O的切线FD交AB的延长线于点D．连接CF交AB于点E．求证：DE2=DB•DA．22．（10分）（2013•南通二模）选修4﹣2：矩阵与变换设曲线2x2+2xy+y2=1在矩阵（m＞0）对应的变换作用下得到的曲线为x2+y2=1，求矩阵M的逆矩阵M﹣1．23．（2013•南通二模）选修4﹣4：坐标系与参数方程在平面直角坐标xOy中，已知圆，圆．（1）在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别求圆C1，C2的极坐标方程及这两个圆的交点的极坐标；（2）求圆C1与C2的公共弦的参数方程．24．（2014•江苏模拟）选修4﹣5：不等式选讲若正数a，b，c满足a+b+c=1，求的最小值．必做题：本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．（10分）（2013•南通二模）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B⊥平面ABC，AB⊥AC，且AB=AC=A1B=2．（1）求棱AA1与BC所成的角的大小；（2）在棱B1C1上确定一点P，使二面角P﹣AB﹣A1的平面角的余弦值为．26．（10分）（2013•南通二模）设b＞0，函数，记F（x）=f′（x）（f′（x）是函数f（x）的导函数），且当x=1时，F（x）取得极小值2．（1）求函数F（x）的单调增区间；（2）证明|[F（x）]n|﹣|F（x n）|≥2n﹣2（n∈N*）．2013年江苏省南通、扬州、泰州、宿迁四市高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答卷卡的相应位置上．1．（5分）（2013•南通二模）在平面直角坐标系中，已知向量=（2，1），向量=（3，5），则向量的坐标为（1，4）．考点：平面向量的坐标运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：由=，代入坐标即可运算．解答：解：∵=（2，1），=（3，5），∴==（3，5）﹣（2，1）=（1，4）故答案为：（1，4）点评：本题主要考查了向量的坐标运算，属于基础试题2．（5分）（2013•南通二模）设集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}，B={x|x2﹣5x≥0}，则A∩（∁R B）=（0，3]．考点：交、并、补集的混合运算．分析：由题意，可先解一元二次不等式，化简集合A，B，再求出B的补集，再由交的运算规则解出A∩（∁R B）即可得出正确答案．解答：解：由题意B={x|x2﹣5x≥0}={x|x≤0或x≥5}，故∁R B={x|0＜x＜5}，又集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}={x|﹣1≤x≤3}，∴A∩（∁R B）=（0，3]．故答案为（0，3]．点评：本题考查交、并、补的混合运算，属于集合中的基本计算题，熟练掌握运算规则是解解题的关键．3．（5分）（2013•南通二模）设复数z满足|z|=|z﹣1|=1，则复数z的实部为．考点：复数求模．专题：计算题．分析：利用复数的运算法则和模的计算公式即可得出．解答：解：设z=a+bi（a，b∈R）．∵复数z满足|z|=|z﹣1|=1，∴，解得．∴复数z的实部为．故答案为．点评：熟练掌握复数的运算法则和模的计算公式是解题的关键．4．（5分）（2013•南通二模）设f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=x+e x（e为自然对数的底数），则f（ln6）的值为ln6﹣．考点：函数奇偶性的性质；函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：由x＜0时的解析式，先求出f（﹣ln6），再由f （x）是定义在R上的奇函数，f（﹣x）=﹣f（x），得到答案．解答：解：∵当x＜0时，f （x）=x+e x，∴f（﹣ln6）=﹣ln6+e﹣ln6=﹣ln6又∵f （x）是定义在R上的奇函数，∴f（ln6）=﹣f（﹣ln6）=ln6﹣故答案为：ln6﹣点评：本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，函数的值，其中熟练掌握奇函数的定义f（﹣x）=﹣f（x），是解答的关键．5．（5分）（2013•南通二模）某篮球运动员在7天中进行投篮训练的时间（单位：分钟）用茎叶图表示（如图），图中左列表示训练时间的十位数，右列表示训练时间的个位数，则该运动员这7天的平均训练时间为72分钟．考点：茎叶图；众数、中位数、平均数．专题：概率与统计．分析：先由茎叶图写出所有的数据，求出所有数据和，再利用和除以数据的个数，得到该运动员的平均训练时间．解答：解：有茎叶图知，天中进行投篮训练的时间的数据为64，65，67，72，75，80，81；∴该运动员的平均训练时间为：=72．故答案为：72．点评：解决茎叶图问题，关键是能由茎叶图得到各个数据，再利用公式求出所求的值．6．（5分）（2014•盐城一模）根据如图所示的伪代码，最后输出的S的值为145．考点：伪代码．专题：图表型．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出满足条件S=1+4+7+10+13+…+28时，S的值．解答：解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出满足条件S=1+4+7+10+13+…+28值．∵S=1+4+7+10+13+…+28=145，故输出的S值为145．故答案为：145．点评：本题考查的知识点是伪代码，其中根据已知分析出循环的循环变量的初值，终值及步长，是解答的关键．7．（5分）（2013•南通二模）在平面直角坐标系xOy中，设椭圆与双曲线y2﹣3x2=3共焦点，且经过点，则该椭圆的离心率为．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据题意，双曲线y2﹣3x2=3焦点坐标为F1（﹣2，0），F2（2，0）．然后根据椭圆的定义，结合两点的距离公式得2a=|AF1|+|AF2|=4，从而a=2，可得c，可得该椭圆的离心率．解答：解：∵双曲线y2﹣3x2=3，即，∴双曲线的焦距为4，∴c=2，焦点坐标为F1（0，﹣2），F2（0，2），∵椭圆经过点A，∴根据椭圆的定义，得2a=|AF1|+|AF2|=+=4，可得a=2，所以离心率e===．故答案为：．点评：本题给出椭圆的焦点和椭圆上一点的坐标，求椭圆的基本量，着重考查了椭圆的标准方程和简单几何性质，属于基础题．8．（5分）（2013•南通二模）若将一个圆锥的侧面沿一条母线剪开，其展开图是半径为2cm的半圆，则该圆锥的高为cm．考点：点、线、面间的距离计算．专题：空间位置关系与距离．分析：根据半圆的周长等于圆锥底面圆的周长求出底面圆的半径，再根据圆锥的轴截面图形求高即可．解答：解：设圆锥的底面圆半径为r，则2πr=2π⇒r=1cm，∴h==cm．故答案是．点评：本题考查圆锥的侧面展开图及圆锥的轴截面．9．（5分）（2013•南通二模）将函数的图象上每一点向右平移1个单位，再将所得图象上每一点的横坐标扩大为原来的倍（纵坐标保持不变），得函数y=f（x）的图象，则f（x）的一个解析式为．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：由左加右减上加下减的原则，可确定函数平移后的函数解析式，利用伸缩变换推出所求函数解析式．解答：解：图象上的每一点向右平移1个单位，得到函数，再将所得图象上每一点的横坐标扩大为原来的倍（纵坐标保持不变），得到函数的图象，函数y=f（x）的图象，则f（x）的一个解析式为．故答案为：．点评：本题主要考查三角函数的平移与伸缩变换．三角函数的平移原则为左加右减上加下减．10．（5分）（2013•南通二模）函数f（x）=（x﹣1）sinπx﹣1（﹣1＜x＜3）的所有零点之和为4．考点：数列的求和；函数的零点．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：画出图象，可看出交点的个数，并利用对称性即可求出．解答：解：由（x）=（x﹣1）sinπx﹣1=0（﹣1＜x＜3）可得sinπx=令g（x）=sinπx，h（x）=，（﹣a＜x＜3）则g（x），h（x）都是关于（1，0）点对称的函数故交点关于（1，0）对称又根据函数图象可知，函数g（x）与h（x）有4个交点，分别记为A，B，C，D则x A+x B+x C+x D=4故答案为：4点评：熟练掌握数形结合的思想方法和函数的对称性是解题的关键11．（5分）（2013•南通二模）设α，β∈（0，π），且，．则cosβ的值为﹣．考点：二倍角的正切；两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的求值．分析：由tan的值，利用二倍角的正切函数公式求出tanα的值大于1，确定出α的范围，进而sinα与cosα的值，再由sin（α+β）的值范围求出α+β的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cos（α+β）的值，所求式子的角β=α+β﹣α，利用两角和与差的余弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值．解答：解：∵tan=，∴tanα==＞1，∴α∈（，），∴cosα==，sinα==，∵sin（α+β）=＜，∴α+β∈（，π），∴cos（α+β）=﹣，则cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=﹣×+×=﹣．故答案为：﹣点评：此考查了二倍角的正切函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．12．（5分）（2013•南通二模）设数列{a n}满足：a3=8，（a n+1﹣a n﹣2）（2a n+1﹣a n）=0（n∈N*），则a1的值大于20的概率为．考点：古典概型及其概率计算公式；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．专题：计算题．分析：由给出的等式得到数列递推式，说明数列是等差数列或等比数列，求出a3=8时对应的a1的值，则a1的值大于20的概率可求．解答：解：∵（a n+1﹣a n﹣2）（2a n+1﹣a n）=0，∴a n+1﹣a n﹣2=0或2a n+1﹣a n=0，分别取n=1，2．则a3﹣a2=2，a2﹣a1=2或a2=2a3，a1=2a2．当a3=8时，a2=6或a2=16，当a2=6时，a1=4或a1=12，当a2=16时，a1=14或a1=32，∴a1的值大于20的概率为．故答案为．点评：本题考查了等差数列和等比数列的通项公式，考查了古典概型及其概率计算公式，解答此题的关键是不能把数列看做等差数列或等比数列独立的求解，此题虽是基础题但容易出错．13．（5分）（2013•南通二模）设实数x1，x2，x3，x4，x5均不小于1，且x1•x2•x3•x4•x5=729，则max{x1x2，x2x3，x3x4，x4x5}的最小值是9．考点：进行简单的合情推理；函数的值．专题：新定义．分析：先根据基本不等式得x1x2+x3x4≥2，即取定一个x5后，x1x2，x3x4不会都小于，及x2x3+x4x5≥2+≥2，再研究使三个不等式等号都成立的条件，即可得出max{x1x2，x2x3，x3x4，x4x5}的最小值．解答：解：∵x1x2+x3x4≥2，即取定一个x5后，x1x2，x3x4不会都小于，同样x2x3+x4x5≥2，+≥2，使三个不等式等号都成立，则x1x2=x3x4=，x2x3=x4x5=，x1=x5即x1=x3=x5，x2=x4 x1x2=x2x3=x3x4=x4x5所以729=x13×x22=，（x1x2）3=729×x2x2最小为1，所以x1x2最小值为9，此时x1=x3=x5=9 x2=x4=1．故答案为：9．点评：本题主要考查了进行简单的合情推理及基本不等式的应用，属于中档题．14．（5分）（2013•南通二模）在平面直角坐标系xOy中，设A（﹣1，1），B，C是函数图象上的两点，且△ABC为正三角形，则△ABC的高为2．考点：点到直线的距离公式．专题：综合题．分析：设B、C为直线y=kx+b（k＜0，b＞0）与y=的交点，联立方程组⇒kx2+bx﹣1=0．设B（x1，y1），C（x2，y2），利用韦达定理，结合△ABC为正三角形，可求得k及|AD|，从而可得答案．解答：解：设B、C为直线y=kx+b（k＜0，b＞0）与y=的交点，由得kx2+bx﹣1=0．设B（x1，y1），C（x2，y2），则x1+x2=﹣，y1+y2=+==b，设BC的中点为D，则D（﹣，）．因为A（﹣1，1），依题意，k AD•k BC=﹣1，即•k=﹣1，由于k＜0，故1﹣k≠0，∴b=（b＞0）．∵|BC|=|x1﹣x2|=•=•=•∴d A﹣BC=|BC|，即=×|BC|=×2•，即=ו，解得：k=．∵b=＞0，∴k=，k2=，∴d A﹣BC======2．故△ABC的高为2．故答案为：2．点评：本题考查韦达定理与点到直线的距离公式，考查方程思想与等价转化思想的综合运用，属于难题．二、解答题：本大题共6小题，共90分.请把答案写在答题卡相应的位置上.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）（2013•南通二模）已知△ABC的内角A的大小为120°，面积为．（1）若AB=，求△ABC的另外两条边长；（2）设O为△ABC的外心，当时，求的值．考点：余弦定理；平面向量数量积的运算；正弦定理．专题：计算题；解三角形；平面向量及应用．分析：（1）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，由三角形的面积公式及已知AB，可求b，c，然后再利用余弦定理可求（2）由（1）可知BC，利用余弦定理可求b，设BC的中点为D，则，结合O为△ABC的外心，可得，从而可求解答：解：（1）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，于是，所以bc=4．…（3分）因为，所以．由余弦定理得．…（6分）（2）由得b2+c2+4=21，即，解得b=1或4．…（8分）设BC的中点为D，则，因为O为△ABC的外心，所以，于是．…（12分）所以当b=1时，c=4，；当b=4时，c=1，．…（14分）点评：本题主要考查了三角形的面积公式及余弦定理的应用．还考查了向量的基本运算及性质的应用．16．（14分）（2013•南通二模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，BC∥平面PAD，∠PBC=90°，∠PBA≠90°．求证：（1）AD∥平面PBC；（2）平面PBC⊥平面PAB．考点：直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）由BC∥平面PAD，利用线面平行的性质定理即可得到BC∥AD，再利用线面平行的判定定理即可证明AD∥平面PBC；（2）自P作PH⊥AB于H，由平面PAB⊥平面ABCD，可得PH⊥平面ABCD．于是BC⊥PH．又BC⊥PB，可得BC⊥平面PAB，进而得到面面垂直．解答：证明：（1）因为BC∥平面PAD，而BC⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面PAD=AD，所以BC∥AD．因为AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以AD∥平面PBC．（2）自P作PH⊥AB于H，因为平面PAB⊥平面ABCD，且平面PAB∩平面ABCD=AB，所以PH⊥平面ABCD．因为BC⊂平面ABCD，所以BC⊥PH．因为∠PBC=90°，所以BC⊥PB，而∠PBA≠90°，于是点H与B不重合，即PB∩PH=P．因为PB，PH⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB．因为BC⊂平面PBC，故平面PBC⊥平面PAB．点评：本题综合考查了线面、面面垂直的判定与性质定理，线面平行的判定与性质定理，需要较强的推理能力和空间想象能力．17．（14分）（2013•南通二模）为稳定房价，某地政府决定建造一批保障房供给社会．计划用1600万元购得一块土地，在该土地上建造10幢楼房的住宅小区，每幢楼的楼层数相同，且每层建筑面积均为1000平方米，每平方米的建筑费用与楼层有关，第x层楼房每平方米的建筑费用为（kx+800）元（其中k为常数）．经测算，若每幢楼为5层，则该小区每平方米的平均综合费用为1270元．（每平方米平均综合费用=）．（1）求k的值；（2）问要使该小区楼房每平方米的平均综合费用最低，应将这10幢楼房建成多少层？此时每平方米的平均综合费用为多少元？考点：函数模型的选择与应用．分析：（1）求出每幢楼为5层时的所有建筑面积，算出所有建筑费，直接由每平方米平均综合费用=列式求出k的值；（2）设小区每幢为n（n∈N*）层时，每平方米平均综合费用为f （n），同样利用题目给出的每平方米平均综合费用的关系式列出f （n）的表达式，然后利用基本不等式求出f （n）的最小值，并求出层数．解答：解：（1）如果每幢楼为5层，那么所有建筑面积为10×1000×5平方米，所有建筑费用为[（k+800）+（2k+800）+（3k+800）+（4k+800）+（5k+800）]×1000×10，所以，1270=，解之得：k=50．（2）设小区每幢为n（n∈N*）层时，每平方米平均综合费用为f （n），由题设可知f （n）==+25n+825≥2+825=1 225（元）．当且仅当=25n，即n=8时等号成立．答：该小区每幢建8层时，每平方米平均综合费用最低，此时每平方米平均综合费用为1225元．点评：本题考查了函数模型的选择及应用，考查了学生的数学建模能力和计算能力，是中档题．18．（16分）（2013•南通二模）已知函数f （x）=（m﹣3）x3+9x．（1）若函数f （x）在区间（﹣∞，+∞）上是单调函数，求m的取值范围；（2）若函数f （x）在区间[1，2]上的最大值为4，求m的值．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题；综合题；导数的综合应用．分析：（1）函数f （x）在R上是单调函数，说明y=f'（x）在（﹣∞，+∞）上恒大于等于0或恒小于等于0，根据f'（x）=3（m﹣3）x2+9得f'（0）=9＞0，从而得到只有f'（x）≥0在R上恒成立，由此建立关于m的不等式即可解出实数m的取值范围．（2）根据（1）的结论，当m≥3时f （x）在R上为增函数，当m＜3时在区间，上单调递减，在区间单调递增．再根据m的取值结合函数的单调性建立关于m的方程，解得m=﹣2符合题意，得到本题答案．解答：解：（1）求导数，得f'（x）=3（m﹣3）x2+9∵f'（0）=9＞0，∴f （x）在区间（﹣∞，+∞）上只能是单调增函数．…（3分）又∵f'（x）=3（m﹣3）x2+9≥0在区间（﹣∞，+∞）上恒成立，∴，解之可得m≥3，即m的取值范围是[3，+∞）．…（6分）（2）由（1）的结论，得当m≥3时，f （x）在[1，2]上是增函数，所以[f （x）]max=f （2）=8（m﹣3）+18=4，解得m=＜3，不合题意舍去．…（8分）当m＜3时，f'（x）=3（m﹣3）x2+9=0，解之得．所以f （x）的单调区间为：在区间，上单调递减，在区间单调递增．…（10分）①当，即时，得，∴f （x）在区间[1，2]上单调增，可得[f （x）]max=f（2）=8（m﹣3）+18=4，m=，不满足题设要求．②当，即0＜m＜时，可得[f （x）]max=舍去．③当，即m≤0时，则，∴f （x）在区间[1，2]上单调减，可得[f （x）]max=f （1）=m+6=4，m=﹣2，符合题意综上所述，m的值为﹣2．…（16分）点评：本题给出三次多项式函数，讨论了函数的单调性，已知函数在区间[1，2]上的最大值为4的情况下求参数m 的值．着重考查了利用导数研究函数的单调性、三次多项式函数在闭区间上最值的求法等知识，属于中档题．19．（16分）（2013•南通二模）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y2=r2和直线l：x=a（其中r和a均为常数，且0＜r＜a），M为l上一动点，A1，A2为圆C与x轴的两个交点，直线MA1，MA2与圆C的另一个交点分别为P、Q．（1）若r=2，M点的坐标为（4，2），求直线PQ方程；（2）求证：直线PQ过定点，并求定点的坐标．考点：直线与圆的位置关系；恒过定点的直线．专题：计算题；直线与圆．分析：（1）通过r=2，M点的坐标为（4，2），求出A1（﹣2，0），A2（2，0）．然后推出P、Q坐标，即可求直线PQ方程；（2）证明法一：设A1（﹣r，0），A2（r，0）．设M（a，t），求出直线MA1的方程，直线MA1的方程，通过直线与圆的方程联立，求出直线PQ的方程，然后说明经过定点，求定点的坐标．法二：设得A1（﹣r，0），A2（r，0）．设M（a，t），求出直线MA1的方程，与圆C的交点P设为P（x1，y1）．求出直线MA2的方程，与圆C的交点Q设为Q（x2，y2）．点P（x1，y1），Q（x2，y2）在曲线[（a+r）y﹣t（x+r）][（a﹣r）y﹣t（x﹣r）]=0上，有P（x1，y1），Q（x2，y2）在圆C上，求出公共弦方程，说明经过定点，求定点的坐标．解答：解：（1）当r=2，M（4，2），则A1（﹣2，0），A2（2，0）．直线MA1的方程：x﹣3y+2=0，解得．…（2分）直线MA2的方程：x﹣y﹣2=0，解得Q（0，﹣2）．…（4分）由两点式，得直线PQ方程为：2x﹣y﹣2=0．…（6分）（2）证法一：由题设得A1（﹣r，0），A2（r，0）．设M（a，t），直线MA1的方程是：y=（x+r），直线MA1的方程是：y=（x﹣r）．…（8分）解得．…（10分）解得．…（12分）于是直线PQ的斜率k PQ=，直线PQ的方程为．…（14分）上式中令y=0，得x=，是一个与t无关的常数．故直线PQ过定点．…（16分）证法二：由题设得A1（﹣r，0），A2（r，0）．设M（a，t），直线MA1的方程是：y=（x+r），与圆C的交点P设为P（x1，y1）．直线MA2的方程是：y=（x﹣r）；与圆C的交点Q设为Q（x2，y2）．则点P（x1，y1），Q（x2，y2）在曲线[（a+r）y﹣t（x+r）][（a﹣r）y﹣t（x﹣r）]=0上，…（10分）化简得（a2﹣r2）y2﹣2ty（ax﹣r2）+t2（x2﹣r2）=0．①又有P（x1，y1），Q（x2，y2）在圆C上，圆C：x2+y2﹣r2=0．②①﹣t2×②得（a2﹣r2）y2﹣2ty（ax﹣r2）﹣t2（x2﹣r2）﹣t2（x2+y2﹣r2）=0，化简得：（a2﹣r2）y﹣2t（ax﹣r2）﹣t2 y=0．所以直线PQ的方程为（a2﹣r2）y﹣2t（ax﹣r2）﹣t2 y=0．③…（14分）在③中令y=0得x=，故直线PQ过定点．…（16分）点评：不考查直线与圆的位置关系，直线系方程的应用，考查计算能力与转化思想．20．（16分）（2013•南通二模）设无穷数列{a n}满足：∀n∈N*，a n＜a n+1，．记．（1）若，求证：a1=2，并求c1的值；（2）若{c n}是公差为1的等差数列，问{a n}是否为等差数列，证明你的结论．考点：等差数列与等比数列的综合；等差关系的确定．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（1）根据已知条件排除a1=1、a1≥3即可证得a1=2，，通过计算可得a2=3，故=b2，代入数值可求得；（2）由a n+1＞a n⇒n≥2时，a n＞a n﹣1，由此可推得a n≥a m+（n﹣m）（m＜n），从而，即c n+1﹣c n≥a n+1﹣a n，又{c n}是公差为1的等差数列，所以1≥a n+1﹣a n，又a n+1﹣a n≥1，故a n+1﹣a n=1，由此可判断{a n}是否为等差数列；解答：（1）因为，所以若a1=1，则矛盾，若，可得1≥a1≥3矛盾，所以a1=2．于是，从而．（2）{a n}是公差为1的等差数列，证明如下：a n+1＞a n⇒n≥2时，a n＞a n﹣1，所以a n≥a n﹣1+1⇒a n≥a m+（n﹣m），（m＜n），即c n+1﹣c n≥a n+1﹣a n，由题设，1≥a n+1﹣a n，又a n+1﹣a n≥1，所以a n+1﹣a n=1，即{a n}是等差数列．点评：本题考查等差数列的判定及通项公式，考查学生的逻辑推理能力，难度较大．选做题：本大题包括A，B，C，D共4小题，请从这4题中选做2小题．每小题10分，共20分．请在答题卡上准确填涂题目标记．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21．（10分）（2013•南通二模）如图，AB是⊙O的直径，C，F是⊙O上的两点，OC⊥AB，过点F作⊙O的切线FD交AB的延长线于点D．连接CF交AB于点E．求证：DE2=DB•DA．考点：与圆有关的比例线段．专题：证明题．分析：欲证DE2=DB•DA，由于由切割线定理得DF2=DB•DA，故只须证：DF=DE，也就是要证：∠CFD=∠DEF，这个等式利用垂直关系通过互余角的转换即得．解答：证明：连接OF．因为DF切⊙O于F，所以∠OFD=90°．所以∠OFC+∠CFD=90°．因为OC=OF，所以∠OCF=∠OFC．因为CO⊥AB于O，所以∠OCF+∠CEO=90°．（5分）所以∠CFD=∠CEO=∠DEF，所以DF=DE．因为DF是⊙O的切线，所以DF2=DB•DA．所以DE2=DB•DA．（10分）点评：本题考查的与圆有关的比例线段、切线的性质、切割线定理的运用．属于基础题．22．（10分）（2013•南通二模）选修4﹣2：矩阵与变换设曲线2x2+2xy+y2=1在矩阵（m＞0）对应的变换作用下得到的曲线为x2+y2=1，求矩阵M的逆矩阵M﹣1．考点：逆变换与逆矩阵．专题：计算题．分析：确定点在矩阵对应的变换作用下得到点坐标之间的关系，利用变换前后的方程，即可求得矩阵M；再求出对应行列式的值，即可得到M的逆矩阵．解答：解：设曲线2x2+2xy+y2=1上任一点P（x，y）在矩阵M对应的变换下的像是P'（x'，y'），由，得因为P'（x'，y'）在圆x2+y2=1上，所以（mx）2+（nx+y）2=1，化简可得（m2+n2）x2+2nxy+y2=1．…（3分）依题意可得m2+n2=2，2n=2，m=1，n=1或m=﹣1，n=1，而由m＞0可得m=1，n=1．…（6分）故，故矩阵M的逆矩阵M﹣1=．…（10分）点评：本题考查矩阵与变换，考查逆矩阵的求法，确定变换前后坐标之间的关系是解题的关键．23．（2013•南通二模）选修4﹣4：坐标系与参数方程在平面直角坐标xOy中，已知圆，圆．（1）在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别求圆C1，C2的极坐标方程及这两个圆的交点的极坐标；（2）求圆C1与C2的公共弦的参数方程．考点：简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化．专题：直线与圆．分析：（1）利用x=ρcosθ，y=ρsinθ，以及x2+y2=ρ2，直接写出圆C1，C2的极坐标方程，求出圆C1，C2的交点极坐标；（2）求出两个圆的直角坐标，直接写出圆C1与C2的公共弦的参数方程．解答：解：（1）圆C1的极坐标方程为ρ=2，圆C2的极坐标方程为ρ=4cosθ，由得，故圆C1，C2交点坐标为圆．…（5分）（2）由（1）得，圆C1，C2交点直角坐标为，故圆C1与C2的公共弦的参数方程为…（10分）注：第（1）小题中交点的极坐标表示不唯一；第（2）小题的结果中，若未注明参数范围，扣（2分）．点评：本题考查简单曲线的极坐标方程，直线的参数方程的求法，极坐标与直角坐标的互化，考查计算能力．24．（2014•江苏模拟）选修4﹣5：不等式选讲若正数a，b，c满足a+b+c=1，求的最小值．考点：一般形式的柯西不等式．专题：计算题．分析：利用柯西不等式，即可求得的最小值．解答：解：∵正数a，b，c满足a+b+c=1，∴（）[（3a+2）+（3b+2）+（3c+2）]≥（1+1+1）2，即当且仅当a=b=c=时，取等号∴当a=b=c=时，的最小值为1．点评：本题考查求最小值，解题的关键是利用柯西不等式进行求解，属于中档题．必做题：本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．（10分）（2013•南通二模）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B⊥平面ABC，AB⊥AC，且AB=AC=A1B=2．（1）求棱AA1与BC所成的角的大小；（2）在棱B1C1上确定一点P，使二面角P﹣AB﹣A1的平面角的余弦值为．考点：用空间向量求平面间的夹角；异面直线及其所成的角；二面角的平面角及求法．专题：空间角．分析：（1）因为AB⊥AC，A1B⊥平面ABC，所以以A为坐标原点，分别以AC、AB所在直线分别为x轴和y 轴，以过A，且平行于BA1的直线为z轴建立空间直角坐标系，由AB=AC=A1B=2求出所要用到的点的坐标，求出棱AA1与BC上的两个向量，由向量的夹角求棱AA1与BC所成的角的大小；（2）设棱B1C1上的一点P，由向量共线得到P点的坐标，然后求出两个平面PAB与平面ABA1的一个法向量，把二面角P﹣AB﹣A1的平面角的余弦值为转化为它们法向量所成角的余弦值，由此确定出P点的坐标．解答：解：（1）如图，以A为原点，AC、AB所在直线分别为x轴和y轴建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），C（2，0，0），B（0，2，0），A1（0，2，2），B1（0，4，2），，．所以==，所以向量与所成的角为，故AA1与棱BC所成的角是．（2）设P为棱B1C1上的点，由，得P（2λ，4﹣2λ，2）．设平面PAB的法向量为=（x，y，z），，，由，得，取x=1，得z=﹣λ，故=（1，0，﹣λ）．而平面ABA1的一个法向量是=（1，0，0），则=，解得，即P为棱B1C1中点，其坐标为P（1，3，2）．。
2013年江苏省高考数学试卷及解析
2013年江苏省高考数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分、请把答案填写在答题卡相印位置上、1、（5分）函数y=3sin（2x +）的最小正周期为、2、（5分）设z=（2﹣i）2（i为虚数单位），则复数z的模为、3、（5分）双曲线的两条渐近线方程为、4、（5分）集合{﹣1，0，1}共有个子集、5、（5分）如图是一个算法的流程图，则输出的n的值为、6、（5分）抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环），结果如下：运动员第一次第二次第三次第四次第五次甲8791908993乙8990918892则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为、7、（5分）现在某类病毒记作X m Y n，其中正整数m，n（m≤7，n≤9）可以任意选取，则m，n都取到奇数的概率为、8、（5分）如图，在三棱柱A1B1C1﹣ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F﹣ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积为V2，则V1：V2=、9、（5分）抛物线y=x2在x=1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D（包含三角形内部和边界）、若点P（x，y）是区域D内的任意一点，则x+2y的取值范围是、10、（5分）设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD=AB，BE=BC，若=λ1+λ2（λ1，λ2为实数），则λ1+λ2的值为、11、（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数、当x＞0时，f（x）=x2﹣4x，则不等式f（x）＞x 的解集用区间表示为、12、（5分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为（a＞b＞0），右焦点为F，右准线为l，短轴的一个端点为B，设原点到直线BF的距离为d 1，F到l的距离为d2，若d2=，则椭圆C的离心率为、13、（5分）在平面直角坐标系xOy中，设定点A（a，a），P是函数y=（x＞0）图象上一动点，若点P，A之间的最短距离为2，则满足条件的实数a的所有值为、14、（5分）在正项等比数列{a n}中，，a6+a7=3，则满足a1+a2+…+a n＞a1a2…a n 的最大正整数n的值为、二、解答题：本大题共6小题，共计90分、请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤、15、（14分）已知=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），0＜β＜α＜π、（1）若|﹣|=，求证：⊥；（2）设=（0，1），若+=，求α，β的值、16、（14分）如图，在三棱锥S﹣ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS=AB，过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点、求证：（1）平面EFG∥平面ABC；（2）BC⊥SA、17、（14分）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4，设圆C 的半径为1，圆心在l上、（1）若圆心C也在直线y=x﹣3上，过点A作圆C的切线，求切线方程；（2）若圆C上存在点M，使|MA|=2|MO|，求圆心C的横坐标的取值范围、18、（16分）如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径、一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C、现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min、在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C、假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，cosA=，cosC=（1）求索道AB的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？19、（16分）设{a n}是首项为a，公差为d的等差数列（d≠0），S n是其前n项和、记b n=，n∈N*，其中c为实数、（1）若c=0，且b1，b2，b4成等比数列，证明：S nk=n2S k（k，n∈N*）；（2）若{b n}是等差数列，证明：c=0、20、（16分）设函数f（x）=lnx﹣ax，g（x）=e x﹣ax，其中a为实数、（1）若f（x）在（1，+∞）上是单调减函数，且g（x）在（1，+∞）上有最小值，求a的取值范围；（2）若g（x）在（﹣1，+∞）上是单调增函数，试求f（x）的零点个数，并证明你的结论、[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答、若多做，则按作答的前两题评分、解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤、[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）21、（10分）如图，AB和BC分别与圆O相切于点D、C，AC经过圆心O，且BC=2OC、求证：AC=2AD、B、[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）22、（10分）已知矩阵A=，B=，求矩阵A﹣1B、C、[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）23、在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（为参数），曲线C 的参数方程为（t为参数）、试求直线l和曲线C的普通方程，并求出它们的公共点的坐标、D、[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）24、已知a≥b＞0，求证：2a3﹣b3≥2ab2﹣a2b、第25题、第26题，每题10分，共计20分、请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤、25、（10分）如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=4，点D是BC的中点、（1）求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；（2）求平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值、26、（10分）设数列{a n}：1，﹣2，﹣2，3，3，3，﹣4，﹣4，﹣4，﹣4，…，，…，即当＜n≤（k∈N*）时，、记S n=a1+a2+…+a n（n∈N∗）、对于l∈N∗，定义集合P l=﹛n|S n为a n的整数倍，n∈N∗，且1≤n≤l}（1）求P11中元素个数；（2）求集合P2000中元素个数、2013年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分、请把答案填写在答题卡相印位置上、1、（5分）函数y=3sin（2x+）的最小正周期为π、分析：将题中的函数表达式与函数y=Asin（ωx+φ）进行对照，可得ω=2，由此结合三角函数的周期公式加以计算，即可得到函数的最小正周期、解答：解：∵函数表达式为y=3sin（2x+），∴ω=2，可得最小正周期T=||=||=π故答案为：π点评：本题给出三角函数表达式，求函数的最小正周期，着重考查了函数y=Asin （ωx+φ）的周期公式的知识，属于基础题、2、（5分）设z=（2﹣i）2（i为虚数单位），则复数z的模为5、分析：把给出的复数展开化为a+bi（a，b∈R）的形式，然后直接利用模的公式计算、解答：解：z=（2﹣i）2=4﹣4i+i2=3﹣4i、所以，|z|==5、故答案为5、点评：本题考查了复数代数形式的混合运算，考查了复数模的求法，是基础题、3、（5分）双曲线的两条渐近线方程为、分析：先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程、解答：解：∵双曲线的a=4，b=3，焦点在x轴上而双曲线的渐近线方程为y=±x∴双曲线的渐近线方程为故答案为：点评：本题考查了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想4、（5分）集合{﹣1，0，1}共有8个子集、分析：集合P={1，2，3}的子集是指属于集合的部分或所有元素组成的集合，包括空集、解答：解：因为集合{﹣1，0，1}，所以集合{﹣1，0，1}的子集有：{﹣1}，{0}，{1}，{﹣1，0}，{﹣1，1}，{0，1}，{﹣1，0，1}，∅，共8个、故答案为：8、点评：本题考查集合的子集个数问题，对于集合M的子集问题一般来说，若M 中有n个元素，则集合M的子集共有2n个、5、（5分）如图是一个算法的流程图，则输出的n的值为5、分析：由已知的程序框图可知，该程序的功能是利用循环计算a值，并输出满足a＜16的最大n值，模拟程序的运行过程可得答案、解答：解：当n=1，a=1时，满足进行循环的条件，执行循环后，a=5，n=3；满足进行循环的条件，执行循环后，a=17，n=5；满足进行循环的条件，退出循环故输出n值为5故答案为：5、点评：本题考查的知识点是程序框图，由于循环的次数不多，故可采用模拟程序运行的方法进行、6、（5分）抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环），结果如下：运动员第一次第二次第三第四次第五次次甲8791908993乙8990918892则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为2、分析：直接由图表得出两组数据，求出它们的平均数，求出方差，则答案可求、解答：解：由图表得到甲乙两位射击运动员的数据分别为：甲：87，91，90，89，93；乙：89，90，91，88，92；，、方差=4、=2、所以乙运动员的成绩较稳定，方差为2、故答案为2、点评：本题考查了方差与标准差，对于一组数据，在平均数相差不大的情况下，方差越小越稳定，考查最基本的知识点，是基础题、7、（5分）现在某类病毒记作X m Y n，其中正整数m，n（m≤7，n≤9）可以任意选取，则m，n都取到奇数的概率为、分析：求出m取小于等于7的正整数，n取小于等于9的正整数，m取到奇数，n取到奇数的方法种数，直接由古典概型的概率计算公式求解、解答：解：m取小于等于7的正整数，n取小于等于9的正整数，共有7×9=63种取法、m取到奇数的有1，3，5，7共4种情况；n取到奇数的有1，3，5，7，9共5种情况，则m，n都取到奇数的方法种数为4×5=20种、所以m，n都取到奇数的概率为、故答案为、点评：本题考查了古典概型及其概率计算公式，解答的关键是做到对取法种数计算的补充不漏，是基础的计算题、8、（5分）如图，在三棱柱A1B1C1﹣ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F﹣ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积为V2，则V1：V2= 1：24、分析：由三角形的相似比等于面积比的平方得到棱锥和棱柱的底面积的比值，由题意棱柱的高是棱锥的高的2倍，然后直接由体积公式可得比值、解答：解：因为D，E，分别是AB，AC的中点，所以S△ADE ：S△ABC=1：4，又F是AA1的中点，所以A1到底面的距离H为F到底面距离h的2倍、即三棱柱A1B1C1﹣ABC的高是三棱锥F﹣ADE高的2倍、所以V1：V2==1：24、故答案为1：24、点评：本题考查了棱柱和棱锥的体积公式，考查了相似多边形的面积的比等于相似比的平方，是基础的计算题、9、（5分）抛物线y=x2在x=1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D（包含三角形内部和边界）、若点P（x，y）是区域D内的任意一点，则x+2y的取值范围是[﹣2，] 、分析：利用导数求出抛物线在x=1处的切线方程，画出可行域，找出最优解，则x+2y的取值范围可求、解答：解：由y=x2得，y′=2x，所以y′|x=1=2，则抛物线y=x2在x=1处的切线方程为y=2x﹣1、令z=x+2y，则、画出可行域如图，所以当直线过点（0，﹣1）时，z min=﹣2、过点（）时，、故答案为、点评：本题考查了导数的运算，考查了简单的线性规划，解答的关键是把问题转化为线性规划知识解决，是基础题、10、（5分）设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD=AB，BE=BC，若=λ1+λ2（λ1，λ2为实数），则λ1+λ2的值为、分析：由题意和向量的运算可得=，结合=λ1+λ2，可得λ1，λ2的值，求和即可、解答：解：由题意结合向量的运算可得=====，又由题意可知若=λ1+λ2，故可得λ1=，λ2=，所以λ1+λ2=故答案为：点评：本题考查平面向量基本定理及其意义，涉及向量的基本运算，属中档题、11、（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数、当x＞0时，f（x）=x2﹣4x，则不等式f（x）＞x 的解集用区间表示为（﹣5，0）∪（5，﹢∞）、分析：作出x大于0时，f（x）的图象，根据f（x）为定义在R上的奇函数，利用奇函数的图象关于原点对称作出x小于0的图象，所求不等式即为函数y=f（x）图象在y=x上方，利用图形即可求出解集、解答：解：作出f（x）=x2﹣4x（x＞0）的图象，如图所示，∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴利用奇函数图象关于原点对称作出x＜0的图象，不等式f（x）＞x表示函数y=f（x）图象在y=x上方，∵f（x）图象与y=x图象交于P（5，5），Q（﹣5，﹣5），则由图象可得不等式f（x）＞x的解集为（﹣5，0）∪（5，+∞）、故答案为：（﹣5，0）∪（5，+∞）点评：此题考查了一元二次不等式的解法，利用了数形结合的思想，灵活运用数形结合思想是解本题的关键、12、（5分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为（a＞b＞0），右焦点为F，右准线为l，短轴的一个端点为B，设原点到直线BF的距离为d 1，F到l的距离为d2，若d2=，则椭圆C的离心率为、分析：根据“d 2=”结合椭圆的半焦距，短半轴，长半轴构成直角三角形，再由等面积法可得d1=，从而得到a与b的关系，可求得，从而求出离心率、解答：解：如图，准线l：x=，d2=，由面积法得：d1=，若d 2=，则，整理得a2﹣ab﹣=0，两边同除以a2，得+（）﹣=0，解得、∴e==、故答案为：、点评：本题主要考查椭圆的几何性质，即通过半焦距，短半轴，长半轴构成的直角三角形来考查其离心率，还涉及了等面积法、13、（5分）在平面直角坐标系xOy中，设定点A（a，a），P是函数y=（x＞0）图象上一动点，若点P，A之间的最短距离为2，则满足条件的实数a的所有值为﹣1或、分析：设点P，利用两点间的距离公式可得|PA|，利用基本不等式和二次函数的单调性即可得出a的值、解答：解：设点P，则|PA|===，令，∵x＞0，∴t≥2，令g（t）=t2﹣2at+2a2﹣2=（t﹣a）2+a2﹣2，①当a≤2时，t=2时g（t）取得最小值g（2）=2﹣4a+2a2=，解得a=﹣1；②当a＞2时，g（t）在区间[2，a）上单调递减，在（a，+∞）单调递增，∴t=a，g（t）取得最小值g（a）=a2﹣2，∴a2﹣2=，解得a=、综上可知：a=﹣1或、故答案为﹣1或、点评：本题综合考查了两点间的距离公式、基本不等式的性质、二次函数的单调性等基础知识和基本技能，考查了分类讨论的思想方法、推理能力和计算能力、14、（5分）在正项等比数列{a n}中，，a6+a7=3，则满足a1+a2+…+a n＞a1a2…a n 的最大正整数n的值为12、分析：设正项等比数列{a n}首项为a1，公比为q，由题意可得关于这两个量的方程组，解之可得数列的通项公式和a1+a2+…+a n及a1a2…a n的表达式，化简可得关于n的不等式，解之可得n的范围，取上限的整数部分即可得答案、解答：解：设正项等比数列{a n}首项为a1，公比为q，由题意可得，解之可得：a1=，q=2，故其通项公式为a n==2n﹣6、记T n=a1+a2+…+a n==，S n=a1a2…a n=2﹣5×2﹣4…×2n﹣6=2﹣5﹣4+…+n﹣6=、由题意可得T n＞S n，即＞，化简得：2n﹣1＞，即2n﹣＞1，因此只须n＞，即n2﹣13n+10＜0解得＜n＜，由于n为正整数，因此n最大为的整数部分，也就是12、故答案为：12点评：本题考查等比数列的求和公式和一元二次不等式的解法，属中档题、二、解答题：本大题共6小题，共计90分、请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤、15、（14分）已知=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），0＜β＜α＜π、（1）若|﹣|=，求证：⊥；（2）设=（0，1），若+=，求α，β的值、分析：（1）由给出的向量的坐标，求出的坐标，由模等于列式得到cosαcosβ+sinαsinβ=0，由此得到结论；（2）由向量坐标的加法运算求出+，由+=（0，1）列式整理得到，结合给出的角的范围即可求得α，β的值、解答：解：（1）由=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），则=（cosα﹣cosβ，sinα﹣sinβ），由=2﹣2（cosαcosβ+sinαsinβ）=2，得cosαcosβ+sinαsinβ=0、所以、即；（2）由得，①2+②2得：、因为0＜β＜α＜π，所以0＜α﹣β＜π、所以，，代入②得：、因为、所以、所以，、点评：本题考查了平面向量的数量积运算，考查了向量的模，考查了同角三角函数的基本关系式和两角和与差的三角函数，解答的关键是注意角的范围，是基础的运算题、16、（14分）如图，在三棱锥S﹣ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS=AB，过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点、求证：（1）平面EFG∥平面ABC；（2）BC⊥SA、分析：（1）根据等腰三角形的“三线合一”，证出F为SB的中点、从而得到△SAB 和△SAC中，EF∥AB且EG∥AC，利用线面平行的判定定理，证出EF∥平面ABC 且EG∥平面ABC、因为EF、EG是平面EFG内的相交直线，所以平面EFG∥平面ABC；（2）由面面垂直的性质定理证出AF⊥平面SBC，从而得到AF⊥BC、结合AF、AB是平面SAB内的相交直线且AB⊥BC，可得BC⊥平面SAB，从而证出BC⊥SA、解答：解：（1）∵△ASB中，SA=AB且AF⊥SB，∴F为SB的中点、∵E、G分别为SA、SC的中点，∴EF、EG分别是△SAB、△SAC的中位线，可得EF∥AB且EG∥AC、∵EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，∴EF∥平面ABC，同理可得EG∥平面ABC又∵EF、EG是平面EFG内的相交直线，∴平面EFG∥平面ABC；（2）∵平面SAB⊥平面SBC，平面SAB∩平面SBC=SB，AF⊂平面ASB，AF⊥SB、∴AF⊥平面SBC、又∵BC⊂平面SBC，∴AF⊥BC、∵AB⊥BC，AF∩AB=A，∴BC⊥平面SAB、又∵SA⊂平面SAB，∴BC⊥SA、点评：本题在三棱锥中证明面面平行和线线垂直，着重考查了直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理，直线与平面垂直的判定与性质等知识，属于中档题、17、（14分）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4，设圆C 的半径为1，圆心在l上、（1）若圆心C也在直线y=x﹣3上，过点A作圆C的切线，求切线方程；（2）若圆C上存在点M，使|MA|=2|MO|，求圆心C的横坐标的取值范围、分析：（1）先求出圆心坐标，可得圆的方程，再设出切线方程，利用点到直线的距离公式，即可求得切线方程；（2）设出点C，M的坐标，利用|MA|=2|MO|，寻找坐标之间的关系，进一步将问题转化为圆与圆的位置关系，即可得出结论、解答：解：（1）由题设，圆心C在y=x﹣3上，也在直线y=2x﹣4上，2a﹣4=a﹣3，∴a=1，∴C（1，﹣2）、∴⊙C：（x﹣1）2+（y+2）2=1，由题，当斜率存在时，过A点切线方程可设为y=kx+3，即kx﹣y+3=0，则=1，解得：k=﹣，…（4分）又当斜率不存在时，也与圆相切，∴所求切线为x=0或y=﹣x+3，即x=0或12x+5y﹣15=0；（2）设点M（x，y），由|MA|=2|MO|，化简得：x2+（y+1）2=4，∴点M的轨迹为以（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，又∵点M在圆C上，∴圆C与圆D的关系为相交或相切，∴1≤|CD|≤3，其中|CD|=，∴1≤≤3，解得：0≤a≤、点评：此题考查了圆的切线方程，点到直线的距离公式，以及圆与圆的位置关系的判定，涉及的知识有：两直线的交点坐标，直线的点斜式方程，两点间的距离公式，圆的标准方程，是一道综合性较强的试题、18、（16分）如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径、一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C、现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min、在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C、假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，cosA=，cosC=（1）求索道AB的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？分析：（1）根据正弦定理即可确定出AB的长；（2）设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了（100+50t）m，乙距离A处130t m，由余弦定理可得；（3）设乙步行的速度为v m/min，从而求出v的取值范围、解答：解：（1）在△ABC中，因为cosA=，cosC=，所以sinA=，sinC=，从而sinB=sin[π﹣（A+C）]=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC==由正弦定理，得AB===1040m、所以索道AB的长为1040m、（2）假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了（100+50t）m，乙距离A处130t m，所以由余弦定理得d2=（100+50t）2+（130t）2﹣2×130t×（100+50t）×=200（37t2﹣70t+50）=200[37（t﹣）2+]，因0≤t≤，即0≤t≤8，故当t=min时，甲、乙两游客距离最短、（3）由正弦定理，得BC===500m，乙从B出发时，甲已经走了50×（2+8+1）=550m，还需走710m才能到达C、设乙步行的速度为v m/min，由题意得﹣3≤≤3，解得，所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在[]范围内、点评：此题考查了余弦定理，锐角三角函数定义，以及勾股定理，利用了分类讨论及数形结合的思想，属于解直角三角形题型、19、（16分）设{a n}是首项为a，公差为d的等差数列（d≠0），S n是其前n项和、记b n=，n∈N*，其中c为实数、（1）若c=0，且b1，b2，b4成等比数列，证明：S nk=n2S k（k，n∈N*）；（2）若{b n}是等差数列，证明：c=0、分析：（1）写出等差数列的通项公式，前n项和公式，由b1，b2，b4成等比数列得到首项和公差的关系，代入前n项和公式得到S n，在前n项和公式中取n=nk 可证结论；（2）把S n代入中整理得到b n=，由等差数列的通项公式是a n=An+B的形式，说明，由此可得到c=0、解答：证明：（1）若c=0，则a n=a1+（n﹣1）d，，、当b1，b2，b4成等比数列时，则，即：，得：d2=2ad，又d≠0，故d=2a、因此：，，、故：（k，n∈N*）、（2）==、①若{b n}是等差数列，则{b n}的通项公式是b n=A n+B型、观察①式后一项，分子幂低于分母幂，故有：，即，而，故c=0、经检验，当c=0时{b n}是等差数列、点评：本题考查了等差数列和等比数列的性质，考查了等差数列的前n项和，考查了学生的运算能力，解答此题的关键是理解并掌握非常数等差数列的通项公式是关于n的一次函数，此题是中档题、20、（16分）设函数f（x）=lnx﹣ax，g（x）=e x﹣ax，其中a为实数、（1）若f（x）在（1，+∞）上是单调减函数，且g（x）在（1，+∞）上有最小值，求a的取值范围；（2）若g（x）在（﹣1，+∞）上是单调增函数，试求f（x）的零点个数，并证明你的结论、分析：（1）求导数，利用f（x）在（1，+∞）上是单调减函数，转化为﹣a≤0在（1，+∞）上恒成立，利用g（x）在（1，+∞）上有最小值，结合导数知识，即可求得结论；（2）先确定a的范围，再分类讨论，确定f（x）的单调性，从而可得f（x）的零点个数、解答：解：（1）求导数可得f′（x）=﹣a∵f（x）在（1，+∞）上是单调减函数，∴﹣a≤0在（1，+∞）上恒成立，∴a≥，x∈（1，+∞）、∴a≥1、令g′（x）=e x﹣a=0，得x=lna、当x＜lna时，g′（x）＜0；当x＞lna时，g′（x）＞0、又g（x）在（1，+∞）上有最小值，所以lna＞1，即a＞e、故a的取值范围为：a＞e、（2）当a≤0时，g（x）必为单调函数；当a＞0时，令g′（x）=e x﹣a＞0，解得a＜e x，即x＞lna，因为g（x）在（﹣1，+∞）上是单调增函数，类似（1）有lna≤﹣1，即0＜、结合上述两种情况，有、①当a=0时，由f（1）=0以及f′（x）=＞0，得f（x）存在唯一的零点；②当a＜0时，由于f（e a）=a﹣ae a=a（1﹣e a）＜0，f（1）=﹣a＞0，且函数f （x）在[e a，1]上的图象不间断，所以f（x）在（e a，1）上存在零点、另外，当x＞0时，f′（x）=﹣a＞0，故f（x）在（0，+∞）上是单调增函数，所以f（x）只有一个零点、③当0＜a≤时，令f′（x）=﹣a=0，解得x=、当0＜x＜时，f′（x）＞0，当x＞时，f′（x）＜0，所以，x=是f（x）的最大值点，且最大值为f（）=﹣lna﹣1、（i）当﹣lna﹣1=0，即a=时，f（x）有一个零点x=e；（ii）当﹣lna﹣1＞0，即0＜a＜时，f（x）有两个零点；实际上，对于0＜a＜，由于f（）=﹣1﹣＜0，f（）＞0，且函数f（x）在[]上的图象不间断，所以f（x）在（）上存在零点、另外，当0＜x＜时，f′（x）=﹣a＞0，故f（x）在（0，）上时单调增函数，所以f（x）在（0，）上只有一个零点、下面考虑f（x）在（，+∞）上的情况，先证明f（）=a（）＜0、为此，我们要证明：当x＞e时，e x＞x2、设h（x）=e x﹣x2，则h′（x）=e x﹣2x，再设l（x）=h′（x）=e x﹣2x，则l′（x）=e x﹣2、当x＞1时，l′（x）=e x﹣2＞e﹣2＞0，所以l（x）=h′（x）在（1，+∞）上时单调增函数；故当x＞2时，h′（x）=e x﹣2x＞h′（2）=e2﹣4＞0，从而h（x）在（2，+∞）上是单调增函数，进而当x＞e时，h（x）=e x﹣x2＞h（e）=e e﹣e2＞0，即当x＞e 时，e x＞x2当0＜a＜，即＞e时，f（）==a（）＜0，又f（）＞0，且函数f（x）在[，]上的图象不间断，所以f（x）在（，）上存在零点、又当x＞时，f′（x）=﹣a＜0，故f（x）在（，+∞）上是单调减函数，所以f（x）在（，+∞）上只有一个零点、综合（i）（ii）（iii），当a≤0或a=时，f（x）的零点个数为1，当0＜a＜时，f（x）的零点个数为2、点评：此题考查的是可导函数的单调性与其导数的关系，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，难度较大、[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答、若多做，则按作答的前两题评分、解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤、[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）21、（10分）如图，AB和BC分别与圆O相切于点D、C，AC经过圆心O，且BC=2OC、求证：AC=2AD、分析：证明Rt△ADO∽Rt△ACB，可得，结合BC=2OC=2OD，即可证明结论、解答：证明：连接OD、因为AB和BC分别与圆O相切于点D，C，所以ADO=∠ACB=90°又因为∠A=∠A，所以Rt△ADO∽Rt△ACB，所以，因为BC=2OC=2OD、所以AC=2AD、点评：本题考查圆的切线，考查三角形相似的判定与性质，比较基础、B、[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）22、（10分）已知矩阵A=，B=，求矩阵A﹣1B、分析：设矩阵A﹣1=，通过AA﹣1为单位矩阵可得A﹣1，进而可得结论、解答：解：设矩阵A的逆矩阵为，则=，即=，故a=﹣1，b=0，c=0，d=，从而A﹣1=，∴A﹣1B==、点评：本题考查逆矩阵、矩阵的乘法，考查运算求解能力，属于基础题、C、[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）23、在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（为参数），曲线C的参数方程为（t为参数）、试求直线l和曲线C的普通方程，并求出它们的公共点的坐标、分析：运用代入法，可将直线l和曲线C的参数方程化为普通方程，联立直线方程和抛物线方程，解方程可得它们的交点坐标、解答：解：直线l的参数方程为（为参数），由x=t+1可得t=x﹣1，代入y=2t，可得直线l的普通方程：2x﹣y﹣2=0、曲线C的参数方程为（t为参数），化为y2=2x，联立，解得，，于是交点为（2，2），、点评：本题主要考查了参数方程与普通方程的互化、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查了转化能力，属于基础题、D、[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）24、已知a≥b＞0，求证：2a3﹣b3≥2ab2﹣a2b、分析：直接利用作差法，然后分析证明即可、解答：证明：2a3﹣b3﹣2ab2+a2b=2a（a2﹣b2）+b（a2﹣b2）=（a﹣b）（a+b）（2a+b），∵a≥b＞0，∴a﹣b≥0，a+b＞0，2a+b＞0，从而：（a﹣b）（a+b）（2a+b）≥0，∴2a3﹣b3≥2ab2﹣a2b、点评：本题考查不等式的证明，作差法的应用，考查逻辑推理能力、第25题、第26题，每题10分，共计20分、请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤、25、（10分）如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=4，点D是BC的中点、（1）求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；（2）求平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值、分析：（1）以{}为单位正交基底建立空间直角坐标系A﹣xyz，利用向量法能求出异面直线A1B与C1D所成角的余弦值、（2）分别求出平面ABA1的法向量和平面ADC1的法向量，利用向量法能求出平面ADC1与ABA1所成二面角的余弦值，再由三角函数知识能求出平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值、解答：解：（1）以{}为单位正交基底建立空间直角坐标系A﹣xyz，则由题意知A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），A1（0，0，4），D（1，1，0），C1（0，2，4），∴，=（1，﹣1，﹣4），∴cos＜＞===，∴异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为、（2）是平面ABA1的一个法向量，设平面ADC1的法向量为，∵，∴，取z=1，得y=﹣2，x=2，∴平面ADC1的法向量为，设平面ADC1与ABA1所成二面角为θ，∴cosθ=|cos＜＞|=||=，∴sinθ==、∴平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值为、点评：本题考查两条异面直线所成角的余弦值的求法，考查平面与平面所成角的正弦值的求法，解题时要注意向量法的合理运用、26、（10分）设数列{a n}：1，﹣2，﹣2，3，3，3，﹣4，﹣4，﹣4，﹣4，…，，…，即当＜n≤（k∈N*）时，、记S n=a1+a2+…+a n（n∈N∗）、对于l∈N∗，定义集合P l=﹛n|S n为a n的整数倍，n∈N∗，且1≤n≤l}（1）求P11中元素个数；（2）求集合P2000中元素个数、分析：（1）由数列{a n}的定义，可得前11项，进而得到前11项和，再由定义集合P l，即可得到元素个数；=﹣i（2i+1）（i∈N*）、再结合定义，运用等差（2）运用数学归纳法证明S i（2i+1）数列的求和公式，即可得到所求、解答：解：（1）由数列{a n}的定义得a1=1，a2=﹣2，a3=﹣2，a4=3，a5=3，a6=3，a7=﹣4，a8=﹣4，a9=﹣4，a10=﹣4，a11=5，所以S1=1，S2=﹣1，S3=﹣3，S4=0，S5=3，S6=6，S7=2，S8=﹣2，S9=﹣6，S10=﹣10，S11=﹣5，从而S1=a1，S4=0•a4，S5=a5，S6=2a6，S11=﹣a11，所以集合P11中元素的个数为5；（2）先证：S i（2i+1）=﹣i（2i+1）（i∈N*）、事实上，①当i=1时，S i（2i+1）=S3=﹣3，﹣i（2i+1）=﹣3，故原等式成立；②假设i=m时成立，即S m（2m+1）=﹣m（2m+1），则i=m+1时，S（m+1）（2m+3）=S m（2m+1）+（2m+1）2﹣（2m+2）2=﹣m（2m+1）﹣4m﹣3=﹣（2m2+5m+3）=﹣（m+1）（2m+3）、综合①②可得S i（2i+1）=﹣i（2i+1）、于是S（i+1）（2i+1）=S i（2i+1）+（2i+1）2=﹣i（2i+1）+（2i+1）2=（2i+1）（i+1）、由上可知S i（2i+1）是2i+1的倍数，而a i（2i+1）+j=2i+1（j=1，2，…，2i+1），所以S i（2i+1）+j=S i（2i+1）+j（2i+1）是a i（2i+1）+j（j=1，2，…，2i+1）的倍数、又S（i+1）（2i+1）=（i+1）•（2i+1）不是2i+2的倍数，而a（i+1）（2i+1）+j=﹣（2i+2）（j=1，2，…，2i+2），所以S（i+1）（2i+1）+j=S（i+1）（2i+1）﹣j（2i+2）=（2i+1）（i+1）﹣j（2i+2）不是a（i+1）（2i+1）+j（j=1，2，…，2i+2）的倍数，故当l=i（2i+1）时，集合P l中元素的个数为1+3+…+（2i﹣1）=i2，于是，当l=i（2i+1）+j（1≤j≤2i+1）时，集合P l中元素的个数为i2+j又2000=31×（2×31+1）+47，故集合P2 000中元素的个数为312+47=1008点评：本题考查集合、数列的概念和运算、计数原理等基础知识，考查探究能力，以及运用数学归纳法的推理论证能力，有一定的难度。
江苏省南京市2013届高三3月第二次模拟考试数学试卷(南京、淮安)
南京市2013届高三第二次模拟考试 数学2013．3参考公式：锥体的体积公式为13V Sh =，其中S 是锥体的底面面积，h 是锥体的高． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上． 1．已知集合A={2a ,3}，B={2,3}．若AB={1,2,3}，则实数a 的值为____．2．函数()sin cos f x x x =的最小正周期是__________． 3．若复数12miz i-=+(i 是虚数单位)是纯虚数，则实数m 的值为____． 4．盒子中有大小相同的3只白球、2只黑球，若从中随机地摸出两只球，则两只球颜色相同的概率是______． 5．根据2012年初我国发布的《环境空气质量指数AQI 技术规定（试行）》，AQI 共分为六级：(0,50]为优，(50,100]为良，(100,150]为轻度污染，(150,200]为中度污染，(200,300]为重度污染，300以上为严重污染．2012年12月1日出版的《A 市早报》对A 市2012年11月份中30天的AQI 进行了统计，频率分布直方图如图所示，根据频率分布直方图，可以看出A 市该月环境空气质量优、良的总天数为____．6．右图是一个算法流程图，其输出的n 的值是_____．7．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为3cm ，圆心角为23π的扇形，则此圆锥的高为___cm ．8．在平面直角坐标系xOy 中，设过原点的直线l 与圆C ：22(3)(1)4x y -+-=交于M 、N 两点，若MN ≥l 的斜率k 的取值范围是______． 9．设数列{n a }是公差不为0的等差数列，Sn为其前n 项和，若22221234a a a a +=+，55S =，则7a 的值为_____．10．若函数()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x >时，1()23x f x -=-，则不等式()1f x >的解集为______________．11．在ABC ∆中，已知AB=2，BC=3，60ABC ∠=︒，BD ⊥AC ，D 为垂足，则BD BC ⋅的值为____．12．关于x 的不等式(21)ln 0ax x -≥对任意(0,)x ∈+∞恒成立，则实数a 的值为_____．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：22143x y -=．设过点M(0,1)的直线l 与双曲线C 交于A 、B 两点，若2AM MB =，则直线l 的斜率为_____．14．已知数列{n a }的通项公式为72n a n =+，数列{n b }的通项公式为2n b n =．若将数列{n a }，{n b }中相同的项按从小到大的顺序排列后看作数列{n c }，则9c 的值为_____． 二、解答题：本大题共6小题，共90分．15．（本小题满分14分）在ABC ∆中，已知角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ，且cos 2cos C a cB b-=， （1）求B ； （2）若tan()74A π+=，求cos C 的值．16，（本小题满分14分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，AD//BC ，PB ⊥平面ABCD ，CD ⊥BD ，PB=AB=AD=1，点E 在线段PA 上，且满足PE=2EA ．（1）求三棱锥E-BAD 的体积； （2）求证：PC//平面BDE ．17．（本小题满分16分）如图，某广场中间有一块扇形绿地OAB ，其中O 为扇形所在圆的圆心，60AOB ∠=︒，广场管理部门欲在绿地上修建观光小路：在AB 上选一点C ，过C 修建与OB 平行的小路CD ，与OA 平行的小路CE ，问C 应选在何处，才能使得修建的道路CD 与CE 的总长最大，并说明理由．18．（本小题满分16分）已知数列{}n a 的各项都为正数，且对任意*n N ∈，都有212n n n a a a k ++=+(k 为常数)．（1）若221()k a a =-，求证：123,,a a a 成等差数列；（2）若k=0，且245,,a a a 成等差数列，求21a a 的值； （3）已知12,a a ab ==(,a b 为常数)，是否存在常数λ，使得21n n n a a a λ+++=对任意*n N ∈都成立？若存在．求出λ；若不存在，说明理由．19．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>过点(,),22a aA B ．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知点00(,)P x y 在椭圆C 上，F 为椭圆的左焦点，直线l 的方程为00360x x y y +-=．①求证：直线l 与椭圆C 有唯一的公共点；②若点F 关于直线l 的对称点为Q ，求证：当点P 在椭圆C 上运动时，直线PQ 恒过定点，并求出此定点的坐标．20．（本小题满分16分）设函数2()(2)ln f x x a x a x =---．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数有两个零点，求满足条件的最小正整数a 的值； （3）若方程()f x c =有两个不相等的实数根12,x x ，求证：12()02x x f +'>．。
2013江苏高考数学模拟试卷3-参考答案
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数学-江苏省2013届高三二模适应性考试试题(含附加)
江苏省2013届高三二模适应性考试试题一、填空题(本题共14小题,每小题5分,共计70分)1.已知复数2012201320132012iz i+=-的虚部为 .2.已知集合211{|},{|340,}3A xB x x x x Z x =≤=--≤∈,则A B = .3.从甲、乙、丙、丁四人中任选两名代表,甲被选中的概率为 .4.根据图中的伪代码,输出的结果I 为 .5.若12320122013,,,,,x x x x x 的方差为3,则12201220133(2),3(2),,3(2),3(2)x x x x ---- 的方差为 .6.一个底面边长为2cm ,高为3cm 的正三棱锥,其顶点位于球心,底面三个顶点位于球面上,则该球的体积 为 3cm . 7.已知1,0()1,0x f x x ≥⎧=⎨-<⎩,则不等式(2)(2)5x x f x +++≤的解集是 .8.已知两点(3,2)A 和(1,4)B -到直线:30l mx y ++=的距离相等,则实数m 的值为 . 9.已知动圆M 的圆心在抛物线2:2012x y Γ=上,且与直线503y =-相切,则动圆M 过定点 . 10.已知,αβ为锐角,且满足sin sin sin cos cos sin cos cos αβαβαβαβ=++,则cos()αβ+= . 11.在闭区间[1,1]-上任取两个实数,则它们的和不大于1的概率是 . 12.已知,(0,1]x y ∈,的最大值为 .13.任取三个互不相等的正整数,,a b c ,若100a b c ++<,则由这三个数构成的不同的等差数列共有 个. 14.如果对任意一个三角形,只要它的三边长,,a b c 都在函数()f x 的定义域内,就有(),(),()f a f b f c 也是某个三角形的三边长,则称()f x 为“保三角形函数”,若函数()ln ()h x x x M =≥是保三角形函数,则M 的最小值为 .二、解答题(本题共6小题,共计90分)15.在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ,1sin 5ac B AB AC bc +⋅= .(1)求tan 2A的值;(2)若a =求ABC ∆面积的最大值.16.如图,在四棱锥P ABCD -中,PD ⊥平面ABCD ,//AB CD ,AD DC ⊥,,E F 分别为,BC PA 的中点. (1)求证:AD PC ⊥;(2)求证://EF 平面PCD .17.某个公园有个池塘,其形状为直角ABC ∆,90C ∠= ,200AB =米,100BC =米.(1)现在准备养一批供游客观赏的鱼,分别在,,AB BC CA 上取点,,D E F ,如图(1),使得//,EF AB EF ED ⊥, 游客在DEF ∆内喂食,求DEF ∆面积S 的最大值;(2)现在准备新建造一个荷塘,分别在,,AB BC CA 上取点,,D E F ,如图(2),建造DEF ∆连廊(不考虑宽度)供游客休憩,且使DEF ∆为正三角形,求DEF ∆边长的最小值.18.椭圆22122:1(0)x y a b a b Γ+=>>的左右焦点分别为12,F F ,左右顶点分别为,A B ,离心率为23,且 225AF F B ⋅=.(1)求椭圆Γ的方程;(2)点00(,)M x y (002,0x y ≠>)是圆2222:x y a Γ+=上的任意一点,连结AM ,交椭圆1Γ于P ,记直线2,MF PB 的斜率分别为12,k k ,求12k k 的取值范围.19.已知函数32()23(1)6()f x x a x ax a R =-++∈(1)若函数()f x 在(,)-∞+∞上单调递增,求实数a 的取值集合; (2)当[1,3]x ∈时,()f x 的最小值为4,求实数a 的值.20.已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,若11a =,且221(1)(1)()n m n m S S S a a +=++--,其中m ,n 为任意正整数.(1)求23,a a 的值;(2)求数列{}n a 的通项公式;(3)数列{}n b 满足3(1)nnnb a -=,且,,(110,,,*)x y z b b b x y z x y z N ≤<<≤∈能构成等差数列,求x y z ++的取值集合.江苏省2013届高三二模适应性考试试题（理科附加）21. （选做题）本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在．．．．．．．．．．答题卡．．．相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A. 选修4－1：几何证明选讲如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 外一点，且AC AB =，BC 交⊙O 于点D ．已知BC ＝4，AD ＝6，AC 交⊙O 于点E ，求四边形ABDE 的周长．变换1T 是逆时针旋转2π的旋转变换，对应的变换矩阵是1M ；变换2T 对应用的变换矩阵是21101M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦。
江苏省2013届高三最新数学(精选试题26套)分类汇编2：函数 Word版含答案.pdf
江苏省2013届高三最新数学（精选试题26套）分类汇编2：函数 一、填空题 ．（江苏省2013届高三高考模拟卷（二）（数学） ）定义在R上的奇函数f(x),当x∈(-∞,0)时,f(x)=x2+2x-1,则不等式f(x)<-1的解集是______. 【答案】(-2,0)∪(1+,+∞) ．（南京师大附中2013届高三模拟考试5月卷）设函数f(x)的定义域为D,如果(x∈D,(y∈D,使=C(C为常数)成立,则称函数f(x)在D上的“均值”为C. 已知四个函数:①y=x3 (x∈R);②y=()x (x∈R);③y=lnx (x∈(0,+∞));④y=2sinx+1 (x∈R). 上述四个函数中,满足所在定义域上“均值”为1的函数是_____.(填满足要求的所有的函数的序号) 【答案】①③④ ．（江苏省常州市西夏墅中学2013年高考冲刺模拟试卷）某同学为研究函数的性质,构造了如右图所示的两个边长为1的正方形和,点是边上的一个动点,设,则. 请你参考这些信息,推知函数的零点的个数是_______. 【答案】2个 ．（江苏省大港中学2013届高三教学情况调研测试）定义在 上的函数 ;当若;则的大小关系为______________. 【答案】 ．（江苏省2013届高三高考压轴数学试题）(),如果 (),那么的值是______. 【答案】 . ．（江苏省启东中学2013届高三综合训练（1））若方程仅有一个实根,那么的取值范围是____ 【答案】或; ．（江苏省启东中学2013届高三综合训练（2））已知为奇函数,_____ 【答案】 ．（江苏省扬州中学2013届高三最后一次模拟考试数学试题）已知奇函数的图像关于直线对称,当时,,则=________._ 【答案】 ．（江苏省扬州中学2013届高三最后一次模拟考试数学试题）已知函数,若在任意长度为2的闭区间上总存在两点,使得成立,则的最小值为_____________. 【答案】 ．（武进区湟里高中2013高三数学模拟试卷）给出四个函数:①;②;③;④,则下列甲、乙、丙、丁四个函数图象对应上述四个函数分别是_____________(只需填序号). 甲 乙 丙 丁 【答案】解析:④,①,②,③ ．（江苏省启东中学2013届高三综合训练（3））设且若定义在区间内的函数是奇函数,则的取值范围是_______. 【答案】 ．（江苏省常州市金坛市第一中学2013年高考冲刺模拟试卷）设函数,则方程的实数解的个数为_________. 【答案】 3 ．（江苏省启东中学2013届高三综合训练（2））设定义域为R的函数若关于的方程有8个不同的实数根,则实数b的取值范围是_______.【答案】 ．（江苏省扬州市2013届高三下学期5月考前适应性考试数学（理）试题）从轴上一点A分别向函数与函数引不是水平方向的切线和,两切线、分别与轴相交于点B和点C,O为坐标原点,记△OAB的面积为,△OAC的面积为,则+的最小值为______. 【答案】8 提示:,设两切点分别为,,(,),:,即,令,得;令,得.:,即,令,得;令,得.依题意, ,得, +===,=,可得当时,有最小值8.．（江苏省南通市通州区姜灶中学2013届高三5月高考模拟数学试题 ）函数的单调减区间是________. 【答案】 ．（江苏省常州市横山桥中学2013年高考数学冲刺模拟试卷doc）已知定义在实数集R上的偶函数f(x)在区间[0,+∞)上是单调增函数.若f(1)<f(lnx),则x的取值范围是_____. 【答案】(0, )∪(e, +∞) ．（江苏省常州市金坛四中2013年高考数学冲刺模拟试卷doc）设实数,若仅有一个常数c使得对于任意的,都有满足方程,这时,实数的取值的集合为_________ 【答案】 ．（江苏省大港中学2013届高三教学情况调研测试）设函数是定义在上的奇函数,且对任意都有,当 时,,则的值为______________. 【答案】 ．（江苏省常州市第五中学2013年高考数学文科）冲刺模拟试卷）已知函数,若,则的取值范围是____. 【答案】 ．（江苏省常州市武进高级中学2013年高考数学文科）冲刺模拟试卷doc）对任意两个实数,定义若,,则的最小值为____. 【答案】-1 ．（江苏省常州市西夏墅中学2013年高考冲刺模拟试卷）若关于x的方程2-|x|-x2+a=0有两个不相等的实数解,则实数a的取值范围是_______【答案】 ．（江苏省大港中学2013届高三教学情况调研测试）已知函数(其中,为常数),若的图象如右图所示,则函数在区间[-1,1]上的最大值是__________. 【答案】 ．（江苏省大港中学2013届高三教学情况调研测试）设是定义在R上的偶函数,对任意,都有,且当时,,若在区间内关于的方程恰有三个不同的实数根,则的取值范围为______________. 【答案】 ．（江苏省2013届高三高考模拟卷（二）（数学） ）定义在R上的函数f(x)满足f(x)=则f(2013)=________. 【答案】- ．（江苏省启东中学2013届高三综合训练（1））函数对于任意实数满足条件,若,则______. 【答案】.; ．（江苏省常州市第五中学2013年高考数学文科）冲刺模拟试卷）函数的定义域为,若满足①在内是单调函数,②存在,使在上的值域为,那么叫做对称函数,现有是对称函数, 那么的取值范围是_____________. 【答案】 ．（南京师大附中2013届高三模拟考试5月卷）设实数a,x,y,满足则xy的取值范围是_____. 【答案】[-,+] ．（武进区湟里高中2013高三数学模拟试卷）已知,,,若为偶函数,则的零点为________. 【答案】解析:根据函数的图像,有,所以或(舍去),所以的零点为. ．（江苏省大港中学2013届高三教学情况调研测试）设的奇函数,则使的X的取值范围是______________. 【答案】(一1. 0) ．（江苏省常州市第二中学2013年高考数学（文科）冲刺模拟试卷doc）已知函数若函数有3个零点,则实数m的取值范围是_____________. 【答案】 (0,1) ．（江苏省启东中学2013届高三综合训练（1））已知函数f(x)=是R上的增函数,则实数k的取值范围是_______. 【答案】[,1); ．（2013年江苏省高考数学押题试卷 ）函数f(x)=lg(x2ax1)在区间(1,+∞)上单调增函数,则a的取值范围是________. 【答案】填(-∞,0]. g(x)=x2ax1的对称轴x=≤1,且 g(1)=a≥0, 所以a≤0. 二、解答题 ．（江苏省常州市第五中学2013年高考数学文科）冲刺模拟试卷）某公司有价值万元的一条流水线,要提高该流水线的生产能力,就要对其进行技术改造,从而提高产品附加值,改造需要投入,假设附加值万元与技术改造投入万元之间的关系满足:①与和的乘积成正比;②时,; ③,其中t为常数,且. 求:(1)设,求表达式,并求的定义域;(2)求出附加值的最大值,并求出此时的技术改造投入.【答案】解:(1)设,当时,,可得:,∴ ∴定义域为,为常数,且 (2) 当时,即,时,当,即,在上为增函数∴当时, ∴当,投入时,附加值y最大,为万元;当,投入时,附加值y最大,为万元14分 ．（江苏省常州市奔牛高级中学2013年高考数学冲刺模拟试卷）某市环保研究所对市中心每天环境污染情况进行调查研究后,发现一天中环境综合污染指数f(x)与时间x(小时)的关系为,其中a为与气象有关的参数,且,若用每天f(x)的最大值为当天的综合污染指数,并记作M(a).(1)令,求t的取值范围.(2)求函数M(a)的表达式;(3)市政府规定,每天的综合污染指数不得超过2,试问目前市中心的完全污染指数是多少?是否超标?【答案】 ．（江苏省大港中学2013届高三教学情况调研测试）设函数是定义域为的奇函数. (1)求值; (2)若,试判断函数单调性并求使不等式恒成立的的取值范围; (3)若,且,在上的最小值为,求的值. 【答案】解:(1)∵f(x)是定义域为R的奇函数,∴f(0)=0, ∴1-(k-1)=0,∴k=2, (2) 单调递减,单调递增,故f(x)在R上单调递减. 不等式化为恒成立, ,解得 (3)∵f(1)=,,即 ∴g(x)=22x+2-2x-2m(2x-2-x)=(2x-2-x)2-2m(2x-2-x)+2. 令t=f(x)=2x-2-x,由(1)可知f(x)=2x-2-x为增函数,∵x≥1,∴t≥f(1)=, 令h(t)=t2-2mt+2=(t-m)2+2-m2 (t≥) 若m≥,当t=m时,h(t)min=2-m2=-2,∴m=2 若m,舍去综上可知m=2. ．（江苏省徐州市2013届高三考前模拟数学试题）某人年底花万元买了一套住房,其中首付万元,万元采用商业贷款.贷款的月利率为‰,按复利计算,每月等额还贷一次,年还清,并从贷款后的次月开始还贷. ⑴这个人每月应还贷多少元? ⑵为了抑制高房价,国家出台“国五条”,要求卖房时按照差额的20%缴税.如果这个人现在将住房万元卖出,并且差额税由卖房人承担,问:卖房人将获利约多少元? (参考数据:) 【答案】⑴设每月应还贷元,共付款次,则有 , 所以(元) 答:每月应还贷元 ⑵卖房人共付给银行元, 利息(元), 缴纳差额税(元), (元). 答:卖房人将获利约元 ．（江苏省大港中学2013届高三教学情况调研测试）已知函数. (1)若,求不等式的解集;(2)当方程恰有两个实数根时,求的值;(3)若对于一切,不等式恒成立,求的取值范围. 【答案】解:(1)由得当时,恒成立 ∴ 当时,得或又 ∴ 所以不等式的解集为 (2)由得 令由函数图象知两函数图象在y轴右边只有一个交点时满足题意,即由得由图知时方程恰有两个实数根(3) 当时,,,, 所以 当时 ①当时,,即,令 时,,所以 时,,所以, 所以 ②当时,,即 所以, 综上,的取值范围是 ．（江苏省大港中学2013届高三教学情况调研测试）已知函数()在区间上有最大值和最小值.设.(1)求、的值;(2)若不等式在上有解,求实数的取值范围;【答案】解:(1),因为,所以在区间上是增函数,故,解得. (2)由已知可得,所以可化为,化为,令,则,因,故,记,因为,故, 所以的取值范围是. ．（武进区湟里高中2013高三数学模拟试卷）省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后,发现一天中环境综合放射性污染指数与时刻(时)的关系为,其中是与气象有关的参数,且,若用每天的最大值为当天的综合放射性污染指数,并记作. (1)令,,求t的取值范围; (2)省政府规定,每天的综合放射性污染指数不得超过2,试问目前市中心的综合放射性 污染指数是否超标?【答案】解析:(1)当时,t=0; 当时,(当时取等号),∴,即t的取值范围是. (2)当时,记,则,∵在上单调递减,在上单调递增,且.故. ∴当且仅当时,. 故当时不超标,当时超标. y x 0 y x 0 y x 0 y x 0。
2013届江苏省高三数学二轮专题训练解答题(20)
江苏省2013届高三数学二轮专题训练：解答题（20）本大题共6小题，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1. (本题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，已知点,sin ,cos ),0,56(）（ααP A 其中20πα<<．（1）若,65cos =α求证：;PQ PA ⊥ （2)42sin(πα+的值．2. (本题满分14分)设集合{}32|≤≤-=x x A ,函数)34(log)(26+++=k x kx x f (1)当1-=k 时, 求函数)(x f 的值域.(2)若 B 为函数)(x f 的定义域,当A B ⊆时,求实数k 的取值范围.3. (本题满分14分)已知函数2()2cos cos f x x x x =+.（1）求函数()f x 在区间[,]63ππ-上的值域；（2）在△ABC 中，若()2f C =,2sin cos()cos()B A C A C =--+,求tan A 的值.BP4. (本题满分14分)已知函数()23x x f x a b =⋅+⋅，其中常数,a b 满足0a b ⋅≠（1）若0a b ⋅>，判断函数()f x 的单调性；（2）若b a 3-=，求(1)()f x f x +>时的x 的取值范围．5. (本题满分16分)如图△ABC 为正三角形，边长为2，以点A 为圆心，1为半径作圆，PQ 为圆A 的任意一条直径．⑴若12CDDB =，求||AD ； ⑵求CP BQ ⋅的最小值．⑶判断CQ BP ⋅＋CP BQ ⋅的值是否会随点P 的变化而变化，请说明理由．6. (本题满分18分)已知函数||()2x m f x -=和函数()||28g x x x m m =-+-． （1）若2m =，写出函数)(x f 的对称轴方程、并求函数()g x 的单调区间；（2）若对任意1(,4]x ∈-∞，均存在2[4,)x ∈+∞，使得12()()f x g x =成立，求实数m 的取值范围．1. 解：（1）（方法一）由题设知).sin ,cos (),sin ,cos 56(a a PO a a PA --=--=所以2sin ()cos )(cos 56(）a a a POPA -+--=⋅ .1cos 56sin cos cos 5622+-=++-=a a a a ……………………6分因为,65cos =a 所以.0=⋅PO PA 故.PO PA ⊥……………………7分（方法二）因为,65cos =a ,20π<<a 所以611sin =a ，故.611,65(）P 因此).611,65(),611,3011(--=-=PO PA 因为.0)611()65(30112=-+-⨯=⋅PO PA所以.PO PA ⊥（2）因为，PO PA ⊥所以,22PO PA =即.sin cos sin )56cos 2222a a a a +=+-（解得.53cos =a ……………………9分因为,20π<<a 所以.54sin =a因此.2571cos 22cos ,2524cos sin 22sin 2-=-===a a a a a ……………………12分从而.50217)257(222524222cos 222sin 2242sin(=-⨯+⨯=+=+a a a ）π……………14分2. 解:(1) 当1-=k 时, 66)2(3422≤+--=+++x k x kx ……………2分 ∴26log)(6=≤x f ……………4分∴函数)(x f 的值域为]2,(-∞……………5分(2)设g (x)=kx 2+4x+k+3,则B={x|g(x)>0}.①当k=0时,B=(-,+∞)⊈A,不合题意,故舍去. ……………7分②当k>0时,注意到g(x)的图象开口向上,显然B ⊈A,故舍去. ……………9分 ③当k<0时,由A B ⊆知解得-4<k ≤-.综上知k ∈(-4,-]. ……………14分3. 解：（1）f (x )＝1＋cos2x ＋3sin2x ＝2sin(2x ＋π6)＋1． ………………………………3分因为－π6≤x ≤π3，所以－π6≤2x ＋π6≤5π6．……………………………………………5分所以－12≤sin(2x ＋π6)≤1．所以－1≤2sin(2x ＋π6)≤2所以f (x )∈[0，3]．即函数f (x )在[－π6，π3]上的值域为[0，3]．………………………7分（2）由f (C )＝3得，2sin(2C ＋π6)＋1＝2，所以sin(2C ＋π6)＝12．在△ABC 中，因为0＜C ＜π，所以π6＜2C ＋π6＜13π6．所以2C ＋π6＝5π6．所以C ＝π3，所以A ＋B ＝2π3． ………………………………………9分 因为2sin B ＝cos(A －C )－cos(A ＋C )．所以2sin B ＝2sin A sin C ． …………………11分因为B ＝2π3－A ， C ＝π3．所以2sin(2π3－A )＝3sin A ． 即3cos A ＋sin A ＝3sin A ．即(3－1)sin A ＝3cos A ．所以tan A ＝sin A cos A ＝33－1＝3＋32．………………14分4. 解：⑴ 当0,0a b >>时，任意1212,,x x R x x ∈<，则121212()()(22)(33)x x x x f x f x a b -=-+-∵121222,0(22)0x x x x a a <>⇒-<，121233,0(33)0x x x x b b <>⇒-<，∴12()()0f x f x -<，函数()f x 在R 上是增函数……………6分 当0,0a b <<时，同理函数()f x 在R 上是减函数。
1560数学-南京九中2013届高三下学期二模模拟数学试题
南京九中2013届高三第二学期二模模拟数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1、若122,34z a i z i =+=-，且12z z 为纯虚数，则实数a = ． 解析：122(2)(34)(38)(46)34(34)(34)25z a i a i i a a iz i i i +++-++===--+为纯虚数，故得83a =． 2、设集合}02{},012{2<-=<-+=x x B x x x A ，则=⋂B A ．（2,3）3、某市高三数学抽样考试中，对90分及其以上的成绩情况进行统计，其频率 分布直方图如右下图所示，若(130,140] 分数段的人数为90人，则(90,100]分数 段的人数为 ．解析：根据直方图，组距为10，在(130,140]内的0.005=频率组距，所以频率为0.05，因为此区间上的频数为90，所以这次抽考的总人数为1800人．因为(90,100]内的0.045=频率组距，所以频率为0.45，设该区间的 人数为x ，则由0.451800x=，得810x =，即(90,100]分数段的人数 为810．4、已知在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥+a x y x y x 040表示的平面区域面积是9，则常数a 的值为_________．15、已知一颗骰子的两面刻有数字1，两面刻有数字2，另两面刻有数字3， 现将骰子连续抛掷3次，则三次的点数和为3的倍数的概率为______． 136、已知某算法的流程图如右图所示，则输出的最后一个数组 为_________． ()81,8-分数 频率组距90 100 110 120 130 140 0.0050.010 0.015 0.025 0.045NMED CBA7、圆柱形容器的内壁底半径是10cm ，有一个实心铁球浸没于容器的水中，若取出这个铁球，测得容器的水面下降了53cm ，则这个铁球的表面积为 ▲ 2cm .100π. 8、若方程()lg 2lg 1kx x =+仅有一个实根，那么k 的取值范围是 ▲ .0k <或4k =9、若实数x 、y 满足114422x y x y +++=+，则22x y S =+的最大值是 ▲ ．410、若椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，线段12F F 被抛物线22y bx =的焦点分成53：两段，则此椭圆的离心率为 ． 解析：根据题意，可得2223()5()22bb c c a b c ⎧+=-⎪⎨⎪=+⎩，解得255c e a ==． 11.已知变量,a R θ∈，则22(2cos )(522sin )a a θθ-+--的最小值为 ▲ . 912、当210≤≤x 时，21|2|3≤-x ax 恒成立，则实数a 的取值为 ． 1322a -≤≤13．如图，两射线,AM AN 互相垂直，在射线AN 上取一点B 使AB 的长为定值2a ，在射线AN 的左侧以AB 为斜边作一等腰直角三角形ABC ．在射线,AM AN 上各有一个动点,D E 满足ADE ∆与ABC ∆的面积之比为3:2， 则CD ED ⋅的取值范围为________________．)25,a ⎡+∞⎣14．已知定义在R 上的函数()f x 和()g x 满足''()0,()()()()g x f x g x f x g x ≠⋅<⋅，()()x f x a g x =⋅，(1)(1)5(1)(1)2f f g g -+=-．令()()n f n a g n =，则使数列{}n a 的前n 项和n S 超过15/16的最小自然数n 的值为 ．5解题探究：本题主要考查函数与导数以及等比数列的定义、通项公式与前n 项和公式等基础知识，考查运算能力以及灵活地运用所学知识分析问题、解决问题的能力．求解本题，关键在于根据题设条件求出a 的值，从而得到数列{}n a 的通项公式．解析：∵()()x f x a g x =⋅，且()0g x ≠，∴()()xf x ag x =，从而有(1)(1)15(1)(1)2f f ag g a -+=+=-， 又''2()()()()()0()x f x g x f x g x a g x -=<，知()()xf x ag x =为减函数，于是得12a =，1()2n n a =，由于2341234111115()()()222216a a a a +++=+++=，故得使数列{}n a 的前n 项和n S 超过1516的最小自然数5n =． 二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分14分）已知函数231()sin 2cos ,22f x x x x R =--∈．（1）求函数()f x 的最小值和最小正周期；（2）设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且3c =，()0f C =，若sin 2sin B A =，求a ，b 的值． 15. 解：（1）31cos 21()sin 2sin(2)12226x f x x x π+=--=--，…………3分则()f x 的最小值是－2， …………5分最小正周期是22T ππ==； …………7分（2）()sin(2)106f C C π=--=，则sin(2)16C π-=，0C π<<Q 022C π∴<< 112666C πππ∴-<-<，262C ππ∴-=，3C π∴=， …………10分sin 2sin B A =Q ，由正弦定理，得12a b =，① …………11分由余弦定理，得2222cos 3c a b ab π=+-，即223a b ab +-=， ②由①②解得1,2a b ==． …………14分 16．（本小题满分14分）在直三棱柱111C B A ABC -中，AC=4,CB=2,AA 1=2，60=∠ACB ，E 、F 分别是BC C A ,11 的中点．（1）证明：平面⊥AEB 平面C C BB 11； （2）证明：//1F C 平面ABE ；（3）设P 是BE 的中点，求三棱锥F C B P 11-的体积．ACE F P1A 1B 1C16.（1）证明：在中ABC ∆，∵AC =2BC =4,060=∠ACB∴32=AB ，∴222AC BC AB =+，∴BC AB ⊥由已知1BB AB ⊥， ∴C C BB AB 11面⊥又∵C C BB ABE ABE AB 11面，故面⊥⊂ …………5分 （2）证明：取AC 的中点M ，连结FM M C ,1在AB FM ABC //中，∆, 而FM ABE ⊄平面，∴直线FM //平面ABE在矩形11A ACC 中，E 、M 都是中点，∴AE M C //1而1C M ABE ⊄平面，∴直线ABE M C 面//1 又∵M FM M C =⋂1 ∴1//FMC ABE 面面故AEB F C 面//1 …………………………10分（或解：取AB 的中点G ，连结FG ，EG ，证明1//C F EG ，从而得证）（3）取11B C 的中点H ，连结EH ，则//EH AB 且132EH AB ==，由（1）C C BB AB 11面⊥，∴11EH BB C C ⊥面， ∵P 是BE 的中点，∴1111111113223P B C F E B C F B C F V V S EH --∆==⨯⋅=…………………………………14分17、（本小题满分14分）某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，根据经验知道，其次品率P 与日产量x （万件）之间大体满足关系：1,1,62,3x c xP x c ⎧≤≤⎪⎪-=⎨⎪>⎪⎩（其中c 为小于6的正常数）（注：次品率=次品数/生产量，如0.1P =表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品）已知每生产1万件合格的仪器可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元，故厂方希望定出合适的日产量.（1）试将生产这种仪器的元件每天的盈利额T （万元）表示为日产量x （万件）的函数；（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？ 解：（1）当x c >时，23P =，1221033T x x ∴=⋅-⋅=当1x c ≤≤时，16P x =-，21192(1)2()1666x x T x x x x x-∴=-⋅⋅-⋅⋅=---综上，日盈利额T （万元）与日产量x （万件）的函数关系为：292,160,x x x c T xx c ⎧-≤≤⎪=-⎨⎪>⎩------------------------- 6 HGB（2）由（1）知，当x c >时，每天的盈利额为0当1x c ≤≤时，2926x x T x-=-9152[(6)]6x x =--+-15123≤-= 当且仅当3x =时取等号所以()i 当36c ≤<时，max 3T =，此时3x =()ii 当13c ≤<时，由222224542(3)(9)(6)(6)x x x x T x x -+--'==--知 函数2926x x T x -=-在[1,3]上递增，2max 926c c T c-∴=-，此时x c =综上，若36c ≤<，则当日产量为3万件时，可获得最大利润若13c ≤<，则当日产量为c 万件时，可获得最大利润 -------------------------14 18．（本小题满分16分）已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为22，一条准线:2l x =．（1）求椭圆C 的方程；（2）设O 为坐标原点，M 是l 上的点，F 为椭圆C 的右焦点，过点F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆D 交于,P Q 两点． ①若6PQ =，求圆D 的方程；②若M 是l 上的动点，求证点P 在定圆上，并求该定圆的方程．18. 解：（1）由题设：2222c a a c⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，21a c ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩，2221b a c ∴=-=， ∴椭圆C 的方程为：2212x y += ………………………… 4分（2）①由（1）知：(1,0)F ，设(2,)M t ，则圆D 的方程：222(1)()124t t x y -+-=+， ………………………… 6分直线PQ 的方程：220x ty +-=， ………………………… 8分6PQ ∴=，22222222(1)()644t t t+-∴+-=+， ………………………… 10分24t ∴=，2t ∴=±∴圆D 的方程：22(1)(1)2x y -+-=或22(1)(1)2x y -++= …………… 12分②解法（一）：设00(,)P x y ，由①知：2220000(1)()124220t t x y x ty ⎧-+-=+⎪⎨⎪+-=⎩，即：2200000020220x y x ty x ty ⎧+--=⎪⎨+-=⎪⎩， ………………………… 14分消去t 得：2200x y +=2∴点P 在定圆22x y +=2上． ………………………… 16分 解法（二）：设00(,)P x y ，则直线FP 的斜率为001FP yk x =-，∵FP ⊥OM ，∴直线OM 的斜率为001OM x k y -=-， ∴直线OM 的方程为：001x y x y -=-， 点M 的坐标为002(1)(2,)x M y --． …………………………14 分 ∵MP ⊥OP ，∴0OP MP ⋅=,∴000002(1)(2)[]0x x x y y y ∂--++= ∴2200x y +=2,∴点P 在定圆22x y +=2上． …………………………16 分19．（本小题满分16分）已知数列{}n a 是各项均不为0的等差数列，公差为d ，n S 为其前 n 项和，且满足221n n a S -=，n *N ∈．数列{}n b 满足11n n n b a a +=⋅，n T 为数列{}n b 的前n 项和．（1）求数列{}n a 的通项公式n a 和数列{}n b 的前n 项和n T ；（2）若对任意的n *N ∈，不等式8(1)n n T n λ<+⋅-恒成立，求实数λ的取值范围； （3）是否存在正整数,m n (1)m n <<，使得1,,m n T T T 成等比数列？若存在，求出所有,m n 的值；若不存在，请说明理由．19.解：（1）（法一）在221n n a S -=中，令1=n ，2=n ，得⎪⎩⎪⎨⎧==,,322121S a S a 即⎪⎩⎪⎨⎧+=+=,33)(,121121d a d a a a ………………………2分解得11=a ，2=d ，21n a n ∴=-又21n a n =- 时，2n S n =满足221n n a S -=，21n a n ∴=- ………………3分111111()(21)(21)22121n n n b a a n n n n +===--+-+ ， 111111(1)2335212121n n T n n n ∴=-+-++-=-++ ． ………………5分（法二） {}n a 是等差数列， n n a a a =+∴-2121)12(212112-+=∴--n a a S n n n a n )12(-=． …………………………2分由221n n a S -=，得 n n a n a )12(2-=，又0n a ≠ ，21n a n ∴=-，则11,2a d ==． ………………………3分 (n T 求法同法一)（2）①当n 为偶数时，要使不等式8(1)nn T n λ<+⋅-恒成立，即需不等式(8)(21)8217n n n n n λ++<=++恒成立． …………………………………6分828n n+≥ ，等号在2n =时取得．∴此时λ 需满足25λ<． …………………………………………7分 ②当n 为奇数时，要使不等式8(1)n n T n λ<+⋅-恒成立，即需不等式(8)(21)8215n n n n n λ-+<=--恒成立． …………………………………8分82n n - 是随n 的增大而增大， 1n ∴=时82n n-取得最小值6-．∴此时λ 需满足21λ<-． …………………………………………9分 综合①、②可得λ的取值范围是21λ<-． ………………………………………10分（3）11,,32121m n m nT T T m n ===++，若1,,m n T T T 成等比数列，则21()()21321m nm n =++， 即2244163m nm m n =+++． ………………………12分 由2244163m n m m n =+++，可得2232410m m n m-++=>，即22410m m -++>， ∴661122m -<<+． ……………………………………14分 又m ∈N ，且1m >，所以2m =，此时12n =．因此，当且仅当2m =， 12n =时，数列{}n T 中的1,,m n T T T 成等比数列．…16分[另解：因为1136366n n n=<++，故2214416m m m <++，即22410m m --<， ∴661122m -<<+，（以下同上）． ……………………………………14分] 20．(本小题满分16分)已知函数|21|||112(),(),x a x a f x e f x e x R -+-+==∈.( I )若2=a , 求)(x f =)(1x f +)(2x f 在∈x [2，3]上的最小值； ( II)若[,)x a ∈+∞时, 21()()f x f x ≥, 求a 的取值范围； (III)求函数1212()()|()()|()22f x f x f x f x g x +-=-在∈x [1，6]上的最小值.解:(1)因为2=a ,且∈x [2，3],所以33|3||2|131()22x xx x xx x x e e e e f x e e e e e e e e e--+--=+=+=+≥⨯=,当且仅当x =2时取等号,所以()f x 在∈x [2，3]上的最小值为3e(2)由题意知,当[,)x a ∈+∞时,|21|||1x a x a ee -+-+≤,即|21|||1x a x a -+≤-+恒成立所以|21|1x a x a -+≤-+,即2232ax a a ≥-对[,)x a ∈+∞恒成立,则由2220232a a a a≥⎧⎨≥-⎩,得所求a 的取值范围是02a ≤≤(3) 记12()|(21)|,()||1h x x a h x x a =--=-+,则12(),()h x h x 的图象分别是以(2a -1,0)和(a ,1)为顶点开口向上的V 型线,且射线的斜率均为1±.①当1216a ≤-≤,即712a ≤≤时,易知()g x 在∈x [1，6]上的最小值为01(21)1f a e -==②当a <1时,可知2a －1<a ,所以(ⅰ)当12(1)(1)h h ≤,得|1|1a -≤,即01a ≤<时,()g x 在∈x [1，6]上的最小值为221(1)a f e -=(ⅱ)当12(1)(1)h h >,得|1|1a ->,即0a <时,()g x 在∈x [1，6]上的最小值为22(1)a f e -=③当72a >时,因为2a －1>a ,可知216a ->, (ⅰ)当1(6)1h ≤,得|27|1a -≤,即742a <≤时,()g x 在∈x [1，6]上的最小值为271(6)a f e -=(ⅱ)当1(6)1h >且6a ≤时,即46a <≤,()g x 在∈x [1，6]上的最小值为12()f a e e ==(ⅲ)当6a >时,因为12(6)275(6)h a a h =->-=,所以()g x 在∈x [1，6]上的最小值为52(6)a f e -=综上所述, 函数()g x 在∈x [1，6]上的最小值为2222750017112742466a a a a e a e a a e a e a a e----⎧<⎪≤<⎪⎪≤≤⎪⎪⎨⎪<≤⎪⎪<≤⎪⎪>⎩。
2013届苏、锡、常、镇、徐、连六市高三数学第二次模拟考试试卷及答案2013[1].3.20解析
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2012-2013学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(一)数学I 试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答 题纸的指定位置上.1 •已知全集 U ・ 1,2,3,4,5,6 A 」1,3,5?, B 」1,2,3,51，则 g (A“ B)二 ▲2亠ai2•若实数a 满足2i ，其中i 是虚数单位，则▲•1 -i3.已知 m 为实数，直线 h : mx y 3 = 0 , l 2 ：(3m -2)x my 2 = 0 ,则“ m =1”是“ h 〃 l 2 ”的▲ 条件(请在“充要、充分不必要、必要不充分、既不充分也不必要”中选择一个天空)4•根据右图的伪代码，输出的结果T 为 ▲①若丨二，，且「_ 1 ,贝U l _ ：「②若l _ 一：，且〉/ ［，贝U l _「； ③若 l _ ［，且 31 】，则 l // ：•；④若:-n 二 m ，且 l // m ，则 l // ：• • 则所有正确命题的序号是▲•6•正四面体的四个面上分别写有数字 0, 1, 2, 3,把两个这样的四面体抛在桌面上，则露在外面的6个数字恰好是2, 0, 1, 3, 0, 3的概率为 ▲.17•已知 cos(750 •:) ，则 cos(3C ° -2>)的值为 ▲•3片片 0 呻呻呻」— 勺 &已知向量 a , b 的夹角为45 ,且a =1 , 2a —b = 710，贝U b =▲S 2n +12013.3「 1k 3While I :: 20 「TI k I 2End While Print T5.已知l , m 是两条不同的直线, :-,:是两个不同的平面，有下列四个命题:9•设S n, T n分别是等差数列「a」,IbJ的前n项和，已知n, N*T n 4n - 2则a10. a11= ▲4+08 b6+bi510•已知F1, F2是双曲线的两个焦点，以线段F j F2为边作正.■:MRF2，若边MR的中点在此双曲线上，则此双曲线的离心率为▲X11.在平面直角坐标系xOy中，A(1,0)，函数y=e的图像与y轴的交点为B，P为函数y二e x图像上的任意一点，则OpAB的最小值k12•若对于给定的正实数k,函数f(x) 的图像上总存在点C，使得以C为圆心，1为x半径的圆上有两个不同的点到原点O的距离为2,则k的取值范围是▲.13 .已知函数f (x) x x 2 - 3,则f(-5 f (-5㊁)=x+1 x + 2 x + 3 x + 4 2 2▲.14•设函数f (x) =ln x的定义域为M , •：：，且M • 0 ,对于任意a , b , c (M「：), 若a , b , c是直角三角形的三条边长，且f(a), f (b), f (c)也能成为三角形的三条边长，那么M的最小值为▲.、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明, 请把答案写在答题纸的指定区域内.证明过程或演算步骤,15.(本小题满分14分)在ABC中，角A , B , C的对边分别是a ,(1 )若BA.BC =3 , b = -、3，求a c的值；2c,且A , B , C成等差数列.(2)求2sin A「sinC的取值范围.16.(本小题满分14分)如图，在三棱柱ARG - ABC中，已知E ,F , G分别为棱AB , AC , AO的中点,ACB =900, AF _ 平面ABC CH _ BG , H为垂足.求证：(1) AE〃平面GBC ；C1 G(2) BG _ 平面ACH i叶VC H* ”4 一 V Y17. （本小题满分14分）已知实数a , b , c • R，函数f （x）=ax3- bx2ex满足f （1）= 0 ,设f （x）的导函数为f （x），满足f （0） f （1） .0 .c（1）求一的取值范围；a（2）设a为常数，且a . 0，已知函数f （x）的两个极值点为x1，x2，A（x1, f （x1）），2 a aB（X2, f（X2）），求证：直线AB的斜率k ，-.9 618. （本小题满分16分）某部门要设计一种如图所示的灯架，用来安装球心为O，半径为R （米）的球形灯泡.该灯架由灯托、灯杆、灯脚三个部件组成，其中圆弧形灯托EA, EB , EC , ED所在圆的圆心都是O、半径都是R （米）、圆弧的圆心角都是二（弧度）；灯杆EF垂直于地面，杆顶E到地面的距离为h （米）,且h R ;灯脚FA , FB1, FG , FD1是正四棱锥F — ABGU的四条侧棱，正方形AB1C1D1的外接圆半径为R （米），四条灯脚与灯杆所在直线的夹角都为二（弧度）.已知灯杆、灯脚的造价都是每米a（元），灯托造价是每米a（元）,3其中R, h , a都为常数.设该灯架的总造价为y（元）.（1 ）求y关于二的函数关系式；（2 ）当二取何值时，y取得最小值？A B119. （本小题满分16分）2已知椭圆E : — y^1的左、右顶点分别为A , B，圆x2y^4上有一动点P , P 4在x轴的上方，C(1,0)，直线PA交椭圆E于点D，连结DC , PB .(1) 若.ADC =90°，求ADC 的面积S ；(2) 设直线PB，DC的斜率存在且分别为k1，k2，若k1 = k2，求•的取值范围. 20. (本小题满分16分)设数列订鳥的各项均为正数，其前n项的和为S n，对于任意正整数m , n ,Sm n _ 2a2m(1 S2n) -1 恒成立.(1)若a1 =1，求还,a3, a4及数列的通项公式;(2)若a^a2(a1 a21)，求证：数列ia n?成等比数列.2012-2013学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(一)数学II （附加题）21. 【选做题】本题包括 A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题 ，并在相应的 答题区域 内作答，若多做，则按作答的前两题评分•解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A •（选修4 — 1 几何证明选讲）（本小题满分10分）如图，已知CB 是O O 的一条弦，A 是O O 上任意一点，过点A 作O O 的切线交直线CB 于点P , D 为O O 上一点，且 ABD =/ABP . 求证：AB 2 =BP BD .B .（选修4—2：矩阵与变换）（本小题满分10分）C .（选修4 — 4:坐标系与参数方程）（本小题满分10分）I x = 2 _t 、, —已知直线I 的参数方程！ 、一 （t 为参数），圆C 的极坐标方程：“ ■ 2sin v - 0 .j y =1 +J 3t（1） 将直线I 的参数方程化为普通方程，圆 C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）在圆C 上求一点P ，使得点P 到直线I 的距离最小.D.（选修4—5:不等式选讲）（本小题满分10分）已知a , b , c 都是正数，且a 2b 3^ 6，求•. a V . 2b V . 3c 1的最大值.［必做题］第22、23题海小题10分，计20分•请把答案写在答题纸的指定区域内 22. （本小题满分10分）已知矩阵A =『a |tc 0 的一个特征值为 r =-1，其对应的一个特征向量为P（第21-A 题）如图，圆锥的高P0 =4 ,底面半径0B = 2 , D 为PO 的中点，E 为母线PB 的中点,F 为底面圆周上一点，满足 EF _ DE .23. (本小题满分10分)(1) 山水城市镇江有“三山”一一金山、焦山、北固山，一位游客游览这三个景点的 概率都是0.5，且该游客是否游览这三个景点相互独立，用 '表示这位游客游览的景点数和没有游览的景点数差的绝对值，求的分布列和数学期望；(2)某城市有n ( n 为奇数，n _3)个景点，一位游客游览每个景点的概率都是0.5 ,且该游客是否游览这 n 个景点相互独立，用•表示这位游客游览的景点数和没有游览的景点 数差的绝对值，求的分布列和数学期望.答案:(1)求异面直线EF 与BD 所成角的余弦值; (2)求二面角 0 — DF -E 的正弦值.P右：村^一 •舛耳C| - ABC 中■ G.F 分别为4GMC 中点，・4G = FC 且4G 〃FC …・・四边形AFCG 为平行四边形■ ••・AF 〃 CG ・分 •丄平面的c,・•・CG 丄平面MC.[ACu 平面"PC, .•. CG 丄/C. •“•••1° 分• CD 丄"C\CG,C8u 平面GC8, CGf]CB = C ,・・・NC 丄平血ECG ,11分.又・•• BG u 平面BCG ,・•・ AC1BG. ••••••12分 •••CZZ 丄 CG ・且 ACcCH = C, AC,CH u 平面 ACH 、奴 BG 丄平面/1CH ・ •••14 分17•解：⑴・・・/(l) = a + 6 + c = 0,・・・b = -(a + c)・...... 】分••• f \x) = 3ax 2 + 2bx + c /X0) = c , /f (l) = 3a + 2Z> + c. Ac (3a + 2Z> + c) = c(a-c) = ac-c 2 >0 • ••・OH 0,CH 0 ・ .•.£-(£)2 >o, a a /•0< —<1.a(2)令/\x) = 3ax 2 +2/>x + c = 0>2b. _ c•T+X2"寿，"厂矿s a(x ： + “I + x ：) + b(x 2 + X|) + c刊[Q+讦-"J + bE+xJ + cf(x 2) - /(%,) _ (唱‘ + bx ； + cx<) - (ax, - bx ； + crjk=% f =士-旺•；豐篇严是平行四边形，••・・••5分 ■ 面GBC. GMu 面GBC. ：•人E 〃面GBC ・ ..... 7 分3分 ・4分••5分 ••6分・・・7分岛二数学符案第2页（共10贝）网亦厂詡+"-务*"诰煜£-务七]浑（耳+知令2^'则=» 虫（0，1）. 则 k = ¥〔-（】+ O 2 + 3/]=^-（ -r 1 +/-1）, ……14分 D 18・解：（1）延长EF 与地面交于0「由题意：勺FO 严“且F°产孟• …f 、、从而吩-磊，代爲， f \畤"侖+篇）_ O 1 （注：每写对一个部件造价得2分） 、40 4-cosO —“⑵2（亍飞矿）+以40 4-cos0 设/如亍盂厂 4sin 2 9 + 3-12cos£ 令广⑹二3^0 Q-2cos0）（7 + 2cos&） 一 °12分 13分 11分3 sin 2 0•••“亍当处（O 申时,/<0：吨昴时,小••••••''分 设处佩冷），其中tan 恥*1' •••%<「” ••”"分 ,玉（0冷，"气时，曲小*3 2」12分15分16分答：当0峙时，灯架造价取得械小低心学桃笫3呱（共〔°贝）19.解：⑴设 D^y). V ZADC = 9(T , A A D 2 + DC 2 = AC 2 ・即 F + 4y 2 -4 = 0 t 得,+4x ——(x + 2)2 -4 = 0. (勺+2)/ x 02 + y 02 = 4 , ••• x 2 +4x-_ (x+ 2『-4 = 0 •+ 2將理得(10-3x 0)x 2 + (32 -16x 0)x + 24 - 20心=0 ・(注：消去X.可得方程(x 02 + 4x 0 + 4 + 4y 02)y 2 -4(x 0 + 2)y^Q 9 也得 8 分) 此方程有-根为-2,设*,川则护幣芦 代M 线审方程，得心冷4必ky 则(X + 2)2+F+(X ・1)2*2=9・ 即 x 2+y 2• ••点D 在椭圆E 上，・••令+ b ；联立①，②，消去y,得 3x 2 + 4x-4 = 0,2*•* -2 < x < 2 > x = — •3代入椭圆方程.得丁二年一 • (4)分A A ADC 的面积 S = |x3x^ = >/2 .•••••• 6(2)设P(x 0,y 0),直线M(x + 2),代入椭10分则何沽,他诒■直I 丁圧気10-3x 012分 D• • E —Jb- • j k 、X Q ^21 1— 221 4 禺—4儿 4 X Q _24 Xo-2 八13x 0-22 22V -2<x 0<2, x o*—• A 久的取值范西为(Y ),0)U (0,3)• •20.尿（I ）由条件，得1+S+如（7）.①在①中，令/M = l,得1 + S*]=血2（1 + $2』•②则数列｛1 + SJ （心2/wN*）是公比为g 的等比数列.•••l + Sgl + S?)严(心2, nsN*).④心3时，1 + 5^=(1 + 52)/'3.⑤④-⑤，得勺=(l + S2)g"J(g-l) (/i^3 • zieN*). (*) 在①中，令加="=1,得 1 + S 2 = y/2a 2(l + S 2).• • (1+ S 2)2 =2a 2(l + S 2).贝ij 1 + S 2 = 2a 2 ••: a 2-\ + a }：• q = 1 ・•：伽=2 • ...... 6 分 在①中，令心,”2,得l + SjuQ^O + SJ.则(4 + 勺尸=4(4 + 6+©).⑥在①中•令^ = 2^ = 1,御 1 + Sj=72q(l + S2)• 则（4 +勺）2=险・⑦岛三数学猝案第5 U [（共10页）).=j••• 14分16分剣厂2,山陽=(1 + $2)严(—[)(“N・)・做朴2“(2T)才(心十NJ “亠•心2也适合上式，g计庆“ 井@中，令心,”2,得1 + S「酝隔.即抵=加4・••1 + ®=%10分12分在①中•令^ = 1,« = 2,得1 + S严宓(1 + sj.W1 + S厂血2(1 + $3+兔)，•:爲二風X 2為U (♦),得4=(1 + $2)2"(心3,处2). (*) 14分由条件fl4=a2(a1+a2+l),得+a2 +1 = 4.•fl2 = l + fll> .\fll=l,A02=2 •则％=4x2" = 2 小(诊3, “wNJ5 J •••坷“也适合上式…••陽=2门(weN*).16分•谶列他｝是等比数列.朋神枠第汰陳师-1 + 4 = 1,Ja = 2,c = 1» |c = 1.4的特征多项式为/(2) = (A-l)A-2 = A 2-A-2=0.则入》以=2・]■ *2* ■.•.才0 =才(-2 [ +3 ] ) = (-2)x(-l)5 ；21C •解：（1）宜线/的晋通方程为尸-5 + 1 + 2的・……:圆C 的肾通方程为：? + / + 2^ = 0..・・..・.⑵在圆C 上任取-点p （8如+sin 砒（0打0,2＜））,卩到直教的距助:d = ©cos® tsin 0 ■ 2 - 2 巧 | 12 sin （0 + 彳）■ 2 - 2巧 |■ 2高二数学楸第7贾（共io 臾）数学II （附加题）2IA.证明："打8相切丁•点八肋为3的弦，则例〃=厶"'在00中・ ZACB = "DB, ・・"DB = mAB. 乂在ZiDB/l 和5ABP 中・ ZDBA = "BP・：・厶 DBAs'ABP 、岂二型，即 AB 2^BPBD.BP AB・2分•5分 •8分 10分21B.解：由題意的{当入=2,特征方稈二:鳥 属于特征值石=2的一个轩征向掀为冬彳］3分•7分2,0*：心♦如.心心耐“吋“心丫W (】• ▼】■*•】• w (\A7TT\,亠,Ai.匕■寺且仅当故所求式没平(fl! DEF 法向ft 为”；=(岭.......... .......... 9分10分22. M ：(1)以<sin” =斗二・Of23.解：(2)设平面OM PE =2*+1)=ci…(|)° * a-护 “+琛;(护“ x (i-l )->=2x (护・u , A ^=(2Ar +T0X G“ + 1X C ；“+2X C ；“+...+心J}命•散学舀案=2 x{[(2k + l)xC：：：； + 2k x C ；：t,十(2— 1)x C：：；： + …+ (11)x」.......7・••• ^ = 2x(l)w*«{(2A + l)x[C；：+C；f,+- + C；J-(2A + l)x[C；4+Cj A+- + Ci i，D-8 分= 2x(》”“x(2jt + i)x[(c；；+c；： '+・・+U)-(U+G+…+c「)) = 2x(l)M*'x(2Jt4.1)xCi.10分答：§的数学期望砖为為占.乙岛三数学答案第10页（共10页）。
江苏省2013年高考数学模拟专家卷(2)
2013年江苏高考数学模拟试题（二）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上． 1．已知集合M ＝{x ｜y ＝lg x }，N ＝{ x ｜y ＝1－x }，则M ∩N ＝ ▲ ． 2．已知复数z 满足(z －2)i ＝1＋i （i 是虚数单位），则复数z 的实部为 ▲ ． 3．根据如图所示的算法流程图，输出的结果T 为 ▲ ．4．上图是一次考试结果的频率分布直方图，若规定60分以上(含60)为考试合格，则这次考试的合格率为 ▲ ．5．在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4的四个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为5的概率是 ▲ ．6、在边长为3的正方形ABCD 中，E 为DC 的中点，AE 与BD 相交于点F ，则FD →²DE →的值为 ▲ ． 7．若直线y ＝kx －3与曲线y ＝2ln x 相切，则实数k ＝ ▲ ．8．定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎨⎧3x －1，x ≤0，f (x －1)－f (x －2)，x ＞0，则f (2013)＝ ▲ ．9．定义在R 上的奇函数f (x )，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝x 2＋2x －1，则不等式f (x )＜－1的解集是 ▲ ． 10. 已知锐角,A B 满足tan()2tan A B A +=，则tan B 的最大值是 ▲ ．11．已知2()23f x x x =-+，()1g x kx =-，则“|k |≤2”是“f (x )≥g (x )在R 上恒成立”的 ▲ （填“充分但不必要条件”、“必要但不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中的一个．） 12．已知数列{a n }满足3a n ＋1+a n ＝4(n ∈N*)，且a 1＝9，其前n 项之和为S n ，则满足不等式|S n －n －6|<1125的最小整数n 是 ▲ ．13．在平面区域{}(,)||1,||1x y x y ≤≤上恒有22ax by -≤，则动点(,)P a b 所形成平面区域的面积 为 ▲ ．14．如图，已知正方形ABCD 的边长为1，过正方形中心O 的直线MN 分别交正方 形的边AB ，CD 于点M ，N ，则当MNBN取最小值时，CN ＝ ▲ ．（第3题图）(第4题图） N二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请把答案写在答卷纸．．．相应位置上． 15．（本题满分14分）已知a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，且a cos C ＋c cos A ＝2b cos B ． （1）求角B 的大小；（2）求sin A ＋sin C 的取值范围．16．（本题满分14分）如图，在矩形ABCD 中，AD ＝2，AB ＝4，E ，F 分别为边AB ，AD 的中点．现将△ADE 沿DE 折起，得四棱锥A －BCDE ．（1）求证：EF ∥平面ABC ；（2）若平面ADE ⊥平面BCDE ，求四面体FDCE 的体积．17.（本小题满分14分）如图，现有一个以∠AOB 为圆心角、湖岸OA 与OB 为半径的扇形湖面AOB ．现欲在弧AB 上取不同于A 、B 的点C ，用渔网沿着弧AC (弧AC 在扇形AOB 的弧AB 上)、半径OC 和线段CD (其中CD ∥OA )，在该扇形湖面内隔出两个养殖区域——养殖区域Ⅰ和养殖区域Ⅱ．若OA ＝1km ，∠AOB ＝π3．求所需渔网长度(即图中弧AC 、半径OC 和线段CD 长度之和)的取值范围．（第16题图）ABEO A BO B C D 养殖区域Ⅰ养殖区域Ⅱ18．（本题满分16分）已知椭圆C ： x 2a 2＋ y 2b2＝1（a ＞b ＞0）的左焦点为F 1（－3，0），过点F 1作一条直线l 交椭圆于A ，B两点，点A 关于坐标原点O 的对称点为A 1，两直线AB ，A 1B 的斜率之积为－1625．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知D （m ，0）为F 1右侧的一点，连AD ，BD 分别交椭圆左准线于M ，N 两点，若以MN 为直径的圆恰好过点F 1，求m 的值．19．（本题满分16分）已知函数f (x )＝x 3＋x 2－ax (a ∈R )．（1）当a ＝0时，求与直线x －y －10＝0平行，且与曲线y ＝f (x )相切的直线的方程； （2）求函数g (x )＝f (x )x－a ln x (x ＞1)的单调递增区间； （3）如果存在a ∈[3，9]，使函数h (x )＝f (x )＋f '(x )(x ∈[－3，b ])在x ＝－3处取得最大值，试求b 的最大值．20．（本题满分16分）已知数列{}n a 满足1111n n n n a a n a a +++-=-+（n ∈N*），且a 2=6．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设n n ab n c=+（n ∈N*，c 为非零常数），若数列{b n }是等差数列，记c n ＝b n 2n ，S n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ，求S n ．数学附加题21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．请在答．题卡指定区域内．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲如图，AB 是⊙O 的直径，点P 在AB 的延长线上，PC 与⊙O 相切于点C ，PC ＝AC ＝1．求⊙O 的半径．B ．选修4—2：矩阵与变换已知△ABC 三个顶点的坐标分别是A (0, 2)，B (1，1)，C (1，3)．若△ABC 在一个切变变换T 作用下变为△A 1B 1C 1，其中B (1，1) 在变换T 作用下变为点B 1(1，－1)． （1）求切变变换T 所对应的矩阵M ；（2）将△A 1B 1C 1绕原点O 按顺时针方向旋转30 后得到△A 2B 2C 2．求△A 2B 2C 2的面积．C ．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，圆C 是以点C (2，－π6)为圆心、2为半径的圆．（1）求圆C 的极坐标方程；（2）求圆C 被直线l ：θ＝－5π12 所截得的弦长．D ．选修4—5：不等式选讲已知a ，b 都是正实数，且a ＋b ＝2，求证：a 2a ＋1＋b 2b ＋1≥1.A【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答．题．纸．指定区域内．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．23．某校组织一次篮球投篮测试，已知甲同学每次投篮的命中率均为12．（1）若规定每投进1球得2分，求甲同学投篮4次得分X 的概率分布和数学期望；（2）假设某同学连续3次投篮未中或累计7次投篮未中，则停止投篮测试，问：甲同学恰好投篮10次后，被停止投篮测试的概率是多少？23．已知S n ＝1＋12＋13＋…＋1n．（1）求S 2，S 4的值；（2）若T n ＝7n ＋1112，试比较2n S 与T n 的大小，并给出证明．参考答案及评分标准一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．(0，1] 2．3 3．8 4．72% 5．136．－32 7．2e 8．－13 9．(－2，0)∪(1＋3，＋∞) 10．2411．充分但不必要条件 12．7 13．4 14．5－12二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）解：（1）方法一：由a cos C ＋c cos A ＝2b cos B 及余弦定理，得a ³a 2＋b 2－c 22ab ＋c ³b 2＋c 2－a 22bc ＝2b ³a 2＋c 2－b 22ac． ……………… 2分化简，得a 2＋c 2－b 2＝ac ．所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12． ………………………………………………………… 5分因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3． ………………………………………………………… 7分方法二：由a cos C ＋c cos A ＝2b cos B 及正弦定理，得sin A cos C ＋sin C cos A ＝2sin B cos B ． ……………………………………… 2分即sin(A ＋C )＝2sin B cos B ，因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋C )＝sin B ≠0，所以cos B ＝12． ………………………………………………………… 5分因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3． ………………………………………………………… 7分（2）sin A ＋sin C ＝sin A ＋sin(2π3－A )＝32sin A ＋32cos A＝3sin(A ＋π6)． ……………………………………………… 11分因为0＜A ＜2π3，所以π6＜A ＋π6＜5π6，所以12＜sin(A ＋π6)≤1，所以sin A ＋sin C 的范围是(32，3]． ……………………………………………… 14分 16．（本题满分14分）证明：（1）取线段AC 的中点M ，连结MF 、MB ． 因为F 为AD 的中点，所以MF ∥CD ，且MF ＝12CD ．…………………… 2分在折叠前，四边形ABCD 为矩形，E 为AB 的中点，所以BE ∥CD ，且BE ＝12CD ．所以MF ∥BE ，且MF ＝BE ． …………………… 4分 所以四边形BEFM 为平行四边形，故EF ∥BM ． 又EF ⊄平面ABC ，BM ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC ． ……………………………………………… 6分 （2）在折叠前，四边形ABCD 为矩形，AD ＝2，AB ＝4，E 为AB 的中点， 所以△ADE 、△CBE 都是等腰直角三角形，且AD ＝AE ＝EB ＝BC ＝2．所以∠DEA ＝∠CEB ＝45°，且DE ＝EC ＝22． 又∠DEA ＋∠DEC ＋∠CEB ＝180°， 所以∠DEC ＝90°．又平面ADE ⊥平面BCDE ，平面ADE ∩平面BCDE ＝DE ，CE ⊂平面BCDE ，所以CE ⊥平面ADE ，即CE 为三棱锥C －EFD 的高．………………………… 10分 因为F 为AD 的中点，所以S △EFD ＝12³12³AD ²AE ＝14³2³2＝1．所以四面体FDCE 的体积V ＝13³S △EFD ²CE ＝13³1³22＝223． …………… 14分17.（本小题满分14分）解：设∠AOC ＝θ，设渔网的长度为f (θ)．由CD ∥OA ，∠AOB ＝π3，∠AOC ＝θ，得∠OCD ＝θ，∠ODC ＝2π3，∠COD ＝π3－θ．在ΔOCD 中，由正弦定理，得CD ＝23sin(π3－θ)，θ∈(0，π3) ……………………6分所以，f (θ)＝θ＋1＋23sin(π3－θ)．……………………………… 8分∵ f ′ (θ)＝1－23cos(π3－θ)，因为θ∈(0，π3)，所以π3－θ∈(0，π3)，令f ′ (θ)＝0，得cos(π－θ)＝3，所以π－θ＝π，所以θ＝π6．答：所需渔网长度的取值范围是(2，π＋6＋236]．………………………………………14分18．（本题满分16分）解：（1）设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A 1(－x 1，－y 1)．所以，AB k ＝y 2－y 1x 2－x 1，1A B k ＝y 2＋y 1x 2＋x 1，于是AB k ²1A B k ＝y 22－y 12x 22－x 12，由⎩⎨⎧x 12a 2＋ y 12b 2＝1，x 22a 2＋ y 22b 2＝1，得x 22－x 12a 2＋ y 12－y 12b 2＝0，所以AB k ²1A B k ＝－b 2a 2． …………………………5分所以，b 2a 2＝1625，所以b a ＝45．设b ＝4k ，a ＝5k ，其中k ＞0．由c ＝3，得25k 2－16k 2＝9，所以k ＝1所以，椭圆C ：x 225＋ y 216＝1． ………………………………………………………………………7分（2）①若l 存在斜率k 时，设l ：y ＝k (x ＋3)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋3)，x 225＋ y 216＝1消去y ，得(16＋25k 2)x 2＋150k 2x ＋225 k 2－400＝0． 所以222212121212222150225400256,(3)(3)162516251625k k k x x x x y y k x x k k k -+=-=⇒=++=-+++．………10分设342525(,),(,)33M y N y --，由M 、A 、D 共线，得131(325)3()m y y m x +=-，同理242(325)3()m y y m x +=-． …………………………………………………………………………12分又131411111616(,),(,),033F M y F N y F M F N F M F N 由已知得=-=-⊥⇒∙=，得212343412325)256,99()()m y y y y y y m x m x （而，即+=-=--222561625k k -+²212325)9()()m m x m x （+--＝－2569，整理得 22(1)(16400)0k m +-=，所以m ＝±5，因为m ＞－3，所以m ＝5．……………………16分19．（本题满分16分） 解：（1）设切点为T (x 0，x 03＋x 02)，由f '(x )＝3x 2＋2x 及题意得3 x 02＋2 x 0＝1． …………………… 2分解得x 0＝－1，或x 0＝13．所以T (－1，0)或T (13，427)．所以切线方程为x －y ＋1＝0或27x －27y －5＝0． …………………… 4分（2）因为g (x )＝x 2＋x －a －a ln x (x ＞1)，所以由g '(x )＝2x ＋1－a x＞0，得2x 2＋x －a ＞0． ……………………………… 6分令φ(x )＝2x 2＋x －a (x ＞1)，因为φ(x )在(1，＋∞)递增，所以φ(x )＞φ(1)＝3－a ． 当3－a ≥0即a ≤3时，g (x )的增区间为(1，＋∞)； ……………………… 8分 当3－a ＜0即a ＞3时，因为φ(1)＝3－a ＜0，所以φ(x )的一个零点小于1、另一个零点大于1．由φ(x )＝0得零点x 1＝－1－1＋8a 4＜1，x 2＝－1＋1＋8a4＞1，从而φ(x )＞0(x ＞1)的解集为(－1＋1＋8a 4，＋∞)，即g (x )的增区间为(－1＋1＋8a4，＋∞)． …………………………………… 10分（3）方法一：h (x )＝x 3＋4x 2＋(2－a )x －a ，h′(x )＝3x 2＋8x ＋(2－a )．因为存在a ∈[3，9]，令h′(x )＝0，得x 1＝－4－3a ＋103，x 2＝－4＋3a ＋103．当x ＜x 1或x ＞x 2时，h′(x )＞0；当x 1＜x ＜x 2时，h′(x )＜0．必有⎩⎨⎧x 1≤－3，x 2＞－3，解得a ≥5，即a ∈[5，9]． ………………………………………… 13分所以存在a ∈[5，9] 使h (x )(x ∈[－3，b ])在x ＝－3处取得最大值的充要条件为h (－3)≥h (b )，即存在a ∈[5，9] 使(b ＋3)a －(b 3＋4b 2＋2b －3)≥0成立．因为b ＋3＞0，所以9(b ＋3)－(b 3＋4b 2＋2b －3)≥0，即(b ＋3)( b 2＋b －10)≤0.解得－1－412≤b ≤－1＋412，所以b 的最大值为－1＋412． …………………… 16分方法二：h (x )＝x 3＋4x 2＋(2－a )x －a ，据题意知，h (x )≤h (－3)在区间[－3，b ]上恒成立．即(x 3＋27)＋4(x 2－9)＋(2－a )(x ＋3)≤0，(x ＋3)(x 2＋x －1－a )≤0 ①． 若x ＝－3时，不等式①成立；若－3＜x ≤b 时，不等式①可化为x 2＋x －1－a ≤0，即x 2＋x ≤1＋a ②．……… 13分令ψ(x )＝x 2＋x ．当－3＜b ≤2时，ψ(x )在区间[－3，b ]上的最大值为ψ(－3)＝6， 不等式②恒成立等价于6≤1＋a ，a ≥5，符合题意；当b ≥2时，ψ(x )的最大值为ψ(b )＝b 2＋b ，不等式②恒成立等价于b 2＋b ≤1＋a ． 由题意知这个关于a 的不等式在区间[3，9]上有解．故b 2＋b ≤(1＋a )max ，即b 2＋b ≤10，b 2＋b －10≤0，解得2＜b ≤－1＋412．综上所述，b 的最大值为－1＋412，此时唯有a ＝9符合题意．…………………… 16分20．（本题满分16分）解：（1）由1111n n n n a a n a a +++-=-+，得(n －1)a n ＋1－(n ＋1)a n ＝－(n ＋1)，当n ≥2时，有a n ＋1 n ＋1－a n n －1＝－1 n －1， ………………………………………………………… 3分 所以，a n ＋1 n (n ＋1)－a n (n －1)n ＝－1 n (n －1)＝－(1 n －1－1n)， ……………………………… 6分由叠加法，得 当n ≥3时，a n ＝n (2n －1)． ……………………………… 8分把n ＝1，a 2＝6代入1111n n n n a a n a a +++-=-+，得a 1＝1，经验证：a 1＝1，a 2＝6均满足a n ＝n (2n －1)． 综上，a n ＝n (2n －1)，n ∈N*． ………………………………………………………… 10分（2）由（1）可知：b n ＝n (2n －1)n ＋c ，于是b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c， 由数列{b n }是等差数列，得b 1＋b 3＝2 b 2，即11＋c ＋153＋c ＝122＋c ，解得c ＝－12（c ＝0舍去）．此时，b n ＝2n ，所以，数列{b n }是等差数列．所以c ＝－12满足题意．……………………… 13分所以，c n ＝n2n －1．所以S n ＝1＋221＋322＋……＋n 2n －1，由错位相减法，得S n ＝4－n ＋22n －1．……………………… 16分21．A ．选修4—1：几何证明选讲又因为PC 与⊙O 相切于点C ，所以OC ⊥PC ． 所以3θ ＝ 90︒．所以θ ＝ 30︒． 又设圆的半径为r ，在Rt△POC 中，r ＝ CP ²t A n30︒ ＝ 1³33 ＝ 33． ………………… 10分B ．选修4—2：矩阵与变换解：（1）由题意知M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 0－2 1． ………………………………………………… 4分（2）因为△ABC 在变换T 作用下变为△A 1B 1C 1，三个顶点的坐标分别是(0, 2)，(1，－1)和(1，1)，其面积为1．而旋转变换不改变图形的形状，所以其面积不变，依然为1．所以，△A 2B 2C 2的面积为1． ………………………………………………… 10分 C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：（1）圆C 是将圆ρ＝4cos θ绕极点按顺时针方向旋转π6而得到的圆，所以圆C 的极坐标方程是ρ＝4cos(θ＋π6) ． ………………………………5分（2）将θ＝－5π12代入圆C 的极坐标方程ρ＝4cos(θ＋π6)，得ρ＝22，所以，圆C 被直线l ：θ＝－5π12 所截得的弦长为22． ………………………………10分D ．选修4—5：不等式选讲证明：方法一：左边－右边＝a 2a ＋1＋b 2b ＋1－1＝a 2(b ＋1)＋b 2(a ＋1)－(a ＋1)(b ＋1)(a ＋1)(b ＋1)＝a 2b ＋ab 2＋a 2＋b 2－ab －a －b －1(a ＋1)(b ＋1)． …………………………… 4分因边a ＋b ＝2，所以左边－右边＝1－ab(a ＋1)(b ＋1)． …………………………… 6分因为a ，b 都是正实数，所以ab ≤(a ＋b )24＝1． ………………………… 8分所以，左边－右边≥0，即a 2a ＋1＋b 2b ＋1≥1. …………………………… 10分方法二：由柯西不等式，得 (a 2a ＋1＋b 2b ＋1)[(a ＋1)2＋(b ＋1)2]≥(a ＋b )2． ……………………………… 6分 因为a ＋b ＝2，所以上式即为(a 2a ＋1＋b 2b ＋1)³4≥4．即a 2a ＋1＋b 2b ＋1≥1. ……………………………………………………… 10分22．解：（1）X 的概率分布列为11 ……………………………………………… 2分 E (X )＝0³116＋2³14＋4³38＋6³14＋8³116＝4．（或E (X )＝8³12＝4．） …………… 4分（2）①连续3次投篮未中，不同投法为：1＋C 16＋C 26＋(C 36－4)＋(C 13＋C 13)＝44（种）； ②累计7次投篮未中，不同投法为：C 13＋1＝4（种）．所以，该同学恰好投篮10次停止投篮测试的概率为P ＝481024＝364．…………………… 10分23．解：（1）S 2＝1＋12＝32，S 4＝1＋12＋13＋14＝2512． ……………………………… 2分（2）当n ＝1，2时，T 1＝7＋1112＝32，T 2＝7³2＋1112＝2512，所以，2n S ＝T n ．当n ＝3时，T 3＝7³3＋1112＝83，S 8＝1＋12＋13＋14＋15＋16＋17＋18＝761280＞83＝T 3．于是，猜想，当n ≥3时，2n S ＞T n ． ……………………………… 4分下面用数学归纳法证明：①当n ≥3，显然成立；②假设n ＝k (k ≥3)时，2k S ＞T k ；那么，当n ＝k ＋1时，12k S ＝2k S ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1＞7k ＋1112＋（12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k －1）＋（12k ＋2k －1＋1＋12k ＋2k －1＋2＋…＋12k ＋1） ＞7k ＋1112＋12k ＋2k －1³2k －1＋12k ＋1³2k －1＝7k ＋1112＋13＋14＝7(k +1)＋1112，这就是说，当n ＝k ＋1时，2n S ＞T n ．根据①、②可知，对任意不小于3的正整数n ，都有2n S ＞T n ．综上，当n ＝1，2时，2n S ＞T n ；当n ≥3时，2n S ＞T n ． ……………………………… 10分。
【解析版】江苏省南京市建邺区2013年高考数学模拟试卷
江苏省南京市建邺区2013年高考数学模拟试卷一、选择题：本大题共14小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.1．（5分）（2013•建邺区模拟）已知映射f：A→B，其中A=B=R，对应法则：f：x→y=x2﹣2x+2若对实数k∈B，在集合A中不存在原象，则k的取值范围是（）A．k≤1 B．k＜1 C．k≥1 D．k＞1考点：映射．专题：计算题．分析：设x2﹣2x+2=k，据题意知此方程应无实根，用判别式表示方程无实根，即判别式小于0，解出k的值．解答：解：设x2﹣2x+2=k，据题意知此方程应无实根∴△=（﹣2）2﹣4•（2﹣k）＜0，1﹣2+k＜0∴k＜1，故选B点评：本题考查映射的意义，本题解题的关键是利用一元二次方程的解的判别式表示出符合题意的不等式．2．（5分）（2013•建邺区模拟）（1﹣x）5•（1+x）3的展开式中x3的系数为（）A．﹣6 B．6C．﹣9 D．9考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析：先把（1﹣x）5•（1+x）3等价转化为（1﹣x）2•[（1﹣x）（1+x）]3，进一步等价转化为（x2﹣2x+1）•（1﹣3x2+3x4﹣x6），由此可求出展开式中x3的系数．解答：解：（1﹣x）5•（1+x）3=（1﹣x）2•[（1﹣x）（1+x）]3=（x2﹣2x+1）•（1﹣3x2+3x4﹣x6）∴展开式中x3的系数为（﹣2）•（﹣3）=6．故选B．点评：本题考查二项式系数的性质，解题时要认真审题，根据多项式的运算法则合理地进行等价转化．3．（5分）（2013•建邺区模拟）等差数列{a n}中，若a4+a6+a8+a10+a12=120，则a9﹣的值是（）A．14 B．15 C．16 D．17考点：等差数列的性质．分析：先由等差数列的性质a4+a6+a8+a10+a12=120得a8，再用性质求解．解答：解：依题意，由a4+a6+a8+a10+a12=120，得a8=24，所以a9﹣=（3a9﹣a11）=（a9+a7+a11﹣a11）=（a9+a7）==16故选C点评：本题主要考查等差数列的性质．4．（5分）（2013•建邺区模拟）已知，则sin2x的值为（）A．B．C．D．考点：二倍角的正弦．专题：计算题．分析：解法1：利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简已知的等式，然后将化简后的等式两边平方，利用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简，即可求出sin2x的值；解法2：令，求出x，原式变形为sinα的值为，把x的值代入所求式子中，利用诱导公式化简后，再利用二倍角的余弦函数公式化简，将sinα的值代入即可求出值．解答：解：法1：由已知得，两边平方得，求得；法2：令，则，所以．故选D点评：此题考查了二倍角的正弦、余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式及诱导公式，熟练掌握公式是解本题的关键．5．（5分）（2013•建邺区模拟）设地球半径为R，若甲地位于北纬45°东经120°，乙地位于南纬度75°东经120°，则甲、乙两地球面距离为（）A．R B．R C．RD．R考点：球面距离及相关计算．专题：计算题．分析：甲、乙两地都在东经120°，就是都在同一个大圆上，求出纬度差，即可求出球面距离．解答：解：由于甲、乙两地都在东经120°，就是都在同一个大圆上，它们的纬度差是：120°，就是大圆周的则甲、乙两地球面距离为：故选D．点评：本题考查球面距离，好在两点在同一个经度上，简化了计算，是基础题．6．（5分）（2013•建邺区模拟）若a、b、c是常数，则“a＞0且b2﹣4ac＜0”是“对任意x∈R，有ax2+bx+c＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式的解法．专题：压轴题．分析：要判断“a＞0且b2﹣4ac＜0”是“对任意x∈R，有ax2+bx+c＞0”什么条件，我们要先假设“a＞0且b2﹣4ac＜0”成立，然后判断“对任意x∈R，有ax2+bx+c＞0”是否成立，然后再假设“对任意x∈R，有ax2+bx+c＞0”成立，再判断“a＞0且b2﹣4ac＜0”是否成立，然后根据结论，结合充要充要条件的定义，即可得到结论．解答：解：若a＞0且b2﹣4ac＜0，则对任意x∈R，有ax2+bx+c＞0，反之，则不一定成立．如a=0，b=0且c＞0时，也有对任意x∈R，有ax2+bx+c＞0．故“a＞0且b2﹣4ac＜0”是“对任意x∈R，有ax2+bx+c＞0”的充分不必要条件故选A点评：判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．7．（5分）（2013•建邺区模拟）双曲线x2﹣y2=2012的左、右顶点分别为A1、A2，P为其右支上一点，且∠A1PA2=4∠PA1A2，则∠PA1A2等于（）A．无法确定B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设P（x，y），y＞0，过点P作x轴的垂线PH，垂足为H，则可得，利用∠A1PA2=4∠PA1A2，即可求∠PA1A2的值．解答：解：设P（x，y），y＞0，过点P作x轴的垂线PH，垂足为H，则，（其中a2=2012）∴∴，。
【解析版】江苏省南京市建邺区2013年高考数学模拟试卷
江苏省南京市建邺区2013年高考数学模拟试卷一、选择题：本大题共14小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.1．（5分）（2013•建邺区模拟）已知映射f：A→B，其中A=B=R，对应法则：f：x→y=x25333．（5分）（2013•建邺区模拟）等差数列{a n}中，若a4+a6+a8+a10+a12=120，则a9﹣的﹣（（（=164．（5分）（2013•建邺区模拟）已知，则sin2x的值为（）B：令的值为，把两边平方得，求得：令，则．5．（5分）（2013•建邺区模拟）设地球半径为R，若甲地位于北纬45°东经120°，乙地位于R BR R R，就是大圆周的则甲、乙两地球面距离为：6．（5分）（2013•建邺区模拟）若a、b、c是常数，则“a＞0且b2﹣4ac＜0”是“对任意x∈R，27．（5分）（2013•建邺区模拟）双曲线x2﹣y2=2012的左、右顶点分别为A1、A2，P为其，（∴∴，∴，∴8．（5分）（2013•建邺区模拟）已知直线ax+by﹣1=0（a，b不全为0）与圆x2+y2=50有公9．（5分）（2013•建邺区模拟）从8名女生，4名男生选出6名学生组成课外小组，如果按B××10．（2013•建邺区模拟）为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如下图，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a，视力在4.6到5.0之间的学生数为b，则a，b的值分别为（）d=87（﹣11．（2013•建邺区模拟）+=（）解：∵+=12．（5分）（2013•建邺区模拟）如图，函数y=f（x）的图象是中心在原点、焦点在x轴上的椭圆的两段弧，则不等式f（x）＜f（﹣x）+x的解集为（）＜或＜﹣或或）＜，把包含这两段弧的椭圆方程y=）＜．由图象易知，包含这两段弧的椭圆方程为y=联立得+±＜14．（5分（2013•建邺区模拟））半径为4的球面上有A、B、C、D四点，AB，AC，AD．二、填空题：本大题共5小题，每小题0分，共16分．把答案填在答题卡相应位置．15．（2013•建邺区模拟）=．，所以，由此能够求出的值．=．16．（4分）（2013•建邺区模拟）命题“若a，b都是偶数，则a+b是偶数”的否命题是若a，b不都是偶数，则a+b不是偶数．17．（4分）（2013•建邺区模拟）函数y=lg的定义域是（lg2，+∞）．18．（4分）（2013•建邺区模拟）定义一种运算“*”对于正整数满足以下运算性质：（1）2*2006=1；（2）（2n+2）*2006=3•[（2n）*2006]，则2008*2006的值是31003．19．（4分）（2013•建邺区模拟）如果直线y=kx+1与圆x2+y2+kx+my﹣4=0相交于M、N 两点，且点M、N关于直线x+y=0对称，则不等式组所表示的平面区域的面积为．，又圆心在直线∴原不等式组变为，）×|=．故答案为：．三、解答题：本大题共7小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 20．（12分）（2013•建邺区模拟）已知函数．（1）求f（x）的定义域；（2）求该函数的反函数f﹣1（x）；（3）判断f﹣1（x）的奇偶性．=））由，得==21．（12分）（2013•建邺区模拟）某港口水的深度y（米）是时间t（0≤t≤24，单位：时）经长期观察，y=f（t）的曲线可以近似地看成函数y=Asinωt+b的图象．（Ⅰ）试根据以上数据，求出函数y=f（t）的近似表达式；（Ⅱ）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可），某船吃水深度（船底离水面的距离）为6.5米．如果该船希望在同一天内安全进出港，请问，它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需的时间）．=，得振幅∴∴∴，解得，22．（12分）（2013•建邺区模拟）已知某种从太空飞船中带回的植物种子每粒成功发芽的概率都为，某植物研究所分两个小组分别独立开展该种子的发芽实验，每次实验种一粒种子，假定某次实验种子发芽则称该次实验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次实验是失败的．（1）第一小组做了三次实验，求至少两次实验成功的概率；（2）第二小组进行试验，到成功了4次为止，求在第四次成功之前共有三次失败，且恰有两次连续失败的概率．．每一种情况的概率为：因此所求的概率为23．（2013•建邺区模拟）某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是0.4，0.5，0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响，设ξ表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值．（Ⅰ）求ξ的分布及数学期望；（Ⅱ）记“函数f（x）=x2﹣3ξx+1在区间[2，+∞）上单调递增”为事件A，求事件A的概率．））因为所以函数24．（12分）（2013•建邺区模拟）如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1B1B⊥底面ABC，侧棱AA1与底面ABC成600的角，AA1=2．底面ABC是边长为2的正三角形，其重心为G点．E是线段BC1上一点，且BE=BC1．（1）求证：GE∥侧面AA1B1B；（2）求平面B1GE与底面ABC所成锐二面角的大小．BE=BE=BC三点共线，且=，∴H==TH=arctan25．（14分）（2013•建邺区模拟）设函数f（x）=ax3﹣2bx2+cx+4d（a、b、c、d∈R）图象关于原点对称，且x=1时，f（x）取极小值．（1）求a、b、c、d的值；（2）当x∈[﹣1，1]时，图象上是否存在两点，使得过此两点处的切线互相垂直？试证明你的结论；（3）若x1，x2∈[﹣1，1]时，求证：．，，∴，知两点处的切线斜率分别为，∴，∴上，26．（12分）（2013•建邺区模拟）过抛物线y2=2px（p＞0）的对称轴上的定点M（m，0）（m＞0），作直线AB与抛物线相交于A，B两点．（1）试证明A，B两点的纵坐标之积为定值；（2）若点N是定直线l：x=﹣m上的任一点，试探索三条直线AN，MN，BN的斜率之间的关系，并给出证明．的斜率为的斜率为的斜率为∴=的斜率为，。
江苏省2013届高三数学上学期第二次质量检测试卷苏教版
江苏省诚贤中学2013届高三第二次质量检测一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．若复数2(1)(1)z x x i =-+-为纯虚数，则实数x 的值为 ．2．集合{|lg 0}M x x =>,2{|4}N x x =≤,则M N = ．3．在圆x 2+y 2=4所围成的区域内随机取一个点P (x ，y )，则| x |+| y | ≤ 2的概率为 ．4．已知4cos 5α=-且(,)2παπ∈，则tan()4πα+= ． 5．已知定义域为R 的函数121()2xx f x a+-+=+是奇函数，则a = ．6．右图是一个算法的流程图，则输出S 的值是 ．7．在ABC ∆中，已知4AB AC ⋅=，12AB BC ⋅=-，则AB ＝ ．8．在样本的频率分布直方图中，共有9个小长方形，若第 一个长方形的面积为0.02，前五个与后五个长方形的 面积分别成等差数列且公差是互为相反数，若样本容量 为1600，则中间一组（即第五组）的频数为 ．9．已知B 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左准线与x 轴的交点，点(0,)A b ，若满足2AP AB =的点P 在双曲线上，则该双曲线的离心率为 ．10．已知变量,a R θ∈，则22(2cos )(522sin )a a θθ-+--的最小值为 ．11．已知等比数列{}n a 为递增数列,且251021,2()5n n n a a a a a ++=+=,则数列的通项公式n a = ．12．将一个长宽分别是,(0)a b b a <<的铁皮的四角切去相同的正方形，然后折成一个无盖的长方体的盒子，若这个长方体的外接球的体积存在最小值，则ab的取值范围是 ．13．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝2x 的焦点为F ． 设M 是抛物线上的动点，则MO MF的最大值为 ．样本数据频率组距10第题图开始结束是否100k ≥3s s k←+1,0k s ←←S输出2k k ←+7第题图14．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对任意的等差数列{}n a 及任意的正整数n 都有不等式22212n n S a a nλ+≥成立，则实数λ的最大值为 ．二、解答题：本大题共6小题，共90分． 15．（本小题满分14分）已知函数21()2cos ,2f x x x x R =--∈ （1）求函数()f x 的最小值和最小正周期；（2）设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c，且c =()0f C =，若sin 2sin B A =，求a ，b 的值．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧棱PA PD ⊥，底面ABCD 是直角梯形，其中//BC AD ，090BAD ∠=，3AD BC =，O 是AD 上一点．(1)若//CD PBO 平面，试确定点O 的位置；(2)求证:PAB PCD ⊥平面平面．17．（本小题满分14分）如图，一载着重危病人的火车从O 地出发，沿射线OA 行驶，其中1tan 3α=,在距离O 地a 5（a 为正数）公里北偏东β角的N 处住有一位医学专家，其中3sin 5β=,现有110指挥部紧急征调离O 地正东p 公里的B 处的救护车赶往N 处载上医学专家全速追赶乘有重危病人的火车，并在C 处相遇，经测算当两车行驶的路线与OB 围成的三角形OBC 面积S 最小时，抢救最及时.（1）求S 关于p 的函数关系； （2）当p 为何值时，抢救最及时.OPDCBA第16题BNA OCα东北第17题18．（本小题满分16分）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点为1F 、2F ，P 是右支上一点，212PF F F ⊥，1OH PF ⊥于H ，111,[,]92OH OF λλ=∈（1）当13λ=时，求双曲线的渐近线方程；（2）求双曲线的离心率的取值范围；（3）当离心率最大时，过1F 、2F ，P 的圆截y 轴线段长为8，求该圆的方程．19．（本小题满分16分）已知数列{}n a 和{}n b 满足：1a λ=，124,(1)(321),3n n n n n a a n b a n +=+-=--+其中λ为实数，n 为正整数．（1）对任意实数λ，证明数列{}n a 不是等比数列； （2）试判断数列{}n b 是否为等比数列，并证明你的结论；（3）设0a b <<，n S 为数列{}n b 的前n 项和．是否存在实数λ，使得对任意正整数n ，都有n a S b <<?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．20．（本小题满分16分） 已知函数ln ()xx kf x e +=(k 为常数, 2.71828e =⋅⋅⋅是自然对数的底数),曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行. (Ⅰ)求k 的值;(Ⅱ)求()f x 的单调区间;(Ⅲ)设2()()'()g x x x f x =+,其中'()f x 为()f x 的导函数.证明:对任意20,()1x g x e -><+.数学Ⅱ（理科附加题）21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．A ．选修4—1：几何证明选讲如图，延长⊙O 的半径OA 到B ，使OA ＝AB ，DE 是圆的一条切线，E 是切点，过点B 作DE 的垂线，垂足为点C ． 求证：∠ACB ＝31∠OAC ． B ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵1121⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，向量12β⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．求向量α，使得2αβ=A ． C ．选修4—3：坐标系与参数方程已知椭圆C 的极坐标方程为2223cos 4sin aρθθ=+，焦距为2，求实数a 的值． D ．选修4—4：不等式选讲已知函数2222()()()()()3a b c f x x a x b x c ++=-+-+-+（,,a b c 为实数）的最小值为m ，若23a b c -+=，求m 的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．22．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(1,1)A -，P 是动点，且三角形POA 的三边所在直线的斜率满足k OP +k OA =k PA ．(1)求点P 的轨迹C 的方程；(2)若Q 是轨迹C 上异于点P 的一个点，且()0PQ OA λλ=>，直线OP 与QA 交于点M ，问：是否存在点P 使得△PQA 和△PAM 的面积满足2PQA PAM S S ∆∆=? 若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．23．已知1(1)2nx +展开式的各项依次记为1231(),(),(),(),()n n a x a x a x a x a x +．设1231()()2()3(),()(1)()n n F x a x a x a x na x n a x +=+++++．（1）若123(),(),()a x a x a x 的系数依次成等差数列，求n 的值； （2）求证：对任意12,[0,2]x x ∈，恒有112|()()|2(2)1n F x F x n --≤+-.答案1．-1； 2．(1,2]； 3．2π； 4．17； 5．2； 6．7500；7．4； 8．360；9； 10．9； 11．2n ；12．)45,1(； 13．1515． 解：（1）1cos 21()2sin(2)1226x f x x x π+=--=--，…………3分则()f x 的最小值是－2， …………5分 最小正周期是22T ππ==； …………7分（2）()sin(2)106f C C π=--=，则sin(2)16C π-=，0C π<< 022C π∴<< 112666C πππ∴-<-<，262C ππ∴-=，3C π∴=， …………10分sin 2sin B A =，由正弦定理，得12a b =，① …………11分由余弦定理，得2222cos 3c a b ab π=+-，即223a b ab +-=， ②由①②解得1,2a b ==． …………14分16．（1） …………7分 （2）……14分17．解：（1）以O 为原点，正北方向为y 轴建立直角坐标系，……… 2分则x y l OA 3:= .设00N x y （，），有05sin 3x a a β==,05cos 4y a a β==, (3,4)N a a ∴.又0B p （，），∴直线BC 的方程为：)(34p x pa ay --=.……… 6分 由⎪⎩⎪⎨⎧--==)(343p x p a a y x y 得C 的纵坐标)35(5312a p a p ap y c >-=，∴2165||,()2353c ap S OB y p a p a ∆=⋅=>-.……… 10分 （2）由（1）得22625353ap ap S p a p a ==--,令5(0)3t p a t =->∴222510402[]933a a S a t a t =++≥， ∴当且仅当,9252ta t =即53a t =,此时103a p =时，上式取等号，……… 13分∴当103ap =公里时，抢救最及时. ……… 14分 18． （1）y x =±（2e ≤≤3）22(2)16x y +-= 19．解（Ⅰ）证明：假设存在一个实数λ，使｛an ｝是等比数列，则有a 22=a 1a 3，即,094949494)494()332(222=⇔-=+-⇔-=-λλλλλλλ矛盾． 所以｛an ｝不是等比数列．(Ⅱ)解：因为bn +1=(-1)n +1［an +1-3(n -1)+21］=(-1)n +1(32an -2n +14) =32(-1)n ·（an -3n +21）=-32bn 又b 1x -(λ+18)，所以当λ＝－18，b n =0(n ∈N +)，此时｛b n ｝不是等比数列： 当λ≠－18时，b 1=(λ+18) ≠0，由上可知bn ≠0，∴321-=+n a b b (n ∈N +)． 故当λ≠-18时，数列｛b n ｝是以－（λ＋18）为首项，－32为公比的等比数列． (Ⅲ)由（Ⅱ）知，当λ=-18，b n =0，S n =0，不满足题目要求． ∴λ≠-18，故知b n = -（λ+18）·（－32）n -1，于是可得 S n =-.321·)18(53⎥⎦⎤⎢⎣⎡+n）－（－ λ 要使a <Sn <b 对任意正整数n 成立，即a <-53(λ+18)·［1－（－32）n ］〈b (n ∈N +) ，则令 得)2(1)()32(1)18(53)32(1--=--<+-<--n f b a n n λ ① 令2()1()3n f n =--，则 当n 为正奇数时，1<f (n ),1)(95;35<≤≤n f n 为正偶数时，当∴f (n )的最大值为f (1)=35，f (n )的最小值为f (2)= 95，于是，由①式得95a <-53(λ+18)<.1831853--<<--⇔a b b λ当a <b ≤3a 时，由－b -18≥=-3a -18，不存在实数满足题目要求；当b >3a 存在实数λ，使得对任意正整数n ，都有a <Sn < b ．20. 解：解析:由f (x ) = x e k x +ln 可得=')(x f xexk x ln 1--,而0)1(='f ,即01=-e k ,解得1=k ;(Ⅱ)=')(x f xe xx ln 11--,令0)(='x f 可得1=x ,当10<<x 时,0ln 11)(>--='x x x f ;当1>x 时,0ln 11)(<--='x xx f .于是)(x f 在区间)1,0(内为增函数;在),1(+∞内为减函数.(Ⅲ)xx e x x x x e xx x x x g ln )(1ln 11)()(222+--=--+=, (1)当1≥x 时, 0,0,0ln ,0122>>+≥≤-xe x x x x ,210)(-+<≤ex g .(2)当10<<x 时,要证221ln 11)()(-+<--+=e exx x x x g x. 只需证)ln 1(1112x x e ex x +-+<+-即可设函数)1,0(),ln 1(1)(,1)(∈+-=+=x x x x q ex x p e . 则)1,0(,ln 2)(,0)(∈--='<-='x x x q exx p x , 则当10<<x 时1)0(1)(=<+=p ex x p e ,令0ln 2)(=--='x x q 解得)1,0(2∈=-ex ,当),0(2-∈e x 时0)(>'x q ;当)1,(2-∈e x 时0)(<'x q ,则当10<<x 时221)()ln 1(1)(--+=≤+-=e e q x x x q ,且0)(>x q ,则≥+-+-)ln 1(112x x e 11122=++--e e ,于是可知当10<<x 时)ln 1(1112x x e ex x +-+<+-成立 综合(1)(2)可知对任意x >0,21)(-+<e x g 恒成立.另证1:设函数)1,0(,1)(∈+=x e x x p e ,则0)(<-='x e xx p , 则当10<<x 时1)0(1)(=<+=p ex x p x ,于是当10<<x 时,要证221)ln 11(ln 11)()(-+<--<--+=e x x x exx x x x g x, 只需证21)ln 11(-+<--e x xx 即可,设)1,0(),ln 1(1)(∈+-=x x x x q ,)ln 1(1)(x x x q +-=', 令0ln 2)(=--='x x q 解得)1,0(2∈=-ex ,当),0(2-∈e x 时0)(>'x q ;当)1,(2-∈e x 时0)(<'x q , 则当10<<x 时221)()ln 1(1)(--+=≤+-=e e q x x x q ,于是可知当10<<x 时221ln 11)(-+<--+e exx x x x成立 综合(1)(2)可知对任意x >0,21)(-+<e x g 恒成立.另证2:根据重要不等式当10<<x 时x x <+)1ln(,即xe x <+1,于是不等式221)ln 11(ln 11)()(-+<--<--+=e x x x exx x x x g x, 设)1,0(),ln 1(1)(∈+-=x x x x q ,)ln 1(1)(x x x q +-=', 令0ln 2)(=--='x x q 解得)1,0(2∈=-ex ,当),0(2-∈e x 时0)(>'x q ;当)1,(2-∈e x 时0)(<'x q , 则当10<<x 时221)()ln 1(1)(--+=≤+-=e e q x x x q ,于是可知当10<<x 时221ln 11)(-+<--+e exx x x x成立.数学Ⅱ（理科附加题）答案A ．证明：连结OE 、AE ，并过点A 作AF ⊥DE 于点F ．∵DE 是圆的一条切线，E 是切点，∴OE ⊥DC ．又∵BC ⊥DE ，∴OE ∥AF ∥BC ．∴∠CAF ＝∠ACB ，∠FAE ＝∠AEO ．∵OA ＝OE ，∴∠AEO ＝∠EAO ． ∴∠EAO ＝∠FAE ． 5分 又∵点A 是OB 的中点，∴点F 是EC 的中点．∴AE ＝AC ．∴∠CAF ＝∠FAE ．∴∠EAO ＝∠FAE ＝∠CAF ，即∠ACB ＝31∠OAC ． 10分 B ．1121⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，2111132212143⎡⎤⎡⎤⎡⎤∴==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦A ………………4分 设x y α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则2αβ=⇔A 3243⎡⎤⎢⎥⎣⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=12⎡⎤⎢⎥⎣⎦⇔321432x y x y +⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦…………8分 3211,4322x y x x y y +==-⎧⎧∴∴⎨⎨+==⎩⎩，12α-⎡⎤∴=⎢⎥⎣⎦． (10)分C ．椭圆的普通方程为22134x y a a += ………………5分 由134a a-=，得a =12 ………………10分 D ．因为2222()()()()()3a b c f x x a x b x c ++=-+-+-+22222()32()3a b c x a b c x a b c ++=-++++++22223()3a b c x a b c ++=-+++，………………………………2分所以3a b c x ++=时，()f x 取最小值222a b c ++，即222m a b c =++，……5分因为23a b c -+=，由柯西不等式得22222221(1)2()(2)9a b c a b c ⎡⎤+-+⋅++≥-+=⎣⎦，……………………8分 所以2229362m a b c =++≥=， 当且仅当112a b c ==-，即333442a b c ==-=，，时等号成立，所以m 的最小值为32． …………………………………………………………10分22． 解：（1）设点(,)P x y 为所求轨迹上的任意一点，则由OP OA PA k k k +=得，1111y y x x -+=-+，整理得轨迹C 的方程为2y x =（0x ≠且1x ≠-）． · 3分 （2）设221122(,),(,),P x x Q x x 由()0PQ OA λλ=>可知直线//PQ OA ，则PQ OA k k =，故2221211010x x x x --=---，即211x x =--， …………5分直线OP 方程为：1y x x = ①；直线QA 的斜率为：2111(1)1211x x x ---=----+， ∴直线QA 方程为：11(2)(1)y x x -=--+， 即11(2)1y x x x =-+-- ②联立①②，得12x =-，∴点M 的横坐标为定值12-． …………8分由2PQA PAM S S ∆∆=，得到2QA AM =，因为//PQ OA ，所以2OP OM =，由2PO OM =，得11x =，∴P 的坐标为(1,1)．∴存在点P 满足2PQA PSM S S ∆∆=，P 的坐标为(1,1)．········ 10分23．解：（1）依题意111()()2k k k n a x C x --=，1,2,3,,1k n =+，123(),(),()a x a x a x 的系数依次为01n C =，1122n n C ⋅=，221(1)()28n n n C -⋅=， 所以(1)2128n n n -⨯=+，解得8n =； ………4分 （2）1231()()2()3(),()(1)()n n F x a x a x a x na x n a x +=+++++01221111112()3()()(1)()2222n n n n n n n n n C C x C x nC x n C x --=+++++0121(2)23(1)n nn n n n n F C C C nC n C -=+++++ 设012123(1)n n n n n n n n S C C C nC n C -=+++++， 则1210(1)32n n n n nn n n S n C nC C C C -=+++++考虑到k n k n n C C -=，将以上两式相加得：01212(2)()n nn n n nn n S n C C C C C -=+++++所以1(2)2n n S n -=+ 又当[0,2]x ∈时，'()0F x ≥恒成立，从而()F x 是[0,2]上的单调递增函数，所以对任意12,[0,2]x x ∈，112|()()|(2)(0)(2)21n F x F x F F n --≤-=+-． (10)。