分形理论与材料的断裂性能
分形理论在农业物料力学特性研究中的运用-应用数学论文-数学论文
分形理论在农业物料力学特性研究中的运用-应用数学论文-数学论文——文章均为WORD文档，下载后可直接编辑使用亦可打印——0、引言农业物料物理特性是以与农业工程直接相关的各种农产物料(包括植物和动物物料以及以它们为原料加工的半成品和成品) 为对象的农业物料的基本物理参数及力学、光学、电学等特性。
农业物料物理特性的研究对其机械化生产、加工、运输、储藏过程以及产品质量评定等方面都具有重要的意义。
其中，农业物料的力学特性与农作物的种植、收获、运输、加工等过程更是紧密相关，在农作物机械化设备设计与改进的过程中，其力学特性是需要参考的重要依据之一。
分形是一种新的数学理论，分形理论以其处理复杂不规则图形、图像的优势被广泛应用。
随着分形理论研究的深入和应用领域的扩展，分形理论为农业物料物理特性的研究提供了新思路和新方法，在农业物料的表面形貌特征的表征、孔隙率、流动性、应力应变特性等方面均有研究，在农业物料物理特性研究中有着广阔的研究和应用前景。
1、分形与分形维数分形的概念是由Mandelbrot 于20 世纪70 年代提出的，研究对象为自然界的各种不规则现象。
一个分形对象就是一个粗糙的或的几何形状，它可以被分成若干部分，且每一部分都(至少近似地) 是整体形状的一个缩小尺寸的复制品。
相对于传统的欧几里得几何，分形几何更能展现出几何图形的复杂性。
例如，在欧几里得几何中，直线和曲线的维数均为1;在分形几何中，直线的分形维数为1，而曲线的维数则根据曲线的复杂程度，其分维值则在1 ～2 之间。
由此可以看出，分形为认识和分析复杂不规则现象提供了一种行之有效的方法，因此被广泛应用于自然科学和社会科学的众多领域。
分形被认为是20 世纪数学科学的重要发现之一。
判断一个对象是否具有分形形态的重要依据是该对象是否具有无标度性、自相似性或者自仿射性的特征。
即在不同的尺度上，将该对象的任何一个局部区域进行放大或者缩小，其形态和复杂程度等不发生变化。
木材断裂解离分形特征与分形断裂力学模型研究
包装工程第44卷第21期·70·PACKAGING ENGINEERING2023年11月木材断裂解离分形特征与分形断裂力学模型研究许威1,2，曹军1，花军1*，陈光伟1（1.东北林业大学机电工程学院，哈尔滨150040；2.哈尔滨商业大学轻工学院，哈尔滨150028）摘要：目的以椴木为研究对象，研究冲击载荷作用下椴木试件的断裂解离形貌特征和断裂力学特性，建立适用于木材原料断裂解离的分形断裂力学模型，并对其断裂解离力学行为进行描述。
方法对椴木试件进行冲击加载试验，分析试件断口的形貌特征和断裂力学特性，构建适用于木材原料断裂解离的分形断裂力学模型。
结果椴木试件横向冲击断裂断口裂纹形状和断口形貌特征比纵向冲击复杂，横、纵向冲击断裂断口均具有分形特征；椴木试件纵向冲击断裂韧性均值是横向冲击断裂韧性均值的1.112倍，椴木试件横、纵向冲击断口的分形维数均值分别为2.063 5和2.075 1，椴木试件横、纵向冲击韧性与其断口分形维数之间存在线性正相关关系，拟合优度分别为0.778 7和0.812 2；构建的木材原料断裂解离临界解离应力和断裂韧性的分形断裂力学模型也适用于脆性材料。
结论在木材原料冲击断裂解离时，木材原料初始裂纹长度越短，断裂解离断口越粗糙复杂，木材原料断裂解离所需要的能量越大；当裂纹沿着与冲击加载力方向垂直成大约1.055 rad方向扩展时所需的能量最小，木材原料最易沿该方向进行断裂解离。
关键词：木材原料；断裂解离；分形特征；分形维数；分形断裂力学模型中图分类号：S781；TS624 文献标识码：A 文章编号：1001-3563(2023)21-0070-08DOI：10.19554/ki.1001-3563.2023.21.009Fractal Characteristics of Fracture Dissociation and Fractal Fracture MechanicsModel of WoodXU Wei1,2, CAO Jun1, HUA Jun1*, CHEN Guang-wei1(1. College of Mechanical and Electrical Engineering, Northeast Forestry University, Harbin 150040, China;2. College of Light Industry, Harbin University of Commerce, Harbin 150028, China)ABSTRACT: The work aims to take basswood as the research object to study the fracture dissociation morphology and fracture mechanics characteristics of specimen under impact load and then establish a fractal fracture mechanics model suitable for fracture dissociation of wood raw material and describe its mechanical behavior in fracture dissociation.Impact load was applied to the basswood specimen, the morphology characteristics and fracture mechanics properties of the specimen were analyzed and the fractal fracture mechanics model suitable for the fracture dissociation of wood raw material was constructed. The transverse and longitudinal impact fracture of basswood specimen had fractal characteristics, but the crack shape and fracture morphology of transverse impact fracture were more complex than those of longitudinal impact fracture. The mean value for longitudinal impact fracture toughness of basswood specimen was 1.112 times that of the mean value of transverse impact fracture toughness. The mean values of transverse and longitudinal impact fracture dimensions for basswood specimen were 2.063 5 and 2.075 1, respectively. There was a linear positive correlation between收稿日期：2023-07-14基金项目：教育部高等学校博士学科点专项科研基金（博导类）课题（20130062110005）；黑龙江省普通本科高等学校青年创新人才培养计划（UNPYSCT-2020216）第44卷第21期许威，等：木材断裂解离分形特征与分形断裂力学模型研究·71·the transverse and longitudinal impact toughness of basswood specimen and its fracture fractal dimension, and the goodness of fit was 0.778 7 and 0.812 2, respectively. The critical dissociation stress model of wood raw material fracture dissociation and the fractal fracture mechanics model of fracture toughness were also applicable to brittle materials. When the wood raw material dissociates under the impact load, the shorter the initial crack length of wood raw material, the rougher and more complex the fracture dissociation fracture, the greater the energy required for the fracture dissociation of wood raw material. The energy required for the crack to propagate along the direction of about 1.055 rad perpendicular to the direction of the impact load force is the smallest, and the wood raw material is most likely to be broken and dissociate along this direction.KEY WORDS: wood raw material; fracture dissociation; fractal characteristics; fractal dimension; fractal fracture mechanics model木纤维是以木材为原材料，在研磨设备施加连续的冲击载荷作用下木材原料发生断裂解离而生成的纤维板等人造板的原材料[1]。
材料的断裂韧性研究
材料的断裂韧性研究断裂韧性是材料性能中的重要指标之一，它描述了材料在受力过程中抵抗断裂的能力。
随着科技的进步和工程领域对材料性能要求的提升，对材料的断裂韧性研究引起了广泛关注。
本文将介绍材料的断裂韧性的含义、重要性以及常用的研究方法。
一、断裂韧性的含义断裂韧性是材料在受力条件下抵抗断裂的能力，是材料强度和韧性的综合指标。
一个材料具有较高的断裂韧性通常意味着它能承受更大的载荷、更大的变形以及更高的应力集中。
断裂韧性的高低直接关系到材料在使用中的可靠性和安全性。
二、断裂韧性的重要性1. 工程设计：在工程设计中，材料的断裂韧性是评估材料是否能够承受外部冲击和载荷的重要依据。
只有具备较高的断裂韧性的材料才能确保工程结构的安全可靠。
2. 材料改进：通过研究和改进材料的断裂韧性，可以使材料在受力条件下不易发生断裂或变形。
这对于提高材料的使用寿命、减少材料的损耗具有重要意义。
三、断裂韧性的研究方法1. 断裂韧性测试：常用的断裂韧性测试方法包括冲击试验、拉伸试验和缺口试验等。
通过对材料在不同应力条件下的断裂性能进行测试，可以得到材料的断裂应力、断裂韧性等相关参数。
2. 断裂韧性的改进方法：研究材料的断裂韧性还可以通过改变材料的制备工艺、添加合适的增强相等方法进行。
例如，在金属材料中，通过精细调控晶界数量和晶粒尺寸，可以显著提高材料的断裂韧性。
3. 断裂韧性模型的建立：建立准确的断裂韧性模型是研究材料断裂行为的重要手段之一。
通过理论研究和数值模拟，可以预测材料在受力条件下的断裂性能，并指导材料设计和工程应用。
四、结语材料的断裂韧性是评估材料性能的重要指标之一，对保证工程结构的安全可靠以及提高材料使用寿命具有重要意义。
通过采用合适的断裂韧性测试方法、改进材料制备工艺以及建立准确的断裂韧性模型，可以为材料的研发和应用提供有效的参考和指导。
通过持续的研究和探索，我们可以进一步提高材料的断裂韧性，并不断推动工程科技的发展。
分形理论及其在混凝土材料研究中的应用
分形理论及其在混凝土材料研究中的应用摘要：改革后，我国的科学技术水平不断进步。
其中，混凝土在其形成和服役过程中表现出了一系列分形的特征。
因而，研究人员将分形理论科学地引入混凝土研究之中。
介绍了分形理论，综合评述了分形理论评价混凝土材料的胶凝材料颗粒特征、集料的表面特征、混凝土孔隙的分形特征、混凝土断裂韧性和断裂能的分形效应、分形理论在混凝土材料声发射中的应用，并提出分形理论在混凝土研究中的应用前景。
关键词：混凝土结构；裂缝；分形理论引言随着对混凝土结构方面技术和认识的进步与提高，人们对裂缝所造成的损伤也更加重视。
由于混凝土塑性收缩及沉降、荷载、钢筋腐蚀等原因，混凝土构件很容易产生裂缝，裂缝的出现不仅使混凝土刚度、强度降低，还会影响其美观性和耐久性。
混凝土是多相复合材料，具有不规则性、非线性等特征，导致混凝土裂缝扩展具有随机性，利用传统损伤力学知识并不能恰当地解决这个问题。
而研究表明混凝土材料各相分布以及裂纹演化均具有自相似性，这是分形理论应用于混凝土结构的基础。
运用分形理论，计算混凝土表面裂纹演化的分形维数，分析分形维数与分级荷载、挠度、最大裂缝宽度、损伤变量、断裂能等之间的关系，可以将其作为一种工程应用的参考依据。
1分形理论简介什么是分形呢?事实上,目前对分形还没有严格的数学定义,只能给出描述性的定义。
粗略地说,分形是对没有特征长度(所谓特征长度,是指所考虑的集合对象所含有的各种长度的代表者,例如一个球,可用它的半径作为它的特征长度。
)但具有一定意义下的自相似图形和结构的总称。
曼德尔布罗特最先引入分形(fractal)一词,意为破碎的,不规则的,并且曾建议将分形定义为整体与局部在某种意义下的对称性的集合,或者具有某种意义下的自相似集合;他也曾给出一个尝试性的定量刻画,说分形是豪斯道夫维数严格大于其拓扑维数的集合。
但是所有这些定义都不够精确、不够全面。
英国数学家Falconer在其著作《分形几何的数学基础及应用》一书中认为,分形的定义应该以生物学家给出的“生命”的定义的类似方法给出,即不寻求分形的确切简明的定义,而是寻求分形的特性,将分形看作是具有如下所列性质的集合F:1)F具有精细结构,即在任意小的比例尺度内包含整体;2)F是不规则的,以至于不能用传统的几何语言来描述;3)F常具有某种自相似性,或许是近似的或许是统计意义下的;4)F在某种方式下定义的“分维数”通常大于F的拓扑维数;5)F的定义常常是非常简单的或许是递归的。
理论与应用断裂力学
理论与应用断裂力学断裂力学是研究材料在外部载荷作用下发生裂纹和断裂的科学，它涉及材料的断裂行为、裂纹扩展规律、断裂韧性等内容，具有广泛的理论与应用价值。
断裂力学不仅是材料科学与工程的重要组成部分，还在实际工程中起着重要的作用。
在航空航天、汽车工业、建筑工程、能源领域等各个领域，断裂力学都被广泛应用，并为材料设计与结构可靠性提供了重要的理论指导。
一、断裂力学的基本原理1. 断裂力学的基本概念断裂力学是研究材料在外部载荷作用下发生裂纹和断裂的科学。
断裂是指材料在外部力作用下发生的破坏过程，其本质是裂纹的生成、扩展和相互作用。
断裂行为受到外部载荷、裂纹形态、材料性能等多种因素的影响。
2. 裂纹力学与断裂韧性裂纹力学是断裂力学的基础理论，它描述了裂纹在材料中的行为。
裂纹尖端附近的应力场具有奇异性，裂纹尖端处的应力集中导致材料发生拉伸和剪切破坏，从而导致裂纹的扩展。
断裂韧性是衡量材料抗裂纹扩展能力的参数，它描述了材料在裂纹扩展过程中所能吸收的能量大小。
3. 断裂力学的应用范围断裂力学不仅涉及金属材料、混凝土、陶瓷材料等传统材料，还包括了纳米材料、复合材料等新型材料。
它在制造领域、材料科学、产品设计等领域都有重要的应用价值。
二、断裂力学的研究方法1. 实验方法实验是研究断裂力学的重要手段。
通过拉伸试验、冲击试验、疲劳试验等实验方法，可以获得材料的断裂行为、裂纹扩展规律、断裂韧性等重要参数。
实验结果可以验证理论模型的准确性，为理论研究提供数据支持。
2. 数值模拟方法数值模拟是断裂力学研究的重要手段之一。
有限元分析、分子动力学模拟等数值方法可以模拟材料的断裂过程，揭示裂纹扩展的规律，预测材料的断裂行为。
数值模拟方法在工程设计和材料优化中具有重要的应用价值。
3. 理论分析方法理论分析是断裂力学研究的基础。
裂纹力学理论、断裂力学理论等提供了描述裂纹扩展规律、预测裂纹扩展速率、计算断裂韧性等重要方法。
理论分析方法为工程实践提供了重要的指导，为材料设计提供了理论基础。
分形维数与含MnS超高强度钢断裂韧性的关系研究
ｌ 实验 方 法
我 们 采用 夹 杂 物 Ｍｎ Ｓ含 量 不 同 的一 组超 高 强
则 的 、 数 的 、 离破 碎 的 ” 体 ， 没有 特 征长 度 的 分 支 物 是 图形 和 构 造 以及 现 象 的总称 。 “ 分形 ” 其 自相 似 性 有 或 自仿 射性 体 系 ， 在 自然 界 中普 遍 存 在 着 。 分 形 它
分形理论用 于材料科学 的研究 ， 我国始 于 ８ 在 ０ 年 代后 期 ， 和 平 利 用 分 形 研 究 了 岩 石 的临 界 扩 展 谢 力 和 断 １分 形 维 数 的关 系 … ； 在 勤 、 期 威 等 依 ２ １ 穆 龙
据 周 长 一面积 关 系测定 了超 高强 度 钢 断 口的分形 维 数 ， 试 时取 码 尺 ：１８ ， 并 且 建 立 了 ｌＫＩ 测 ．４ ｍ， ｕ ｇ ｃ 和 分形 维数 Ｄ 问 的关 系 。实 验 结 果 表 明 ， ＫＩ近 似 Ｉ ｃ ｇ 地 是分 形 维 数 Ｄ 的线 性 函 数 ， 斜 率 取 负 值 【Ｊ即 且 ２， ２ 得 出 分形 维 数 与 韧 性 呈 负 相 关 ； ｒ ｎ研 究 了 弹 Ｈｅｒ ｍａ 性介 质 在外 界 剪 应 力 作 用 下 的 裂 纹 扩 展 ， 现 裂 纹 发 的 图 案 总 的 来 说 是 分 叉 的 ， 且 可 以 认 为 是 分 而
度钢 试 样 ， 测 定 其 断 裂 韧 性 Ｋ 先 再 用 数 字 图 象 法
测定 ＫＩ １试样的分形维数 ＤＨ 以探讨 ＤＨ ｃ ２ 断 １ ， 与断 裂韧 性 ＫＩ的关 系 。 ｃ
１ １ 试 样 制 备 ．
试样为超 高强度 钢 Ｉ ＭＡＣ， 实验 室 条 件 下用 在
材料的断裂韧性
天津理工大学材料学院
❖ KIC：平面应变下的断裂韧度，表示在平面应 变条件下材料抵抗裂纹失稳扩展的能力。
❖ KC：平面应力断裂韧度，表示平面应力条件材 料抵抗裂纹失稳扩展的能力。
❖ 但KC值与试样厚度有关，当试样厚度增加，使 裂纹尖端达到平面应变状态时，断裂韧度趋于 一个稳定的最低值，就是KIC，与试样厚度无 关。
一位英国工程师，因 其在金属的应力与断 裂方面的贡献，以及 率先奠定了喷气发动 机的理论基础而名垂 史册。
Griffith更为著名的是关于金属中应 力与失效性质的理论研究。在那个 年代，一般认为材料的强度大约是 其杨氏模量（E）的十分之一，即 E/10。然而，实际的情况却是，许 多材料通常在比它预计的强度值低 4个数量级时便会发生失效。 Griffith发现，所有的材料都存在有 许多微观裂纹，他进一步假设正是 由于这些裂纹降低了材料的整体强 度。这是因为固体中的空洞会产生 应力集中，这一事实已经被当时的 力学家们所认知。这种应力集中的 结果导致在整个材料承受的应力远 未达到E/10之前，裂纹尖端的应力 已经达到了E/10。
天津理工大学材料学院
（一）裂纹尖端应力场
❖ 由于裂纹扩展是从尖端开始进 行的，所以应该分析裂纹尖端 的应力、应变状态，建立裂纹 扩展的力学条件。
❖ 欧文（G. R. Irwin）等人对I 型（张开型）裂纹尖端附近的 应力应变进行了分析，建立了 应力场、位移场的数学解析式。
裂纹顶端附近的应力场
天津理工大学
天津理工大学材料学院
分析裂纹体断裂问题有两种方法
❖(1) 应力应变分析方法：考虑裂纹尖端附近的应 力场强度，得到相应的断裂K判据。
❖(2) 能量分析方法：考虑裂纹扩展时系统能量的 变化，建立能量转化平衡方程，得到相应的断裂 G判据。
分形几何学在混凝土断裂性能研究中的应用
２ 分 形几 何 学在 混凝 土材 料 中 的应用
２１ 断 裂 韧 性 的 分 形 效 应 ．
Ｍａｄ ｌｒｔ ｎ ｅｂｏ 指出 ： 材料断裂面在很大的 比例范嗣 内是分形的 ， 并证 明 了断裂面具有分形性质 ， 分形维数与材料韧性 是相关的 。龙期威等 人 且
通过试验发现 二 Ｂａ ｔ ｎ
维普资讯
科技情报开发与经济
文 章 编 号 ：０ ５ ６ ３ （０ ８０ 一 ｌ５ Ｏ １０ —０ ３ ２０ ）４ Ｏ ３ 一 ２
Ｓ ＩＴ Ｃ Ｆ Ｒ Ａ Ｉ ＮＤ Ｖ Ｌ Ｐ Ｅ Ｔ＆Ｅ Ｏ Ｏ Ｙ Ｃ － Ｅ Ｈ Ｉ Ｏ Ｍ ＴＯ Ｅ Ｅ Ｏ Ｍ Ｎ Ｎ Ｃ ＮＭ
本 文 同顾 了分形 几何在准脆性 材料上 的应 用 ，介绍 了分形 断裂的 Ｍｏｏｏ 模型 ． ｓｌｖ 并且分析了经典的 Ｇ ｉ ｔ ｒｆｈ断裂理论 在分形断 裂上应用 的 ｆ ｉ 有效性 ， Ｉ了用于分形 裂缝 的修正 Ｇ ｆｔ 裂理论 。 给 １ Ｉ ｉ ｈ断 ｆｉ 文章还介 绍了分形几何学在混凝 土材料上 的应用现状 ． 阐明 了混凝 土断裂韧性与断裂面分形维数之间 的关 系， 并指 出混凝土的断裂能取决 于多种因素 ， 如骨料尺寸 、 水灰 比、 分彤维 数等 。
２０ 年 ０８
第 １卷 第４ ８ 期
收 稿 日期 ：０ ７ Ｉ—１ ２０ 一 ２ ５
分形几何学在混凝土断裂性能研 究 中的应用
魏德敏 ， 张 衡
（ 华南理丁大学建筑学院 ， 东广州 ， １６ ０ 广 ５０ ４ ） 摘 要 ： 阐述 了分形几何 学在 准脆性材料 断裂方 面应 用的现状 ， 出了常用的分析 方 给 法， 分析 了混凝 土断裂韧性 以及 断裂能与分形 维数之 间的定量关 系。
材料断口分形维数测量方法研究进展
材料断口分形维数测量方法研究进展XIONG Wei-teng;FAN Jin-juan;WANG Yun-ying;XIAO shu-hua【摘要】通过对材料断口定量研究重要性的描述引入分形理论.首先,从分形定义、分形特征图形和分形计算原理3个方面对分形理论进行阐述;其次,介绍小岛法、垂直截面法、计盒维数法等3种分形维数的基本测量方法及其改进方法;最后,对分形实验中可能出现的变量进行简要分析.本研究提出测量分形维数实验时优先考虑计盒维数法,以及在分形实验前需要控制断口参数、拍摄方案、拍摄数据处理方式等实验变量.【期刊名称】《失效分析与预防》【年(卷),期】2019(014)001【总页数】8页(P63-70)【关键词】材料断口;分形特征图形;分形维数;测量方法;分形变量【作者】XIONG Wei-teng;FAN Jin-juan;WANG Yun-ying;XIAO shu-hua 【作者单位】;;;【正文语种】中文【中图分类】TG142.10 引言断口是试样或零件在试验或者使用过程中发生断裂(或形成裂纹后打断)所形成的断面。
它以形貌特征记录了材料在载荷和环境作用下断裂前的不可逆变形，以及裂纹的萌生和扩展直至断裂的全过程。
断口学就是通过定性和定量分析来识别这些特征，并将它与发生损伤乃至最终失效的过程联系起来，找出与失效相关的内在或外在原因的科学技术。
但是，现代的断裂分析还基本停留在以断口的定性分析为主的阶段[1]。
随着断口分析的不断深入，有学者研究了特定材料断口特征随条件改变的变化规律，得出了材料在特定环境下的定量分析方法[2-4]，其中含有基于分形理论定量分析的方法。
基于分形理论定量分析材料断口，即利用分形维数对材料断口进行标定或是计量，以达到对材料断口定量描述的目的[5]。
众多基于分形理论研究材料微观结构的实验发现，分形维数是分形理论中最重要的参数，材料断裂位置的微观结构具有分形特征，可以利用分形维数对复杂断口微观结构进行定量描述[6-7]。
材料力学中的断裂理论
材料力学中的断裂理论近年来，随着人们对材料力学的研究不断深入，断裂理论逐渐成为了材料力学中一个备受关注的热点。
断裂理论是材料力学中研究材料在受力过程中破坏的学科，研究的重点在于探究材料断裂的发生机理、预测其断裂行为及相关工程应用。
下面，本文将通过对断裂理论的介绍，阐述其在材料力学中的重要性以及研究的发展趋势。
一、断裂理论的概念断裂理论是材料力学中研究物质在受力下破裂行为的一门重要学科。
其研究的主要内容包括断裂的形成机理、断裂的预测和控制以及断裂失效的评估等。
目前，断裂理论已经逐渐成为了固体力学、材料科学及相关领域学科中不可或缺的一部分。
二、断裂理论的主要发展历程随着人们对材料力学的研究不断深入，断裂理论的研究也逐渐得以发展。
下面，我们将简要介绍一下断裂理论的主要发展历程。
1、线性断裂力学理论线性断裂力学理论是最初的断裂机理研究学派。
其基本思想是将应力分析为两个部分，即与材料强度相关的断裂应力和与材料刚度有关的弹性应力。
2、弹塑性断裂力学理论弹塑性断裂力学理论是一种发展相对较晚的断裂理论，它采用了经典力学中的弹塑性理论，同时也考虑了模量、材料硬化等因素的影响。
其主要优点在于可以模拟动态载荷下复杂结构的材料失效行为。
3、能量释放率断裂机制理论能量释放率断裂机制理论是最新的断裂理论研究方向之一。
其提出了断裂是由应变能量积累并导致材料失效的观点，将目光集中在断裂预测和研究潜在裂纹扩展的过程中。
三、断裂理论在材料力学中的应用断裂理论在材料力学中具有重要的应用价值。
其主要应用于以下领域：1、材料设计和优化断裂理论可以帮助材料工程师有效地设计新型材料，并优化现有材料的性能。
其可以预测材料失效的位置和方式，并针对性地改进材料设计方案。
2、疲劳寿命估算断裂理论在疲劳寿命估算中发挥着重要作用。
通过预测裂纹的扩展速度、疲劳裂纹的形态和尺寸等参数，可以精确地预测材料疲劳寿命，对于保证材料的可靠性和安全性具有重要意义。
3、损伤评估和监控通过损伤评估和监控，可以有效地检测材料的健康状况。
分形理论在无机材料中的应用
分形理论在材料中的应用1 分形理论简介Fractal 一词,源于拉丁文Fractus。
原译为“不规则的”或“破碎的”,但通常把它译为“分形”。
近年来,分形一直是国内外有关学者们的研究热点,它的应用性研究逐渐被渗透至物理、数学、化学、生物、医药、地震、冶金,甚至哲学、音乐与绘画等各个领域。
1. 1 分形理论的提出众所周知,普通的几何对象具有整数维数。
例如:点为零维,线为一维,面为二维,立方体为三维。
然而,自然界中真实的线、面并不总是光滑的,许多物体的形状也是极不规则的,例如连绵起伏的山脉轮廓线、曲折蜿蜒的江河川流、变幻无常的浮云,以及令人眼花缭乱的繁星等等。
同样,这种现象在材料科学中也很普遍,如:高分子的凝聚体结构、材料固体裂纹、电化学沉积等等,这些都是难于用欧氏几何学加以描述的。
对于诸如具有此类几何结构的体系,如何进行定量表征呢? 随着人类对客观世界认识的逐步深入,以及科学技术的不断进步,象传统数学那样把不规则的物体形状加以规则化,然后进行处理的做法已不能再令人满意了。
于是,在七十年代中期,分数维几何学应运而生[1 ] 。
整数与分数维集合的几何测度理论,早在本世纪初已由纯数学家们发展起来。
但谈到分数维几何学的创始人,则首先当推法国数学家曼德尔布罗,他在总结了自然界中的非规整几何图形后[2 ] ,于1975 年第一次提出分形这个概念。
此后,分形在不同学科领域中被广泛地应用起来; 直至1982 年德尔布罗出版了他的专著《The Fractal Geomet ry of Nature》则表明分形理论已初步形成[3 ] 。
1. 2 自相似性分形结构的本质特征是自相似性或自仿射性。
自相似性是指:把考察的对象的一部分沿各个方向以相同比例放大后,其形态与整体相同或相似。
简单地说,就是局部是整体成比例缩小的性质。
形象地说,就是当用不同倍数的照相机拍摄研究对象时,无论放大倍数如何改变,看到的照片都是相似的(统计意义) ,而从相片上也无法断定所用相机的倍数,故又称标度不变性或全息性。
分形理论及其在机械工程中的应用
分形理论及其在机械工程中的应用【摘要】分形理论是一种新兴的数学理论，通过研究自相似的结构和规律，揭示了自然界复杂而规律的现象。
在机械工程领域，分形理论为工程师提供了新的视角和方法，可以优化设计、改善材料性能和实现振动控制。
分形几何在机械设计中的应用可以帮助设计出更加紧凑和高效的结构，提高机械设备的性能。
在材料科学中，分形理论可以帮助工程师设计出更加稳定和高效的材料，提高材料的力学性能。
分形模型在振动控制中的应用则可以帮助工程师设计出更加精确和有效的控制系统，减少振动对机械设备的损害。
未来，分形理论在机械工程领域的研究将继续深入，为工程师提供更加丰富和有效的工具，推动机械工程的发展。
分形理论在机械工程领域的重要性日益凸显，将对机械设备的设计、制造和维护产生深远影响。
【关键词】分形理论、机械工程、意义、应用、分形几何、材料科学、振动控制、未来发展方向、重要性1. 引言1.1 分形理论及其在机械工程中的应用分形理论是一种描述复杂自然现象的数学理论，其应用范围涵盖了各个领域，包括机械工程。
分形在机械工程中的应用主要体现在优化设计和振动控制两个方面。
分形理论可以帮助工程师更好地理解和优化机械系统的设计。
通过分析系统的分形特征，可以发现系统中的隐藏规律和优化空间，进而提高系统的效率和性能。
特别是在微机电系统（MEMS）和纳米技术领域，分形理论可以帮助设计出更加紧凑、高效的微型机械系统。
分形理论还可以应用于振动控制领域。
分形几何的不规则性和复杂性可以帮助设计出具有多频率阻尼效应的结构，对振动进行有效控制。
这种分形模型在汽车、航空航天等领域的振动控制中存在巨大的潜力，可以大幅提高系统的稳定性和安全性。
分形理论在机械工程中的应用为工程师提供了新的思路和方法，有助于解决复杂系统设计和振动控制中的难题。
未来随着理论的进一步发展和技术的不断创新，分形在机械工程领域的应用前景将更加广阔，对于推动机械工程领域的发展具有重要意义。
分形理论与材料的断裂性能
用 最 小 一 乘法 对 图 ＿． ｆ和 ？ 应 的 点 进 行 拟 卜ｖ（） 对 １ ． 关联 维数 。 分 形 中 某 两 点 间 的距 离 合 ， 到斜 率 的 负值 Ｄ， ．４ １ 若 得 即分 维 值 。 为 参 其 关 联 函 数 为 Ｃ （ ）则关 联 维 数 为 ： ８， ２分形 在材 料 断 裂 中的 应 用
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Ｎ
２ １ 料 断 裂面 分 维 的 体 系 表 征 分 维 的方 法 很
多 ， 如盒 子 计 数 法 、 码 尺 法 、 岛法 、 率谱 诸 变 小 功 式 中 ） 。 。 （ 一 （） ５ 学行 为与结构和缺陷 的关系更是密切 相关 ， 材 法 以及 物 理 方 法 等 。以 下 是 用 变码 尺法 测 定 材 料的韧性 、 断裂韧性 、 强度等各项性能指标都对 １１ 盒 维 数 。 Ｆ是 月 任 意非 空 的有 界 料 断 面分 维 值 的简 要 描 述 。 这 种方 法 主要 是 通 ．． ５ 设 上
Ａ ｂ ｔ ａ ｔ Ｔｈ ｓ ｐａ ｒ ｂ ｉｆ ｎ ｒ ｄ ｃ ｓ ｔ ｅ ａｉ ｃ ｎｃ ｐ ｓ ｆ ｆａ ｔ ｌｔ ｅ ｒ ａ ｒｓ ａ ｃ ｅｈ ｄ ，ｎ ｔ ｅ ｏｕ ｃ ｍ ｅ ｏ ｈ Ｆ ｃｕ ｅ ｐ ｏ ｏ ｅｔｅ ｓｒ ｃ： ｉ ｐｅ ｒｅ ｙ ｉ ｔｏ ｕ ｅ ｈ ｂ ｓｃ ｏ ｅ ｔ ｌ ｏ ｒ ｃａ ｈ ｏ ｙ ｎｄ ｅ ｅ ｒ ｈ ｍ ｔ ｏ ｓ ａ ｄ ｈ ｔｏ ｆ ｔ ｅ ｒ ｔ ｒ ｒ ｐ ｐ ｒｉｒ ａ ｏ ａｅ ｉｌ ｓｕ ｙ ｂ ｓ ｇ ｆａ ｔｌ ｈ ｏ ｙ ｆ ｍ ｔｒａｓ ｔ ｄ ｙ ｕ ｉ ｒ ｃ ａ ｎ ｔ ｅ ｒ Ｋ ｅ ｏ ｄ ： ｆａ ｔｌ ｔ ｅ ｒ ｖ － ｗ ｒ ｓ ｒ ｃａ ｈ ｏ ｙ；ｆａ ｔ ｄ ｍ ｅ ｓｏ ； ｆａ ｔ ｒ ｏ ｅ ｔｅ ｆ ｍ ａｅ ｉｌ ｒｃ ａ ｉ ｎ ｉ ｎ ｒ ｃ ｅ ｐｒ ｐ ｒ ｓ ｏ ｔｒａｓ ｌ ｕ ｉ
AA7050铝合金晶界的分形维数的分析及其与断裂韧性的关系
步骤：
1、在与受压相对的0°和90°方向截取撕裂试验标 本。 2、在不同方向截取面积相等，厚度为2mm的样品。 3、标记各个样品的矩形区域A（10×15毫米）后进行 撕 裂实验。 4、对在S-T平面的90°方向样本，和L-T为0°标本的A 区域进行了定量显微镜分析。
Kahn撕裂试验过程图解
受压方向
研究对象及目的
AA7050合金被广泛用于制造飞机的结构 部件，对材料的断裂韧性和损伤公差属性要 求非常严格。因此研究锯齿状晶界的程度和 断裂韧性之间的关联对材料科学的发展和技 术来说都是非常有必要的。 本研究目的是对部分再结晶的AA7050铝 合金晶界做一个分形维数的定量估计。从而 研究锯齿晶界对材料断裂韧性的影响。
分形维数计算
记盒方法（ Box counting） 将晶界灰度图像变换为二进制，像素值为0和1， 对应颜色为黑色和白色。然后用网格覆盖晶界图像, 每个格子至少包含一个像素。格子从覆盖一个像素 开始逐渐增加格子大小，直到格子覆盖整个图象， 依次记下每个格子边长为r时格子总数N(r) 。由ln(N(r) 对ln(r)的回归斜率求得分形维数D值。 格子总数N(r)与格子的尺寸有关。
90°
0°
10X15mm
获取A区域显微图像
环氧树 脂封装 砂纸打 磨p4000 金刚石 抛光 磷酸溶 液蚀刻
保存图 像
聚焦显 微镜
干燥
冲洗
晶 界提 取过程
图像变换为二进制 •
a原始图像 b.二进制图像
材料性能_ 材料的断裂_3-4 断裂韧性_
1、经典强度理论判据——允许应力
塑性材料以屈服强度为标准 ： 许用应力 [σ]≤σS/n
脆性材料以抗拉强度为标准： 许用应力 [σ] ≤ σb/n
• 传统力学中把材料看成是均匀的，没有缺陷没有 裂纹的理想固体，但是实际工程材料，在加工及 使用过程中，都会产生宏观缺陷乃至宏观裂纹。
（5）外界因素
温度 温度↓，断裂韧度↓ 缺口 有缺口，断裂韧度↓ 应变速度 应变速度↑，断裂韧度↓
塑性↑ 断裂韧度↑ 脆性↑ 断裂韧度↓
4、断裂韧性的应用
断裂判据可以直接用于工程设计中，为结 构设计、材料选择、安 全校核等提供依据。
（1）结构设计——确定裂纹允许存在的最
大尺寸（ac）
若已知最大工作应力为σ，已知材料的KIc ，
• 低应力脆断总是与材料内部含有一定尺寸的裂纹相 联系的。当裂纹在给定作用力下扩展到一临界尺寸 时，就会产生破裂。
存在固有裂纹，对裂纹体的不均匀
分布应力场进行分析，提出描述裂纹体应力场强的 力学参量和计算方法。从而建立裂纹几何、材料本 身抵抗裂纹扩展能力、裂纹扩展引起结构破坏时的 应力水平等之间的关系。 • 断裂力学：研究裂纹体的力学，引入断裂韧性。
（2）断裂韧性KⅠC
• 当σ增加到临界值σc或者a增大到临界值ac时， KⅠ 达到某一临界值，此时裂纹尖端前沿足够大的范 围内应力达到了材料的解理断裂应力，裂纹便失 稳扩展导致材料断裂。
临界应力强度因子便称为断裂韧度KⅠC
KⅠC 表征了材料抵抗断裂的能力。
KⅠ和KⅠC的区别：
• KⅠ是一个力学参量，受外界条件影响的反映裂纹尖 端应力场强弱程度。 • 与外加应力、试样尺寸和裂纹类型有关，与材料无 关。当应力σ和裂纹尺寸a增大时，应力强度因子KⅠ也 增大。 • KⅠC是材料的力学性能指标，表征了材料阻止裂纹扩
分形维数 损伤变量
分形维数损伤变量分形维数是一个用来描述几何图形复杂程度的指标，它可以应用于各种领域，如物理学、生物学、金融等。
在损伤变量中，分形维数可以被用来研究和描述损伤的复杂性和严重程度。
损伤变量是指在材料或结构中出现的破坏、裂纹、断裂等损伤形式。
损伤的复杂性和严重程度对于材料的性能和可靠性有着重要的影响。
因此，研究和了解损伤的特征和演化规律对于材料工程和结构设计具有重要意义。
分形维数是一种用来描述分形图形复杂性的方法。
分形图形是指具有自相似性的图形，即无论放大多少倍，都可以看到相似的图形结构。
分形维数是通过对分形图形进行测量和计算得到的一个数值指标，可以反映出图形的复杂程度。
在损伤变量中，分形维数可以用来度量损伤的复杂性和分布特征。
分形维数可以应用于多种损伤变量的研究中，如裂纹、断裂面、疲劳损伤等。
以裂纹为例，裂纹是材料中最常见的损伤形式之一，它对材料的强度和可靠性有着重要影响。
通过分形维数的研究，可以得到裂纹的分形特征和演化规律，从而对裂纹的发展和扩展进行预测和控制。
研究发现，裂纹的分形维数与裂纹的形态和尺度有关。
当裂纹形态规则且尺度较小时，分形维数较低；而当裂纹形态复杂且尺度较大时，分形维数较高。
此外，分形维数还可以用来描述裂纹的分布特征，如裂纹密度和分布密度等。
除了裂纹，分形维数还可以应用于断裂面的研究。
断裂面是材料在破坏过程中形成的表面，它的形态和分布特征对于材料的断裂韧性和破坏机理有着重要影响。
通过分形维数的研究，可以得到断裂面的分形特征和演化规律，从而对材料的断裂行为进行分析和预测。
分形维数还可以用来研究疲劳损伤的演化规律。
疲劳损伤是由于反复加载引起的材料破坏，它对材料的可靠性和寿命有着重要影响。
通过分形维数的研究，可以得到疲劳损伤的分形特征和演化规律，从而对材料的疲劳性能进行评估和改善。
分形维数是一个用来描述几何图形复杂程度的重要指标，可以应用于损伤变量的研究中。
通过分形维数的分析，可以得到损伤的特征和演化规律，从而对材料的性能和可靠性进行评估和改善。
材料断裂力学研究进展
材料断裂力学研究进展一、引言材料断裂力学研究包括力学理论和应用实践，是材料领域的重要研究方向之一。
材料断裂力学研究的目的是通过分析材料断裂的力学机制，提高对材料破坏过程的认识，为材料的设计、制造及安全评估提供理论依据。
本文主要介绍材料断裂力学的研究进展。
二、材料断裂力学基础材料断裂力学, 是一门研究材料在外力作用下破坏过程及其力学特性变化规律的学科, 是从连续介质力学中分离出来的一个学科。
材料断裂力学是力学中分析断裂过程的一个重要分支，其中拓扑学、场论等已被用于分析微小尺寸材料的断裂问题。
材料断裂力学研究的重点包括材料断裂的力学机制、断裂热力学、断裂疲劳及其数学描述等。
三、材料断裂理论材料断裂理论主要包括弹性断裂和塑性断裂两个方面。
弹性断裂理论支持弹性刚性材料在外界力的作用下发生裂纹扩展的过程，该理论重点描述裂纹扩展所涉及的能量变化及其损失，全面描绘裂纹扩展机制。
塑性断裂理论则描述了材料开始发生塑性变形后裂纹的演化过程，裂纹与材料塑性机制的关系、成熟的力学隆起和材料断裂延伸等多方面内容。
针对塑性断裂现象，目前已经开拓了较为稳定的分析方法, 例如，大应变量的弹性塑性断裂力学、高速塑性断裂力学等，解决了复杂材料断裂现象的分析和计算问题。
四、裂纹扩展的研究裂纹是材料断裂的重要指标，因此裂纹扩展成为材料断裂机理研究及其重要的研究领域之一。
裂纹扩展的机制分为塑性及弹性两类。
一般而言，塑性扩展裂纹速度快且强度高，弹性扩展裂纹速度慢且强度低。
裂纹扩展是一个能量释放过程，不同的材料及不同的裂纹形式，对应不同的耗能机制，例如塑性区耗能与弹性区耗能的差异, 只有理解材料裂纹扩展的物理机制,分析材料的能量释放及其所涉及的微观结构演化，才能有效支持材料断裂的预测和控制。
目前，裂纹扩展的研究与实验技术不断发展，半饱和电阻技术、光弹发射技术等新技术的诞生将进一步推动裂纹扩展的研究。
五、断裂材料的多尺度研究现代材料工程设计和制造中，大纳米复合材料在指定的适当工艺分类，能够显著提高材料性能与器件性能, 为啥这些材料可以实现高性能材料设计, 辣么,自然就要依靠分子层次、纳米尺度、微观尺度、宏观尺度等多尺度分析方法的应用,进行复杂多层次新材料设计和研发，这种重点在断裂材料的多尺度研究。
分形与材料断裂
描述那种复杂 的不规 则的变异 过程 。而 分形几 何 由于具备维 数非整数性等特征 ， 就为极 端有序和真正混沌之间提供 了一 这 种 中间的可能性 ， 那些看来 十分 复杂 的事物 ， 使 在事 实上绝大 多数都 可能用含 有很 少参 数 的简单 公 式来加 以准确 的描 述。 这是 因为， 这个人类 生存的世界的本质是物质 的。在这个物质
≤．５ ０２ ０２≤． ０Ｉ ０ ５
６５钢是一种高强度合金 结构装 甲钢 ， 有更高 的强度和 ７ 具 韧性 ， 其化学成分详见表 ２ 。
表２ ７ ６ ５钢 的化 学 成 分 （ Ｊ ％
数都是整数 ， 从零维的点、 一维的线、 二维的面、 三维的体， 直至
四维 的“ 时空” 它们无一 例外。 因此 ， ， 传统 几何 便无法 准确地
元 Ｃ 素
ｓ ｂ Ｃ Ｍ Ｒ ｉ ｉ ｎ ｒ ｏ ｔ Ｓ Ｐ ｌ
Ｏ． Ｏ ６ １． ０ ５ １． Ｏ ２ Ｏ． Ｏ． ５ ８ １
含 Ｏ２ 量 ３
．
Ｏ． ６～ Ｏ． Ｏ— １． Ｏ～ Ｏ． Ｏ． Ｏ． ２ ３ １ ８～ ６～ １～
世界里包含着无穷无尽 、 多种 多样 的物 质形态 （ 当然包括 意识
比较表 １ 与表 ２ 不难 看 出，７ 钢 之所 以 比 ６３钢具有更 ， ６５ ０ 高的强度 和韧性 ， 关键是其 在化学 成分上 的差异 。特别 是 ６５ ７ 钢化学 成 分 中增 加 了大 量 的 Ｎ ， 含 量 竟 占到 了 ２８ ％ ～ ｉ其 ． ０
元素 Ｃ
ｓ ｊ
ｂ Ｃ ＩＮ ｉ ｆ ｒ ｉ ｎ
Ｓ
Ｐ
≤ Ｏ．１ ００
含量 Ｏ２ Ｏ １ ０３ 一 １．０一２８ ．６ ０４ ．６～ ．５～ ．０ ０６ ｌ．０—Ｏ ０ ．０一
第四章 材料的断裂韧性
• 经典的强度理论是在不考虑裂纹的萌生 和裂纹的扩展的条件下进行强度计算的 ，认为断裂是瞬时发生的。
• 然而实际上无论哪种断裂都有于裂纹萌生抗力和扩展 抗力，而不是总决定于用断面尺寸计算 的名义断裂应力和断裂应变。
• 显然需要发展新的强度理论，解决低应 力脆断的问题。
• 裂纹体在受力时，只要满足上述条件， 就会发生脆性断裂。反之，即使存在裂 纹，也不会发生断裂，这种情况称为破 损安全。
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四、裂纹尖端塑性区及KI的修正
• 当r=0时，σx、σY、τXY等各应力分量 均趋向于无穷大，这实际上是不可能的 。对于实际金属，当裂纹尖端附近的应 力等于或大于屈服强度时，金属就要发 生塑性变形,使应力松弛，改变了裂纹 尖端的应力分布。
• 平面应变状态应变分量为
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• 平面应变状态x、y轴方向的位移 分量为
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• 可以看出，裂纹尖端任意一点的应力、 应变和位移分量取决于该点的坐标(r， θ)、材料的弹性模数以及参量KI。
• 对于如图所示的平面应力情况，KI可用 下式表示。
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• 若裂纹体的材料一定，裂纹尖端附近某一点的 位置(r，θ)给定，则该点的各应力、应变和 位移分量唯一决定于KI值，KI值愈大，则该点 各 反映应了力裂、纹应尖变端和区位域移应分力量场之的值强愈度高，，故因称此之，为KI 应力场强度因子，它综合反映了外加应力、裂 纹形状、裂纹长度对裂纹尖端应力场强度的影 响，其一般表达式为
• 1968年，Rice提出了J积分，Hutchinson 证明J积分可以用来描述弹塑性体中裂纹 的扩展，在这之后，逐步发展起来弹塑 性断裂力学。
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ln N(1/ )
（2） 观察，这样可直接了解到具有分形边界和分形 向。伴随工程界思想、理论和方法的不断更新，
其中 N ( ) 表示直径为 的 覆盖{ Ui }的 结构的物体所表征的物理力学特性，进而探讨 相关材料断裂面的研究，已经由长期的定性分
个数。
事物发展的分形机理。获取分维值的一般步骤 析日渐进入定量分析, 并且这此定量分析已成
1.1.3 信息维数。在 H ausdorff 维数 D 的 为:首先拍摄结构(物体或系统)表面，以一维图 为岩石材料形变和断裂研究中不可或缺的部分 定义中，只考虑了所需 — N ( ) 覆盖个数，而 像方式获取原始信息。接着“抽样”选取一定面 Mandelbrot 等首次报导了冲击断口的分维 D 与
对于一些结构(物体)或实验结果所表现的 由它所处的物理、力学等环境条件以及其微结 直剖开，经抛光处理后在光学显微镜下，断面剖
非规则性和粗糙性，人们直观地认为它们具有 构等因素所导致的，而从数学上考察，这仅仅是 面呈一条不规则的分形曲线。以这条曲线的端
统计自相似性，进而由覆盖法或由图像处理和 一种几何。基于这种思想，从实验观察和实际问 点 A 为圆心，作一个以特征长度 r 为半径的圆，
作 者 简 介 ：刘小渝，女，重庆人，教授，学士 学位，硕士生导师。丁小明（1985~），男，江西新 余人，硕士生。
（上接 102 页） 能源汽车能够健康顺利的发
新能源汽车要进入快车道并得到大规模的 车工业研究 2010（3）.
－25－
科技论坛
冲击功 J 的关系，它们近似成一条具有负斜率 得剖而微结构层而上的分维数据。这种在外力
的直线，伴随分维数的增加，冲击功呈单调下 作用下的动态变化，一旦超过裂纹能够抵抗来
降。张军等将球墨铸铁的组织结构在扫描电镜 自裂纹内部的相互作用力即应力强度的临界
下获得的“立体照片”，利用计算机图像处理技 值，则裂纹就会发生不稳定扩展直至断裂，至于
体的相似比维数 DS 定义为:
出分形的幂律关系，检验它是不是分形，如果是
2.2 断面分维数与材料性能的关系
D =lnn/ln(1/ )
（1） 分形，由分形幂律关系得到其分形维，然后去寻
断裂表面是材料断裂后留下的关于断裂过
1.1.2 H ausdorff 维数。如果 U 为 n 维欧氏 找分维与物理量之间的相关联系。
木测得组织结构的分维，并对冲击样品做多次 材料发生此类脆性破坏(即断裂)所需要的实际
冲击实验，得到断裂冲击次数 N 与分维之间的 断裂应力，同样可以通过实验测得。由此可以计
关系近似也成一条具有负斜率的直线。
算出保证材料安全使用的数据。当然，这一数据
分形理论在岩石断裂领域的研究表明：岩 决不仅仅是材料安全的唯一条件，它还必须考
[3]杨红禹，许宏发.岩石工程中的分形理论及研 究进展[J].地质与勘探，2003,39:98-99. [4]谢和平等.分形几何的数学基础与应用[M].重 庆:重庆大学出版社,1981. [5]谢和平,周宏伟.基于几分形理论的岩石节理 力学行为研[J].中国国科学基金,1998, (4): 247252. [6]曹茂森，任青文.钢筋混凝土结构损伤检测的 分形特征因子[J].土木工程学报，2005，38(12)： 59-64. [7]杨明，梁大开，万鹏飞.多重分形的智能材料 损伤诊断应用[J].兵器材料—科学与工程，2004, 27(2)：19-22. [8]王步宇.基于分形的结构损伤检测方法[J].振 动与冲击，2005,24(2):87-88,110. [9] 苏荣基于分形理论与神经网络的数据融介 损伤识别方法[D].沈阳:沈阳建筑大学,2009. [10]胡海浪.岩体工程中分形理论应用初探[J].灾 害与防治工程，2007, 62(1): 19-24.
最少个数，则 F 的盒维数分别定义为: D = lim log N (F ) log
分维值。这种尺码的取值范围因科学研究的层 而不同而有所不同。如测定地震过程中形成的 （6） 断而分维，其码尺可在米的范围之内，而用 STM
结构，获得材料品质、缺陷、显微组织方面的信
பைடு நூலகம்
另外，还有一些维数的测定方法，如容量维 来研究材料断面时，其码尺可在纳米范围内变
Koch 曲线(其分形维数为 1.262),用维数为 1 的 抽象的分形模型是直接从实验观察而来，一般 变圆的半径 r 这条曲线的长度相应地变为 L
直尺去量，当标尺趋于 0 时，量值为无穷大，只 是最后一级非规则性和粗糙性的体现，即抽象 （ar），a 为常数。根据分维的幂律关系，L( ar)与
有用“1.262 维的尺了”来量度，才会有确定的 的生成元(分形模型)是自然分形最后一级形成 L(r)的自相似性表现为 L(ar)= a L(r)，一般形式
1977 年 ，美 籍 法 国 数 学 家 曼 德 布 罗 特 (Mandellbrot)首次提出了分形理论(fractal theorv)。分形理论是描述具有无规结构的复杂系统
不考虑每个覆盖 {Ui} 中所含分形集元素的多
少。设 p 为分形集的元素属于覆盖{Ui }中的
概率，则信息维数为
积的图像，作为分析的对象。对“抽样”图像进行
息。因此，将分形概念引入材料断裂性能的研究 数、谱维数、填充维数、重正化群法、稳定分布 化，这种码尺的取值范围是根据材料分形体存
具有积极的意义。
法、因次解析法等。
在的范围而确定的。
1 分形的研究方法
1.2 分形模型法
这里所描述的方法是钢断面分维值的测
1.1 分形的实验测定[2]
任何结构(系统)不规则复杂现象的产生，是 定。具体操作过程是，取钢碎片之断面，将其垂
参考文献
以形成核与扩展。金属材料裂纹形核、扩展的变 [1]屈世显，张建华.复杂系统的分形理论与应用
化，是一种在分形状态上实现的动态变化。因 [M].西安：陕西人民出版社，1996.
此，为获得这种极细微的动态变化，通过实验用 [2]陈兴周,李建林,刘杰,等.关于分形理论及其在
一标度区范围内的分维来定量、刻划，就可以取 岩石断裂中的应用[J].西北电力.2005(2):63-64.
料的韧性、断裂韧性、强度等各项性能指标都对
1.1.5 盒维数。设 F 是 R 上任意非空的有界 料断面分维值的简要描述。这种方法主要是通
缺陷很敏感，材料断裂性能的研究就是以材料 了集，N (F) 是直径最大为 可以覆盖 F 的集的 过码尺取值范围之变化来测定材料断而曲线的
中存在的徽观的宏观的缺陷为出发点。另一方 面，材料内部的缺陷是导致分形结构产生的原 因，研究其分形特征可以反推材料内部的微观
生物科学、材料科学、地球科学、工程技术甚至
1.1.4 关联维数。若分形中某两点间的距离 合，得到斜率的负值 D，即分维值。
社会科学等诸多学科[1]固体材料都有自己的结 为参其关联函数为 C ( )，则关联维数为:
2 分形在材料断裂中的应用
构和结构层次，在不同的结构层次往往存在不 同类型，数量与分布的缺陷。固体材料的性能与
度随分维值的增大而降低;岩石材料断裂后，断 供了新的理论方法。将分形维数用于材料断口
裂表面表现出来的小规则性，反映了在断裂时 描述材料断裂面的不规则形状，即利用分形维
损伤断裂的能量耗散及微结构效应，根据断口 数作为材料断裂断口的表征方法，能在一定程
的分维可追溯到岩石断裂时的宏观力学行为[5]。 度上揭示材料的各种性能。然而对于材料组织
的观点可以给出分形集合不同的维数。在欧氏 和预测结构(系统)的本征特性，以此寻求解决问 度为 r 的直线 BC，如此不断地反复操作，就可
儿何中，认为点是 0 维的、线是 1 维的、平面图 题的新途径。注意到这单是简化抽象，必然带来 以用一系列长度为 r 的线段来覆盖整个断而曲
形是 2 维的、空间图形是 3 维的。对于海岸线或 近似性，但使求解的问题变得简单。另一方面， 线。于是就得出钢碎片剖面曲线长度为 L(r)，改
石断裂表面可以用多重分形或各向异性的自相 虑到合金的化学成分、制备的方法与工艺等因
似性分形来准确描述; 岩石断口表面可以看成 素。
统计自相似分形，可以用分形来定量地刻画断
3 结论
口表面的粗糙性; 岩石断口表面的分维与材料
分形理论的引入改变了人们传统线性数学
断裂韧度的相关关系是负相的，即材料断裂韧 的思维方式，为解决各种复杂的非线性问题提
进行数学构造也只能是逆过程构造。
分维。如前文所述，钢碎片的断裂而是一个分形
1.1.1 相似维数。假定某客体由 N 个局部
1.3 维像法
曲面，根据界面约定，其分维值应为 D+ 1,其中
组成每个局部以相似比 与整体相似，则此客
对于所研究的复杂结构(系统)，总结或测定 的 D 系该碎片截线(即纵剖面曲线)分维。
材料的断裂是由其自身的裂纹所致，而这 结构和端口的分形特征的解析解释目前并没有
些裂纹的形成与扩展，都会在其开裂处形成上 一个另人满意的结果，分形维数与材料的断裂
下两个新的表而。在一般情况下，金属材料的内 性能关系的内在物理机制还有待进一步得研
部总会存在一些夹杂或空穴，而这些夹杂或空 究。
穴在一定的外因（如温度、外力等）作用下就可
科技论坛
分形理论与材料的断裂性能 刘小渝 丁小明
(重庆交通大学 土木工程学院，重庆 400074)
摘 要：文章简要地介绍了分形理论的基本概念和研究方法，以及分形理论在材料断裂研究中所取得的成果。 关 键 词 ：分形理论；分维数；材料的断裂性能 Abstract: This paper briefly introduces the basic concepts of fractal theory and research methods ,and the outcome of the fracture propopertier of materials study by using fractal theory. Key words: fractal theory; fractal dimension; fracture properties of materials.