陕西省西安地区八校联考2020届高三数学文科试题(B卷) (解析版)
2020年5月陕西省西安地区2020届高三下学期八校联考理科数学试卷及解析
（2）由（1）,令 有 , 存在两个极值点 、 即
由题意知： ,
∴
令 ,即 和 时, ,所以有 在区间内分别单调递减
∴ 时,有 ,即
由①②两式消去 得 ,
整理得 ,
解得 或 （舍去）,
∴ ．
故选C．
9.已知sinα、cosα是方程5x2﹣ x﹣2＝0的两个实根,且α∈（0,π）,则cos（α+ ）＝（）
A. B. ﹣ C. D. ﹣
【答案】D
【解析】
根据韦达定理可得 , ,结合 ,可得 ,根据两角和的余弦公式可得 ,由此可得结果.
（2）（点差法）：设 , , 的中点为 ,椭圆 的右焦点为 ,直线 的斜率为 ,直线 的斜率为 ,则： ,∴ ,∴ , ,∴ ,即： ,故不存在.
21.设函数 ．
（Ⅰ）讨论 在区间 上的单调性；
（Ⅱ）若 存在两个极值点 、 ,且 ,求 的取值范围．
【答案】（1） 时, 在 上单调递减, 上单调递增； 时, 在 上的单调递增；（2）
【解析】
（1）利用导函数 ,讨论在 、 时 的取值范围及其对应的单调区间即可；（2）由 存在两个极值点,即可得 ,同时可用 表示出 、 ,进而代入函数式得到 ,利用导函数研究其单调性,结合单调区间边界值即可确定 的范围
【详解】（1）由题意,得
当 时, ： 时, 在 上单调递减； 时, 无递减区间
当 时, ： 时, 在 上单调递增； 时, 在 上的单调递增
【答案】-13
【解析】
作出题中不等式组表示的平面区域,得如图的△ABC及其内部,再将目标函数z＝2x+y对应的直线进行平移,可得当x＝y＝1时,z＝2x+y取得最小值．
陕西省部分重点高中2020年12月联考高三数学试卷(文科)答案
高三数学试卷参考答案#文科$!!#"因为"$&##%&$#$%''((所以"% $&%((%)(%*(%"'!+!,"因为$+槡$%!%+)-(所以$+的实部与虚部分别为%!(槡%+)!'!."这/个数中+('(*(((!!是质数(故所求概率为*/!"!#"从(月+日到(月*日白天的平均气温呈下降趋势!这!0天白天的平均气温的极差大于)1!这!0天中白天的平均气温为+)1的频率为02'(比其他平均气温的频率都要大!这!0天中白天的平均气温大于+)1的只有"天!故选#!*!."因为函数%##$的图象关于点#!(0$对称(所以将%##$的图象向左平移!个单位长度后所得图象关于原点对称(故选.!)!3"因为&'&'$(&'('(所以&'&($%)&''((则&')($&')&4&'&($&'"'%)&''((所以 4 $!%)$%*!(!,"该长方体的外接球的半径*$槡+*4/4)+槡$!0(则该长方体的外接球的表面积为" *+$"0 !&!3"%##$$#5-6+#785+##$!+#5-6"##(因为+$5-6"#的最小正周期为+ "$ +(所以%##$的最小正周期为 "!/!."依题意可设&的方程为#+"%++)$ (将#+()$代入(得++"%)+)$ $%*(则&的方程为#+"%++)$%*(即++'0%#++0$!(则&的实轴长+,槡$+'0(离心率-$!4+0槡'0$槡!*'!!0!3"由三角形的面积公式可得!+,.5-6)$槡'",.槡$/'(则,.$')!由余弦定理可得/+$,+4.+%+,.785)(+,.%,.$,.$')(即/()(则)")&外接圆的半径*$/+5-6)()+9槡'+槡$+'#当且仅当,$.$)时(等号成立$!!!!,"由三视图可知(该三棱锥的两个顶点为正方体的顶点(另外两个顶点是正方体棱的中点(其直观图如图所示!正视图的面积为+9+%+9!+9+9!%!+9!9!$'+(故该三棱锥的体积为!'9'+9+$!!!+!#"%0##$$##%+$:#%#+4+#$##%+$#:#%#$(设函数1##$$:#%#(10##$$:#%!(易证1##$(1#0$$!*0!令%0##$*0(得#*+)令%0##$$0(得#$+!所以%##$;-6$%#+$$"'%:+4,*0(故,*:+%"'!!'!!'"5-6 %785 5-6 %+785 $<=6 %!<=6 %+$%!+%'+$!'!!"!)"因为"$/(所以,+$/(所以椭圆#+"4++/$!上一点到两焦点的距离之和为+,$)!!*!%'"作出可行域(如图中阴影部分所示*由图可知(当直线$$++%'#(即+$'+#4$+经过点"#!(0$时($取得最大值(故$;=>$+90%'9!$%'!!)!#0(!$"因为%##$$?8@/#4+#$?8@/#!4+#$(所以%##$在#!"(4A $上单调递减(又!$!4+#$/(所以%##$的值域为#0(!$!!(!解*#!$由题意可得,'$,!2+$'(,+4,"$,!24,!2'$'0(2*!+,-('分………………………………………………………………解得,!$!(2$'!*分……………………………………………………………………………………………故,3$,!23%!$'3%!!)分…………………………………………………………………………………………#+$由#!$可得,+3$'+3%!(则/3$?8@',+3$+3%!(/分…………………………………………………………故43$!4'4*4+4+3%!$#!4+3%!$3+$3+!!+分………………………………………………………!&!解*#!$由表中数据可得.5$!*9#!04!!4!'4!+4/$$!!(!分…………………………………………….6$!*9#+'4+*4'04+)4!)$$+"(+分………………………………………………………………………B 7/$/*8$!5868%*.5.6/*8$!5+8%*.5+$!'*!%*9!!9+")!*%*9!!+$'!!(*分………………………………………………………………7,$.6%7/.5$+"%'!!9!!$%!0!!()分…………………………………………………………………………故6关于5的线性回归方程为6$'2!5%!02!!(分……………………………………………………………#+$当5$!*时(6$'2!9!*%!02!$')2"*'*(!0分…………………………………………………………所以该公司销售部门将对该地区继续投入广告!!+分…………………………………………………………!/!#!$证明*在直三棱柱")&%"!)!&!中()!&!0)&(+分…………………………………………………………………………………………………………………因为)&1平面"!)&()!&!2平面"!)&(所以)!&!0平面"!)&!"分……………………………………………………………………………………#+$解*在直三棱柱")&%"!)!&!中(""!3平面")&(因为")1平面")&(所以""!3")!*分……………………………………………………………………又")$!(""!$+(所以"!)槡$*()分…………………………………………………………………………同理可得"!&槡$++!(分…………………………………………………………………………………………因为")3"&(")$!("&$+(所以)&槡$*!&分……………………………………………………………所以)"!)&的面积为!+槡槡槡9++9*%+$)!/分……………………………………………………………设点"到平面"!)&的距离为9(由:"%"!)&$:"!%")&(得!'槡9)99$!'9!+9!9+9+(!!分………………………………………………解得9$槡)'!!+分…………………………………………………………………………………………………+0!#!$解*%0##$$!#%!:!!分………………………………………………………………………………………因为曲线+$%##$的一条切线与直线+$:!%:#垂直(所以这条切线的斜率为:%!:(+分…………………令!#%!:$:%!:(得#$!('分…………………………………………………………………………………所以切点为#!(%!:$(所求切线的方程为+4!:$:%!:##%!$(即#:%!$#%:+%:$0!*分………………#+$证明*%0##$$!#%!:$:%##:!当#4#0(:$时(%0##$*0)当#4#:(4A $时(%0##$$0!)分…………………………………………………所以%##$;=>$%#:$$?6:%::$0!(分…………………………………………………………………………设函数1##$$#+%?6#%'"(则10##$$+#%!#$+#+%!#!当#4#0(槡++$时(10##$$0)当#4#槡++(4A $时(10##$*0!&分……………………………………………所以1##$;-6$1#槡++$$!+%!+?6!+%'"$%!"4!+?6+!/分………………………………………………因为?6+*槡?6:$!+(所以1##$;-6*0!!!分…………………………………………………………………又%##$5%##$;=>$0(所以%##$$#+%?6#%'"!!+分………………………………………………………+!!解*#!$因为(#%;+(+$(<#;+(0$((<槡$+*(所以;+4+槡+槡$+*(+分…………………………………………………………………………………………解得;$"(故抛物线&的方程为++$&#!"分…………………………………………………………………#+$由题意知(<#+(0$(因为直线=过点<(所以当(<3=时(点(到=的距离最大!)分……………………………………………………………………因为>(<$+%0%+%+$%!+(所以直线=的斜率为+((分………………………………………………………联立方程组+$+##%+$(++$&# (消去+得#+%)#4"$0!&分………………………………………………………设?##!(+!$(@##+(++$(则#!4#+$)(/分……………………………………………………………………所以?@$#!4#+4;$)4"$!0!!!分………………………………………………………………………因为(<槡$+*(所以)(?@的面积为!+槡槡9!09+*$!0*!!+分………………………………………++!解*#!$由#$"785(+$%"4"5-6 (得#+4#+4"$+$!)(+分…………………………………………………………即#+4++4&+$0('分……………………………………………………………………………………………则&的极坐标方程为 +4&5-6 $0("分………………………………………………………………………即 4&5-6 $0#或 $%&5-6$!*分……………………………………………………………………………#+$因为=的极坐标方程为' 785 4"5-6 $A (所以=的直角坐标方程为'#4"+%A $0!(分…………………………………………………………………由#!$知(曲线&表示圆心为�(%"$(半径为"的圆(&分…………………………………………………则&到=的距离B $#A 4!)#*$"(/分…………………………………………………………………………解得%')$A $"(即A 的取值范围为#%')("$!!0分…………………………………………………………+'!解*#!$由%##$*!4##%,#(得##%',#*!(!分………………………………………………………………则#%',$%!或#%',*!('分…………………………………………………………………………………即#$',%!或#*',4!(故不等式%##$*!4##%,#的解集为#%A (',%!$6#',4!(4A $!*分…………………………………#+$因为%##$$##%,#4##%',#(##%,%##%',$#$#+,#()分…………………………………………所以%##$的最小值为#+,#!(分…………………………………………………………………………………因为%##$*,槡4!&对#4 恒成立(所以,槡4!&$#+,#(&分………………………………………………又,4!&(0(所以,4,%!&(%+$6#/"(4A $!!0分…………………………………………………………。
2019-2020学年陕西省西安市八校高三(上)第一次联考数学试卷(文科)
【答案】
【考点】
球的体积和表面积
【解析】
首先利用球与锥体的外接关系求出球的半径，进一步求出球的表面积．
【解答】
正三棱锥 的底面边长为 ，侧棱长为 ，且三棱锥的四个顶点都在同一球面上，
如图所示：
所以： ＝ ＝ ＝ ， ＝ ＝ ＝ ，
点 为 的中心，
所以 ，
则： ，
则： ，解得 ＝（2）
【解析】
根据题意，由函数的解析式求出 的值，即可得 ，由反比例函数的性质分析可得答案．
【解答】
根据题意， ，
则 ＝ ，
则 ＝ ，
则函数 ＝ 即 ，为反比例函数， 为奇函数且在 上递减的函数；
7.已知点 到抛物线 ＝ 的准线的距离为 ，则抛物线的焦点坐标为（）
A. B. C. D.
【答案】
C
【考点】
抛物线的性质
∴实数 ＝ 或
在 与 之间插入 个数，使这 个数成等差数列，则插入的 个数的和等于________．
【答案】
【考点】
等差数列的性质
【解析】
根据题意，设这个等差数列为 ，由等差数列的前 项和公式以及等差数列的性质分析可得 ，计算可得答案．
【解答】
根据题意，在 与 之间插入 个数，使这 个数成等差数列，
故 ＝ ＝ ．
故选： ．
9.若 为实数，则“ ”是“ ”成立的（）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】
B
【考点】
充分条件、必要条件、充要条件
【解析】
， 时， ，解出即可判断出结论．
【解答】
， 时， ，解得：
∴ “ ”是“ ”成立的必要不充分条件．
2020届陕西省西安地区八校联考高三上学期第一次数学(文)试题(解析版)
2020届陕西省西安地区八校联考 高三上学期第一次数学(文)试题一、单选题1．已知集合{}|10A x Z x =∈+≥，(){}|lg 3B x y x ==-，则A B =I （ ） A ．{}0,1,2 B ．{}|13x x -≤< C ．{}0,1,3,1,2-D ．{}1,2,1,0-【答案】D【解析】根据交集运算结果求解即可 【详解】{}{}|101,0,1,2,3,A x Z x A =∈+≥⇔=-L ，(){}{}|lg 3|3B x y x B x x ==-⇔=<，则A B =I {}1,2,1,0- 故选：D 【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题 2．复数12ii-（i 为虚数单位）在复平面上对应的点的坐标为（ ） A ．()2,1-- B ．()1,2-C ．()2,1-D ．()1,2--【答案】A【解析】根据复数运算的除法法则求解即可 【详解】()()()12122i i i i i i i ---==---，在复平面内对应的点为()2,1-- 故选：A 【点睛】本题考查复数的除法运算，复数与复平面的对应关系，属于基础题 3．函数()3234f x x x =+-的零点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】先求导，令()'0f x =，再根据极值点的正负进一步判断零点个数即可 【详解】由()()32234'36f x x x f x x x =+-⇒=+，令()'0f x =得0x =或2x =-，当()(),2,0,x ∈-∞-+∞时，()f x 单调递增，当()2,0x ∈-时，函数单调递减，()()20,04f f -==-，画出函数图像，如图所示：故函数图像有两个零点 故选：C 【点睛】本题考查导数研究函数零点个数，属于基础题4．若实数x ，y 满足()222013y x x y y ⎧≥-⎪+≥⎨⎪-≤≤⎩，则241z x y =++的最小值为（ ）A ．-2B ．-3C ．-5D ．0【答案】A【解析】根据题意，画出可行域，再根据目标函数与可行域的位置关系求解即可 【详解】如图所示，画出目标可行域，241z x y =++可转化为1124z y x -=-+，当交于点A 时，有最小值，求得1,12A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入241z x y =++得min 2z =-故选：A 【点睛】本题考查根据二元一次方程组求目标函数的最小值，属于基础题5．在一次技能比赛中，共有12人参加，他们的得分（百分制）茎叶图如图，则他们得分的中位数和方差分别为（ ）A ．89 54.5B ．89 53.5C ．87 53.5D ．89 54【答案】B【解析】根据中位数和方差定义求解即可 【详解】由题可知，中位数为：8791892+=，先求平均数： 787984868787919494989899999012x ++++++++++++==()()()()()()222222222222211211643314889953.512S ⎡⎤=-+-+-+-+-+-++++++=⎣⎦ 故中位数为：89，方差为53.5 故选：B 【点睛】本题考查茎叶图的识别，中位数与方差的求法，属于基础题6．已知()1,01ln ,0x x ef x x x x⎧≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩（e 为自然对数的底数），若1a f f e ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则函数()a f x x =是（ ）A ．定义域为R 的奇函数B ．在()0,∞+上递减的奇函数C ．定义域为R 的偶函数D ．在()0,∞+上递增的偶函数【答案】B【解析】根据题意，结合分段函数，先求出a ，再求出()af x x =的具体表达式，进一【详解】11ln f e e e e ⎛⎫=⨯=- ⎪⎝⎭，则()()111a f f f e e e e ⎛⎫⎛⎫==-=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()11axxf x x -===，画出反比例函数的图像，显然B 项符合故选：B 【点睛】本题考查分段函数的求值，函数图像奇偶性增减性的判别，属于基础题 7．已知点()2,3A 到抛物线()20y px p =>的准线的距离为5，则抛物线的焦点坐标为（ ） A ．()2,0 B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()0,2D ．10,32⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】结合抛物线第一定义和图像即可求解 【详解】2y px =可变形为2y x p =，则焦点坐标为10,4p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由抛物线第一定义，点()2,3A 到抛物线()20y pxp =>的准线的距离为5，即5AH=，即1354p +=，解得124p=，则抛物线焦点坐标为()02,故选：C本题考查抛物线的基本性质，熟悉抛物线基本表达式特征，明确焦点位置，是解题关键，属于基础题8．已知正三棱锥P ABC -的底面边长为3，侧棱长为23，且三棱锥的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A ．20π B ．16πC ．12πD ．123π【答案】B【解析】根据题意，画出大致图像，确定球心在'PO 的连线上，再结合几何关系和勾股定理进行求解即可 【详解】如图，由几何关系可知，3'33BO =⨯=，先将三角形'PO B 转化成平面三角形， 如图：23PB ='3PO =，OP OB R ==，则'3OO R =-，由勾股定理可得222''O B OO OB +=，即()22233R R +-=，解得2R =，球体的表面积为：2416S R ππ==故选：B 【点睛】本题考查锥体外接球表面积的求法，解题关键在于找出球心，属于中档题9．若x 为实数，则“2x ≤≤”是“223x x +≤≤”成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解不等式223x x +≤≤可得{|12}x x <<，是{|x x ≤≤的真子集，故“2x ≤≤223x x +≤≤”成立的必要不充分条件. 故选B.10．函数()2cos 12sin x x x x f =+-的单调递增区间为（ ）A ．(),36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B ．()2,63k k k ππ⎡⎤π+π+∈⎢⎥⎣⎦Z C ．()2,236k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦D ．()22,263k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【答案】A【解析】先将函数化简，再结合正弦函数增区间的通式求解即可 【详解】()2cos 12sin 2cos 2sin 26f x x x x x x x π⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭，再令22,2,622x k k k Z πππππ⎡⎤+∈-++∈⎢⎥⎣⎦，解得,,36x k k k Z ππππ⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦ 故选：A 【点睛】本题考查正弦型三角函数单调区间的求法，属于基础题11．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的左焦点为1F ，过1F 且垂直于x 轴的直线被双曲线C 截得的弦长为234e a （e 为双曲线的离心率），则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．3y x =± B ．5y x =±C ．35y x =±D ．y x = 【答案】D【解析】可设左焦点的坐标为(),0c -，直线与曲线的两交点坐标为()(),,,A B A c y B c y --，代入双曲线方程可解得纵坐标，通过题设的通径可得参数,,a b c 基本关系，再结合222c a b =+即可求解【详解】设1F (),0c -，直线与曲线的两交点坐标为()(),,,A B A c y B c y --()0,0A B y y ><，将()(),,,A B A c y B c y --代入22221x y a b-=，解得22,,,b b A c B c a a ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则22324b e a a =，解得2283b c =，又因为222c a b =+，联立得：2235b a =，即双曲线的渐近线方程为：5y x =±故选：D 【点睛】本题考查双曲线通径的使用，双曲线的基本性质，无论是椭圆还是双曲线，通径公式都为22b a，属于中档题12．陕西关中的秦腔表演朴实，粗犷，细腻，深刻，再有电子布景的独有特效，深得观众喜爱.戏曲相关部门特意进行了“喜爱看秦腔”调查，发现年龄段与爱看秦腔的人数比存在较好的线性相关关系，年龄在[]40,44，[]45,49，[]50,54，[]55,59的爱看人数比分别是0.10，0.18，0.20，0.30.现用各年龄段的中间值代表年龄段，如42代表[]40,44.由此求得爱看人数比y 关于年龄段x 的线性回归方程为0.4188y kx =-.那么，年龄在[]60,64的爱看人数比为（ ） A ．0.42 B ．0.39C ．0.37D ．0.35【答案】D【解析】根据题意，可列出y 关于x 的表格，求出,x y ，代入0.4188y kx =-，求出k ，即可求解 【详解】由题，对数据进行处理，得出如下表格：求得49.5x =，0.195y =，因样本中心(),x y 过线性回归方程，将(),x y 代入0.4188y kx =-，得0.0124k =，即0.01240.4188y x =-，年龄在[]60,64对应的x 为62，将62x =代入0.01240.4188y x =-得：0.0124620.41880.35y =⨯-=，对应的爱看人数比为：0.35 故选：D 【点睛】本题考查线性回归方程的应用，样本中心(),x y 过线性回归方程是一个重要特征，属于中档题二、填空题13．已知平面向量(),2a m =r ，()2,b m =r，且()//a b a -r r r ，则m =______.【答案】2±【解析】由题，根据()//a b a -r r r，即向量平行的坐标运算即可求出参数m【详解】()2,2a b m m -=--r r ，(),2a m =r ，因为()//a b a -r r r ，所以222m mm --=，解得2m =±故答案为：2m =± 【点睛】本题考查向量平行的坐标运算，属于基础题14．在3与156之间插入50个数，使这52个数成等差数列，则插入的50个数的和等于______. 【答案】3975【解析】根据等差数列下标性质进行求解即可 【详解】由题，可设1523,156a a ==，则15225135026273156a a a a a a a a +=+=+=+=+L ，故()23512531563975a a a ++=⨯+=L 故答案为：3975 【点睛】本题考查等差数列下标性质的应用，属于基础题15．从1，2，3，5，6，7中任意取三个数，则这三个数的和为偶数的概率为______. 【答案】0.6【解析】根据题意，采用列举法，表示出所有的情况，再选出符合题意的个数，结合古典概型公式求解即可 【详解】由题可知，所有可能的情况为：()()()()()()()1,2,3,1,2,5,1,2,6,1,2,7,1,3,5,1,3,6,1,3,7，()()()()()()()()()()()1,5,6,1,5,7,1,6,7,2,3,5,2,3,6,2,3,7,2,5,6,2,5,7,2,6,7,3,5,6,3,5,7, ()()3,6,7,5,6,7，共计20个其中符合题意的有：()()()()()()()1,2,3,1,2,5,1,2,7,1,3,6,1,5,6,1,6,7,2,3,5,()()()()()2,3,7,2,5,7,3,5,6,3,6,7,5,6,7，共计12个故这三个数的和为偶数的概率为：120.620P == 故答案为：0.6 【点睛】本题考查古典概型的计算，正确表示各个数的形式是解题关键，属于基础题16．金石文化，是中国悠久文化之一.“金”是指“铜”，“石”是指“石头”，“金石文化”是指在铜器或石头上刻有文字的器件.在一千多年前，有一种凸多面体工艺品，是金石文化的代表作，此工艺品的三视图是三个全等的正八边形（如图），若一个三视图（即一个正八边形）的面积是()()2882dm +，则该工艺品共有______个面，表面积是______.【答案】26 ()()27283dm +【解析】先由三视图还原出立体图，再结合立体图特点求解表面积即可 【详解】由立体图可确定该几何体由26个面构成，其中有18个正方形面和8个正三角形面构成，先研究正视图，若设中间的正方形的边长为a ，则2BC =（正视图BC 长度会被压缩），该正八边形面积为()(222122422288222S a aa ⎫=-⨯⨯=+=+⎪⎪⎝⎭2a =18个正方形面积为：218272⨯=，8232883⨯=故表面积为：(()27283dm +故答案为：26；(()27283dm +【点睛】本题考查由三视图还原立体图，多面体表面积的求法，还原立体图形、正确理解三视图与立体图线段关系是解题关键，属于难题三、解答题17．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且()(2223a b c bc --=，2sin sin cos 2CA B =，BC 边上的中线AM 7. （1）求角A 、C 的大小； （2）求ABC ∆的面积.【答案】（1）6A π=，23C π=（2）ABC S ∆【解析】（1）将()(222a b c bc --=展开，结合余弦定理即可求得A ，再由2sin sin cos2CA B =可得sin 1cos B C =+，结合三角形内角和公式可求得C ； （2）结合（1）可判断ABC V 为等腰三角形，ACM ∆结合余弦定理即可求得,a b ，再结合正弦面积公式即可求解 【详解】（1）由()(222a b c bc --=，得222b c a +-=.∴222cos 2b c a A bc +-==. ∵0A π<<，∴6A π=，由2sin sin cos2CA B =，得sin 1cos B C =+， ∴5sin 1cos 6C C π⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，由此得sin 16C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭.又0C π<<，∴62C ππ-=，即23C π=. （2）由（1）知，6A B π==，则a b =，在ACM ∆中，由余弦定理，得2222cos120722a a AM b b ⎛⎫=+-⋅⋅︒= ⎪⎝⎭，解得2a b ==.故11sin 2222ABC S ab C ∆==⨯⨯=【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，属于中档题18．已知四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD 为平行四边形，M 为CD 的中点，N 为PD 上一点，且12DN NP =（如图）.（1）证明：//PB 平面AMN ；（2）当平面PAB ⊥平面ABCD ，55566PA PB AD AB ====，120BAD ∠=︒时，求三棱锥P ABN -的体积.【答案】（1）证明见解析 （2）83【解析】（1）要证//PB 平面AMN ，即证//PB 平面AMN 的一条线段，可连接BD ，交AM 于点E ，通过相似三角形证明//NE PB 即可；（2）采用等体积法进行转化，13P ABN N AB ABP P S V V d --∆=⋅=，平面PAB ⊥平面ABCD ，可通过几何关系先求出点D 到平面PAB 的距离，再结合12DN NP =求得点N 到平面PAB 的距离，结合体积公式即可求解；【详解】（1）证明：取AB 的中点H ，连接CH ，BD ，BD AM E ⋂=，连接NE .∵四边形ABCD 为平行四边形，M ，H 分别为CD ，AB 的中点， ∴根据平行线分线段成比例定理得13DE DB =， 又12DN NP =，得13DN DP =， ∴//NE PB ，又NE 在平面AMN 内，PB 不在平面AMN 内， ∴//PB 平面AMN .（2）由题意，得5PA PB ==，6AD AB BC ===， 120BAD ∠=︒.连接CH ，PH （H 为AB 的中点），则PH AB ⊥，CH AB ⊥，且4PH ==，CH ==∵平面PAB ⊥平面ABCD ，PAB ABCD AB =I ，CH 在平面ABCD 内，CH AB ⊥.∴CH ⊥平面PAB ，∵//DC AB ，得D 点到平面PAB 的距离就是CH = 又12DN NP =，∴N 到平面PAB 的距离为23d CH ==∴13P ABN N AB ABP P S V V d --∆=⋅=116432=⨯⨯⨯⨯=【点睛】本题考查线面平行的证明，锥体体积的求法，属于中档题19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，设()()22nn n a S f n =-+-.（1）若11a =，23a =，且数列(){}f n 为等差数列，求数列(){}f n 的通项公式； （2）若()0f n =对任意n ∈+N 都成立，求当n 为偶数时n S 的表达式. 【答案】（1）()()31225f n n n =-+-⨯=- （2）()122122nn n S +=-=-（n 为偶数）【解析】（1）根据题意求出公差d ，即可求出通项公式；（2）由()()220n n n a S n N +-+-=∈，当2n ≥时，()111220n n n a S ----+-=，两式作差可得()()1133222n nn n a a --+=--=-，再令()2n m m N +=∈，则2212322m m m a a -+=⋅，结合前n 项和公式即可求解；【详解】（1）∵()()22nn n a S f n =-+-，11a =，23a =， ∴()1122121123a S f --=-⨯-=-=，()()()()2212223213241a a f a -++-=-++=-=，设等差数列为(){}f n 的公差为d ，则()132d =---=.∴数列(){}f n 的通项公式为()()31225f n n n =-+-⨯=-.（2）()0f n =对任意n N ∈，都成立，即()()220nn n a S n N +-+-=∈ ①当2n ≥时，()111220n n n a S ----+-=②①-②得()()1133222n n n n a a --+=--=-. 令()2n m m N +=∈，则2212322mm m a a -+=⋅，∴()2221211322mm k mk k k k S a a -===+=∑∑()()224123221214mm -=⋅=--，故()122122nn n S +=-=-（n 为偶数）.【点睛】本题考查等差数列的基本求法，由n a 与n S 求数列前n 项和，对运算能力有较高要求，属于中档题20．已知函数()()2sin f x mx x m R =+∈在区间,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减.（1）求m 的最大值；（2）若函数()f x 的图像在原点处的切线也与函数()ln 1g x x x =+的图像相切，求m 的值.【答案】（1）-1 （2）1m = 【解析】（1）通过求导，再将函数在,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减作等价转化，可得sin 2m x ≤-在,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恒成立，求得()min sin 2x -，即可求解； （2）可先求出()f x 过原点的切线方程，再设函数()ln 1g x x x =+的图像在()000,ln 1x x x +处的切线为l ，根据点斜式得出()()()0000ln 1ln 1y x x x x x -+=+-，又0ln 1m x =+，结合()0,0点经过l ，即可求解 【详解】解：（1）∵()()2sin f x mx x m R =+∈，∴()2sin c 'os sin 2m x x x m x f +=+=，∵函数()f x 在区间,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为减函数.∴()'0f x ≤即sin 20m x +≤，sin 2m x ≤-在,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恒成立， 当,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，222,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则当22x π=即4x π=时，sin 2x -取最小值-1.∴1m ≤-， ∴m 的最大值为-1.（2）()f x 的定义域为R ，()g x 的定义域为()0,+∞. 由()'sin 2f x m x =+，得()'0sin0f m m =+=. ∴函数()f x 的图像在原点处的切线方程为y mx =， 由()ln 1g x x x =+，得()'ln 1g x x =+，设函数()ln 1g x x x =+的图像在()000,ln 1x x x +处的切线为l ，则l ：()()()0000ln 1ln 1y x x x x x -+=+- ①.且l 过原点，0ln 1m x =+， 将0x =，0y =代入①，解得01x =. ∴ln111m =+=. 【点睛】本题考查用导数和函数增减性求解参数问题，具体切线方程中参数的求法，学会等价转化，分离参数是解决参数类问题常用方法，属于中档题21．已知A ，B ，C 顺次是椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的右顶点、上顶点和下顶点，椭圆E 的离心率2e =，且12AB AC ⋅=u u u r u u u r . （1）求椭圆E 的方程； （2）若斜率12k =的直线l 过点60,5⎛⎫⎪⎝⎭，直线l 与椭圆E 交于P ，Q 两点，试判断：以PQ 为直径的圆是否经过点A ，并证明你的结论.【答案】（1）221164x y += （2）经过，证明见解析【解析】（1）根据题意，列出相应表达式，再结合222a b c =+，即可求解； （2）可联立直线和椭圆的标准方程，结合韦达定理表示出两根和与积的关系，再由向量证明0AP AQ ⋅=u u u r u u u r即可；【详解】（1）解：由題意得(),0A a ，()0,B b ，()0,C b -，2e =. ∴12AB AC ⋅=u u u r u u u r 即()()22,,12a b a b a b -⋅--=-=，设椭圆的半焦距为()0c c >，得方程组2222212a b ca ab c⎧-=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得42a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，∴椭圆E 的方程为221164x y +=.（2）方法一：以PQ 为直径的圆经过点A .理由如下：∵椭圆E ：221164x y +=，()4,0A .直线l 的斜率12k =，且过点60,5⎛⎫ ⎪⎝⎭.∴直线l ：1625y x =+， 由2216251164y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y ，并整理得2121280525x x +-=， 212128410525⎛⎫⎛⎫∆=-⨯⨯-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，直线l 与椭圆E 有两个交点.设()11,P x y ，()22,Q x y ，则12125x x +=-，1212825x x =-. ∵()()11224,4,x y AP A x y Q -⋅-⋅=u u u r u u u r()121212416x x x x y y =-+++()12121216164162525x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()12125234364525x x x x =-++512823124364255525⎛⎫=⨯--⨯+ ⎪⎝⎭1602764360252525=--+=. ∴以PQ 为直径的圆经过点A . 方法二：同方法一，得12125x x +=-，121285x x =-. ∴PQ ===设PQ 的中点为()00,C x y ，则120625x x x +==-，00163255y x =-=-.∴12CA PQ ===.∴以PQ 为直径的圆经过点A . 【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法，韦达定理、向量法在解析几何中的应用，属于中档题 22．在直角坐标系xOy 中，直线l 经过点()P -，其倾斜角为α，以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线S 的参数方程为1x k y k ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（k 为参数），曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=.（1）求曲线S 的普通方程和极坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 有公共点，求α的取值范围.【答案】（1）普通方程为()224004,02x y x x y +-=<≤≤≤，极坐标方程为4cos 0,02πρθρθ⎛⎫=>≤≤⎪⎝⎭（2）0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】（1）由1x k =得1k x=，代入y =化简即可求得曲线S 的普通方程，再结合222x y ρ+=，cos x ρθ=即可求解的曲线S 的极坐标方程；（2）设直线方程为(y k x =+，由直线l 与曲线C 有公共点可得圆心到直线距离d r ≤，可解得k ，进而求得α的取值范围【详解】（1）显然，参数14k ≥，由1x k =得()104k x x =<≤，代入y =()224004,02x y x x y +-=<≤≤≤， 将222x y ρ+=，cos x ρθ=代入2240x y x +-=，得24cos 0ρρθ-=，即4cos 0,02πρθρθ⎛⎫=>≤≤⎪⎝⎭. ∴曲线S 的普通方程为()224004,02x y x x y +-=<≤≤≤，极坐标方程为4cos 0,02πρθρθ⎛⎫=>≤≤⎪⎝⎭. （2）曲线C 的直角坐标方程为()2224x y +-=，曲线C 是以()02,为圆心，半径为2的圆. 当2πα=时，直线l：x =-C 没有公共点，当2πα≠时，设直线l的方程为(()tan y k x k α=+=.圆心()02,到直线l的距离为d ==由2d =≤，得0k ≤≤.∴03πα≤≤，即α的取值范围为0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查曲线的普通方程和极坐标方程的求法，直线与圆的位置关系，属于中档题 23．已知函数()25f x x x x =---. （1）求不等式()238f x x ≥-的解集；（2）若存在[]00,6x ∈，使()042f x a ≥--成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）{}|6x x ≤ （2）(][),13,-∞+∞U【解析】（1）采用取绝对值方法可求得()f x 的分段函数，分三组方程求解即可； （2）存在[]00,6x ∈，使()042f x a ≥--成立，即求出()0f x 在区间[]00,6x ∈的最大值，使得()0max 42f x a ≥--即可求解a 的取值范围 【详解】解：（1）∵()22262,22542,2562,5x x x f x x x x x x x x x x ⎧-+<⎪=---=--≤≤⎨⎪-+->⎩，∴不等式()238f x x ≥-等价于下列不等式组，①2226238x x x x <⎧⎨-+≥-⎩或②22254238x x x x ≤≤⎧⎨--≥-⎩或③2256238x x x x >⎧⎨-+-≥-⎩， 由①得2203x x <⎧⎪⎨≤⎪⎩，得2x <，由②得259x x ≤≤⎧⎨≤⎩，得25x ≤≤； 由③得536x x >⎧⎨-≤≤⎩，得56x <≤.∴不等式()238f x x ≥-的解集为{}|6x x ≤.（2）在区间[]0,6上，当02x ≤<时，()()max 02f x f ==； 当25x ≤≤时，()()max 53f x f ==； 当56x <≤时，()()53f x f <=. ∴在区间[]0,6上，()max 3f x =.由存在[]00,6x ∈使()042f x a ≥--成立，得342a ≥--，得1a ≤或3a ≥. ∴a 的取值范围为(][),13,-∞+∞U . 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，存在性问题的等价转化，属于中档题。
陕西省西安地区2020届高三下学期八校联考(B卷)数学(理)试题
…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………陕西省西安地区2020届高三下学期八校联考（B 卷）数学（理）试题题号 一 二三 总分得分评卷人 得分一、选择题 本大题共12道小题。
1.函数(01)||xxa y a x =<<的图像的大致形状是（ ） A.B.答案第6页，总24页…○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………C.D.答案及解析：1.D 【分析】化简函数解析式，利用指数函数的性质判断函数的单调性，即可得出答案. 【详解】根据01a <<(01)||x xa y a x =<<,0,0x x a x y a x ⎧>∴=⎨-<⎩01a <<，∴x y a =是减函数，x y a =-是增函数.(01)||xxa y a x =<<在(0)+∞，上单调递减，在()0-∞，上单调递增 故选：D.【点睛】本题主要考查了根据函数表达式求函数图象，解题关键是掌握指数函数图象的特征，考查了分析能力和计算能力，属于中档题. 2.若()243i z i -=-+，则z 所对应的的象限为（ ） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限答案及解析：2.D 【分析】先根据()243i z i -=-+，利用复数的模和除法运算求得复数2+z i =，再利用复数的几何意义求解.【详解】()243i z i -=-+()()()5252222i z i i i i +∴===+--+， ∴2z i =-， 故选：D.【点睛】本题主要考查复数的运算以及复数的几何意义，属于基础题. 3.将3本相同的小说，2本相同的诗集全部分给4名同学，每名同学至少1本，则不同的分法有（ ） A. 24种B. 28种C. 32种D. 36种答案及解析：3.B试题分析：第一类：有一个人分到一本小说和一本诗集，这种情况下的分法有：先将一本小说和一本诗集分到一个人手上，有4种分法，将剩余的2本小说，1本诗集分给剰余3个同学，有3种分法，那共有3412⨯=种；第二类：有一个人分到两本诗集，这种情况下的分法有：先两本诗集分到一个人手上，有4种情况，将剩余的3本小说分给剩余3个人，只有一种分法，那共有：414⨯=种，第三类：有一个人分到两本小说，这种情况的分法有：先将两本小说分到一个人手上，有4种情况，再将剩余的两本诗集和一本小说分给剩余的3个人，有3种分法，那共有：4312⨯=种，综上所述：总共有：1241228++=种分法，故选B.考点：1、分布计数乘法原理；2、分类计数加法原理.【方法点睛】本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.答案第6页，总24页4.如果22log log 32x ππ-≤，那么sin x 的取值范围为（ ）A. 11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B. 1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. 111,,1222⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦D. 1,,12223⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎪⎣⎭⎝⎦答案及解析：4.B 【分析】 首先根据22log log 32x ππ-≤，求得x 的取值范围，进而求得sin x 的取值范围即可.【详解】∵22log log 32x ππ-≤，∴032x ππ<-≤，∴5,,6336x ππππ⎡⎫⎛⎤∈-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦， ∴1sin ,12x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 故选：B.【点睛】本题考查了对数函数相关不等式，考查了绝对值不等式，同时考查了三角函数的值域，需要一定的计算能力，属于中档题. 5.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点为F 1，左、右顶点为1A 、2A ，P 为双曲线上任意一点，则分别以线段1PF ，1A 2A 为直径的两个圆的位置关系为（ ） A. 外切或外离 B. 相交或内切 C. 内含或外离D. 内切或外切…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………答案及解析：5.D 【分析】设线段1PF 的中点为A ，12PF r =，分P 在双曲线的左支和P 在双曲线的右支上两种情况，结合三角形的中位线和双曲线的定义判断.【详解】设线段1PF 的中点为A ，12PF r =，则： ①当P 在双曲线的左支时，如图所示：212OA PF a r ==+，∴两圆外切； ②当P 在双曲线的右支时，如图所示：212OA PF r a ==-，∴两圆内切； 故选D.【点睛】本题主要考查双曲线的定义和两圆的位置关系，还考查了数形结合的思想，属于基础题. 6.答案第6页，总24页…○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………如图所示，正方形ABCD 的边长为2，切去阴影部分围成一个正四棱锥，则当正四棱锥体积最大时，该正四棱锥外接球的表面积为（ ）A.2π3B.5225πC.16925πD.338125π答案及解析：6.D 【分析】正方形ABCD 的边长为2，2，设正四棱锥边长为a ，高为h ，可得222h a =，正四棱锥体积213V a h =最大时，求解a 的值，可得正四棱锥边长a 和高h 的值，即可求解正四棱锥外接球的表面积．【详解】解：由题意，正方形ABCD 的边长为22，折成正四棱锥后， 设正四棱锥边长为a ，高为h ，可得：222h a =，(02)a <<． 正四棱锥体积213V a h =最大时，即451223V a a -． 由4522y a a =-， 则34852y a a '=-， 令0y '=，可得52a =，即当52a 体积取得最大值；10h ∴=． 正四棱锥底面正方形外接圆45r =．正四棱锥外接球的半径R ，可得22245R R ⎫⎛⎫-+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭解得：2169250R =正四棱锥外接球的表面积23384125S R ππ==． 故选：D ．【点睛】本题考查球的表面积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，属于中档题． 7.若函数()22ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点1x ，2x ，且不等式()()12f x f x λ>+恒成立，则实数λ的取值范围是（ ）A. [)3,-+∞B. ()3,-+∞C. [),e -+∞D. (),e -+∞答案及解析：7.A 【分析】先建立不等式组48010a a∆=->⎧⎪⎨>⎪⎩，再用a 表示出12x x ，12x x +，接着将()()12f x f x λ>+转化11ln12a aλ>-+-，最后构建新函数()()2ln 11g x x x x =-+->得到()13g λ≥=-即可解题. 【详解】解：因为()22ln f x ax x x =-+，（0x >）所以()21221'220ax x f x ax x x -+=-+==有两个正根，∴48010a a∆=->⎧⎪⎨>⎪⎩， 即：102a <<，又∵2112210ax x -+=，2222210ax x -+=，1212x x a =，121x x a+=，∴()()22111212222ln 2ln ax x x ax f x f x x x λ-++-+>+=111222112ln 2ln 22x x x x x x =--++--+()121211ln 1ln 12x x x x a a=-++-=-+-，令()()2ln 11g x x x x =-+->，()1'20g x x=-<，答案第6页，总24页∴()g x 在()1,+∞上单调递减， ∴()13g λ≥=-， 故选：A.【点睛】本题考查利用导函数研究不等式恒成立问题，利用导函数研究极值问题，是中档题. 8.我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，面积为S ，则“三斜求积”公式为S .若a 2sin C＝4sin A ，(a ＋c )2＝12＋b 2，则用“三斜求积”公式求得△ABC 的面积为( ) A.B. 2C. 3D.答案及解析：8.A由正弦定理得24,4a c a ac ==，且2221224a c b ac +-=-==点睛：本题主要考查中国古代数学史，考查正弦定理的应用，考查新定义公式的理解和应用.由于题目已经给出三角形的面积公式，我们只需在题目中找到公式中需要的条件，即可求出三角形的面积.在两个已知条件中，第一个应用正弦定理可以转化为边的关系，第二个可直接求值，将这两个代入三角形面积公式，即可得出结论. 9.设点F 1，F 2分别为椭圆22:195x y C +=的左、右焦点，点P 是椭圆C 上任意一点，若使得12PF PF m ⋅=成立的点恰好是4个，则实数m 的值可以是（ ） A.12B. 3C. 5D. 8答案及解析：9.B 【分析】由题意，先求出a 、b 、c ，设()00,P x y ，表示出向量()()1002002,,2,PF x y PF x y =---=-- ，再…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………整理得出m 的取值，得出答案.【详解】因为点12,F F 分别为椭圆22:195x y C +=的左、右焦点；即()()122,0,2,0F F - ，2229,5,4,2a b c c ====设()00,P x y()()1002002,,2,PF x y PF x y =---=--由12PF PF m ⋅=可得22004x y m +=+ 又因为P 在椭圆上，即2200195x y +=所以20994m x -=要使得12PF PF m ⋅=成立的点恰好是4个，则99094m -<< 解得1<m<5所以m 的值可以是3. 故选B.【点睛】本题考查了椭圆的简单性质以及平面向量的数量积运算，属于中档题. 10.某城市收集并整理了该市2019年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：℃）的数据，绘制了下面的折线图.已知该市的各月最低气温与最高气温具有较好的线性关系，则根据该折线图，下列结论错误的是（ ）A. 最低气温与最高气温为正相关B. 10月的最高气温不低于5月的最高气温C. 最低气温低于0℃的月份有4个D. 月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月答案第6页，总24页答案及解析：10.C 【分析】由该市2019年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：C)︒的数据的折线图，得最低气温低于0C ︒的月份有3个．【详解】解：由该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：C)︒的数据的折线图，得：在A 中，最低气温与最高气温为正相关，故A 正确；在B 中，10月的最高气温不低于5月的最高气温，故B 正确； 在C 中，最低气温低于0C ︒的月份有3个，故C 错误．在D 中，月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月，故D 正确； 故选：C ．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查折线图等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于基础题． 11.若集合{}|3xM y y ==，集合(){}|lg 1S x y x ==-，则下列各式正确的是（ ）A. M S M ⋃=B. M S S ⋃=C. M S =D. M S ⋂=∅答案及解析：11.A 【分析】先求解出两个集合，根据两个集合的包含关系即可确定出选项. 详解】{}|0M y y =>，{}|1S x x => ∴S M ⊆， ∴M S M ⋃=， 故选:A.○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………【点睛】本题考查了集合之间的关系及集合的运算，属于简单题目，解题时主要是根据两个集合中元素所满足的条件确定出两个集合，再确定出两个集合之间的包含关系. 12.在三棱锥P －ABC 中，平面P AC ⊥平面ABC ，∠PCA ＝90°，△ABC 是边长为4的正三角形，PC ＝4，M 是AB 边上的一动点，则PM 的最小值为( ) A. 23 B. 27 C. 47D. 43答案及解析：12.B 【分析】构造△PCM ，根据面面垂直以及线面垂直的性质，△PCM 是直角三角形，根据点到直线的垂线段最短，当M 是AB 的中点时，CM 的长最小，此时PM 的长最小. 【详解】如图，连接CM ，则由题意PC ⊥平面ABC ，可得PC ⊥CM ，所以PM 22PC CM + ， 要求PM 的最小值只需求出CM 的最小值即可. 在△ABC 中，当CM ⊥AB 时，CM 有最小值， 此时有CM=3423= 所以PM 的最小值为27【点睛】本题考查了面面垂直及线面垂直的性质，考查了点到直线的距离中垂线段最短；已知面面垂直时，一般先从现有的线段中寻找平面的垂线，若图中不存在，再作辅助线. 评卷人 得分一、填空题 本大题共5道小题。
2020届高考数学陕西省文数试题含解析
陕西省高考文科数试模拟题一一、选择题（每题一个选项，每题5分共60分）1．已知集合A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是矩形}，C＝{x|x是正方形}，D＝{x|x是菱形}，则（）A．A⊆B B．C⊆B C．D⊆C D．A⊆D2．设z是复数z的共轭复数，且（1﹣2i）z=5i，则|z|＝（）A．3 B．5 C．√3D．√53．一个体积可忽略不计的小球在边长为2的正方形区域内随机滚动，则它在离4个顶点距离都大于1的区域内的概率为（）A．π4B．1−π4C．π2−1D．2π4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“a＝2b cos C”是“△ABC是等腰三角形”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．如图，在底面边长为1，高为2的正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是平面A1B1C1D1内一点，则三棱锥P﹣BCD的正视图与侧视图的面积之和为（）A．2 B．3 C．4 D．56．在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n）（n≥2，x1，x2，…，x n不全相等）的散点图中，若所有样本点（x i，y i）（i＝1，2，…，n）都在直线y=12x+1上，则这组样本数据的样本相关系数为（）A．﹣1 B．0 C．12D．17．已知两个非零单位向量e1→，e2→的夹角为θ，则下列结论不正确的是（）A．∀θ∈R，（e1→+e2→）⊥（e1→−e2→）B．e1→在e2→方向上的投影为sinθC．e1→2=e2→2D．不存在θ，使e1→•e2→=√28．已知命题p：直线a∥b，且b⊂平面α，则a∥α；命题q：直线l⊥平面α，任意直线m⊂α，则l⊥m．下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∨（非q）C．（非p）∧q D．p∧（非q）9．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x﹣3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是（）A．（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1 B．（x﹣2）2+（y+1）2＝1C．（x+2）2+（y﹣1）2＝1 D．（x﹣3）2+（y﹣1）2＝110．抛物线y2＝ax（a＞0）的准线与双曲线C：x28−y24=1的两条渐近线所围成的三角形面积为2√2，则a的值为（）A．8 B．6 C．4 D．211．函数y＝sin（2x+π3）的图象经下列怎样的平移后所得的图象关于点（−π12，0）中心对称（）A．向左平移π12B．向右平移π12C．向左平移π6D．向右平移π612．已知定义在R上的函数f（x）满足f（3﹣x）＝f（3+x），且对任意x1，x2∈（0，3）都有f(x2)−f(x1)x2−x1＜0，若a=2−√3，b＝log23，c＝e ln4，则下面结论正确的是（）A．f（a）＜f（b）＜f（c）B．f（c）＜f（a）＜f（b）C．f（c）＜f（b）＜f（a）D．f（a）＜f（c）＜f（b）二、填空题（每小题5分，每题5分共20分）13．若sin（π2+α）=−35，α∈（0，π），则sinα＝．14．设函数f（x）＝x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）为奇函数，则曲线y＝f（x）在点（0，0）处的切线方程为．15．已知正方体内切球的体积为36π，则正方体的体对角线长为．16．已知椭圆x2a12+y2b12=1（a1＞b1＞0）与双曲线x2a22−y2b22=1（a2＞0，b2＞0）有公共的左、右焦点F1，F2，它们在第一象限交于点P，其离心率分别为e1，e2，以F1，F2为直径的圆恰好过点P，则1e12+1e22=．三．解答题：（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知正项等比数列{a n}满足a1+a2＝6，a3﹣a2＝4．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记b n=1log2a n log2a n+1，求数列{b n}的前n项和T n．18．（12分）销售某种活海鲜，根据以往的销售情况，按日需量x（公斤）属于[0，100），[100，200），[200，300），[300，400），[400，500]进行分组，得到如图所示的频率分布直方图．这种海鲜经销商进价成本为每公斤20元，当天进货当天以每公斤30元进行销售，当天未售出的须全部以每公斤10元卖给冷冻库．某海鲜产品经销商某天购进了300公斤这种海鲜，设当天利润为Y元．（Ⅰ）求Y关于x的函数关系式；（Ⅱ）结合直方图估计利润Y不小于800元的概率．19．（12分）如图1，在平面多边形BCDEF中，四边形ABCD为正方形，EF∥AB，AB＝2EF＝2，沿着AB 将图形折成图2，其中∠AED＝90°，AE＝ED，H为AD的中点．（1）求证：EH⊥BD；（2）求四棱锥D﹣ABFE的体积．20．（12分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)上的点到两个焦点的距离之和为23，短轴长为12，直线l与椭圆C交于M、N两点．（I）求椭圆C的方程；（II）若直线l与圆O：x2+y2=125相切，证明：∠MON为定值．21．（12分）已知函数f（x）＝lnx+a（1﹣x）．（1）讨论f （x ）的单调性；（2）当f （x ）有最大值，且最大值大于2a ﹣2时，求a 的取值范围．选做题：请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴非负半轴重合，直线l 的参数方程为：{x =tcosαy =1+tsinα（t 为参数，α∈[0，π）），曲线C 的极坐标方程为：ρ＝4sinα． （1）写出曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于P ，Q 两点，若|PQ|=√15，求直线l 的斜率． [选修4-5：不等式选讲]23．设函数f （x ）＝|x +1|+|x ﹣2|． （1）求不等式f （x ）≤3 的解集；（2）当x ∈[2，3]时，f （x ）≥﹣x 2+2x +m 恒成立，求m 的取值范围．一、选择题（每题一个选项，每题5分共60分）1．【详解详析】因为菱形是平行四边形的特殊情形，所以D ⊂A ， 矩形与正方形是平行四边形的特殊情形，所以B ⊂A ，C ⊂A ， 正方形是矩形，所以C ⊆B ． 故选：B ．2．【详解详析】由（1﹣2i ）z =5i ，得z =5i1−2i =5i(1+2i)(1−2i)(1+2i)=−2+i ， ∴|z |＝|z |=√5． 故选：D ．3．【详解详析】以四个顶点为圆心，1为半径作圆，当小球在边长为2的正方形区域内随机滚动，离顶点的距离不大于1，其面积为π， ∵边长为2的正方形的面积为4，∴它在离4个顶点距离都大于1的区域内的概率为P =4−π4=1−π4．故选：B ．4．【详解详析】∵当a ＝2b cos C 时， ∴cos C =a2b ∵cos C =a 2+b 2−c 22ab∴a2b =a 2+b 2−c 22ab，化简整理得b ＝c∴△ABC 为等腰三角形．反之，“△ABC 是等腰三角形，不一定有b ＝c ， 从而a ＝2b cos C 不一定成立．则“a ＝2b cos C ”是“△ABC 是等腰三角形”的充分不必要条件． 故选：A ．5．【详解详析】三棱锥P ﹣BCD 的正视图是底面边长为1，高为2的三角形，面积为：1； 三棱锥P ﹣BCD 的假视图也是底面边长为1，高为2的三角形，面积为：1； 故三棱锥P ﹣BCD 的正视图与侧视图的面积之和为2， 故选：A ．6．【详解详析】由题设知，所有样本点（x i ，y i ）（i ＝1，2，…，n ）都在直线y =12x +1上，∴这组样本数据完全正相关，故其相关系数为1， 故选：D ．7．【详解详析】∵|e 1→|=|e 2→|=1，∴(e 1→+e 2→)⋅(e 1→−e 2→)=e 1→2−e 2→2=1−1=0，∴(e 1→+e 2→)⊥(e 1→−e 2→)，∴A 正确；e 1→在e 2→方向上的投影为|e 1→|cosθ=cosθ，∴B 错误；显然e 1→2=e 2→2，∴C正确；e 1→⋅e 2→=cosθ＜√2，∴不存在θ，使e 1→•e 2→=√2，∴D 正确． 故选：B ．8．【详解详析】根据线面平行的判定，我们易得命题p ：若直线a ∥b ，直线b ⊂平面α，则直线a ∥平面α或直线a 在平面α内，命题p 为假命题；根据线面垂直的定义，我们易得命题q ：若直线l ⊥平面α，则若直线l 与平面α内的任意直线都垂直，命题q 为真命题；故：A 命题“p ∧q ”为假命题； B 命题“p ∨（￢q ）”为假命题； C 命题“（￢p ）∧q ”为真命题； D 命题“p ∧（￢q ）”为假命题．故选：C ．9．【详解详析】设圆心坐标为（a ，b ）（a ＞0，b ＞0）， 由圆与直线4x ﹣3y ＝0相切，可得圆心到直线的距离d =|4a−3b|5=r ＝1，化简得：|4a ﹣3b |＝5①，又圆与x 轴相切，可得|b |＝r ＝1，解得b ＝1或b ＝﹣1（舍去），把b ＝1代入①得：4a ﹣3＝5或4a ﹣3＝﹣5，解得a ＝2或a =−12（舍去）， ∴圆心坐标为（2，1），则圆的标准方程为：（x ﹣2）2+（y ﹣1）2＝1． 故选：A ．10．【详解详析】抛物线y 2＝ax 的准线为x =−a4， 双曲线C ：x 28−y 24=1的两条渐近线为y ＝±√22x ，可得两交点为（−a 4，√28a ），（−a 4，−√28a ）， 即有三角形的面积为12•a 4•√24a ＝2√2， 解得a ＝8， 故选：A ．11．【详解详析】假设将函数y ＝sin （2x +π3）的图象平移ρ个单位得到：y ＝sin （2x +2ρ+π3）关于点（−π12，0）中心对称∴将x =−π12代入得到：sin （−π6+2ρ+π3）＝sin （π6+2ρ）＝0 ∴π6+2ρ＝k π，∴ρ=−π12+kπ2，当k ＝0时，ρ=−π12 故选：B ．12．【详解详析】根据题意，定义在R 上的函数f （x ）满足f （3﹣x ）＝f （3+x ），则函数f （x ）关于直线x ＝3对称，c ＝e ln 4＝4，f （c ）＝f （4）＝f （2）， 又由对任意x 1，x 2∈（0，3）都有f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1＜0，则函数f （x ）在（0，3）上为减函数，若a =2−√3=3，b ＝log 23，则有0＜a ＜1＜b ＜2，则f （c ）＜f （b ）＜f （a ），。
陕西省西安地区2020届高三下学期八校联考数学试题(B卷)(文)(解析版)
陕西省西安地区2020届高三下学期八校联考数学试题（B 卷） (文)一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合{}|3xM y y ==，集合(){}|lg 1S x y x ==-，则下列各式正确的是（ ）A. M S M ⋃=B. M S S ⋃=C. M S =D. M S ⋂=∅『答案』A『解析』{}|0M y y =>，{}|1S x x => ∴S M ⊆， ∴M S M ⋃=， 故选:A.2. 若()243i z i -=-+，则z 所对应的的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限『答案』D『解析』()243i z i -=-+()()()5252222i z i i i i +∴===+--+， ∴2z i =-， 故选：D.3. 某城市收集并整理了该市2019年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：C ︒）的数据，绘制了下面的折线图.已知该市的各月最低气温与最高气温具有较好的线性关系，则根据该折线图，下列结论错误的是（ ）A. 最低气温与最高气温为正相关B. 10月的最高气温不低于5月的最高气温C. 最低气温低于0C ︒的月份有4个D. 月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月 『答案』C『解析』由该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：C)︒的数据的折线图，得：在A 中，最低气温与最高气温为正相关，故A 正确；在B 中，10月的最高气温不低于5月的最高气温，故B 正确； 在C 中，最低气温低于0C ︒的月份有3个，故C 错误．在D 中，月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月，故D 正确； 故选：C ．4. 如果消息A 发生的概率为()P A ，那么消息A 所含的信息量为21()log ()I A P A =，若王教授正在一个有4排8列座位的小型报告厅里听报告，则发布的以下4条消息中，信息量最大的是（ ） A. 王教授在第4排 B. 王教授在第4排第5列 C. 王教授在第5列 D. 王教授在某一排『答案』B『解析』信息量最大时，()P A 最小，因为王教授在第4排第5列发生的概率最小，所以选B.5. 函数(01)||xxa y a x =<<的图像的大致形状是（ ） A. B.C. D.『答案』D『解析』根据01a <<(01)||x xa y a x =<<,0,0x x a x y a x ⎧>∴=⎨-<⎩01a <<，∴x y a =是减函数，x y a =-是增函数.(01)||xxa y a x =<<在(0)+∞，上单调递减，在()0-∞，上单调递增 故选：D.6. 在三棱锥P －ABC 中，平面P AC ⊥平面ABC ，∠PCA ＝90°，△ABC 是边长为4的正三角形，PC ＝4，M 是AB 边上的一动点，则PM 的最小值为( )『答案』B『解析』如图，连接CM ，则由题意PC ⊥平面ABC ，可得PC ⊥CM ，所以PM ， 要求PM 的最小值只需求出CM 的最小值即可. 在△ABC 中，当CM ⊥AB 时，CM 有最小值，此时有CM=42⨯=所以PM 的最小值为7. 我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，面积为S ，则“三斜求积”公式为S ＝.若a 2sinC ＝4sinA ，(a ＋c)2＝12＋b 2，则用“三斜求积”公式求得△ABC 的面积为( )A.B. 2C. 3D.『答案』A『解析』由正弦定理得24,4a c a ac ==，且2221224a c b ac +-=-=，代入面积公式得= 8. 如果22log log 32x ππ-≤，那么sin x 的取值范围为（ ）A. 11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. 1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. 111,,1222⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦D. 1,123⎡⎛⎤- ⎢⎥ ⎣⎭⎝⎦『答案』B 『解析』∵22log log 32x ππ-≤，∴032x ππ<-≤，∴5,,6336x ππππ⎡⎫⎛⎤∈-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦，∴1sin ,12x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 故选：B.9. 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点为1F ，左、右顶点为1A 、2A ，P 为双曲线上任意一点，则分别以线段1PF ，1A 2A 为直径的两个圆的位置关系为（ ） A. 外切或外离 B. 相交或内切C. 内含或外离D. 内切或外切『答案』D『解析』设线段1PF 的中点为A ，12PF r =，则： ①当P 在双曲线的左支时，如图所示：212OA PF a r ==+，∴两圆外切； ②当P 在双曲线的右支时，如图所示：212OA PF r a ==-，∴两圆内切； 故选D.10. 设点1F ､2F 分别为椭圆C ：22194x y +=的左､右焦点，点P 为椭圆C 上任意一点，若使得120PF PF ⋅=成立的点的个数是（ ）A. 4B. 2C. 0D. 2或4『答案』A『解析』由题意知，())12,F F ，∵120PF PF ⋅=，∴点P 在以O23<<，∴使得120PF PF ⋅=成立的点的个数是4个，故选:A.11. 若函数()22ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点1x ，2x ，则实数a 的取值范围是（ ） A. 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B. 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D. ()0,1『答案』C『解析』』由题意：()21221'220ax x f x ax x x-+=-+==有两个不同正根，∴48010a a∆=->⎧⎪⎨>⎪⎩， 即：102a <<， 故选:C.12. 如图所示，正方形ABCD 的边长为2，切去阴影部分围成一个正四棱锥，则当正四棱锥体积最大时，该正四棱锥外接球的表面积为（ ）A.3B.5225πC.16925πD.338125π『答案』D『解析』由题意，正方形ABCD 的边长为2设正四棱锥边长为a ，高为h ，可得：22h =，(0a <<．正四棱锥体积213V a h =最大时，即V ．由452y a =-，则348y a '=-， 令0y '=，可得a ，即当a =体积取得最大值；h ∴ 正四棱锥底面正方形外接圆45r =．正四棱锥外接球的半径R ，可得22245R R ⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭解得：2169250R =正四棱锥外接球的表面积23384125S R ππ==． 故选：D ．二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 若函数()()()1f x x x x a =-+为奇函数，则a =______. 『答案』1.『解析』∵函数()()()1f x x x x a =-+为奇函数， ∴函数()()1y x x a =-+为偶函数， ∴1a =. 故答案为：1.14. 设123,,e e e 为单位向量，且()312102e e ke k =+>，若以向量12,e e 为邻边的三角形的面积为12，则k 的值为__________．『答案』2『解析』两端平方得222114k ke e =++⋅， 又121122S e e sin θ==， 得1sin θ=,即12,e e 夹角为90︒,所以120e e ⋅=， 即234k =，又 0k >， 所以k =.15. 我国《洛书》中记载着世界上最古老的幻方：将1，2，…，9填入方格内使三行､三列､两条对角线的三个数之和都等于15，如图所示.一般地，将连续的正整数1，2，…，2n 填入n n ⨯个方格中，使得每行､每列､每条对角线上的数的和相等，这个正方形叫做n 阶幻方.记n 阶幻方的对角线上数的和为n N ，例如315N =，434N =，565N =，那么6N =______.『答案』111的『解析』由题意：()222666161262N +=++⋅⋅⋅+=，∴6111N =.故答案为:111.16. 设当x θ=时，函数()3sin 4cos f x x x =-取得最大值，则cos θ=______. 『答案』45-. 『解析』()343sin 4cos 5(sin cos )55f x x x x x =-=- 令34cos ,sin 55ϕϕ==，则()5(sin cos cos sin )5sin()f x x x x ϕϕϕ=-=-， 因为当x θ=时，函数()3sin 4cos f x x x =-取得最大值， 所以5sin()5θϕ-=，所以2,2k k Z πθϕπ-=+∈，所以2,2k k Z πθϕπ=++∈，所以cos cos(2),2k k Z πθϕπ=++∈ 所以4cos sin 5θϕ=-=- 故答案为：45-， 三､解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17题~第21题为必考题，每个考题考生必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.17. 设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21441n n S a n +=--，*n ∈N ，且11a =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若()1nn n b S =-，求{}n b 的前99的项99T .解：（1）∵21441n n S a n +=--，∴2144(1)1(2)n n S a n n -=---≥，∴22144n n n a a a +=-- ，即：()2212n n a a +=+，∵0n a >，∴12(2)n n a a n +=+≥，∵11a =，21245S a =-，∴23a =，∴12n n a a +=+，*n N ∈， ∴()12121n a n n =+-=-； （2）2n S n =，∴()21nn b n =-，∴2222229912349899T =-+-+++-22123498994999994950=+++++-=⨯-=-.18. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中将底面为直角三角形的直棱柱称为堑堵，将底面为矩形的棱台称为刍童.在如图所示的堑堵ABM DCP -与刍童1111ABCD A B C D -的组合体中AB AD =，90MAB ∠=︒.台体体积公式：(1'3V S S h =+，其中S ､'S 分别为台体上､下底面面积，h 为台体高.（1）证明：BD ⊥平面MAC ；（2）若1AB =，112A D =，MA =111A A B D -的体积为3，求该组合体的体积.（1）证明：由题可知ABM DCP -是底面为直角三角形的直棱柱，AD ∴⊥平面MABAD MA ∴⊥, 又MA AB ⊥，,AD AB A AD ⋂=,AB 平面ABCD ，MA ∴⊥ ABCD ,MA BD ∴⊥ 又AB AD =，∴四边形ABCD 为正方形，BD AC ∴⊥,又,MA AC A MA ⋂=,AC ⊂平面MAC ，BD ∴⊥平面MAC .（2）解：设刍童1111ABCD A B C D -的高为h ，则三棱锥111A A B D -体积112232V h =⋅⋅⋅⋅=，所以h =故该组合体的体积为(2211111223236V =⋅+++=+=. 19. “难度系数”反映试题难易程度，难度系数越大，题目得分率越高，难度也就越小.“难度系数”的计算公式为1YL W=-，其中L 为难度系数，Y 为样本平均失分，W 为试卷总分(一般为100分或150分).某校高三年级的杨老师命制了某专题共5套测试卷(总分150分)，用于对该校高三年级480名学生进行每周测试，测试前根据自己对学生的了解，预估了每套试卷的难度系数，如下表所示：测试后，随机抽取了50名学生的数据进行统计，结果如下： （1）根据试卷2的难度系数估计这480名学生第2套试卷的平均分；（2）从抽样的50名学生的5套试卷中随机抽取2套试卷，求抽取2套试卷中恰有一套学生的平均分超过96分的概率；（3）试卷的预估难度系数和实测难度系数之间会有偏差，设'i P 为第i 套试卷的实测难度系数，并定义统计量()()()222'''11221n n S P P P P P P n ⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅+-⎢⎥⎣⎦，若0.001S <，则认为本专题的5套试卷测试的难度系数预估合理，否则认为不合理，试检验本专题的5套试卷对难度系数的预估是否合理.解：（1）估计这480名学生第2套试卷的平均分的估计值为：1500.6496⨯=； （2）5套试卷中随机抽取2套试卷，共有10种可能，分别是：()1,2，()1,3，()1,4，()1,5，()2,3，()2,4，()2,5，()3,4，()3,5，()4,5，的恰有一套学生的平均分超过96分的有：()1,3，()1,4，()1,5，()2,3，()2,4，()2,5， 共6种，∴63105P ==； （3）222221(0.680.7)(0.660.64)(0.620.6)(0.620.6)(0.580.55)5S ⎡⎤=-+-+-+-+-⎣⎦ 0.00050.001=<，故本专题的5套试卷对难度系数的预估合理.20. 已知点F 是抛物线()220x py p =>的焦点，过F 的弦被焦点分成两段的长分别是2和6.（1）求此抛物线的方程；（2）P 是抛物线外一点，过P 点作抛物线的两条切线PA ，PB （A ，B 是切点），两切线分别交x 轴于C ，D ，直线AB 交抛物线对称轴于点Q ，求证四边形PCQD 是平行四边形. 解：（1）0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 设过F 的弦所在直线方程为：2py kx =+，其与抛物线交于()()1122,,,M x y N x y ， 联立222x py p y kx ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，即2220x kpx p --=，212122,x x pk x x p +=⋅=-，所以()212122y y k x x p pk p +=++=+，2221212244x x p y y p == 不妨设122,622p pMF y NF y =+==+=， ()12122121212121111222222224p py y y y p p p p p p p MF NF p y y y y y y y y ++++++=+===⎛⎫⎛⎫+++++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 11112,326p MF NF p+=+==， ∴此抛物线的方程为：26x y =；（2）设211,6x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,6x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3xy '=， ∴直线PA 的方程为：()1113x y y x x -=-， 即：21136x x y x =-；令10,2x y x ==，所以1,02x C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，同理，直线PB 的方程为：22236x x y x =-；令20,2x y x ==，所以2,02x D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线AB 的方程为：()()222112121666x x x y x x x x ⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即：121266x x x x y x +=-； 令120,6x x x y ==-，所以120,6x x Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，2112223636x x y x x x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以1212,26x x x x P +⎛⎫ ⎪⎝⎭， 212,26x x x CP ⎛⎫= ⎪⎝⎭，212,26x x x QD ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以CP QD =，∴四边形PCQD 是平行四边形. 21. 已知函数()21xf x e x ax =---.（1）当0x ≥时，若不等式()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围； （2）若0x >，证明()()21ln 1xe x x -+>.解：（1）由条件得()12xf x e ax =--'，令()12xh x e ax =--，则()2xh x e a '=-.①当21a ≤时，在[]0,+∞上，()0h x '≥，()h x 单调递增 ∴()()0h x h ≥，即()()00f x f ''≥=，∴()f x 在[]0,+∞上为增函数，∴()()00f x f ≥=∴12a ≤时满足条件. ②当21a >时，令()0h x '=解得ln2x a =，在[]0,ln2a 上，()0h x '<，()h x 单调递减， ∴当()0,ln2x a ∈时，有()()00h x h <=，即()()00f x f ''<=，()f x 在()0,ln2a 上为减函数，∴()()00f x f <=，不合题意.综上实数a 的取值范围为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．（2）由（1）得，当12a =，0x >时，212x x e x >++，即222122xx x x e x +->++=， 要证不等式()()21ln 1xe x x -+>，只需证明()21ln 1xx e x ->+，只需证明()2222ln 1x x x x +>+， 只需证()2ln 12xx x+>+， 设()()2ln 1(0)2x F x x x x =+->+，则()()()()222211212x x F x x x x x =-=++++'， ∴当0x >时，()0F x '>恒成立，故()F x 在()0,+∞上单调递增， 又()00F =，∴()0F x >恒成立．∴原不等式成立．22. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：()()225519x y -+-=，以O 为极点、x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系（两种坐标系取相同的单位长度）.直线l ：0θθ=与曲线C 交于A 、B 两点，其中()00,θπ∈，04cos 5θ=. （1）求曲线C 的极坐标方程； （2）求AB 的值.解：（1）因为圆C 的直角坐标方程为()()225519x y -+-=，即221010310x y x y +--+=，所以圆C 的极坐标方程为：210cos 10sin 310ρρθρθ--+=；的（2）因为()00,θπ∈，04cos 5θ=，所以03sin 5θ=， 联立2010cos 10sin 310ρρθρθθθ⎧--+=⎨=⎩，可得214310ρρ-+=，则1214ρρ+=，1231ρρ=， 故12AB ρρ=-==23. 已知0a >，0b >，且222a b +=. (1)若2214211x x a b+≥---恒成立，求x 的取值范围； (2)证明：()55114a b a b ⎛⎫++≥⎪⎝⎭. 解：（1）设,1121132,121,2x x y x x x x x x ⎧⎪≥⎪⎪=---=-≤<⎨⎪⎪-<⎪⎩由222a b +=，得()22112a b +=. 故()222222141142a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭ 222214142b a a b ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭191422⎛≥++= ⎝. 所以92112x x ≥---. 当1x ≥时，92x ≤，得912x ≤≤；当112x ≤<时，9322x -≤，解得136x ≤，故112x ≤<； 当12x <时，92x -≤，解得92x ≥-，故9122x -≤<；综上，9922x -≤≤.（2）()5511a b a b ⎛⎫++⎪⎝⎭5544b a a b a b=+++，()55222222b a a ba b a b=+++-，()()2222222224a ba b a b ≥++=+=.。
2020届陕西省西安地区高三下学期八校联考数学(文)试题(B卷)解析
答案：D
设线段 的中点为 ， ，分 在双曲线的左支和 在双曲线的右支上两种情况，结合三角形的中位线和双曲线的定义判断.
解：
设线段 的中点为 ， ，则：
①当 在双曲线的左支时，如图所示：
，∴两圆外切；
②当 在双曲线的右支时，如图所示：
，∴两圆内切；
5．函数 的图像的大致形状是（）
A． B．
C． D．
答案：D
化简函数解析式，利用指数函数的性质判断函数的单调性，即可得出答案.
解：
根据
，
是减函数， 是增函数.
在 上单调递减，在 上单调递增
故选：D.
点评：
本题主要考查了根据函数表达式求函数图象，解题关键是掌握指数函数图象的特征，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
A．最低气温与最高气温为正相关
B．10月的最高气温不低于5月的最高气温
C．最低气温低于 的月份有4个
D．月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月
答案：C
由该市2019年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位： 的数据的折线图，得最低气温低于 的月份有3个．
解：
解：由该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位： 的数据的折线图，得：
解：
由题意知， ，∵ ，
∴点 在以 为圆心，半径为 的圆上，∵ ，
∴使得 成立的点的个数是4个，
故选:A.
点评：
本题考查了椭圆的简单性质以及平面向量的数量积运算，属于中档题.
11．若函数 有两个不同的极值点 ， ，则实数 的取值范围是（）
A． B． C． D．
答案：C
求出函数的导数，即可得 有两个不同正根，进而可得关于参数的不等式，即可求出实数 的取值范围.
2020届陕西省西安地区八校联考高三下学期高考押题卷文科数学试题(解析版)
2020届西安地区八校联考高考·押题卷数学*文科第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合{}212A x x =-<-<，{}1B x x =>，则A B =（ ）.A. {}1x x <- B. {}3x x > C. {1x x <-或}1x > D. {}13x x <<【答案】D 【解析】 【分析】利用集合的交集运算可得结果.【详解】{}{}21213A x x x x =-<-<=-<<A B ={}{}{}131|13x x x x x x -<<⋂>=<<,故选：D【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题. 2. 已知复数z 和虚数单位i 满足11iz =+；则z =（ ）. A.1122i - B. 1122i +C. 1i -D. 22i -【答案】B 【解析】 【分析】 先计算出11iz =+，即可得到共轭复数. 【详解】()()111111122i z i i i i -===-++-， 1122z i ∴=+. 故选：B.【点睛】本题考查复数的运算以及共轭复数的求法，属于基础题.3. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，95a =，108a =，则10S =（ ）. A.55-B. 55C. 135D. 65-【答案】A 【解析】 【分析】根据条件求出首项和公差，即可求出前10项和. 【详解】设数列{}n a 的公差为d ，911018598a a d a a d =+=⎧∴⎨=+=⎩，解得119,3a d =-=，1101010552a a S .故选：A.【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，考查前n 项和的计算，属于基础题.4. 已知x ，y 满足约束条件22310x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =-的最小值是（ ）.A. 7-B. 6-C. 12-D. 3【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件画出可行域，由2z x y =-可得2y x z =-，作0:2l y x =，沿着可行域的方向平移，截距最大的时候2z x y =-最小. 【详解】作出可行域如图所示：由103x x y +=⎧⎨+=⎩ 可得：14x y =-⎧⎨=⎩ ，即()1,4A - 当2z x y =-过()1,4A -时，()min 2146z =⨯--=-， 故选：B【点睛】本题主要考查了线性规划问题，关键是理解z 的几何意义，属于基础题. 5. 一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的体积为（ ）.A. 24π+B. 28π+C. 44π+D. 48π+【答案】B 【解析】 【分析】由几何体的三视图可知，这个几何体的上部为半个圆柱，底面半径为1，高为4，下部为长方体，长、宽、高分别为4、2、1，由此能求出该几何体的体积.【详解】由几何体的三视图可知，这个几何体的上部为半个圆柱，底面半径为1，高为4， 下部为长方体，长、宽、高分别为4、2、1， 所以该几何体的体积为2114421282V ππ=⨯⨯+⨯⨯=+. 故选：B【点睛】本题主要考查了由三视图求几何体的体积，考查空间想象能力，属于中档题. 6. 点()0,1M 与圆2220x y x +-=上的动点P 之间的最近距离为（ ）. A.2B. 2C.21D.21【答案】D 【解析】 【分析】求出点M 到圆心的距离，然后减去半径即得最近距离.【详解】将圆2220x y x +-=化为标准方程得()2211x y -+=，可知圆心为()1,0，半径为1， 则点M 到圆心()()2201102-+-=所以点M 与圆上的动点P 21. 故选：D.【点睛】本题考查圆上动点到圆外定点距离最小值的求法，属于基础题. 7. 若1x =是函数()ln x f x ae x x =+的极值点，则曲线()y f x =在（1，()1f ）处的切线方程是（ ）.A. 1y =-B. 10x y +-=C. y e =D. y ex =【答案】A【分析】根据题意可知()01f '=，即可求出a 得值，再求出(1)f 的值可得切点，斜率(1)0k f '==，即可写出方程. 【详解】由题意可得：()1ln xf x ae x '=++，因为1x =是函数()ln x f x ae x x =+的极值点，所以(1)10f ae '=+=， 解得1a e=-，所以()1ln x f x e x x e =-+， 可得()11ln11f e e=-⨯+=-，切点为()1,1-，斜率(1)0k f '==，所以切线为：1y =- 故选：A【点睛】本题主要考查了曲线在某点处的切线的斜率，涉及极值点处的导函数值等于0，属于中档题. 8. 执行如图所示程序框图，若输入的2a =，6b =，则输出的S 是（ ）.A. 15B. 16C. 17D. 18【解析】 【分析】按程序框图运行即可得到正确答案.【详解】第一步：2a =，6b =，0,2612S T ==⨯=，12S =，3a =，5b =，3515T =⨯=，S T >不成立，第二步：15S =，4a =，4b =，4416T =⨯=，S T >不成立， 第三步：16S =，5a =，3b =，5315T =⨯=，S T >成立， 输出16S =， 故选：B【点睛】本题主要考查了循环机构的程序框图，属于基础题.9. 若双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线与y 轴的夹角是6π，则双曲线C 的离心率是（ ）A.B.C. 2D.【答案】C 【解析】 【分析】求得b a 的值，再由e =可求得双曲线C 的离心率的值. 【详解】由于双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线与y 轴的夹角是6π，则直线b y x a =的倾斜角为3π，tan 3b a π∴==所以，双曲线C 的离心率为2c e a =====. 故选：C.【点睛】本题考查利用双曲线的渐近线求离心率，利用公式e =计算较为方便，考查计算能力，属于基础题.10. 已知某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图1和图2所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取20%的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为( )A. 100，8B. 80，20C. 100，20D. 80，8【答案】A 【解析】由题设中提供的直方图与扇形统计图可知样本容量是100n =，其中对四居室满意的人数为002010040800⨯⨯=，应选答案A ．11. 设函数()321,0,,0,x x f x x x x ⎧⎛⎫-<⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-≥⎩则当()2f f =（ ）. A.18B. 2-C.278D. 278-【答案】D 【解析】 【分析】先计算2)2f =- 【详解】因为2222f=-=-，所以()()312722228f ff ⎛⎫=-=-+=- ⎪⎝⎭，故选：D【点睛】本题主要考查分段函数求函数值，当含有多层f 时，要从内到外计算，属于基础题. 12. 设向量()2,4a =-，()3,b x =-，()1,1c =-，若()2a b c +⊥，则b =（ ） A. 310 B. 109 C. 3 D. 9【答案】A【解析】 【分析】首先求出2a b +的坐标，再根据向量垂直，得到()20a b c +=，即可求出参数x ，再根据向量模的坐标公式计算可得；【详解】解：因为()2,4a =-，()3,b x =-，()1,1c =-，所以()()()222,43,1,8a b x x +=-+-=-，因为()2a b c +⊥，所以()20a b c +=所以()()11180x ⨯+-⨯-=，解得9x =，所以()3,9b =-，所以()23b =-=故选：A【点睛】本题考查向量垂直的坐标表示以及向量的模，属于基础题.第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题13. 已知椭圆22214x y a +=（0a >）的一个焦点是（0），则椭圆的长轴长是______. 【答案】6 【解析】 【分析】依题意可得245a -=，即可求出参数a，从而求出长轴长；【详解】解：因为椭圆22214x y a +=（0a >）的一个焦点是（0），所以245a -=，即3a = 所以椭圆的长轴长26a = 故答案为：6【点睛】本题考查椭圆的简单几何性质，属于基础题.14. 已知圆O 内切于边长为2的正方形，在正方形内任取一点，则该点不在圆O 内的概率是______. 【答案】44π- 【解析】 【分析】计算正方形面积和内切圆的面积后可得所求的概率 【详解】正方形的面积为4，内切圆的面积为π，设事件A 为“在正方形内任取一点，则该点不在圆O 内”，则A中含有的基本事件对应的面积为4π-，故所求的概率为44π-.故答案为：44π-.【点睛】本题考查几何概型的概率计算，此类问题弄清楚用何种测度来计算概率是关键，本题属于基础题.15. 已知2nnb=，数列{}n b的前n项和n S，则7S=______.【答案】254【解析】【分析】根据等比数列前n项和公式()111nna qSq-=-，将7n=，2q，首项2，代入即可求得7S的值.【详解】因为2nnb=，所以{}n b是等比数列，首项12b=，2q，所以()7872122225412S⨯-==-=-.故答案为：254【点睛】本题主要考查了等比数列前n项和公式，属于基础题.16. 第二十四届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图设计的，如图，会标是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如果小正方形的面积为1，大正方形面积为25，直角三角形中较大锐角为θ，则cos2θ=_____.【答案】725-【解析】【分析】计算出直角三角形中θ的对边长，可求得sinθ的值，再利用二倍角的余弦公式可求得cos2θ的值.【详解】设直角三角形中θ的对边长为a，则较短的直角边长为1a-，由题意可得()141251242a a ⨯-=-=，整理得2120a a --=，1a >，解得4a =，大正方形的边长为5，4sin 5θ∴=，，因此，2247cos 212sin 12525θθ⎛⎫=-=-⨯=- ⎪⎝⎭. 故答案为：725-. 【点睛】本题考查利用二倍角的余弦公式求值，考查计算能力，属于中等题.三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答）17. 函数()sin 16f x m x πω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（0m >，0>ω）的最大值为3，其图像相邻两个对称中心之间的距离为2π. （1）求函数()f x 的解析式；（2）若在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且22B f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，b =ABC 的面积为a c +的值.【答案】（1）()2sin 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭；（2）6a c +=. 【解析】 【分析】（1）根据最大值可求出m ，然后根据图像相邻两个对称中心之间的距离为2π可求出最小正周期，进而得到ω，即可写出解析式； （2）根据条件可求出3B π=，然后根据面积公式可得8ac =,再由余弦定理可求出()236a c +=，即可得a c +的值.【详解】（1）∵函数()f x 的最大值为3， ∴13m +=，得2m =，∵函数()f x 图像的两条对称轴之间的距离为2π， ∴函数()f x 的最小正周期为π， ∴2ππω=，得2ω=，∴函数()f x 的解析式为()2sin 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭； （2）∵()2sin 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，即2sin 1226B f B π⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴1sin 62B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又0B π<<，5666B πππ-<-<， ∴66B ππ-=，∴3B π=， ∵11sin sin 23223ABC S ac B ac π===，∴8ac =， ∴由余弦定理得()222232cos3a c ac π=+-，即()236a c +=，∴6a c +=.【点睛】本题考查根据三角函数的性质求解析式，利用三角形面积公式和余弦定理求值，属于中档题.18. 20名学生某次数学考试成绩(单位：分)的频率分布直方图如下：(1)求频率直方图中a 的值；(2)分别求出成绩落在[50,60)与[60,70)中的学生人数；(3)从成绩在[50,70)的学生中人选2人，求这2人的成绩都在[60,70)中的概率． 【答案】(1)0.005,(2)2,3,(3)0.3 【解析】【详解】（1）据直方图知组距=10，由()23672101a a a a a ++++⨯=，解得10.005200a == （2）成绩落在[)50,60中的学生人数为20.00510202⨯⨯⨯= 成绩落在[)60,70中的学生人数为30.00510203⨯⨯⨯= （3）记成绩落在中的2人为12,A A ，成绩落在[)60,70中的3人为1B 、2B 、3B ， 则从成绩在学生中人选2人的基本事件共有10个：()()()()()()()()()()12111213212223121323,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A A A B A B A B A B A B A B B B B B B B其中2人的成绩都在中的基本事伯有3个：()()()121323,,,,,B B B B B B 故所求概率为310P =19. 如图四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 交点，BE ABCD ⊥平面， （I ）证明：平面AEC ⊥平面BED ；（II ）若120ABC ∠=，,AE EC ⊥ 三棱锥E ACD -的体积为6，求该三棱锥的侧面积.【答案】（1）见解析（2）5【解析】 【分析】（1）由四边形ABCD 为菱形知AC ⊥BD ，由BE ⊥平面ABCD 知AC ⊥BE ，由线面垂直判定定理知AC ⊥平面BED ，由面面垂直的判定定理知平面AEC ⊥平面BED ；（2）设AB =x ，通过解直角三角形将AG 、GC 、GB 、GD 用x 表示出来，在Rt ∆AEC 中，用x 表示EG ，在Rt ∆EBG 中，用x 表示EB ，根据条件三棱锥E ACD -6求出x ，即可求出三棱锥E ACD -的侧面积.【详解】（1）因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD ， 因为BE ⊥平面ABCD ，所以AC ⊥BE ，故AC ⊥平面BED . 又AC ⊂平面AEC ，所以平面AEC ⊥平面BED（2）设AB =x ，在菱形ABCD 中，由 ∠ABC =120°，可得AG =GC =3x,GB =GD =2x .因为AE ⊥EC ，所以在 Rt ∆AEC 中，可得EG =32x. 连接EG ，由BE ⊥平面ABCD ，知∆EBG 为直角三角形，可得BE =22x .由已知得，三棱锥E -ACD 的体积3116632E ACD V AC GD BE x -=⨯⋅⋅==故 x =2 从而可得AE =EC =ED 6. 所以∆EAC 的面积为3，∆EAD 的面积与∆ECD 的面积均为 5故三棱锥E -ACD 的侧面积为3+25【点睛】本题考查线面垂直的判定与性质；面面垂直的判定；三棱锥的体积与表面积的计算；逻辑推理能力；运算求解能力.20. 已知F 为抛物线C ：()220x py p =>的焦点，点(),1M m 在抛物线上，且98MF =.直线l ：2y kx =+与抛物线C 交于A 、B 两点.（1）求抛物线C 的方程；（2）设O 为坐标原点，y 轴上是否存在点P ，使得当k 变化时，总有OPA OPB ∠=∠？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）212x y =；（2）存在；P （0，2-）. 【解析】（1）根据抛物线的定义到焦点的距离等于到准线的距离，由98MF =，即可得到9128p +=，从而求出参数p 的值，即可得解；（2）设()0,P b ，()11,A x y ，()22,B x y .联立直线与抛物线方程，消去y ，列出韦达定理，由OPA OPB ∠=∠，则直线PA 和直线PB 的倾斜角互补，故其斜率互为相反数，即可得到方程，求出参数b 的值，即可得解；【详解】解：（1）根据抛物线的定义，得9128p +=，解得14p =.∴抛物线C 的方程为212x y =. （2）在y 轴上存在点p ，使得当k 变化时，总有OPA OPB ∠=∠.理由如下： 设()0,P b ，()11,A x y ，()22,B x y .由22,1,2y kx x y =+⎧⎪⎨=⎪⎩消去y ，得2220x ky --=.且2160k ∆=+>恒成立.∴122k x x +=，121x x =-.2112y x =，2222y x =. ∵OPA OPB ∠=∠时，直线PA 和直线PB 的倾斜角互补，故其斜率互为相反数. ∴()()21121212120PA PBx y b x y b y b y b x x k k x x -+---++=== ∴22212121220x x bx x x bx ⋅-+⋅-=，即()()122120x x b x x -+=∴()202kb --⋅=，得2b =-，即点P 的坐标为（0，2-）. 所以，y 轴上存在点P （0，2-），使得当k 变化时，总有OPA OPB ∠=∠ 【点睛】本题考查抛物线的定义的应用，直线与抛物线的综合应用，属于中档题. 21. 已知函数()()ln 1f x x =+，()()g x xf x '=，其中()f x '是()f x 的导函数. （1）求函数()()()F x mf x g x =-（m 为常数）的单调区间；（2）若0x ≥时，()()()1f x a g x ≥-恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）(],2-∞.【分析】（1）先对函数()F x 求导，再对m 分类讨论判断函数的单调性即可得出结论；（2）由题意转化已知条件令()()()()1ln 101a xM x x x x -=+-≥+，求导，再对a 分类讨论判断函数的单调性求最值即可求出实数a的取值范围.【详解】（1）∵()()ln 1f x x =+，()11f x x '=+. ∴()()()()ln 11xF x mf x g x m x x =-=+-+（1x >-）， ∴()()()()22111111m x m F x x x x +-'=-=+++. 当0m ≤时，()0F x '<，()F x 在()1,-+∞上单调递减； 当0m >时，由()0F x '=，得1mx m-=>-1， 11,m x m -⎛∈⎫- ⎪⎝⎭时，()0F x '<.1,x m m -⎛⎫+∞ ⎝∈⎪⎭时，()0F x '>.()F x 在11,m m -⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在1,m m -⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增. 综上所述，当0m ≤时，()F x 的单调递减区间是()1,-+∞；当0m >时，()F x 的单调递减区间是11,m m -⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调递增区间是1,m m -⎛⎫+∞⎪⎝⎭. （2）当0x ≥时，不等式()()()1f x a g x ≥-恒成立，即()()1ln 101a x x x -+-≥+恒成立，设()()()()1ln 101a xM x x x x -=+-≥+，则()()()()()221120111a x a M x x x x x -+-'=-=≥+++， 当2a ≤时，()0M x '≥， 仅当2a =，0x =时，等号成立；()M x 在[]0,+∞上递增；∴()()00M x M ≥=；()()()1f x a g x ≥-恒成立；当2a >时，由()0M x '=，得2=-x a ， 当()0,2x a ∈-时，()0M x '<，()M x 在()0,2a -上递减，有()()200M a M -<=，即()0,2x a ∃∈-使()0M x <， 综上所述，a 的取值范围是(],2-∞.【点睛】本题主要考查了利用函数求函数的单调区间以及利用导数求最值解决不等式恒成立问题.考查了构造函数的思想和分类讨论思想.属于中档题.请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. （选修：坐标系与参数方程）22. 选修4—4：坐标系与参数方程 已知曲线C 1的参数方程为45cos {55sin x ty t=+=+（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=2sinθ． （Ⅰ）把C 1的参数方程化为极坐标方程； （Ⅱ）求C 1与C 2交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ＜2π）【答案】（1）28cos 10sin 160ρρθρθ--+=；（2）),(2,)42ππ.【解析】【详解】试题分析：（1） 先根据同角三角函数关系cos 2t ＋sin 2t=1消参数得普通方程：（x －4）2＋（y －5）2＝25 ，再根据cos ,sin x y ρθρθ==将普通方程化为极坐标方程：28cos 10sin 160ρρθρθ--+=（2）将2sin ρθ=代入28cos 10sin 160ρρθρθ--+=得cos 0tan 1θθ==或得,2,24或ππθρθρ====试题解析： （1）∵C 1的参数方程为45cos {55sin x ty t=+=+∴（x －4）2＋（y －5）2＝25（cos 2t ＋sin 2t ）＝25， 即C 1的直角坐标方程为（x －4）2＋（y －5）2＝25， 把cos ,sin x y ρθρθ==代入（x －4）2＋（y －5）2＝25， 化简得：28cos 10sin 160ρρθρθ--+=.（2）C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2y ，C 1的直角坐标方程为（x －4）2＋（y －5）2＝25， ∴C 1与C 2交点的直角坐标为（1，1），（0，2）.∴C 1与C 2交点的极坐标为),(2,)42ππ.考点：参数方程化普通方程，直角坐标方程化极坐标方程（选修：不等式选讲）23. 已知函数()2f x m x =--，m ∈R ，且()1f x ≥的解集为{}13x x ≤≤. （1）求m 的值； （2）若,a b +∈R ，且112m a b a+=+，求3a b +的最小值. 【答案】（1）2m =；（2）2. 【解析】 【分析】（1）先整理()1f x ≥，可得21x m -≤-，利用解绝对值不等式的方法去绝对值即可得出结论；（2）利用已知条件和柯西不等式求解即可. 【详解】（1）()1f x ≥即21m x --≥， 得21x m -≤-，∴()121m x m --≤-≤-， 得31m x m -+≤≤+∵()1f x ≥的解集是{}13x x ≤≤，得3113mm-+=⎧⎨+=⎩，2m=，∴2m=.（2）由（1）得1122a b a+=+，由柯西不等式得，222224⎡⎤⎡⎤⎢⎥+⋅+≥=⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦. 即()224a b a++=，得32a b+≥.当12a=，32b=时，等号成立.∴3a b+的最小值是2. 【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法和柯西不等式.属于较易题.。
陕西省西安地区2020届高三下学期八校联考理科数学试题(B卷) Word版含解析
西安地区陕师大附中 西安高级中学 西安高新一中 西安交大附中 西安市83中西安市85中 西安市一中 西安铁一中 西安中学 西工大附中八校联考2020届高三年级数学（理科）试题本试卷共23题，共150分，共4页.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.2. 选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚.3. 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.4. 作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色的签字笔描黑.5. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正液、刮纸刀.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若集合{}|3x M y y ==，集合(){}|lg 1S x y x ==-，则下列各式正确的是（ ） A. M S M ⋃= B. M S S ⋃= C. M S = D.M S ⋂=∅【答案】A【解析】【分析】先求解出两个集合，根据两个集合的包含关系即可确定出选项.详解】{}|0M y y =>，{}|1S x x =>∴S M ⊆，∴M S M ⋃=， 故选:A.【点睛】本题考查了集合之间的关系及集合的运算，属于简单题目，解题时主要是根据两个集合中元素所满足的条件确定出两个集合，再确定出两个集合之间的包含关系.2. 若()243i z i -=-+，则z 所对应的的象限为（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】先根据()243i z i -=-+，利用复数的模和除法运算求得复数2+z i =，再利用复数的几何意义求解. 【详解】()243i z i -=-+()()()5252222i z i i i i +∴===+--+， ∴2z i =-，故选：D.【点睛】本题主要考查复数的运算以及复数的几何意义，属于基础题.3. 某城市收集并整理了该市2019年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：C ︒）的数据，绘制了下面的折线图.已知该市的各月最低气温与最高气温具有较好的线性关系，则根据该折线图，下列结论错误的是（ ）A. 最低气温与最高气温为正相关B. 10月的最高气温不低于5月的最高气温C. 最低气温低于0C ︒的月份有4个D. 月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月【答案】C【解析】【分析】由该市2019年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：C)︒的数据的折线图，得最低气温低于0C ︒的月份有3个．【详解】解：由该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：C)︒的数据的折线图，得：在A 中，最低气温与最高气温为正相关，故A 正确；在B 中，10月的最高气温不低于5月的最高气温，故B 正确；在C 中，最低气温低于0C ︒的月份有3个，故C 错误．在D 中，月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月，故D 正确；故选：C ．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查折线图等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于基础题．4. 将3本相同的小说，2本相同的诗集全部分给4名同学，每名同学至少1本，则不同的分法有（ ）A. 24种B. 28种C. 32种D. 36种【答案】B【解析】试题分析：第一类：有一个人分到一本小说和一本诗集，这种情况下的分法有：先将一本小说和一本诗集分到一个人手上，有4种分法，将剩余的2本小说，1本诗集分给剰余3个同学，有3种分法，那共有3412⨯=种；第二类：有一个人分到两本诗集，这种情况下的分法有：先两本诗集分到一个人手上，有4种情况，将剩余的3本小说分给剩余3个人，只有一种分法，那共有：414⨯=种，第三类：有一个人分到两本小说，这种情况的分法有：先将两本小说分到一个人手上，有4种情况，再将剩余的两本诗集和一本小说分给剩余的3个人，有3种分法，那共有：4312⨯=种，综上所述：总共有：1241228++=种分法，故选B.考点：1、分布计数乘法原理；2、分类计数加法原理.【方法点睛】本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.5. 函数(01)||xxa y a x =<<的图像的大致形状是（ ） A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】化简函数解析式，利用指数函数的性质判断函数的单调性，即可得出答案.【详解】根据01a <<(01)||xxa y a x =<< ,0,0x x a x y a x ⎧>∴=⎨-<⎩ 01a <<，∴x y a =是减函数，x y a =-是增函数.(01)||xxa y a x =<<在(0)+∞，上单调递减，在()0-∞，上单调递增 故选：D .【点睛】本题主要考查了根据函数表达式求函数图象，解题关键是掌握指数函数图象的特征，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.6. 在三棱锥P －ABC 中，平面PAC ⊥平面ABC ，∠PCA ＝90°，△ABC 是边长为4的正三角形，PC ＝4，M 是AB 边上的一动点，则PM 的最小值为( )A. 23B. 27C. 47D. 43【答案】B【解析】【分析】构造△PCM ，根据面面垂直以及线面垂直的性质，△PCM 是直角三角形，根据点到直线的垂线段最短，当M 是AB 的中点时，CM 的长最小，此时PM 的长最小.【详解】如图，连接CM ，则由题意PC ⊥平面ABC ，可得PC ⊥CM ，所以PM 22PC CM +，要求PM 的最小值只需求出CM 的最小值即可.在△ABC 中，当CM ⊥AB 时，CM 有最小值，此时有CM=4=所以PM 的最小值为【点睛】本题考查了面面垂直及线面垂直的性质，考查了点到直线的距离中垂线段最短；已知面面垂直时，一般先从现有的线段中寻找平面的垂线，若图中不存在，再作辅助线. 7. 我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，面积为S ，则“三斜求积”公式为S ＝若a 2sinC ＝4sinA ，(a ＋c)2＝12＋b 2，则用“三斜求积”公式求得△ABC 的面积为( )A. B. 2 C. 3 D.【答案】A【解析】由正弦定理得24,4a c a ac ==，且2221224a c b ac +-=-=，代入面积公式得=点睛：本题主要考查中国古代数学史，考查正弦定理的应用，考查新定义公式的理解和应用.由于题目已经给出三角形的面积公式，我们只需在题目中找到公式中需要的条件，即可求出三角形的面积.在两个已知条件中，第一个应用正弦定理可以转化为边的关系，第二个可直接求值，将这两个代入三角形面积公式，即可得出结论.8. 如果22log log 32x ππ-≤，那么sin x 的取值范围为（ ） A. 11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B. 1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. 111,,1222⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦D. 1,,12223⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎪ ⎣⎭⎝⎦【答案】B【解析】【分析】 首先根据22log log 32x ππ-≤，求得x 的取值范围，进而求得sin x 的取值范围即可. 【详解】∵22log log 32x ππ-≤， ∴032x ππ<-≤， ∴5,,6336x ππππ⎡⎫⎛⎤∈-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦， ∴1sin ,12x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，故选：B.【点睛】本题考查了对数函数相关不等式，考查了绝对值不等式，同时考查了三角函数的值域，需要一定的计算能力，属于中档题. 9. 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点为1F ，左、右顶点为1A 、2A ，P 为双曲线上任意一点，则分别以线段1PF ，1A 2A 为直径的两个圆的位置关系为（ ）A. 外切或外离B. 相交或内切C. 内含或外离D. 内切或外切【答案】D【解析】【分析】 设线段1PF 的中点为A ，12PF r =，分P 在双曲线的左支和P 在双曲线的右支上两种情况，结合三角形的中位线和双曲线的定义判断.【详解】设线段1PF 的中点为A ，12PF r =，则：①当P 在双曲线的左支时，如图所示：212OA PF a r ==+，∴两圆外切； ②当P 在双曲线的右支时，如图所示：212OA PF r a ==-，∴两圆内切； 故选D.【点睛】本题主要考查双曲线的定义和两圆的位置关系，还考查了数形结合的思想，属于基础题.10. 设点12,F F 分别为椭圆22:195x y C +=的左、右焦点，点P 是椭圆C 上任意一点，若使得12PF PF m ⋅=成立的点恰好是4个，则实数m 的值可以是（ ）A. 12B. 3C. 5D. 8【答案】B【解析】【分析】由题意，先求出a 、b 、c ，设()00,P x y ，表示出向量()()1002002,,2,PF x y PF x y =---=-- ，再整理得出m 的取值，得出答案.【详解】因为点12,F F 分别为椭圆22:195x y C +=的左、右焦点； 即()()122,0,2,0F F - ，2229,5,4,2a b c c ==== 设()00,P x y()()1002002,,2,PF x y PF x y =---=--由12PF PF m⋅=可得22004x y m +=+ 又因为P 在椭圆上，即2200195x y += 所以20994m x -= 要使得12PF PF m⋅=成立的点恰好是4个，则99094m -<< 解得1<m<5所以m 的值可以是3.故选B.【点睛】本题考查了椭圆的简单性质以及平面向量的数量积运算，属于中档题.11. 如图所示，正方形ABCD 的边长为2，切去阴影部分围成一个正四棱锥，则当正四棱锥体积最大时，该正四棱锥外接球的表面积为（ ）A. 22πB. 5225πC. 16925πD. 338125π 【答案】D【解析】【分析】正方形ABCD 的边长为2，设正四棱锥边长为a ，高为h ，可得22h =，正四棱锥体积213V a h =最大时，求解a 的值，可得正四棱锥边长a 和高h 的值，即可求解正四棱锥外接球的表面积．【详解】解：由题意，正方形ABCD 的边长为2，，折成正四棱锥后， 设正四棱锥边长为a ，高为h ，可得：22h =，(0a <<． 正四棱锥体积213V a h =最大时，即V =． 由452y a =，则348y a '=-，令0y '=，可得a ， 即当a =体积取得最大值； h ∴= 正四棱锥底面正方形外接圆45r =． 正四棱锥外接球的半径R ，可得22245R R ⎫⎛⎫-+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭解得：2169250R = 正四棱锥外接球的表面积23384125S R ππ==． 故选：D ．【点睛】本题考查球的表面积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，属于中档题．12. 若函数()22ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点1x ，2x ，且不等式()()12f x f x λ>+恒成立，则实数λ的取值范围是（ ）A. [)3,-+∞B. ()3,-+∞C. [),e -+∞D.(),e -+∞【答案】A 【解析】 【分析】先建立不等式组48010a a∆=->⎧⎪⎨>⎪⎩，再用a 表示出12x x ，12x x +，接着将()()12f x f x λ>+转化11ln12a aλ>-+-，最后构建新函数()()2ln 11g x x x x =-+->得到()13g λ≥=-即可解题.【详解】解：因为()22ln f x ax x x =-+，（0x >）所以()21221'220ax x f x ax x x -+=-+==有两个正根，∴48010a a∆=->⎧⎪⎨>⎪⎩， 即：102a <<，又∵2112210ax x -+=，2222210ax x -+=，1212x x a =，121x x a+=，∴()()22111212222ln 2ln ax x x ax f x f x x x λ-++-+>+=111222112ln 2ln 22x x x x x x =--++--+()121211ln 1ln12x x x x a a =-++-=-+-， 令()()2ln 11g x x x x =-+->，()1'20g x x=-<，∴()g x 在()1,+∞上单调递减， ∴()13g λ≥=-， 故选：A.【点睛】本题考查利用导函数研究不等式恒成立问题，利用导函数研究极值问题，是中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 若函数()()()1f x x x x a =-+为奇函数，则a =______. 【答案】1. 【解析】 【分析】根据函数()()()1f x x x x a =-+为奇函数，由()()1y x x a =-+为偶函数求解. 【详解】∵函数()()()1f x x x x a =-+为奇函数， ∴函数()()1y x x a =-+为偶函数， ∴1a =. 故答案为：1【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，属于基础题. 14. 设123,,e e e 为单位向量，且()312102e e ke k =+>，若以向量12,e e 为邻边的三角形的面积为12，则k 的值为__________． 【答案】32【解析】【详解】两端平方得222114k ke e =++⋅， 又121122S e e sin θ==，得1sin θ=,即12,e e 夹角为90︒,所以120e e ⋅=， 即234k =，又 0k >， 所以3k =.15. 我国的《洛书》中记载着世界上最古老的幻方：将1，2，…，9填入方格内使三行、三列、两条对角线的三个数之和都等于15，如图所示.一般地，将连续的正整数1，2，…，2n 填入n n ⨯个方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形叫做n 阶幻方.记n 阶幻方的对角线上数的和为n N ，例如315N =，434N =，565N =，……，那么n N =______.【答案】()212n n +.【解析】 【分析】首先根据题意得到()2112n N n n =+++，再利用等差数列求和即可. 【详解】由题知：()31129153N =++⋯+=，()411216343N =+++=…，()511225653N =+++=…，……，所以()()()222211212112nN n n n n n n n ++==+++=⨯. 故答案为：()212n n +【点睛】本题主要考查等差数列的求和，熟记公式为解题关键，属于简单题. 16. 设当x θ=时，函数()3sin 4cos f x x x =-取得最大值，则cos θ=______. 【答案】45-. 【解析】 【分析】利用辅助角公式先对函数化简，可得()5sin()f x x ϕ=-，其中34cos ,sin 55ϕϕ==， 由题意得5sin()5θϕ-=，得2,2k k Z πθϕπ-=+∈，从而可求出cos θ的值 【详解】解：()343sin 4cos 5(sin cos )55f x x x x x =-=- 令34cos ,sin 55ϕϕ==，则()5(sin cos cos sin )5sin()f x x x x ϕϕϕ=-=-， 因当x θ=时，函数()3sin 4cos f x x x =-取得最大值，所以5sin()5θϕ-=，所以2,2k k Z πθϕπ-=+∈，所以2,2k k Z πθϕπ=++∈，所以cos cos(2),2k k Z πθϕπ=++∈ 所以4cos sin 5θϕ=-=- 故答案为：45-， 【点睛】此题考查辅助角公式的应用，属于基础题三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17题~第21题为必考题，每个考题考生必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，2121233n n S a n n n +=---，*n N ∈. ()1求数列{}n a 的通项公式；()2若()1n n n b a =-，求{}n b 的前2n 项和为2nT.【答案】()12n a n =；()2222n n T n =+.【解析】 【分析】()1证出数列n an⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以首项为1，公差为1的等差数列，进而写出数列{}n a 的通项公式；()2结合平方差公式和等差数列求和公式求出结果即可.【详解】解：()12121233n n S a n n n +=---，*n N ∈， ∴()()321112122333n n n n n n S na n n n na ++++=---=-，① 当2n ≥时，()()()111213n n n n n S n a --+=--，②由①-②得()()112211n n n n S S na n a n n -+-=---+，1222n n n a S S -=-，∴()()1121n n n na n a n n a +=--+-，111n n a a n n +-=+，∴数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以首项为1，公差为1的等差数列，∴()111na n n n=+⨯-=，即2n a n =，()2n ≥ 当1n =时，上式显然成立，所以2n a n =，*n N ∈.()2()()211n nn n b a n =-=-，∴()()22222221234212n n T n =-+-++--+()()()()()()21214343221221n n n n =+⨯-++⨯-+++-⨯--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()1234212n n =+++++-+22n n =+.【点睛】本题考查等差数列的通项公式的求法，结合求和公式的知识点，考查分析问题能力，运算求解能力，属于中档题.18. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中将底面为直角三角形的直棱柱称为堑堵，将底面为矩形的棱台称为刍童.在如图所示的堑堵ABM DCP -与刍童1111ABCD A B C D -的组合体中AB AD =，90MAB ∠=︒.（1）证明：BD ⊥平面MAC ； （2）若1AB =，112A D =，3MA =111A A B D -23，求二面角1M AC B --的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）15【解析】【分析】（1）分别证明BD AC⊥和MA BD即可；（2）建立空间坐标系，利用向量法求解.【详解】（1）∵AB AD=，∴BD AC⊥，∵90MAB∠=︒，∴MA BD，∴BD⊥平面MAC；（2）设BD AC O⋂=，棱台的高为h，以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则三棱锥111A AB D-的体积为2233h=3h=∴(12,3B，22A⎛⎫⎪⎪⎝⎭，2,0,02C⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，故12,2,32B A⎛=⎝，()2,0,0CA=，设平面1ACB的法向量为(),,n x y z=，由1n B An CA⎧⋅=⎨⋅=⎩可得：223020x zx⎧=⎪⎨⎪=⎩，令3y=(0,3,2n=，取平面MAC的法向量为()0,1,0m=，则315cos,55m nm nm n⋅===，易知二面角1M AC B --的平面角为钝角，故二面角E BF C --的余弦值为15-. 【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查向量法求二面角的余弦值，属于中档题.19. 东方商店欲购进某种食品（保质期两天），此商店每两天购进该食品一次（购进时，该食品为刚生产的）.根据市场调查，该食品每份进价8元，售价12元，如果两天内无法售出，则食品过期作废，且两天内的销售情况互不影响，为了了解市场的需求情况，现统计该产品在本地区100天的销售量如下表：（视样本频率为概率）（1）根据该产品100天的销售量统计表，记两天中一共销售该食品份数为ξ，求ξ的分布列与期望（2）以两天内该产品所获得的利润期望为决策依据，东方商店一次性购进32或33份，哪一种得到的利润更大？【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意可得ξ的取值为30,31,32,33,34,35,36，计算相应的概率值即可确定分布列和数学期望；（2）分别求解当购进32份时的利润和购进33份时的利润即可确定利润更高的决策. 【详解】（1）根据题意可得()111305525P ξ==⨯=，()13331251025P ξ==⨯⨯=，()123313225510104P ξ==⨯⨯+⨯=，()11327332251010525P ξ==⨯⨯+⨯⨯=，()31221134210105550P ξ==⨯⨯+⨯=，()21235251025P ξ==⨯⨯=，()111361010100P ξ==⨯=， ξ的分布列如下：()131711213031323334353632.825254255025100E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= （2）当购进32份时，利润为()()2131324314830416252525⨯⨯+⨯-⨯+⨯-⨯ 107.5213.92 4.16125.6=++=， 当购进33份时，利润为()()()591313343248314163042410042525⨯⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯ 77.883012.96 3.84124.68=+++=， 125.6124.68>可见，当购进32份时，利润更高.【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望的计算，概率统计的预测作用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 20. 已知点F 是抛物线()220x py p =>的焦点，过F 的弦被焦点分成两段的长分别是2和6.（1）求此抛物线的方程；（2）P 是抛物线外一点，过P 点作抛物线的两条切线PA ，PB （A ，B 是切点），两切线分别交x 轴于C ，D ，直线AB 交抛物线对称轴于点Q ，求证四边形PCQD 是平行四边形. 【答案】（1）26x y =；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）设过F 的弦所在直线方程为：2py kx =+，其与抛物线交于()()1122,,,M x y N x y ，证明112MF NF p+=，则可求解.（2）设211,6x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,6x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据切线分别表示出直线PA 、PB 的方程，则C 、D 的坐标能表示出，联立直线PA 、PB 的方程，则P 的坐标可表示出，表示出直线AB 的方程，则Q 的坐标可表示出，最后说明CP QD =即可. 【详解】解：（1）0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 设过F 的弦所在直线方程为：2py kx =+，其与抛物线交于()()1122,,,M x y N x y ， 联立222x py p y kx ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，即2220x kpx p --=，212122,x x pk x x p +=⋅=-，所以()212122y y k x x p pk p +=++=+，2221212244x x p y y p == 不妨设122,622p pMF y NF y =+==+=， ()12122121212121111222222224p py y y y p p p p p p p MF NF p y y y y y y y y ++++++=+===⎛⎫⎛⎫+++++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 11112,326p MF NF p+=+==， ∴此抛物线的方程为：26x y =；（2）设211,6x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,6x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3xy '=， ∴直线PA 的方程为：()1113x y y x x -=-， 即：21136x x y x =-；令10,2x y x ==，所以1,02x C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，同理，直线PB 的方程为：22236x x y x =-；令20,2x y x ==，所以2,02x D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线AB 的方程为：()()222112121666x x x y x x x x ⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即：121266x x x x y x +=-； 令120,6x x x y ==-，所以120,6x x Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，2112223636x x y x x x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以1212,26x x x x P +⎛⎫ ⎪⎝⎭， 212,26x x x CP ⎛⎫= ⎪⎝⎭，212,26x x x QD ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以CP QD =，∴四边形PCQD 是平行四边形.【点睛】以直线和抛物线的位置关系为载体，考查求抛物线的标准方程，同时考查用向量法证明四边形是平行四边形，难题. 21. 已知函数()21xf x e x ax =---.（1）当0x ≥时，若不等式()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围； （2）若0x >，证明()()21ln 1xe x x -+>.【答案】（1）1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦（2）见解析【解析】 【分析】（1）求出函数导数()12xf x e ax '=--，令()12xh x e ax =--，再利用导数求得函数()h x 的单调性与最值，即可求解；（2）由（1）可知当12a =时，当0x >时，212xx x e >++，转化为2(e 1)ln(1)x x x -+>，进而转化为ln(1)22x x x +>+，构造新函数()ln(1)2(0)2xx x F x x =+->+，利用导数即可求解.【详解】（1）由条件得()12xf x e ax =--'，令()12xh x e ax =--，则()2xh x e a '=-.①当21a ≤时，在[]0,+∞上，()0h x '≥，()h x 单调递增∴()()0h x h ≥，即()()00f x f ''≥=，∴()f x 在[]0,+∞上为增函数，∴()()00f x f ≥=∴12a ≤时满足条件. ②当21a >时，令()0h x '=解得ln2x a =，在[]0,ln2a 上，()0h x '<，()h x 单调递减，∴当()0,ln2x a ∈时，有()()00h x h <=，即()()00f x f ''<=， ()f x 在()0,ln2a 上为减函数，∴()()00f x f <=，不合题意.综上实数a 的取值范围为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦． （2）由（1）得，当12a =，0x >时，212x x e x >++，即222122x x x x e x +->++=， 要证不等式()()21ln 1x e x x -+>，只需证明()21ln 1xx e x ->+，只需证明()2222ln 1x x x x +>+， 只需证()2ln 12x x x+>+， 设()()2ln 1(0)2x F x x x x =+->+，则()()()()222211212x x F x x x x x =-=++++'， ∴当0x >时，()0F x '>恒成立，故()F x 在()0,+∞上单调递增，又()00F =，∴()0F x >恒成立．∴原不等式成立．【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．（二）选考题.共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4—4：坐标系与参数方程]22. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：()()225519x y -+-=，以O 为极点、x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（两种坐标系取相同的单位长度）.直线l ：0θθ=与曲线C 交于A 、B 两点，其中()00,θπ∈，04cos 5θ=. （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）求AB 的值.【答案】（1）210cos 10sin 310ρρθρθ--+=；（2）【解析】【分析】（1）本题首先可将圆的直角坐标方程转化为221010310x y x y +--+=，然后通过直角坐标方程与极坐标方程的互化即可得出结果；（2）本题首先可根据04cos 5θ=得出03sin 5θ=，然后联立圆的极坐标方程以及0θθ=得出214310ρρ-+=，最后通过韦达定理以及12AB ρρ=-即可得出结果.【详解】（1）因为圆C 的直角坐标方程为()()225519x y -+-=，即221010310x y x y +--+=，所以圆C 的极坐标方程为：210cos 10sin 310ρρθρθ--+=；（2）因为()00,θπ∈，04cos 5θ=，所以03sin 5θ=， 联立2010cos 10sin 310ρρθρθθθ⎧--+=⎨=⎩，可得214310ρρ-+=， 则1214ρρ+=，1231ρρ=， 故12AB ρρ=-==【点睛】本题考查直角坐标方程与极坐标方程的互化以及极坐标方程的应用，可通过cos x ρθ=以及sin y ρθ=进行直角坐标方程与极坐标方程之间的互化，考查韦达定理的应用，是中档题.[选修4—5：不等式选讲]23. 已知0a >，0b >，且222a b +=.(1)若2214211x x a b+≥---恒成立，求x 的取值范围； (2)证明：()55114a b a b ⎛⎫++≥⎪⎝⎭. 【答案】（1）99{|}22x x -≤≤；（2）见解析. 【解析】 分析：（1）运用乘1法和基本不等式可得21a +24b 的最小值，再由绝对值不等式的解法，即可得到所求范围；（2））变形、运用基本不等式或柯西不等式，即可得证．详解：（1）设,1121132,121,2x x y x x x x x x ⎧⎪≥⎪⎪=---=-≤<⎨⎪⎪-<⎪⎩由222a b +=，得()22112a b +=. 故()222222141142a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭ 222214142b a a b ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭191422⎛≥++= ⎝. 所以92112x x ≥---. 当1x ≥时，92x ≤，得912x ≤≤； 当112x ≤<时，9322x -≤，解得136x ≤，故112x ≤<； 当12x <时，92x -≤，解得92x ≥-，故9122x -≤<； 综上，9922x -≤≤. （2）()5511a b a b ⎛⎫++⎪⎝⎭5544b a a b a b =+++， ()55222222b a a b a b a b=+++-，()()2222222224a b a b a b ≥++=+=.点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。