二重积分、三重积分习题选练

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三重积分重积分习题

三重积分1．将I=zdvΩ⎰⎰⎰分别表示成直角坐标，柱面坐标和球面坐标下的三次积分，并选择其中一种计算出结果．其中Ω是由曲面z=222y x --及z=x 2+y 2所围成的闭区域.分析为计算该三重积分，我们先把积分区域投影到某坐标平面上，由于是由两张曲面222y x z --=及22y x z +=，而由这两个方程所组成的方程组22222,z x y z x y ⎧=--⎨=+⎩极易消去z ，我们把它投影到xoy 面上．然后，为在指定的坐标系下计算之，还应该先把Ω的边界曲面用相应的坐标表示，并找出各种坐标系下各个变量的取值范围，最后作代换即可．解将Ω投影到xoy 平面上，由22222,z x y z x y ⎧=--⎨=+⎩消去z 得 (x 2+y 2)2=2-(x 2+y 2)，或(x 2+y 2+2)(x 2+y 2-1)=0，于是有 x 2+y 2=1．即知，Ω在xoy 平面上的投影为圆域D ：x 2+y 2≤1 ．为此在D 内任取一点Q(x ，y)，过Q 作平行于z 轴的直线自下而上穿过Ω．穿入时碰到的曲面为22y x z +=，离开时碰到的曲面为222y x z --=(不画图，仅用代数方法也易判断22y x z +=≤222y x z --=)，这是因为x 2+y 2≤1)(1) 直角坐标系下，我们分直角坐标及柱面坐标，下边找z 的变化范围从而化为三重积分．因此再由D ：x 2+y 2≤1，有22y x z +=≤222y x z --=，于是在直角坐标下，Ω可表示为Ω :2222221111,2,x x y x x y z x y -≤≤⎧⎪--≤≤-⎨⎪+≤≤--⎩，于是有I=⎰⎰----221111x x dy dx ⎰--+22222y x y x zdz.(2) 柱面坐标下首先把Ω的表面方程用柱面坐标表示，这时z=x 2+y 2表示为z= 2ρ，z=222y x --表示为z=22ρ-．再由投影区域D 为x 2+y 2≤1．故0ρ≤≤1，0≤θ≤2π．于是Ω可表示为Ω：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤≤≤≤≤≤.2,10,2022ρρρπθz将所给三重积分中的体积元素υd 用υd =dz d d θρρ去替换，有I=Ω⎰⎰⎰υzd =Ω⎰⎰⎰dzd d z θρρ=⎰πθ20d ⎰1ρd ⎰-2222ρρρdz.(3) 球面坐标下用球面坐标代换两曲面的方程，得曲面z=x2+y2变为ρ=φφ2sin cos ；曲面z=222y x --变为ρ=2．由Ω在xoy 平面上的投影为x 2+y 2≤1知0θ≤≤2π，下边找φ的变化范围．正z 轴在Ω内，即Ω内有点P ，使→op 与→oz 夹角为零，即φ的下界为零．又曲面z=x 2+y2与xoy 平面相切，故φ的上界为2π，于是0≤φ≤2π再找ρ的变化范围．原点在Ω的表面上，故ρ取到最小值为零．为找ρ的上界，从原点出发作射线穿过Ω，由于Ω的表面由两张曲面所组成，因而ρ的上界随相应的φ的不同而不同．为此在两曲面的交线⎪⎩⎪⎨⎧--=+=22222y x z y x z ，上取一点A(0，1，1)，故A 所对应的4πφ=．当24πφπ≤≤时，r 的上界由曲面r=φφ2sin cos 所给，故这时r φφφφcsc cot sin cos 2≤≤．即r 的变化范围为0⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤时。

重积分习题课

［Y－型］ D : cyd, 1 (y ) x 2 (y ).
f(x ,y)ddd y 2(y)f(x ,y)d.x
D
c 1(y)
Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴
的直线与区域边界相交不多于两个交点.
（２）极坐标系下
D 1: , 1 () r 2 ().
f(rcos,rsin)rdrd
证
b
a
f
x
g
x
dx
2
b
a
f
x g x dx
b
a
f
x g x dx
b
a
f
x g x dx
b
a
f
y g y dy
f x f y g x g y dxdy
D
D :a x b， a y b
b
a
f
2xdxabg2xdx
ab f2xdxabg2ydy
f2xg2ydxdyf2yg2xdxdy
奇函有数 xd， v0.
(xz)dvzdv 利用球面坐标
2d 4d1rco r s2si d nr .
0 00
8
例９计e zd 算， v :x 2 y 2 z 2 1 .
解被积函数z仅的为函数，D截 (z)面为圆域 x2 y2 1z2，故采用＂先二法后．一＂
f(x,y)df(,).
D
（二重积分中值定理）
４、二重积分的计算
（１）直角坐标系下
［X－型］ D : axb , 1 (x )y2 (x ).
f(x ,y)db d x 2(x)f(x ,y)d.y
D
a 1(x)
X-型区域的特点：穿过区域且平行于y

数学分析21.5三重积分(含习题及参考答案)

第二十一章重积分5三重积分一、三重积分的概念引例：设一空间立体V 的密度函数为f(x,y,z)，为求V 的质量M ，将V 分割成n 个小块V 1,V 2,…,V n . 每个小块V i 上任取一点(ξi ,ηi ,ζi ), 则 M=i ni i i i T V f ∆∑=→10),,(lim ζηξ, 其中△V i 是小块V i 的体积, T =}{max 1的直径i ni V ≤≤.概念：设f(x,y,z)是定义在三维空间可求体积有界区域V 上的有界函数. 用若干光滑曲面所组成的曲面网T 来分割V ，把V 分成n 个小区域 V 1,V 2,…,V n .记V i 的体积为△V i (i=1,2,…,n)，T =}{max 1的直径i ni V ≤≤.在每个V i 中任取一点(ξi ,ηi ,ζi ), 作积分和i ni i i i V f ∆∑=1),,(ζηξ.定义1：设f(x,y,z)为定义在三维空间可求体积的有界闭区域V 上的函数，J 是一个确定的数. 若对任给的正数ε，总存在某一正数δ，使得对于V 的任何分割T ，只要T <δ，属于分割T 的所有积分和都有J V f i ni iii-∆∑=1),,(ζηξ<ε，则称f(x,y,z)在V 上可积，数J 称为函数f(x,y,z)在V 上的三重积分，记作J=⎰⎰⎰VdV z y x f ),,(或J=⎰⎰⎰Vdxdydz z y x f ),,(，其中f(x,y,z)称为被积函数，x, y, z 称为积分变量，V 称为积分区域.注：当f(x,y,z)=1时，⎰⎰⎰VdV 在几何上表示V 的体积.三积重分的条件与性质：1、有界闭域V 上的连续函数必可积；2、如界有界闭区域V 上的有界函数f(x,y,z)的间断点集中在有限多个零体积的曲面上，则f(x,y,z)在V 上必可积.二、化三重积分为累次积分定理21.15：若函数f(x,y,z)在长方体V=[a,b]×[c,d]×[e,h]上的三重积分存在，且对任意(x,y)∈D=[a,b]×[c,d], g(x,y)=⎰he dz z y xf ),,(存在，则积分⎰⎰Ddxdy y x g ),(也存在，且⎰⎰⎰Vdxdydz z y x f ),,(=⎰⎰⎰Dhedz z y x f dxdy ),,(.证：用平行于坐标轴的直线作分割T ，把V 分成有限多个小长方体 V ijk =[x i-1,x i ]×[y j-1,y j ]×[z k-1,z k ].设M ijk , m ijk 分别是f(x,y,z)在V ijk 上的上确界和下确界，对任意(ξi ,ηj )∈[x i-1,x i ]×[y j-1,y j ], 有m ijk △z k ≤⎰-kk z z j i dz z f 1),,(ηξ≤M ijk △z k .现按下标k 相加，有∑⎰-kz z j i kk dz z f 1),,(ηξ=⎰he j i dz zf ),,(ηξ=g(ξi ,ηj )，以及∑∆∆∆kj i k j i ijkz y x m,,≤j i ji j i y x g ∆∆∑,),(ηξ≤∑∆∆∆kj i k j i ijk z y x M ,,.两边是分割T 的下和与上和. 由f(x,y,z)在V 上可积，当T →0时，下和与上和具有相同的极限，∴g(x,y)在D 上可积，且⎰⎰⎰Dhedz z y x f dxdy ),,(=⎰⎰⎰Vdxdydz z y x f ),,(.推论：若V={(x,y,z)|(x,y)∈D, z 1(x,y)≤z ≤z 2(x,y)} ⊂[a,b]×[c,d]×[e,h]时，其中D 为V 在Oxy 平面上的投影，z 1(x,y), z 2(x,y)是D 上的连续函数，函数f(x,y,z)在V 上的三重积分存在，且对任意(x,y)∈D, G(x,y)=⎰),(),(21),,(y x z y x z dz z y x f 亦存在，则积分⎰⎰Ddxdy y x G ),(存在，且⎰⎰⎰Vdxdydz z y x f ),,(=⎰⎰D dxdy y x G ),(=⎰⎰⎰Dy x z y x z dz z y x f dxdy ),(),(21),,(.证：记F(x,y,z)=⎩⎨⎧∈∈V V z y x ，Vz y x ，z y x f \),,(0),,(),,(0 , 其中V 0=[a,b]×[c,d]×[e,h].对F(x,y,z)应用定理21.15，(如图)则有⎰⎰⎰Vdxdydz z y x f ),,(=⎰⎰⎰0),,(V dxdydzz y x F=⎰⎰⎰⨯d][c,b][a,),,(hedz z y x F dxdy =⎰⎰⎰Dy x z y x z dz z y x f dxdy ),(),(21),,(.例1：计算⎰⎰⎰+Vy x dxdydz22，其中V 为由平面x=1, x=2, z=0, y=x 与z=y 所围区域(如图).解：设V 在xy 平面上投影为D ，则 V={(x,y,z)|z 1(x,y)≤z ≤z 2(x,y),(x,y)∈D},其中D={(x,y)|0≤y ≤x,1≤x ≤2}, z 1(x,y)=0, z 2(x,y)=y, 于是⎰⎰⎰+V y x dxdydz 22=⎰⎰⎰+D y y x dz dxdy 022=⎰⎰+D dxdy y x y 22=⎰⎰+21022x dy y x y dx=⎰212ln 21dx =2ln 21.例2：计算⎰⎰⎰++Vdxdydz z y x )(22，其中V 是由⎩⎨⎧==0x y z 绕z 轴旋转一周而成的曲面与z=1所围的区域.解：V={(x,y,z)|22y x +≤z ≤1,(x,y)∈D}, 其中D={(x,y)|x 2+y 2≤1},⎰⎰⎰++Vdxdydz z y x )(22=⎰⎰⎰+++Dyx dz z y x dxdy 12222)(=⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+Ddxdy y x y x 2121)(2222=⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-πθ201022121rdrr r d=⎰πθ20407d =207π.定理21.16：若函数f(x,y,z)在长方体V=[a,b]×[c,d]×[e,h]上的三重积分存在，且对任意x ∈[a,b], 二重积分I(x)=⎰⎰Ddydz z y x f ),,(存在，则积分⎰⎰⎰baDdydz z y x f dx ),,(也存在，且⎰⎰⎰Vdxdydz z y x f ),,(=⎰⎰⎰baDdydz z y x f dx ),,(.证：用平行于坐标轴的直线作分割T ，把V 分成有限多个小长方体 V ijk =[x i-1,x i ]×[y j-1,y j ]×[z k-1,z k ], 记D jk =[y j-1,y j ]×[z k-1,z k ], 设M ijk , m ijk 分别是f(x,y,z)在V ijk 上的上确界和下确界，对任意ξi ∈[x i-1,x i ], 有m ijk △D jk ≤⎰⎰jkD i dydz z y f ),,(ξ≤M ijk △D jk .现按下标j,k 相加，有∑⎰⎰k j D i jkdydz z y f ,),,(ξ=⎰⎰Di dydz z y f ),,(ξ=I(ξi )，以及∑∆∆∆kj i k j i ijkz y x m,,≤i ii x I ∆∑)(ξ≤∑∆∆∆kj i k j i ijk z y x M ,,.两边是分割T 的下和与上和. 由f(x,y,z)在V 上可积，当T →0时，下和与上和具有相同的极限，∴I(x)在D 上可积，且⎰⎰⎰baDdydz z y x f dx ),,(=⎰⎰⎰Vdxdydz z y x f ),,(.推论：(如图)若V ⊂[a,b]×[c,d]×[e,h], 函数f(x,y,z)在V 上的三重积分存在，且对任意固定的z ∈[e,h], 积分φ(z)=⎰⎰zD dxdy z y x f ),,(存在，其中D z是截面{(x,y)|(x,y,z)∈V}, 则⎰he dz z )(ϕ存在，且⎰⎰⎰Vdxdydz z y x f ),,(=⎰h edz z )(ϕ=⎰⎰⎰heD zdxdy z y x f dz ),,(.证：证法与定理21.16证明过程同理.例3：计算I=⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++V dxdydz c z b y a x 222222, 其中V 是椭球体222222c z b y a x ++≤1.解：I=⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++V dxdydz c z b y a x 222222=⎰⎰⎰V dxdydz a x 22+⎰⎰⎰V dxdydz b y 22+⎰⎰⎰Vdxdydz c z 22.其中⎰⎰⎰V dxdydz a x 22=⎰⎰⎰-a a V xdydz dx a x 22,V x 表示椭圆面2222c z b y +≤1-22ax 或⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2222222211a x c z a xb y ≤1. 它的面积为π⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-222211a x c a x b =πbc ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-221a x. ∴⎰⎰⎰V dxdydz a x 22=⎰-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a dx a x a bcx 22221π=154πabc. 同理可得：⎰⎰⎰V dxdydz b y 22=⎰⎰⎰V dxdydz cz 22=154πabc.∴I=3(154πabc)=54πabc.三、三重积分换元法规则：设变换T ：x=x(u,v,w), y=y(u,v,w), z=z(u,v,w)，把uvw 空间中的区域V ’一对一地映成xyz 空间中的区域V ，并设函数x=x(u,v,w), y=y(u,v,w), z=z(u,v,w)及它们的一阶偏导数在V ’内连续且函数行列式J(u,v,w)=wz v z uz w yv y u yw x v x u x ∂∂∂∂∂∂∂∂∂≠0, (u,v,w)∈V ’. 则当f(x,y,z)在V 上可积时，有 ⎰⎰⎰Vdxdydz z y x f ),,(=⎰⎰⎰'V dudvdw w v u J w v u z w v u y w v u x f |),,(|)),,(),,,(),,,((.常用变换公式： 1、柱面坐标变换：T ：⎪⎩⎪⎨⎧+∞<<∞-=≤≤=+∞<≤=z z ，z ，r y r ，r x πθθθ20sin 0cos , J(r,θ,z)=100cos sin 0sin cos θθθθr r -=r, 即有 ⎰⎰⎰Vdxdydz z y x f ),,(=⎰⎰⎰'V dz rdrd z r r f θθθ),sin , cos (.V ’为V 在柱面坐标变换下的原象.注：(1)虽然柱面坐标变换并非是一对一的，且当r=0时，J(r,θ,z)=0，但结论仍成立.(2)柱面坐标系中r=常数, θ=常数, z=常数的平面分割V ’变换到xyz 直角坐标系中，r=常数是以z 轴为中心轴的圆柱面，θ=常数是过z 轴的半平面，z 的常数是垂直于z 轴的平面(如图).例4：计算⎰⎰⎰+Vdxdydz y x )(22, 其中V 是曲面2(x 2+y 2)=z 与z=4为界面的区域.解法一：V={(x,y,z)|2(x 2+y 2)≤z ≤4, (x,y)∈D}, D={(x,y)|x 2+y 2≤2}.⎰⎰⎰+Vdxdydz y x )(22=⎰⎰⎰++4)(22222)(y x Ddzy x dxdy=⎰⎰+-+Ddxdy y x y x )](24)[(2222=⎰⎰-202220)24(rdrr r d πθ=⎰-2053)2(4dr r r π=⎰-2053)2(4dr r r π=38π.解法二：V 在xy 平面上的投影区域D=x 2+y 2≤2. 按柱坐标变换得 V ’={(r,θ,z)|2r 2≤z ≤4, 0≤r ≤2, 0≤θ≤2π}.∴⎰⎰⎰+V dxdydz y x )(22=⎰⎰⎰'V dz drd r θ2=⎰⎰⎰42320202r dz r dr d πθ=38π.2、球坐标变换：T ：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=≤≤=+∞<≤=πθϕπϕθϕθϕ20cos 0sin sin 0cos sin ，r z ，r y r ，r x ,J(r,φ,θ)=0sin cos sin sin cos sin sin sin sin cos cos cos sin ϕϕθϕθϕθϕθϕθϕθϕr co r r r r --=r 2sin φ≥0, 即有⎰⎰⎰Vdxdydz z y x f ),,(=⎰⎰⎰'V d drd rr r r f θϕϕϕθϕθϕsin )cos ,sin sin , cos sin (2,V ’为V 在球坐标变换T 下的原象.注：(1)球坐标变换并不是一对一的，并且当r=0或φ=0或π时，J=0. 但结论仍成立.(2)球坐标系中r=常数, φ=常数, θ=常数的平面分割V ’变换到xyz 直角坐标系中，r=常数是以原点为中心的球面， φ=常数是以原点为顶点, z 轴为中心轴的圆锥面，θ=常数是过z 轴的半平面(如图).例5：求由圆锥体z ≥22y x +cot β和球体x 2+y 2+(z-a)2≤a 2所确定的立体体积，其中β∈⎪⎭⎫⎝⎛2,0π和a(>0)为常数.解：球面方程x 2+y 2+(z-a)2=a 2可表示为r=2acos φ, 锥面方程z=22y x +cot β可表示为φ=β. ∴V ’={(r,φ,θ)|0≤r ≤2acos φ, 0≤φ≤β, 0≤θ≤2π}. ∴⎰⎰⎰VdV =⎰⎰⎰ϕβπϕϕθcos 202020sin a dr r d d =⎰βϕϕϕπ033sin cos 316d a =343a π(1-cos 4β).例6：求I=⎰⎰⎰Vzdxdydz , 其中V 为由222222c z b y a x ++≤1与z ≥0所围区域.解：作广义球坐标变换：T ：⎪⎩⎪⎨⎧===ϕθϕθϕcos sin sin cos sin cr z br y ar x , 则J=abcr 2sin φ. V 的原象为V ’={(r,φ,θ)|0≤r ≤1, 0≤φ≤2π, 0≤θ≤2π} ∴⎰⎰⎰Vzdxdydz =⎰⎰⎰⋅1022020sin cos dr abcr cr d d ϕϕϕθππ=⎰2022sin 4πϕϕπd abc =42abc π.习题1、计算下列积分：(1)⎰⎰⎰+Vdxdydz z xy )(2, 其中V=[-2,5]×[-3,3]×[0,1]；(2)⎰⎰⎰Vzdxdydz y x cos cos , 其中V=[0,1]×[0,2π]×[0,2π]；(3)⎰⎰⎰+++Vz y x dxdydz3)1(, 其中V 是由x+y+z=1与三个坐标面所围成的区域； (4)⎰⎰⎰+Vdxdydz z x y )cos(, 其中V 由y=x , y=0, z=0及x+z=2π所围成.解：(1)⎰⎰⎰+VdV z xy )(2=⎰⎰⎰+--1023352)(dz z xy dy dx =⎰⎰--⎪⎭⎫⎝⎛+335231dy xy dx =⎰-522dx =14.(2)⎰⎰⎰VzdV y x cos cos =⎰⎰⎰202010cos cos ππzdz ydy xdx =21.(3)⎰⎰⎰+++Vz y x dxdydz 3)1(=⎰⎰⎰---+++y x x z y x dz dy dx 1031010)1(=⎰⎰-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++x dy y x dx 1021041)1(121=⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+1041211121dx x x =1652ln 21-. (4)⎰⎰⎰+VdV z x y )cos(=⎰⎰⎰-+xxdz z x y dy dx 20020)cos(ππ=⎰⎰-xydydx x 020)sin 1(π=⎰-20)sin 1(21πdx x x =21162-π.2、试改变下列累次积分的顺序： (1)⎰⎰⎰+-yx xdz z y x f dy dx 01010),,(；(2)⎰⎰⎰+220110),,(y x dz z y x f dy dx .解：(1)积分区域V={(x,y,z)|0≤z ≤x+y, 0≤y ≤1-x, 0≤x ≤1}； ∵V 在xy 平面上的投影区域D xy ={(x,y)|0≤y ≤1-x, 0≤x ≤1} ∴I=⎰⎰⎰+-yx xdz z y x f dy dx 01010),,(=⎰⎰⎰+-yx ydz z y x f dx dy 01010),,(.∵V 在yz 平面上的投影区域D yz ={(y,z)|0≤y ≤1, 0≤z ≤1} ∴I=⎰⎰⎰-yydx z y x f dz dy 10010),,(+⎰⎰⎰--yy z y dx z y x f dz dy 1110),,(=⎰⎰⎰--yy z zdx z y x f dy dz 1010),,(+⎰⎰⎰-yz dx z y x f dy dz 10110),,(.∵V 在xz 平面上的投影区域D yz ={(x,z)|0≤x ≤1, 0≤z ≤1} ∴I=⎰⎰⎰-xxdy z y x f dz dx 10010),,(+⎰⎰⎰--xx z x dy z y x f dz dx 1110),,(=⎰⎰⎰--xx z zdy z y x f dx dz 1010),,(+⎰⎰⎰-xz dy z y x f dx dz 10110),,(.(2)积分区域V={(x,y,z)|0≤z ≤x 2+y 2, 0≤y ≤1, 0≤x ≤1}；∵V 在xy 平面上的投影区域D xy ={(x,y)|0≤y ≤1, 0≤x ≤1}；在yz 平面上的投影区域D yz ={(x,y)|0≤y ≤1, 0≤z ≤1+y 2}；在xz 平面上的投影区域D yz ={(x,y)|0≤x ≤1, 0≤z ≤1+x 2}； ∴I=⎰⎰⎰+2201010),,(y x dz z y x f dy dx =⎰⎰⎰+220110),,(y x dz z y x f dx dy=⎰⎰⎰10010),,(2dx z y x f dz dy y +⎰⎰⎰-+1110222),,(y z y ydxz y x f dz dy=⎰⎰⎰10110),,(dx z y x f dy dz z +⎰⎰⎰--111212),,(yz z dx z y x f dy dz .=⎰⎰⎰10010),,(2dy z y x f dz dx x +⎰⎰⎰-+1110222),,(x z x x dyz y x f dz dx=⎰⎰⎰10110),,(dy z y x f dx dz z +⎰⎰⎰--111212),,(x z z dy z y x f dx dz .3、计算下列三重积分与累次积分：(1)⎰⎰⎰Vdxdydz z 2, 其中V 由x 2+y 2+z 2≤r 2和x 2+y 2+z 2≤2rz 所确定；(2)⎰⎰⎰--+-22222221010y x yx x dz z dy dx .解：(1) 由x 2+y 2+z 2≤2rz, 得S: x 2+y 2≤2rz-z 2, 0≤z ≤2r , 又由x 2+y 2+z 2≤r 2, 得Q: x 2+y 2≤r 2-z 2,2r≤z ≤r ∴⎰⎰⎰Vdxdydz z 2=⎰⎰⎰Sr dxdy z dz 220+⎰⎰⎰Qrr dxdyz dz 22=⎰-2022)2(r dz z rz z π+⎰-rr dz z r z 2222)(π=480595r π. (2)应用柱坐标变换：V ’={(r,θ,z)|r ≤z ≤22r -, 0≤r ≤1, 0≤θ≤2π}, ∴⎰⎰⎰--+-22222221010y x yx x dz z dy dx =⎰⎰⎰-2221020r rdz z rdr d πθ=⎰---1322]2)2[(6dr r r r r π.=⎰---10322]2)2[(6dr r r r r π=)122(15-π.4、利用适当的坐标变换，计算下列各曲面所围成的体积. (1)z=x 2+y 2, z=2(x 2+y 2), y=x, y=x 2；(2)2⎪⎭⎫ ⎝⎛+b y a x +2⎪⎭⎫ ⎝⎛c z =1 (x ≥0, y ≥0, z ≥0, a>0, b>0, c>0). 解：(1)V={(x,y,z)|x 2+y 2≤z ≤2(x 2+y 2), (x,y)∈D}, 其中D={(x,y)|0≤x ≤1, x 2≤y ≤x }. ∴⎰⎰⎰V dxdydz =⎰⎰+Ddxdy y x )(22=⎰⎰+xx dyy x dx 2)(2210=⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-1063223)()(dx x x x x x =353. (2)令x=arsin 2φcos θ, y=brcos 2φcos θ, z=crsin θ, 则J=0cos sin cos cos sin 2sin cos cos cos cos cos sin 2sin sin cos sin 2222θθθϕϕθϕθϕθϕϕθϕθϕcr c br br b ar ar a ---=2abcr 2cos φsin φcos θ,又V ’={(r,φ,θ)|0≤r ≤1, 0≤φ≤2π, 0≤θ≤2π}. ∴⎰⎰⎰Vdxdydz =⎰⎰⎰1022020sin cos cos 2dr r d d abc ππϕϕϕθθ=3abc.5、设球体x 2+y 2+z 2≤2x 上各点的密度等于该点到坐标原点的距离，求这球体的质量.解：依题意，球体的质量M=⎰⎰⎰≤++++xz y x dV z y x 2222222,应用球面变换得V ’={(r,θ,φ)|-2π≤θ≤2π, 0≤φ≤π, 0≤r ≤2sin φcos θ}. ∴M=⎰⎰⎰-θϕπππϕϕθcos sin 203022sin dr r d d =⎰⎰-πππϕϕθθ05224sin cos 4d d =58π.6、证明定理21.16及其推论. 证：证明过程见定理21.16及其推论.7、设V=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤++1),,(222222c z b y a x z y x , 计算下列积分：(1)⎰⎰⎰---Vdxdydz c z b y a x 2222221；(2)⎰⎰⎰++Vc z by ax dxdydz e 222222.解：应用球面变换得V ’={(r,θ,φ)| 0≤θ≤2π, 0≤φ≤π, 0≤r ≤1}. (1)⎰⎰⎰---VdV cz b y a x 2222221=⎰⎰⎰-10220201sin dr r abcr d d ϕϕθππ =42πabc . (2)⎰⎰⎰++Vc z b y ax dV e222222=⎰⎰⎰12020sin dr e abcr d d r ϕϕθππ=)2(4-e abc π.。

高数厦门理工高数作业重积分

《高等数学Ⅰ》练习题系专业班姓名学号 08060122436．1 二重积分（1）一．选择题1．设积分区域D 是4122≤+≤y x ，则⎰⎰Ddxdy = [ B ]（A ）π （B ）3π （C ）4π （D ）15π 2．设积分区域D 是1≤+y x ，则⎰⎰Ddxdy = [ B ]（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）8 3．设平面区域D 由1,21=+=+y x y x 与两坐标轴所围成，若⎰⎰+=Ddxdy y x I 91)][ln(， ⎰⎰+=Ddxdy y x I 92)(，⎰⎰+=Ddxdy y x I 93)][sin(，则它们之间的大小顺序为： [ C ]（A ）321I I I ≤≤ （B ）123I I I ≤≤ （Ｃ）231I I I ≤≤ （Ｄ）213I I I ≤≤ 4．设区域D 是由两坐标轴及直线1=+y x 围成的三角形区域，则⎰⎰Dxydxdy ＝ [ D ]（A ）41 （B ）81 （C ）121 （D ）241二．填空题1．设区域D 是20,10≤≤≤≤y x ，估计积分的值 2 ⎰⎰≤++≤Ddxdy y x )1( 82．设⎰⎰≤+++=10||||22sin cos 100y x yx d I σ，则I 的取值范围是 ≤≤I 23．120xdx xy dy ⎰⎰= 三．计算题1．设区域D 由11≤≤-x ，11≤≤-y 所确定，求 ⎰⎰-Ddxdy x y xy )(解：原式=111221112()03----==⎰⎰⎰dx xy x y dy xdx2．设D 是由直线2=x ，x y =及双曲线1=xy 所围成的平面区域，求⎰⎰Ddxdy yx 22解：由题意知112;⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭D x y x x，于是原式=222312119()4=-=⎰⎰⎰xxx dx dy x x dx y3．设区域D 由x y x y ==22,所围成，求σd y xD)(2⎰⎰+.解; 由题意知{}x y x x D ≤≤≤≤=2;10，于是原式=2511242333)()22140+=+-=⎰⎰x x dx x y dy x x dx《高等数学Ⅰ》练习题系专业班姓名学号6．1 二重积分（2）一．选择题1．设区域D 是顶点为)0,0(O 、)1,10(A 、)1,1(B 的三角形，则⎰⎰-Ddxdy y xy 2= [ C ]（A ）3 （B ）5 （C ）6 （D ）10 2．设),(y x f 是连续函数，则0(,)a xdx f x y dy ⎰⎰= [ B ]（A ）00(,)a ydy f x y dx ⎰⎰ （B ）0(,)aaydy f x y dx ⎰⎰（C ）(,)ay ady f x y dx ⎰⎰ （D ）0(,)a ady f x y dx ⎰⎰3．二次积分220(,)x dx f x y dy ⎰⎰的另一种积分次序是 [ A ]（A）420(,)dy f x y dx ⎰ （B）40(,)dy f x y dx ⎰ （C ）242(,)xdy f x y dx ⎰⎰ （D）402(,)dy f x y dx ⎰⎰4．设f 是连续函数，而D ：122≤+y x 且0>y ，则dx dy y x f D)(22⎰⎰+= [ A ]（A ）10()rf r dr π⎰ （B ）1()f r dr π⎰ （C ）21()rf r dr π⎰ （D ）21()f r dr π⎰二．填空题 1．改换积分的次序12201(,)(,)x x dx f x y dy dx f x y dy -+⎰⎰⎰⎰=2．改换积分的次序212(,)xdx f x y dy -⎰⎰=3．化二次积分为极坐标的二次积分101(,)xdx f x y dy -⎰=⎰⎰+1c o ss i n 120)s i n ,c o s (θθπθθθdr r r rf d三．计算题 1．求222y xdx e dy -⎰⎰解：因为2y e -在简单区域{}02,2=≤≤≤≤D x x y 连续，所以原式=2222401(1)2---==-⎰⎰⎰y y y edy dx yedy e2．设区域D 由y 轴与曲线y x cos =（22ππ≤≤-y ）所围成，求⎰⎰Dydxdy x22sin 3解：由题意，积分区域,0cos 22ππ⎧⎫=-≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭D y x y ，所以原式=cos 222322022sin 3sin cos ππππ--=⎰⎰⎰yydy x dx y ydy22202sin (1sin )sin π=⋅-⎰y y d y 415=3．设积分区域D 为122≤+y x ，求⎰⎰-+Ddxdy xy y x )(22解：令c o s,s i n θθ==x r y r 则积分区域{}02,01θπ=≤≤≤≤D r于是原式=2122000112(sin cos )(sin 2)383πππθθθθθ-=-=⎰⎰⎰d r r r dr d4．设区域D 是由22224ππ≤+≤y x 所围成，求dxdy y x D⎰⎰+22sin解：令cos ,sin ,θθ==x r y r 则积分区域{}02,2θπππ=≤≤≤≤D r 于是原式=⎰⎰220sin d r rdr πππθ=⋅-+22(cos sin )|r r r πππ=-26π《高等数学Ⅰ》练习题系专业班姓名学号6．3 三重积分（1）一．选择题1．设区域2222|),,{(R z y x z y x ≤++=Ω，}0≥z ，22221|),,{(R z y x z y x ≤++=Ω，}0,0,0≥≥≥z y x ，则等式成立的是 [ C ]（A ）⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=14xdv xdv （B ）⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=14ydv ydv（C ）⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=14zdv zdv （D ）⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=14xyzdv xyzdv2．若三重积分⎰⎰⎰Ω=328πdxdydz ，积分区域Ω为 [ C ] （A ）4122≤+≤y x ，380≤≤z （B ）422≤+y x ，380≤≤z （C ）41222≤++≤z y x （D ）4222≤++z y x 二．计算题 1．计算⎰⎰⎰Ωdv z xy32，其中Ω是由曲面xy z =与平面x y =，1=x 和0=z 所围成的闭区域.解：由题意，积分区域{}01,0,0x y x z xy Ω=≤≤≤≤≤≤，则原式=1231364xxydx dy xy z dz =⎰⎰⎰ 2．计算⎰⎰⎰Ω+dv y x )(22，其中Ω是由曲面z y x 222=+及平面2=z 所围成的闭区域. 解：由题意，利用柱坐标变换cos sin x r y r z z θθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩可得积分区域2r ⎧⎫则原式=2222302163r d r dr dz πθπ=⎰⎰⎰ 3．计算⎰⎰⎰Ωzdv ，其中闭区域Ω是由不等式2222)(a a z y x ≤-++，222z y x ≤+所确定. 解：由题意，利用柱坐标变换cos sin x r y r z z θθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩可得积分区域{02,0,Ω=≤≤≤≤≤≤r a r z a θπ，则原式=42076=⎰⎰⎰aa ra d rdr πθπ《高等数学Ⅰ》练习题系专业班姓名学号6．3 三重积分（2）1．求由曲面226y x z --=及22y x z +=所围成的立体的体积.解：由题意，利用柱坐标变换cos sin x r y r z z θθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩可得积分区域{}202,02,6r r z r θπΩ=≤≤≤≤≤≤-，则所求立体的体积22260323r rV dv d rdr dz ππθ-Ω===⎰⎰⎰⎰⎰⎰2．求锥面22y x z +=被柱面x z 22=所割下部分的曲面面积.解：锥面22y x z +=被柱面x z 22=所割下部分的曲面在xy 平面上的投影{}22(,);(1)1,,xy x y x y x y R σ=-+=∈于是所求曲面面积2cos 202S d πθπσθ-==⎰⎰⎰⎰2202d πθθ==⎰3．设平面薄片所占的闭区域D 由抛物线2x y =及直线x y =所围成，它在点),(y x 处的面密度y x y x 2),(=μ，求该薄片的质心。

微积分II(甲)多元函数积分学练习

微积分II （甲）多元函数积分学练习题一、二重积分１.计算二重积分22d Dx yσ⎰⎰，其中D 是由1,,2y x y x x ===所围成的闭区域．２.计算二重积分Dxyd σ⎰⎰，其中D 是由直线2y y x ==、和2y x =所围成的闭区域．３. 作出积分区域的图形,交换积分次序,计算10dy ⎰.４．计算二重积分2,{(,)1,02}Dy xd D x y x y σ-=≤≤≤⎰⎰５.用极坐标计算Dσ⎰⎰，其中D 为{}22(,)|4,0,0x y x y x y +≤≥≥．６. 设D 为闭区域22{(,)|2}x y x y y +≤，将二重积分(,)Df x y d σ⎰⎰化为极坐标下的累次积分．７. 设D 为闭区域22{(,)|2,}x y x y x y x +≤≤，将二重积分(,)Df x y d σ⎰⎰化为极坐标下的累次积分．8. 利用二重积分计算由曲面22z x y =+和平面1z =所围成的立体的体积. 9.求由三个坐标面和平面1=+y x 及抛物面z y x -=+622所围立体的体积． 10．求由()π≤≤=x x y 0sin 与0=y 所围的均质薄板的质量中心．二、三重积分 11. 求xydV Ω⎰⎰⎰，其中Ω为1x y +=,1z =与三个坐标面所围成的三棱柱体．12. 求()⎰⎰⎰Ω+++dV z y x 311，其中Ω为三个坐标面与平面1=++z y x 所围成的四面体． 13．计算下列三重积分⎰⎰⎰Ω+dV y x z 22 ，其中Ω由22z x y =+及平面1z =围成． 14. 计算,⎰⎰⎰ΩzdV 其中Ω是由球面4222=++z y x与抛物面z y x 322=+所围成(在抛物面内的那一部分)的闭区域． 15．计算()d V z y x⎰⎰⎰Ω++222，其中Ω是球体1222≤++z y x ．16. 计算球体22222a z y x ≤++在锥面22y x z +=上方部分Ω的体积．17．求由曲面)0(2222>=++a az z y x 及222z y x =+（含有z 轴部分）所围成空间的体积．18. 立体Ω是圆柱面122=+y x 内部, 平面2=z 下方, 抛物面221y x z --=上方部分, 其上任一点的密度与它到z 轴之距离成正比(比例系数为K )，求Ω的质量m ．三、曲线积分19．计算⎰Γxdl ，其中 Γ是由x y =和2x y = 围成的区域的整个边界。

高数第六章重积分课堂练习题及答案

r O
图3
D {(r, ) | 0 r r( ), 0 2}
f
(r cos , r sin )rdrd
2
0
d r( ) 0
f
(r cos , r sin )rdr
D
2o 极点在区域 D 的边界上，如图 8-10 所示.
O
r
图4
D {(r, ) | 0 r r( ), }
r( )
D
D
大小. 先判断 f (x, y) 和 g(x, y) 在 D 上的大小关系，再应用二重积分的比较性质比较两个二
重积分的大小.
解: 由 (x 1)2 ( y 1)2 2 ，可得
y
x y 1 (x2 y2 2x 3) 1 [(x 1)2 y2 ] 1 1
2
2
x
如图 8-22.
o
图 8-22
成的在第一卦限内的立体体积. R3 arctan K
y
3
z x2 y2 z2 1
y
O Dxy
y
x
x2 y2 1
O
x
o
x
图6
2. 求由曲面 z x2 2 y2 及 z 6 2x2 y2 所围成的立体的体积. 6 3. 求由曲面 z x2 y 2 及 z x 2 y 2 所围成的立体的体积
D
[思路] 利用二重积分的估值性质估计二重积分，先计算被积函数在积分区域上的最大、最小值和积分区域的面积，应用估值性质来估计二重积分的值.
解: 因为在积分区域 D 上， 0 x 1,0 y 2 ，所以 0 xy 2, 1 x y 1 4
于是可得 0 xy(x y 1) 8 ，而 D 的面积 1 2 2 ，应用估值性质有

微积分II(甲)多元函数积分学练习解答

微积分II （甲）多元函数积分学练习题解答１.计算二重积分22d D x yσ⎰⎰，其中D 是由1,,2y x y x x ===所围成的闭区域．解：222121x xDx xyd dx dy y σ=⎰⎰⎰⎰ ()231124x x dx =-=⎰ ２.计算二重积分Dxyd σ⎰⎰，其中D 是由直线2y y x ==、和2y x =所围成的闭区域．解：202yy Dxyd dy xydx σ=⎰⎰⎰⎰2234003338322y dy y ⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎰ ３. 作出积分区域的图形,交换积分次序,计算10dy ⎰.解：21021)9x I dx ==⎰⎰４．计算二重积分2,{(,)Dy xd D x y x σ-=≤⎰⎰ 解： 12D D D =⋃（1D 是所有阴影部分面积）12222DD D y x d y x d y x d σσσ-=-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰()()2211222101x xdx x y dy dx y x dy --=-+-⎰⎰⎰⎰11424111146(22)2215x dx x x dx --=+-+=⎰⎰．５.用极坐标计算Dσ⎰⎰，其中D 为{22(,)|4,0,0x y x y x y +≤≥≥．解：32233220cos cos =cos cos =4DDDr r rdrd r drd d r dr d r dr ππσθθθθθθθθ=⋅⋅==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰６. 设D 为闭区域22{(,)|2}x y x y y +≤，将二重积分(,)Df x y d σ⎰⎰化为极坐标下的累次积分．2解：Ｉ＝2sin 0(cos ,sin )d f r r rdr πθθθθ⎰⎰．７. 设D 为闭区域22{(,)|2,}x y x y x y x +≤≤，将二重积分(,)Df x y d σ⎰⎰化为极坐标下的累次积分．解：Ｉ＝2cos 402(cos ,sin )d f r r rdr πθπθθθ-⎰⎰．8. 利用二重积分计算由曲面22z x y =+和平面1z =所围成的立体的体积. 解设所求体积为V ，则有=V ()221Dxy d σ--⎰⎰，其中 (){}22,1D x y xy =+≤，于是=V ()()22211D Dxy d r rdrd σθ--=-⎰⎰⎰⎰=()212012d r rdr ππθ-=⎰⎰.9.求由三个坐标面和平面1=+y x 及抛物面z y x -=+622所围立体的体积．解设所求体积为V ，则有=V ()⎰⎰--Dd y xσ226，其中 (){}x y x y x D -≤≤≤≤=10,10,，于是=V ()⎰⎰--Dd y xσ226=()112206x dx xy dy ---⎰⎰()1323011766136x x x x dx ⎡⎤=--+--=⎢⎥⎣⎦⎰10．求由()π≤≤=x x y 0sin 与0=y 所围的均质薄板的质量中心．解设该薄板所在区域为D ，则该均质薄板的面积为 0sin 2S xdx π==⎰，又有 sin 00x Dxd dx xdy πσπ==⎰⎰⎰⎰，及sin 04x Dyd dx y dy ππσ==⎰⎰⎰⎰，由均质平面薄片的质量中心公式可得所求质量中心坐标为⎪⎭⎫⎝⎛8,2ππ．二、三重积分11. 求xydV Ω⎰⎰⎰，其中Ω为1x y +=,1z =与三个坐标面所围成的三棱柱体．解xydV Ω⎰⎰⎰111x dx dy xydz -=⎰⎰⎰=1100x dx xydy -⎰⎰()120111224x x dx =-=⎰． 12. 求()⎰⎰⎰Ω+++dV z y x 311，其中Ω为三个坐标面与平面1=++z y x 所围成的四面体．解 ()⎰⎰⎰Ω+++dV z y x 311()111300011x x y dx dy dz x y z ---=+++⎰⎰⎰ =()1121318821x dx x dy x y -⎡⎤-+⎢⎥++⎢⎥⎣⎦⎰⎰()1013115ln 2218828x dx x ⎡⎤⎛⎫=-+=-⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎣⎦⎰． 13．计算下列三重积分⎰⎰⎰Ω+dV y x z 22 ，其中Ω由22z x y =+及平面1z =围成．解 Ω在z xoy =平面上的投影区域为22{(,)1}x y x y +≤ 可用柱面坐标计算：221211122200012401224(1).21r r d r dr zdz r dr z r r dr πθπππΩ⎛⎫== ⎪⎝⎭=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 14. 计算,⎰⎰⎰ΩzdV 其中Ω是由球面4222=++z y x 与抛物面z y x 322=+所围成(在抛物面内的那一部分)的闭区域．解球面4222=++z y x 与抛物面z y x 322=+的交线为2222243x y z x y z⎧++=⎪⎨+=⎪⎩ 从中解得两曲面交线为,1=z 223x y +=，Ω在xOy 面上的投影区域为:D ,30≤≤r πθ20≤≤，利用柱面坐标，对投影区域D 内任一点),,(θr 有2243r z r -≤≤，所以I 23r DzdV rdrd θΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰2203r d zdz πθ=⋅⎰⎰⎰π413=． 15．计算()d V z y x⎰⎰⎰Ω++222，其中Ω是球体1222≤++z y x ．解()⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=++θϕρϕρd d d dV z y xsin 42222140004sin 5d d d ππθϕϕρρπ==⎰⎰⎰16. 计算球体22222a z y x ≤++在锥面22y x z +=上方部分Ω的体积．解在球面坐标系中, :Ω,20a r ≤≤,40πϕ≤≤πθ20≤≤，故所求体积V ⎰⎰⎰Ω=dV 224sin d d d ππθϕρϕρ=⎰⎰⎰340)2sin 3d ππϕϕ=⋅⎰.)12(343a -=π 17．求由曲面)0(2222>=++a az z y x 及222z y x =+（含有z 轴部分）所围成空间的体积．解在球面坐标下计算⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ==θϕρϕρd d d dV V sin 222cos 24sin a d d d ππϕθϕϕρρ=⎰⎰⎰3334082cos sin 3a d a ππϕϕϕπ==⎰．18. 立体Ω是圆柱面122=+y x 内部, 平面2=z 下方, 抛物面221y x z --=上方部分, 其上任一点的密度与它到z 轴之距离成正比(比例系数为K )，求Ω的质量m ．解据题意得，密度函数为,),,(22y x K z y x +=ρ所以.),,(22⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ+==dV y x K dV z y x m ρ利用柱面坐标，先对z 积分，Ω在xOy 平面上投影域D 为},1),({22≤+=y x y x D故222212122001()r Dr m Kr rdrd dz K r drd dzK d r dr dzπθθθ-Ω-===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰1220162(1)15KK r r dr ππ=+=⎰．三、曲线积分19．计算⎰Γxdl ，其中 Γ是由x y =和2x y = 围成的区域的整个边界。

重积分练习题

第6章重积分练习题习题6.11．设xoy 平面上的一块平面薄片Ｄ，薄片上分布有密度为),(y x u 的电荷，且),(y x u 在Ｄ上连续，请给出薄片上电荷Q 的二重积分表达式．2．由平面1342=++z y x ，0=x ， 0=y ，0=z 围成的四面体的体积为V ，试用二重积分表示V ．3．由二重积分的几何意义计算⎰⎰--Dd y x Rσ222，222:R yx D ≤+．4．⎰⎰=Dd y x f I σ),(．y y x D 2:22≤+，写出I 的累次积分式．5．交换下列累次积分的积分顺序： ⑴⎰⎰--aa x a dy y x f dx 22),(． ⑵⎰⎰⎰⎰-+31301020),(),(y y dx y x f dy dx y x f dy ．6．计算下列二重积分： ⑴⎰⎰+Dyx d eσ23．2||,2||:≤≤y x D ． ⑵⎰⎰+Dd y x σ)(22．1||||:≤+y x D ．⑶⎰⎰+Ddxdy yx221．10,10:≤≤≤≤y x D ． ⑷⎰⎰--Ddxdy y x )2(21．2,:x y x y D ==．7．运用极坐标变换计算下列二重积分： ⑴⎰⎰+Ddxdy y x 22．1:22≤+yx D ．⑵⎰⎰+Ddxdy y x )(22．y y x D 6:22≤+．⑶⎰⎰++Dd y x σ)1ln(22．4:22≤+y x D ，0≥x ，0≥y ．8．现有一平面薄片，占有xy 平面上的区域D ，在点),(y x 处的面密度为),(y x u ，且),(y x u 在D 上连续，求该平面薄片的重心表达式．9．学习（或复习）物体转动惯量的相关物理知识．探究均匀薄片转动惯量的二重积分表达式，然后计算斜边长为a 的等腰直角梯形关于一直角边的转动惯量．习题6.21．在直角坐标系中计算下列三重积分：⑴dxdydz z xy V42⎰⎰⎰．31,20,10:≤≤≤≤≤≤z y x V ．⑵dxdydz z y x V⎰⎰⎰++)sin(．V 由平面0=x ，0=y ，0=z ，2π=++z y x 围成．2．在柱面坐标系下计算三重积分dxdydzy xV⎰⎰⎰+)(22，其中V 由旋转抛物面)(2122y x z +=及平面2=z 所围成的立体．3．在球面坐标系中计算三重积分dxdydz zy x z y x V⎰⎰⎰++++222222cos ，222224:ππ≤++≤z y x V ．4．运用三重积分求半径为R 的球体的体积．5．运用三重积分求球面z z y x 2222=++和锥面（以z 轴为轴，顶角为︒90）所围部分的体积．6．求曲面z z y x 8)(2222=++围成部分的体积．习题6.31．求球面16222=++z y x 被平面1=z 和2=z 所夹部分的面积．2．一段铁丝刚好围成三角形ABC ，其中)0,0(A 、)0,1(B 、)1,0(C ，三边上点),(y x 处的线密度为y x +，求这段铁丝的质量．3．求⎰τzds ，τ为圆锥螺线⎪⎩⎪⎨⎧===t z t t y t t x sin cos ．4．求ds y x ⎰+τ22，其中τ为圆周x y x 222=+．5．计算⎰+Lxdy ydx ，其中L 是由点)0,1(沿上半圆122=+y x 到)0,1(-．6．)0,0(A ， )1,1(B 在抛物线2x y =上，一质点从A 移动到B 沿上．在点),(y x 处所受的力F 等于该点到原点的距离，且指向原点，求力F 所作的功半圆．7．利用格林公式计算：dy y x dx y x )()(222+++⎰τ，τ为区域10≤≤x ，x y x ≤≤2的正向边界曲线．8．计算ydx x dy xy 22-⎰τ，其中τ为圆周122=+y x ．9．计算球面的质量m ，已知球半径为1，球面上各点密度等于这点到铅直直径的距离．10．计算⎰⎰++SdS z y x )(．4:222=++z y x S ，0≥z ．11．计算⎰⎰SzdS ．S 是平面1=++z y x 在第一卦限部分．12．计算⎰⎰++Szdxdy ydxdz xdydz ．S 为球面1222=++z y x 的外表面．13．用高斯公式计算上面第12题．复习题六一、判断题（正确的打“√”，错误的打“×”）1．若0),(≥y x f ，则⎰⎰Ddxdy y x f ),(的几何意义是以区域D 为底、曲面),(y x f z =为曲顶的曲顶柱体的体积．（）2．若设}11,10|),{(≤≤-≤≤=y x y x D ，则0≥⎰⎰dxdy xe Dxy ．（）3．若设D 是由1=+y x 、1=-y x 和0=y 所围成的区域，则有=⎰⎰dxdy xy Ddy xy dx x x⎰⎰--111．（）4．⎰⎰⎰⎰=11ln 0),(),(eeexydxy x f dy dy y x f dx ．（）5．若设L 是围成区域D 的边界曲线，则dy y x Q dx y x P L ),(),(+⎰σd yQ xP D)(∂∂-∂∂=⎰⎰．（）二、填空题1．设}2||,1|||),{(≤≤=y x y x D ，则⎰⎰=Ddxdy ．2．设}14|),{(22≤+=y xy x D ，则⎰⎰=Ddxdy ．3．设}|),{(222R y x y x D ≤+=，由重积分的几何意义得⎰⎰=--Dd y x R σ222．4．若dr r r f r d dy y x f dx aa xa ⎰⎰⎰⎰--=)sin ,cos (),(22θθθβα，则=),(βα．5．设L 为椭圆14922=+yx的正向边界，=+⎰Lydy xdx cos 3 ．三、选择题1．若D 是由kx y =)0(>k ，0=y 和1=x 围成的三角形区域，且⎰⎰=Ddxdy xy 1512，则=k （）A ．1B ．354 C ．3151 D ．3522．将极坐标系下的二次积分dr r r f r d I ⎰⎰=θπθθθsin 20)sin ,cos (化为直角坐标系下的二次积分，则=I （）A ．⎰⎰--+--11111122),(y y dx y x f dy B ．⎰⎰---202222),(xx xx dyy x f dx C ．⎰⎰----112222),(yy yy dxy x f dy D ．⎰⎰--+--11111122),(xxdyy x f dx3．二次积分⎰⎰2142),(x dy y x f dx 交换积分次序为（）A ．⎰⎰2014),(ydxy x f dy B ．⎰⎰2040),(ydx y x f dyC ．⎰⎰1040),(ydx y x f dy D ．⎰⎰1024),(ydxy x f dy4．若D 是由2x y =和2y x =所围成的区域，L 为区域D 的正向边界，则⎰-Ldxy dy x 222131= （）A ．143 B ．91 C ．41 D ．52415．若L 是围成平面内一闭区域D 的正向边界曲线，则曲线积分⎰+Lxy dy x dx xe 2可化为二重积分（）A ．⎰⎰-Dxy d x e x σ)2(2 B ．⎰⎰-Dxy d e x x σ)2(2C ．⎰⎰+Dxy xy d e x e σ)(2 D ．⎰⎰-Dxy xy d e x e σ)(2四、解答题1．区域D 是由抛物线yx =，直线0=x 和0223=+-y x 围成，计算⎰⎰Dxdxdy 的值2．设}|),{(222π≤+=y x y x D ，求二重积分⎰⎰+Ddxdy y x 22sin3．计算dy y e dx y y e x Lx )1cos ()sin (-+-⎰，其中Ｌ是圆周x y x 422=+，且正向为逆时针方向4．求半径为R ，高为H )(R H <的球冠面积5．求两个底面半径相等的直交圆柱面222R y x =+与222R z x =+所围成的立体的体积。

心流学院(心流数学)—高等数学考研真题训练—二重积分

性质 7 二重积分的对称性
(1)普通对称性：设积分区域D关于Y轴对称，则
2D1 f x, y dxdy, f x, y f x, y , D f x, y dxdy f x, y f x, y 0,
(2)轮换对称性：若积分区域D关于y=x对称，则
( x y )dxdy d
3 4
D
3 4
2(sin cos )
0
(r cos r sin )rdr
1 (cos sin ) r d 3 0 4 3 8 4 (cos sin ) (sin cos ) (sin cos ) 2 d 3 4
f(x ,y ) d D

c
d
dy
2(y )
1(y )
f(x ,y ) dx .
f(x ,y ) dxdy D

f(r cos ,r sin )rdrd . D
一些公式：
2 2 4 2 0 sin xdx 1 2 , 4 sin xdx 2 ,
二重积分习题
二重积分的定义
定义: 设 f ( x , y ) 是定义在有界区域 D上的有界函数 ,
将区域 D 任意分成 n 个小区域任取一点若存在一个常数 I , 使
记作
则称 f ( x , y ) 可积 , 称 I 为 f ( x , y )在D上的二重积分.
积分和
积分表达式
x , y 称为积分变量

2 0
f sin x dx 2 f cos x dx;
0

0
xf sin x dx

二重积分的计算及应用习题课1精品文档

2a,x
D2
将积分 D分区成 D 域 1,D2
D1
D3
及D3三部 , 分
D1
: y2 2a
xa
a2 y2,
y2
0 ya;
D 2:2ax2a,ay2a;
D3:a a2y2 x2a,
0ya;
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D1
y2 :
2a

xa
0 ya;
a2 y2,
D 2:2 ya 2x2a,ay2a;
(2) f(x,y)f(x,y)时 ,
I2f(x,y)dxdy2f(x,y)dxdy.
D 1
D 2
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4.D 关y于 x对.称
f(x ,y)d x d yf(y,x )d x d y
D
D
5 .D 1,D 2 关 y 于 x 对 . 称
f(x,y)d x d yf(y,x)d x d y
D1 D2
o 1x
作辅助线 yx将D 分成 D1, D2 两部分
2D 2(xy)dxdy2Ddxdy
2(

21)
3
2
说明: 若不利用对称性，需分块积分以去掉绝对值符号.
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19
练习题
P182 题1（2）
A
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20
练习题
P182 题6
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其它情形依此类推.
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P182 题1(1) 设有空间闭区域
1 { x ,y , ( x ) |x 2 y 2 z 2 R 2 ,z 0 }
2 { ( x ,y , x ) |x 2 y 2 z 2 R 2 , x 0 ,y 0 , z 0 }

多重积分例题

1. 计算二重积分∫∫Dxy，其中D是由x^2+y^2≤1和x+y≥0所围成的闭区域。

解：首先作出不等式组对应的平面区域，然后利用极坐标变换进行求解。

将x²+y²=1代入x+y=0得，x=±√3/2，y=±1/2。

因此，D由圆心在原点，半径为1的上半圆和直线x=-√3/2，y=1/2以及直线x=√3/2，y=-1/2所围成。

将(x,y)代入极坐标系中，得到D的极坐标方程为：θ∈[0,π/4]∪[π/2,π]，r²=1-sin²θ。

因此，二重积分的计算结果为：∫∫Dxy = ∫[0,π/4]dθ∫[0,1-sin²θ]r²dr + ∫[π/4,π/2]dθ∫[0,1-sin²θ]r²dr + ∫[π/2,π]dθ∫[0,1-sin²θ]r²dr= (1/2)(1-cos²θ)|_0^{π/4} + (1/2)(1-cos²θ)|_{\pi/4}^{\pi/2} + (1/2)(1-cos²θ)|_{\pi/2}^{\pi}= π/8 - 3/4。

2. 计算三重积分∫∫∫Ωzdxdydz，其中Ω是由x²+y²+z²≤1和x+y+z≥0所围成的闭区域。

解：首先作出不等式组对应的空间区域，然后利用柱面坐标变换进行求解。

将x²+y²+z²=1代入x+y+z=0得，x=y=z=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$。

因此，Ω由球心在原点，半径为1的球体和点(-dfrac{\sqrt{3}}{3},-\dfrac{\sqrt{3}}{3},-\dfrac{\sqrt{3}}{3})所围成。

将(x,y,z)代入柱面坐标系中，得到Ω的柱面坐标方程为：r=1，θ∈[0,2π]，φ∈[0,π]。

因此，三重积分的计算结果为：∫∫∫Ωzdxdydz = ∫[0,2π]dφ∫[0,π]rdθ∫[0,1]r²sinφdz= (1/2)(r³sinφ)|_0^{π} |_0^{π} |_0^{1}= π/6。

练习题3二重积分练习题2

极坐标计算二重积分1.把积分dxdyy x f D),(⎰⎰表示为极坐标形式的二次积分, 其中积分区域D是:222{(,)|},x y x y a +≤ 其中0a >解积分区域D 如图. 因为D ={(ρ, θ)|0≤θ≤2π, 0≤ρ≤a }, 所以θρρθρθρd d f d x d y y x f DD)s i n ,c o s (),(⎰⎰⎰⎰=⎰⎰=πρρθρθρθ20)s i n ,c o s (d f d a.2.把积分d xd y y x f D),(⎰⎰表示为极坐标形式的二次积分, 其中积分区域D 是:2222{(,)|},x y a x y b ≤+≤, 其中0<a <b ;解因为D ={(ρ, θ)|0≤θ≤2π, a ≤ρ≤b }, 所以 θρρθρθρd d f d x d y y x f DD)s i n ,c o s (),(⎰⎰⎰⎰=⎰⎰=πρρθρθρθ20)s i n ,c o s (bad f d .3. 将二重积分⎰⎰=Dd y x f Iσ),(化为极坐标形式的累次积分, 其中:. D: 2222,a x y b ≤+≤0y ≥,(0)b a >>解⎰⎰⎰⎰==baDd f d d y x f I ρρθρθρθσπ)sin ,cos (),(04. 22xy DI e dxdy +=⎰⎰，其中2222:(0)D a x y b a b ≤+≤<<，则I=（）A（A ）22()b a e e π- （B ）222()b a e e π-（C ）()2b a e π- （D ）()b ae π-答案：（A ）解2222222012()2bx y bb a aa DI edxdy d e d e e e πρρθρρππ+===⋅=-⎰⎰⎰⎰，选A5.计算σd e y xD22+⎰⎰，其中D 是由圆周x 2+y 2=4所围成的闭区域;解在极坐标下D ={(ρ, θ)|0≤θ≤2π, 0≤ρ≤2}, 所以θρρσρd d e d e Dy x D222⎰⎰⎰⎰=+)1()1(2124420202-=-⋅==⎰⎰e e d e d ππρρθπρ.6.计算σd y x D)1ln(22++⎰⎰，其中D 是由圆周x 2+y 2=1及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域;解在极坐标下}10 ,20|),{(≤≤≤≤=ρπθθρD , 所以θρρρσd d d y xDD)1l n ()1l n (222+=++⎰⎰⎰⎰)12l n 2(41)12l n 2(212)1l n (0102-=-⋅=+=⎰⎰πρρρθπd d .7.计算⎰⎰++--Ddxdy yx y x 222211, D: 221,0,0x y x y +≤≥≥. 解.=++--⎰⎰Ddxdy yx y x 222211⎰⎰⎰+-=+-12211411,dt ttxd d D πθρρρρθρu t t =+-11令 ⎰+10222)1(du u u π θtan =u 令 θθθθππd ⎰40422sec sec tan =)2(8sin 42-=⎰ππθθππd .8.计算σd yx y x D222211++--⎰⎰, 其中D 是由圆周x 2+y 2=1及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域;解在极坐标下}10 ,20|),{(≤≤≤≤=ρπθθρD , 所以θρρρρσd d d y x y x D D ⋅+-=++--⎰⎰⎰⎰2222221111)2(811102220-=+-=⎰⎰ππρρρρθπd d .9.计算σd xyDarctan ⎰⎰, 其中D 是由圆周x 2+y 2=4, x 2+y 2=1及直线y =0, y =x 所围成的第一象限内的闭区域.解在极坐标下}21 ,40|),{(≤≤≤≤=ρπθθρD , 所以θρρθθρρθσd d d d d xyDDD⋅=⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰)a r c t a n (t a n a r c t a n 2401d d πθθρρ=⋅⎰⎰324013d 64d ππθθρρ==⎰⎰..10.计算σd y x D22+⎰⎰, 其中D 是圆环形闭区域2222{(,)|},x y a x y b ≤+≤ 解在极坐标下D ={(ρ, θ)|0≤θ≤2π, a ≤ρ≤b }, 所以σd y x D22+⎰⎰)(3233202a b dr r d ba -==⎰⎰πθπ.11 .设22:16D x y +≤，则224______.Dx y dxdy +-=⎰⎰80π答案：解将积分区域分为22224,416x y x y +≤≤+≤两部分，计算可得。

高等数学各类积分题目

高等数学各类积分题目
以下是一些高等数学中各类积分题目，可供参考：
1. 求不定积分。

例如，计算。

2. 计算定积分。

例如，计算。

3. 求二重积分。

例如，计算。

4. 求三重积分。

例如，计算。

5. 求曲线积分。

例如，计算。

6. 求曲面积分。

例如，计算。

7. 求解与微分方程相关的积分。

例如，求解。

8. 求解与微分方程相关的定积分。

例如，计算。

9. 求解与微分方程相关的二重积分。

例如，计算。

10. 求解与微分方程相关的三重积分。

例如，计算。

以上题目难度各异，可以根据自己的学习情况选择合适的题目进行练习。

同时，也可以参考教材、习题集等资料，多做练习以巩固基础和提高解题能力。

三重积分习题课

再画出的图形
x
z
2 2 z x y
y
2 2 x y 1
（ 1）将投影到 yoz 面
由 z x y
2
2 2 x z y
z
2

得
o
2 2 z x y
y
2 2 x y 1
x
0z 1 D yz : : z yz 2 2 2 2 z y x z y
2
2
4 5 6 sin cos d r d r R 0 0 5
2 R 4
Ω
0

0 0

一、关于三重积分性质和应用的题类
2 2 2 2 : x y z h 【例2】设
3 22 4 M ( x cos y x y x ) dV
【解Ⅰ】
有 xdv 0 . 奇函数，
利用球面坐标

( x zd r cos r sin dr 0 0
2
4 0

1
. 8
【解Ⅱ】利用柱面坐标
( x z ) dv zdv
6.三重积分性质的应用题估计重积分的值比较重积分的大小重积分中值定理的应用（二）、三重积分计算的基本技巧
(1) 交换积分顺序的方法 (2) 利用对称性简化计算 (3) 消去被积函数绝对值符号分块积分法利用对称性
(4)被积函数为1时巧用其几何意义
dxdydz 的体积
2 23 3 N ( x sin y x y z ) dV
3 4 2 22 P ( z x cos y x z ) dV

二三重积分习题课

0 0
x y
1
2x
x2
及D2
:
1 0
x2 y2
x
由D1, D2作出D的图形，见图11-4。
于是
D
:
1
1 y2 x 2 y
0 y 1
图11-4
1 2 y
故 I dy
f (x, y)dx
0 1 1 y2
2. 选择积分次序凡遇如下形式积分：
s in x dx, s in x2dx, cosx2dx, x
3. 球面坐标先ρ次φ后θ
向XOY面投影的变化范围[, ]
作半平面的变化范围 1( ) 2 ( ) 再由圆心引射线穿越得入点1(， )和出点2 (， )
问题2 当被表示成？形式时，三重积分
I f (x, y, z)dv可表为三次积分？
I1.直角坐? d标 ? dr ? ? f (r? Cos? , rSin , z)rdz
形式时三重积分直角坐标直角坐标先先zz次次yy后后xxdydxxyxyxyxoy和出点再过和出点的变化范围轴投影dydxdxdzxzxzxzxoz和出点再过和出点的变化范围轴投影dxdzdydzyzyzyzyoz和出点再过和出点的变化范围轴投影dydzdzdyyzyzyzyoz和出点再过和出点的变化范围轴投影dzdy柱面坐标柱面坐标先先zz次次rr后后rsinrcosxoy和出点再过和出点的变化范围用极坐标面投影rsinrcos球面坐标球面坐标先先次次后后再由圆心引射线穿越的变化范围的变化范围作半平面面投影cossinsinsincossincossinsinsincos问题问题33坐标来计算三重积分
【例14】设f(x)在[0,a](a > 0)上连续，试证：

重积分习题与答案

第九章重积分A1、填空题1）交换下列二次积分的积分次序（1）______________________________________________ （2）______________________________________________ （3）_______________________________________________ （4）___________________________________________ （5）______________________________________________ （6）________________________________________2）积分的值等于__________________________________3)设，试利用二重积分的性质估计的值则。

4)设区域是有轴、轴与直线所围成，根据二重积分的性质，试比较积分与的大小________________________________5）设，则积分___________________________________________6)已知是由所围，按先后再的积分次序将化为累次积分，则7）设是由球面与锥面的围面，则三重积分在球面坐标系下的三次积分表达式为2、把下列积分化为极坐标形式，并计算积分值1）2）3、利用极坐标计算下列各题1），其中是由圆周及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域.2），其中是由圆周及坐标轴所围成的在第一象限的闭区域.3），其中是由圆周及直线所围成的在第一象限的闭区域.4、选用适当的坐标计算下列各题1),其中是直线及曲线所围成的闭区域.2），其中是顶点分别为和的梯形闭区域.3），其中是圆周所围成的闭区域.4），其中是圆环形闭区域.5、设平面薄片所占的闭区域由螺线上一段弧与直线所围成，它的面密度为，求这薄片的质量（图9-5）.6、求平面，，，以及球心在原点、半径为的上半球面所围成的在第一卦限内的立体的体积（图9-6）.7、设平面薄片所占的闭区域由直线，和轴所围成，它的面密度，求该薄片的质量.8、计算由四个平面，，，所围成的柱体被平面及截得的立体的体积.9、求由平面，，所围成的柱体被平面及抛物面截得的立体的体积.10、计算以面上的圆周围成的闭区域为底，而以曲面为顶的曲顶柱体的体积.11、化三重积分为三次积分，其中积分区域分别是1）由双曲抛物面及平面所围成的闭区域.2）由曲面及所围成的闭区域.12、设有一物体，占有空间闭区域，在点处的密度为，计算该物体的质量.13、计算，其中是由曲面，与平面和所围成的闭区域.14、计算，其中为球面及三个坐标面所围成的在第一卦限内的闭区域.15、算，其中是由锥面与平面所围成的闭区域.16、利用柱面坐标计算三重积分，其中是由曲面及所围成的闭区域.17、利用球面坐标计算三重积分，其中是由球面所围成的闭区域.18、选用适当的坐标计算下列三重积分1），其中为柱面及平面，，所围成的在第一卦限内的闭区域.2），其中是两个球和的公共部分.3），其中是由曲面及平面所围成的闭区域.4），其中闭区域由不等式，所确定.19、利用三重积分计算下列由曲面所围成的立体的体积1）及.2）及(含有轴的部分).20、球心在原点、半径为的球体，在其上任意一点的密度大小与这点到球心的距离成正比，求这球体的的质量.21、求球面含在圆柱面内部的那部分面积.22、求锥面被柱面所割下部分的曲面面积.23、求由抛物线及直线所围成的均匀薄片（面密度为常数）对于直线的转动惯量.24、设薄片所占的闭区域如下，求均匀薄片的质心是半椭圆形闭区域.25、设平面薄片所占的闭区域由抛物线及直线所围成，它在点处的面密度，求该薄片的质心.25、利用三重积分计算下列由曲面所围立体的质心（设密度）1），2），,26、求半径为高为的均匀圆柱体对于过中心而平行于母线的轴的转动惯量（设密度）.B1、根据二重积分的性质，比较下列积分的大小1）与，其中积分区域是由圆周所围成.2）与，其中是三角形闭区域，三顶点分别为，.2、计算下列二重积分1），其中2），其中是由直线，及所围成的闭区域3），，其中3、化二重积分为而次积分（分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次积分），其中积分区域1）由轴及半圆周所围成的闭区域2）环形闭区域4、求由曲面及所围成的立体的体积.5、计算，其中为平面，，，所围成的四面体.6、计算下列三重积分1)，其中是两个球：和的公共部分.2)，其中是由球面所围成的闭区域.3)，其中是由平面上曲线绕轴旋转而成的曲面与平面所围成的闭区域.7、设球体占有闭区域，它在内部各点处的密度的大小等于该点到坐标原点的距离的平方，试求这球体的球心.8、一均匀物体（密度为常量）占有的闭区域由曲面和平面，所围成1）求物体的体积;2）求物体的质心;3）求物体关于轴的转动.C1、利用二重积分的性质，估计积分，其中是由圆周所围成.2、用二重积分计算立体的体积，其中由平面，，，和所围成.3、计算二重积分，其中是由直线，以及曲线所围成的平面区域.4、设在积分域上连续，更换二次积分的积分次序.5、计算二重积分，其中积分区域是由和确定.6、求二重积分的值，其中是由直线，及围成的平面区域.7、计算,其中由曲面及围成.8、计算，其中是由曲面与平面及所围成的闭区域.9、设有一半径为的球体，是此球表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到的距离的平方成正比（比例常数），求球体的重心的位置.10、设有一高度为（为时间）的雪堆在融化过程中，其侧面满足方程（设长度单位为cm，时间单位为h），已知体积减少的速率与侧面积成正比例（比例系数），问高度为130（cm）的雪堆全部融化需多少时间？第九章重积分答案习题答案（A）1、填空题1）①②③④⑤⑥2）3)4)5)6)7)2、1）2）3、1）2）3）4、1）2）3）4）5、6、7、8、9、10、11、1）2）12、13、14、15、16、17、18、1）2）3）4）19、1）2）20、21、22、23、24、25、，26、27、（为圆柱体的质量）（B）1、 1）2）2、1）2)3)3、1），2）4、5、； 6、1）2）3）； 7、8、1）2）3）（C）1、解：令，关键是求在上的最大值和最小值，在内部，，，因此在内部无驻点，最值点一定在边界上取得，作由方程组解得驻点为，，比较可得最小值，最大值为，而的面积为，由估值定理得。

第九章重积分习题

Ω
成的闭区域. 7．利用球面坐标计算下列三重积分：（1） ∫∫∫ x 2 + y 2 + z 2 d x d y d z ，其中 Ω 是由球面 x 2 + y 2 + z 2 = z 所围成的闭区域.
Ω
（2） ∫∫∫ z d x d y d z , 其中 Ω 是由不等式 x 2 + y 2 + ( z − a )2 ≤ a 2 , x 2 + y 2 ≤ z 2 (a > 0) 所确定.
D
（2） ∫∫ y 2 d x d y , 其中 D 是由横轴和摆线 x = a (t − sin t ), y = a(1 − cos t ) (0 ≤ t ≤ 2π ) 所围成
D
的闭区域 (a > 0) . （3） ∫∫ xy d σ , 其中 D 是由圆周 x 2 + y 2 = a 2 (a > 0) 所围成.
________ ________ ___ ___
_______________________ d z .
6．利用柱面坐标计算下列三重积分： d xd yd z （1） ∫∫∫ 2 ，其中 Ω 是由锥面 x 2 + y 2 = z 2 以及平面 z = 1 所围成的闭区域. 2 x + y + 1 Ω （2） ∫∫∫ z x 2 + y 2 d x d y d z ，其中 Ω 是由曲面 y = 2 x − x 2 , z = 0, z = a (a > 0), y = 0 所围
D
区域 D 是：（1） 0 ≤ y ≤ x 2 , 0 ≤ x ≤ 1 . （2）由曲线 y = a 2 − x 2 , y = ax − x 2 及 y = − x 围成的闭区域 (a > 0) . 8．利用极坐标计算 ∫∫ y + 3x d x d y, ，其中区域 D 为 x 2 + y 2 ≤ 1 .

3东南大学高等数学习题课-数量值函数积分(二重,三重,第一型曲线,曲面)

所围成的区域。 z = 8 所围成的区域。
z
8
336π .
O
D(z )
2
x
y
东南大学
贺传富
5.
z=
计算 ∫∫∫
Ω
x 2 + y 2 + z 2 − 1dv , 其中 Ω 由圆锥面
x 2 + y 2 与平面 z = 1 所围成 .
z
1
z
1
Ω1
Ω2
O
O
y
y
x
x
π
6
( 2 − 1).
东南大学
贺传富
6. 计算 ∫∫∫
6-2. 设f ( x )连续， : x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1 Ω 证明： f ( z )dV =π ∫ f ( x )(1 − x )dx , ∫∫∫
2 Ω −1 1
东南大学
贺传富
2 2 2
6-3. 设立体Ω由 z = a + a − x − y z=
与
x 2 +y 2围成，求Ω 的质量。Ω内任意点
2
∫∫
Σ2
1+ 4z dA = ∫∫ 1+ 4 dA = 5 ∫∫1 dA
Σ2 Σ2
东南大学
贺传富
3 . ∫∫ ( x + y + z ) dA ,
Σ
Σ : y + z = 5 , x + y ≤ 25
2 2
解:
dA =
Σ
2 dx dy , 2 dx dy
x 2 + y 2 ≤ 25
∫∫ ( x + y + z ) dA = ∫∫ ( x + 5)

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