版高考数学二轮复习第2部分必考补充专题第21讲算法初步推理证明理

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高考理科数学二轮专题复习课件专题六算法复数推理与证明

演绎推理的方法
三段论、假言推理和选言推理等。
演绎推理的应用
在算法和复数问题中，根据已知的原理或公式，推导出具体的结
论或结果。
04 证明方法与应用
直接证明法
综合法
从已知条件出发，通过逐步推导，得出所要证明的结论。
分析法
从所要证明的结论出发，逐步分析使结论成立的条件，直到归结为已知条件或已证过的结论为止。
算法设计中的逻辑错误
如循环结构中的死循环、条件判断中的逻辑错误等，需要加强逻辑思维和算法设计能力的训练。
复数运算中的混淆点
如复数的模与辐角、共轭复数的性质等，需要加强对复数概念和运算规则的理解和掌握。
3
推理与证明中的严密性不足
如证明过程中的逻辑漏洞、推理不严密等，需要加强对数学基础知识的学习和掌握，提高思维的严密性和逻辑性。
复数定义及表示方法
复数定义
复数是实数和虚数的和，形如$z = a + bi$（其中$a, b$为实数，$i$为虚数单位，$i^2 = -1$）。
复数的表示方法
复数可以用代数形式、三角形式和指数形式表示。其中，代数形式是最基本的表示方法，即$z = a + bi$。
复数性质及运算规则
复数性质
复数具有实数的所有性质，同时还有一些独特的性质，如共轭复数、模等。
间接证明法
反证法
假设所要证明的结论不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，由此断定假设不成立，从而证明了所要证明的结论成立。
同一法
通过证明两个对象具有相同的性质或属性，从而证明它们相等或相同。
数学归纳法
第一数学归纳法
通过验证n=1时结论成立，并假设 n=k时结论也成立，进而证明n=k+1 时结论也成立，从而得出对于所有正整数n结论都成立的结论。

2021年高考数学二轮复习推理与证明、算法初步、复数专题训练(含解析)

2021年高考数学二轮复习推理与证明、算法初步、复数专题训练（含解析）一、选择题1．(xx·安徽卷)如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是( )A．34 B．55C．78 D．89解析由程序框图知依次为：x＝1，y＝1，z＝2；x＝1，y＝2，z＝3；x＝2，y＝3，z＝5；x＝3，y＝5，z＝8；x＝5，y＝8，z＝13；x＝8，y＝13，z＝21；x＝13，y＝21，z＝34；x＝21，y＝34，z＝55>50，故输出55.答案B2．(xx·北京卷)当m＝7，n＝3时，执行如图所示的程序框图，输出的S值为( )A．7 B．42C．210 D．840解析开始：m＝7，n＝3.计算：k＝7，S＝1.第一次循环，此时m－n＋1＝7－3＋1＝5，显然k<5不成立，所以S＝1×7＝7，k＝7－1＝6.第二次循环，6<5不成立，所以S＝7×6＝42，k＝6－1＝5.第三次循环，5<5不成立，所以S＝42×5＝210，k＝5－1＝4.显然4<5成立，输出S的值，即输出210，故选C.答案C3．若复数z满足i z＝2＋4i，则在复平面内，z对应的点的坐标是( ) A．(2,4) B．(2，－4)C．(4，－2) D．(4,2)解析由i z＝2＋4i得：z＝2＋4ii＝2＋4i i－1＝4－2i，对应点为(4，－2)，故选C.答案C4．若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为( )A ．－4B ．－45C ．4D .45解析 |4＋3i |＝42＋32＝5，所以(3－4i )z ＝5，即z ＝53－4i ＝53＋4i 3－4i 3＋4i＝35＋45i ，所以z 的虚部为45，故选D .答案 D5．下列推理中属于归纳推理且结论正确的是( )A ．设数列{a n }的前n 项和为S n ，由a n ＝2n －1，求出S 1＝12，S 2＝22，S 3＝32，…，推断：S n ＝n 2B ．由f(x)＝x cos x 满足f(－x)＝－f(x)对∀x ∈R 都成立，推断：f (x )＝x cos x 为奇函数C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积S ＝πr 2，推断：椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的面积S ＝πabD ．由(1＋1)2>21，(2＋1)2>22，(3＋1)2>23，…，推断：对一切n ∈N *，(n ＋1)2>2n解析注意到，选项A 由一些特殊事例得出一般性结论，且注意到数列{a n }是等差数列，其前n 项和等于S n ＝n 1＋2n －12＝n 2，选项D 中的推理属于归纳推理，但结论不正确．因此选A.答案 A6．类比“两角和与差的正弦公式”的形式，对于给定的两个函数：S (x )＝a x －a －x ，C (x )＝a x＋a －x，其中a >0，且a ≠1，下面正确的运算公式是( )①S (x ＋y )＝S (x )C (y )＋C (x )S (y )；②S (x －y )＝S (x )C (y )－C (x )S (y )；③2S (x ＋y )＝S (x )C (y )＋C (x )S (y )；④2S (x －y )＝S (x )C (y )－C (x )S (y )．A ．①②B ．③④C ．①④D ．②③解析经验证易知①②错误．依题意，注意到2S (x ＋y )＝2(a x ＋y－a－x －y)，又S (x )C (y )＋C (x )S (y )＝2(ax ＋y－a－x －y)，因此有2S (x ＋y )＝S (x )C (y )＋C (x )S (y )；同理有2S (x －y )＝S (x )C (y )－C (x )S (y )，综上所述，选B.答案 B 二、填空题7．(xx·江苏卷)下图是一个算法流程图，则输出的n 的值是________．解析本题实质上是求不等式2n>20的最小整数解，2n>20的整数解为n ≥5，因此输出的n ＝5. 答案 58．已知复数z ＝1－i ，则z 2－2zz －1＝________.解析 z 2－2z z －1＝z －12－1z －1＝z －1－1z －1＝(－i)－1－i ＝－i －i －i·i＝－2i.答案－2i 9．观察下列等式： 13＋23＝1； 73＋83＋103＋113＝12； 163＋173＋193＋203＋223＋233＝39； ……则当m <n 且m ，n ∈N 时，3m ＋13＋3m ＋23＋3m ＋43＋3m ＋53＋…＋3n －23＋3n －13＝________(最后结果用m ，n 表示)．解析由13＋23＝1，知m ＝0，n ＝1,1＝12－02；由73＋83＋103＋113＝12，知m ＝2，n ＝4,12＝42－22；由163＋173＋193＋203＋223＋233＝39，知m ＝5，n ＝8,39＝82－52； ……依此规律可归纳，3m ＋13＋3m ＋23＋3m ＋43＋3m ＋53＋…＋3n －23＋3n －13＝n 2－m 2.答案 n 2－m 2三、解答题10．已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，求z 2.解 ∵(z 1－2)(1＋i)＝1－i ， ∴z 1＝2－i.设z 2＝a ＋2i ，a ∈R ，则z 1·z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a )i. ∵z 1·z 2∈R ， ∴a ＝4. ∴z 2＝4＋2i.11．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2. (1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S nn(n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．解 (1)由已知得⎩⎨⎧a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，∴d ＝2，故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)． (2)证明：由(1)得b n ＝S n n＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r 互不相等)成等比数列，则b 2q ＝b p b r . 即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)． ∴(q 2－pr )＋(2q －p －r )2＝0. ∵p ，q ，r ∈N *，∴⎩⎪⎨⎪⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0.∵⎝⎛⎭⎪⎫p ＋r 22＝pr ，(p －r )2＝0，∴p ＝r .与p ≠r 矛盾．所以数列{b n }中任意不同的三项都不可能成等比数列．B 级——能力提高组1．若数列{a n }是等差数列，则数列 {b n }⎝⎛⎭⎪⎫b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n 也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{c n }是等比数列，且{d n }也是等比数列，则d n 的表达式应为( )A ．d n ＝c 1＋c 2＋…＋c nnB ．d n ＝c 1·c 2·…·c nnC ．d n ＝ n c n1＋c n 2＋…＋c n nnD ．d n ＝nc 1·c 2·…·c n 解析若{a n }是等差数列，则a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n n －12d ，∴b n ＝a 1＋n －12d ＝d 2n ＋a 1－d 2，即{b n }为等差数列；若{c n }是等比数列，则c 1·c 2·…·c n ＝c n1·q1＋2＋…＋(n －1)＝c n1·qn n －12，∴d n ＝n c 1·c 2·…·c n ＝c 1·q n －12，即{d n }为等比数列，故选D. 答案 D2．(xx·湖北卷)设a 是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数，将组成a 的3个数字按从小到大排成的三位数记为I (a )，按从大到小排成的三位数记为D (a )(例如a ＝815，则I (a )＝158，D (a )＝851)．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a ，输出的结果b ＝________.解析不妨取a＝815，则I(a)＝158，D(a)＝851，b＝693；则取a＝693，则I(a)＝369，D(a)＝963，b＝594；则取a＝594，则I(a)＝459，D(a)＝954，b＝495；则取a＝495，则I(a)＝459，D(a)＝954，b＝495.故输出结果b＝495.答案4953．根据如图所示的程序框图，将输出的x，y值依次分别记为x1，x2，…，x k，…；y1，y2，…，y k，….(1)分别求数列{x k }和{y k }的通项公式；(2)令z k ＝x k y k ，求数列{z k }的前k 项和T k ，其中k ∈N *，k ≤2 007. 解 (1)由程序框图，知数列{x k }中，x 1＝1，x k ＋1＝x k ＋2， ∴x k ＝1＋2(k －1)＝2k －1(k ∈N *，k ≤2 007)．由程序框图，知数列{y k }中，y k ＋1＝3y k ＋2， ∴y k ＋1＋1＝3(y k ＋1)． ∴y k ＋1＋1y k ＋1＝3，y 1＋1＝3. ∴数列{y k ＋1}是以3为首项，3为公比的等比数列． ∴y k ＋1＝3·3k －1＝3k.∴y k ＝3k－1(k ∈N *，k ≤2 007)．(2)T k ＝x 1y 1＋x 2y 2＋…＋x k y k ＝1×(3－1)＋3×(32－1)＋…＋(2k －1)(3k －1)＝1×3＋3×32＋…＋(2k －1)·3k－[1＋3＋…＋(2k －1)]．记S k ＝1×3＋3×32＋…＋(2k －1)·3k，① 则3S k ＝1×32＋3×33＋…＋(2k －1)·3k ＋1，②①－②，得－2S k ＝3＋2·32＋2·33＋…＋2·3k－(2k －1)·3k ＋1＝2(3＋32＋…＋3k )－3－(2k －1)·3k ＋1＝2×3×1－3k1－3－3－(2k －1)·3k ＋1＝3k ＋1－6－(2k －1)·3k ＋1＝2(1－k )·3k ＋1－6，∴S k ＝(k －1)·3k ＋1＋3.又∵1＋3＋…＋(2k －1)＝k 1＋2k －12＝k 2，∴T k ＝(k －1)·3k ＋1＋3－k 2.27235 6A63 橣@qc24387 5F43 彃26788 68A4 梤24556 5FEC 忬25364 6314 挔36889 9019 這}29383 72C7 狇 23216 5AB0 媰34210 85A2薢。

高中数学第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理优化练习新人教A版选修2-2(2

2017-2018学年高中数学第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.1.1 合情推理优化练习新人教A版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017-2018学年高中数学第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.1.1 合情推理优化练习新人教A版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2017-2018学年高中数学第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.1.1 合情推理优化练习新人教A版选修2-2的全部内容。

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1.1 合情推理［课时作业］［A组基础巩固]1．下列推理是归纳推理的是（)A．A，B为定点，动点P满足|PA｜＋|PB｜＝2a＞｜AB｜,得P的轨迹为椭圆B．由a1＝1，a n＝3n－1，求出S1，S2,S3,猜想出数列的前n项和S n的表达式C．由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜出椭圆错误!＋错误!＝1的面积S＝πabD．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇解析：由归纳推理的定义知B是归纳推理，故应选B.答案：B2．数列｛a n}：2，5,11,20，x，47，…中的x等于( ）A．28 B．32C．33 D．27解析：因为5－2＝3×1,11－5＝6＝3×2，20－11＝9＝3×3，猜测x－20＝3×4,47－x＝3×5,推知x＝32.故应选B.答案：B3．某同学在电脑上打下了一串黑白圆，如图所示，○○○●●○○○●●○○○…，按这种规律往下排，那么第36个圆的颜色应是（）A．白色B．黑色C．白色可能性大D．黑色可能性大解析：由题干图知，图形是三白二黑的圆周而复始相继排列，是一个周期为5的三白二黑的圆列，因为36÷5＝7余1，所以第36个圆应与第1个圆颜色相同，即白色．答案：A4．观察（x2）′＝2x，（x4）′＝4x3，(cos x）′＝－sin x，由归纳推理可得:若定义在R上的函数f（x）满足f（－x）＝f(x）,记g(x）为f（x）的导函数，则g(－x）＝（）A．f(x) B．－f（x)C．g(x）D．－g(x)解析：本题考查了推理证明及函数的奇偶性内容,由例子可看出偶函数求导后都变成了奇函数，∴g(－x)＝－g(x)，选D。

(山东专版)高考数学二轮专题复习与策略第2部分必考补充专题技法篇 6招巧解客观题,省时、省力得

必考补充专题技法篇 6招巧解客观题，省时、省力得高分教师用书理必考补充专题中的4个突破点在高考考查中较为简单，题型为选择、填空题，属送分题型，通过一轮复习，大多数考生已能熟练掌握，为节省宝贵的二轮复习时间，迎合教师与考生的需求，本部分只简单提炼核心知识，构建知识体系，讲解客观题解法，其余以练为主.建知识网络明内在联系[高考点拨] 必考补充专题涉及的知识点比较集中，多为新增内容，在高考中常以“四小”的形式呈现．本专题的考查也是高考中当仁不让的高频考点，考查考生应用新知识解决问题的能力和转化与化归能力等．综合近年高考命题规律，本专题主要从“集合与常用逻辑用语”“不等式与线性规划”“算法初步、复数、推理与证明”“排列组合、二项式定理”四大角度进行精练，引领考生明确考情，高效备考．技法篇：6招巧解客观题，省时、省力得高分[技法概述] 选择题、填空题是高考必考的题型，共占有75分，因此，探讨选择题、填空题的特点及解法是非常重要和必要的．选择题的特点是灵活多变、覆盖面广，突出的特点是答案就在给出的选项中．而填空题是一种只要求写出结果，不要求写出解答过程的客观性试题，不设中间分，所以要求所填的是最简最完整的结果．解答选择题、填空题时，对正确性的要求比解答题更高、更严格．它们自身的特点决定选择题及填空题会有一些独到的解法．解法1 直接法直接法是直接从题设出发，抓住命题的特征，利用定义、性质、定理、公式等，经过变形、推理、计算、判断得出结果.直接法是求解填空题的常用方法.在用直接法求解选择题时，可利用选项的暗示性作出判断，同时应注意：在计算和论证时尽量简化步骤，合理跳步，还要尽可能地利用一些常用的性质、典型的结论，以提高解题速度.(1)(2016·高考)将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3图象上的点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，t 向左平移s (s >0)个单位长度得到点P ′.若P ′位于函数y ＝sin 2x 的图象上，则( )A ．t ＝12，s 的最小值为π6B ．t ＝32，s 的最小值为π6C ．t ＝12，s 的最小值为π3D ．t ＝32，s 的最小值为π3(2)(2015·某某高考)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R)，则m －n 的值为______．[解题指导] (1)先求点P 坐标，再求点P ′的坐标，最后将点P ′的坐标代入y ＝sin 2x 求s 的最小值．(2)可以利用向量的坐标运算，通过坐标相等，直接得出参量m ，n 的值． (1)A (2)－3 [(1)因为点P ⎝⎛⎭⎪⎫π4，t 在函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象上，所以t ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4－π3＝sin π6＝12.所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，12.将点P 向左平移s (s >0)个单位长度得P ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－s ，12.因为P ′在函数y ＝sin 2x 的图象上，所以sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－s ＝12，即cos 2s ＝12，所以2s＝2k π＋π3或2s ＝2k π＋53π，即s ＝k π＋π6或s ＝k π＋5π6(k ∈Z)，所以s 的最小值为π6.(2)∵m a ＋n b ＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5，∴m －n ＝－3.][变式训练1] (2015·某某高考)为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：收入x (万元) 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 支出y (万元)6.27.58.08.59.8根据上表可得回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^＝0.76，a ^＝y －b ^x .据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为( )A ．11.4万元B ．11.8万元C ．12.0万元D ．12.2万元B [由题意知，x ＝8.2＋8.6＋10.0＋11.3＋11.95＝10，y ＝6.2＋7.5＋8.0＋8.5＋9.85＝8，∴a ^＝8－0.76×10＝0.4，∴当x ＝15时，y ^＝0.76×15＋0.4＝11.8(万元)．] 解法2 等价转化法所谓等价转化法，就是通过“化复杂为简单、化陌生为熟悉”，将问题等价地转化成便于解决的问题，从而得出正确的结果.(1)(2016·某某模拟)设四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|＝6，|AD →|＝4，若点M ，N 满足BM →＝3MC →，DN →＝2NC →，则AM →·NM →＝( )A ．20B ．15C ．9D ．6(2)(2015·某某高考)若直线3x －4y ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)相交于A ，B 两点，且∠AOB ＝120°(O 为坐标原点)，则r ＝__________.[解题指导] (1)把向量AM →，NM →用AB →，BC →表示，再求数量积．(2)利用∠AOB ＝120°，得到圆心到直线的距离，最后用点到直线的距离公式求解．(1)C (2)2 [(1)依题意有AM →＝AB →＋BM →＝AB →＋34BC →，NM →＝NC →＋CM →＝13DC →－14BC →＝13AB →－14BC →，所以AM →·NM →＝⎝⎛⎭⎪⎫AB →＋34BC →·⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB →－14BC →＝13AB →2－316BC →2＝9.故选C.(2)如图，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，则|OD |＝532＋－42＝1.∵∠AOB ＝120°，OA ＝OB ， ∴∠OBD ＝30°，∴|OB |＝2|OD |＝2，即r ＝2.][变式训练2] (1)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点，若AC →·BE →＝1，则AB 的长为( ) 【导学号：67722071】A ．2B.32 C ．1D.12(2)若直线y ＝kx ＋1(k ∈R)与圆x 2＋y 2－2ax ＋a 2－2a －4＝0恒有交点，则实数a 的取值X 围是________．(1)D (2)[－1,3] [(1)因为AC →＝AD →＋DC →，BE →＝BC →＋CE →＝AD →－12DC →，所以AC →·BE →＝(AD →＋DC →)·⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →－12DC →＝AD →2＋12AD →·DC →－12DC 2，所以1＋12|DC →|·cos 60°－12|DC →|2＝1，|DC →|＝12，故AB 的长为12.(2)直线y ＝kx ＋1恒过定点(0,1)，则直线与圆恒有交点等价于点(0,1)在圆内或圆上，即02＋12－2a ×0＋a 2－2a －4≤0，即a 2－2a －3≤0，解得－1≤a ≤3.]解法3 特殊值法在解决选择题和填空题时，可以取一个或一些特殊数值或特殊位置、特殊函数、特殊点、特殊方程、特殊数列、特殊图形等来确定其结果，这种方法称为特值法.特值法由于只需对特殊数值、特殊情形进行检验，省去了推理论证、繁琐演算的过程，提高了解题的速度.特值法是考试中解答选择题和填空题时经常用到的一种方法，应用得当可以起到“四两拨千斤”的功效.(1)(2015·某某高考)设f (x )＝ln x,0<a <b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，r＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( )A ．q ＝r <pB ．q ＝r >pC ．p ＝r <qD ．p ＝r >q(2)(2015·某某高考)“对任意x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，k sin x cos x <x ”是“k <1”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[解题指导] (1)从条件看这应是涉及利用基本不等式比较函数值大小的问题，若不等式在常规条件下成立，则在特殊情况下更能成立，所以不妨对a ，b 取特殊值处理，如a ＝1，b ＝e.(2)正常来说分析不等式k sin x cos x ＜x 成立的条件很复杂，也没必要，所以可以尝试在满足条件的情况下对x 取特殊值进行分析，这样既快又准确．(1)C (2)B [(1)根据条件，不妨取a ＝1，b ＝e ，则p ＝f (e)＝ln e ＝12，q ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋e 2＞f (e)＝12，r ＝12(f (1)＋f (e))＝12，在这种特例情况下满足p ＝r ＜q ，所以选C.(2)若对任意x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，k sin x cos x ＜x 成立，不妨取x ＝π4，代入可得k ＜π2，不能推出k ＜1，所以是非充分条件；因为x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，恒有sin x ＜x ，若k ＜1，则k cos x ＜1，一定有k sin x cos x ＜x ，所以选B.][变式训练3] (1)如果a 1，a 2，…，a 8为各项都大于零的等差数列，公差d ≠0，那么( ) A ．a 1a 8＞a 4a 5 B ．a 1a 8＜a 4a 5 C ．a 1＋a 8＞a 4＋a 5D ．a 1a 8＝a 4a 5(2)(2016·某某模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c成等差数列，则cos A ＋cos C1＋cos A cos C＝________.(1)B (2)45 [(1)取特殊数列1,2,3,4,5,6,7,8，显然只有1×8＜4×5成立．(2)令a ＝b ＝c ，则A ＝C ＝60°，cos A ＝cos C ＝12.从而cos A ＋cos C 1＋cos A cos C ＝45.]解法4 数形结合法数形结合法是指在处理数学问题时，能够将抽象的数学语言与直观的几何图形有机结合起来思考，促使抽象思维和形象思维有机结合，通过对规X 图形或示意图形的观察分析，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到简捷解决的方法.(1)(2016·某某模拟)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －4≤0，y ≥1，则z ＝－2x＋y 的最大值是( )【导学号：67722072】A ．－1B ．－2C ．－5D ．1(2)(2015·某某高考)函数f (x )＝4cos 2x 2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x －2sin x －|ln(x ＋1)|的零点个数为______．[解题指导] (1)要确定目标函数的最大值，需知道相应的x ，y 的值，从约束条件中不可能解出对应的x ，y 的值，所以只有通过图解法作出约束条件的可行域，据可行域数形结合得出目标函数的最大值．(2)函数的零点即对应方程的根，但求对应方程的根也比较困难，所以进一步转化为求两函数的图象的交点，所以作出两函数的图象确定交点个数即可．(1)A (2)2 [(1)二元一次不等式组表示的平面区域为如图所示的△ABC 内部及其边界，当直线y ＝2x ＋z 过A 点时z 最大，又A (1,1)，因此z 的最大值为－1.(2)f (x )＝4cos 2x 2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x －2sin x －|ln(x ＋1)| ＝2(1＋cos x )sin x －2sin x －|ln(x ＋1)| ＝2sin x cos x －|ln(x ＋1)|＝sin 2x －|ln(x ＋1)|. 由f (x )＝0，得sin 2x ＝|ln(x ＋1)|.设y 1＝sin 2x ，y 2＝|ln(x ＋1)|，在同一平面直角坐标系中画出二者的图象，如图所示．由图象知，两个函数图象有两个交点，故函数f (x )有两个零点．] [变式训练4] (1)(2016·某某模拟)方程x lg(x ＋2)＝1的实数根的个数为( )A ．1B ．2C ．0D ．不确定(2)已知偶函数y ＝f (x )(x ∈R)在区间[0,2]上单调递增，在区间(2，＋∞)上单调递减，且满足f (－3)＝f (1)＝0，则不等式x 3f (x )＜0的解集为________．(1)B (2)(－3，－1)∪(0,1)∪(3，＋∞) [(1)方程x lg(x ＋2)＝1⇔lg(x ＋2)＝1x，在同一坐标系中画出函数y ＝lg(x ＋2)与y ＝1x的图象，可得两函数图象有两个交点，故所求方程有两个不同的实数根．(2)由题意可画出y ＝f (x )的草图，如图．①x ＞0，f (x )＜0时，x ∈(0,1)∪(3，＋∞)； ②x ＜0，f (x )＞0时，x ∈(－3，－1)．故不等式x 3f (x )＜0的解集为(－3，－1)∪(0,1)∪(3，＋∞)．] 解法5 构造法用构造法解客观题的关键是利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型，从而简化推理与计算过程，使较复杂的数学问题得到解决，它需要对基础知识和基本方法进行积累，需要从一般的方法原理中进行提炼概括，积极联想，横向类比，从曾经遇到的类似问题中寻找灵感，构造出相应的具体的数学模型，使问题简化.(1)(2016·某某一模)已知f (x )为定义在(0，＋∞)上的可导函数，且f (x )＞xf ′(x )恒成立，则不等式x 2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －f (x )＞0的解集为( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(1，＋∞)D ．(2，＋∞)(2)如图1，已知球O 的面上有四点A ，B ，C ，D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DA ＝AB ＝BC ＝2，则球O 的体积等于________．图1[解题指导] (1)构造函数g (x )＝f xx，可证明函数g (x )在(0，＋∞)上是减函数，再利用 x 2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －f (x )＞0⇔f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1x＞f x x ⇔g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＞g (x )求解． (2)以DA ，AB ，BC 为棱长构造正方体，则球O 是此正方体的外接球，从而球O 的直径是正方体的体对角线长．(1)C (2)6π [(1)设g (x )＝f x x ，则g ′(x )＝xf ′x －f xx 2，又因为f (x )＞xf ′(x )，所以g ′(x )＝xf ′x －f xx 2＜0在(0，＋∞)上恒成立，所以函数g (x )＝f x x 为(0，＋∞)上的减函数，又因为x 2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －f (x )＞0⇔f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1x＞f x x ⇔g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＞g (x )，则有1x＜x ，解得x ＞1，故选C.(2)如图，以DA ，AB ，BC 为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O 的半径为R ，则正方体的体对角线长即为球O 的直径，所以CD ＝22＋22＋22＝2R ，所以R ＝62，故球O 的体积V ＝4πR33＝6π.][变式训练5] (1)(2016·某某高三诊断)已知定义在R 上的可导函数f (x )的导函数为f ′(x )，满足f ′(x )＜f (x )，且f (x ＋2)为偶函数，f (4)＝1，则不等式f (x )＜e x 的解集为( )A ．(－2，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(4，＋∞)(2)已知a ，b 为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a ，b 在α上的射影有可能是：①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点．在上面的结论中，正确结论的序号是________(写出所有正确结论的序号)． (1)B (2)①②④ [(1)因为f (x ＋2)为偶函数，所以f (x ＋2)的图象关于x ＝0对称，所以f (x )的图象关于x ＝2对称，所以f (4)＝f (0)＝1，设g (x )＝f xex(x ∈R)，则g ′(x )＝f ′x e x －f x e xex2＝f ′x －f xex，又因为f ′(x )＜f (x )，所以g ′(x )＜0(x ∈R)，所以函数g (x )在定义域上单调递减，因为f (x )＜e x⇔g (x )＝f xex＜1，而g (0)＝f 0e＝1，所以f (x )＜e x⇔g (x )＜g (0)，所以x ＞0，故选B.(2)用正方体ABCD A 1B 1C 1D 1实例说明A 1D 与BC 1在平面ABCD 上的射影互相平行，AB 1与BC 1在平面ABCD 上的射影互相垂直，BC 1与DD 1在平面ABCD 上的射影是一条直线及其外一点．故正确的结论为①②④.]解法6 排除法排除法就是充分运用选择题中单选题的特征，即有且只有一个正确选项这一信息，从选项入手，根据题设条件与各选项的关系，通过分析、推理、计算、判断，对选项进行筛选，将其中与题设相矛盾的干扰项逐一排除，从而获得正确结论的方法.使用该法的前提是“答案唯一”，即四个选项中有且只有一个答案正确.排除法适用于定性型或不宜直接求解的选择题，当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件，在选项中找到明显与之矛盾的予以否定，再根据另一些条件，在剩余的选项内找出矛盾，这样逐步筛选，直至得出正确的答案.(1)(2016·北师大附中模拟)函数y ＝cos 6x2x －2－x 的图象大致为( )【导学号：67722073】A BC D(2)(2015·某某高考)设x ∈R ，定义符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，则( )A ．|x |＝x |sgn x |B ．|x |＝x sgn|x |C ．|x |＝|x |sgn xD ．|x |＝x sgn x [解题指导] (1)根据函数的奇偶性和x →＋∞时函数值的正负，以及x →0且x ＞0时函数值的正负，排除可得答案．(2)可验证当x ＜0时，等式成立的情况．(1)D (2)D [(1)函数y ＝cos 6x 为偶函数，函数y ＝2x －2－x为奇函数，故原函数为奇函数，排除A.又函数y ＝2x －2－x 为增函数，当x →＋∞时，2x －2－x →＋∞且|cos 6x |≤1，∴y ＝cos 6x 2x －2－x →0(x →＋∞)，排除C.∵y ＝cos 6x 2x －2－x ＝2x ·cos 6x 4x －1为奇函数，不妨考虑x ＞0时函数值的情况，当x →0时，4x →1,4x －1→0,2x →1，cos 6x →1，∴y →＋∞，故排除B ，综上知选D.(2)当x <0时，|x |＝－x ，x |sgn x |＝x ，x sgn|x |＝x ，|x |sgn x ＝(－x )·(－1)＝x ，排除A ，B ，C ，故选D.] [变式训练6] (1)(2015·某某高考)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)的图象可能为( )(2)(2015·高考)设{a n }是等差数列，下列结论中正确的是( )A ．若a 1＋a 2>0，则a 2＋a 3>0B ．若a 1＋a 3<0，则a 1＋a 2<0C ．若0<a 1<a 2，则a 2>a 1a 3D ．若a 1<0，则(a 2－a 1)(a 2－a 3)>0(1)D (2)C [(1)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)为奇函数，排除选项A ，B ；当x ＝π时，f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫π－1πcos π＝1π－π<0，排除选项C ，故选D. (2)设等差数列{a n }的公差为d ，若a 1＋a 2>0，a 2＋a 3＝a 1＋d ＋a 2＋d ＝(a 1＋a 2)＋2d ，由于d 正负不确定，因而a 2＋a 3符号不确定，故选项A 错；若a 1＋a 3<0，a 1＋a 2＝a 1＋a 3－d ＝(a 1＋a 3)－d ，由于d 正负不确定，因而a 1＋a 2符号不确定，故选项B 错；若0<a 1<a 2，可知a 1>0，d >0，a 2>0，a 3>0，∴a 22－a 1a 3＝(a 1＋d )2－a 1(a 1＋2d )＝d 2>0，∴a 2>a 1a 3，故选项C 正确；若a 1<0，则(a 2－a 1)(a 2－a 3)＝d ·(－d )＝－d 2≤0，故选项D 错．]客观题常用的6种解法已初步掌握，在突破点19～22的训练中一展身手吧！。

高中数学第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法和分析法优化练习新人教A版选修1-

2017-2018学年高中数学第二章推理与证明2.2 直接证明与间接证明2.2.1 综合法和分析法优化练习新人教A版选修1-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017-2018学年高中数学第二章推理与证明2.2 直接证明与间接证明2.2.1 综合法和分析法优化练习新人教A版选修1-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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2.1 综合法和分析法[课时作业］[A组基础巩固]1．在证明命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos2θ”的过程：“cos4θ－sin4θ＝（cos2θ＋sin2θ）（cos2θ－sin2θ）＝cos2θ－sin2θ＝cos 2θ”中应用了( )A．分析法B．综合法C．分析法和综合法综合使用D．间接证法答案:B2．已知函数f(x）＝lg错误!，若f（a）＝b,则f（－a)等于（)A．b B．－bC.错误!D．－错误!解析：f(x)定义域为（－1，1)，f(－a）＝lg错误!＝lg(错误!)－1＝－lg错误!＝－f(a）＝－b.答案：B3．分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明：设a〉b〉c，且a＋b＋c＝0，求证：错误!<错误! a,则证明的依据应是( )A．a－b>0 B．a－c>0C．(a－b)(a－c）>0 D．（a－b)（a－c）〈0解析:错误!〈错误!a⇔b2－ac<3a2⇔（a＋c）2－ac<3a2⇔(a－c）·（2a＋c)>0⇔(a－c)(a－b）〉0.答案：C4．在不等边△ABC中，a为最大边，要想得到A为钝角的结论,对三边a，b，c应满足的条件,判断正确的是（）A．a2〈b2＋c2B．a2＝b2＋c2C．a2〉b2＋c2D．a2≤b2＋c2解析：要想得到A为钝角，只需cos A<0，因为cos A＝错误!，所以只需b2＋c2－a2<0，即b2＋c2<a2。

2021年全国版高考数学必刷题第二十一单元推理证明算法初步复数

第二十一单元推理证明、算法初步、复数考点一算法初步1.(2017年全国Ⅰ卷)如图所示的程序框图是为了求出满足3n-2n>1000的最小偶数n,那么在和两个空白框中,可以分别填入().A.A>1000和n=n+1B.A>1000和n=n+2C.A≤1000和n=n+1D.A≤1000和n=n+2【解析】因为题目要求的是“满足3n-2n>1000的最小偶数n”,所以n的叠加值为2,所以内填入“n=n+2”.由程序框图知,当内的条件不满足时,输出n,所以内填入“A≤1000”.故选D.【答案】D2.(2017年全国Ⅱ卷)执行如图所示的程序框图,如果输入的a=-1,那么输出的S=().A.2B.3C.4D.5【解析】当K=1时,S=0+(-1)×1=-1,a=1,执行K=K+1后,K=2;当K=2时,S=-1+1×2=1,a=-1,执行K=K+1后,K=3;当K=3时,S=1+(-1)×3=-2,a=1,执行K=K+1后,K=4;当K=4时,S=-2+1×4=2,a=-1,执行K=K+1后,K=5;当K=5时,S=2+(-1)×5=-3,a=1,执行K=K+1后,K=6;当K=6时,S=-3+1×6=3,执行K=K+1后,K=7>6,输出S=3.结束循环.故选B.【答案】B3.(2017年全国Ⅲ卷)执行如图所示的程序框图,为使输出S的值小于91,则输入的正整数N的最小值为().A.5B.4C.3D.2【解析】假设N=2,程序执行过程如下:t=1,M=100,S=0,=-10,t=2;1≤2,S=0+100=100,M=-10010=1,t=3;2≤2,S=100-10=90,M=--10103>2,输出S=90<91,符合题意.∴N=2成立,显然2是最小值.故选D.【答案】D4.(2016年全国Ⅰ卷)执行如图所示的程序框图,若输入的x=0,y=1,n=1,则输出x,y的值满足().A.y=2xB.y=3xC.y=4xD.y=5x【解析】输入x=0,y=1,n=1,运行第一次,x=0,y=1,不满足x2+y2≥36;,y=2,不满足x2+y2≥36;运行第二次,x=12,y=6,满足x2+y2≥36.运行第三次,x=32,y=6.输出x=32由于点(3,6)在直线y=4x上,故选C.2【答案】C5.(2016年全国Ⅱ卷)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法,如图所示的是实现该算法的程序框图.执行该程序框图,若输入的x=2,n=2,依次输入的a 为2,2,5,则输出的s=( ).A .7B .12C .17D .34【解析】因为输入的x=2,n=2,所以当k=3时循环结束,输出s.根据程序框图可得循环体中a ,s ,k 的值依次为2,2,1(第一次循环);2,6,2(第二次循环);5,17,3(第三次循环).所以输出的s=17.【答案】C考点二复数6.(2017年全国Ⅱ卷)3+i1+i=( ).A.1+2iB.1-2iC.2+iD.2-i【解析】3+i 1+i =(3+i)(1-i)(1+i)(1-i)=3−3i+i+12=2-i .故选D .【答案】D7.(2017年全国Ⅲ卷)设复数z 满足(1+i )z=2i ,则|z|=( ).A .12B .√22C .√2D .2【解析】由(1+i )z=2i ,得z=2i1+i=1+i ,∴|z|=√2.故选C .【答案】C8.(2016年全国Ⅰ卷)设(1+i )x=1+y i ,其中x ,y 是实数,则|x+y i |=( ).A.1B.√2C.√3D.2【解析】∵(1+i)x=1+y i,∴x+x i=1+y i.又∵x,y∈R,∴x=1,y=x=1.∴|x+y i|=|1+i|=√2.故选B.【答案】B考点三推理证明9.(2017年全国Ⅱ卷)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说:你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则().A.乙可以知道四人的成绩B.丁可以知道四人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩【解析】由甲说:“我还是不知道我的成绩”可知甲看到乙、丙的成绩为“一个优秀、一个良好”.乙看丙的成绩,结合甲的说法,当丙为“优秀”时,乙为“良好”;当丙为“良好”时,乙为“优秀”,可得乙可以知道自己的成绩.丁看甲的成绩,结合甲的说法,当甲为“优秀”时,丁为“良好”;当甲为“良好”时,丁为“优秀”,可得丁可以知道自己的成绩.故选D.【答案】D10.(2016年全国Ⅱ卷)有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲、乙、丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是.【解析】因为甲与乙的卡片上相同的数字不是2,所以丙的卡片上必有数字2.又丙的卡片上的数字之和不是5,所以丙的卡片上的数字是1和2.因为乙与丙的卡片上相同的数字不是1,所以乙的卡片上的数字是2和3,所以甲的卡片上的数字是1和3.【答案】1和311.(2014年全国Ⅰ卷)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时,甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市.乙说:我没去过C城市.丙说:我们三个去过同一个城市.由此可判断乙去过的城市为.【解析】由丙说可知,乙至少去过A ,B ,C 三个城市中的一个.由甲说可知,甲去过A ,C 城市且比乙去过的城市多,故乙只去过一个城市.又乙没去过C 城市,故乙只去过A 城市.【答案】A12.(2017年浙江卷)已知数列{x n }满足:x 1=1,x n =x n+1+ln (1+x n+1)(n ∈N *).证明:当n ∈N *时,(1)0<x n+1<x n ; (2)2x n+1-x n ≤x n x n+12; (3)12n -1≤x n ≤12n -2.【解析】(1)用数学归纳法证明:x n >0. 当n=1时,x 1=1>0. 假设n=k 时,x k >0, 那么n=k+1时,若x k+1≤0,则0<x k =x k+1+ln (1+x k+1)≤0,矛盾, 故x k+1>0. 因此x n >0(n ∈N *).所以x n =x n+1+ln (1+x n+1)>x n+1. 因此0<x n+1<x n (n ∈N *).(2)由x n =x n+1+ln (1+x n+1), 得x n x n+1-4x n+1+2x n=x n+12-2x n+1+(x n+1+2)ln (1+x n+1).记函数f (x )=x 2-2x+(x+2)ln (1+x )(x ≥0),令f'(x )=2x 2+xx+1+ln (1+x )>0(x>0), 则函数f (x )在[0,+∞)上单调递增, 所以f (x )≥f (0)=0,因此x n+12-2x n+1+(x n+1+2)ln (1+x n+1)=f (x n+1)≥0,故2x n+1-x n ≤x n x n+12(n ∈N *).(3)因为x n=x n+1+ln(1+x n+1)≤x n+1+x n+1=2x n+1,所以x n≥12n-1.由x n x n+12≥2x n+1-x n,得1x n+1-12≥2(1x n-12)>0,所以1x n -12≥2(1x n-1-12)≥…≥2n-1(1x1-12)=2n-2,故x n≤12n-2.综上,12n-1≤x n≤12n-2(n∈N*).高频考点:利用循环结构表示分段函数,求分段函数的值域,程序框图的完善,合情推理与演绎推理,直接证明与间接证明,数学归纳法,复数的概念,复数的几何意义,复数的四则运算,等等.命题特点:1.从近几年的高考试题看,综合法、分析法及反证法是高考常考内容,主要与数列、函数、不等式、立体几何、解析几何等知识交汇命题,在证明过程中应注意步骤的规范化.2.由近三年的高考命题形式可以看出,算法初步主要掌握算法概念和程序框图,理解算法的基本结构、基本算法语句,理解古代算法案例,体会蕴含的算法思想,增强有条理的思考与表达能力,提高逻辑思维能力,等等.而高考命题主要集中在算法的三种基本逻辑结构的框图表示,程序框图与其他知识结合是新的热点.3.从近几年高考命题看,复数往往有一道选择题或填空题,属于容易题.主要考查的方向有两个,一是复数的概念及运算,如复数的实部、虚部、纯虚数、复数的相等、共轭复数等概念以及复数的运算;二是复数的几何意义及其应用,如复数对应的点的位置(坐标)、复数与方程的综合问题等.§21.1合情推理与演绎推理一合情推理类型定义特点归纳推理由某类事物的对象具有某些特征,推出该类事物的对象都具有这些特征的推理由部分到、由到一般类比推理由两类对象具有某些和其中一类对象的某些已知 ,推出另一类对象也具有这些的推理由特殊到合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、 ,然后提出的推理二演绎推理1.定义:从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,我们把这种推理称为演绎推理.简言之,演绎推理是由一般到的推理.2.“三段论”是演绎推理的一般模式,包括: (1)大前提——已知的 ; (2)小前提——所研究的 ;(3)结论——根据 ,对特殊情况做出的判断.☞ 左学右考已知数列{a n }中,a 1=1,当n ≥2时,a n =a n-1+2n-1,依次计算a 2,a 3,a 4后,猜想a n 的表达式是( ).A.a n =3n-1B.a n =4n-3C.a n =n 2D.a n =3n-1根据图中的数构成的规律,得a 表示的数是( ).A.12B.48C.60D.144知识清单一、部分全部整体个别类似特征特征特征特殊类比猜想二、1.特殊2.(1)一般原理(2)特殊情况(3)一般原理基础训练1.【解析】由a1=1,a2=4,a3=9,a4=16,猜想a n=n2.【答案】C2.【解析】由图中的数据可知,每行除首末两个数外,其他数等于其上一行两肩上的数的乘积.所以a=12×12=144.【答案】D题型一归纳推理【例1】如图所示的是按一定规律排列的三角形等式表,现将等式从左至右,从上至下依次编上序号,即第一个等式为20+21=3,第二个等式为20+22=5,第三个等式为21+22=6,第四个等式为20+23=9,第五个等式为21+23=10……依此类推,则第99个等式为().20+21=320+22=521+22=620+23=921+23=1022+23=1220+24=1721+24=1822+24=2023+24=24……A.27+213=8320B.27+214=16512C.28+214=16640D.28+213=8448【解析】依题意,用(t,s)表示2t+2s,题中等式的规律为:第一行为3(0,1);第二行为5(0,2),6(1,2);第三行为9(0,3),10(1,3),12(2,3);第四行为17(0,4),18(1,4),20(2,4),24(3,4);….又因为99=(1+2+3+…+13)+8,所以第99个等式应位于第14行的从左至右的第8个位置,即为27+214=16512,故选B.【答案】B归纳推理是依据特殊现象推出一般现象,因而在进行归纳推理时,首先观察题目给出的特殊数(式)的变【变式训练1】有一个奇数组成的数阵排列如下:1371321…591523…111725…1927…29……则第30行从左到右第3个数是.【解析】先求第30行的第1个数,再求第30行的第3个数.观察每行的第1个数,由归纳推理可得第30行的第1个数是1+4+6+8+10+…+60=929.又第n行从左到右的第2个数比第1个数大2n,第3个数比第2个数大2n+2,所以第30行从左到右的第2个数比第1个数大60,第3个数比第2个数大62,故第30行从左到右第3个数是929+60+62=1051.【答案】1051题型二类比推理【例2】给出下列三个类比结论:①(ab)n=a n b n与(a+b)n类比,则有(a+b)n=a n+b n;②log a(xy)=log a x+log a y与sin(α+β)类比,则有sin(α+β)=sin αsin β;③(a+b )2=a 2+2ab+b 2与(a+b )2类比,则有(a+b )2=a 2+2a ·b+b 2.其中正确结论的个数是( ).A.0B.1C.2D.3 【解析】(a+b )n≠a n+b n(n ≠1,a ·b ≠0),故①错误.sin (α+β)=sin αsin β不恒成立,如α=30°,β=60°,sin 90°=1,sin 30°·sin 60°=√34,故②错误.由向量的运算公式知③正确. 【答案】B在进行类比推理时,不仅要注意形式的类比,还要注意方法的类比,且要注意以下两点:(1)找两类对象的对【变式训练2】若数列{a n }是等差数列,则数列{b n }(b n =a 1+a 2+⋯+a nn)也是等差数列.类比这一性质可知,若正项数列{c n }是等比数列,则{d n }也是等比数列,且d n 的表达式应为( ).A.d n =c 1+c 2+⋯+c n n B.d n =c 1·c 2·…·cn nC.d n =√c 1n +c 2n +⋯+c nn nnD.d n =√c 1·c 2·…·c n n【解析】(法一)由题意可知,商类比开方,和类比积,算术平均数类比几何平均数,故d n 的表达式为d n =√c 1·c 2·…·c n n .(法二)若{a n }是等差数列,则a 1+a 2+…+a n =na 1+n(n -1)2d , ∴b n =a 1+(n -1)2d=d 2n+a 1-d2,即{b n }是等差数列. 若{c n }是等比数列,则c 1·c 2·…·c n =c 1n·q1+2+…+(n-1)=c 1n·qn(n -1)2,∴d n =√c 1·c 2·…·c n n =c 1·q n -12,即{d n }是等比数列.【答案】D题型三演绎推理【例3】已知函数f(x)=-√aa x+√a(a>0,且a≠1).(1)证明:函数f(x)的图象关于点(12,-12)对称.(2)求f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)的值.【解析】(1)函数f(x)的定义域为R.任取函数f(x)图象上一点(x,f(x)),它关于点(12,-12)对称的点的坐标为(1-x,-1-f(x)).由已知f(x)=-√aa x+√a ,-1-f(x)=-1+√aa x+√a=-axa x+√a.又因为f(1-x)=-√aa1−x+√a=-√a=-√a·xa+√a·a x =-xa x+√a,所以-1-f(x)=f(1-x),所以函数f(x)的图象关于点(12,-12)对称.(2)由(1)知-1-f(x)=f(1-x),即f(x)+f(1-x)=-1.故f(-2)+f(3)=-1,f(-1)+f(2)=-1,f(0)+f(1)=-1.因此f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=-3.【变式训练3】如图,D,E,F分别是BC,CA,AB上的点,∠BFD=∠A,且DE∥BA.求证:ED=AF.(要求注明每一步推理的大前提、小前提和结论,并把最终的推理过程用简略的形式表示出来)【解析】同位角相等,两条直线平行,(大前提)∠BFD与∠A是同位角,且∠BFD=∠A,(小前提)所以DF∥EA.(结论)两组对边分别平行的四边形是平行四边形,(大前提)DE∥BA,且DF∥EA,(小前提)所以四边形AFDE是平行四边形.(结论)平行四边形的对边相等,(大前提)ED和AF为平行四边形的对边,(小前提)所以ED=AF.(结论)上面的推理过程可简略地写成:⇒四边形AFDE是平行四边形⇒ED=AF.{∠BFD=∠A∠DF∥EA,DE∥BA方法一归纳推理的一般步骤1.观察:通过观察个别事物发现某些相同特征.2.概括、归纳:从已知的相同特征中概括、归纳出一个明确表述的一般性命题.3.猜测一般性结论.【突破训练1】观察下列各等式:,sin260°+cos290°+sin 60°cos 90°=34,sin230°+cos260°+sin 30°cos 60°=34sin 215°+cos 245°+sin 15°cos 45°=34.分析上述各等式的共同特点,猜想出反映一般规律的等式,并对等式的正确性做出判断,并证明. 【解析】猜想:sin 2α+cos 2(α+30°)+sin αcos (α+30°)=34.上式正确.证明:sin 2α+cos 2(α+30°)+sin αcos (α+30°)=1−cos2α2+1+cos(2α+60°)2+sin(2α+30°)−sin30°2=1+cos(2α+60°)−cos2α2+12sin (2α+30°)-14=34-12sin (30°+2α)+12sin (2α+30°)=34.所以sin 2α+cos 2(α+30°)+sin αcos (α+30°)=34成立.方法二类比推理的一般步骤1.找出两类事物之间的相似性或一致性.2.用一类事物的某些已知特征、性质去推测另一类事物也具有类似的特征、性质,得出一个明确的命题(或猜想).3.检验这个猜想.一般情况下,如果类比的两类事物的相似性越多,相似的性质与推测的性质之间越相关,那么类比得出的结论就越可靠.类比得出的结论既可能为真,也可能为假.类比推理是一种由特殊到特殊的认识过程,具有十分重要的实用价值.【突破训练2】已知△ABC 的边长分别为a ,b ,c ,内切圆半径为r ,用S △ABC 表示△ABC 的面积,则S △ABC =12r (a+b+c ).类比这一结论有:若三棱锥A-BCD 的内切球半径为R ,则三棱锥的体积V A-BCD = .【解析】内切圆半径r 内切球半径R ;三角形的周长:a+b+c三棱锥的表面积:S △ABC +S △ACD +S △BCD +S △ABD ;三角形面积公式的系数12三棱锥体积公式的系数13.∴三棱锥的体积V A-BCD =13R (S △ABC +S △ACD +S △BCD +S △ABD ).【答案】13R (S △ABC +S △ACD +S △BCD +S △ABD )方法三演绎推理的规律方法1.分析演绎推理的构成时,要正确区分大前提、小前提、结论,省略大前提的要补出来.2.判断演绎推理是否正确的方法:(1)看推理形式是否为由一般到特殊的推理,只有由一般到特殊的推理才是演绎推理,这是最易出错的地方.(2)看大前提是否正确,大前提往往是定义、定理、性质等,注意其中有无前提条件. (3)看小前提是否正确,注意小前提必须在大前提的范围之内. (4)看推理过程是否正确,即看由大前提、小前提得到的结论是否正确. 【突破训练3】证明:f (x )=1x2在(0,+∞)上为减函数.【解析】∵f'(x )=(1x 2)'=-2x3,x ∈(0,+∞),∴f'(x )<0,∴f (x )在(0,+∞)上是减函数.1.(2017西安五校联考)已知“整数对”按如下规律排成一列:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),…,则第60个“整数对”是( ).A.(7,5)B.(5,7)C.(2,10)D.(10,1)【解析】依题意,把“整数对”的和相同的分为一组,不难得知第n 组中每个“整数对”的和均为n+1,且第n 组共有n 个“整数对”,这样的前n 组一共有n(n+1)2个“整数对”,注意到10×(10+1)2<60<11×(11+1)2,因此第60个“整数对”处于第11组(每个“整数对”的和为12的组)的第5个位置,结合题意可知每个“整数对”的和为12的组中的各整数对依次为(1,11),(2,10),(3,9),(4,8),(5,7),…,因此第60个“整数对”是(5,7).故选B .【答案】B2.(2017新乡模拟)从1开始的自然数按如图所示的规则排列,现有一个三角形框架在图中上下或左右移动,使每次恰有九个数在此三角形内,则这九个数的和可以为( ).A.2011B.2012C.2013D.2014【解析】根据题图所示的规则排列,设最上层的一个数为a,则第二层的三个数为a+7,a+8,a+9,第三层的五个数为a+14,a+15,a+16,a+17,a+18,这9个数的和为a+3a+24+5a+80=9a+104.由9a+104=2012,得a=212是自然数.【答案】B3.(2017宜昌模拟)下面几种推理过程是演绎推理的是().A.两条直线平行,同旁内角互补,若∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角,则∠A+∠B=180°B.某校高三(1)班有55人,(2)班有54人,(3)班有52人,由此得出高三所有的班的人数均超过50C.由平面三角形的性质,推测空间四面体的性质D.在数列{a n}中,a1=1,a n=12(a n-1+1a n-1)(n≥2),由此归纳出{a n}的通项公式【解析】A选项中两条直线平行,同旁内角互补(大前提),∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角(小前提),∠A+∠B=180°(结论),是从一般到特殊的推理,是演绎推理.而B,D选项是归纳推理,C选项是类比推理.【答案】A4.(2017重庆模拟)某种树的分枝生长规律如图所示,第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,5,则预计第10年这种树的分枝数为().A.21B.34C.52D.55【解析】因为2=1+1,3=2+1,5=3+2,即从第三项起每一项都等于前两项的和,所以第10年这种树的分枝数为21+34=55.【答案】D5.(2017河南信阳、三门峡一模)如图,一系列正方形将点阵分割,从内向外扩展,其模式如下:4=224+12=16=424+12+20=36=624+12+20+28=64=82……由上述事实,请推测第n个式子为.【解析】由题图中的正方形将点阵分割,从内向外扩展,其模式如下:4=224+12=16=424+12+20=36=624+12+20+28=64=82……归纳可得:等式左边是一个以8为公差,4为首项的等差数列,等式右边是正偶数的平方,故第n个式子为4+12+20+…+(8n-4)=(2n)2(n∈N*).【答案】4+12+20+…+(8n-4)=(2n)2(n∈N*)6.(2017湖南桃江检测)地震后需搭建简易帐篷,搭建如图①所示的单顶帐篷需要17根钢管,这样的帐篷按图②、图③的方式串起来搭建,则串7顶这样的帐篷需要根钢管.【解析】由题意可知,图①的单顶帐篷需要(17+0×11)根钢管,图②的帐篷需要(17+1×11)根钢管,图③的帐篷需要(17+2×11)根钢管,……所以串7顶这样的帐篷需要17+6×11=83根钢管.【答案】837.(2017成都模拟)某种平面分形图如图所示,一级分形图是由一点出发的三条线段,长度均为1,线段两两夹角的线段,且这两条线段为120°;二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来13与原线段两两夹角为120°,……依此规律得到n级分形图.(1)n级分形图中共有条线段.(2)n 级分形图中所有线段长度之和为 .【解析】(1)分形图的每条线段的末端出发再生成两条线段,由题图知,一级分形图有(3×2-3)=3条线段,二级分形图有(3×22-3)=9条线段,三级分形图中有(3×23-3)=21条线段,按此规律n 级分形图中的线段条数为3×2n-3(n ∈N *).(2)分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来13的线段,所以n 级分形图中第n 级的所有线段的长度为b n =3×(23)n -1(n ∈N *),所以n 级分形图中所有线段长度之和为S n =3×(23)0+3×(23)1+…+3×(23)n -1=3×1−(23)n1−23=9-9×(23)n.【答案】(1)3×2n-3(n ∈N *) (2)9-9×(23)n8.(2017襄阳模拟)在平行四边形ABCD 中,有AC 2+BD 2=2(AB 2+AD 2),类比这个性质,在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,有A C 12+B D 12+C A 12+D B 12= .【解析】如图,平行六面体的各个面以及对角面都是平行四边形, 因此,在平行四边形ABCD 中,AC 2+BD 2=2(AB 2+AD 2), ①在平行四边形ACC 1A 1中,C A 12+A C 12=2(AC 2+A A 12), ②在平行四边形BDD 1B 1中,D B 12+B D 12=2(BD 2+B B 12), ③由②+③,得C A 12+A C 12+D B 12+B D 12=2(AC 2+A A 12)+2(BD 2+B B 12), ④将①代入④,再结合AA 1=BB 1,得A C 12+B 1D 2+C A 12+B D 12=4(AB 2+AD 2+A A 12).【答案】4(AB 2+AD 2+A A 12)9.(2017揭阳模拟)对于正实数a ,M a 为满足下述条件的函数f (x )构成的集合:∀x 1,x 2∈R 且x 2>x 1,有-a (x 2-x 1)<f (x 2)-f (x 1)<a (x 2-x 1),下列结论中正确的是( ).A.若f (x )∈M a 1,g (x )∈M a 2,则f (x )·g (x )∈M a 1·a 2B.若f (x )∈M a 1,g (x )∈M a 2,且g (x )≠0,则f(x)g(x)∈M a 1a2C.若f (x )∈M a 1,g (x )∈M a 2,则f (x )+g (x )∈M a 1+a 2D.若f (x )∈M a 1,g (x )∈M a 2,且a 1>a 2,则f (x )-g (x )∈M a 1-a 2 【解析】由-a (x 2-x 1)<f (x 2)-f (x 1)<a (x 2-x 1), 得-a<f(x 2)-f(x 1)x 2-x 1<a. 令k=f(x 2)-f(x 1)x 2-x 1, 则-a<k<a ,又f (x )∈M a 1,g (x )∈M a 2, 所以-a 1<k f <a 1,-a 2<k g <a 2, 所以-a 1-a 2<k f +k g <a 1+a 2, 所以f (x )+g (x )∈M a 1+a 2. 【答案】C10.(2017郑州模拟)类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质,可得出空间内的下列结论:①垂直于同一个平面的两条直线互相平行; ②垂直于同一条直线的两条直线互相平行; ③垂直于同一个平面的两个平面互相平行; ④垂直于同一条直线的两个平面互相平行.其中正确的结论是( ).A.①②B.②③C.①④D.③④【解析】对于①,垂直于同一个平面的两条直线互相平行,故①正确.对于②,垂直于同一条直线的两条直线不一定平行,也可能相交或异面,故②不正确.对于③,垂直于同一个平面的两个平面不一定平行,也可能相交,如墙角,故③不正确.对于④,垂直于同一条直线的两个平面互相平行,故④正确.【答案】C11.(2017淄博模拟)观察下列等式:1=12+13+16;1=12+14+16+112;1=12+15+16+112+120;……依此类推,1=12+16+17+1n +120+130+142,其中n ∈N *,则n= .【解析】由题意知1=12+16+17+1n +120+130+142=12+(12-13)+(13-14)+(14-15)+(15-16)+(16-17)+17,所以n=12.【答案】1212.(2017山西质量监测)命题p:已知椭圆x 2a2+y2b2=1(a>b>0),F1,F2是椭圆的两个焦点,P为椭圆上的一个动点,过点F2作∠F1PF2补角平分线的垂线,垂足为M,则OM的长为定值.类比此命题,命题q:已知双曲线x2 a2-y2b2=1(a>0,b>0),F1,F2是双曲线的两个焦点,P为双曲线上的一个动点,过点F2作∠F1PF2的垂线,垂足为M,则OM的长为定值.【解析】对于椭圆,延长F2M与F1P的延长线交于点Q.由对称性知,M为F2Q的中点,且|PF2|=|PQ|,从而OM∥F1Q且|OM|=12|F1Q|.而|F1Q|=|F1P|+|PQ|=|F1P|+|PF2|=2a,所以|OM|=a.对于双曲线,过点F2作∠F1PF2内角平分线的垂线,垂足为点M,类比可得OM=a.【答案】内角平分线13.(2017保定模拟)已知数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,a n+1=n+2nS n(n∈N*),证明:(1)数列{S nn}是等比数列;(2)S n+1=4a n.【解析】(1)因为a n+1=S n+1-S n,a n+1=n+2nS n,所以(n+2)S n=n(S n+1-S n),即nS n+1=2(n+1)S n.所以S n+1n+1=2·S nn.又因为S11=1≠0,(小前提)所以{S nn}是以1为首项,2为公比的等比数列.(结论) (大前提是等比数列的定义,这里省略了)(2)由(1)可知S n+1n+1=4·S n-1n-1(n≥2),所以S n+1=4(n+1)·S n-1n-1=4·n-1+2n-1·S n-1=4a n(n≥2),(小前提)又a2=3S1=3,S2=a1+a2=1+3=4=4a1,(小前提)所以对于任意正整数n,都有S n+1=4a n.(结论)14.(2017合肥模拟)已知P (x 0,y 0)是抛物线y 2=2px (p>0)图象上一点,且在点P 处的切线方程的斜率可通过如下方式求得:y 2=2px 的两边同时对x 求导,得2yy'=2p ,则y'=p y ,所以在点P 处的切线斜率k=py 0.试用上述方法求出双曲线x 2-y 22=1在点P (√2,√2)处的切线方程.【解析】用类比的方法对y 22=x 2-1两边同时对x 求导得,yy'=2x ,所以y'=2x y,所以在点P 处的切线斜率k=2x0y 0=2×√2√2=2,所以切线方程为y-√2=2(x-√2),即2x-y-√2=0.15.(2017惠州模拟)我们将具有下列性质的所有函数组成集合M :函数y=f (x )(x ∈D ),对任意x ,y ,x+y2∈D 均满足f (x+y 2)≥12[f (x )+f (y )],当且仅当x=y 时等号成立.(1)若定义在(0,+∞)上的函数f (x )∈M ,试比较f (3)+f (5)与2f (4)的大小. (2)设函数g (x )=-x 2,求证:g (x )∈M.【解析】(1)已知f (x+y 2)≥12[f (x )+f (y )], 令x=3,y=5,得f (3)+f (5)<2f (4). (2)因为g (x 1+x 22)-12[g (x 1)+g (x 2)] =-(x 1+x 2)24+x 12+x 222=(x 1-x 2)24≥0, 所以g (x 1+x 22)≥12[g (x 1)+g (x 2)], 所以g (x )∈M.§21.2 直接证明、间接证明与数学归纳法一直接证明内容综合法分析法定义从已知条件出发,经过逐步的推理,最后达到待证结论的方法,是一种从推导到的思维方法从待证结论出发,一步一步寻求结论成立的充分条件,最后达到题设的已知条件或已被证明的事实的方法,是一种从出发到得出这一结果的的思维方法特点从“ ”看“ ”,逐步推向“未知”,其逐步推理,实际上是要寻找它的条件从“ ”看“ ”,逐步靠拢“ ”,其逐步推理,实际上是要寻找它的条件二间接证明——反证法要证明某一结论Q 是正确的,但不能直接证明,而是先 (即Q 的反面非Q 是正确的),经过正确的推理,最后得出 ,因此说明非Q 是的,从而断定结论Q 是的,这种证明方法叫作反证法.三数学归纳法一般来说,证明一个与正整数n 有关的命题,可按下列步骤进行:(1)(归纳奠基)证明当n 取时命题成立:(2)(归纳递推)假设n=k (k ≥n 0,k ∈N *)时命题成立,证明当n= 时命题也成立.只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立.这种证明方法叫作数学归纳法.☞ 左学右考要证:a 2+b 2-1-a 2b 2≤0,只需证( ).A.2ab-1-a 2b 2≤0B.a 2+b 2-1-a 4+b 42≤0 C.(a+b)22-1-a 2b 2≤0 D.(a 2-1)(b 2-1)≥0①用反证法证明“已知p 3+q 3=2,求证p+q ≤2”时,可假设p+q ≥2;②用反证法证明“已知a ,b ∈R ,|a|+|b|<1,求证方程x 2+ax+b=0的两个根的绝对值都小于1”时,可假设方程有一个根x 1的绝对值大于或等于1,即假设|x 1|≥1.以下判断正确的是( ).A.①与②的假设都错误B.①与②的假设都正确C.①的假设正确,②的假设错误D.①的假设错误,②的假设正确用数学归纳法证明2n>2n+1,n 的第一个取值应是( ).A.1B.2C.3D.4知识清单一、原因结果结果原因已知可知必要未知需知已知充分二、假设Q 不成立矛盾错误正确三、(1)第一个值n 0(n 0∈N *) (2)k+1基础训练1.【解析】因为a2+b2-1-a2b2≤0⇔(a2-1)(b2-1)≥0,所以选D.【答案】D2.【解析】反证法的实质是否定结论,对于①,其假设应是p+q>2,所以①不正确;对于②,其假设正确.【答案】D3.【解析】当n=1时,21=2,2×1+1=3,2n>2n+1不成立;当n=2时,22=4,2×2+1=5,2n>2n+1不成立;当n=3时,23=8,2×3+1=7,2n>2n+1成立.∴n的第一个取值应是3.【答案】C题型一直接证明【例1】已知实数a1,a2,…,a2017满足a1+a2+a3+…+a2017=0,且|a1-2a2|=|a2-2a3|=…=|a2016-2a2017|=|a2017-2a1|,证明:a1=a2=a3=…=a2017=0.【解析】由条件知(a1-2a2)+(a2-2a3)+(a3-2a4)+…+(a2016-2a2017)+(a2017-2a1)=-(a1+a2+a3+…+a2017)=0.①令|a1-2a2|=|a2-2a3|=|a3-2a4|=…=|a2016-2a2017|=|a2017-2a1|=m,则a1-2a2,a2-2a3,a3-2a4,…,a2016-2a2017,a2017-2a1中每个数或为m或为-m.设其中有k个m,(2017-k)个-m,则(a1-2a2)+(a2-2a3)+(a3-2a4)+…+(a2016-2a2017)+(a2017-2a1)=k×m+(2017-k)×(-m)=(2k-2017)m.②由①②知(2k-2017)m=0.③而2k-2017为奇数,不可能为0,所以m=0.于是知a1=2a2,a2=2a3,a3=2a4,…,a2016=2a2017,a2017=2a1.所以a1=22017·a1,即得a1=0.从而a1=a2=a3=…=a2017=0,命题得证.【变式训练1】设a,b,c为任意三角形的三边边长,I=a+b+c,S=ab+bc+ca,试证:3S≤I2<4S.【解析】I2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=a2+b2+c2+2S.欲证3S≤I2<4S,只需证3S≤a2+b2+c2+2S<4S,只需证S≤a2+b2+c2<2S,即ab+bc+ca≤a2+b2+c2<2ab+2bc+2ca,只需证a 2+b 2+c 2≥ab+bc+ca 且a 2+b 2+c 2<2ab+2bc+2ca.先看a 2+b 2+c 2≥ab+bc+ca ,只需证2a 2+2b 2+2c 2≥2ab+2bc+2ca ,即(a-b )2+(b-c )2+(c-a )2≥0,显然此式成立.再看a 2+b 2+c 2<2ab+2bc+2ca ,只需证a 2-ab-ac+b 2-ab-bc+c 2-bc-ca<0,只需证a (a-b-c )+b (b-a-c )+c (c-b-a )<0,只需证a<b+c 且b<c+a 且c<a+b ,由于a ,b ,c 为三角形的三边边长,显然结论成立. 故3S ≤I 2<4S.题型二间接证明【例2】用反证法证明命题“设a ,b 为实数,则方程x 3+ax+b=0 至少有一个实根”时,要做的假设是( ).A.方程x 3+ax+b=0没有实根 B.方程 x 3+ax+b=0至多有一个实根 C.方程x 3+ax+b=0 至多有两个实根 D.方程x 3+ax+b=0 恰好有两个实根【解析】用反证法证明命题时,应先假设结论的否定成立,而“至少有一个实根”的否定是“没有实根”,故要做的假设是“方程x 3+ax+b=0没有实根”.【答案】A【变式训练2】已知x ∈R ,a=x 2+12,b=2-x ,c=x 2-x+1,试证明:a ,b ,c 至少有一个不小于1.【解析】假设a ,b ,c 均小于1,即a<1,b<1,c<1,则有a+b+c<3,而a+b+c=x 2+12+2-x+x 2-x+1=2x 2-2x+12+3=2(x -12)2+3≥3,两者矛盾,所以假设不成立.故a ,b ,c 至少有一个不小于1.题型三数学归纳法【例3】已知f (n )=1+123+133+143+…+1n 3,g (n )=32-12n 2,n ∈N *.(1)当n=1,2,3时,试比较f (n )与g (n )的大小关系; (2)猜想f (n )与g (n )的大小关系,并给出证明. 【解析】(1)当n=1时,f (1)=1,g (1)=32-12×12=1,所以f (1)=g (1);当n=2时,f (2)=1+123=98,g (2)=32-12×22=118,所以f (2)<g (2);当n=3时,f (3)=1+123+133=251216,g (3)=32-12×32=139,所以f (3)<g (3).(2)由(1)猜想f (n )≤g (n ),下面用数学归纳法给出证明.①当n=1时,不等式显然成立. ②假设当n=k (k ∈N *)时不等式成立,即1+123+133+143+…+1k 3<32-12k 2,则当n=k+1时,f (k+1)=f (k )+1(k+1)3<32-12k2+1(k+1)3,因为12(k+1)2-[12k2-1(k+1)3]=k+32(k+1)3-12k2=-3k -12(k+1)3k 2<0,所以f (k+1)<32-12(k+1)2=g (k+1).由①②可知,对一切n ∈N *,都有f (n )≤g (n )成立.【变式训练3】用数学归纳法证明:对一切大于1的自然数n ,不等式(1+13)(1+15) (1)12n -1)>√2n+12均成立. 【解析】①当n=2时,左边=1+13=43;右边=√52.∵左边>右边,∴不等式成立.②假设当n=k (k ≥2,且k ∈N *)时不等式成立,即(1+13)(1+15) (1)12k -1)>√2k+12. 则当n=k+1时,(1+13)(1+15) (1)12k -1)·[1+12(k+1)−1]>√2k+12·2k+22k+1=2k+22√2k+1=√4k 2+8k+42√2k+1>√4k 2+8k+32√2k+1=√2k+3√2k+12√2k+1=√2(k+1)+12.∴当n=k+1时,不等式也成立.由①②知,对于一切大于1的自然数n ,不等式均成立.方法一利用综合法进行证明综合法是从已知条件出发,逐步推导出结论.综合法的适用范围是:(1)定义明确的题型,如证明函数的单调性、奇偶性,求证无条件的等式或不等式; (2)已知条件明确,并且容易通过分析和应用条件逐步逼近结论的题型.【突破训练1】已知数列{a n }满足a 1=12且a n+1=a n -a n2(n ∈N *). (1)证明:1<a n a n+1≤2(n ∈N *). (2)设数列{a n 2}的前n 项和为S n ,证明:12(n+2)<S n n ≤12(n+1)(n ∈N *).【解析】(1)由题意得a n+1-a n =-a n 2<0,即a n+1<a n, 故a n ≤12. 由a n =(1-a n-1)a n-1,得a n =(1-a n-1)(1-a n-2)·…·(1-a 1)a 1>0. 由0<a n ≤12,得a na n+1=a n a n -a n 2=11−a n ∈(1,2], 即1<a n a n+1≤2(n ∈N *). (2)由题意得a n 2=a n -a n+1,所以S n =a 1-a n+1. ① 由1a n+1-1a n=a nan+1和1<a na n+1≤2,得1<1a n+1-1a n≤2,所以n<1a n+1-1a 1≤2n ,因此12(n+1)≤a n+1<1n+2(n ∈N *). ②由①②,得12(n+2)<S n n ≤12(n+1)(n ∈N *).方法二利用分析法进行证明【突破训练2】已知m>0,a ,b ∈R ,求证:(a+mb 1+m )2≤a 2+mb 21+m. 【解析】因为m>0,所以1+m>0,所以要证(a+mb 1+m )2≤a 2+mb 21+m,即证(a+mb )2≤(1+m )(a 2+mb 2),即证m (a 2-2ab+b 2)≥0,即证(a-b )2≥0,又(a-b )2≥0显然成立,所以(a+mb 1+m )2≤a 2+mb21+m.方法三利用反证法进行证明【突破训练3】已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足a n +S n =2.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)求证:数列{a n }中任意三项不可能按原来顺序成等差数列. 【解析】(1)当n=1时,a 1+S 1=2a 1=2,则a 1=1. 又a n +S n =2,所以a n+1+S n+1=2, 两式相减得a n+1=12a n ,所以{a n }是首项为1,公比为12的等比数列,所以a n =12n -1.(2)假设{a n }中存在三项按原来顺序成等差数列,记这三项为a p+1,a q+1,a r+1(p<q<r ,且p ,q ,r ∈N *),则2·12q =12p +12r ,所以2·2r-q=2r-p+1. (*)又因为p<q<r , 所以r-q ,r-p ∈N *.所以(*)式左边是偶数,右边是奇数,等式不成立. 所以假设不成立,原命题得证.方法四利用数学归纳法进行证明【突破训练4】已知数列{a n }的前n 项和S n 满足:S n =a n 2+1a n-1,且a n >0,n ∈N *.(1)求a 1,a 2,a 3,并猜想{a n }的通项公式;(2)证明通项公式的正确性.【解析】(1)当n=1时,由已知得a 1=a 12+1a 1-1,即a 12+2a 1-2=0.∴a 1=√3-1(a 1=-√3-1<0,舍去).当n=2时,由已知得a 1+a 2=a 22+1a 2-1,将a 1=√3-1代入上式并整理,得a 22+2√3a 2-2=0.∴a 2=√5-√3(a 2=-√5-√3<0,舍去).同理可得a 3=√7-√5.猜想a n =√2n +1-√2n -1(n ∈N *).(2)由(1)知,当n=1时,通项公式成立. 假设当n=k (k ∈N *)时,通项公式成立,即a k =√2k +1-√2k -1.∵a k+1=S k+1-S k =a k+12+1a k+1-a k 2-1a k, 将a k =√2k +1-√2k -1代入上式并整理,得a k+12+2√2k +1a k+1-2=0,∴a k+1=√2k +3-√2k +1,即当n=k+1时通项公式也成立.综上可知,对任意n ∈N *,a n =√2n +1-√2n -1都成立.1.(2017广州调研)若a ,b ,c 为实数,且a<b<0,则下列命题正确的是( ).A.ac 2<bc 2B.a 2>ab>b 2C.1a <1bD.b a >a b。

届高三第二轮数学专题复习教案：算法初步

2009届高三数学二轮专题复习教案：算法初步二、重点知识回顾1 .算法的特征(1)确定性：算法的确定性是指一个算法中每一步操作都是明确的，不能模糊或有歧义, 算法执行后一定产生明确的结果；(2)有穷性：算法的有穷性是指一个算法必须能够在有限个步骤之内把问题解决，不能无限的执行下去；(3)可行性：算法的可行性是指一个算法对于某一类问题的解决都必须是有效的，切实可行的，并且能够重复使用.2、程序框图基本的程序框有起始框，输入、输出框，处理框，判断框•其中起始框是任何流程都不可缺少的，而输入、输出框可以用在算法中任何需要输入、输出的位置•程序框图中的图框表示各种操作，图框内的文字和符号表示操作的内容，带箭头的流线表示操作的先后次序.(1 )顺序结构顺序结构描述的是最自然的结构，它也是最基本的结构，其特点是：语句与语句之间，框与框之间是按从上到下的顺序进行，不能跳跃，不能回头，如图1表示的是顺序结构的示意图，它的功能是：A和B两个框是依次执行的，只有在执行完A框后，才能接着执行B框.(2 )选择结构选择结构是依据指定条件选择不同的指令的控制结构.选择结构和实际问题中的分类处理与数学思想中的分类讨论思想是完全对应的.两种常见的选择结构如图2和图3所示.算法初步、本章知识结构:图2的功能是先判断P是否成立，若成立，再执行A后脱离选择结构.图3的功能是根据给定的条件P是否成立而选择A框或B框，特别注意，无论条件P是否成立，只能执行A框或B框之一，不可能既执行A框又执行B框，也不可能A框、B框都不执行，无论执行哪条路径，在执行完A框或B框之后，脱离本选择结构.(3 )循环结构循环结构就是根据指定条件决定是否重复执行一条或多条指令的控制结构•它的特点是：从某处开始，按照一定的条件反复执行某一处理步骤，其中反复执行的处理步骤称为循环体.两种常见的循环结构如图4和图5所示.图4的功能是先执行A框，然后判断给定的条件P是否成立，如果P条件不成立，再执行A，然后再对P条件作判断，如果P条件仍然不成立，又执行A,…，如此反复执行A,直到给定的P条件成立为止，此时不再执行A,脱离本循环结构(又称直到型循环)图5的功能是先判断条件P是否成立，若成立，则执行A框，再判断条件P是否成立，若成立，又执行A 框，…直到不符合条件时终止循环(又称当型循环) ，执行本循环结构后的下一步程序.3、基本算法语句算法是计算机科学的基础，本部分要学习的算法语句，是为了将算法转换为计算机能够理解的程序语言和能在计算机上实现的程序所需要的语句，其作用就是实现算法与计算机的转换.(1 )赋值语句赋值语句是用来表明赋给某一个变量一个具体的确定值的语句•赋值语句的一般格式为：变量名=表达式.赋值语句还应注意以下几点：①赋值号左边只能是变量名字，而不是表达式；②赋值号左右不能对换；③不能利用赋值语句进行代数式(或符号)的演算(如化简、因式分解等) ；④赋值号与数学中的等号的意义不同.(2 )输入语句输入语句主要用来给变量输入初始数据.输入语句的一般格式是：变量=INPUT ("提示内容”).输入语句要求输入的值只能是具体的常数，不能是函数、变量或表达式。

高考数学二轮复习考点二十一推理与证明课件理

算“∧”和“∨”如下： a∧b＝ab，，aa≤ >bb，，a∨b＝ba，，aa≤ >bb.，若正数 a，b，c，d 满足 ab≥4，c＋d≤4，则( ) A．a∧b≥2，c∧d≤2
根据题意知，a∧b 表示 a，b 中较小的， a∨b 表示 a，b 中较大的．因为a＋2 b2≥ab≥4，所以 a＋b≥4. 又因为 a，b 为正数，所以 a，b 中至少有一个大
f（x）（x≥a＋2）， g（x）（x≤a－2）， H2(x)＝ f（x）（a－2<x<a＋2）， g（x）（x≥a＋2），
A．16
B．－16
所以 A＝H1(x)min＝f(a＋2)＝－4a－4，B＝H2(x)max＝g(a－2)＝－4a
C．a2－2a－16
考题解法类编
D．a2＋2a－16
揭秘解题绝招
C．123
D．199
解析：解法一：由 a＋b＝1，a2＋b2＝3 得 ab＝－1，代入后三个等式中符合，则
a10＋b10＝(a5＋b5)2－2a5b5＝123. 解法二：令 an＝an＋bn，则 a1＝1，a2＝3，a3＝4，a4＝7，…得 an＋2＝an＋an＋1，从而 a6＝18， a7＝29，a8＝47，a9＝76，a10＝123.
第十二页，共19页。
考题 ● 解法类编
类型三与不等式有关(yǒuguān)的推理
例题(lìtí)精编
通性通法名师推荐创新发现探究演练
例 3：(2013·高考浙江卷)设 a，b∈R，定义运算“∧”和“∨”如下： a∧b＝ab，，aa≤ >bb，，a∨b＝ba，，aa≤ >bb.，若正数 a，b，c，d 满足 ab≥4，c＋d≤4，则( ) A．a∧b≥2，c∧d≤2 B．a∧b≥2，c∨d≥2 C．a∨b≥2，c∧d≤2 D．a∨b≥2，c∨d≥2

高考数学总复习第十一篇复数、算法、推理与证明(必修3、选修2_2)第2节《算法初步》

(A)2
(B)4
(C)10
(D)28
解析:x=-5,|x|=5,是; 然后x=9,是;x=5,是; 再有x=|x-4|=1,否, 所以y=31+1=4. 故选B.
4.下列说法中正确的序号是
.
①赋值语句中的“=”与数学算式中“等号”的意义是相同的;②算法程序框
图中,处理框内出现如“3=a×b”是错误的;③赋值语句中,Y=x与x=Y的含义
图形符号
名称
功能
终端框 (起止框)
输入、输出框
表示一个算法
的起始和结束表示一个算法输入和输出的信息
处理框 (执行框)
赋值、计算
判断框
判断某一条件是否成立,成立时在出口处标明“是”或“Y”;不成立时标明“否”或“N”
流程线
连接程序框
连接点
连接程序框图的两部分
(2)三种基本逻辑结构
内容
名称
, 所以
c
最大,故选
C.
2
(2)执行如图所示的程序框图.如果输入的t∈[-2,2],则输出的S属于( ) (A)[-6,-2] (B)[-5,-1] (C)[-4,5] (D)[-3,6]
解析:(2)由程序
框图可得
S=
2t 2 t
2,t 2, 3,t 0,2,
0
,
其值域为(-2,6]∪[-3
是不相同的;④赋值语句中,只能给一个变量赋值,出现3=a=b,则是错误的;⑤
赋值语句中N=N+1的含义是将N的值加1后再赋值给N.
答案:②③④⑤
考点专项突破
在讲练中理解知识
考点一顺序结构与条件结构【例1】 (1)执行如图所示的程序框图,如果输入的a=4,b=6,那么输出的n等于( )

高考数学二轮复习提前练：x21数学归纳法及其应用.doc

选修第2章第1节[基础强化]考点一：用数学归纳法证明等式1．用数学归纳法证明“1＋2＋22＋……＋2n －1＝2n －1(n ∈N *)”的过程中，第二步假设n ＝k 时等式成立，则当n ＝k ＋1时应得到( )A ．1＋2＋22＋……＋2k －2＋2k －1＝2k ＋1－1B ．1＋2＋22＋……2k ＋2k ＋1＝2k －1＋2k ＋1C ．1＋2＋22＋……2k －1＋2k ＋1－1＝2k ＋1－1D ．1＋2＋22＋……2k －1＋2k ＝2k －1＋2k解析：当n ＝k 时，等式为1＋2＋22＋……＋2k －1＝2k －1.那么当n ＝k ＋1时，左边＝1＋2＋22＋……＋2k －1＋2k ，因此只需在归纳假设两端同时添加2k ，即1＋2＋22＋……＋2k －1＋2k ＝2k －1＋2k .答案：D2．设f (x )＝1＋12＋13＋…＋1x(x ∈N *)．求证：n ＋f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1)＝nf (n )(n ∈N *且n ≥2)．证明：(1)n ＝2时，左边＝2＋f (1)＝2＋1＝3，右边＝2·f (2)＝2(1＋12)＝3，∴等式成立．(2)假设n ＝k 时等式成立，即k ＋f (1)＋f (2)＋…＋f (k －1)＝kf (k )．那么当n ＝k ＋1时，左边＝(k ＋1)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (k －1)＋f (k ) ＝kf (k )＋1＋f (k )＝(k ＋1)f (k )＋1＝(k ＋1)[f (k )＋1k ＋1－1k ＋1]＋1＝(k ＋1)f (k ＋1)－1＋1 ＝(k ＋1)f (k ＋1)．即n ＝k ＋1时，等式亦成立．由(1)(2)知对于n ∈N *，且n ≥2等式成立．考点二：用数学归纳法证明不等式3．(·云南模拟)用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＞1324(n ＜1且n ∈N )时，在证明n ＝k ＋1这一步时，需要证明的不等式是( )A.1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＞1324B.1k ＋1＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＞1324C.1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＞1324D.1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＞1324解析：1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＞1324(n ＞1且n ∈N )的左边有n 项，在证明n ＝k ＋1这一步时，需要证明的不等式是1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＞1324，故选D.答案：D4．当n ＞1，且n ∈N *时，求证：1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋13n ＞910.证明：(1)当n ＝2时，左边＝13＋14＋15＋16＝1920＞910，不等式成立．(2)假设n ＝k (k ≥2)时，不等式成立，即1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋…＋13k ＞910.当n ＝k ＋1时，1(k ＋1)＋1＋1k ＋3＋1k ＋4＋…＋13k ＋13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3＝(1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋…＋13k )＋(13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1)＞910＋(13k ＋3＋13k ＋3＋13k ＋3－1k ＋1)＝910. 即n ＝k ＋1时，不等式成立．由(1)、(2)可知，原不等式对任意n ＞1且n ∈N *都成立．考点三：用数学归纳法证明整除问题5．用数学归纳法证明命题“当n 是正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”，在第二步时，正确的证法是( )A ．假设n ＝k (k ∈N *)，证明n ＝k ＋1命题成立B ．假设n ＝k (k 是正奇数)，证明n ＝k ＋1命题成立C ．假设n ＝2k ＋1(k ∈N *)，证明n ＝k ＋1命题成立D ．假设n ＝k (k 是正奇数)，证明n ＝k ＋2命题成立解析：A 、B 、C 中，k ＋1不一定表示奇数，只有D 中k 为奇数，k ＋2为奇数．答案：D6．用数学归纳法证明：(3n ＋1)7n －1(n ∈N *)能被9整除．证明：令f (n )＝(3n ＋1)7n －1，(1)f (1)＝(3×1＋1)71－1＝27能被9整除； (2)假设f (k )(k ∈N *)能被9整除，则f (k ＋1)－f (k )＝[(3k ＋4)·7k ＋1－1]－[(3k ＋1)·7k －1]＝9·(2k ＋3)·7k 能被9整除． ∴f (k ＋1)能被9整除，∴由(1)、(2)知，对一切n ∈N *，命题成立．考点四：用数学归纳法解决探索性问题7．观察下式： 1＝12；2＋3＋4＝32；3＋4＋5＋6＋7＝52；4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72， …，则得出的结论：________________________________________________________________________. 解析：各等式的左边是第n 个自然数到第3n －2个连续自然数的和，右边是奇数的平方，故得出结论：n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2.答案：n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2 8．已知数列{a n }满足条件(n －1)a n ＋1＝(n ＋1)·(a n －1)，且a 2＝6，设b n ＝a n ＋n (n ∈N *)，求{b n }的通项公式．解：当n ＝1时，由(n －1)a n ＋1＝(n ＋1)(a n －1)，得a 1＝1.当n ＝2时，∵a 2＝6，代入(n －1)a n ＋1＝(n ＋1)(a n －1)，得a 3＝15，同理可得a 4＝28，再代入b n ＝a n ＋n ，有b 1＝2，b 2＝8，b 3＝18，b 4＝32.由此猜想b n ＝2n 2(也可由a n ＝1，a 2＝6＝2×3，a 3＝15＝3×5，a 4＝28＝4×7，猜想a n ＝n ·(2n －1))．要证b n ＝2n 2，可证a n ＝b n －n ＝2n 2－n ，①当n ＝1时，a 1＝2×12－1＝1，前面已求得a 1＝1， ∴猜想正确．②假设n ＝k 时，a k ＝2k 2－k (k ≥1，k ∈N *)，则当n ＝k ＋1时，由已知(n －1)a n ＋1＝(n ＋1)(a n －1)，得(k －1)a k ＋1＝(k ＋1)(a k －1)，∴a k ＋1＝k ＋1k －1(a k －1)＝k ＋1k －1(2k 2－k －1)＝k ＋1k －1(2k ＋1)(k －1)＝(k ＋1)(2k ＋1) ＝2(k ＋1)2－(k ＋1)∴n ＝k ＋1时，a n ＝2n 2－n 成立．综合①②可知，对一切n ∈N *，a n ＝2n 2－n 都成立， ∴{b n }的通项公式为b n ＝2n 2. [感悟高考]1.将正△ABC 分割成n 2(n ≥2，n ∈N *)个全等的小正三角形(图1，图2分别给出了n ＝2,3的情形)，在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于△ABC 的三边及平行于某边的任一直线上的数(当数的个数不少于3时)都分别依次成等差数列．若顶点A 、B 、C 处的三个数互不相同且和为1，记所有顶点上的数之和为f (n )，则有f (2)＝2，f (3)＝________，…，f (n )＝________.解析：①n ＝3时，如图，设A 、B 、C 三点对应的数分别为x A 、x B 、x C ，三边上其他点对应的数分别为x 1、x 2、y 1、y 2、z 1、z 2，中间交叉点对应的数为ω，则f (3)＝x A ＋x B ＋x C＋x 1＋x 2＋y 1＋y 2＋z 1＋z 2＋ω.因为x A ＋x B ＋x C ＝1，由题意共线上的数成等差数列，∴x 1＋x 2＝x A ＋x C ，y 1＋y 2＝x B ＋x C ，z 1＋z 2＝x A ＋x B又ω＝12(x 1＋y 1)＝12(x A ＋x C －x A 3＋x B ＋x C －x B 3) ＝13(x A ＋x B ＋x C )＝13， ∴f (3)＝3(x A ＋x B ＋x C )＋13(x A ＋x B ＋x C )＝103.②解法一：当n ＝4时，同上依次设三边上顶点以外对应的数依次为x 1、x 2、x 3；y 1、y 2、y 3；z 1、z 2、z 3.中间三点对应的数为ω1、ω2、ω3，则：f (4)＝x A ＋x B ＋x C ＋x 1＋x 2＋x 3＋y 1＋y 2＋y 3＋z 1＋z 2＋z 3＋ω1＋ω2＋ω3.由题意得x 1＋x 2＋x 3＝x A ＋x B ＋x A ＋x B 2＝32(x A ＋x B )同理y 1＋y 2＋y 3＝32(x B ＋x C )，z 1＋z 2＋z 3＝32(x C ＋x A )，同①分析：ω1＝13(x A ＋z 1＋x 3)，ω2＝13(x 1＋y 1＋x B )，ω3＝13(x C ＋z 3＋y 3)，∴ω1＋ω2＋ω3＝13(x A ＋x B ＋x C ＋x 1＋x 3＋y 1＋y 3＋z 1＋z 3)，而x 1＋x 3＝x A ＋x B ，y 1＋y 3＝y C ＋y B ，z 1＋z 3＝x A ＋x C ，代入得ω1＋ω2＋ω3＝x A ＋x B ＋x C ， ∴f (4)＝5(x A ＋x B ＋x C )＝5，由f (1)＝1，f (2)＝2，f (3)＝103，f (4)＝5，即f (1)＝16×2×3，f (2)＝16×3×4，f (3)＝16×4×5，f (5)＝16×5×6，由此猜想a n ＝16(n ＋1)(n ＋2)．解法二：逐步调整，不妨假设x A ＝x B ＝x C ＝13，共12(n ＋1)(n ＋2)个顶点，∴f (n )＝16(n ＋1)(n ＋2)．答案：103；16(n ＋1)(n ＋2)2．首项为正数的数列{a n }满足a n ＋1＝14(a 2n＋3)，n ∈N ＋.(1)证明：若a 1为奇数，则对一切n ≥2，a n 都是奇数； (2)若对一切n ∈N ＋都有a n ＋1＞a n ，求a 1的取值范围．解析：(1)已知a 1是奇数，假设a k ＝2m －1是奇数，其中m 为正整数，则由递推关系得a k ＋1＝a 2k ＋34＝m (m －1)＋1是奇数．根据数学归纳法，对任何n ∈N ＋；a n 都是奇数．(2)解法一：由a n ＋1－a n ＝14(a n －1)(a n －3)知，a n ＋1＞a n 当且仅当a n ＜1或a n ＞3另一方面，若0＜a k ＜1，则0＜a k ＋1＜1＋34＝1；若a k ＞3，则a k ＋1＞32＋34＝3.根据数学归纳法，0＜a 1＜1⇔0＜a n ＜1，∀n ∈N ＋，a 1＞3⇔a n ＞3，∀n ∈N ＋. 综合所述，对一切n ∈N ＋都有a n ＋1＞a n 的充要条件是0＜a 1＜1或a 1＞3.解法二：由a 2＝a 21＋34＞a 1，得a 21－4a 1＋3＞0，于是0＜a 1＜1或a 1＞3. a n ＋1－a n ＝a 2n ＋34－a 2n －1＋34＝(a n ＋a n －1)(a n －a n －1)4，因为a 1＞0，a n ＋1＝a 2n ＋34，所以所有的a n 均大于0，因此a n ＋1－a n 与a n －a n －1同号．根据数学归纳法，∀n ∈N ＋，a n ＋1－a n 与a 2－a 1同号．因此，对一切n ∈N ＋都有a n ＋1＞a n 的充要条件是0＜a 1＜1或a 1＞3.3．已知数列{x n }满足x 1＝12，x n ＋1＝11＋x n，n ∈N *.(1)猜想数列{x 2n }的单调性，并证明你的结论；(2)证明：|x n ＋1－x n |≤16(25)n －1.解析：(1)由x 1＝12及x n ＋1＝11＋x n得x 2＝32，x 4＝58，x 6＝1321.由x 2＞x 4＞x 6猜想：数列{x 2n }是递减数列．下面用数学归纳法证明：(1)当n ＝1时，已证命题成立．(2)假设当n ＝k 时命题成立，即x 2k ＞x 2k ＋2，易知x n ＞0，那么x 2k ＋2－x 2k ＋4＝11＋x 2k ＋1－11＋x 2k ＋3＝x 2k ＋3－x 2k ＋1(1＋x 2k ＋1)(1＋x 2k ＋3)＝x 2k －x 2k ＋2(1＋x 2k )(1＋x 2k ＋1)(1＋x 2k ＋2)(1＋x 2k ＋3)＞0，即x 2(n ＋1)＞x 2(n ＋1)＋2. 也就是说，当n ＝k ＋1时命题也成立．结合(1)和(2)知，命题成立．(2)证明：当n ＝1时|x n ＋1－x n |＝|x 2－x 1|＝16，结论成立；当n ≥2时，易知0＜x n －1＜1，∴1＋x n －1＜2，x n ＝11＋x n －1＞12，∴(1＋x n )(1＋x n －1)＝(1＋11＋x n －1)(1＋x n－1)＝2＋x n －1≥52， ∴|x n ＋1－x n |＝|11＋x n －11＋x n －1|＝|x n －x n －1|(1＋x n )(1＋x n －1)| ≤25|x n －x n －1|≤(25)2|x n －1－x n －2|≤…≤(25)n －1|x 2－x 1|＝16(25)n －1. [高考预测]1.已知函数f (x )＝12x 2－x ＋2，数列{a n }满足递推关系式：a n ＋1＝f (a n )(n ∈N *)，且a 1＝1.(1)求a 2、a 3、a 4的值；(2)用数学归纳法证明当n ≥5时，a n ＜2－1n －1；(3)证明当n ≥5时，有nk ＝1 1a k ＜n －1.解：由a 1＝1及a n ＋1＝12a 2n －a n ＋2计算，得a 2＝32，a 3＝138，a 4＝217128. (2)证明：①a 5＝12(217128)2－217128＋2＝2－217128(1－12×217128)＝2－217128×39256＜2－14，即当n ＝5时，结论成立．②假设结论对n ＝k (k ≥5)成立，即a k ＜2－1k －1.∵a n ＋1＝12(a n －1)2＋32≥32，函数f (x )＝12(x －1)2＋32在(1，＋∞)上递增，∴a k ＋1＜12(2－1k －1－1)2＋32＝2－1k －1＋12(k －1)2＜2－1k ，即当n ＝k ＋1时结论也成立．由①②知，不等式a n ＜2－1n －1对一切n ≥5都成立．(3)证明：∵当n ≥5时，a n ＜2－1n －1，∴12－a n ＋1＜n . 又由a n ＋1＝12a 2n －a n＋2，得1a n ＝1a n －2－1a n ＋1－2，且a 1＝1. ∴n k ＝1 1a k ＝nk ＝1 (1a k －2－1a k ＋1－2)＝1a 1－2－1a n ＋1－2＝12－a n ＋1－1＜n －1. 2．已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝12a n ＋n2n ＋1(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：12n －1≤a n ≤1；(3)设T n ＝2n n 2－n ＋4a n ，且k n ＝ln (1＋T n )＋12T 2n ，证明：2T n ＋2＜T nk n.解：(1)由a n ＋1＝12a n ＋n 2n ＋1，得2n ＋1a n ＋1＝2n a n ＋n ，令b n ＝2n a n ，有b n ＋1－b n ＝n ，∴b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋…＋(b n －1－b n －2)＋(b n －b n －1)＝b 1＋[1＋2＋3＋…＋(n －1)]＝b 1＋12n (n －1)．又b 1＝2a 1＝2，b n ＝2＋12n (n －1)，∴2n a n ＝12n (n －1)＋2，∴a n ＝(n 2－n ＋4)·(12)n ＋1(n ∈N *)．(2)证法一：(数学归纳法)①当n ＝1时，a 1＝1，满足不等式121－1≤a 1＝1≤1；②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时结论成立，即12k －1≤a k ≤1，那么a k ＋1＝12a k ＋k 2k ＋1≥12·12k －1＋k 2k ＋1＝2＋k 2k ＋1＞12k 即a k ＋1＞12(k ＋1)－1.又a k ＋1＝12a k ＋k 2k ＋1≤12＋k 2k ＋1＜2·2k2k ＋1＝1，由①②可知，n ∈N *，都有12n －1≤a n ≤1成立．证法二：由(1)知：a n ＝(n 2－n ＋4)·(12)n ＋1.∵n 2－n ≥0，n ∈N *，∴a n ≥4·(12)n ＋1＝12n －1.∵a n ＝n 2－n ＋42n ＋1，2n ＋1＝(1＋1)n ＋1＝1＋C 1n ＋1＋C 2n ＋1＋…＋C n －1n ＋1＋C n n ＋1＋C n ＋1n ＋1＞1＋C 1n ＋1＋2C 2n ＋1， ∴2n ＋1＞n 2＋2n ＋2.∴a n ＜n 2－n ＋4n 2＋2n ＋2＝1－3n －2n 2＋2n ＋2＜1.当n ＝1时，a n ＝a 1＝1，综上，12n －1≤a n ≤1.证法三：a n ＋1a n ＝(n ＋1)2－(n ＋1)＋42(n 2－n ＋4)＝n 2＋n ＋42n 2－2n ＋8，a n ＋1a n －1＝－n 2＋3n －42n 2－2n ＋8＝－(n 2－3n ＋4)2n 2－2n ＋8＜0， ∴{a n }为递减数列，当n ＝1时，a n 取最大值． ∴a n ≤1.由(1)中知2n a n ＝12n (n －1)＋2≥2，a n ≥12n －1.综上可知，12n －1≤a n ≤1.(3)证明：T n ＝2n n 2－n ＋4(n 2－n ＋4)·(12)n ＋1＝n ·(12)n ，欲证：2T n ＋2＜T n k n，即证k n ＜12T 2n ＋T n ，即ln(1＋T n )－T n ＜0，构造函数f (x )＝ln(1＋x )－x .∵f ′(x )＝11＋x －1＝－x 1＋x，当x ＞0时，f ′(x )＜0，∴函数y ＝f (x )在(0，＋∞)内递减． ∴f (x )在[0，＋∞]内的最大值为f (0)＝0. ∴当x ≥0时，1n(1＋x )－x ≤0. 又∵T n ＞0，∴ln(1＋T n )－T n ＜0.∴不等式2T n ＋2＜T nk n成立．。

高中数学第2章算法初步212算法的基本思想2课件北师大版必修3

过程与步骤的分析，体会一法，常常要找出解决问题的较好的
个问题可能存在多种算法，算法，二分法算法的实现过程．
有优劣之分．难点：二分法算法的实现过程.
3．培养学生的数学应用意
识.
知识梳理
1．算法的设计 (1)设计要求 ①写出的算法必须能解决一类问题(如：判断一个整数是否为质数，求任意一个方程的近似解……)，并且能够重复使用． ②要使算法尽量简单，步骤尽量少． ③算法过程要能一步一步执行，每一步执行的操作必须确切，不能含糊不清，而且在有限步后能得出结果．
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间休息一下眼睛，
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动对身体不好哦~
17
【思路启迪】 (1)如何设计过程模型？ (2)怎样细化为一步接一步组成的步骤？
【解】算法一：
1．把羊运到对岸； 2．回来接狼，把狼带到对岸时，把羊带回； 3．把羊放在原地，把菜运到对岸； 4．回来接羊．
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
解析：由算法的概念可知①②③④都正确，因而选 D. 答案：D
2．求方程 x3－2x＝0 的近似根，要先将它近似地放在某两个连续整数之间，下面正确的是( )
A．在 1 和 2 之间 B．在 2 和 3 之间 C．在 3 和 4 之间 D．在 4 和 5 之间
3．数学与生活中的算法给出一个问题，设计算法的思路是： (1)认真分析问题，联系解决此问题的一般数学方法； (2)综合考虑此类问题中可能涉及的各种情况； (3)借助有关的变量或参数对算法加以表述；
(4)要将解决问题的过程划分为若干个步骤；
(5)然后用简练的语言将各个步骤表示出来．
对于这种非数值性问题的算法设计问题，应当首先建

高考复习课件高考二轮文科数学专题1第2讲算法初步、复数、推理与证明

(2)(2015 安徽)执行如图所示的程序框图(算法流程图)，输出的 n 为( )
A．3
B．4
C．5
D．6
【解析】选 B 根据程序框图的功能求解即可． a＝1，n＝1 时，条件成立，进入循环体；a＝32，n＝2 时，条件成立，
进入循环体；a＝75，n＝3 时，条件成立，
进入循环体；a＝1172，n＝4 时，条件不成立，退出循环体，此时 n 的值为 4.
高中数学课件
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第2讲算法初步、复数、推理与证明
1．考题展望 (1)本讲在高考中多以选择题、填空题的形式出现； (2)算法初步的考查重点是程序框图及框图符号的含义，高考命题常与其他内容，如与数列、函数、不等式等综合； (3)复数内容主要考查复数的概念、模的计算及几何意义，对能力要求不高，多以容易题出现．
S1＝12n2＋12n， S2＝13n3＋12n2＋16n， S3＝14n4＋12n3＋14n2， S4＝15n5＋12n4＋13n3－310n， S5＝An6＋12n5＋152n4＋Bn2，可以推测 A－B＝________．
【解析】14 本题考查归纳推理问题．
根据各式的规律，显然 A＝16. 令 n＝1，则 S5＝15＝1，代入得 S5＝16＋12＋152＋B＝1⇒B＝－112，所以 A－B＝16－－112＝14.
观察等式两边的规律，利用归纳推理解决．等式的左边的通项为2n1－1－21n，前 n 项和为 1－12 ＋13－14＋…＋2n1－1－21n；右边的每个式子的第一项为 n＋1 1，共有 n 项，故为n＋1 1＋n＋1 2＋…＋n＋1 n.
【命题立意】本题主要考查归纳推理，逻辑思维能力和创新应用意识．
1．算法：基本逻辑结构有顺序结构、条件结构、循环结构．

高考数学必考重点知识大全

高考数学必考重点知识大全高考数学必考重点知识大全一集合与简单逻辑1.易错点遗忘空集致误错因分析：由于空集是任何非空集合的真子集，因此，对于集合B，就有B=A，φ≠B，B≠φ，三种情况，在解题中如果思维不够缜密就有可能忽视了B≠φ这种情况，导致解题结果错误。

尤其是在解含有参数的集合问题时，更要充分注意当参数在某个范围内取值时所给的集合可能是空集这种情况。

空集是一个特殊的集合，由于思维定式的原因，考生往往会在解题中遗忘了这个集合，导致解题错误或是解题不全面。

2.易错点忽视集合元素的三性致误错因分析：集合中的元素具有确定性、无序性、互异性，集合元素的三性中互异性对解题的影响最大，特别是带有字母参数的集合，实际上就隐含着对字母参数的一些要求。

在解题时也可以先确定字母参数的范围后，再具体解决问题。

3.易错点四种命题的结构不明致误错因分析：如果原命题是“若A则B”，则这个命题的逆命题是“若B则A”，否命题是“若┐A则┐B”，逆否命题是“若┐B则┐A”。

这里面有两组等价的命题，即“原命题和它的逆否命题等价，否命题与逆命题等价”。

在解答由一个命题写出该命题的其他形式的命题时，一定要明确四种命题的结构以及它们之间的等价关系。

另外，在否定一个命题时，要注意全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题。

如对“a，b都是偶数”的否定应该是“a，b不都是偶数”，而不应该是“a，b都是奇数”。

4.易错点充分必要条件颠倒致误错因分析：对于两个条件A，B，如果A=>B成立，则A是B的充分条件，B是A的必要条件;如果B=>A成立，则A是B 的必要条件，B是A的充分条件;如果A<=>B，则A，B互为充分必要条件。

解题时最容易出错的就是颠倒了充分性与必要性，所以在解决这类问题时一定要根据充要条件的概念作出准确的判断。

5.易错点逻辑联结词理解不准致误错因分析：在判断含逻辑联结词的命题时很容易因为理解不准确而出现错误，在这里我们给出一些常用的判断方法，希望对大家有所帮助：p∨q真<=>p真或q真，p∨q假<=>p假且q假(概括为一真即真);p∧q真<=>p真且q真，p∧q假<=>p假或q假(概括为一假即假);┐p真<=>p假，┐p假<=>p真(概括为一真一假)。

精准发力,扎实推进二轮备考

精准发力，扎实推进二轮备考沂南一中牛纪堂张荣立2019.3尊敬的各位领导、老师们：大家好！首先感谢市教科研中心郭老师给我们提供了互相交流与学习的机会！下面，我将沂南一中高三数学备课组在一轮复习中的一些主要做法及二轮备考计划向各位领导和老师们汇报一下：第一部分：一轮复习的常规做法一轮复习，强调基础，关注能力和思维的承载体，强调通性通法，淡化特殊技巧。

要站在整个高中数学的角度看待问题，不能拘泥于一章一节。

把握整体结构，突出主干知识。

关注学生的易错点，关注一类题型的规律，增加针对性和实效性。

一、加强集体备课，提高教学水平集体备课是大面积大幅度提高教学水平和成绩的有效途径。

进入高三，我们搬迁到新校区后，教学设备得到了改善，每个备课组都配备了多媒体备课设备，配备了专门用于集备的桌椅，同时也加强了集体备课。

每天安排一次集体备课，集体备课的内容要求包括：拟定复习目标，明确复习要求；确定主题主线，提炼重点难点；梳理知识要点，整合知识结构；提出关键问题，精选例题习题；构思教学策略，设计教学流程。

集体备课促进了全体教师的教学智慧、经验、水平和能力的两次“转化”：由个体优势转化为群体优势，再由群体优势转化为个体优势。

二、精心编制导学案，提高复习的针对性我们在一轮复习中，一直坚持使用导学案。

由于复习资料有些题型不够全面，有些题目不适合课堂教学，不利于扎实复习。

因此，我们就事先分好工，两人一组，编写导学案。

导学案的选题来源是：课本习题变形、历年高考真题、往届高三典型题目、教辅资料和网络资源。

导学案分为自主学习、课堂探究、课后巩固三部分。

自主学习部分引导学生以课本为载体复习基础知识，并根据所复习内容进行尝试练习；课堂探究部分按照考纲要求，分题型精选例题，让学生通过探究达到对知识的理解和掌握，并配有变式训练或跟踪练习，提高学生对知识的应用能力；课后巩固部分所选题目要典型，难度适中，题量不宜过大，一般20-30分钟内完成。

课时作业在晚自习定时完成后，老师收上来进行批改，对于学生出错率较高的题型第二天要安排补偿题。