2020年江西九江高三一模数学试卷(理科)

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江西九江市2020年第一次高考模拟统一考试数学(理数) 含答案

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18.(本小题满分 12 分)
如图，在三棱柱 ABC A1B1C1 中，已知四边形 AA1C1C 为矩形， AA1 6 ， AB AC 4 ，
A.x | 1 x 2
B.x | 2 x 5
C.{x | 1 x 5}
D.{x | 0 x 2}
2.设复数 z 满足 z(1 i) 2 ，则 z 在复平面内所对应的点位于(D)
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
3.已知非零向量 a ， b 满足| a || b | ，则“| a 2b || 2a b | ”是“ a b ”的(C)
11π x 12
9.过抛物线 y2 2 px( p 0) 的焦点 F 且斜率大于 0 的直线 l 交抛物线于点 A, B (点 A 位于第一象限)，
交其准线于点 C ，若 BC 3 BF ，且 AF 3 ，则直线 AB 的方程为(A)
A. 2 2x y 2 2 0
B. 2x y 2 2 0
7.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一卦由六爻组成.其中有一种起卦方法称为“金钱
起卦法”，其做法为：取三枚相同的钱币合于双手中，上下摇动数下使钱币翻滚摩擦，再随意抛撒钱币到
桌面或平盘等硬物上，如此重复六次，得到六爻.若三枚钱币全部正面向上或全部反面向上，就称为变
爻.若每一枚钱币正面向上的概率为 1 ，则一卦中恰有两个变爻的概率为(D) 2
An
， Bn
是圆 x2
y2
n2 上两个动点，且满足 OAn OBn
n2 2
（
n N* ），设 An ， Bn 到直线 x
3y
n(n
1)
0
的距离之和的最大值为

江西省2020年高考数学一模试卷(理科)D卷

江西省2020年高考数学一模试卷（理科）D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共10题；共20分)1. （2分） (2019高一上·厦门月考) 已知集合，，则（）A . ，B .C .D .2. （2分） (2019高二下·吉林期末) 复数等于（）A .B .C . 0D .3. （2分） (2017高二上·苏州月考) 下列命题为真命题的是（）A . 平行于同一平面的两条直线平行B . 与某一平面成等角的两条直线平行C . 垂直于同一平面的两条直线平行D . 垂直于同一直线的两条直线平行4. （2分）(2017·蚌埠模拟) 在如图所示的正方形中随机选择10000个点，则选点落入阴影部分（边界曲线C为正态分布N（﹣1，1）的密度曲线的一部分）的点的个数的估计值为（）附：若X：N（μ，δ2），则P（μ﹣δ＜X≤μ+δ）=0.6826．P（μ﹣δ＜X≤μ+2δ）=0.9544．A . 906B . 1359C . 2718D . 34135. （2分） (2017高三上·赣州期末) 若双曲线C： =1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆x2+y2﹣4y+3=0相切，则该双曲线C的离心率为（）A .B . 2C .D .6. （2分）已知f（x）为奇函数，且在（0，+∞）上是递增的，若f（﹣2）=0，则xf（x）＜0的解集是（）A . {x|﹣2＜x＜0或x＞2}B . { x|x＜﹣2或0＜x＜2}C . { x|x＜﹣2或x＞2}D . { x|﹣2＜x＜0或0＜x＜2}7. （2分） (2016高一下·海南期中) 已知x＞y＞0，则x+ 的最小值是（）A . 2B . 3C . 4D . 98. （2分） (2015高二上·蚌埠期末) 已知不等式组表示的平面区域为D，则区域D的面积为（）A . 2B . 3C . 4D . 59. （2分） (2018高一上·新余月考) 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，三棱锥A1-BC1D内切球的表面积为，则正方体外接球的体积为（）A .B . 36C .D .10. （2分）若z1 ，z2∈R，则|z1•z2|=|z1|•|z2|，某学生由此得出结论：若z1 ，z2∈C，则|z1•z2|=|z1|•|z2|，该学生的推理是（）A . 演绎推理B . 逻辑推理C . 归纳推理D . 类比推理11. （1分） (2019高一上·太原月考) 如图所示程序框图，则该程序框图表示的算法的功能是________12. （1分）若函数f（x）=x2+ln（x+a）与g（x）=x2+ex﹣（x＜0）的图象上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围是________13. （1分） (2016高二下·抚州期中) 用0，1，2，3，4组成没有重复数字的全部五位数中，若按从小到大的顺序排列，则数字12340应是第________个数．14. （1分）(2017·聊城模拟) 已知双曲线C：﹣ =1（a＞0，b＞0）的左顶点为A，点B（0，b），若线段AB的垂直平分线过右焦点F，则双曲线C的离心率为________．15. （1分） (2016高二上·上海期中) 在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点（x，y）为整点，下列命题中正确的是________（写出所有正确命题的编号）①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点；②如果k与b都是无理数，则直线y=kx+b不经过任何整点；③如果直线l经过两个不同的整点，则直线l必经过无穷多个整点；④直线y=kx+b经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与b都是有理数；⑤存在恰经过一个整点的直线．16. （5分） (2016高一下·湖北期中) 在△ABC中，已知B=45°，D是BC上一点，AD=5，AC=7，DC=3，求AB的长．17. （10分）(2017·山东模拟) 四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，为BC的中点，连接AE，BD，交点H，PH⊥平面ABCD，M为PD的中点．（1）求证：平面MAE⊥平面PBD；（2）设PE=1，求二面角M﹣AE﹣C的余弦值．18. （10分）(2017·新乡模拟) 在高中学习过程中，同学们经常这样说：“如果物理成绩好，那么学习数学就没什么问题．”某班针对“高中生物理学习对数学学习的影响”进行研究，得到了学生的物理成绩与数学成绩具有线性相关关系的结论，现从该班随机抽取5名学生在一次考试中的物理和数学成绩，如表：成绩/编号12345物理（x）9085746863数学（y）1301251109590（参考公式： = ， = ﹣）参考数据：902+852+742+682+632=29394，90×130+85×125+74×110+68×95+63×90=42595．（1）求数学成绩y关于物理成绩x的线性回归方程 = x+ （精确到0.1），若某位学生的物理成绩为80分，预测他的数学成绩；（2）要从抽取的这五位学生中随机选出三位参加一项知识竞赛，以X表示选中的学生的数学成绩高于100分的人数，求随机变量X的分布列及数学期望．19. （10分） (2019高二上·滕州月考) 记为等差数列的前n项和，已知， .（1）求的通项公式；（2）令，求数列的前n项和 .20. （10分） (2019高二下·吉林期中) 已知函数，其中，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线（1）求a的值；（2）求函数f(x)的单调区间．21. （10分） (2017高二下·平顶山期末) 已知椭圆的左、右焦点分别为F1 ， F2 ，离心率为，短轴上的两个顶点为A，B（A在B的上方），且四边形AF1BF2的面积为8．（1）求椭圆C的方程；（2）设动直线y=kx+4与椭圆C交于不同的两点M，N，直线y=1与直线BM交于点G，求证：A，G，N三点共线．参考答案一、选择题： (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题： (共5题；共5分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题： (共6题；共55分) 16-1、17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、。

江西省九江市2020届高三第二次高考模拟统一考试数学(理)试题(含解析)

=
()
1
A.
B.1
2
C. 2
D.2
4.已知 P(2，2)为抛物线 C : y2 = 2 px( p > 0) 上一点,抛物线 C 的焦点为 F,则|PF|=( )
A.2
B. 5
C.3
D. 7
2
2
5.将函数 y = 2 cos(2x + π ) 的图像向左平移 π 个单位得到函数 f(x),则函数 y =
C. l1 = l2 = l3 = l4
D. l1 = l2 = l3 < l4
12.已知函数 f(x)=x-lnx-1, g(x)=ln|x|, F(x)= f[g(x)], G(x)=g[ f(x)]，给出以下四个命题:
①y=F(x)为偶函数;②y= G(x)为偶函数;③y=F(x) 的最小值为 0;④y=G(x)有两个零点.其中真命题的是( )
A. 3 +1
B. 3
C. 2
D. 2 +1
10.算盘是中国传统的计算工具,其形长方,周为木框,内贯直柱,俗称“档”,档中横以梁,梁上两珠,每珠作数五,梁
下五珠,每珠作数一.算珠梁上部分叫上珠,梁下部分叫下珠｡例如:在十位档拨上一颗上珠和一颗下珠,个位档拨上
一颗上珠,则表示数字 65.若在个､十､百位档中随机选择一档拨一颗上珠,再随机选择两个档位各拨一颗下珠,则所
人印象深刻,该馆以“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”为设计理念,代表中国文化的精神与气质.其形如
冠盖，层叠出挑，制似斗拱.它有四根高 33.3 米的方柱,托起斗状的主体建筑，总高度为 60.3 米，上方的“斗冠”类似一个倒置的正四棱台，上底面边长是 139.4 米,下底面边长是 69.9 米，则“斗冠”的侧面与上底面的夹角约为( )

2020届江西省九江市十校高三下学期模拟考试数学(理)试题(解析版)

2020届江西省九江市十校高三下学期模拟考试数学（理）试题217C考生注意：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.2.请将各题答案填写在答题卡上.3.本试卷主要考试内容：高考全部内容.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.若1322z i =-+，则1z z+=（） A.3- B.3 C.1-D.12.设集合{}2|120A x x x =+-<，{|23}B x x =+<，则A B =I （）A.{|7}x x <B.{|23}x x -<…C.{|23}x x -<< D .{|43}x x -<<3.某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该单位去年的水费开支占总开支的百分比为（）A.7.5%B.6.25%C.10.25%D.31.25%4.若双曲线221(0)mx ny m +=>的离心率为5，则mn=（） A.14B.14-C.4D.4- 5.如图在等腰直角ABC △中，D ，E 分别为斜边BC 的三等分点（D 靠近点B ），过E 作AD 的垂线，垂足为F ，则AF =（）A.84 1515AB AC+u u u r u u u rB.2155AB AC+u u u r u u u rC.481515AB AC+u u u r u u u rD.3155AB AC+u u u r u u u r6.已知底面是等腰直角三角形的三棱锥P ABC-的三视图如图所示，俯视图中的两个小三角形全等，则（）A.PA，PB，PC两两垂直B.三棱锥P ABC-的体积为83C.三棱锥P ABC-的侧面积为35 D.||||||6PA PB PC===7.山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外.据统计，烟台苹果（把苹果近似看成球体）的直径（单位：mm）服从正态分布()280,5N，则直径在(75,90]内的概率为（附：若()2~,X Nμσ，则()0.6826P Xμσμσ-<+=„，(22)0.9544P Xμσμσ-<+=„）A.0.6826B.0.8413C.0.9544D.0.81858.已知函数()sin3(0)f x x xωωω=+>的图象关于直线8xπ=对称，则ω的最小值为（）A.13B.43C.23D.839.若曲线43(0)y x x ax x=-+>存在斜率小于1的切线，则a的取值范围为（）A.3,2⎛⎫-∞⎪⎝⎭B.1,2⎛⎫-∞⎪⎝⎭C.5,4⎛⎫-∞⎪⎝⎭D.1,4⎛⎫-∞⎪⎝⎭10.已知函数2943,0,()2log9,0,xxxf xx x⎧+=⎨+->⎩„则函数(())y f f x=的零点所在区间为（）A.(1,0)- B.73,2⎛⎫⎪⎝⎭C.7,42⎛⎫⎪⎝⎭D.(4,5)11.已知直线(1)y k x=-与抛物线2:4C y x=交于A，B两点，直线2(2)y k x=-与抛物线2:8D y x=交于M，N两点，设||2|AB MNλ=-，则（）A.12λ=- B.120λ-<< C.16λ=- D.16λ<-12.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二问物几何？现有这样一个相关的问题：将1到2020这2020个自然数中被5除余3且被7除余2的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列各项之和为（） A.56383 B.59189 C.57171 D.61242第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.822x x ⎛- ⎪⎝⎭的展开式中1x 的系数为___________.（用数字作答） 14.在等比数列{}n a 中，121a a +=，1527a a +=，则{}n a 的前5项和为___________.15.已知()f x 为偶函数，当04x <„时，()23xf x =-，当4x …时，()212f x x =-，则不等式()5f x >的解集为___________.16.在矩形ABCD 中，4BC =，M 为BC 的中点，将ABM △和DCM △分别沿AM ，DM 翻折，使点B 与C 重合于点P .若150APD ∠=︒，则三棱锥M PAD -的外接球的表面积为_______.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17.（12分）如图，四棱锥E ABCD -的侧棱DE 与四棱锥F ABCD -的侧棱BF 都与底面ABCD 垂直，AD CD ⊥，AB CD P ，3AB =，4AD CD ==，5AE =，32AF =.（1）证明：DF P 平面BCE .（2）求平面ABF 平面CDF 所成的锐二面角的余弦值. 18.（12分）已知椭圆2222:1(0)x y a b a bΩ+=>>的焦距为622（1）求Ω的方程；（2）若直线2y x =+与Ω相交于A ，B 两点，求以线段AB 为直径的圆的标准方程. 19.（12分）ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知2C A =，4a =，6c =.（1）求b ；（2）求ABC △内切圆的半径. 20.（12分）追求人类与生存环境的和谐发展是中国特色社会主义生态文明的价值取向.为了改善空气质量，某城市环保局随机抽取了一年内100天的空气质量指数（AQI ）的检测数据，结果统计如下：（1）从空气质量指数属于[0,50]，(50,100]的天数中任取3天，求这3天中空气质量至少有2天为优的概率.（2）已知某企业每天因空气质量造成的经济损失y （单位：元）与空气质量指数x 的关系式为0,0100,220,100250,1480,250300.x y x x ⎧⎪=<⎨⎪<⎩剟„„假设该企业所在地7月与8月每天空气质量为优、良、轻度污染、中度污染、重度污染、严重污染的概率分别为，16，13，16，112，11216.9月每天的空气质量对应的概率以表中100天的空气质量的频率代替.（i ）记该企业9月每天因空气质量造成的经济损失为X 元，求X 的分布列；（ii ）试问该企业7月、8月、9月这三个月因空气质量造成的经济损失总额的数学期望是否会超过2.88万元？说明你的理由. 21.（12分）已知函数()2ln(1)sin 1f x x x =+++，函数()1ln (,R,0)g x ax b x a b ab =--∈≠. （1）讨论()g x 的单调性；（2）证明：当0x ≥时，()31f x x +„.（3）证明：当1x >-时，()2sin ()22xf x x x e<++.（二）选考题：共10分.请考生从第22，23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一个题目计分.22.[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中曲线C 的参数方程为12cos ,2sin x y ϕϕ=-+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系.已知点P 的直角坐标为(2,0)-，过P 的直线l 与曲线C 相交于M ，N 两点. （1）若l 的斜率为2，求l 的极坐标方程和曲线C 的普通方程；（2）求PM PN ⋅u u u u r u u u r的值.23.[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数()|21||21|f x x x =-++，记不等式()4f x <的解集为M . （1）求M ；（2）设a ，b M ∈，证明：||||||10ab a b --+>.数学参考答案（理科）1.C因为12z =-+，所以111122z z +=-+--=-. 2.B 因为{|43}A x x =-<<，{|27}B x x =-<„，所以{|23}A B x x =-<I „.3.B 水费开支占总开支的百分比为25020% 6.25%250450100⨯=++.4.D 因为221(0)mx ny m +=>可化为2211(0)1x y m m n -=>-，所以e ==则22141b n a m-==，即4mn=-. 5.A 设6BC =，则2DE =，AD AE ==101044cos 2105DAE +-∠==⨯，所以45AF AF AD AE ==，所以45AF AD =u u u r u u u r .因为1121()3333AD AB BC AB AC AB AB AC =+=+-=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ，所以421845331515AF AB AC AB AC ⎛⎫=⨯+=+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r.6.D 根据三视图，可得三棱锥P ABC -的直观图如图所示，其中D 为AB 中点，PD ⊥底面ABC 所以三棱锥P ABC -的体积为114222323⨯⨯⨯⨯=，||||||PA PB PC ===PA ，PB ，PC 不可能两两垂直，三棱锥P ABC -的侧面积为+.7.D 由题意，80μ=，5σ=，则(7585)0.6826P X <=„，(7090)0.9544P X <=„，所以1(8590)(0.95440.6826)0.13592P X <=⨯-=„，(7590)0.68260.13590.8185P X <=+=„. 故果实直径在(75,90]内的概率为0.8185. 8.B 因为()2sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以(Z)832k k πππωπ⨯+=+∈，即48(Z)3k k ω=+∈，因为0ω>，所以ω的最小值为43. 9.C 由题意可得32431y x x a '=-+<在(0,)x ∈+∞上有解. 设32()43(0)f x x x a x =-+>，2()1266(21)f x x x x x '=-=-，令()0f x '<，得102x <<；令()0f x '>，得12x >. 故min 11()124f x f a ⎛⎫==-< ⎪⎝⎭，则54a <. 10.B 当0x „时，()(3,4]f x ∈，此时，()f x 无零点；当0x „时，293()2log 92log 9xxf x x x =+-=+-为增函数，且(3)0f =. 令(())0f f x =，得3()2log 93xf x x =+-=，因为(3)03f =<，37782log 9322f ⎛⎫=->⎪⎝⎭，所以函数(())y f f x =的零点所在区间为73,2⎛⎫⎪⎝⎭.11.A 设()11,A x y ，()22,B x y ，联立2(1),4,y k x y x =-⎧⎨=⎩得()2222240k x k x k -++=，则212222442k x x k k ++==+.因为直线(1)y k x =-经过C 的焦点，所以1224||4AB x x p k=++=+.同理可得22||8MN k =+，所以41612λ=-=-. 12.B 被5除余3且被7除余2的正整数构成首项为23，公差为5735⨯=的等差数列.记该数列为{}n a ，则2335(1)3512n a n n =+-=-，令35122020n a n =-„，解得25835n „，故该数列各项之和为5857582335591892⨯⨯+⨯=. 13.74 822x x ⎛- ⎪⎝⎭的展开式的通项388822188(2)(1)22rr r r r r r r T C x C x x ---+⎛=-=- ⎪⎝⎭，令3812r -=-，得6r =，则1x 的系数为648724C -=. 14.1214 ∵3451227a a q a a +==+，∴3q =，∴1(1)1a q +=，114a =，∴{}n a 的前5项和为()51112114a q q-=-. 15.(8,3)(3,8)--U 当04x <„时，()235xf x =->，解得3x >，所以34x <<；当4x ≥时，()2125f x x =->，解得8x <，所以48x <„.因为()f x 为偶函数，所以不等式()5f x >的解集为(8,3)(3,8)--U .16.68π 由题意可知，MP PA ⊥，MP PD ⊥，所以MP ⊥平面PAD .设ADP △外接圆的半径为r ，则由正弦定理可得2sin AD r APD =∠，即42sin150r =︒，所以4r =，设三棱锥M PAD -外接球的半径为R ，则222116172AM R r ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，所以外接球的表面积为2468R ππ=. 17.（1）证明：∵DE ⊥平面ABCD ，∴DE AD ⊥. ∵4AD =，5AE =，∴3DE =. 同理可得3BF =.又DE ⊥平面ABCD ，BF ⊥平面ABCD ， ∴BF DE P .∵BF DE =，∴四边形BEDF 为平行四边形，∴DF BE P . ∵BE ⊂平面BCE ，DF ⊄平面BCE ，∴DF P 平面BCE .（2）解：以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，则(0,0,0)D ，(4,0,0)A ，(0,4,0)C ，(4,3,3)F -，则(0,4,0)DC =u u u r ，(4,3,3)DF =-u u u r. 设平面CDF 的法向量为(,,)n x y z =r，则0n DC n DF ⋅=⋅=r u u u r r u u u r ，即40,4330,y x y z =⎧⎨+-=⎩令3x =，则4z =，得(3,0,4)n =r.易知平面ABF 的一个法向量为(1,0,0)m =u r，∴3cos ,5||||m n m n m n ⋅〈〉==u r ru r r ur r ，故所求锐二面角的余弦值为35. 18.解：（1）因为2c =2b =所以c =b =2268a =+=.所以的Ω方程为22182x y +=. （2）联立222,1,82y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得251680x x ++=.设()11,A x y ，()22,B x y ，则12165x x +=-，1285x x =，所以12825x x +=-，AB 中点坐标为82,55⎛⎫- ⎪⎝⎭.因为||AB ==，所以所求圆的标准方程为2282485525x y ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.19.解：（1）由2C A =，得sin sin22sin cos C A A A ==，则2cos c a A =.又4a =，6c =，所以3cos 4A =.由余弦定理得，2222cos a b c bc A =+-，即231636264b b =+-⨯⨯，即29200b b -+=，解得4b =或5. 当4b =时，a b =，则A B =，从而4A π=，2C π=，这与222a b c +≠矛盾，故4b ≠.当5b =时，21cos 2cos 1cos28C A A ==-=，则2C A =，故5b =. （2）由（1）知5b =，ABC △的面积为1sin 24bc A =，则ABC △内切圆的半径24456r ==++. （注：本题阅卷时若岀现两解而未舍去一解，两问各扣1分，一般地，解三角形出现两解都要验证） 20.解：（1）设ξ为选取的3天中空气质量为优的天数，则213061461433202023(2)(2)(3)114C C C C P P P C C ξξξ==+==+=…. （2）（ⅰ）X 的可能取值为0，220，1480，201(0)(0100)1005P X P x ====剟， 707(220)(100250)10010P X P x ==<==„，101(1480)(250300)10010P X P x ==<==„，则X 的分布列为（ii ）由（i ）知1710220148030251010EX =⨯+⨯+⨯=（元），故该企业9月的经济损失的数学期望为309060EX =（元）. 设该企业7月与8月每天因空气质量造成的经济损失为Y 元，则111(0)632P Y ==+=，1111(220)612123P Y ==++=， 1(1480)6P Y ==，所以11102201480320236EY =⨯+⨯+⨯=（元），所以7月与8月因空气质量造成经济损失的总额为320(3131)19840⨯+=（元）.因为19840906028900 2.88+=>万，所以这3个月经济损失总额的数学期望会超过2.88万元. 21.（1）解：()g x 的定义域为(0,)+∞，()ax bg x x-'=，当0a >，0b <时，()0g x '>，则()g x 在(0,)+∞上单调递增；当0a >，0b >时，令()0g x '>，得b x a >，令()0g x '<，得0b x a <<，则()g x 在0,b a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在,)b a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增；当0a <，0b >时，()0g x '<，则()g x 在(0,)+∞上单调递减；当0a <，0b <时，令()0g x '>，得0b x a <<，令()0g x '<，得b x a >，则()g x 在0,b a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在,b a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减. （2）证明：设函数()()(31)h x f x x =-+，则2()cos 31h x x x '=+-+. 因为0x ≥，所以2(0,2]1x ∈+，cos [1,1]x ∈-，则()0h x '≤，从而()h x 在[0,)+∞上单调递减，所以()()(31)(0)0h x f x x h =-+=„，即()31f x x +„. （3）证明：当1a b ==时，()1ln g x x x =--.由（1）知，min ()(1)0g x g ==，所以()(1ln )0g x x x =-+…，即1ln x x +….当1x >-时，2(1)0x +>，2sin (1)0xx e+>，则2sin 2sin (1)1ln (1)xxx e x e ⎡⎤+++⎣⎦…，即2sin (1)2ln(1)sin 1xx ex x ++++….又()2sin 2sin 22(1)xx x x ex e ++>+，所以()2sin 222ln(1)sin 1xx x ex x ++>+++，即()2sin ()22xf x x x e<++.- 11 - 22.解：（1）l 的直角坐标方程为2(2)y x =+，即240x y -+=，则l 的极坐标方程为2cos sin 40ρθρθ-+=.曲线C 的普通方程为22(1)4x y ++=. （2）直线l 的参数方程为2cos ,sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩（t 为参数，α为l 的倾斜角），代入曲线C 的普通方程，得22cos 30t t α--=.设M ，N 对应的参数分别为1t ，2t ，则123PM PN t t ⋅==-u u u u r u u u r. 23.（1）解：14,,211()2,,2214,,2x x f x x x x ⎧--⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪⎪⎩„… 由()4f x <，解得11x -<<，故{|11}M x x =-<<.（2）证明：因为a ，b M ∈，所以||1a <，||1b <，所以||(||||)1(||1)(||1)0ab a b a b -++=-->，所以||||||10ab a b --+>.。

2020年江西省九江市高考数学一模试卷(理科)

2020年江西省九江市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合{|15}M x x =-<„，{|||2}N x x =<，则(M N =I ) A ．{|12}x x -<„B ．{|25}x x -<<C ．{|15}x x -<„D ．{|02}x x <<2．（5分）设复数z 满足(1)2z i +=，则z 在复平面内所对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．（5分）已知非零向量a r ，b r 满足||||a b =r r ，则“|2||2|a b a b +=-r r r r ”是“a b ⊥r r ”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．（5分）已知实数x ，y 满足约束条件20220x y x y x y -⎧⎪+⎨⎪+⎩…„…，则3z x y =+的最大值为( )A ．4B ．2C ．145D ．05．（5分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3131352a S +=，则9(S = ) A ．9B ．18C ．27D ．366．（5分）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x …时，()xf x e x =+，则32(2)a f =-，2(log 9)b f =，c f =的大小关系为( )A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>7．（5分）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一卦由六爻组成．其中有一种起卦方法称为“金钱起卦法”，其做法为：取三枚相同的钱币合于双手中，上下摇动数下使钱币翻滚摩擦，再随意抛撒钱币到桌面或平盘等硬物上，如此重复六次，得到六爻．若三枚钱币全部正面向上或全部反面向上，就称为变爻．若每一枚钱币正面向上的概率为12，则一卦中恰有两个变爻的概率为( ) A ．14B ．1564C ．240729D ．121540968．（5分）已知函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，且()()0f a x f a x ++-=，则||a 的最小值为( )A ．12π B ．6π C ．3π D ．512π 9．（5分）过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 且斜率大于0的直线l 交抛物线于点A ，B （点A 位于第一象限），交其准线于点C ，若||3||BC BF =，且||3AF =，则直线AB 的方程为( )A ．22220x y --=B ．2220x y --=C ．2220x y --=D ．220x y --=10．（5分）半正多面体()semiregularsolid 亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形为面的半正多面体．如图所示，图中网格是边长为1的正方形，粗线部分是某二十四等边体的三视图，则该几何体的体积为( )A ．83B ．4C ．163D ．20311．（5分）定义,,a a b a b b a b ⎧=⎨<⎩⊗…，已知函数21()2sin f x x =-，21()2cos g x x =-，则函数()()()F x f x g x =⊗的最小值为( )A ．23B ．1C ．43D ．212．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，已知n A ，n B 是圆222x y n +=上两个动点，且满足2*()2n n n OA OB n N =-∈u u u u r u u u u r g ，设n A ，n B 到直线(1)0x n n +++=的距离之和的最大值为n a ，若数列1{}na 的前n 项和n S m <恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．3(,)4+∞B ．3[,)4+∞C ．3(,)2+∞D ．3[,)2+∞二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．（5分）曲线2(2)x y e x =+在点(0,2)处的切线方程为． 14．（5分）41(2)x x+-的展开式中2x 的系数为．15．（5分）在三棱锥A BCD -中，已知6BC CD BD ====，且平面ABD ⊥平面BCD ，则三棱锥A BCD -外接球的表面积为．16．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点，点M 为双曲线右支上一点，若12||2||F F OM =，21tan 2MF F ∠…，则双曲线C 的离心率的取值范围为．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知()sin sin sin a A b B c C +=．（Ⅰ）求角C 的值；（Ⅱ）若sin sin A B =2c =，求ABC ∆的面积． 18．（12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，已知四边形11AA C C 为矩形，16AA =，4AB AC ==，160BAC BAA ∠=∠=︒，1A AC ∠的角平分线AD 交1CC 于D ．（Ⅰ）求证：平面BAD ⊥平面11AA C C ；（Ⅱ）求二面角111A B C A --的余弦值．19．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的上顶点为E ，左焦点为F，2，直线EF 与圆2212x y +=相切．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设过点F 且斜率存在的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，线段A ，B 的垂直平分线交x 轴于点P ，试判断||||PF AB 是否为定值？并说明理由． 20．（12分）随着现代社会的发展，我国对于环境保护越来越重视，企业的环保意识也越来越强．现某大型企业为此建立了5套环境监测系统，并制定如下方案：每年企业的环境监测费用预算定为1200万元，日常全天候开启3套环境监测系统，若至少有2套系统监测出排放超标，则立即检查污染源处理系统；若有且只有1套系统监测出排放超标，则立即同时启动另外2套系统进行1小时的监测，且后启动的这2套监测系统中只要有1套系统监测出排放超标，也立即检查污染源处理系统．设每个时间段（以1小时为计量单位）被每套系统监测出排放超标的概率均为(01)p p <<，且各个时间段每套系统监测出排放超标情况相互独立．（Ⅰ）当12p =时，求某个时间段需要检查污染源处理系统的概率；（Ⅱ）若每套环境监测系统运行成本为300元/小时（不启动则不产生运行费用），除运行费用外，所有的环境监测系统每年的维修和保养费用需要100万元．现以此方案实施，问该企业的环境监测费用是否会超过预算（全年按9000小时计算）？并说明理由． 21．（12分）已知函数()()f x alnx x a R =+∈．（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若对(0,)x ∀∈+∞，()0x f x e ax --<恒成立，求a 的取值范围．请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos 1cos (2sin 1cos x y ααααα+⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩为参数）．以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为00((0,))θθθπ=∈，将曲线1C 向左平移2个单位长度得到曲线C ．（Ⅰ）求曲线C 的普通方程和极坐标方程；（Ⅱ）设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求11||||OA OB +的取值范围． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数2()1f x x x =-+，且m ，n R ∈．（Ⅰ）若22m n +=，求()2()f m f n +的最小值，并求此时m ，n 的值；（Ⅱ）若||1m n -<，求证：|()()|2(||1)f m f n m -<+．。

江西省九江市高考数学一模试卷（理科）含答案解析

江西省九江市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．若复数z满足z（i﹣1）=（i+1）2（i为虚数单位），则复数z的虚部为（）A．1B．﹣1C．iD．﹣i2．设全集U=R，A={x|＞0}，∁U A={x|﹣1≤x≤1}，则m的值为（）A．﹣1B．0C．1D．23．已知命题：p∀x∈（0，），sinx+cosx＞1恒成立，命题q：∃x∈（0，），使2x＞3x，则下列结论中正确的是（）A．命题“p∧q”是真命题B．命题“p∧（￢q）”是真命题C．命题“（￢p）∧q”为真命题D．命题“（￢p）∧（￢q）”是真命题4．等比数列{a n}中，S n表示其前n项和，a3=2S2+1，a4=2S3+1，则公比q为（）A．±2B．±3C．2D．35．执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[﹣2，2]，则输出的S属于（）A．[﹣6，﹣2]B．[﹣5，﹣1]C．[﹣4，5]D．[﹣3，6]6．将函数y=sin（2x+φ）的图象向左平移个单位后，其图象离原点最近的两个零点到原点的距离相等，则|φ|的最小值为（）A． B． C． D．7．在边长为2的正方形AP1P2P3中，点B、C分别是边P1P2、P2P3的中点，沿AB、BC、CA翻折成一个三棱锥P﹣ABC，使P1、P2、P3重合于点P，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为（）A．4πB．6πC．12πD．24π8．如果实数x，y满足不等式组，目标函数z=kx﹣y的最大值为6，最小值为0，则实数k的值为（）A．1B．2C．3D．49．多项式（x2﹣x+2）5展开式中x3的系数为（）A．﹣200B．﹣160C．﹣120D．﹣4010．从底面为直角三角形的直三棱柱的9条棱中任取两条，则这两条棱互相垂直的概率为（）A． B． C． D．11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的各个面中最大面的面积为（）A．1B． C． D．212．已知函数f（x）和g（x）是两个定义在区间M上的函数，若对任意的x∈M，存在常数x0∈M，使得f（x）≥f（x0），g（x）≥g（x0），且f（x0）=g（x0），则称f（x）与g （x）在区间M上是“相似函数”．若f（x）=ax2+2（a﹣1）x﹣2lnx+b（a，b∈R）与g（x）=x+在区间[，2]上是“相似函数”，则a，b的值分别是（）A．a=1，b=1B．a=﹣1，b=﹣1C．a=1，b=﹣1D．a=﹣1，b=1二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．设向量，是夹角为的单位向量，若=+2， =﹣，则|+|=．14．已知函数f（x）=是定义在（﹣1，1）上的奇函数，则f（）=．15．已知各项都为正数的数列{a n}的前n项和S n满足S n=．数列{b n}满足b n=，则数列{b n}的前n项和T n=．16．已知圆C的方程为（x﹣1）2+y2=1，P 是椭圆+=1上一点，过点P作图C的两条切线，切点为A，B ，则•的最小值是．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知（2c﹣a）cosB=bcosA，且b=6．（1）求角B的大小；（2）设△ABC的两条中线AE、CF相交于点D，求四边形BEDF面积的最大值．18．模拟考试后，某校对甲、乙两个班的数学考试成绩进行分析，规定：不少于120分为优秀，否则为非优秀，统计成绩后，得到如下的2×2列联表，已知在甲、乙两个班全部100人中随机抽取1人为优秀的概率为．优秀非优秀合计甲班20乙班40合计100（1）请完成上面的2×2列联表；（2）根据列联表的数据，若按97.5%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”？（3）在“优秀”的学生人中，用分层抽样的方法抽取6人，再平均分成两组进行深入交流，求第一组中甲班学生人数ξ的分布列和数学期望．参考公式与临界值表：K2=0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 P （K2≥k）k 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2．E是PB的中点．（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的长轴长是短轴长的两倍，焦距为2．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设不过原点O的直线l与椭圆C交于两点M、N，且直线OM、MN、ON的斜率依次成等比数列，求△OMN面积的取值范围．21．已知函数f（x）=．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若任意x∈（0，1），f（x）∈（a，b）恒成立，求b﹣a的最小值．选做题：请考生在第22-24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，已知AB是圆O的直径，C、D是圆O上的两个点，CE⊥AB于E，BD交AC 于G，交CE于F，CF=FG．（Ⅰ）求证：C是劣弧的中点；（Ⅱ）求证：BF=FG．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：（t为参数）经过椭圆C：（θ为参数）的右焦点F．（1）求m，n的值；（2）设直线l与椭圆相交于A，B两点，求|FA|•|FB|的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|2x﹣1|+|ax﹣1|（a＞0）（1）当a=2时，解不等式4f（x）≥f（0）（2）若对任意x∈R，不等式4f（x）≥f（0）恒成立，求实数a的取值范围．江西省九江市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．若复数z满足z（i﹣1）=（i+1）2（i为虚数单位），则复数z的虚部为（）A．1B．﹣1C．iD．﹣i【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】根据复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法法即可求出．【解答】解：∵z（i﹣1）=（i+1）2（i为虚数单位），∴z===1﹣i，故选：B．2．设全集U=R，A={x|＞0}，∁U A={x|﹣1≤x≤1}，则m的值为（）A．﹣1B．0C．1D．2【考点】补集及其运算．【分析】根据A的补集及全集U=R，确定出A，进而求出m的值．【解答】解：∵全集U=R，∁U A={x|﹣1≤x≤1}，∴A={x|x＜﹣1或x＞1}，由A中不等式变形得：（x﹣1）（x+m）＞0，解得：x＜﹣m或x＞1，则m=1，故选：C．3．已知命题：p∀x∈（0，），sinx+cosx＞1恒成立，命题q：∃x∈（0，），使2x＞3x，则下列结论中正确的是（）A．命题“p∧q”是真命题B．命题“p∧（￢q）”是真命题C．命题“（￢p）∧q”为真命题D．命题“（￢p）∧（￢q）”是真命题【考点】复合命题的真假．【分析】分别判断出命题p，q的真假，从而得到答案．【解答】解：命题：p：∀x∈（0，），sinx+cosx=sin（x+）∈（1，]；p真，命题q：：x∈（0，），∵＞1，∴3x＞2x，故q是假命题，故p∧q假，A错误，p∧（￢q）真，B正确，（￢p）∧q假，C错误，（￢p）∧（￢q）假，D错误；故选：B．4．等比数列{a n}中，S n表示其前n项和，a3=2S2+1，a4=2S3+1，则公比q为（）A．±2B．±3C．2D．3【考点】等比数列的通项公式．【分析】由a3=2S2+1，a4=2S3+1，两式相减可得：a4﹣a3=2a3，即可得出．【解答】解：由a3=2S2+1，a4=2S3+1，两式相减可得：a4﹣a3=2a3，可得q==3，故选：D．5．执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[﹣2，2]，则输出的S属于（）A．[﹣6，﹣2]B．[﹣5，﹣1]C．[﹣4，5]D．[﹣3，6]【考点】程序框图．【分析】根据程序框图，结合条件，利用函数的性质即可得到结论．【解答】解：若0≤t≤2，则不满足条件输出S=t﹣3∈[﹣3，﹣1]，若﹣2≤t＜0，则满足条件，此时t=2t2+1∈（1，9]，此时不满足条件，输出S=t﹣3∈（﹣2，6]，综上：S=t﹣3∈[﹣3，6]，故选：D6．将函数y=sin（2x+φ）的图象向左平移个单位后，其图象离原点最近的两个零点到原点的距离相等，则|φ|的最小值为（）A． B． C． D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可得函数解析式为：y=sin（2x++φ），其周期T=，由题意可得（﹣，0），（，0）两点在函数图象上，可得：sin（﹣+φ）=0，sin（+φ）=0，从而解得φ=kπ+，φ=kπ﹣，（k∈Z），即可得解|φ|的最小值．【解答】解：将函数y=sin（2x+φ）的图象向左平移个单位后，可得函数解析式为：y=sin（2x++φ），其周期T=，∵其图象离原点最近的两个零点到原点的距离相等，∴（﹣，0），（，0）两点在函数图象上，可得：sin[（2×（﹣）++φ]=sin （﹣+φ）=0，sin（2×++φ）=sin（+φ）=0，∴解得：φ=kπ+，φ=kπ﹣，（k∈Z），∴|φ|的最小值为：．故选：B．7．在边长为2的正方形AP1P2P3中，点B、C分别是边P1P2、P2P3的中点，沿AB、BC、CA翻折成一个三棱锥P﹣ABC，使P1、P2、P3重合于点P，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为（）A．4πB．6πC．12πD．24π【考点】球的体积和表面积．【分析】根据题意，得折叠成的三棱锥P﹣ABC三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，可得三棱锥P﹣ABC的外接球的直径等于以PA、PB、PC为长、宽、高的长方体的对角线长，由此结合AP=2、BP=CP=1算出外接球的半径R=，结合球的表面积公式即可算出三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积．【解答】解：根据题意，得三棱锥P﹣ABC中，AP=2，BP=CP=1∵PA、PB、PC两两互相垂直，∴三棱锥P﹣ABC的外接球的直径2R==可得三棱锥P﹣ABC的外接球的半径为R=根据球的表面积公式，得三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为S=4πR2=4π×（）2=6π故选：B．8．如果实数x，y满足不等式组，目标函数z=kx﹣y的最大值为6，最小值为0，则实数k的值为（）A．1B．2C．3D．4【考点】简单线性规划．【分析】首先作出其可行域，再由题意讨论目标函数在哪个点上取得最值，解出k．【解答】解：作出其平面区域如右图：A（1，2），B（1，﹣1），C（3，0），∵目标函数z=kx﹣y的最小值为0，∴目标函数z=kx﹣y的最小值可能在A或B时取得；∴①若在A上取得，则k﹣2=0，则k=2，此时，z=2x﹣y在C点有最大值，z=2×3﹣0=6，成立；②若在B上取得，则k+1=0，则k=﹣1，此时，z=﹣x﹣y，在B点取得的应是最大值，故不成立，故选B．9．多项式（x2﹣x+2）5展开式中x3的系数为（）A．﹣200B．﹣160C．﹣120D．﹣40【考点】二项式系数的性质．【分析】（x2﹣x+2）5=（x2﹣x+2）•（x2﹣x+2）•（x2﹣x+2）•（x2﹣x+2）•（x2﹣x+2），分类讨论：①三个括号取2，一个括号取x2，一个括号取﹣x，得x3的系数为．②两个括号取2，三个括号取﹣x，得x3的系数为．即可得出．【解答】解：（x2﹣x+2）5=（x2﹣x+2）•（x2﹣x+2）•（x2﹣x+2）•（x2﹣x+2）•（x2﹣x+2），①三个括号取2，一个括号取x2，一个括号取﹣x，得x3的系数为=﹣160．②两个括号取2，三个括号取﹣x，得x3的系数为=﹣40．∴展开式中x3的系数为﹣200，故选：A．10．从底面为直角三角形的直三棱柱的9条棱中任取两条，则这两条棱互相垂直的概率为（）A． B． C． D．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】先求出基本事件总数，再求出这两条棱互相垂直包含的基本事件个数，由此能求出这两条棱互相垂直的概率．【解答】解：∵从底面为直角三角形的直三棱柱的9条棱中任取两条，基本事件总数n=，这两条棱互相垂直包含的基本事件个数m=3×6+2+2=22，∴这两条棱互相垂直的概率p==．故选：C．11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的各个面中最大面的面积为（）A．1B． C． D．2【考点】简单空间图形的三视图．【分析】由题意，几何体为有一侧棱垂直于底面的三棱锥，有3个面是全等的等腰直角三角形，面积为=2，另一侧面是等边三角形，边长为2，求出面积，即可得出结论．【解答】解：由题意，几何体为有一侧棱垂直于底面的三棱锥，有3个面是全等的等腰直角三角形，面积为=2，另一侧面是等边三角形，边长为2，面积为=2，所以该几何体的各个面中最大面的面积为2，故选：D．12．已知函数f（x）和g（x）是两个定义在区间M上的函数，若对任意的x∈M，存在常数x0∈M，使得f（x）≥f（x0），g（x）≥g（x0），且f（x0）=g（x0），则称f（x）与g （x）在区间M上是“相似函数”．若f（x）=ax2+2（a﹣1）x﹣2lnx+b（a，b∈R）与g（x）=x+在区间[，2]上是“相似函数”，则a，b的值分别是（）A．a=1，b=1B．a=﹣1，b=﹣1C．a=1，b=﹣1D．a=﹣1，b=1【考点】函数的值域．【分析】由基本不等式求得g（x）的最小值及取最小值时x0的值，再利用导数求得使f （x）取得最值时的a值，然后再代入f（x0）=2求得b值．【解答】解：∵当x∈[，2]时，g（x）=x+≥2，当且仅当x=1时取等号，∴x0=1，g（x0）=2；∵f′（x）=2ax+2（a﹣1）=，x∈[，2]，①当a≤0时，f′（x）＜0，故函数f（x）在[，2]上单调递减，不合题意；②当a＞0时，由f′（x）＜0，得0，f′（x）＜0，得x，故函数f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，依题意得，即a=1．，解得：b=1．故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．设向量，是夹角为的单位向量，若=+2， =﹣，则|+|=\sqrt{3}．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据平面向量的线性运算，求出+，再利用数量积求模长．【解答】解：向量，是夹角为的单位向量，且=+2， =﹣，∴+=2+；∴=+4•+=4×12+4×1×1×cos+12=3，∴|+|=．故答案为：．14．已知函数f（x）=是定义在（﹣1，1）上的奇函数，则f（）=﹣2．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据函数奇偶性的性质建立方程关系进行求解即可．【解答】解：∵f（x）=是定义在（﹣1，1）上的奇函数，∴f（0）=0，即=0，则f（x）=，∵f（﹣x）=﹣f（x），∴=﹣，整理得﹣bx=bx恒成立，则b=0，则f（x）=，则f（）=，故答案为：﹣215．已知各项都为正数的数列{a n }的前n 项和S n 满足S n =．数列{b n }满足b n =，则数列{b n }的前n 项和T n = \frac{n}{2n+1} ．【考点】数列的求和．【分析】由条件可得a 1=1，再将n 换为n ﹣1，两式相减可得a n ﹣a n ﹣1=1，再由等差数列的通项公式可得a n =n ，则b n ====（﹣），再由数列的求和方法：裂项相消求和即可得到所求和．【解答】解：S n =，当n ＞1时，S n ﹣1=，两式相减可得，2a n =（a n ﹣a n ﹣1）（a n +a n ﹣1）+a n ﹣a n ﹣1，即为a n +a n ﹣1=（a n ﹣a n ﹣1）（a n +a n ﹣1），由a n ＞0，可得a n ﹣a n ﹣1=1，当n=1时，a 1=S 1=，解得a 1=1，则a n =1+n ﹣1=n ， b n ====（﹣），则b n 的前n 项的和T n =（1﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）=．故答案为：．16．已知圆C 的方程为（x ﹣1）2+y 2=1，P 是椭圆+=1上一点，过点P 作图C 的两条切线，切点为A ，B ，则•的最小值是 2\sqrt{2}﹣3 ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】设∠APB=2θ，令||2=x ，由向量数量积公式得到=x+﹣3，由此能求出的最小值．【解答】解：如图所示，设∠APB=2θ，=||•||cos2θ=||2（2cos 2θ﹣1）=||2（2﹣1），令||2=x，得=x+﹣3，∵x∈（1，9]，∴≥2﹣3，当且仅当x=时，取等号，故的最小值是2﹣3．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知（2c﹣a）cosB=bcosA，且b=6．（1）求角B的大小；（2）设△ABC的两条中线AE、CF相交于点D，求四边形BEDF面积的最大值．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）由题意和正弦定理以及三角函数公式可得cosB=，可得B=；（2）由余弦定理和基本不等式可得ac≤36，由重心的性质和不等式的性质可得．【解答】解：（1）∵在△ABC中（2c﹣a）cosB=bcosA，∴由正弦定理可得（2sinC﹣sinA）cosB=sinBcosA，∴2sinCcosB=sinAcosB+sinBcosA=sin（A+B），∴2sinCcosB=sinC，约去sinC可得cosB=，∴B=；（2）由余弦定理可得36=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac，∴ac≤36，当且仅当a=c=6时取等号，如图D为△ABC重心，∴四边形BEDF面积S=S△ABC=acsinB=ac≤3，∴四边形BEDF面积的最大值为3，18．模拟考试后，某校对甲、乙两个班的数学考试成绩进行分析，规定：不少于120分为优秀，否则为非优秀，统计成绩后，得到如下的2×2列联表，已知在甲、乙两个班全部100人中随机抽取1人为优秀的概率为．优秀非优秀合计甲班20 3050乙班1040 50合计3070100（1）请完成上面的2×2列联表；（2）根据列联表的数据，若按97.5%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”？（3）在“优秀”的学生人中，用分层抽样的方法抽取6人，再平均分成两组进行深入交流，求第一组中甲班学生人数ξ的分布列和数学期望．参考公式与临界值表：K2=0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 P（K2≥k ）k 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【考点】性检验的应用．【分析】（1）设乙班优秀的人数为x人，根据甲、乙两个班全部100人中随机抽取1人为优秀的概率为列出方程，求出方程的解得到x的值，确定出乙班与甲班的总人数，填写表格即可；（2）把a，b，c，d的值代入K2=，计算得到结果，即可作出判断；（3）求出分层抽样中甲乙两班的优秀人数，确定出ξ的值，进而确定出ξ的分布列，即可求出数学期望Eξ．【解答】解：（1）设乙班优秀的人数为x人，根据题意得： =，解得：x=10，∴乙班总人数为10+40=50（人），甲班总人数为100﹣50=50（人），填表如下：优秀非优秀合计甲班20 30 50乙班10 40 50合计30 70 100故答案为：30；50；10；50；30；70；（2）K2==≈4.762，∵4.762＜5.024，∴没有达到可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”；（3）在抽取的6人中，甲班为×6=4（人），乙班为×6=2（人），∴ξ=1，2，3，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，即ξ的分布列为：ξ 1 2 3P则数学期望Eξ=1×+2×+3×=2．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2．E是PB的中点．（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．【考点】用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）证明平面EAC⊥平面PBC，只需证明AC⊥平面PBC，即证AC⊥PC，AC⊥BC；（Ⅱ）根据题意，建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出面PAC的法向量=（1，﹣1，0），面EAC的法向量=（a，﹣a，﹣2），利用二面角P﹣A C﹣E的余弦值为，可求a的值，从而可求=（2，﹣2，﹣2），=（1，1，﹣2），即可求得直线PA与平面EAC所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PC，∵AB=2，AD=CD=1，∴AC=BC=，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC，又BC∩PC=C，∴AC⊥平面PBC，∵AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC．…（Ⅱ）如图，以C为原点，取AB中点F，、、分别为x轴、y轴、z轴正向，建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（1，1，0），B（1，﹣1，0）．设P（0，0，a）（a＞0），则E（，﹣，），…=（1，1，0），=（0，0，a），=（，﹣，），取=（1，﹣1，0），则•=•=0，为面PAC的法向量．设=（x，y，z）为面EAC的法向量，则•=•=0，即取x=a，y=﹣a，z=﹣2，则=（a，﹣a，﹣2），依题意，|cos＜，＞|===，则a=2．…于是=（2，﹣2，﹣2），=（1，1，﹣2）．设直线PA与平面EAC所成角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|==，即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为．…20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的长轴长是短轴长的两倍，焦距为2．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设不过原点O的直线l与椭圆C交于两点M、N，且直线OM、MN、ON的斜率依次成等比数列，求△OMN面积的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）由已知得，由此能求出椭圆C的标准方程．（Ⅱ）设直线l的方程为：y=kx+m，联立，得：（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0，由此根的判别式、韦达定理、等比数列、弦长公式，结合已知条件能求出△OMN 面积的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由已知得，解得a=2，b=1，c=，∴椭圆C的标准方程为．（Ⅱ）由题意可设直线l的方程为：y=kx+m（k≠0，m≠0），联立，消去y并整理，得：（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0，则△=64k2m2﹣16（1+4k2）（m2﹣1）=16（4k2﹣m2+1）＞0，此时设M（x1，y1）、N（x2，y2），则，x1x2=，于是y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2，又直线OM、MN、ON的斜率依次成等比数列，∴•==k2，∴﹣，由m≠0得：k2=，解得k=±，又由△＞0 得：0＜m2＜2，显然m2≠1（否则：x1x2=0，则x1，x2中至少有一个为0，直线OM、ON中至少有一个斜率不存在，矛盾）设原点O到直线l的距离为d，则S△OMN=|MN|d=×•|x1﹣x2|=|m|=，故由m得取值范围可得△OMN面积的取值范围为（0，1）．21．已知函数f（x）=．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若任意x∈（0，1），f（x）∈（a，b）恒成立，求b﹣a的最小值．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）根据函数的单调性，求出f（x）的范围，问题转化为e2x﹣ax﹣1＞0在x∈（0，1）恒成立，令h（x）=e2x﹣ax﹣1，根据函数的单调性求出其范围即可．【解答】解：（1）∵f′（x）=，（x≠0），令g（x）=（2x﹣1）e2x+1，（x≠0），则g′（x）=4xe2x，当x∈（0，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）在（0，+∞）递增，∴g（x）＞g（0）=0，∴f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）递增，当x∈（﹣∞，0）时，g′（x）＜0，g（x）在（﹣∞，0）递减，∴g（x）＞g（0）=0，∴f′（x）＞0，f（x）在（﹣∞，0）递增，综上，函数f（x）在（﹣∞，0），（0，+∞）递增；（2）由（1）得；f（x）在（0，1）递增，∴f（x）＜f（1）=e2﹣1，∴任意x∈（0，1），f（x）＜b恒成立，则b≥e2﹣1，要使任意x∈（0，1），f（x）＞a恒成立，只需e2x﹣ax﹣1＞0在x∈（0，1）恒成立，令h（x）=e2x﹣ax﹣1，则h′（x）=2e2x﹣a，x∈（0，1），①a≤2时，h′（x）＞0，h（x）在（0，1）递增，∴h（x）＞h（0）=0，符合题意，②a≥2e2时，h′（x）＜0，h（x）在（0，1）递减，∴h（x）＜h（0）=0，不符合题意，③2＜a＜2e2时，h′（x）＜0，解得：0＜x＜ln，h′（x）＞0，解得： ln＜x＜1，∴h（x）在（0， ln）递减，故任意x∈（0， ln），∴h（x）＜h（0）=0，不符合题意，综上，a≤2，∴b﹣a≥e2﹣3，故b﹣a的最小值是e2﹣3．选做题：请考生在第22-24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，已知AB是圆O的直径，C、D是圆O上的两个点，CE⊥AB于E，BD交AC 于G，交CE于F，CF=FG．（Ⅰ）求证：C是劣弧的中点；（Ⅱ）求证：BF=FG．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（I）要证明C是劣弧BD的中点，即证明弧BC与弧CD相等，即证明∠CAB=∠DAC，根据已知中CF=FG，AB是圆O的直径，CE⊥AB于E，我们易根据同角的余角相等，得到结论．（II）由已知及（I）的结论，我们易证明△BFC及△GFC均为等腰三角形，即CF=BF，CF=GF，进而得到结论．【解答】解：（I）∵CF=FG∴∠CGF=∠FCG∴AB圆O的直径∴∵CE⊥AB∴∵∴∠CBA=∠ACE∵∠CGF=∠DGA∴∴∠CAB=∠DAC∴C为劣弧BD的中点（II）∵∴∠GBC=∠FCB∴CF=FB同理可证：CF=GF∴BF=FG[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：（t为参数）经过椭圆C：（θ为参数）的右焦点F．（1）求m，n的值；（2）设直线l与椭圆相交于A，B两点，求|FA|•|FB|的取值范围．【考点】椭圆的参数方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）椭圆的参数方程化为普通方程，可得F的坐标，直线l经过点（m，n），可求m，n的值；（2）将直线l的参数方程代入椭圆C的普通方程，利用参数的几何意义，即可求|FA|•|FB|的最大值与最小值．【解答】解：（1）椭圆的参数方程化为普通方程，得，∴a=4，b=2，c=2，则点F的坐标为（2，0）．∵直线l经过点（m，n），∴m=4，n=0．（2）将直线l的参数方程代入椭圆C的普通方程，并整理得：（12cos2α+16sin2α）t2+12tcosα﹣36=0．设点A，B在直线参数方程中对应的参数分别为t1，t2，则|FA|•|FB|=|t1t2|==，当sinα=0时，|FA|•|FB|取最大值3；当sinα=±1时，|FA|•|FB|取最小值，所以|FA|•|FB|的取值范围是[，3]．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|2x﹣1|+|ax﹣1|（a＞0）（1）当a=2时，解不等式4f（x）≥f（0）（2）若对任意x∈R，不等式4f（x）≥f（0）恒成立，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（1）把要解的不等式等价转化为与之等价的一个不等式，求出此不等式的解集，即得所求．（2）分类讨论求得f（x）的最小值，则由4乘以此最小值大于或等于f（0），求得a的范围．【解答】解：（1）当a=2时，f（x）=|2x﹣1|+|2x﹣1|=2|2x﹣1|，不等式4f（x）≥f（0），即 8|2x﹣1|≥2，即|2x﹣1|≥，∴2x﹣1≥，或2x﹣1≤﹣，求得x≥或x≤，故原不等式的解集为{x|x≥或x≤}．（2）∵当＞时，即0＜a＜2 时，f（x）=|2x﹣1|+|ax﹣1|=，若对任意x∈R，不等式4f（x）≥f（0）=2恒成立，故f（x）的最小值为f（）=，由4•≥2，求得a≤1，综合可得，0＜a≤1．当当＜时，即a＞2 时，f（x）=|2x﹣1|+|ax﹣1|=，故f（x）的最小值为f（）=，由4•≥2，求得a≥4，综合可得，a≥4．综上可得，要求的实数a的取值范围为{a|0＜a≤1，或a≥4}．7月15日。

2020年江西省九江市高考数学一模试卷(理科)

2020年江西省九江市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合M＝{x|−1≤x<5}，N＝{x||x|<2}，则M∩N＝（）A.{x|−1≤x<2}B.{x|−2<x<5}C.{x|−1≤x<5}D.{x|0<x<2}【答案】A【考点】交集及其运算【解析】求出集合M，N，由此能求出M∩N．【解答】∵集合M＝{x|−1≤x<5}，N＝{x||x|<2}＝{x|−2<x<2}∴M∩N＝{x|−1≤x<2}2. 设复数z满足z(1+i)＝2，则z在复平面内所对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【考点】复数的代数表示法及其几何意义【解析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】由z(1+i)＝2，=1−i，得z=21+i∴z在复平面内所对应的点的坐标为(1, −1)，位于第四象限．3. 已知非零向量a→，b→满足|a→|=|b→|，则“|a→+2b→|=|2a→−b→|”是“a→⊥b→”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系充分条件、必要条件、充要条件【解析】直接对“|a→+2b→|=|2a→−b→|”两边平方，再借助于|a→|=|b→|，即可推出结论．【解答】|a →+2b →|=|2a →−b →|⇔|a →+2b →|2=|2a →−b →|2⇔a →2+4a →⋅b →+4b →2=4a →2−4a →⋅b →+b →2，∵ |a →|=|b →|≠0，∴ |a →+2b →|=|2a →−b →|⇔a →⋅b →=0⇔a →⊥b →，4. 已知实数x ，y 满足约束条件{2x −y ≥0x +2y ≤2x +y ≥0 ，则z ＝x +3y 的最大值为（）A.4B.2C.145D.0【答案】 C【考点】简单线性规划【解析】作出不等式组对应的平面区域，通过z ＝x +3y ，利用数形结合即可的得到结论．【解答】如图，作出可行域，当直线l:x +3y ＝0，平移至经过点A(25,45)时， z ＝x +3y 取得最大值145．5. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知13a 3+S 13＝52，则S 9＝（） A.9 B.18 C.27 D.36 【答案】 B【考点】等差数列的前n 项和【解析】根据题意，由等差数列的通项公式可得13a 3+S 13＝13a 3+13a 7＝52，进而可得a 5=a 3+a 72=2，结合等差数列的前n 项和公式分析可得答案．【解答】根据题意，等差数列{a n }中，13a 3+S 13＝13a 3+13a 7＝52，变形可得a 3+a 7＝4，则有a 5=a 3+a 72=2，故S 9＝9a 5＝9×2＝18，6. 已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f(x)＝e x +x ，则a =f(−232)，b ＝f(log 29)，c =f(√5)的大小关系为（） A.a >b >c B.a >c >b C.b >a >c D.b >c >a【答案】 C【考点】函数奇偶性的性质与判断【解析】先根据函数是偶函数将f(−232)化为f(232)，然后比较232，log 29，√5d 的大小关系；当x ≥0时，f(x)在[0, +∞)上单调递增，判断a ，b ，c 的大小关系【解答】依题意得a =f(−232)=f(232)； ∵ √5<232=2√2<3<log 29；∵ 当x ≥0时，f(x)在[0, +∞)上单调递增； ∴ f(log 29)>f(232)>f(√5)；即b >a >c ；7. 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一卦由六爻组成．其中有一种起卦方法称为“金钱起卦法”，其做法为：取三枚相同的钱币合于双手中，上下摇动数下使钱币翻滚摩擦，再随意抛撒钱币到桌面或平盘等硬物上，如此重复六次，得到六爻．若三枚钱币全部正面向上或全部反面向上，就称为变爻．若每一枚钱币正面向上的概率为12，则一卦中恰有两个变爻的概率为（） A.14 B.1564C.240729D.12154096【答案】 D【考点】古典概型及其概率计算公式【解析】三枚钱币全部正面或反面向上的概率p =2×(12)3=14，得到六爻实际为六次独立重复试验，由此能求出一卦中恰有两个变爻的概率．【解答】由已知可得三枚钱币全部正面或反面向上的概率p =2×(12)3=14 得到六爻实际为六次独立重复试验， ∴ 一卦中恰有两个变爻的概率为： P(x =2)=C 62×(14)2×(34)4=121540968. 已知函数f(x)＝Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，且f(a +x)+f(a −x)＝0，则|a|的最小值为（）A.π12B.π6C.π3D.5π12【答案】A【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式【解析】由图象可求得A、ω、φ，从而可得函数解析式，由f(a+x)+f(a−x)＝0可知f(x)关于点(a, 0)对称，利用正弦函数的中心对称性即可得到答案．【解答】解由图象易知，A＝2，T=43(11π12−π6)=π，∴ω＝2，又2×π6+φ=2kπ+π2，∴φ=2kπ+π6(k∈Z)，∵|φ|<π2，∴φ=π6，∴f(x)=2sin(2x+π6)，∵f(a+x)+f(a−x)＝0，∴f(x)关于点(a, 0)对称，即有2a+π6=kπ,k∈Z，∴a=kπ2−π12,k∈Z，∴|a|的最小值为π12，9. 过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F且斜率大于0的直线l交抛物线于点A，B（点A位于第一象限），交其准线于点C，若|BC|＝3|BF|，且|AF|＝3，则直线AB的方程为（）A.2√2x−y−2√2=0B.√2x−y−2√2=0C.2√2x−y−√2=0D.√2x−y−√2=0【答案】A【考点】抛物线的性质【解析】根据抛物线的的性质，及线段的比例关系，求得直线l的斜率，利用|AF|＝3，求得抛物线的焦准距p，求得焦点坐标，即可求得直线AB的方程．【解答】作AA1⊥准线于A1，BB1⊥准线于B1，FF1⊥AA1于F1．在Rt△BCB1中，cos∠CBB1=|BB1||BC|=|BF||BC|=13，所以tan∠CBB 1=2√2，所以直线l 的斜率为2√2，又△BCB 1∼△AFF 1，所以|AF 1|=13|AF|=1，∴ p ＝|A 1F 1|＝2，所以直线AB 的方程为y =2√2(x −1)，即2√2x −y −2√2=0，10. 半正多面体(semiregularsolid)亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形为面的半正多面体．如图所示，图中网格是边长为1的正方形，粗线部分是某二十四等边体的三视图，则该几何体的体积为（）A.83 B.4C.163D.203【答案】 D【考点】由三视图求体积【解析】由三视图知该几何体是二十四等边体，放入正方体中，结合图形求出该几何体的体积．【解答】如图所示，图中红色的部分为该二十四等边体的直观图；由三视图可知，该几何体的棱长为√2，它是由棱长为2的正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得到的，所以该几何体的体积为：V =2×2×2−8×13×12×1×1×1=203．11. 定义a ⊗b ={a,a ≥bb,a <b，已知函数f(x)=12−sin 2x ，g(x)=12−cos 2x ，则函数F(x)＝f(x)⊗g(x)的最小值为（） A.23B.1C.43D.2【答案】A【考点】函数的最值及其几何意义【解析】利用所给定义得到2F(x)≥f(x)+g(x)，代入并结合三角函数恒等变换求出最值【解答】依题意得F(x)≥f(x)，F(x)≥g(x)，则2F(x)≥f(x)+g(x)，f(x)+g(x)=12−sin 2x +12−cos 2x=13(12−sin 2x +12−cos 2x)[(2−sin 2x)+(2−cos 2x)] =13(2+2−cos 2x 2−sin 2x +2−sin 2x 2−cos 2x )≥13(2+2√2−cos 2x 2−sin 2x ⋅2−sin 2x 2−cos 2x )=43 （当且仅当2−cos 2x 2−sin 2x=2−sin 2x 2−cos 2x，即sin 2x =cos 2x =12时“＝”成立．此时，f(x)=g(x)=23，∴ 2F(x)≥43，∴ F(x)的最小值为23，12. 在平面直角坐标系xOy 中，已知A n ，B n 是圆x 2+y 2＝n 2上两个动点，且满足OA n →⋅OB n →=−n 22(n ∈N ∗)，设A n ，B n 到直线x +√3y +n(n +1)=0的距离之和的最大值为a n ，若数列{1a n}的前n 项和S n <m 恒成立，则实数m 的取值范围是（）A.(34,+∞) B.[34,+∞)C.(32,+∞)D.[32,+∞)【答案】B【考点】数列与向量的综合【解析】通过OA n →⋅OB n →=−n 22，推出∠A n OB n ＝120∘，设线段A n B n 的中点为∁n ，结合A n ，B n 到直线x +√3y +n(n +1)=0的距离之和等于点∁n 到该直线的距离的两倍．求出通项公式，然后利用裂项消项法求解数列的和，推出结果即可．【解答】由OA n →⋅OB n →=−n 22，可得∠A n OB n ＝120∘，设线段A n B n 的中点为∁n ，则∁n 在圆x 2+y 2=n 24上，A n ，B n 到直线x +√3y +n(n +1)=0的距离之和等于点∁n到该直线的距离的两倍．点∁n 到直线距离的最大值为圆心到直线的距离与圆的半径之和， ∴ a n =2[n(n+1)2+n2]=n 2+2n ，∴ 1a n=1n 2+2n =12(1n −1n+2)，∴ S n =12(1+12−1n+1−1n+2)<34，∴ m ≥34，二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.曲线y ＝e x (x 2+2)在点(0, 2)处的切线方程为________．【答案】y＝2x+2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】求出原函数的导函数，得到函数在x＝0处的导数值，再由直线方程的点斜式得答案．【解答】∵f′(x)＝e x(x2+2x+2)，∴f′(0)＝2，又∵f(0)＝2，∴所求切线方程为y−2＝2x，即y＝2x+(2)(x+1x−2)4的展开式中x2的系数为________．【答案】28【考点】二项式定理及相关概念【解析】先把所给化简，再求出分子的特定项系数即可求解．【解答】∵(x+1x −2)4=(x2−2x+1)4x4=(x−1)8x4，∵(x−1)8中x6的系数为∁82=(28)∴展开式中x2的系数为C82=28．在三棱锥A−BCD中，已知BC=CD=BD=√2AB=√2AD=6，且平面ABD⊥平面BCD，则三棱锥A−BCD外接球的表面积为________．【答案】48π【考点】球的体积和表面积【解析】由题意可得底面三角形BCD为等边三角形，先求出它的外接圆的半径和圆心位置，侧面ABD为等腰三角形，外接圆的圆心在底边的高上，而计算可得底面外接圆的圆心到A 的距离等于底面外接圆的半径，可得底面外接圆的圆心为外接球的球心，进而求出外接球的表面积．【解答】在等边三角形BCD中，取BD的中点F，设等边三角形BCD的中心为O，连接AF，CF，OA．由BC＝6，得BO=CO=DO=23CF=2√3，OF=√3，由已知可得△ABD是以BD为斜边的等腰直角三角形，∴AF⊥BD，又由已知可得平面ABD⊥平面BCD，∴AF⊥平面BCD，∴AF⊥OF，OA=√OF2+AF2=2√3，∴O为三棱锥A−BCD外接球的球心，外接球半径R=OC=2√3，∴三棱锥A−BCD外接球的表面积为4π×(2√3)2=48π．已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的左右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，点M为双曲线右支上一点，若|F1F2|＝2|OM|，tan∠MF2F1≥2，则双曲线C的离心率的取值范围为________．【答案】(1, 5]【考点】双曲线的离心率【解析】法一：通过|F1F2|＝2|OM|，∠F1MF2=π2，利用勾股定理，结合双曲线的定义，转化求解离心率的表达式，通过基本不等式求解范围即可．法二：利用|F1F2|＝2|OM|，∠F1MF2=π2，令|MF1|＝r1，|MF2|＝r2，推出e=1sinθ−cosθ，通过三角函数的最值求解离心率的范围．【解答】法一：∵|F1F2|＝2|OM|，∴∠F1MF2=π2，∴4c2=|MF1|2+|MF2|2，tan∠MF2F1=|MF1||MF2|，∵|MF1|−|MF2|＝2a，∴e2=4c24a2=|MF1|2+|MF2|2(|MF1|−|MF2|)2=|MF1|2+|MF2|2|MF2|2|MF1|2−2|MF1||MF2|+|MF2|2|MF2|2，设|MF1||MF2|=t≥2，则e2=t2+1t2−2t+1=1+2t+1t−2，∴t+1t ≥2+12=52，∴1<e2≤5，∴1<e≤√5．法二：∵|F1F2|＝2|OM|，∴∠F1MF2=π2，令|MF1|＝r1，|MF2|＝r2，∠MF2F1＝θ，tanθ≥2，r1＝2csinθ，r2＝2ccosθ，∴2a＝r1−r2＝2c(sinθ−cosθ)，∴e=1sinθ−cosθ，∴e2=1(sinθ−cosθ)2=11−sin2θ=11−2tanθ1+tan2θ≤5，∴1<e≤√5．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知(a−√3b)sinA+bsinB= csinC．(Ⅰ)求角C的值；(Ⅱ)若sinAsinB=1+√34，c＝2，求△ABC的面积．【答案】（1）由(a−√3b)sinA+bsinB=csinC及正弦定理得(a−√3b)a+b2=c2，即a2+b2−c2=√3ab’由余弦定理得cosC=a2+b2−c22ab =√32∵0<C<π，∴C=π6（2）：设△ABC外接圆的半径为R，则由正弦定理得2R=csinC=2sinπ6=4∴a＝2RsinA＝4sinA，b＝2RsinB＝4sinB，∴ab=16sinAsinB=4(1+√3)∴S△ABC=12absinC=12×4(1+√3)×12=1+√3．【考点】余弦定理正弦定理【解析】(Ⅰ)根据已知条件结合正弦定理以及余弦定理即可求解；(Ⅱ)结合正弦定理得2R=c sinC=2sinπ6=4；进而表示出其面积即可求解．【解答】（1）由(a−√3b)sinA+bsinB=csinC及正弦定理得(a−√3b)a+b2=c2，即a2+b2−c2=√3ab’由余弦定理得cosC=a2+b2−c22ab =√32∵0<C<π，∴C=π6（2）：设△ABC外接圆的半径为R，则由正弦定理得2R=csinC=2sinπ6=4∴a＝2RsinA＝4sinA，b＝2RsinB＝4sinB，∴ab=16sinAsinB=4(1+√3)∴S△ABC=12absinC=12×4(1+√3)×12=1+√3．如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，已知四边形AA1C1C为矩形，AA1＝6，AB＝AC＝4，∠BAC＝∠BAA1＝60∘，∠A1AC的角平分线AD交CC1于D．(Ⅰ)求证：平面BAD⊥平面AA1C1C；(Ⅱ)求二面角A−B1C1−A1的余弦值．【答案】（1）如图，过点D作DE // AC交AA1于E，连接CE，BE，设AD∩CE＝O，连接BO，∵AC⊥AA1，∴DE⊥AE，又AD为∠A1AC的角平分线，∴四边形AEDC为正方形，∴CE⊥AD，又∵AC＝AE，∠BAC＝∠BAE，BA＝BA，∴△BAC≅△BAE，∴BC＝BE，又∵O为CE的中点，∴CE⊥BO，又∵AD，BO⊂平面BAD，AD∩BO＝O，∴CE⊥平面BAD．又∵CE⊂平面AA1C1C，∴平面BAD⊥平面AA1C1C．（2）在△ABC 中，∵ AB ＝AC ＝4，∠BAC ＝60∘，∴ BC ＝4，在Rt △BOC 中，∵ CO =12CE =2√2，∴ BO =2√2，又AB ＝4，AO =12AD =2√2，∵ BO 2+AO 2＝AB 2，∴ BO ⊥AD ，又BO ⊥CE ，AD ∩CE ＝O ，AD ，CE ⊂平面AA 1C 1C ，∴ BO ⊥平面AA 1C 1C ，故建立如图空间直角坐标系O −xyz ，则A(2, −2, 0)，A 1(2, 4, 0)，C 1(−2, 4, 0)，B 1(0,6,2√2)， ∴ C 1B 1→=(2,2,2√2)，AC 1→=(−4,6,0)，C 1A 1→=(4,0,0)，设平面AB 1C 1的一个法向量为m →=(x 1,y 1,z 1)，则{m →⊥C 1B 1→m →⊥AC 1→，∴ {−4x 1+6y 1=02x 1+2y 1+2√2z 1=0 ，令x 1＝6，得m →=(6,4,−5√2)，设平面A 1B 1C 1的一个法向量为n →=(x 2,y 2,z 2)，则{n →⊥C 1B 1→n →⊥C 1A 1→，∴ {4x 2=02x 2+2y 2+2√2z 2=0 ，令y 2=√2，得n →=(0,√2,−1)， ∴ cos <m →,n →>=m →⋅n→|m →|⋅|n →|=√2√102⋅√3=3√1717，故二面角A −B 1C 1−A 1的余弦值为3√1717．【考点】二面角的平面角及求法平面与平面垂直【解析】(Ⅰ)过点D 作DE // AC 交AA 1于E ，连接CE ，BE ，设AD ∩CE ＝O ，连接BO ，推导出DE ⊥AE ，四边形AEDC 为正方形，CE ⊥AD ，推导出△BAC ≅△BAE ，从而BC ＝BE ，CE ⊥BO ，从而CE ⊥平面BAD ，由此能证明平面BAD ⊥平面AA 1C 1C ．(Ⅱ)推导出BO ⊥AD ，BO ⊥CE ，从而BO ⊥平面AA 1C 1C ，建立空间直角坐标系O −xyz ，利用向量法能求出二面角A −B 1C 1−A 1的余弦值．【解答】（1）如图，过点D 作DE // AC 交AA 1于E ，连接CE ，BE ，设AD ∩CE ＝O ，连接BO ，∵ AC ⊥AA 1，∴ DE ⊥AE ，又AD 为∠A 1AC 的角平分线，∴ 四边形AEDC 为正方形，∴ CE ⊥AD ，又∵ AC ＝AE ，∠BAC ＝∠BAE ，BA ＝BA ，∴ △BAC ≅△BAE ，∴ BC ＝BE ，又∵ O 为CE 的中点，∴ CE ⊥BO ，又∵ AD ，BO ⊂平面BAD ，AD ∩BO ＝O ，∴ CE ⊥平面BAD ．又∵ CE ⊂平面AA 1C 1C ，∴ 平面BAD ⊥平面AA 1C 1C ．（2）在△ABC 中，∵ AB ＝AC ＝4，∠BAC ＝60∘，∴ BC ＝4，在Rt △BOC 中，∵ CO =12CE =2√2，∴ BO =2√2，又AB ＝4，AO =12AD =2√2，∵ BO 2+AO 2＝AB 2，∴ BO ⊥AD ，又BO ⊥CE ，AD ∩CE ＝O ，AD ，CE ⊂平面AA 1C 1C ，∴ BO ⊥平面AA 1C 1C ，故建立如图空间直角坐标系O −xyz ，则A(2, −2, 0)，A 1(2, 4, 0)，C 1(−2, 4, 0)，B 1(0,6,2√2)， ∴ C 1B 1→=(2,2,2√2)，AC 1→=(−4,6,0)，C 1A 1→=(4,0,0)，设平面AB 1C 1的一个法向量为m →=(x 1,y 1,z 1)，则{m →⊥C 1B 1→m →⊥AC 1→，∴ {−4x 1+6y 1=02x 1+2y 1+2√2z 1=0 ，令x 1＝6，得m →=(6,4,−5√2)，设平面A 1B 1C 1的一个法向量为n →=(x 2,y 2,z 2)，则{n →⊥C 1B 1→n →⊥C 1A 1→ ，∴ {4x 2=02x 2+2y 2+2√2z 2=0 ，令y 2=√2，得n →=(0,√2,−1)， ∴ cos <m →,n →>=m →⋅n→|m →|⋅|n →|=√2√102⋅√3=3√1717，故二面角A −B 1C 1−A 1的余弦值为3√1717．已知椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的上顶点为E ，左焦点为F ，离心率为√22，直线EF 与圆x 2+y 2=12相切．(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)设过点F 且斜率存在的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，线段A ，B 的垂直平分线交x 轴于点P ，试判断|PF||AB|是否为定值？并说明理由．【答案】（1）如图，∵ e =ca=√22，∴ a =√2c ，b ＝c ，直线EF 的方程为x −y +c ＝0，∵ 直线EF 与圆x 2+y 2=12相切， ∴2=√22，∴ c =1,a =√2,b =1，∴ 椭圆C 的标准方程为x 22+y 2=1；（2）设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，P(x 0, 0)，设直线l:y ＝k(x +1)，联立{y =k(x +1)x 22+y 2=1，消去y 得(2k 2+1)x 2+4k 2x +2k 2−2＝0，∴ x 1+x 2=−4k 22k 2+1，x 1x 2=2k 2−22k 2+1，∴ |AB|=√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+k 2⋅√(−4k 22k 2+1)2−4⋅2k 2−22k 2+1=2√2(k 2+1)2k 2+1，法一：∵ P 在线段AB 的垂直平分线上，∴ |PA|＝|PB|，∴ (x 1−x 0)2+y 12=(x 2−x 0)2+y 22⋯⋯⋯①∵ A ，B 在椭圆C 上，∴ y 12=1−x 122，y 22=1−x 222，代入①得(x 1−x 0)2+1−x 122=(x 2−x 0)2+1−x 222，化简得x 0=14(x 1+x 2)，∴ |PF|=|x 0+1|=|14(x 1+x 2)+1|=|1+14⋅−4k 22k 2+1|=k 2+12k 2+1．法二：线段AB 的中点为(−2k 22k 2+1,k2k 2+1)，∴ 线段AB 的垂直平分线为−k(y −k2k 2+1)=x +2k 22k +1，令y ＝0，得x 0=−k 22k 2+1，∴ |PF|=|x 0+1|=|1−k 22k 2+1|=k 2+12k 2+1，∴ |PF||AB|=k 2+12k 2+12√2(k 2+1)2k 2+1=√24，故|PF||AB|为定值√24．【考点】椭圆的应用椭圆的标准方程直线与椭圆的位置关系【解析】(Ⅰ)由椭圆的离心率公式和a ，b ，c 的关系，求得直线EF 的方程，运用直线和圆相切的条件：d ＝r ，解方程可得a ，b ，进而得到椭圆方程；(Ⅱ)设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，P(x 0, 0)，设直线l:y ＝k(x +1)，联立椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，再由线段垂直平分线性质和点差法，化简整理可得定值．【解答】（1）如图，∵ e =ca=√22，∴ a =√2c ，b ＝c ，直线EF 的方程为x −y +c ＝0，∵ 直线EF 与圆x 2+y 2=12相切， ∴2=√22，∴ c =1,a =√2,b =1，∴ 椭圆C 的标准方程为x 22+y 2=1；（2）设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，P(x 0, 0)，设直线l:y ＝k(x +1)，联立{y =k(x +1)x 22+y 2=1，消去y 得(2k 2+1)x 2+4k 2x +2k 2−2＝0，∴ x 1+x 2=−4k 22k +1，x 1x 2=2k 2−22k +1，∴ |AB|=√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+k 2⋅√(−4k 22k 2+1)2−4⋅2k 2−22k 2+1=2√2(k 2+1)2k 2+1，法一：∵ P 在线段AB 的垂直平分线上，∴ |PA|＝|PB|，∴ (x 1−x 0)2+y 12=(x 2−x 0)2+y 22⋯⋯⋯①∵ A ，B 在椭圆C 上，∴ y 12=1−x 122，y 22=1−x 222，代入①得(x 1−x 0)2+1−x 122=(x 2−x 0)2+1−x 222，化简得x 0=14(x 1+x 2)， ∴ |PF|=|x 0+1|=|14(x 1+x 2)+1|=|1+14⋅−4k 22k +1|=k 2+12k +1．法二：线段AB 的中点为(−2k 22k 2+1,k2k 2+1)，∴ 线段AB 的垂直平分线为−k(y −k2k 2+1)=x +2k 22k 2+1，令y ＝0，得x 0=−k 22k 2+1，∴ |PF|=|x 0+1|=|1−k 22k 2+1|=k 2+12k 2+1，∴ |PF||AB|=k 2+12k 2+12√2(k 2+1)2k 2+1=√24，故|PF||AB|为定值√24．随着现代社会的发展，我国对于环境保护越来越重视，企业的环保意识也越来越强．现某大型企业为此建立了5套环境监测系统，并制定如下方案：每年企业的环境监测费用预算定为1200万元，日常全天候开启3套环境监测系统，若至少有2套系统监测出排放超标，则立即检查污染源处理系统；若有且只有1套系统监测出排放超标，则立即同时启动另外2套系统进行1小时的监测，且后启动的这2套监测系统中只要有1套系统监测出排放超标，也立即检查污染源处理系统．设每个时间段（以1小时为计量单位）被每套系统监测出排放超标的概率均为p(0<p <1)，且各个时间段每套系统监测出排放超标情况相互独立．(Ⅰ)当p =12时，求某个时间段需要检查污染源处理系统的概率；(Ⅱ)若每套环境监测系统运行成本为300元/小时（不启动则不产生运行费用），除运行费用外，所有的环境监测系统每年的维修和保养费用需要100万元．现以此方案实施，问该企业的环境监测费用是否会超过预算（全年按9000小时计算）？并说明理由．【答案】（1）∵ 某个时间段在开启3套系统就被确定需要检查污染源处理系统的概率为C 32(12)3+C 33(12)3=12，某个时间段在需要开启另外2套系统才能确定需要检查污染源处理系统的概率为C 31(12)3[1−(12)2]=932，∴ 某个时间段需要检查污染源处理系统的概率为12+932=2532；（2）设某个时间段环境监测系统的运行费用为X 元，则X 的可能取值为900，1500，∵ P(X =1500)=C 31p(1−p)2，P(X =900)=1−C 31p(1−p)2， ∴ E(X)=900×[1−C 31p(1−p)2]+1500×C 31p(1−p)2=900+1800p(1−p)2，令g(p)＝p(1−p)2，p ∈(0, 1)，则g ′(p)＝(1−p)2−2p(1−p)＝(3p −1)(p −1)，当p ∈(0,13)时，g ′(p)>0，g(p)在(0,13)上单调递增；当p ∈(13,1)时，g ′(p)<0，g(p)在上(13,1)单调递减， ∴ g(p)的最大值为g(13)=427，∴ 实施此方案，最高费用为100+9000×(900+1800×427)×10−4=1150（万元）， ∵ 1150<1200，故不会超过预算．【考点】根据实际问题选择函数类型【解析】(Ⅰ)先求出某个时间段在需要开启另外2套系统才能确定需要检查污染源处理系统的概率，即可求出某个时间段需要检查污染源处理系统的概率；(Ⅱ)设某个时间段环境监测系统的运行费用为X 元，则X 的可能取值为900，1500，分别算出概率，再利用导数分析出环境监测费用的最大值，即可判断出环境监测费用是否会超过预算．【解答】（1）∵ 某个时间段在开启3套系统就被确定需要检查污染源处理系统的概率为C 32(12)3+C 33(12)3=12，某个时间段在需要开启另外2套系统才能确定需要检查污染源处理系统的概率为C 31(12)3[1−(12)2]=932，∴ 某个时间段需要检查污染源处理系统的概率为12+932=2532；（2）设某个时间段环境监测系统的运行费用为X 元，则X 的可能取值为900，1500，∵ P(X =1500)=C 31p(1−p)2，P(X =900)=1−C 31p(1−p)2， ∴ E(X)=900×[1−C 31p(1−p)2]+1500×C 31p(1−p)2=900+1800p(1−p)2，令g(p)＝p(1−p)2，p ∈(0, 1)，则g ′(p)＝(1−p)2−2p(1−p)＝(3p −1)(p −1)，当p ∈(0,13)时，g ′(p)>0，g(p)在(0,13)上单调递增；当p ∈(13,1)时，g ′(p)<0，g(p)在上(13,1)单调递减，∴ g(p)的最大值为g(13)=427，∴ 实施此方案，最高费用为100+9000×(900+1800×427)×10−4=1150（万元）， ∵ 1150<1200，故不会超过预算．已知函数f(x)＝alnx +x(a ∈R)． (Ⅰ)讨论f(x)的单调性；(Ⅱ)若对∀x ∈(0, +∞)，f(x)−e x −ax <0恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）f ′(x)=ax +1=x+a x，①当a <0时，由f′(x)>0得x >−a ，f′(x)<0得0<x <−a ， ∴ f(x)在(0, −a)上单调递减，在(−a, +∞)上单调递增； ②当a ≥0时，f′(x)>0恒成立， ∴ f(x)在(0, +∞)上单调递增；（2）由f(x)−e x −ax <0得a(x −lnx)>x −e x ，令s(x)＝x −e x (x >0)，则s ′(x)＝1−e x <0， ∴ s(x)在(0, +∞)上单调递减， ∴ s(x)<s(0)＝−1，∴ s(x)<0，即x −e x <0，同理可得x −lnx >0， ∴ a >x−e x x−lnx(∗)，当a ≥0时，∵x−e xx−lnx<0，∴ (∗)式恒成立，即f(x)−e x −ax <0恒成立，满足题意．综上所述，a 的取值范围是[0, +∞)．【考点】利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的最值【解析】(Ⅰ)求导，分a <0及a ≥0讨论，判断导函数与0的关系，即可得到单调性情况； (Ⅱ)易知a(x −lnx)>x −e x ，构造函数s(x)＝x −e x (x >0)，求导研究可知x −e x <0，而x −lnx >0，进一步转化为a >x−e x x−lnx，由x−e xx−lnx<0，即可得出答案．【解答】（1）f ′(x)=ax +1=x+a x，①当a <0时，由f′(x)>0得x >−a ，f′(x)<0得0<x <−a ， ∴ f(x)在(0, −a)上单调递减，在(−a, +∞)上单调递增； ②当a ≥0时，f′(x)>0恒成立， ∴ f(x)在(0, +∞)上单调递增；（2）由f(x)−e x −ax <0得a(x −lnx)>x −e x ，令s(x)＝x −e x (x >0)，则s ′(x)＝1−e x <0， ∴ s(x)在(0, +∞)上单调递减， ∴ s(x)<s(0)＝−1，∴ s(x)<0，即x −e x <0，同理可得x −lnx >0， ∴ a >x−e x x−lnx(∗)，当a ≥0时，∵x−e xx−lnx<0，∴ (∗)式恒成立，即f(x)−e x −ax <0恒成立，满足题意．综上所述，a 的取值范围是[0, +∞)．请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =1+cosα1−cosαy =2sinα1−cosα （α为参数）．以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为θ＝θ0（θ0∈(0, π)），将曲线C 1向左平移2个单位长度得到曲线C ． (Ⅰ)求曲线C 的普通方程和极坐标方程；(Ⅱ)设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求1|OA|+1|OB|的取值范围．【答案】（1）∵ x =1+cosα1−cosα=2cos 2α22sin 2α2=cos 2α2sin 2α2，y =2sinα1−cosα=4sin α2cos α22sin 2α2=2cosα2sin α2，∴ y 2=4cos 2α2sin 2α2=4x ，即曲线C 1的普通方程为y 2＝4x ．依题意得曲线C 的普通方程为y 2＝4(x +2)．令x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ得曲线C 的极坐标方程为ρ2sin 2θ−4ρcosθ−8＝（0）（2）法一：将θ＝θ0代入曲线C 的极坐标方程得ρ2sin 2θ0−4ρcosθ0−8＝0，则ρ1+ρ2=4cosθ0sin 2θ0，ρ1ρ2=−8sin 2θ0，∵ ρ1ρ2<0，∴ ρ1，ρ2异号． ∴1|OA|+1|OB|=1|ρ1|+1|ρ2|=|ρ1−ρ2||ρ1ρ2|=√(ρ1+ρ2)2−4ρ1ρ2|ρ1ρ2|=√(4cosθ0sin 2θ0)2+32sin 2θ8sin 2θ0=12√1+sin 2θ0∵ θ0∈(0, π)，∴ sinθ0∈(0, 1]，∴1|OA|+1|OB|∈(12,√22]．法二：设直线l 的参数方程为{x =tcosφy =tsinφ （t 为参数），代入曲线C 的普通方程得t 2sin 2φ−4tcosφ−8＝0，则t 1+t 2=4cosφsin φ，t 1t 2=−8sin 2φ，∵ t 1t 2<0，∴ t 1，t 2异号． ∴1|OA|+1|OB|=1|t 1|+1|t 2|=|t 1−t 2||t 1t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2|t 1t 2|=√(4cosφsin 2φ)2+32sin 2φ8sin 2φ=12√1+sin 2φ．∵ φ∈(0, π)，∴ sinφ∈(0, 1]，∴ 1|OA|+1|OB|∈(12,√22]．【考点】圆的极坐标方程参数方程与普通方程的互化【解析】(Ⅰ)利用倍角公式化简x ，y 即可得出曲线C 1的普通方程为，令x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ得曲线C 的极坐标方程．(Ⅱ)法一：将θ＝θ0代入曲线C 的极坐标方程得ρ2sin 2θ0−4ρcosθ0−8＝0，利用根与系数的关系及其ρ1，ρ2的意义代入即可得出．法二：设直线l 的参数方程为{x =tcosφy =tsinφ （t 为参数），代入曲线C 的普通方程得t 2sin 2φ−4tcosφ−8＝0，利用直线参数方程及其参数的意义即可得出．【解答】（1）∵ x =1+cosα1−cosα=2cos 2α22sin 2α2=cos 2α2sin 2α2，y =2sinα1−cosα=4sin α2cos α22sin 2α2=2cosα2sin α2，∴ y 2=4cos 2α2sin 2α2=4x ，即曲线C 1的普通方程为y 2＝4x ．依题意得曲线C 的普通方程为y 2＝4(x +2)．令x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ得曲线C 的极坐标方程为ρ2sin 2θ−4ρcosθ−8＝（0）（2）法一：将θ＝θ0代入曲线C 的极坐标方程得ρ2sin 2θ0−4ρcosθ0−8＝0，则ρ1+ρ2=4cosθ0sin 2θ0，ρ1ρ2=−8sin 2θ0，∵ ρ1ρ2<0，∴ ρ1，ρ2异号． ∴1|OA|+1|OB|=1|ρ1|+1|ρ2|=|ρ1−ρ2||ρ1ρ2|=√(ρ1+ρ2)2−4ρ1ρ2|ρ1ρ2|=√(4cosθ0sin 2θ0)2+32sin 2θ8sin 2θ0=12√1+sin 2θ0 ∵ θ0∈(0, π)，∴ sinθ0∈(0, 1]，∴1|OA|+1|OB|∈(12,√22]．法二：设直线l 的参数方程为{x =tcosφy =tsinφ （t 为参数），代入曲线C 的普通方程得t 2sin 2φ−4tcosφ−8＝0，则t 1+t 2=4cosφsin 2φ，t 1t 2=−8sin 2φ，∵ t 1t 2<0，∴ t 1，t 2异号．∴1|OA|+1|OB|=1|t 1|+1|t 2|=|t 1−t 2||t 1t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2|t 1t 2|=√(4cosφsin 2φ)2+32sin 2φ8sin 2φ=12√1+sin 2φ．∵ φ∈(0, π)，∴ sinφ∈(0, 1]，∴ 1|OA|+1|OB|∈(12,√22]． [选修4-5：不等式选讲]已知函数f(x)＝x 2−x +1，且m ，n ∈R ．(Ⅰ)若m +2n ＝2，求f(m)+2f(n)的最小值，并求此时m ，n 的值； (Ⅱ)若|m −n|<1，求证：|f(m)−f(n)|<2(|m|+1)．【答案】（1）f(m)+2f(n)＝(m 2+2n 2)−(m +2n)+3＝m 2+2n 2+1，法一：∵ m +2n ＝2， ∴ m ＝2−2n ，∴ f(m)+2f(n)=(2−2n)2+2n 2+1=6n 2−8n +5=6(n −23)2+73≥73， ∴ f(m)+2f(n)的最小值为73，此时m =n =23；法二：∵ m 2+2n 2=13(3m 2+6n 2)=13[m 2+2(m 2+n 2)+4n 2]≥13(m 2+4mn +4n 2)=13(m +2n)2=43，∴ f(m)+2f(n)≥43+1=73，即f(m)+2f(n)的最小值为73，此时m =n =23；法三：由柯西不等式得：m 2+2n 2=13(m 2+n 2+n 2)(12+12+12)≥13(m +n +n)2=13(m +2n)2=43，∴ f(m)+2f(n)≥43+1=73，即f(m)+2f(n)的最小值为73，此时m =n =23；（2）证明：∵ |m −n|<1，∴ |f(m)−f(n)|＝|(m 2−n 2)−(m −n)|＝|m −n|⋅|m +n −1|<|m +n −1|，又|m +n −1|＝|(n −m)+(2m −1)|≤|m −n|+|2m −1|<1+(2|m|+1)＝2(|m|+1)，∴ |f(m)−f(n)|<2(|m|+1)．【考点】不等式的证明【解析】(Ⅰ)f(m)+2f(n)＝m 2+2n 2+1，法一：由m ＝2−2n ，进一步转化为关于n 的二次函数，由二次函数的性质即可得出结论；法二：变形并由基本不等式可得m 2+2n 2≥13(m +2n)2=43，由此得出结论；法三：由柯西不等式直接得出结论； (Ⅱ)利用绝对值不等式的性质求证即可．【解答】（1）f(m)+2f(n)＝(m 2+2n 2)−(m +2n)+3＝m 2+2n 2+1，法一：∵ m +2n ＝2， ∴ m ＝2−2n ，∴ f(m)+2f(n)=(2−2n)2+2n 2+1=6n 2−8n +5=6(n −23)2+73≥73， ∴ f(m)+2f(n)的最小值为73，此时m =n =23；法二：∵ m 2+2n 2=13(3m 2+6n 2)=13[m 2+2(m 2+n 2)+4n 2]≥13(m 2+4mn +4n 2)=13(m +2n)2=43，∴f(m)+2f(n)≥43+1=73，即f(m)+2f(n)的最小值为73，此时m=n=23；法三：由柯西不等式得：m2+2n2=13(m2+n2+n2)(12+12+12)≥13(m+n+n)2=13(m+2n)2=43，∴f(m)+2f(n)≥43+1=73，即f(m)+2f(n)的最小值为73，此时m=n=23；（2）证明：∵|m−n|<1，∴|f(m)−f(n)|＝|(m2−n2)−(m−n)|＝|m−n|⋅|m+n−1|<|m+n−1|，又|m+n−1|＝|(n−m)+(2m−1)|≤|m−n|+|2m−1|<1+(2|m|+1)＝2(|m|+1)，∴|f(m)−f(n)|<2(|m|+1)．。

九江市2020年第一次高考模拟统一考试数学试题(理科)(附参考答案)

九江市 2020 年第一次高考模拟统一考试数学试题（理科）本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分.全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟. 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的学号、姓名等项内容填写在答题卡上. 2.第 I 卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第 II 卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效. 3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回.第Ⅰ卷（选择题 60 分）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 M {x | 1 x 5} ， N {x || x | 2} ，则 M I N (A)A.x | 1 x 2B.x | 2 x 5C.{x | 1 x 5}D.{x | 0 x 2}解:Q N x | 2 x 2 ，M I N {x | 1 x 2}，故选 A.2.设复数 z 满足 z(1 i) 2 ，则 z 在复平面内所对应的点位于(D)A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解:Q z 2 1 i ，故选 D. 1 irrrrr r rrrr3.已知非零向量 a ， b 满足| a || b | ，则“| a 2b || 2a b | ”是“ a b ”的(C)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件解:r r rr | a 2b | = | 2a b |r r2 a 2b=r r2 2a br2 ar 4ar br 4b2r =4a2r 4ar br b2，Q|r a||r b|0，r r r r rrrr| a 2b || 2a b | a b 0 a b ，故选 C.2x y 0 4.已知实数 x, y 满足约束条件 x 2 y 2 ，则 z x 3y 的最大值为(C)x y 0A. 4B. 2C. 14 5D. 0y解:如图，作出可行域，当直线 l : x 3y 0 平移至经过点 A( 2 , 4) 时，3 2551Az x 3y 取得最大值 14 ，故选 C. 5-3 -2 -1 O 1 2 3 x -15.设等差数列{an} 的前 n 项和为 Sn ，已知13a3 S13 52 ，则 S9 (B)-2-3A. 9B.18C. 27D. 36解:Q 13a3 S13 13a3 13a7 52 ，a3 a74 ，a5a3 a7 2 2 ，S9 9a5 9 2 18 ，故选B.36.已知函数 f (x) 是定义在 R 上的偶函数，当 x 0 时， f (x) ex x ，则 a f (22 ) , b f (log2 9) ，c f ( 5) 的大小关系为（C）A. a b cB. a c bC. b a cD. b c a333解:依题意得 a f (22 ) f (22 ) ，Q 5 22 2 2 3 log2 9 ，当 x 0 时， f (x) 在[0, ) 上单调3递增， f (log2 9) f (22 ) f ( 5) ，即 b a c ，故选 C.7.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一卦由六爻组成.其中有一种起卦方法称为“金钱起卦法”，其做法为：取三枚相同的钱币合于双手中，上下摇动数下使钱币翻滚摩擦，再随意抛撒钱币到桌面或平盘等硬物上，如此重复六次，得到六爻.若三枚钱币全部正面向上或全部反面向上，就称为变爻.若每一枚钱币正面向上的概率为 1 ，则一卦中恰有两个变爻的概率为(D) 2A. 1B. 15C. 240D. 12154647294096解：由已知可得三枚钱币全部正面或反面向上的概率 p 2 (1)3 1 ，得到六爻实际为六次独立重复试验， 24P(x2)C62 (1)2 4 (3)4 41215 4096，故选D.8.已知函数 f (x) Asin(x ) ( A 0, 0, π )的部分图像如图所 2y 21示，若 f (a x) f (a x) 0 ，则 a 的最小值为(A)A. πB. πC. πD. 5π Ox126312解:由图象易知 A 2 ， f (0) 1，即 2sin 1，Q π ， π ，-226由图可知 11π 12π 62kπ(k N*) ，24k 2 ，Q 11T 3 T11 12 11，18 1124 ， 11 4 12由 k 1得 2 ， f (x) 2sin(2x π) ，Q f (a x) f (a x) 0 ， f (x) 关于点 (a, 0) 对称，即6有 2a π kπ ， a kπ π ， k Z ， a 的最小值为 π ，故选 A.62 12129.过抛物线 y2 2 px( p 0) 的焦点 F 且斜率大于 0 的直线 l 交抛物线于点 A, B (点 A 位于第一象限)，交其准线于点 C ，若 BC 3 BF ，且 AF 3 ，则直线 AB 的方程为(A)A. 2 2x y 2 2 0B. 2x y 2 2 0C. 2 2x y 2 0D. 2x y 2 0解:作AA1准线于A1 ，BB1准线于B1 ，FF1AA1于F1.在RtBCB1 中， cosCBB1| |BB1 BC| |y| |BF BC| |1 3，tanCBB122，\l 的斜率为 22，A1F1 AOFxB1B又 BCB1 :AFF1，|AF1|1 3|AF|1，p|A1F1|2，直线 AB 的方程为 y 2 2(x 1) ，即 2 2x y 2 2 0 ，故选 A.10.半正多面体(semiregular solid) 亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形为面的半正多面体.如图所示，图中网格是边长为 1 的正方形，粗线部分是某二十四等边体的三视图，则该几何体的体积为(D)A. 8B. 4C. 16D. 20333解:如图所示，图中红色的部分为该二十四等边体的直观图，由三视图可知，该几何体的棱长为 2 ，它是由棱长为 2 的正方体沿各棱中点截去 8 个三棱锥所得到的，该几何体的体积为V 2 2 2 8 1 1 111 20 ，323故选 D.11.定义aba, b,ab ，已知函数 f (x) 1， g(x) 1，ab2 sin2 x2 cos2 x则函数 F(x) f (x) g(x) 的最小值为(A)A. 2B.13C. 4D. 23解:依题意得 F(x) f (x) ， F(x) g(x) ，则 2F(x) f (x) g(x) ,f (x) g(x) 1 1 1 ( 1 1 )[(2 sin2 x) (2 cos2 x)] 2 sin2 x 2 cos2 x 3 2 sin2 x 2 cos2 x1 3(22 cos2 2 sin2x x2 sin2 2 cos2x x)1 3(222 cos2 2 sin2x x2 sin2 2 cos2x x)4 3(当且仅当2 2 cos2 sin 2x x2 sin2 2 cos2x x，即 sin2xcos2x1 2时“ ”成立.此时,f(x)g(x)2 3， 2F ( x)4 3， F (x)的最小值为 2 ，故选 A. 312.在平面直角坐标系xOy中，已知An，Bn是圆x2y2n2uuuur 上两个动点，且满足 OAnuuuur OBnn2 2（ n N* ），设 An ， Bn 到直线 x 3yn(n1)0的距离之和的最大值为an，若数列{1 an}的前n项和 Sn m 恒成立，则实数 m 的取值范围是(B)A. (3 , ) 4B.[ 3 , ) 4C. (3 , ) 2D.[ 3 , ) 2uuuur uuuur 解：由 OAn OBnn2 2可得 AnOBn 120 ，设线段An Bn 的中点为 Cn，则 Cn在圆 x2y2n2 4上，An，Bn 到直线 x 3y n(n 1) 0 的距离之和等于点 Cn 到该直线的距离的两倍.点 Cn 到直线距离的最大值为圆心到直线的距离与圆的半径之和， an2[ n(n+1） 2n] 2n22n，1 ann21 2n1 (1 2nn1 2)，Sn1 (1 1 1 1 ) 2 2 n 1 n 23 4，m 3 4,故选 B.第Ⅱ卷（非选择题 90 分）本卷包括必考题和选考题两部分.第 13-21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22-23 题为选考题，学生根据要求作答. 二、填空题:本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.曲线 y ex (x2 2) 在点 (0, 2) 处的切线方程为 y 2x 2 .解:Q f (x) ex (x2 2x 2) ， f (0) 2 ，又Q f (0) 2 ，所求切线方程为 y 2 2x ，即 y 2x 2 .14. (x 1 2)4 的展开式中 x2 的系数为 28. x解:Q(x 1 x 2)4 = (x2 2x 1)4 x4(x 1)8 x4，展开式中 x2 的系数为 C8228 .15.在三棱锥 A BCD 中，已知 BC CD BD 2AB 2AD=6 ，且平面 ABD 平面 BCD ，则三棱锥 A BCD 外接球的表面积为 48π .解:在等边三角形 BCD中，取 BD 的中点 F ，设等边三角形 BCD 的中心为 O ，连接 AF，CF，OA .由 BC 6 ，得 BO CO DO 2 CF 2 3 ， OF 3 ，3A由已知可得 ABD 是以 BD 为斜边的等腰直角三角形，AF BD,又由已知可得平面 ABD 平面 BCD，AF 平面 BCD， AF OF ，OA OF2 AF2 2 3 ，O 为三棱锥 A BCD 外接球的球心，外接球 BFDO半径 R OC 2 3 ，三棱锥 A BCD 外接球的表面积为 4π (2 3)2 48π .C16.已知双曲线 C :x2 a2y2 b21(a 0,b 0 )的左右焦点分别为 F1, F2 ，O 为坐标原点，点 M为双曲线右支上一点，若 F1F2 2 OM ， tan MF2F1 2 ，则双曲线 C 的离心率的取值范围为 (1, 5] .解:法一:QF1F2 2 OM，F1MF2π ，4c2 2MF1 2 MF2 2 ， tan MF2F1 MF1 MF2,MF1 2 MF2 2Q MF1 MF22a ，e24c2 4a2 MF1 2 MF2 2 ( MF1 MF2 )2MF2 2 MF1 2 2 MF1 MF2 MF2 2,MF2 2设MF1 MF2t2 ，则e2t2t2 1 2t 11t2 12，t1 t21 25 2，1 e25 ，1e5.t法二：QF1F2 2 OM，F1MF2 π ，令 2MF1 r1 ，MF2 r2 ，MF2F1=，tan 2 ，r1=2c sin，r22c cos， 2ar1 r2 =2c(sin cos )， esin 1 cos，e2（sin1 cos）2=11 sin2=111 2 tan tan2 5 ，1 e 5.三、解答题:本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.(本小题满分 12 分)在 ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c ，已知 (a 3b)sin A bsin B csin C .(Ⅰ)求角 C 的值； (Ⅱ)若 sin Asin B 1+ 3 ， c 2 ，求 ABC 的面积．4 解:(Ⅰ)由 (a 3b)sin A bsin B csin C 及正弦定理得 (a 3b)a＋b2 =c2 ，即 a2＋b2 c2 3ab ………2 分由余弦定理得 cosC a2＋b2 c2 3 ………4 分2ab2Q 0 C π ，C π ………6 分 6（Ⅱ）法一：设ABC外接圆的半径为R ，则由正弦定理得2Rc sin C2 sin π4 ………8分6a 2Rsin A 4sin A， b 2Rsin B 4sin B ，ab 16sin Asin B 4(1 3) ………10 分 SABC1 2absin C1 2 4(13) 1 1 23 ………12 分法二：由(Ⅰ)得 cosC 3 ，即 cos Acos B sin Asin B 3 ，22Q sin Asin B 1+ 3 ，cos Acos B 1 3 ，cos(A B) cos Acos B sin Asin B 1 ………7 分442Q A B ( 5π , 5π) ， A B π 或 B A π ………8 分6633当 A B π 时，又 A B 5π ， A 7π ， B π ………9 分36124由正弦定理得bcsin B sin C2sin π 4sin π22 ………10 分6 SABC1 bcsin 2A1 222 2sin 7π 2 122( 2 1 222 3) 1 223 ………11 分当BAπ 3时，同理可得SABC13 ，故 ABC 的面积为13 ………12 分18.(本小题满分 12 分)如图，在三棱柱 ABC A1B1C1 中，已知四边形 AA1C1C 为矩形， AA1 6 ， AB AC 4 ，BB1BAC BAA1 60 ， A1AC 的角平分线 AD 交 CC1 于 D .(Ⅰ)求证:平面 BAD 平面 AA1C1C ；C(Ⅱ)求二面角 A B1C1 A1 的余弦值.A解:(Ⅰ)如图，过点 D 作 DE // AC 交 AA1 于 E ，连接 CE, BE ，DC1A1设 AD I CE O ，连接 BO ，Q AC AA1 ，DE AE ，又 AD 为 A1AC 的角平分线，四边形 AEDC 为正方形，CE AD ………1 分又Q AC AE ， BAC BAE ， BA BA ，BAC BAE ，BC BE ………2 分又Q O 为 CE 的中点，CE BO ………3 分z又QAD,BO 平面BAD，ADIBO O ，CE 平面 BAD ………4 分BB1又QCE 平面AA1C1C，平面BAD平面AA1C1C………5分C(Ⅱ)在 ABC 中，Q AB AC 4 ， BAC 60，BC 4 ，O在 RtBOC 中，Q CO 1 CE 2 2 ，BO 2 2 ， 2AEx又 AB 4 ， AO 1 AD 2 2 ，Q BO2 AO2 AB2 ，BO AD ，2又 BO CE ，AD ICEO，AD,CE 平面AA1C1C，BO 平面 AA1C1C，DC1y A1故建立如图空间直角坐标系 O xyz ………6 分uuuuruuuur则 A(2,2,0) ， A1(2, 4,0) ， C1(2, 4,0) ， B1(0,6, 2 2) ， C1B1 (2, 2, 2 2) ， AC1 (4,6,0) ，uuuur C1A1 (4,0,0) ，ur uuuur设平面AB1C1的一个法向量为ur m(x1,y1,z1)，则m ur m Cuu1uBur1 AC1，4 x16y12x1 2 y1 20 2z10，ur 令 x1=6 ，得 m (6, 4, 5 2) ………8 分r uuuur设平面A1B1C1的一个法向量为r n( x2 ,y2 ,z2 )，则n r n Cuu1uBur1 C1 A1，4x2 2x2 0 2 y22，2z2 0r 令 y2 = 2 ，得 n (0, 2,1) ………10 分ur rur r cos m, n mn ur rmn92 102 33 17 17，故二面角AB1C1A1 的余弦值为3 17 17………12分19.(本小题满分 12 分)已知椭圆 C : x2 y2 1( a b 0 )的上顶点为 E ，左焦点为 F ，离心率为 2 ，直线 EF 与圆 x2 y2 1a2 b222相切.(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程；(Ⅱ)设过点 F 且斜率存在的直线 l 与椭圆 C 相交于 A, B 两点，线段 A, B 的垂直平分线交 x 轴于点 P ，试yPF 判断是否为定值？并说明理由.EAB解:(Ⅰ)如图，Q e c 2 ，a 2c ， b c ………2 分 a2FOx直线 EF 的方程为 x y c 0 ，Q 直线 EF 与圆 x2 y2 1 相切， c 2 ，c 1, a 2,b 1………4 分222椭圆 C 的标准方程为 x2 y2 1 ………5 分2(Ⅱ)设 A(x1, y1) ， B(x2, y2 ) ， P(x0 ,0) ，设直线l:yk(x1)，联立 y k(x x2 y2 2 1) 1，消去y得(2k2 1) x24k2x2k 220， x1x24k 2 2k 2 1，x1x22k 2 2k 22 1………7分 AB 1 k 2 (x1 x2 )2 4x1x2 1 k2 ( 2k42k21)242k 2 2k 2 2 122(k 2 1) 2k 2 1………9 分法一:Q P 在线段 AB 的垂直平分线上， PA PB ，(x1 x0 )2 y12 (x2 x0 )2 y22 ………①QA, B 在椭圆 C上， y121x12 2，y221x22 2，代入①得 (x1x0 )21x12 2 (x2 x0 )21x22 2，化简得 x01 4 (x1x2 ) ………10分 PFx01=|1 4( x1x2)1||11 44k 2 2k2 1|k 2 1 ………11 分 2k2 1法二:线段AB的中点为(2k 2 2k 2 , 12kk2) 1，线段AB的垂直平分线为k(y2kk2) 1x2k 2k 221，令y0，得x0k 2 ………10 2k 2 1分 PFx0 1|1k2 2k 2 1|k 2 1 ………11 分 2k2 1k2 1PF 2k 2 1 2 ，故 PF 为定值 2 ………12 分AB 2 2(k 2 1) 4AB42k 2 120.(本小题满分 12 分)随着现代社会的发展，我国对于环境保护越来越重视，企业的环保意识也越来越强.现某大型企业为此建立了 5 套环境监测系统，并制定如下方案：每年企业的环境监测费用预算定为 1200 万元，日常全天候开启 3 套环境监测系统，若至．少．有 2 套系统监测出排放超标，则立即检查污染源处理系统；若有．且．只．有．1 套系统监测出排放超标，则立即同时启动另外 2 套系统进行 1 小时的监测，且后启动的这 2 套监测系统中只要有 1 套系统监测出排放超标，也立即检查污染源处理系统.设每个时间段（以．1．小．时．为．计．量．单．位．）被每套系统监测出排放超标的概率均为 p(0 p 1) ，且各个时间段每套系统监测出排放超标情况相互独立.(Ⅰ)当 p 1 时，求某个时间段需要检查污染源处理系统的概率； 2(Ⅱ)若每套环境监测系统运行成本为 300 元/小时（不启动则不产生运行费用），除运行费用外，所有的环境监测系统每年的维修和保养费用需要 100 万元.现以此方案实施，问该企业的环境监测费用是否会超过预算(全年按 9000 小时计算)？并说明理由.解:(Ⅰ)Q 某个时间段在开启 3 套系统就被确定需要检查污染源处理系统的概率为C32(1 2)3C33(1 2)31 2………1分某个时间段在需要开启另外 2 套系统才能确定需要检查污染源处理系统的概率为C31(1 2)3[1(1)2 2]9 32………2分某个时间段需要检查污染源处理系统的概率为 1 9 25 ………4 分 2 32 32(Ⅱ)设某个时间段环境监测系统的运行费用为 X 元，则 X 的可能取值为 900，1500………5 分Q P( X 1500) C31 p(1 p)2 ， P( X 900) 1 C31 p(1 p)2 ………7 分 E( X ) 900 [1 C31 p(1 p)2 ] 1500 C31 p(1 p)2 900 1800 p(1 p)2 ………8 分令 g( p) p(1 p)2, p (0,1) ,则 g( p) (1 p)2 2 p(1 p) (3 p 1)( p 1) ………9 分当 p (0, 1) 时， g( p) 0 ， g( p) 在 (0, 1) 上单调递增；33当 p (1 ,1) 时， g( p) 0 ， g( p) 在上 (1 ,1) 单调递减………10 分33 g( p) 的最大值为 g(1) 4 ………11 分 3 27实施此方案，最高费用为100 9000 (900 1800 4 ) 104 1150 （万元）， 27Q1150 1200，故不会超过预算………12 分21.(本小题满分 12 分)已知函数 f (x) a ln x x ( a R ).(Ⅰ)讨论 f (x) 的单调性；(Ⅱ)若对 x (0, ) ， f (x) ex ax 0 恒成立，求 a 的取值范围.解:(Ⅰ) f (x) a 1 x a ……………1 分xx①当 a 0 时，由 f (x) 0 得 x a ， f (x) 0 得 0 x a ， f (x) 在 (0, a) 上单调递减，在 (a, ) 上单调递增…………3 分②当 a 0 时， f (x) 0 恒成立, f (x) 在 (0, +) 上单调递增…………5 分(Ⅱ)法一: 由 f (x) ex ax 0 得 a(x ln x) x ex ，令 s(x) x ex ( x 0 )，则 s(x) 1 ex 0 ，s(x) 在 (0, ) 上单调递减，s(x) s(0) 1，s(x) 0 ，即 x ex 0 …………6 分同理可得 x ln x 0， a x ex (*)………7 分 x ln x当 a 0 时，Q x ex 0 ，(*)式恒成立，即 f (x) ex ax 0 恒成立，满足题意………8 分 x ln x法二:由 f (x) ex ax 0 得 f (x) ax ex ，Q f (ex ) ax ex ， f (x) f (ex ) …………6 分令 s(x) x ex ( x 0 )，则 s(x) 1 ex 0 ，s(x) 在 (0, ) 上单调递减，s(x) s(0) 1，s(x) 0 ，即 x ex …………7 分当 a 0 时，由(Ⅰ)知 f (x) 在 (0, ) 上单调递增， f (x) f (ex ) 恒成立，满足题意………8 分当 a 0 时，令(x) a ln x ex ，则(x) 在 (0, ) 上单调递减，又(1) e 0 ，当 x 0 时，(x) ，r (0,1) ，使得(r) 0 …………9 分当 x0 (0, r) 时，(x0 ) (r) 0 ，即 a ln x0 ex0 …………10 分又 x0 ax0 ， a ln x0 x0 ex0 ax0 ， f (x0 ) ex0 ax0 0 ，不满足题意………11 分综上所述， a 的取值范围是[0, ) …………12 分请考生在第 22-23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.(本小题满分 10 分）选修 4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为 x y 1+ cos 1 cos 2sin 1 cos(为参数).以 O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 0 (0 (0, π) )，将曲线 C1 向左平移 2 个单位长度得到曲线 C. (Ⅰ)求曲线 C 的普通方程和极坐标方程；(Ⅱ)设直线 l 与曲线 C 交于 A, B 两点，求 1 1 的取值范围.OA OB解:(Ⅰ)Qx 1+ cos 1 cos2 cos2 22sin2 cos2 2sin2 ，y 2sin 1 cos4sin cos 22sin2 22 cos 2sin ………1 分22224 cos2 y2 2 sin2 4x ，即曲线 C1 的普通方程为 y2 4x ………2 分2依题意得曲线 C 的普通方程为 y2 4(x 2) ………3 分令 x cos ， y sin 得曲线 C 的极坐标方程为 2 sin2 4 cos 8 0 ………5 分(Ⅱ)法一：将 0 代入曲线 C 的极坐标方程得 2 sin2 0 4 cos0 8 0 ，则124 cos0 sin2 0，128 sin20，Q120 ， 1, 2异号………7分 1 1 1 1 1 2 OA OB 1 212(1 2 )2 412 12(4 cos0 sin2 0)232 sin2 0182sin2 01 sin2 0………9 分0(0,π)θ∈Q ，0sin (0,1]θ∴∈，111(2OA OB ∴+∈………10分法二:设直线l 的参数方程为cos sin x t y t ϕϕ=⎧⎨=⎩(t 为参数)，代入曲线C 的普通方程得22sin 4cos 80t t ϕϕ--=，则1224cos sin t t ϕϕ+=，1228sin t t ϕ=-，120t t <Q ，12,t t ∴异号………7分12121221111sin t t OA OB t t t t ϕ-∴+=+====9分 (0,π)ϕ∈Q ，sin (0,1]ϕ∴∈，111(2OA OB ∴+∈………10分 23.(本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数2()1f x x x =-+，且,R m n ∈．(Ⅰ)若22m n +=，求()2()f m f n +的最小值，并求此时,m n 的值；(Ⅱ)若||1m n -<，求证:|()()|2(||1)f m f n m -<+．解:(Ⅰ)2222()2()(2)(2)321f m f n m n m n m n +=+-++=++………1分法一:22m n +=Q ，22m n ∴=-， 2222277()2()(22)216856()333f m f n n n n n n ∴+=-++=-+=-+≥………3分 ()2()f m f n ∴+的最小值为73………4分此时23m n ==………5分法二:22222222221=)=+2(112(36[+4)](3+434)3m n m n m m n n m n n m +++≥+Q 214=(2)=33m n + ………3分47()2()133f m f n ∴+≥+=，即()2()f m f n +的最小值为73………4分此时23m n ==………5分法三：由柯西不等式得：2222222222=)(11111142(()(2)333)3m n m n n m n n m n +++≥++=+=++………3分 47()2()133f m f n ∴+≥+=,即()2()f m f n +的最小值为73………4分此时23m n ==………5分 (Ⅱ)1m n -<Q ，22()()()()11f m f n m n m n m n m n m n ∴-=---=-⋅+-<+-………7分又1m n +-()(21)211(21)2(1)n m m m n m m m =-+-≤-+-<++=+………9分 |()()|2(||1)f m f n m ∴-<+………10分。

九江市2019~2020高三数学理科一模试卷含答案

绝密 ★ 启封并使用完毕前九江市2019届第一次高考模拟统一考试理科数学注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择填空题）和第Ⅱ卷（解答题）两部分.2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效.4. 考试结束后，将答题卡交回.第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{|02}A x x =<<，2{|1}B x x =<，则R ()A B =I ð（B ） A.{|01}x x << B.{|12}x x ≤< C.{|12}x x << D.{|02}x x << 解:{|11}B x x =-<<Q ，R {|11}B x x x ∴=≤-≥或ð，R (){|12}A B x x ∴=≤<I ð.故选B.2.已知复数z 满足2i z +∈R ，z 的共轭复数为z ，则z z -=（C ） A.0 B.4i C.4i - D.4-解:设i z x y =+(,R x y ∈),则2i (2)i z x y +=++∈R ，2y ∴=-，2i z x ∴=-,4i z z -=-，故选C. 3.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，939S S =，则n a =（B ） A.n B.21n -C.32n -D.2n -解:11a =,939S S =,983299(3)22d d ⨯⨯∴+=⨯+,化简得2d =,1(1)221n a n n ∴=+-⨯=-.故选B.4.已知甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，若甲的众数与乙的中位数相等，则图中x 的值为（C ）A.2B.3C.4D.6解:由图可知，甲的众数是23，乙的中位数是22与20x +的平均数，22(20)232x ++∴=，4x ∴=，故选5.直线:10l x y --=与抛物线24y x =相交于,A B 两点，则||AB =（D ）A.4B.6C.7D.8解:设1122(,),(,)A x y B x y ，联立方程组2104x y y x --=⎧⎨=⎩，得2610x x -+=，则126x x +=，又直线:10l x y --=经过24y x =的焦点，则12||628AB x x p =++=+=，故选D.6.函数2sin(π)()x f x x =的图像大致为（A ）A B C D 解:2sin(π)()x f x x=为奇函数，故排除B ，又()()()0123f f f ===，且1()402f =>.故选A.7.已知G 为∆ABC 的重心，且=+AG x AB yBC ，则,x y 的值分别为（D ） A.11,33B.22,33C.12,33D.21,33x y O 21 1-2-3-x y O 2 1 1- 2- 3 3- xy O 2 1 1- 2- 3- x y O 1 1- 2- 33-OP QF 2F 1xy解:G 为∆ABC 的重心，111121()333333∴=+=++=+AG AB AC AB AB BC AB BC ，即23x =，13y =，故选D.8.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（C ）A.π2B.π+C.3π2+D.3π解:由三视图知，该几何体为半圆锥，正面三角形面积为122⨯ 背面展开为扇形，其弧长为12π1π2⨯⨯=2=，则其面积为1π2π2⨯⨯=；底面为半圆，其面积为1ππ122⨯⨯=，该几何体的表面积为3π2C. 9.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足1n n a S +=，则39121239S S S S a a a a ++++=（A ） A.1013B.1022C.2036D.2037解:由1n n a S +=①得112a =，当2n ≥时，111n n a S --+=②，①-②得：112n n a a -=，故数列{}n a 是以12为首项，12为公比的等比数列，1()2n n a ∴=，11()2n n S =-，21nn n S a =-，则39121239S S S S a a a a ++++=291022292111013+++-=-=，故选A.10.一个平面封闭图形的周长与面积之比为“周积率”,下图是由三个半圆构成的图形,最大半圆的直径为6，若在最大的半圆内随机取一点，该点取自阴影部分的概率为49，则阴影部分图形的“周积率”为（A ） A.3 B.4 C.5 D.6解:设里面两个半圆的半径分别为1r ，2r ，则最大的半圆的半径为123+=r r ，∴最大半圆的面积2121π()2S r r =+，阴影部分的图形面积2221212111π()ππ222S r r r r '=+--12πr r =，依题意得49S P S '==，即12212π491π()2r r r r =+，化简得2211222520r r r r -+=，解得122=r r 或212=r r ,又123+=r r ，1212r r =⎧∴⎨=⎩或1221=⎧⎨=⎩r r ，则阴影部分的周长121212π()ππ2π()C r r r r r r '=+++=+，则12122π()3πr r C S r r '+=='，故选A.11.已知双曲线22221y x a b -=(0,0a b >>)的左右焦点分别为12,F F ，过2F 的直线与双曲线右支交于,P Q 两点，若11,,PF PQ QF 成等差数列，且12PF PF ⊥,则该双曲线的离心率为（D ）A.143B.92C.112D.解：由双曲线的定义知212QF QF a =-，212PF PF a =-，22114PQ QF PF QF PF a ∴=+=+-，又11,,PF PQ QF 成等差数列，111()2PQ PF QF ∴=+，118PF QF a ∴+=，4PQ a =，主视图左视图俯视图A 1由12PF PF ⊥知，22211PF PQ QF +=，解得13P F a =，15QF a =，212PF PFa a ∴=-=，由2221122PF PF F F +=，得22294a a c +=，22104c a ∴=，即e = D. 12.已知函数32()2e f x x x =-,()ln g x x ax =-(a ∈R )，若()()f x g x ≥对任意(0,)x ∈+∞恒成立，则实数a的取值范围是（B ）A.(,e]0B.21[e ,)e++∞C.[2e 1,)-+∞D.21[2e ,)e --+∞解:2ln ()()2e x f x g x a x x x ≥⇔≥-++，令2ln ()2e x h x x x x =-++，则21l n ()22e x h x x x -'=-++，当0e x << 时，()0h x '>，当e x >时，()0h x '<，()h x ∴在(0,e)上单调递增，在(e,)+∞上单调递减，()h x ∴的最大值为21(e)e e h =+，则21e ea ≥+.故选B. 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡上.13.已知实数,x y 满足约束条件210225040x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≤⎩，则2z x y =-的最大值为1.解:如图，作出可行域，当直线0:20l x y -=平移至经过点1(2,2A2z x y =-取得最大值1.14.已知sin 2+=αα，则tan =α. 解: πsin 2sin()23ααα+=+=,πsin(13α∴+=,ππ2π,32k k α∴+=+∈Z ,π2π,6k k α∴=+∈Z,∴tan =α15.62()()1y x x ++的展开式中，4x y 的系数为40.解:6()1x +展开式的通项为66C k kx -，4x y ∴的系数为362C 40=.16.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -棱长为1cm ，其内壁是十分光滑的镜面，一束光线从A 点射出，在正方体内壁经平面11BCC B 反射，又经平面11ADD A 反射后(反射过程服从镜面反射原理)，到达11C D 的中点M ，则该光线所经过的路径长为cm.解:如图,光线从A 点射出通过两次镜面反射到达点M ，其路径应该在平面11ABC D 内，设光线在平面11BCC B 和平面11ADD A 内的反射点分别,P Q ，由图可知，1BC ，125BP BC ==AP ==， 2AP QP QM ===AP PQ QM ∴++=+=∴该光线所经过的路径长为.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第17题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答.三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分）如图，平行四边形ABCD 中，E 为BC 中点，224BE AB +=． (Ⅰ)求22AE DE +的值；ABCDEA 1(Ⅱ)若sin sin AEB BAE∠=∠，求cos AED ∠的最小值．解:(Ⅰ)令,BE m AB n ==，则224m n +=，由余弦定理得2222cos AE m n mn B =+-………2分22222222cos 2cos(π)2cos DE m n mn C m n mn B m n mn B =+-=+--=++………4分22222()8AE DE m n ∴+=+=………6分(Ⅱ)sin sin AEB BAE ∠=∠AB BE=，又224BE AB+=，1,BE AB ∴==………8分故2AD =，222842cos 22AE DE AD AED AE DE AE DE AE DE+--∠===⋅⋅⋅………10分2242AE DE AE DE +⋅≤=，当且仅当2AE DE ==时取等号，1cos 2AED ∴∠≥，即cos AED ∠的最小值为12………12分18.（本小题满分12分）如图,Rt ABC ∆中,90C ∠=︒,22AB BC ==,D 为AB 的中点, E 为AC 边上一点，且2AE EC =，以DE 为折痕, 把ADE ∆折起得到一个四棱锥P BCED -，使得PB =.(Ⅰ)证明：平面PDE 平面BCED ；(Ⅱ)求直线PB 与平面PCE 所成角的正弦值．解: (Ⅰ)90C ∠=︒，22AB BC ==，∴AC =30A ∠=︒，2AE EC =，23AE AC ∴==，在ADE ∆中，由余弦定理得 2222212cos 1213DE AD AE AD AE A =+-⋅=+-⨯=，DE ∴=………2分 222AD DE AE ∴+=，DE AB ∴，PD DE ∴⊥………3分又1PD BD ==，PB =，即222PB PD BD =+，PD D B ∴⊥………又,DE BD Ü平面BCED ，DE BD D =，PD ∴⊥平面BCED ………5又PD Ü平面PDE ，∴平面PDE ⊥平面BCED ………6分(Ⅱ)如图所示，建立空间直角坐标系，则(1,0,0)B ,E ,(0,0,1)P 1(2C ………7分设n 为平面PCE 的法向量，则0(0PE EC ⎧⋅=⎪⇒=-⎨⋅=⎪⎩n n n ………9分又(1,0,1)PB =-，|||cos ,|||||PB PB PB ⋅∴<>===n n n 11分设直线PB 与平面PCE 所成的角为θ，则sin =θ………12分 19.(本小题满分12分)已知椭圆2222:1y x E a b+=(0a b >>)的右焦点为F ，，过原点的动直线l 与椭圆E 交于,A B 两点，且AF BF +=(Ⅰ)求椭圆E 的标准方程；(Ⅱ)若直线BF 交椭圆E 于另一点C ，当直线BC 的斜率1(0,1)k ∈时，求直线AC 的斜率2k 的取值范围．解:(Ⅰ)设椭圆的左焦点为1F ，,A B Q 关于原点对称，∴四边形1AF BF 为平行四边形，12AF BF AF AF a ∴+=+==a ∴………2分AE DB C BPDC又Q椭圆的离心率c e a ==∴1c =，则2221b a c =-=………4分 ∴椭圆E 的标准方程为2212x y +=………5分(Ⅱ)设1122(,),(,)x y x y B C ，则11(,)y x A --，且21121y y k x x -=-，21221y y k x x +=+………6分 ∴222122211222222121(1)(1)1222x x y y k k x x x x ----===---………10分 1(0,1)k ∈Q ，2111(,)22k k ∴=-∈-∞-………12分20.（本小题满分12分）以下是某一年,A B 两地的气温曲线与降水量柱状图.A 地B 地其中A 地的气温u （单位C ︒）与月份x 的关系近似为函数21317.25u x x =-+-，且A 地的月平均降水量y （单位mm ）与月份x 的关系近似为函数21( 6.5)20200e x y --=.(Ⅰ)求出A 地月平均降水量y (单位mm )与气温u (单位C ︒)的函数关系式，并作线性变换，用线性函数预测当气温u 为23C ︒时,该月的平均降水量为多少mm ?(Ⅱ)若两地的月降水量均符合正态分布，分别为1~(100,400)Y N ，2~(105,25)Y N ，试根据,A B 两地的降水量柱状图判断1Y ,2Y 所对应的地区，并求出B 地区月降水量超过120mm 的概率．（附：对于函数e kx b y a +=⋅，可变换为，令，，则. 参考数据：若随机变量， (33)99.74%P X μσμσ-≤≤+=.）解:(Ⅰ)由221317.2525( 6.5)u x x x =-+-=--，知225( 6.5)u x -=--，又21( 6.5)20200ex y --=，2520200eu y -∴=………2分两边取对数得25ln ln 20020u y -=+，令ln t y =，则255.320u t -=+，即0.05 4.05t u =+………4分当23u =时， 5.2t =，此时 5.2e e 181.3t y ==≈，∴当气温u 为23C ︒时，预计该月的平均降水量为181.3mm ………6分(Ⅱ)分析,A B 两地的降水量柱状图，可知A 地区的月降水量的波动（方差）较大，B 地区的月降水量的波动（方差）较小，1Y ∴对应A 地，2Y 对应B 地………9分由2~(105,25)Y N 知，105,5,1203μσμσ===+，由(33)99.74%P X μσμσ-≤≤+=，知1(120)(3)(199.74%)0.13%2P X P X μσ>=>+=⨯-=，即B 地区月降水量超过120mm 的概率为0.13%………12分21.(本小题满分12分）若直角坐标平面内两点P Q ,满足条件：①P Q ,的中点M 在()y f x =的图像上；②直线PQ 垂直于曲线302520151050510--400350300250200150100500 气温/℃ 降水量/毫米 123456789101112 月份 302520151050510--400350300250200150100500 气温/℃ 降水量/毫米 123456789101112 月份()y f x =在点M 处的切线，则称P Q ,关于曲线()y f x =对称.(Ⅰ)证明：点1(e ,0)e +与1(e ,2)e-关于曲线()ln f x x =对称；(Ⅱ)若函数1()g x ax x =+(0x >)图像上存在两点A B ,关于曲线()ln f x x =对称，证明：12a <-．证明：(Ⅰ)点1(e ,0)e +与1(e ,2)e-的中点为(e,)1，在()y f x =图像上，满足条件①………1分又点1(e ,0)e +与1(e ,2)e -的连线斜率为02e 11(e )(e )e e-=-+--………2分曲线()ln f x x =在点(e,)1处的切线斜率为1e，即连线垂直于切线，故满足条件②， ∴点1(e ,0)e +与1(e ,2)e-关于曲线ln y x =对称………4分(Ⅱ)设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则AB 的中点M 为1212(,)22y y x x ++，根据条件①，得1212ln 22y y x x++=，12121211()2ln 2x x a x x x x +∴+++=，即1212121()()2ln 2x xa x x x x +++=③………5分根据条件②，1()AB M k f x =-'M x =-，1212122y y x x x x -+∴=--，即1212121211()2x x a x x x x x x -+-+=--，化简得121212x x a x x +=+④………7分将④式代入③式得121212(2)()2ln 22x x x x a x x ++++=，令122x xt +=，则方程等价于2ln 20t at t --=，即2ln 20t at t --=在(0,)t ∈+∞上有解………8分2ln ln 2022t t t at t a t --=⇔=-Q ，令ln ()22t t h t t =-，则221ln ()2t t h t t --'=………9分当01t <<时，()0h t '>，当1t >时，()0h t '<………10分∴()h t 在(0,)1单调递增，在(,)1+∞单调递减，1()(1)2h t h ∴≤=-，12a ∴≤-，当12a =-时，1t =，直线:1AB y x =-+与曲线1()2x g x x =-+(0x >)无交点. 12a ∴<-………12分补充如下:又,A B 的中点(,ln )M t t ，0t >，则:ln ()AB y t t x t -=--联立l n ()1y t t x t y a x x -=--⎧⎪⎨=+⎪⎩，消去y 并整理得22()(ln )10a t x t t x +-++=，此方程有两不等正根，22210ln 0(ln )4()0a tt t a t t t a t ⎧>⎪+⎪+⎪∴>⎨+⎪∆=+-+>⎪⎪⎩，即2220ln 0(ln )4()0a t t t t t a t +>⎧⎪+>⎨⎪∆=+-+>⎩，又ln 22t t a t =-，222ln 02(ln )(ln )0t t t t t t t ⎧+>⎪∴⎨++->⎪⎩，22ln 0t t t ∴+->，令22()ln R t t t t=+-，则()R t 在(0,)+∞上单调递增，且(1)10R =-<，(2)3ln 20R =+>，∴存在0(1,2)t ∈，使得20002ln 0t t t +-=， ln ()22t t h t t ∴=-在0(,)t +∞单调递减，00002001ln ()()22t t h t h t t t t ∴≤=-=-， 0201a t t ∴≤-，其中0t 满足20002ln 0t t t +-=. 请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22．（本小题满分10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3cos sin x t y t =+⎧⎨=⎩αα（t 为参数，[0,π)α∈），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos +1ρρθ=(π[0,],02θρ∈>).(Ⅰ)求曲线2C 的直角坐标方程；(Ⅱ)若1C 与2C 有两个公共点，求tan α的取值范围.解: (Ⅰ)将2C 的极坐标方程22cos +1ρρθ=化为直角坐标系中的普通方程：2221x y x +=+，即22(1)2x y -+=………2分又π[0,],02θρ∈>，则0,0y x ≥≥………4分∴曲线2C 的直角坐标方程为22(1)2x y -+=(0,0)y x ≥≥ (5)(Ⅱ)依题意得曲线1C 是过点(3,0)，倾斜角为α的直线………6分设1:(3)C y k x =-，若22(1)2x y -+=与1C 相切，则满足(1,0)到1:30C kx y k --=， =1k =-，1k =(舍去)………8分当曲线1C 经过点(0,1)时，其斜率13k =-………9分根据图形可知，当113k -<≤-时,1C 与2C 有两个公共点，即tan α的取值范围是1(1,]3--………10分 23．(本小题满分10分）已知函数()|1|||f x ax x a =++-(1a ≥).(Ⅰ)当1a =时，求不等式()(2)1f x f x --<的解集； (Ⅱ)求证：()2f x ≥，并求等号成立的条件.解:(Ⅰ)当1a =时，不等式()(2)1||||131f x f x x x --<⇔+--<………1分当1x <-时，不等式变形为41-<，显然成立，即1x <-………2分当13x -≤≤时，不等式变形为221x -<，解得312x -≤<………3分当3x >时，不等式为41<，显然不成立………4分综上，不等式的解集为3{|}2x x <………5分(Ⅱ)证明：11()||||||||f x a x x a x x a a a =++-≥++-1|()()|x x a a≥+--12a a =+≥………8分当且仅当1a =且11x -≤≤时等号成立………10分。

江西省九江市2020届第二次高考模试考试理科数学(附答案解析)

f
(x)
||
x
1| | 2 | 2x 1|
x
||
的最大值为
m.
(I)求 m 的值;
(II)若 a,b,c 为正数,且 a+b+c=m,求证: bc ac ab 1. ab c
绝密 ★ 启封并使用完毕前
九江市 2020 届第二次高考模拟统一考试
理科数学试题解析版
本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分.全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟. 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的学号、姓名等项内容填写在答题卡上. 2.第 I 卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第 II 卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效. 3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回.
A. {x|-1≤x<2}
B. {x | 1 x 2}
C. {-1,0,1} 2.已知复数 z 满足 z(3-i)=10,则 z=()
D. {0,1}
A.-3-i
B.-3+i
C.3-i
D.3+i
3.已知等比数列{an} 的前
n
项和为 Sn , 且 a1
a3
5, 2
S4
15 2
,
则
a1
()
A. 1
2x y 2 0 14.设 x,y 满足约束条件 2x y 2 0 ，则 z=3x-2y 的最大值是____.
y x 15.如图,在一个底面边长为 2,侧棱长为 10 的正四棱锥 P-ABCD 中,大球 O1 内切于该四棱锥,小球 O2 与大球 O1 及四棱锥的四个侧面相切,则小球 O2 的体积为_____.

2020年江西省九江市高考数学一模试卷(理科)(含解析)

2020年江西省九江市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合M ＝{x|−1≤x <5}，N ＝{x||x|<2}，则M ∩N ＝（） A.{x|−1≤x <2}B.{x|−2<x <5}C.{x|−1≤x <5}D.{x|0<x <2}2.设复数z 满足z(1+i)＝2，则z 在复平面内所对应的点位于（） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知非零向量a →，b →满足|a →|=|b →|，则“|a →+2b →|=|2a →−b →|”是“a →⊥b →”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知实数x ，y 满足约束条件{2x −y ≥0x +2y ≤2x +y ≥0 ，则z ＝x +3y 的最大值为（）A.4B.2C.145D.05.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知13a 3+S 13＝52，则S 9＝（） A.9 B.18 C.27 D.366.已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f(x)＝e x +x ，则a =f(−232)，b ＝f(log 29)，c =f(√5)的大小关系为（） A.a >b >c B.a >c >b C.b >a >c D.b >c >a7.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一卦由六爻组成．其中有一种起卦方法称为“金钱起卦法”，其做法为：取三枚相同的钱币合于双手中，上下摇动数下使钱币翻滚摩擦，再随意抛撒钱币到桌面或平盘等硬物上，如此重复六次，得到六爻．若三枚钱币全部正面向上或全部反面向上，就称为变爻．若每一枚钱币正面向上的概率为12，则一卦中恰有两个变爻的概率为（）A.14B.1564C.240729D.121540968.已知函数f(x)＝Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，且f(a+x)+f(a−x)＝0，则|a|的最小值为（）A.π12B.π6C.π3D.5π129.过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F且斜率大于0的直线l交抛物线于点A，B （点A位于第一象限），交其准线于点C，若|BC|＝3|BF|，且|AF|＝3，则直线AB的方程为（）A.2√2x−y−2√2=0B.√2x−y−2√2=0C.2√2x−y−√2=0 D.√2x−y−√2=010.半正多面体(semiregularsolid)亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形为面的半正多面体．如图所示，图中网格是边长为1的正方形，粗线部分是某二十四等边体的三视图，则该几何体的体积为（）A.83 B.4C.163D.20311.定义a ⊗b ={a,a ≥b b,a <b ，已知函数f(x)=12−sin x ，g(x)=12−cos x ，则函数F(x)＝f(x)⊗g(x)的最小值为（） A.23 B.1C.43D.212.在平面直角坐标系xOy 中，已知A n ，B n 是圆x 2+y 2＝n 2上两个动点，且满足OA n →⋅OB n →=−n 22(n ∈N ∗)，设A n ，B n 到直线x +√3y +n(n +1)=0的距离之和的最大值为a n ，若数列{1a n}的前n 项和S n <m 恒成立，则实数m 的取值范围是（） A.(34,+∞) B.[34,+∞)C.(32,+∞)D.[32,+∞)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 曲线y ＝e x (x 2+2)在点(0, 2)处的切线方程为________．(x +1x −2)4的展开式中x 2的系数为________．在三棱锥A −BCD 中，已知BC =CD =BD =√2AB =√2AD =6，且平面ABD ⊥平面BCD ，则三棱锥A −BCD 外接球的表面积为________．已知双曲线C:x 2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的左右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，点M为双曲线右支上一点，若|F1F2|＝2|OM|，tan∠MF2F1≥2，则双曲线C的离心率的取值范围为________．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知(a−√3b)sinA+ bsinB=csinC．(Ⅰ)求角C的值；(Ⅱ)若sinAsinB=1+√34，c＝2，求△ABC的面积．如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，已知四边形AA1C1C为矩形，AA1＝6，AB＝AC＝4，∠BAC＝∠BAA1＝60∘，∠A1AC的角平分线AD交CC1于D．(Ⅰ)求证：平面BAD⊥平面AA1C1C；(Ⅱ)求二面角A−B1C1−A1的余弦值．已知椭圆C:x 2a +y2b=1(a>b>0)的上顶点为E，左焦点为F，离心率为√22，直线EF与圆x2+y2=12相切．(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；(Ⅱ)设过点F且斜率存在的直线l与椭圆C相交于A，B两点，线段A，B的垂直平分线交x轴于点P，试判断|PF||AB|是否为定值？并说明理由．随着现代社会的发展，我国对于环境保护越来越重视，企业的环保意识也越来越强．现某大型企业为此建立了5套环境监测系统，并制定如下方案：每年企业的环境监测费用预算定为1200万元，日常全天候开启3套环境监测系统，若至少有2套系统监测出排放超标，则立即检查污染源处理系统；若有且只有1套系统监测出排放超标，则立即同时启动另外2套系统进行1小时的监测，且后启动的这2套监测系统中只要有1套系统监测出排放超标，也立即检查污染源处理系统．设每个时间段（以1小时为计量单位）被每套系统监测出排放超标的概率均为p(0<p<1)，且各个时间段每套系统监测出排放超标情况相互独立．(Ⅰ)当p=12时，求某个时间段需要检查污染源处理系统的概率；(Ⅱ)若每套环境监测系统运行成本为300元/小时（不启动则不产生运行费用），除运行费用外，所有的环境监测系统每年的维修和保养费用需要100万元．现以此方案实施，问该企业的环境监测费用是否会超过预算（全年按9000小时计算）？并说明理由．已知函数f(x)＝alnx+x(a∈R)．(Ⅰ)讨论f(x)的单调性；(Ⅱ)若对∀x∈(0, +∞)，f(x)−e x−ax<0恒成立，求a的取值范围．请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{x=1+cosα1−cosαy=2sinα1−cosα（α为参数）．以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为θ=θ0（θ0∈(0, π)），将曲线C1向左平移2个单位长度得到曲线C．(1)求曲线C的普通方程和极坐标方程；(2)设直线l与曲线C交于A，B两点，求1|OA|+1|OB|的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]已知函数f(x)＝x2−x+1，且m，n∈R．(Ⅰ)若m+2n＝2，求f(m)+2f(n)的最小值，并求此时m，n的值；(Ⅱ)若|m−n|<1，求证：|f(m)−f(n)|<2(|m|+1)．2020年江西省九江市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合M ＝{x|−1≤x <5}，N ＝{x||x|<2}，则M ∩N ＝（） A.{x|−1≤x <2}B.{x|−2<x <5}C.{x|−1≤x <5}D.{x|0<x <2} 【解答】∵集合M ＝{x|−1≤x <5}， N ＝{x||x|<2}＝{x|−2<x <2} ∴M ∩N ＝{x|−1≤x <2}2.设复数z 满足z(1+i)＝2，则z 在复平面内所对应的点位于（） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【解答】由z(1+i)＝2，得z =21+i =1−i ，∴z 在复平面内所对应的点的坐标为(1, −1)，位于第四象限．3.已知非零向量a →，b →满足|a →|=|b →|，则“|a →+2b →|=|2a →−b →|”是“a →⊥b →”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解答】|a →+2b →|=|2a →−b →|⇔|a →+2b →|2=|2a →−b →|2⇔a →2+4a →⋅b →+4b →2=4a →2−4a →⋅b →+b →2， ∵|a →|=|b →|≠0，∴|a →+2b →|=|2a →−b →|⇔a →⋅b →=0⇔a →⊥b →，4.已知实数x ，y 满足约束条件{2x −y ≥0x +2y ≤2x +y ≥0 ，则z ＝x +3y 的最大值为（）A.4B.2C.145D.0如图，作出可行域，当直线l:x +3y ＝0，平移至经过点A(25,45)时， z ＝x +3y 取得最大值145．5.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知13a 3+S 13＝52，则S 9＝（） A.9 B.18 C.27 D.36【解答】根据题意，等差数列{a n }中，13a 3+S 13＝13a 3+13a 7＝52，变形可得a 3+a 7＝4，则有a 5=a 3+a 72=2，故S 9＝9a 5＝9×2＝18，6.已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f(x)＝e x +x ，则a =f(−232)，b ＝f(log 29)，c =f(√5)的大小关系为（） A.a >b >c B.a >c >b C.b >a >c D.b >c >a【解答】依题意得a =f(−232)=f(232)； ∵√5<232=2√2<3<log 29；∵当x ≥0时，f(x)在[0, +∞)上单调递增； ∴f(log 29)>f(232)>f(√5)；即b >a >c ；7.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一卦由六爻组成．其中有一种起卦方法称为“金钱起卦法”，其做法为：取三枚相同的钱币合于双手中，上下摇动数下使钱币翻滚摩擦，再随意抛撒钱币到桌面或平盘等硬物上，如此重复六次，得到六爻．若三枚钱币全部正面向上或全部反面向上，就称为变爻．若每一枚钱币正面向上的概率为12，则一卦中恰有两个变爻的概率为（） A.14B.1564C.240729D.12154096由已知可得三枚钱币全部正面或反面向上的概率p =2×(12)3=14得到六爻实际为六次独立重复试验， ∴一卦中恰有两个变爻的概率为： P(x =2)=C 62×(14)2×(34)4=121540968.已知函数f(x)＝Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，且f(a +x)+f(a −x)＝0，则|a|的最小值为（）A.π12 B.π6C.π3D.5π12【解答】解由图象易知，A ＝2，T =43(11π12−π6)=π， ∴ω＝2，又2×π6+φ=2kπ+π2， ∴φ=2kπ+π6(k ∈Z)， ∵|φ|<π2， ∴φ=π6，∴f(x)=2sin(2x +π6)， ∵f(a +x)+f(a −x)＝0， ∴f(x)关于点(a, 0)对称，即有2a +π6=kπ,k ∈Z ， ∴a =kπ2−π12,k ∈Z ，∴|a|的最小值为π12，9.过抛物线y 2＝2px(p >0)的焦点F 且斜率大于0的直线l 交抛物线于点A ，B （点A 位于第一象限），交其准线于点C ，若|BC|＝3|BF|，且|AF|＝3，则直线AB的方程为（）A.2√2x−y−2√2=0B.√2x−y−2√2=0C.2√2x−y−√2=0D.√2x−y−√2=0【解答】作AA1⊥准线于A1，BB1⊥准线于B1，FF1⊥AA1于F1．在Rt△BCB1中，cos∠CBB1=|BB1||BC|=|BF||BC|=13，所以tan∠CBB1=2√2，所以直线l的斜率为2√2，又△BCB1∼△AFF1，所以|AF1|=13|AF|=1，∴p＝|A1F1|＝2，所以直线AB的方程为y=2√2(x−1)，即2√2x−y−2√2=0，10.半正多面体(semiregularsolid)亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形为面的半正多面体．如图所示，图中网格是边长为1的正方形，粗线部分是某二十四等边体的三视图，则该几何体的体积为（）A.83B.4 C.163D.203【解答】如图所示，图中红色的部分为该二十四等边体的直观图；由三视图可知，该几何体的棱长为√2，它是由棱长为2的正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得到的，所以该几何体的体积为：V =2×2×2−8×13×12×1×1×1=203．11.定义a ⊗b ={a,a ≥b b,a <b ，已知函数f(x)=12−sin 2x ，g(x)=12−cos 2x ，则函数F(x)＝f(x)⊗g(x)的最小值为（） A.23 B.1C.43D.2【解答】依题意得F(x)≥f(x)，F(x)≥g(x)，则2F(x)≥f(x)+g(x)， f(x)+g(x)=12−sin 2x +12−cos 2x=13(12−sin 2x +12−cos 2x )[(2−sin 2x)+(2−cos 2x)] =13(2+2−cos 2x 2−sin 2x +2−sin 2x 2−cos 2x )≥13(2+2√2−cos 2x 2−sin 2x ⋅2−sin 2x 2−cos 2x )=43（当且仅当2−cos 2x2−sin x =2−sin 2x2−cos x ，即sin 2x =cos 2x =12时“＝”成立．此时，f(x)=g(x)=23，∴2F(x)≥43，∴F(x)的最小值为23，12.在平面直角坐标系xOy 中，已知A n ，B n 是圆x 2+y 2＝n 2上两个动点，且满足OA n →⋅OB n →=−n 22(n ∈N ∗)，设A n ，B n 到直线x +√3y +n(n +1)=0的距离之和的最大值为a n ，若数列{1a n}的前n 项和S n <m 恒成立，则实数m 的取值范围是（） A.(34,+∞) B.[34,+∞)C.(32,+∞)D.[32,+∞)【解答】由OA n →⋅OB n →=−n 22，可得∠A n OB n ＝120∘，设线段A n B n 的中点为∁n ，则∁n 在圆x 2+y 2=n 24上，A n ，B n 到直线x +√3y +n(n +1)=0的距离之和等于点∁n 到该直线的距离的两倍．点∁n 到直线距离的最大值为圆心到直线的距离与圆的半径之和， ∴a n =2[n(n+1)2+n2]=n 2+2n ，∴1a n=1n 2+2n =12(1n −1n+2)，∴S n=12(1+12−1n+1−1n+2)<34，∴m≥34，二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 曲线y＝e x(x2+2)在点(0, 2)处的切线方程为________．【解答】∵f′(x)＝e x(x2+2x+2)，∴f′(0)＝2，又∵f(0)＝2，∴所求切线方程为y−2＝2x，即y＝2x+2．(x+1x−2)4的展开式中x2的系数为________．【解答】∵(x+1x −2)4=(x2−2x+1)4x=(x−1)8x，∵(x−1)8中x6的系数为∁82=28．∴展开式中x2的系数为C82=28．在三棱锥A−BCD中，已知BC=CD=BD=√2AB=√2AD=6，且平面ABD⊥平面BCD，则三棱锥A−BCD外接球的表面积为________．【解答】在等边三角形BCD中，取BD的中点F，设等边三角形BCD的中心为O，连接AF，CF，OA．由BC＝6，得BO=CO=DO=23CF=2√3，OF=√3，由已知可得△ABD是以BD为斜边的等腰直角三角形，∴AF⊥BD，又由已知可得平面ABD⊥平面BCD，∴AF⊥平面BCD，∴AF⊥OF，OA=√OF2+AF2=2√3，∴O为三棱锥A−BCD外接球的球心，外接球半径R=OC=2√3，∴三棱锥A−BCD外接球的表面积为4π×(2√3)2=48π．已知双曲线C:x 2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的左右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，点M为双曲线右支上一点，若|F1F2|＝2|OM|，tan∠MF2F1≥2，则双曲线C的离心率的取值范围为________．【解答】法一：∵|F1F2|＝2|OM|，∴∠F1MF2=π2，∴4c2=|MF1|2+|MF2|2，tan∠MF2F1=|MF1||MF2|，∵|MF1|−|MF2|＝2a，∴e2=4c24a2=|MF1|2+|MF2|2(|MF1|−|MF2|)2=|MF1|2+|MF2|2|MF2|2|MF1|2−2|MF1||MF2|+|MF2|2|MF2|2，设|MF1||MF2|=t≥2，则e2=t2+1t2−2t+1=1+2t+1t−2，∴t+1t ≥2+12=52，∴1<e2≤5，∴1<e≤√5．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知(a−√3b)sinA+ bsinB=csinC．(Ⅰ)求角C的值；(Ⅱ)若sinAsinB=1+√34，c＝2，求△ABC的面积．【解答】（1）由(a−√3b)sinA+bsinB=csinC及正弦定理得(a−√3b)a+b2=c2，即a2+b2−c2=√3ab’由余弦定理得cosC=a 2+b2−c22ab=√32∵0<C<π，∴C=π6（2）：设△ABC外接圆的半径为R，则由正弦定理得2R=csinC =2sinπ6=4∴a＝2RsinA＝4sinA，b＝2RsinB＝4sinB，∴ab=16sinAsinB=4(1+√3)∴S△ABC=12absinC=12×4(1+√3)×12=1+√3．如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，已知四边形AA1C1C为矩形，AA1＝6，AB＝AC＝4，∠BAC＝∠BAA1＝60∘，∠A1AC的角平分线AD交CC1于D．(Ⅰ)求证：平面BAD⊥平面AA1C1C；(Ⅱ)求二面角A−B1C1−A1的余弦值．【解答】（1）如图，过点D 作DE // AC 交AA 1于E ，连接CE ，BE ，设AD ∩CE ＝O ，连接BO ，∵AC ⊥AA 1，∴DE ⊥AE ，又AD 为∠A 1AC 的角平分线，∴四边形AEDC 为正方形，∴CE ⊥AD ，又∵AC ＝AE ，∠BAC ＝∠BAE ，BA ＝BA ，∴△BAC ≅△BAE ，∴BC ＝BE ，又∵O 为CE 的中点，∴CE ⊥BO ，又∵AD ，BO ⊂平面BAD ，AD ∩BO ＝O ，∴CE ⊥平面BAD ．又∵CE ⊂平面AA 1C 1C ，∴平面BAD ⊥平面AA 1C 1C ．（2）在△ABC 中，∵AB ＝AC ＝4，∠BAC ＝60∘，∴BC ＝4，在Rt △BOC 中，∵CO =12CE =2√2，∴BO =2√2，又AB ＝4，AO =12AD =2√2，∵BO 2+AO 2＝AB 2，∴BO ⊥AD ，又BO ⊥CE ，AD ∩CE ＝O ，AD ，CE ⊂平面AA 1C 1C ，∴BO ⊥平面AA 1C 1C ，故建立如图空间直角坐标系O −xyz ，则A(2, −2, 0)，A 1(2, 4, 0)，C 1(−2, 4, 0)，B 1(0,6,2√2)， ∴C 1B 1→=(2,2,2√2)，AC 1→=(−4,6,0)，C 1A 1→=(4,0,0)，设平面AB 1C 1的一个法向量为m →=(x 1,y 1,z 1)，则{m →⊥C 1B 1→m →⊥AC 1→，∴{−4x 1+6y 1=02x 1+2y 1+2√2z 1=0，令x 1＝6，得m →=(6,4,−5√2)，设平面A 1B 1C 1的一个法向量为n →=(x 2,y 2,z 2)，则{n →⊥C 1B 1→n →⊥C 1A 1→，∴{4x 2=02x 2+2y 2+2√2z 2=0 ，令y 2=√2，得n →=(0,√2,−1)， ∴cos <m →,n →>=m →⋅n→|m →|⋅|n →|=√2√102⋅√3=3√1717，故二面角A −B 1C 1−A 1的余弦值为3√1717．已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的上顶点为E ，左焦点为F ，离心率为√22，直线EF 与圆x 2+y 2=12相切． (Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)设过点F 且斜率存在的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，线段A ，B 的垂直平分线交x 轴于点P ，试判断|PF||AB|是否为定值？并说明理由．【解答】（1）如图，∵e =ca =√22，∴a =√2c ，b ＝c ，直线EF 的方程为x −y +c ＝0，∵直线EF 与圆x 2+y 2=12相切， ∴2=√22，∴c =1,a =√2,b =1，∴椭圆C 的标准方程为x 22+y 2=1；（2）设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，P(x 0, 0)，设直线l:y ＝k(x +1)，联立{y =k(x +1)x 22+y 2=1，消去y 得(2k 2+1)x 2+4k 2x +2k 2−2＝0，∴x 1+x 2=−4k 22k 2+1，x 1x 2=2k 2−22k 2+1，∴|AB|=2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+k 2⋅√(−4k 22k 2+1)2−4⋅2k 2−22k 2+1=2√2(k 2+1)2k 2+1，法一：∵P 在线段AB 的垂直平分线上，∴|PA|＝|PB|，∴(x 1−x 0)2+y 12=(x 2−x 0)2+y 22⋯⋯⋯① ∵A ，B 在椭圆C 上，∴y 12=1−x 122，y 22=1−x 222，代入①得(x 1−x 0)2+1−x 122=(x 2−x 0)2+1−x 222，化简得x 0=14(x 1+x 2)，∴|PF|=|x 0+1|=|14(x 1+x 2)+1|=|1+14⋅−4k 22k 2+1|=k 2+12k 2+1．法二：线段AB 的中点为(−2k 22k 2+1,k2k 2+1)，∴线段AB 的垂直平分线为−k(y −k 2k 2+1)=x +2k 22k 2+1，令y ＝0，得x 0=−k 22k 2+1，∴|PF|=|x 0+1|=|1−k 22k 2+1|=k 2+12k 2+1， ∴|PF||AB|=k 2+12k 2+12√2(k 2+1)2k 2+1=√24，故|PF||AB|为定值√24．随着现代社会的发展，我国对于环境保护越来越重视，企业的环保意识也越来越强．现某大型企业为此建立了5套环境监测系统，并制定如下方案：每年企业的环境监测费用预算定为1200万元，日常全天候开启3套环境监测系统，若至少有2套系统监测出排放超标，则立即检查污染源处理系统；若有且只有1套系统监测出排放超标，则立即同时启动另外2套系统进行1小时的监测，且后启动的这2套监测系统中只要有1套系统监测出排放超标，也立即检查污染源处理系统．设每个时间段（以1小时为计量单位）被每套系统监测出排放超标的概率均为p(0<p <1)，且各个时间段每套系统监测出排放超标情况相互独立．(Ⅰ)当p =12时，求某个时间段需要检查污染源处理系统的概率； (Ⅱ)若每套环境监测系统运行成本为300元/小时（不启动则不产生运行费用），除运行费用外，所有的环境监测系统每年的维修和保养费用需要100万元．现以此方案实施，问该企业的环境监测费用是否会超过预算（全年按9000小时计算）？并说明理由．【解答】（1）∵某个时间段在开启3套系统就被确定需要检查污染源处理系统的概率为C 32(12)3+C 33(12)3=12，某个时间段在需要开启另外2套系统才能确定需要检查污染源处理系统的概率为C 31(12)3[1−(12)2]=932，∴某个时间段需要检查污染源处理系统的概率为12+932=2532；（2）设某个时间段环境监测系统的运行费用为X 元，则X 的可能取值为900，1500，∵P(X =1500)=C 31p(1−p)2，P(X =900)=1−C 31p(1−p)2， ∴E(X)=900×[1−C 31p(1−p)2]+1500×C 31p(1−p)2=900+1800p(1−p)2，令g(p)＝p(1−p)2，p ∈(0, 1)，则g ′(p)＝(1−p)2−2p(1−p)＝(3p −1)(p −1)，当p ∈(0,13)时，g ′(p)>0，g(p)在(0,13)上单调递增；当p ∈(13,1)时，g ′(p)<0，g(p)在上(13,1)单调递减， ∴g(p)的最大值为g(13)=427，∴实施此方案，最高费用为100+9000×(900+1800×427)×10−4=1150（万元），∵1150<1200，故不会超过预算．已知函数f(x)＝alnx +x(a ∈R)． (Ⅰ)讨论f(x)的单调性；(Ⅱ)若对∀x ∈(0, +∞)，f(x)−e x −ax <0恒成立，求a 的取值范围．【解答】（1）f ′(x)=ax +1=x+a x，①当a <0时，由f′(x)>0得x >−a ，f′(x)<0得0<x <−a ， ∴f(x)在(0, −a)上单调递减，在(−a, +∞)上单调递增； ②当a ≥0时，f′(x)>0恒成立， ∴f(x)在(0, +∞)上单调递增；（2）由f(x)−e x −ax <0得a(x −lnx)>x −e x ，令s(x)＝x −e x (x >0)，则s ′(x)＝1−e x <0， ∴s(x)在(0, +∞)上单调递减， ∴s(x)<s(0)＝−1，∴s(x)<0，即x−e x<0，同理可得x−lnx>0，∴a>x−e xx−lnx(∗)，当a≥0时，∵x−e xx−lnx<0，∴(∗)式恒成立，即f(x)−e x−ax<0恒成立，满足题意．当a<0时，由x−e xx−lnx<0恒成立可知，(∗)式不可能恒成立；综上所述，a的取值范围是[0, +∞)．请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{x=1+cosα1−cosαy=2sinα1−cosα（α为参数）．以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为θ=θ0（θ0∈(0, π)），将曲线C1向左平移2个单位长度得到曲线C．(1)求曲线C的普通方程和极坐标方程；(2)设直线l与曲线C交于A，B两点，求1|OA|+1|OB|的取值范围．【解答】解：(1)∵x=1+cosα1−cosα=2cos2α22sin2α2=cos2α2sin2α2，y=2sinα1−cosα=4sinα2cosα22sin2α2=2cosα2sinα2，∴y2=4cos 2α2sin2α2=4x，即曲线C1的普通方程为y2=4x，依题意得曲线C的普通方程为y2=4(x+2)．令x=ρcosθ，y=ρsinθ得曲线C的极坐标方程为ρ2sin2θ−4ρcosθ−8=0.(2)将θ=θ0代入曲线C的极坐标方程得ρ2sin2θ0−4ρcosθ0−8=0，则ρ1+ρ2=4cosθ0sin2θ0，ρ1ρ2=−8sin2θ0，∵ρ1ρ2<0，∴ρ1，ρ2异号．∴1|OA|+1|OB|=1|ρ1|+1|ρ2|=|ρ1−ρ2||ρ1ρ2|=√(ρ1+ρ2)2−4ρ1ρ212=√(4cosθ0sin 2θ0)2+32sin 2θ08sin 2θ0=1√20∵θ0∈(0, π)， ∴sinθ0∈(0, 1]， ∴1|OA|+1|OB|∈(12,√22]． [选修4-5：不等式选讲]已知函数f(x)＝x 2−x +1，且m ，n ∈R ．(Ⅰ)若m +2n ＝2，求f(m)+2f(n)的最小值，并求此时m ，n 的值； (Ⅱ)若|m −n|<1，求证：|f(m)−f(n)|<2(|m|+1)．【解答】（1）f(m)+2f(n)＝(m 2+2n 2)−(m +2n)+3＝m 2+2n 2+1，法一：∵m +2n ＝2， ∴m ＝2−2n ，∴f(m)+2f(n)=(2−2n)2+2n 2+1=6n 2−8n +5=6(n −23)2+73≥73， ∴f(m)+2f(n)的最小值为73，此时m =n =23；法二：∵m 2+2n 2=13(3m 2+6n 2)=13[m 2+2(m 2+n 2)+4n 2]≥13(m 2+4mn +4n 2)=13(m +2n)2=43，∴f(m)+2f(n)≥43+1=73，即f(m)+2f(n)的最小值为73，此时m =n =23；法三：由柯西不等式得：m 2+2n 2=13(m 2+n 2+n 2)(12+12+12)≥13(m +n +n)2=13(m +2n)2=43， ∴f(m)+2f(n)≥43+1=73，即f(m)+2f(n)的最小值为73，此时m =n =23；（2）证明：∵|m−n|<1，∴|f(m)−f(n)|＝|(m2−n2)−(m−n)|＝|m−n|⋅|m+n−1|<|m+ n−1|，又|m+n−1|＝|(n−m)+(2m−1)|≤|m−n|+|2m−1|<1+(2|m|+ 1)＝2(|m|+1)，∴|f(m)−f(n)|<2(|m|+1)．。

2020年江西省九江市高考数学一模试卷(理科)(有解析)

2020年江西省九江市高考数学一模试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合M ={x|x ≥−1}，N ={x|−2<x <2}，则M ∩N =( )A. (−∞,−1]B. [−1,2)C. (−1,2]D. (2,+∞)2. 已知复数z =i(−2−i)，则该复数在复平面内对应的点在第( )象限A. 一B. 二C. 三D. 四3. 已知向量m⃗⃗⃗ =(−1,2)，n ⃗ =(λ,−4)，若m ⃗⃗⃗ ⊥n ⃗ ，则|2m ⃗⃗⃗ −n ⃗ |=( ) A. 6√2 B. 10 C. 8√2 D. 124. 已知变量x ，y 满足约束条件{y ≤2x +y ≥4x −y ≤1则z =3x +y 的最小值为( )A. 11B. 12C. 8D. 35. 设等差数列{a n }的前n 项和S n =2n 2+an ，且a 1=3，则a =( )A. −2B. −1C. 0D. 16. 已知奇函数f (x )在R 上是增函数，g (x )=xf (x ).若a =g (−log 25.1)，b =g (20.8)，c =g (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A. a <b <cB. c <b <aC. b <a <cD. b <c <a7. 一枚硬币连掷3次，恰有一次出现正面的概率是( )A. 38B. 23C. 13D. 148. 函数f (x )=Asin (ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，则φ=( )A. π6 B. π3 C. −π6 D. −π39. 已知抛物线y 2=8x 的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，交准线于点C.若|BC|=√2|BF|，则|AB|=( )A. 12B. 14C. 16D. 2810. 某几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是两个全等的等腰直角三角形，直角边长为4，俯视图(外围)为正方形，则该几何体的体积为( )A. 323 B. 643 C. 32 D. 6411. 已知函数f(x)=x 2+(a +8)x +a 2+a −12(a <0)，且f(a 2−4)=f(2a −8)，则f (n )−4a n+1(n ∈N ∗)的最小值为( )A. 374B. 358C. 283D. 27412. 已知直线x +y =2a 与圆x 2+y 2=4交于A ，B 两点，O 是坐标原点，且OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则实数a 的值为( )A. 2B. 2或−2C. 1或−1D. √6或−√6二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 曲线y =e −5x +2在点(0,3)处的切线方程为______ ． 14. (x 2+2x )5的展开式中x 4的系数为________．15. 在三棱锥P −ABC 中，△ABC 是等边三角形，PB ⊥底面ABC ，AB =2√3，PB =2，则该三棱锥的外接球的表面积为______．16. 已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2−y 2=1的左、右焦点，点P 在双曲线C 上，∠F 1PF 2=60°，则|PF 1|·|PF 2|=________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知a 2−b 2=bc ，2sinB −sinC =0，求角A 的大小．18.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面ABB1A1是矩形，∠BAC=90°，AA1⊥BC，AA1=AC=2AB=4，且BC1⊥A1C.(1)求证：平面ABC1⊥平面A1ACC1；(2)设D是A1C1的中点，判断并证明在线段BB1上是否存在点E，使得DE//平面ABC1.若存在，求二面角E−AC1−B的余弦值．19.已知椭圆C的中心为原点，焦点在x轴上，离心率为√22，过F1的直线交椭圆C于A、B两点，且△ABF2的周长为16，(1)求椭圆C的标准方程．(2)若直线l：y=x+1与椭圆C交于M，N两点，求线段MN的长．20.某市环保研究所对市中心每天环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合污染指数f(x)与时间x(小时)的关系为f(x)=|xx2+1+13−a|+2a，x∈[{0,24}]，其中a与气象有关的参数，且a ∈[0,34]，若用每天f(x)的最大值为当天的综合污染指数，并记作M(a)． (1)令t =xx 2+1,x ∈[0,24]，求t 的取值范围； (2)求函数M(a)；(3)市政府规定，每天的综合污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合污染指数是多少？是否超标？21. 已知函数f(x)=e x −ax(a ∈R)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若m ∈(0,+∞)时，f (x )+ax −ln (x +m )−1>0恒成立，求实数m 的取值范围．22. 选修4−4：坐标系与参数方程已知曲线C 的参数方程为{x =−1+2cosθy =1+2sinθ(θ为参数).以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(Ⅰ)求曲线C 的极坐标方程；(Ⅱ)若直线l ：θ=α(α∈[0, π), ρ∈R)与曲线C 相交于A 、B 两点，设线段AB 的中点为M ，求|OM|的最大值．23.已知函数f(x)=2m−|2x−1|，m∈R，且f(x+12)≥0的解集为{x|−1≤x≤1}．(1)求m的值；(2、)若a，b，c都为正数，且1a +12b+14c=m，证明：a+2b+4c≥9．【答案与解析】1.答案：B解析：本题考查了交集的运算，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．先分别求出集合M，N，由此利用交集运算，即可求出M∩N．解：∵集合M={x|x≥−1}，N={x|−2<x<2}，∴M∩N={x|−1≤x<2}．故选B．2.答案：D解析：本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．利用复数代数形式的乘法运算化简，求出z的坐标得答案．解：∵z=i(−2−i)=1−2i，∴该复数在复平面内对应的点的坐标为(1,−2)，在第四象限．故选：D．3.答案：B解析：解：∵向量m⃗⃗⃗ =(−1,2)，n⃗=(λ,−4)，m⃗⃗⃗ ⊥n⃗，∴m⃗⃗⃗ ⋅n⃗=−λ−8=0，∴λ=−8，∴n⃗=(−8,−4)，∴|2m⃗⃗⃗ −n⃗|=|(6,8)|=√62+82=10，故选：B．根据m⃗⃗⃗ ⊥n⃗，可得m⃗⃗⃗ ⋅n⃗=−λ−8=0，求出λ即可进一步得到|2m⃗⃗⃗ −n⃗|.本题考查平面向量的数量积与垂直的关系和向量的模，属基础题．4.答案：C解析：解：由约束条件{y ≤2x +y ≥4x −y ≤1作出可行域如图，联立{y =2x +y =4，解得A(2,2)，化目标函数z =3x +y 为y =−3x +z ，由图可知，当直线y =−3x +z 过A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最小值为z =3×2+2=8．故选：C ．作出不等式组对应的平面区域，利用绵竹市的几何意义，通过数形结合即可的得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．5.答案：D解析：本题考查等差数列的前n 项和．由a 1=S 1代入可直接得答案．解：因为数列{a n }为等差数列，S n =2n 2+an ，所以a 1=S 1=2+a =3，解得a =1．故选D ．6.答案：C解析：比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式．解：因为f (x )是奇函数且在R 上是增函数，所以在x >0时，f (x )>0，从而g (x )=xf (x )是R 上的偶函数，且在[0,+∞)上是增函数， a =g (−log 25.1)=g (log 25.1)，20.8<2，又4<5.1<8，则2<log 25.1<3，所以即0<20.8<log 25.1<3，g(20.8)<g(log25.1)<g(3)，所以b<a<c，故选C．7.答案：A解析：本题考查古典概型的概率公式，属于简单题．列举出三次结果的可能情况数，即得到基本事件总数，然后满足恰有一面为正的有3种，根据古典概型概率公式即可解答．解：三次结果出现的可能性有：(正正正)(正正反)(正反正)(正反反)(反正正)(反正反)(反反正)(反反反)共8种，恰有一次正面朝上的有3次，所以所求概率为38，故选A．8.答案：B解析：此题考查y=Asin(ωx+φ)的部分图像确定其解析式，属于基础题．由题意结合函数的图象，求出A，得到周期T，根据周期公式求出ω，根据函数的图象经过(π12,2)，求出φ即可．解：根据图像得到：A=2,T4=π3−π12=π4,∴T=π,∴2πω=π,∴ω=2，∴f(x)=2sin(2x+φ)，将点(π12,2)代入得到2sin(π6+φ)=2,|φ|<π2，∴φ=π3，故选B ．9.答案：C解析：本题考查了抛物线的性质，属中档题．过A，B分别作准线的垂线，垂足为M，N，∵|BC|=√2|BF|，且|BF|=|BN|，所以|BN||BC|=√22，∴直线AB的倾斜角为45°，斜率为1，所以直线AB的方程为y=x−2，再联立直线与抛物线，根据韦达定理以及抛物线的定义可得．抛物线y2=8x,p=4，分别过A，B作准线的垂线，垂足为M，N，如图所示．由抛物线的定义，知|AM|=|AF|,|BN|=|BF|，∵BN//x轴，∴|BN|p =|BC||CF|，又∵|BC|=√2|BF|，∴|BF|p=√2|BF|2|BF|+|BF|，解得|BF|=8−4√2.∴|CF|=|CB|+|BF|=4√2．∵AM//x轴，∴p|AM|=|CF||CA|，∴p|AF|=√24√2+|AF|，解得|AF|=8+4√2,，∴|AB|=|AF|+|BF|=16．故选C．10.答案：B解析：根据三视图知几何体为一直四棱锥，结合图中数据求出该四棱锥的体积．本题考查了由三视图求几何体体积的应用问题，解题的关键是判断几何体的形状，是基础题．解：由三视图知几何体为四棱锥，且其中一条侧棱垂直于底面，其直观图如图所示；∵正视图和侧视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形，∴四棱锥的底面是正方形，且边长为4，其中一条侧棱垂直于底面且侧棱长也为4，∴该四棱锥的体积为13×42×4=643．故选：B．11.答案：A解析：解：函数f(x)=x2+(a+8)x+a2+a−12(a<0)的对称轴为x=−a+82，由题意可得a2−4=2a−8或a2−4+2a−8=2×(−a+82)，解得a=1或a=−4，由a<0，可得a=−4，f(x)=x2+4x，即有f(n)=n2+4n，则f(n)−4an+1=n2+4n+16n+1=(n+1)2+2(n+1)+13n+1=(n+1)+13n+1+2≥2√(n+1)⋅13n+1+2=2√13+2，当且仅当n+1=13n+1即n=√13−1时取等号，但n为正整数，且√13−1∈(2,3)，由当n=2时，n2+4n+16n+1=283；当n=3时，n2+4n+16n+1=374<283．故当n=3时原式取最小值374．故选：A．求出f(x)的对称轴，由题意可得a2−4=2a−8或a2−4+2a−8=2×(−a+82)，解得a的值，取负的，化简可得f(x)的解析式，即有f(n)，代入由基本不等式，注意n为正整数，计算即可得到所求最小值．本题考查二次函数解析式的求法，注意运用对称性，考查基本不等式的运用，注意等号成立的条件，考查运算能力，属中档题．12.答案：C解析：本题考查了平面向量数量积的运算以及点到直线的距离公式，属于中等题．由向量的垂直结合直线与圆的为关系，转化为点到直线的距离求a ．解：因为OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，故圆x 2+y 2=4的圆心到直线x +y −2a =0的距离d =√2=√2，求得a =±1;故选C ． 13.答案：y =−5x +3解析：利用导数的几何意义求得切线的斜率，点斜式写出切线方程．本题主要考查利用导数的几何意义求曲线的切线方程，属基础题．解：y′=−5e −5x ，∴令x =0,y′=−5，∴曲线y =e −5x +2在点(0,3)处的切线方程为y −3=−5x ，即y =−5x +3．故答案为：y =−5x +3．14.答案：40解析：本题考查二项展开式的特定项与特定项的系数．求出二项展开式的通项，计算可得结果．解：根据题意得，T r+1=C 5r (x 2)5−r (2x )r =C 5r 2r x 10−3r ，令10−3r =4，得r =2， ∴(x 2+2x )5的展开式中x 4的系数为C 5222=40．故答案为40．15.答案：20π解析：解：如图，M为底面中心，N为PB中点，OM⊥平面ABCON⊥PB，在Rt△BMO中，BM=2，OM=1，OB=R，可得R=√5，故外接球表面积为：20π．故答案为：20π．设底面中心为M，PB中点为N，作图找到球心O的位置，OM⊥平面ABC，ON⊥PB，利用直角三角形建立方程求得半径，面积．此题考查了三棱锥外接球问题，难度适中．16.答案：4解析：本题主要考查双曲线性质和定义的应用，同时考查余弦定理的应用．根据余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2−2|PF1||PF2|cos60°关系，再由双曲线的定义得|PF1|−|PF2|=2，从而可解得|PF1|⋅|PF2|.解：在双曲线x2−y2=1中，a=b=1，c=√2，设P在右支上，则|PF1|−|PF2|=2a=2，∵∠F1PF2=60°，∴|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2−2|PF1||PF2|cos60°=(|PF1|−|PF2|)|2+2|PF1||PF2|−|PF1||PF2|，即4c2=4a2+|PF1|⋅|PF2|，即|PF1|⋅|PF2|=4c2−4a2=4b2=4，故答案为4．17.答案：解：在△ABC中，∵2sinB−sinC=0，∴2b−c=0，即c=2b．由cosA=b2+c2−a22bc ，a2−b2=bc，可得cosA=c2−bc2bc=4b2−2b24b2=12，∴A=60°．解析：由条件利用正弦定理求得c=2b，再由余弦定理以及a2−b2=bc，求得cos A的值，从而求得A的值．本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，根据三角函数的值求角，属于基础题．18.答案：证明：(1)在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面ABB1A1是矩形，∴AA1⊥AB，又AA1⊥BC，AB∩BC=B，∴AA1⊥平面ABC，∴A1A⊥AC，又A1A=AC，∴A1C⊥AC1.又BC1⊥A1C，BC1∩AC1=C1，∴A1C⊥平面ABC1，又A1C⊂平面A1ACC1，∴平面ABC1⊥平面A1ACC1；解：(2)当E为B1B的中点时，连接AE、EC1、DE，如图，取A1A的中点F，连接EF、FD，∵EF//AB，DF//AC1，又EF∩DF=F，AB∩AC1=A，∴平面EFD//平面ABC1，则有DE//平面ABC1，设点E 到平面ABC 1的距离为d ，∵AB ⊥AC ，且AA 1⊥AB ，∴AB ⊥平面A 1ACC 1，∴AB ⊥AC 1，∴S △BAC 1=12×4√2×2=4√2， ∵A 1A ⊥AC ，AB ⊥AC ，∴AC ⊥平面A 1ABB 1，∵AC//A 1C 1，∴A 1C 1⊥平面 1ABB 1，∴V C 1−ABE =13×S △ABE ×A 1C 1=13×12×2×2×4=83，由V E−ABC 1 =V C 1−ABE =83，解得d =3×83S △ABC 1=3834√2=√2．以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，AA 1为z 轴，建立空间直角坐标系，A(0,0，0)，B(2,0，0)，C 1(0,4，4)，E(2,0，2)，AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4，4)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0，0)，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0，2)，设平面AC 1E 的法向量n⃗ =(x,y ，z)，则{n ⃗ ⋅AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4y +4z =0n⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2x +2z =0，取x =1，得n ⃗ =(1,1，−1)，设平面AC 1B 的法向量m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)，则{m ⃗⃗⃗ ⋅AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4y +4z =0m⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2x =0，取y =1，得m ⃗⃗⃗ =(0,1，−1)，设二面角的平面角为θ，则cosθ=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=3⋅2=√63． ∴二面角E −AC 1−B 的余弦值为√63．解析：(1)推导出AA 1⊥AB ，A 1A ⊥AC ，从而A 1C ⊥平面ABC 1，由此能证明平面ABC 1⊥平面A 1ACC 1；(2)当E 为B 1B 的中点时，连接AE ，EC 1，DE ，取A 1A 的中点F ，连接EF ，FD ，设点E 到平面ABC 1的距离为d ，由V E−ABC 1 =V C 1−ABE ，求出d =√2.以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，AA 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E −AC 1−B 的余弦值．本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．19.答案：解：(1)设椭圆的长轴是2a ，短轴是2b ，焦距是2c ；则离心率e =c a =√22，∴4a =|AF 1|+|AF 2|+|BF 1|+|BF 2|=16，∴a =4，∴c =√22×4=2√2，∴b 2=a 2−c 2=42−(2√2)2=8，∴椭圆的方程是x 216+y 28=1．(2)设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)由{x 216+y 28=1y =x +1消y 得3x 2+4x −14=0， ∴x 1+x 2=−43，x 1x 2=−143， ∴|MN |=√2|x 1−x 2|=√2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√2(169+4×143)=4√233，即线段MN 的长为4√233．解析：本题考查了椭圆的定义与简单的几何性质的应用问题，及直线与椭圆的位置关系，是基础题．(1)由椭圆的定义与性质，求出a 、b 的值，即可写出椭圆的方程．(2)将直线与椭圆的方程联立，根据韦达定理和弦长公式可求解．20.答案：解：(1)∵t =x x 2+1,x ∈[0,24]，x =0时，t =0.0<x ≤24时，t =1x+1x ,x +1x ≥2，∴0<t ≤12.∴t ∈[0,12].(4分) (2)令g(x)=|t +13−a|+2a,t ∈[0,12]．当a −13<14，即0≤a <712时，[g(x)]max =g(12)=|56−a|+2a =a +56；当a −13≥14，即712≤a ≤34时，[g(x)]max =g(0)=|13−a|+2a =3a −13．所以M(a)={a +56,0≤a <7123a −13,712≤a ≤34(10分) (3)当a ∈[0,712)时，M(a)是增函数，M(a)<M(712)=1712<2；当a ∈[712,34]时，M(a)是增函数，M(a)≤M(34)=2312<2．综上所述，市中心污染指数是2312，没有超标．(15分)解析：(1)先对所给函数式的分子分母同除以x ，再利用基本不等式求t 的取值范围即可；(2)令g(x)=|t +13−a|+2a,t ∈[0,12].下面分类讨论：当a −13<14，当a −13≥14，分别求出函数g(x)的最大值即得；(3)利用(2)得出的函数分析知，当a ∈[0,712)时，M(a)是增函数；当a ∈[712,34]时，M(a)是增函数，从而求得它的最大值即可解决问题．本题主要考查了函数模型的选择与应用、待定系数法求函数解析式及分类讨论的思想，属于实际应用题． 21.答案：解：(1)f(x)=e x −a ⋅x ，∴f′(x)=e x −a ，①当a ≤0时，f′(x)>0恒成立，故函数f(x)在(−∞,+∞)上单调递增，②当a >0时，令f′(x)=0，解得x =lna ，当x <lna 时，f′(x)<0，当x >lna 时，f′(x)>0，∴函数f(x)在(−∞,lna)上单调递减，在(lna,+∞)上单调递增，综上所述：当a ≤0时，函数f(x)在(−∞,+∞)上单调递增，当a >0时，f(x)在(−∞,lna)上单调递减，在(lna,+∞)上单调递增；(2)∵m ∈(0,+∞)时，f(x)+ax −ln(x +m)−1>0恒成立，∴m ∈(0,+∞)时，e x −ln(x +m)−1>0恒成立，令g(x)=e x −ln(x +m)−1，x >−m ，∴g′(x)=e x −1x+m ，令ℎ(x)=g′(x)=e x −1x+m ，∴ℎ′(x)=e x +1(x+m)2>0，∴g′(x)在(−m,+∞)上为增函数，∵g′(1)=e −11+m >0，g′(0)=1−1m ，当x →−m 时，g′(x)→+∞，∴g′(x)=0有且只有一个根，设为x 0，则e x 0−1x 0+m =0，∴g(x)在(−m,x0)上单调递减，在(x0,1)上单调递增，∴g(x)min=g(x0)=e x0−ln(x0+m)−1=e x0+x0−1>0，设φ(x)=e x+x−1，x∈(−m,1)，易知，φ(x)在(−m,1)在(−m,1)上单调递增，又φ(0)=0，∴x0>0，∴g′(0)=1−1m<0，解得0<m<1，∴m的取值范围为(0,1)．解析：(1)对函数f(x)的求导数f′(x)，然后分类讨论，当a≤0或a>0时的情况，即可求出结果；(2)构造函数g(x)=e x−ln(x+m)−1，求导后，再构造函数ℎ(x)=g′(x)=e x−1x+m，再求导，利用导数研究函数g′(x)的零点，根据函数的最值，即可求出．本题考查了利用导数研究函数的单调性和根据不等式恒成立求参数，考查了转化与化归的能力，对于恒成立的问题，通常构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．22.答案：解：(I)曲线C的普通方程为(x+1)2+(y−1)2=4，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，得ρ2+2ρcosθ−2ρsinθ−2=0．(II)联立θ=α和ρ2+2ρcosθ−2ρsinθ−2=0，得ρ2+2ρ(cosα−sinα)−2=0，设A(ρ1,α)，B(ρ2,α)，则ρ1+ρ2=2(cosα−sinα)=2√2sin(α−π4)，由|OM|=|ρ1+ρ2|2，得|OM|=√2|sin(α−π4)|≤√2，当α=3π4时，|OM|取最大值√2．解析：本题考查了极坐标方程的应用、参数方程化为普通方程、直线与圆相交弦长问题、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．(I)利用平方关系可得曲线C的普通方程，把x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入即可得出．(II)联立θ=α和ρ2+2ρcosθ−2ρsinθ−2=0，得ρ2+2ρ(cosα−sinα)−2=0，设A(ρ1,α)，B(ρ2,α)，可得ρ1+ρ2=2(cosα−sinα)=2√2sin(α−π4)，即可得出．23.答案：解：(1)由f(x+12)≥0得2m−|2x|≥0得−m≤x≤m，因为f(x+12)≥0的解集为{x|−1≤x≤1}，所以m=1．(2)证明：由(1)得1a +12b+14c=1，所以a+2b+4c=(1a +12b+14c)(a+2b+4c)=1+1+1+(2ba+a2b)+(4ca+a4c)+(4c2b+2b4c)≥3+2+2+2=9．当且仅当a=2b=4c时取等号，所以a+2b+4c≥9成立．解析：本题考查绝对值不等式的解法及基本不等式的运用，考查推理论证能力，属于基础题．(1)由f(x+12)≥0得−m≤x≤m，结合题意可得m=1；(2)由(1)得1a +12b+14c=1，再利用基本不等式直接求证即可．。

江西省九江市湖口县某中学2020届高三模拟考试数学(理)试卷

16 ⎪ 理科数学试卷（满分：150 分考试时间：120 分钟）一、选择题（本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分．在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的）1. 已知i 为虚数单位,若复数z , z 在复平面内对应的点分别为(2,1) , (1, -2) ,则复数 z 1 ⋅ z 2= （） 12iA ． -3 - 4iB ． -3 + 4iC ． -4 - 3iD ． -32．已知集合 A ={x | 2 - x ≥ 0}, B ={x ∈ Z | y = ln(x +1)} ,则 A B = （） A ． [-1, 2] B ． (-1, 2] C ．{0,1, 2} D ．{ -1,0,1, 2}3.设 S n 为等差数列{a n } 的前 n 项和,若 2a 4 + a 10 + a 12 = 22 ,则 S 14 = （） A ．56 B ．66 C ．77 D ．78 4.已知定义在 R 上的偶函数 f (x ) 满足 f (x + 2) = f (-x ) ,且在区间[1, 2] 上是减函数,令a = log 2 3 ,-1b = ⎛ 1 ⎫2 , c = log ⎝ ⎭1 ,则 f (a ), f (b ), f (c ) 的大小关系为（）2 2 A. f (a ) < f (b ) < f (c ) B. f (a ) < f (c )< f (b ) C. f (b ) < f (a ) < f (c ) D. f (c ) < f (a ) < f (b )5.若点P (cos α,sin α )在直线y = -2x 上,则的值等于（）A ． - 3B ．3 C ．- 4 D ． 455556. 在统计学中，同比增长率一般是指和去年同期相比较的增长率，环比增长率一般是指和前一时期相比较的增长率.2020 年 2 月 29 日人民网发布了我国 2019 年国民经济和社会发展统计公报图表，根据 2019 年居民消费价格月度涨跌幅度统计折线图，下列说法正确的是( )A ．2019 年我国居民每月消费价格与 2018 年同期相比有涨有跌B ．2019 年我国居民每月消费价格中 2 月消费价格最高C ．2019 年我国居民每月消费价格逐月递增D ．2019 年我国居民每月消费价格 3 月份较 2 月份有所下降a ⨯b = a ⋅ b ⋅sin θ ⎨ ⎩ a b7．已知 π ≈ 1 - 1 + 1 - 1 + 1- 4 3 5 7 9,如图是求π 的近似值的一个程序框图,则图中空白框中应填入（）A. i =(-1)n+12n + 1B. i =(-1)n2n + 1C. i =(-1)n+1i + 2D ．i =(-1)ni + 2⎧x - 2 y + 2 ≥ 0 8. 已知实数 x , y 满足约束条件⎪2x - y - 2 ≤ 0 ,则 2x + y 的取值范围是（）⎪x ≥ -1, y ≥ -1A ． (-3, 6]B ． [-3, 6]C ． (- 3, 6]2D ． [- 3, 6]29.函数 f (x ) = ln |1 + x| 的图象大致为（）1 - x10．2019 年 10 月 1 日,中华人民共和国成立 70 周年,举国同庆.将 2,0,1,9,10 这 5 个数字按照任意次序排成一行,拼成一个 6 位数,则产生的不同的 6 位数的个数为（） A ．72 B ．84 C ．96 D ．120x 2 y 211 ．已知 F 1 , F 2 是椭圆 C ： 2 + 2 = 1 (a > b > 0) 的左、右焦点, 过 F 2 的直线交椭圆于 P ,Q 两点. 若| QF 2 |,| PF 2 |,| PF 1 |,| QF 1 | 依次构成等差数列,且| PQ |= PF 1 ,则椭圆C 的离心率为（） 23A.B ．3 4 C ．15 5 D ．1051512.已知x = 0 是函数 f (x ) = x (ax - tan x ) 的极大值点,则a 的取值范围是（） A ． (- ∞,-1] B ． (-∞,1] C ． [0, +∞) D ．[1, +∞) 二、填空题（本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分）13.设向量 a 与b 的夹角为θ ,定义a 与b 的“向量积”： a ⨯ b 是一个向量,它的模 .若a = (-1,- 3),b =( 3,1),则 a ⨯ b =.14.若 a =⎰2xdx ,则(x + ay - 1)5的展开式中x 2 y 2 的系数为 .15.在棱长为 4 的正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中, P 为线段 A 1D 1 的中点,若三棱锥 P - ABC 的四个顶点都在球O的球面上,则球O 的表面积为.+ 1 413 16.已知 A 1(-3, 0) , A 2 (3, 0) 为双曲线的左、右顶点,双曲线C 的渐近线上存在一点P 满足| PA 1 |= 2 | PA 2 | ,则b 的最大值为．三、解答题（本大题共 6 小题,共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 ．（本小题满分 12 分）如图, 在平面四边形 ABCD 中, BC = 2 , CD = 2 ,且AB = BD = DA .（1）若∠CDB =π,求 tan ∠ABC 的值；6（2）求四边形 ABCD 面积的最大值.18.（本小题满分 12 分）如图,在四棱锥 P - ABCD 中, ∆PAB 是正三角形, BC ⊥ AB ,BC = CD=2 3 ,AB = AD = 2 . （1）若 PB = 3BE ,求证： AE ∥平面 PCD ；（2）若 PC = 4 ,求二面角 A - PC - B 的正弦值．19．（本小题满分 12 分）2018 年反映社会现实的电影《我不是药神》引起了很大的轰动,治疗特种病的创新药研发成了当务之急．为此,某药企加大了研发投入,市场上治疗一类慢性病的特效药品 A 的研发费用 x y 研发费用 x （百万元） 2 3 6 10 13 15 18 21 销量 y （万盒）1122.53.53.54.561.根据数据用最小二乘法求出 y 与 x 的线性回归方程 y = b ˆx + a ˆ （系数用分数表示，不能用小数）；2.该药企准备生产药品 A 的三类不同的剂型 A 1 , A 2 , A 3 ,并对其进行两次检测,当第一次检测合格后,才能进行第二次检测．第一次检测时,三类剂型 A , A , A 合格的概率分别为 1 , 3 , 3,第二次检测时,三类 1 2 3 2 4 5剂型 A , A , A 合格的概率分别为 4 , 2 , 2．两次检测过程相互独立,设经过两次检测后 A , A , A 三类1235 3 31 2 36+ ⎨剂型合格的种类为 X ,求 X 的分列与数学期望．20．（本小题满分 12 分）给定椭圆C : x2 2 = 1(a > b > 0) ,称圆心在原点O ,半径为的圆是椭 a b圆C 的“准圆”.若椭圆C 的一个焦点为 F ( （1）求椭圆C 的方程和其“准圆”方程；，0) ,其短轴上的一个端点到 F 的距离为 .（2）点 P 是椭圆C 的“准圆”上的动点,过点 P 作椭圆的切线l 1, l 2 交“准圆”于点 M , N .①当点 P 为“准圆”与 y 轴正半轴的交点时,求直线l 1, l 2 的方程并证明l 1 ⊥ l 2 ； ②求证：线段 MN 的长为定值.21.（本小题满分 12 分）已知函数 f (x ) = e axsin x . x ∈ ⎡π π ⎤ a （1）若f ( x ) 在 ⎢ ， ⎥ 上存在单调递增区间,求实数的取值范围； ⎣ 6 3 ⎦ （2）设a ≥ 1 ,若∀x ∈ ⎡0, π ⎤,恒有 f( x ) ≤ bx 成立,求b - e 2a 的最小值.⎣⎢ 2 ⎥⎦请考生在第 22、23 两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做,则按所做的第一个题目计分．22．（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程⎧x = 在平面直角坐标系 xOy 中,直线l 的参数方程为⎪ ⎪ y = ⎩ 82 + t （ t 为参数）．以坐标原点O 为极点, x 轴的正 4t 2 + t半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为ρ = 2sin θ ．（1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）若射线θ = π (ρ > 0) 与l 和C 分别交于点 A , B ,求| AB | ．423．（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知 f (x ) =| x | + | x - 2 | .（1）求不等式 f (x ) >| 4x | 的解集；x（2）若 f (x ) 的最小值为 M ,且a + 2b + 2c = M (a ,b ,c ∈ R ) ,求证： a 2 + b 2 + c 2 ≥ 4.a 2 +b 2 3 y ⎪理科数学月考答案一、单选题1-5．ACCCA 6-10．DBBDB 11-12．DB 二、填空题13．2 14．120- 15． π41 16．4 三、解答题17．【答案】（1）3-（2）38法一：解：（1）在BCD ∆中，由正弦定理得sin sin CD BC CBD BDC=∠∠，∴sin6sin 22CBD π∠== ∵0CBD π<∠<，∴3CBD π∠=或23CBD π∠=………………3分当23CBD π∠=时，此时A B C 、、三点共线，矛盾 ∴3CBD π∠= ………………4分 ∴()2tan tan tan tan 333ABC ABD CBD πππ⎛⎫∠=∠+∠=+==⎪⎝⎭………………6分法二：由余弦定理222cos 2422BD CD BC BDC BD BD BD CD +-∠====⋅或………………3分若2BD =时，此时23CBD π∠=，即A B C 、、三点共线，矛盾………………4分 ∴4BD =，此时3CBD π∠=∴()tan tan tan 33ABC ABD CBD ππ⎛⎫∠=∠+∠=+=⎪⎝⎭6分（2）设BCD θ∠=，在BCD ∆中，由余弦定理得2222cos BD BC CD BC CD θ=+-⋅(2222216θθ=+-⨯⨯=-……8分∴2111sin sin sin 222ABC BCD BAD D S S BC CD BA BD BC CD BD S θθθ∆∆=+=⋅+⋅=⋅+四边形6cos 3πθθθ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭……………………11分当56πθ=时，四边形ABCD面积的最大值……………………12分备注：（1）若第1问用正弦定理没写出23CBD π∠=，扣1分（2）若第1问用余弦定理没写出2BD =，并且排除2BD =，扣1分18.【答案】（1）见详细答案（2（1）如图，作EF PC ∥，交BC 于F ，连接AF . 因为3PB BE =，所以E 是PB的三等分点，可得BF .因为2AB AD ==，23BC CD ==，AC AC =，所以ABC ADC △≌△，因为BC ⊥AB ，所以90ABC ∠=︒，…………………1分因为3tan 23AB ACB BC ∠===，所以30ACB ACD ∠=∠=︒，所以60BCD ∠=︒，（2分）因为tan 323AB AFB BF ∠===，所以60AFB ∠=︒，所以AF CD ∥，……3分因为AF ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，所以AF ∥平面PCD .……4分又EF PC ∥，EF ⊄平面PCD ，PC ⊂平面PCD ，所以EF ∥平面PCD .……………5分因为AF EF F =I ，AF 、EF ⊂平面AEF ，所以平面AEF ∥平面PCD ，所以AE ∥平面PCD .…6分（2）因为PAB △是等边三角形，2AB =，所以2PB =.又因为4PC =，23BC =，所以222PC PB BC =+，所以BC PB ⊥.又BC ⊥AB ，,AB PB ⊂平面PAB ，AB PB B =I ，所以BC ⊥平面PAB .因为BC ⊂平面ABCD ，所以平面PAB ⊥平面ABCD .在平面PAB 内作Bz ⊥平面ABCD .………7分以B 点为坐标原点，分别以,,BC BA Bz 所在直线为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -，则(23,0,0)C ，(0,2,0)A ，(0,1,3)P ，所以(23,0,0)BC =u u u r ，(0,1,3)BP =u u u r ，(23,2,0)AC =-u u u r ，(0,1,3)AP =-u u u r.………8分设111(,,)x y z =m 为平面BPC 的法向量，则00BC BP ⎧⎪⎨⎪⎩⋅=⋅=u u u ru u u r m m ，即11123030x y z ⎧=+=⎪⎨⎪⎩，令11z =-，可得(0,3,1)=-m .………………9分设222(,,)x y z =n 为平面APC 的法向量，则00AC AP ⎧⎪⎨⎪⎩⋅=⋅=u u u ru u u r n n ，即2222232030x y y z -=-+=⎧⎪⎨⎪⎩，令21z =，可得(1,3,1)=n .………………10分所以5,25cos ==⨯m n ………………11分则25251()n s ,5i =-=m n ，所以二面角A PC B --的正弦值为25.……………………12分备注：若第2问用几何法做对也给满分. 19．【答案】（1）83107340340y x =+（2）分布列见详解，数学期望为1310. 解：解：（1）由题意可知2361021131518118x +++++++==， 112 2.56 3.5 3.5 4.538y +++++++==，………………2分由公式12221ˆ34781138313088b11340ni ii ni i x y nx yx nx==-⨯⨯==-⨯-=-∑∑………………3分 83107ˆˆ311340340ay bx =-=-⨯=………………4分 ∴83107340340y x =+……………5分（2）药品A 的三类剂型123A A A 、、经过两次检测后合格分别为事件123B B B 、、,则()()()123142321322,,255432535p B P B P B =⨯==⨯==⨯=……………7分由题意，0,1,2,3X 可取()()()()()()()()2123212312312321231231231232190115250212212111112525525021221821125255225235p X p B B B p X p B B B B B B B B B p X p B B B B B B B B B p X p B B B ⎛⎫⎛⎫===--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫==++=-⋅+-⋅⋅-⋅=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫==++=⋅-+-⋅⋅⋅=⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫=== ⎝212225⋅=⎪⎭………10分213123.5050255010X ∴⨯+⨯+⨯+⨯=的期望为：EX=0…………12分20.【答案】(1) 椭圆方程为22163x y +=，准圆方程为229x y +=；①12l l ，方程为33y x y x =+=-+， ②见详解【解析】（1）c a b ==∴=Q 2分∴椭圆方程为22163x y +=， ………………3分准圆方程为229x y +=．………………4分（2）（ⅰ）因为准圆229x y +=与y 轴正半轴的交点为(03)P ，，设过点(03)P ，且与椭圆相切的直线为3y kx =+，所以由223{163y kx x y =++=，，得22(12)12120k x kx +++=.……………5分因为直线3y kx =+与椭圆相切，所以22144412(12)0k k ∆=-⨯+=，解得1k =±，……………6分所以12l l ，方程为33y x y x =+=-+，．……………7分 121l l k k ⋅=-Q ，12l l ∴⊥．……………8分（ⅱ）①当直线12l l ，中有一条斜率不存在时，不妨设直线1l斜率不存在，则1l ：x =当1l：6x =时，与准圆交于点(63)(63)-，，，，此时2l 为y =y =12l l ，垂直；同理可证当1l ：x =12l l ，垂直……………9分 ②当12l l ，斜率存在时，设点00(,)P x y ，其中22009x y +=. 设经过点00()P x y ，与椭圆相切的直线为00()y t x x y =-+，所以由0022(){163y t x x y x y =-++=，，得2220000(12)4()2()60t x t y tx x y tx ++-+--=.……………10分由0∆=化简整理得()22200006230x t x y t y -++-=因为22009x y +=，所以有2220000(6)2(6)0x t x y t x -++-=.设12l l ，的斜率分别为12t t ，，因为12l l ，与椭圆相切，所以12t t ，满足上述方程2220000(6)2(6)0x t x y t x -++-=，所以20122616x t t x -⋅==--，即12l l ，垂直．……………11分综合①②知：因为12l l ，经过点00()P x y ，，又分别交其准圆于点M N ，，且12l l ，垂直. 所以线段MN 为准圆229x y +=的直径，6MN ＝，所以线段MN 的长为定值6．……………12分 21．【答案】（1）()∞（2）22e π-解：（1）由()sin ax f x e x =，得()()'sin cos axf x e a x x =+，……………1分由()f x 在63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上存在单调递增区间，可得()'0f x >在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，……………2分即sin cos 0a x x +>在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，则min 1tan a x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，∴a >∴a的取值范围为()∞.……………4分（2）设()()sin axbx e x g x f x b x =-=-，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()()'sin cos axg x ea x xb =+-.设()()sin cos axh x e a x x b =+-，则()()2'1sin 2cos 0ax h x e a x a x ⎡⎤=-+≥⎣⎦， ……………5分∴()h x 单调递增，即()'g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 ∴()2'1,a g x b ae b π⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦.……………6分当1b ≤时，()'0g x ≥，()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，∴()()00g x g ≥=，不符合题意；当2a b ae π≥时，()'0g x ≤，()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，()()00g x g ≤=，符合题意；当21a b ae π<<时，由于()'g x 为一个单调递增的函数，而()'010g b =-<，2'02a g ae b ππ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，由零点存在性定理，必存在一个零点0x ，使得()0'0g x =，从而()g x 在[]00,x x ∈上单调递减，在0,2x π⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增， ……………9分因此只需02g π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，∴22a e b ππ≤，∴22a b e ππ≥，从而222a a e b ae πππ≤<，综上，b 的取值范围为22,a e ππ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，……………10分因此2222a b e a e e a ππ-≥-. 设()222a G a e e a ππ=-，则()22'a e a e G π=-，令()'0G a =，则41a π=>，∴()G a 在41,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在4,π⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，……………11分从而()242e G a G ππ⎛⎫≥=- ⎪⎝⎭，∴2b e a -的最小值为22e π-.……………12分备注：第1问写)⎡+∞⎣扣1分22.（1）:40(0)l x y x +-=≠,22:20C x y y +-=（2【解析】（1）由82x t=+可得0x ≠，由8242x t t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，消去参数t ，可得直线l 的普通方程为40(0)x y x +-=≠．………………2分由2sin ρθ=可得22sin ρρθ=，将sin y ρθ=，222x y ρ=+代入上式，可得2220x y y +-=，所以曲线C 的直角坐标方程为2220x y y +-=．…………………………5分（2）由（1）得，l 的普通方程为40(0)x y x +-=≠，将其化为极坐标方程可得cos sin 40()2ρθρθθπ+-=≠，…………………………7分当()04θρπ=>时，A ρ=B ρ=|||||A B AB ρρ=-==10分备注：第1问没写0x ≠扣1分23.（1）(,0)(3,)-∞+∞U （2）见详解【解析】（1）当0x <时，|4|()x f x x>等价于|||2|4x x +->-，该不等式恒成立；当02x <≤时，|4|()x f x x>等价于24>，该不等式不成立；当2x >时，|4|()x f x x >等价于2224x x >⎧⎨->⎩，解得3x >，…………………………3分所以不等式|4|()x f x x>的解集为(,0)(3,)-∞+∞U .…………………………5分（2）因为()|||2||(2)|2f x x x x x =+-≥--=，当02x ≤≤时取等号，所以2M =,222a b c ++=，……7分由柯西不等式可得22222222224(22)(122)()9()a b c a b c a b c =++≤++++=++,当且仅当244,,999a b c ===时等号成立，所以22249a b c ++≥.…………………………10分备注：第1问结果没用集合或区间表示扣1分。

江西省九江市北大附属中学2020年高三数学理模拟试卷含解析

江西省九江市北大附属中学2020年高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设x，y满足约束条件则的最大值是（）A．B．C．D．参考答案：C2. 已知函数是定义在实数集上的以2为周期的偶函数，当时，.若直线与函数的图像在内恰有两个不同的公共点，则实数的值是( )A．或； B．0；C．0或； D．0或.参考答案：D3. 中心在原点，焦点在x轴上的双曲线，一条渐近线方程是y=x，则双曲线的离心率是（）A．B．C．D．2参考答案：D略4. 若，，，如果有，，则值为（）．0 1参考答案：B5. 已知展开式中的系数为0，则正实数（）A．1 B． C. D．2参考答案：B的展开式的通项公式为：.令得：；令得：.展开式中为：.由题意知，解得（舍）或.故选B.6. 已知曲线在点（1，a e）处的切线方程为y=2x+b，则A．a=e，b=－1 B．a=e，b=1 C．D．，参考答案：D令，则，，得.，可得.故选D.7. 已知m、n是不重合的直线，α、β是不重合的平面，有下列命题：①若mα，n∥α，则m∥n；②若m∥α，m∥β，则α∥β；③若α∩β=n，m∥n，则m∥α且m∥β；④若m⊥α，m⊥β，则α∥β.其中真命题的个数是（A）0 （B）1 （C）2 （D）3参考答案：答案：B8. 已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）参考答案：B【分析】（i）当a=0时，f（x）=﹣3x2+1，令f（x）=0，解得x=±，两个解，舍去．（ii）当a≠0时，f′（x）=3ax2﹣6x=3ax（x﹣），令f′（x）=0，解得x=0或．对a分类讨论：①当a＜0时，由题意可得关于a的不等式组；②当a＞0时，推出极值点不满足题意，推出结果即可．【解答】解：（i）当a=0时，f（x）=﹣3x2+1，令f（x）=0，解得x=±，函数f（x）有两个零点，舍去．（ii）当a≠0时，f′（x）=3ax2﹣6x=3ax（x﹣），令f′（x）=0，解得x=0或．①当a＜0时，＜0，当x＜或x＞0时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减；当＜x＜0时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增．∴是函数f（x）的极小值点，0是函数f（x）的极大值点．∵函数f（x）=ax3﹣3x2+1存在唯一的零点x0，且x0＞0，则：；即：，可得a＜﹣2．②当a＞0时，＞0，当x＞或x＜0时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增；当0＜x＜时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减．∴是函数f（x）的极小值点，0是函数f（x）的极大值点．不满足函数f（x）=ax3﹣3x2+1存在唯一的零点x0，且x0＞0，综上可得：实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）．故选：B．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、函数的零点，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．9. 使奇函数f（x）=sin（2x+θ）+cos（2x+θ）在[﹣，0]上为减函数的θ值为（）A．﹣B．﹣C．D．参考答案：D【考点】正弦函数的奇偶性；正弦函数的单调性．【专题】计算题．【分析】首先根据已知将函数f（x）化简为f（x）=2sin（2x+θ+），然后根据函数的奇偶性确定θ的取值，将选项分别代入验证再根据单调性即可排除选项．【解答】解：由已知得：f（x）=2sin（2x+θ+），由于函数为奇函数，故有θ+=kπ即：θ=kπ﹣（k∈Z），可淘汰B、C选项然后分别将A和D选项代入检验，易知当θ=时，f（x）=﹣2sin2x其在区间[﹣，0]上递减，故选D、故答案为：D【点评】本题考查正弦函数的奇偶性和单调性，通过对已知函数的化简，判断奇偶性以及单调性，通过对选项的分析得出结果．考查了对三角函数图象问题的熟练掌握和运用，属于基础题．10. 定义在上的可导函数满足且，则的解集为（）A． B．C． D．参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。

江西省九江市2020届高三第二次高考模拟统一考试数学(理)试题

江西省九江市2020届高三第二次高考模拟统一考试数学（理）试题第I 卷(选择题60分)一､选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分｡在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的｡1.已知集合A= {x ∈Z |x≥-1}2{|2}B x x =<，则A∩B=( )A. {x|-1≤x<2}.{|12}B x x -≤< C. {-1,0,1} D. {0,1} 2.已知复数z 满足z(3-i)=10,则z=()A.-3-iB.-3+iC.3-iD.3+i3.已知等比数列{}n a 的前n 项和为,n S 且134515,,22a a S +==则1()a = 1.2A B.1.2C D.2 4.已知P(2，2)为抛物线2:2(0)C y px p =>上一点,抛物线C 的焦点为F,则|PF|=( )A.2 5.2B C.3 7.2D 5.将函数2cos(2)6y x π=+的图像向左平移6π个单位得到函数f(x),则函数()sin f x y x x =的图像大致为()6.已知0<a<b<1,则下列结论正确的是().a b A b b <.b b B a b < .a b C a a < .a a D b a < 7.若254(a a R +∈)能被9整除，则|a|的最小值为( ) A.3 B.4 C.5 D.68.第41届世界博览会于2010年月1日至10月31日，在中国上海举行,气势磅礴的中国馆一一“东方之冠”令人印象深刻,该馆以“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”为设计理念,代表中国文化的精神与气质.其形如冠盖，层叠出挑，制似斗拱.它有四根高33.3米的方柱,托起斗状的主体建筑，总高度为60.3米，上方的“斗冠”类似一个倒置的正四棱台，上底面边长是139.4米,下底面边长是69.9米，则“斗冠”的侧面与上底面的夹角约为( )A.20°B.28°C.38°D.48°9.已知双曲线E 2222:1(0,x y a b a b-=>>0)的左右焦点分别为12,,F F 以原点O 为圆心，1||OF 为半径的圆.与双曲线E 的右支相交于A, B 两点，若四边形2AOBF 为菱形，则双曲线E 的离心率为( ).31A + .3B .2C .21D +10.算盘是中国传统的计算工具,其形长方,周为木框,内贯直柱,俗称“档”,档中横以梁,梁上两珠,每珠作数五,梁下五珠,每珠作数一.算珠梁上部分叫上珠,梁下部分叫下珠｡例如:在十位档拨上一颗上珠和一颗下珠,个位档拨上一颗上珠,则表示数字65.若在个､十､百位档中随机选择一档拨一颗上珠,再随机选择两个档位各拨一颗下珠,则所拨数字为奇数的概率为()1.3A 4.9B 5.9C 11.现有边长均为1的正方形､正五边形､正六边形及半径为1的圆各一个,在水平桌面上无滑动滚动一周,它们的中心的运动轨迹长分别为1234,,,,l l l l 则()A.1234l l l l <<<B.1234l l l l <<=C.1234l l l l ===D.1234l l l l ==<12.已知函数f(x)=x-lnx-1, g(x)=ln|x|, F(x)= f[g(x)], G(x)=g[ f(x)]，给出以下四个命题:①y=F(x)为偶函数;②y= G(x)为偶函数;③y=F(x) 的最小值为0;④y=G(x)有两个零点.其中真命题的是( )A.②④B.①③C.①③④D.①④第II 卷(非选择题90分)本卷包括必考题和选考题两部分.第13-21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22-23题为选考题,学生根据要求作答.二､填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知向量a ,b 满足|a |=1,|b|=2,a ⊥(a -b ),则a 与b 的夹角为___.14.设x,y 满足约束条件220220x y x y y x +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则z=3x-2y 的最大值是____.15.如图,在一个底面边长为2,侧棱长为10的正四棱锥P-ABCD 中,大球1O 内切于该四棱锥,小球2O 与大球1O 及四棱锥的四个侧面相切,则小球2O 的体积为_____.16.已知单调数列{}n a 的前n 项和为,n S 若21n n S S n n ++=+，则首项,1a 的取值范围是____三､解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分) 在△ABC 中,角A, B,C 所对的边分别为a,b,c ，且a>b>c.已知sin AcosB- cos Csin B =sin2B-sinA.( I )求证: a,b,c 成等差数列;(II)若b=5,53sin 14B =求a,c 的值.18.(本小题满分12分)如图所示的几何体111ABC A B C -中,四边形11ABB A 是正方形,四边形11BCC B 是梯形,1//,B C BC 且111,2B C BC AB AC ==,平面11ABB A ⊥平面ABC.(I)求证:平面11A CC ⊥平面11BCC B ；(II)若∠CAB=120°，二面角111C AC B --为120°，求1AA AB 的值.20. (本小题满分12分)已知函数2()ln (f x x x x ax a R =+-∈).( I)若a=3,求f(x)的单调性和极值;(II)若函数1()x yf x e =+至少有1个零点，求a 的取值范围.21. (本小题满分12分)羽毛球比赛中，首局比赛由裁判员采用抛球的方法决定谁先发球,在每回合争夺中,赢方得1分且获得发球权.每一局中,获胜规则如下:①率先得到21分的一方贏得该局比赛;②如果双方得分出现20:20,需要领先对方2分才算该局获胜;③如果双方得分出现29:29,先取得30分的一方该局获胜.现甲、乙两名运动员进行对抗赛，在每回合争夺中，若甲发球时，甲得分的概率为p;乙发球时，甲得分的概率为q.(I )若2,3p q ==记“甲以21:i(i≤19, i ∈N)赢一局”的概率为P(A i ),试比较9()P A 10()P A 的大小; (II )根据对以往甲、乙两名运动员的比赛进行数据分析，得到如右2×2列联表部分数据.若不考虑其它因素对比赛的影响，并以表中两人发球时甲得分的频率作为p,q 的值.①完成2× 2列联表，并判断是否有95%的把握认为“比赛得分与接、发球有关”?②已知在某局比赛中,双方战成27:27,且轮到乙发球,记双方再战X 回合此局比赛结束，求X 的分布列与期望.参考公式: 22(),()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++其中n=a+b+c+d.请考生在第22-23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22.[选修4--4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)在直角坐标系xOy 中,曲线E 的参数方程为12cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩ (φ为参数),以O 为极点,x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系,直线12,l l 的极坐标方程分别为000,((0,))2πθθθθθπ==+∈，1l 交曲线E 于点A,B,2l 交曲线E 于点C,D.(I)求曲线E 的普通方程及极坐标方程;(II)求22||||BC AD +的值.23.[选修4-5:不等式选讲](本小题满分10分)已知函数||1||2||()|21|x x f x x +--=-的最大值为m. (I)求m 的值;(II)若a,b,c 为正数,且a+b+c=m,求证: 1.bc ac ab a b c++≥。

(附加15套模拟试卷)江西省九江市2020届高三第一次高考模拟统一考试(数学理)试题及答案

江西省九江市2020届高三第一次高考模拟统一考试（数学理）试题及答案数学（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．全卷满分150分，时间120分钟．第I 卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、已知全集U R =，集合[)2,5A =，()()U ,12,B =-∞+∞ð，则AB =（）A ．()2,5 B ．()1,2 C ．{}2 D ．∅2、设复数21iz i -=+，则z 的共轭复数为（）A ．1322i -B ．1322i + C ．13i - D ．13i + 3、已知3tan 5α=-，则sin 2α=（）A ．1517B ．1517-C ．817-D ．8174、已知随机变量X 服从正态分布()5,4N ，且()()4k k P X >=P X <-，则k 的值为（）A ．6B ．7C ．8D ．95、已知函数()()sin 2f x x ϕ=+（ϕπ<）的图象向左平移6π个单位后得到()cos 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则ϕ的值为（）A ．23π-B ．3π-C ．3πD ．23π6、在如下程序框图中，输入()()0sin 21f x x =+，若输出的()i f x 是()82sin 21x +，则程序框图中的判断框应填入（）A ．6i ≤B ．7i ≤C ．8i ≤D ．9i ≤7、已知抛物线的方程为22y px =（0p >），过抛物线上一点()p M 和抛物线的焦点F 作直线l 交抛物线于另一点N ，则F :F N M =（）A． B． C ．1:2 D ．1:3 8、若实数x ，y 满足31x y -≤≤，则2x yz x y +=+的最小值为（）A ．53B ．2C ．35D ．129、如图，格纸上小正方形边长为1，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的表面积为（）A．6+ B．8+ C．6+ D．6+10、已知点P 为双曲线221169x y -=右支上一点，点1F ，2F分别为双曲线的左、右焦点，M 为12FF ∆P 的内心，若12F F 8S S ∆PM ∆PM =+，则12F F ∆M 的面积为（）A． B ．10 C ．8 D ．611、平面α截球O 的球面得圆M ，过圆心M 的平面β与α的夹角为6π，且平面β截球O 的球面得圆N ．已知球O 的半径为5，圆M 的面积为9π，则圆N 的半径为（）A ．3 BC ．4 D12、已知定义在R 上的函数，当[]0,2x ∈时，()()811f x x =--，且对任意的实数122,22n n x +⎡⎤∈--⎣⎦（n +∈N ，且2n ≥），都有()1122x f x f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若()()log a g x f x x =-有且仅有三个零点，则a 的取值范围为（）A ．[]2,10 B． C ．()2,10 D．第II 卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分．第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22-24题为选考题，学生根据要求作答．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13、()()6212x x +-的展开式中2x 的系数为．（用数字作答）14、已知直线1y x =-+是函数()1xf x e a =-⋅的切线，则实数a = ．15、等差数列{}n a 中，112015a =，1m a n =，1n a m =（m n ≠），则数列{}n a 的公差为．16、如图，在C ∆AB 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且222a b c bc =++，a =S 为C ∆AB 的面积，圆O 是C ∆AB 的外接圆，P 是圆O上一动点，当cos C S +B 取得最大值时，PA⋅PB 的最大值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17、（本小题满分12分）已知各项不为零的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()11n n S a a =-．()1求数列{}n a 的通项公式；()2设数列{}n b 满足2log n n n a b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18、（本小题满分12分）如图所示，在长方体CD C D ''''AB -A B 中，D λλ'AB =A =AA （0λ>），E 、F 分别是C ''A 和D A 的中点，且F E ⊥平面CD ''A B ．()1求λ的值；()2求二面角C '-A B-E 的余弦值．19、（本小题满分12分）心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30女20），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答．选题情况如右表：（单位：人）几何题代数题总计男同学 22 8 30 女同学 8 12 20 总计302050()1能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？ ()2经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在57分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在68分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率．()3现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为X ，求X 的分布列及数学期望EX ．附表及公式()2k k P ≥0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828()()()()()22n ad bc a b c d a c b d -K =++++．20、（本小题满分12分）已知椭圆C 的中心在坐标原点，右焦点为()F 1,0，A 、B 是椭圆C 的左、右顶点，D 是椭圆C 上异于A 、B 的动点，且D ∆A B ．()1求椭圆C 的方程；()2是否存在一定点()0,0x E （00x <<，使得当过点E 的直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点时，2211+EAEB为定值？若存在，求出定点和定值；若不存在，请说明理由．21、（本小题满分12分）设函数()ln ab x f x x =，()()12g x x a b =-++（其中e 为自然对数的底数，a ，R b ∈且0a ≠），曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()1y ae x =-． ()1求b 的值；()2若对任意1,x e ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，()f x 与()g x 有且只有两个交点，求a 的取值范围．请考生在第22-24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，已知AB 是O 的直径，CD 是O 的切线，C 为切点，D CD A ⊥交O 于点E ，连接C A 、C B 、C O 、C E ，延长AB交CD 于F ．()1证明：C C B =E ； ()2证明：CFC ∆B ∆EA ．23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l的参数方程为1x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是2sin 1sin θρθ=-．()1写出直线l 的极坐标方程与曲线C 的普通方程；()2若点P 是曲线C 上的动点，求P 到直线l 的距离的最小值，并求出P 点的坐标．24、（本大题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()3f x x x a=---．()1当2a =时，解不等式()12f x ≤-；()2若存在实数a ，使得不等式()f x a ≥成立，求实数a 的取值范围．九江市2015年第一次高考模拟统一考试数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.解：[1,2]B =，{2}A B ∴=，故选C.2.解：2(2)(1)131222i i i z i i +++===+-，故选B.3.解：222232()2sin cos 2tan 155sin 2=3sin cos tan 117()15ααααααα⨯-===-++-+，故选B.4.解：(4)52k k-+= 7k ∴= 故选B.5.解：由题意得()=sin[2()]6g x x πϕ++ 又2()cos(2)=sin(2)63g x x x ππ=++2+=233k ππϕπ∴+即=23k πϕπ+，k Z ∈ϕπ<=3πϕ∴ 故选C.6.解：1i =时，1()2cos(21)f x x =+；2i =时，22()2sin(21)f x x =-+；3i =时，33()2cos(21)f x x =-+；4i =时，44()2sin(21)f x x =+；…；8i =时，88()2sin(21)f x x=+，结束，故选B.7.解：:)2pl y x =-联立方程组22)2y p y x p x ⎧⎪⎨=-=⎪⎩，得(,)4p N p 3424p p NF p ∴=+=，322p MF p p ∴=+= :1:2NF FM ∴=，故选C.8.解：依题意，得实数,x y 满足303001x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≤≤⎩其中(3,0)A ，(2,1)C2151[,2]311yx z y y x x +==+∈++，故选A.9.解：直观图如图所示四棱锥P ABCD -12222PAB PAD PDC S S S ∆∆∆===⨯⨯=PA BCD1sin602PBCS∆=⨯=2ABCDS==四边形故此棱锥的表面积为，故选A.10.解：设内切圆的半径为R，4,3,5a b c===128PMF PMFS S∆∆=+121)82PF PF R∴-=(即8aR=2R∴=1212102MF FS c R∆∴=⋅⋅=，故选B.11.解：如图，5OA=，3AM=4OM∴=又3NMOπ∠=sin3ON OMπ∴=⋅=又5OB=NB∴==，故选B.12.解：如图所示，易得1a>依题意得log44log102aa<⎧⎨>⎩，a<<，故选D.二、填空题本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.解：2x的系数为1512426622(1)2(1)144C C⨯⨯-+⨯⨯-=-.14.解设切点为00(,)x y，则1()1xf x ea'=-⋅=-，0x e a∴=，又11xe xa-⋅=-+，02x∴=2a e∴= 15.解：11(1)2015ma m dn=+-=，11(1)2015na n dm=+-=11()m n dn m∴-=-1dmn∴=111(1)2015ma mmn n∴=+-=解得112015mn=，即12015d=.16.解：222a b c bc=++2221cos22b c aAbc+-∴==-23Aπ∴=设圆O的半径为R，则22sinaRA===1R∴=1cos sin cos2S B C bc A B C∴+=+=+sin cos)B C B C B C=+=-当6B Cπ==时，cosS B C+取得最大值建立如图直角坐标系，则(0,1)A，1()2B，1)2C，设(cos,sin)Pθθ，则Ayy1(cos ,sin 1)(cos )2PA PB θθθθ⋅=-+-333sin )2223πθθθ=-+=+当且仅当cos()13πθ+=时，PA PB ⋅取最大值32.三、解答题本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.解（1）当1n =时，()21111111a S a a a a ==-=-10a ≠ 12a ∴=………2分当2n ≥时，1(1)n n S a a =-………① 111(1)n n S a a --=-………②①-②得()11122n n n n n a a a a a a --=-=- 12n n a a -∴=………4分∴数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列 2nn a ∴=………6分(2)2n n nb =………7分1231123122222n n n n n T --∴=+++++ 234111231222222nn n n nT +-=+++++两式相减得23411111(1)1111112221122222222212n n n n n n n n n T +++-+=+++++-=-=--…11分222n n n T +∴=-………12分18.解：以D 为原点，DA 、DC 、DD '为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系. 设2AA AD '==，则=2AB λ则(0,0,0)D ，(2,02)A ',，(002)D ',,，(2,2,0)B λ，(0,20)C λ,，(1,,2)E λ，(100)F ,, ……2分(1)由已知可得(0,,2)EF λ=--，(2,0,0)D A ''=，(0,22)A B λ'=-,………3分EF D A ''⊥,EF A B'⊥ 0EF D A ''∴⋅=，0EF A B '⋅=………4分即2240λ-+= λ∴5分(2)设平面EA B '的法向量为(1,,)m y z =，则00m A B m A E ⎧'⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩(0,2)A B '=- (A E '=-2010z ⎧-=⎪∴⎨-+=⎪⎩ y∴=，1z =2(1,m ∴=………7分由（1）可得EF 为平面A BC '的法向量，且(0,2)EF =- (9)分zcos,m EFm EFm EF⋅∴<>====⋅………11分又二面角C A B E-'-为锐二面角∴二面角C A B E-'-12分19.解(1)由表中数据得2K的观测值()2250221288505.556 5.024302030209K⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯………2分所以根据统计有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关………3分(2)设甲、乙解答一道几何题的时间分别为x y、分钟，则基本事件满足的区域为5768xy≤≤⎧⎨≤≤⎩(如图所示) ………4分设事件A为“乙比甲先做完此道题”则满足的区域为x y>………5分∴由几何概型11112()228P A⨯⨯==⨯即乙比甲先解答完的概率为18………7分(3)由题可知在选择做几何题的8名女生中任意抽取两人，抽取方法有2828C=种，其中甲、乙两人没有一个人被抽到有2615C=种；恰有一人被抽到有1126=12C C⋅种；两人都被抽到有221C=种………8分X∴可能取值为0,1,2，15(0)28P X==，123(1)287P X===，1(2)28P X==X的分布列为：………11分1512110+1+22828282EX∴=⨯⨯⨯=………12分yx11O设过点E的直线方程为x ty =+，代入C 中得224(2)03t y ++-=，设11(,)M x y 、22(,)N x y ，则12y y +==12243(2)y y t =-+………9分21212222222222222121212()211111111()(1)(1)11y y y y t y t y t y y t y y EM EN +-+=+=⋅+=⋅++++222228[13(2)341[]3(2)t t t ++=⋅=+-+综上得定点为E ，定值为3………12分21.解：(1)由ln ()ab x f x x =，得2(1ln )()ab x f x x -'=………1分由题意得(1)f ab ae '==………2分0a ≠ b e ∴=………3分(2)令21()(()())()ln 2h x x f x g x x a e x ae x =-=-++，则任意1[,)x e ∈+∞，()f x 与()g x 有且只有两个交点，等价于函数()h x 在1[,)e +∞有且只有两个零点.由21()()ln 2h x x a e x ae x =-++，得()()()x a x e h x x --'=………5分①当1a e ≤时，由()>0h x '得x e >；由()0h x '<得1x ee <<.此时()h x 在1(,)e e 上单调递减，在()e +∞，上单调递增. 2211()()ln 022h e e a e e ae e e =-++=-<，242221112()()2(2)(2)(2)()0222h e e a e e ae e e e a e e e e =-++=--≥-->（或当x →+∞时，()0h x >亦可）∴要使得()h x 在1[,)e +∞上有且只有两个零点，则只需2111()ln 2a e h ae e e e e +=-+222(12)2(1)02e e e a e --+=≥，即22122(1+)e a e e -≤ ………7分②当1a e e <<时，由()>0h x '得1x ae <<或x e >；由()0h x '<得a x e <<.此时()h x 在(,)a e 上单调递减，在1(,)a e 和()e +∞，上单调递增. 此时222111()ln ln 0222h a a ae ae a a ae ae e a =---<--+=-<∴此时()h x 在1[,)e +∞至多只有一个零点，不合题意………9分③当a e >时，由()0h x '>得1x e e <<或x a >，由()0h x '<得e x a <<，此时()h x 在1(,)e e 和()a +∞，上单调递增，在(,)e a 上单调递减，且21()02h e e =-<，∴()h x 在1[,)e +∞至多只有一个零点，不合题意………11分综上所述，a 的取值范围为2212(,]2(1+)e e e --∞………12分 22.证明：(1)CD 为圆O 的切线，C 为切点， AB 为圆O 的直径 OC CD ∴⊥………1分又AD CD ⊥ OC AD ∴// OCA CAE ∴∠=∠………3分又OC OA = OAC OCA ∴∠=∠ OAC CAE ∴∠=∠BC CE ∴=………5分(2)由弦切角定理可知，FCB OAC ∠=∠ =FCB CAE ∴∠∠四边形ABCE 为圆O 的内接四边形 180ABC CEA ∴∠+∠=………8分F又+=180ABC FBC ∠∠ FBC CEA ∴∠=∠ BCF EAC ∴∆∆∽………10分23.解(1)由1x y ⎧=+⎪⎨=⎪⎩，得1x y -=………1分 ∴直线的极坐标方程为cos sin 1ρθρθ-=(cos cossin sin )144ππθθ-=cos()14πθ+=………3分2sin 1sin θρθ=- 2sin cos θρθ∴= 2cos sin ρθθ∴= 2(cos )sin ρθρθ∴=即曲线C 的普通方程为2y x =………5分(2)设00(,)P x y ，200y x =P ∴到直线的距离d………8分∴当012x =时，min d = ∴此时11()24P ，∴当P 点为11(,)24时，P ………10分24.解(1)2a =1(2)()3252(23)1(3)x f x x x x x x ≤⎧⎪∴=---=-<<⎨⎪-≥⎩………1分1()2f x ∴≤-等价于2112x <⎧⎪⎨≤-⎪⎩或152223x x ⎧-≤-⎪⎨⎪<<⎩或3112x ≥⎧⎪⎨-≤-⎪⎩………3分解得1134x ≤<或3x ≥，所以不等式的解集为11{|}4x x ≥………5分 (2)由不等式性质可知()3(3)()=3f x x x a x x a a =---≤----………8分∴若存在实数x ，使得不等式()f x a ≥成立，则3a a -≥，解得32a ≤∴实数a 的取值范围是3(,]2-∞………10分高考模拟数学试卷说明：试题分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

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