2020届辽宁省葫芦岛市普通高中高三上学期期末学业质量监测数学(文)试题
辽宁省葫芦岛市普通高中高三上学期期末考试数学文试卷(有答案)
葫芦岛市普通高中第一学期期末考试高三数学（供文科考生使用）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共12个小题,每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数=3+2ii(i 为虚数单位)的虚部为BA.3B. -3C. -3iD. 2 2.设全集U=R ，集合A={|log 2≤2}，B={|(-3)(+1)≥0}，则(C U B)∩A=D A ．(-∞,-1] B ．(-∞,-1]∪(0,3) C ．[0,3) D ．(0,3) 3. 已知平面向量a →,b →满足a →·（a →+b →)=5，且 |a →|=2,|b →|=1,则向量a →与b →夹角的正切值为A.33B.3C. - 3D.-334. 在如下程序框图中，任意输入一次 (0≤≤1)与y(0≤y ≤1)，则能输出 “恭喜中奖！”的概率为AA.18B. 38C. 78D. 145. 某校共有在职教师200人,其中高级教师20人,中级教师100人,初级教师80人,现采用分层抽样抽取容量为50的样本进行职称调研,则抽取的初级教师的人数为B A. 25 B. 20 C. 12 D. 5是开始否输出“恭喜中奖！” y ≥x+12输出“谢谢参与！”结束6. 在圆2+y 2-4-4y-2=0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为 B A ．52 B ．102 C ．152 D ．2027. .最长的棱的长度为CA.3 2B.34C.41D.358.将函数f()=3sin2-cos2的图象向左平移ϕ（0<ϕ<π2)个单位长度后得到函数y=g()的图象，若g()≤|g(π6)|对∈R 恒成立,则函数y=g()的单调递减区间是（ A ）A ．[π+π6,π+2π3] (∈)B ．[π-π3,π+π6] (∈)C ．[π+π12,π+7π12] (∈)D ．[π-5π12,π+π12] (∈)9. 成书于公元五世纪的《张邱建算经》是中国古代数学史上的杰作，该书中记载有很多数列问题，如 “今有女善织，日益功疾。
辽宁省葫芦岛市中国百强中学2020年高三数学文期末试卷含解析
辽宁省葫芦岛市中国百强中学2020年高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 曲线:在点处的切线方程为( )A. B. C. D.参考答案：C2. 已知F1、F2为双曲线：（，）的左、右焦点，直线与双曲线C的一个交点P在以线段F1F2为直径的圆上，则双曲线C的离心率为A. B. C. D.参考答案：C3. 对于函数，适当地选取的一组值计算，所得出的正确结果只可能是（）A．4和6 B．3和-3 C．2和4 D．1和1参考答案：D4. 在中，，，，则的面积为，A． B． C．D．参考答案：C5. 设a，b，i是虚数单位，则“复数为纯虚数”是“”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：A略6. 已知数列满足，且，则的值是()A．B．C．D．参考答案：D7. 在△ABC中，|=1，已知D是BC边上一点，AD平分∠BAC，则( )A．B．C．D．参考答案：C考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：根据已知条件AD平分∠BAC知道∠BAD=∠CAD，而根据向量夹角的余弦公式可得：，所以便得到，所以带入并整理可得，（μ﹣2λ），容易说明μ﹣2λ=0，从而得到μ=2λ，而符合这个条件的只有C．解答：解：如图，cos∠BAD=cos∠CAD，，cos∠CAD=；∴；即；又；∴；∴4λ=；∴；若μ﹣2λ≠0，则；∴∠BAC=0°，与已知△ABC矛盾；∴μ﹣2λ=0，即μ=2λ；而符合μ=2λ的只有C．故选C．点评：考查向量夹角的余弦公式，以及向量的数量积的计算．8. 已知集合A={x|x2+4≤5x，x∈R}，B={y|y＞2}，则A∩B=（）A．（2，+∞）B．（4，+∞）C．（2，4] D．[2，4]参考答案：C【考点】交集及其运算．【分析】通过二次不等式求出集合A，然后求解交集．【解答】解：∵集合A={x|x2+4≤5x，x∈R}={x|1≤x≤4}，B={y|y＞2}，∴A∩B={x|2＜x≤4}=（2，4]．故选C．9. 在由正数组成的等比数列{a n}中，若a3 a4 a5＝3，则sin(log3＋log＋…＋log)的值为（）A、B、C、1 D、－参考答案：B10. 若直线，始终平分圆的周长，则的最小值为A.1B.C.D.D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设是定义在上的函数，给定下列三个条件：（1）是偶函数；（2）的图象关于直线对称；（3）为的一个周期．如果将上面（1）、（2）、（3）中的任意两个作为条件，余下一个作为结论，那么构成的三个命题中真命题的个数有个．参考答案：答案：312. 已知满足约束条件：，则的最大值等于＿＿＿参考答案：．画出满足条件可行域，将直线向上平移，可知当直线经过点时，取得最大值为．13. 设，若且，则的取值范围参考答案：14. 根据市场调查结果，预测家用商品从年初开始的第x个月的需求量y（万件）近似地满足，按此预测，在本年度内，需求量最大的月份是____________.11月，12月.15. 已知双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线准线的交点坐标为（），则双曲线的焦距为 .参考答案：16. 设曲线y=ax﹣ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x，则a= ．参考答案：3【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】根据导数的几何意义，即f′（x0）表示曲线f（x）在x=x0处的切线斜率，再代入计算．【解答】解：y=ax﹣ln（x+1）的导数，由在点（0，0）处的切线方程为y=2x，得，则a=3．故答案为：3．【点评】本题是基础题，考查的是导数的几何意义，这个知识点在高考中是经常考查的内容，一般只要求导正确，就能够求解该题．在高考中，导数作为一个非常好的研究工具，经常会被考查到，特别是用导数研究最值，证明不等式，研究零点问题等等经常以大题的形式出现，学生在复习时要引起重视．17. 数列中，，则。
辽宁省葫芦岛市同泽高级中学2020-2021学年高三数学文上学期期末试题含解析
辽宁省葫芦岛市同泽高级中学2020-2021学年高三数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.平面内到定点M（2，2）与到定直线的距离相等的点的轨迹是（）A．直线 B．抛物线 C．椭圆 D．双曲线参考答案：答案：A2. 当时，不等式恒成立，则的取值范围是A．[－4,8] B．[－2,8] C．[0,6] D．[4,12]参考答案：A3. 在复平面内，复数所对应的点位于( )（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限参考答案：A，故选A．4. 设集合,集合,则A. B. C. D.参考答案：A5. 已知不等式组表示的平面区域为M，若直线y＝kx－3k与平面区域M有公共点，则k的取值范围是( )A. B. C.D.参考答案：C略6. 设集合，，记，则集合中元素的个数有 ( )A.1个B.2个C.3个D. 4个参考答案：A略7. 给出下列四个命题：①命题p：∈R，sinx≤1，则：∈R，sinx＜1．②当a≥1时，不等式｜x－4｜＋｜x－3｜＜a的解集为非空．③当x＞0时，有lnx＋≥2．④设复数z满足（1－i）z＝2i，则z＝1－i．其中真命题的个数是A．0 B．1 C．2D．3参考答案：A8. 已知函数的定义域为,则函数的定义域为( )．．．．．参考答案：B略9. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】程序框图．【分析】根据程序框图，它的作用是求+++…+的值，用裂项法进行求和，可得结果．【解答】解：该程序框图的作用是求+++…+的值，而+++…+=（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=，故选：C．【点评】本题主要考查程序框图，用裂项法进行求和，属于基础题．10. 已知f(x)是定义在R上的偶函数，且x≤0时，，若f(x)≥x+a“对于任意x∈R恒成立，则常数a的取值范围是（A）（B）（C）（D）参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知实数满足，则的最大值为_______________.参考答案：略12. 等比数列{a n}的前n项和为S n．已知，，则_________．参考答案：511等比数列{a n}的前n项和为．所以还是等比数列。
辽宁省葫芦岛市普通高中2020届高三上学期学业质量监测(期末)高三理数答案
1 葫芦岛市普通高中2019～2020学年第一学期学业质量监测考试高三数学（理）参考答案及评分标准一、选择题CBBCD AACBD AD二、填空题13. 16 14. 14(1－p )15. 2；181（本小题第一空2分，第二空3分） 16. x 24 - y 216 =1 三、解答题17（本小题满分12分）解：（1）如图，取PA 中点F ，连结EF,BF.因为E 为PD 中点，AD=4，所以EF ∥AD ，EF=12AD=2. 又因为BC ∥AD ，BC=2，所以EF ∥BC ，EF=BC ，所以四边形EFBC 为平行四边形. ……………………………………………………2 所以CE ∥BF.又因为CE ⊄平面PAB,BF ⊂平面PAB ，所以 CE ∥平面PAB (4)（2）取AD 中点O ，连结OP ，OB.因为∆PAD 为等边三角形，所以PO ⊥OD.又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面所以PO ⊥平面ABCD.因为OD ∥BC ，OD=BC=2，所以四边形BCDO 为平行四边形.因为CD ⊥AD ，所以OB ⊥OD. 如图建立空间直角坐标系O -xyz ，则A(0,-2,0),B(2,0,0),C(2,2,0),E(0,1, 3),P(0,0,2所以AC →=(2,4,0), AE →=(0,3,3). AP →=(0,2,23)设平面ACE 的一个法向量为n 1=(x 1,y 1,z 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1→·AE →=0 n 1→·AC →=0即⎩⎨⎧2x 1+4y 1=03y 1+3z 1=0令x 1=-2，则n 1=(-2,1,显然，平面ACP 的一个法向量为n 2=(x 2,y 2,z 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧n 2→·AP →=0 n 2→·AC →=0即⎩⎨⎧2y 2+23z 2=02x 2+4y 2=0 令z 2=1，则n 2=(23,-3,1)，………………………10 所以cos< n 1,n 2>=n 1·n 2|n 1||n 2|=-6322⨯4=-368. 由题知，二面角P -AC -E 为锐角，所以二面角P -AC -E 的余弦值为368.……………………………………………………12 18. （本小题满分12分）解：(1) 当n=1时，a 1=S 1=2-2a 2=0,得a 2=1…………………………………………………2 当n ≥2时，a n =S n -S n -1=na n -(n+1)a n+1,即(n+1)a n+1=(n -1)a n ,因为a 2≠0，所以a n+1a n = n -1n+1 (4)。
2020届辽宁省葫芦岛市普通高中高三上学期学业质量监测(期末)数学(文)试题
……………………………………………装…………订…………线………………………………………………葫芦岛市普通高中2019～2020学年第一学期学业质量监测考试高三数学（供文科考生使用）注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷、第Ⅱ卷两部分，共6页．满分150分；考试时间：120分钟.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型用2B 铅笔涂在答题卡上．3.用铅笔把第Ⅰ卷的答案涂在答题卡上，用钢笔或圆珠笔把第Ⅱ卷的答案写在答题纸的相应位置上．4.考试结束，将答题卡和答题纸一并交回．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
)1. A={x |x -1>0},B={x |x 2-x -6≤0}，则A∩B=A.[-2,1)B.[-2,3]C. (1,3]D.[1,3)2.已知i 是虚数单位，复数52-i=A ．i -2B ．i +2C ．-2D ．23.在等比数列{a n }中，a 4,a 6是方程x 2+5x +1=0的两根，则a 5=A.1B. ±1C. 52D.±524.在△ABC 中角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,则下列等式正确的是A. a :b=A :BB. a sin A=b sin BC. a :b =sin B :sin AD. a :b =sin A :sin B5. 已知 a ,b 均为单位向量，则|a -2b |=|2a +b |是a ⊥b 的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6. 2018年辽宁省正式实施高考改革。
新高考模式下，学生将根据自己的兴趣、爱好、学科特长和高校提供的“选考科目要求”进行选课. 这样学生既能尊重自己爱好、特长做好生涯规划，又能发挥学科优势，进而在高考中获得更好的成绩和实现自己的理想。
考改实施后，学生将在高二年级将面临着3+1+2的选课模式，其中“3”是指语、数、外三科必学内容，“1”是指在物理和历史中选择一科学习，“2”是指在化学、生物、地理、政治四科中任选两科学习。
2024年辽宁省葫芦岛市高三上学期期末考数学试题及答案
高三数学试卷 第2页 （共4页）高三数学试卷 第1页 （共4页）………………………………………………装…………订…………线………………………………………………2024年1月葫芦岛市普通高中学业质量监测考试高三数学注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷、第Ⅱ卷两部分，共6页．满分150分；考试时间：120分钟.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型用2B 铅笔涂在答题卡上．3.用铅笔把第Ⅰ卷的答案涂在答题卡上，用钢笔或圆珠笔把第Ⅱ卷的答案写在答题纸的相应位置上．4.考试结束，将答题卡和答题纸一并交回．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．集合A ={x |x 2-x -2≤0}，B ={y |y<0}，则A ∩B =A ．(0,2] B ．[0,2] C ．[-1,0]D ．[-1,0)2．已知i 为虚数单位，若1+mi 1-i(m ∈R )是纯虚数，则|m +i |A ．2B ．2C ．5D ．53．下列函数既是奇函数又在(0,+∞)上单调递增的是A ．y =x 2B ．y =sin xC ．y =x 3D ．y =ln|x |4．渐进式延迟退休方案是指采取较缓而稳妥的方式逐步延长退休年龄，该方案将从正式实施开始每年延长几个月的退休时间，直到达到法定退休年龄．男性延迟退休的年龄情况如表所示：n n 龄为A ．63岁B ．62岁+10月C ．63岁+2月D ．63岁+4月5．6(x 的展开式中常数项为第（ ）项A ．4B ．5C ．6D ．76．已知点F 是双曲线2219y x -=的左焦点，点P 是双曲线上在第一象限内的一点，点Q 是双曲线渐近线上的动点，则|PF |+|PQ |的最小值为A ．8 B ．5 C ．3 D ．27．如图，正六棱台ABCDEF -A 1B 1C 1D 1E 1F 1，已知A 1B 1=3，AB =4，AA 1=2，则下列说法正确的是A ．AF //B 1D 1B ．AE ⊥平面E 1ECC 1C ．AA 1//平面CED 1D ．AA 1与底面所成的角为45︒8．已知直线y =ax -1与曲线ln xy x=相切，则a 的值为A ．1B ．1e C ．1ln 24-D ．2e 2二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分．)9．下列选项中，与“1x>1”互为充要条件的是A ．x <1B ．log 0.5x 2>log 0.5xC ．3x 2 <3xD ．|x (x -1)|=x (1-x )10．某校4个班级学生的一次物理考试成绩的频率分布直方图如下，已知成绩在(80,90]范围内的人数为30人，则下列说法正确的是A ．a 的值为0.15B ．4个班的总人数为200人C ．学生成绩的中位数估计为66.6分D ．学生成绩的平均数估计为71分11．如图，△ABC 为等腰直角三角形，斜边上的中线AD =2，E 为线段BD 中点，将△ABC 沿AD 折成大小为2π的二面角，连接BC ，形成四面体C-ABD ，若P 是该四面体表面或内部一点，则下列说法正确的是A ．若点P 为CD 中点，则过A ,E ,P 的平面将三棱锥A-BCD 分成两部分的体积比为1:4B ．若直线PE 与平面ABC 没有交点，则点P 的轨迹与平面ADC 的交线长度为2C ．若点P 在平面ACD 上，且满足2PA PD =，则点P 的轨迹长度为4π9D ．若点P在平面ACD 上，且满足2PA PD =，则线段PE 长度的取值范围是(133,213)学 校姓 名考 号CABD EF A 1B 1D 1E 1C 1F 1高三数学试卷 第4页 （共4页）高三数学试卷 第3页 （共4页）ABDC12. 已知函数f (x )=sin(ωx +φ) (ω>0, φ∈R )在区间(π4,π2)上单调，且满足f (π4)=-f (5π12)，下列结论正确的有A. f (π3)=0B. 若f (π3-x )= f (x )，则函数f (x )的最小正周期为2π3C. 关于x 方程f (x )=1在区间[0,2π)上最多有4个不相等的实数解Ⅱ三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．)13．直线与圆相交，则k 的取值范围是 .14．已知|a |=4, |b |=1，且|a -b |=13，则向量a ,b 夹角的余弦值为________.15．随着冬季到来，各种流行疾病也开始传播，国家为了防止患者集中在大型医院出现交叉感染，呼吁大家就近就医.某市有市级医院，区级医院，社区医院三个等级的医院，对于出现的流行疾病三个医院都能治愈患者.若患者去三个医院就医的概率是16，13，12，三个医院就医时出现交叉感染的概率分别为16，18，112，患者在医院没有出现交叉感染且治愈的概率为 .16．已知F 为抛物线C ：y =14x 2的焦点，过点F 的直线l 与抛物线C 交于不同的两点A ，B ，抛物线在点A ，B 处的切线分别为l 1和l 2，若l 1和l 2交于点P ，则|PF |2+25|AB |的最小值为 .四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)17．（本小题满分10分）已知锐角△ABC 的三个内角A ,B ,C 的对边分别为a ，b ，c ，_________.在条件：①(b -a )(sin B +sin A )=c (sin B -sin C )；②2sin A cos B =2sin C -sin B ；③S △ABC =12a (c sin C +b sin B -a sin A )；这三个条件中任选一个，补充到上面的问题中并作答．（1）求角A ；（2）若AC =2，如图，延长BC 到D ，使得AD ⊥AB ，求△ACD 的面积S 的取值范围．18. （本小题满分12分）如图,矩形ABCD 的边AB 为圆O 的直径,点E ,F 为圆O 上异于A ,B 的两点，AB ∥EF ,BF ⊥DF . 已知AB =2,EF =1.（1）求证: AD ⊥平面ABEF ；（2）当AD 的长为何值时,二面角E -CF -B 的大小为45°.19. （本小题满分12分）某校高一年级开设建模，写作，篮球，足球，音乐，朗诵，素描7门选修课，每位同学须彼此独立地选3门课程，其中甲选择篮球，不选择足球，丙同学不选素描，乙同学没有要求.（1）求甲同学选中建模且乙同学未选中建模的概率；（2）用X 表示甲、乙、丙选中建模的人数之和，求X 的分布列和数学期望.20．（本小题满分12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=13，3nS n +1-3(n +1)S n =n (n +1).（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n =3(-1)n a n (n +1)，求数列{b n }的前29项和T 29．21．（本小题满分12分）已知椭圆G ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)经过D (1,32)，E (2,0)两点．作斜率为12的直线l 与椭圆G 交于A ，B 两点(A 点在B 的左侧)，且点D 在直线l 上方.（1）求椭圆G 的标准方程；（2）证明：△DAB 的内切圆的圆心在一条定直线上.22．（本小题满分12分）已知函数f (x )=e x -a ln(ax +a )-a ，其中a ≠0．（1）当a =1时，求f (x )的单调区间；（2）已知a <0，若f (x )只有一个零点，求a 的取值范围．0x y k -+=221x y +=2024年1月葫芦岛市普通高中学业质量监测考试高三数学参考答案及评分标准一、选择题：12345678D A C DB BCA二、多选题：9101112BCBD BCABD三、填空题：13141516(-2,2)128910四、解答题：17.(本小题满分10分)（1）若选①,由(b-a)(b+a)=c(b-c)⇒b 2+c 2-a 2=bc ⇒cosA=b 2+c 2-a 22bc =12,…………………………………2分由于A ∈(0,π2)⇒A=π3………………………………………………………………………………………4分若选②,由2sinAcosB =2sin(A+B)-sinB ⇒2sinBcosA =sinB,由于B ∈(0,π2)，sinB ≠0⇒cosA=12,……………………………………………………………………2分又A ∈(0,π2)⇒A=π3………………………………………………………………………………………4分若选③由S △ABC =12a(csinC+bsinB-asinA)⇒12a(csinC+bsinB-asinA)=12bcsinA ⇒a(c 2+b 2-a 2)=abc⇒c 2+b 2-a 2=bc ⇒cosA=b 2+c 2-a 22bc =12,……………………………………………………………………2分又A ∈(0,π2)⇒A=π3………………………………………………………………………………………4分（2）在△ACD 中，∠CAD=π6，由正弦定理得2sinD =AD sin(D+π6)，则S=12×2ADsin π6=sin(D+π6)sinD=32+12tanD ………………………………………………………………6分由∠ACB∈(0,π2)B=π-∠ACB-π3∈(0,π2)，得∠ACB∈(π6,π2)，D=∠ACB-π6∈(0,π3)，…………………………8分tanD∈(0,3)，32+12tanD∈(233,+∞)即S∈(233,+∞)……………………………………………………………………………………10分18.(本小题满分12分)(1)因为AB为圆O的直径,F为圆O上一点，所以AF⊥BF 因为BF⊥DF，DF∩AF=F所以BF⊥平面ADF,因为AD⊂平面ADF,所以AD⊥BF在矩形ABCD中，AD⊥AB，AD∩AB=A所以AD⊥平面ABEF,(2)过O作OG⊥EF,垂足为G因为AB∥EF，所以OG⊥AB过O作OH∥AD,交CD于H，则OH⊥平面ABEF如图，以OA,OG,OH分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系设C(-1,0,t),B(-1,0,0),F(12,32,0),E(-12,32,0)→EF=(1,0,0),→BF=(32,32,0),→FC=(-32,-32,t),设平面CEF的一个法向量为n1由于→EF⋅n1=→FC⋅n1=0得n1=(0,2t,3)设平面BCF的一个法向量为n2由于→BF⋅n1=→FC⋅n1=0得n2=(1,-3,0)|cos<n1,n2>|=|n1⋅n2|n1||n2||=|_x001E_23t24t2+3|=cos45°=22解得|t|=62，所以AD=|t|=6219.(本小题满分12分)(1)设“甲同学选中建模”为事件A，“乙同学选中建模”为事件B，G H依题意P (A )＝C 14C 25＝25，P (B )＝C 26C 37＝37.………………………………………………………………………2分因为事件A 与B 相互独立，所以甲同学选中建模且乙同学未选中建模的概率为P (A B －)＝P (A )P (B －)＝P (A )[1－P (B )]＝25×47＝835.……………………………………………………………4分(2)设事件C 为“丙同学选中建模”,则P (C )＝C 25C 36＝12.………………………………………………………5分X 的可能取值为0,1,2,3.P (X ＝0)＝P (A －B －C －)＝35×47×12＝635，……………………………………………………………………6分P (X ＝1)＝P (A B －C －)＋P (A －B C －)＋P (A －B －C )＝25×47×12+35×37×12+35×47×12＝2970，……………………7分P (X ＝2)＝P (AB C －)＋P (A B －C )＋P (A －BC )＝25×37×12+25×47×12+35×37×12＝2370，………………………8分P (X ＝3)＝P (ABC )＝25×37×12＝335，……………………………………………………………………9分随机变量X 的分布列为X 0123P63529702370335………………………………11分所以E (X )＝0×635＋1×2970＋2×2370＋3×335＝9370.…………………………………………………………12分20.(本小题满分12分)(1)由题意可知，S n+1n+1-S n n =13，S 11=13，所以{S n n }以13为首项，以13为公差的等差数列…………………………………………………………………2分所以S n n =n 3，从而S n =n23…………………………………………………………………………………………4分当n 2时，a n =S n -S n-1=n 2–(n–1)23=2n-13，当n=1时，a 1=13符合上式综上所述，a n =2n-13…………………………………………………………………………………………6分(2)由a n =2n-13可得，b n =3(-1)n a n(n+1)=(-1)n[2n(n+1)-1]………………………………………………8分T 29=-(2×1×2-1)+[(2×2×3-1)-(2×3×4-1)]+[(2×4×5-1)-(2×5×6-1)]+......+[(2×28×29-1)-(2×29×30-1)]..............................（只要是正确的并项方式即可）10分=-3-4(3+5+ (29)=-899………………………………………………………………………………………………………12分21.(本小题满分12分)(1)根据题意得，a=21a 2+94b 2=1解得a 2=4b 2=3，所以椭圆G 的方程为x 24+y 23=1………………………………4分(2)设直线l 为y=12x+m，代入椭圆G 得，x 2+mx+m 2-3=0△=m 2-4(m 2-3)>0,m ∈(-2,2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)x 1+x 2=-m ，x 1x 2=m 2-3………………………………………………………6分方法（一）：k DA +k DB=y 1-32x 1-1+y 2-32x 2-1=(12x 1+m -32)(x 2-1)x 1x 2-(x 1+x 2)+1+(12x 2+m -32)(x 1-1)x 1x 2-(x 1+x 2)+1…………………………………………………8分=x 1x 2+(m -2)(x 1+x 2)+3-2m x 1x 2-(x 1+x 2)+1=m 2-3-m(m -2)+3-2m m 2-3+m+1=0从而k DA +k DB =0，………………………………………………………………………………………10分又D 在直线l 的左上方，因此∠ADB 的角平分线是平行于y 轴的直线，所以△DAB 内切圆的圆心在直线x=1上．…………………………………………………………………12分方法（二）：设DA，DB，∠ADB 角平分线所在直线的倾斜角分别为θ1，θ2，θ3，则有2θ3=θ1+θ2tan(2θ3)=tan(θ1+θ2)=tan θ1+tan θ21-tan θ1tan θ2=y 1-32x 1-1+y 2-32x 2-11-y 1-32x 1-1⨯y 2-32x 2-1=(12x 1+m-32)(x 2-1)+(12x 2+m-32)(x 1-1)(x 1-1)(x 2-1)-(y 1-32)(y 2-32)……………8分=x 1x 2+(m -2)(x 1+x 2)+3-2m (x 1-1)(x 2-1)-(y 1-32)(y 2-32)=m 2-3-m(m -2)+3-2m (x 1-1)(x 2-1)-(y 1-32)(y 2-32)=0…………………………10分∵θ3∈[0,π),∴2θ3=π,θ3=π2,所以∠ADB 的角平分线是过D 且平行于y 轴的直线，所以△DAB 内切圆的圆心在直线x =1上．…………………………………………………………………12分22.(本小题满分12分)(1)f '(x)=e x -a x+1，当a=1时，f '(x)=e x -1x+1，f ''(x)=e x +1(x+1)2>0，f '(x)在(-1,+∞)上单调递增………………………………………………………………………………………2分∵f '(0)=0,∴x ∈(-1,0)，f '(x)<0，y=f (x)单调减区间为(-1,0),x ∈(0,+∞)，f '(x)>0，y=f (x)单调增区间为(0,+∞).…………………………………………………………4分(2)f '(x)=e x -a x+1=e x (x+1)-a x+1，设g(x)=e x (x+1)-a ，g '(x)=e x (x+2)，当a<0时，定义域为(-∞,-1)，x ∈(-∞,-2)，g '(x)<0,g (x)单调递减,x ∈(-2,-1)，g '(x)>0,g (x)单调递增,……………………………………………………………………………6分所以g(x)min =g(-2)=-e -2-a若a ≤-e -2，则g(x)≥0,f '(x)≤0，y=f (x)在(-∞,-1)上单调递减,又1ae -1<11−1-1<-1，f(1ae -1)=1B −1-aln(a×1ae-a+a)-a=1B −1>0g(11−1-1)=e 11−1−1-aln[a(11−1-1)+a]+a=e 11−1−1-1<0∴∃唯一x 0∈(1ae -1，1ae 1a -1-1)，使得f(x 0)=0，故a ≤-e -2……………………………………………………8分若-e -2<a<0，则g(-2)<0x ∈(-∞,-2)，g(x)<-a ；x ∈(-2,-1)，g(x)<g(-1)=-a∴∃x 1<-2<x 2<-1，使得g (x 1)=g(x 2)=0,即e x1(x 1+1)=e x2(x 2+1)=a ∴x ∈(-∞,x 1)，g(x)>0，f '(x)<0，f(x)单调递减x ∈(x 1,x 2)，g(x)<0，f '(x)>0，f(x)单调递增x ∈(x 2,-1)，g(x)>0，f '(x)<0，f(x)单调递减f(x 2)=e x2-aln(ax 2+a)-a=a x 2+1-aln[e x2(x 2+1)2]-a=a[1x 2+1-(x 2+1)-2ln(-x 2-1)]设t=-x-1>0,h(t)=a(t-1t -2lnt)，h '(t)=a(t-1)2t 2<0，h(t)在(0,+∞)上单调递减∵h(1)=0，∴t ∈(0,1),h(t)>0,t ∈(1,+∞),h(t)<0-(x 2+1)∈(0,1)，f(x 2)>0；-(x 1+1)∈(1,+∞)，f(x 1)<0∴∃x 1<x 3<x 2，使得f(x 3)=0……………………………………………………………………………………10分∵-e-2<a<0，0<-a<e-2,ln(-a)+1<-1,∴f(-2)=e-2-a[ln(-a)+1]<e-2-e-2=0∵-e-2<a<0，1ae-1<-e-1<-2，∴f(1ae-1)=e1ae-1-aln(a×1ae-a+a)-a=e1ae-1>0∴ 1ae-1<x4<x1，使得f(x4)=0，∴f(x)零点不唯一，不成立综上，a的取值范围是(-∞,-e-2]…………………………………………………………………………12分。
2020年辽宁省葫芦岛市建昌县第三中学高三数学文期末试题含解析
2020年辽宁省葫芦岛市建昌县第三中学高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 曲线y＝lnx＋x在点M（1，1）处的切线与坐标轴围成的三角形的面积是（）A． B． C． D．参考答案：A略2. （）A．B．C．D．参考答案：B试题分析：,故选B.考点：定积分运算.3. 设是第二象限角,为其终边上的一点,且,则=（）A. B. C.D.参考答案：D因为是第二象限角，所以，即。
又，解得，所以，选D.4. “关于的不等式的解集为”是“”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件参考答案：A5. 若点P(cosα，sinα)在直线y＝－2x上，则sin2α＋2cos2α＝( )A．－ B．－ C．－2 D.参考答案：C略6. 我国南北朝时期数学家祖暅，提出了著名的祖暅原理：“缘幂势既同，则积不容异也”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高几何体，若在每一等高处的截面积都相等，则两几何体体积相等．已知某不规则几何体与右侧三视图所对应的几何体满足“幂势既同”，其中俯视图中的圆弧为圆周，则该不规则几何体的体积为A．B．C．D．参考答案：B7. 设p：，q：x2+x﹣6＞0，则p是q的（）解：∵∴解得﹣1＜x＜1或x＞2或x＜﹣2即命题p：﹣1＜x＜1或x＞2或x＜﹣2∵x2+x﹣6＞0，∴x＞2或x＜﹣3．8. 已知双曲线的一个焦点在圆上，则双曲线的渐近线方程为A． B． C． D．参考答案：B圆与x 轴的交点为（5,0）和（-1,0），因为双曲线的一个焦点在圆上，且a=3,所以c=5,所以b=4,所以双曲线的渐近线方程为。
9. 在三棱锥D-ABC中，已知AD⊥平面ABC，且△ABC为正三角形，，点O为三棱锥D-ABC的外接球的球心，则点O到棱DB的距离为（）A. B. C. D.参考答案：D【分析】题中要求点O到棱DB的距离，需要借助于外接圆直径和棱DB计算。
2020-2021学年辽宁省葫芦岛市高三(上)期末数学试卷
2020-2021学年辽宁省葫芦岛市高三（上）期末数学试卷一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）已知集合{|14}A x x =<，集合2{|log 1}B x x =<，则(A B = )A ．∅B ．(1,2)C ．[1，2)D ．[1，4)2．（5分）已知命题:[2p x ∀∈-，0]，2320x x ++>，则p ⌝是( )A ．0[2x ∃∈-，0]，20320x x ++< B ．0[2x ∃∈-，0]，20320x x ++C ．[2x ∀∈-，0]，2320x x ++D ．0(x ∃∈-∞，2)(0-⋃，)+∞，20320x x ++ 3．（5分）已知复数43z i =-，则2|4|z z -的值为( ) A ．5B ．5C ．15D ．354．（5分）明代数学家程大位编著的《算法统宗》是中国数学史上的一座丰碑．其中有一段著述“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一．”注：“倍加增”意为“从塔顶到塔底，相比于上一层，每一层灯的盏数成倍增加”，则该塔从塔底数第二层灯的盏数为()A ．3B ．6C ．96D ．1925．（5分）已知22:8O x y +=在A 点处的切线与直线40x y --=平行，则A 点坐标为()A ．(2,2)-B ．(2,2)-C ．(2,2)-或(2,2)-D ．(2,2)6．（5分）在6张奖券中，有一、二等奖各1张，其余4张无奖，将这6张奖券分配给3个人，每人2张，则不同获奖情况有( ) A ．24种B ．18种C ．12种D ．9种7．（5分）若定义在R 上的偶函数()f x 在(,0)-∞单调递减且f （2）0=，则满足(1)0xf x +的x 取值范围是( ) A ．[3-，1]B ．[3-，0][1⋃，)+∞C ．(-∞，3][0-⋃，1]D ．(-∞，3][1-⋃，)+∞8．（5分）1()cos ()1x f x x ln x+=⋅-的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错得0分.）9．（5分）已知m ，n ，l 是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )A ．若//m n ，n α⊂，则//m αB ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αC ．若αβ⊥，m α⊂，n αβ=，m n ⊥，则m β⊥D ．若m α⊥，//m n ，n β⊂，则αβ⊥10．（5分）已知10a -<<且1b >，则下列不等式成立的是( ) A ．log ()0b b a -> B ．()1log ()log b b a b a b-->C ．()1log ()log b a a b--< D ．()()1log (1)log (1)a a b b---<-11．（5分）如图为国家统计局网站发布的《2018年国民经济和社会发展统计公报》中居民消费价格月底涨跌幅度的折线图（注：同比是今年第n 个月与去年第n 个月之比，环比是现在的统计周期和上一个统计周期之比）下列说法正确的是( )A ．2018年6月CPI 环比下降0.1%，同比上涨1.9%B ．2018年3月CPI 环比下降1.1%，同比上涨2.1%C ．2018年2月CPI 环比上涨0.6%，同比上涨1.4%D ．2018年6月CPI 同比涨幅比上月略微扩大1.9个百分点12．（5分）设函数()sin()(0)6f x x πωω=+>，已知()f x 在[0，2]π有且仅有6个零点，下述结论正确的是( )A ．()f x 在(0,2)π有且仅有3个极大值点B ．()f x 在(0,2)π有且仅有3个极小值点C ．ω在3541[,)1212D ．()f x 在(0,)10π单调递增三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13．（5分）已知两个单位向量a ，b 的夹角为60︒，(1)c ta t b =+-．若0b c =，则t = ． 14．（5分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判，在前3局中乙恰好当1次裁判的概率 ．15．（5分）正三棱锥P ABC -7，底面棱长为23，则三棱锥P ABC -内切球表面积是 ．16．（5分）若F 为双曲线22:1916x y M -=的左焦点，过原点的直线l 与双曲线M 的左、右两支各交于A ，B 两点，则19||||FA FB -的取值范围是 ． 四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（10分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．D 在BC 边上，22AD CD BD ===．（1）若6ACB π∠=，求ABC ∆的面积；（2）求bc 的取值范围．18．（12分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，ABC ∆是等边三角形，D 是BC 的中点．E 是1CC 的中点．（1）求证：平面1A EB ⊥平面11A ABB ；（2）若12AB BB ==，求DE 与平面1A BE 所成角的正弦值．19．（12分）已知等差数列{}n a 满足33a =，8928a a +=． （1）求{}n a 的通项公式；（2）等比数列{}n b 的前n 项和为n S ，且12b a =，再从①3234b a a a =++，②313S =，③1n n b b +>这三个条件中选择两个作为已知条件，求{||}n n a b 的前n 项和n T ．20．（12分）2020年，世界各地相继爆发新冠肺炎疫情，唯有我国将疫情防护做到令世界瞩目．然而，自2020年7月以来，我国多地先后在进品冷冻食品或包装上检验出新冠病毒呈阳性，此消息一出，很快引起了相关部门的高度重视，为了研究国内冷冻市场是否受到这些事件的影响，做了如下调查，将某商家2020年连续20天的营业额（单位：元）与2019年同期对比，结果如表表格． 2019年2730 2800 2850 2850 2870 2910 2920 2940 3030 3030 30303050 3100 3110 3140 3190 3250 3250 3260 3290 2020年2710 2730 2740 2760 2820 2840 2840 2850 2850 2850 2870294029602970298029903010302030303040（1）根据上述数据，对比商家两年的营业额，写出两个统计结论；（2）若从两年营业额超过3000元的天中随机抽取3天作进一步分析，设抽到2020年的天数为X ，列出X 的分布列并求数学期望()E X ．21．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y Q a b a b +=>>5，(5P 4)3为Q 上的一点．（1）求椭圆Q 的方程；（2）设过点(0,3)M 的动直线l 与椭圆Q 相交于A ，B 两点，A ，B 点关于原点的对称点分别为C ，D 点，当四边形ABDC 的面积S 最大时，求l 的方程． 22．（12分）已知函数()m f x lnx x x=--． （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，求21(1)[()()]m f x f x ++的取值范围； （3）令()x g x me x lnm =-+．若()()mg x f x x>+恒成立，求m 的取值范围．2020-2021学年辽宁省葫芦岛市高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）已知集合{|14}A x x =<，集合2{|log 1}B x x =<，则(A B = )A ．∅B ．(1,2)C ．[1，2)D ．[1，4)【解答】解：{|14}A x x =<，{|02}B x x =<<，[1AB ∴=，2)．故选：C ．2．（5分）已知命题:[2p x ∀∈-，0]，2320x x ++>，则p ⌝是( )A ．0[2x ∃∈-，0]，20320x x ++< B ．0[2x ∃∈-，0]，20320x x ++C ．[2x ∀∈-，0]，2320x x ++D ．0(x ∃∈-∞，2)(0-⋃，)+∞，20320x x ++ 【解答】解：因为命题:[2p x ∀∈-，0]，2320x x ++>，则0:[2p x ⌝∃∈-，0]，20320x x ++． 故选：B ．3．（5分）已知复数43z i =-，则2|4|z z -的值为( )AB ．5C ．15D ．【解答】解：复数43z i =-，224(43)4(43)z z i i ∴-=---2162491612912i i i i =-+-+=--，则2|4|15z z -==． 故选：C ．4．（5分）明代数学家程大位编著的《算法统宗》是中国数学史上的一座丰碑．其中有一段著述“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一．”注：“倍加增”意为“从塔顶到塔底，相比于上一层，每一层灯的盏数成倍增加”，则该塔从塔底数第二层灯的盏数为()A ．3B ．6C ．96D ．192【解答】解：根据题意，设从上向下每一层的灯的数记为{}n a ， 则数列{}n a 是以2为公比的等比数列， 则有771711(12)(21)12738112a S a a -==-==-，解得13a =，则55613296a a q ==⨯=， 则该塔从塔底数第二层灯的盏数为96． 故选：C ．5．（5分）已知22:8O x y +=在A 点处的切线与直线40x y --=平行，则A 点坐标为()A ．(2,2)-B ．(2,2)-C ．(2,2)-或(2,2)-D ．(2,2)【解答】解：根据题意，可设与直线40x y --=平行的直线方程为0x y c -+=，则2221(1)=+-故4c =或4-（舍去）．则所求的直线方程为40x y -+=． 联立方程组22840x y x y ⎧+=⎨-+=⎩．解得22x y =⎧⎨=-⎩或22x y =-⎧⎨=⎩，所以A 点坐标为(2,2)-或(2,2)-． 故选：C ．6．（5分）在6张奖券中，有一、二等奖各1张，其余4张无奖，将这6张奖券分配给3个人，每人2张，则不同获奖情况有( ) A ．24种B ．18种C ．12种D ．9种【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：①，把一、二等奖的奖券都分给同一人，其余人都得到2张无奖的奖券，有133C =种获奖情况，②，把一、二等奖的奖券各分给不同的人，有236A =种获奖情况， 则一共有369+=种获奖情况， 故选：D ．7．（5分）若定义在R 上的偶函数()f x 在(,0)-∞单调递减且f （2）0=，则满足(1)0xf x +的x 取值范围是( ) A ．[3-，1]B ．[3-，0][1⋃，)+∞C ．(-∞，3][0-⋃，1]D ．(-∞，3][1-⋃，)+∞【解答】解：()f x 是偶函数，且在(,0)-∞上单调递减，()f x ∴在(0,)+∞上单调递增，又f （2）0=，(2)0f ∴-=，∴由(1)0xf x +得，0(1)(2)x f x f ⎧⎨+⎩或0(1)(2)x f x f ⎧⎨+-⎩，∴012x x ⎧⎨+⎩或012x x ⎧⎨+-⎩，解得1x 或30x -， x ∴的取值范围是：[3-，0][1⋃，)+∞．故选：B ．8．（5分）1()cos ()1xf x x ln x+=⋅-的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：由101xx+>-得11x -<<， 11()cos()cos ()11x xf x x lnx ln f x x x-+-=-⋅=-⋅=-+-，则函数()f x 是奇函数，图象关于原点对称，排除C ，当12x =时，11230112lnln +=>-，此时1()02f >，排除B ， 当1x <且1x →时，11x x +→+∞-，则11xln x+→+∞-，则()f x →+∞，排除D ， 故选：A ．二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错得0分.）9．（5分）已知m ，n ，l 是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )A ．若//m n ，n α⊂，则//m αB ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αC ．若αβ⊥，m α⊂，n αβ=，m n ⊥，则m β⊥D ．若m α⊥，//m n ，n β⊂，则αβ⊥【解答】解：对于A ：若//m n ，n α⊂，m α⊂/，则//m α，故A 错误； 对于B ：若m α⊥，m n ⊥，则//n α或n α⊂，故B 错误； 对于C ：若αβ⊥，m α⊂，n αβ=，m n ⊥，根据面面垂直的性质，则m β⊥，故C 正确；对于D ：若m α⊥，//m n ，n β⊂，根据线面垂直的判定，则αβ⊥，故D 正确． 故选：CD ．10．（5分）已知10a -<<且1b >，则下列不等式成立的是( ) A ．log ()0b b a ->B ．()1log ()log b b a b a b-->C ．()1log ()log b a a b--< D ．()()1log (1)log (1)a a b b---<-【解答】解：已知10a -<<且1b >，1b a ∴->，log ()0b b a ∴->，故A 正确； 由题意可得1b a b ->>，()1log ()log b b a b a b-∴->，故B 正确； 由题意可得10b a >>->，1101b a∴<<<-， log ()0b a ∴-<，()1log 0a b ->，()1log ()log b a a b-∴-<，故C 正确； 由于01a <-<，11(0,1)b-∈，10b ->，故11b-与1b -的大小关系不确定，故D 不正确， 故选：ABC ．11．（5分）如图为国家统计局网站发布的《2018年国民经济和社会发展统计公报》中居民消费价格月底涨跌幅度的折线图（注：同比是今年第n 个月与去年第n 个月之比，环比是现在的统计周期和上一个统计周期之比）下列说法正确的是( )A ．2018年6月CPI 环比下降0.1%，同比上涨1.9%B ．2018年3月CPI 环比下降1.1%，同比上涨2.1%C ．2018年2月CPI 环比上涨0.6%，同比上涨1.4%D ．2018年6月CPI 同比涨幅比上月略微扩大1.9个百分点【解答】解：对于A ，2018年6月CPI 环比下降0.1%，同比上涨1.9%，所以A 正确；对于B ，2018年3月CPI 环比下降1.1%，同比上涨2.1%，所以B 正确； 对于C ，2018年2月CPI 环比上涨1.2%，同比上涨2.9%，所以C 错误； 对于D ，2018年6月CPI 同比涨幅比上月略微扩大0.1个百分点，所以D 错误． 故选：AB ．12．（5分）设函数()sin()(0)6f x x πωω=+>，已知()f x 在[0，2]π有且仅有6个零点，下述结论正确的是( )A ．()f x 在(0,2)π有且仅有3个极大值点B ．()f x 在(0,2)π有且仅有3个极小值点C ．ω在3541[,)1212D ．()f x 在(0,)10π单调递增【解答】解：当02x π时，02x ωωπ，2666x πππωωπ++，设6t x πω=+，则266t ππωπ+，1sin62π=， ∴要使()f x 有且仅有6个零点，则6276ππωππ+<，即3541266ω<，即35411212ω<，故C 正确， 由图象知，sin y t =在266t ππωπ+上至少有3个极大值点，有且仅有3个极小值点，则对应()f x 在(0,2)π上至少有3个极大值点，有且仅有3个极小值点，故A 错误，B 正确， 当010x π<<时，010x πωω<<，66106x ππππωω<++，即6106tπππω<+，35411212ω<，∴116124106120ππππω+<， 611202ππ>，∴函数在6106t πππω<+上不一定单调递增，故D 错误， 故正确的是BC ， 故选：BC ．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13．（5分）已知两个单位向量a ，b 的夹角为60︒，(1)c ta t b =+-．若0b c =，则t = 2 ． 【解答】解：(1)c ta t b =+-，0c b =，∴2(1)0c b ta b t b =+-=，cos6010t t ∴︒+-=，1102t ∴-=，解得2t =．故答案为2．14．（5分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判，在前3局中乙恰好当1次裁判的概率 ．【解答】解：∵在前3局中乙恰好当1次裁判，∴第一局乙丙比赛时乙胜，第二局乙甲比赛时甲胜，第三局甲乙比赛，丙当裁判， ∴在前3局中乙恰好当1次裁判的概率为： P ＝+＝．故答案为：．15．（5分）正三棱锥P ABC -7，底面棱长为23，则三棱锥P ABC -内切球表面积是43π． 【解答】解：如图所示：设顶点P 在底面ABC 内的射影为O ，连接AO ，PO ， 在正三角形ABC 中，232323AO =，则在直角三角形APO 中，22(7)23OP -=， 三角形ABC 的面积为233)33S = 取AB 的中点M ，连接PM ，则PM AB ⊥，则在直角三角形PAM 中，2222(7)(3)2PM PA AM =-=-=， 所以三角形PAB 的面积为1232232S '=⨯⨯=，设正三棱锥P ABC -的内切球半径为R ，则由等体积法可得： 1113333OP S R S R S ⨯⨯=⨯⨯⨯'+⨯⨯，即33332333R R ⨯=⨯+⨯， 解得3R =， 所以内切球的表面积为2144433R πππ=⨯=，故答案为：43π．16．（5分）若F 为双曲线22:1916x y M -=的左焦点，过原点的直线l 与双曲线M 的左、右两支各交于A ，B 两点，则19||||FA FB -的取值范围是 2[3-，0) ． 【解答】解：双曲线22:1916x y M -=的3a =，4b =，229165c a b =++，设||AF m =，||FB n =，F '为双曲线的右焦点，连接BF '，AF '，由对称性可得四边形AFBF '为平行四边形， 可得||||BF AF m '==，可得26n m a -==，6n m =+，且2m c a -=， 则191919||||6FA FB m n m m -=-=-+， 设19()6f m m m =-+，(2)m 2222222222219(6)9812364(23)(3)()(6)(6)(6)(6)m m m m m m f m m m m m m m m m -++--+-'=-+===++++， 所以当23m <时，()0f m '<，()f m 单调递减， 当3m >时，()0f m '>，()f m 单调递增， 所以当3m =时，()min f m f =（3）23=-，当m →+∞时，()0f m →，当2m =时，f （2）1952268=-=-+， 所以19||||FA FB -的取值范围为2[3-，0)． 故答案为：2[3-，0)．四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（10分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．D 在BC 边上，22AD CD BD ===．（1）若6ACB π∠=，求ABC ∆的面积；（2）求bc 的取值范围．【解答】解：（1）由余弦定理，可得2222cos AD CD AC CD AC ACB =+-⋅∠， 所以24423AC AC =+-，解得23AC = 所以133sin 26ABC S AC BC π∆=⨯⨯=．（2）在ABD ∆中，2222cos 54cos c BD AD BD AD θθ=+-⋅=-， 在ACD ∆中，2222cos()88cos b CD AD CD AD πθθ=+-⋅-=+， 所以2222182222c b c b bc +=⋅， 所以9202bc<，当且仅当2b c =时等号成立， 故bc 的取值范围是(092．18．（12分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，ABC ∆是等边三角形，D 是BC 的中点．E 是1CC 的中点．（1）求证：平面1A EB ⊥平面11A ABB ；（2）若12AB BB ==，求DE 与平面1A BE 所成角的正弦值．【解答】（1）证明：分别取AB ，1A B 中点为M ，N 连接EM ，MN ，NC ， 则11//2MN AA =，11//2CE AA =，//CE MN =，∴四边形NMCE 为平行四边形，则//EN CM ，在ABC ∆是等边三角形中，CM AB ⊥，直三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，1AA CM ⊥，AB ⊂平面11ABB A ，1AA ⊂平面11ABB A ，CM ∴⊥平面11ABB A ，EN ⊥平面11ABB A ， EN ⊂平面1A BE ，∴平面1A BE ⊥平面11ABB A ．（2）解：因为ABC ∆是等边三角形，D 是BC 的中点，AD BC ∴⊥． 取11B C 中点为F ，连接DF ，则1//DF CC ，DF 平面ABC ，以D 为原点，分别以建立如图所示空间坐标系D xyz -．由已知12AB BB ==， 得(0D ，0，0)，(3A ，0，0)，1(3A ，0，2)，(0E ，1-，1)，(0B ，1，0) 则1(3BA =，1-，2)，(0BE =，2-，1)，(0DE =，1-，1)， 设平面1A BE 的法向量为(n x =，y ，)z ，由132020n BA x y z n BE y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取2z =，则3x =-，1y =，(3n ∴=-，1，2)， cos DE ∴<，14222n >==⨯， 设1A D 与平面1ADC 所成角为θ，则故1A D 与平面1ADC 所成角的正弦值sin |cos 1DA θ=<，1|4n >=．19．（12分）已知等差数列{}n a 满足33a =，8928a a +=． （1）求{}n a 的通项公式；（2）等比数列{}n b 的前n 项和为n S ，且12b a =，再从①3234b a a a =++，②313S =，③1n n b b +>这三个条件中选择两个作为已知条件，求{||}n n a b 的前n 项和n T ． 【解答】解：（1）由题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，则112321528a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得112a d =-⎧⎨=⎩，12(1)23n a n n ∴=-+⨯-=-，*n N ∈，（2）由（1），可得121b a ==， 方案一：选择条件①② 设等比数列{}n b 的公比为q ， 则32341359b a a a =++=++=， 312313S b b b =++=，∴21219(1)13b q b q q ⎧=⎪⎨++=⎪⎩， 解得3q =，11133n n n b --∴=⋅=，*n N ∈， 方案二：选择条件①③ 设等比数列{}n b 的公比为q ， 则32341359b a a a =++=++=， 2319b q b ∴==， 1n n b b +>，0q ∴>，3q ∴=，11133n n n b --∴=⋅=，*n N ∈， 方案三：选择条件②③ 设等比数列{}n b 的公比为q ， 则23123113S b b b q q =++=++=， 即2120q q +-=，解得4q =-，或3q =， 1n n b b +>，0q ∴>，3q ∴=，11133n n n b --∴=⋅=，*n N ∈， 1(23)3n n n a b n -∴=-⋅，21112233||||||||111333(23)3n n n n T a b a b a b a b n -∴=+++⋯+=⨯+⨯+⨯+⋯+-⋅， 2131313(25)3(23)3n n n T n n -=⨯+⨯+⋯+-⋅+-⋅， 两式相减，可得21212323(23)3n n n T n --=+⨯+⋯+⋅--⋅23112(333)(23)3n n n -=+⨯++⋯⋯+--⋅23312(23)313nn n -=+⨯--⋅-2(2)38n n =--⋅-， (2)34n n T n ∴=-⋅+．20．（12分）2020年，世界各地相继爆发新冠肺炎疫情，唯有我国将疫情防护做到令世界瞩目．然而，自2020年7月以来，我国多地先后在进品冷冻食品或包装上检验出新冠病毒呈阳性，此消息一出，很快引起了相关部门的高度重视，为了研究国内冷冻市场是否受到这些事件的影响，做了如下调查，将某商家2020年连续20天的营业额（单位：元）与2019年同期对比，结果如表表格．（1）根据上述数据，对比商家两年的营业额，写出两个统计结论；（2）若从两年营业额超过3000元的天中随机抽取3天作进一步分析，设抽到2020年的天数为X ，列出X 的分布列并求数学期望()E X ．【解答】解：（1）由表格可以得到如下结论：①2019年该店营业额的平均数3030元大于今年该店营业额的平均数2890元．②2020年该店营业额较去年该店营业额更集中．（或去年该店营业额较今年该店营业额更分散）③2019年该店营业额的中位数3030元，2020年该店营业额的中位数2860元． ④2019年该店营业额的众数3030元，2020年该店营业额的众数2850元．（2）由图表可知，两年营业额超过3000元的共有16天，其中2019年有12天，2020年有4天．由题意得X 可能的取值为0，1，2，3，31231611(0)28C P X C ===，1241231633(1)70C C P X C ===， 214123169(2)70C C P X C ===， 343161(3)140C P X C ===，于是，X 的概率分布列如下：X 0 1 2 3P1128 3370 970 1140故X 的均值1133913()01232870701404E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． 21．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y Q a b a b +=>>5，(5P 4)3为Q 上的一点．（1）求椭圆Q 的方程；（2）设过点(0,3)M 的动直线l 与椭圆Q 相交于A ，B 两点，A ，B 点关于原点的对称点分别为C ，D 点，当四边形ABDC 的面积S 最大时，求l 的方程．【解答】解：（1）根据题意得：2222251619c e a a b c ab ⎧==⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪+=⎪⎩，解得3a =，2b =，c ．所以椭圆Q 的方程为：22194x y +=．（2）由题意，设直线l 的方程为3y x =+，代入Q 得22(94)54450x x +++=，当△22(54)4(94)450=-+⨯>，即259>时，直线l 与椭圆Q 相交， 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则1225494x x -+=+，1224594x x =+，所以4S S =△1214||||2AOB OM x x =⨯⨯-=，2222254457295)4949494-=-⨯=+++，设0t =>，272721299t S t t t==++当且仅当9t t=，即3t =时等号成立． 此时14=±，四边形ABDC 的面积最大， 直线l 的方程为：33y x =+． 22．（12分）已知函数()mf x lnx x x=--． （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，求21(1)[()()]m f x f x ++的取值范围； （3）令()x g x me x lnm =-+．若()()mg x f x x>+恒成立，求m 的取值范围． 【解答】解：（1）由()mf x lnx x x=--，得22()(0)x x m f x x x --'=->，△14m =+， ①若14m -，则△0，()0f x '，()f x 在(0,)+∞上单调递减；②若14m >-，则△0>，令()0f x '=，设两根为1x =，2x =，()i 1，即104m -<<，则10x >，20x >，第21页（共22页）x ∈，()0f x '<，()f x 单调递减；x ∈，()0f x '>，()f x 单调递增；x ∈，)+∞，()0f x '<，()f x 单调递减； ()ii1，即0m ，则10x ，20x >，x ∈，()0f x '>，()f x 单调递增；x ∈，)+∞，()0f x '<，()f x 单调递减． 综上，当14m -时，()f x 在(0,)+∞上单调递减； 当104m -<<时，()f x在和，)+∞上单调递减，在上单调递增； 当0m 时，()f x在上单调递增，在，)+∞上单调递减． （2）由（1）知1x ，2x ，且12x x <是20x x m -++=的两个不等的正实数根，121x x ∴+=，12x x m =-，且104m -<<， 设21221121(1)[()()](1)[()()](1)()m m t m f x f x m lnx x lnx x m ln m x x =++=+--+--=+-， 1()m t ln m m +'=-+，210m t m -''=<，t '单调递减， ∴当14m =-时，1304t ln '=-<，t 单调递减，3144t ln∴<， t ∴的范围是31(,)44ln -∞． （3）()()m g x f x x>+恒成立，即0x me lnm lnx +->恒成立， 令()x F x me lnm lnx =+-，则1()x F x me x '=-，易知()F x '为增函数， ∴存在0x x =使得0()0F x '=，∴0010x me x -=， 即001x me x =，00lnm x lnx ∴+=-， ∴原式0010lnm lnm x x =+++>，即0012x lnm x +>-， 00001122x x x x +⋅，当且仅当01x =时取等号，第22页（共22页）22lnm ∴-<，1lnm >-，∴1m e>． m ∴的取值范围为1(,)e+∞．。
辽宁省葫芦岛市普通高中2020届高三第一学期学业质量监测期末考试试题文数学【含解析】
辽宁省葫芦岛市普通高中2020届高三第一学期学业质量监测期末考试试题文数学【含解析】一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.{|10}A x x =->，{}2|60B x x x =--≤，则A B =（ ）A. [2,1)-B. [2,3]-C. (1,3]D. [1,3)【答案】C 【解析】 【分析】分别求出关于A 、B 的不等式，写出A 、B 的交集即可.【详解】由{}{}|10|1A x x x x =->=>，{}{}2|60|23B x x x x x =--≤=-≤≤，所以{}|13A B x x ⋂=<≤. 故选：C.【点睛】本题考查了集合的交集的运算，考查不等式问题，属于基础题. 2.已知i 是虚数单位，复数52i=- （ ） A. i ﹣2 B. i +2C. ﹣2D. 2【答案】B 【解析】 【分析】直接利用复数代数形式的运算法则化简求值．【详解】解：()()()525222i i i i +=--+10524(1)i i +==+--， 故选：B ．【点睛】本题主要考查复数代数形式的除法运算，属于基础题．3.在等比数列{}n a 中，4a ，6a 是方程2510x x ++=的两根，则5a =（ ） A. 1B. ±1C.52D. 52±【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列中项的性质，利用根与系数的关系，即可得出正确的结论. 【详解】在等比数列{}n a 中，由题意知：465a a +=-，461a a ⋅=，所以40a <，60a <，所以25461a a a =⋅=，即51a =±.故选：B.【点睛】本题考查了等比中项的性质的应用问题，也考查了根与系数关系的应用问题，属于基础题. 4.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列等式正确的是( ) A. ::a b A B = B. :sin :sin a b A B = C. :sin :sin a b B A = D. sin sin a A b B =【答案】B 【解析】 【分析】由正弦定理可得答案． 【详解】由正弦定理sin sin a bA B=可得:sin :sin a b A B =，可知B 正确，故选B ． 【点睛】本意考查正弦定理，属于基础题．5.设、a b 均为单位向量，则“22-=+a b a b ”是“⊥a b ”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】根据22||=a a ，可化简22-=+a b a b 为22224444+-=++a b ab a b ab ，又、a b 均为单位向量，可得0=ab ，即可分析出结果.【详解】因为、a b 均为单位向量，所以221,1==a b ，由22-=+a b a b 可得：()()2222-=+a b a b ，即22224444+-=++a b ab a b ab ，所以5454-=+ab ab ，即0=ab ，所以⊥a b ，因此“22-=+a b a b ”是“⊥a b ”的充分必要条件，故选C.【点睛】本题主要考查了向量的数量积的性质，以及单位向量的概念，属于中档题.6.2018年辽宁省正式实施高考改革.新高考模式下，学生将根据自己的兴趣、爱好、学科特长和高校提供的“选考科目要求”进行选课.这样学生既能尊重自己爱好、特长做好生涯规划，又能发挥学科优势，进而在高考中获得更好的成绩和实现自己的理想.考改实施后，学生将在高二年级将面临着312++的选课模式，其中“3”是指语、数、外三科必学内容，“1”是指在物理和历史中选择一科学习，“2”是指在化学、生物、地理、政治四科中任选两科学习.某校为了更好的了解学生对“1”的选课情况，学校抽取了部分学生对选课意愿进行调查，依据调查结果制作出如下两个等高堆积条形图：根据这两幅图中的信息，下列哪个统计结论是不正确的（ ）A. 样本中的女生数量多于男生数量B. 样本中有学物理意愿的学生数量多于有学历史意愿的学生数量C. 样本中的男生偏爱物理D. 样本中的女生偏爱历史 【答案】D 【解析】 【分析】根据这两幅图中的信息，即可得出结论.【详解】由图1知，样本中的女生数量对于男生数量，样本中有学物理意愿的学生数量多于有学历史意愿的学生数量，样本中的男生偏爱物理，女生也偏爱物理. 故选：D.【点睛】本题考查等高堆积条形图，考查学生对图形的认识，属于基础题.7.函数()2e e x xf x x--=的图像大致为 ( )A. B.C. D.【答案】B 【解析】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.详解：20,()()()x xe e xf x f x f x x --≠-==-∴为奇函数，舍去A, 1(1)0f e e -=->∴舍去D;243()()2(2)(2)()2,()0x x x x x xe e x e e x x e x ef x x f x x x ---+---++=='∴>'>，所以舍去C ；因此选B.点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．8.函数()2()ln 3f x x ax =--在(1,)+∞单调递增，求a 的取值范围（ ） A. 2a ≤ B. 2a < C. 2a ≤- D. 2a <-【答案】C 【解析】 【分析】根据复合函数单调性之间的关系进行求解即可.【详解】由题意，设()23g x x ax =--，则要使()2()ln 3f x x ax =--在区间()1,+∞上单调递增，则满足()1210ag ⎧≤⎪⎨⎪≥⎩，即220a a ≤⎧⎨--≥⎩，解得2a ≤-.故实数a 的取值范围是2a ≤-. 故选：C.【点睛】本题主要考查复合函数单调性的应用，结合二次函数的单调性是解决本题的关键，属于基础题. 9.若112a b <<<，01c <<，则下列不等式不成立．．．的是（ ） A. log log a b c c < B. log log b a a c b c < C. c c ab ba < D. c c a b <【答案】B 【解析】 【分析】根据幂函数和对数函数的图象和性质，结合不等式的基本性质，对各选项逐一判断即可. 【详解】对于A ：当112a b <<<，01c <<，由对数函数的单调性知，0log log a b c c <<，故A 正确； 对于B ：当112a b <<<，01c <<，设函数log c y x =为减函数，则log log 0c c a b >>， 所以log log 0b a c c >>，因112a b <<<，则log b a c 与log a b c 无法比较大小，故B 不正确；对于C ：当112a b <<<，01c <<，则10c -<，由指数函数的单调性知，11c c b a --<，将不等式11c c b a --<两边同乘ab ，得c c ab ba <，故C 正确； 对于D ：当112a b <<<，01c <<，由不等式的基本性质知，c c a b <，故D 正确. 故选: B【点睛】本题考查了幂函数和对数函数的图象和性质，不等式的基本性质，属于基础题. 10.已知角α，(0,)βπ∈，1tan()2αβ+=，72cos 10β=，则角2αβ+=（ ） A.94πB.34π C.54π D.4π 【答案】D 【解析】通过α，β的范围求出tan β，进一步求出tan α，再求出()tan 2αβ+，结合角的范围求出角的大小即可.【详解】∵()0,βπ∈，由72cos 10β=，则0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴2sin 10β=，1tan 7β=，又tan tan 1tan()1tan tan 2αβαβαβ++==-，即1tan 17121tan 7αα+=-，解得1tan 3α=，∴0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ∴()()()11tan tan 23tan 21111tan tan 123αβααβαβα++++===-+⋅-⨯， 又()()20,αβπ+∈， ∴24παβ+=.故选：D.【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系式，两角和与差的正切函数的应用，考查计算能力，注意角的范围是解题的关键，属于基础题.11.如图所示，已知球O 为棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -的内切球，则平面1ACD 截球O 的截面面积为（ ）A.32π B. 3π36πD. 33π【答案】A【分析】根据正方体和球的结构特征，判断出平面1ACD 是正三角形，求出它的边长，再通过图求出它的内切圆的半径，最后求出内切圆的面积.【详解】根据题意知，平面1ACD 是边长为32的正三角形，且球与以点D 为公共点的三个面的切点恰为三角形1ACD 三边的中点，故所求截面的面积是该正三角形的内切圆的面积，则由图得，1ACD ∆内切圆的半径是326tan 262r π==， 所以截面圆的面积是2632ππ⨯=⎝⎭. 故选：A.【点睛】本题考查了正方体和它的内接球的几何结构特征，关键是想象出截面图的形状，考查了空间想象能力，数形结合的思想，属于基础题.12.设函数2()()()f x x x a x R =--∈，当3a >时，不等式()22(sin 1)sinf k f k θθ---≥-对任意的[1,0]k ∈-恒成立，则θ的可能取值是（ ）A. 3π-B.43π C. 2π-D.56π 【答案】D 【解析】 【分析】当3a >时，先利用导数求得函数()f x 在(],1-∞上为减函数，再将不等式恒成立转化为22sin sin 1k k θθ--≤+对任意的[]1,0k ∈-恒成立，进而解得sin θ的范围.【详解】由()()2f x x x a =--，得()()()3f x x a x a =-'--，令()0f x '=，得13ax =，2x a =， 当3a >时，3a a <，所以()f x 在区间,3a ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，[),a +∞上单调递减，在区间,3a a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， 而当3a >时，13a>，则()f x 在区间(],1-∞上减函数，又[]1,0k ∈-，[]sin 1,1θ∈-，则2sin 11k θ-≤---≤，221sin 1k θ-≤-≤， 由题意，不等式()()22sin 1sinf k f k θθ---≥-对任意的[]1,0k ∈-恒成立，即转化为22211sin sin 124k k k θθ⎛⎫--≤+=+- ⎪⎝⎭对任意的[]1,0k ∈-恒成立，所以21sin sin 14θθ--≤-恒成立，解得13sin 22θ-≤≤，即1sin 12θ-≤≤， 结合选项知，θ的可能取值是56π. 故选：D.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、三角函数与二次函数的单调性、恒成立问题的等价转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题.第Ⅱ卷（选择题，共90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分，第15题为两空题，第一空2分，第二空3分.） 13.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为_______.【答案】16【解析】 【分析】判断几何体的形状，利用三视图的数据，求解几何体的体积即可.【详解】由题意可知该几何体是将边长为1的正方体截一只角的三棱锥图形， 所以，该三棱锥的体积为111111326V =⨯⨯⨯⨯=. 故答案为：16. 【点睛】本题考查三视图求解几何体的面积与体积，考查空间想象能力以及计算能力，属于基础题. 14.《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，是算经十书之一，书中不仅记载了“天圆如张盖，地方如棋局”一说，更是记载了借助“外圆内方“的钱币及用统计概率得到圆周率π的近似值的方法，具体做法如下，现有“外圆内方”的钱币（如图），测得钱币“外圆”半径（即圆的半径）为2cm ，“内方”（即钱币中间的正方形孔）的边长为1cm ，在圆内随机取点，若统计得到此点取“内方”之外部分的概率是p ,则圆周率π的近似值为________.【答案】14(1)p -【解析】 【分析】计算圆形钱币的面积和正方形的面积，求出对应面积比得p ，进而得π的值.【详解】圆形钱币的半径为2cm ，面积为224S ππ=⋅=圆，正方形边长为1cm ，面积为1S =正，由题意，在圆内随机取点，点取“内方”之外部分的概率114S S p S π-==-正圆圆， 即()141p π=-.故答案为：()141p -.【点睛】本题考查了几何概型的概率计算问题，属于基础题.15.lg(3)lg lg(1)x y x y +=++，则x y +的取值范围是________. 【答案】[2,)+∞ 【解析】 【分析】根据对数的运算法则得到31xy x y =++，然后利用基本不等式进行求解即可．【详解】由lg(3)lg lg(1)x y x y +=++，有lg(3)lg(1)xy x y =++且+,x y R ∈，所以31xy x y =++21332x y x y xy +⎛⎫++=≤ ⎪⎝⎭，即()()2443x y x y ++≤+ 解得:2x y +≥或23x y +≤-(舍去) 故答案为：[2,)+∞【点睛】本题主要考查对数的基本运算，以及基本不等式的应用，考查学生的运算能力．属于基础题.16.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，点P 为双曲线C 右支上异于顶点的一点，12PF F ∆的内切圆与x 轴切于点(2,0)，则a 的值为______，若直线2y x =-经过线段1PF 的中点且垂直于线段1PF ，则双曲线C 的方程为________________.【答案】 (1). 2 (2). 221416x y -=【解析】 【分析】设点P 是双曲线右支上一点，按双曲线的定义，122PF PF a -=，设三角形12PFF 的内切圆心在x 轴上的投影为(,0)A x ，,B C 分别为内切圆与21,PF PF 的切点．由同一点向圆引得两条切线相等知1212()()PF PF PB BF PC CF -=+-+，由此得到△12PF F 的内切圆的圆心横坐标．即为2a =，根据条件△12PF F 为直角三角形，有22PF k =-,则2tan 2PF O ∠=，所以在△12PF F 中122tan 2PF PF O PF ∠==,可求解.【详解】点P 是双曲线右支上一点，由双曲线的定义，可得122PF PF a -=， 若设三角形12PF F 的内切圆心在横轴上的投影为(,0)A x ，该点也是内切圆与x 轴的切点．设,B C 分别为内切圆与21,PF PF 的切点． 考虑到同一点向圆引的两条切线相等：则有：1212()()PF PF PC CF PB BF -=+-+1212CF BF AF AF =-=- ()()2c x c x a =+--=即x a =，所以内切圆的圆心横坐标为a ． 由题意可得2a =，又直线2y x =-经过线段1PF 的中点且垂直于线段1PF 设1PF 得中点为H ，则12,//OH PF OH PF ⊥ ,所以直线2y x =-与平行2PF ，则12PF PF ⊥ ，22PF k =-则2tan 2PF O ∠=，根据双曲线的定义有：12224PF a PF PF =+=+ 则在直角三角形△12PF F 中有：122224tan 2PF PF PF O PF PF +∠===解得：24PF =，所以18PF = 由勾股定理有2221212PF PF F F +=，即222484c +=解得：220c = ，所以216b =所以双曲线方程为：221416x y -=故答案为：2 . 221416x y -=【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要考查定义法的运用，以及直线的斜率公式的运用，切线的性质，考查运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤.）17.如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 是等边三角形，且平面PAD ⊥平面ABCD 、E 为PD 的中点，//AD BC ，CD AD ⊥，2BC CD ==，4=AD .（1）求证：//CE 平面PAB ； （2）求三棱锥P ACE -的体积. 【答案】（1）证明见解析（2）433【解析】 【分析】（1）取PA 中点F ，连结EF ，BF ,证明//CE BF 即可.（2）由P ACE C APE V V --=，先证明平面PAD ⊥平面ABCD ，由CD AD ⊥得CD 为三棱锥C APE -的高，体积可求.【详解】解：（1）如图，取PA 中点F ，连结EF ，BF .因为E 为PD 中点，4=AD ，所以//EF AD ，122EF AD ==. 又因为//BC AD ，2BC =， 所以//EF BC ，EF BC =， 所以四边形EFBC 为平行四边形. 所以//CE BF .又因为CE ⊄平面PAB ，BF ⊂平面PAB ， 所以//CE 平面PAB .（2）连接AE 、AC . 容易知道，P ACE C APE V V --=，由于CD AD ⊥，且平面PAD ⊥平面ABCD ， 平面PAD平面ABCD AD =，可得CD ⊥平面PAD即CD ⊥平面PAE ，于是CD 为三棱锥C APE -的高. 在等边三角形PAD ∆中，E 为PD 中点， 于是1232PAE PAD S S ∆∆==2CD = 14333P ACEC APE PAE V V S CD --∆==⨯=【点睛】本题考查线面平行的证明，以及面面垂直的性质的考查，求三棱锥的体积，属于中档题. 18.冬季历来是交通事故多发期，面临着货运高危运行、恶劣天气频发、包车客运监管漏洞和农村交通繁忙等四个方面的挑战.全国公安交管部门要认清形势、正视问题，针对近期事故暴露出来的问题，强薄羽、补短板、堵漏洞，进一步推动五大行动，巩固扩大五大行动成果，全力确保冬季交通安全形势稳定.据此，某网站推出了关于交通道路安全情况的调查，通过调查年龄在[15,65)的人群，数据表明，交通道路安全仍是百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此类问题的约占80%.现从参与调查并关注交通道路安全的人群中随机选出100人，并将这100人按年龄分组：第1组[15,25)，第2组[25,35)，第3组[35,45)，第4组[45,55)，第5组[55,65)，得到的频率分布直方图如图所示.（1）求这100人年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数（精确到小数点后一位）；（2）现在要从年龄较大的第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行问卷调查，求第2组恰好抽到1人的概率；【答案】（1）平均数为41.5岁；中位数为42.1岁（2）35【解析】 【分析】（1）先根据频率分布直方图求出a ，再求其平均值.（2）按照分层抽样的方式抽取的人数分别为2人，3人, 设第1组抽取的人员为12,a a ；第2组抽取的人员为123,,b b b .列举出随机抽取两人的情况，再求出概率.【详解】解：（1）由10(0.0100.0150.0300.010)1a ⨯++++=，得0.035a =， 平均数为200.1300.15400.35500.3600.141.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=岁；设中位数为x ，则100.010100.015(35)0.0350.5⨯+⨯+-⨯=x ，∴42.1x ≈岁.（2）根据题意，第1，2组分的人数分别为1000.110⨯=人，1000.1515⨯=人，按照分层抽样的方式抽取的人数分别为2人，3人.设第1组抽取的人员为12,a a ；第2组抽取的人员为123,,b b b . 于是，在5人随机抽取两人的情况有：()12,a a ，()()()111213,, ,, ,a b a b a b ， ()()()212223,, ,, ,a b a b a b ，()()()121323,,,,,b b b b b b 共10种.满足题意的有：()()()()()()111213212223,, ,, ,, ,, ,, ,a b a b a b a b a b a b 共6种. 所以第2组恰好抽到1人的概率63105p ==. 【点睛】本题考查频率分布直方图，求平均值，考查概率，属于中档题. 19.已知数列{}n a 其前n 项和n S 满足：()*112(1),0n n S n a n N a+=-+∈=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）当1n =时，11c =，当2n ≥且*n N ∈时，设12n n nc na +=，求{}n c 的前n 项和n T .【答案】（1）0,12,2(1)n n a n n n =⎧⎪=⎨≥⎪-⎩（2）15(2)2n n T n +=+- 【解析】 【分析】（1）当1n =时，得21a =，当2n ≥时，由1n n n a S S -=-，得111n n a n a n +-=+，进而利用累乘法即可得到结论；（2）由（1）得，当2n ≥时，(1)2nn c n =-⋅，利用错位相减法即可. 【详解】解：（1）当1n =时，112220a S a ==-=，得21a =.当2n ≥时，11(1)n n n n n a S S na n a -+=-=-+，即1(1)(1)n n n a n a ++=-， 因为20a ≠，所以111n n a n a n +-=+， 34223112222,34(1)(1)n n n n a a a a n a a a a a n n n n n--=⨯⨯⋯⋯⨯=⨯⨯⋯⋯⨯==--， 综上所述，0,12,2(1)n n a n n n=⎧⎪=⎨≥⎪-⎩（2）当1n =时，11T =.当2n ≥时，(1)2nn c n =-⋅,231222(1)2n n T n =++⨯+⋯⋯+-⨯ 31222(2)2(1)2n n n T n n +=++⋅⋅+-⨯+-⨯31322(1)2n n n T n +-=+⋯⋯+--⨯()32112123(1)25(2)212n n n n n -++-=+--⨯=----15(2)2n n T n +=+-综上所述，15(2)2n n T n +=+-.【点睛】本题考查n a 与n S 的关系，考查利用累乘法求通项公式，考查利用错位相减法求前n 项和，属于基础题.20.椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的上顶点为A ，点31,2B ⎛- ⎝⎭在椭圆E 上，1F ，2F 分别为E 的左右焦点，12120F AF ︒∠=.（1）求椭圆E 的方程；（2）点M 在圆222x y b +=上，且M 在第一象限，过M 作222x y b +=的切线交椭圆于C ，D 两点，且C ，2F ，D 不共线，问：2CF D ∆的周长是否为定值？若是求出定值；若不是说明理由.【答案】（1）2214x y +=（2）周长为定值4，详见解析【解析】 分析】 （1）由题意得12b a =，将B 点代入椭圆方程解得，即可得到椭圆方程； （2）由题意，设CD 的方程为(0,0)y kx m k m =+<>，由CD 与圆221x y +=相切，得221m k =+，再联立直线与椭圆方程，运用弦长公式以及两点之间的距离公式分别表示出三角形的边长，进而即可得到结论.【详解】（1）由12120F AF ︒∠=，得12b a =①，B 点31,2⎛-⎝⎭代入椭圆方程得2213144b b+=②， 由①②得224,1a b ==，所以椭圆E 的方程为2214x y +=.（2）由题意，设CD 的方程为(0,0)y kx m k m =+<>，∵CD 与圆221x y +=211k=+，即221m k =+，由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222148440,0k x kmx m -+++-=∆> 设()11,C x y ，()22,D x y ，则122814km x x k +=-+，21224414m x x k-=+. ∴()222121212||114CD k x k x x x x =+-=++-22222222844431431414141414km m k k km k k k k k --+-⎛⎫=+--⨯== ⎪++++⎝⎭又(()222222121111|3344|134x CF x y x x =-+=+-=-，∴()211432CF x =， 同理()221|43|2DF x =， ∴()22122343||||44214kmCF DF x x k +=-+=++ ∴22||4CD CF DF ++=. 即2CF D ∆的周长为定值.【点睛】本题考查椭圆方程、两点间距离公式、直线方程等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，考查创新意识、应用意识，属于中档题． 21.已知函数()ln ,f x x x kx k R =+∈. （1）求()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）若不等式2()f x x x ≤+恒成立，求k 的取值范围； （3）函数321()ln 4h x x x x =-+，设()()()f x g x h x x =-，记()g x 在[2,4]-上得最大值为()k ϕ，当()k ϕ最小时，求k 的值.【答案】（1）(1)1y k x =+-（2）k 2≤（3）3k =- 【解析】 【分析】(1)求出导数，得到切线的斜率，用点斜式写出切线方程即可(2) 不等式2()f x x x ≤+恒成立，即ln 10x x k -+-≤恒成立，设()ln 1g x x x k =-+-，即求函数()g x 的最大值.(3) 32()1()()4f x g x h x x x x k =-=--，设321()4u x x x =-，先求出()u x 的最小，然后对k 进行讨论，得到()g x 的最值情况，得到答案.【详解】解：（1）函数()y f x =的定义域为(0,)+∞，()1ln f x x k '=++，(1)1f k '=+，∵(1)f k =，∴函数()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为(1)(1)y k k x -=+-， 即(1)1y k x =+-.（2）设()ln 1g x x x k =-+-，1()1g x x'=-， x (0,1)∈，()0g x '>，()g x 单调递增，x (1,)∈+∞，()0g x '<，()g x 单调递减，∵不等式2()f x x x ≤+恒成立，且0x >，∴ln 10x x k -+-≤，∴()max (1)20g x g k ==-≤即可，故k 2≤.（3）由可知：321()4g x x x k =--，令321()4u x x x =-， 2338()2443u x x x x x ⎛⎫'=-=- ⎪⎝⎭，在(,0),()0,()u x u x '-∞>增函数；在80,,()0,()3u x u x ⎡⎤'<⎢⎥⎣⎦减函数，在8,()0()3u x u x ⎛⎫'+∞> ⎪⎝⎭增函数又864(0)(4)0,(2)6,327u u u u ⎛⎫==-=-=- ⎪⎝⎭所以，在[2,4]-上，()[6,0]u x ∈-. 1.当0k ≥时，()()()g x u x k u x k =-=-+ max ()6g x k =+即()6(0)k k k ϕ=+≥2.当6k ≤-时，()()g x u x k =-，所以max ()()k g x k ϕ==-，3.当60k -<<时，(0)(4)g g k k ==-=-，86464()32727g k k =--=+ 当64027k +>时，864()6(2)327g k k g =+<+=- 当64027k +<时，864()(0)327g k k g =--<-= 所以{}{}max ()max (2),(0)max ,6g x g g k k =-=-+ 即{}(63)()max ,66? (30)k k k k k k k ϕ--<<-⎧=-+=⎨+-≤<⎩综上，(,3)()6[3,)kk k ϕ--∞-⎧=⎨+-+∞⎩所以，当3k =-时，min ()3k ϕ=.【点睛】本题考查求曲线的切线方程，不等式恒成立求参数的范围，求函数的最值.属于难题. 请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.作答时就写清题号.22.在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为0022x x y y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为5ρθ=. （1）求圆C 的直角坐标方程及直线l 的斜率；（2）直线l 与圆C 交于M ，N 两点，MN 中点为Q ，求Q 点轨迹的直角坐标方程.【答案】（1）圆C 的直角坐标方程为22(5)5x y +-=，直线l 的斜率为1（2）Q 点的轨迹方程为50x y +-=，101022x ⎡∈-⎢⎣⎦【解析】 【分析】（1）直接利用转换关系式，把参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换； （2）利用中点的坐标公式化简得21212(225)0y y x y x x -+-=-，进而可得50x y +，再求得x 的范围即可得到结论.【详解】（1）由5ρθ=得2250x y +-=， 即圆C 的直角坐标方程为22(5)5x y +-=.由直线l 的参数方程可得1y y x x -=-，故直线l 的斜率为1.（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，中点(,)Q x y ，将M ，N 代入圆方程得：22111250x y +-=①， 22222250x y +-=②，①-②得：()()()(12121212250x x x x y y y y -++-+-=， 化简得21212(225)0y y x y x x -+-=-因为直线2l 的斜率为1，所以上式可化为50x y +， 代入圆的方程22250x y +-=，解得10x =±， 所以Q 点的轨迹方程为50x y +，101022x ⎡∈-⎢⎣⎦.【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，中点坐标公式的应用，求轨迹方程的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题. 23.设a ，b 是正实数，求：（1）若21a b +=，求22a b +的最小值； （2）若2241a b +=32a b +的最大值. 【答案】（1）最小值为15（2）最大值为2【解析】【分析】（1）法一：由题意得102b <<，再将22222(12)541a b b b b b +=-+=-+，利用二次函数求最值的方法即可；法二：利用柯西不等式；（2）法一：利用柯西不等式；法二：利用三角换元的方法，设cos a θ=，1sin 2b θ=，进而即可得到结论. 【详解】（1）法一：由1200a b b =->⎧⎨>⎩得，102b <<， 于是22222(12)541a b b b b b +=-+=-+，当25b =时，22a b +取得最小值为15. 法二：()()2222212(2)1a b a b ++≥+=，当且仅当2b a =时等号成立， 此时22a b +的最小值为15. （2）法一：22222(32)(2)(3)14a b a b ⎡⎤⎡⎤+≤++=⎣⎦⎣⎦23b =时等号成立， 因为a ，b 32a b +的最大值为2.法二：设cos a θ=，1sin 2b θ=，02πθ<<323sin 2sin 3a b πθθθ⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭， ∵5336πππθ<+<， ∴当32ππθ+=时，maxsin 13πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 32a b +的最大值为2.【点睛】本题考查了不等式求最值，二次函数求最值，柯西不等式的应用，三角换元的方法，属于基础题.。
2020届辽宁省普通高中高三上学期学业水平测试数学试题(解析版)
2020届辽宁省普通高中高三上学期学业水平测试数学试题一、单选题1．已知集合{}1,2,3,4A =，{}220B x x x =--=，则AB =（ ）A ．{}1B ．{}2C ．{}3D ．{}1,2【答案】B【解析】求出集合B ，然后求解交集即可． 【详解】 解：{}{}2201,2B x x x =--==-，{}1,2,3,4A ={}2A B ∴=I故选：B 【点睛】本题考查集合的基本运算，一元二次方程的解法，考查计算能力，属于基础题． 2．已知命题:p x R ∀∈，2230x x ++>，那么p ⌝是（ ）A ．0x R ∃∈，200230x x ++> B ．x R ∀∈，2230x x ++≤ C ．0x R ∃∈，200230x x ++≤D ．x R ∀∈，2230x x ++≠【答案】C【解析】根据全称命题的否定为特称命题可写出命题p 的否定． 【详解】解：根据全称命题命题:p x R ∀∈，2230x x ++>，那么p ⌝是的否定为特称命题，即：p ⌝为0x R ∃∈，200230x x ++≤．故选：C ． 【点睛】本题主要考查了全称命题的否定的写法，对量词及结论都要进行否定，属于基础题． 3．3x >是2x >的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由“3x >” ⇒ “2x >”，反之不成立，例如取 2.5x =．即可判断出结论． 【详解】解：由“3x >” ⇒ “2x >”，反之不成立，例如取 2.5x =． 因此“3x >”是“2x >”的充分而不必要条件． 故选：A ． 【点睛】本题考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．函数()f x =的定义域为（ ） A ．(,1][3,)-∞-⋃+∞ B ．[1,3]-C ．[3,1]-D ．(,3][1,)-∞-+∞【答案】C【解析】运用偶次根式被开方数非负，求得()f x 的定义域. 【详解】解：()f x =(3)(1)0x x ∴+-≥解得31x -≤≤即函数()f x 的定义域为[3,1]x ∈- 故选：C 【点睛】本题考查函数定义域的求法，注意偶次根式的含义和定义域含义，考查运算能力，属于基础题．5．甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是( ) A ．16B ．12C ．13D ．23【答案】C【解析】列举出三名同学站成一排的所有情况，在其中找到甲站中间的情况个数，根据古典概型计算公式求得结果. 【详解】三名同学站成一排的基本事件有：甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲，共6个甲站在中间的事件包括：乙甲丙、丙甲乙，共2个∴甲站在中间的概率：2163P == 本题正确选项：C 【点睛】本题考查古典概型计算概率问题，属于基础题.6．如果0a b >>，那么下列不等式一定成立的是（ ） A ．c a c b ->- B ．11a b>C ．1122a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．ln ln a b >【答案】D【解析】根据不等式的性质判断A ； 根据幂函数的性质判断B ； 根据指数函数的性质判断C ； 根据对数函数的单调性判断D ． 【详解】 解：0a b >>a b ∴-<-c a c b ∴-<-故A 错误；由于1y x -=在()0,∞+上单调递减，故11a b<即B 错误； 由于12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，故1122ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即C 错误；由于ln y x =在()0,∞+上单调递增，故lna lnb >即D 正确， 故选：D ． 【点睛】本题考查不等式的性质，考查对数函数的单调性，属于基础题．7．某校数学教研组为了解学生学习数学的情况，采用分层抽样的方法从高一600人、高二780人、高三n 人中，抽取35人进行问卷调查，已知高二被抽取的人数为13人，则n 等于（ ） A ．660 B ．720C ．780D ．800【答案】B【解析】试题分析：由已知，抽样比为13178060=，所以有351,72060078060n n ==++．故选B ．【考点】随机抽样．8．已知sin 5α=-，α是第三象限的角，则tan2α的值为（ ） A ．43-B ．43C ．45-D ．45【答案】A【解析】先求出cos a ，再根据sin tan cos aa a=，最后利用二倍角余弦公式求得tan2α可得答案． 【详解】解：sin 5α=-，22sin cos 1αα+=cos α∴= αQ 是第三象限的角cos α∴=sin tan 2cos aa a∴== 222tan 224tan 21tan 123ααα⨯∴===--- 故选：A 【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用．属基础题． 9．函数31()()log 3xf x x =-的零点个数为（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】在同一直角坐标系中作出函数1()3xy =与3log y x =的图象，将函数的零点个数转化为函数的交点问题，数形结合可得. 【详解】解：函数31()()log 3xf x x =-的零点个数，即31()log 03xx -=的解得个数，等价于1()3x y =与3log y x =的交点个数，在同一平面直角坐标系中作出函数图象，由图可知两函数只有一个交点，故函数31()()log 3xf x x =-有一个零点, 故选：B【点睛】本题考查函数的零点问题，数形结合思想，属于基础题.10．设M 是ABC 边BC 的中点，若AM AB AC λμ=+，则λμ+的值为（ ） A ．14B ．12C ．1D ．2【答案】C【解析】根据向量的线性运算及向量相等的充要条件可得. 【详解】 解：M 是ABC ∆边BC 的中点， 1122AM AB AC ∴=+ AM AB AC λμ=+11,22λμ∴==1λμ∴+=故选：C 【点睛】本题考查向量的线性运算及向量相等的充要条件，属于基础题.11．如果棱长为2的正方体的八个顶点都在同一个球面上，那么这个球的表面积是A B ．3π C ．D ．12π【答案】D【解析】由已知可得所求球是棱长为2的正方体的外接球，代入正方体对角线公式，求出外接球的半径，代入球的表面积公式，可得答案． 【详解】解：若棱长为2的正方体的八个顶点都在同一个球面上 则该球是正方体的外接球球的半径R ==则球的表面积2412S R ππ== 故选：D ． 【点睛】本题考查的知识点是球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式，其中根据已知求出球的半径是解答的关键．12．如图给出了红豆生长时间t （月）与枝数y （枝）的散点图，用下列哪个函数模型拟合红豆生长时间与枝数的关系最好（ ）A ．指数函数：2t y =B ．对数函数：2log y t =C ．幂函数：3y t = D ．二次函数：2y t =【答案】A【解析】有散点图知函数的图象在第一象限是一个单调递增的函数，并且增长的比较快，且图象过(1,2)点，得到结果． 【详解】解：由题意知函数的图象在第一象限是一个单调递增的函数，并且增长的比较快，且图象过(1,2)点，∴图象由指数函数2t y =来模拟比较好，【点睛】本题考查散点图和两个变量之间的关系，本题解题的关键是看出图象的变化特点和图象所过的特殊点，属于基础题．二、填空题 13．计算：5lg 2lg 22+=________． 【答案】1【解析】根据对数的运算法则及对数的性质计算可得. 【详解】 解：25555lg2lg 2lg lg 2lg lg 4lg 4lg1012222⎛⎫+=+=+=⨯== ⎪⎝⎭故答案为：1 【点睛】本题考查对数的运算及对数的性质，属于基础题.14．已知向量(2,4)a =，(1,1)b =-r，则a b ⋅=________． 【答案】2【解析】根据向量的数量积的坐标运算可得. 【详解】 解：(2,4)a =，(1,1)b =-r()21412a b ∴⋅=⨯-+⨯=故答案为：2 【点睛】本题考查平面向量的数量积的坐标运算，属于基础题.15．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于x 轴对称．若3sin 5α=，则sin β=________． 【答案】35-【解析】根据终边关于x 轴对称的两个角的正弦值互为相反数，得出结论． 【详解】解：角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于x 轴对称，若3sin 5α=，则3sin sin 5βα=-=-，故答案为：35-． 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，根据终边关于x 轴对称的两个角的正弦值互为相反数，属于基础题．16．设x ，y 为正数，则14()x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的最小值为________． 【答案】9【解析】函数中含有整式和分式的乘积，展开出现和的部分，而积为定值，利用基本不等式求最值 【详解】解：x ，y 为正数，()14414149y x x y x y x y ⎛⎫++=+++++=⎪⎝⎭… 当且仅当4y x x y=时取得“=” ∴最小值为9故答案为：9 【点睛】利用基本不等式求最值，需要满足的条件“一正，二定，三相等”.三、解答题17．已知向量(,2)a x =，(2,4)b =． （1）若//a b ，求实数x 的值；（2）若6a b +=r r，求实数x 的值．【答案】(1) 1x =．(2) 2x =-．【解析】（1）由平面向量共线的坐标表示列出方程，解方程求出x 的值；（2）先求出a b +的坐标，再根据6a b +=r r得到方程，解得.【详解】解：（1）因为//a b ，(,2)a x =，(2,4)b =．422x ∴=⨯，解得1x =． （2）(,2)a x =，(2,4)b =．(2,6)a b x ∴+=+，(a b x ∴+=+，6=，解得2x =-． 【点睛】本题考查向量共线的坐标表示，以及求向量的模，属于基础题.18．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a b c >>2sin 0b C -=． （1）求角B 的大小；（2）若b =2a =，求c ．【答案】(1) 3B π=．(2) 1c =．【解析】（1）利用正弦定理将边化成角，即可求得角B ；（2）把2a =，b =3B π=代入2222cos b a c ac B =+-，化简后根据一元二次方程的解法求出c 的值． 【详解】解：（12sin 0b C -=，2sin sin 0C B C -=． 因为0C π<<，所以sin 0C ≠，所以sin B =． 因为0B π<<，且a b c >>， 所以3B π=．（2）因为b =2a =，所以由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得2214222c c =+-⨯⨯， 即2210c c -+=． 所以1c =． 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理的应用，特殊角的三角函数值，熟练掌握公式并会应用是解题的关键，属于基础题．19．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，AC 与BD 交于点O ，E 为PB 的中点．（1）求证：EO平面PDC ；（2）求证：AC DE ⊥．【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析【解析】（1）通过三角形中位线的性质可得//OE PD ，进而根据线面平行的判定定理可以证明出//EO 平面PDC ；（2）先分别证明出AC BD ⊥，PD AC ⊥，进而根据线面垂直的判定定理证明出AC ⊥平面PBD ，即可得出结论．【详解】（1）证明：∵E ，O 点分别是PB ，DB 中点， ∴12EO PD //， ∵PD ⊂平面PBC ，EO ⊄平面PBC ， ∴EO平面PBC ．（2）证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AC BD ⊥，又∵PD ⊥底面ABCD ，AC ⊂底面ABCD ， ∴PD AC ⊥，∵PD BD D ⋂=，PD ⊂平面PBD ,BD ⊂平面PBD ， ∴AC ⊥平面PBD ，∵DE⊂平面PBD，⊥．∴AC DE【点睛】本题主要考查了线面平行，线面垂直的判定定理的应用．考查了学生对线面平行，线面垂直判定定理的记忆．20．某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图）．已知上学所需时间的范围是[0,100]，样本数据分组为[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，(80,100]．（1）求直方图中x的值；（2）如果上学所需时间在[60,100]的学生可申请在学校住宿，请估计该校800名新生中有多少名学生可以申请住宿．x=．(2) 96名【答案】(1) 0.0125【解析】（1）由直方图中各个矩形的面积为1建立方程求x．（2）计算出新生上学所需时间在[60,100]的频率，再乘上新生的总人数即可得到申请住宿的人数．【详解】x+⨯+⨯+⨯⨯=．解：（1）由直方图可得到200.025200.0065200.0032201 x=．所以0.0125⨯⨯=．（2）由直方图可知，新生上学所需时间在[60,100]的频率为0.0032200.12所以估计全校新生上学所需时间在[60,100]的概率为0.12．⨯=．因为8000.1296所以800名新生中估计有96名学生可以申请住宿．【点睛】本题考查频率分布直方图的理解与应用，理解直方图的意义是解答的关键．21．如图，某市拟在长为8 km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM ，该曲线段为函数sin (0,0)y A x A ωω=>>，[0,4]x ∈的图象，且图象的最高点为S ；赛道的后一部分为折线段MNP ．为保证参赛运动员的安全，限定120MNP ∠=．（1）求点M 的坐标；（2）应如何设计，才能使折线段赛道MNP 最长？【答案】(1) (4,3)M ．(2) 将PMN ∠设计为30︒时，折线段赛道MNP 最长．【解析】（1）利用图象分别求得周期和A 的值，进而求得ω最后得到函数解析式，即可求得M 的坐标．（2）设PMN θ∠=，利用正弦定理表示出3NP θ=，()603MN θ︒=-，即可表示出NP MN +，用两角和差的正弦公式化简，根据三角函数的性质求得最大值.【详解】解：（1）由题意知A =34T =， ∵2T πω=，∴6π=ω，∴6y x π=．当4x =时，233y π==， ∴(4,3)M ．（2）连接MP ，如图所示．又∵(8,0)P ，∴5MP ==．在MNP △中，120MNP ︒∠=，5MP =．设PMN θ∠=，则060θ︒︒<<， ∵()sin120sin sin 60MP NP MN θθ︒︒==-．∴NP θ=，()60MN θ︒=-．∴()60NP MN θθ︒+=+-()1sin 603223θθθ︒⎫=+=+⎪⎪⎝⎭． ∵060θ︒︒<<，∴6060120θ︒︒︒<+<，∴()560θ︒<+≤ ∴当30θ︒=时，折线段赛道MNP 最长．所以将PMN ∠设计为30︒时，折线段赛道MNP 最长．【点睛】本题主要考查了正弦定理的运用．涉及到了三角函数图象的确定及解析式，解三角形问题，两点间距离公式等，综合性特别强．。
辽宁省葫芦岛市普通高中2020届高三数学上学期学业质量监测(期末考试)试题理(含解析)
7
1 2
，即
1
1 7
tan
1 2
，
解得
tan
1 3
，∴
0,
4
，
tan 2
tan 1 tan
tan tan
11 2 3
1 1 1
1
∴
23 ，
2 0,
又
，
2
∴
4.
故选：D.
【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系式，两角和与差的正切函数的应用，考查计算能
力，注意角的范围是解题的关键，属于基础题.
位置上.
4.考试结束，将答题卡和答题纸一并交回.
第Ⅰ卷（选择题，共 60 分）
一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.）
1. A {x | x 1 0}， B x | x2 x 6 0 ，则 A B （ ）
7.在 ABC 中， a,b, c 分别为 A, B,C 的对边，如果 a,b, c 成等差数列， B 30 ， ABC 的
3 面积为 2 ，那么 b （ ）
1 3 A. 2
B. 1 3
2 3 C. 2
D. 2 3
【答案】B
【解析】
试题分析：由余弦定理得 b2 a2 c2 2c cos B (a c)2 2ac 2ac cos B ，又面积
所以
.
故选：C.
【点睛】本题考查了集合的交集的运算，考查不等式问题，属于基础题.
5 2.已知 i 是虚数单位，复数 2 i （ ）
A. i﹣2
辽宁省普通高中2020-2021学年高三上学期学业水平测试数学试卷
解：
解得
即函数 的定义域为
故选：
【点睛】
本题考查函数定义域的求法，注意偶次根式的含义和定义域含义，考查运算能力，属于基础题．
5．C
【分析】
列举出三名同学站成一排的所有情况，在其中找到甲站中间的情况个数，根据古典概型计算公式求得结果.
【详解】
三名同学站成一排的基本事件有：甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲，共 个
A．660B．720C．780D．800
8．已知 ， 是第三象限的角，则 的值为（）
A． B． C． D．
9．函数 的零点个数为（）
A．0B．1C．2D．3
10．设M是 边BC的中点，若 ，则 的值为（）
A． B． C．1D．2
11．如果棱长为2的正方体的八个顶点都在同一个球面上，那么这个球的表面积是（）
3． 是 的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
4．函数 的定义域为（）
A． B．
C． D．
5．甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是( )
A． B． C． D．
6．如果 ，那么下列不等式一定成立的是（）
A． B． C． D．
7．某校数学教研组为了解学生学习数学的情况，采用分层抽样的方法从高一600人、高二780人、高三n人中，抽取35人进行问卷调查，已知高二被抽取的人数为13人，则n等于（）
21．如图，某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数 ， 的图象，且图象的最高点为 ；赛道的后一部分为折线段MNP．为保证参赛运动员的安全，限定 ．
（1）求点M的坐标；